Плоские задачи движения тел вблизи границ раздела сжимаемых сред

Смирнова, Мария Николаевна

Плоские задачи движения тел вблизи границ раздела сжимаемых сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Смирнова, Мария Николаевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Плоские задачи движения тел вблизи границ раздела сжимаемых сред»

Автореферат диссертации на тему "Плоские задачи движения тел вблизи границ раздела сжимаемых сред"

На правах рукописи

Смирнова Мария Николаевна

Плоские задачи движения тел вблизи границ раздела сжимаемых сред

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 8 НОЯ 2013

Санкт-Петербург - 2013

005539879

Работа выполнена на кафедре газовой и волновой динамики федерального бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Звягин Александр Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор кафедры газовой и волновой динамики механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты: Петров Александр Георгиевич

доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН Рождественский Кирилл Всеволодович доктор технических наук, профессор Санкт-Петербургского государственного морского технического университета Ведущая организация: Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится «24» декабря 2013 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.229.07 в ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» по адресу: 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Санкт-Петербургского государственного политехнического университета по адресу: 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29.

Автореферат разослан «(&» КОЛБУД. 2013 г.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах, заверенные печатью учреждения) просим направлять по адресу: 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.229.07, e-mail: aero@phmf.spbstu.ru.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

б^^ Зайцев Д.К.

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Движение тел вблизи поверхности раздела различных сред является основой работы многих технических устройств, например, движение тел под свободной поверхностью жидкости: подводных крыльев, а также пуль, торпед, реактивных снарядов. Близость свободной поверхности существенно влияет на силу сопротивления и подъемную силу подводных крыльев. К данному классу задач относятся также задачи движения резца вблизи поверхности металлического образца и задачи движения частиц космического мусора в контейнерах с жидкостью. Решение задач взаимодействия высокоскоростных фрагментов космического мусора с частично заполненными жидкостью контейнерами, окружающими космические аппараты, необходимо для адекватного прогнозирования живучести орбитальных конструкций.

Вторая большая группа задач - это движение крыльев в сжимаемых средах вблизи жестких границ. Подъемная сила крыла при приближении к жесткой поверхности (земле) существенно возрастает. Этот эффект успешно используется при создании экранопланов — летающих объектов, движущихся вблизи поверхности Земли или над водным пространством.

Для решения перечисленных задач необходимо проведение предсказательного моделирования процессов движения тел в сжимаемых средах вблизи подвижных или жестких поверхностей раздела на высокопроизводительных ЭВМ, написание программ для которых требует значительного времени и усилий, а сами коды нуждаются в верификации. Поэтому получение точных аналитических решений указанных задач для случаев упрощенной геометрии - необходимая составляющая создания верификационного базиса разрабатываемых отечественных программных продуктов типа ЛОГОС и Лэгак ДК разработки Росатома.

Цель диссертационной работы

Основной целью работы является исследование движения тела в сжимаемой жидкости вблизи различных поверхностей: свободной и твердой. Цели работы включают нахождения аналитического решения задач определения подъемной силы и силы сопротивления при движении крыльев различной геометрии вблизи свободной поверхности сжимаемой жидкости с учетом образования каверны или вблизи твердой поверхности.

Научная новизна работы

Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми.

В работе исследованы задачи плоского дозвукового движения тонких тел в сжимаемой жидкости вблизи свободной поверхности и твердой границы.

При движении тела в жидкости под свободной поверхностью рассмотрены случаи образования каверн бесконечного и конечного размеров, а также крылья двух типов: вогнутое и выпуклое. Были получены следующие результаты:

• Построено аналитическое решение, позволяющее найти величину силы сопротивления и подъёмной силы крыла в предельных случаях малой и большой глубины.

• Найдено конформное отображение полуплоскости с разрезом на верхнюю полуплоскость, где решение задачи свелось к задаче Римана - Гильберта, которая в свою очередь была приведена к задаче Дирихле, имеющей единственное решение в виде интеграла Шварца.

При движении вблизи твердой поверхности были рассмотрены случаи крыла, имеющего форму пластины, а также выпуклого контура. Задачу движения крыла около твердой поверхности (экрана) в линейной постановке удалось решить почти аналитически. Были получены следующие результаты:

• После предложенной автором регуляризации сингулярное интегральное уравнение было сведено к уравнению Фредгольма второго рода, решение которого сводится к решению линейной системы уравнений. Было исследовано ядро уравнения Фредгольма.

• Полученная подъёмная сила отличается от аналогичной величины для неограниченного пространства дополнительным слагаемым, которое убывает с увеличением расстояния от крыла до поверхности.

