Движение двух вязких несмешивающихся жидкостей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ДЕНИСОВА Ирйна Владимировна

Движение двух вязких несмешивающихся жидкостей

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

2 9 MAP 2012

автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2012

005012919

005012919

Работа выполнена в Институте проблем машиноведения Российской академии наук(г. Санкт-Петербург).

Научный доктор физико-математических наук,

консультант: профессор Солонников Всеволод Алексеевич ( Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук).

Официальные член-корреспондент РАН, профессор оппоненты: Пухначёв Владислав Васильевич (Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН);

доктор физико-математических наук, профессор Пламеневский Борис Алексеевич (Санкт-Петербургский государственный университет);

доктор физико-математических наук, профессор Мейрманов Анварбек Мукатович (Белгородский государственный национальный исследовательский университет).

ведущая Московский государственный университет организация: им. М. в. Ломоносова.

Защита состоится « 26» апреля 2012 г. в 13 час. 00 мин. на заседании совета Д 212.232.49 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан «_»__ 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

д. ф.-м.н., профессор Архипова А. А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задача об эволюции двух вязких несмешиваю-щихся жидкостей с неизвестной поверхностью раздела принадлежит к интенсивно изучаемому в настоящее время классу задач со свободными границами, поскольку в ней наряду с векторным полем скоростей и другими характеристиками обоих жидкостей подлежит определению поверхность их раздела. Теория этих задач для уравнений Навье-Стокса насчитывает в своем развитии лишь около трёх-четырёх десятилетий, хотя их постановка восходит к классическим работам 19-ого века. Большинство авторов, работающих в этом направлении, рассматривает стационарные задачи, исследование которых опирается на теорию эллиптических краевых задач. Это относится и к задаче о движении конечного объема одной жидкости в другой.

Нестационарные задачи о движении жидкостей со свободными границами, более трудные для исследования, изучены в меньшей степени. Проблемой эволюции капли в вакууме много занимался В. А. Со-лонников. Он доказал локальную разрешимость этой задачи при произвольных гладких данных (вместе с И. Ш. МогилевскимШИ) и глобальную разрешимость для малых начальных данных в соболевских и гёльдеровских классах функций. Задачу о движении конечной массы сжимаемой жидкости В. А. Солонников рассматривал вместе с А. Та-ни^'. Они получили существование единственного решения этой проблемы в соболевских пространствах на малом промежутке времени.

Что касается двухфазной задачи, то для случая несжимаемых жидкостей модельные нестационарные задачи с заданными неподвиж-

'^Могилевский И. Ш., Солонников В. А., Разрешимость одной нскоэрцитивной начально-краевой задачи для системы Стокса в гёльдеровских классах функций, Z. Anal. Anwendungen 8 (1989), № 4, 329-347.

l2'Mogilevskii I. Sh., Solonnikov V. A., On the Solvability of an Evolution Free Boundary Problem for the Navier-Stokes Equations in Holder Spaces of Functions, Math. Prob. Relating to Navier-Stokes Equations, Ser. Adv. in Math. Appl. Sei., World Sei. Publ., 11 (1992) 105-181.

'3'Solonnikov V. A., Tani A., Free boundary задача for a viscous compressible flow with surface tension, in: C. Carathéodory: An Internat. Tribute, World Sei. (1991), 1270-1303.

ными границами раздела изучали В. Я. Ривкинд и Н. Б. Фридман (1973). В частности, ими было доказано существование обобщенного решения нелинейной нестационарной задачи с заданной неподвижной границей раздела двух жидкостей. В полной постановке эта задача впервые была рассмотрена в конце 80-х годов в ранних работах автора, например'4!. В них была установлена локальная однозначная разрешимость задачи в пространствах Соболева - Слободецкого как с учетом поверхностного натяжения, так и без него. Там использовалась техника вышеупомянутых работ для одной жидкости. Чуть позже, также на основе работ В. А. Солонникова, Н. ТанакаИ исследовал глобальную разрешимость задачи для малых данных вблизи положения равновесия в тех же пространствах. В гёльдеровских классах эта задача впервые рассматривается в данной диссертации.

Проблему о движении двух сжимаемых жидкостей в упрощённом случае изучал А. Тани в 80-х годах прошлого века. В общей постановке задача с неизвестной границей двух сред впервые исследуется в данной работе как для случая сжимаемых, так и для случая разнородных жидкостей.

Цель работы состоит в представлении общей картины гладкости решений задач для уравнений Навье-Стокса со свободной поверхностью и с неизвестной границей раздела двух сред. Для этого было проведено исследование разрешимости в пространствах Соболева -Слободецкого и Гёльдера различных задач, описывающих одновременное движение двух разных несмешивающихся жидкостей, и сравнение полученных результатов для жидкостей разных типов.

Методика исследования. В работе использованы идеи, берущие начало в работах О. А. Ладыженской по динамике вязкой жидкости, а также методы, разработанные В. А. Солонниковым для изучения движения конечного жидкого объёма в пустоте. Это переход к лагранжевым координатам, исследования линеаризованной задачи,

'4'Денисова И. В., Движение капли в потоке жидкости, Динамика сплошной среды, Новосибирск, СО АН СССР, 1989, 93/94, 32-37.

'5'Tanaka N., Global existence of two phase nonhomogeneous viscous incompressible fluid flow, Commun. Partial Diff. Equat., 18 (1, 2) (1993), 41-81.

построение оператора-регуляризатора для доказательства разрешимости линейной задачи, нахождение и оценка явного решения модельной задачи с плоской границей раздела после преобразования Фурье-Ланласа.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

Для двух несжимаемых жидкостей:

1) Существование глобального решения задачи в полной постановке при малых начальных данных как в случае отсутствия капиллярных сил, так и при их наличии.

2) Существование локального но времени единственного решения задачи в гёльдеровских пространствах со степенным весом на бесконечности, при этом интервал времени, на котором существует решение, зависит от данных задачи.

3) Однозначная разрешимость для линейной задачи с замкнутой границей раздела жидкостей на любом конечном интервале времени в обычных гёльдеровских классах функций.

4) Точные гёльдеровские оценки явного решения на бесконечном промежутке времени для линейной задачи с плоской границей раздела без учёта сил поверхностного натяжения.

5) Локальная однозначная разрешимость задачи термо-капилляр-ной конвекции для капли в ограниченной и неограниченной жидкой среде.

6) Существование единственного решения двухфазной задачи в ограниченной области в приближении Обербека-Буссинеска на малом интервале времени.

Для одной сжимаемой жидкости:

7) Существование локального но времени единственного решения задачи об эволюции жидкости, ограниченной замкнутой свободной поверхностью, в гёльдеровских классах функций.

8) Существование единственного решения линеаризованной задачи на любом конечном промежутке времени.

Для двух сжимаемых жидкостей:

9) Локальная однозначная разрешимость задачи о движении пу-

зырька в газообразной среде в пространствах Соболева - Слободецко-го и в пространствах Гёльдера со степенным весом на бесконечности.

10) Построение и оценка явного решения модельной задачи с плоской границей раздела в соболевских и гёльдеровских пространствах функций на бесконечном промежутке времени.

11) Локальная однозначная разрешимость задачи, моделирующей термо-капиллярную конвекцию для пузырька в сжимаемой среде.

Для двух разнородных жидкостей:

12) Однозначная разрешимость задачи об эволюции капли в газообразной среде, или пузырька в жидкости, на малом промежутке времени в пространствах Соболева - Слободецкого.

13) Существование решения для линеаризованной задачи на любом конечном промежутке времени.

14) Построение и оценка в соболевских пространствах явного решения модельной задачи с плоской границей раздела жидкости и газа на бесконечном промежутке времени.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её методы и результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения дифференциальных свойств решений задач о движении двух жидкостей, для исследования, например, устойчивости движения капли или пузырька в жидкой среде, а также для обоснования численных методов расчёта течений, встречающихся в аэродинамической, космической и других областях техники.

Апробация диссертации. Полученные результаты докладывались на Городском семинаре по математической физике им. В. И. Смирнова в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН, на семинарах в Институте проблем машиноведения РАН, на многочисленных международных и всероссийских конференциях: 8-ой, 9-ой и 10-ой Международных конференциях «Задачи со свободными границами: теория и приложения» (Чиба, Япония, 1999, Тренто, Италия, 2002 и Коимбра, Португалия, 2005), 3-ем Европейском математическом конгрессе (Барселона, 2000), конференции «Уравнения Навье-Стокса и смежные вопросы» (СПб, 2002); кон-

ференции «Нелинейные уравнения в частных производных и их приложения» (Хуангшан, Китай, 2001); "Trends in PDE of Mathematical Physics" (Обидош, Португалия, 2003); "Directions on PDE" (Феррара, Италия, 2003); 17-ой Крымской осенней школе-симпозиуме (Ба-тилиман, Украина, 2006); «Геометрические аспекты задач со свободными границами», (СПб, 2006); «Параболические уравнения и уравнения Навье-Стокса» (Бедлево, Польша, 2006, 2008 и 2010); "Fluid-interaction problems and related topics" (Прага, Чехия, 2007); конференции им. И. Г. Петровского «Диф. уравнения и смежные вопросы» (Москва, 2007); 3-ей Международной конференции, "Two-Phase System for Ground and Space Applications", (Брюссель, Бельгия, 2008); Российско-французском совещании по вопросам математической гидродинамики (Байкал, Россия, 2011) и др..

Работа была поддержана грантами РФФИ № 01-01-00330а, № 03-01-00638а, №05-01-00941а, №08-01-00372а, Фондом Дж. Сороса и Фондом гражданских исследований и развития США (CRDF), № RU-M1-2596-ST-04, DFG-Немецким фондом научных исследований, Комитетом Европейского математического общества «Задачи со свободными границами», а также грантом научной школы НШ-4210.2010.1.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 17 работах автора (5 из них в соавторстве). В совместной статье [3] с Солон-никовым В. А. схема доказательства принадлежит соавтору, который изучал разрешимость задачи о движении одной несжимаемой жидкости, ограниченной свободной поверхностью. Соискатель перенесла эту технику на всё пространство, заполненное двумя жидкостями, разделёнными неизвестной границей, при этом ей пришлось подбирать функциональные пространства с соответствующим степенным весом на бесконечности. В работе [7], совместной с Солонниковым В. А., построение решения принадлежит соавтору. Оценки гёльде-ровских норм полученного решения принадлежат соискателю. В [8] используется схема доказательства, аналогичная той, что предложил В. А. Солонников для изучения задачи о движении изолированной массы несжимаемой жидкости. Денисова И. В. адаптировала эту схему на случай сжимаемой жидкости, причём она получила дополни-

тельную гладкость решения по времени. В статье [14], совместной с Ш. Нечасовой, соавтору принадлежит участие в постановке задачи и оценке давления в параграфе 3, все остальные результаты принадлежат соискателю. В работе [15] (совм. с Солонниковым В. А.) Соавтору принадлежит идея построения функционала обобщённой энергии для получения экспоненциальной оценки решения через начальные данные. Соискатель построила конкретный функционал и получила его оценки. На этой основе ею доказано существование глобального решения задачи в гёльдеровских пространствах с предельной гладкостью по времени.

Список публикаций автора приведён в конце основного текста.

Объём и структура диссертации: Диссертация объёмом 333 страницы машинописного текста состоит из введения и трёх частей, которые разбиты на 16 параграфов. Библиография содержит 89 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении приведён обзор литературы, связанной с диссертацией по предмету или методу исследования, и сформулированы основные результаты.

В части I изучается задача о движении двух несжимаемых жидкостей, где получено существование локального по времени единственного решения этой задачи в гёльдеровских пространствах со степенным весом на бесконечности [3, 16]. При условии малости начальных данных мы доказываем существование глобального решения в случае, когда жидкости заключены в контейнер [12, 15]. Кроме того, в конце этой части рассматриваются задачи с учётом температурных зависимостей [10, 14].

