Двухэкситонные корреляции и когерентные нелинейно-оптические эффекты в прямозонных полупроводниках и квантовых ямах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Хоанг Нгок Кам

ДВУХЭКСИТОННЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И КОГЕРЕНТНЫЕ НЕЛИНЕЙНО-ОПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ПРЯМОЗОННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ И КВАНТОВЫХ ЯМАХ

Специальность: 01.04.07 — физика конденсированного

состояния

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2007

Работа выполнена в Физическом институте им П Н Лебедева

Российской академии наук

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук Гиппиус Николай Алексеевич

доктор физико-математических наук, профессор

Елесин Владимир Федорович

доктор физико-математических наук Сибельдин Николай Николаевич

Ведущая организация Московский государственный университет

им М В Ломоносова

Защита состоится " 28 " января 2008 г в 12 часов

на заседании диссертационного совета № Д002 023 02 в Физическом институте им П Н Лебедева РАН по адресу 119991 Москва, Ленинский проспект, д 53

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического института им П Н Лебедева

Отзывы о диссертации в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по вышеуказанному адресу ученому секретарю диссертационного совета

Автореферат разослан декабря 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета /7

доктор физико-математических наук, профессору/7/'/Пиканов А С

1 Общая характеристика диссертации 1.1 Введение. Актуальность темы.

Появление субпикосекундных лазеров дало импульс развитию сверхбыстрой полупроводниковой спектроскопии. Наличие световых импульсов с длительностью меньше времени фазовой релаксации Т2 элементарных возбуждений в полупроводниках позволяет непосредственно изучить динамику таких возбуждений с самых ранних стадий, в когерентном режиме (£ < Т?). Среди экспериментальных техник с ультракоротким временным разрешением самыми широко используемыми являются двухимпульсовые схемы «накачка-зондирование» и четырехволнового смешения (ЧВС), где два лазерных импульса длительностью меньше Т2 фокусируются на оптически тонком полупроводниковом образце под очень малым углом (рис. 1). Путем регулирования времени задержки Т между импульсами по субпикосекундной или фемтосекундной шкале можно следить за временной эволюцией возбуждений в соответствующем масштабе. В схеме «накачка-зондирование» измеряются изменения, индуцированные импульсом накачки, в пропускании слабого зондирующего импульса в направлении распространения к^ последнего. В схеме когерентного ЧВС дифрагированный сигнал в направлении 2к2—кх разрешается по времени с помощью сверхбыстрой техники детектирования, или по частоте спектрометром. Множество экспериментальных данных, полученных за последние два десятилетия, показывает, что когерентные нелинейно-оптические эффекты в полупроводниках коренным образом отличаются

1

2к2 -к!

2кх-к2

Рис. 1: Схема двухимпульсного нелинейно-оптического эксперимента с временным разрешением.

0 г своих аналогов в атомных системах К тому же, эффекты фетьего порядка по полю в экситонной области спектра существенно зависят от конфигурации поляризаций импульсов Популярные теоретические подходы, основанные на формализме матрицы плотности, такие как уравнения Блоха для полупроводников [Л1] или их расширение — схема динамика-контролируемого усечения, не дали ясной картины такой поляризационной зависимости

Очевидно, адекватное теоретическое моделирование сверхбыстрых процессов, протекающих в когерентных нелинейно-оптических экспериментах, должно учитывать три стадии их развития 1) создание в образце спин-ориентированных электронных возбуждений поляризованными импульсами, 2) когерентные многочастичные корреляции в системе таких возбуждений, индуцированные как их взаимным кулоновским взаимодействием, так и взаимодействием с полем, и 3) генерация электромагнитного излучения в виде сигнала, выявляемого в определенном направлении Следовательно, последовательный подход для описания отклика третьего порядка в экситонной области спектра должен быть основан на микроскопической теории двухэкситонных корреляций со строгим учетом как волнового вектора, так и спиновой структуры экситонов и фотонов света Данная диссертационная работа посвящена изучению спин-зависимых двухэкситонных корреляций в прямозонных объемных и квазидвумерных полупроводниках, а также их проявлений в двухимпульсовых нелинейно-оптических экспериментах с временным разрешением в виде когерентных эффектов, чувствительных к поляризационной конфигурации падающих импульсов Актуальность темы связана с необходимостью глубокого понимания микроскопической природы когерентных нелинейных эффектов третьего порядка в полупроводниковых структурах, которое не только имеет фундаментальное значение, но и служит основой для управления оптическими свойствами полупроводников и разработки новых типов сверхбыстрых устройств

1 2 Основные цели работы

Для развития теории спин-зависимых двухэкситонных корреляций и разработки на ее основе подхода для адекватного описания результатов двухимпульсовых нелинейно-оптических экспериментов с временным

разрешением было необходимо решить следующие задачи

• ра сработать общий гамильтониан системы поляризованных экситонов, включающий двухэкситонные корреляции, на основе гамильтониана системы спин-ориентированных электронов в зоне проводимости я типа и дырок в валентной зоне р типа, взаимодействующих между собой и с полем излучения,

• вывести для каждой рассматриваемой зонной структуры систему уравнений, описывающую связанную динамику состояний поляризованных фотонов, экситонов, а также биэкситонов в когерентном режиме с полным учетом правил отбора как по волновым векторам, так и по поляризациям,

• решить полученную систему уравнений в разумном приближении для получения когерентного нелинейного отклика третьего порядка в том или ином направлении наблюдения экспериментов

Эти задачи решались в рамках экситон-бозонного формализма, сущность которого — представление состояния полупроводника при умеренном возбуждении в виде суперпозиции его состояний в линейном режиме Такой подход обладает рядом преимуществ перед подходами электрон-дырочного представления с точки зрения поставленных целей Они связаны с тем, что в отличие от некоррелированных электрон-дырочных пар, экситоны обладают свойством хранить передаваемые им полем не только волновой вектор, но и поляризацию Время поляризационной релаксации экситонов обычно велико по сравнению с временем их фазовой релаксации [Л2] Следовательно, в когерентном режиме, когда релаксационные процессы [ЛЗ] еще не успевают разрушить фазовой памяти экситонов, можно пользоваться понятием о когерентных состояниях дипольно-активных экситонов как состояниях с макроскопической амплитудой, определенными фазой [Л4] и поляризацией, аналогичных когерентным состояниям поляризованных фотонов При определенных условиях корреляции между когерентными экситонами обеспечивают существование когерентных биэкситонных состояний, также с макроскопической амплитудой и определенной фазой [Л5] В таком приближении операторы квазичастиц можно заменить С-числами, а дефазировку экситонных и биэкситонных состояний описать феноменологическими параметрами В результате, система гайзенберговских уравнений движения для операторов играет

роль системы уравнений для связанной динамики когерентных состояний соответствующих квазичастиц С помощью последовательных приближений из такой системы можно получить уравнение для временной эволюции нелинейной части когерентного экситонного состояния, которая представляет нелинейную поляризацию образца, излучающей свет в опреленном направлении

Объектами исследования в работе явились объемные и квазидвумерные полупроводниковые структуры с зоной проводимости й типа и валентной зоной р типа, находящиеся в поле поляризованных ультракоротких лазерных импульсов умеренной интенсивности с частотой в экситонной области спектра В этой области типичные квантовые ямы (шириной порядка 10 нм), основанные на соединениях групп III-V и II-VI, могут быть рассмотрены как двумерные полупроводники

1 3 Научная новизна и практическая ценность работы

В диссертации выполнено теоретическое моделирование сверхбыстрых процессов, протекающих в объемных и квазидвумерных полупроводниковых структурах при проведении двухимпульсовых когерентных нелинейно-оптических экспериментов в экситонной области спектра Научная новизна представленных в работе результатов заключается в том, что

• рассмотрены с теоретико-групповым учетом спиновых переменных двухэкситонные корреляции, ответственные за нелинейно-оптические эффекты третьего порядка по полю, показано, что наряду с эффективным спин-сохраняющим межчастичным взаимодействием эти корреляции включают в себя спин-меняющее взаимодействие, которое не может быть учтено при пренебрежении спиновой структурой экситона, или в рамках приближений среднего поля,

• получен аналитический вид потенциала взаимодействия в реальном пространстве между экситонами с различными значениями общего спина в объемных полупроводниках с простой зонной структурой,

• описаны когерентные нелинейные эффекты третьего порядка в их поляризационной зависимости, на основе системы уравнений для связанной динамики когерентных макроскопически заполненных

состояний поляризованных фотонов и жситонов, а ыкже би-жситонов, учитывающих все правши отбора,

• выяснено, что первопричина поляризационной зависимости когерентных нелинейно-оптических эффектов в экситонной области спектра связана с зависимостью двухэкситонных корреляций от суммарного спина экситонов, которые в когерентном режиме еще хранят память о направлениях распространения и поляризациях падающих импульсов,

• сформулированы условия установления квазистационарного режима в когерентных экспериментах "накачка-зондирование", а также применимости феноменологической биэкситонной теории,

• получены когерентные нелинейно-оптические отклики в направлениях наблюдения двухимпульсовых экспериментов с временным разрешением в замкнутых аналитических формах, выражающих их явную зависимость от поляризационной конфигурации и других характеристик падающих импульсов, а также корреляционных и когерентных свойств однопарных и двупарных возбуждений в полупроводниковом образце

Практическая ценность работы состоит в том, что на основании полученных в четвертой и пятой главах общих аналитических выражений, устанавливающих связь между нелинейным откликом полупроводниковых структур и их электронными параметрами, можно управлять этим откликом для получения эффектов, нужных для практических целей Это дает возможность оптимизировать свойства полупроводниковых структур в качестве нелинейно-оптических сред, или оптоэлектронных устройств

Достоверность результатов, полученных в ходе работы над диссертацией, подтверждается неоднократным согласием с экспериментальными наблюдениями ведущих научных центров, а также результатами независимых расчетов

1.4 Основные положения, выносимые на защиту

1 Представление системы коррелированных спин-ориентированных электронов и дырок, характеризующей возбужденное состояние полупроводника в экситонной области спектра, в виде системы

коррелированных поляризованных жги гонов Отклонение 01 линейного режима в приближении трпьего порядка по полю описывается двухжситонными корреляциями, включающими эффективные межжситонное и ангармоническое экситон-фотонное в заимодействия

2 Результат теоретико-группового анализа зависимости характера эффективного межэкситонного взаимодействия от суммарного спина экситонов в полупроводниках с дипольно-разрешенными переходами оно имеет вид спин-сохраняющего отталкивания между экситонами с отличным от нуля значением общего спина, и спин-меняющего притяжения между экситонами с нулевым общим спином

3 Аналитические функции межэкситонного расстояния, описывающие потенциал взаимодействия между экситонами с различными значениями общего спина в объемных полупроводниках с простой зонной структурой

4 Системы уравнений, описывающие связанную динамику когерентных макроскопически заполненных состояний поляризованных фотонов и экситонов, а также биэкситонов, в простых зонных структурах, а также алгоритм их решения для получения нелинейных откликов третьего порядка в направлениях наблюдения двухимпульсовых экспериментов с временным разрешением

5 Условия установления квазистационарного режима в когерентных экспериментах "накачка-зондирование" и применимости феноменологической биэкситонной теории

6 Дифференциальный спектр поглощения в структурах типа СиС1 в четырех поляризационных конфигурациях в виде элементарных функций, зависящих параметрически от когерентных и корреляционных параметров экситон-биэкситонной системы, а также интенсивности и частоты накачки

7 Аналитические формы амплитуды сигнала когерентного четырехволнового смешения в квантовых ямах в различных поляризационных конфигурациях как функции времени задержки между импульсами и реального времени после момента прихода

более позднего импульса Детальный анализ на основе этих функций зависимости формы и интенсивности сигналов ЧВС от корреляционных и когерентных характеристик однопарных и двупарных возбуждений в образце, а также от таких параметров возбуждения как длительность импульсов, величина и знак времени их задержки

1 5 Апробация работы

Результаты, вошедшие в диссертационную работу, докладывались и обсуждались на Международном симпозиуме молодых физиков "Физика и технология" (Лозанна, Швейцария, 1986), 1-й Международной конференции по нелинейной оптике экситонов (Росток, Германия, 1989), 23-й Международной конференции по физике полупроводников (Берлин, Германия, 1996), 7-й Международной научно-технической конференции (Москва, 2003), 9-й Азиато-тихоокеанской конференции по физике (Ханой, 2004), Российской конференции по физике полупроводников (Звенигород, Россия, 2005), на семинарах в Отделе теории полупроводников и квантовой электроники Института прикладной физики Академии наук Молдовы, в Отделении Оптики Физического института им П Н Лебедева РАН, а также на различных семинарах в университетах и исследовательских центрах гг Берлин (Германия), Гренобль (Франция), Триест (Италия), Токио (Япония)

Основное содержание работы опубликовано в шестнадцати статьях в международных и российских реферируемых научных журналах

Работа выполнялась в Отделении оптики Физического института им П Н Лебедева Российской академии наук

1 6 Структура диссертации

Диссертация состоит из пяти глав, введения, заключения и списка литературы из 308 наименований Объем диссертации составляет 230 страниц, в том числе 58 рисунков

2 Основное содержание диссертации

В Главе 1 приведен обзор литературы по линейно-оптическим свойствам прямозонных полупроводников в области вблизи их фундаментального края как в одночастичном электрон-дырочном, так и в экситонном представлениях Пересматривались видоизменения, которые квантовое ограничение в направлении оси роста вносит в электронные и оптические свойства квантовых ям Основным следствием является квантованность движения носителей в направлении ограничения, в результате которой они становятся квазидвумерными Для них, как и для трехмерных носителей, по аналогичной схеме рассматривались оптические переходы и соответствующие спектры в двух представлениях Это позволило лишний раз увидеть, во-первых, что в спектральной области вблизи фундаментального края типичные квантовые ямы можно рассматривать как двумерные полупроводники Во-вторых, что оптические свойства последних, как и объемных полупроводников, даже при предельно низких уровнях возбуждения можно понять только в экситонной картине, тес учетом существенной роли кулоновской близнецовой электрон-дырочной корреляции

Глава 2. Экситонное представление системы парных возбуждений

Во второй главе диссертации обосновано экситонное представление как альтернативный способ описания состояния полупроводника при умеренных уровнях возбуждения в экситонной области спектра Этот способ заключается в представлении возбужденного состояния полупроводника в пространстве, базисом которого служит полная система спин-зависимых экситонных состояний, являющихся его квазибозонными квазисобственными состояниями в пределе исчезающей плотности Соответственно, гамильтониан системы N спин-ориентированных электрон-дырочных пар, характеризующей возбужденное состояние, представлен в виде гамильтониана системы N коррелированных поляризованных экситонов Рассмотрен случай невысоких плотностей (ЛГ мало по сравнению с общим числом валентных электронов Л/^), когда можно ограничиваться двупарными, или двухэкситонными корреляциями Исходным положением служил гамильтониан системы электронов и дырок, одночастичные состояния которых характеризуются квазиимпульсом и проекцией углового

момента па ось квантования, в представ пении вторичною квантования

Не1П = Я7 + Неь + Не}г-~, (1)

где Я7 — гамичьтониап поля излучения, Не]г — гамильтониан системы электронов и дырок с двухчастичным кулоновским взаимодействием, а Ней--} — гамильтониан фотон-электрон-дырочного взаимодействия в дипольном приближении В широко распространенных структурах с зоной проводимости й типа и валентной зоной р типа угловой момент (спин) ]е электронов равен 1/2, а дырок может принимать значение 1/2 (в СиС1) или 3/2 (в зонных структурах типа СаАэ) Рассматривалась геометрия, в которой свет распространяется в направлении оси роста кристалла, выбранной в качестве оси квантования (оси г) С помощью преобразования бозонизации Ханамуры-Усуи [Л6], расширенного путем включения в рассмотрение спиновой структуры квазичастиц, гамильтонианы Неи и Н^.7 в правой части (1) отображены в бозонное пространство, где каждой электрон-дырочной паре ех/гу ставится в однозначное соответствие один бозон аху Здесь индексы х и у включают как квазиимпульс, так и проекцию углового момента носителей х={те/ке}, у В таком пространстве оператор оптически активного ^з-экситона, характеризующегося главным водородным квантовым числом г], волновым вектором к и спиновыми переменными JM, по теоретико-групповым правилам имеет следующий вид

А,Шк = Е Л/(Р - /?к) М^ГПеЗнГП^ атек-р,тлр (2)

Здесь (,/М\\тезьтъ) обозначает коэффициент Клебша-Гордана, /3 = Мл/Мх — отношение дырочной и экситонной эффективных масс, а — водородоподобная волновая функция, описывающая коррелированное электрон-дырочное движение в экситоне С помощью линейного преобразования, обратного (2), гипотетическое бозонное пространство превращено в экситон-бозонное пространство, где базисом служит полная система экситонов с операторами (2) В нем отображения Нед и #е/г_7 получены соответственно в виде бесконечных рядов Нх и Яж_7 по степеням экситонного числа заполнения, г-тые члены которых, Н^

(г)

и Нх~-у, описывают г-парные, или г-экситонные корреляции Первые члены Н^ и Н'х^у вместе с гамильтонианом поля Я7 составляют гамильтониан системы в линейном режиме, в котором учитывается

только однопарная близнецовая корреляция между каждым электроном с его дыркой. Такая корреляция делает электрон-дырочную пару с суммарными квазиимпульсом к и спиновыми переменными {¿Шр/,} экситоном с теми же волновым вектором к и спиновыми переменными £ = {</М}. Согласно правилу сложения моментов экситонный спин 3 принимает два значения, 1 и 0 в случае j/,=l /2, или 1 и 2 в случае ^=3/2. В таком приближении возбужденное состояние полупроводника моделируется системой независимых поляризованных экситон-бозонов. Правила отбора для этой системы таковы, что в поле, распространяющемся вдоль оси 2, взаимодействуют с квантом света с волновым вектором к и поляризацией Л только экситоны с теми же волновым вектором и поляризацией М=А. Это взаимодействие и определяет оптические свойства полупроводника в линейном режиме, характеризующемся энергией внутренней связи Ду* и энергией связи с фотоном юс экситона основного (1з) состояния.

При пренебрежении высшими корреляциями пропадают не только эффект динамических кулоновских корреляций между носителями заряда, относящимися к разным экситонам, но и эффект статистической корреляции между одинаковыми ферми-частицами. Такие эффекты имеют место уже при возбуждении в образце двух электрон-дырочных пар. В работе рассматривался первый нелинейный — слабонелинейный

Рис. 2: Схематическое представление репрезентативного процесса обменных двупарных корреляций, индуцированных кулоновским взаимодействием между носителями (а) и их взаимодействием с излучением в случае случае =

±1/2 (б). Сплошные, штриховые, волнистая и зигзагообразная линии изображают соответственно электроны, дырки, фотон и кулоновский потенциал, а индекс над концом линии — проекцию углового момента изображенной квазичастицы. Пара близко идущих параллельных сплошной и штриховой линий представляет экситон, а пересечение двух сплошных линий — обмен электронов между экситонами.

