Двухфотонные надпороговые процессы в атомах и многозарядных ионах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Свиридов Сергей Анатольевич

Двухфотонные надпороговые процессы в атомах и многозарядных ионах

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2009

003471418

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Мармо Сергей Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Головинский Павел Абрамови

кандидат физико-математических наук Чернов Владислав Евгеньевич

Ведущая организация:

Научно-исследовательский институт ядерной физики МГУ

Защита состоится 25 июня 2009 г. в 15— на заседании диссертационного совета Д 212.038.06 в Воронежском государственном университете по адресу: 394006 Воронеж, Университетская пл., д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан 22 мая 2009 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

С. Н. Дрождин

Общая характеристика работы

Актуальность темы

При квантовом описании атомных фотопроцессов в поле монохроматического излучения частоты ш термин «надпороговый» означает, что в случае перехода между связанными состояниями атома (напр., рэлеевское или рама-новское рассеяние фотонов) энергия падающего фотона превышает энергию связи |£?о] начального состояния атома (так что открыт канал однофотонной ионизации), а в случае многофотонной ионизации - что ионизация происходит с поглощением большего числа фотонов N + к (к = 1,2,...), чем это необходимо в соответствии с законом сохранения энергии: Ед 4- Мкл > 0. Актуальность исследования надпороговых процессов в атомных системах обусловлена как использованием в современных лазерных экспериментах с атомарными газами источников интенсивного когерентного излучения в ультрафиолетовой области частот (излучения высоких гармоник лазеров оптического диапазона с энергией фотона порядка нескольких десятков эВ и лазеров на свободных электронах), так и развитием методов нелинейной лазерной спектроскопии высоковозбужденных атомных уровней (для которых уже оптические частоты соответствуют надпороговой области). Несмотря на то, что интенсивность 7 излучения этих источников может достигать атомной, 1й1 а Ю16 Вт/см2, атомные процессы в таких полях протекают в пертурбатив-ном режиме, так что взаимодействие атома с полем можно учитывать в рамках теории возмущений. (Так, в недавней работе [1] приводятся результаты по мкогоэлектронной ионизации ксенона в поле лазера на свободных электронах с интенсивностью порядка 1016 Вт/см2 при энергии фотона Ьш = 93 эВ, которые полностью описываются в рамках теории возмущений [2]). Это связано с тем, что применимость теории возмущений в сильном поле определяется не его интенсивностью, а отношением средней колебательной энергии свободного электрона в волне 11р — е2Г2/(4ти>2) (где Р - амплитуда поля) к энергии фотона Ьы [3], которое, например, в условиях работы [1] имеет малость ~ Ю-3. Поэтому расчёт параметров взаимодействия (надпороговых восприимчивостей и сечений ионизации) атомных систем с высокочастотным полем в рамках теории возмущений по полю является обоснованным даже в случае достаточно интенсивных полей.

Особо следует отметить, что создание источников интенсивного высокочастотного излучения, о которых говорилось выше, открывает новые возможности для экспериментального наблюдения упругого и неупругого рассеяния жёсткого излучения, включая рассеяние на многозарядных ионах или внутренних оболочках тяжёлых атомов. Существенная особенность таких процес-

сов заключается в их релятивистском характере, особенно заметно проявляющемся с увеличением заряда ядра Основная трудность в теоретическом описании как нерелятивистских, так и релятивистских многофотонных процессов состоит в вычислении сумм по промежуточным состояниям атомного континуума при энергиях поглощаемого фотона, превосходящих энергию связи электрона в атоме (Нш > |£о|), поскольку в этом случае стандартные штурмовские разложение функции Грина (уравнений Шредингера и Дирака соответственно) приводят к расходящимся рядам для амплитуд электромагнитных переходов. Расчёт указанных сумм представляет также основную техническую трудность в задачах квантовой электродинамики многозарядных ионов, где необходимо интегрирование по виртуальной энергии электрона в кулоновском континууме при расчёте диаграмм Фейнмана для радиационных поправок. Таким образом, развитие нерелятивистских и релятивистских методов расчета многофотонных процессов в надпороговой области частот и вычисление на их основе параметров взаимодействия атомов и ионов с электромагнитным полем представляет очевидный интерес.

Цель работы

Основной целью диссертации является развитие методов расчёта амплитуд надпороговых переходов в атомах и многозарядных ионах и расчета на их основе:

• динамических поляризуемостей сложных атомов (щелочных металлов и благородных газов) на частотах, превышающих порог ионизации атома;

• полных сечений и угловых распределений фотоэлектронов в процессах двухфотонной ионизации атомов (щелочные металлы и гелий) на частотах, превышающих порог ионизации атома;

• релятивистских динамических поляризуемостей многозарядных водо-родоподобных ионов.

Научная новизна работы

• Предложен новый способ расчета надпороговой двухфотонной ионизации (в рамках метода модельного потенциала Фьюса), основанный на применении аппроксимаций Паде к суммированию расходящегося штурмовского ряда для амплитуды процесса.

• Получено новое представление для релятивистской кулоновской функции Грина в виде ряда по полиномам Лагерра со свободным параметром.

• Получены новые количественные результаты для надпороговых поля-ризуемостей и сечений двухфотонной ионизации атомов щелочных металлов и благородных газов.

Плановый характер работы

Работа выполнена согласно тематическим планам НИР Воронежского госуниверситета, а также входила в тематику грантов РФФИ 04-02-16350, 0702-00574 и гранта У^0-10-0 совместной программы СИЛЕ и Министерства образования РФ «Фундаментальные исследования и высшее образование».

Основные положения, выносимые на защиту

1. Техника расчетов надпороговых поляризуемостей атомов в рамках метода модельного потенциала, основанная на обобщенном штурмовском разложении функции Грина, аналитическом исследовании сходимости рядов для матричных элементов, специальном выборе свободных параметров в функции Грина и устойчивом рекуррентном вычислении членов ряда.

2. Алгоритм расчета амплитуды надпороговой двухфотонной ионизации, использующий аппроксимации Паде для суммирования расходящегося штур-мовского ряда для амплитуды процесса, а также способы проверки его корректности.

3. Обобщенное штурмовское разложение кулоновской функции Грина уравнения Дирака.

4. Количественное исследование надпороговых поляризуемостей атомов и многозарядных ионов, сечений двухфотонной надпороговой ионизации и эффектов эллиптического дихроихзма в угловых распределениях фотоэлектронов.

Практическая значимость работы

Разработанный в диссертации простой и достаточно универсальный метод позволяет получать надежные количественные оценки атомных воспри-имчивостей, полных и дифференциальных сечений двухфотонной ионизации атомов как в широком интервале надпороговых частот, так и при произвольной степени эллиптичности лазерного излучения. Новое представление кул о-

новской функции Грина уравнения Дирака позволяет развить эффективную 1ехнику расчётов в релятивистской теории многозарядных ионов.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на 3 российских и 5 международных конференциях: 35th Meeting of the Division of Atomic, Molecular and Optical Physics of the American Physical Society (Tucson, USA, 2004); XXIII Съезд по спектроскопии (Звенигород, 2005); 37th Meeting of the Division of Atomic, Molecular and Optical Physics of the APS (Knoxville, USA, 2006); XVIII Конференция «Фундаментальная атомная спектроскопия» (Звенигород, 2007); 40th European Group for Atomic Systems Conference (Graz, Austria, 2008); 21st International Conference On X-Ray And Inner-shell Processes (Paris, France, 2008); 14th International Conference on the Physics of Highly Charged Ions (Tokyo, Japan, 2008); I Всероссийское совещание по квантовой метрологии и фундаментальным физическим константам (Санкт-Петербург, 2008).

Публикации

По материалам диссертации имеется И публикаций в форме статей и тезисов докладов на конференциях. Две статьи опубликованы в журналах из перечня ВАК.

Личный вклад автора

Все основные результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, библиографии и приложения. Общий объем диссертации 117 страниц. Диссертация содержит 10 таблиц, 12 рисунков и список литературы из 116 элементов.

Содержание диссертации Во введении приводится обзор исследований надпороговых многофотонных процессов, формулируются основные задачи диссертации и кратко описывается ее содержание.

Исследование двухфотонных надпороговых процессов в сложных атомах в диссертации проводится в рамках одночастичного подхода, в котором воздействие атомного остова на валентный электрон моделируется потенциалом Фьюса. В первой главе изложены основные положения метода модельного потенциала (ММП) Фьюса (раздел 1.1) и специальная техника, позволяющая в его рамках рассчитывать атомные восприимчивости при надпороговых частотах (раздел 1.2). Основное достоинство ММП состоит в возможности получить простые аналитические выражения для волновой функции |п/) и радиальной функции Грина g¿(£';r,r') = (Уш(г) |С£(г,г')| Уш(г')) валентного электрона, отличающиеся от кулоновских заменой орбитального числа I на нецелый параметр А;. Так, из известного штурмовского разложения кулонов-ской функции Грина можно получить функцию Грина валентного электрона в потенциале Фьюса (используются атомные единицы)

сг(р.гг') „V к\Зы(2г/у)8ы(2г'/и) к—и

где

5*,(2г/1/) = ^ (2г/^)а< ехр(-т» Ь2кх,+1(2ф) (2)

— штурмовские функции, и = 1/^—2(Е + гО). Параметр А; рассматривается как функция энергии Е и определяется по экспериментальному спектру атома. Наличие аналитических выражений для волновых функций и функции Грина позволяет аналитически выполнить радиальные интегрирования в матричных элементах теории возмущений и представить амплитуды двухфотонных процессов в виде рядов гипергеометрических полиномов. Однако эти ряды сходятся лишь при отрицательных энергиях функций Грина, что не позволяет проводить расчеты надпороговых процессов. Указанные трудности частично удаётся преодолеть с помощью обобщённого разложения функции Грина в двойной ряд по штурмовским функциям

г, г') = £ /3) 5а (у) (3)

с достаточно компактным «ядром»

^ я=т^ < А<+1 - ^ 2А<+2; 2) х

: ^ ^-2^1(&> + к> + 2А; + 2; + А; + 2 — г)\ г ).