Сформулируем задачу для двухфазной жидкости в полной её математической постановке.

Пусть в начальный момент времени 2 = 0 жидкость с вязкостью > 0 и плотностью р+ > 0 занимает ограниченную область Ид С М3, а жидкость с вязкостью > 0 и плотностью р~ > 0 находится в области , окружающей . Обозначим <90ц через Го- Граница 5 = и Г0 и Пд) - заданная замкнутая поверхность, где выполняются условия прилипания, 5 П Го = 0. Она может отсутствовать. Тогда на бесконечности ставятся условия убывания.

Пусть 8 отсутствует. При Ь > О необходимо найти границу раздела Г( между областями и а также поле скоростей и(х, 1) = (г»1, У2, «з), функцию р, отклонение от гидростатического давления Ро, для обеих жидкостей, которые удовлетворяют следующей начально-краевой задаче:

2?*« + (« • V)« - ь^У+ = У-и = 0 вП±, £>0, v\t=o = vo в П^иЦ}", V-»О, Р->0, (1.1)

|х|—Юо |х|—>оо

[и]|г( = Нт ь(х) - Нт ь(х) = О, [Тп]|г4 = аНп.

х->х0£Г ь, гг-ИоСГ^,

(Если 5 присутствует, то и|5 = 0.) Здесь = д/дЬ, V = (д/дх1, <9/<9x2, д/дхз), , р± - ступенчатые функции вязкости и плотности, соответственно, f - заданное ноле массовых сил, и о - начальное распре-

деление скоростей, тензор напряжений задаётся формулой Т(г,р) = - это удвоенный тензор скоростей деформации с элементами (§(и))^ = дьг/дхк + дук/дх^, г, к = 1,2,3; I - это единичная матрица; ц^ = а ^ 0 - коэффициент поверхностного натяжения, п - внешняя нормаль к Н - удвоенная средняя кривизна Г г (Н < 0 в точках выпуклости Гг в сторону Мы предполагаем, что в К3 введена декартовая система координат {х}. Точка означает декартово скалярное произведение.

Кроме того, относительно поверхности раздела предполагается, что на ней находятся все время одни и те же частицы жидкости. С помощью этого предположения исключается возможность переноса массы через поверхность IV Аналитически это записывается так: Гг состоит из таких точек соответствующий радиус-вектор кото-

рых ¿) является решением задачи Коши

Vtx = v{x{t),t), ®|*=0 = €, £ € Г0, £ > 0, (1.2)

где Го = ЗГ^о" — заданная в начальный момент поверхность. Значит, Г* = МбО! £ € Го}, = £ €

Перейдём от эйлеровых координат к лагранжевым по формуле

х = £+ [ и(£,т)йт = Хи(£,Ь) (1.3)

(здесь - поле скоростей в лагранжевых координатах) и вос-

пользуемся хорошо известным соотношением

Нп = Д(£)ж, (1.4)

где Д(£) обозначает оператор Бельтрами-Лапласа на Г(. В результате мы придём к задаче для и, ц = р(Хи,{) с заданной поверхностью Г = Го. Если угол между п и внешней нормалью по к Г острый, то полученная система эквивалентна следующей:

- + = f(Xu,t),

Р±

Уи-<и = 0 в <2± = С1±х(0 ,Т),

£=о = г^о в ^о и->0, д->-0,

[«]|ог=0, [^И0ти(и)п}\ст=0 (От = Тх (0,Г)),

[по • Ти(гл, - &п0 ■ ат = 0.

(1.5)

Здесь мы использовали следующие обозначения: = АV, А -матрица алгебраических дополнений Ац к элементам = 8\ +

/о якобиевой матрицы преобразования (1.3), вектор п связан

с по соотношением п = Апо/|Апо|; Пш = ш — п(п ■ ш), П0и; = ш — По(щ ' ~~ проекции вектора ш на касательные плоскости к Г( и к Г, соответственно; Ти(ю,д) = —д! +/¿^„(ги), (§и(ю))у =

+ ^кщ^, = 1,2,3. Мы подразумеваем суммирование от 1 до 3 но повторяющимся индексам.

Сформулируем теорему о локальной однозначной разрешимости задачи (1.5), полагая £>т = фр и Я= Е3 х (0,Т).

Теорема 1.1. Предположим, что для некоторых а, 7 £ (0,1), 7 ^ а

1±т1\та>з\ е и П+),

и Т < оо Г € С3+а, f,Vxf € С2а' ' ад, «о с функция а € С1+а(Т), а(х) > 0 для ж £ Г. Пусть, кроме того, выполнены условия согласования

V • ио = 0, М|г = 0, [/х±По§(г;о)по]|г = 0, [По^У^о -

(1.6)

= 0,

где функция до(£) = <?(£, 0) является решением задачи дифракции

= + (1.7)

р±

[до][г = ■ По - аЩ,

—гддо/дпо = [г/±п0 • У2и0]|г-

(Здесь В* - матрица, транспонированная кВ = А — I, I- единичная матрица, а Но(£) = щ ■ Д(0)£ - удвоенная средняя кривизна поверхности Г.)

При этих условиях задача (1.5) однозначно разрешима на некотором конечном интервале времени (0, Го), Го ^ Г, величина которого зависит от норм f, г?о и от кривизны поверхности Г. Решение (и,д) таково, что и € С^'1+а/2(ВТо), Ч € С{^1+а\оТо), VqeC^f(DTo).

Здесь мы использовали обозначение С^^2(Дт) для анизотропного гёльдеровского пространства с гладкостью функций порядка ¡3 по х и /3/2 по t со степенным весом |ж|1+7 на бесконечности (более подробное определение этих пространств см. в [3]). В заключении теоремы утверждается, что вектор скорости со своими первыми и вторыми производными и градиент давления вместе с их константами Гёль-дера соответствующего порядка убывают на бесконечности по пространственным переменным, как а сама функция давления — только, как |ж|-1.

Исследование задачи (1.5) основано на изучении её линеаризации на заданном векторе и:

, 2 1

Дги - г/^У^го + —гУцв = /, - го = г в £>т,

Р±

ги^=о = «>о, ги-»0, в->0, (1.8)

1£|->оо

И1ст = о, [^ПоШ^п]^ = П0а,

[гг0-Ти(гу,5)п]|С:Г-агг0-Д(0 / юсН/\ат = Ь+ [ Вв£.

J о J о

Теорема 1.2. Допустим, что для некоторых а,7 6 (0,1), 7 ^ а, 0 < Г < оо, поверхность Г € С2+а, функция а € С1+а(Г), а ^ а0 > 0, а вектор и е (Г>г)5 [м]|ст = 0, подчиняется неравенству

(г+г^н;2^1^ <5

с достаточно малым 6 > 0.

Предположим, кроме того, что выполнены четыре группы условий:

1) / € СЗД^Дг), г €

1+а,^

4+7

'(От), го0 € иО±), а 6

2) V ■ = г(€,0) = 0, М1г = 0, [/х±По§(«;о(е))гго] кег = П0а(£, 0), £ £ Г,

[п0(д£,о) - + 1/±у2«70(о)]|€£Г = о;

3) существуют, вектор д € и тензор & =

С,-* 6 (Дт) П С^(ПТ) такие, что имеют место представ-

ления

Vtr-Vu■f = V■g, д = (я = ¿ = 1,2,3),

(эти равенства понимаются в обобщённом смысле) и, помимо того,

[(д + А*/)-п0]|ст=0;

4) 50(0 = 5(£>0) является решением задачи

-^:V2so(e) = V•(I>tB*|t=otl^o(0-fl(CJ0)) в ГГ 1Ш+, Р±

Ы|г =

О ±дг»0

2/х —— • по

Ь\г=о,

Г 1

.р± дп<)

дп0

= [по-(/|4=О + ^21«О)]|г.

При этих предположениях задача (1.8) имеет единственное решение

(7,1+а)/т-. \ -тт. ,-

(™,5), т € С^'М^т), 5 € С}™(£г), V* € С^ДОг). Дл*

■,2+а,1+| '1+7

него верно неравенство

,(2+а,1+а/2) т2)

Г1+™—г >

1^1+7,£>4, + 1У511+7,£>(, + НмА,

^ /ЛПлК) , I |(1+а'1;22) , I |(2+а) ,

++++1 ъмг'+^

|(7,0)

.(7,1+а)

+ \ъ\с„ +1<;5) + + (У«!!^)!^!^},

где I = ( /л(Т'1+0') : /А^1^)

гае МКъЯт ~ ^'1+7,От + " '<,1,От '

С1(£') - неубывающая функция ^ Т, У г = ЩУ.

Техника доказательства теоремы 1.2 основана на методе последовательных приближений и на коэрцитивных оценках для линейной задачи:

- ^Ат + -^Ур = /, У ■ V = г в ГГ и г > О, и|4=о = г;о в г>->-0,

Иг = 0, ^ПоБпЦг = Ь, ь-п = 0, (1.9)

¡■г

• Тп] | - ап ■ [ АгьМ = Ь' + а [ ВЫ',

где f,r,Ь,b',B,vо — заданные функции.

Специфика задачи (1.9) заключается в наличии интегрального члена <тп • /0 Дгис1//. При а > 0 эта задача некоэрцитивна, поскольку в последнем краевом условии присутствуют два члена разных порядков, ни один из которых не может быть рассмотрен как старший по отношению к другому. Доказательство разрешимости тем не менее проводится методом построения регуляризатора на основе априорных оценок и существования решения задачи с плоской границей, как и для линейных параболических уравнений. Поэтому в §2 мы анализируем модельную задачу (1.9), где поверхностью раздела жидкостей является плоскость {х3 = 0} [2]. Знак коэффициента а при этом играет существенную роль: при ст < 0 оценки, полученные в п.2.5, становятся невозможными. Основой доказательства служат теоремы о мультипликаторах Фурье в пространствах Гёльдера. В §3 мы изучаем модельную задачу с плоской границей раздела при а = 0 [11].

Задача (1.9) с замкнутой границей раздела рассматривается в §4. Там доказывается её разрешимость для любого конечного промежутка времени в гёльдеровских классах функций [1]. Далее, в §5,

проводятся оценки для линейной и линеаризованной задач в весовых пространствах Гёльдера [3].

В §5.4 мы доказываем локальную но времени однозначную разрешимость задачи (1.5). На этом основании удаётся получить глобальную разрешимость для малых начальных данных как при отсутствии поверхностного натяжения (§6) [12], так и при его наличии (§7) [15].

Теорема 1.3. Пусть a,j G (0,1). Предположим, что Г G С2+а и v0 € .

согласования (1.6) и

vq <Е С2+а(й0 иПц )> fi^f е Са'1+2 7(<2оо) удовлетворяют условиям

wo|.„ = 0, IIs(/(£,0) - ^:Vpo(0 + о(о)

= 0,

tes

где ро = р(£,0) - это решение задачи дифракции (1.7) с а = 0 и 1 др0

р- dns

= ns-{v-V2v0 + f\t=0)

(Здесь П^Ь = Ь — ns(ns • b), ns - внешняя нормаль к S.)

Кроме того, допустим, что данные достаточно малы, т.е.

( 1 + г* — -у\ fOO

+ 2 + IWIg. + Jo ||/||MQ)d^£«l.

Тогда при о = 0 задача (1.1) в ограниченной области с = 0 однозначно разрешима на всей положительной полуоси t > 0, а решение (v,p) обладает свойствами: v е С2+а'1+а/2, р 6 Vp € С"'а/2, при этом граница - из класса С2+а. Это означает, что любом to € (0, оо) решение (и, q) и его производные в лагран-жевых координатах лежат в соответствующих пространствах от t0+r) ^ля достаточно малого временного интервала (¿о, ¿о + т).

