Многофотонные переходы в кулоновском континууме тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Мармо Сергей Иванович

Многофотонные переходы в кулоновском континууме

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Воронеж 2006

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Воронежского государственного университета.

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Н.Л. Манаков

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор С. Г. Кадменский

доктор физико-математических наук, профессор А.М. Попов

доктор физико-математических наук, профессор М.В. Федоров

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита диссертации состоится " 16 " ноября 2006 г. в 1540 часов на засе-. дании диссертационного совета Д 212.038.06 при Воронежском государствен-" ном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " Р " октября 2006 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы

Нелинейное взаимодействие электромагнитного излучения с атомными системами представляет очевидный интерес и составляет важный раздел современной атомной физики. Систематическое изучение многофотонных процессов началось с середины 1960-х гг. после создания источников излучения, в которых достигались напряженности полей Е, хотя и меньшие внутриатомных (Рат и5х 109 В/см), но достаточные для проявления эффектов, нелинейных по интенсивности излучения. Исследования взаимодействия лазерного излучения с изолированными атомными системами в области полей Р -^ат имеет фундаментальное значение и в настоящее время. Ограничение умеренной (по современной терминологии) интенсивностью светового поля используется в большинстве экспериментов в лазерной спектроскопии, дает возможность изучать разнообразные фотопроцессы, не подавленные распадом атомной системы под действием поля, а в теории — существенно продвинуться в их аналитическом описании.

Актуальной проблемой физики взаимодействия лазерного излучения с атомарными газами является исследование надпороговых процессов, в которых энергия фотона превышает энергию связи валентных электронов атома. Существенный прогресс в лазерной технике, позволяющий использовать в экспериментах лазерное излучение высокой частоты (высокие гармоники оптических лазеров, лазеры на свободных электронах) и исследования рид-берговских состояний атомов (для которых уже энергии фотонов оптических лазеров значительно превышают энергию связи валентных электронов) делают необходимым знание параметров взаимодействия электромагнитной волны с атомами при надпороговых частотах. В развитии методов расчета многофотонных процессов в "непрерывном спектре" атомов (водородного атома и сложных атомов в одноэлектронном приближении), в которых принципиально важную роль играют переходы через состояния атомного континуума, состоит одна из задач, решаемых в диссертации. При этом для процессов высших порядков расчетные методы могут быть только численными, а для двухфотонных процессов в кулоновском поле оказывается возможным аналитический расчет сечений через известные специальные функции. Аналитически решаемые кулоновские задачи, как известно, играют исключительную роль в исследовании взаимодействия излучения с атомами. Так, в классической спектроскопии теоретической основой для анализа сил осцилляторов

и сечений однофотонных процессов служат известные формулы Гордона для матричных элементов дипольных переходов между состояниями водородного атома с произвольными значениями главных квантовых чисел п и п'. В физике излучения ту же роль играет формула Зоммерфельда для сечения тормозного излучения при рассеянии электрона на кулоновском центре. Изучение многофотонных процессов принципиально усложняется необходимостью расчета сумм по промежуточным состояниям и существенной (резонансной и пороговой) зависимостью сечений от новой переменной — частоты и внешнего монохроматического излучения. Поэтому, несмотря на детальное развитие теоретического аппарата (использование явных выражений функций Грина, различных модификаций метода интегрирования неоднородных дифференциальных уравнений для поправочной функции 1-го порядка нестационарной теории возмущений, алгебраических подходов на основе 0(4)-симметрии. кулоновской задачи и др.) и обширную литературу (около сотни статей), до недавнего времени не было найдено замкнутых аналитических выражений для амплитуд двухфотонных переходов (для которых, по-видимому, только и возможны обобщения формул Гордона и Зоммерфельда через известные специальные функции) между произвольными состояниями водородоподоб-ного атома, которые позволяли бы максимально просто провести подроб; ное аналитическое исследование и численные расчеты сечений двухфотонных процессов. Полученные в диссертации двухфотонные формулы Гордона и Зоммерфельда содержат исчерпывающую "атомную" информацию, необходимую практически для любых задач двухфотонной (в том числе поляризационной) спектроскопии произвольных (включая ридберговские) водоро-доподобных состояний, а также служат основой для построения и проверки решений в более сложных случаях.

За последнее десятилетие существенно возрос уровень экспериментов в атомной физике, что дало возможность детального экспериментального исследования угловых распределений в реакциях с участием поляризованных частиц (атомных мишеней, фотонов, электронов). Эти данные позволяют получать новую важную информацию как о структуре атомов, так и динамике различных физических (в том числе и многофотонных) процессов. Ясно, что учет поляризации вносит дополнительные векторы в задачу и усложняет угловые зависимости в сечениях процессов. Общий подход к изучению угловых распределений дает квантовая теория углового момента, однако применение её стандартных методов приводит к тому, что в сечениях процессов возникают громоздкие конструкции из тензорных произведений сферических функ-

ций, зависящих от угловых переменных векторов задачи. Такая форма представления результатов затрудняет анализ поляризационно-угловых распределений, поэтому проводимое в диссертации развитие методов, позволяющих выразить геометрические факторы в сечениях через обычные скалярные и смешанные произведения векторов задачи и получить простые параметризации угловых распределений для различных фотопроцессов, имеет несомненную ценность.

Цели исследования

Целью диссертации является развитие новых методов в теории многофотонных процессов в атомах и получение на их основе новых конкретных результатов. Для этого в диссертации решаются следующие задачи:

1. Разработка эффективных методов аналитических и численных расчетов многофотонных процессов, применимых в широкой области частот электромагнитного поля.

2. Развитие специальной техники в квантовой теории углового момента для исследования поляризационно-угловых зависимостей в атомных фотопроцессах.

3. Вывод максимально простых аналитических выражений для амплитуд двухфотонных связанно-связанных, связанно-свободных и свободно-свободных переходов в кулоновском поле.

4. Расчет нелинейных атомных восприимчивостей при частотах, превышающих порог ионизации.

5. Исследование поляризационных эффектов и угловых распределений в атомном фотоэффекте и многофотонной (в том числе надпороговой) ионизации атомов.

6. Исследование энергетических, угловых и поляризационных зависимостей дифференциальных сечений двухфотонных тормозных процессов в атомах.

Научная новизна и значимость работы

Диссертация содержит ряд новых результатов в теории взаимодействия атомных систем с электромагнитным полем, наиболее существенными из которых являются:

• Новый метод аналитического продолжения амплитуд многофотонных переходов на область непрерывного спектра энергий промежуточных состояний.

• Новый подход к исследованию поляризационно-угловых распределений, дополняющий известные методы квантовой теории углового момента.

• Каноническая форма для амплитуды кулоновских двухфотонных переходов и полученные на её основе новые аналитические и численные результаты для сечений двухфотонных процессов в кулоновском поле.

• Впервые полученные количественные результаты для нелинейных вос-приимчивостей атомов в области высоких частот.

• Предсказание эффектов циркулярного и эллиптического дихроизма в процессах тормозного излучения и поглощения и количественные данные для величины указанных эффектов.

Тема диссертации входит в план научно-исследовательских работ Воронежского госуниверситета и была поддержана грантами РФФИ №№ 96-0216251, 98-02-16111, 00-02-17843, 04-02-16350, Конкурсного центра фундамент талыюго естествознания №№ 97-0-5.2-12, Е00-3.2-515, Е02-3.1-115, программы "Университеты России" №№ 3639, 015.01.01.11, а также грантом № Уг-ОЮ-О. совместной программы С1ШР и Министерства образования России "Фундаментальные исследования и высшее образование".

Основные положения, выносимые на защиту

1. Обобщенные штурмовские разложения кулоновской функции Грина (КФГ) и функции Грина для сложных атомов в рамках одночастичного метода модельного потенциала (ММП) Фьюса в виде рядов по полиномам Лагерра со свободными параметрами и способ аналитического продолжения матричных элементов высоких порядков на область непрерывного спектра энергий промежуточных состояний.

2. Методика численных расчетов многофотонных надпороговых процессов, основанная на обобщенных штурмовских разложениях функций Грина, специальном выборе свободных параметров на основе аналитического исследования сходимости рядов для матричных элементов и устойчивых (не приводящих к потере точности) рекурсивных алгоритмов суммирования рядов.

3. Техника исследования поляризационно-угловых распределений, основанная на редукции биполярных гармоник и позволяющая в явном виде разделять геометрические и динамические факторы в сечениях процессов со свободными и поляризованными частицами.

4. Количественное исследование эффектов дихроизма в многофотонной ионизации атомов и в тормозных процессах.

5. Канонические выражения для амплитуд двухфотонных переходов в дискретном и непрерывном спектре водородного атома (двухфотонные формулы Гордона и Зоммерфельда) и полученные на их основе новые аналитические и численные результаты для двухфотонных кулоновских процессов.

Практическая значимость работы

1. Разработанный метод расчета составных матричных элементов позволяет исследовать воздействие интенсивного высокочастотного поля на атомы (для нерелятивистской и релятивистской кулоновской задачи и для сложных атомов в рамках ММП Фьюса), а также применим в других задачах атомной физики, например, в теории ван-дер-ваальсового взаимодействия атомов.

2. Математическая техника, развитая для исследования угловых распределений в процессах с поляризованными частицами, имеет общий характер и может быть использована во всех задачах, в которых применяются стандартные методы квантовой теории углового момента, основанные на мультиполь-ных разложениях и теореме Вигнера-Эккарта.

3. Полученные универсальные аналитические выражения для амплитуд двухфотонных переходов в кулоновском потенциале существенно упрощают исследование двухфотонных процессов в дискретном и непрерывном спектре и могут быть использованы в задачах двухфотонной (в том числе, поляризационной) спектроскопии водородоподобного атома, включая переходы между ридберговскими состояниями.

4. Полученные в диссертации результаты по тормозным процессам могут быть использованы для изучения взаимодействия электромагнитного поля с ионизированной средой, в частности, для расчета излучательных потерь в плазме, а также для планирования поляризационных экспериментов по тормозному излучению и поглощению.

5. Полученные в диссертации строгие результаты для атомных характеристик, описывающих различные процессы (эффект Штарка в интенсивном по-

ле, многофотонную надпороговую ионизацию, тормозное излучение), позволили определить точность применявшихся ранее приближений, подтвердить корректность одних и показать ошибочность других.

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертации докладывались на VII, VIII, IX и XI Всесоюзных конференциях по теории атомов и атомных спектров (Тбилиси, 1981; Минск, 1983; Ужгород, 1985; Томск, 1989); IX и XI Всесоюзных конференциях по физике электронных и атомных столкновений (Рига, 1984; Чебоксары, 1991); IV European Conference on Atomic a Molecular Physic (Riga, Latvia, 1992); V International Workshop "Autoinization Phenomena in Atoms" (Dubna, 1995); XIV, XV и XVI Международных конференциях по когерентной и нелинейной оптике (Ленинград, 1991; Санкт-Петербург, 1995; Москва, 1998); III и IV Семинарах по атомной спектроскопии (Москва, 1992, 1993); XXI, XXII и XXIII Съездах по спектроскопии (Звенигород, 1995, 2001, 2005); XV, XVI и XVII Конференциях "Фундаментальная атомная спектроскопия" (Звенигород, 1996, 1998, 2003); 6 European Conference on Atomic and Molecular Physics (Italy, 1998); 7 International Workshop on Laser Physics (Berlin, 1998); XI International Laser Physics Workshop (Bratislava, Slovakia, 2002); 34 Conference of European Group on Atomic Spectroscopy (Bellaterra, Spain, 1994); на конференциях Отделения атомной, молекулярной и оптической физики Американского физического общества (DAMOP 1998, 2000, 2004, 2005, 2006); XXIV International Conference on Photonic, Electronic and Atomic Collisions (Rosario, Argentina, 2005), а также на семинарах кафедры теоретической физики ВГУ и семинарах НОЦ-Ю "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах".

Публикации

По теме диссертации опубликовано более 70 печатных работ, в том числе 25 статей в реферируемых научных журналах.

Личный вклад автора

Автором лично получены все основные результаты диссертации, проведен их анализ, разработаны вычислительные алгоритмы и проведены конкретные расчеты.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Общий объем диссертации составляет 341 страницу машинописного текста, включая 20 таблиц и 36 рисунков, а также список цитируемой литературы из 258 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во Введении представлен краткий литературный обзор исследований, имеющих отношение к теме диссертации, формулируются основные задачи диссертации и приводится краткое содержание ее глав.

Анализ атомных фотопроцессов, протекающих в полях умеренной интенсивности, основан на использовании теории возмущений по взаимодействию атома с полем световой волны. В рамках теории возмущений вероятности многофотонных процессов выражаются через матричные элементы соответствующих переходов между начальным и конечным состояниями атома. Наиболее удобный способ учета сумм по промежуточным состояниям в расчётах указанных матричных элементов дает аппарат функций Грина. Если начальное и/или конечное состояния атома имеют определенный орбитальный момент, то исходные выражения для матричных элементов упрощаются с использованием стандартных методов квантовой теории углового момента и задача сводится к вычислению их радиальной части

(для определенности полагаем здесь взаимодействие дипольным и используем "форму длины" для матричных элементов). Исключительная роль куло-новского потенциала состоит в возможности аналитического интегрирования по радиальным переменным в М^р (в простейшем случае двухфотонных процессов для них удается получить замкнутые аналитические выражения). Обычно при этом используется разложение радиальной кулоновской функции Грина (КФГ) gl(E;r,r') по функциям Штурма 5ы кулоновской задачи:

М)Т = </| (Щ + Йо^-О ... г&1 № + Гйл)г |г) . (1)

(2)

где

Зы(2г/и) = - (2техр{-г/и) Ь^\2т/и)

(3)

Ь° - обобщенный полином Лагерра, и = (—2Е — гО)"1/2, г\ = Zv. Однако непосредственное применение штурмовского разложения (2) ограничено значениями частот, при которых энергетические параметры всех функций Грина в М{/Р лежат в области дискретного спектра (в нерелятивистском случае — отрицательны).

В главе 1 введены новые представления КФГ (и функции Грина для оптического электрона в сложном атоме в приближении модельного потенциала Фьюса), которые применимы как для аналитических вычислений, так и для численных расчетов в области надпороговых частот. В разделе 1.1 получено обобщенное штурмовское разложение КФГ в виде двойного ряда по функциям Зы(2г/а):

оо

г, г') = ]Г ¿кк,{и- а, а') 5Ы(2г/а) Б^г'/а') , (4)

к,*'=О

параметры а, а' в котором являются произвольными (свободными). Идея вывода основана на свойстве полноты штурмовских функций с масштабированным аргументом я явные выражения для ядра ¿кк, получены в разделе 1.1.1 с использованием штурмовского разложения (2). Коэффициенты ¿ш при а! а представляют собой конечную сумму произведений гипергеометрических функций Гаусса 2-^1 и Аппеля ^ и упрощаются при а' — а:

«) - г(2ТТ2) ^ ^ {~к<> +

(а2 - к> к>\ 2+ 1,к> + 21 + 2;к> + 1 + 2-г); г'1) Х\ 4аи ) (1 + 1-П)к>+1 ' (5]

где к< = тт{^Д'}, = тах{&,&'}, 2 = —4аи/(а — и)2. Факторизованная зависимость от г, г' и энергии Е и наличие свободных параметров придает большую гибкость разложению (4) как в конкретных вычислениях, так и при рассмотрении общих вопросов. В разделе 1.1.2 получено разложение g^(E;r,r') на резонансную (содержащую полюсы при Е — Еп, которые соответствуют резонансам на уровнях дискретного спектра) и потенциальную (гладко зависящую от Е) части:

&(Е; г, г') = ¿Г (£?; г, г') + £*(Е-, г, г') . (6)

Найдены явные выражения для и и проверено, что вычет резонансной части £ез = Еём"<$*г(2г/а)5м(2:гУа) в (6) при Е = Еп равен произведению соответствующих радиальных волновых функций.