• Проведенный расчет показывает, что экран заметно влияет на подъемную силу только на высоте полёта, меньшей длины хорды крыла.

• Подъёмная сила выпуклого крыла больше подъёмной силы пластины для соответствующих расстояний от экрана.

• В ходе численного решения задачи движения пластины вблизи твердой поверхности методом граничных элементов было проведено сравнение полученной зависимости подъемной силы от высоты с аналитическим решением. Были построены линии тока и распределение скорости вдоль них при обтекании пластины с разными углами атаки и на разном расстоянии от экрана.

Достоверность результатов

Все результаты диссертационной работы получены аналитическими или полуаналитическими методами. Достоверность результатов обусловлена точностью аналитических и численных методов, используемых при расчете задач. Результаты в предельных случаях совпадают с опубликованными ранее частными решениями, полученными другими авторами.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в МГУ имени М.В. Ломоносова, ИПМ имени М.В. Келдыша РАН, СПбГПУ и др.

Практическая значимость результатов исследований связана с возможностью их применения при создании верификационного базиса для тестирования численных программ, определяющих силы, действующие на подводное крыло или крыло экраноплана (РФЯЦ-ФНИИЭФ, ОКБ «Сухой», ЦКБ МТ «Рубин», ЦНИИ им. Акад. А.Н. Крылова).

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы были представлены, обсуждались и получили положительную оценку на научно-исследовательских семинарах кафедры волновой и газовой динамики механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова и на следующих конференциях:

• Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics», St. Petersburg (Repino), 2008-2013.

• 6-th IASMEAVSEAS Conference HTE'08, Greece (Rhodes), 2008.

• 61-st International Astronautical Congress, Prague, 2010.

• 62-d International Astronautical Congress, Cape Town, 2011.

• Ломоносовские чтения, Москва, 2008-2010, 2013.

• Международная конференции «Современные проблемы газовой и волновой динамики», Москва, 2009.

Публикации

Основные результаты диссертационной работы изложены в двадцати трёх печатных работах. Список работ приведён в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, обзора литературы, двух глав, заключения и списка литературы из 101 наименований. Диссертация изложена на 145 страницах.

Содержание работы

Во введении описана предметная область, сформулирована цель диссертационной работы, подтверждена актуальность работы, дана информация о публикациях автора и апробации работы.

Обзор литературы содержит анализ основных достижений в теории плоскопараллельных движений несжимаемой жидкости и газа. Прослеживаются основные этапы получения аналитических решений для безотрывного обтекания тел безграничным и ограниченным потоком жидкости, а также численные и асимптотические методы, применяемые для решения задач движения тел с образованием каверны и вблизи твердой поверхности. Приводятся ссылки на основные работы в области гидро- и аэродинамики.

В первой главе рассматривается движение крыла в невесомой идеальной сжимаемой жидкости в присутствии свободной поверхности с учетом образования каверн бесконечного и конечного размера.

Считается, что крыло движется с постоянной скоростью в неподвижной системе координат. Течение жидкости описывается уравнением неразрывности и уравнениями Эйлера. Угол атаки крыла мал, тогда возмущения при движении крыла можно считать малыми, и движение газа является потенциальным. Потенциал скорости удовлетворяет волновому уравнению, а давление можно найти из линеаризованного уравнения движения.

Для рассматриваемых в данной главе задач возможны следующие типы граничных условий: равенство нулю избыточного давления на свободной поверхности, условие обтекания на поверхности контакта жидкости и движущегося тела, зависимость давления от числа кавитации на внутренней поверхности замкнутой каверны, отсутствие

проскальзывания после замыкания каверны. Все возмущения жидкости

малы, что позволяет линеаризовать и снести граничные условия на невозмущенные участки границы.

В подвижной системе координат, связанной с крылом, движение считается установившимся. После перехода к новым безразмерным искомым функциям и независимым переменным потенциал скорости будет удовлетворять уравнению Лапласа. Таким образом, необходимо найти гармоническую функцию на полуплоскости с разрезом вдоль полуоси, удовлетворяющую соответствующим граничным условиям. Решение ищется в виде действительной части от некоторой аналитической функции комплексной переменной, тождественно удовлетворяющей уравнению Лапласа. Для построения решения задачи

необходимо найти конформное отображение полуплоскости с разрезом х > 0, у = л на верхнюю полуплоскость 1т V/ > 0, которое осуществляется функцией:

г = я/ + №'—1п »V—1, м'= и + (Ч>, г = х+1у. Преобразование границы области решения изображено на рисунке 1.