При достаточно малой начальной скорости и малом отличии начальной поверхности от сферы мы доказываем в §7 однозначную разрешимость задачи (1.1), (1.2) и при а > 0 для всех t > 0. Мы показываем с помощью равномерной экспоненциальной оценки решения,

что скорость капли в жидкости стремится к нулю, давление - к ступенчатой функции, а её форма - к шару определённого радиуса.

Итак, будем считать, что ííg близка к шару Br0, объём которого равен её объёму. Для удобства оценок решения введём новую функцию давления: р\ = р в Clf и pi = р + ст-щ в Г1г~, при этом в системе (1.1) изменится только последнее краевое условие:

[T(v,Pl)n]\Vt = a(H + ^Jn. (1.10)

Теорема 1.4. Пусть выполнены условия теоремы 1.3 с до =í>i(£>0) и пусть при t = 0 Г е С3+а задаётся уравнением

на единичной сфере S\. Предположим, кроме того, что начальные данные достаточно малы, т. е.

'Ч^ + мГ'

где г0{х/|х|) = R(x/\x\,0) - R0, R0~ радиус шара BRo: = АтгЩ/З.

Тогда задача (1.1), (1.10), (1.2) в ограниченной области с = 0 однозначно разрешима на всей положительной полуоси t > 0, а решение (v,pi) обладает свойствами: v € C2+a'l+a/2, pi е Wpi £ са'а12, при этом граница Г4 задаётся при каждом t функцией R(-,t) класса С3+а:

(где h(t) — положение центра тяжести flf в момент времени t), и стремится к сфере радиуса Rq с центром в некоторой точке hoo, а давление определяется с точностью до ограниченной функции времени. Это означает, что при любом ¿o G (0, оо) решение (и, q) и его производные в лагранжевых координатах лежат в соответствующих пространствах от t0+T) = UQfto ío+r) для достаточно малого времетюго интервала (¿o, ¿о + т). Помимо того, имеет место

оценка

I ,(2+а,1+а/2) |V |(o,a/2) . ,(-y,l+a) ,, .ч,(3+а)

I^W, + IVilO(i0i(0+r) + MO(t0it0+T) + te(sup^ |r( , i)|Sl

< ce-^M^i' + ko|g+a)}, (1.11)

где r(w, i) = Л(ш, f) - R0, и E S\.

Из этой теоремы следует вывод об единственности тривиального решения в случае, когда отсутствует начальная скорость, а начальная поверхность раздела жидкостей совпадает со сферой. Имеет место и устойчивость этого решения в том смысле, что при малых отклонениях начальных данных от нулевых решение будет мало отличаться от нуля. Тем не менее центр предельной сферы Sr0(h,x) может быть смещён относительно исходного центра тяжести даже при сколь угодно малых начальных скоростях vq. Неравенство (1.11) даёт возможность оценить сверху необходимое начальное расстояние между внешней поверхностью и границей раздела жидкостей.

В последних параграфах этой части мы рассматриваем движение двух жидкостей с учётом температурного фактора. Сначала мы допускаем зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры (§8). Опираясь на результаты §§2, 4, 5, мы получаем локальную однозначную разрешимость задачи в классах Гёльдера [10], при этом развивается техника М. В. Лагуновой и В. А. Солоннико-ва(61, разработанная ими для изучения эффекта термо-капиллярной конвекции для капли в вакууме. Для двух жидкостей формулировка задачи характеризуется тем, что при более точном, по сравнению с одной жидкостью, описании влияния температуры на поверхностное натяжение в краевых условиях появляются новые члены, которые надо дополнительно оценивать. Заметим также, что результаты по разрешимости задачи без учёта температуры, полученные для всего 1R3 в весовых пространствах (§5), позволяют нам доказать существование

'6'Lagunova М. V., Solonnikov V. A., Nonstationary problem of thermo-capillary convection, Ленинградское отделение Математического института (ЛОМИ), препринт Е-13-89, Ленинград 1989, 28 с.

единственного решения и для задачи термо-капиллярной конвекции во всём пространстве, когда начальная скорость жидкостей убывает, а функция температуры стремится к константе при |ж| —» оо (§8.4), при этом поведение решения на бесконечности будет совпадать с поведением начальных данных.

Пусть при £ = О Г - заданная замкнутая поверхность. При > О нужно найти границу Г4 между областями и , вектор скорости = (г>1, иг,^з), функцию давления р и функцию температуры в для обеих жидкостей, удовлетворяющих следующей системе:

+ (V ■ V)« - ^У2« + -^г\7р = /, V • V = О, Vt6 + (v^V)0-kíV26 = 0 в £>0,

v\t=0 = vo, 9\г=0 = Оо в По1^, (1.12)

МЬ=0, [0]|Г«=О, в —

\х —Уоо X —>оо

дп

+ нвУг, ■ V = 0 на Г*.

г(

Здесь f - заданный вектор массовых сил, Уо, во - начальные распределения скорости и температуры, а (в) = о\ — н(() — $1) > 0 , - положительные постоянные, - ступенчатая функция теплопроводности. Как и раньше, мы предполагаем выполнение (1.2).

Теорема 1.5. Допустим, что Г £ С3+а, f,Dxf е С%'{а+£)/2 (Ш3 х

(о,г)), «„ е 0О е с?+*(По ипЛ» * е с3+а(ш+), а >

сто > 0, с некоторыми а € (0,1), 7 ^ а, е € (0,1 — а), Т < оо. Кроме того, пусть выполнены условия согласования

У-и0 = 0, Ы|г = 0, v0->0, 0о-—[0о]|г = О,

»ОО \х\—¥<Х

[/2±По§(г?о)по] |Г = ПоУ<т(0о), [По^УЧ -^?о)]|г = 0,

[^У20о]|г = О,

Р

+ х0о(ПоУ) -уо = 0 на Г,

дпо

где до{0 = <?(£, 0) - решение задачи дифракции (1.7) с а = сг(во)-

Тогда существует положительное число То ^ Т такое, что задача (1.12) , (1.2) в лагранжевых координатах имеет единственное решение (и, д,0) со свойствами: и £ <7 £

С^1+а\вТо) V? е С^2(ВТо),в - боо е С2^Л+а/2(0То). Значение То зависит от норм заданных функций и от кривизны Г.

Далее, в 9-ом параграфе изучается движение двух жидкостей с учётом температурной зависимости массовых сил в приближении Обербека-Буссинеска, при этом используется материал статьи [14]. Жидкости занимают ограниченный объём с твёрдой границей 5, 5 П Г = 0. На границе раздела Г( учитывается сила поверхностного натяжения.

При £ > 0 необходимо найти границу раздела Г{ между областями и а также поле скоростей г>(х,£) = (г>1, г^, г>з), функцию р, отклонение от гидростатического давления Ро, и функцию в', отклонение от среднего значения температуры, для обеих жидкостей, которые удовлетворяют следующей начально-краевой задаче:

+ (V ■ V)« - v±V2v + — Ур = f(x, ¿) - ^дв', V • V = О,

2 ?

25*0' + {V • У)0' - к^в' = 0 в £>0,

«|г=о = г>о, 0'к=о = 0о в ПоиПо. (1ЛЗ)

М|Г{=0, [Тп]|ге = аНп, «|5 = 0, 0'|<? = а,

дп

= 0 наГ4.

г4

Здесь мы использовали обозначения, введённые в задачах (1.1) и (1.12), кроме того, >0 — ступенчатая функция коэффициента температурного расширения, д = д(0, 0,1), где д - ускорение свободного падения, а - заданная температура на поверхности Я, во - начальное распределение температуры. Замыкает задачу (1.13) условие (1.2).

Результатом исследования (1.13), (1.2) является локальная по времени разрешимость задачи в гёльдеровских классах функций. Основой доказательства служит теорема существования, аналогичная теореме 1.2, для задачи (1.8) в ограниченной области.

В части II исследуются задачи о движении одной, а также двух сжимаемых жидкостей и доказывается их локальная однозначная разрешимость. В последнем параграфе изучается модельная задача для термо-капиллярной конвекции в случае двух сжимаемых жидкостей.

В 11-ом параграфе мы рассматриваем задачу о движении в вакууме конечного объёма сжимаемой жидкости, ограниченной свободной поверхностью. Жидкость, как и прежде, считается баротропной, на свободной поверхности учитываются силы поверхностного натяжения. Мы доказываем локальную однозначную разрешимость этой задачи в гёльдеровских классах функций. Этот материал опубликован в [7], где доказана разрешимость линейной задачи в полупространстве на любом конечном интервале времени, и в [8], где рассмотрена задача с замкнутой свободной границей. Аналогичный результат в соболевских пространствах был получен В. А. Солонниковым и А. Тани.

Пусть при t = 0 жидкость заполняет известную область il С Е'3. Через Г обозначим границу этой области dil. Для t > 0 нужно найти свободную границу Г4 = dQt, поле скоростей v(x, t) = (г»1,г>2,из) и функцию плотности р(х, t) > О жидкости, удовлетворяющие начально - краевой задаче для системы Навье - Стокса:

p(Vtv + (v ■ V)v) - V • T = pf,

Vtp + V-(pv) = 0 в nt, t > 0, (2.1)

v|t=o = и0(ж), p|i=0 = po{x), x eil,

Tn|rt = aHn — pen наГ(, (2.2)

где тензор напряжений задаётся формулой

Т = (~р(р) + M'V • v)I + fjS(v),

a S - это удвоенный тензор скоростей деформации; р, р! - коэффициенты динамических вязкостей; р(р) — давление жидкости, заданное известной гладкой функцией плотности; f — заданное поле внешних сил, ре = pe(x,t) — функция внешнего давления при х G M3, t > 0, ра и vq начальные значения нлотности и скорости жидкости, п вектор внешней нормали к üt, а ^ 0 коэффициент поверхностного натяже-

ния; Н(х, t) — удвоенная средняя кривизна поверхности Гг. Запись

ЭТ■ ■

V • Т обозначает вектор с компонентами (V • T)j = , j = 1, 2,3.

Чтобы исключить потерю массы через свободную границу, предположим, что Гt состоит из точек x(£,t), удовлетворяющих задаче (1.2). Это условие позволяет нам избавиться от неизвестной границы путём перехода от эйлеровых координат {х} к лагранжевым {£} согласно формуле (1.3), точно так же, как это было сделано в части I. Только теперь якобиан преобразования (1.3) </«(£, i) = det{%}fJ=1 не равен единице:

MS,t) = 1+ í AV-ndr. Jo

Для функций плотности р и скорости и в лагранжевых координатах мы получаем задачу, где можно проинтегрировать уравнение для плотности. В результате имеем:

ЯЫ) =Ро(£)<Яф(- J Vu-Udr)

где Vu = = J~lAV. Мы подставляем это выражение

во второе уравнение в системе, пользуемся формулой для удвоенной средней кривизны поверхности (1.4), проектируем затем последнее краевое условие в (2.2) на касательную плоскость сначала к а затем - к Г. В результате мы получим начально-краевую задачу относительно одной неизвестной функции - скорости и, которая эквивалентна (2.1), (2.2), (1.2) при п-п0 > 0:

Vtu - ро H0AV • Ги(и) = / - ро'(OAVpípqJ-1) в О, t > 0,

u\t=o = VQ, /Л10П§и(и)п|г = о, (2.3)

п0 ■ T^(u)n|r - ano • A(¿)-X"u|r = (п0 ■ n){p(pQj~l) - ре(Хи, ¿)}|г-

Здесь T^(íd) = (/x'V„ • w)I + p§u(w).

