Двойственная теория оснащенных многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

%

КАЗД1СХИЯ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛШЕРСИТЕТ

На права* руяосясп

Столяров Алексей Васкльевлч

ДВОЙСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ОСИЛИВШИХ МНОГООБРАЗИЙ

01.01.01 - геомагрпя л топалогля

Автор® фор ат дяссэртоцаи на сопскандо ученой стеаекя доктора фаояйо-катеттичсскпд нцук

Казань- 3995

Работа Ешоллена в Чувашской государственной педагогнчес ком институте имени И.Я.Яковлева

Официальные оппоненты: доктор ^азико-математических наук, профессор ЛАзшова А.В доктор |]41эяко-иате1-лтическнх наук, профессор Феденко А.С доктор физико-математических наук, профессор Шелехов А.Ь

Ведущая организация - КаишшнградскЕй государственна университет

Заднта состоится I февраля 1996 г. в Пегасов на заезда ниц диссертационного совета Д.053.29.07 в Казанском государс венной университете по адресу:

420000, Казань, ул.Ленина, 18, корпус 2, еуд. 217

С диссертацией ыогно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного университета

Автореферат разослал

1395 Г*

Учений секретарь д«сссрт£ашснного сосега ,/

аоцент Шиаадщмз Н,А.

ОЫАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Б настоящее время дифференциальная геометрия представляет собой широкий фронт исследований разнообразных структур на гладких многообразиях. Геометрическая структура на таких многообразиях или подмногообразиях задается априори или индуцируется объемлющим пространством при помощи того или иного поля дифференциально-геометрического объекта.

Наряду с интенсивным изучением структур высших порядков (см., например, обзорные работы остается актуальным

изучение дифференциально-геометрических структур первого порядка. Известно, что теория связностей занимает существенное мео-то в дифференциальной геометрии; в рамках этой теории, например, чаще всего находяг приложения линейные связности при изучении геометрии оснащенных многообразий.

Дифференцируемое многообразие, погруженное в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащенным если на нем определено поле некоторого геометрического объекта О^ (поле оснащавшего объекта многообразия):

-Ч^Й)*)* + а*

где (х?1 - главные (первичше) формы, СО 1 - вторичные формы Пфаффа на многообразии. Тип оснащения погруженного многообразия характеризуется.строением основных функций Н^О?-) » определяющих оснащащай объект С^ ,

Отметим, что задача, возникающие при изучении оснащенных многообразий, в зависимости от типа оснащения, характера объемлющего пространства и исходного побуженного многообразия, ока-знваотся весьт разнообразными, что, повидамому, делает пробло-щ построения дифференциальной геометрии оснащениях многсобрат-

I. Ептуняк Л.Е,, Лумисто В.Г., Остяану Н.М., Широков А.П. Диф|ереициально~геометраческйе структуры иа шогообразиях.-В сб. иПройяеш геометрия, т.9 (Игога науки, л техн. ШШИ1Й АН СССР)", M., 1979, -246 с. •

2; Шкроков А.П, Структура на дифференцируемых многообразиях. -В со. «Алгебра. Топология. Геометрия, т.II (Итоги наука а техн. ВИНИТИ All СССР)" М., 1974. с.153-207! •

3. Лаптев Г.®, Дифференциальная геометрия погруженных много-овраанй. -Тр. Моск. иатем. о-ва, 1953, т.2, 0.275-382.

зиЁ неисчерпаемой.

Теория полей геоыетрических,объектов на дифференцируешх многообразиях составляет одно из основных направлений исследования современной дифференциальной геометрии. Актуальным раздел дои этой теории, благодаря своей многоаспектносте и широте постановки задач, является дифференциальная геометрия оснащенных многообразий, погруженных в различные однородные и обобщенные пространства. В рамках этой геометрии большой научный интерес представляет создание двойственной теории оснащениях многообразий, погруженных в пространство проективной связности .

Следует заметить, что до настоящего времени вопросы двойственной геометрии рассматривались лишь в случае, когда осЗъеил®» щее пространство, как Правило, является проективный СРИ((1=РП).

Используя двойственный характер геометрии проективного пространства , Б.В.Вагнер ^.п.Иорден А.И.Чахта-

'ури А.П.Широков , а также ряд других го она гроз Сара»

това, Каашш, Тбилиси, Еревана, Калининграда получила глубокие результаты по изучении некоторых вопросов двойственной геометрии нормализованной гиперповерхности С Рп , гиперполосы Ц№Срп I нормализованного пространства р„ , а таете по изучении двойственной геометрии сетей 51с р^ в В указанных работах важное место зшшмаат исследования по двойственным аффинаш связностяы,

1. Вагнер В,В. Теория поля локальных гидерполос. -Тр. сешд. по векторн. и тензори. анализу, 1950, в.8, с,197-272,

2. Вагнер В,В. Общая аффинная и центрально-проективная геометрия гшерповерхнооти в центрально-аффинном пространстве в ... ее приложения к геометрической творив преобразований Каратеодси ри в вариационном исчислении, -Тр. сешш. по векторн. и тензора» анализу, 1952, в.9, с,75-145.

3. Норден А,II. Пространства аффинной связности. -М,, над. «Наука" 1976, -432 с.

4. Чахтаури А.И. Внутренние геометрии плоских сетей. -Тр. Тбилисск. матем, ин-та АН ГрССР, 1947, 15, с.101-148.

5. Чахтаури А.И. Приложения внутренних геометрий плоских сетей .в теорию поверхностей. -Тр. Тбилисск. матем, ин-та АН ГрССР, IS54, 20, с,69-130.

6. Широков А.П. Пространства аффинной связности (некоторое аспекты метода нормализации А.П.Нордена). -В сб. „Проблей гйо*

^ilflsi'17 (ИТ0ГИ наука 11 гехн' шшиги ш СССР)", 12., 1333,

Определение двойственных пространств с линейной (проективной, аффинной, нфмальной) связностью), данное нами с точки зрения инболптишшх преобразований форм их связг.остей (двойственность в смысле инволютинносги автоморфизма алгебры Ли используется такяе Л.В.Сабининым при изучении простых компактных алгебр Ли) позволило:

1) при изучений двойственное геометрии подмногообразий рао-ширить объемлющее пространство (.проективное) до пространства проективн ой связности;

2) привлечь к изучению геометрии подмногообразия его двойственный образ (то есть проводить изучение его геометрж одновременно с двух сторон);

3) рассматривать двойственные вопросы не только при нормализации подчногообразия, но и при различных других его ос ¡гарпиях (в сшсле З.Картаиа ^, Э.Бортолотти а также прл касательном оснащении, определяемом тканью (сетью));

4) обобщать некоторые известные ранее геометрические факгн и получить новые результаты по двойственной геометрии подмногообразий (часть из них нельзя обнаружить, находясь в рамках проективного пространства);

5} впервые проводить изучение вопросов двойственной геоиет-рзз негодскомных многообразий, а именно, распред&тений.

. Следует заметить, что актуальность изучения геометрии распределений, а следовательно, и ваяность проблеш Пфай'З эпредожяется тем, что скст еьу ди^ференцяалышх уравнений в чпет-

1, Сабшгся Л.В. Инвоитвввая двойственность я простых г:см-шетных алгебрах Да» -Тр. Гсокзтр. семинара. шячп,

Ш СССР, 1369, т.2, с.277-293.

2,Саг1йя Е. Ьеа езрасоз а сспле*1оя рго^есИгг. -I?

о пзглорй. и тег'зстя. акаллзу, 1937, », с.1.?7-15Э.

3, £ог1о1о6С1 К. СоплеЕо1ол1 пеИо таг£еЬа 1иодо 1рр11саг1опо а!1а цвопе1г1а шегг±еа <НГГогелг.1п1р ЗеНс

!1 гаие.-НзпсЗ Звсйв, Зс1. 0П1тч СазИзг!. 1933,3,.ь.с:'-3э

4* РГеГГ 3. - £?г1. ДЬЬ., 182$,

ш производных всегда можно трактовать как пфаффову сис-

тем, то есть задача об интегрировании любой конечной системы дифференциальных уравнений с частными производными эквивалентна задаче об интегрировании некоторой системы Пфаффа.