режим, в ко юром эти эффекты описываются гамильтонианом

я^яР + я^Л, (3)

представляющим двухэкситонные корреляции Здесь Н^ описывает корреляции, индуцированные только кулоновским взаимодействием в системе носителей [рис 2(а)], а — корреляции, индуцированные

взаимодействием носителей с излучением [рис 2(6)] Первые имеют вид эффективного межэкситонного взаимодействия, а последние — ангармонического экситон-фотонного взаимодействия

При возбуждении полупроводника в непосредственной близости и ниже основного экситонного резонанса импульсами с спектральной шириной, меньшей экситонной энергии связи, система возбуждений состоит в основном из экситонов основного состояния Для них Я^ получено в виде

= ¿7 Е \и\ч) £

к!к2Ч I

+ ^(к1-к2,ч) Е (4)

)

Здесь V — объем полупроводника (который в случае двумерного означает площадь его поверхность), а суммы по индексам пробегают 2(2]^ + 1) значений спиновых переменных .5-экситонов в рассматриваемой зонной структуре Функции Ы'1 и Ыех характеризуют энергию прямого и обменного межэкситонного взаимодействия соответственно Для оптически возбужденных экситонов с малыми импульсами 1Лй « 0, а Щр=26'кКу*а'1/3 в объемных (1 - 315тг2/4096) АКу*

а1 в двумерных структурах, где ах — эффективный радиус экситона Таким образом, нелинейные эффекты, связанные с двухэкситонными корреляциями чисто кулоновской природы в системе N экситонов, имеет порядок Ку*пах, где п — их плотность, а с? — размерность полупроводника Следовательно, представление гамильтониана электрон-дырочной системы в экситонном пространстве является по существу разложением нелинейностей, индуцированных кулоновскими корреляциями, в ряд по параметру пах, который соответственно для трехмерных и двумерных структур выглядит следующим образом

В-У*{1 + ~па1+ }, АЯу*{1 + 0 7Ь7па2х + }, (5)

О

(7г[1 — 3157г2/4096] « 0 757) Такого типа разложение имеет место также для нелинейностей, индуцированных взаимодействием носителей с излучением В самом деле, ангармоническое экситон-фотонное взаимодействие системы экситонов основного состояния с нолем получено в виде

Я<1>7 = -^ Е А^-ка.ц) Е

У к1к2я йЫз

Х [Слк^&ка^бкг-яАгк^Я _ ^1к1+Ч^&к2-д^&к2САк1] , (6)

где при малых волновых векторах £з£>=77га^ и £20=27га^/7 соответственно в объемных и двумерных структурах Таким образом, рассмотрение фотон-электрон-дырочного взаимодействия в экситонном пространстве равносильно следующему разложению индуцированных им нелинейностей по параметру па^

2тг

шс{1 + 7тта3х + }, ис{1 + —па\ + } (7)

Следовательно, рассматриваемое приближение третьего порядка по

полю, в котором из многочастичных корреляций высших порядков

учитываются только двупарные, соответствует пренебрежению

нелинейными эффектами порядков выше па% Такое приближение

оправдывается при па% << 1

В (4) зависимость обменного межэкситонного взаимодействия

от спиновой структуры взаимодействующих экситонов выражается

спиновой матрицей ,, , которая представляет собой сумму

произведений четырех коэффициентов Клебша-Гордана На основе

анализа свойств последних получено, что 3™М1 ,/2 Мз ,/2 Мг ,л м, > 0,

т е обменное взаимодействие между экситонами с сохранением

их спиновых переменных является отталкиванием В то время

{¿'ФЗ) за исключением случая, когда проекции

спина взаимодействующих экситонов равны нулю Спин-меняющее

межэкситонное взаимодействие, таким образом, имеет характер

притяжения В приближениях среднего поля, в которых

среднее от произведения четырех операторов аппроксимируется

линейной комбинацией произведений двухоператорных средних с

(2)

соответствующими ¿-функциями, оно пропадает Аналогично, имеющее также обменную природу, зависит от значения суммарного спина двух взаимодействующих квазичастиц Эта зависимость

воплощав 1ся в Мсирице Тд^^,, которая представляет собой сумму произведений 1ре\ коэффициентов Клебша-Гордана Как и включает спин-сохраняющую и спин-меняющую компоненты

Таким обра юм, во второй главе диссертации разработан общий вид гамильтониана системы поляризованных экситонов с двухэкситонными корреляциями в структурах с зоной проводимости в типа и валентной зоной р типа Получено, что наряду с эффективным спин-сохраняющим межчастичным взаимодействием, данный гамильтониан включает спин-меняющее взаимодействие, которое не может быть учтено при пренебрежении спиновой структурой экситона, или в рамках приближений среднего поля

Глава 3. Эксихонная система в СиС1 и родственных структурах

В этой главе рассмотрена экситонная система с двухэкситонными корреляциями в простой объемной структуре с двумя невырожденными зонами,являющейся хорошим приближением для кристалла СиС1, а также одноосных кристаллов с симметрией типа вюрцита В разд 3 1 конкретизирован вид общего гамильтониана, полученного в второй главе, для случая ^/¡=1/2 Вид члена гамильтониана Я®, описывающего межэкситонное взаимодействие, показывает, что обменное взаимодействие между дипольно-активными экситонами с одинаковой поляризацией сохраняет спин и является отталкиванием, а с противоположными поляризациями — меняет спин и является притяжением В разд 3 2 показано, что это проявление существенной зависимости характера эффективного межэкситонного взаимодействия от значения результирующего спина Зхх двух экситонов Она заключается в том, что между экситонами с нулевым общим спином действует притяжение, а между экситонами с ненулевым общим спином — отталкивание Рассмотрен для иллюстрации потенциал взаимодействия в реальном пространстве между экситонами с общими спинами, равными 0 и 2 соответственно В первом случае потенциал получен в виде немонотонной функции межэкситонного расстояния £/о, имеющей потенциальную яму, а в последнем — положительной монотонно убывающей функции ¡7г [рис 3(а)] Следует отметить, что 1/2 описывает также потенциал взаимодействия между экситонами с общим спином, равным 1 Функции Щ и [72, зависящие параметрически от отношения эффективных масс электрона и дырки а=1ле/цн.

Рис. 3: Потенциал взаимодействия (а) С/д и I/2 между экситонами соответственно с нулевым и ненулевым общим спином в СиС1 (сплошные линии) на фоне потенциалов взаимодействия между атомами водорода в молекулярных состояниях '£ и 3Е (штрихи), (б) ирр в С112О (сплошная линия) на фоне в СиС1 (длинные штрихи) и в молекулярном состоянии 3Е водорода (короткие штрихи).

являются обобщенными формами потенциалов взаимодействия между атомами водорода соответственно в синглетном (:Е) и триплетном (3Е) молекулярных состояниях, к которым они сводятся при а = 1/1836.

В связи с постоянным интересом к бозе-эйнштейновской конденсации в системе экситонов как отступление рассмотрен потенциал взаимодействия 11рр между дипольно-запрещенными параэкситонами, являющимися элементарными квазичастицами с наименьшей энергией в кристалле Си20. Получен 1]рр в виде быстро убывающей функции расстояния [рис. 3(6)]. При г — 3ах, которое в Си20 с ах=0.7нм соответствует плотности п ~ Ю20/см3, значение ирр составляет всего две сотые части Яу*. Следовательно, во всем интервале плотностей, в котором понятие экситона остается в силе, система параэкситонов в Си20 является почти идеальным бозе-газом. Этот результат вполне согласуется с экспериментальными наблюдениями Снока и др. [Л7].

Далее, в разд. 3.3 рассмотрены спиновая и электронная структуры биэкситона в структурах типа СиС1. Представлена формальная волновая функция биэкситона — коррелированного состояния двух экситонов с определенными суммарными нулевым спином и волновым вектором, в виде суперпозиции двухэкситонных комплексов, имеющих нулевой

спин Показано, что такое состояние является собственным состоянием гамильтониана системы экситонов с двухэкситонными корреляциями Следовательно, в нелинейных процессах биэкситон должен проявляться как целое со своими когерентными, а также корреляционными свойствами в виде совокупности собственных значений энергии корреляций и огибающих волновых функций Фг двух экситонов в нем Последние являются решениями уравнения

к2 1 Мх V ч

Ф(к - я) = £жа:Ф(к) (8)

В разд 3 4 получены уравнения движения Гайзенберга для операторов биэкситонных состояний Вгк, также как для операторов поляризованных фотонов Схк и экситонов Л^к, путем взятия их коммутаторов с общим гамильтонианом В когерентном режиме система таких уравнений рассматривается как система уравнений для связанной динамики соответствующих когерентных макроскопически заполненных состояний С введенными феноменологическими параметрами 7Х и 7хж, описывающими соответственно дефазировку экситонных и биэкситонных состояний, она выглядит в случае циркулярной поляризации импульсов следующим образом

дС ъи)

г—к— = ш7{к)С\к + шсА\к - ^лк"Алк'-чАлк+ч, (9)

ОЪ V к'ч

+ г [Ех(к) - п,]} АЛк = —и)сС\ъ - £ 1:^Л^_чАлк'Алк_ч +77 Е £ [Слк'Алк'+чАдк-ч - 2А^к,_чААк,САк_ч]

(10)

Л %

- + г [Е1ХХ(К) - г1хх\ БгК = —Е Е АЛК-к'СЛк<, (11)

ОЪ ) V¿V к' А=±1

где Е1ХХ — 2Ех + £*х — энергия биэкситона в состоянии г, которое может быть связанным состоянием или состоянием рассеяния Поскольку когерентное экситонное состояние Адк моделирует поле сигнала, излучаемого оптически тонким образцом в направлении к, из (10) следует, что спин-зависимые двухэкситонные корреляции проявляются

в оптических процессах в виде двух типов нелинейностей, условно названных в работе экситонными и биэкситонными Связанные с спин-сохраняющей компонентой, экситонные нелинейности вызывают эффекты среднеполевого характера, в которых каждый экситон реагирует на воздействие поля сам по себе В то время спин-меняющая компонента, обеспечивающая существование биэкситона и его связь с экситоном, порождает эффекты сверх среднеполевого уровня, в которых два экситона проявляются как целое через их коррелированные состояния Важно отметить, что в слабонелинейном режиме биэкситонные эффекты вызываются исключительно экситон-биэкситонной связью, что потверждает аргумент авторов работ [Л8] Фотон-биэкситонная связь, которую в феноменологической биэкситонной теории считают механизмом биэкситонных эффектов, вносит лишь вклад порядка (теа^)2, неучитываемого в расматриваемом приближении

В конце главы, в разд 3 5, рассмотрено влияние небозевости экситонов на вид уравнений (9) — (11) Показано, что бозонами по отношению друг к другу являются только экситоны с противоположными поляризациями В остальных случаях степень небозевости экситонов по отношению друг к другу такого же порядка, как энергия их взаимодействие [Л9], т е ос па% Небозевость дипольно-активных экситонов с одинаковой поляризацией приводит к поправкам порядка Ехпа£ к экситонной энергии, а также пахЫех/V и па^шсС/У соответственно к энергии межэкситонного и ангармонического экситон-фотонного взаимодействий Поскольку Ыех/V и Ыех/V имеют порядок пах, поправки к ним имеют порядок (па%)2 и не учитываются в рассматриваемом приближении Следовательно, система (9) — (11) остается в силе и при учете небозевости экситонов если в (10), а также при определении биэкситонной энергии Егхх в (11), под Ех подразумевается экспериментально наблюдаемое значение энергии экситона

Глава 4. Когерентные перенормировки экситон-биэкситонного спектра в структурах типа СиС1

В этой главе решались системы уравнений, полученные в разделе 3 4, для получения когерентного отклика третьего порядка структур типа СиС1 в направлении наблюдения схемы "накачка-зондирование"

Рассматривались эксперименты, в которых спектрально узкий импульс

накачки (импульс "2") возбуждает образец в области ниже основного

экситонного резонанса а следующий за ним слабый широкополосный

зондирующий импульс (импульс "1") измеряет изменения оптических

свойств образца в экситон-биэкситонной области спектра В этой

области частот юлерентные изменения спектра наблюдались в виде

экситонного оптического Штарк-эффекта (ОШЭ) [Л10] или экситон-

биэкситонного ОШЭ, проявляющегося в разных формах [Л 11 ,Л 12]

Описание экситонного ОШЭ является примером успешного применения

уравнений Блоха для полупроводников к рассмотрению динамических

процессов [Л 1] В то время экситон-биэкситонный ОШЭ рассматривается

в основном в некогерентной картине, где в теоретическом моделировании

явления учитывается один импульс накачки [Л8)

Исходными положениями для теоретического моделирования

когерентных экспериментов, учитывающего поляризации и направления

распространения обоих падающих импульсов, служат система

уравнений (9) — (И), а также ее аналог при линейной поляризации

импульсов В разд 4 2 проиллюстрирован алгоритм их решения с

помощью последовательных приближений Когерентное экситонное

состояние, характеризующее макроскопическую поляризацию образца,

представлено в виде суммы линейных откликов Ад1^ , г = 1,2, от двух

1 1 (3)

падающих импульсов и нелинейного отклика третьего порядка

Алк = ¿ллАкД! + ¿ллАкХк + 43к} (12)

Линейный отклик от каждого из импульсов г получен как решение системы, состоящей из уравнений (9) и (10) без их нелинейных частей Это экситонная компонента когерентной макроскопически заполненной поляритонной волны [Л 13], подобная фотонной компоненте С\гк,, но с затухающей амплитудой

= -и;сехр[-(гДг + 7х)г] / <й'ехр[(гДг + (13)

—оо

где ух = 1/Т2 — скорость экситонной дефазировки, Ег(1) — амплитуда фотонной

компоненты — поля импульса %, Дг = Ех — иг — расстройка центральной частоты импульса от положения экситонного резонанса Таким образом, временная эволюция экситонного состояния первого порядка определяется не только скоростью дефазировки экситона, но

и длительностью импульса и расстройкой сю частоты от экспгонного резонанса

Уравнение для нелинейного отклика Л® при каждой поляризационной конфигурации импульсов получалось при подстановке соответствующей формы (12) в (10) или в его аналог при линейной поляризации импульсов Источниками нелинейностей в таком уравнении служат двухэкситонные корреляции в системе когерентных экситонов первого порядка Лд1^, Лд1^ и фотонов Сд^, С\1 к2 В связи с сохранением волновых векторов экситонов и фотонов при их корреляциях нелинейный отклик Л® ос Е\Е\ (Е\, Еч — интенсивность импульсов "1" и "2" соответственно) может быть генерирован только в направлениях к=кх и к=2к2—^ Связанное с Лд2к2_к1 когерентное ЧВС рассмотрено в пятой главе диссертации Что касается Л® , по правилам отбора по волновым векторам он происходит от комбинаций типа Лд^Лд^Лд^ и таких, в которых вместо одного из Лд2 фигурирует Сдк, Для определенности рассматривался случай циркулярной поляризации импульсов, в котором такие комбинации представляют экситонные нелинейности при Ах = А2 и биэкситонные нелинейности при Ах = —А2

= [^2£ла2л11

+шг (г+ 4(1) 4(1) -2А{1)+А{х) Г, А]

+ШС¡- ^^Агкг Лгкг Ахк] /лА2к2>1А2к20А1к1)

где — коррелированное состояние экситонов Лд1^ и Л^д1кз

Таким образом, в направлении наблюдения схемы "накачка-зондирование" при циркулярной поляризации импульсов имеет место разделение двух типов нелинейностей по поляризационным конфигурациям при социркулярной поляризации наблюдаются исключительно экситонные эффекты, а при контрциркулярной — биэкситонные Из вышеизложенного видно, что первопричина поляризационной зависимости нелинейного отклика третьего порядка связана с зависимостью характера двухэкситонных корреляций от суммарного спина экситонов, которые в когерентном режиме еще хранят определенные поляризации и волновые векторы, передаваемые им полями импульсов

Из (14) получена общая форма амплитуды нелинейного отклика Лд^ в двух поляризационных конфигурациях При социркулярной поляризации она представляет собой комбинацию суперпозиции трех амплитуд типа (13) линейных откликов и суперпозиций двух таких амплитуд с полем одного из импульсов, а при контрциркулярной поляризации — суперпозицию экситонной и комбинации всех биэкситонных амплитуд, каждая с весом £хх\Фг\2 Поскольку биэкситонное состояние Дк|+к2 Удовлетворяет уравнению (11), где в сумму в правой части Адк входит в первом приближении, его амплитуда является суперпозицией экситонной компоненты одной и фотонной компоненты другой из двух поляритонных волн

На основании полученных общих формул для амплитуды Лд^ можно вычислить различные эффекты экситонных и биэкситонных нелинейностей, наблюдаемые в схеме "накачка-зондирование" в различных образцах с заданными корреляционными и когерентными свойствами при различных экспериментальных условиях Расчет биэкситонных эффектов в общем случае является сложнейщей задачей, в первую очередь в силу их зависимости от совокупности собственных значений £хх и огибающих волновых функций Ф, биэкситона В СиС1 и некоторых родственных структурах с достаточно большой биэкситонной энергией связи этот расчет может быть значительно упрощен в квазистационарных условиях экспериментов Такие условия сформулированы в разд 4 3 Известно, что квазистационарность эксперимента с временным разрешением предполагает длительности импульсов большими времени жизни исследуемых возбуждений и совпадение импульсов во времени (и само собой разумеется, в пространстве) [Л 14] Согласно принципу неопределенности время жизни виртуальных экситонов, индуцированных накачкой с расстройкой А2 от экситонного резонанса, порядка 2ж/(7г.—1) Таким образом, эксперименты "накачка-зондирование" можно рассматривать квазистационарными при условии Т=0 и т^ > т\ >> 1/Д2 В таком случае поле мало меняется за один период осциллирующей

функции ехр[гД2<], поэтому в формуле (13) для г=2 его можно вынести за знак интеграла В результате, амплитуды двух компонент поляритонной волны накачки связаны простым соотношением

где опущен -ух « Д2

Рис. 4: Схематическое изображение расположения биэкситонного резонанса (штрихи) по отношению к энергетическим уровням экситона Ех и основного состояния кристалла |0), а также положения частоты накачки и ее расстроек соответственно от экситонного и биэкситонного резонансов.

Отсюда следует применимость традиционной феноменологической биэкситонной теории для описания эффектов, наблюдаемых в квазистационарных экспериментах "накачка-зондировании" с частотой накачки вблизи биэкситонного резонанса (рис. 4). Действительно, из модельного гамильтониана феноменологической теории можно вывести систему уравнений для когерентных состояний квазичастиц, а затем с помощью последовательных приближений получить из нее уравнение для отклика А^ . Последнее отличается от (14) членом в правой части, описывающим биэкситонные эффекты:

где Фо — огибающая функция основного биэкситонного состояния г=0 с энергией связи £ь=~£ох- При квазистационарном возбуждении в области вблизи биэкситонного резонанса (Дг~<?г>) этот член получается из последнего члена в правой части (14). В самом деле, из условия Т2 >> 1 /£ь следует, что спектральная ширина накачки мала по сравнению с £ь, так что можно пренебречь вкладами всех возбужденных биэкситонных состояний. Кроме того, из (15) вытекаает, что = £ь, что

означает тождественность последнего члена в правой части (14) и (16).