0 X

С В v

¡п Я и. 1

Рис. 1. Преобразование границы области решения, где ""о _ш1ио

к„ —корень уравнения = и? — 1п | | —1, где £ — длина пластины, И — глубина, а = \I\-M7 аЬ

М = — — число Маха, р{) —плотность невозмущённой жидкости, о

Таким образом, определение аналитической в области функции свелось к задаче Римана-Гильберта, которая не имеет единственного решения. Для выделения единственного решения необходимы дополнительные предположения о характере поведения функции на передней или задней кромке крыла и в бесконечно удаленной точке. Благодаря дополнительным условиям краевая задача может быть приведена к задаче Дирихле, которая имеет единственное решение для полуплоскости в виде интеграла Щварца. В случае крыла в виде пластины с постоянным углом атаки интеграл может быть вычислен аналитически.

Для бесконечной каверны рассматриваются случаи положительного и отрицательного углов атаки с особенностью на задней или не передней кромке крыла, которая моделирует вогнутое или выпуклое крыло соответственно.

При движении пластины с положительным углом атаки у0 со скоростью У0 и особенностью на задней кромке были получены следующие выражения для подъемной силы и силы сопротивления:

Л--2 +-> ' ~--+-'

а и0 аи0

В предельных случаях малой и большой глубины, выражения для сил, действующих на вогнутое крыло, получены в аналитическом виде:

а V Ьж Иа а V Лтг Иа

2) Х = Г = -ъЩ^.

П ' о"

а1 а'

При движении пластины с положительным углом атаки и особенностью на передней кромке были получены следующие выражения для подъемной силы и силы сопротивления:

х /У^^-Р2 у р0ИУ02Го^-1)2 2 а2 ' 2а

В предельных случаях малой и большой глубины, выражения для сил, действующих на выпуклоекрыло, получены в аналитическом виде:

2а2 V Ьа 2а V ка

При А = 0 сила сопротивления и подъемная сила равны

2а2 ' 2а

что совпадает для несжимаемой жидкости а = VI—М2 —»1, а —> <*> с классическим решением задачи Л.И. Седова о движении пластины по поверхности жидкости.

' ' 2 а3 2 а2

При движении пластины с отрицательным углом атаки и особенностью на задней кромке были получены следующие выражения для подъемной силы и силы сопротивления:

у _ РоК2^(~2+ ~"о2). у _ РоК'ЬГо (~2л/<+3н0--и~2)

а2и~ ' ащ

1) /¡/¿->0 Х = -2роУ{'Гу2ое^; У = -2Р'^'Д

а2 а

2) хЛ<Щ±, гЛВ^Шк.

2 а3 2 а2

При движении пластины с отрицательным углом атаки и особенностью на передней кромке были получены следующие выражения для подъемной силы и силы сопротивления:

2а2 2а

В предельных случаях малой и большой глубины, выражения для сил, действующих на выпуклое крыло, получены в аналитическом виде:

1) а/£-»О х=рЩ-, г =

2 а2 2 а

4а 4а2

Для случая замкнутой каверны рассматривается вогнутое крыло, движущееся под положительным углом атаки. Полученное решение позволяет определить действующую на тело подъемную силу и силу сопротивления:

2р0У<А

"Ч 50 г'о \/1 4-1 Л Ч 4-1 (2^-3^+0

"Ч ■«о-1 \ ■5» ~11 а ) 4-1 (4-1)3

- + —г--(«□ — 1пи„ — 1);

а я

р0у„исхы>(у1+\) 2р„Уья

0 + 1 4-4) 4-1 (2^-3 к0+ + 42)

4-1 4-4) 4-1 (4-1)3

-«-1пи0+-1).

4 —корень уравнения — = 5? — |-1, ^-линейный размер каверны, который

аИ

определяется расстоянием, на котором происходит слияние верхней и нижней границы. Это условие находится из интегрирования вертикальных скоростей границ каверны. Сумма вертикальных перемещений верхней и нижней границ каверны должна быть равна вертикальному размеру каверны.

И И

Для случая малой глубины — —> 0, — —> 0 выражения для сил, действующих на вогнутое крыло, получены в аналитическом виде:

УъЬРСк 1к1 [ с-2ф (--РаКУ р- м'^АМ. от3 2/?а2 «А ДРсг V«/! О5

2 2

г_ |1п(1|г-^> ¡ЁК^-М!