Цель работы. Целью диссертационной работы является инвариантное построение основ двойственной теории оснащенных многообразий, погруженных в пространство проективной связности ри>ц • на основе широкого привлечения их двойственных образов; эта теория включает в себя решение следующих ключевых проблем:

1) рассмотреть с общих позиций и попытаться значительно пополнить и расширить теорию двойственных линейных связностей (проективных, аффинных, нормальных), индуцируемых при различных классических оснащениях (в сшсле Э.Картана, А.П.Нордена, Э.Бортолотти) некоторых многообразий пространства проективной связности (главы 1-1У);

2) построение основ инвариантной двойственной теории распределений, а именно, регулярного гиперполосного распределения ^сру, м Ут\ -мерных линейных элементов (глава П) и регулярного распределения гиперплоскостннх элементов (глава 1У), а также нахоадение путей ее приложения;

3) построение основ инвариантной двойственной теории ре1у-лярной щ-мерной гиперполосы Ии С р„ и (глава Ш) и регулярной гиперповерхности (глава 1У), а также нахождение путей ее прило-кения;

4) построение основ двойствешой теории многомерных сетей (тканей) и ее приложение к изучению геометрии различных подмногообразий, несущих такие сети (ткани) (главы I, П, 1У).

Задача сводится к изучению двойственной геометрии различных многообразий, оснащенных в том или ином сшсле, через посредство исследования дифференциально-геометрических структур ^, инду-

1. Картам . Э. Внешние дифференциальные систеш и их геомзг-раческне приложения. Изд. КГ/, 1252, -236 с.

2. Рошевский П.К. Геометрическая теория ураинений с частника производными. М., Гостехпздат, 1947, -354 с.

3. Осгиану Н.М. Дифферевдшьно-геодзетричесгж1 структуру на дайеренцируемых многообразиях, -в сб. „Проблем! геоииташ. т.8. (Итога науки в техн. ВИНИТИ АН СССР)", 1977, С.83-ПГ

цировашшх полями их фундаментальных и оснащающих объектов.

Метвдика исоледования. Двойственная теория оснащенных шо-гообразий развивается инвариантным аналитическим методом дифференциально-геометрических исследований (метод продолжений а охватов), созданным. Г.-ф.Лаптевым и опирающимся на исчисление внешних дифференциальных форм и на теорию представлений конечных групп Ли (А.М.Васильевым эта схема исследования распространена на пространства представления бесконечных групп Ли); это позволило:

1) исследование провести инвариант¡шм образом путем построения и изучения падей геометрических объектов, охваченных полями фундаментальных и оснащавших объектов;

2) изучить дифференциально-геометрические факты оснащенных многообразий, связанные с дифференциальными окрестностями по возможности высоких (до 3-го и 4-го) порядков.

Все результаты работы подучены в минимально специализированной системе отнесения, что также позволило получить результаты в инвариантной форме и глубже понять природу геометрических свойств оснащенного многообразия.

Наунная новизна результатов, полученных автором и выносимых на защиту, определяется следующим:

I) Значительно обогащена теория двойственных линейных свяэ» ностей (проективных, аффинных, нормальных), индуцвруеша пра классических оснащениях (оснащениях в смысла А.П.Нордена, Э.Кар» тана, Э.Бортсшотти) пространства проективной связности Ри>„ , регулярного гшерполосиого распределения , регулярной

гиперполосы Нь)£рИ)(,| регулярного распределения гиперплоскоот-ных элементов №срИ|1 и регулярной гиперповерхности у^ср,^ (главы 1-1У). ;

Полученше результата по двойственным аффинным связносгяы на оснащенных подмногообразиях значительно обобщают известные ранее результат. Исследования по двойственным проективным а норшльнш связнсстни на оснащенных под^огообраэиях ранее гео-¡дзтрами вообще не проводились.

I. Васильев A.M. Общие инвариантные метода в диффепенциаль-гео?>!«1'рил, --Докл. Ш СССР, 1951, <г.79, Л I, c.sX

2) Построена (главы Д, Ш основы инвариантных теорий pui дярного гаперпс ¡оспого распределения щ -мернше линейных bieuvciü 'jfСр,,, л Теория иеголоношой ишерпсяосн) и рзгулярнс распределении гдперплоскоствнх элементов XTiCp,,^ , показаш ÄBoKciSbiiuoci'b ::акдой из etüx теорий.

3) Б случай ро17лярной гиперполосц Йж^Ри решены (mißt Ш) такие цращишалыше вопроса как:

а) цаховдйязе ее полного внутреннего фундаментального объекта,

б) цахоЕдг-исе инвариантного условкл es квадратичности.

4) ЦаДцеца еззискность, описана схеиз и приведены приизр: (гласи II, 1У) применения да -Рсгвешюа теории ггперполосного распределена* jf сри и и распределения гвлерплосксстних алеы! tob TTiC'P„ „ :: построения инвариантных нермаяазодай указанна; подмногообразий; описанная схема пригодна такке для регулярш гипьриолосы !-UdpM и и регулярной гиперповерхности Vn-i^Pn ,

5) НаДце;ш (главы Я, Ш) л другле пути лрилагенил теория регулярного гиперполосного распределения С „ и регулярна гиперполосц ИтсРм к изучения внутренней геометрии распре, леиай Гас РП)П 1)1 -мзришс лшеШшх элементов, цт-меркых повэ] костей Vvr, С. Р*,„ (VT/ ^ rt-i ) и к изучения геометрии различии: оснащений кх. В частности, используя теории регулярных гипор; лос, доказано, что порядок полного внутреннего фундамеитадья! объекта поверхности УмСри ( го с n-i.) не превосходит ш та,

6) Разработана'(гласи I, IX, 1У) двойственная теория шоп ызрпых сетей (тканей); эта теория основана на других ыатераа; работ и разработана в предположениях, позволявших раскрцть < в более полном объема и увеличиващах область ее приложений,

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, пшц ченние в работе, ш/еат теоретическое значение, явлался дальнейшем развитием методов построения двойственной теории оска-щенша подмногссбразнй, похрухенних в пространство прсектавк» святости. «случайные в ней результаты могут оагь кснальгог-ш при иссягдолсшгс да$4.вр0нцйру'ешх многообразий, аогрудеита i едостдомм бссее об^ек (ила, наоборот, подчиненной) с?румг

ория гиперполос и гилерполосных распределении находит прадоао-о в механике, теоретической физике, при изучении геометрии огомерних поверхностей и распределе!шй tn -мерных лвиейшх емеитов.

Теория, разработанная в диссертационной работе, мажет бить пользована в качестве специальных лекционных курсов для сту-нтов старших курсов и аспирантов математических факультетов, и определенна тем курсовых, дипломных и вдучних работ.(сы. [33] ).

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации док-давались и обсуждались на международных и всесоюзных научдих пференциях по современны?/ проблемам геометрии (Тбилиси, 1969, .{2]; Самарканд, 1972, см.[7] ; Вильнюс, 1975, см.[Ю]; Казань, 76, см. [16]; Минск, 1979, см.[22]; Кемерово, 1983, см.[2б]; есса, 1984, см.[28]; Казань, 1992, cm.[3iJ), на Прибалтийских ометрических конференциях (Друскшшнкай, 1970, см.[20]; Тал-п, 1984, см.[27]), на заседания Всесоюзного Геометрического шшара имени проф. Г.Ф.Лаптева при Отделе математики ШШГШ СССР, на заседаниях научно-исследовательских семинаров в скве (МГУ, МГШ, МОЛИ, Отдел математики ШНИТИ АН СССР), Kara (ун-т), Тарту (ун-т), Калининграде (ун-т), Чебоксарах здин-т), а также в Казанском государственном университете Международном геомеррическом семинаре „Современная геометрия зе приложения", посвященном IOO-летив со дня рождения проф. 1.Широкова (январь-февраль 1995 г.).

Публикации. Основные научные результаты, включенные в дао-этацив, опубликованы в тридцати четырех печатных работах (сы. |-[з4]), опубликованных в ведущей отечественной научной перзо-№.