В СиС1 с £¡,=32 мэВ при накачке вблизи биэкситонного резонанса 1/Дг ~ 0.02 пс. Следовательно, не только пикосекундное, но и суб-пикосекундное возбуждение с частотой, расположенной вблизи и ниже биэкситонного резонанса, являются квазистационарными. В

разделах 4 4 и 4 5 рассмотрен нелинейный отклик Ад^ в условиях квазистационарного «накачка-зондирования» соответственно при циркулярной н линейной поляризациях импульсов В последнем случае

А (3)

уравнение, полученное для , показывает, что при параллельно-линейной поляризации в направлении к} одновременно присутствуют оба типа нелинейности, а при перпендикулярно-линейной поляризации — одни экситонные, как при социркулярной поляризации

Определена из Фурье-представления по частоте

широкополосного зондирующего импульса аналитическая форма дифференциального спектра поглощения, описывающего когерентные перенормировки экситон-биэкситонного спектра Картина дифференциального, а также полного спектров поглощения в различных поляризационных конфигурациях следующая

а) При социркулярной и перепендикулярно-линейной поляризациях Форма дифференциального спектра АКаа(си) зависит от единственного параметра — полуширины экситонного резонанса 7Х в отсутствии накачки ДКаа(ш) описывает изменения спектра в области шириной порядка 2,ух вокруг экситонного резонанса, масштаб которых характеризуется величиной 6Х, зависящей от интенсивности и расстройки частоты накачки от экситонного резонанса, а также энергий межчастичного взаимодействия

А о

. иех + с

(17)

При умеренных интенсивностях накачки и немалых расстройках ее частоты 5Х является очень малой величиной В частности, в области вокруг биэкситонного резонанса в CuCl 5Х « 0 3 мэВ при 12=Ь0 МВт/см2 Для нерезонансных частот \ш — Ех\ » 5Х дифференциальный спектр можно представить в следующей форме

Ак* -2 - Va) '

[(Ех-ш + 5х) +тl \EX — Ш) +71)

откуда видно, что действие накачки приводит к появлению резонанса, смещенного относительно невозмущенного в голубую сторону спектра на величину 8Х Это проявление экситонного ОШЭ, наблюдаемого впервые в квантовых ямах [J110] Динамические изменения спектра в форме (18) были получены с помощью уравнений Блоха для полупроводников, основанных на приближении Хартри-Фока [J11] При расчете величины

4 /Г"

к (а)

! \;

, / \ 1 ; V ; V

-15 -10 -5 0 5 10 15

ы-Е* (нэВ)

-15 "3.1 3.2 15

Ы-Ех (мэБ)

Рис. 5: Контрциркулярная поляризация. Дифференциальный (а) и полный (б) спектры поглощения образца СиС1 с 7* = 3.75 мэВ и 7:пт = 7.5 мэВ при резонансной накачке (Х> = 0) с различными интенсивностями. Сплошная линия изображает спектр при /2 = 10 МВт/см2, длинные штрихи — при 1ч = 20 МВт/см2, а короткие штрихи — при /г = 30 МВт/см2. На (б) сверху указаны положения максимумов расщепленной линии при 12 = 20 МВт/см2, а снизу — при /г = 30 МВт/см2. При Т> = 0 частоты и> ~ Ех в используемой схеме представляют область как экситонного, так и биэкситонного двухфотонного резонансов.

смещения 6Х, однако, был учтен только эффект ангармонического экситон-фотонного взаимодействия — аналога источника нелинейностей в атомных системах. Такой подход приемлем только в условиях, когда накачка совершается с расстройкой Д2 >> Ку*. В общем случае, как следует из (17), относительная роль межэкситонного и ангармонического экситон-фотонного взаимодействий зависит от отношения Йу*/Д2. В экситон-биэкситонной области частот (Д2 < Яу*) вклад межэкситонного взаимодействия преобладает.

б) При контрциркулярной поляризации: Форма дифференциального спектра АКа+сг зависит сложным образом от соотношения между скоростями дефазировки 7Х и , величиной расстройки частоты накачки от биэкситонного резонанса V и энергией экситон-биэкситонной когерентной связи £с = о^Фо-Ег- а описывает изменения спектра

в окрестностях экситонного {и=Ех) и биэкситонного двухфотонного {ш=Ех+Т>=Еь — резонансов. У последнего изменения значительны только при резонансной накачке на частоте экситон-биэкситонного перехода (Т>=0), когда происходит резкое уменьшение поглошения

0.16

-5 0 5 Ы-Е„ (мэВ)

Рис. 6: Дифференциальный (а) и полный (б) спектры поглощения образца СиС1 с 7, = 3.75 мэВ и -ухх = 7.5 мэВ в трех поляризационных конфигурациях при резонансной накачке ( V = 0) интенсивностью /2 = 30 МВт/см2. Сплошные линии изображают спектры в параллельно-линейной, длинные штрихи — в коктрциркулярной, а короткие штрихи — в социркулярной конфигурациях.

в положениях обоих резоиансов (рис. 5(а)]. При достаточной интенсивности накачки это приводит к одновременному расщеплению двух резоиансов, которое хорошо видно из соответствующих полных спектров поглощения [рис. 5(6)]. В общем случае основные изменения спектра происходят в окрестности экситонного резонанса. При этом характер изменений существенно зависит от знака расстройки V В частности, при нерезонансной накачке с |Х>| > 7х + 7жж дифференциальный спектр вне областей резонансов ¡ш — Ех\ > ^ух,^хх и \ш — Ех — Т>\ > 7х,7хо: выглядит следующим образом:

Д

.ш) |Р1>7,+7«« ^

1х

Ъ

(Ех-Ш-6хх)* + 11 {Ех-шу + 11

2&хх£ь

VZ(£b + V) где величина

Ex + V

■ и

Ех ~ V — со

л

Ох

хх 2V£b + V' характеризует масштаб изменений. Как и <5:

(19)

(20)

из (17), 8ХХ

пропорциональная интенсивности накачки. Для СиС1, например, при /2=50 МВт/см2 Ес « 1 мэВ, поэтому 5ХХ является малой величиной. Вместе с ней мал множитель перед квадратной скобкой в правой части

О 5 10 15 ш-Е,< (мэВ)

-15 -10

-5 0 5 ш-Е„ (нэВ)

10 15

Рис. 7: То же самое, что на рис. 6, но при нерезонансной накачке с V = 12 мэВ.

-10 -5 о ш-Е* (иэБ)

0.4

/

■ X

: /

/ 1 \

-20 -10 1-67 Ю

ш-Е„ (нэВ)

Рис. 8: То же самое, что на рис. 6, но при нерезонансной накачке с Т> = —12 мэВ. Вставка на (а) показывает в больших масштабах высшую часть дифференциального спектра, где значителен вклад экситонных нелинейностей.

(19). Следовательно, изменения спектра, индуцированные нерезонансной накачкой, можно рассматривать как появление резонанса, смещенного относительно невозмущенного на величину —дхх. При этом, согласно

(20), смещение происходит в красную сторону спектра при Т> > 0 и в голубую его сторону при Т> < 0. Это экситон-биэкситонный ОШЭ, обнаруженный в СиС1 [Л11]. Следует отметить, что фактический сдвиг экситонного резонанса отличается от величины 5ХХ: при Т> > 0 он

меньше 8ХЛ, а при ТУ < 0 — больше

в) При параллельно-линейной поляризации Дифференциальный спектр ДК» представляет собой сумму спектров АКаа и АКа а , описывающих когерентные перенормировки спектра соответственно в социркулярной и контрциркулярной конфигурациях Исследована зависимость относительной роли экситонных и биэкситонных эффектов от положения частоты накачки по отношению к биэкситонному резонансу Из результатов, показанные на рисунках 6 — 8, следует, что в СиС1 биэкситонные эффекты преобладают в перенормировках спектра не только при накачке вокруг биэкситонного резонанса (рис 6) или в области ниже него (рис 7), но и в области между экситонным и биэкситонным резонансами (рис 8)

Глава 5. Когерентное четырехволновое смешение (ЧВС) в квантовых ямах

В этой главе представлено теоретическое моделирование когерентного ЧВС в типичных квантовых ямах, основанных на материалах с зонной структурой типа СаАв В экспериментах по когерентному ЧВС используются два импульса одного порядка интенсивности, которая в этой работе предполагалась невысокой, чтобы не проявлялось эффектов выше третьего порядка по полю Рассматривалась часто реализуемая экспериментальная ситуация, когда центральные частоты импульсов расположены в непосредственной близости, или ниже основного экситонного резонанса, а их спектральные ширины меньше энергии связи двумерного экситона 4Лу*, а также величины расщепления Аы между зонами тяжелых и легких дырок При таких условиях электронные возбуждения в квантовой яме представляются системой экситонов тяжелых дырок с относительно простой электронной и спиновой структурами Описание когерентного ЧВС с его поляризационной зависимостью осуществлено с помощью систем уравнений для макроскопически заполненных состояний поляризованных фотонов и экситонов, а также биэкситонов, полученных в разд 5 2 как для циркулярно поляризованных, так и для линейно поляризованных импульсов С точностью до коэффициентов они имеют точно такой же вид, как соответствующие уравнения для когерентных состояний квазичастиц в зонных структурах типа СиС1 Отличие состоит в масштабах энергии однопарной и двупарных корреляций, которые

в квантовых ямах ваАэ, например, приблизительно в двадцать раз меньше, чем в СиС1 Это означает, что энергии однофотонного и двухфотонных переходов из основного состояния соответственно на экситонное и биэкситонные состояния почти вырождены Поэтому биэкситонные эффекты не могут проявляться при возбуждении с расстройками частот, большими по сравнению с биэкситонной энергией связи Наблюдать биэкситонные эффекты можно только путем возбуждения в непосредственной близости к биэкситонному резонансу, и естественно, в соответствующей поляризационной конфигурации

В разделах 5 3 — 5 6 рассмотрено когерентное ЧВС соответственно в контрциркулярной, социркулярной, перпендикулярно-линейной и параллельно-линейной конфигурациях Для каждой конфигурации по алгоритму, представленному в разд 4 2, выводилось уравнение для отклика гс Получено, что вследствие правил отбора по

волновым векторам при контрциркулярной поляризации не происходит когерентное ЧВС (что вполне соответствует экспериментальному наблюдению [Л 15]), а при перпендикулярно-линейной поляризации оно индуцируется исключительно биэкситонными нелинейностями Естественно, в силу правил отбора по поляризациям источниками ЧВС при социркулярной поляризации являются одни экситонные нелинейности Показано при этом, что относительная роль ангармонического экситон-фотонного взаимодействия пренебрежимо мала Таким образом, в экситонной области спектра ЧВС связано исключительно с кулоновскими корреляциями

х

+ г[Ех - г7,]} 432к2-к1 ос -^аа, 4?"

«г

Ыех при поляр а а

при поляр ± (21)

Ы^аР] +Тл£?Ф1в\21„ при поляр II

?(2) ¥

где опущен индекс поляризации экситонных состояний Отсюда видно, что ЧВС генерируется взаимодействием между экситоном, возбужденным зондирующим импульсом, и двумя экситонами, связанными с накачкой В зависимости от поляризационной конфигурации последние могут участвовать в процессе независимо друг от друга, в своих коррелированных состояниях, или одновременно и в той, и в другой форме Соответственно, амплитуда сигнала ЧВС имеет

О 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Вретм (пс)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Время (пс)

Рис. 9: Временная эволюция амплитуд экситонного состояния (а) и

основного биэкситонного состояния с энергией связи £(,=5мэВ и 7ХХ=1.57Х (б), возбужденных гауссовым импульсом длительностью г = 100 фс в момент времени 0 в образце с Т2=2пс. Сплошные линии изображают амплитуды при резонансных однофотонном возбуждении экситона (а) и двухфотонном возбуждении биэкситона (б), а длинные и короткие штрихи — соответственно их реальные и мнимые части при нерезонансном возбуждении с расстройкой Д=4мэВ.

вид суперпозиции трех амплитуд линейных откликов, суперпозиции экситонной и комбинации всех биэкситонных амплитуд, или суммы той и другой. Общее представление о сигналах ЧВС в разных конфигурациях можно получить из вида экситонной и биэкситонных амплитуд:

= со2сФ,ехр{-{г(2А2 + £П + ЪхЩ

х / сЙ'ехр{[г(Д2 + £Н + (7ет-7ф'}Е2У)

—оо

х / М"ехр[(гА2 + ЪУ]Е2Ю- (22)

—со

При длительности импульса, меньшей обратной величины расстройки его частоты от экситонного уровня Д, эволюция экситонного состояния, как видно из (13), определяется экситонной скоростью дефазировки и Д [рис. 9(а)]. Аналогично, эволюция биэкситонного состояния г определяется главным образом относительной биэкситонной скоростью дефазировки и расстройкой удвоенной частоты импульса от энергии этого состояния: 2Д + Е*х. На рис. 9(6) показана амплитуда основного биэкситонного состояния в квантовой яме с £$х=—5 мэВ. Уже из рис. 9 можно видеть качественное отличие сигналов ЧВС в полупроводниках

от таких же сигналов в двухуровневых атомных системах В последних сигнал ЧВС существует только при Т > О, при этом мгновенно достигает своего пика в момента прихода импульса накачки, затем монотонно быстро затухает [Л 17] Причина в том, что в атомных системах ЧВС связано с взаимодействием поля накачки с поляризацией, индуцированной зондирующим импульсом, часть которой еще остается в системе в момент прихода накачки Когерентность, связанная с полем любого импульса, присутствует в образце только в течение времени порядка его длительности Экситонная и биэкситонная когерентность, как видно из рис 9, сохраняется в течение времени порядка Т2 Поэтому заранее можно представить, что независимо от порядка прихода импульсов в экситонной области спектра сигнал ЧВС самостоятельно существует в течение времени порядка времен фазовой релаксации экситонных квазичастиц

Получены из (21) общие решения для амплитуды сигналов ЧВС в трех поляризационных конфигурациях как функции времени задержки между импульсами и реального времени после момента прихода более позднего из них Они служили основой для анализа формы сигнала когерентного ЧВС в каждой конфигурации как отражения когерентных и корреляционных свойтв системы поляризованных экситонов в разных ее аспектах при социркулярной поляризации — гомополярная система взаимодействующих поляризаций, при перпендикулярно-линейной — система с двумя коррелированными квазивырожденными оптическими переходами, а при параллельно-линейной — сочетание обоих аспектов, проявляющихся одновременно В отличие от численных решений, они позволили установить аналитическую связь между существенными чертами сигналов когерентного ЧВС и характеристиками как падающих импульсов, так и системы возбуждений в образце Особенно в пределе ультракоротких импульсов, когда их длительности малы по сравнению с Т2, а также с обратными величинами расстроек их частот, сигналы когерентного ЧВС в социркулярной, а также в перпендикулярно-и параллельно-линейной конфигурациях при селективной накачке основного биэкситонного состояния, получены в виде аналитических функций В общем случае анализ зависимости сигналов ЧВС от характеристик возбуждения и образца проводился с помощью численных расчетов с учетом временной эволюции импульсов в форме гауссовых линий Полученная картина выглядит следующим образом

Социркулярная поляризация Амлитуда сигнала ЧВС как функция

«

и

Ч и >1

о §

К

Ь

и

Рис. 10: Социркулярная поляризация. Сигналы вырожденного ЧВС от импульсов длительности 200 фс при расстройке частот Д; = Д-2 = 2.5 мэВ и (а) Тг = 2 пс при различных знаках времени задержки, (б) Т = 0 пс при различных значениях времени фазовой релаксации.

времени задержки описывает эволюцию когерентного состояния экситона (при Т>0) или двух экситонов (при Т<0). Как функция реального времени она отражает корреляционные свойства системы когерентных экситонов, в которой происходит спин-сохраняющее межчастичное взаимодействие. Эффект такого типа взаимодействия полностью учитывается в приближениях среднего поля. Поэтому численные решения уравнений Блоха для полупроводников смогли объяснить общие черты экспериментально наблюдаемых сигналов, а именно их существование при отрицательном времени задержки и немонотонный характер временной эволюции после ухода импульсов [Л1]. Здесь установлено, что при спектральном перекрытии импульсами экситонного уровня (т. е. 1/т; <\, ¿=1,2) форма сигнала когерентного ЧВС! определяется только временем фазовой релаксации экситонов. В частности, ширина сигнала как мера его длительности равна Тч (рис. 10). В пределе ультракоротких импульсов сигнал, начинающийся в момент прихода более позднего импульса ¿=0, достигает своего

Рис. 11: Перпендикулярно-линейная поляризация. Форма сигнала ЧВС и двух его компонент в квантовой яме йаАв с. £ь=1.8 мэВ (27г/£ь~2.29пс) и "(хз:/"(х=2 при времени фазовой релаксации: (а) Т2=4 пс и (б) Т2=3 пс. Сплошные линии изображают суммарный биэкситонный сигнал, а длинные и короткие штрихи — соответственно составляющие, генерируемые связанным состоянием и состояниями рассеяния биэкситона. Импульсы ультракороткие с Т>0.

пика в момент времени 1о~0.55Т2 |рис. 10(а)]. Влияние конечной длительности импульсов на- форму сигнала заключается в некотором смещении положения пика сигнала при увеличении отношения т/Т2 в сторону более поздних моментов времени при Т>0. При таких изменениях формы сигналов их ширина остается приблизительно равной Т2 в пределах когерентного режима [рис. 10(6)]. Сужение сигнала когерентного ЧВС при уменьшении времени фазовой релаксации из-за повышения температуры наблюдалось экспериментально в работе [Л16].

Перпендикулярно-линейная поляризация: Как функция времени задержки амлитуда сигнала ЧВС описывает эволюцию экситонного состояния (при Т>0) или комбинации биэкситонных состояний (при Т<0). Как функция реального времени она отражает корреляцию между переходами системы из основного состояния в экситонное под действием зондирующего импульса и в биэкситонные состояния под действием импульса накачки. Поскольку энергии переходов, которые являются соответственно однофотонным и двухфотонными, почти вырождены, система периодически переходит из экситонного состояния в биэкситонные и обратно. Следовательно, при Т2>2тг/£ь, когда система успевает в пределах когерентного режима совершить по крайней мере

Рис. 12: То же самое, что на рис. 11, но при 7Хт/7х = 1-

3.234

0.896

3.155

0.958

1.095 2.476 4.868

Бремя (пс)

1.011 2.533

Время (пс)

один переход из одного состояния в другое и вернуться обратно, сигнал ЧВС является отражением квантовых биений. Как следует из (21) и (22), сигнал ЧВС в этой конфигурации, условно называемый биэкситонным, определяется главным образом биэкситонными когерентными и корреляционными характеристиками: относительной скоростью бизкситонной дефазировки ^хх/^х и совокупностью собственных значений энергии и огибающих волновых функций биэкситона. Поэтому расчет биэкситонного сигнала в общем случае предполагает наличие разумных приближений для получения последних. При рассмотрении биэкситонного сигнала в квантовых ямах СаАв порядка 1 — 2 мэВ) спектр энергии и соответствующие огибающие функции биэкситона были получены при решении уравнения (8) приближенным способом, заимственным из [Л 18]. Ограничились рассмотрением ситуации, когда система собственных решений этого уравнения состоит из волновой функции основного связанного состояния Фо, конечной на бесконечности, и совокупности волновых функций состояний рассеяния Фр, имеющих на бесконечности вид сферической волны. Соответственно биэкситонный сигнал получен в виде комбинации двух сигналов, представляющих соответственно вклады основного связанного состояния и состояний рассеяния. Влияние последних сильно при быстрой биэкситонной дефазировке (7ет/7а:~2) и недостаточном спектральном разделении биэкситонного и экситонного резонансов (рис. 11). В таком случае общая длительность биэкситонного сигнала составляет лишь какую-то долю времени фазовой релаксации Тг. В противном случае вклад связанного

0.373 1.198 2.017

Время (пс)

0.337

1.144

Время (пс)

Рис. 13: Перпендикулярно-линейная поляризация. Сигнал невырожденного ЧВС, связанный с селективным возбуждением основного биэкс.итонного состояния в квантовой яме 2пЭе с £ь = 5 мэВ (2тг/£(, « 0.825 пс), 7хг = 1.57* и (а) Т2 = 2 пс, (б) Т2 = 1 пс при различных знаках времени задержки. Сплошная линия изображает сигнал при Т = 0, длинные штрихи — Т = 0.5 пс, а короткие штрихи — Т = —0.5 пс.