\ 4/3г/ / (Аг + 1 - т?)1>+1

Здесь к< — тт{к,к'}, к> = тах{к,к'}, 77 = Ей, г — -4/Зг//(/3 - у)2, (■а)к = Гг"(а^ — символ Похгаммера, а /? есть свободный (произвольный) параметр, от значений которого функция gl{E\r,r') не зависит. Функция (3) является обобщением исходного штурмовского разложения (1) и при (3 = и переходит в него.

Наличие свободного параметра в функции Грина открывает новые возможности для вычислений: его рациональным выбором удается обеспечить сходимость штурмовских рядов в надпороговой области частот при вычислении матричных элементов второго и высших порядков между состояниями дискретного спектра.

Вторая глава посвящена вычислению дипольных динамических поляри-зуемостей атомов щелочных металлов и благородных газов в широком диапазоне частот (в том числе и превышающих порог ионизации атома). В разделе 2.1 приведены некоторые соотношения, которыми поляризуемость определяет отклик атома на монохроматическое возмущение (в частности, квадратичный штарковский сдвиг) и выписаны общие формулы для поляризуемостей через радиальные матричные элементы. Для в-состояний атомов декартов тензор поляризуемости определяется единственной скалярной величиной — скалярной поляризуемостью а3пз{ш). При этом в нерелятивистском приближении для щелочных атомов а3пз(и) выражается через матричные элементы

М^1 М = {п1)гё1±1(Еп + и',г,гУ)п1) (5)

в виде комбинации

+ (б)

В атомах благородных газов (кроме гелия) для основного и возбуждённых состояний реализуются разные схемы связи угловых моментов, поэтому волновую функцию основного состояния валентных электронов атомов Ие, Аг, Кг, Хе с орбитальным моментом I = 1 следует представлять в виде суперпозиции функций с полными моментами ] — 1/2 и ] = 3/2. В конечном счёте выражение для скалярной поляризуемости а5 сводится к комбинации радиальных матричных элементов типа + .М^*1 (—<*>).

В разд. 2.2 приведено явное выражение для матричных элементов (5), рассчитанных с обобщенным штурмовским разложением функции Грина для потенциала Фьюса, в виде ряда

00 00 00 М1п1 = ^ Р)Мп, 0)Лк(п, <3) = £ Е а№ '

к,к1—0 к=0 к'—О

где Ак(п,/3),Ак'(п,0) пропорциональны гипергеометрическим функциям ^ от двух переменных (функциям Аппеля), и проводится исследование сходимости этого ряда. С использованием известных асимптотик для Р2 показано, что условием сходимости ряда (7) является выполнение неравенств

0-ио

0 + »о

< 1,

0-и

0 + и

<1, (8)

где V — 1/у/-2(£ + г0), и^ = 1/у/—2Еп. При положительной энергии Е функции Грина, когда и есть чисто мнимая величина, и = i этим условиям можно удовлетворить, выбирая 0 в первой четверти комплексной плоскости: Я.е0 > О, 1т 0 > 0. Численные расчёты подтверждают, что этого достаточно для сходимости. Как правило, чтобы получить три правильных знака в сумме ряда, достаточно учитывать слагаемые с к « 20 4- 40, к' так-1-10, причём с ростом и число учитываемых членов тоже растёт. В то же время из первого неравенства в (8) видно, что использование стандартного штурмовского разложения функции Грина (1) (т.е. при 0 = и) приводит к сходящемуся ряду в подпороговом случае (когда 1т и = 0) и расходящемуся ряду в области надпороговых частот (где 11ег/ = 0).

В разд. 2.3 приводятся и обсуждаются результаты расчетов надпороговых поляризуемостей атомов щелочных металлов и благородных газов. Детальное сравнение частотной зависимости надпороговых поляризуемостей различных атомов, рассчитанных методом модельного потенциала, с данными, полученными из более точных расчётов не представляется возможным из-за ограниченности литературных данных. По-видимому, наиболее точные расчёты надпороговой поляризуемости в достаточно широком интервале частот выполнены в работе [4] для атома гелия путём численного решения неоднородного двухэлектронного уравнения Шрёдингера для поправочной функции первого порядка теории возмущений с использованием метода комплексного вращения координат для учёта эффектов непрерывного спектра. В табл. 1 даётся сравнение этих результатов с нашими результатами, которое показывает хорошее согласие.

Как известно, при надпороговых частотах поляризуемость имеет мнимую часть, которая определяется вкладом непрерывного спектра в сумму по промежуточным состояниям и теряется при учёте лишь суммы но дискретному спектру в расчётах надпороговых поляризуемостей. Мнимая часть скалярной поляризуемости связана с сечением фотоионизации а„(ы) состояния |п) согласно оптической теореме:

, . 47ГШт .

ап{ш) --1т а'п{и).

с

Таблица 1. Надпороговая динамическая поляризуемость (в ат. ед.) и сечение фотоионизации (в ед. Ю-18 см2) атома гелия, амр^(^) — результаты настоящей работы

ш, эВ аН, 4 аМРР(ш) <7Щ>ИШ) (Техр(и) [5]

27 -0.570 + ¿2.520 -0.69 +¿2.73 6.94 6.40

30 -0.758 + »1.911 -0.89 + ¿2.04 5.76 5.38

35 -0.809 +¿1.242 -0.92+ ¿1.30 4.30 4.09

40 -0.739 + ¿0.843 -0.82+ ¿0.87 3.28 3.16

45 -0.645 + ¿0.594 -0.71 + ¿0.60 2.56 2.48

50 -0.555 + ¿0.433 -0.61 + ¿0.43 2.05 2.02

55 -0.473 + ¿0.326 -0.52+ ¿0.32 1.66 1.67

58 -0.426 + ¿0.288 -0.47+ ¿0.27 1.48 1.58

Поскольку в наших расчётах 11е а(и>) и 1та(ш) вычисляются единообразно, как вещественная и мнимая части аналитической функции а(ш), в качестве критерия, который позволяет судить о применимости метода модельного потенциала для количественных оценок амплитуд надпороговых процессов, может служить сравнение мнимых частей поляризуемостей с сечениями фотоионизации, которые изучены значительно более полно, чем поляризуемости. Проведенное в диссертации сравнение сечений фотоионизации гелия, рассчитанными через 1т с экспериментальными данными работы [5], показало их хорошее согласие (см, табл. 1). Хорошо согласуются также наши результаты для сечения фотоионизации гелия (в ат. ед.) на частотах 27, 29, 31 и 33 гармоник излучения титан-сапфирового лазера с энергией фотона Ни — 1.55 эВ ((727 = 0.107, (729 = 0.092, сг31 = 0.079, о-33 = 0.069) с данными, полученными из достаточно точных многочастичных расчётов [6]: сг27 = 0.102, <729 = 0.089, (731 = 0.077, Стзз = 0.070.

Расчёты надпороговых поляризуемостей для щелочных атомов показывают, что мнимая часть поляризуемости качественно правильно воспроизводит поведение сечения фотоионизации всех щелочных атомов: немонотонное (с куперовским минимумом) у натрия, калия, рубидия и цезия и монотонное у лития. Положение куперовского минимума в ММП воспроизводится вполне удовлетворительно, Вещественная часть поляризуемостей щелочных атомов за порогом является отрицательной и монотонно убывающей; при достаточном удалении от порога она хорошо аппроксимируется известной высокочастотной асимптотикой: Кеа®(ш » |ВП|) и -ш~2.

При расчете надпороговых поляризуемостей был также проанализирован вклад в Ие а(и) состояний непрерывного спектра. Если для атомов щелочных

и

металлов этот вклад оказывается незначительным во всей области частот, то для атома гелия вклад дискретного спектра является определяющим лишь вблизи порога (при малых энергиях фотоэлектрона Е = и— Е\а = 24.58 эВ), а затем монотонно убывает и составляет менее 30% при Е и \Е\3\.

В третьей главе в рамках метода модельного потенциала Фьюса проводится расчет сечений надпороговой двухфотонной ионизации атомов щелочных металлов. В разд. 3.1 приведены выражения для угловых распределений электронов и полных сечений через радиальные матричные элементы

ТЦЕ^Е, Е}) = (ЗД тё1{Е\ г, т'У |пЖ). (9)

В разд. 3.2 исследуется возможность расчета матричных элементов Тц двухфотонной ионизации с помощью штурмовского разложения функции Грина ММП. Непосредственное использование (1) приводит к ряду

00

(10)

к=О

(где Ак выражаются через произведение функций расходящемуся при Е > 0. Исследование общего члена Ак показало, что его асимптотика при больших к оказывается сложнее, чем асимптотика аналогичного ряда для поляризуемости, вследствие осциллирующего характера волновой функции континуума. Это усложнение оказывается принципиальным и приводит, в частности, к невозможности вычислить матричные элементы надпороговой ионизации (НПИ) в виде сходящихся рядов, используя для функции Грина потенциала Фьюса обобщенное штурмовское разложения со свободным параметром. Однако ряд (10) удается просуммировать с применением известного е-алгоритма, являющегося одной из разновидностей аппроксимации Пат де, широко используемой для суммирования расходящихся рядов [7]. Успех применения е-алгоритма в нашей задаче в значительной степени обусловлен высокой точностью (с несколькими десятками значащих цифр) вычисления исходных членов ряда (10). Обсуждаются способы проверки корректности применения е-алгоритма к суммированию ряда для двухфотонной НПИ и приводятся результаты такой проверки.

В разд. 3.3 приведены численные результаты для сечений надпороговой ионизации атомов щелочных металлов и гелия. Особый интерес представляет расчет двухфотонной НПИ гелия, поскольку в этом случае есть возможность сравнить наши результаты как с экспериментом, так и с другими расчетами. Соответствующее сравнение приводится в табл. 2 для случая линейной поляризации и ряда частот, для которых имеются результаты других авторов. Данные, приведенные в таблице, показывают что результаты ММП имеют

вполне удовлетворительное согласие с результатами более сложных расчетов.