Сформулируем теорему существования для системы (2.3) в пространствах Гёльдера. Положим Mf, = М3 х (0, Т), М+ = {х е R|x > 0}.

Теорема 2.1. Предположим, что при а € (0,1) и Т < оо поверхность Г € С3+а, начальная плотность ро € С1+се(Г2), ро(С) ^ го > О, константа а ^ 0, г?о € С2+а(£1), f,Vxf е давление

р £ С3(К+), а внешнее давление Ре^хРе £ Пусть,

кроме того, выполнено условие согласования:

- р(ро)п0 + /х'(У • г>о)по + /х5(г»о)гго|г = <?Нп0 - реп0\ь=о-

Тогда на интервале (0, То), То ^ Т задача (2.3) имеет единственное решение и £ С2+а'1+а/2 (С}т0) ■ Величина То зависит от норм f,VQ,p,pe,pQ и от кривизны Г.

Замечание 2.1. Теорема 2.1 остаётся справедливой, если а - неотрицательная функция класса С1+а(Г).

Кроме того, в этой части мы рассматриваем задачу об одновременной эволюции двух сжимаемых капиллярных баротропных жидкостей, заполняющих всё пространство К3. В параграфе 10 мы доказываем локальную однозначную разрешимость этой задачи в пространствах Соболева - Слободецкого [17, 4], а в 12-ом параграфе -в весовых гёльдеровских классах функций [9]. И, наконец, в §13 мы изучаем проблему, аналогичную задаче (1.12) для несжимаемых жидкостей [13]. Эта задача моделирует эффект Марангони для двух слабо сжимаемых жидкостей. Полная постановка задачи термо-капиллярной конвекции для сжимаемой жидкости очень сложна.

Предположим, что в начальный момент времени Ь = 0 в ограниченной области Г2д находится жидкость с динамическими вязкостями > 0, А4" = а во "внешней области" = М3 \ нахо-

дится жидкость с динамическими вязкостями > 0, А~ = /3 // . При Ь > 0 нужно найти свободную поверхность раздела жидкостей Г( = а также их плотность р(х, £) > 0 и поле скоростей у(х, ¿) = (г>1, г!2,«з), удовлетворяющие начально-краевой задаче для системы Навье — Стокса

Vtp + V■ (рь) = 0, р^ь + (щ • V)«)-V■T = pfвn^^Jat,t> О, рк=о = ро(х), «|е=о = ,«о(®)вПо иЦ}", г> ——>0, р-—>р^, (2.4)

[и]|Г( = 0, [Тп] |г( = <у Нп на Гг,

где Т = (-р(р) + A±V • u)I + - тензор напряжений, /г^, Л^

ступенчатые функции динамических вязкостей, равные ¡i+, А+ в Qf и ¡Г, в соответственно; р(р) — давление жидкостей, заданное известной гладкой функцией нлотности; / - заданное поле внешних сил, ро и vo - начальные распределения плотности и скорости жидкостей, рж > 0 - заданное значение плотности на бесконечности, п -вектор внешней нормали к а ^ О коэффициент поверхностного натяжения; H(x,t) — удвоенная средняя кривизна поверхности IV

Замыкает систему (2.4) кинематическое условие (1.2) на границе

rt.

На протяжении всей второй части мы предполагаем, что для вяз-костей жидкостей выполнены следующие неравенства:

^ < 2рГ, 0 < ß± ^ 1. (2.5)

На самом деле, полученные результаты будут верны и при более широких предположениях, в частности, при — 1 ^ ß^ < 0. Однако физический смысл вторых вязкостей А^, которые должны быть неотрицательными, заставляет нас ограничиться условиями (2.5).

После перехода к лагранжевым координатам и тех же преобразований, что мы проводили для одной жидкости, получаем задачу, аналогичную (2.3). Для этой задачи верна локальная теорема существования.

Теорема 2.2. Допустим,что при некотором I G (1/2,1) Г € Wl/W, Po-Poo е W21+i(Ufi*), Po(£) ^ Ro > 0; P € С3(М+); кроме того, f{-,t) gC2(M3) дляШ G [0,7], /(£,-), V/(£,-) € С"(0,Т) Элл V^ GM3 при некотором ß G (1/2,1), vq G W21+i(fi*); [г>о]|г = 0, и выполнено условие согласования

[~р{ро)п0 + A^V ■ v0)n0 + /i±S(üo)no]|Cgr = aHn0\t=Q.

Тогда существует То G (0, Т\ такое, что задача, аналогичная (2.3) для двух жидкостей, однозначно разрешима на промежутке (0,Го) и её решение и G (Дд,), при этом величина То за-

висит от норм f, Vq, ро и от кривизны поверхности Г.

Эта теорема доказывается методом последовательных приближений на основе существования и оценок решения линеаризованной задачи

0tto-po1(OAV-T/tt(u>) = / BDr = Q-UQ+,

to I = w0 в ГГ U w —>• 0, (2.6)

N|Gr = 0, [fJ^ПоП§„(гв)n]|Gt = П0а, (GT = Г x (0,T)),

[no • T^(tu)n]L — ano ■ A(i) f wdrL = b +a f Bdr, t€(0,T).

Jo Jo

Сформулируем теперь основной результат для (2.6). Для этого нам нужны будут нормы, квадраты которых определяются формулами

{\\u\ffj2)f = \\и\\1,1/2(Пт)+Т~%\\1т,

+T~l I \\Vtu\\lT + ^ \\V"ufDT i +sup|K,i)||^1+l(u.ni).

I |a|=2 J ^Т

Заметим, что норма эквивалентна IMI^m/s^^ при I < 1

и при VT < оо.

Теорема 2.3. Предположим, что Г G

wZ/2+1

, РО - Poo 6 W21+'(Uii±)

при I € (1/2,1), po(£) ^ Ro > 0, Poo > 0. Кроме того, пусть для Т < оо вектор и непрерывен при переходе через границу Г и удовлетворяет неравенству

Г1/2|МСД+'/2) ^ (2-7)

с некоторым малым числом <5.

Тогда для любых f € W^l/2(DT), а € Wl2+llnl2+l/\GT), w0 е W21+'(Uin beWl2+l,2'l/2+1/\GT) и BeW^1/2'l/2'm{GT), подчиняющихся условиям согласования

[и>о]|г = 0, [^±П0§(ги0)^о]|г = noa|i=0, [п0 • Т'(го0)п0]|г = 6|i=0,

задача (2.6) однозначно разрешима в пространстве и для её решения го верна оценка

чСд+|) ^c2(T){\\f\\($ + |Mwi+.(un±) + IMI l+u+i

2

+ \\b[\ ,,1 1,1 J 1 1_1 }

(Gr)

с неубывающей функцией С2(Т).

Доказательство теоремы 2.2 опирается на явное решение модельной задачи с плоской границей раздела жидкостей, которое мы строим и оцениваем в поднараграфах § 10.2 и 10.3. Далее, разрешимость линеаризованной задачи (2.6) может быть доказана методом последовательных приближений, причём схема доказательства та же, что и для двух разнородных жидкостей. Она рассмотрена в § 16.

В параграфе 12 мы снова обратимся к задаче (2.4). Используя технику предыдущего параграфа, мы докажем локальную разрешимость задачи, аналогичной (2.3) для двух жидкостей, в весовых гёль-деровских классах функций.

Теорема 2.4. Допустим, что для «£ (0,1),7>0и0<Т<оо поверхность Г е С3+а, а ро-рос € Й1 ^ Ро(0 > #0 > 0,

Роо > 0, р € С3(М+), f,Vxf € vo G C2+a(ÜÖ U

а € С1+а(Г), а(х) ^ ао > 0 при х € Г. Кроме того, пусть динамические вязкости и константы R\, Rq удовлетворяют неравенствам (2.5) и R\ ^ 2Rq. Предположим также, что выполнены условия согласования

Mir = 0, [pöL(OV • T(v0, Д))] |г = °> ПГ(«0,Л))гао]|г = *Н0п0.

Здесь Hq{£) = по-Д(0)£ - удвоенная средняя кривизна поверхности Г.

Тогда задача, аналогичная (2.3) для двух жидкостей, однозначно разрешима на некотором конечном интервале (0,7о), То ^Т , длина которого зависит от норм f, vo,p,po и от кривизны Г. Решение и<ЕСу (Дгц)-

Эта теорема доказывается на основании теоремы Банаха, при этом задача, аналогичная (2.3) для двух жидкостей, рассматривается как возмущение линейных систем (2.6) с вектором и = 0, существование решения которых устанавливается путём построения регуля-ризатора, в то время как единственность следует из коэрцитивных априорных оценок, полученных по методу Шаудера. Доказательство, как всегда, начинается с оценок решения модельной задачи (§12.2 и §12.3).

Третья часть посвящена исследованию задачи о движении двух разнородных жидкостей, при этом сжимаемая жидкость может быть как внутри, так и снаружи несжимаемой. Изучение задач такого типа интересно, во-первых, с точки зрения чистой математики, так как они занимают промежуточное положение между задачами об эволюции жидкостей одного типа. Для модельной задачи с плоской границей раздела жидкостей даже возможно сделать предельный переход в уравнениях и в формулах для решения от сжимаемой к несжимаемой жидкости. Во-вторых, эта задача возникает из многих физических явлений. Эволюция пузырька в несжимаемой жидкости появляется, например, в случае впрыскивания газа в воду, или после взрыва в океане, или после извержения вулкана на морском дне. Другой пример физической интерпретации нашей задачи может дать присутствие множества маленьких пузырьков в большом объёме жидкости, когда расстояния между ними много больше их размеров. Тогда мы тоже можем рассматривать это локально как отдельное движение одного пузырька в бесконечной жидкой среде. Аналогичная ситуация возникает при появлении капель в газе.

К сожалению, мы получаем наши результаты при некоторых ограничениях на коэффициенты вязкости жидкостей, которые возникают из математических соображений и реализуются для жидкостей со слабой вязкостью.

Материал данной части опубликован в [5, 6]. Как и в предыдущих частях, мы изучаем задачу о движении двух различных жидкостей в полной постановке. Главный результат - это локальная однозначная разрешимость задачи в пространствах Соболева - Слободецкого (§ 14). Существенное отличие в доказательстве существования реше-

ния задачи содержится в анализе линейной модельной задачи с плоской границей раздела между жидкостями, поэтому в §15.1 мы подробно разбираем однородную модельную задачу, получаем для неё явное решение в пространстве образов Фурье-Лапласа, выводим оценки для него, а в §15.2 анализируем неоднородную задачу. В 16-ом параграфе мы кратко приводим доказательство разрешимости нелинейной задачи.

Итак, рассмотрим, для определённости, случай, когда в начальный момент £ = 0 сжимаемая жидкость находится внутри ограниченной области Пд С К3. Пусть > О, А+ > 0 - динамические вязкости. Допустим, что внешняя область Пд = М3 \ занята несжимаемой жидкостью с кинематической вязкостью > 0 и плотностью р~ > 0. Мы предполагаем сжимаемую жидкость баротропной.

При Ь > 0, нужно определить поверхность между областями и найти функцию плотности р+(х,Ь) > 0 сжимаемой жидкости, функцию давления р~(х, I) несжимаемой жидкости, а также поле скоростей для обеих жидкостей v(x, ¿) = (г>1, г>2, из), удовлетворяющие начально-краевой задаче для системы Навье-Стокса:

р+(Х>*« + (г>- V)«)- Ч-Т(у,р) = p+f,

Т)гр++ У ■ (р+т) = 0 в ¿>0,

Vtv + {v■V)v-^:V■T{v,p) = f, = 0 в ПГ, * > 0, Р

Р+|(=о = Ро> г;1<=о = ио В Ц}", (3.1)

^|<=о = г;о в По; V-->-0, р~ ——>0;

|х|—>оо |х|—юо

М|Г( = 0, [Т(»,р)п]|Г4 =аНп на Г<, ¿>0. (3.2)

Здесь тензор напряжений задаётся формулой

т(ь ) = /(- + АУ ' ^ + ^^ В

рГ = р~\ р+(р+) давление сжимаемой жидкости, задаваемое гладкой функцией плотности; / - заданное поле внешних сил; vo - началь-

ное поле скоростей; - начальное распределение плотности сжимаемой жидкости; сг ^ 0 - коэффициент поверхностного натяжения и т. д. Мы сохраняем предыдущие обозначения.