а2 2Иа ай ДРаг \аИ а2

При увеличении размера каверны силы, действующие на крыло, уменьшаются и стремятся к соответствующим значениям для бесконечной каверны.

Зависимость отношения длины тела к длине каверны от безразмерной глубины для разных чисел кавитации представлена на рисунке 2.

os,-

01 02 0.3 04 85 0« 07 08 09 1 11 12

Рис. 2. Зависимость отношения длины тела к длине каверны от безразмерной глубины для разных чисел

L е'1

кавитации. — = -

S l+A-e-'J-

■fí

lah _2-а

~ а2 С .

С — число кавитации.

Во второй главе рассматривается движение крыла в невесомом идеальном газе вблизи твердой поверхности. Считается, что крыло движется с постоянной скоростью в неподвижной системе координат. Адиабатическое течение описывается уравнением неразрывности и уравнениями Эйлера. Угол атаки крыла мал, тогда возмущения при движении крыла можно считать малыми, и движение газа является потенциальным. Потенциал скорости удовлетворяет волновому уравнению, а давление можно найти из линеаризованного уравнения движения. На твердой поверхности и на поверхности контакта движущегося тела и газа необходимо выполнение условия обтекания.

В подвижной системе координат, связанной с крылом, движение считается установившимся. После перехода к новым безразмерным переменным потенциал скорости будет удовлетворять уравнению Лапласа. Решение ищется в виде действительной части от некоторой аналитической функции комплексной переменной, тождественно удовлетворяющей уравнению Лапласа. Для выделения единственного решения краевой задачи необходимы дополнительные предположения на характер поведения функции в бесконечно удаленной точке, а также на концах отрезка, моделирующего крыло. На бесконечности функция стремится к нулю и ограничена на задней кромке крыла (гипотеза Чаплыгина-Жуковского).

Решение задачи ищется в виде интеграла типа Коши, который будет удовлетворять условию обтекания при выполнении сингулярного интегрального уравнения, имеющего различный вид для пластины и для выпуклого контура. После предложенной автором регуляризации сингулярное интегральное уравнение было сведено к уравнению Фредгольма второго рода, решение которого сводится к решению линейной системы уравнений.

Была получены зависимость приведённой подъёмной силы Рп8\ р^г7ГуЬ от

безразмерной высоты Н^И-З/Ь, 8 = \1 — М2 для пластины (кривая синего цвета) и для выпуклого контура (кривая зелёного цвета) (рисунок 3).

Проведенный расчет показывает, что подъёмная сила быстро убывает с увеличением высоты до величины, равной её значению в безграничной среде, полученному Н.Е. Жуковским. Экран заметно влияет на подъемную силу только на высоте полёта, меньшей длины хорды крыла. Подъёмная сила выпуклого крыла больше подъёмной силы пластины для соответствующих расстояний от экрана.

Рис. 3. Зависимость приведённой подъёмной силы FПS/р0У2Я/1. от безразмерной высоты

Н = Иб/Ь, 8 = 41 — М для пластины (кривая синего цвета) и для выпуклого контура (кривая

зелёного цвета).

Для сравнения с полученным аналитическим решением было проведено численное решение задачи обтекания пластины вблизи твердой поверхности потоком идеальной несжимаемой жидкости методом граничных элементом (МГЭ). Пластина аппроксимируется панелями с кусочно-постоянным диполем и добавкой точечного вихря на хвостовом конце. Для определения интенсивности вихрей выражение для скорости жидкости от распределенных таким образом особых точек подставляется в условия непротекания в серединах панелей. Замыкающим условием СЛАУ является условие Чаплыгина-Жуковского об ограниченности

скорости на задней кромке, которое обнуляет суммарную интенсивность вихря на задней кромке, минимизируя модуль скорости в ее окрестности.

Линии тока и распределение скорости вдоль них при обтекании пластины под углом а на расстоянии Н = к/Ь от твердой поверхности, полученные МГЭ, изображены на рисунке 4.

а = 10°, Я = 0,1;

<2 = 10°, Я = 0,5;

«■ = 20°, Я = 0,5;

а = 20°, Н = 1;

(2 = 30°, Я = 0,5;

» = 30°, Н = 1.

Рис. 4. Линии тока и распределение скорости вдоль них при обтекании пластины под углом а на расстоянии Н = Н/Ь от твердой поверхности.

На цветной шкале изображено, какую часть от невозмущенной скорости жидкости составляет модуль скорости в точках на линиях тока. По распределению скоростей вдоль линий тока можно сделать вывод о том, что подъемная сила, действующая на пластину, уменьшается с увеличением расстояния от экрана. Для углов атаки больше 30° подъемная сила уменьшается.