состояния доминирует в биэкситонном сигнале (рис. 12). Особенно при хорошем спектральном разделении биэкситонного и экситонного резонансов {£ь/^/Хх » 1), которое существует в квантовых ямах ZnSe с энергией связи биэкситона порядка 5 — 8 мэВ, вклад состояний рассеяния можно исключить путем селективного возбуждения основного состояния. В таком пределе биэкситонный сигнал имеет вид осцилляций с убывающей глубиной, период которых приблизительно равен 2п/£ь (рис. 13).

Рассмотрена относительная интенсивность биэкситонного сигнала по сравнению с экситонным при социркулярной поляризации. Получено, что она также зависит от параметров и £ь/1хх, а при Т<0, еще от

Т через множитель ехр[2(7га — 2гух)Т]. Ее наибольшее значение, которое достигается при 7Х1 = 7Ж, составляет при Т>0 приблизительно одну десятую часть единицы.

Параллельно-линейная поляризация: Сигнал когерентного ЧВС является суперпозицией экситонного и биэкситонного сигналов, проявляющихся соответственно при социркулярной и перпендикулярно-линейной поляризациях. Форма и интенсивность сигнала поэтому определяются их относительной интенсивностью. Таким образом, при Т > 0 интенсивность сигнала определяется в основном интенсивностью экситонного сигнала (рис. 14). Относительно формы, биэкситонные

о

2 4

Время (пс)

6

0 12 3 4

Время (пс)

Риг. 14: Параллельно-линейная поляризация. Сигнал ЧВС от ультракоротких импульсов с временем задержки Т> 0 (сплошная линия) и его экс.итонная (длинные штрихи) и биэкситонная (короткие штрихи) компоненты при 7ХХ = 1.57х (а) в квантовой яме СаАэ с Яу* = 10 мэВ, £ь = 1.8 мэВ, Т2 = 4 пс и (б) в квантовой яме 7п8е с £¡, = 5 мэВ и при Т-2 — 3 пс при селективной накачке основного состояния биэкслтона.

Рис. 15: То же самое, что на рис. 5.14(6), но при 7ХХ = 7Х и отрицательном времени задержки: (а) Т = — 1 пс и (б) Т = —2 пс.

характерные черты в виде осцилляций могут оставлять свой след на фоне экситонного сигнала в образцах с » 2ж/£ь. При Т < 0 форма сигнала зависит от величины времени задержки Т таким образом, что с увеличением |Т| биэкситонные характерные черты становятся заметнее в образцах с 7хг/7х < 2 (рис. 15). При этом, однако, интенсивность с и гк ал о в падает.

Заключение

Сформулируем в заключение основные результаты и выводы, полученные в ходе работы над диссертацией

1 Получен общий микроскопический гамильтониан системы поляризованных экситонов в структурах с зоной проводимости 5 типа и валентной зоной р типа, применимый для описания когерентных эффектов в приближении 1ре1ьего порядка по полю Показано, что наряду с эффективным спин-сохраняющим межчастичным взаимодействием, данный гамильтониан включает спин-меняющее взаимодействие, которое не может быть учтено при пренебрежении спиновой структурой экситона, или в рамках приближений среднего поля

2 Получен потенциал взаимодействия между экситонами с различными значениями общего спина в объемных полупроводниках с простой зонной структурой в виде аналитических функций межэкситонного расстояния

3 Выведены для простых зонных структур системы гайзенберговских уравнений движения для операторов поляризованных фотонов и экситонов, а также биэкситонов, использованные как системы для связанной динамики когерентных макроскопически заполненных состояний соответствующих квазичастиц, дан алгоритм их решения для получения откликов третьего порядка в направлениях наблюдения двухимпульсовых экспериментов с временным разрешением

4 Установлено, что первопричина поляризационной зависимости когерентных нелинейно-оптических эффектов в экситонной области спектра связана с зависимостью двухэкситонных корреляций от общего спина экситонов, которые в когерентном режиме еще хранят память о направлениях распространения и поляризациях падающих импульсов

5 Сформулированы условия установления квазистационарного режима в когерентных экспериментах "накачка-зондирование", а также условия применимости феноменологической биэкситонной теории

6 По пучен в виде аналитических функций дифференциальный спектр поглощения структур типа СиС1 в различных поляризационных конфигурациях при квазистационарной накачке с частотой вблизи или ниже биэкситонного резонанса Исследована зависимость характера когерентных перенормировок спектра при контрциркулярной поляризации, а также относительного веса экситонных и биэкеитонных нелинейностей при параллельно-линейной поляризации от расположения частоты накачки по отношению к биэкситонному резонансу

7 Представлена аналитическая картина когерентного четырех-волнового смешения (ЧВС) в квантовых ямах Установлено, что ЧВС отсутствует при контрциркулярной поляризации импульсов, а в других поляризационных конфигурациях отражает разные аспекты системы когерентных поляризованных экситонов Получены общие выражения для амплитуды сигналов в трех конфигурациях в виде функций времени задержки между импульсами и реального времени после момента прихода более позднего импульса Проанализирована зависимость формы и интенсивности сигналов ЧВС в каждой конфигурации от экситонных и биэкеитонных корреляционных и когерентных характеристик, а также от таких параметров возбуждения как длительность импульсов, величина и знак времени их задержки

Список цитированной литературы

[J11] Н Haug and S W Koch, "Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors", 3rd edn (World Scientific, Smgapoie, 1994)

[Л2] "Оптическая ориентация",под ред Ф Майера и БП Захарчени (Наука, Ленинград, 1989), D D Awschalom and J М Kikkawa, Phys Today 52, 33 (1999)

[ЛЗ] И А Полуэктов, Ю M Попов, В С Ройтберг, УФН 114, 87 (1974)

[Л4] Л В Келдыш, "Проблемы теоретической физики "(Наука, Москва, 1972), с 433, В Ф Елесин, Ю В Копаев, ЖЭТФ 63, 1447 (1972)

[Л5] S A Moskalenko and D W Snoke, "Bose-Ernstem Condensation of Excitons and Biexcitons11 (Cambridge Umv Press, New York, 2000)

[Л6] E Hanamura, J Phys Soc Japan 29, 50 (1970), 37, 1545 (1974)

[Л7] D W Snoke, D Braun, M Cardona, Phys Rev В 44, 2991 (1991)

[Л8].А Л Иванов, Л В Келдыш, В В Панащенко, ЖЭТФ 99, 641 (1991), A L Ivanov and Н Haug, Phys Rev В 48, 1490 (1993)

[Л9] Л В Келдыш, А Н Козлов, ЖЭТФ 54, 978 (1968)

[Л 10] A Mysyrowicz, D Huhn, A Antonetti et al, Phys Rev Lett 56, 2748 (1986), Von Lehmen, DS Chemla, JE Zucker, and JP Heritage, Optics Lett 11, 609 (1986)

[ЛИ] D Huhn and M Joffre, Phys Rev Lett 65, 3425 (1990)

[Л12] R Shimano and M Kuwata-Gonokami, Phys Rev Lett 72, 530 (1994)

[Л13] А Л Иванов, Л В Келдыш, ДАН СССР 264, 1363 (1982) [Л 14] С Khngshirn, "Semiconductor Optics"(Springer, Berlin, 2005)

[Л15] S Schmitt-Rmk, D Bennhardt, V Heuckeroth et al , Phys Rev Lett В 46, 10460 (1992) О Carmel and I Bar-Joseph, Phys Rev В 47, 7606 (1993)

[Л 16] T Yajima and Y Taira, J Phys Soc Japan 47, 1620 (1979)

[JI17] D S Kim, J Shah, T С Damen et al , Phys Rev Lett 69, 2725 (1992)

[Л18] A I Bobrysheva, V T Zyukov, S A Moskalenko, Phys Status Solidi В 105, K45 (1981)

Список публикаций по теме диссертации

[1] Hoang Ngoc Cam, Nguyen Van Hieu, and Ha Vinh Tan, "On the theory of nonlinear optical effects m semiconductors,"Phys Status Solidi В 116, 25-29 (1983)

[2] Hoang Ngoc Cam, Nguyen Van Hieu, and Nguyen Ai Viet, "On the damping of excitonic polaritons," Phys Status Solidi В 126, 247-252 (1984)

[3] Hoang Ngoc Cam, Nguyen Van Hieu, and Nguyen Ai Viet, "Excitons m direct band gap cubic semiconductors," Ann Phys (New York) 164, 172-188 (1985)

[4] Hoang Ngoc Cam and Nguyen Ai Viet, "Spin of quasiparticles and their interaction m semiconductors," Proc Nat Cent Sci Res Vietnam 1, 16-22 (1987)

[5] Hoang Ngoc Cam and Nguyen Ai Viet, "Laser-mduced modification of the semiconductor electronic spectrum m the exciton region," Proc Nat Cent Sci Res Vietnam 2, 81-96 (1988)

[6] Nguyen Ba An and Hoang Ngoc Cam, "An approach to the many-exciton system," J Phys Condens Matter 2, 4127-4136 (1990)

[7] Nguyen Ba An and Hoang Ngoc Cam, "Interaction between excitons m 3D and 2D laser-excited semiconductors," Czech J Phys В 41, 73-84 (1991)

[8] Nguyen Ba An, Hoang Ngoc Cam, and Nguyen Trung Dan, "Spin-dependent exciton-exciton interaction potential m two- and three-dimensional semiconductors under excitation," J Phys Condens Matter 3, 3317-3329 (1991)

[9] Hoang Ngoc Cam, E Hemer, "The time dependent projection operator method for tunneling m Josephson junctions," Z Phys В - Condens Matter 89, 199-207 (1992)

[10] А И Бобрышева, С А Москаленко, Хоанг Нгок Кам, "Индуцированное спаривание экситонов и поляризация биэкситонов в поле лазерного излучения," ЖЭТФ 103, 301-306 (1993)

[11] Hoang Ngoc Cam "Biexciton-biexciton mtei action 111 semiconductor " Phys Rev В 55, 10487-10497 (1997)

[12] H В Чернеы, А Д Кудрявцева, Хоанг Нгок Кам, "Воссхановиение амплитудно-фазовых характеристик сложных световых полей при ВКР в присутствии других нелинейных эффектов," Оптические методы исследования потоков Труды VII Международной научно-технической конференции М МЭИ, 2003, с 294-297

[13] Hoang Ngoc Cam, V S Gorelik, "Renormalization effects m the spectrum of a coherently driven exciton-biexciton system," J Russian Laser Res 25, 96-114 (2004)

[14] Hoang Ngoc Cam, "Exciton-boson formalism m the theory of laser-excited semiconductors and its application m coherent four-wave mixing spectroscopy," J Russian Laser Res 25, 412-439 (2004)

[15] Hoang Ngoc Cam, "Two-exciton correlations and the polarization dependence in coherent four-wave mixing spectroscopy," J Phys Soc Japan 74, 1049-1066 (2005)

[16] Хоанг Нгок Кам, "Экситонные и биэкситонные нелинейности в когерентном четырехволновом смешении в полупроводниковых квантовых ямах," ЖЭТФ 129, 315-335 (2006)

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором

Подписано в печать 06 12 2007 Формат 60 х 90/16 Бумага офсетная Печать офсетная Уел печ л 1,89 Уч-изд л 1,97 Тираж 100 экз Заказ №55992

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г Дубна, Московская обл , ул Жолио-Кюри, 6 E-mail publish@jinr ru www jinr ru/pubhsh/

Введение

Глава 1. Линейный режим в одночастичном и экситонном представлениях (обзор)

1.1. Одночастичное приближение.

1.1.1 Энергетическая зонная структура.

1.1.2 Оптический спектр независимых носителей.

1.2. Экситон в объемных полупроводниках.

1.2.1 Электронная структура.

1.2.2 Экситонный оптический спектр.

1.3. Учет спина квазичастиц.

1.3.1 Точечная симметрия кристалла и вид блоховских амплитуд

1.3.2 Экситон в зонных структурах типа GaAs.

1.3.3 Экситонный спин.

1.4. Квазидвумерные квантовые ямы.

1.4.1 Одночастичные состояния.

1.4.2 Экситон в квантовых ямах.

Глава 2. Экситонное представление системы парных возбуждений

2.1. Система спин-ориентированных носителей.

2.1.1 Взаимодействие носителей с излучением.

2.1.2 Кулоновское взаимодействие.

2.2. Преобразование бозонизации.

2.3. Экситонное представление.

2.3.1 Экситонный гамильтониан.

2.3.2 Гамильтониан экситон-фотонного взаимодействия.

2.4. Система экситонов основного состояния.

2 .5. Спин-сохраняющая и спин-меняющая компоненты межэкситонного. взаимодействия.

2.6. Итог.

Глава 3. Экситонная система в CuCl и родственных структурах

3.1 Гамильтониан.

3.2 Спин-зависимый потенциал межэкситонного взаимодействия.

3.3 Биэкситон.

3.4 Гайзенберговские уравнения движения

3.4.1 Циркулярно поляризованное поле.

3.4.2 Линейно поляризованное поле.

3.5. О небозевости экситонов.

Глава 4. Когерентные перенормировки экситон-биэкситонного спектра в структурах типа CuCl

4.1. Введение.

4.2. Оптический отклик третьего порядка в схеме «накачка-зондирование»

4.3. Стационарное «накачка-зондирование» и феноменологическая биэкситонная теория.123 ;

4.4. Перенормировки спектра при циркулярной поляризации импульсов.

4.4.1 Социркулярная поляризация: экситонный ОШЭ.

4.4.2 Контрциркулярная поляризация: экситон-биэкситонный ОШЭ

4.5. Перенормировки спектра при линейной поляризации импульсов.

4.5.1 Перпендикулярно-линейная поляризация.

4.5.2 Параллельно-линейная поляризация.

Глава 5. Когерентное ЧВС в квантовых ямах

5.1. Введение.

5.2. Система экситонов тяжелых дырок.

5.2.1 Гамильтониан.

5.2.2 Биэкситон в квантовых ямах.

5.2.3 Гайзенберговские уравнения движения для случая циркулярно поляризованных импульсов.

5.2.4 Гайзенберговские уравнения движения для случая линейно поляризованных импульсов.

5.3. Контрциркулярная поляризация: отсутствует ЧВС.

5.4. ЧВС при социркулярной поляризации: эффекты межэкситонного взаимодействия.

5.5. ЧВС при перпендикулярно-линейной поляризации: биэкситонные эффекты

5.5.1 Невырожденное ЧВС в квантовых ямах ZnSe при селективном возбуждении.

5.5.2 Вырожденное ЧВС в квантовых ямах GaAs при учете состояний рассеяния.

5.6. ЧВС при параллельно-линейной поляризации: комбинированные эффекты

5.7. Выводы.

Актуальность работы

Как область физики, изучающая оптический отклик макроскопических систем параллельно как экспериментальными методами, так и на основе их микроскопического квантово-механического описания, оптика полупроводников является соединяющим мостом между фундаментальным описанием природы и технологическими приложениями. Ее роль особенно возросла в связи с достижениями лазерной и полупроводниковой технологий в восьмидесятые годы прошлого столетия. Наличие световых импульсов с длительностью меньше времени фазовой релаксации элементарных возбуждений в полупроводниках и возможность конструирования полупроводниковых структур с заданными свойствами сделали такие структуры уникальными лабораториями для сверхбыстрых оптических методов исследования. Наблюдаемые когерентные нелинейно-оптические эффекты активно эксплуатируются' для разработки технологических устройств [1], а их теоретический анализ открывает путь к глубокому пониманию микроскопической природы многих фундаментальных физических явлений.

При низких температурах взаимодействие полупроводников с оптическими полями можно рассматривать в двухзонной модели [2]. Полностью заполненная валентная зона р типа и абсолютно пустая зона проводимости s типа, экстремумы которых расположены в точке к = 0, с запрещенной зоной шириной Ед между ними — это основное состояние (или вакуум) типичного фазовая | релаксация 1 1 КОГЕРЕНТНЫЙ 1 РЕЖИМ 1 1 энергетическая поляризационная релаксация релаксация НЕКОГЕРЕНТНЫЙ РЕЖИМ рекомбинация

1 1 Ъ ! Тз Т5 о t

Рис. 1: Схематическое представление иерархии временных констант в полупроводниках. Т2, Тз и Ts обозначают соответственно время фазовой, энергетической и поляризационной релаксации электронных возбуждений, a Ti — время их жизни. прямозонного полупроводника с дипольно-разрешенными переходами. Поглощение кванта резонансного ультракороткого лазерного излучения в таком полупроводнике приводит к переходу в зону проводимости электрона, оставляющего за собой в валентной зоне вакантное место — дырку. Система таких оптически коррелированных электрон-дырочных пар характеризует состояние полупроводника, возбужденного в спектральной области вблизи фундаментального края. В первый момент своего возникновения пары являются когерентными, т. е., их квантово-механическая фаза определяется фазой лазерного света. Однако, вследствие взаимодействия внутри электронной системы и ее с окружением их фаза релаксирует с некоторым характерным временем Т^- Обычно оно меньше всех других характерных времен [3,4], как показано схематически на рис. 1. Непосредственное изучение динамики системы электронных возбуждений в пределах времени фазовой релаксации (в когерентном режиме) осуществляется с помощью техник нелинейно-оптической спектроскопии с временным разрешением. Самыми широко используемыми среди них являются двухимпульсовые схемы "накачка-зондирование" и четырехволнового смешения (ЧВС) [5,6], где два

2кг-к± 2

Образец 2к±-кг к2 ki

Рис. 2: Схема двухимпульсного нелинейно-оптического эксперимента с временным разрешением. поляризованных лазерных импульса длительностями меньше Т2 фокусируются на оптически тонком полупроводниковом образце под очень малым углом (рис. 2). Путем регулирования времени задержки Т между импульсами по субпикосекундной или фемтосекундной шкале можно следить за временной эволюцией системы электронных возбуждений в соответствующем масштабе.-В схеме «накачка-зондирование» наблюдаются изменения, индуцированные более сильным импульсом накачки, в пропускании слабого зондирующего импульса в направлении распространения ki последнего. В схеме когерентного четырехволнового смешения дифрагированный сигнал в направлении 2к2 — кх разрешается по времени с помощью сверхбыстрой техники детектирования, или по частоте спектрометром. Большое количество данных, полученных в таких экспериментах за последние два десятилетия, показывает, что когерентные нелинейно-оптические эффекты в полупроводниках коренным образом отличаются от своих аналогов в атомных системах [6-14]. К тому же, эффекты третьего порядка по полю в экситонной области спектра существенно зависят от конфигурации поляризаций приложенных импульсов [15-23]. Очевидно, причина таких различий заключается в кулоновских корреляциях, присущих полупроводникам как конденсированным средам, в отличие от атомных систем, где нелинейная динамика связана только с действием принципа Паули.