Таблица 2. Полные сечения £гЮ и двухфотонной ионизации гелия (в единицах Ю-52 см4с) и сравнение сг'1' с экспериментом и результатами других

расчётов

ш, эВ Эксп-т [8] [9] [9], РТ [10] [П] °ММР °ММР

15.0 - 11 12 12 - - 13 19

25.0 1.9 [12] 1.0 - - - - 3.2 4.2

27.2 - 1.0 4.5 2.5 2.7 - 2.2 2.8

41.8 2.0 [13] - - - - 0.53 0.35 0.40

45.0 - 0.12 1.0 0.33 - - 0.26 0.28

Результаты расчёта полных сечений позволили сделать ряд общих заключений о характере процесса двухфотонной НПИ в режиме теории возмущений. Одно из них состоит в том, что для данного атома сечения НПИ существенно меньше сечений подпороговой (hu < \Е{\) двухфотонной ионизации, что обусловлено осциллирующим характером функции Грина как функции радиальных переменных в матричных элементах при (Ei + ш) > 0. При этом с ростом частоты в надпороговой области сечения НПИ быстро убывают, поэтому с увеличением ш расширяется диапазон интенсивностей, в котором процесс НПИ может быть описан в рамках теории возмущений. В диссертации приведены критические значения интенсивностей /„., при которых сечения НПИ сравниваются с сечениями фотоэффекта а (и) на частоте и и, следовательно, теория возмущений для описания НПИ становится заведомо неприменимой. Отметим также, что в надпороговой области нарушается известное «правило Бете» (согласно которому в случае двухфотонной ионизации из s-состояния матричный элемент elf = 2 больше матричного элемента с I/ = 0), поэтому не выполняется и оценка для отношения сечений в циркулярном и линейном поле а^/а^ и 3/2, справедливая в подпороговом случае.

Наряду с полными сечениями, в разд. 3.2 приведены данные для угловых распределений электронов при фотоионизации. Интересным поляризационным эффектом в угловых распределениях является эллиптический дихроизм, т.е. зависимость углового распределения от знака степени циркулярной поляризации £ эллиптически поляризованной волны, исчезающая в случае чисто циркулярной поляризации £ = ±1.

Для примера на рис. 1 приведены зависимости величины относительного

1.0

0.5

1! 0.0 <

-0.5 -1.0

0 45 90 135 180

ф, degrees

Рис. 1. Угловая зависимость параметра относительного дихроизма Дej в угловом распределении электронов в плоскости эллипса поляризации излучения с частотой ш — 1.51|£;[ и (£( = £= 1/V2 при двухфотонной НПИ щелочных

атомов.

эллиптического дихроизма

_dam/<m-da(-mcm

ed da(\£\)/d£l + dcr(-|£|)/df2

от угла tp в плоскости поляризации для щелочных атомов на частоте Нш = l.5l\Ei\. Приведенные результаты показывают, что величина эффекта дихроизма в угловом распределении вполне доступна для экспериментального измерения, так что наблюдение НПИ в поле с эллиптической поляризацией позволяет получить наиболее полную информацию о атомных параметрах, описывающих процесс ионизации (выполнить «полный эксперимент»).

В четвёртой главе развивается метод расчета двухфотонных процессов в многозарядных ионах, основанный на обобщенном штурмовском разложении кулоновской функции Грина (КФГ) уравнения Дирака. В разд. 4.1 сообщаются необходимые сведения о волновых функциях и функции Грина уравнения Дирака с кулоновским потенциалом. В частности, приведены парциальные разложения релятивистской КФГ и штурмовские разложения для радиальных частей КФГ квадрированного и линейного (первого порядка) уравнений Дирака. В последнем случае парциальное разложение релятивистской КФГ содержит две радиальные части: симметричную (относительно

перестановки г и г')

п! 5П7(Х)5П7(Х')

п=0 '

и несимметричную

- , p. г г>\ - 4 у п] Sm{x)Sny{x') gkl" j !/4-Г(п + 27 + 2)(П + 7 + 1-»7)

Vrr'

J2)/F -A _ 4 V (" + 1)! Sn+s,n-t(x)St^t_,n(x') Г(п + 2Л + 1)(п + Л + 1-??)

(12)

Здесь к = ±1,±2..., s = signfc, i, = (l + s)/2, Л = ,/fc2 - (aZ)2,у = A-<LS;

энергетические параметры e = £^/mec2, ^ = (l — (e + г'0)2)~ ^ tj = aZev и радиальные аргументы x = 2r/v и x1 = 2r'/V.

В разд. 4.2. проводится преобразование штурмовских рядов (11), (12), основанное на разложении функций вида Sn~,{2r/v) в ряд по функциям Sk-1(2r/p) со свободным параметром (3, которое позволяет получить для радиальных частей обобщенные штурмовские разложения. Для симметричной функции такое разложение вполне аналогично разложению нерелятивистской функции Грина для потенциала Фьюса (3). Для несимметричной функции результат в принципиальном отношении такой же, однако более громоздкий:

4 mm' N

* U07T5) (-W7' .*<•"• + » + W + + < +1; О-

+ (0-v)>\i3 + v) (2A)m*

m

x Yl Cpm{p + 2\)rn-p2Fl{-m + p,d-l + p,2X + p-,z)x

p=m'+l

xC^xm'\{-p - 2A)p_m'_i 2Fx(-p + m1 + 1, -p - d + 1; -p - 2A; z) x

Здесь z = — (/f^i i Cm ~ биномиальные коэффициенты.

ЕрЬ / Е,

Рис. 2. Действительная и мнимая части скалярной динамической поляризуемости с*а(и>) водородоподобных ионов с зарядом ядра I = \ (сплошные линии), Z — 60 (штриховые линии), 2 = 100 (пунктирные).

Применение обобщённого штурмовского разложения релятивистской КФГ к расчёту динамической дипольной поляризуемости многозарядных ионов (разд. 4.3) показало его высокую эффективность. Выбором свободного параметра ¡3 удаётся обеспечить сходимость штурмовских рядов для поляризуемостей многозарядных водородоподобных ионов (с 2 = 1 т 100) в широком интервале энергий фотона от припороговых значений до десятков энергий связи. Для иллюстрации на рис. 2 показана частотная зависимость дипольной поляризуемости водородоподобных ионов с Ъ = 1,60,100 в надпороговой области. Сопоставление наших результатов с имеющимися в литературе [14,15] показывает их полное согласие.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Приложение содержит справочный математический материал и некоторые выкладки.

Основные результаты работы

1. Разработана техника расчёта амплитуд связанно-связанных двухфотон-ных надпороговых переходов в атомах, основанная на обобщённом штурмов-ском разложении функции Грина для модельного потенциала Фьгоса.

2. Рассчитаны динамические поляризуемости атомов щелочных металлов и благородных газов в области надпороговых частот.

3. Предложен алгоритм расчета амплитуд связанно-свободных двухфотон-ных надпороговых переходов в рамках метода модельного потенциала Фьюса, основанный на применении аппроксимаций Паде к суммированию расходящегося штурмовского ряда для амплитуды.

4. Рассчитаны полные и дифференциальные сечения надпороговой двухфо-тонной ионизации атомов щелочных металлов и атома гелия.

5. Получены обобщённые штурмовские разложения (со свободным параметром) радиальных частей кулоновской функции Грина уравнения Дирака.

6. С использованием обобщённого штурмовского разложения релятивистской кулоновской функции Грина рассчитаны дипольные динамические поляризуемости многозарядных ионов в области частот, превышающих энергию связи электрона в ионе.

Список литературы

[1] Sorokin A. A. Photoelectric Effect at Ultrahigh Intensities / A. A. Sorokin, S. V. Bobashev, T. Feigl, K. Tiedtke // Phys. Rev. Lett. - 2007. - Vol. 99. - P. 213002.

[2] Makris M. G. Theory of Multiphoton Multielectron Ionization of Xenon under Strong 93-eV Radiation / M. G. Makris, P. Lambropoulos, A. MiheliC // Phys. Rev. Lett. - 2009. - Vol. 102. - P. 033002.

[3] Манаков H. Л. Квазистационарные квазиэнергетические состояния и сходимость рядов теории возмущений в монохроматическом поле / Н. Л. Манаков, А. Г. Файнштейн // ТМФ - 1981. - Т. 48. - С. 385 - 395.

[4] Liu W. С. High-order nonlinear susceptibilities of helium / W. C. Liu // Phys. Rev. A - 1997. - Vol. 56. - P. 4938 - 4945.

[5] Samson J. A. R. Precision measurements of the absolute photoionization cross sections of He / J. A. R. Samson. Z. X. He. G. N. Haddad // J. Phys. В - 1994. - Vol. 27. - P. 887 - 898.

[6] Nikolopoulos L. A. A. Helium double ionization signals under soft-x-ray coherent radiation / L. A. A. Nikolopoulos, P. Lambropoulos // J. Phys. В - 2006. - Vol. 39. - P. 883 - 893.

[7j Бейкер Дж. Аппроксимации Паде / Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис — М.: Мир, 1986. - 502 с.

[8] Nikolopoulos L. A. A. Multichannel theory of two-photon single and double ionization of helium / L. A. A. Nikolopoulos, P. Lambropoulos // J. Phys. В - 2001. - Vol. 34. - P. 545 - 564.

[9] Colgan J. Core-Excited Resonance Enhancement in the Two-Photon Complete Fragmentation of Helium / J. Colgan, M. S. Pindzola // Phys. Rev. Lett. - 2002. - Vol. 88. - P. 173002.

[10] Proulx D. Two- and excess-photon ionization of helium / D. Proulx, R. Shakeshaft // J. Phys. B. - 1993. - Vol. 26. - P. L7 - L14.

[11] Ishikawa K. L. // unpublished

[12] Miyamoto N. Observation of Two-Photon Above-Threshold Ionization of Rare Gases by xuv Harmonic Photons / N. Miyamoto, M. Kamei, D. Yoshitomi, T. Kanai // Phys. Rev. Lett. - 2004. - Vol. 93. - P. 083903.