Вклад автора п разработку избранных проблей. Диссертация шется самостоятельном исследованием автора. Все опубликован" ; работы по теме диссертации, кроме одной (см, [31]), вшсиша-без соавторов; результаты § 5 работы [34J принадлежат автсру ¡сертации.

Структура и объем работы, Диссертация состсат из вподсказ ■ырех глав и списка цитированной литературы, содержащего 218 меяовалиЗ. Полный сбъсм работа сосгаалнет 290 c:-rj,omi глсапа-к, в том числа 270 сгг.а:шц текста,

ОСНОВНОЕ С0ДЕР1АШЕ РАБОТЫ

Во введении диссертации приведена общая характеристика работы и краткое ее содержание. Кроме того, каждая глава содержит введение, где приводится краткий обзор основной литературы, относящейся к рассматриваемому кругу вопросов.

В первой главе изучается двойственная геометрия нормализованного пространства проективной связности Рц<ч и плоских многомерных сетей 21 С .

В начале главы I, п.1) приводится материал, носящий реферативный характер; здесь отражены пути подхода Г.О.Лаптева ^ и Э.Кортана к определению классического пространства проективной связности Ру!)М с п-мерной базой "Вц и ^ -мерные центропроективными слоями.

Пространство проективной связности Рц,м называется нормализованным, если в нем задано поле ковектора , (2°ФО

= О, V1 ). В нормализованном пространстве Ри^и2ри „ найдены (.§ 1,32) поля тензоров , Лк , А^д , В^ С У, ■ 1, И ), компоненты которых охвачены компонентами фундаментальных объектов , {0°к> (С^ 0ЦК, О,0]; при этом тензор предполагается невырожденным Цо есть рассматривается невырожденная нормализация пространства Рц,и )• Нормализация пространства называется гармонической, если тензор симметричен.

Показано I, п.а), что невырожденная нормализация пространства Рм,ц индуцирует два поля инвариантных гиперквадрик 0.п-4. и ¿и-1 следовательно, и поле пучка инвариантных гиперквадрик), которые определяются в разных дифференциальны* окрестностях, причем относительно поля гиперквадрик й„-1 нормализация взаимна, а-условием ее взаимности относительно палл гиперквадрик й.ц-1 является обращение в нуль обобщенного чебы-шевского вектора Л.>,- .

Вводится ^введение к гл. I) следующее определите двойсх-

I. Лаптев Г.Ф, Основные зшфшштезимальные структуры высших порядков на гладком мюгообразии. -Тр. Геометр, сешнаоа. Ин-т научд. информ. АН СССР, 1966, т.1, с,139-189.

'¿. Cartan ii. Lecons aur la thiorie dee ¿spacoa а соплехгол

projective.-Гаг1в, 1937.

вешшх пространств с линейной (проективной, аффинной, нормальной) связностью: два пространства с линейной связностью (и соответствующие связности этих пространств), внутренним образом определяемые дашшм многообразием и его оснащением, называются двоЛ ответили, если форт связности этих пространств преобразуются друг в друга по некоторому инволютивному закону.

С использованием теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г.О.Лаптевнм получен (§ 2) один нз цеигролыа/х результатов гл.1, а именно:

при невырожденной нормализация пространства проективной Ри>„ индуцируются три проективные скязпосгп, сощ— в$тсгвухш;не им пространства проективной спязнссгя рп и , ,

ч тагасе нормализованы певнретдешшм образом я их базой ' слумит база исходного пространства р„(П ; при этом ii:nr/ir-ipor.ai¡-¡ше пространства леяяются двойственными относительно соответствующих ипволютивных пребразовапий jа (CL- 1,2,3) форы проективной сплзиости как между собой, так и по отношения к исходному пространствуpnj pn п ;_глр?лоют1:ость нормализации одного пз яространств р. (p,<j_ « 1,4) влечет гармоничное«, нориали-за:,ии всех другихч t tí i. t

Спрагедпиво: РИ;„= P„ 4=> Pn>„ = , где ри и ]>п -двойственные проективные пространства при данной норгшллзацкл;; при зтем pn п и необязательно будут проектпашя-а.а ниаино:

пространство \>п ^ ( рП(й ), индуцированное при невырездви-ноЗ. нормал'ИйагГ'Ш ярсекташого пространства рИ , выроздается

в проегсч-ивноо пространство тогда я толкло тогда, когда даллая

? Ü.

нормализация является гармонической; при атом Ip^sp ,

> Ji . ^з = CÍq , где - таздественноо преобразование фор:.-, связности.

Найдены (} 2,^.3) инпарнатчп/е условия совпадения спягпоз-тей пространств pn ^ л ^ (jv^ ):

I. Лаптев Г.Ф. Многообразия, погруженные в обобщению npsü'-

Ж!8»^! о?22б5йда 4-10 Всес> ШТе"' оъозла д..

Если ни одно из инволютивннх преобразований форм связ-

ности не является тождественным, то совокупность преобразозг liKfi образует симметрическую группу 4-го порядка. -

Доказано ¡. 5 3, п.1), что невырсиденная нормализация прес

ранства Р* и индуцирует четыре двойственнее относительно %

пространства, »¡фитой связности с кривизной и кручение»

при этом пространства Д„ и la такяе Аи .и Ди ) прс

екгивны друг другу. Угот результат остается в сило и в случо

Рн = í ПРИ этом связности V и У пространств At, i. »1

д имеют нулевое кручение и совпадая? с аЬфишыки связно тями первого и второго родов нормализованного пространства \ рассмотренным' А.И.Норденс;-«.

Подучен ('§ 3, п.И) ряд результатов по изучению геометрии двойственных пространств Д., :

а) показано, что пространство без кручошл является эквиаффишшм тогда и только тогда, когда нормализация исходи го пространства ри п вэаиша относительно поля инвариантных гиперквадрик ¿v.-i. t» случае ри,„^.ри последнее условие равш сильно гармоничности нормадпзацш пространства р7,, );

б) найдены ниваришпше условия совпадения связностей пространств Дм п Ди ( pt<] ) и нри этом выяснен характер геометрий соответствуюищх пространств;

в) найдено условие сиъметричиоетк любого из 4-х двойстве' ivjx пространств аффинной связности 1\п , индуцрруеиих при не ¡тализации проективного пространства рп ; сто условие равносильно совпадении связносгей всех 4-х пространств, что зквпво

леплю тс.\у, что дшадеренцируемое соответствие „точка Ав-:

гиперплоскость П»м(А<>)" есть поляритет охнэентатыю лепедю; ной гиперквадрики Q,,,^ .

Выяснен3, п.З) характер геометрий средних ©Кшишх С1 >,3400:1 СЙ Х7 по отношению К СВЯЗНООГЯМ V и & тюсг-

F ' -V

ранств а„ . Ah шщудируелгос гармэшгеескеЗ корг

лаз:и;цоД пространства prtjM :

и) связности у к V* совпадает (.ото справедливо при лжбой иевирапденной нормализации пространства р„ „ ), и в сл, чае се пулевого кручения соответствующая геометрия является pi

мановой с основным тензором ¿З^ ;

б) связность V (или у ) йез кручения является вейле-вой с основным тензором ^ ;

в) связность $ (или V ) йез кручения является эквиаф-финной.

Заметам, что п.п. б), в) имеет с;.шсл рассматривать лишь при •

В двух последу гвдх параграфах 4,5) гл. X изучается двойственная геометрия плоских многомерных сетей 5ГСру, ; при этом существенным образом используются результата §5 1-3. Отметим, что в теории плоских сетей и сетей на поверхностях

Ут Ср^ существенные результаты получены (по без привлечения теоряи двойственности) В.Т.Базнлевнм (см. обзор

Матер-дал § 4, п.1 носит рефератнвяиЗ характер; здесь записаны дифференциальные уравнения сети ^Е^ и приведены некоторые геометрические образы (ясевдофскусы р^- , гертшчео-кае полна; ), инвариантно порс«дпе:.ше сю.