Проведено сравнение зависимости приведенной подъемной силы пластины вблизи экрана Рп8/ р^У27Г/Ь от безразмерной высоты Н = к/Ь для числа Маха М = 0,2, полученной аналитическим (кривая синего цвета) и численным методами (кривая красного цвета), разработанными в диссертации (рисунок 5).

Рис. 5. Сравнение зависимости приведенной подъемной силы пластины вблизи экрана Еп6]раУ2тгуЬ от безразмерной высоты Н = /г/Ь для числа Маха М = 0,2, полученной аналитическим (кривая синего цвета) и численным методами (кривая красного цвета), разработанными в диссертации.

Проведено сравнение результатов диссертационной работы с асимптотическим решением А.Н. Панченкова и численным решением В.А. Фролова.

В заключении приведены основные результаты и выводы:

• При движении пластины в жидкости под свободной поверхностью построено аналитическое решение, позволяющее найти величину силы сопротивления и подъёмной силы. Показано, что подъемная сила при малой глубине возрастает как (И/ьУ', п = 1;3 и выходит на константу при увеличении глубины.

• При движении тонкого тела вблизи твердой поверхности (экрана) была получена зависимость приведенной подъемной силы от расстояния до экрана для пластины и выпуклого контура. Было проведено сравнение с численным решением МГЭ. Полученная подъёмная сила отличается от аналогичной величины для неограниченного пространства дополнительным слагаемым, которое убывает с увеличением расстояния от крыла до поверхности.

• Экран заметно влияет на подъемную силу только на высоте полёта, меньшей длины хорды крыла.

• Подъёмная сила выпуклого крыла больше подъёмной силы пластины для соответствующих расстояний от экрана.

По теме диссертации опу бликованы следующие работы: Статьи в журналах:

1. Звягин А.В., Смирнова М.Н. Движение тонкого тела вблизи свободной поверхности сжимаемой жидкости // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика, механика, 2009. - №2, с. 35-44. (Engl, transl.: Zvyaguin A.V., Smirnova M.N. Motion of a slender body near the free surface of compressible fluid // Moscow University mechanics Bulletin, 2009. - vol. 64,-№2.-pp. 5-15). (ВАК)

2. Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. Fluid flow interaction with an obstacle near free surface // ActaAstronautica, 2009. - v. 64. - pp. 288-294. (ВАК)

3. Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. Different flow scenario for thin body subsonic motion in compressible fluid under free surface // ActaAstronautica, 2010. - vol. 66. - pp. 434 - 438. (ВАК)

4. Smirnova M.N., Zvyaguin A.V., Shugan I.V., Ray-Yeng Yang, Hwung-HwengHwung. Thin body motion under free surface with formation of final length cavity // ActaAstronautica, 2011. -v. 68. - iss. 1 -2. - pp. 46-51. (ВАК)

5. Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. Theoretical solution for the lift force of "ecranoplan" moving near rigid surface //ActaAstronautica, 2011. - v. 68. - iss. 11-12. - pp. 1676-1680. (ВАК)

6. Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. High velocity motion of a wing in compressible fluid near a surface //WSEAS Transactions on Fluid Mechanics, 2011. - v. 6. - iss. 2. - pp. 92-101.

7. Smirnova M.N., Kondrat'ev K.A. Space debris fragments impact on multi-phase fluid filled containments // ActaAstronautica, 2012. - v. 79. - pp. 12-19. (ВАК)

Статьи в сборниках трудов конференций:

8. Звягин А.В., Смирнова М.Н. Движение тонкого твердого тела под углом атаки в упругой среде при наличии свободной поверхности // Ломоносовские чтения. Механика. Тезисы докладов научной конференции. - Изд. Московского университета, 2008. - с. 84-85.

9. Звягин А.В., Смирнова М.Н. Движение тела под углом атаки в сжимаемой жидкости при наличии свободных границ // Ломоносовские чтения. Механика. Тезисы докладов научной конференции. — Изд. Московского университета, 2009. - с.78.

10. Звягин А.В., Смирнова М.Н. Движение тонкого тела в сжимаемой жидкости вблизи свободной поверхности с учётом формирования каверны конечного размера // Ломоносовские чтения. Механика. Тезисы докладов научной конференции. - Изд-во Московского университета, 2010. - с. 89-90.

11. Смирнова М.Н., Звягин А.В. Движение тела под углом атаки при наличии свободных границ // Тезисы докладов Международной конференции «Современные проблемы газовой и волновой динамики». - Москва, МГУ, апрель 2009.-е. 102-103.