В разделе 1.2 предложено еще одно представление КФГ со свободными параметрами

gi(E; г, г') = v exp (r/v — г/а — г'/и + г'/а) х

• которое следует из (2), если разложить одну из штурмовских функций в ряд

оо

Ski(2г/v) = е~а т J2 Cnk (a, a')Snl(2r/a) (8)

п=О

и оставить один свободный параметр, положив о= 1/а — 1/гл Внутренняя сумма в (7) является конечной, а её слагаемые не зависят от индекса суммирования п, поэтому численные расчеты с КФГ (7), несмотря на её несимметричную форму, технически не сложнее, чем со штурмовским разложением (2).

Представления (4), (7) являются обобщениями стандартного штурмовско-го разложения (2) и переходят в него: (4) при значениях свободных параметр ров а = а' = v, а (7) при а — v.

Из обобщенных штурмовских разложений нерелятивистской КФГ (4), (7) при замене орбитального числа I на нецелое значение A¡ следуют соответствующие представления функции Грина в методе модельного потенциала Фьюса, а также радиальная часть функции Грина квадрированного уравнения Дирака с кулоновским потенциалом.

В разделе 1.3 исследуется сходимость рядов гипергеометрических функций, через которые выражаются матричные элементы М^ в (1) при использовании функций Грина в виде (4) или (7). Найдены асимптотические выражения далеких членов ряда (для чего потребовалось, в частности, найти неизвестные ранее асимптотики гипергеометрических функций 2-F1 и F2), которые имеют элементарный вид и позволяют исследовать зависимость сходимости от свободных параметров. Показано, что в случае связанно-связанных переходов при использовании представлений КФГ в форме (4) и (7) выбором свободных параметров удается обеспечить сходимость при любых значениях энергий функций Грина. Этот вывод справедлив и для матричных элементов, рассчитанных по ММП. В кулоновском случае удается также добиться сходимости Мjf'-рядов для связанно-свободных переходов, соответствующих многофотонной надпороговой ионизации. Наличие явных выражений

■ для асимптотик общих членов Mj^-рядов позволило разработать алгоритм выбора свободных параметров, обеспечивающих их быструю сходимость, который был реализован при вычислениях.

В главе 2 новое представление КФГ (4) использовано для аналитического расчета амплитуд связанно-связанных и связанно-свободных двухфотонных переходов в атоме водорода из произвольного начального состояния \nl). В разделе 2.1 дан обзор результатов сорокалетней истории решения этой задачи. В разделе 2.2 получены компактные аналитические формулы для двухфотонных радиальных матричных элементов в "форме скорости"

Мg,(n, п', Е) = (n'Z'| D(l\ L)gL(E)D(L, I) |nl) , (9)

(где D(h, h) = d/dr + (sgn(?2 — ¿i)max(Zi, l2) + 1 )/r), которые представляют их в канонически простом (насколько это возможно в столь общем случае) виде и обобщают на двухфотонный случай известные однофотонные формулы Гордона. Их удается рассчитать, положив в (4) (при Z = 1) а = п, а' = п'. В результате Mf},(n, п', Е) представляются линейной комбинацией 4 величин Skk- = SkAE>n'n')> например:

М

Ann'

Х {¿d-\,d'-l ~ f=d+l,d'-l ~~~ ¿d-14'+l + ßdTl,d'+l) ! (10)

где d= п — 1, <Л — п' — I. Обратим внимание на своеобразие расчетов с обобщенным штурмовским разложением (4): вся энергетическая зависимость функции Грина (а следовательно, и частотная зависимость матричных элементов) содержится в ¿кк,{Е\ п, п'), которые заранее известны. Интегрирование же по радиальным переменным позволяет лишь определить зависящие от квантовых чисел п, I, п', V рациональные коэффициенты при ¿кк, в формулах типа (10).

В разделе 2.3 с помощью аналитического продолжения по энергии конечного состояния, которое сводится к замене п' —+ iZ¡p и выбору правильной ветви многозначной функции в выражении для амплитуды, найдены двухфо-тонные формулы Гордона для связанно-свободных переходов. Таким образом, матричные элементы двухфотонных переходов в континуум \п1) —► \Е1') также представляются в виде линейной комбинации не более четырех коэффициентов разложения (4) (с учетом замены п' —+ iZ/p в них).

В разделе 2.4 с использованием обобщенного штурмовского разложения КФГ получены аналитические выражения для поляризуемостей произволь-

ных водородных состояний, по-существу, столь же простые, как поляризуемость основного состояния.

В разделе 2.4.1 получены точные аналитические результаты для компонент тензора поляризуемости. Спецификой кулоновской задачи является вырождение уровней энергии по I, причем уже двухфотонный матричный элемент между состояниями \rilm) и \п1'т) с V — I ± 2 отличен от нуля. Как известно, по этой причине даже в случае линейной или циркулярной поляризации волны возмущение спектра возбужденных состояний определяется секулярным уравнением с матрицей

Я1 = -\р2 (т'т\ {(с* • г)(Звп+ы+^о(е ■ г) + (е • - г)} \nlrn) .

(«)

Зависимое Ятт от магнитного числа т отделяется методами квантовой теории углового момента, н; мер, при циркулярной поляризации (£ = ±1) диагональные по 1,1' матричные элементы имеют вид:

О11 = --.Р2

чтт ^

з/ л + а, лт </ лЗт2 — 1(1+ 1)

(12)

Скалярная (а5), векторная (аа) и тензорная (а4) поляризуемости, а также "недиагональная" поляризуемость /?П£<=!±2, определяющая элемент штарков-ской матрицы <3тт±2> выражаются через радиальные матричные элементы (9) с п' = п. В этом случае общие формулы для Мц, ((10) и аналогичные ей) существенно упрощаются и поляризуемости выражаются через произведения известных полиномов Полачека р'к и функций Полачека <з£г. Использование тех же свойств р1к и др, что и при разделении gí на резонансную и потенциальную части (6), позволило установить универсальную структуру поляризуемостей а^'"'4. Каждая из них содержит функцию

2Гг(1,2т + 2; т + 2 - 77; г'1), г = - ^^ (13)

(где т = I ± 1, г = —4пг}/(п — 77)2, 77 = п/^/1 ш — гО) и полиномиальные функции от Со — и/\Еп\, которые входят в мультипликативно и аддитивно по отношению к (13). Предложен простой алгоритм аналитических компьютерных вычислений и в качестве примера приводятся явные выражения полиномов для состояний с главным квантовым числом п < 4.

В разделе 2.4.2 исследованы асимптотики поляризуемости в ридбергов-ской, припороговой, низкочастотной и высокочастотной областях. В частности, ридберговская (п>1) асимптотика, справедливая при любых частотах,

. получена из найденных выше аналитических выражений для поляризуемости и представляет собой комбинацию произведений вырожденных гипергеометрических функций Ф и Ф. Согласие точных и асимптотических результатов в ридберговской области иллюстрирует рис. 1.

В разделе 2.5 с использованием полученных компактных аналитических выражений для поляризуемостей выполнен численный расчет штарковско-го сдвига и уширения уровней п-оболочки водородного атома в линейно-поляризованном поле. Проведено сравнение с ранее известными результатами и проанализировано влияние перемешивания /-подуровней на штарковский сдвиг.

В разделе 2.6 рассчитываются поляризуемости атомов щелочных металлов при надпороговых частотах в рамках ММП Фьюса. Хотя в этом случае и не удается получить замкнутое аналитическое выражение для поляризуемости, однако обобщенное штурмовское разложение позволяет обеспечить сходимость ряда и вычислять поляризуемость в любом диапазоне частот.

В главе 3 проведено исследование нелинейных восприимчивостей атомов, определяемых как коэффициенты разложения дипольного момента атома, индуцируемого внешними полями, по степеням напряженности этих полей. При учете второго неисчезающего (четвертого) порядка по напряженности электрического поля Р наряду с линейной восприимчивостью (поляризуемостью) а возникают нелинейные восприимчивости /3 и 7, которые определяют рассеяние излучения на утроенной частоте и линейные по интенсивности волны поправки к рэлеевскому рассеянию. В техническом отношении основную трудность при расчете /3(ш) и составляет вычисление матричных элементов четвертого порядка Подчеркнем, что в высших порядках

теории возмущений особенно существенен корректный учет вклада промежуточных состояний континуума в многофотонные матричные элементы. В диссертации показано, что пренебрежение состояниями непрерывного спектра при расчете дипольных матричных элементов М^- с N > 4 приводит к расходящемуся результату. Поэтому часто используемое приближение, основанное на учете в спектральном разложении только состояний дискретного спектра, в нерезонансных ситуациях является некорректным.

В разделе 3.1 представлены результаты вычислений /3 и 7, в том числе в надпороговой области частот. Для этих вычислений было использовано как разложение функции Грина (4), так и (7), показавшие примерно одинаковую эффективность. Данные о дисперсионной зависимости восприимчивости /3 для атомов водорода и цезия, в том числе за порогом трёх-, двух- и однофо-

Рис, 1. Зависимость скалярной поляризуемости состояний с п — 3 (а) и п = 10 (Ь), 1 = 0, вычисленная по точной формуле (1) и по асимптотической формуле для ридберговской (п 1) области. Резонансные частоты показаны вертикальными пунктирными линиями с указанием главного квантового числа соответствующего резонансного уровня: Масштаб по вертикальной оси указан в каждом межрезонансном промежутке. На рис. (Ь) в двух последних межрезонансных промежутках кривые (1) и (2) совпадают. .

тонной ионизации, приведены в разделе 3.1.1. Отмечено быстрое убывание /3 при высоких частотах.

Поляризуемость а и гиперполяризуемость 7 могут быть определены также как коэффициенты в разложении квазиэнергии атомных состояний по степеням F:

Е = Е(0> - \qF2 - i7-F4 + - , (14)

4 8

причем такое определение 7 (ш) сохраняет смысл при частотах, превышающих порог однофотонной ионизации, из > когда определение через диполь-ный момент приводит к расходящемуся значению 7. В разделах 3.1.2, 3.1.3 проведен расчет гиперполяризуемостей основного и возбужденных состояний атома водорода в широком диапазоне частоты поля и>, включая область надпороговых частот и> !S> |-Еп|- Обсуждается частотная зависимость 7, различия для случаев линейной и циркулярной поляризации поля и соотношение между вещественными и мнимыми частями, определяющими поправки ~ F4 к положению и ширине уровней. На примере п = 5 показана существенная роль перемешивания состояний | nlm) с различными I лазерным полем в области резонансов на промежуточных связанных состояниях. Расчет 7 при надпороговых частотах позволил исследовать линейные по интенсивности волны поправки к сечению фотоионизации возбужденных состояний, которые определяются мнимой частью 7 и получить оценки пороговой интенсивности, соответствующей началу стабилизации атомных уровней. Для состояний п = 5 эти оценки согласуются с полученными в экспериментах с водородоподобными 5<?-состояниями неона (N.J. van Drutten [et el], Phys. Rev. A. 55, 622 (1997)). На рис. 2 показана зависимость вероятности однофотонной ионизации W от F (с учетом членов ~ F4) при частоте оз = 4|£,ri=s| = 2.168 eV для каждого из пяти возможных состояний с п = 5, т = 0. Два из пяти |п = 5, т — 0)- состояний демонстрируют тенденцию к стабилизации. Для уточнения оценки пороговой интенсивности стабилизации Ithr был проведен также расчет поправки Е^ ~ F6 к квазиэнергии (см. (14)), который показывает, что для ряда состояний в надпороговой области существуют интервалы частот, в которых и поправка четвертого, и поправка шестого порядка к вероятности ионизации отрицательны (—21 тЕ^ < 0, —21т Е^ < 0), что понижает оценку пороговой интенсивности Ithr-

В разделе 3.2 исследованы эффекты, связанные с одновременным действием на атом постоянного магнитного поля с индукцией В и переменного

0.02

0.015

з

3

| 0.01

0.005

0

о

0.0005

0.001

0.0015

р ,аи.

Рис. 2. Зависимость от .Р2 полной вероятности ионизации ]Упт = —21т {Е&) + Е^} = У/^ + И^1-3) + ЦГЮ (в ат. ед.) смешанных по орбитальному моменту I состояний [п = 5, т = 0) в линейно-поляризованном поле с частотой ш = 4\Еп=$\ — 2.168 эВ. Символами (е) и (о) указаны четные и нечетные состояния

электрического поля Г. Уровни квазиэнергии,

в этом случае определяются магнитоэлектрическими восприимчивостями 7 Проведен расчет частотной зависимости восприимчивости 722 при произвольной ориентации векторов Г и В. Для случая статического поля Г вычислены также восприимчивости 742, 724- При частоте и) поля Г, превышающей порог ионизации, восприимчивости становятся комплексными, при этом мнимая часть определяет поправку к сечению фотоионизации, обусловленную наличием магнитного поля. Для основных состояний атома водорода и щелочных металлов рассчитаны численные значения восприимчивостей в широком интервале частот и> и проанализировано влияние магнитного поля на сечение фотоионизации.

В главе 4 рассматриваются различные процессы ионизации атомов.

В задачах со свободными и поляризованными частицами (ионизация, рассеяние, излучение и т.п.) фундаментальную роль играет исследование угловых распределений и поляризационных зависимостей. Методами квантовой теории углового момента и техники неприводимых тензорных операторов удается представить амплитуды и сечения таких процессов через тензорные произведения сферических функций У(п;), где П2, п2,... — вектора задачи. Такое представление хотя и позволяет рассчитывать численные значения амплитуд, является громоздким и затрудняет анализ поляризационно-угловых распределений. В то же время из общих соображений ясно, что сечения про-

Е = Е® + £ 7ыРк(аВ)п, а = 1/137,

цессов могут быть выражены через обычные скалярные и смешанные произведения векторов п;, точнее в форме суммы произведений динамических и кинематических частей (атомных параметров и поляризационно-угловых комбинаций). В разделе 4.1 предложены математические средства, позволяющие преобразовывать сечения процессов к форме с разделенными динамическими и кинематическими факторами, в которой последние записываются через обычные скалярные и смешанные произведения векторов задачи щ. Основу такой техники составляет упрощение биполярных гармоник, т.е. тензорных произведений

У"м(п,п') = {Жп) ® *Яп')}хм = £ С£%т,У1т(п)УРгя,(п'). (15)

т,тп.'

Биполярные гармоники У[1м с большими внутренними рангами I, V удается представить в виде конечной комбинации "минимальных" гармоник У^-к+Х"(п\ п) с Ар < к ^ Ь (где Хр = 0 при четных I + I' — Ь и Ар = 1 при нечетных I + V — Ь). Для примера, одна из таких формул имеет вид

= „*»г (и)

где р[к\х) = (1кР1{х)/йхк — к-т&я производная полинома Лежандра Р\{х), х = п • п'. Редукция биполярных гармоник играет решающую роль при упрощении тензорных конструкций в амплитудах процессов и приведении их к инвариантному векторному (а не тензорному) виду.