Показано (§ <4, п.2), что з вопросах параллельного перенесс-ная налуозлеигл АаАу касательной к 3 -ой липли соги^СР„>() вдоль некоторой ее £ -ой линии в двойственных аффинных свяэ-ностях V (¡) =1,4), шщуцхруегшх невырожденной нормализацией пространства , достаточно использовать лишь первые две

связности V и V (.^С'О соответствуют условия относительно связностсй у и ^ , V и ^ совпадают). В соответствия о этим вводятся з рассмотрению чебылсвские м геодезические сети "2-Ср^,, первого и второго родов относительно дачной нормализации ~рп ц ; получены аналитические условия, характеризуют эти сети.

. При некоторой невыраэдекноЯ нормализация проективного пространства Рп сеть 21с Рм порождает соотвотсгвугшдЛ ей двойственный образ - топгешяольнуя плоскую есть ^ ; найдены (§5, п.1) д;: ор с ¡и п; аъ ыпю уравнения сети , вырпже-юся ее асввдаЗояалышх гиперплоскостей о* п гармонических

I. Базнлез В.Т. (совм. с Кузьминым 11.К.-, Сгойяровна А.В:)« Сети на многообразиях. -в сб. «Проблемы геометрии, т. 12 (Итога науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)", м., 1981, с.97-125.

тУК

гвперполжсов ^ теперь, в отличие от Кэ . Ь^ , можно начать псевдофоку сами и гармоническими полюсами второго рода сети 21 с рпри данной нормализации А0—? \а пространства р* Инвариантная точка Р пересечения гармонических полюсов вто рого рода называется гармонической точкой сети 5Гср„ при дай но! нормализации пространства. 1) случае, когда полем нормализующих гиперплоскостей служит поле гармонических гиперпл костей [Р^З сети, гармоническая точка Р является обобще наем лапласовой точки сети ^ср^ , введенной Л.И.Чахтаури; если при этом /10= ]7 , то такая нормализация пространства называется взаишогармошческой относительно сети ^Гср^ (при И = 2, согласно Л.И.Чахтаури, взаиглнолапласовой).

Доказшш (§ 5, п.п.1,2) следующие предложения: 1

а) Невырожденный патяритст .До—>{а с абсолютом йц^ есть гармоническое соответствие относительно сети (. ^ ■ гармоническая плоскость [Г^З сети) тогда и только тогда, ко Да ГГ= Л о •

б) Невырожденная нормализация Аа-—><?0 проективного прос ранства Рп ( И> Я*), относительно которой сеть р„ --чо бышевская первого (второго), рода, является гармоничной сети (аналитическим условием последнего является = 0, ) причем полем нормализующих гиперплоскостей (точек А0 ) служит поле гармонически* гиперплоскостей [р^ (точек р ) се'

в) В невырожденной нормализации А0—> ^ проективного пространства рц , гармоничной сети 1с , рассматривает сеть есть геодезическая второго (первого) рода тогда в только тогда, когда она является сетью с совпавшими псевдофокусами первого (второго) рода и поле гиперплоскостей (точек Д0 совпадает с полем ее гармонических гиперплоскостей (точек ).

г) Чебышевская сеть первого (второго) рода при

V) > 2, есгь У)-сопряженная система, являющаяся геодезическо! сеть» второго (первого) рода относительно данной нормализации пространства рп .

Вторая глава посвящена построению инвариантной двойственной теории регулярного гиперполооного распределения^

Г) -мерных линейных элементов (неголономшх гиперполос) в прост-)анстве проективной связности , двойственной теории осна-

денного многообразия и нахождению некоторых путей при-

гожения этих теорий.

Гиперполосниы распределеней >н \п-мерных линейных

»лементов наш названа пара распределений 1-го рода, состоящая 13 базисного распределения Ун -парных линейных адв-

ентов и оснащающего распределения гиперплоскостных

»лементов с отношением инцидентности их соответствующих элементов в общем центре; в работе эта пара рассматривается как еди-юв погруженное многообразие.

Дифференциальные уравнения .многообразия в предпо-, ■

юлении его регулярности (то есть невырожденности тензора 1-го юредка Л^у ) записываются (§ I, п.1) в репере 1-го порядка; здесь же найден геометрический смысл некоторых тензоров 1-го горядка.

Построены (§ I, п,2) поля фундаментальных геометрических эбъектов и некоторых охваченных объектов распределения "З^Рп.ц хо 3-го порядка включительно; при этом выделяется сшлостоятедь-шй фундаментальный объект {Л^-, Л"-> - подобъект

фундаментального объекта порядка 2 распределения . В с.ч-5У этого в той части геометрии распределе1шя 'Я С Рп>„ , которая зпределяется фундаментальными подобъекташ (с привлечение« объектов (Л^-, Л" {Л^-} )» имеется аналогия с геометрией регулярных гиперпо!ос Нт ^РП|Я ( = Г71г| ; ¿гйТ^ы). 1о геометрия распределегшй ЭД богаче геометрии гиперполоо, 1бо содержит построения, не имеющие смысла для последних.

В первых трех дифференциальных окрестностях элемента регулярного распределения построены (§ 2, п.2) поля характерных квазилормалей; в окрестности 1-го порядка - квазинорка-ш К- и , в окрестности 2-го порядка - и , в окрестности 3-го порядка - квазинормаль !<;. . Поле квазинормали

устанавливает аналог поляритета Бомтаяни-Пантази, поле 1вазинорыали устанавливает поляритет относительно поля зоприкасаащахся гиперквадрик (см. § 3, п,1).

С помощь» найденных полей квазннорыалей в первых трах дифференциальных окрестностях получены (§ 2, п.2) различные инро-

^иаапше ьщтрешшм образом определенные нормализации распределения „: нормализации Михэйлеску, Вильчинского, две нормализации Сдйшл и г.д.

Строятся (6 2, п.З) инвариантные оснащения в смысле 3.Картава регулярного гнперполосного распределения ; пра отоы в каждом центре А о распределения С ри>„ инварыантныа оснащающие плоскости Кенигса всех нормалей 1-го рода д/ц-»и О) принадлежат одной связке, ( И- П1-2)~меРная вершина которой лежит в характеристике Луу-т-1 и является осью каздой из плоскостей Конигса; точки Кенигса всех инвариантных нормалей Д связанных с данным центром А 0 распределения СРМ, п » ле2аг на одной гиперквадрике, которая является аналогом обобщенной гиперквадршси Беля, но, в отличие от гиперквадрик: Батя на рао-пределеаии гииерплоскостных элементов, она выроздепа.

Доказано (§ 3, п.1), что регулярное гипернолосное распрзда-ление ';}{ уг)-1.:ерша линейных элементов порождает три раз-

личных поля инвариантных соприкасающиеся гиперквадрик; откачаны некоторые особенности этих гиперквадрик. В соответствии с этим построено (§ 3, п.2) три поля аналогов тензора Дарбу; обращение в нуль кавдого из них в случае симметрии тензора А есть условие касания 3-го порядка гиперквадрик соответствующего поля с данным распределением.

Один из центральных результатов гл. П получен в § 4 (теорема П.5): регулярное гиперполосное распределение ^с Ри,„

-мерных лшейных элементов во 2-й дифференциальной окрестности его образующего элемента индуцирует:

а) пространство проективной связности Р*и,й , двойственное исходному рп>м , причем пространства рП;П и рГ ^ могут быть проективными лишь одновременно;

б) многообразие ^"ср, , , двойственное исходаоцу ^

Этот результат открывает путь к построению двойственной

геометрии ~ЦСРП)н : можно строить поля фундаментальны! в охваченных геом&Фряческих объектов двойственного многообразия %СРу),п » используя формулы охватов §§ 1-3; вти поля геоиат-рическнх объектов определ**?? внутрсншсо геометрию многообразия » ДвоЯственную геометрии исходного раеггредадешя ;

Двойственная теория имеет место и при различит оснащениях распределения ^С^Рп.п (§5 5-7).

Доказано (§ 5, теорема П.6), что нормализация одного_иа двойственных регулярных распределений и "Л с рП)

равносильна нормализации другого; найдена связь ыеаду цоцпониц»< тами полей оснацахщлх объектов {>)'„,• Найдена воэ-

шхность и приведены примеры применения двойственной теории распределения п к построении его инвариантных нормализа-

ции.