В общем случае время фазовой релаксации парных электронных возбуждений в прямозонных полупроводниках мало по сравнению с их временем жизни [3]. Поэтому при рассмотрении когерентных процессов эту систему обычно считают квазизамкнутой [24], а влияние окружения учитывают путем введения феноменологических параметров дефазировки. Исходным пунктом в теоретическом описании сверхбыстрых процессов в области вблизи фундаментального края служит гамильтониан системы электрон^дырочных пар, взаимодействующих между собой посредством кулоновской силы, а также с полем излучения, в базисе одночастичных волновых функций [25]. Для квазидвумерных прямозонных полупроводников в виде квантовых ям типа I эти функции, а также соответствующие одночастичные энергии, должны содержать в себе видоизменения, связанные с квантовым ограничением в направлении оси роста кристалла [26]. Самый' популярный подход для описания когерентных нелинейно-оптических эффектов в экситонной области спектра основан на формализме матрицы плотности [4,26-32], где динамическими переменными являются амплитуда поляризации рк = (h-kek) и числа электронного и дырочного заполнения пе(к) = {екек) и П/Дк) = (^к^к), имеющие прямое отношение к наблюдаемым одночастичным физическим величинам. Уравнения для этих элементов приведенной одночастичной матрицы плотности получают путем усреднения обеих частей Гайзенберговских уравнений движения для соответствующих операторов с использованием гамильтониана электрон-дырочной системы в следующем виде:

Heh = ^[Ee{k)e^ek + Eh{k)hihk + wkE{t)h.kek+wle^htkE{ty} k о Е UQ Е K+q^-q^k2ekl +fck1+qfcka-qkkAl

Z q^O kjk2

-2<+q^k2~qfrk2ekl] ■ (1)

Здесь первая строка в правой части представляет собой сумму одночастичных энергий носителей и их дипольного взаимодействия с полем света. Последнее рассматривается полуклассически в приближении вращающейся волны, при этом пренебрегают малым волновым вектором фотона. Под Ее^(к) подразумевается соответствующий закон дисперсии. Сумма по q на последних двух строках описывает взаимное кулоновское взаимодействие в электрон-дырочной системе. При написании гамильтониана (1) зависимостью состояний квазичастиц от ориентации их угловых моментов (спинов) обычно пренебрегают. Из-за кулоновского взаимодействия, связывающего носители из всевозможных одночастичных состояний, система уравнений для динамических переменных получаются незамкнутой. Источник нелинейностей включает четырехточечные корреляционные функции, такие как (ek/+qek/ik+qek/), являющиеся элементами двухчастичных матриц плотности. Уравнения для них, в свою очередь, содержат элементы трехчастичных матриц плотности, и т. д., что приводит в конечном итоге к бесконечной иерархии связанных уравнений. Такая проблема встречается при любом теоретическом подходе к рассмотрению многочастичных систем. Задача здесь заключается в том, чтобы для определенного уровня описания найти соответствующий систематический способ прерывания иерархии уравнений. Простейший подход связан с использованием приближений среднего поля, в частности приближения Хартри-Фока (ПХФ), в которых корреляции высших порядков игнорируются [30-34]. Четырехточечные корреляционные функции в таком случае аппроксимируются произведениями динамических переменных. Так, (e£+qekhkH.qek/) « (e£+qek)(hk+qek/} = ne(k)pk5k'jkq,. . Таким путем замкнутая система уравнений для амплитуды поляризации и чисел заполнения получаются в следующем виде [4]: д ( к2\ + гуЕя + — J Pk-iJ^ Vk-k'Pk> = г [1 - ne(k) - nh{k)] wkE(t)

-«Eyk-k' {Pk' Mk) + Mk)] - Pk K(k') + nh{k!)}} ,

2/i

2) k'

Как видно, источник нелинейностей в правой части уравнения для амплитуды поляризации состоит из двух частей. Первая выражает перенормировку связи системы с полем, которая обуславливается действием принципа Паули и поэтому присутствует в любой системе, состоящей из фермионов. Последняя, описывающая связь поляризации с электронной и дырочной популяциями, представляет эффект кулоновского взаимодействия. В его отсутствии уравнения (2) и (3) сводятся к оптическим уравнениям Блоха в двухуровневой атомной модели. Отсюда и их название "уравнения Блоха для полупроводников" (УБП) [26,35]. С другой стороны, в стационарных условиях и присутствии в системе только одной пары (Х^пДк) = 2k = 1) из

2) получается уравнение Ванье для коррелированного электрон-дырочного движения в экситоне [36-41].

Успешные применения численных решений УБП для объяснения определенного количества экспериментальных наблюдений в реальных полупроводниковых структурах, таких как экситонный оптический Штарк эффект или существование сигнала когерентного ЧВС при отрицательных временах задержки, сделали их центральными уравнениями оптики полупроводников [3,4,10,26,30-35,42]. Однако в многочисленных случаях подход УБП не может достичь даже качественного понимания экспериментальных наблюдений [12,14,22,43,44]. Естественно, теория, основанная на ПХФ, не может описывать эффектов двупарных корреляций, доминирующих при слабых и умеренных уровнях возбуждения. Давно известна роль экситон-экситонного взаимодействия, одно из примечательных проявлений которого — образование биэкситона как связанного состояния двух пар [45-59]. Благодаря квантовому ограничению, увеличивающему энергию связи биэкситона в квантовых ямах, биэкситонные эффекты наблюдают не только в широкозонных полупроводниках групп II—VI и I—VII [47-54], но также в материалах группы III—V [55-59], где они традиционно считались пренебрежимо слабыми [6,47].

Сверхбыстрым оптическим методам доступны не только связанные, но и коррелированные двупарные состояния рассеяния [60,61]. Для интерпретации и анализа таких проявлений двупарных корреляций, как поляризационная зависимость и биэкситонные эффекты, были разработаны различные техники [62-68]. Самой используемой среди них оказалась так называемая схема динамика-контролируемого усечения (ДКУ), которая является расширением подхода УБП [65-68]. Исходя из того, что в когерентном режиме число парных возбуждений в полупроводнике может изменяться только под действием приложенного лазерного поля, в схеме ДКУ матрицы плотности разных порядков классифицируются по степеням поля. При этом схема ДКУ основана на двух предположениях: а) Ограничение рассмотрения когерентных эффектов до некоторого порядка г по полю (включительно) предполагает пренебрежение корреляционными функциями, влияющими на оптический отклик в порядках г' > г. б) Корреляционные функции, содержащие одновременно как операторы создания, так и операторы уничтожения, могут быть факторизованы на произведения средних от операторов перехода, которые содержат операторы только одного типа (либо только операторы создания, либо только операторы уничтожения).

Таким образом схема ДКУ фактически представляет собой систематический способ выбора динамических переменных, в котором предпочтение уделяется переменным, связанным с операторами перехода. На основании а) и б) было показано, что когерентный оптический отклик г-^гого порядка можно описывать с помощью набора (г + 1)/2 динамических переменных, которые составляют коррелированные части соответствующих корреляционных функций, представляющих однопарный, двупарный, . . ., (г + 1)/2-парный переходы [67]. Так, линейный отклик описывается амплитудой однопарного (экситонного) перехода р^, а отклик третьего порядка — вдобавок еще амплитудой коррелированного двупарного (биэкситонного) перехода £?кк/ = {hk^khk'^k') — {hkZk){hk'^k') + {hk^k'){hk', характеризующей поправку к ПХФ при вычислении четырехточечных корреляционных функций. Вывод замкнутой системы уравнений для экситонного и биэкситонного переходов и ее численное решение для описания когерентных нелинейно-оптических эффектов третьего порядка в различных полупроводниковых структурах составляли содержание ряда теоретических работ [66,69-71]. При этом учет спиновой структуры (включающей спин и его проекцию на избранную ось квантования) носителей при рассмотрении коррелированных однопарных и двупарных состояний выполняли интуитивным путем. Из-за этого, а также из-за пренебрежения волновым вектором света при его полукласическом рассмотрении, авторам не удавалось получить ясной картины поляризационной зависимости.

Очевидно, адекватное теоретическое моделирование сверхбыстрых процессов, протекающих в когерентных нелинейно-оптических экспериментах, должно учитывать три стадии в их развитии: 1) создание в образце спин-ориентированных электронных возбуждений полем поляризованных импульсов, 2) когерентные многочастичные корреляции в системе таких возбуждений, индуцированные как их взаимным кулоновским взаимодействием, так и взаимодействием с полем, и 3) генерация индуцированной нелинейной поляризацией электромагнитного излучения в виде сигнала, выявляемого в определенном направлении. Следовательно, последовательный подход для описания нелинейно-оптического отклика в спектральной области вблизи края должен быть основан на микроскопической теории многочастичных корреляций в системе электрон-дырочных пар со строгим учетом как волнового вектора, так и спиновой структуры носителей и фотонов света. Уже в слабонелинейном режиме, когда корреляциями трехпарными и высших порядков можно пренебречь, такой учет представляет собой сложную задачу. В частности, при рассмотрении двупарных (четырехчастичных) корреляций приходится иметь дело со сложением четырех угловых моментов, при этом скорости спиновой релаксации у электронов и у дырок сильно отличаются [3]. Во избежание таких сложностей рассмотрение двупарных корреляций можно перенести в пространство, где базисом служит полная система спин-зависимых экситонных состояний. Поскольку при низких плотностях экситонные операторы удовлетворяют квазибозонным коммутационным соотношениям [25,72], такое пространство рассматривается как бозонное. Для заданной зонной структуры, классификация экситонных состояний по спиновым переменным (или по неприводимым представлениям группы точечной симметрии кристалла) производится по теоретико-групповым правилам [73-76]. Таким образом учет спиновой структуры квазичастиц при рассмотрении двупарных корреляций в экситонном пространстве сводится к выполнению хотя громоздких, но определенных алгебраических процедур. Начало экситон-бозонному формализму положил Ханамура [77], который пользовался преобразованием Усуи [78] для разложения исходного фотон-электрон-дырочного гамильтониана в некотором бозонном пространстве в ряд по степеням плотности заполнения. Впоследствии такая процедура бозонизации не один раз применялась для получения гамильтониана эффективного межэкситонного взаимодействия как в объемных [79-81], так и в двумерных системах [82,83]. Спиновые степени свободы квазичастиц, однако, не были учтены должным образом. В данной диссертационной работе преобразование Ханамуры-Усуи используется в расширенной форме для строгого теоретико-группового учета зависимости спиновой структуры экситонов от электронных и дырочных спиновых переменных [84]. Отображение системы спин-ориентированных электрон-дырочных пар в новом пространстве имеет вид системы поляризованных экситонов, а многочастичные корреляции в системе носителей — многоэкситонных корреляций. Изучение спин-зависимых двухэкситонных корреляций в объемных и квазидвумерных структурах, а также их проявлений в виде когерентных нелинейно-оптических эффектов третьего порядка, чувствительных к поляризациям генерирующих импульсов, составляет содержание данной диссертационной работы. Актуальность темы связана с необходимостью глубокого понимания микроскопической природы когерентных нелинейных эффектов третьего порядка в полупроводниковых структурах, которое может служить основой для управления их оптическими свойствами и разработки новых типов сверхбыстрых устройств. Особенно это важно в связи с возникшей идеей использовать спиновую степень свободы электронных возбуждений в полупроводниках в качестве носителя информации в микроэлектронных приборах [85]. С фундаментальной точки зрения, изучение спин-зависимых двупарных корреляций как эффектов кулоновского взаимодействия в трехмерных и двумерных полупроводниках важно не только для исследования таких корреляций в полупроводниковых системах, обладающих еще меньшей .размерностью, но и для физики конденсированного состояния в целом. Более того, система экситонов с квантованными состояниями и изученным межчастичным взаимодействием в полупроводниковых наноструктурах может служить мезоскопической лабораторией для проверки многих фундаментальных понятий физики твердого тела и квантовой механики.

Цели работы

Для развития теории спин-зависимых двухэкситонных корреляций и разработки на ее основе подхода для адекватного описания результатов двухимпульсовых нелинейно-оптических экспериментов с временным разрешением было необходимо решить следующие задачи:

• разработать общий гамильтониан системы поляризованных экситонов, включающий двухэкситонные корреляции, на основе гамильтониана системы спин-ориентированных электронов в зоне проводимости 5 типа и дырок в валентной зоне р типа, взаимодействующих между собой и с полем излучения;

• вывести для каждой рассматриваемой зонной структуры систему уравнений, описывающую связанную динамику состояний поляризованных фотонов, экситонов, а также биэкситонов в когерентном режиме с полным учетом правил отбора как по волновым векторам, так и по поляризациям;

• решить полученную систему уравнений в разумном приближении для получения когерентного нелинейного отклика третьего порядка в том или ином направлении наблюдения экспериментов.

Эти задачи решались в рамках экситон-бозонного формализма, сущность которого - представление состояния полупроводника при умеренном возбуждении в виде суперпозиции его состояний в линейном режиме. Такой подход обладает рядом преимуществ перед подходами электрон-дырочного представления с точки зрения поставленных целей. Как упоминалось, надлежащий теоретико-групповой учет спиновой структуры квазичастиц при изучении двупарных корреляций значительно упрощается, что особенно облегчает рассмотрение симметрии двупарных образований при линейной поляризации импульсов. Но главное преимущество экситонного представления связано с тем, что в отличие от некоррелированных электрон-дырочных пар, экситоны обладают свойством хранить передаваемые им полем не только волновой вектор, но и поляризацию, как циркулярную, так и линейную [86]. Время поляризационной релаксации экситонов обычно велико по сравнению с временем их фазовой релаксации [86-92]. Следовательно, в когерентном режиме, когда релаксационные процессы [93-98] еще не успевают разрушить фазовой памяти экситонов, можно пользоваться понятием о когерентных состояниях дипольно-активных экситонов как состояниях с макроскопической амплитудой, определенными фазой [99-101] и поляризацией, аналогичных когерентным состояниям поляризованных фотонов. При определенных условиях корреляции между когерентными экситонами обеспечивают существование когерентных биэкситонных состояний, также с макроскопической амплитудой и определенной фазой [102]. В таком приближении операторы можно заменить С-числами, а дефазировку экситонных и биэкситонных состояний описать феноменологическими параметрами. В результате система гайзенберговских уравнений движения для операторов принимает вид системы для связанной динамики соответствующих когерентных состояний. С помощью последовательных приближений из такой системы можно получить уравнение для временной эволюции нелинейной части когерентного экситонного состояния, которая представляет нелинейную поляризацию образца, излучающей свет в опреленном направлении.

Объектами исследования в работе явились объемные и квазидвумерные полупроводниковые структуры с зоной проводимости s типа и валентной зоной р типа, возбужденные полем поляризованных ультракоротких лазерных импульсов умеренной интенсивности с частотой в экситонной области спектра. При таких условиях типичные квантовые ямы (шириной порядка 10 нм), основанные на соединениях групп III-V и II-VI, могут быть рассмотрены как двумерные полупроводники. Их вместе с традиционными объемными структурами называли в работе общим словом «полупроводники».

Научная новизна и практическая ценность работы

В диссертации выполнено теоретическое моделирование сверхбыстрых процессов, протекающих в объемных и квазидвумерных полупроводниковых структурах при проведении двухимпульсовых когерентных нелинейно-оптических экспериментов в экситонной области спектра. Научная новизна представленных в работе результатов заключается в том, что

• рассмотрены с теоретико-групповым учетом спиновых переменных двухэкситонные корреляции, ответственные за нелинейно-оптические эффекты третьего порядка по полю; показано, что наряду с эффективным спин-сохраняющим межчастичным взаимодействием эти корреляции включают в себя спин-меняющее взаимодействие, которое не может быть учтено при пренебрежении спиновой структурой экситона, или в рамках приближений среднего поля;

• получен аналитический вид потенциала взаимодействия в реальном пространстве между экситонами с различными значениями общего спина в объемных полупроводниках с простой зонной структурой;

• описаны когерентные нелинейные эффекты третьего порядка в их поляризационной зависимости, на основе системы уравнений для связанной динамики когерентных макроскопически заполненных состояний поляризованных фотонов и экситонов, а также биэкситонов, учитывающих все правила отбора;

• установлено, что первопричина поляризационной зависимости когерентных нелинейно-оптических эффектов в экситонной области спектра связана с зависимостью двухэкситонных корреляций от суммарного спина экситонов, которые в когерентном режиме еще хранят память о направлениях распространения и поляризациях падающих импульсов;

• сформулированы условия установления квазистационарного режима в когерентных экспериментах "накачка-зондирование", а также условия применимости феноменологической биэкситонной теории;

• получены когерентные нелинейно-оптические отклики в направлениях наблюдения двухимпульсовых экспериментов с временным разрешением в замкнутых аналитических формах, выражающих их явную зависимость от поляризационной конфигурации и других характеристик падающих импульсов, а также корреляционных и когерентных свойств однопарных и двупарных возбуждений в полупроводниковом образце.

Практическая ценность работы состоит в том, что на основании полученных в четвертой и пятой главах общих аналитических выражений, устанавливающих связь между нелинейным откликом полупроводниковых структур и их электронными параметрами, можно управлять этим откликом для получения эффектов, нужных для практических целей. Это дает возможность оптимизировать свойства полупроводниковых структур в качестве нелинейно-оптических сред, или оптоэлектронных устройств.

Достоверность результатов., полученных в ходе работы над диссертацией, подтверждается неоднократным согласием с экспериментальными наблюдениями ведущих научных центров, а также результатами независимых расчетов.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Представление системы коррелированных спин-ориентированных электронов и дырок, характеризующей возбужденное состояние полупроводника в экситонной области спектра, в виде системы коррелированных поляризованных экситонов. Отклонение от линейного режима в приближении третьего порядка по полю описывается двухэкситонными корреляциями, включающими эффективные межэкситонное и ангармоническое экситон-фотонное взаимодействия.

2. Результат теоретико-группового анализа зависимости характера эффективного межэкситонного взаимодействия от суммарного спина экситонов: в полупроводниках с дипольно-разрешенными переходами оно имеет вид спин-сохраняющего отталкивания между экситонами с отличным от нуля значением общего спина, и спин-меняющего притяжения между экситонами с нулевым общим спином.