В разделе 4.2 развитая техника применяется к расчету поляризационно-угловой структуры сечения однофотонной двухэлектронной ионизации атома. В общем случае сечение включает пять слагаемых, угловые комбинаций в которых установлены из общего феноменологического анализа в разделе 4.2.1, а в разделе 4.2.2 найдены атомные параметры а 1-5 в виде рядов по производным полиномов Лежандра {х = П1 • Пг, где 111,112 —

единичные векторы вдоль направлений импульсов фотоэлектронов), коэффициенты в которых зависят от приведенных матричных элементов оператора дипольного момента. Одно из слагаемых в сечении, £о"1к ■ [п1 х Пг] (к — единичный вектор в направлении распространения волны), зависит от знака степени циркулярной поляризации падающей волны, т.е. описывает эффект циркулярного дихроизма (ЦД). В разделе 4.3 исследована двухфотон-ная ионизация атомов из состояния с произвольным полным моментом ./¿. Общий анализ, проведенный в разделе 4.3.1, основанный на соображениях

пространственной и временной симметрии, показывает, что структура углового распределения не зависит от внутренней динамики мишени (схемы связи и т.д.) и в дипольном приближении содержит в общем случае шесть (а для ионизации из й-состояния — четыре) атомных параметра, которые зависят только от частоты лазерного поля и состояния атома. В разделе 4.3.2 найдены явные выражения для атомных параметров через редуцированные дипольные матричные элементы второго порядка, которые справедливы при произвольной схеме связи для любого атома при заданном состоянии остаточного иона. Эти выражения конкретизированы для простейшего случая од-ноэлектронной нерелятивистской системы. Геометрические (кинематические) факторы представлены в простейшей форме через скалярные произведения вектора поляризации волны и импульса фотоэлектрона р/ (а также через степень циркулярной поляризации и углы между р/ и направлением распространения волны и между р/ и и главной полуосью эллипса поляризации волны). Из общего анализа и конкретных расчетов следует, что в процессе многофотонной ионизации неполяризованого атома одинаковыми фотонами отсутствует эффект ЦД, однако в сечении возникают члены ~ £1, приводящие к эффекту эллиптического дихроизма (ЭД), т.е. к зависимости углового распределения фотоэлектронов от знака спиральности фотона в случае эллиптической (с I ^ 0 и ^ 0) поляризации волны. В разделе 4.3.3 полученные общие выражения проиллюстрированы на простой аналитической модели двухфотонной ионизации системы, связанной дельта-потенциалом, а в разделе 4.3.4 проведены численные расчеты для параметров углового распределения и эффекта ЭД при двухфотонной ионизации атомов водорода и цезия.

В разделе 4.4 рассмотрены поляризационные эффекты в трехфотонной ионизации атома водорода. В разделе 4.4.1 найдена инвариантная векторная форма для дифференциального и полного сечения трехфотонной ионизации, В разделе 4.4.2 разработан метод расчета многофотонной ионизации, основанный на использовании обобщенных штурмовских разложений КФГ и аналитическом продолжении амплитуд связанно-связанных переходов на область по энергии конечного состояния. В разделе 4.4.1 представлены результаты соответствующих расчетов, которые показывают, что эллиптический дихроизм имеет значительную величину (см. рис. 3) как при надпо-роговом, так и при пороговом режиме трехфотонной ионизации. Как видно на рис. 3, кривая азимутального распределения фотоэлектронов в плоскости поляризации в случае эллиптически поляризованной волны несимметрична

Рис. 3. Азимутальное распределение фотоэлектронов в плоскости поляризации волны при трехфотонной ионизации эллиптически поляризованным полем. Угол ip отсчитывается от главной оси эллипса поляризации. Частота и — 0.8|£?о| лежит между порогами двух- и однофотонной ионизации, ((а): £ = 1/(б): £ = —1/л/2).

относительно главных осей эллипса поляризации, что качественно согласуется с результатами экспериментов (М. Bashkansky, Р.Н. Bucksbaum, D.W. Schumacher, Phys. Rev. Lett. 60, 2458 (1988)). ;

В разделе 4.5 исследуется многофотонная ионизация поляризованных атомов. Получены аналитические выражения для инвариантных атомных параметров, определяющих зависимость сечения от мультиполей поляризации исходного состояния (раздел 4.5.1). Проанализировано влияние поляризационных мультиполей высших порядков на вероятность многофотонной ионизации (раздел 4.5.2). Выполнены численные расчеты сечения двухфотонной ионизации атомов водорода и щелочных металлов из поляризованных Р- и ■ D-cocтояний (раздел 4.5.3).

Глава 5 посвящена двухфотонным переходам в непрерывном спектре. В разделе 5.1 исследуется поляризационно-угловая зависимость двухфотонных тормозных процессов в центральном потенциале общего вида U(r). Сечения этих процессов выражаются через амплитуду перехода между состояниями рассеяния и с асимптотическими импульсами Pi = р и р/ =

Р':

М(е2, еь £) = - (е2 - V')G£(r',T)(ei ■ V) , (17)

где Gs - функция Грина гамильтониана с потенциалом U(r). В разделе 5.1.1 записаны общие формулы для сечений вынужденного двухфотонного тормозного излучения (2BrS) и поглощения, а также для линейной по интенсивности

волны поправки к сечению упругого рассеяния.

В разделе 5.1.2 проведен парциально-волновой анализ и получено выражение для амплитуды (17) с разделенными динамическими и кинематическими факторами:

М(е2, еь £) = <31 (е2 • п)(е! • п) + (22(е2 • п')(в1 ■ п')+ + (1/2)<Эз[(е2-п')(е1-п)+(е2-п)(егп')]+д4 [(е2 • п')^ ■ п) - (е2 • п)(в1 ■ п')] +

+ [д5-(1/з)(д1 + д2 + д3(п-п'))](е2-е1). (18)

Здесь п = р/р, п' = р'/р', а инвариантные параметры С>г представляют собой бесконечные ряды, которые содержат полиномы Лежандра от угла рассеяния и радиальные матричные элементы

Е, £) = (Я£-И Ь{Ь, 1')ёь{£)Ь{Ь, I) \ЯЕ1) . (19)

Параметризация амплитуды в виде (18) позволяет полностью проанализировать поляризационные и угловые зависимости как в спонтанном 2ВгЭ (с различными поляризациями в1 и е2)> так и для вынужденных процессов (с в1 = е2).

В разделе 5.1.3 рассматриваются эффекты циркулярного и эллиптического дихроизма в свободно-свободных переходах. Показано, что сечение вынужденного 2ВгБ имеет следующую структуру:

¿а 1 А А .

где /гед, &сп и Д_ео выражаются через инвариантные параметры и комбинации скалярных произведений векторов е, е* и п, п'. При этом /тед не меняется при замене е ^ е*, т.е. не зависит от знака степени циркулярной поляризации а Аса и Аеи меняют знак при изменении знака £ : Дет? ~ А^л ~ (I (I — степень линейной поляризации). Таким образом, Дсо и Двг> описывают эффекты циркулярного и эллиптического дихроизма в процессе вынужденного 2ВгБ, причем в общем случае дихроичные члены в сечении не имеют параметра малости и (при благоприятной геометрии процесса) относительная величина эффектов дихроизма может достигать ~ 100%. Существование эффекта ЭД означает, что при исследовании двухфотонного тормозного излучения и поглощения (в отличие от однофотонных процессов, в которых

цессов вынужденного тормозного излучения и поглощения.

имеется только эффект ЦД) наиболее полную информацию о процессе даёт, использование световой волны с эллиптической поляризацией. Проводится обсуждение общих свойств ЦД- и ЭД-эффектов в вынужденном и спонтанном двойном тормозном излучении и поглощении, которые следуют из явных выражений для Дcd и aed. В разделе 5.1.4 на примере однофотонного BrS демонстрируется классическая природа эффектов дихроизма в тормозных процессах. С помощью гамильтонова подхода классической электродинамики найдено выражение для классического трижды дифференциального сече-,31 <2cr(e,k; р,р')

ния c7V J = — — излучения фотона и, е, к электроном с начальным au)di lp'd\ ¿ь

импульсом р, который рассеивается в направлении р'. В кулоновской задаче

~ |КШи(уе){в* ■ n) - K^Uus)^* ■ п')|2 (21)

(v = Zuj/p3, е = 1/sin (6/2), cos С = (n • n'), K\ - функция Макдональда), поэтому существование ЦД в угловом распределении рассеянного электрона в классическом BrS очевидно. Отметим, что рассчитанное интегрированием по классическим орбитам выражение (21) совпадает с пределом Н —» О соответствующего квантового результата.

В разделе 5.2 проводится расчет амплитуд двухфотонных переходов в кулоновском поле. В этом случае более удобно не прибегать к парциально-волновому анализу, а непосредственно рассчитать матричный элемент перехода между состояниями |р^) и jp'(-)). Следует отметить, что вычисления амплитуд переходов между состояниями атомного континуума наиболее сложны в техническом отношении и требуют особой аккуратности вследствие осцилляций функций непрерывного спектра. Сходимость интегралов в этом случае достигается их регуляризацией, а в результате их вычисления возникают неоднозначные функции, выбор нужной аналитической ветви в которых, вообще говоря, следует проводить с использованием дополнительных соображений. Расчеты, выполненные (в параболических координатах) в разделе 5.2.1, приводят к выражению вида

M(e2,ei,£) = -¿ig-^M^eO -¿|^ММ(е2) + .М(е2, еь £),

в котором М^(е) — матричные элементы однофотонных переходов, выражающиеся, как известно, через гипергеометрические функции 2i*i, а Л4 — комбинация интегралов от 2-Fi- Такая форма матричного элемента М(е2, ei, £) имеет существенные преимущества перед другими, в которых имеются только члены с интегралами (М. Gavrila, A. Maquet, V. Veniard, Phys. Rev. A 42,

236 (1990)), поскольку простые слагаемые с M(1'(ei), М(1>(е2) дают доминирующий вклад в широкой области переменных, а аналитическая структура интегральных членов в М упрощается. Отметим также, что матричные элементы М(е2,ei,S) представлены в форме, справедливой для всех типов двухфотонных переходов (с поглощением, излучением и переизлучением фотонов ci,oJi и e2,w2) в непрерывном спектре. В разделе 5.2.2 аналогичные результаты получены для радиальных матричных элементов (19). Несмотря на громоздкость, неизбежную для аналитических расчётов с кулоновскими функциями континуума, полученные формулы, по-видимому, не могут быть подвергнуты дальнейшим упрощениям и являются наиболее простыми выражениями, обобщающими кулоновские матричные элементы для однофо-тонных тормозных процессов на случай двухфотонных свободно-свободных переходов. В то же время следующие из результатов для Mft^E', Е, £) при аналитическом продолжении по Е и Е' выражения для матричных элементов связанно-связанных и связанно-свободных переходов, как показано в приложении к диссертации, упрощаются и сводятся к двухфотонным формулам Гордона, не содержащим интегрирований.

В разделе 5.3 проводится асимптотический анализ амплитуд неупругих двухфотонных переходов. Парциально-волновой подход дает выражения для параметров Qi(j>,p',&) лишь в виде рядов по полиномам Лежандра, причём входящие в эти ряды радиальные матричные элементы вычисляются аналитически только в кулоновском случае. Тем не менее, для низкочастотной, высокочастотной и борновской областей параметров задачи удается получить достаточно простые замкнутые выражения для Qi и амплитуд переходов в потенциале U(r) общего вида. В частности, при малых частотах (и/Е <§С 1) для сечения вынужденного 2BrS получено выражение

^=2&|e'(P_P')|4cW (22)

(dao - сечение упругого рассеяния на потенциале U(г)), которое согласуется с известным низкочастотным приближением Кролла-Ватсона (Phys. Rev. А 8, 804 (1973)), если в последнем рассмотреть случай малой напряженности поля F. Такое же согласие имеется в борновской области с приближением Бункина-Федорова (ЖЭТФ 49, 1569 (1965)). В кулоновском случае с использованием аналитических выражений для двухфотонных амплитуд найдена поправка ~ ш/Е к низкочастотной асимптотике, в которой возникает "дихроичное" слагаемое

Дсо~£(к-[пхп'])|е-(п-п')|2 (23)

(к — волновой вектор лазерной волны). В главном члене низкочастотной асимптотики (22) дихроизм, очевидно, отсутствует. Расчет поправочного слагаемого позволяет уточнить область применимости приближения Кролла-Ватсона. Фактическим параметром малости дихроичной поправки в низкочастотной области оказывается отношение Дco/freg ~ <-°/р2 sin б, поэтому формула (22) неприменима при малых углах рассеяния и эффекты дихроизма в области в ~ сj/p2 имеют значительную величину даже при малых значениях и>/р2.

Наличие аналитических выражений для кулоновских амплитуд позволило также оценить точность известных приближенных формул - резонансного приближения и приближения Короля (J. Phys. В 28, 3873 (1995)), - в частности, объяснить причину хорошего согласия "1-delta" аппроксимации Короля с точными результатами.

Кроме того, в разделе 5.3 из точных аналитических выражений для ку-лоновской амплитуды двухфотонного тормозного излучения в предельным переходом h —> О получен квазиклассический результат и проведено его исследование в области высоких (£ = Zw/p3 1) и низких (£ = Zu}/pz 1) частот.

В разделе 5.4 исследованы линейные по интенсивности волны поправки da сап- ~ F2 к сечению резерфордовского рассеяния d<jR, обусловленные вынужденным излучением и поглощением фотонов в лазерном поле без изменения абсолютной величины энергии электрона. В этой задаче возникает дополнительная трудность по сравнению с расчетом неупругого тормозного излучения и поглощения, поскольку матричные элементы двухфотонных переходов в континууме (17) расходятся при Е' —> Е. В разделе 5.4.1 указанные сингулярности аналитически выделены в матричных элементах (17) и устранены при вычислении d<jCOTr. Раздел 5.4.2 содержит аналогичные результаты для случая короткодействующего потенциала. В разделе 5.4.3 обсуждается поляризационная зависимость поправок а?0"етгт, показано существование эффекта циркулярного дихроизма и приведены количественные данные, иллюстрирующие этот эффект. В разделе 5.4.3 найдены асимптотики dUa^ в борновской, низкочастотной, высокочастотной и резонансной областях.

Раздел 5.5 содержит численные результаты для кулоновского потенциала и их обсуждение. В разделе 5.5.1 анализируется частотная и энергетическая зависимость радиальных матричных элементов. Наличие точных результатов позволяет проверить корректность приближений, используемых для расчета Му[(Е\ £, Е). Наиболее простым является "полюсное" приближение, которое

б

Рис. 5. Пространственное распределение электронов в процессе ¿ВгБ, рассеивающихся (с начальной энергией Е = 1.0) на кулоновском центре в присутствии циркулярно-поляризованной волны с частотой ш = 0.01 ((а): £ = 1; (б):

состоит в учете только мнимой части Мщ. В условиях применимости теории возмущений по полю волны к нему сводится и модель "существенных состояний" в теории многофотонных процессов в сильном поле. Асимптотические оценки и численные расчеты показывают, что мнимая часть доминирует в низкочастотной области при малых начальных энергиях электрона (при этом для "недиагональных" матричных элементов точность полюсного приближения значительно лучше, чем для "диагональных"). При увеличении частоты и/или энергии электрона вклад опущенной вещественной части матричных элементов возрастает. В области высоких частот вещественная часть в Мщ становится преобладающей, а мнимая часть имеет относительную малость ~ 1/у/й.