Пусть В,1 - это шар {х : |ж| < d). Выберем координатную систему {ж} так, чтобы область содержала Bd, d < оо, и положим B¿T = (БДО+)х(0,Г).

Теорема 3.1. Предположим, что для некоторого 1 G (1/2,1) поверхность Г е Wl'2+l, а € 0 < До ^ pj(0 < Roo < оо, £ € Р+ € C3(R+), f € W[U2{R%), О < T < оо, /(-,<) G С2(М3) при Ш е [О, Г], /(4,0, V/(£,-) € С (О, Г) при V£ € R3 с некоторым ¡3 € (1/2,1). Кроме того, допустим, что начальная скорость г?о £ W2+í(U¡=-,+ílo) удовлетворяет условиям согласования

У"и0 = 0 в [»о]|Г = 0, [//±П08(и0)п0]|г = 0,

а вязкости жидкостей подчиняются неравенствам

ц~ > /Л < р+/П<х. (3.3)

При выполнении всех этих условий существует число То € (О, Т] такое, что задача (3.1), (3.2) после перехода к лагранжевым координатам однозначно разрешима на интервале (0, То), и её решение (и,<?) обладает свойствами: и £ ру2+г'1+г/2(ВТо)) д £ М^'/ос^т )»

^ сМ + СзГо"3"Н«о||^+1(и<п&)){ + ЬЦж^) +

+ <г||Я0||^+х/2(Г) + ll^jFVp+||w/(n+) + 1Ь+(Ро Jilván*) Величина То зависит от норм f, vq, ро, Р+ и от кривизны Г.

Эта теорема доказывается методом последовательных приближений подобно тому, как были доказаны аналогичные теоремы в случае несжимаемых жидкостей или в случае одной сжимаемой жидкости. Мы рассматриваем основные этапы доказательства в §16. Важную роль при этом играет следующая линеаризованная задача:

Vtw - -¿rAV ■ Г„(«0 = / в Q+, Ро (?)

Vtw - i/~V2 w + = /, Vu ■ w = г в Qy, (3.4)

Ро

wI, n = wo в rifTUfiij", w-^0, s-^ 0,

14"0 |{|-юо ICHoo

[w]\Gt = 0, [/^ПоШ^п]^ = n0a,

[no-T'Jw.s)«]!r-<m0-A(f) [ w\ dr = b + a f Bdr, t e (0,Г).

Jo Jo

Теорема 3.2. Пусть Г € W^2+l, Ро e ^^'(^o") ^ля некоторого I G (1/2,1) и пусть 0 < Ro < Po(0 ^ ^oo < oo, £ G fig. Кроме того, допустим, что векторное поле и непрерывно при переходе через границу Г и для некоторого Т < оо удовлетворяет неравенству (2.7) с малым 5. Предположим также, что для вязкостей ц^, выполняются неравенства (3.3).

1 - 14-/ i + i

Тогда для любых f G Wp{DT), г G W.2 '2 2 {Qt)> г = V ■ R,

R G W°'1+*(Qr), w0 G W21+'(U^), a G W^+^Gt), b G ^/+1/2,г/2+1/4и В £ цг^-1/2'1/2 ¿)ля которых выполне-

ны условия

[го0]|Г = 0, [/x±n0S(iuo)no]|r = IIoa|t=0, V-iu0 = r|t=0 в CIq,

существует единственное решение (w, s) задачи (3.4) такое, что w G W*+l'1+HDT), s G Vs G S|GtG

¡4-1 1+1 ЦГ^ 2'2+4

(От) и

\нСл+1/2) + \тм*> + ц<^> + И| ^

-1 Чт алт (От)

1(Г){||/НЙ) + 11

+ 11Д11

,0,1 +

Щ'

1 I , 1

(От)

+ ||Ы! ,, 1 г , 1

+ Г"5||Ь|| 1 о +<т||В|| ,111 ),

'{От)-

,1-' I

причём с\(Т), если ииа ф 0, имеет вид: С2 + С3Т 2 где

сг,сз — неубывающие функции от Т, в противном случае — с\{Т) = С2(Т).

Доказательство существования единственного гладкого решения задачи (3.4) основано на анализе модельной задачи, когда и = 0 и граница раздела Г совпадает с плоскостью (§15):

- + ^гУд = f, V • ы = д в = М3. х (О, Г),

Ро

Vtw - V-Ч2из - (г/~ + к~)У(У •w) = f в Б? = х (О, Г),

ги|г=о = 0, ю-—»0, д

->о,

НЦ=0 = о,

±^ + ди>3\

дхг дха) -(? +А"V ■«;)! +

|х|—>оо | ас | —>оо

= аа{х',Ь), х'= {х1,х2), а = 1,2;

(3.5)

х3=0

2/г

. дги?Л

дх3

+ сгД

хз=0

7'

^з|хз=0с1г =

= а3 + ст / Л<3г на К^ = М2х(0,Г). ¿о

Неоднородная задача (3.5) сводится к однородной, решение которой находится явно в пространстве образов Фурье-Лапласа.

Статьи в рецензируемых журналах и изданиях:

1. Разрешимость в гёльдеровских пространствах линейной задачи о движении двух жидкостей, разделённых замкнутой поверхностью, Алгебра и анализ, 5 (1993), №4, 122-148.

2. Problem of the motion of two viscous incompressible fluids separated by a closed free interface, Acta Appl. Math. 37 (1994), 31-40.

3. (совм. с Солонниковым В. А.) Классическая разрешимость задачи о движении двух вязких несжимаемых жидкостей, Алгебра и анализ, 7 (1995), №5, 101-142.

4. Задача о движении двух сжимаемых жидкостей, разделённых замкнутой свободной поверхностью, Зап. паучн. семин. ПОМИ 243 (1997), 61-86.

5. Evolution of compressible and incompressible fluids separated by a closed interface, Interfaces Free Bound., 2(3) (2000), 283-312.

6. Evolution of closed interface between two liquids of different types, Proc. 3ECM, Barcelona, 2000, Progress in Maths, 202 (2001), 263272.

7. (совм. с Солонниковым В. А.) Классическая разрешимость модельной задачи в полупространстве, связанной с движением изолированной массы сжимаемой жидкости, Зап. научн. семин. ПОМИ , 271 (2000), 92-113.

8. (совм. с Солонниковым В. А.) Классическая разрешимость задачи о движении изолированной массы сжимаемой жидкости, Алгебра и анализ, 14 (2002), №1, 71-98.

9. Solvability in weighted Holder spaces of a problem governing the evolution of two compressible fluids, Зап. научн. семин. ПОМИ, 295, 57-89 (2003).

10. On the problem of thermocapillary convection for two incompressible fluids separated by a closed interface, Progr. Nonlin. Diff. Eq. and Their Appl, 61, 45-64 (2005).

11. Model problem connected with the motion of two incompressible fluids, Adv. in Math. Sci. Applic., 17 (2007), No.l, 195-223.

12. Global solvability of a problem on two fluid motion without the surface tension, Зап. научн. семин. ПОМИ 348, 2007, 19-39.

13. Thermocapillary convection problem for two compressible immiscible fluids, Microgravity Sci. Tec. 20(3-4) (2008), 287-291.

14. (совм. с Нечасовой Ш.) Движение двух несжимаемых жидкостей в приближении Обербека-Буссинеска, Зап. научн. семин. ПОМИ, 362 (2008), 92-119.

15. (совм. с Солонниковым В. А.) Глобальная разрешимость задачи о движении двух несжимаемых капиллярных жидкостей в контейнере, Зап. научн. семин. ПОМИ , 397 (2011), 20-52. Другие публикации автора по теме диссертации:

16. Classical solvability of the problem describing the evolution of a drop in a liquid medium, Navier-Stokes Equations and Related Nonlinear Problems ed. A. Sequeira, Plenum Press, New York, 1995, 191-199.

17. Motion of two compressible fluids separated by a free closed interface, Free Boundary Problems News (Europ. Sci. Foundation) 10, April 1996, 5-6.

Подписано в печать 25.01.2012. Формат бумаги 60x90/16. Бумага множ. Объем 2 усл. п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 7. Отпечатано в ОНТИ ИПМаш РАН. 199178, Санкт-Петербург, В.О., Большой пр-т, 61.

7 7

0.1. Введение.

Часть I Движение двух несжимаемых жидкостей.

§ 1. Введение.

1.1. Постановка задачи. Определение пространств.

§ 2. Модельная задача с плоской границей раздела жидкостей с учётом сил поверхностного натяжения.

2.1. Вспомогательные предложения.

2.2. Явное решение модельной однородной задачи и его оценка.

2.3. Теоремы о мультипликаторах Фурье в пространствах Гёльдера

2.4. Оценка решения задачи (2.2.1).

2.5. Задача для неоднородной системы Стокса.

§ 3. Модельная задача без учёта сил поверхностного натяжения.

3.1. Постановка задачи и формулировка теоремы существования

3.2. Предварительные рассуждения.

3.3. Однородная задача. Явное решение.

3.4. Доказательство теоремы 3.3.1.

3.5. Доказательство теоремы 3.1.1.

§ 4. Линейная задача с учётом сил поверхностного натяжения.

4.1. Вспомогательные утверждения. Формулировка результатов.

4.2. Априорные оценки решения задачи (1.1.7).

4.3. Разрешимость задачи (1.1.7). Построение регуляризатора.

§ 5. Локальная разрешимость нелинейной задачи в весовых пространствах Гёльдера.

5.1. Весовые гёльдеровские пространства. Формулировка локальной теоремы существования для нелинейной задачи.

5.2. Весовые оценки для линейной задачи (1.1.7)

5.3. Разрешимость линеаризованной задачи на конечном интервале времени.

5.4. Доказательство разрешимости нелинейной задачи (5.1.1).

§ 6. Глобальная разрешимость для нелинейной задачи без учёта сил поверхностного натяжения.

6.1. Формулировка основного результата

6.2. Линейная задача с замкнутой границей раздела жидкостей.

6.3. Линеаризованная задача.

6.4. Глобальная разрешимость задачи (1.1.1) при <т = О.

§ 7. Глобальная разрешимость задачи с учётом сил поверхностного натяжения

7.1. Постановка задачи. Формулировка основного результата

7.2. Энергетическая оценка решения.

7.3. Линеаризованная задача.

7.4. Глобальная разрешимость задачи (7.1.3), (0.1.3).

§ 8. Задача термо-капиллярной конвекции.

8.1. Постановка задачи и формулировка результатов.

8.2. Линеаризованные задачи.

8.3. Разрешимость задачи (8.1.2)

8.4. Задача во всём пространстве с постоянным значением температуры на бесконечности.

§ 9. Движение двух несжимаемых жидкостей в приближении Обербека-Буссинеска.

9.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов.

9.2. Линеаризованные задачи.

9.3. Оценки решений задач (7.3.3), (6.2.4) и (9.1.4).

9.4. Локальная разрешимость задачи (9.1.2)

Часть II Движение двух сжимаемых жидкостей.

§ 10. Локальная разрешимость задачи для двух жидкостей в соболевских пространствах.

10.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов.