3. Аналитические функции межэкситонного расстояния, описывающие потенциал взаимодействия между экситонами с различными значениями общего спина в объемных полупроводниках с простой зонной структурой.

4. Системы уравнений, описывающие связанную динамику когерентных макроскопически заполненных состояний поляризованных фотонов и экситонов, а также биэкситонов, в простых зонных структурах, а также алгоритм их решения для получения нелинейных откликов третьего порядка в направлениях наблюдения двухимпульсовых экспериментов с временным разрешением.

5. Условия установления квазистационарного режима в когерентных экспериментах "накачка-зондирование" и применимости феноменологической биэкситонной теории.

6. Дифференциальный спектр поглощения в структурах типа CuCl в четырех поляризационных конфигурациях в виде элементарных функций, зависящих параметрически от когерентных и корреляционных параметров экситон-биэкситонной системы, а также интенсивности и частоты накачки.

7. Аналитические формы амплитуды сигнала когерентного четырехволнового смешения в квантовых ямах в различных поляризационных конфигурациях как функции времени задержки между импульсами и реального времени после момента прихода более позднего импульса. Детальный анализ на основе этих функций зависимости формы и интенсивности сигналов ЧВС от корреляционных и когерентных характеристик однопарных и двупарных возбуждений в образце, а также от таких параметров возбуждения как длительность импульсов, величина и знак времени их задержки.

Апробация работы

Результаты, вошедшие в диссертационную работу, докладывались и обсуждались на: Международном симпозиуме молодых физиков "Физика и технология" (Лозанна, Швейцария, 1986); 1-й Международной конференции по нелинейной оптике экситонов (Росток, Германия, 1989); 23-й Международной конференции по физике полупроводников (Берлин, Германия, 1996); 7-й Международной научно-технической конференции (Москва, 2003); 9-й Азиато-тихоокеанской конференции по физике (Ханой, 2004); Российской конференции по физике полупроводников (Звенигород, Россия, 2005); на семинарах в Отделе теории полупроводников и квантовой электроники Института прикладной физики Академии наук Молдовы, в Отделении Оптики Физического института им. П.Н. Лебедева РАН, а также на различных семинарах в университетах и исследовательских центрах гг. Берлин (Германия), Гренобль (Франция), Триест (Италия), Токио (Япония).

Основное содержание работы опубликовано в шестнадцати статьях в ведущих международных и российских реферируемых научных журналах.

Работа выполнялась в Отделении оптики Физического института им. П.Н. Лебедева Российской академии наук.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 308 наименований. Объем диссертации составляет 230 страниц, в том числе 58 рисунков.

5.7 Выводы

Техника когерентного ЧВС дает возможность получить богатое разнообразие экспериментальных данных о нелинейностях, индуцированных многочастичными корреляциями в системе когерентных оптических возбуждений в разных полупроводниковых структурах при различных условиях возбуждения. Интерпретация экспериментальных наблюдений в каждом конкретном случае связана с хорошо развитыми вычислительными техниками, при выполнении которых, однако, очень часто теряется след физики интересующего нас эффекта. Фундаментальный и практический интерес поэтому представляет рассмотрение относительно простой модели, имеющей непосредственное отношение к реальным экспериментальным ситуациям с одной стороны, а с другой стороны позволяет получить интуитивную физическую картину явления с ее существенными чертами. Такой моделью для демонстрации применения подхода экситонного представления к аналитическому описанию когерентного ЧВС в данной главе служила система экситонов тяжелых дырок, возникающих в типичных квантовых ямах при их возбуждении спектрально узкими импульсами умеренной интенсивности с частотами в области немного ниже основного экситонного резонанса. Исходным пунктом для такого описания служил микроскопический гамильтониан системы с двухэкситонными корреляциями, индуцированными как взаимным кулоновским взаимодействием между носителями, так и их.?;, взаимодействием с поляризованным лазерным излучением. Анализ спиновой § зависимости характера корреляций чисто кулоновской природы показывает, что -в присутствии дипольно-активных экситонов с противоположными спиновыми ориентациями в системе образуется биэкситон как двухэкситонный комплекс с определенными общими квазиимпульсом и нулевым спином. Электронная структура биэкситона в виде системы собственных функций и значений определяется корреляционными свойствами системы поляризованных экситонов в соответствующей поляризационной конфигурации. С этой электронной структурой, а также когерентным свойством в виде феноменологической скорости биэкситонной дефазировки 7ХХ, биэкситон вносит свои характерные черты в когерентный нелинейный отклик третьего порядка системы в том и другом направлении наблюдения нелинейно-оптических экспериментов с временным разрешением.

Описание когерентного ЧВС с его поляризационной зависимостью осуществлено с помощью системы уравнений движения Гайзенберга для операторов поляризованных фотонов и экситонов, а также биэкситонов, выведенных с использованием спин-зависимого гамильтониана экситонной системы. В когерентном режиме она рассматривалась как система для связанной динамики когерентных макроскопически заполненных состояний соответствующих квазичастиц, в которой дефазировка экситонного и биэкситонных состояний описывалась феноменологическими параметрами. Из этой системы путем последовательных приближений получено уравнение для эволюции индуцированной нелинейной поляризации третьего порядка ос E2{t)2Ei(t), излучающей электромагнитное поле в направлении 2к2 — Источником нелинейностей в таком уравнении являются двухэкситонные корреляции в системе когерентных экситонов первого порядка, подобных генерирующим когерентным фотонам, но с затухающими амплитудными огибающими. При этом спин-сохраняюгцая компонента дает вклад .среднеполевого характера в виде произведения отдельных экситоных состояний —V линейных откликов, а также их с полем одного из импульсов, а спин-меняющая компонента — сверх среднеполевого уровня, в виде связи линейного отклика от зондирующего импульса и биэкситона как коррелированного комплекса двух экситонов, связанных с накачкой. Из правила отбора по волновым векторам, заключающегося в соблюдении условия k = 2к2 — ki, получено, что при контрциркулярной поляризации обе компоненты, а при перпендикулярно-линейной — спин-сохраняющая компонента, не дают вклада в нелинейную поляризацию в направлении ЧВС. Естественно, правила отбора по поляризациям, связанные со спиновой структурой биэкситона, исключают существование биэкситона при социркулярной поляризации. Таким образом, уже из общего вида основных уравнений получено, что при контрциркулярной поляризации не происходит когерентное ЧВС, при социркулярной поляризации оно индуцируется межчастичным взаимодействием в гомополярной системе когерентных экситонов и фотонов, при перпендикулярно-линейной поляризации экситон-биэкситонной связью, а при параллельно-линейной поляризации и тем, и другим одновременно. Соответственно определена общая форма амплитудной огибающей сигнала с временным разрешением. При социркулярной поляризации она представляет собой суперпозицию амплитуд трех линейных откликов, при перпендикулярно-линейной — суперпозицию экситоной и биэкситонных амплитуд, а при параллельно-линейной — комбинацию той и другой.

В соответствии с отмеченными качественными результатами получены общие выражения для решений уравнения для амплитуды нелинейной поляризации k , которой моделируется амплитуда сигнала ЧВС с временным разрешением, в трех поляризационных конфигурациях. Они служили исходными пунктами для анализа формы сигнала когерентного ЧВС в каждой конфигурации как отражения когерентных и корреляционных., свойтв системы поляризованных экситонов. При этом, в отличие от численных-: решений, они позволили установить аналитическую связь между существенными чертами сигналов когерентного ЧВС с характеристиками как импульсов возбуждения, так и экситон-биэкситонной системы в образце. Особенно в пределе ультракоротких импульсов, когда их длительность т мала по сравнению с временем фазовой релаксации экситонной системы Т2, сигналы когерентного ЧВС как с временным, так и со спектральным разрешением в социркулярной, а также в перпендикулярно- и параллельно-линейных конфигурациях при селективной накачке основного биэкситонного состояния, получены в виде аналитических функций. Выяснено при этом, что относительная роль ангармонического экситон-фотонного взаимодействия в когерентном ЧВС в экситонной области спектра пренебрежимо мала, так что в полупроводниках явление связано исключительно с кулоновскими корреляциями. Анализ зависимости сигналов ЧВС от характеристик возбуждения и образца в общем случае проводился с помощью численных расчетов с учетом временной эволюции импульсов в форме гауссовых линий. Таким образом установлено:

1) При социркулярной поляризации форма сигнала когерентного ЧВС определяется временем фазовой релаксации экситонной системы. В частности ширина (на уровне, равной половине высоты) сигнала с временным разрешением как мера его длительности равна Т2. В пределе ультракоротких импульсов сигнал, начинающийся в момент прихода более позднего импульса t = О, достигает своего пика в момент времени £0 ~ 0.55Г2. Влияние конечной длительности импульсов на форму сигнала заключается в некотором смещении положения пика сигнала при увеличении отношения т/Т2 в сторону более поздних моментов времени при временах задержки Т > 0 и в обратную сторону при Т < 0. В последнем случае, однако, смещение заметно только при немалых значениях т/Т2. Что касается интенсивности сигнала, наряду с интенсивностями генерирующих импульсов, она зависит от времени фазовой ,, релаксации Т2 и функции межэкситонного обменного взаимодействия 1Аех ос ■ Ry*al, характеризующих соответственно когерентное и корреляционное свойства •■■*: гомополярной системы экситонов.

2) При перпендикулярно-линейной поляризации когерентное ЧВС связано с корреляцией между переходами системы из основного состояния в экситонное под действием зондирующего импульса и в биэкситонные состояния под действием импульса накачки. Поскольку энергии переходов, которые являются соответственно однофотонным и двухфотонными, почти вырождены, система периодически переходит из экситонного состояния в биэкситонные и обратно. Следовательно, при Т2 > 2т:/Еь, когда система успевает в пределах когерентного режима совершить по крайней мере один переход из одного состояния в другое и вернуться обратно, сигнал ЧВС является отражением квантовых биений. Как форма сигнала, условно называемого биэкситонным, так и отношение его максимальной интенсивности к максимальной интенсивности экситонного сигнала, определяются главным образом биэкситонными когерентным и корреляционным характеристиками: относительной скоростью биэкситонной дефазировки 7жж/7х и спектром собственных энергий и волновых функций биэкситона. В связи с последним биэкситонный сигнал получен в виде комбинации двух сигналов, представляющих соответственно вклады основного связанного состояния и состояний рассеяния двух экситонов в биэкситоне. Влияние состояний рассеяния сильно при быстрой биэкситонной дефазировке ('Ixx/lx ~ 2) и недостаточном спектральном разделении биэкситонного и экситонного резонансов. В таком случае общая длительность биэкситонного сигнала составляет лишь какую-то долю времени фазовой релаксации В противном случае вклад связанного состояния доминирует в биэкситонном сигнале. Особенно при хорошем спектральном разделении биэкситонного и экситонного резонансов (£ъНхх >> 1) вклад состояний рассеяния можно исключить путем селективного возбуждения основного состояния. В таком пределе биэкситонный сигнал имеет вид осцилляций с убывающей *! глубиной, период которых приблизительно равен 2тт/£ъ. Как и экситонный сигнал при социркулярной поляризации, осцилляции биэкситонного сигнала асимметричны. Относительная интенсивность биэкситонного сигнала по сравнению с экситонным также зависит от jxx/jx и £ь/lxx, а при Т < 0, еще от Т. Ее наибольшее значение, которое достигается при 7хх = 7^, составляет при Т > 0 приблизительно одну десятую часть единицы. При Т < 0 она больше и увеличивается с ростом величины Т в образцах с ^xxllx < 2.

3) При параллельно-линейной поляризации сигнал когерентного ЧВС является суперпозицией экситонного и биэкситонного сигналов, проявляющихся соответственно при социркулярной и перпендикулярно-линейной поляризациях. Форма и интенсивность сигнала поэтому определяются относительной интенсивностью биэкситонного сигнала по отношению к экситонному. Таким образом, при Т > 0 интенсивность сигнала определяется в основном интенсивностью экситонного сигнала. Относительно формы, биэкситонные характерные черты в виде осцилляций могут оставлять свой след на фоне экситонного сигнала в образцах с Т2 >> 2и/£ь- При Т < 0 форма сигнала зависит от величины времени задержки Т таким образом, что с увеличением \Т\ биэкситонные характерные черты становятся заметнее в образцах с ^xx/lx < 2. При этом, однако, интенсивность сигналов падает.

Заключение

В диссертации развита микроскопическая теория спин-зависимых двухэкситонных корреляций в прямозонных объемных и квазидвумерных полупроводниках и разработан на ее основе подход к описанию когерентных нелинейно-оптических эффектов третьего порядка в экситонной области спектра, чувствительных к поляризационной конфигурации приложенных импульсов. Применение подхода продемонстрировано на двух репрезентативных системах, отличающихся как по размерности, так и по масштабам энергий :, однопарной и двупарных корреляций. Основные результаты, полученные в ходе,« работы над диссертацией, следующие:

1. Получен общий микроскопический гамильтониан системы поляризованных экситонов в структурах с зоной проводимости s типа и валентной зоной р типа, применимый для описания когерентных эффектов в приближении третьего порядка по полю. Показано, что наряду с эффективным спин-сохраняющим межчастичным взаимодействием, данный гамильтониан включает спин-меняющее взаимодействие, которое не может быть учтено при пренебрежении спиновой структурой экситона, или в рамках приближений среднего поля.

2. Установлено на основе теоретико-группового анализа, что характер двухэкситонных кулоновских корреляций определяется значением общего спина двух экситонов. В частности, в двухэкситонном комплексе с нулевым общим спином корреляции имеют вид эффективного спин-меняющего притяжения, обеспечивающего существование биэкситона и связанных с ним нелинейностей.

3. Получен потенциал взаимодействия между экситонами с различными значениями общего спина в объемных полупроводниках с простой зонной структурой в виде аналитических функций межэкситонного расстояния.

4. Выведены для зонных структур типа CuCl и квантовых ям на основе соединений типа GaAs при селективном возбуждении экситонов тяжелых дырок системы гайзенберговских уравнений движения для операторов поляризованных фотонов и экситонов, а также биэкситонов, использованные как системы для связанной динамики когерентных макроскопически заполненных состояний соответствующих квазичастиц; дан алгоритм их решения для получения нелинейных откликов третьего порядка в направлениях наблюдения двухимпульсовых. экспериментов г, с временным разрешением.

5. Установлено, что первопричина поляризационной зависимости когерентных нелинейно-оптических эффектов в экситонной области спектра связана с зависимостью двухэкситонных корреляций от общего спина экситонов, которые в когерентном режиме еще хранят память о направлениях распространения и поляризациях падающих импульсов.

6. Сформулированы условия установления квазистационарного режима в экспериментах "накачка-зондирование", а также условия применимости феноменологической биэкситонной теории.

7. Получен в виде аналитических функций дифференциальный спектр поглощения структур типа CuCl в различных поляризационных конфигурациях при квазистационарной накачке с частотой вблизи или ниже биэкситонного резонанса. Исследована зависимость характера когерентных перенормировок спектра при контрциркулярной поляризации, а также относительного веса экситонных и биэкситонных нелинейностей при параллельно-линейной поляризации от расположения частоты накачки по отношению к биэкситонному резонансу.

8. Представлена аналитическая картина когерентного ЧВС в квантовых ямах. Установлено, что ЧВС отсутствует при контрциркулярной поляризации импульсов, а в других поляризационных конфигурациях отражает разные аспекты системы поляризованных экситонов: при социркулярной поляризации она проявляется как гомополярная система взаимодействующих поляризаций, при перпендикулярно-линейной — как система, в которой происходят когерентно связанные почти вырожденные оптические переходы, а при параллельно-линейной — эти два аспекта проявляются одновременно. Получены общие выражения для амплитуды сигналов ЧВС в трех конфигурациях в виде функций времени задержки между импульсами и реального времени после момента прихода более позднего импульса. Проанализирована зависимость формы и интенсивности сигналов ЧВС в каждой конфигурации от экситонных и биэкситонных корреляционных и когерентных характеристик, а также от таких параметров возбуждения как длительность импульсов, величина и знак времени их задержки.

В заключение автор считает своим приятным долгом искренне поблагодарить JT. В. Келдыша за поддержку направления работы и ценные рекомендации, С. А. Москаленко и Нгуен Ван Хьеу за руководство в первые годы ее научной деятельности, Н. А. Гиппиуса, В. С. Лебедева и А. В. Масаловаза полезные обсуждения и критические замечания, а также соавторов ее работ за плодотворное сотрудничество. Автор выражает свою признательность руководству Физического института им. П. Н. Лебедева и Отделения оптики за пребывание и работу в Институте, а также сотрудникам Оптического отдела за постоянное участие и поддержку. Сердечную благодарность автор выражает своим родным и близким, без поддержки которых эта работа не была бы выполнена.

1. Ю. а. Ильинский, ji. в. Келдыш, "Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом", М.: Наука, 1989.

2. С. Klingshirn, "Semiconductor Optics "(Springer, Berlin, 1995).

3. D. S. Chemla, in "Nonlinear Optics in Semiconductors", ed. E. Garmire and A. R. Kost (Academic, New York, 1999), pp. 175-256.

4. S. Mukamel, "Principles of Nonlinear Optical Spectroscopy "(Oxford University Press, Oxford, 1995).

5. J. Shah "Ultrafast Spectroscopy of Semiconductors and Semiconductor Nanostructures"2nd edn. (Springer, Heidelberg, 1999).

6. N. Peyghambarian, S. W. Koch, M. Linberg, B. Fluegel, and M. Joffre, Phys. Rev. Lett. 62, 1185 (1989).

7. W. H. Knox, D. S. Chemla, D. A. Miller, J. B. Stark, and S. Schmitt-Rink, Phys. Rev. Lett. 62, 1189 (1989).

8. C. Hirlimann, J. F. Morhange, M. A. Kaneisha, A. Chevy, and С. H. Brito-Crus, Appl. Phys. Lett. 55, 2307 (1989).

9. К. Leo, М. Wegener, J. Shah, D. S. Chemla, E. O. Gobel, Т. C. Damen, S. Schmitt-Rink, W. Schafer, Phys. Rev. Lett. 65, 1340 (1990).

10. M. Wegener, D. S. Chemla, S. Schmitt-Rink, and W. Schafer, Phys. Rev. A 42, 5675 (1990).

11. K. Leo, E. O. Gobel, Т. C. Damen, J. Shah, S. Schmitt-Rink, W. Schafer, J. F. Muller, K. Kohler, and P. Ganser, Phys. Rev. В 44, 5726 (1991).

12. S. Weiss, M. A. Mycek, J. Y. Bigot, S. Schmitt-Rink, and D. S. Chemla, Phys. Rev. Lett. 69, 2685 (1992).

13. D. S. Kim, J. Shah, Т. C. Damen, W. Schafer, F. Jahnke, S. Schmitt-Rink, and K. Kohler, Phys. Rev. Lett. 69, 2725 (1992).