В разделе 5.5.2 рассматриваются угловые распределения и дихроизм в вынужденных тормозных процессах. Угловые распределения существенно зависят не только от начальной энергии электрона Е и частоты и>, но и от поляризации фотонов. Для рассеяния на кулоновском центре в присутствии циркулярно-поляризованной волны с £ = ± 1 качественные особенности пространственного распределения рассеянных электронов при вынужденном 2ВгБ видны из рис. 5 (а, б). В соответствии с геометрией рис. 4 направление светового пучка к выбрано перпендикулярным начальному импульсу электронов р = рп.

Рис. 6. Зависимость сечения двойного тормозного поглощения от угла при в — 7г/6, а = 0. Сплошные линии: £ = 1/\/2; штрих-пунктирные линии: £ = — 1/л/2- (а): Е = 1.0, и> — 1/6, пунктирная линия — формула Бун-кина-Федорова; (б): Е — 0.1, и> = 1/60, пунктирная линия — низкочастотная асимптотика (22).

В процессе двойного тормозного п"" лощения новым обстоятельством по сравнению с 2Вг8 является существование "критической" геометрии рассеяния, при которой переданный импульс Др = р — р' оказывается перпендикулярный плоскости поляризации, так что е • Др = 0. В этом случае приближение Бункина-Федорова и низкочастотная асимптотика (22) дают нуль для сечения, тогда как при точном учете рассеивающего потенциала значение dafd.il конечно. На рис. 6 показана зависимость сечения двойного тормозного поглощения от угла ¡р (см. рис. 4) в "критической" области. При энергии Е — 1.0 и ш — 1/6 (рис. 6а) формула Бункина-Федорова вполне удовлетворительно описывает сечение (хотя борцовские параметры в этом случае и не слишком малы: Z|^p « 0.7, Z|p' та 0.6) за исключением малой области углов вблизи "критической" точки: 0 = 7г/6 и = 0, в которой борновский результат обращается в нуль, а точное сечение имеет ярко выраженный минимум. В то же время для Е = 0.1 и и> = 1/60 (рис. 66) низкочастотная асимптотика (22) дает худшее количественное согласие с точными результатами.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

В Приложение вынесена часть выкладок и результатов математического характера.

Основные результаты диссертации

1. Получены два новых представления КФГ в виде рядов по штурмовским функциям, которые содержат свободные (произвольные) параметры. Рациональный, соответствующий специфике задачи выбор свободных параметров позволяет кардинально упростить вычисление составных матричных элементов электромагнитных переходов. Результаты применимы также для функции Грина модельного потенциала Фьюса и релятивистской кулоновской функ-

' ции Грина.

2. Получены замкнутые аналитические выражения (в записи через гипергеометрические функции) для амплитуд связанно-связанных и связанно-свободных двухфотонных переходов в атоме водорода из произвольного начального состояния \п1), обобщающие известные однофотонные формулы Гордона. Компоненты тензора динамической поляризуемости ап1т('-о) при произвольном п выражены через гипергеометрическую функцию зависящую лишь от I и £>, и полиномиальные функции /п;(й) частоты и — Ьиз/\Еп\.

3. Развита техника численных расчетов составных матричных элементов надпороговых связанно-связанных и связанно-свободных переходов, основанная на новых представлениях КФГ, найденных аналитических асимптотиках членов штурмовских рядов и подборе устойчивых (не теряющих точности) численных алгоритмов.

4. Проведены расчеты нелинейных атомных восприимчивостей (гиперполя-ризуемостей и магнитоэлектрических восприимчивостей) для основного и возбужденных состояний при надпороговых частотах Ям |£п|. Исследованы линейные и квадратичные по интенсивности поправки к сечению фотоионизации возбужденных состояний и получены оценки пороговой интенсивности, соответствующей началу стабилизации атомных уровней для ряда состояний.

5. Развит эффективный метод кинематического анализа поляризационно-угловых зависимостей в атомных процессах, основанный на технике упрощения биполярных гармоник. Предложенный подход позволяет в явной форме разделять кинематические (геометрические) и динамические части сечения и выражать кинематические части в простейшем виде — через скалярные и смешанные произведения векторов задачи.

6. Проведено исследование поляризационно-угловой зависимости ряда фотопроцессов: двухэлектронного фотоэффекта, двух- и трехфотонной иониза-

дии атомов, двухфотонных тормозных процессов в центральном поле, причем особое внимание уделено эффектам циркулярного и эллиптического дихроизма. Получена общая параметризация сечений и выполнены количественные расчеты, показывающие доступность эффектов дихроизма для экспериментального наблюдения.

7. Аналитически рассчитана амплитуда произвольных двухфотонных переходов в кулоновском континууме. Полученные выражения, которые содержат одномерные интегралы от гипергеометрических функций 2-F1, позволили выполнить подробное асимптотическое и численное исследование дифференциальных сечений двухфотонных процессов, в частности, аналитически выделить и устранить сингулярности, возникающие в упругих двухфотонных дипольных переходах.

Публикации по теме диссертации

Содержание диссертации изложено в следующих статьях в рецензируемых научных журналах и сборниках, включая 11 статей в научных журналах, входящих в установленный ВАК перечень российских изданий, в которых должны быть опубликованы научные результаты диссертаций:

1. Мармо С.И. Двухфотонные процессы при рассеянии на короткодействующем потенциале / С.И. Мармо, А.Г. Файнштейн // Известия ВУЗов. Физика. - 1984. - т.-С. 92-96.

2. Манаков Н.Л. Аналитическое продолжение кулоновских функций Грина в область непрерывного спектра / Н.Л. Манаков, С.И. Мармо, А.Г. Файнштейн // ТМФ. - 1984. - Т. 59. - С. 49-57.

3. Fainshtein A.G. Use of Coulomb Green function for the calculation of above-threshold multiphoton transitions / A.G. Fainshtein, N.L. Manakov, S.I. Marmo // Phys. Lett. A. - 1984. - V. 104. - P. 347-350.

4. Манаков Н.Л. Нелинейные восприимчивости в области частот выше порога ионизации / Н.Л. Манаков, С.И, Мармо, А.Г. Файнштейн // ЖЭТФ. ~ 1986. - Т. 91. - С. 51-64.

5. Манаков Н.Л. Магнитоэлектрические восприимчивости атомов / Н.Л. Манаков, С.И. Мармо, В.Д. Овсянников // ЖЭТФ. - 1986. - Т. 91. - С. 404415.

6. Manakov N.L. The relation between the direct and stepwise transitions in above-threshold absorption processes / N.L. Manakov, S.I. Marmo, A.V. Shaposh-nikov // Atoms and Molecules in Strong Field of Laser Radiation; ed. by F.V. Bunkin and I.I. Tugov. - Moscow: Wiley-Nauka Sci. Publ., 1992. - P. 87-93.

7. Manakov N.L. Light-field induced radiative corrections to the Rutherford formula for Coulomb scattering / N.L. Manakov, S.I. Marmo // Multiphoton processes; ed. by Evans D.K. and Chin S.L. - Singapore: World Scientific, 1994.

- P. 55-57.

8. Fainshtein A.G. Light-induced radiative corrections to the Rutherford formula for Coulomb scattering / A.G. Fainshtein, N.L. Manakov, S.I. Marmo // Phys. Lett. A. - 1994. - V. 195. - P. 358-361.

9. Marmo S.L Electric-field induced magnetization and inverse Cotton-Mouton effect in atomic gases / S.I. Marmo, V.D, Ovsiannikov // Phys. Lett. A. - 1995.

- V. 202. - P. 201-205.

10. Manakov N.L. Circular dichroism in laser-assisted electron-atom scattering / N.L. Manakov, S.I. Marmo, V.V. Volovich // Phys. Lett. A. - 1995. - V. 27. -P. 42-48.

11. Manakov N.L. Magnetic-field induced optical second garmonic generation / N.L. Manakov, S.I. Marmo, V.D. Ovsiannikov // Laser Physics. - 1995. - V. 5. -P. 181-185.

12. Манаков Н.Л. Резерфордовское рассеяние в присутствии монохроматической световой волны / Н.Л. Манаков, С.И. Мармо, А.Г. Файнштейн // ЖЭТФ. - 1995. - Т. 108. - С. 1569-1588.

13. Мармо С.И. Вклад высших мультиполей в вероятность двухфотонной ионизации поляризованного атома / С.И. Мармо, В.Д. Овсянников // Оптика и спектроскопия. - 1995. - Т. 79. - С. 181-188.

14. Мармо С.И. Обратный эффект Коттона-Мутона в атомарном газе / С.И. Мармо, В.Д. Овсянников // Известия РАН. Серия физическая. - 1996. - Т. 60.

- №3. - С. 102-110.

15. Manakov N.L. Photon polarization effects in laser-assisted electron-atom scattering / N.L. Manakov, S.I. Marmo, V.V. Volovich // Proc. SPIE. - 1996.

- V. 2796 - P. 90-97.

16. Manakov N.L. A new approach to the angular distributions in atomic processes, Single and double photoionization / N.L. Manakov, S.I. Marmo, A.V. Meremianin

//..5th Int. Workshop "Autoinization Phenomena in Atoms". Invited Talks. -Moscow University Press. - 1996. - P. 45-49.

17. Manakov N.L. A new technique in the theory of angular distributions in atomic processes: the angular distribution of photoelectrons in single and double photoionization / N.L. Manakov, S.I. Marmo, A.V. Meremianin //J. Phys. B. -1996. - V. 29. - P. 2711-2737.

18. Manakov N.L. Photon polarization effects in bremsstrahlung and laser-assisted electron-atom scattering / N.L. Manakov, S.I. Marmo, V.V. Volovich // J. Electr. Spectr. and Rel. Phen. - 1996. - V. 79. - P. 327-330.

19. Manakov N.L. Circular dichroism in photon-atom scattering caused by virtual photoionization / N.L. Manakov, S.I. Marmo, A.V. Meremianin //J. Electr. Spectr. and ReL Phen. - 1996. - V. 79. - P. 331-334.

20. Krylovetsky A.A. Quadratic Stark effect and dipole dynamic polarizabilities of hydrogen-like levels / A.A. Krylovetsky, N.L. Manakov, S.I. Marmo // Laser Physics. - 1997. - V. 7. - P. 781-794.

21. Generalized Sturmian expansions of Coulomb Green's functions and two-photon Gordon formula / N.L. Manakov, A. Maquet, S.I. Marmo, C. Szymanowski // Phys. Lett. A. - 1998. - V. 237. - P. 234-239.

22. Elliptic dichroism and angulai distribution of electrons in two-photon ionization of atoms / N.L. Manakov, A. Maquet, S.I. Marmo [et al] // J. Phys. B. -• 1999. - V. 32. - P. 3747-3767.

23. Circular dichroism from unpolarized atoms in multiphoton multicolor ionization / R. Taieb, V. Veniard, A. Maquet, N.L. Manakov, S.I. Marmo // Phys. Rev. A. - 2000. - V. 62. - P. 013402(9).

24. Крыловецкий А.А. Обобщенные штурмовские разложения кулоновской функции Грина и двухфотонные формулы Гордона / А.А. Крыловецкий, Н.Л. Манаков, С.И. Мармо // ЖЭТФ. - 2001. - Т. 119. - С. 45-70.

25. Двухфотонные тормозные процессы в атомах: поляризационные эффекты и аналитические результаты для кулоновского потенциала / А.А. Крыловецкий, Н.Л. Манаков, С.И. Мармо, А.Ф. Старас // ЖЭТФ. - 2002. - Т. 122.

- С. 1168-1197.

26. Манаков Н.Л. Динамические гиперполяризуемости возбужденных состояний водорода / Н.Л. Манаков, С.И. Мармо, Е.А. Пронин // ЖЭТФ.

- 2004. - Т. 125. - С. 288-306. .'

27. Sixth-order dynamic hyperpolarizability of hydrogen Rydberg levels / N.L. Manakov, S.I. Marmo, E.A. Pronin, A.F. Starace // Bull. Amer. Phys. Soc. - 2005. - V. 50. - P. 86.

28. Krylovetsky A. A. Comment on analytical calculations of two-photon transition amplitudes for the hydrogen atom / A.A. Krylovetsky, N.L. Manakov, S.I. Marmo // J.Phys. B. - 2005. - V. 38. - P. 311-316.

29. Мармо С.И. Метод расчета многофотонной ионизации атома водорода при надпороговых частотах / С.И. Мармо // Вестн. Воронежского ун-та. Сер.: физика, математика. - 2005. - №1. - С. 62-74.

30. Circular dichroism in classical Coulomb scattering involving bremsstrahlung / A.A. Krylovetsky, N.L. Manakov, S.I. Marmo, A.F. Starace // Phys. Rev. A. -2005. - V. 72. - P. 035401(4).

Подписано в печать 18.09.2006. Формат 60x84/16. Усл. п. л. 2,0. Тираде 100. Заказ 698. Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ком.43, тел.208-853. Отпечатано в лаборатории оперативной печати ИПЦ ВГУ.

Введение

1. Обобщенные штурмовские разложения КФГ

1.1. Штурмовское разложение КФГ со свободными параметрами. Симметричный ряд.-.

1.1.1. Выражение для ядра ¿кк,.

1.1.2. Разложение КФГ на резонансную и потенциальную части.

1.2. Штурмовское разложение КФГ со свободными параметрами. Несимметричный ряд.

1.3. Сходимость М^-рядов со свободными параметрами

2. Двухфотонные формулы Гордона

2.1. Формулы Гордона и проблема расчета двухфотонных переходов

2.2. Матричные элементы неупругих двухфотонных переходов

2.3. Двухфотонные формулы Гордона для связанно-свободных переходов.

2.4. Поляризуемости возбужденных состояний.

2.4.1. Точные аналитические результаты для компонент тензора поляризуемости

2.4.2. Поляризуемости в предельных областях.

2.5. Численные данные для штарковского сдвига возбужденных уровней.

2.6. Динамические поляризуемости щелочных атомов при надпо-роговых частотах.

2.7. Заключительные замечания.

3. Эффекты высших порядков во взаимодействии атомов с внешними полями

3.1. Нелинейные восприимчивости атомов в области частот выше порога ионизации.

3.1.1. Генерация третьей гармоники.

3.1.2. Динамические гиперполяризуемости: общий анализ

3.1.3. Динамические гиперполяризуемости: численные результаты

3.2. Магнитоэлектрические восприимчивости атомов.

3.2.1. Теория возмущений для квазиэнергии атома в переменном электрическом и постоянном магнитном полях

3.2.2. Восприимчивости 72£,2п+1 и постоянная Верде

3.2.3. Восприимчивости */2к,2п и постоянная Коттона - Мутона

3.2.4. Поправки к сечению фотоионизации в магнитном поле

3.2.5. О границах применимости теории возмущений и возможности экспериментального наблюдения магнитоэлектрических эффектов

4. Поляризационные эффекты в ионизации атомов

4.1. Редукция биполярных гармоник.

4.1.1. Общие замечания.

4.1.2. Формулы редукции для биполярных гармоник с произвольными рангами.

4.2. Угловое распределение фотоэлектронов в двойной фотоионизации

4.2.1. Общие равенства.

4.2.2. Угловая зависимость параметров и.

4.3. Эллиптический дихроизм и угловое распределение электронов в двухфотонной ионизации атомов

4.3.1. Феноменологический анализ

4.3.2. Явные выражения для параметров углового распределения

4.3.3. Аналитические результаты для ¿-потенциала.

4.3.4. Численные результаты для цезия и водорода

4.3.5. Заключительные замечания.

4.4. Поляризационные эффекты в трехфотонной ионизации водорода

4.4.1. Общие формулы.

4.4.2. Расчет амплитуды многофотонных переходов в непрерывный спектр.

4.4.3. Численные результаты.