[13] Hasegawa H. Multiphoton ionization of He by using intense high-order harmonics in the soft-x-ray region / H. Hasegawa, E. J. Takahashi, Y. Nabekawa, K. L. Ishikawa // Phys. Rev. A. - 2005. - Vol. 71. -P. 023407.

[14] Szmytkowski R. Dynamic polarizability of the relativistic hydrogenlike atom: Application of the Sturmian expansion of the Dirac-Coulomb Green function / R. Szmytkowski // Phys. Rev. A - 2001. - Vol. 65. - P. 012503.

[15] Yakhontov V. Relativistic Linear ResponseWave Functions and Dynamic Scattering Tensor for the nsy, States in Hydrogenlike Atoms / V. Yakhontov // Phys. Rev. Lett. - 2003. - Vol. 91. - P. 093001.

Публикации по теме диссертации

1. Manakov N. L. Dynamic Polarizabilities of Rydberg States of Alkali Atoms and Inert Gases / N. L. Manakov, S. I. Marmo, S. A. Sviridov and S. Y. Vyazovetskov // Bulletin of the Amer. Phys. Soc. - 2004. - Vol. 49. -No. 3 - P. 117.

2. Манаков H. Л. Учет виртуальных состояний непрерывного спектра в двухфотонных надпороговых процессах в атомах / Н. Л. Манаков, С. И. Мар-мо, С. А. Свиридов // XXIII Съезд по спектроскопии, Тезисы докладов. Звенигород. - 2005. - С. 129 - 130.

3. Manakov N. L. Two-photon above-threshold ionization of atoms / N. L. Manakov, S. I. Marmo and S. A. Sviridov // Bulletin of the Amer. Phys. Soc. - 2006. - Vol. 51. - No. 3 - P. 81.

4. Манаков H. Л. Метод расчёта многофотонных процессов в атомах: поляризуемости атомов щелочных металлов и благородных газов / Н. Л. Манаков, С. И. Мармо, С. А. Свиридов // ЖЭТФ - 2007. - Т. 132. - С. 796.

5. Манаков Н. Л. Двухфотонная надпороговая ионизация атомов / Н. Л. Манаков, С. И. Мармо, С. А. Свиридов // XVIII Конференция "Фундаментальная атомная спектроскопия". Звенигород, 22-26 октября 2007 — С. 51.

6. Manakov N. L. Two-photon above-threshold ionization by a VUV-light / N. L. Manakov, S. I. Marmo and S. A. Sviridov // 40th European Group for Atomic Systems Conference. Graz, Austria, 2-5 July 2008. Book of abstrats — P. 120.

7. Manakov N. L. Above-threshold polarizability of alkali-metal and noble gas atoms / N. L. Manakov, S. I. Marmo and S. A. Sviridov // 40th European Group for Atomic Systems Conference. Graz, Austria, 2-5 July 2008. Book of abstrats - P. 121.

8. Manakov N. L. Above-threshold two-photon transitions between bound states of multicharged hydrogen-like ions: dynamic polarizability / N. L. Manakov, S. I. Marmo, S. A. Sviridov and S. A. Zapryagaev // 21st International Conference On X-Ray and Inner-Shell Processes. Paris, France, 22-27 June, 2008. Book of Abstracts. - P. 127.

9. Manakov N. L. Above-threshold two-photon transitions between bound states of multicharged hydrogen-like ions / N. L. Manakov, S. I. Marmo, S. A. Sviridov and S. A. Zapryagaev // 14th International Conference on the Physics of Highly Charged Ions. Tokyo, Japan, 1-5 September 2008. Book of abstracts — P. В - dOl.

10. Запрягаев С. А. Метод учёта виртуальных переходов в континууме в теории многозарядных ионов / С. А. Запрягаев, Н. Л. Манаков, С. И. Map-

мо, С. А. Свиридов //I Всероссийское совещание по квантовой метрологии и фундаментальным физическим константам. Санкт-Петербург, 2-4 декабря 2008 - С. И.

11. Манаков Н. Л. Метод расчёта многофотонных процессов в атомах: двух-фотонная надпороговая ионизация / Н. Л. Манаков, С. И. Мармо, С. А. Свиридов //ЖЭТФ - 2009. - Т. 135. - С. 639 - 652.

Работы 4 и 11 опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Подписано в печать 16.05.2009 г. Формат 60 х 84/16 . Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,1 Тираж 100 экз. Заказ № 1327

Отпечатано в типографии Воронежский ЦНТИ - филиал ФГУ «Объединение «Росинформресурс» Минпромэнерго России

394730, г. Воронеж, пр. Революции, 30

Введение

1 Функции Грина для потенциала Фьюса

1.1 Метод модельного потенциала Фьюса.

1.2 Обобщённое штурмовское разложение ФГ в ММП

2 Динамическая поляризуемость сложных атомов

2.1 Общие соотношения для атомных поляризуемостей

2.2 Техника расчёта радиальных матричных элементов

2.3 Численные результаты и обсуждение.

3 Двухфотонная ионизация сложных атомов

3.1 Общие формулы для углового распределения и полного сечения двухфотонной ионизации.

3.2 Расчёт сечения надпороговой двухфотонной ионизации

3.3 Численные результаты для сечений НПИ и обсуждение

3.3.1 Полные сечения двухфотонной НПИ из s-состояний

3.3.2 Угловые распределения.

4 Релятивистская поляризуемость многозарядных ионов

4.1 Основные положения релятивистской теории водородоподобнго иона.

4.1.1 Волновая функция связанного состояния.

4.1.2 Функция Грина уравнения Дирака

4.2 Обобщённое штурмовское разложение РКФГ.

4.3 Релятивистская ДП водородоподобных ионов

4.3.1 Отделение спин-угловой части в матричных элементах.

4.3.2 Численный расчёт.

Исследование однофотонных процессов взаимодействия атома с электромагнитным полем (фотоэффекта, поглощения и излучения кванта, тормозного излучения) было одной из первых задач квантовой механики [1,2]. Вскоре после создания квантовой механики были рассмотрены также некоторые двухфотонные процессы, например, рассеяние света на атоме [3], появляющееся лишь во втором порядке теории возмущений, и двухфотонный распад [4], преобладающий над однофотонным при запрете последнего правилами отбора. Расчет этих процессов основывался на малости постоянной электромагнитного взаимодействия и проводился по теории возмущений. В те же годы было указано на принципиальную возможность многофотонных процессов [I], однако их систематического исследования длительное время не проводилось в силу крайне малой вероятности таких процессов при использовании обычных оптических источников. Положение изменилось с созданием квантовых генераторов излучения, поскольку высокая интенсивность световых пучков, достигаемая в них, сделала возможным наблюдение многофотонной ионизации, генерации гармоник, вынужденного комбинационного рассеяния и других многофотонных процессов. Первоначально (в 1960-х - 1970-х гг.) напряженности полей F в лазерах хотя и были достаточны для проявления эффектов, нелинейных по интенсивности излучения, но не достигали внутриатомных Fat ^ 5 х 109 В/см. При этом взаимодействие атомов с лазерным излучением происходит в пертурбативном режиме, поэтому параметры лазер-атомного взаимодействия по-прежнему могли быть рассчитаны по теории возмущений (в ее высших порядках). В дальнейшем пиковые значения напряженности поля в коротких лазерных импульсах стали достигать и даже превосходить характерные внутриатомные напряженности. В таких полях возникают качественно новые закономерности в нелинейных взаимодействиях атома с полем (например, наличие платообразной структуры в спектрах фотоэлектронов при надпороговой ионизации и в спектрах высших гармоник), которые принципиально не могут быть описаны в рамках теории возмущений.

В современных лазерных экспериментах с атомарными газами используется интенсивное когерентное излучение в ультрафиолетовой области частот. Его получают генерацией высоких (вплоть до 27-й) гармоник лазеров оптического диапазона (см., напр., [5,6]) и в лазерах на свободных электронах [7,8,9,10,11]. Несмотря на то, что интенсивность I излучения этих источников может достигать атомной, Iat « 1016 Вт/см2, процессы в таких полях протекают в пертурбативном режиме, так что взаимодействие атома с полем можно учитывать в рамках теории возмущений. (Так, в недавней работе [8] приводятся результаты по многоэлектронной ионизации ксенона в поле лазера на свободных электронах с интенсивностью порядка 1016 Вт/см2 при энергии фотона hu = 93 эВ, которые полностью описываются в рамках теории возмущений [12]). Это связано с тем, что применимость теории возмущений в сильном поле определяется не его интенсивностью, а отношением средней колебательной энергии свободного электрона в волне Up = е2F2/(4тю2) к энергии фотона Ни [13], которое, например, в условиях работы [8] имеет малость ~ 1СГ3. Таким образом, создание лазерных источников с большой энергией кванта привело к «возвращению» пертурбативных методов в теорию взаимодействия электромагнитного излучения (даже достаточно высокой интенсивности) с атомами.

Создание источников излучения в ультрафиолетовой области частот, о которых говорилось выше, а также развитие методов нелинейной лазерной спектроскопии высоковозбужденных атомных уровней (для которых уже энергия фотонов оптических частот превосходит энергию связи) делают актуальным исследование надпороговых процессов в атомах.

Термин «надпороговый» означает, что в случае перехода между связанными состояниями атома (напр., рэлеевское или рамановское рассеяние фотонов) энергия падающего фотона превышает энергию связи \Eq\ начального состояния атома (так что открыт канал однофотонной ионизации), а в случае многофотонной ионизации - что ионизация происходит с поглощением большего числа фотонов N + К (К = 1, 2,.), чем это необходимо в соответствии с законом сохранения энергии: Eq + NFuj > 0. В условиях применимости теории возмущений наибольшие вероятности среди многофотонных надпороговых процессов имеют двухфотонные, изучению которых посвящена настоящая диссертация. Главную трудность при расчете характеристик многофотонных процессов (атомных восприимчивостей и сечений) представляет вычисление сумм по промежуточным состояниям, которое очевидным образом усложняется в надпороговом случае. В настоящее время задача расчета двухфотонных процессов (в нерелятивитском дипольном приближении) полностью решена лишь для атома водорода. Компактное аналитическое выражение для поляризуемости основного состояния было получено в [14] (см. также [15]), а его обобщение на случай произвольных состояний в [16] (только для скалярной части a(w)) и в [17]. В [17] получено также замкнутое аналитическое выражение для сечения двухфотонной ионизации состояний с произвольными квантовыми числами п, I.