10.2. Однородная модельная задача с плоской границей раздела жидкостей

10.3. Однозначная разрешимость неоднородной модельной задачи

§11. Задача для одной жидкости в гёльдеровских пространствах.

11.1. Введение. Постановка задачи.

11.2. Однородная задача (11.1.4) в полупространстве

11.3. Разрешимость неоднородной модельной задачи в полупространстве

11.4. Разрешимость линейной задачи в ограниченной области.

11.5. Однозначная разрешимость задачи (11.1.2).

§12. Разрешимость в весовых гёльдеровских пространствах задачи об эволюции двух жидкостей.

12.1. Формулировка основного результата.

12.2. Оценки решения однородной модельной задачи с плоской границей раздела жидкостей в гёльдеровских пространствах.

12.3. Теорема существования для неоднородной модельной задачи

12.4. Задача (12.1.1).

§13. Модельная задача для термо-капиллярной конвекции для двух жидкостей

13.1. Постановка задачи.

13.2. Линеаризованные задачи.

Часть III Движение двух жидкостей разных типов

§ 14. Введение.

14.1. Постановка задачи.

14.2. Формулировка результатов.

§15. Модельная задача.

15.1. Однородная модельная задача.

15.2. Неоднородная модельная задача.

§ 16. Задачи (14.1.4) и (14.2.2).

16.1. Линеаризованная задача (14.2.2).

16.2. Нелинейная задача (14.1.4).

Задача о неустановившемся движении двух вязких несмешивающихся жидкостей с неизвестной замкнутой поверхностью раздела принадлежит к классу задач со свободными границами. Теория этих задач для уравнений Навье-Стокса насчитывает в своем развитии лишь около трёх-четырёх десятилетий, хотя их постановка восходит к классическим работам 19-ого века. Большинство авторов, работающих в этом направлении, рассматривает стационарные задачи. Это относится и к задаче о движении конечного объема одной жидкости в другой.

Впервые задача, описывающая стационарное движение двух несжимаемых жидкостей, изучалась в работах Ж. Адамара [1] и В. Рыбчинского [2]. Ими было получено аналитическое решение системы Стокса, соответствующее осесимметричному падению сферической капли с постоянной скоростью. Стационарное движение двух жидкостей со свободной замкнутой поверхностью их раздела исследовали В. Я. Ривкинд [3]-[5] и И. Бемельманс [6]. В работах был сделан расчет движения и формы капли в жидкой среде [3, 4]. Однако доказательства существования единственного решения нелинейной задачи о капле, падающей с постоянной скоростью, у обоих авторов содержат пропуски и неточности. Чуть позже к этой задаче обратился В. А. Солонни-ков [7, 8]. В предположении, что плотности жидкостей близки друг другу, он дал корректное доказательство разрешимости задачи о стационарном падении (подъёме) капли в бесконечной жидкой среде. Решение получено как возмущение состояния покоя, при этом было отмечено, что дифференциал Фреше соответствующего оператора не является обратимым, и поэтому задача требует более тонкого рассмотрения.

Нестационарные задачи о движении жидкостей со свободными границами являются более трудными для исследования. Они изучены в меньшей степени. Общая формулировка этих задач следующая (см. [9]): найти область С К.п(п = 2,3), занимаемую жидкостью с вязкостью V > 0 и плотностью р > 0 в момент времени £ > 0; найти векторное поле V — •,уп) и функцию давления р, удовлетворяющие начально-краевой задаче для уравнений Навье-Стокса:

Т>& - иАу + (V • V)v + -Ур = f, V • V = 0 вПи t>0, (0.1.1) Р «оМ» х е "о, и1х€5 = 0, Тп|г4 = сгНп. (0.1.2)

Здесь Т>г — д/дЬ, V = {д/дх1,д!дх2,д/дхз), 5 — твердая поверхность, = ¿ЮДй' — свободная поверхность, f — поле внешних сил, Уо — начальное поле скоростей в заданной области Оо5 Т - это тензор напряжений с элементами

Тгк = -6*р + ц(ду{/дхк + дук/дхг), г, /г < п; п — вектор внешней нормали к Г4 в точке х, а ^ 0 — коэффициент поверхностного натяжения, Я(а;,£)/(п — 1) — значение средней кривизны поверхности ( Н < 0 в точках выпуклости Г4 наружу жидкости); точкой обозначено скалярное произведение в К.п.

Кроме того, относительно свободной поверхности Г4 предполагается, что на ней находятся все время одни и те же частицы жидкости. С помощью этого предположения исключается возможность переноса массы через поверхность Г4. Аналитически это записывается так: при t>QTt состоит из таких точек ¿), соответствующий радиус-вектор которых ж(£, £) является решением задачи Коши

4=о = £, £еГо, *> 0, (0.1.3) где Го = сЮо\£ — заданная в начальный момент поверхность.

Нестационарное движение тяжелой вязкой жидкости над твердым дном £ изучалось в работах Т. Била [10, 11] и Ж. Ален [12]. В трехмерном случае для задачи (0.1.1)—(0.1.3) при а = 0 была доказана локальная по времени однозначная разрешимость в пространствах Соболева [10], а при а > 0 и малых начальных данных была получена и глобальная разрешимость в этих пространствах [11]. Без ограничения на размер начальных данных Ж. Ален установила локальную теорему существования этой задачи при а > 0, п — 2 [12].

Наиболее продвинута задача о движении изолированного объема несжимаемой жидкости. В этом случае поверхность 5 отсутствует, а свободная граница Г замкнута. Так, В. О. Бытев [13] и О. М. Лаврентьева [14] рассмотрели задачу (0.1.1)—(0.1.3) в кольце с двумя свободными границами, при этом вектор у0 считался аксиально симметричным. В [13] было показано, что при а = 0 в некоторых случаях может расширяться до бесконечности. Для а > 0 в [14] было установлено, что может превратиться в круг при £ = £0 < ОО и сохранять эту форму для всех £ >

Задачу (0.1.1)—(0.1.3) для односвязной области с замкнутой границей Г4, изучает в своих работах В. А. Солонников. В пространствах Соболева -Слободецкого х (0,Г)), С п < д < оо, при и — 0 он доказал локальную по времени разрешимость задачи в Жп, п = 2,3, и дал достаточные условия продолжимости решения на бесконечный интервал времени £ > 0 [72]. Через 20 лет И. Шибата и С. Шимизу повторяют его результаты в анизотропных пространствах И7^1, п < д < оо, 2 < р < оо, операторными методами. Для а > 0 В. А. Солонниковым было доказано существование глобального решения в ЦТ}1 {Ж3) при начальных данных, близких к равновесным [15]. В [16] он установил, что решение системы (0.1.1)—(0.1.3) с / = 0 при £ —► оо стремится к некоторому не зависящему от £ решению, описывающему вращение жидкости как твердого тела. В статьях [17, 18] им дано подробное доказательство разрешимости задачи (0.1.1)—(0.1.3) в общем случае на некотором конечном интервале времени, зависящем от данных задачи. Аналогичный результат в пространствах Гёльдера при и > 0 был получен этим автором совместно с И. Ш. Могилевским [19, 20].

Что касается задачи о движении двух жидкостей, то для случая несжимаемых жидкостей модельные нестационарные задачи с заданными неподвижными границами раздела изучали В. Я. Ривкинд и Н. Б. Фридман [21]. В полной постановке эта задача впервые изучалась в ранних работах автора [22]—[26]. В конце 80-х - самом начале 90-х для неё была получена локальная разрешимость в пространствах Соболева - Слободецкого при наличии поверхностного натяжения и без него. Там использовалась техника вышеупомянутых работ для одной жидкости. Чуть позже, также на основе работ В. А. Солонникова, Н. Танака [27] предпринял попытку исследовать глобальную разрешимость для малых данных вблизи положения равновесия в тех же пространствах. В гёльдеровских классах эта задача впервые рассматривается в данной диссертации.

Упомянем, кроме того, результаты И. Гиги и Ш. Такахаши [28, 29], а также А. Нури, Ф. Пупо и И. Дёмэ [30, 31] о существовании глобальных слабых решений для уравнений Стокса и Навье-Стокса, описывающих движение двух несжимаемых жидкостей с различными вязкостями и плотностями, но без учёта поверхностного натяжения. Отметим также, что в 1993 году вышла книга Д. Д. Джозефа и Ю. Ренарди [32], посвящённая одновременной динамике двух несмешивающихся жидкостей, где приведены постановки задач, фотографии экспериментов и их компьютерные имитации.

Последние годы снова возрос интерес к рассматриваемой задаче, видимо, потому что с одной жидкостью уже был достигнут некоторый прогресс. Так С. Шимизу в [34], [35] начинает с анализа в задачи дифракции для системы Стокса для двух жидкостей с одинаковыми плотностями без учёта сил поверхностного натяжения. Я. Прюсс и Ж. Симоне ищут условия аналитичности решений при £ > 0 нелинейной задачи с учётом поверхностного натяжения, когда начальная поверхность раздела близка к полуплоскости [36], [37]. Г. Абельс, наоборот, исследует ситуацию, когда существуют только обобщённые решения, и оценивает хаусдорфову меру границы раздела [38].

Что касается сжимаемой жидкости, то задачу о движении конечной массы баротропной жидксти рассматривали В. А. Солонников и А. Тани [39]. Они получили существование единственного решения этой проблемы в соболевских пространствах на малом промежутке времени.

Пусть при £ = 0 жидкость заполняет известную область П С I3. Через Г обозначим границу этой области сЮ. Для £ > 0 нужно найти свободную границу Г4 = поле скоростей у(х,Ь) = (г>ь 1>2, ^з) и функцию плотности р(х,£) > 0 жидкости, удовлетворяющие начально - краевой задаче для системы Навье - Стокса: p(Dtv + (v • V)v) - V • Т = pf,

T>tp + V • (pv) = 0 в t > 0, v\t=o = V0(x), p|t=o = А) 0е), X Є ft,

Tn|rt = uHn — pen на rt,

0.1.4)

0.1.5) где тензор напряжений задаётся формулой

Т = (-р(р) + ^V • v)l + ii&{v), (S(«))<j

I - это единичная матрица; а // - коэффициенты динамических вязкостей; р(р) — давление жидкости, заданное известной гладкой функцией плотности; / заданное поле внешних сил, ре = ре{х, t) — функция внешнего давления при ж el3, t > 0, ро и v0 начальные значения плотности и скорости жидкости, п вектор внешней нормали к Qt, <7^0 коэффициент поверхностного натяжения; Н(х, t) — удвоенная средняя кривизна поверхности Tt. Запись V • Т обозначает вектор с компонентами (V • Т)^ = j — 1,2,3.

Чтобы исключить потерю массы через свободную границу, предположим, что Tt состоит из точек £), удовлетворяющих задаче (0.1.3). Это условие позволяет нам избавиться от неизвестной границы путём перехода от эйлеровых координат {а;} к лагранжевым {£} точно так же, как это было делается для несжимаемой жидкости. Только теперь якобиан преобразования не равен единице. Для функций плотности р и скорости и в лагранжевых координатах мы получаем задачу, где можно проинтегрировать уравнение для плотности. В результате мы получаем систему относительно только скорости жидкости и, .

Проблему о движении двух сжимаемых жидкостей без поверхностного натяжения изучал А. Тани [40] в 80-х годах прошлого века. Задача с неизвестной границей двух сред и с учётом поверхностного натяжения впервые исследуется в данной работе как для случая сжимаемых [41], [42], так и для случая разнородных жидкостей [43].

Структура диссертации:

Диссертация помимо введения содержит 3 части, разделённые на параграфы и подпараграфы. Нумерация параграфов сплошная по всей работе. При нумерации формул первая цифра означает номер параграфа, вторая -номер подпараграфа, а третья - номер формулы в подпараграфе. Результаты диссертации опубликованы в работах [26], [41]—[57].