4.5. Вклад высших мультиполей в вероятность многофотонной ионизации поляризованных атомов.

4.5.1. Многофотонная ионизация атомов из поляризованных состояний.

4.5.2. Влияние поляризационных мультиполей высших порядков на вероятность многофотонной ионизации

4.5.3. Инвариантные параметры сечения двухфотонной ионизации

5. Двухфотонные тормозные процессы при рассеянии на атомах

5.1. Поляризационно-угловая структура сечений двухфотонных тормозных процессов.

5.1.1. Общие формулы.

5.1.2. Парциально-волновое разложение амплитуды.

5.1.3. Эффекты циркулярного и эллиптического дихроизма в свободно-свободных переходах.

5.1.4. Циркулярный дихроизм в классическом тормозном излучении

5.2. Двухфотонные переходы в кулоновском континууме.

5.2.1. Двухфотонные |р^) —> переходы.

5.2.2. Двухфотонные |Е1) |Е'1') переходы

5.3. Асимптотический анализ амплитуд неупругих двухфотонных переходов.

5.4. Поправки к резерфордовскому рассеянию в присутствии электромагнитной волны.

5.4.1. Устранение сингулярностей в амплитуде упругого рассеяния

5.4.2. Случай короткодействующего потенциала.

5.4.3. Поляризационная зависимость сечения.

5.4.4. Анализ предельных случаев

5.5. Численные результаты для кулоновского потенциала и обсуждение

5.5.1. Частотная и энергетическая зависимость радиальных матричных элементов.

5.5.2. Угловые распределения и дихроизм в вынужденных тормозных процессах.

Различные аспекты взаимодействия света с веществом являются предметом экспериментального и теоретического исследования на протяжении всей истории развития физики. Фундаментальную роль в этой проблеме играет взаимодействие излучения с изолированными атомными системами как с простейшими микроскопическими объектами, которое в существенной степени определяет и взаимодействие на макроскопическом уровне. Неспособность классической физики последовательно описать излучение, поглощение и рассеяние света атомами стала одной из причин создания квантовой теории. Соответственно, среди первых квантовомеханических приложений было исследование однофотонных процессов взаимодействия атомов с электромагнитным полем: фотоэффекта, излучения и поглощения света атомом и тормозного излучения. Квантовой теорией было предсказано также существование многофотонных процессов, в которых в одном элементарном акте взаимодействия происходит поглощение или испускание нескольких фотонов. Общее результаты для простейших из них — рассеяния света на атоме [1], двухфотонного распада [2], двухфотонного тормозного излучения [3] — были получены уже в 20-30-е гг. прошлого века. Однако систематического исследования многофотонных процессов в силу их крайне малой вероятности при использовании обычных оптических источников длительное время не проводилось.

Положение изменилось с созданием квантовых генераторов излучения, поскольку высокая интенсивность световых пучков, достигаемая в них, сделала возможным не только наблюдение, таких процессов как многофотонная ионизация, генерация гармоник, вынужденное комбинационное рассеяние, но и практическое их использование. С другой стороны, прогресс в экспериментальной технике сделал возможным регистрацию и количественное исследование некоторых спонтанных, происходящих без внешнего источника излучения, многофотонных процессов (см., например, [4])), считавшихся экзотическими во времена создания квантовой механики. Всё это вызвало бурное развитие области атомной физики, изучающей многофотонное взаимодействие излучения и вещества.

Первоначально создаваемые лазерными источниками ноля не достигали по амплитуде напряженности F внутриатомных значений Fat ~ 0.5 • 109В/см, но были достаточно велики для проявления нелинейных эффектов в фотон-атомном взаимодействии, F < Fat. В настоящее время такие поля называют умеренными ("moderate" в англоязычной терминологии). Хотя с середины 1980-х гг. в лазерных импульсах достигнуты сильные и сверхсильные поля, в которых напряженность электрического поля может превосходить внутриатомные значения F > Fat, однако и в настоящее время значительная часть экспериментальных и теоретических работ направлена на исследование взаимодействия атомов с излучением умеренной интенсивности, а также спонтанных процессов. Существенным при их теоретическом описании является возможность считать воздействие поля волны возмущением и анализировать многофотонные процессы, разлагая их амплитуды и атомный отклик в ряд но степеням F. Особое значение имеет исследование многофотонных процессов в одноэлектронных атомных системах: в кулоновских, связанных короткодействующим потенциалом, а также в сложных атомах с одним валентным электроном, рассматриваемых в од-ноэлектронном приближении, поскольку в этом случае удается получить аналитические результаты или провести глубокие аналитические преобразования в общих формулах для амплитуд и восприимчивостей. Ценность аналитических результатов обусловлена тем, что они позволяют в явном виде проиллюстрировать общие закономерности в атомных фотопроцессах и являются опорными при построении и проверке правильности приближенных моделей в задачах о фотон-атомном взаимодействии.

Важной современной проблемой физики взаимодействия излучения с атомами является исследование процессов, которые определяются многофотонными переходами в непрерывном спектре. Мы относим к ним, наряду с собственно тормозными процессами, те, в которых непрерывному спектру принадлежат энергии промежуточных состояний (энергетические параметры функций Грина). Актуальность их изучения обусловлена прогрессом в лазерных экспериментах, позволившим наблюдать атомные фотопроцессы при надпороговых частотах и учитывать влияние поляризации на угловые распределения свободных частиц. Подчеркнем, что особенностью многофотонных переходов является существенный вклад в их амплитуду промежуточных состояний непрерывного спектра: часто используемое приближение, основанное на учете только состояний дискретного спектра, в этом случае становится некорректным, так как приводит к расходимостям.

Целью диссертации является развитие новых методов теории многофотонных процессов в непрерывном спектре атомов (атома водорода и сложных атомов в одноэлектронном приближении) и получение на их основе новых конкретных результатов. Для этого разрабатываются эффективные методы аналитических и численных расчетов многофотонных процессов, применимых в частности, в области высоких частот электромагнитного поля и специальная техника исследования поляризационно-угловых зависимостей в процессах со свободными частицами. На их основе проводится исследование энергетических, угловых и поляризационных зависимостей в целом ряде конкретных многофотонных процессов в атомах, при этом ставится задача получить новые аналитические и количественные результаты.

Общая схема расчета многофотонных процессов хорошо известна. На первом этапе необходимо получить общие формулы теории возмущений для атомных параметров. Для этого был предложен ряд вариантов нестационарной теории возмущений, удобных для расчета поправок высших порядков [5]. Их отличие друг от друга заключается в технических приемах, применяемых для правильного учета нормировочных и секулярных членов, что представляет значительную трудность в стандартном варианте нестационарной теории возмущений, разработанной Дираком. В случае периодической зависимости внешнего поля от времени наиболее целесообразно использовать формализм квазиэнергетических состояний [6, 7] и квазистационарных (распадающихся) квазиэнергетических состояний [8, 9] и теорию возмущений для них. При таком подходе, в частности, не возникает упомянутых сложностей с секулярными и нормировочными членами.

В целом, в настоящее время задачу развития формальных методов нестационарной теории возмущений в случае монохроматического внешнего воздействия можно считать решенной.

Вторая проблема состоит в развитии математического аппарата, позволяющего вычислять составные матричные элементы теории возмущений, которые имеют следующий общий вид

Здесь % — оператор электромагнитного взаимодействия; |г), |/) — начальное и конечное состояния с энергиями Е^ Е^ — атомная функция Грина, которая может быть представлена спектральным разложением по состояниям дискретного и непрерывного спектра атома.

Первый шаг в вычислении (В.1) состоит в интегрировании по угловым переменным, что является одним из известных приложений теории неприводимых тензорных операторов. Данная задача является особенно простой, если начальное |г) и конечное |/) состояния (которые могут принадлежать как дискретному, так и непрерывному спектру) имеют определенный орбитальный момент = ЯгУ^т., ф} — Я/У//7П/), а для оператора взаимодействия частицы с волной можно ограничиться дииольным приближением Ук ~ (еф)- Раскладывая тогда функции Грина по сферическим функциям легко "отделяем углы" и сводим задачу к вычислению радиальной части матричных элементов щР = <Д/| Утк-гМ + Ьим-1) • • • + №> • (в-4)

Наиболее детально методы расчета матричных элементов разработаны для кулоновской задачи. Использовался целый ряд альтернативных подходов (различные модификации метода интегрирования неоднородных диф

М{!р = (/I УмС(Е{ + о. йед + йл)й |г> . (В.1)

В.2) едгУ) = ¿2ё1(е;г,г')Уш (£) У[м , (В.З) ьм и ференциальных уравнений для поправочной функции 1-го порядка нестационарной теории возмущений, алгебраические подходы на основе 0(4)-симметрии кулоновской задачи и др.), но наиболее эффективным средством вычисления спектральных сумм является использование явного выражения для функции Грина g^{£) уравнения Шредингера с кулоновским гамильтонианом. Наличие удобного, подходящего для данной задачи представления функции Грина часто является главным условием успешного проведения аналитических или численных расчетов, поэтому с середины 60-х годов, когда начались интенсивные исследования воздействия лазерного излучения на атомы, по настоящее время получены их различные варианты. Подробное обсуждение различных представлений кулоновской функции Грина (КФГ) и особенностей их использования можно найти, например, в [10, 11, 12].

В многофотонных расчетах наиболее часто используется разложение g^(E^,r,r') по функциям Штурма кулоновской задачи [13]:

Г'Г> - "Ь Т(к + 21 + 2)<к +1 +1 - ч) ' ( ' к=О где

2г/|/) = I (2г/и)1 ехр(-т/и) Ь2к1+1(2г/и), (В.б) обобщенный полином Лагерра [14], и = (—2Е — гО)-1/2, т] = Штурмовское разложение полезно в некоторых аналитических преобразованиях, но особенно широкое применение оно нашло при проведении прямых численных расчетов радиальных составных матричных элементов М^ высших порядков теории возмущений. В этом случае интегрирование по радиальным переменным в (В.4) выполняются аналитически и результаты представляются в виде кратных рядов гипергеометрических полиномов, которые быстро сходятся при иодпороговых (Е < 0) значениях энергии промежуточных состояний (т.е. энергий функций Грина ё^Е] г, г')). Однако при надпороговых энергиях, как сам ряд (В.б), так и ряды для матричных элементов, вычисленные с использованием (В.б), становятся расходящимися. Аналогичные трудности в надпороговых задачах, связанные с осцилляциями функций непрерывного спектра, возникают и при использовании других методов вычислений радиальных матричных элементов.

Штурмовское разложение радиальной КФГ возникает также в расчетах с потенциалом Фьюса (кулоновский потенциал с добавочным центробежным членом ~ г-2 [И]), которым моделируется воздействие остова на валентный электрон. Данный подход, как известно, позволяет в одноэлек-тронном приближении рассчитывать многофотонные процессы в сложном атоме. Чтобы получить из (В.5) функцию Грина уравнения Шредингера с потенциалом Фьюса, следует заменить квантовое число I на нецелый параметр Л;. Параметр Л/ считается гладкой функцией энергии, определяемой интерполяцией по экспериментальному спектру атома. При надпороговых значениях частот, как и в кулоновском случае, штурмовское разложение функции Грина для модельного потенциала приводит к расходящемуся ряду для матричных элементов.

В первой главе настоящей диссертации предложены два новых представления КФГ, обобщающие штурмовское разложение (В.5). В разд. 1.1, основываясь на полноте штурмовских функций с масштабированным аргументом, КФГ представлена в виде ряда

Параметры си, а' в нем являются свободными (произвольными), их можно выбирать в соответствии со спецификой задачи. Существенной особенностью представления (В.7) является факторизованная зависимость членов ряда (В.7) от г, г' и энергетического параметра V. Вся зависимость от энергии Е содержится в ядре ¿кк,(и-,а,а'), которое не зависит от радиальных переменных и выражается через гипергеометрические функции. Эти обстоятельства придают обобщенному штурмовскому разложению значительную гибкость при использовании как в аналитических, так и в численных приложениях. В разд. 1.2 предложен другой вариант разложения КФГ в двойной ряд по штурмовским функциям со свободными параметрами, эффективный при численных, в том числе при надпороговых, расчетах. Свойства этого разложения (в частности, конечная внутренняя сумма) делают операции с ним не более сложными, чем со стандартным штурмовским рядом. Наличие свободных параметров в обобщенных штурмовских разложениях ставит задачу их оптимального выбора. В разд. 1.3 исследовано поведение далеких членов М^ -рядов (для чего потребовалось, в частности, найти неизвестные ранее асимптотики гипергеометрических функций 2-£\ и/¡У. В результате для них получены элементарные выражения, которые позволяют выработать алгоритм выбора свободных параметров, обеспечивающих наиболее быструю сходимость.

Во второй главе новое представление КФГ (В.7) применяется для расчета амплитуд связанно-связанных и связанно-свободных двухфотонных переходов в атоме водорода из произвольного начального состояния \п1). Исключительная роль кулоновского потенциала в исследовании атомных фотопроцессов обусловлена возможностью получить аналитические выражения для амплитуд и сечений. Так, известные формулы Гордона для матричных элементов (МЭ) дипольных переходов между состояниями водородного атома с произвольными значениями главных квантовых чисел пип'в классической спектроскопии служат теоретической основой для анализа сил осцилляторов и сечений однофотонных процессов. Изучение многофотонных процессов взаимодействия электромагнитного излучения с атомами (уже в случае двухфотонных процессов) принципиально усложняется необходимостью расчета сумм по промежуточным состояниям и существенной (резонансной и пороговой) зависимостью от новой переменной — частоты и внешнего монохроматического излучения. Несмотря на большое число работ, посвященных двухфотонным процессам (их обзор проведен в разд. 2.1), до недавнего времени не было получено замкнутых аналитических выражений для амплитуд двухфотонных переходов, для которых, по-видимому, только и возможны обобщения формул Гордона, выражающихся через известные специальные функции. По существу, простые аналитические результаты в виде комбинаций гипергеометрических функций ограничивались случаями переходов из основного состояния в возбужденные и в континуум, переходами между низковозбужденными состояниями (до п = 4) и расчетом упругих (с п' = п) процессов. В разд. 2.2 проведено обобщение формул Гордона на случай двухфотонных процессов, которое оказалось возможным с использованием обобщенного штурмовского разложения (В.7). Выбор параметров а = п, а' = п' позволяет кардинально упростить процедуру расчета двухфотонных МЭ и представить двухфотонные формулы Гордона в замкнутом аналитическом виде через 4 функции ¿кк, с различными к, к'. В разд. 2.3 с помощью аналитического продолжения по энергии конечного состояния найдены двухфотонные формулы Гордона для связанно-свободных переходов. Таким образом, МЭ двухфо-тонных переходов в континуум \п1) —► \Е1') также представляются в виде линейной комбинации не более четырех коэффициентов разложения (В.7) (с учетом замены п' —» iZ/p в них). В разд. 2.4 детально проанализирован случай п' = п: вычислены элементы штарковской матрицы уровня с произвольным п и получены простые формулы для скалярной, векторной и тензорной поляризуемостей, наиболее естественно обобщающие выражение для поляризуемости основного состояния [15] на случай произвольных п, а также проведено детальное исследование асимптотик поляризуемостей в наиболее существенных предельных областях значений переменных. В разд. 2.5 аналитические выражения (диагональных и недиагональных) поляризуемостей использованы для количественных расчетов штарковского сдвига и уширения возбужденных (с п ^ 10) водородных уровней. В разделе 2.6 рассчитываются поляризуемости атомов щелочных металлов при надпороговых частотах в рамках ММП Фьюса.