Методы расчета многофотонных процессов в сложных атомах можно разделить на многочастичные и одночастичные. В многочастичных расчётах, проводимых ab initio, в большинстве случаев используют хартри-фоковский подход и его модификации, позволяющие более точно учесть межэлектронное (корреляционное) взаимодействие при вычислении волновых функций и дипольных матричных элементов. В последние годы был предложен ряд таких подходов. Так, в [18] для расчета поляризуемости атома кислорода использовался многоконфигурационный метод Хартри-Фока. Хорошие результаты дает нерелятивистское и релятивистское «одинарно-двойное приближение» (single-double approximation) в рамках метода Хартри-Фока [19]. Этот подход использовался в [19] для расчёта спектроскопических характеристик атома рубидия, а в [20] — цезия и франция, но уже с более точным учётом межэлектронного взаимодействия. В работе [21] постоянные ван-дер-ваальсова взаимодействия атомов щелочных металлов с атомами гелия рассчитывались с учётом поляризации атомного остова в рамках хартри-фоковского метода и приближения случайных фаз. Следует иметь в виду, что несмотря на достаточно детальное развитие многочастичные методы не позволяют с высокой точностью вычислять волновые функции высоковозбужденных уровней. Поэтому при расчёте амплитуд приходится вычислять линейный отклик атома на внешнее возмущение путём прямого численного интегрирования уравнения Шредингера, добавляя оператор возмущения к гамильтониану атома, или ограничиваться учётом конечного числа членов в сумме по промежуточным состояниям, пренебрегая вкладом непрерывного спектра. Последний вариант технически проще первого, но он не может корректно учесть специфику надпороговых переходов.

В одночастичных методах расчёта поляризуемостей, которые развиваются с середины 1950-х г.г. (см. обзор [22]), принимаются во внимание только переходы оптического электрона в поле атомного остова с куло-новской асимптотикой на далёких расстояниях. Учёт многоэлектронных эффектов в этих методах осуществляется косвенно, например, через эмпирические значения энергии атомных уровней. Конкретные расчёты в одночастичном приближении основаны или на неявном суммировании по промежуточным состояниям путём решения неоднородного уравнения Шредингера для поправки к волновой функции в 1-ом порядке теории возмущений [23,24,25], или на использовании явных полуэмпирических выражений для функции Грина (ФГ) оптического электрона атома. Второй подход реализуется в методе квантового дефекта [26, 27] и методе модельного потенциала (ММП) Фьюса [28], причём в последнем случае удаётся существенно продвинуться в аналитических вычислениях и представить амплитуду процесса в виде однократного ряда гипергеометрических функций. Одночастичные методы не только технически значительно проще многочастичных, но и позволяют последовательно провести суммирование по промежуточным состояниям дискретного и непрерывного спектра. Не претендуя на прецизионную точность, одно-частичные методы позволяют сравнительно просто выполнить расчёты в широком интервале параметров задачи, а полученные результаты имеют приемлемую точность для использования в различных приложениях, не требующих прецизионных данных. Использование и развитие одно-частичных методов продолжается и в настоящее время. В частности, в работе [29] в рамках теории квантового дефекта предложена уточняющая процедура, основанная на замене волновых функций основного и нескольких возбуждённых состояний в ФГ на более точные волновые функции из ab initio расчётов. Использование указанной процедуры для расчёта поляризуемостей ряда атомов на частотах до первого резонанса [29] показывает хорошее согласие как. с результатами более строгих расчётов, так и с экспериментальными данными.

Надпороговая ионизация (НПИ) состоит в отрыве связанного электрона (с энергией связи 1^))' при поглощении им большего числа фотонов, чем минимально необходимо по закону сохранения энергии. Исследования НПИ были инициированы в 1979 г., когда при измерении энергетического спектра фотоэлектронов, образующихся при ионизации атомов Хе излучением, 2-й гармоники' неодимового лазера (fru> = 2.34 эВ) с интенсивностью / ~ 1013 Вт/см2, были обнаружены электроны с энергией Ei + 7Нш при пороговом числе фотонов К — б [30]. В дальнейшем такого рода эксперименты неоднократно проводились с другими атомами при значительно большей интенсивности оптического излучения (см., напр., ссылки в книге [31]), причём при минимально необходимом для ионизации числе фотонов N ж 10 добавочное число поглощённых фотонов К достигало значительной величины. Попытки теоретического описания этих результатов в рамках теории возмущений по взаимодействию атома с полем не приводили к согласию теории с экспериментом, а после обнаружения в спектрах надпороговых электронов ярко выраженных эффектов плато (неубывания сечений ионизации в широком диапазоне значений К) [32] стало ясно, что процесс НПИ в интенсивном поле оптической частоты (с fru; <С носит существенно непертурбативный характер и определяется не столько структурой спектра конкретного атома, сколько движением свободного электрона в сильном световом поле.

Иная ситуация сложилась в последние годы с появлением достаточно интенсивных источников когерентного излучения в ультрафиолетовом диапазоне с энергией фотонов вплоть до десятков эВ и интенсивностью до 106 Вт/см2 в частности, с использованием высших гармоник интенсивного излучения фемтосекундных лазеров, а также лазеров на свободных электронах. В этом случае ионизация возможна уже при поглощении одного фотона, причём, если энергия фотона существенно превосходит \Ei\, то теория возмущений применима для полей с интенсивностью /, сравнимой с внутриатомной (см., напр., [33]), так что сечение НПИ существенно определяется структурой атома. Сечения двухфотонной НПИ в высокочастотном поле впервые были измерены в недавних экспериментах по ионизации благородных газов (Не, Аг и Хе) 5-й гармоникой KrF лазера (с энергией фотона 25 эВ) [34] и гелия 27-й гармоникой титан-сапфирового лазера (с fiw = 41.8эВ) [35]. Аналогичные исследования проводились также с использованием лазеров на свободных электронах [8,9, 10,11]^. Поэтому представляет интерес дальнейшее развитие методов расчёта НПИ многоэлектронных атомов с учётом структуры конкретного атома в рамках теории возмущений по полю. В этом подходе НПИ атома водорода, как двухфотонная [38,39,40,41], так и многофотонная [42,43,44], была подробно исследована более 20 лет назад.

В [36] сообщается также о наблюдении двухфотонной НПИ гелия лазером на свободных электронах с tiuj = 13 эВ, однако эти результаты сомнительны (см. работу [37] и ссылки в ней).

Однако пертурбативный расчёт двухфотонной НПИ многоэлектронных атомов даже в приближении одного активного электрона представляет собой значительно более сложную и менее исследованную проблему. В частности, при fko > \Ег\ использование известного метода Далгарно-Левиса [23] для расчёта поправочных функций ф^п\г) n-го порядка теории возмущений, основанного на численном интегрировании зацепляющихся неоднородных дифференциальных уравнений для поправочных функций г) (к = 1,2,. , п), становится неэффективным, поскольку в надпороговом случае уже является осциллирующей функцией г в отличие от подпорогового случая, когда функции экспоненциально затухают при больших г). В работе [45] амплитуда НПИ атомов щелочных металлов в рамках теории квантового дефекта исследована с помощью специальной вычислительной процедуры, основанной на разделении функции конечного состояния на слагаемые с асимптотикой расходящихся и сходящихся волн и повороте контура интегрирования в комплексной плоскости г. В [46,47] предложен метод расчета многофотонных матричных элементов НПИ в многоэлектронном приближении, основанный на дискретизации состояний непрерывного спектра и использовании В-сплайнов. Процесс двухфотонной одноэлектронной НПИ гелия является конкурирующим при исследованиях двухфотонной двух-электронной ионизации, которые активно ведутся в ряде лабораторий, и в этой связи анализировался в ряде работ на основе различных методов численного решения точного уравнения Шрёдингера для атома гелия в электромагнитном поле [48,49] (см. также [50,51]). Однако точные методы расчёта НПИ достаточно громоздки, требуют большого объёма вычислений и, как результат, сечения НПИ могут быть получены лишь в весьма ограниченном интервале параметров лазерного излучения (преимущественно для случая линейной поляризации).

Особо следует отметить задачу расчёта спектроскопических характеристик многозарядных ионов, состоящих из относительно небольшого количества электронов в поле массивного ядра. Актуальность таких t расчётов обусловлена тем, что с созданием источников высокочастотного излучения (о которых говорилось выше) появилась реальная возможность экспериментального наблюдения упругого и неупругого рассеяния рентгеновского излучения, включая рассеяние на внутренних оболочках тяжёлых атомов или многозарядных ионов. Интерес к многозарядным ионам обусловлен также исследованиями высокотемпературной плазмы, задачами астрофизики и др. Важной особенностью многозарядных ионов, отличающих их от нейтральных или слабоионизованных атомов, является их существенно релятивистский характер, особенно заметно проявляющийся с увеличением заряда ядра Z и уменьшением числа электронов иона. Так, характерная скорость электрона в Н-ионе с зарядом Z составляет aZc. Поэтому последовательная теория таких систем должна строиться на релятивистской основе, с учётом того, что релятивистские эффекты в них составляют не малые поправки, а существенно определяют порядки и спектральных характеристик (частот переходов, интенсивностей спектральных линий, сечений рассеяния света и др.). Таким образом, теория многозарядных ионов (в т.ч. их взаимодействия с электромагнитным полем) фактически является одним из приложений квантовой электродинамики и требует развития как общего формализма вычисления вероятностей переходов, так и методов расчета фейнмановских диаграмм для связанного электрона. К настоящему времени детально исследованы однофотонные процессы в Н-подобных ионах [2]. Общий формализм, позволяющий получать расчётные формулы (в том числе) для амплитуд многофотонных процессов в многозарядных ионах, был развит в [52] с использованием методов квантовой теории поля (S'-матричного подхода в картине Фарри, т.е. в случае, когда электроны находятся в связанных состояниях). Его существенной составляющей является использование релятивистских кулоновских функций Грина (РКФГ). В [52] получены штурмовские разложения для радиальных частей РКФГ; более компактные формы для них получены в [53]. Расчёты со штурмовскими разложениями РКФГ во многом аналогичны нерелятивистским: при энергиях функции Грина из области дискретного спектра они дают быстро сходящиеся'ряды для матричных элементов связанно-связанных переходов, при энергиях функции Грина из области непрерывного спектра эти ряды расходятся.