14. D. Hulin and M. Joffre, Phys. Rev. Lett. 65, 3425 (1990).

15. S. Schmitt-Rink, D. Bennhardt, V. Heuckeroth et al., Phys. Rev. Lett. В 46, 10460 (1992).

16. S. T. Cundiff, H. Wang, and D. G. Steel, Phys. Rev. В 46, 7248 (1992).

17. H. Wang, К. B. Ferrio, D. G. Steel, Y. Z. Hu, R. Binder, and S. W. Koch, Phys. Rev. Lett. 71, 1261 (1993).

18. D. Bennhard, P. Thomas, R. Eccleston, E. J. Mayer, and J. Kuhn, Phys. Rev. 47, 12964 (1993).

19. K. Bott, O. Heller, D. Bennhardt, S. T. Cundiff, P. Thomas, E. J. Mayer, G. Smith, R. Eccleston, J. Kuhl, and K. Ploog, Phys. Rev. В 48, 17418 (1993).

20. R. Eccleston, J. Kuhn, D. Bennhard, and P. Thomas, Solid State Commun. 86, 93 (1993).

21. H. Wang, J. Shah, Т. C. Damel, and L. N. Pfeiffer, Solid State Commun. 91, 869 (1994).

22. E. J. Mayer, G. 0. Smith, V. Heuckeroth, J. Kuhl, K. Bott, A. Schulze, T. Meier, S. W. Koch, P. Thomas, R. Hey, and K. Ploog, Phys. Rev. В 51, 10909 (1995).

23. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, "Статистическая физика", ч. 1. М.: Физматлит, 2001.

24. Л. В. Келдыш, А. Н. Козлов, ЖЭТФ 54, 978 (1968).

25. Н. Haug and S. W. Koch, "Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors", 3rd edn. (World Scientific, Singapore, 1994).

26. A. Stahl and I. Balslev, "Electrodynamics of the Semiconductor Band Edge", Springer Tracts in Modern Physics, vol. 110 (Springer, Heidelberg, 1987).

27. V. M. Axt and S. Mukamel, Rev. Mod. Phys. 70, 145 (1998).

28. F. Rossi and T. Kuhn, Rev. Mod. Phys. 74 895 (2002).

29. S. Schmitt-Rink and D. S. Chemla, Phys. Rev. Lett. 57, 2752 (1986). •

30. S. Schmitt-Rink, D. S. Chemla, and H. Haug, Phys. Rev. В 37, 94 (1988).

31. S. Schmitt-Rink, Phys. Status Solidi В 150, 349 (1988).

32. W. Schafer and J. Treusch, Z. Phys. В 63, 407 (1986).

33. W. Schafer, K.-H. Schuldt, and R. Binder, Phys. Status Solidi В 150, 407 (1988).

34. M. Lindberg and S. W. Koch, Phys. Rev. В 38, 3342 (1988).

35. G. H. Wannier, Phys. Rev. 52, 191 (1937).

36. N. F. Mott, Trans. Farad. Soc. 34, 500 (1938).

37. W. Kohn, Adv. Solid State Phys. 5, 257 (1957).

38. В. M. Агранович, В. Л. Гинзбург, "Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов". М.: Наука, 1965.

39. J. О. Dimmock "Excitons", in Semiconductors and Semimetals, Vol. Ill, edited by R. K. Willardson and A. C. Beer (Academic Press, New York, 1967), Ch. 5.41 42 [434445 46 [47 [48 [49 [50 [5152 5354 55 [56 [57

40. B. M. Агранович, "Теория экситонов". M.: Наука, 1968.

41. D. S. Chemla and J. Shah, Nature 411, 549 (2001).

42. H. Wang, К. B. Ferrio, D. G. Steel, Y. Z. Hu, R. Binder, and S. W. Koch, Phys. Rev. Lett. 71, 1261 (1993).

43. Y. Z. Hu, R. Binder, S. W. Koch, S. T. Cundiff, H. Wang, and D. G. Steel, Phys. Rev. В 49, 14382 (1994).

44. S. A. Moskalenko, Оптика и спектроскопия 5, 147 (1958). M.A.Lampert, Phys. Rev. Lett. 1, 450 (1958).

45. W. F. Brinkman, Т. M. Rice, and B. Bell, Phys. Rev. В 8, 1570 (1973). A. A. Rogachev, Prog. Quantum Electron. 6, 141 (1980).

46. C. Klingshirn and H. Haug, Phys. Rep. 70, 315 (1981).

47. A. Maruani and D. S. Chemla, Phys. Rev. В 23, 841 (1981).

48. J. B. Grun, B. Honerlage and R. Levy, in Excitons, edited by E. I. Rashba and M. D. Sturge (North-Holland, Amsterdam, 1982).

49. B. Д. Кулаковский, В. Г. Лысенко, В. Б. Тимофеев, УФН 28, 735 (1985).

50. R. Levy, В. Honerlage, J. В. Grun, in Optical Nonlinearities and Instabilities in Semiconductors, ed. H. Haug (Academic Press, Boston, 1988).

51. A. L. Ivanov, H. Haug and L. V. Keldysh, Phys. Rep. 296, 237 (1998).

52. D. A. Kleinman, Phys. Rev. В 28, 871 (1983).

53. B. F. Feuerbacher, J. Kuhl, and K. Ploog, Phys. Rev. В 43, 2439 (1991).

54. J. Schlosser, C. Neumann, and A. Stahl, J. Phys.: Condens. Matter 4 121 (1992).

55. D. J. Lovering, R. T. Phillips, G. J. Denton, and G. W. Smith, Phys. Rev. Lett. 68, 1880 (1992).

56. Б. J. Mayer, G. O. Smith, V. Heuckeroth et al., Phys. Rev. В 50, 14730 (1994).

57. С. Sieh, Т. Meier, F. Jahnke, A. Knorr, S. W. Koch, P. Brick, M. Hiibner, C. Ell, J. Prineas, G. Khitrova, and H. M. Gibbs, Phys. Rev. Lett. 82, 3112 (1999).

58. P. Brick, C. Ell, S. Chatterjee, G. Khitrova, H. M. Gibbs, T. Meier, C. Sieh, and S. W. Koch, Phys. Rev. В 64, 075323 (2000).

59. Th. Ostreich, K. Schonhammer, and L. J. Sham, Phys. Rev. В 58, 12920 (1998).

60. I. E. Pekaris, Т. V. Shahbazyan, Int. J. Mod. Phys. В 13, 869 (1999).

61. I. E. Pekaris, Т. V. Shahbazyan, Surf. Sci. Rep. 40, 3 (2000).

62. V. M. Axt and A. Stahl, Z. Phys. В 93, 195 (1994).

63. V. M. Axt and A. Stahl, Z. Phys. В 93, 205 (1994).

64. К. Viktor, V. M. Axt, and A. Stahl, Phys. Rev. В 51, 14164 (1995).

65. V. M. Axt and S. Mukamel, Rev. Mod. Phys. 70, 145 (1998).

66. M. Linberg, Y. Z. Hu, R. Binder, and S. W. Koch, Phys. Rev. В 50, 18060 (1994).

67. W. Schafer, D. S. Kim, J. Shah et al., Phys. Rev. В 53, 16429 (1996).

68. V. M. Axt, K. Viktor, and T. Kuhn, Physica Stat. Sol. В 206, 189 (1998).

69. S.A. Moskalenko and D.W. Snoke, "Bose-Einstein Condensation of Exci-tons and Biexcitons" (Cambridge University Press, New York, 2000).

70. С. А. Москаленко, К. Б. Толпыго, ЖЭТФ 36, 149 (1959).

71. J. J. Hopfield, Phys. Chem. Solids 15, 97 (1960).

72. К. F. Koster, J. О. Dimmock, R. G. Wheeler, and H. Statz, "Properties of the Thirty-Two Point Groups"(M.I.T. Press, Cambridge, Massachusetts, 1963).

73. F. Bassani and G. P. Parravicini, "Electronic States and Optical Transitions in Solids "(Pergamon Press, Oxford, 1975).

74. E.Hanamura, J. Phys. Soc. Japan. 29, 50 (1970); 37, 1545 (1974).

75. T. Usui, Progr. Theor. Phys. 23, 787 (1960).

76. M. I. Sheboul and W. Ekardt, Phys. Status Solidi В 73, 165 (1976).

77. H. Stolz, R. Zimmermann and G. Ropke, Phys. Status Solidi В 105, 585 (1981).

78. Т. Hiroshima, Phys. Rev. В 40, 3862 (1989).

79. G. Rochat, C. Ciuti, V. Savona et al, Phys. Rev. В 61, 13 856 (2000).

80. A. Thilagam, Phys. Rev. В 63, 045321 (2001).

81. Hoang Ngoc Cam, Russian Laser Res. 25, 412 (2004). «

82. S. A. Wolf, D. D. Awschalom, R. A. Buhrman, J. M. Daughton, S. von Molnar, M. L. Roukes, A. Y. Chtchelkanova, D. M. Treger, Science 294, 1488 (2001).

83. P. Планель, К. Бенуа а ля Гийом, "Оптическая ориентация экситонов", в кн. Оптическая ориентация под редакцией Б. П. Захарчени и Ф. Майера, Ленинград: Наука, 1989. с. 285.

84. G. Fishman and G. Lampel, Phys. Rev. В 16, 820 (1977).

85. К. Zerrouati, F. Fabre, G. Bacquet, J. Bandet, J. Frendon, G. Lampel, and D. Paget, Phys. Rev. В 37, 1334 (1988).

86. Т. С. Damen, L. Vina, J. E. Cunningham, J. Shah, and L. J. Sham, Phys. Rev. Lett. 67, 3432 (1991).

87. A. Frommer, A. Ron, Е. Cohen, J. A. Cash, and L. N. Pfeiffer, Phys. Rev. В 50, 11833 (1994).

88. L. Munoz, E. Perez, L. Vina, and K. Ploog, Phys. Rev. В 51, 4247 (1995).

89. D. W. Snoke, W. W. Rutihle, K. K6hler, and K. Ploog, Phys. Rev. В 55, 13789 (1997).

90. В. M. Галицкий, С. П. Гореславский, В. Ф. Елесин, ЖЭТФ 57, 207 (1969).

91. В. М. Агранович, М. Д. Галанин. Перенос энергии электронного возбуждения в конденсированных средах. М.: Наука, 1978.

92. И. А. Полуэктов, Ю. М. Попов, В. С. Ройтберг, УФН 114, 87 (1974).

93. А. С. Александров, В. Ф. Елесин, Ю. П. Лисовец и др., Квантовая электроника 2, 332 (1975).

94. А. С. Александров, Ю. П. Лисовец, В. Ф. Ёлесин и др., Квантовая, электроника 5, 359 (1978).

95. Ю. М. Лисовец, И. А. Полуэктов, Ю. М. Попов, Квантовая электроника б, 120 (1979).

96. Л. В. Келдыш, в кн. "Проблемы теоретической физики", Наука, Москва (1972), с. 433.

97. В. Ф. Елесин, Ю. В. Копаев, ЖЭТФ 63, 1447 (1972).

98. А. Л. Иванов, Л. В. Келдыш, ДАН СССР 264, 1363 (1982).

99. А. И. Бобрышева, С. А. Москаленко, Хоанг Нгок Кам, ЖЭТФ 103, 301 (1993).

100. P. W. Anderson, "Concepts in Solids"(Benjamin Publishers, London, 1978), ch. 2.

101. M. L. Cohen and J. R. Chelikowsky, "Electronic Structure and Optical Properties of Semiconductors", Springer Solid State Sciences v. 75 (Springer, Berlin, 1988).

102. M. Born and J.R. Oppenheimer, Ann. Physik 84, 457 (1927).

103. W. A. Harrison, "Solid State Theory" (Dover, New York, 1980).

104. J. F. Cornwell, "Group Theory and Electronic Energy Bands in Solids "(North-Holland, Amsterdam, 1969).

105. Г. ji. Вир, Г. E. Пикус, "Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках". М.: Наука, 1972.

106. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, "Квантовая механика". М.: Наука, 1974.

107. R. J. Elliott, Phys. Rev. 108, 1384 (1957).

108. J. D. Dow, D. Redfield, Phys. Rev. В 1, 3358 (1970).

109. О. Маделунг, "Физика полупроводников соединений элементов III и V групп". М.: Мир, 1967.

110. J. R. Chelikowsky and М. L. Cohen, Phys. Rev. 14, 556 (1976).

111. D. Т. Pierce, F. Meier, Phys. Rev. 13, 5484 (1976).

112. E. O. Kane, J. Phys. Chem. Solids 1, 249 (1956).

113. J. Dresselhaus, J. Phys. Chem. Solids 1, 14 (1956).

114. J. M. Luttinger and W. Kohn, Phys. Rev. 97, 869 (1955).

115. J. M. Luttinger, Phys. Rev. 102, 1030 (1956).

116. A. Baldereschi, N. 0. Lipari, Phys. Rev. В 3, 439 (1971).

117. О. Kane, Phys. Rev. В 11, 3850 (1975).

118. Hoang Ngoc Cam, Nguyen Van Hieu, and Nguyen Ai Viet, Ann. Phys. (New York) 164, 172 (1985).

119. R. G. Ulbrich and G. W. Fehrenbach, Phys. Rev. Lett. 43, 963 (1979).

120. С. А. Москаленко, "Введение в теорию экситонов большой плотности". Кишинев: Штиинца, 1983.

121. L. L. Chang and К. Ploog, eds. "Molecular Beam Epitaxy and Het-erostructures" (Dordrecht, The Netherlands, 1985).

122. Sadao Adachi, "GaAs, AlAs and Ga^Al^-rAs: Material parameters for use in research and device application", J. Appl. Phys. 58, R1 (1985).

123. R. Dingle, "Confined Carrier Quantum States in Ultrathin Semiconductor Heterostructures", in Festkorperprobleme XV, edited by H. J. Queisser (Vieweg, Braunschweig, 1975).

124. R. C. Miller, D. A. Kleinman, W. T. Tsang, and A. C. Gossard, Phys. Rev. В 24, 1134 (1981).

125. G. Bastard, E. E. Mendez, L. L. Chang, and E. Esaki, Phys. Rev. В 26, 1974 (1982).

126. R. Dingle, ed. "Device and Circuit Applications of III-V Semiconductor Superlattice and Modulation Dopping" (Academic, New York, 1985).

127. G. Bastard, "Wave Mechanics Applied to Semiconductor Heterostruc-ture"(Les Editions de Physique, Paris, 1989).

128. JI. В. Келдыш, О. В. Константинов, В. И. Перель, ФТП 3, 1042 (1969).

129. Б. П. Захарченя, Д. Н. Мирлин, В. И. Перель, И. С. Решина, УФН 136, 459 (1982).

130. J. Hegarty and М. D. Sturge, J. Opt. Soc. Am. В 2, 1143 (1985).

131. Л. В. Келдыш, Письма в ЖЭТФ 29, 658 (1979).

132. М. Shinada, S. Sugano, J. Phys. Soc. Japan. 21, 66 (1966).

133. R. L. Greene, К. K. Bajaj, and D. E. Phelps, Phys. Rev. B. 29, 1807 (1984).

134. Нгуен Ван Хьеу, "Основы метода вторичного квантования". Москва: Энергоатомиздат, 1984.

135. R. Planel, Solid State Electron. 21, 1437 (1978).

136. M. Хамермеш, "Теория групп". Москва: УРСС, 2002.

137. Nguyen Ва An and Hoang Ngoc Cam, Czech. J.Phys. В 41, 73 (1991).

138. Nguyen Ba An, Hoang Ngoc Cam, and Nguyen Trung Dan, J. Phys.: Condens. Matter 3, 3317 (1991).

139. H. Haug and S. Schmitt-Rink, Prog. Quantum Electron. 9, 3 (1984).

140. Hoang Ngoc Cam and Nguyen Ai Viet, Proc. Nat. Cent. Sci. Res. Vietnam 2, 81 (1988).

141. A. I. Bobrysheva, V. T. Zyukov, and S. I. Beryl, Phys. Status Solidi В 101, 69 (1980).

142. S. Schmitt-Rink, D. S. Chemla, and D. A. B. Miller, Adv. Phys. 38, 89 (1989).

143. A. Goldmann, Phys. Status Solidi В 81, 1 (1977).

144. A. Mysyrowicz, J. B. Grun, R. Levy, A. Bivas and S. Nikitine, Phys. Lett.26A, 618 (1968).

145. S.Nikitine, A.Mysyrowicz and J.B.Grun, Helvetica Physica Acta 41, 1058 (1968).

146. H. Souma, T. Goto, T. Ohta, and M. Ueta, J. Phys. Soc. Japan 23, 697 (1970).

147. G. M. Gale and A. Mysyrowicz, Phys. Rev. Lett. 32, 727 (1974).

148. N. Nagasawa, N. Nakata, Y. Doy and M. Ueta, J. Phys. Soc. Japan 38, 593 (1975); 39, 987 (1975).

149. R. W. Svorec and L. L. Chase, Solid State Commun. 20, 353 (1976).

150. N. Nagasawa, Т. Mita, and M. Ueta, J. Phys. Soc. Japan 41, 929 (1976).

151. Vu Duy Phach, A. Bivas, B. Honerlage and J. B. Grun, Phys. Status Solidi В 84, 731, (1977).

152. E. Ostertag, A. Bivas and J. B. Grun, Phys. Status Solidi В 84, 673 (1977).

153. А. А. Гоголин, Э. И. Рашба, Письма в ЖЭТФ 17, 690 (1973).

154. А. А. Гоголин, ФТТ 15, 2746 (1973).

155. Э. И. Рашба, Письма в ЖЭТФ 18, 1241 (1974).

156. J. В. Grun, J. Phys. Soc. Japan 49 Suppl. A, 563 (1980).

157. J. B. Grun, B. Honerlage and R. Levy, in Excitons, edited by E. I. Rashba and M. D. Sturge (North-Holland, Amsterdam, 1982), Chap.11.

158. B. Honerlage, R. Levy, J. B. Grun, C. Klingshirn, and K. Bohnert, Phys,,1. Rep. 124, 161 (1985).

159. M. Ueta, N. Kanzaki, K. Kobayashi, T. Toyozawa and E. Ilanamum, "Excitonic Processes in Solids "(Springer, Heisenberg, 1986), Chaps. 2,3.

160. F.Bassani and Rovere, Solid State Commun. 19, 887 (1976).

161. A. Mysyrowicz, D. Hulin and A. Antonetti, Phys. Rev. Lett. 43, 1123 (1979).

162. S.A.Moskalenko, Sov. Phys. Solid State 4, 199 (1962).

163. I.M.Blatt, K.W.Boer and W.Brandt, Phys. Rev. 126, 1691 (1962).

164. Nguyen Ba An and Hoang Ngoc Cam, J. Phys.: Condens. Matter 2, 4127 (1990).

165. N. Nagasawa, N. Nakata, Y. Doy and M. Ueta, J. Phys. Soc. Japan. 38, 593 (1975); 39, 987 (1975).

166. E. Hanamura and H. Haug, Phys. Rev. 33, 209 (1977).

167. D. Hulin, A. Mysyrowicz and C. Benoit a la Guillaume, Phys. Rev. Lett. 45, 1970 (1980).

168. D. Hulin, A. Mysyrowicz and C. Benoit a la Guillaume, J. Lumin. 2425, 629 (1981).

169. D. Snoke, J. P. Wolfe and A. Mysyrowicz, Phys. Rev. Lett. 59, 827 (1987); 64, 2543 (1990).

170. D. Snoke, J. P. Wolfe and A. Mysyrowicz, Phys. Rev В 41, 11171 (1990).

171. В. Link and G. Baym, Phys. Rev. Lett. 69, 2959 (1992).