В третьей главе исследованы нелинейные восприимчивости, которые определяются процессами высших порядков теории возмущений по взаимодействию атомов с внешним полем: коэффициент генерации третьей гармоники (разд. 3.1.1), динамическая гиперполяризуемость (разд. 3.1.2), магнитоэлектрические восиримчивости (разд. 3.2). Имеющиеся в литературе сведения о них весьма ограничены даже для водородного атома и в большинстве случаев относятся к основному состоянию и подпороговым значениям частот. В значительной мере такая ситуация объясняется вычислительными трудностями. Между тем, исследование ридберговских атомов (энергия ионизации которых мала) и использование ультрафиолетовых гармоник лазеров в экспериментах делает актуальным расчеты надпороговых атомных восприимчивостей. В частности, вычисление динамической гипериоляризуемости в надпороговой области частот позволяет найти поправки к вероятности фотоионизации, что представляет интерес при анализе явления стабилизации распада атома в высокочастотном поле с ростом интенсивности поля, обнаруженного экспериментально в 1993 г. [16]. Методы вычислений матричных элементов (В.4), развитые на основе обобщенных штурмовских разложений, введенных в первой главе, позволили провести детальные расчеты нелинейных восприимчивостей основного и возбужденных состояний водорода и щелочных атомов в области частот, существенно превышающих порог ионизации.

Во второй части диссертации (главы 4,5) рассматриваются многофотонные процессы ионизации и тормозные процессы. В них конечное состояние (ионизация) или начальное и конечное состояния (тормозные процессы) принадлежат непрерывному спектру и являются состояниями рассеяния с определенными значениями импульса частицы на бесконечности. В процессах со свободными частицами возникает новая (в сравнении со связанно-связанными переходами) фундаментальная проблема исследования угловых распределений. В техническом отношении наличие в задаче дополнительных векторов рь Р/ значительно усложняет расчет амплитуд процессов уже на этапе интегрирования по угловым переменным. Применение стандартных методов теории углового момента — мультипольных разложений и теоремы Вигнера-Эккарта — приводит к появлению в выражениях для сечений и вероятностей процессов трудно анализируемых конструкций из тензорных произведений. Рассмотрим для примера двух-фотонный переход в атомном континууме между состояниями ф^ и ф^:

М(е2,еь£) = - (еа • У/)С^(г',г)(е1 • V) . (В.8)

Используя мультипольное разложение наряду с функцией Грина (В.З) также для функций начального и конечного состояния (см. (5.10) ниже) и выполняя необходимые вычисления, получим для амплитуды М(е2,е\,£) выражение следующего вида 2

М(е2, еь £) = £ £ ЛЬь (Ь ® е^ • {Щп') ® ВД}С) , (В.9) с=0 И'Ь где Лцч выражаются через приведенные МЭ и фазы рассеяния (см. (5.11) ниже). Обычно выражения типа (В.9) рассматриваются как конечный результат аналитических преобразований геометрической части амплитуд методами квантовой теории углового момента, а в дальнейшем проводится численный расчет тензорных конструкций в (В.9) в выбранной некоторым подходящим образом системе координат. Очевидно, что при этом возникают громоздкие и неинвариантные по форме выражения, затрудняющие исследование поляризационных и угловых зависимостей в атомных фотопроцессах.

Во второй части настоящей диссертации ставится цель развить новые методы в квантовой теории углового момента, позволяющие находить максимально простые выражения для геометрической части амплитуд процессов со свободными и поляризованными частицами и на их основе провести анализ поляризационно-угловой зависимости в ряде конкретных ионизационных и тормозных процессов.

В четвертой главе (разд. 4.1) предложена специальная техника, которая дает возможность преобразовывать тензорные конструкции вида (В.9) к линейной комбинации скалярных произведений векторов. Основной элемент этой техники, фактически являющейся дополнением соответствующего раздела теории неприводимых тензорных операторов, состоит в редукции биполярных гармоник {У/'(п') ® У/(п)}£А/-, т.е. в их разложении в конечную сумму "минимальных" гармоник с тем же самым внешним рангом Ь, но с минимально возможными рангами внутренних тензоров. Это позволяет в конечном счете найти компактные инвариантные выражения для амплитуд связанно-связанных и связанно-свободных переходов с разделенными "геометрическими" и "динамическими" частями. Такая форма записи имеет существенные преимущества при анализе поляризационных эффектов в процессах со свободными и поляризованными частицами.

Результаты, полученные в разд. 4.1, применяются в последующих разделах к исследованию поляризационных эффектов в ряде конкретных атомных фотопроцессов. Основное внимание уделено эффектам дихроизма, т.е. различию сечений при левой и правой (в общем случае эллиптической) поляризации светового пучка. Общий анализ таких эффектов, основанный на соображениях пространственной и временной симметрии, проведен в [17]. В этой работе показано, что в многофотонной одноэлектронной ионизации атома идентичными фотонами для дифференциального сечения существует эффект эллиптического дихроизма (ЕБ), т.е. сечение зависит от знака степени циркулярной поляризации £ эллиптической (0 < |£| < 1) волны. В однофотонном тормозном излучении и поглощении и двухэлектронной ионизации имеет место эффект циркулярного дихроизма (СБ), а дифференциальное сечение вынужденного многофотонного тормозного излучения и двухэлектронной ионизации содержит члены, описывающие как СБ, так и ЕБ.

В разделах 4.2-4.5 анализируются эффекты дихроизма в ионизации атомов. Первоначально СБ был детально изучен (экспериментально и теоретически) главным образом в процессах однофотонной одноэлектронной ионизации. В этом случае СБ отличен от нуля только при ненулевой поляризации атома [18] и/или при учете спиновой ориентации фотоэлектрона [19]. Можно показать, что СБ-члены в этом случае имеют следующую форму:

ДСо~£к-Л или £ (к ■ р)(р ■ Л), (В.10) где Л есть спин фотоэлектрона или угловой момент атома.

В более сложном случае однофотонной двухэлектронной ионизации многоэлектронного атома СБ отличен от нуля и для неполяризованных атома и фотоэлектронов с неравными импульсами р ф р', поскольку дифференциальное сечение содержит СБ-член :: вида

Дсб = соз6>)£ к • [р х р'], где к - волновой вектор, соя 9 - угол между р и р'. Этот эффект впервые обсуждался в [20] и измерен экспериментально [21, 22]. В разделе 4.2 проведен подробный анализ углового распределения фотоэлектронов и СБ в однофотонной двухэлектронной фотоионизации неполяризованного атома (без учета спина фотоэлектронов): сначала на основе соображений симметрии записана общая структура дифференциального сечения, затем окончательные результаты получены с использованием формул приведения биполярных гармоник. Полученные выражения полностью описывают общую структуру углового распределения в двойной ионизации атома с угловым моментом и упрощают результаты работ [23, 24].

В разд. 4.3 исследовано угловое распределение электронов при двух-фотонной ионизации свободно ориентирующегося атома с произвольным угловым моментом световым пучком произвольной поляризации. Найдена общая, не зависящая от внутренней динамики (схемы связи и т.д.) форма углового распределения, которая содержит шесть атомных параметров, явно выраженных через редуцированные МЭ второго порядка. Показано, что в угловом распределении фотоэлектронов возникает эллиптический дихроизм, поскольку одно из слагаемых в дифференциальном сечении содержит множитель 1т(е-р)2 ~ ££ {£ - степень линейной поляризации). Общая теория проиллюстрирована численными расчетами для двухфотонной ионизации атомов водорода и цезия.

В разделе 4.4 рассмотрены поляризационные эффекты в трехфотонной ионизации атома водорода. Расчеты проведены с использованием обобщенных штурмовских разложений КФГ, которые и в случае многофотонной ионизации с N > 2 позволяют получать надежные результаты при частотах, во много раз превышающих порог ионизации. Показано, что ЕБ в трехфотонной ионизации имеет значительную величину как при надпоро-говом, так и при пороговом режиме процесса.

В разд. 4.5 исследуется многофотонная ионизация поляризованных атомов. Получены аналитические выражения для инвариантных атомных параметров, определяющих зависимость сечения от мультинолей поляризации исходного состояния. Выполнены численные расчеты сечения двухфотонной ионизации атомов водорода и щелочных металлов из поляризованных Р- и ^-состояний.

В пятой главе рассматриваются тормозные процессы, обусловленные двухфотонными переходами электрона в атомном континууме. Процессы рассеяния электронов на атомах и ионах, сопровождающиеся излучением и поглощением фотонов, составляют обширный раздел атомной физики. Начало квантовому описанию таких процессов положило исследование Зо-ммерфельдом (1931 г.) спонтанного тормозного излучения (Вгеп^тЫш^, ВгБ) при рассеянии электрона на кулоновском центре [25]. В нерелятивистском дипольном приближении сечение ВгБ с испусканием фотона с частотой ш и вектором поляризации е в направлении к

1(7 р' 2 определяется матричным элементом

М = (В.12) перехода между состояниями непрерывного спектра ф^ и ф^ электрона в статическом атомном потенциале и (г). При рассеянии на кулонов-ском центре трехмерный МЭ М вычисляется через гипергеометрические функции 2-^1 (й, Ь] с; х) [25, 26]. Более того, в этом случае оказывается возможным аналитически проинтегрировать сечение (В. 11) но направлениям рассеянного электрона и выразить спектральное распределение ВгБ с1а/с1и в замкнутой форме через производную квадрата модуля функции 2-^1 по аргументу (формула Зоммерфельда [25, 27]). Для потенциала и(г) общего вида расчет сечения (В. 11) состоит в использовании мультипольного разложения функций ф^ (см. ниже (5.10)). В этом случае парциальное разложение амплитуды М, удобное для анализа поляризационно-угловой зависимости сечения, имеет вид (см. гл. 5)

М = д(р,р', в) (е*. р) + в) (е*. р'), (В.13)

9 2 00

Е Е) + е^1+и(Е\ Е)} Р/1}(со80). (В.14) тУ РР

Здесь Д/± = 51±1(р') + ¿¿(р) - фазы рассеяния на потенциале и (г), = (с?/с?х)Р/(а;) - производная полинома Лежандра Р^х), Е' = р'2/2т = Е — /га;, а ^'¡(Е', Е) - радиальные МЭ оператора импульса (см. (5.66)). Спектральное распределение йсг/ско также записывается в виде парциального ряда

00 t = Ш? £ т^К E)f +1 dl.u(E', Е)П. (В.15)

В кулоновском случае этот ряд удается просуммировать непосредственно (см. [28], где аналитически вычислена сумма ряда (В.15), записанного с использованием оператора взаимодействия в "форме ускорения") и воспроизвести формулу Зоммерфельда. Хотя для кулоновского BrS такой подход имеет скорее методический интерес, для потенциала U(г) общего вида парциально-волновой анализ является единственным способом упрощения общих формул (В.И), (В. 12) без дополнительных приближений.

Наряду с обычным ВгЭ, при рассеянии электрона на силовом центре возможен и процесс одновременного излучения двух спонтанных фотонов (двойное тормозное излучение, 2Вг8), который в общем виде был впервые рассмотрен Гайтлером и Нордгеймом в 1934 г. [3] как радиационная поправка к обычному ВгБ. Ссылки на современные экспериментальные и теоретические работы по двухфотонным тормозным процессам приведены в начале пятой главы.

В разд. 5.1 проведен парциально-волновой анализ амплитуд спонтанных и вынужденных двухфотонных свободно-свободных переходов электрона при рассеянии на статическом потенциале и (г). Поляризационная и угловая зависимость двухфотонной амплитуды потенциального рассеяния представлена в виде комбинации скалярных произведений импульсов электрона и векторов поляризации фотонов и 5 атомных параметров, содержащих полиномы Лежандра от угла рассеяния и радиальные МЭ, зависящие от начальной и конечной энергии электрона Е и Е'. Это позволило провести общий анализ поляризационной зависимости в двухфотонных тормозных процессах, показать существование в них эллиптического и циркулярного дихроизма и установить общие свойства этих эффектов. Здесь же на примере однофотонного ВгБ демонстрируется классическая природа эффектов дихроизма в тормозных процессах. Интегрированием но классическим орбитам найдено дифференциальное сечение излучения фотона электроном, которое показывает существование СВ в угловом распределении рассеянного электрона в классическом ВгБ.

В разд. 5.2 аналитически рассчитана амплитуда двухфотонного перехода в кулоновском непрерывном спектре. Результат расчета представлен в виде, который (несмотря на неизбежную громоздкость) является максимально удобным для аналитических и численных приложений.

В разд. 5.3 подробно исследованы асимптотики амплитуды двойного тормозного излучения, в частности, найдены поправки к борновскому и низкочастотному пределам и квазиклассическая асимптотика.

В разд. 5.4 исследованы упругие переходы в кулоновском непрерывном спектре, которыми определяются поправки к резерфордовскому рассеянию. Аналитически выделены расходимости, которые возникают в амплитудах свободно-свободных переходов при сближении энергий начального и конечного состояний, и показано, что эти расходимости компенсируются в окончательном выражении для поправок к упругому рассеянию. Проанализирована поляризационная зависимость поправок к сечению упругого рассеяния и исследованы предельные случаи.

Раздел 5.5 содержит численные результаты для тормозных процессов в кулоновском потенциале, в частности, для угловых распределений и эффектов дихроизма в двухфотонном тормозном излучении.

В Приложение вынесена часть выкладок и результатов, имеющих математический характер.

Основные результаты гл. 1 опубликованы в статьях [29, 30, 31, 32], гл. 2 - в статьях [32, 33, 34], гл. 3 - в статьях [35, 36, 37, 38, 39, 40, 41], гл. 4 -в статьях [30, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48], гл. 5 - в статьях [49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58].

Везде в диссертации, где не оговорено иное, используются атомные единицы.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ Б Г биполярная гармоника ДП динамическая поляризуемость ДГП динамическая гиперполяризуемость КФГ кулоновская функция Грина МЭ матричный элемент ATI надпороговая ионизация CD циркулярный дихроизм ED эллиптический дихроизм 2PhI двухфотонная ионизация 3PhI трехфотонная ионизация BrS тормозное излучение 2BrS двойное тормозное излучение

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Получены два новых представления КФГ в виде рядов по штурмов-ским функциям, которые содержат свободные (произвольные) параметры. Рациональный, соответствующий специфике задачи выбор свободных параметров позволяет кардинально упростить вычисление составных матричных элементов электромагнитных переходов. Результаты применимы также для функции Грина модельного потенциала Фьюса.

2. Получены замкнутые аналитические выражения (в записи через гипергеометрические функции) для амплитуд связанно-связанных и связанно-свободных двухфотонных переходов в атоме водорода из произвольного начального состояния |п1), обобщающие известные однофотонные формулы Гордона. Компоненты тензора динамической поляризуемости ап1т(и) при произвольном п выражены через гипергеометрическую функцию 2-^1, зависящую лишь от I и а), и полиномиальные функции /„/(и) частоты ш = Ьи/\Еп\.

3. Развита техника численных расчетов составных матричных элементов надпороговых связанно-связанных и связанно-свободных переходов, основанная на новых представлениях КФГ, найденных асимптотиках членов штурмовских рядов и подборе устойчивых (не теряющих точности) численных алгоритмов.

4. Проведены расчеты нелинейных атомных восприимчивостей (динамической гиперполяризуемости и магнитоэлектрических восприимчивостей) для основного и возбужденных состояний при надпороговых частотах Ни) > \Еп\. Исследованы линейные по интенсивности поправки к сечению фотоионизации возбужденных состояний и получены оценки пороговой интенсивности, соответствующей началу стабилизации атомных уровней для ряда состояний.