12. Smimova M.N., Zvyaguin A.V. Motion of a rigid body in compressible fluid with a free surface // Proc. 6-th IASME/WSEAS Conference HTE'08, Rhodes, Aug. 2008. - vol. 1. - pp. 61-66.

13. Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. Motion of a rigid body in an elastic medium with free surface // Book of Abst. XXXVI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St.Petersburg (Repino), 2008. - p. 71.

14. Smirnova M.N.,Zvyaguin A.V. Resistance and Lift Forces in Thin Body Motion in Compressible Fluid Parallel to Free Surface // Proceedings of the XXXVII Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St.Petersburg (Repino), 2009. - p. 609-616.

15. Smirnova M.N., Kondrat'ev K.A., Zvyaguin A.V. Wave formation on free surface on interaction with a body moving under free surface // Proceedings of the XXXVIII Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St.Petersburg (Repino), 2010. - p. 651-658.

16. Smirnova M.N., Kondrat'ev K.A., Zvyaguin A.V. Wave formation on free surface on interaction with a body moving under free surface // Book of Abstracts of the XXXVIII Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St.Petersburg (Repino), 2010. — p. 93 - 94.

17. Smirnova M.N., Kondrat'ev K.A., Smirnov N.N. Projectile motion under free surface after perforation of containment filled with two-phase fluid // Proc. 61-st International Astronautical Congress, Prague, 2010.

18. Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. Boundary effects on thin body motion in fluid or gas // Book of Abstracts of the XXXIX Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St.Petersburg (Repino), 2011. - p. 89.

19. Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. Boundary effects on thin body motion in fluid or gas // Proceedings of the XXXIX Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St.Petersburg (Repino), 2011. - p. 423-433.

20. Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. The lift force of a wing moving in compressible fluid near a rigid surface // Book of Abstracts of the XL Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St.Petersburg (Repino), 2012, p. 82.

21. Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. The lift force of a wing moving in compressible fluid near a rigid surface // Proceedings of the XL Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St.Petersburg (Repino), 2012, pp. 337-344.

22. Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. High velocity gliding of a plate with final length cavity formation // Book of Abstracts of the XLI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St.Petersburg (Repino), 2013, p. 104.

23. Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. High velocity gliding of a plate with final length cavity formation // Proceedings of the XLI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St.Petersburg (Repino), 2013, pp. 556-562.

Отпечатано с готового оригинал-макета в Типографии «Фабрика Переплета Триумф» Подписано в печать 15.11.2013 г. Формат 60x84 Объем 1,15 и.л. Тираж 100 экз. Тел.8 (916)351-39-43

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Смирнова, Мария Николаевна, Москва

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет Кафедра газовой и волновой динамики

На правах рукописи

0«01«И1<

Смирнова Мария Николаевна

Плоские задачи движения тел вблизи границ раздела сжимаемых сред

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Звягин А.В.

Москва 2013

Оглавление

Введение...........................................................................................................................5

Обзор литературы..........................................................................................................9

Глава 1. Решение задачи о движении тела вблизи свободной поверхности сжимаемой жидкости с учетом отрыва жидкости от тела и образованием бесконечной и замкнутой каверн.................................................................................30

§ 1. Постановка задачи................................................................................................30

1.1. Основные уравнения и граничные условия...................................................31

1.2. Конформное отображения полуплоскости с разрезом на верхнюю полуплоскость..........................................................................................................35

§2. Движение тела вблизи свободной поверхности с отрывом на верхней кромке и образованием бесконечной каверны.....................................................................36

2.1. Решение с особенностью на задней кромке, моделирующее вогнутое крыло. Исследование полученного решения........................................................37

2.2. Решение с особенностью на передней кромке, моделирующее выпуклое крыло. Исследование полученного решения........................................................45

§3. Движение тела вблизи свободной поверхности с отрывом на нижней кромке и образованием бесконечной каверны.....................................................................52

3.1. Решение с особенностью на передней кромке, моделирующее выпуклое крыло. Исследование полученного решения........................................................53

3.2. Решение с особенностью на задней кромке, моделирующее вогнутое крыло. Исследование полученного решения........................................................60

§4. Движение тела вблизи свободной поверхности с отрывом на верхней кромке и образованием замкнутой каверны.........................................................................66

4.1. Решение с особенностью на задней кромке, моделирующее вогнутое крыло........................................................................................................................68

4.2. Исследование зависимости длины каверны от давления в ней и глубины

погружения тела......................................................................................................71