172. E. Fortin, S. Fafard and A. Mysyrowicz, Phys. Rev. Lett. 70, 3951 (1993).

173. J. L. Lin and J. P. Wolfe, Phys. Rev. Lett. 23, 1223 (1993).

174. M. M. Denisov and V. P. Makarov, Phys. Status Solidi В 56, 9, (1973).

175. U. Rossler and H. R. Trebin, Phys. Rev. В 23, 1961, (1981).

176. К. Ehara and K. Cho, Solid State Commun. 44, 453, (1982).

177. J. J. Forney, A. Quattropani, and F. Bassani, Nuovo Cimento В 22, 153 (1974).

178. E. Hanamura, J. Phys. Soc. Japan. 49, 1506 (1975).

179. K. Rudenberg, J. Chem. Phys. 19, 1459 (1951).

180. П. Гомбас, в кн. "Проблема многих тел в квантовой механике". М.: ИЛ, 1952.

181. Hoang Ngoc Cam, Phys. Rev. В 55, 10 487 (1997).

182. H. Preuss, "Integraltafeln zur Quantenchemie" (Springer, Berlin, 1956) Bd. I-IV.

183. Г. Г.Гельман, "Квантовая химия". M.: ОНТИ, НКТП СССР, 1937.

184. Д. Гиршфельдер, Ч. Кертисс, Р. Берд. "Молекулярная теория газов и жидкостей". М.: ИЛ, 1961.

185. M. Kotani, К. Ohno and К. Kayama, "Quantum Mechnics of Electronic structure of Simple Molecules", in Handbuch der Physik, edited by S. Flugge (Springer, Berlin, 1961), Bd. 37/11.

186. H. Kato et al., J. Phys. Soc. Japan. 36, 169 (1974).

187. E. Ф. Гросс, УФЫ 63, 575 (1957); 76, 433 (1962).

188. A. Gotzene and C. Schwab, Solid State Commun. 18, 1565 (1976).

189. J. W. Hodby et al., J. Phys. С 9, 1429 (1976).

190. A. L. Fetter and J. D. Waleska, "Quantum Theory of Many-Particle System"(McGraw-Hill, New York, 1971), p. 259.

191. D. W. Snoke, D. Braun and M. Cardona, Phys. Rev. В 44, 2991 (1991).

192. P. M. Morse, Phys. Rev. 34, 57 (1929).

193. Hoang Ngoc Cam and Nguyen Ai Viet, Proc. Nat. Cent. Sci. Res. Vietnam 1, 16-22 (1987).

194. Л. В. Келдыш, в кн. "Труды IX Международной конференции по физике полупроводников", Л.: Наука, 1969, с. 1384.

195. Л. В. Келдыш, УФН 100, 514 (1970).

196. V. S. Bagaev, "The kinetics of electron-hole drop condensation", in Molecular spectroscopy of dense phase (Elservier, Amsterdam, 1975), p. 63.

197. В. Г. Лысенко, В. И. Ревенко, В. Б. Тимофеев, Письма в ЖЭТФ 24, 157 (1976).

198. L.V.Keldysh, in Electron-Hole Droplets in Semiconductors, edited by C.D.Jeffries and L.V.Keldysh (Elservier, New York, 1983), Introduction.

199. E. Hanamura, in "Optical Properties of Solids", New Developments, ed. В. O. Seraphin (North-Holland, Amsterdam, 1976).

200. A. Akimoto and E. Hanamura, J. Phys. Soc. Japan 33, 1537 (1972).

201. A. Akimoto and E. Hanamura, Solid State Commun. 10, 253 (1972).

202. W. T. Huang, U. Schroder, Phys. Lett. A 38, 507 (1972).

203. W. T. Huang, Phys. Stat. Solidi В 60, 309 (1973).

204. И. А. Карп и С. А. Москаленко, ФТП 8, 285 (1974).

205. С. А. Москаленко, А. И. Бобрышева, И. А. Карп, М. Ф. Миглей, М. И. Шмнглюк, в кн. "Современные проблемы оптики и ядерной физики". Киев: Наукова думка, 1974.

206. Hoang Ngoc Cam, V. S. Gorelik, Russian Laser Res. 25, 96 (2004).

207. Y. Isawa, J. Phys. Soc. Japan 29, 1101 (1972).

208. С. А. Москаленко, M. Ф. Миглей, M. И. Шмиглюк и др., ЖЭТФ 64, 1768 (1973).

209. A. I. Bobrysheva, Phys. Status Solidi В 16, 337 (1966).

210. A. I. Bobrysheva, M. F: Miglei and M. I. Shmiglyuk, Phys. Status Solidi . В 53, 71 (1972).

211. A. I. Bobrysheva and S. A. Moskalenko, Phys. Status Solidi В 119, 141 (1983).

212. P. F. Liao and J. Biorkholm, Phys. Rev. Lett. 34, 1 (1975).

213. B. R. Mollow, Phys. Rev. 188, 1969 (1972).

214. C. Cohen-Tannoudji and S. Reynaud, J. Phys. В 10, 345 (1977).

215. С. Cohen-Tannoudji, Metrologia 13, 161 (1977).

216. Я. Б. Зельдович, ЖЭТФ 51, 1492 (1966).

217. В. Ф. Елесин, Ю. В. Копаев, ЖЭТФ 72, 334 (1977).

218. A. Mysyrowicz, D. Hulin, A. Antonetti, A. Migus, W. Т. Masselink, and H. Morkos, Phys. Rev. Lett. 56, 2748 (1986).

219. A. von Lehmen, D. S. Chemla, J. E. Zucker, and J. P. Heritage, Optics Lett. 11, 609 (1986).

220. K. Tai, J. Hegarty, and W. T. Tsang, Appl. Phys. Lett. 51, 152 (1987).

221. S. W. Koch, N. Peyghambarian, and M. Lindberg, J. Phys. C: Solid State Phys. 21, 5229 (1988).

222. B. D. Fluegel, J. P. Sokoloff, F. Jarka, S. W. Koch, M. Lindberg, N. Peyghambarian, M. Joffre, D. Hulin, A. Migus, A. Antonetti, C. Ell, L. Banyai, and H. Haug, Phys. Status Solidi В 150, 357 (1988).

223. A. Stahl, Z. Phys. В 72, 371 (1988).

224. M. Combescot and R. Combescot, Phys. Rev. Lett. 61, 117 (1988).

225. R. Zimmermann, Phys. Status Solidi В 146, 545 (1988);

226. R. Zimmermann and M. Hartmann, Phys. Status Solidi В 150, 365 (1988).

227. С. Ell, J. F. Muller, K. El Sayed, L. Banyai, and H. Haug, Phys. Status Solidi В 150, 393 (1988).

228. M. Joffre, D. Hulin, A. Migus, and M. Combescot, Phys. Rev. Lett. 62, 74 (1989).

229. C. Ell, J. F. Muller, K. El Sayed, and H. Haug, Phys. Rev. Lett. 62, 304 (1989).

230. В I. Balslev, R. Zimmermann, and A. Stahl, Phys. Rev. В 40, 4095 (1989).

231. M. Combescot and R. Combescot, Phys. Rev. В 40, 3788 (1989).

232. R. Zimmermann, Phys. Status Solidi В 159, 317 (1990).

233. J. R. Kuklinski and S. Mukamel, Phys. Rev. В 42, 2959 (1990).

234. S. Glutsch and F. Bechstedt, Phys. Rev. В 44 1368 (1991).

235. Combescot, Phys. Rep. 221, 167 (1992).

236. D. Fohlich, S. Spitzer, B. Uebbing and R. Zimmermann, Phys. Status Solidi В 173, 83 (1992).

237. I. It oh, T. Suzuki, and M. Ueta, J. Phys. Soc. Japan 44, 345 (1978).

238. I. It oh and T. Suzuki J. Phys. Soc. Japan 45, 1939 (1978).

239. M. Kuwata, T. Mita, and N. Nagasawa, Solid State Commun. 40, 911 (1981); Optics Commun. 40, 208 (1982).

240. M. Kuwata and N. Nagasawa, J. Phys. Soc. Japan 51, 2591 (1982); Solid State Commun. 45, 937 (1983).

241. M. Kuwata and N. Nagasawa, J. Lumin. 31, 867 (1984).

242. M. Kuwata, J. Phys. Soc. Japan 53, 4456 (1984).

243. G. Kurtze, W. Maier, G. Blattner, and C. Klingshirn, Z. Phys. В 39, 95 (1980).

244. К. Kempf, G.' Schmieder, G. Kurtze, and C. Klingshirn, Phys. Status Solidi В 107, 297 (1981).

245. V. G. Lysenko, K. Kempf, K. Bohnert, G. Schmieder, C. Klingshirn, and S. Schmitt-Rink, Solid State Commun. 42, 401 (1982).

246. J. B. Grun, B. Honerlage, and R. Levy, Solid State Commun. 46, 51 (1983).

247. V. May, K. Henneberger, and F. Henneberger, Phys. Status Solidi В 94, 611 (1979).

248. П. И. Хаджи, С. А. Москаленко, С. Н. Белкин, Письма в ЖЭТФ 29, 223 (1979).

249. Н. Haug, R. Marz and S. Schmitt-Rink, Phys. Lett. 77A, 287 (1980).

250. R.Marz, S.Schmitt-Rink and H.Haug, Z.Phys. В 40, 9 (1980).

251. I. Abram, Phys. Rev. В 28, 4433 (1983).

252. R. Shimano and M. Kuwata-Gonokami, Phys. Rev. Lett. 72, 530 (1994).

253. I. Balslev and E. Hanamura, Solid State Commun. 72, 843 (1989).

254. A. Jl. Иванов, Л. В. Келдыш, В. В. Панащенко, ЖЭТФ 99, 641 (1991).

255. Е. Hanamura, Solid State Commun. 77, 575 (1991).

256. E. Hanamura, Phys. Rev. В 44, 8514 (1991).

257. L. V. Keldysh, Solid State Commun. 37, 84 (1992).

258. L. V. Keldysh, Phys. Status Solidi В 173, 119 (1992).

259. Т. Hiroshima, J. Phys.: Condens. Matter 4, 3847 (1992).

260. A. L. Ivanov, H. Haug, Phys. Rev. В 48, 1490 (1993).

261. L. V. Keldysh, Phys. Status Solidi В 188, 74 (1995).

262. F. Henneberger and J. Voigt, Phys. Status Solidi В 76, 313 (1976).

263. П. И. Хаджи, "Кинетика рекомбинационного излучения экситонов и биэкситонов в полупроводниках". Кишинев: Штиинца, 1977.

264. Е. Hanamura, Solid State Commun. 38, 939 (1981).

265. G. Mizutani and N. Nagasawa, J. Phys. Soc. Japan 52, 2251 (1983).

266. I. Abram, J. Phys. Soc. Am. В 2, 1204 (1985).

267. H. H. Kranz and H. Haug, Phys. Rev. A 34, 2554 (1986).

268. M. Saba, F. Quochi, C. Ciuti, U. Oesterle, J. L. Staehli, B. Deveaud, G. Bongiovanni, and A. Mura, Phys. Rev. Lett. 85, 385 (2000).

269. A. L. Ivanov and H. Haug, Phys. Rev. Lett. 74, 438 (1995); Phys. Rev. В 52, 11017 (1996).

270. D. S. Kim, J. Shah, T. S. Damen et al., Phys. Rev. В 50, 15 086 (1994).

271. Hoang Ngoc Cam, J. Phys. Soc. Japan. 74, 1049 (2005).

272. R. Hartmann, IEEE J. Quantum Electron. QE 4, 802 (1968).

273. В. Honerlage and J. Y. Bigot, Physica Status Solidi В 123, 201 (1984).

274. В. С. Летохов, В. П. Чеботаев, "Принципы нелинейной лазерной спектроскопии". М.: Наука, 1975.

275. С. Г. Раутиан, Г. И. Смирнов, А. М. Шалагин, "Нелинейные резонансы в спектрах атомов и молекул". М.: Наука, 1979.

276. Л. Аллен, Дж. Эберли, "Оптический резонанс и двухуровневые атомы". М.: Мир, 1978.

277. Т. Yajima and Y. Taira, J. Phys. Soc. Japan. 47, 1620 (1979).

278. T. Mita and N. Nagasawa, Opt. Commun. 24, 345 (1978).

279. Y. Matsumoto and S. Shionoya, J. Phys. Soc. Japan 49 2236 (1980).

280. A. Maruani and D. S. Chemla, J. Phys. Soc. Japan 49 Suppl. A, 585 (1980).

281. D. S. Chemla, A. Maruani, and F. Bonouvrier, Phys. Rev. A 26, 30261982).285. 1. L. Chase, M. L. Claude, D. Hulin, and A. Mysyrowicz, Phys. Rev. A 28, 3696 (1983).

282. G. Mizutani and N. Nagasawa, J. Phys. Soc. Japan 52 2251 (1983).

283. G. Mizutani and N. Nagasawa, Optics. Commun. 50, 31 (1984).

284. Y. Masumoto, S. Shionoya and T. Takagahra, Phys. Rev. Lett. 51, 9231983).

285. T. Takagahra, Phys. Rev. В 31, 8171 (1985).

286. A. Dinger et al., Phys. Status Solidi В 221, 485 (2000).

287. J. Hegarty, M. D. Sturge, A. C. Gossard, and W. Wiegmann, Appl. Phys. Lett. 40, 132 (1982).

288. L. Schultheis, M. D. Sturge, and J. Hegarty, Appl. Phys. Lett. 47, 995 (1985).

289. L. Schultheis, J. Kuhl, A. Honold, and C. W. Tu, Phys. Rev. Lett. 57, 1797 (1986).

290. J. Kuhl, A. Honold, L. Schultheis, and C. W. Tu, Advances in Solid State Physic 29, ed. U. Rossler (Pergamon, Vieweg, Braunscheig, 1989), p. 157.

291. S. Adachi, T. Miyashita, S. Takeyama, Y. Takagi, A. Tackeuchi, and M. Nakayama, Phys. Rev. В 55, 1654 (1997).

292. M. Maute, S. Wachter, H. Kalt, K. Ohkawa, and D. Hommel, Phys. Rev. В 67 165323 (2003).

293. D. Birkedal, J. Singh, V. G. Lyssenko, J. Erland, and J. M. Hvam, Phys. Rev. Lett. 76, 672 (1996).

294. W. Langbein, J. M. Hvam, M. Umlauff, H. Kalt, B. Jobst, and D. Hommel, Phys. Rev. В 55, R7383 (1997).

295. R. Denschlag and R von Baltz, Phys. Status Solidi В 215, 287 (1999).

296. U. Woggon, К. Hild, F. Gindele, W. Langbein, M. Hetterich, M.: Grun, and C. Klingshirn, Phys. Rev. В 61, 12632 (2000).

297. К. H. Pantke and J. M. Hvam, Int. J. Mod. Phys. В 8, 73 (1994).

298. V. M. Axt, B. Haase, and U. Neukirch, Phys. Rev. Lett. 86, 4620 (2001).

299. К. H. Pantke, D. Oberhauser, V. G. Lyssenko, and G. Weimann, Phys. Rev. В 47, 2413 (1993).

300. H. P. Wagner, A. Schatz, W. Langbein et al., Phys. Rev. В 60, 4454 (1999).

301. W. Langbein, T. Meier T, S. W. Koch, and J. Hvam, J. Opt. Soc. Am. В 18, 1318 (2001).

302. Т. Baars, G. Dasbach, M. Bayer, and A. Forchel, Phys. Rev. В 63, 165311 (2001).

303. A. I. Bobrysheva, V. Т. Zyukov, S. A. Moskalenko, Phys. Status Solidi В 105, K45 (1981).

304. О. Carmel and I. Bar-Joseph, Phys. Rev. В 47, 7606 (1993).

305. Список публикаций по теме диссертации

306. Hoang Ngoc Cam, Nguyen Van Hieu, and Ha Vinh Tan, "On the theory of nonlinear optical effects in semiconductors, "Phys. Status Solidi В 116, 25-29 (1983).

307. Hoang Ngoc Cam, Nguyen Van Hieu, and Nguyen Ai Viet, "On the damping of excitonic polaritons," Phys. Status Solidi В 126, 247-252 (1984).

308. Hoang Ngoc Cam, Nguyen Van Hieu, and Nguyen Ai Viet, "Excitons in direct band gap cubic semiconductors," Ann. Phys. (New York) 164, 172-188 (1985).

309. Hoang Ngoc Cam and Nguyen Ai Viet, "Spin of quasiparticles and their interaction in semiconductors," Proc. Nat. Cent. Sci. Res. Vietnam 1, 16-22 (1987).

310. Hoang Ngoc Cam and Nguyen Ai Viet, "Laser-induced modification of the semiconductor electronic spectrum in the exciton region," Proc. Nat. Cent. Sci. Res. Vietnam 2, 81-96 (1988).

311. Nguyen Ba An and Hoang Ngoc Cam, "An approach to the many-exciton system," J. Phys.: Condens. Matter 2, 4127-4136 (1990).

312. Nguyen Ba An and Hoang Ngoc Cam, "Interaction between excitons in 3D and 2D laser-excited semiconductors," Czech. J. Phys. В 41, 73-84 (1991).

313. Nguyen Ba An, Hoang Ngoc Cam, and Nguyen Trung Dan, "Spin-dependent exciton-exciton interaction potential in two- and three-dimensional semiconductors under excitation," J. Phys.: Condens. Matter 3, 3317-3329 (1991).

314. Hoang Ngoc Cam, E. Heiner, "The time dependent projection operator method for tunneling in Josephson junctions," Z. Phys. В Condens. Matter 89, 199-207 (1992).

315. А. И. Бобрышева, С. А. Москаленко, Хоанг Нгок Кам, "Индуцированное спаривание экситонов и поляризация биэкситонов в поле лазерного излучения," ЖЭТФ 103, 301-306 (1993).

316. Hoang Ngoc Cam, "Biexciton-biexciton interaction in semiconductors," Phys. Rev. В 55, 10487-10497 (1997).

317. Hoang Ngoc Cam, V. S. Gorelik, "Renormalization effects in the spectrum of a coherently driven exciton-biexciton system," J. Russian Laser Res. 25, 96114 (2004).

318. Hoang Ngoc Cam, "Exciton-boson formalism in the theory of laser-excited semiconductors and its application in coherent four-wave mixing spectroscopy," J. Russian Laser Res. 25, 412-439 (2004).

319. Hoang Ngoc Cam, "Two exciton correlations and the polarization dependence in coherent four-wave mixing spectroscopy," J. Phys. Soc. Japan 74, 1049-1066 (2005).

320. Хоанг Нгок Кам, "Экситонные и биэкситонные нелинейности в когерентном четырехволновом смешении в полупроводниковых квантовых ямах," ЖЭТФ 129, 315-335 (2006).