5. Развит эффективный метод кинематического анализа поляризационно-угловых зависимостей в атомных процессах, основанный на технике упрощения биполярных гармоник. Предложенный подход позволяет в явной форме разделять кинематические (геометрические) и динамические части сечения и выражать кинематические части в простейшем виде — через скалярные и смешанные произведения векторов задачи.

6. Проведено исследование поляризационно-угловой зависимости ряда фотопроцессов: двухэлектронной ионизации, двух- и трехфотонной ионизации, двухфотонных тормозных процессов в центральном поле, причем особое внимание уделено эффектам циркулярного и эллиптического дихроизма. Проведена общая параметризация сечений и выполнены количественные расчеты, показывающие доступность эффектов дихроизма для экспериментального наблюдения.

Т. Аналитически рассчитана амплитуда произвольных двухфотонных переходов в кулоновском континууме. Полученные выражения в виде гипергеометрических функций и интегралов от них позволили провести подробное асимптотическое и численное исследование двухфотонных процессов, в частности, аналитически выделить и устранить сингулярности, возникающие в упругих двухфотонных дипольных переходах.

Заключение

В диссертации развиты специальные методы, позволяющие исследовать дисперсионную и поляризационную зависимость в эффектах высших порядков теории возмущений по полю волны, в которых существенную роль играют переходы между реальными или виртуальными состояниями атомного континуума, и на их основе проведен количественный анализ ряда многофотонных процессов.

1. Kramers Н. On the dispersal of radiation by atoms / H. Kramers, W. Heisenberg // Zeit. Phys. - 1925. - V. 31. - P. 681-708.

2. Goppert-Mayer M. Uber Elementarakte fiir mehrpolige Influez und Kondensatormashinen / M. Goppert-Mayer // Ann. d. Phys. 1931. -V. 9. - P. 273.

3. Heitler W. / W. Heitler, L. Nordheim // Physica. 1934. - V. 1. - P. 1059.

4. Делоне Н.Б. Взаимодействие лазерного излучения с веществом / Н.Б. Делоне. М.: Наука, 1989. - 280 с.

5. Langhoff P.M. Aspects of time-dependent perturbation theory / P.M. Langhoff, S.T. Epstein, M. Karplus // Rev. Mod. Phys. 1972.- V. 44. P. 602-615.

6. Зельдович Я.Б. Рассеяние и излучение квантовой системой в сильной электромагнитной волне / Я.Б. Зельдович // УФН. 1973. - Т. 110.- С. 139-150.

7. Sambe Н. Steady states and quasienergies of a quantum-mechanical system in an oscillating field / H. Sambe // Phys. Rev. A. 1973. -V. 7. - P. 2203-2213.

8. Зельдович Я.Б. Квазиэнергия системы при воздействии периодического внешного возмущения / Я.Б. Зельдович, H.JI. Манаков, Л.П. Рапопорт // УФН. 1975. - Т. 117. - С. 569.

9. Манаков H.JI. Распад слабосвязанного уровня в монохроматическом поле / H.JI. Манаков, А.Г. Файнштейн // ЖЭТФ 1980. - Т. 79. -С. 751-762.

10. Запрягаев С.А. Теория многозарядных ионов с одним и двумя электронами / С.А. Запрягаев, H.J1. Манаков, В.Г. Пальчиков. М.: Энер-гоатомиздат, 1985. - 144 с.

11. Manakov N.L. Atoms in a laser-field / N.L. Manakov, V.D. Ovsiannikov, L.P. Rapoport // Phys. Rep. 1986. - V. 141. - P. 319-433.

12. Maquet A. The Coulomb Green's function and multiphoton calculations / A. Maquet, V. Véniard, T.A. Marian // J. Phys. B. 1998. - V. 31. -P. 3743-3764.

13. Hostler L. Coulomb Green function in f-dimensional space / L. Hostler // J. Math. Phys. 1970. - V. 11. - P. 2966-2970.

14. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи: В 3 т: пер с англ Н.Я. Виленкина. М.: Наука. — Т.2: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. - 1974. - 296 с.

15. Gavrila M. Elastic scattering of photons by a hydrogen atom / M. Gavrila // Phys. Rev. 1967. - V. 163. - P. 147-156.

16. Jones P.R. Population trapping in Kr and Xe in intense laser fields / P.R. Jones, D.W. Schumacher, P.H. Bucksbaum // Phys. Rev. A. 1993. - V. 47. - P. R49-R52.

17. Manakov N.L. Circular dichroism and related effects in multiphoton transitions / N.L. Manakov // Super-Intense Laser Physics IV; ed. by Muller H.G., Fedorov M.V. Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1996. - P. 153-162.

18. Cherepkov N. A. / N.A. Cherepkov, A. A. Kuznetsov, V. A. Verbitskii // Adv. At. Mol. Phys. 1983. - V. 19. - P. 395-447.

19. Berakdar J. Circular dichroism in double photoionization / J. Berakdar, H. Klar // Phys. Rev. Lett. 1992. - V. 69. - P. 1175-1177.

20. Experimental evidence for circular dichroism in the double photoionization of helium / J. Viefhaus et al. // Phys. Rev. Lett. 1996. - V. 77. -P. 3975-3978.

21. Helicity dependence of the photon-induced three-body Coulomb fragmentation of helium investigated by cold target recoil ion momentum spectroscopy / V. Mergel et al. // Phys. Rev. Lett. 1998. - V. 80. -P. 5301-5304.

22. Chiral electron pairs from double photoionization / J. Berakdar et al. // J. Phys. B. 1993. - V. 26. - P. 1463-1478.

23. Kabachnik N.M. Circular dichroism in photoinduced auger decay / N.M. Kabachnik, V. Schmidt // J. Phys. B. 1995. - V. 28. - P. 233.

24. Зоммерфельд А. Строение атома и спектры / А. Зоммерфельд: В 2 т: пер. с нем. А.Н. Матвеева и Б.В. Медведева; Под ред. Я.А. Смородин-ского. М.: Гостехиздат, 1956. -Т. 2. - 694 с.

25. Nordsieck A. Reduction of an integral in the theory of bremsstrahlung / A. Nordsieck // Phys. Rev. 1954. - V. 93. - P. 785-787.

26. Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика / В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский. М.: Наука, 1980. - 720 с.

27. Biedenharn L.C. A note on Sommerfeld's bremsstrahlung formula / L.C. Biedenharn // Phys. Rev. 1956. - V. 102. - P. 262-263.

28. Манаков Н.Л. Аналитическое продолжение кулоновских функций Грина в область непрерывного спектра / Н.Л. Манаков, С.И. Мар-мо, А.Г. Файнштейн // ТМФ.- 1984. Т. 59. - С. 49-57.

29. Fainshtein A.G. Use of Coulomb Green function for the calculation of above-threshold multiphoton transitions / A.G. Fainshtein, N.L. Manakov, S.I. Marmo // Phys.Lett.A. 1984. - V. 104. -P. 347-350.

30. Generalized Sturmian expansions of Coulomb Green's functions and two-photon Gordon formula / N.L. Manakov, A. Maquet, S.I. Marmo, C. Szymanowski // Phys. Lett. A. 1998. - V. 237. - P. 234-239.

31. Крыловецкий А.А. Обобщенные штурмовские разложения кулонов-ской функции Грина и двухфотонные формулы Гордона / А.А. Крыловецкий, Н.Л. Манаков, С.И. Мармо // ЖЭТФ. 2001. - Т. 119. -С. 45-70.

32. Krylovetsky А.А. Quadratic Stark effect and dipole dynamic polarizabilities of hydrogen-like levels / A.A. Krylovetsky, N.L. Manakov, S.I. Marmo // Laser Physics. 1997. - V. 7. - P.781-794.

33. Krylovetsky A.A. Comment on analytical calculations of two-photon transition amplitudes for the hydrogen atom / A.A. Krylovetsky, N.L. Manakov, S.I. Marmo // J.Phys. B. 2005. - V. 38. - P. 311-316.

34. Манаков H.JI. Нелинейные восприимчивости в области частот выше порога ионизации / Н.Л. Манаков, С.И. Мармо, А.Г. Файнштейн // ЖЭТФ. 1986. - Т. 91. - С. 51-64.

35. Манаков Н.Л. Динамические гиперполяризуемости возбужденных состояний водорода / Н.Л. Манаков, С.И. Мармо, Е.А. Пронин // ЖЭТФ. 2004. - Т. 125. - С. 288-306.

36. Sixth-order dynamic hyperpolarizability of hydrogen Rydberg levels / N.L. Manakov, S.I. Marmo, E.A. Pronin, A.F. Starace // Bull. Amer. Phys. Soc. 2005. - V. 50. - P. 86.

37. Манаков Н.Л. Магнитоэлектрические восприимчивости атомов / Н.Л. Манаков, С.И. Мармо, В.Д. Овсянников // ЖЭТФ. 1986. -Т. 91. - С. 404-415.

38. Manakov N.L. Magnetic-field induced optical second garmonic generation / N.L. Manakov, S.I. Marmo, V.D. Ovsiannikov // Laser Phys. 1995. -V. 5. - P. 181-185.

39. Marmo S.I. Electric-field induced magnetization and inverse Cotton-Mouton effect in atomic gases / S.I. Marmo, V.D. Ovsiannikov // Phys. Lett. A. 1995. - V. 202. - P. 201-205.

40. Мармо С.И. Обратный эффект Коттона-Мутона в атомарном газе / С.И. Мармо, В.Д. Овсянников // Известия РАН. Серия физическая. -1996. Т. 60. -т. - С. 102-110.

41. Мармо С.И. Вклад высших мультииолей в вероятность двухфотонной ионизации поляризованного атома / С.И. Мармо, В.Д. Овсянников // Опт. и спектр. 1995. - Т. 79. - С. 181-188.

42. Manakov N.L. Circular dichroism in photon-atom scattering caused by virtual photoionization / N.L. Manakov, S.I. Marmo, A.V. Meremianin // J. Electr. Spectr. and Rel. Phen. 1996. - V. 79. - P. 331-334.

43. Elliptic dichroism and angular distribution of electrons in two-photon ionization of atoms / N.L. Manakov, A. Maquet, S.I. Marmo et al. // J. Phys. B. 1999. - V. 32. - P. 3747-3767.

44. Circular dichroism from unpolarized atoms in multiphoton multicolor ionization / R. Taieb, V. Veniard, A. Maquet, N. L. Manakov, S.I. Marmo // Phys. Rev. A. 2000. - V. 62. - P. 013402(9).

45. Мармо С.И. Метод расчета многофотонной ионизации атома водорода при надпороговых частотах / С.И. Мармо // Вестн. Воронежского унта. Сер. Физика, математика. 2005. - №1. - С. 62-74.

46. Fainshtein A.G. Light-induced radiative corrections to the Rutherford formula for Coulomb scattering / A.G. Fainshtein, N.L. Manakov, S.I. Marmo // Phys. Lett. A. 1994. - V. 195. - P. 358-361.

47. Manakov N.L. Light-field induced radiative corrections to the Rutherford formula for Coulomb scattering / N.L. Manakov, S.I. Marmo // Multiphoton processes; ed. by Evans D.K. and Chin S.L. Singapore: World Scientific, 1994. - P. 55-57.

48. Манаков H.JI. Резерфордовское рассеяние в присутствии монохроматической световой волны / H.JI. Манаков, С.И. Мармо, А.Г. Файн-штейн // ЖЭТФ. 1995. - Т. 108. - С. 1569-1588.

49. Manakov N.L. Circular dichroism in laser-assisted electron-atom scattering / N.L. Manakov, S.I. Marmo, V.V. Volovich // Phys. Lett. A. 1995. - V. 27. - P. 42-48.

50. Manakov N.L. Photon polarization effects in bremsstrahlung and laser-assisted electron-atom scattering / N.L. Manakov, S.I. Marmo, V.V. Volovich // J. Electr. Spectr. and Rel. Phen. 1996. - V. 79. -P. 327-330.

51. Manakov N.L. Photon polarization effects in laser-assisted electron-atom scattering / N.L. Manakov, S.I. Marmo, V.V. Volovich // Proc. SPIE. -1996. V. 2796 - P. 90-97.

52. Мармо С.И. Двухфотонные процессы при рассеянии на короткодействующем потенциале / С.И. Мармо, А.Г. Файнштейн // Известия ВУЗов. Физика. 1984. - №4.-С. 92-96.

53. Двухфотонные тормозные процессы в атомах: поляризационные эффекты и аналитические результаты для кулоновского потенциала / А.А. Крыловецкий, H.JI. Манаков, С.И. Мармо, А.Ф. Старас // ЖЭТФ. 2002. - Т. 122. - С. 1168-1197.

54. Circular dichroism in classical Coulomb scattering involving bremsstrahlung / A.A. Krylovetsky, N.L. Manakov, S.I. Marmo, A.F. Starace // Phys. Rev. A. 2005. - V. 72. - P. 035401(4).

55. Heller E.J. Theory of J-matrix Green's functions with applications to atomic polarizability and phase-shift error bounds / E.J. Heller // Phys. Rev. A. 1975. - V. 12. - P. 1222-1231.

56. Broad J.T. Calculation of two-photon processes in hydrogen with an L2 basis / J.T. Broad // Phys. Rev. A. 1985. - V. 31. - P. 1494-1514.

57. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи: В 3 т: пер с англ Н.Я. Виленкина. М.: Наука. — T.1: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. - 1973. - 294 с.

58. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи: В 3 т: пер с англ Н.Я. Виленкина. М.: Наука. — Т.З: Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. - 1974. -299 с.

59. Рарр R. Bound and resonant states in Coulomb-like potentials / R. Papp // J. Phys. A. 1987. - V. 20. - P. 153-162.

60. Пресняков Л.П. Возбуждение многозарядных ионов электронным ударом. / Л.П. Пресняков, A.M. Урнов // ЖЭТФ.- 1975. Т. 68. - С. 6168.

61. Greene С. General form of the quantum-defect theory / C. Greene, U. Fano, G. Strinati // Phys. Rev. A. 1979. - V. 19. - P. 1485-1509.

62. Chernov V.E. Exact analytic relation between quantum defects and scattering phases with applications to Green's functions in quantum defect theory / V.E. Chernov, N.L. Manakov, A.F. Starace // Eur. Phys. Journ. D. 2000. - V. 8. - P. 347-359.

63. Бейкер Дж. Аппроксимации Паде / Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис. -М: Мир, 1986. 502 с.

64. Klarsfeld S. Pade approximants and multiphonon ionisation of atomic hydrogen / S. Klarsfeld, A. Maquet // J. Phys. B. 1979. - V. 12. -P. L553-L556.

65. Klarsfeld S. Pade-sturmian approach to multiphoton ionization in hydrogenlike atoms / S. Klarsfeld, A. Maquet // Phys. Lett. A. 1980. -V. 78. - P. 40-42.

66. Манаков Н.Л. Метод расчета составных матричных элементов с функциями Грина при положительной энергии / Н.Л. Манаков, А.Г.Файнштейн //VI Всесоюзн. конф. по теории атомов и атомных спектров: тез. докл., Воронеж, 1980 г. Воронеж, 1980. - С.9.

67. Рапопорт Л.П. Теория многофотонных процессов в атомах / Л.П. Рапопорт, Б.А. Зон, Н.Л. Манаков. М: Атомиздат, 1978. - 184 с.

68. Mittleman М.Н. Coherent scattering of photons by atomic hydrogen / M.H. Mittleman, F. Wolfe // Phys. Rev. 1962. - V. 128. - P. 2686-2687.