В первой части мы изучаем задачу о движении двух несжимаемых жидкостей. Локальную по времени однозначную разрешимость этой задачи после перехода к лагранжевым координатам мы получаем в гёльдеровских пространствах со степенным весом на бесконечности (§5). Доказательство проводится в несколько этапов. Сначала в параграфе 2 мы анализируем модельную задачу с плоской поверхностью раздела и с коэффициентом а ^ 0 в обычных гёльдеровских классах функций. В §3 мы исследуем модельную задачу с плоской границей при а = 0. Задача с замкнутой границей раздела рассматривается в §4. Там доказывается её однозначная разрешимость для любого конечного промежутка времени. В §5.2, 5.3 проводятся оценки для линейной и линеаризованной задач в весовых пространствах Гёльдера, откуда уже выводится разрешимость нелинейной задачи.

Далее, при условии малости начальных данных удаётся получить и глобальную разрешимость задачи в полной постановке (§§б, 7). В конце этой части мы рассматриваем задачи с учётом температуры (§§8, 9).

Вторая часть посвящена сжимаемым капиллярным баротропным жидкостям. В параграфе 10 мы доказываем существование в пространствах Соболева - Слободецкого единственного решения задачи об одновременной эволюции двух сжимаемых несмешивающихся жидкостей на конечном временном промежутке, величина которого зависит от данных задачи. Далее мы исследуем задачи о движении одной (§11) и двух (§12) сжимаемых жидкостей и тоже доказываем их локальную однозначную разрешимость, но уже в гёльдеровских классах функций. На этой основе в параграфе 13 мы изучаем задачу термо-капиллярной конвекции для двух сжимаемых жидкостей.

В третьей части исследуется задача о движении двух разнородных жидкостей в пространствах Соболева - Слободецкого. Основной результат — это локальная однозначная разрешимость этой задачи, причём сжимаемая жидкость может быть как внутри, так и снаружи несжимаемой. Как и в раньше, мы начинаем с анализа линейной модельной задачи с плоской границей раздела между жидкостями. В начале 15-ого параграфа мы получаем для неё явное решение в пространстве образов Фурье-Лапласа в случае однородных уравнений и выводим его оценки. Затем строим решение неоднородной задачи. В 16-ом параграфе мы схематично приводим доказательство разрешимости нелинейной задачи.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

Для двух несжимаемых жидкостей:

1) Существование глобального решения задачи в полной постановке при малых начальных данных как в случае отсутствия капиллярных сил, так и при их наличии.

2) Существование локального по времени единственного решения задачи в гёльдеровских пространствах со степенным весом на бесконечности, при этом интервал времени, на котором существует решение, зависит от данных задачи.

3) Однозначная разрешимость для линейной задачи с замкнутой границей раздела жидкостей на любом конечном интервале времени в обычных гёльдеровских классах функций.

4) Точные гёльдеровские оценки явного решения на бесконечном промежутке времени для линейной задачи с плоской границей раздела без учёта сил поверхностного натяжения.

5) Локальная однозначная разрешимость задачи термо-капиллярной конвекции для капли в жидкой среде.

6) Существование единственного решения двухфазной задачи в ограниченной области в приближении Обербека-Буссинеска на малом интервале времени.

Для одной сжимаемой жидкости:

7) Существование локального по времени единственного решения задачи об эволюции жидкости, ограниченной замкнутой свободной поверхностью, в гёльдеровских классах функций.

8) Существование единственного решения линеаризованной задачи на любом конечном промежутке времени.

Для двух сжимаемых жидкостей:

9) Локальная однозначная разрешимость задачи о движении пузырька в газообразной среде в пространствах Соболева - Слободецкого и в пространствах Гёльдера со степенным весом на бесконечности.

10) Построение и оценка явного решения модельной задачи с плоской границей раздела в обоих пространствах функций на бесконечном промежутке времени.

11) Локальная однозначная разрешимость задачи, моделирующей термокапиллярную конвекцию для пузырька в сжимаемой среде.

Для двух разнородных жидкостей:

12) Однозначная разрешимость задачи об эволюции капли в газообразной среде, или пузырька в жидкости, на малом промежутке времени в пространствах Соболева - Слободецкого.

13) Существование решения для линеаризованной задачи на любом конечном промежутке времени.

14) Построение и оценка в соболевских пространствах явного решения модельной задачи с плоской границей раздела жидкости и газа на бесконечном промежутке времени.

Автор выражает глубокую благодарность научному консультанту профессору В. А. Солонникову за плодотворные дискуссии и полезные советы.

Часть I

Движение двух несжимаемых жидкостей

1 Введение

В этой части мы будем изучать неустановившееся движение двух несжимаемых жидкостей разделённых замкнутой неизвестной поверхностью IV Жидкости занимают всё пространство Ж.3. На границе раздела Г4 мы будем учитывать силу поверхностного натяжения.

Техника, разработанная в работах [17]-[20] для изучения движения капли в пустоте, оказывается применимой и для исследования движения капли в жидкой среде. Это исследование для пространств Соболева - Слободецкого было проведено в [22]—[26]. Там была установлена локальная однозначная разрешимость задачи о движении двух жидкостей, разделенных замкнутой неизвестной поверхностью, с учетом поверхностного натяжения (<т ^ 0). Ранее эта задача в упрощенных постановках рассматривалась в статье В. Я. Ривкин-да и Н. Б. Фридмана [21]. В частности, ими было доказано существование обобщенного решения нелинейной нестационарной задачи с заданной неподвижной границей раздела двух жидкостей.

В части I мы исследуем разрешимость различных задач, описывающих эволюцию двух несжимаемых жидкостей, в гёльдеровских классах функций.

Заключение

Подведём итог нашим исследованиям. Сформулируем результаты, полученные в диссертации для задач с неизвестными границами в полной постановке. Итак, мы доказали

Для двух несжимаемых жидкостей:

1) Существование глобального решения задачи с неотрицательным коэффициентом поверхностного натяжения на границе раздела жидкостей в ограниченной области при малых начальных данных.

2) Существование локального по времени единственного решения задачи в гёльдеровских пространствах со степенным весом на бесконечности, при этом интервал времени, на котором существует решение, зависит от данных задачи.

3) Локальную однозначную разрешимость задачи термо-капиллярной конвекции для капли в жидкой среде.

4) Существование единственного решения двухфазной задачи в ограниченной области в приближении Обербека-Буссинеска на малом интервале времени.

Для одной сжимаемой жидкости:

5) Существование локального по времени единственного решения задачи об эволюции жидкости, ограниченной замкнутой свободной поверхностью, в гёльдеровских классах функций.

Для двух сжимаемых жидкостей:

6) Локальную однозначную разрешимость задачи о движении пузырька в газообразной среде в пространствах Соболева - Слободецкого и в пространствах Гёльдера со степенным весом на бесконечности.

7) Локальную однозначную разрешимость задачи, моделирующей термокапиллярную конвекцию для пузырька в сжимаемой среде.

Для двух разнородных жидкостей:

8) Однозначную разрешимость задачи об эволюции капли в газообразной среде, или пузырька в жидкости, на малом промежутке времени в пространствах Соболева - Слободецкого.

Анализируя доказательства данных результатов, можно сделать следующие выводы:

1) Полученная гладкость и оценки решений задач для двух жидкостей являются точными и совпадают с соответствующими показателями гладкости решений задач для одной жидкости в ограниченной области.

2) Неравенства, подобные оценкам решения задачи для одной некапиллярной жидкости в гёльдеровских пространствах с пониженным показателем гладкости по времени, невозможны в случае двух жидкостей. Для них верны только неравенства с предельными показателями.

3) В случае наличия поверхностного натяжения требование к гладкости начальной поверхности раздела повышается на единицу по сравнению с некапиллярным случаем. Это тоже совпадает с требованием к исходной гладкости для свободной поверхности.

4) Все результаты для двух несжимаемых жидкостей получены при произвольных значениях плотностей и вязкостей жидкостей. Ограничения на них возникают только тогда, когда хотя бы одна из жидкостей становится сжимаемой.

5) Показатель веса в весовом пространстве Гёльдера может быть любым положительным числом для двух сжимаемых баротропных жидкостей, в то время как для несжимаемого случая степенные показатели убывания на бесконечности разные для скорости и давления жидкостей, они не должны быть меньше определённых величин.

1. Hadamard J., Mouvement pemanent lent d'une sphère liquide et visqueuse dans un liquide visqueux, Compt. rend. Acad. sd. 152 (1911), no. 25, 17351738.

2. Rybczynski W., Uber die fortsehmtende Bewegung einer Flussigen Kugel in einem Zahen Medium, Bull. Int. Acad. Sci. Cracovia cl. Sci. Math. et. natur, Ser. A (1911), 40-44.

3. Ривкинд В. Я., Стационарное движение слабо деформированной капли в потоке вязкой жидкости, Зап. научи, семин. ЛОМИ 69 (1977), 157-170.

4. Ривкинд В. Я., Стационарное движение вязкой капли с учетом ее деформации, Зап. научн. семин. ЛОМИ 84 (1979), 220-243.

5. Ривкинд В. Я., Априорные оценки и метод последовательных приближений решения задачи о движении капли, Тр. МИ АН СССР 159 (1983), 150-166.

6. Bemelmans J., Liquid drop in a viscous fluid under the influence of gravity and suface tension, Manuscripta Math. 36 (1981), no. 1, 105-123.

7. Солонников В. A., On a steady motion of a drop in an infinite liquid medium, Зап. научн. семин. ЛОМИ, 233 (1996), 233-254.

8. Solonnikov V. A., On the problem of a steady fall of a drop in a liquid medium, J. Math. Fluid Mech., 1 (1999), 326-355.

9. Пухначев В. В., Движение вязкой жидкости со свободными границами, Учеб. пособие, Новосибирский ун-т, Новосибирск, 1989.

10. Beal J. Т., The initial value problem for the Navier-Stokes equation with a free boundary, Comm. Pure Appl. Math. 34 (1981), no. 3, 359-392.

11. Beal J. T., Large-time regularity of viscous suface waves, Arch. Rational Mech. Anal. 84 (1984), no. 4, 307-352.

12. Allain G., Small-time existence for the Navier-Stokes equations with a free surface,^/. Math. Optim. 16 (1987), no. 1, 37-50.

13. Бытев В. О., Неустановившееся движение вращающегося кольца вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами,ПМТФ (1970), № 3, 82-88.

14. Лаврентьева О. M., Движение вращающегося кольца вязкой несжимаемой жидкости, Деп. в ВИНИТИ, 27.11.84, №7562-84, М., 1984.

15. Солонников В. А., О неустановившемся движении конечной массы жидкости, ограниченной свободной поверхностью, Зап. научн. семин. ЛОМИ 152 (1986), 137-157.

16. Солонников В. А., Об эволюции изолированного объёма вязкой несжимаемой капиллярной жидкости при больших значениях времени, Вести. ЛГУ,, сер. 1 (1987), №3(15), 49-55.

17. Солонников В. А., Об одной начально-краевой задаче для системы Сток-са, возникающей при изучении задачи со свободной границей, Тр. МИ-АН СССР 188 (1990), 150-188 (English transi, in Proc. Steklov Inst Math. (1991), no.3, 191-239).

18. Могилевский И. Ш., Солонников В. А., Разрешимость одной некоэрцитивной начально-краевой задачи для системы Стокса в гёльдеровских классах функций,^. Anal Anwendungen 8 (1989), № 4, 329-347.

19. Ривкинд В, Я., Фридман H. В., Об уравнениях Навье-Стокса с разрывными коэффициентами,Зап. научн. семин. ЛОМИ 138 (1973), 137-148.