Центральным результатом § 5 является теороиа П.7: на норлц-лизовакноы регулярном типерпслосноы распределении м-иэрннх линейных элементов ^(сРц,* индуцируится две двойственные вф^Шг-ше связности V и ; вта связности обобщенно сопряжены относительно поля основного фундаментального тензора Л^ вдоль любой кривоЯ, пркнеддехецей базисному распределении многообразия ; вела пространство'Р^,« I рИ)„ ) имеет нулевое кручение, то соответствующее пространство аффинной связности

дм „,( АЙ)П,) имеет нулевое кручение тогда и только тогда, норда распределение норьтеЗ первого рода (второго рода Л^.^) ) является голонокшш.

При найдены геометрические характеристика парал-

лельного перенесения допустимого направления в овязноотях н V вдоль кривых, принадлежащих базисному распредвдениа многообразия С Ри . В случае пространств а ^ без

кручения для распределения р^ с полей сишетркчвского тензора^ДуК ^получено геометрическое условие совпадения овгэ-ноотеЛ 7 и с .

Если на базисной распределении регулярного гинерподосного распределения уп-мяркш: лвнаЬшх элементов "ЦСРп,» задано КП (УУ1 >2. ) ливейяо незавиоишх гладких полей допуотыеа направлений, со линия, огнбавеае поля а тих направлена!!, пранад" лежат бааионоку распределении образуют ва веы уп-*Е£ИЬ { Щй? иом на многообразна п , двовотвонаоы исшщноцу, вв»

ДУВДРУв*оЕ тсЕгешдааяь'пая уп -тг-эаь <1 М , С яопйзьвсзР4И-» Д9«йотввнкнх сбраосв к с. рП(И в дегаадш (§ в) ел?*.

дуювде предложения:

1. В случае симметрии основного тензора А ас распредело-. лая , несущего ^-ткапь, двойственные поля квазитен-аоров pj, t (¡Я во 2-й дифференциальной окрестности олеиента распределения определяет инвариантную нормализацию многообразия

"jf ; в случае ткана ÜE^-JC • сопряженной относительно поля тензора ДН- , нормали f.i, являются ее гаршлгаче скака плоскостями и относятся к первой дифференциальной окрестности олемента распределения и ткани. ,

2. Для распределения . несущего сопряженную относительно поля тензора Д£с ткань !Е_ , поля ее гармонических плоскостей нормализуют многообразие "jf взаимно тогда и только тогда, когда данная ткань есть ткань Дарбу.

3. Сопряженная относительно доля тензора Д^ т -ткань !Ec3{cp„iti есть ткань с совпавшие псевдофокусаш (псовдофо-

кальдыыи гиперплоскостями) тогда и только тогда, когда относительно поля ее гармонически плоскостей ( <%Ln ) она является геодезической второго (первого) рода.

4. Сопряженная относительно поля тензора .Acic чебшпевская УЛ -ткань С.~2{срп первого (второго) рода являегоя геодезп-чоской второго (первого) рода; следовательно, такая ткань принадлежит к классу тканей с совпаыпими псавдофокусамп (псевдофо-калышыя гиперплоскостями). _

5. Еола пространства P„jn в ри имеют нулевое вручение, то голоноыное или взаимное гшерполосное распределение 1fcpni>1 , на котором сопряженная относительно поля тензора №-ткань является чебшгавской первого и второго родов (одновременно), имеет касание 3-го порядка с соприкасающимися гиперквадриками инвариантного поля тогда и только тогда, когда поля гарыошпео-ких плоокостей ткани нормализует многообразие воаишо.

Доказано (§ 7), что на оснащенном в смысле Э.Картава регулярной гиперполоснои распределении Уп -мерных линейных аламец-тов J[cPlljtl индуцируетоя первая проективная связность (связность путем проектирования); найден тензор кривизны-кручения соотвгтетвумцепо пространства проективной связности Если = , по в случае Упг-£ при .тюбом смещении центра

А0 распределения смещение оснащающей плоскости па в «ходит из нормали первого рода тогда и только тогдо, когда оснащающая плоскость неподвижна; при атом Д/Гь1П_.^ ^ является плоскостью Коннгса нормали ДА и пространство плоское.

Центральным результатом § 7 является теорема П.15: при оо-нащении в смысле Э.Картана распределения С р^ кроме первой проективной связности в случае симметрии основного тензора Д"^ индуцируются еще две проективные связности, которые отличаются лишь различными охватом тензора • ¡г^тчоц'•

а) пространства проективной связности и ТР„>М дрсйст-ззшм друг друг}-; 1 ь

б) пространства р^ и двойственны тогда и только тогда, когда тензор П^-Т*}^] обращается в пуль; при этом ооь осишцающзй плоскости Л^-гп-^) есть ось Кенкгса и все три пространства , р ш , г> попарно двойст-войны.

Заметим, что на оснащенной (в сигам Э.Картана) регулярной гипораолосо ИупСр^п связности пространств £> и сов-

падают и пространства рп „ и щ всегда двойственны.

В случаеРи :

а) найдено геометрическое условие двойственности просг-

Р^058 К,* м ^

б) пространство р„ „ , индуцируемое оскащениом голономно-го распределения неподвижной плоскостью С м • имеет нулевое 1фучеше и является двойственным пространству

рп ^ ; если при этом подтензор тензора кравизнн-круче-

нпя этого пространства обращается Ь нуль, то поле нормалей первого рода ^ образует связку первых директрис Вильчинского \)С/п о (п-пь! )~морной вершиной //и-т-1. , являющейся плоо-костыо Иоввгса директрисы.

В дополнение к найденной в § 5, я.1 возмаиостл применения двойственной теоряа регулярного гипераолосного распределения

х построению его инвариантных нормализаций в § 8 указаны еще некоторые пути прилсвешш теория многообразия , С

аопользованием работы Н.Ы.Остиану ^ показано, что при n-m < , И- {_ с распределением ^-мерных ладейных

едвментов W^Ph.m во 2-й дифференциальной окрестности инваг* риантным внутренним образои ассоциируется гиперполосное распределение 'Jf , для которого распределение XfL является (Зазио-шш; при доказывается, что распределение rJ( регу-

лярно тогда и только тогда, когда тензорCjAc- 2"Г0 порядка новорожден.

В случае регулярности 1f{Ср^,, теорию гшерполосного рао-пределения, рассмотренную в гл. П (§§ 1-7). мохно приложить к иаучешаз геометрии распределения >у) -мерных линейных элементов; все ото приводит к обогащению теории распределений м-мерных линейных элементов новыми геометрическими фактами (сводное перечисление основных аз них приведено в § 8).

Третья глава диссертации посвящена построения основ инвариантной двойственной теории регулярной гипзраолосы H^Cpn,n OrUH-i) и нахождения некоторых путей ее прилско-ейя к изучений внутренней геометрии многомерных поверхностей.

Согласно гл. Л, геометрия регулярной гиперполосы получается из той частя геометрии голоногого распрзделенкя . ^ СРи Ii » котора! определяется полями фундаментальных под-оОьектов' (Лу, Ас/к,...} •■■} • {Щ,-} • яря

построении внутренней геометрии гшерподоса встречаются и своя трудности (в отличие от ^fcp>Vn ); частности, построение двойственной геогиитрид регулярной гиперполосы Hm £ Ри « наталкивается на трудность такого характера, как отсутствие на аей поля тензора Ац^ первого порядка (гл, П).

Катодом охватов и путец ресеикя матричного уравнения во 2-гй диф^-зропцаальаой окрестности глоыойта пш-эраалооы V!h,Cprijf) iicorpoeao (5 I, ц.1) поле навырсзденного текзора . Вмзо»

то отсутствуших на гйпорпояосе Pm подсЗ; чейсора 1-го цор;<уда Аи^ я геометрического объзета 2-го порядка tAuufc Alb öePeu» «кяввкявовно, подо тензора 2-ro

1, Остколу H.Mi Распределения 'т-аюраих дано&шх елзнзн«* tos в пространство проективной озязаоота. II. -Тр. Геометр. се-шшора. Ии-т аоучн, шфоры. АН СССР, 1971, т.З, с.95-114.