4.3. Исследование подъемной силы и силы сопротивления в предельных случаях......................................................................................................................76

Глава 2. Решение задачи о движение тела в сжимаемой жидкости вблизи неподвижной поверхности............................................................................................77

§ 1. Постановка задачи. Основные уравнения и граничные условия....................77

§2. Движение тела в неограниченном пространстве..............................................80

2.1. Определение подъемной силы пластины......................................................83

2.2. Определение подъемной силы выпуклого контура......................................84

§3. Движение тела в ограниченном пространстве вблизи твердой

поверхности...........................................................................................................84

3.1. Сведение задачи определения подъемной силы пластины к сингулярному интегральному уравнению.....................................................................................87

3.2. Сведение задачи определения подъемной силы выпуклого контура к сингулярному интегральному уравнению............................................................91

3.3. Регуляризация сингулярного интегрального уравнения и его приведение к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода...............................................95

3.4. Определение подъемной силы пластины и выпуклого контура. Анализ результатов...............................................................................................................98

§4. Определение подъемной силы пластины при движении вблизи твердой поверхности методом граничных элементов (МГЭ)............................................103

Заключение.................................................................................................................114

Список литературы...................................................................................................117

Приложение 1...............................................................................................................126

Приложение 2...............................................................................................................126

Приложение 3...............................................................................................................127

Приложение 4...............................................................................................................129

Приложение 5...............................................................................................................129

Приложение 6...............................................................................................................131

Приложение 7...............................................................................................................132

Приложение 8...............................................................................................................135

Приложение 9...............................................................................................................138

Приложение 10.............................................................................................................140

Приложение 11.............................................................................................................143

Приложение 12.............................................................................................................144

Введение

Актуальность работы

Вторая большая группа задач - это движение крыльев в сжимаемых средах вблизи жестких границ. Подъемная сила крыла при приближении к жесткой поверхности (земле) существенно возрастает. Этот эффект успешно используется при создании экранопланов - летающих объектов, движущихся вблизи поверхности Земли или над водным пространством.

Цель диссертационной работы

Научная новизна работы

При движении вблизи твердой поверхности были рассмотрены случаи крыла в виде пластины и в виде выпуклого контура. Задачу движения крыла около твердой поверхности (экрана) в линейной постановке удалось решить почти аналитически. Были получены следующие результаты:

• После предложенной автором регуляризации сингулярное интегральное уравнение было сведено к уравнению Фредгольма

второго рода, решение которого сводится к решению линейной системы уравнений. Было исследовано ядро уравнения Фредгольма.

® Подъёмная сила выпуклого крыла больше подъёмной силы пластины для соответствующих расстояний от экрана.

• В ходе численного решения задачи обтекания пластины вблизи твердой поверхности методом граничных элементов было проведено сравнение полученной зависимости подъемной силы от высоты с аналитическим решением. Были построены линии тока и распределение скорости вдоль них при обтекании пластины с разными углами атаки и на разном расстоянии от экрана.

Достоверность результатов

Теоретическая и практическая ценность работы

Апробация работы

• Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics», St. Petersburg (Repino), 2008-2013.

• 6-th IASME/WSEAS Conference HTE'08, Greece (Rhodes), 2008.

• 61 -st International Astronautical Congress, Prague, 2010.

• 62-d International Astronautical Congress, Cape Town, 2011.

• Ломоносовские чтения, Москва, 2008-2010,2013.

• Международная конференции «Современные проблемы газовой и волновой динамики», Москва, 2009.

Публикации

Основные результаты диссертационной работы изложены в двадцати трёх печатных работах. Список работ приведён в списке литературы.

Структура и объем диссертации

Обзор литературы

Теория плоскопараллельных движений несжимаемой жидкости и газа представляет собой обширный и разработанный отдел гидромеханики. Наибольший прогресс достигнут в теории плоскопараллельных потенциальных движений несжимаемой жидкости. Это объясняется возможностью приложения к этому случаю методов теории функций комплексного переменного [35]. Аппарат аналитических функций позволяет во многих случаях находить полное решение в виде, удобном для установления характерных качественных свойств и количественных соотношений.

Исследование движения газов - сжимаемых жидкостей - более трудная проблема. Уравнения газовой динамики в важнейших случаях не могут быть разрешены с помощью теории функций комплексного переменного.

Систематическое применение теории функций комплексного переменного и конформных отображений было введено в гидродинамику Гельмгольцем и Кирхгофом.