20. Денисова И. В., Априорные оценки решения линейной нестационарной задачи, связанной с движением капли в жидкой среде, Тр. МИАН СССР 188 (1990), 3-21.

21. Денисова И. В., Солонников В. А., Разрешимость линеаризованной задачи о движении капли в потоке жидкости, Зап. научн. семин. ЛОМИ 171 (1989), 53-65 (English transi, in J. Soviet Math. 56 (1991), no. 2, 2309-2316).

22. Денисова И. В., Исследование задачи о движении капли в жидкой среде, Препринт ЛОМИ, Р-9-89, ЛОМИ, Л., 1989.

23. Денисова И. В., Движение капли в потоке жидкости, Динамика сплошной среды. Новосибирск, СО АН СССР, 1989, 93/94, 32-37.

24. Denisova I. V., Problem of the motion of two viscous incompressible fluids separated by a closed free interface, Acta Appl. Math. 37 (1994), 31-40.

25. Tanaka N., Global existence of two phase nonhomogeneous viscous incompressible fluid flow, Commun. in Part. Diff. Eq., 18 (1 and 2) (1993), 41-81.

26. Giga J., Takahashi Sh., On global weak solutions of the nonstationary two-phase Stokes How, SI AM J. Math. Anal. 25 (1994), 876-893.

27. Sh. Takahashi, On global weak solutions of the nonstationary two-phase Navier-Stokes flow, Adv. Math. Sci. Appl., 5 (1995), 321-342.

28. A. Nouri, F. Poupaud, and Y. Demay, An existence theorem for the multifluid Stokes problem, Quart. Apll. Math. 55 (1997), 421-435.

29. A. Nouri, F. Poupaud, An existence theorem for the multifluid Navier-Stokes problem, J. Differential Equations, 122(1) (1995), 71-88.

30. D. D. Joseph, Yu. Y. Renardy, Fundamentals of two-fluids dynamics, Part I, Math. Theory and Appl., Springer-Vertag, 1993.

31. Y. Shibata, S. Shimizu, On a free boundary problem for the Navier-Stokes equations, Differential Integral Equations, 20(3) (2007), 241-276.

32. S. Shimizu, Maximal regularity and viscous incompressible flows with free interface, Parabolic and Navier- Stokes equations, Banach Center Publications, 81 (2008), 471-480.

33. S. Shimizu, Local solvability of free boundary problems for the two-phase Navier-Stokes equations with surface tension in the whole space.

34. J. Priiss, G. Simonett, Analysis of the boundary symbol for the two-phase Navier- Stokes equations with surface tension, Banach Center Publications 86 (2009), 265-285.

35. J. Priiss, G. Simonett, On the two-phase Navier-Stokes equations with surface tension, (2009) arXiv:0908.3327vl math.AP].

36. H. Abels, On general solutions of two-phase flows for viscous incompressible fluids, Interfaces Free Boud., 9(1) (2007) 31-65.

37. Solonnikov V. A. and Tani A., Free boundary problem for a viscous compressible flow with surface tension, in: Constantin Caratheodory: An International Tribute, World Scientific (1991), 1270-1303.

38. Tani A., Two-phase free boundary problem for compressible viscous fluid motion, J. Math. Kyoto Univ., 24, 243-267 (1984).

39. Денисова И. В., Задача о движении двух сжимаемых жидкостей, разделённых замкнутой свободной поверхностью, Зап. научн. семин. ПОМИ 243 (1997), 61-86 (English transl. in J. Math. Sci., 99 (2000), no. 1, 837853).

40. Denisova I. V., Solvability in weighted Holder spaces of a problem governing the evolution of two compressible fluids, Зап. научн. семин. ПОМИ, 295 (2003), 57-89 (English transl. in J. Math. Sci. 127 (2005), no 2).

41. Denisova I. V., Evolution of compressible and incompressible fluids separated by a closed interface, Interfaces Free Bound., 2(3) (2000), 283-312.

42. Денисова И. В., Разрешимость в гёльдеровских пространствах линейной задачи о движении двух жидкостей, разделённых замкнутой поверхностью, Алгебра и анализ, 5 (1993), № 4, 122-148 (English transl. in St. Petersburg Math. J., 5 (1994), No.4)

43. Денисова И. В., Солонников В. А., Классическая разрешимость задачи о движении двух вязких несжимаемых жидкостей, Изд-во "Наука", Алгебра и анализ, 7 (1995), № 5, 101-142 (English transl. in St.Petersburg Math. J., 7 (1996), no.5, 755-786).

44. Denisova I. V., Classical solvability of the problem describing the evolution of a drop in a liquid medium, Navier-Stokes Equations and Related Nonlinear Problems edited by A.Sequeira, Plenum Press, New York, 1995, 191-199.

45. Denisova I. V., Motion of two compressible fluids separated by a free closed interface, Free Boundary Problems News (edition of European Science Foundation) n.10, April 1996, 5-6.

46. Denisova I. V., Evolution of closed interface between two liquids of different types, Proc. 3ECM, Barcelona, 2000, Birkhauser Verlag Basel, Progress in Mathematics, 202 (2001), 263-272.

47. Денисова И. В., Солонников В. А., Классическая разрешимость задачи о движении изолированной массы сжимаемой жидкости, Алгебра и анализ, 14 (2002), no.l, 71-98 (English transl. in St.Petersburg Math. J. 14 (2003), no.l).

48. Denisova I. V., On the problem of thermocapillary convection for two incompressible fluids separated by a closed interface, Progr. Nonlin. Diff. Eq. and Their Appl, 61 (2005), 45-64.

49. Denisova I. V., Model problem connected with the motion of two incompressible fluids, Advances in Mathematical Sciences and Applications, 17 (2007), No.l, 195-223.

50. Денисова И. В., Global solvability of a problem on two fluid motion without the surface tension, Зап. научн. семин. ПОМИ 348, 2007, 19-39 (English transl. in J. Math. Sci., 152(5) (2008) 625-637).

51. Denisova I. V., Thermocapillary convection problem for two compressible immiscible fluids, Microgravity Sci. Tec. 20(3-4) (2008), 287-291.

52. Денисова И. В., Нечасова Ш., Движение двух несжимаемых жидкостей в приближении Обербека-Буссинеска, Зап. научн. семин. ПОМИ, 362, 2008, 92-119 (English transl. in J. Math. Sci., 159(4)(2009), 436-451).

53. Денисова И. В., Солонников В. А., Глобальная разрешимость задачи о движении двух несжимаемых капиллярных жидкостей в контейнере, Зап. научн. семин. ПОМИ 397 (2011), 20-52.

54. Solonnikov V. A., Lectures on evolution free boundary problems: classical solutions, Lectures Notes in Maths 1812 (2003), 123-175.

55. Солонников В. А., Начально-краевая задача для обобщённой системы уравнений Стокса в полупространстве, Зап. научн. семин. ПОМИ 271 (2000), 224-275 (English transl. in J. Math. Sci. 115 (2003), No. 6).

56. Бижанова Г. И., Солонников В. А., О задачах со свободными границами для параболических уравнений второго порядка, Алгебра и анализ 122000), по.6, 98-139 (Russian) (English transl. in St.Petersburg Math. J. 122001), no.6, 949-981).

57. Головкин К. К., Некоторые условия гладкости функции нескольких переменных и оценки операторов свёртки, Доклады Академии наук СССР 139 (1961), No.3, 524-527 (English transl., Soviet Math. Doklady Acad. Nauk SSSR 139-141 (1961), 949-953).

58. Lunardi A., Maximal space regularity in nonhomogeneous initial boundary-value parabolic problem, Num. Fund. Anal. Optim. 10 (1989), 323-349.

59. Головкин К. К., Об эквивалентных нормировках дробных пространств, Тр. МИ АН СССР 66 (1962), 364-383 (English transl., Proc. Steklov Inst, of Mathematics, AMS Translations, Ser 2, 81 (1969), 257-280).

60. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева H, Н„ Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Наука, М., 1967. (English transl., Amer. Math. Soc., Providence, RI,1968).

61. Солонников В. А., О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида, Тр. МИАН СССР, 83 (1965), 3-162 (English transl. Proc. Steklov Inst. Math. 1967).

62. Tanaka N., Two-phase free boundary problem for viscous incompressible thermocapillary convection, Japan J. Mech. 21 (1995), 1—41.

63. В. А. Солонников, О неустановившемся движении конечной изолированной массы самогравитирующей жидкости, Алгебра и анализ 1 (1989), №1, 207-250.

64. М. Padula, On the exponential stability of the rest state of a viscous compressible fluid, J. Math. Fluid Mech. 1 (1999), 62-77.

65. Солонников В. А., Оценка обобщённой энергии в задаче со свободной границей для вязкой несжимаемой жидкости, Зап. научн. семин. ЛОМИ 282 (2001), 216-243.

66. Ладыженская О. А., Краевые задачи математической физики, М:"Наука", 1973, 408 с. (English transl., Springer-Verlag, 1985).

67. Солонников В. А., О неустановившемся движении изолированного объёма вязкой несжимаемой жидкости, Изв. АН СССР, Сер. матем. 51 (1987), No.5,1065-1087 (English transl. in Math. USSR-Izv. 31 (1988), No.2, 381-405).

68. В. А. Солонников, On the stability of uniformly rotating viscous incompressible self-gravitating liquid, Зап. научн. семин. ПОМИ 348, 2007, 165-208.

69. Солонников В. А., Оценки решения нестационарной системы Навье-Стокса, Зап. научн. семин. ЛОМИ 38 (1973), 153-231 ( English transl. in J. Soviet Math. 8 (1977), no. 4, 467-529).

70. Солонников В. А., Оценки решения одной начально-краевой задачи для линейной нестационарной системы уравнений Навье-Стокса, Зап. научн. семин. ЛОМИ 59 (1976), 178-254 (English transl. in J. Soviet Math. 10 (1978), no. 2, 336-393).

71. Odkvist F. K. G., Uber die Rnwet aufgab en der Hydrodynamik zäher Flüssigkeiten, Math. Z. 32 (1930), no. 3, 329-375.

72. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, Наука, М., 1964.

73. Lagunova М. V., Solonnikov V. A., Nonstationary problem of thermocapillary convection, Ленинградское отделение Математического института (ЛОМИ), препринт Е-13-89, Ленинград 1989, 28 е.

74. Головкин К. К., Солонников В. А., Об оценках операторов свёртки, Зап. научн. семин. ЛОМИ 7 (1968), 6-86.

75. Pukhnachov V. V., Thermo capillary convection under low gravity, Fluid Dynamics Transactions, Warszawa: PWN, 14 (1989), 145-204.

76. Антановский Л. К., Копбосынов Б. К., Нестационарный термокапиллярный дрейф капли вязкой жидкости, Журнал прикладной механики и технической физики, 1986, No. 2, 59-64.

77. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теоретическая физика, т. 6, М.: "Наука", 1986, 736 е.

78. Гюнтер Н. М., Теория потенциала и её применение к основным задачам математической физики, М.: Гос. из-во технико-теоретической литературы, 1953, 415 с.

79. Schauder J., Potentialtheoretische Untersuchungen, Math. Z. 33 (1931), 602640.

80. Агранович M. С., Вишик M. И., Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида, Усп. мат. наук, 19 (1964), 53-152.

81. Solonnikov V. A., On the justification of the quasistationary approximation in the problem of motion of a viscous capillary drop, Interf. Free Bound. 1 (1999), No.2, 125-173.

82. Солонников В. А., Оценки решений нестационарной линеаризованной системы уравнений Навьс-Стокса, Тр. МИАН СССР, 70 (1964), 213-317.

83. Зейтунян P. X., Проблема термо-капиллярной неустойчивости Бернара-Марангони, Успехи физ. наук, 168(1998), №3, 259-286.

84. Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя ФМЛ, 1974, 712 е.