пордцка и пала геометрического объекта 3-го порядка

I л ЛИД : ото позволило (§ I, п.2) получить одни

® и1>$, о ц1> г л 1 с| ) „ _

пв центральных результатов гл. И: с регулярной глпорполосоа )-|(11 пространства проективной связности р„)И ассоциируются два двойственные между собой пространства проективной овязноо-та п и р1П)И и двойственный образ VI* > причем пространства О „ и могут быть плосюют лишь одновременно.

^ п * Г" р ^ * ——

В сплу наличия двойственного образа Ни, регулярной ги-перполосн Н^СРц« появляется возмохнссть построения двойственной геомотрнл многообразия . Двойственная теория идее? г/ют о к на оснащенной регулярной гиперполосе . л , В § 2 изучаются двойственные аффинные связности V а У з касательном расслоения Т^ (Ни] двойственно нормализованной (и с.'-мсле А.В.Чакмззяка) ре^лярноЗ гппсрполосн \\уъ£рНп • Сцраведлзво предлсаекпе, аналогичное первой пасти теоремы Н»7; при этом если пространство ( Р„,,я ) - без чручсн;;я,£ то соответствующее пространство оЗфишоХ связности А», т С Л ,„,,„) тогло имеот нулевое кручение (в отличие от второй части т соре: г». П.7), причем средняя аффинная связность V является пойлевей, В случае р.^нр,, :

а) найдено геометрическое условие совиедсняд двойохвошшх а®И!!Я10С СЕЯЗЯОСГСЯ V И 47 • КрК ВИПОЛНСНЩ! этого условия связность У = У = у является рдмановой; ^ б) доказало, что гсокзгрил двоЯсгвоиннх а&фзннмх связностс* V и V , индуцируема взаимной кордчтэацаеа гаасрпояосд Нм^Рп » могут бить экви&;£фцнццяи лкпь одновременно; при ен-солно1!:''д условия их эквпаКшшосги сродаяя связность '{} является ркманолоХ. В частности, юркалдзацзд уубинл гиюрполоса Ну«сРп и! 1дуцнруст еквиа^ншно связности V л ф

л) поилсг-ло, что если для некоторой взаимной норналлзоцкк гплерпедоец Иум^Рм тензор!* Рлччи двойсгпснкнх а^чншк с:гл:>-носгеЧ V п Ч сопиад«'."?т, то данг я иоркалезедоиг является поркал^ацкей Глль'мнсхого. •

В 5 3 изучается двойственные линейные (нормальные) связное--I в лормалызнх раоелоенпях п пормалкзовэл-

пой гапзрполосы |{,п Срм,. Огмегям, что существенные результаты по изучения нормальных свясностей и строекпя подмногоэбра-

3üfi с нарадлелышш нормальными поляш получены в работах. Ю.Г. Думаете, А.ВЛакыазяна 1см. обзор Чена ' и Яко К

Нейтральным результатом § 3 является предлс&еиае (теоре.ча Ü1.7): на двойственно нормелизавашюй регулярной гиперполосе ¡"L в 1МР1,'Ш1ЫШХ расслоениях СИ»«.) . ИВДУ"

цнруятся двойственные центропроективше (ыэриачышо) связности Г> й ]S , одредедяегиые, соответственно, скстешииа фори

и {©5,6^} h кавдая из этик систеи ,

иишчае* подсистем [e^eS) . (бЭД , • гаГ-о-

двляжие двойственные линевше связности в расслоении характеристик Пн-*1-1(Дм) • в расслоении направлений в характеристике к в расслоениях их двойственных образов соответственно; связности {¿у | . (©^ являются обобщенно сопряженным* относительно поля тензора .

Ii случае PV1 n =р изуча?)тся некоторые вопросы геометрии отих связностсй:

б) иоле характери'откк Ип.щ^СЛц) (касателыгих плоскостей ^ является параллельным в нормальней связности!) ("Dj ;

б) найдено иавариаятное аналитическое, у словно, при котором поле инвариантных прямых [AoA^OlJ (.гиперпрямых '¿„(;1)] ) на регулярной гиг.ерподосе Ц^СРц , определяемое полем квазатса-зора ( )^ ягляется параллельным а нормальной связаооти •D i Т; >;

в) для общей регулярной гнлерполоси Й^-о^Ри » 3-2 даффе-рекшальпой окресгиосгн сучесгвуег еданстоештя квЕйрнаданая внугрвкпик сбразоы определяемая ее нормализация, поля mteaps-актных прямых [AoMJ и пшерсряшх [^о^] которой я

соралледышма в —------------------------ -

соответственно;

Х.Лужсте Ю.Г., Члкмазяи A.B. Нормальная связность г. код-

ягляйгая

яоралледышм;! в двойственных нормальных связностях D и D

Pars

2,Chen bang - xexi. Geometry of submanifolds. -New York. )oi lie, Dakar, 1973, X.,p. 308. '

£,Chen Sanä -Уел, Jan о Kentaro. Submanifaldu umbilical with 197зГ25;°^.3?рЖЙ6: n°mal Math.SenUn.R

г) если поле инвариантных прямых [А„ Й] (гиперпрякыт (-})] ) общей нормализованной регулярной гиперполосы

срп параллельно в нормальной связности р (с> ), то сеть (тангенциальная сеть) линий кривизны этого поля, сопряженная относительно поля главного фундаментального тензора Л"^ гиперполосы, является сопряженной на ее базисной поверхности V* (на гиперповерхности ранга но ).

В случае „=Р* вводится (5 3, л.З) понятие объемных тензоров двойственных нормальных связностей и {¿^.^ ; доказано, что в случае взаимной нормализации гиперполосы Н№ с ри сумма этих объемных тензоров равна нулю тогда и только тогда, когда одна из двойственных аффинных связностей у и V в касательном расслоении Т1«, (_Н,л) оквияффинна.

Вшерполоса называется квадратичной, если ее базио-

иая поверхность лежит на некоторой невырозденной непод-

вижной гиперквадрике О. ^ 1 , причем семейством главных касательных гиперплоскостей гиперполосы служит семейство касательных плоскостей гиперквадрики в точкйХ • Доказано (§ 4), что одноррекешое обращение в нуль трах тензоров 2-го и 3-го порядков (тензор Дзрбу), ТЭ , является необходим;« л достаточный условием квадрлтичнсстп щ-даркоЗ регулярной гиперполосы, погруженной в И-тер;! со проективное пространство.

Найден (§5) полный внутренний ^ундамонталъкый объект гуллрной гкпорполосм Цтсрп , а именно, доказано, что ся фундаментальный геоеттрпчзскнй объект 4-го лорялка толстая полним, то есть при задания этого объекта гкл ? гполот 11с р„ определяется с точностьп до проективного преобразования прост-' ранства.

5 6 посвящен некоторым вопросам прило-теиля тооргл регулярных гкпериолсо. С поверхностью \{У1ср}1 „ (О < \п <с )• лаоно работе ^, в 3-й до|фере!щяачьной окрсстпостп внутренним образом ассоптшрустсл глиоряолосл Ц,,, . Б случая рп ,, = гэ,

I» Остяолу II,К. О геометрии многомерной по';ерхнос"" проективного пространства. -Тр. Геометр, стшара, Ип-т гаучнр!«"-форм. АН СССР, 1986г т.1, е.239-263. ' * . "

доказало, что условием ее регулярности является нешрондаияооть тензора 3-го порядка íj, Д^ ■ ; показано, что для общей поверхности тензор íLAt-^ аевырозден.

Эта обстоятельство позволяет, в частности, установить вйрх-нюю границу порядка полного внутреннего фундаментального объекта поверхности Vín^P», . а именно: порядок полного внутреннего фундаментального объекта поверхности )

не превосходит шести (согласно работе ' стр. 23, шасняя его граница - не ниже пяти).

В случае регулярности гилерполосц Hui , ассоциировае-

ной с поверхностью У^с- Рц,„ ( Я ¿ vvi ¿ н- i ), справедливи результаты, полученные в §§ 1-4 настоящей главы, а также результаты гл. П, 6,7; сводное перечисление основных из них (применительно к поверхности Vm^Pw.n ) приведено в § 6, п.З,

Четвертая глава- диссертации посвящена построению и изучению двойственных геометрий, определяемых различными оснащениями регулярного распределения гшерплоскостных влеиаи-тов Ж( и регулярной гиперповерхности Vvvi в пространстве проективной связности Pn,rt (в проективном пространстве Рм ).