Основной целью диссертации является развитие методов расчёта амплитуд надпороговых переходов в атомах и многозарядных ионах и расчета на их основе: динамических поляризуемостей сложных атомов (щелочных металлов и благородных газов) на частотах, превышающих порог ионизации атома; полных сечений и угловых распределений фотоэлектронов в процессах двухфотонной ионизации атомов (щелочные металлы и гелий) на частотах, превышающих порог ионизации атома; релятивистских динамических поляризуемостей многозарядных водоро-доподобных ионов.

Вычисление поляризуемостей и сечений двухфотонной ионизации при надпороговых частотах проводится в настоящей работе на основе наиболее удобного в техническом отношении ММП Фьюса, о котором говорилось выше. Псевдопотенциал Фьюса, моделирующий воздействие атомного остова на валентный электрон [28], впервые был использован в [54, 55] для расчёта сил осцилляторов и сечений фотоионизации атомов. В [56,57] (см. также [58]) метод модельного потенциала был обобщён для расчёта матричных элементов высших порядков теории возмущений на основе техники функции Грина для потенциала Фьюса, для которой известно удобное представление (штурмовское разложение) в виде ряда по полиномам Лагерра. Однако использование штурмовского разложения приводит к расходящимся рядам для амплитуд надпороговых процессов (когда энергетический параметр функции Грина является положительным). Штурмовские ряды для динамической поляризуемости при надпороговых частотах удается сделать сходящимися, используя специальное переразложение функции Грина потенциала Фьюса, содержащее свободные параметры. При расчете по ММП амплитуды двух-фотонной НИИ этот метод неприменим из-за наличия осциллирующей волновой функции конечного состояния фотоэлектрона в континууме, > поэтому численное суммирование штурмовского ряда для амплитуды мы проводим с использованием стандартного ^-алгоритма [59], аналогично вычислению амплитуды двухфотонной НПИ атома водорода [39]. Для вычисления релятивистской поляризуемости водородоподобных ионов в диссертации получено обобщенное штурмовское разложение (ОШР) ку-лоновской функции Грина уравнения Дирака, во многом аналогичное ОШР функции Грина в ММП Фыоса.

В первой главе изложены основные положения метода модельного потенциала Фьюса. В разделе 1.1 выписаны волновые функции для дискретного и непрерывного спектра, а также функция Грина (ее штурмовское разложение) для потенциала Фьюса. В разделе 1.2 приведено обобщённое штурмовское разложение функции Грина, позволяющее вычислять поляризуемости сложных атомов в надпороговой области частот.

Вторая глава посвящена вычислению динамических поляризуемо-стей (ДП) атомов щелочных металлов и благородных газов в широком диапазоне частот (в том числе и превышающих порог ионизации атома). В разделе 2.1 приведены некоторые соотношения, которыми поляризуемость определяет отклик атома на монохроматическое возмущение (в частности, квадратичный штарковский сдвиг) и выписаны общие формулы для поляризуемостей через радиальные матричные элементы. В разделе 2.2 изложена техника расчетов этих матричных элементов в ММП Фьюса при надпороговых частотах, основанная на ОШР функции Грина. В разделе 2.3 обсуждаются результаты численных расчётов.

В третьей главе вычисляются дифференциальные и полные сечения надпороговой двухфотоной ионизации атомов гелия и щелочных металлов. В разделе 3.1 приведены выражения для угловых распределений и полных сечений через радиальные матричные элементы. В разделе 3.2 показано, что амплитуды двухфотонной НПИ в методе модельного потенциала может быть рассчитана с использованием численных алгоритмов аппроксимации Паде. в разд. 3.3 приведены численные результаты для полных и дифференциальных сечений двухфотонной надпорого-вой ионизации. Анализируется зависимость угловых распределений фотоэлектронов от знака степени эллиптичности излучения (явление эллиптического дихроизма) в надпороговой области частот. в последней четвёртой главе рассматривается динамическая поляризуемость многозарядных водородоподобных ионов при надпороговых частотах. в разд. 4.1 излагаются основные положения релятивистской теории водородоподобного иона. В разд. 4.2 получены обобщённые штур-мовские разложения для радиальных частей функции Грина. в разд. 4.3 получено явное выражение для релятивистской скалярной ДП через радиальные матричные элементы, приведены результаты численных расчетов ДП и сравнение их с результатами других работ.

Приложение содержит справочный математический материал и некоторые выкладки.

Основные результаты гл. 2 опубликованы в работах [60,61,62,63], гл. 3 — в работах [64,65,66,67], гл. 4 — в работах [68,69,70].

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ДП динамическая поляризуемость

ДФИ двухфотонная ионизация

ММП метод модельного потенциала

НПИ надпороговая ионизация

ОШР обобщённое штурмовское разложение

РКФГ релятивистская кулоновская функция Грина i

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Разработана техника расчёта амплитуд связанно-связанных двухфотонных надпороговых переходов в атомах, основанная на обобщенном штурмовском разложении функции Грина для модельного потенциала Фьюса.

2. Рассчитаны динамические поляризуемости атомов щелочных металлов и благородных газов в области надпороговых частот.

3. Предложен алгоритм расчета амплитуд связанно-свободных двухфотонных надпороговых переходов в рамках метода модельного потенциала Фьюса, основанный на применении аппроксимаций Паде к суммированию расходящегося штурмовского ряда для амплитуды.

4. Рассчитаны полные и дифференциальные сечения надпороговой двухфотонной ионизации атомов щелочных металлов и атома гелия.

5. Получены обобщенные штурмовские разложения (со свободным параметром) радиальных частей кулоновской функции Грина уравнения Дирака.

6. С использованием обобщенного штурмовского разложения релятивистской кулоновской функции Грина рассчитаны дипольные динамические поляризуемости многозарядных ионов в области частот, превышающих энергию связи электрона в ионе.

Заключение

В диссертации развиты специальные методы для расчета параметров двухфотонных процессов в атомах и многозарядных ионах при надпороговых частотах и на их основе проведён количественный анализ поляризуемостей и сечений двухфотонной ионизации некоторых многоэлектронных атомов, а также поляризуемостей многозарядных водородо-подобных ионов.

1. Гайтлер В. Квантовая теория излучения / Гайтлер В. — М.: Издательство иностранной литературы, 1956. — С. 492.

2. Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика / Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский JI. П. — М.: Физматлит, 2002.— С. 720. ISBN 5-9221-0058-0.

3. Kramers Н. On the dispersal of radiation by atoms / Kramers H., Heisenberg W. 11 Zeit. Phys. 1925. - Vol. 31. - P. 681.

4. Goppert-Mayer M. Uber Elementarakte fur mehrpolig-e Influez und Kondensatormashinen / Goppert-Mayer M. // Ann. d. Phys. —■ 1931.-Vol. 9.-P. 273.

5. Production of doubly charged helium ions by two-photon absorption of an intense sub-10-fs soft x-ray pulse at 42 ev photon energy / Nabekawa Y., Hasegawa H., Takahashi E. J., Zon B. A. // Phys. Rev. Lett. 2005. - Vol. 94. - P. 043001.

6. Routes to multiphoton double ionization in combined extreme ultraviolet and infrared laser pulses / Bottcher M., Rottke H., Zhavoronkov N. et al. // Phys. Rev. A. 2007. - Vol. 75. - P. 033408.

7. Kennedy E. T. Sase fels: Interactions with atoms and ions / Kennedy E. Т. I j J. Phys.: Conf. Ser. 2007. - Vol. 58. - P. 41.

8. Photoelectric effect at ultrahigh intensities / Sorokin A. A., Boba-shev S. V., Feigl T. et al. // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Vol. 99. — P. 213002.

9. Multiphoton ionization of xenon in the vuv regime / Sorokin A. A., Wellhofer M., Bobashev S. V. et al. // Phys. Rev. A. 2007. — Vol. 75.-P. 051402(R).

10. Multiple ionization of rare gas atoms irradiated with intense vuv radiation / Wabnitz H., de Castro A. R. В., Gurtler P. et al. // Phys. Rev. Lett. 2005. - Vol. 94. - P. 023001.

11. Santa R. Multiphoton ionization of xenon in the vuv regime / Santa R., Greene Ch. H. // Phys. Rev. A. 2004. - Vol. 70. - P. 053401.

12. Makris M. G. Theory of multiphoton multielectron ionization of xenon under strong 93-ev radiation / Makris M. G., Lambropoulos P., Mihelic A. // Phys. Rev. Lett. 2009. - Vol. 102. - P. 033002.

13. Манаков H. Л. Квазистационарные квазиэнергетические состояния и сходимость рядов теории возмущений в монохроматическом поле / Манаков Н. Л., Файнштейн А. Г. // ТМФ. 1981. - Т. 48. -С. 385-395.

14. Gavrila М. Elastic scattering of photons by a hydrogen atom / Gavriia M. // Phys. Rev. 1967. - Vol. 163. - P. 147.

15. Vetchinkin S. I. The coulomb-green's function calculation of the second-order interaction of a hydrogen atom with the radiation field / Vetchinkin S. I., Khristenko S. V. // Chem. Phys. Lett. — 1967. — Vol. l.-P. 473.