Начало теоретической аэродинамики заложено в работах Н.Е. Жуковского и С.А. Чаплыгина [59], которые создали теорию крыла в плоском потоке несжимаемой жидкости и получили все основные результаты в этой области. Так, силы, действующие на контур при безотрывном обтекании установившимся потоком идеальной несжимаемой жидкости в предположении отсутствия массовых сил, можно найти по формуле Блазиуса-Чаплыгина:

где X, У - проекции главного вектора сил на оси х,у, г-х + 1у- комплексная переменная, V = ^ -¡уу - комплексная скорость жидкости, р- плотность жидкости.

Если считать поток, обтекающий тело, потенциальным, и выражение для комплексного потенциала течения известным м>{г) = (р{х,у) + 1у/{х,у), то формула Блазиуса-Чаплыгина принимает следующий вид:

Главные трудности были связаны с уяснением природы аэродинамических сил. Согласно классической гидродинамике, известный парадокс Даламбера приводил к равенству нулю сопротивления и подъемной силы тела при его безотрывном обтекании потенциальным потоком идеальной жидкости. Жуковский и Чаплыгин впервые поняли, в чем заключается истинный смысл парадокса Даламбера, и объяснили в рамках теории идеальной жидкости и на основе решения плоской задачи о крыле возникновение подъемной силы. Предполагалось, что течение, получаемое при внесении тела в поступательный поток, потенциально везде вне тела и может быть осуществлено путем замены тела известным расположением особых точек течения - вихревых, источников и диполей, лежащих внутри контура, ограничивающего тело. Тогда по теореме о вычетах получим знаменитую формулу Жуковского:

Я = X -¡У = ¡рГ\>х, где Г-суммарная циркуляция вихрей.

Решение задачи об обтекании поступательным потоком кругового цилиндра позволяет решить задачу об обтекании произвольного профиля, если известно

к к

конформное отображение г = к£ + + + внешности контура в плоскости

комплексного переменного г на внешность круга радиуса Я в плоскости = £ + щ. Комплексный потенциал ч>(г(£)) будет иметь следующий вид:

С, 2 7П

Профили крыльев имеют обычно острую кромку. В этом случае при произвольно выбранном значении циркуляции скорость в острой кромке получится бесконечной и только при одном совершенно определенном значении Г скорость в острой кромке останется конечной. Вторым фундаментальным результатом Н.Е. Жуковского и С.А. Чаплыгина является правило для определения циркуляции скорости. Для выбора определённого значения циркуляции Н.Е. Жуковский и С.А. Чаплыгин указали на необходимость

удовлетворить требованию о конечности скорости у задней кромки крыла. Для контура с острой кромкой циркуляция определяется по следующей формуле:

Г = \п JcRq |vm I sin(#0 - a),

где Со = "е'9" ~ координата острой кромки в плоскости £, vM = |vw| • е'а.

Таким образом, сила сопротивления и подъёмная сила при обтекании плоской пластинки длины /, наклоненной под углом а к скорости потока, безграничным плоскопараллельным потоком идеальной несжимаемой жидкости равны

X = -npl\vx |2 sin2 а Y - npl ¡v^ |2 sin a cos а.

Приближенная теория обтекания крыла конечного размаха трехмерным установившимся потоком идеальной невесомой несжимаемой жидкостью была сформулирована как теория несущей поверхности. Главная трудность теории несущей поверхности заключается в необходимости удовлетворить условиям обтекания и плавного схода потока с задней кромки крыла.

Работы Н.Е. Кочина по теории круглого крыла являются значительными исследованиями в этой области. Кочин впервые в аэродинамических исследованиях применяет теорию двухзначного потенциала, когда два листа трехмерного пространства сопрягаются по круговому разрезу. Кочин строит функцию Грина и находит в замкнутом виде решение первой задачи теории крыла - определение поля скоростей и формы поверхности крыла по заданному распределению нагрузок по крылу при учете распределение вихрей вдоль поверхности крыла.

Для второй задачи - определение поля скоростей и аэродинамических характеристик крыла при заданной его форме - Н.Е. Кочин получает интегральное уравнение [27]. Эти же методы он применяет далее в случае гармонически колеблющегося крыла [28]. В работе [29] Кочин дает полное решение второй задачи теории крыла, доказывает сходимость применяемых им разложений и даёт простые формулы для аэродинамических сил и распределения

давлений. Были получены следующие выражения для аэродинамических сил, действующих на пластину:

X = 1,2589рагс2а\ У = 2,8118/за2с2«,

где р- плотность жидкости, а-проекция хорды крыла на горизонтальную ось,

с-скорость движения крыла, а-угол на