Доказано (§ I, пД), что ре17лярное распределение гипердлоо-костных апемонтов TT?¿ Рад индуцирует:

а) во 2-й дифференциальной окрестности - пространство проективной связности , двойственное Р„,м . причем втп два пространства могут быть проективными лишь одновременно;

б)_в 1-й дифференциальной окрестности - многообраеие "uut^"Pn,n • двойственное исходному *ШТ . Все это позволяет поотроить в разных дифференциальных окрестностях двойственные поля геометрических объектов на многообразиях )íflcP„¡h а

Ш С рп>1), которые и определяют двойственную геоыатрию распределения YXZ¿-Pn¡r¡. При атом в той часта стой геометры:, которое определяется полями фундаментальных подобъектов М,- .Л- • I,

i Í.JI"-' "-Jl'-'Js)

имеется аналогия с геометрией регулярной гиперповерхности Vb-icR,,« (L,j,K«<l,n-i ).

Двойственная теория имеет место и при различных оспацеадех распределения ШсРИ;Г1 и гиперповерхности V^cp^ (§§ 2-5).

По схеме, описанной в гл. П, § 5, п.1, даоЗстввяну» георщ; Распределения тчшерплоскосгных элементов УЦСР^ шено npzzo-

яить к построении ого различных внутренних двойственных нориа-лигацай; приведено (§2) пять примеров (во 2-й дифференциальной окрестности - 3, в 3-й - 2 примера) построения внутренних двойственных иоршлизацай распределения "ЙЖСРи>(1 . причем но них лкшь нормализации Фубини и Вильчинского (4-й и 5-й прамеры) кыеют место на регулярной гиперповерхности (в отоы

случае 01Ш относятся к 4-Й дифференциальной окреотпоста точка

Найдены (5 3, н.1) отроаиня слоевых форм и

(Г,]~ = о, п-1) двойственных аффинных евязноотей а V , .¿¿'цяруешх на нормализованном регулярном распределении ТПС р„)П ; пра этом: г

а) связности ^ 11 обобщенно сопряжены относительно поля тензора Л*}- вдоль любой кривой, принадлежащей распределении 1ПЯс.рП)„ ; __

б) еслп пространство Ри,ц ( ри ) - без кручения, то соответствующее пространство аффинной связности Л «,„-4 ( А п,л-1) также имеет нулевое кручение, ^ ^

Найдено геометрическое условие совпадения связностзйу и V .

Доказано (5 3, п.2), что нормализация регулярного распределения гшгерплоскостных элементов шщуцируот аща два двойственные аффинные связности, определяете системами (фора [И^} а {А^-) соответственно; при^этом соответствующее пространство аффшной связности „ ( ) имеет нулевоэ кручена© тогда и только тогда, когда пространство проективной свлзлсстд Р«,» ( Р„,п ) - без кручент, ^ 4

Система {А~ \ ) содардиг подсистему ),

являщуюся системой слоевых форы аффинной связности, Домзеяа следующие предложения: ь

а) аффяшше связности {9^} и совпадеэт тогда в только" тогда, когда направление нормали 1-го "рода ^ в связности пространства переносится параллельно вдоль двбоД крапоЛ, пркЕадлежеврй распределении Ж1с Рп,ч ; при этом нориалышя точка нормали у, совпадает о ее точной Кенигса;

б) кацраыеюо порвали 1-го рода р-з с пр еде легши йгу? ¿Гр^ (П>/3 ) о&тадяет свойством абсолютное гхпрадлодани отаоса-телько связности (51) пространства тогда и только тогда,

когда точка Кэнлгса этой нормали неподвижна.

Икают также место предложения, двойственные приведенным вп-ше теоремам.

Справедлив результат (§ 3, п.З), яьшадайоя еналогои теоре« ш 1У.1: с регулярной гиперповерхностью ^.^Рп,« ассоцкирувт-ся даа двойственные пространства проективной связности Рп-\,п » р~п I с общей базой Уц и двойственный образ Уу,^ » причем пространства И и рп_4 могут быть плоскими лишь одновременно. —

Наличие двойственного образа регулярней гиперповерх-

нооти РГ11„ открывает возможности изучения двойогвеннше

геометрий пря различных ее оснащениях (§§ 3-5).

Например, на нормализованной регулярной гиперповерхности \/п_4.Срп п индуцируются две двойственные аффинные связноотв V и V (вообще говоря, с кручением); в случае ри,„=р„ связности ф- и V совпадают с аффинными связи остями (без кру-чеякя) первого и второго родов на нормализованной гиперповерхности \/и-±Срп , рассмотренными А.П.Норденом. Приведен (5 3, п.4) ряд результатов (теоремы 17,6-17.9) по изучении геометрии двойственных связностей $ и V .

Используя двойственный образ сети на регулярной гипер** поверхности Уи.^Р^,,, получен (§ 4) ряд результатов по двойственной геометрии сопряженных сетей \/п_1 , являющихся аналогами (с некоторой модификацией) теорем П.10-П.13. В случае Рп.и-Рп подучен РОД Других результатов; в ^астности:

а) двойственные аффинные связности ^ в р , ишгпшруемыа взаимной нормализацией регулярной гиперповерхности(п?3), когда пелем нормалей второго (первого) рода служит поле гармонических гшерпрямых (прямых) сопряженной чебшдевской сети Тс первого (второго) рода, являются эквиаффинным!, а их средняя геометрия - риманова;

0) если гиперповерхность Уг-х^Р«. (И>3). несущая голонэк-кую современную сеть с совпавшими псевдофокусами и псевдс$о-кальяьгж гиперплоскостями, нормализована сохяш гаргюннчесякх Я гкпорпря/лпе С2те , то индуцируемые двойственные лунные пмзиости V I" V вкйв44фшш.м:з, а га средняя гсо^сгрид - рк^гнеза.

В последнем разделе (§ 5) гл. 1У изучаются двойственные юеятивные связности на регулярной гиперповерхности Уц-*СРМ , ¡нащенной в смысле Э.Картана (п.1) и Э.Бортолотти Си.2). При ■ом теоремы 17.15, 1У.16., 17.18, 1У.ГЭ, получешше при оска-¡ниа п » смысле Э.Картана, являются аналогами (с неко-

)роЙ модификацией) предложений, соответственно, П.14, П.15, ,17, П.19; например, теорема 1У.18 (аналог предложения П.17 зар^^р^ ) звучит так: необходимым и достаточным условием эвпадения связностеЯ двойственных пространств к

1 и { , индуцируемых при оснащении (в смысла Э.Картана) ре-рлярной гиперповерхности , является вырождение ее в

шерквадрику.

Показано (§ 5, п.2), что оснащение в смнслз Э.Бортолотти шерповерхносги , являющееся базой пространства

у\ ' равносильно ее 'оснащении в смысле Э.Картана как ба-ы двойственного пространства п . В силу этого при оснащении в смысле Э.Бортолотти регулярной гиперповерхности /л_1СрУ) п справедливы результаты, двойственные соогветствую-т результатам при ее оснащении в смысле Э.Картана;

оснащение в смысле Э.Бортолотти регулярной гиперповерхности кроме первой проективной связности в случае О

дпуцируот вторую проективную связность, причем ссотвстствушко ростраяствп проективной связности и р>и_( и 1 являются

войствешшма относительно инволптивного преобразования фор"» х связностеЯ; в.случае Рг,п=Рм : а) пространство яв-

яется проективным тогда и только тогда, когда осводавщая плс?-оегь ПИ.1(А() неподвшша;. б) пространство р^.,.^ „является роективным тогда и только тогда, когда подтензор тоязо-

а его кривизны-кручения обращается в нуль; в) необходим-!"', п ¡остаточным условием совпадения связностеЯ пространств : Рп. является шрояденив гмюрповсрхиосгц в пшерклатрязег; ■) оолл дшоЯстлошшо пространсгва Ру,.1(и и , отогтрг.'-:о яелйнтся проэктпвидап, то осшзщаетш! плоское*.'- "гт^ ¿(.А.,) жподшгжа л секойстпс гаоскостс! ПЧ.(,(Д0)5.П . А'г •(■]-,) 10Л*2 вторнх дярсэтряс Еашлшохого. ~ ' - -'■•/

Зелота?, пп> црп VI ~ 3 п. г) иеслэдтго гг '-/""птагг! г".*?-!Т л обрапгуд

- '¿В -

Рассмотрения в диссертации проводятся с локальной течки зрения; все встречающиеся в ней функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми {го есть изучаемые многообразия достаточно гладкие). Б диссертации приведены доказательства всех основных результатов автора (см.стр.10-27), вьшоепшх на защиту. Список

основных публикаций автора по теме диссертации

1. Столяров А.Б. О внутренней геометрии двух классов плоских многомерных сетей в проективном пространстве //Изв. вузов. Мат. 1969. № 8. C.I04-III.