16. Broad J. T. Calculation of two-photon processes in hydrogen with an I2 basis / Broad J. Т. 11 Phys. Rev. A. 1985. - T. 31. - C. 1494.

17. Крыловецкий А. А. Обобщенные штурмовские разложения куло-новской функции Грина и двухфотонные формулы Гордона / Крыловецкий А. А., Манаков Н. Л., Мармо С. И. // ЖЭТФ. 2001. -Т. 119.- С. 45.

18. Saha H. P. Ab initio calculation of frequency-dependent atomic dipole polarizability / Saha H. P. // Phys. Rev. A. — 1993.- Vol. 47.— P. 2865.

19. Saharonova M. S. Relativistic many-body calculations of electric dipole matrix elements, lifetimes, and polarizabilities in rubidium / Saharonova M. S., Williams C. J., Clark C. W. // Phys. Rev. A. -2004. Vol. 69. - P. 022509(8).

20. Dipole polarizabilities of excited alkali-metal atoms and long-range interactions of ground- and excited-state alkali-metal atoms with helium atoms / Zhu C., Dalgarno A., Porsev S. G., Derevianko A. // Phys. Rev. A. 2004. - Vol. 70. - P. 032722(5).

21. Dalgarno A. Atomic polarizabilities and shielding factors / Dalgarno А. Ц Adv. Phys. 1962,-Vol. 11,-P. 281.

22. Dalgarno A. The exact calculation of long-range forces between atoms by perturbation theory / Dalgarno A., Lewis J. T. // Proc. R. Soc. London. 1955. - Vol. 233. - Pp. 70-74.

23. Cohan S. Numerical solution of dalgarno-lewis equations by a mapped fourier grid method / Cohan S., Themelis S. I. // /. Chem. Phys. — 2006.-Vol. 124.-P. 134106.

24. Marinescu M. Dynamic dipole polarizabilities of rubidium / Marines-cu M., Sadeghpour H. R., Dalgarno A. // Phys. Rev. A. — 1994. — Vol. 49,- P. 5103.

25. Burgess F. A general formula for the calculation of atomic photo-ionization cross-sections / Burgess F., Seaton M. J. // Mont. Not. Roy. Astr. Soc. 1960. - Vol. 120. - P. 121.

26. Seaton M. J. The quantum defect theory / Seaton M. J. // Rep. Prog. Phys. 1983. - Vol. 46. - P. 167.

27. Simons G. New model potential for pseudopotential calculations / Simons G. // J. Chem. Phys. 1971. — Vol. 55. - P. 756.

28. Method of reduced-added Green function in calculation of atomic / Chernov V. E., Dorofeev D. L., Kretinin I. Y., Zon B. A. // Phys. Rev. A. 2005. - Vol. 71. - P. 022505.

29. Free-free transitions following six-photon ionization of xenon atoms / Agostini P., Fabre F., Manfray G. et al. // Phys. Rev. Lett. — 1979. — Vol. 42.-P. 1127.

30. Делоне H. Б. Нелинейная ионизация атомов лазерным излучением / Делоне Н. Б., Крайнов В. П. — М.: Физматлит, 2001. — С. 320. — ISBN 5-9221-0150-1.

31. Plateau in above threshold ionization spectra / Paulus G. G., Nicklich W., Xu H. et al. // Phys. Rev. Lett. 1994. - Vol. 72. - P. 2851.

32. Атом в лазерном импульсе высокой интенсивности: эффект стабилизации и приближение сильного поля / Волкова Е. А., Попов А. М„ Тихонов М. А., Тихонова О. В. // ЖЭТФ. — 2007. Т. 132. — С. 596.

33. Observation of two-photon above-threshold ionization of rare gases by xuv harmonic photons / Miyamoto N., Kamei M., Yoshitomi D. et al. // Phys. Rev. Lett 2004. - Vol. 93. - P. 083903.

34. Multiphoton ionization of he by using intense high-order harmonics in the soft-x-ray region / Hasegawa H., Takahashi E. J., Nabekawa Y. et al. // Phys. Rev. A. 2005. - Vol. 71. - P. 023407.

35. Nikolopoulos L. A. A. Multiphoton ionization of helium under uv radiation: Role of the harmonics / Nikolopoulos L. A. A., Lambropoulos P. // Phys. Rev. A. 2006. - Vol. 74. - P. 063410.

36. Karule E. Two-photon ionisation of atomic hydrogen simultaneously with one-photon ionisation / Karule E. // J. Phys. B. — 1978. — Vol. 1-1.- P. 441.

37. Klarsfeld S. Klarsfeld s. pade approximants and multiphonon ionisation of atomic hydrogen / Klarsfeld S., Maquet A. I j J. Phys. B. — 1979,- Vol. 12.- P. L553.

38. Fainshtein A. G. Use of coulomb green function for the calculation of above-threshold multiphoton transitions / Fainshtein A. G., Manakov N. L., Marmo S. I. // Phys. Rev. A. 1984. - Vol. 104. - P. 347.

39. Shakeshaft R. A note on the sturmian expansion of the coulomb green's function / Shakeshaft R. // /. Phys. B. 1986. - Vol. 18. -Pp. L611-L616.

40. Karule E. Analytical continuation of the transition matrix elements and multiphoton above-threshold ionisation of atomic hydrogen / Karule E. // J. Phys. B. 1988. - Vol. 21. - P. 1997.

41. Potvliege R. M. High-order above-threshold ionization of hydrogen in perturbation theory / Potvliege R. M., Shakeshaft R. // Phys. Rev. A. 1989. - Vol. 39. - P. 1545.

42. Edwards M. Multiphoton absorption by alkali-metal atoms above the ionization threshold, ii. further results on cs and rb ionization / Edwards M., Tang X., Shakeshaft R. // Phys. Rev. A. — 1987. — Vol. 35. P. 3758.

43. Lambropoulos P. Two-electron atoms in strong fields / Lambropoulos P., Maragakis P., Zhang J. // Phys. Rep. — 1998.— Vol. 305.-Pp. 203-293.

44. Nikolopoulos L. A. A. Multichannel theory of two-photon single and double ionization of helium / Nikolopoulos L. A. A., Lambropoulos P. // /. Phys. B. — 2001. — Vol. 34. Pp. 545-564.

45. Colgan J. Core-excited resonance enhancement in the two-photon complete fragmentation of helium / Colgan J., Pindzola M. S. // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 88. - P. 173002.

46. Feng L. Two-photon double ionization of he / Feng L., van der Hart H. W. // /. Phys. B. 1993. - Vol. 36. - Pp. L1-L7.

47. Proulx D. Two- and excess-photon ionization of helium / Proulx D., Shakeshaft R. 11 J. Phys. B. 1993. - Vol. 26. - Pp. L7-L14.

48. Shakeshaft R. Two-photon single and double ionization of helium / Shakeshaft R. 11 Phys. Rev. A. 2007. - Vol. 76. - P. 063405.

49. Запрягаев С. Л. Теория многозарядных ионов с одним и двумя электронами / Запрягаев С. А., Манаков Н. Л., Пальчиков В. Г. — М.: Энергоиздат, 1985. — С. 144.

50. Manakov N. L. Solution of dirac-coulomb problem in the second-order dirac equation approach / Manakov N. L., Zapriagaev S. A. // Вестник ВГУ. 2000. — Vol. 1. — Pp. 55-77.

51. Simons G. New procedure for generating valence and rydberg or-bitals. i. atomic oscillator strengths / Simons G. // J. Chem. Phys. — 1974.-Vol. 60,- P. 645.

52. Simons G. New procedure for generating valence and rydberg orbitals. ii. atomic photoionization cross sections / Simons G., Martin J. // J. Chem. Phys. 1975. - Vol. 62. - P. 4799.

53. Манаков H. JI. Атомные расчеты по теории возмущений с атомным потенциалом / Манаков Н. Л., Овсянников В. Д., Рапопорт Л. П. // Опт. и спектр. 1975. - Т. 38. — С. 206.

54. Манаков Н. JI. Эффект Штарка на сверхтонкой структуре атомов / Манаков Н. Л., Овсянников В. Д., Рапопорт Л. П. // Опт. и спектр. 1975. - Т. 38. - С. 424.

55. Рапопорт Л. П. Теория многофотонных процессов в атомах / Рапопорт Л. П., Зон Б. А., Манаков Н. Л. — М.: Атомиздат, 1978. — С. 184.

56. Бейкер Дж. Аппроксимации Паде / Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. М.: Мир, 1986. - С. 502.

57. Dynamic polarizabilities of rydberg states of alkali atoms and inert gases / Manakov N. L., Marmo S. I., Sviridov S. A., Vyazovetskov S. Y. // Bull. Amer. Phys. Soc. 2004. - 49. — No. 3. - P. 117.

58. Манаков H. Л. Учет виртуальных состояний непрерывного спектра в двухфотонных надпороговых процессах в атомах / Манаков Н. JL, Мармо С. И., Свиридов С. А. // XXIII Съезд по спектроскопии, Тезисы докладов. Звенигород. — 2005. — С. 129-130.

59. Манаков Н. Л. Метод расчёта многофотонных процессов в атомах: поляризуемости атомов щелочных металлов и благородных газов / Манаков Н. JL, Мармо С. И., Свиридов С. А. // ЖЭТФ. 2007. -Т. 132,- С. 796.

60. Manakov N. L. Above-threshold polarizability of alkali-metal and noble gas atoms / Manakov N. L., Marmo S. I., Sviridov S. A. // 40th European Group for Atomic Systems Conference. Graz, Austria, 2-5 July 2008. Book of abstrats. P. 121.

61. Manakov N. L. Two-photon above-threshold ionization of atoms / Manakov N. L., Marmo S. I., Sviridov S. A. j I Bull. Amer. Phys. Soc. 2006. - 51. - No. 3. - P. 81.

62. Манаков H. Л. Двухфотонная надпороговая ионизация атомов / Манаков Н. Л., Мармо С. И., Свиридов С. А. // XVIII Конференция "Фундаментальная атомная спектроскопия". Звенигород, 22-26 октября 2007. С. 51.