2. Столяров A.B. О внутренней геометрии многомерных поверхностей, несущих проективно чебышсвскую сеть //Тез. докл. 4-й Всес. межвузовск. конф. по геометрии. Тбилиси. 1969. С.253-254.

3. Столяров A.B. О сетях с совпавшими псевдофоку сами, заданных на гиперповерхностях проективного пространства //Изв. вузов. War. 3970. № 2. С.86-93.

4. Столяров A.B. О сетях и полярно сопряженных конфигурациях на гиперповерхностях проективного пространства //Изв. вузов. War. 1970. № 7. с. 96-101.

5. Столяров A.B. О внутренней геометрии многомерных поверхностей, несущих проективно чебышевскую сеть //Изв. вузов. Мат. 1971. № II. C.99-I03.

6. Столяров Л.Б. О двойственной геометрии сетей и полярно сопряженных конфигурациях на гиперповерхности //Изв. вузов. Мат. 1972. № 4. C.I09-1I9.

7. Столяров A.B. О двойственной геометрии плоских'многомерных сетей //Тез. докл. 5-Ü Всес. конф. по совр. проблемам геометрии. Самарканд. 1972. С.210.

8. Столяров A.B. О двойственной геометрии плоских кзо-гоморпых сетей //Изв. вузов. Катек. 1973, Я 7. C.92-I02.

9. Столяров A.B. Об инвариантном оснащении гиперповс|а-ностн, порождаемом сопряженной сегьи //Волжск, магем. сб. Куйбшпев. 1973. Вып. 23. С.66-70.

10. С т о л яров А,В, Внутренняя геометрия сотой па раецре-

делениях WJ-иерпнх линейных элементов проективного пространства Рп //Тез. докл. 6-й Всес. геои, копф. по совр. проблемам геокегрии. Вильнюс. 1975. С.231-233,

.1, Столяров A.B. О фундаментальных объектах регулярной гаперполоси //Изв. вузов. Кат. 1975, Л 10. С.97-99.

!2. Столяров A.B. Условие квадратичноста регулярной гиперполосы //Изв. вузов. Ыат. 1975. Л II. C.I06-IC8.

[3. Столяров A.B. Проективно-дафференциальная геометрия регулярного гаперполосного распределения ул-ыеркшс линейных элементов //Пробл. геокегрнн: (Итога науки и техники ВИНИТИ АН СССР). 1975. Т.7. C.II7-I5I.

С4. Столяров A.B. Приложение теории регулярных пшерпо-лос к изучении геокктрик многомерных поверхностей проекткгн ного пространства //Изв, вузов. Мат. 1976. Ü 2. C.III-II3,

15. Столяров A.B. Внутреиия геометрЕЯ пориализовапко-го пространства проективной связности. Lí. 1576. 38 с. Рукопись представлена Всес. кн-том научн. в tarn. hr$oí?i.

AJI СССР. Дол. и БШЗТИ 14 Я1Ш. 1976 г., Л 355-76.

16. Столяров A.B. Двойственные линейные связности пл осншцениоЗ гиперповерхности пространства проективной enns-ности //Тез. докл. Всес. кон£. по неевкл. геои. «150 лег? геометрии Лобачевского", Казань. 1976. С.189.

17. Столяров A.B. О внутренней геометрии поверхности Картана //Диф, геои, многообразий фштр /Кошшягр. ун«?. 1976, Вып.7. C.III-II8.

18. Столяров A.B. О двойственной геометргл сетей ва регулярной гвперполосе //Изв. вузов. Мат. 1977. й 8. С.66-70.

19. Столяров A.B. Двойственные линейные связностп на оснащенных многообразиях пространства проектавней связнсо-та //¡Зрсбл. геометрия: (Итога науки и техники ВИНИТИ Ш СССР). 1977. Т.8. С.25-46.

20. Столяров A.B. Двойственные проективнно связносгп

на оспат'знноЗ регулярной гиперполосе проетродстса crtvjrías-ноЗ сеязцоотя /Дез, докл. 5-3 Прибалт, геом, конф. кбпешсзЛ. 1978 , 0.8i,

31» Столяров A.B. Дифферзвкпадшзд гее: пог»:

//Лройл. гес&штрзш: (Итоги науки и техника ВИНИТИ АН СССР). 1978. T.I0. 0.25-54.

Ü2, Угод я р о в A.B. Двойственная теория регулярного рао-нределеяяя гиперплоскостких элементов в просгралстве проск-тявкой сшк'носте //Тез. докл. 7-й Всес. koffij. ко совр. пробл. геометрии. Минск. 1979. С.192.

23. Столяров A.B. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостнах элементов в пространстве проек-тевной связности. I. //Изз, вузов. Мат. 1980. & I. С.79-82,

24. Столяров A.B. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскости«* элементов в пространстве проективной связности. П //Игв. вузов. Мат. 1980. & 2. С.84-87.

25. Столяров A.B. Двойственная теория гкперполосного распределения и ее прялоаения //дяф. геом. кногоойразий фигур /Калшшнгр. ун-т. 1982. Вып.13. С.95-102.

26. Столяров А.З. Двойственные нормальные связносте на регулярной гиперполосе //Тез. докл. Веес. школы по теории функций, посвященной 100-летии со дня роад. акад. Н.Н.Ду-зина /АН СССР. Кемеровский ун-т. 1983. C.I06.

27. С т о л я р о в A.B. Двойственные проективное связноога на оснащенном гиперполосном распределения //Тез. докл. 6-й Прибалт, конф. по совр. пробл. даф. геометрии н их приложениям. Галлан. 1984. C.II3-II4.

28. Столяров A.B. Двойственная геокатрвл т -тканей на распределении /Дез. доки. &-й Всес. конф. по совр. пробл. даф. геометрия. Одесса. 1284. С.151.

29. Столяров A.B. Двойственные ксркалыше связности на регулярной гиперполосе //Изв. вузов. Катам. 1985. # 9. С.72-75.

30. Столяров A.B. Приложение двойственной теоран распределений к построении юс кнварнаитних нормализация //Дгф, гаом. многообразий (Jjiryp /Калишнгр. ун-т. 1989. Вып.20. C.I0S-II3.

31. Столяров A.B. Пралсжешш двойственной eeqpaa рггу-дяршх пшерподос /Дез. докл. Ыеадународн. науча, кЩ. гЛобачегскй я совр. геометрия". Казань. 1992. С.95-26.

32. Столяров A.B. Двойственная теория оснащении* нно-гообразиЗ: Монография. Чувашек, гос. педвн-т. Чебоксар«, 1994, 290 с.

33. Столяров A.B. Двойственная теория регулярных гинер-полос и ее приложения: Учебное пособие с графой МО РФ. Чувашек, гос. ун-т. Чебоксар!, 1994, 116 с.

34. Столяров A.B. (совм. с Базилепии В.Т., Кузыяшш Ы.К.Ь Сети на многообразиях //Пробл. геометрии: (Итога паука и техн. ВИНИТИ Ш СССР). 1981. Т.12. С.97-125.

Подписано в печагь 09.II. 1995. форма? 60x64/™. Усл.яоч.л. 1,86. Уч.-кзд.л. 1,65. Ткрая 100 э:сз. Заказ 5 597 . Бвсштгно.

Отдел оперативной пашгра$г.п ■Комэтега Чупатской Реемубхятя ао с?й?истяк<з 428СЗГ, Чебоксары, ул.Хуэаягал,.!■."!