63. Manakov N. L. Two-photon above-threshold ionization by a vuv-light / Manakov N. L., Marmo S. I., Sviridov S. A. // 40th European Group for Atomic Systems Conference. Graz, Austria, 2-5 July 2008. Book of abstrats. P. 120.

64. Манаков H. Л. Метод расчёта многофотонных процессов в атомах: двухфотонная надпороговая ионизация / Манаков Н. «71., Мармо С. И., Свиридов С. А. // ЖЭТФ. 2009. - Т. 135. - С. 639-652.

65. Above-threshold two-photon transitions between bound states of multi-charged hydrogen-like ions / Manakov N. L., Marmo S. I., Sviridov

66. S. A., Zapryagaev S. A. // 14th International Conference on the Physics of Highly Charged Ions. Tokyo, Japan, 1-5 September 2008. Book of abstracts. — Pp. B-dOl.

67. Hostler L. C. Coulomb green's function in f-dimensional space / Hostler L. С. 11J. Math. Phys. 1970. - Vol. 11. - P. 2966.

68. Manakov N. L. Atoms in a laser-field / Manakov N. L., Ovsiannikov V. D., Rapoport L. P. 11 Phys. Rep. 1986. - Vol. 141. - P. 319.

69. Рыжик И. M. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / Рыжик И. М., Градштейн И. С. — М.: Наука, 1971. С. 464.

70. Moore С. Е. Atomic Energy Levels / Moore С. E. — Nat. Bur. Stand. (U.S.) Circ., 1952. Vol. 2. - P. 467.

71. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Бейтмен Г., Эр-дейи А. — М.: Наука, 1973.— Т. 1: Гипергеометрическая функция, функции Лежандра. — С. 296.

72. Варшалович Д. А. Квантовая теория углового момента / Варша-лович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. — Л.: Наука, 1975. С. 439.

73. Манаков Н. Л. Аналитическое продолжение кулоновских функций Грина в область непрерывного спектра / Манаков Н. «71., Мармо С. И., Файнштейн А. Г. // ТМФ. 1984. - Т. 59. - С. 49-57.

74. Манаков Н. Л. Динамические гиперполяризуемости возбужденных состояний водорода / Манаков Н. Л., Мармо С. И., Пронин Е. А. // ЖЭТФ. 2004. - Т. 125. - С. 288.

75. Manakov N. L. The use of a model potential for the calculation of dynamic polarizabilities, dispersion forces and the light shifts of atomic levels / Manakov N. L., Ovsiannikov V. D. // J. Phys. B. — 1977. — Vol. 10. P. 569.

76. Atomic spectra database // national institute of standards and technology. http://physics.nist.gov/PhysRefData/ASD/index. html.

77. Bates D. R. The calculation of the absolute strengths of spectral lines. / Bates D. R., Damgaard A. // Phil. Trans. Roy. Soc. A (London). 1949.-Vol. 242. - P. 101.

78. Liu W. C. High-order nonlinear susceptibilities of helium / Liu W. C. // Phys. Rev. A. 1997. - Vol. 56. - Pp. 4938-4945.

79. Samson J. A. R. Precision measurements of the absolute photoioniza-tion cross sections of he / Samson J. A. R., He Z. X., Haddad G. N. // /. Phys. B. 1994. - Vol. 27. - Pp. 887-898.

80. High-precision calculations of dispersion coefficients, static dipole polarizabilities, and atom-wall interaction constants for alkali-metal atoms / Derevianko A., Johnson W. R., Ovsiannikov V. D. et al. // Phys. Rev. A. 1999. - Vol. 30. - P. 986.

81. Эффекты тонкой структуры в релятивистских расчетах статической поляризуемости атома гелия / Деревянко А, Джонсон В. Р., Овсянников В. Д. и др. // ЖЭТФ. 1999. - Т. 115. - С. 494.

82. Nikolopoulos L. A. A. Helium double ionization signals under soft-x-ray coherent radiation / Nikolopoulos L. A. A., Lambropoulos P. // /. Phys. B. 2006. - Vol. 39. - Pp. 883-893.

83. Фано У. Спектральные распределения сил осцилляторов / Фано У., Купер Дж. М.: Наука, 1972. - С. 200.

84. Манаков Н. Л. Динамическая поляризуемость и рассеяние высокочастотного излучения водородоподобными атомами / Манаков Н. Л., Свиридов В. А., Файнштейн А. Г. // ЖЭТФ.- 1989.Т. 95. С. 790-799.

85. Fink М. G. J. Low-energy photoionization of alkali-metal atoms: Relativistic random-phase-approximation calculations / Fink M. G. J., Johnson W. R. // Phys. Rev. A. 1986. - Vol. 34. - Pp. 3754-3759.

86. Marr G. V. The photoionization absorption continua for alkali metal vapours / Marr G. V., Creek D. M. I j Proc. R. Soc. A. — 1968. -Vol. 304. Pp. 233-244.

87. Манаков H. Л. Нелинейные восприимчивости в области частот выше порога ионизации / Манаков Н. Л., Мармо С. И., Файнштейн А. Г. // ЖЭТФ. 1986. - Т. 91. - С. 51.

88. Reinhardt W. P. Complex coordinates in the theory of atomic and molecular-structure and dynamics / Reinhardt W. P. // Ann. Rev. Phys. Chem. 1982. - Vol. 33. - Pp. 233-255.

89. Junker B. R. Recent computational developments in the use of complex scaling in resonance phenomena / Junker B. R. // Adv. At. Mol. Phys. 1982. - Vol. 18. - Pp. 207-263.

90. Elliptic dichroism and angular distribution of electrons in two-photon ionization of atoms / Manakov N. L., Maquet A., Marmo S. I. et al. // /. Phys. B. 1999. - Vol. 32. - Pp. 3747-3767.

91. Multiphoton detachment of a negative ion by an elliptically polarized, monochromatic laser field / Manakov N. L., Frolov M. V., Borca В., Starace A. F. // /. Phys. B. 2003. - Vol. 36. - Pp. R49-R124.

92. The use of a model potential for the calculation of atoms multiphoton ionization probabilities / Manakov N. L., Ovsiannikov V. D., Preo-bragenski M. A., Rapoport L. P. // J. Phys. B. 1978. — Vol. 11. -P. 245.

93. Ishikawa K. L. / Ishikawa K. L. // unpublished.

94. Saenz A. Theoretical two-, three- and four-photon ionization cross sections of helium in the xuv range / Saenz A., Lambropoulos P. // J. Phys. B. 1999. - Vol. 32. - Pp. 5629-5637.

95. Lambropoulos P. Multiphoton ionization of one-electron atoms with circularly polarized light / Lambropoulos P. // Phys. Rev. Lett. — 1972.-Vol. 28.-P. 585.

96. Deng Z. Effect of coherent continuum-continuum relaxation and saturation in multiphoton ionization / Deng Z., Eberly J. H. // Phys. Rev. Lett. 1984. - Vol. 53. - P. 1810.

97. Nakajiima T. / Nakajiima T. // unpublished.

98. Wang Z. M. Determination of cross sections and continuum phases of rubidium through complete measurements of atomic multiphoton ionization / Wang Z. M., Elliot D. S. // Phys. Rev. Lett. — 2000. -Vol. 84. Pp. 3795-3798.

99. Threshold effects on angular distributions for multiphoton detachment by intense elliptically polarized light / Borca В., Frolov M. V., Manakov N. L„ Starace A. F. // Phys. Rev. Lett. — 2001. Vol. 87. -P. 133001(4).

100. Келдыш Л. В. Ионизация в поле сильной электромагнитной волны / Келдыш Л. В. // ЖЭТФ. 1964. - Т. 47. - С. 1945.

101. Coulomb asymmetry in above-threshold ionization / Goreslavski S. P., Paulus G. G., Popruzhenko S. V., Shvetsov-Shilovski N. I. // Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 93. - P. 233002(4).

102. Браун M. А.Дмитриев Ю. Ю.Лабзовский Л. H. Релятивистская теория тяжелого атома / Браун ,М. А.Дмитриев Ю. Ю.Лабзовский Л. Н. // ЖЭТФ. 1969. - Т. 57. - С. 2187-2189.

103. Ахиезер А. И. Квантовая электродинамика / Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. — М.: Наука, 1981. — С. 426.

104. Ландау Л. Д. Квантовая механика / Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. М.: Физматлит, 2004. - С. 800. - ISBN 5-9221-0530-2.

105. Лабзовский Л. Н. Теория атома. Квантовая электродинамика электронных оболочек и процессы излучения / Лабзовский Л. Н. — М.: Наука. Физматлит, 1996. С. 304. - ISBN 5-02-015016-9.

106. Yakhontov V. Relativistic linear responsewave functions and dynamic scattering tensor for the nsy2 states in hydrogenlike atoms / Yakhontov V. // Phys. Rev. Lett. 2003. - Vol. 91. - P. 093001.

107. Szmytkowski R. Dynamic polarizability of the relativistic hydrogenlike atom: Application of the sturmian expansion of the dirac-coulomb green function / Szmytkowski R. // Phys. Rev. A.— 2001.— Vol. 65,- P. 012503.

108. Korol A. V. New method for the polarizational bremsstrahlung calculation / Korol A. V. // /. Phys. B. 1995. - Vol. 28. - P. 3873.

109. Двухфотонные тормозные процессы в атомах: поляризационные эффекты и аналитические результаты для кулоновского потенциала /

110. Крыловецкий А. А., Манаков Н. JL, Мармо С. И., Старас А. Ф. // ЖЭТФ. 2002. - Т. 122. - С. 1168.

111. Алексии Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов / Алексин Г. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 360.

112. Головешкин В. А. Теория рекурсии для программистов / Головеш-кин В. А., Ульянов М. В. — М.: Физматлит, 2006. — С. 296.

113. Янке Е. Специальные функции / Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф.— М.: Наука, 1964.- С. 344.