69. Vetchinkin S.I. The Coulomb-Green's function calculation of the second-order interaction of a hydrogen atom with the radiation field / S.I. Vetchinkin, S.V. Khristenko // Chem. Phys. Lett. 1967. - V. 1. - P. 437-440.

70. Христенко С.В. Применение кулоновской функции Грина к расчету взаимодействия атома водорода с нолем световой волны во втором порядке теории возмущений / С.В. Христенко, С.И. Ветчинкин // Опт. и спектр. 1968. - Т. 25. - С. 650-657.

71. Зон Б.А. Двухфотонные связанно-связанные переходы в кулоновском поле / Б.А. Зон, Н.Л. Манаков, Л.П. Рапопорт // ЖЭТФ.- 1968. -Т. 55. С. 924-930.

72. Gavrila М. Rayleigh scattering from п — 2 states of atomic hydrogen / M. Gavrila // Z. Phys. A. 1979. - V. 293. - P. 269-279.

73. Florescu V. Two-photon emission in the 3s —> Is and 3d —> Is transitions of hydrogenlike atoms / V. Florescu // Phys. Rev. A. 1984. - V. 30. -P. 2441-2448.

74. Maquet A. Use of the Coulomb Green's function in atomic calculations / A. Maquet // Phys. Rev. A. 1977. - V. 15. - P. 1088-1108.

75. Преображенский M.A. Точные нерелятивистские выражения тензора рассеяния света атомами / М.А. Преображенский // ЖЭТФ.- 1997. -Т. 111. С. 816-831.

76. Yahontov V. Light-shift calculation in the ns-states of hydrodgenic systems / V. Yahontov, K. Jungmann // Z. Phys. D. 1996. - V. 38. -P. 141-152.

77. Costescu A. Simpler formulae for the two-photon transitions in hydrogenic atoms /А. Costescu, I. Brandus, N. Mezincescu //J. Phys. B. 1985. -V. 18.-P. L11-L16.

78. Florescu V. Systematic study of Is—725 and Is—nd two-photon transitions of hydrogenlike atoms / V. Florescu, S. Patrascu, 0. Stoican // Phys. Rev. A. -1987. V. 36. - P. 2155-2166.

79. Karule E. On the evaluation of transition matrix elements for multiphoton processes in atomic hydrogen / E. Karule //J. Phys. B. 1971. - V. 4. -P. L67.

80. Maquet A. On the light-shift of hydrogenic states / A. Maquet // Phys. Lett. A. 1974. - V. 48. - P. 199-200.

81. Marian T.A. Bound-bound two-photon transition matrix elements for the hydrogen atom in the dipole approximation / T.A. Marian // Phys. Rev. A. 1989. - V. 39. - P. 3816-3824.

82. Игнатьев А.И. Двухфотонные процессы в кулоновском поле в диполь-ном приближении / А.И. Игнатьев // ЖЭТФ.- 1976. Т. 70. - С. 484492.

83. Gazeau J.P. Four Euclidean conformal group in atomic calculations: Exact analytical expressions for the bound-bound two-photon transition matrix elements in the H atom / J.P. Gazeau // J. Math. Phys. 1978. - V. 19. - P. 1041-1048.

84. Рапопорт JI.П. Двухфотонная ионизация атома водорода / Л.П. Рапопорт, Б.А. Зон, Н.Л. Манаков // ЖЭТФ.- 1969. Т. 56. - С. 400-402.

85. Горшков В.Г. Рассеяние рентгеновских лучей на атоме водорода / В.Г. Горшков, B.C. Поликанов // Письма в ЖЭТФ 1969. - Т. 9. - С. 464468.

86. Klarsfeld S. Two-photon ionization of atomic hydrogen in the ground state / S. Klarsfeld // Lett. Nuovo Cim. 1970. - V. 3. - P. 395-398.

87. Gavrila M. Compton scattering of photons by bound K-shell electrons / M. Gavrila // Lett. Nuovo Cim. 1969. - V. 2. - P. 180-184.

88. Gavrila M. Compton Scattering by K-Shell Electrons. II. Nonrelativistic Dipole Approximation / M. Gavrila // Phys. Rev. A. 1972. - V. 6. -P. 1360-1367.

89. Karule E. Transformed Coulomb Green function Sturmian expansion / E. Karule, R.H. Pratt // J. Phys. B. 1991. - V. 24. - P. 1585-1592.

90. Dorman C. Measurement of high conversion efficiency to 123.6-nm radiation in a four-wave-mixing scheme enhanced by electromagnetically induced transparency / C. Dorman, I. Kucukkara, J.P. Marangos // Phys. Rev. A. 2000. - V. 61. - P. 013802.

91. Zhang G.Z. Nonlinear generation of extreme-ultraviolet radiation in atomic hydrogen using electromagnetically induced transparency / G.Z. Zhang, D.W. Tokaryk, B.P. Stoicheff // Phys. Rev. A. 1997. - V. 56. -P. 813-819.

92. Зон Б. А. Спектр водородоиодобного атома в поле лазерного излучения / Б.А. Зон, H.JI. Манаков, Л.П. Рапопорт / Опт. и спектр. 1975. -Т. 38. - С. 13-19.

93. Варшалович Д.А. Квантовая теория углового момента / Д.А. Варша-лович, А.Н. Москалев, В.К. Херсонский. Ленинград: Наука, 1975. -450 с.

94. Манаков Н.Л. Динамическая поляризуемость и рассеяние высокочастотного излучения водородоподобными атомами / Н.Л. Манаков, В.А. Свиридов, А.Г. Файнштейн // ЖЭТФ.- 1989. Т. 95. - С. 790799.

95. Гавриленко В.П. Спектр водородоиодобного атома в поле высокочастотного излучения: аналитическое решение / В.П. Гавриленко // ЖЭТФ.- 1986. Т. 90. - С. 857-865.

96. Beigman I.L. On dynamic polarizability of Rydberg states averaged over the angular quantum numbers / I.L. Beigman, L.A. Bureeva, R.H. Pratt // J. Phys. B. 1994. - V. 27. - P. 5833-5840.

97. Христенко С.В. Дипольная динамическая поляризуемость атома водорода / С.В. Христенко, С.И. Ветчинкин // Опт. и спектр. 1969. -Т. 26. - С. 310-313.

98. Бете Г. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами / Г. Бете, Э. Солпитер М.: Физматгиз, 1960. - 562 с.

99. Delone N.B. Quasiclassical dipole matrix elements for atomic continuum states / N.B. Delone, S.P. Goreslavsky, V.P. Krainov //J. Phys. B. -1989. V. 22. - P. 2941-2945.

100. Делоне Н.Б. Динамическая поляризуемость высоковозбужденных атомов / Н.Б. Делоне, В.П. Крайнов // ЖЭТФ. Т. 83. - С. 20162020.

101. Davydkin V.A. Oscillator strenghts, polarizabilities, and hyperpolarizabi-lities of Rydberg states / V.A. Davydkin, V.D. Ovsiannikov, B.A. Zon // Laser Phys. 1993. - V. 3. - P. 449-461.

102. Ландау Л.Д. Квантовая механика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1974. - 752 с.

103. Манаков Н.Л. Теория возмущений для квазиэнергетического спектра атомов в интенсивном монохроматическом иоле / Н.Л. Манаков, В.Д. Овсянников, Л.П. Рапопорт // ЖЭТФ.- 1976. Т. 70. - С. 1697-1712.

104. Ритус В.И. Сдвиг и расщепление атомных уровней полем электромагнитной волны / В.И. Ритус // ЖЭТФ. 1966. - Т. 51. - С. 1544-1549.

105. Karule Е. The closed form of the second-order ehergy shift for the discrete spectrum of atomic hydrogen / E. Karule, A. Gailitis // J. Phys. B. -2004. V. 37. - P. 829-841.

106. Hostler L. Coulomb Green function and the Furry approximation / L. Hostler // J. Math.Phys. 1964. - V. 5. - P. 591-611.

107. Saha H.P. Ab initio calculation of frequency-dependent atomic dipole polarizability / H.P. Saha // Phys. Rev. A. -1993. V. 47. - P. 2865-2870.

108. Jamieson M.J. Retarded dipole-dipole dispersion interaction potential for helium / M.J. Jamieson, G.W.F. Drake, A. Dalgarno // Phys. Rev. A. -1995. -V. 51.-P. 3358-3361.

109. Yan Z.-C. Variational calculations of dispersion coefficients for interactions among H, He, and Li atoms / Z.-C. Yan, J.F. Babb, A. Dalgarno // 1996. - V. 54. - P. 2824-2833.

110. Zhu J.-M. Long-range interactions for H(ls)-He(ra 1,3P), H(ls)-Li(n 2P) and He(l ls)-U{n 2p) systems / J.-M. Zhu, B.-L. Zhou, Z.-C. Yan 11 J. Phys. B. 2001. - V. 34. - P. 1535-1538.

111. High-precision calculations of dispersion coefficients, static dipole polarizabilities, and atom-wall interaction constants for alkali-metal atoms / A. Derevianko et al. // Phys. Rev. Lett. -1999. V. 82. - P. 3589-3592.

112. Safronova M.S. Relativistic many-body calculations of electric dipole matrix elements, lifetimes, and polarizabilities in rubidium / M.S. Safronova, C.J. Williams, C.W. Clark // Phys. Rev. A. 2004. -V. 69. - P. 022509(8).

113. Dipole polarizabilities of excited alkali-metal atoms and long-range interactions of grounde- and excited-state alkali-metal atoms with helium atoms / C. Zhu et al. // Phys. Rev. A. 2004. - V. 70. - P. 032722(5).

114. Seaton M.J. The quantum defect method / M.J. Seaton // Mounthly Noticies Roy. Astron. Soc. 1958. - V. 118. - P. 504.

115. Seaton M.J. The quantum defect theory / M.J. Seaton // Rep. Prog. Phys. 1983. - V. 46. - P. 167-257.

116. Method of reduced-added Green function in calculation of atomic polarizabilities / V.E. Chernov et al. // Phys. Rev. A. 2005. - V. 71.- P. 022505-11.

117. Метод квантово-дефектной функции Грина для вычисления динамических поляризуемостей атомов / Д.Л. Дорофеев и др. // Опт. и спектр. 2005. - Т. 99. - С. 562-566.

118. Simons G. New model potential for pseudopotential calculations / G. Simons // J. Chem. Phys. 1971. - V. 55. - P. 756-761.

119. Переломов A.M. Группа Лоренца как группа динамической симметрии атома водорода / A.M. Переломов, B.C. Попов // ЖЭТФ.- 1966.- Т. 50. С. 179-198.

120. Фирсова Н.Е. О некоторых свойствах обобщенных спектральных задач, связанных с уравнением Шредингера. / Н.Е. Фирсова, А.И. Шер-стюк // ТМФ.- 1989. Т. 81. - С. 59-68.

121. Szmytkowski R. The continuum Schrodinger-Coulomb and Dirac-Coulomb Sturmian functions / R. Szmytkowski // J. Phys. A. 1998. - V. 31. -P. 4963-4990, 7415.

122. Шерстюк А.И. Спектральные разложения функций Грина в непрерывном спектре по функциям штурмовского типа / А.И. Шерстюк // Опт. и спектр. 1999. - Т. 87. - С. 765-773.

123. Junker B.R. / B.R. Junker // Adv. At. Mol. Phys. 1982. - V. 18. -P. 212-293.

124. Moiseyev N. Quantum theory of resonances: calculating energies, widths and cross-sections by complex scaling / N. Moiseyev // Phys. Rep. -1998. V. 302. - P. 212-293.

125. Yamani H.A. L2 discretizations of the continuum: Radial kinetic energy and Coulomb Hamiltonian / H.A. Yamani, W.P. Reinchardt // Phys. Rev. A. 1975. - V. 11. - P. 1144-1156.

126. Potvliege R.M. Movement and interplay of the bound state, resonance, and shadow poles of the scattering amplitude in multiphoton processes / R.M. Potvliege, R. Shakeshaft // Phys. Rev. A. 1988. - V. 38. -P. 6190-6203.

127. Potvliege R.M. / R.M. Potvliege, R. Shakeshaft // Atoms in intense laser fields; ed. by M. Gavrila. N.-Y.: Academic Press, 1992. - P. 373.

128. Gersbacher R. Resonances in helium photoionisation / R. Gersbacher, J.T. Broad // J. Phys. B. 1990. - V. 23. - P. 365-384.

129. Бломберген H. Нелинейная оптика. M.: Мир, 1966. 424 с.

130. Mizuno J. Use of the Sturmian function for the calculation of the third harmonic generation coefficient of the hydrogen atom / J. Mizuno // J. Phys. B. 1972. - V. 5. - P. 1149-1154.

131. Манаков Н.Л. // Опт. и спектр. 1973. - Т. 35. - С. 24-29.

132. Adiabatic stabilization against photoionization: An experimental study / M.P. de Boer et al. 11 Phys. Rev. A. 1994. - V. 50. - P. 4085-4098.

133. Adiabatic stabilization: Observation of the surviving population / N.J. van Drutten et alj // Phys. Rev. A. 1997. - V. 55. - P. 622-629.

134. Pan L. Computation of the ac Stark effect in the ground state of atomic hydrogen / L. Pan, K.T. Teilor, C.W. Clark // Phys. Rev. Lett. 1988.- V. 61. P. 2673-2676.

135. Multiphoton processes in an intense laser field. IV. The static-field limit / R. Shakeshaft et alj // Phys. Rev. A. 1990. - V. 42. - P. 1656-1668.

136. Miles R.B. Optical third harmonic generations in alkali metal vapors / R.B. Miles, S.E. Harris // IEEE-QE. 1973. - V. 9. - P. 470-484.

137. Eicher H. Third-order susceptibility of alkali metal vapors / H. Eicher // IEEE-QE. 1975. - V. 11. - P. 121-130.

138. Расчет нелинейной восприимчивости паров металлов / Г.Б. Альтшул-лер и др. // Опт. и спектр. 1983. - Т. 54. - С. 408-414.

139. Arnous Е. Stimulated radiative corrections in hydrogen in the presence of a strong laser field / E. Arnous, J. Bastian, A. Maquet // Phys. Rev. A.- 1983.- V. 27. P. 977-995.

140. Эффекты высших порядков теории возмущений для сдвига и ширины атомных уровней в световом поле / H.JI. Манаков и др. // ЖЭТФ.-1978. Т. 75. - С. 1243-1260.

141. Манаков H.JI. Квазистационарные квазиэнергетические состояния / H.JI. Манаков, Л.П. Рапопорт, А.Г. Файнштейн // Изв. АН СССР, сер. физ. 1981. - 45. - С. 2401-2419.

142. Манаков H.JI. Нелинейные восприимчивости для генерации высших гармоник в атомах / H.JI. Манаков, В.Д. Овсянников // ЖЭТФ. -1980. Т. 79. - С. 1769-1778.

143. Базь А.И. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / А.И. Базь, Я.Б. Зельдович, A.M. Переломов. М.: Наука, 1971. - 544 с.

144. Демков Ю.Н. Слабосвязанная частица с ненулевым орбитальным моментом в электрическом или магнитном поле / Ю.Н. Демков, Г.Ф. Друкарев // ЖЭТФ. 1981. - Т. 81. - С. 1218-1231.

145. Davydkin V.A. The hyperpolarisability of an excited atom / V.A. Davydkin, V.D. Ovsiannikov // J. Phys. B. 1986. - V. 19. -P. 2071-2083.

146. Interaction of laser radiation with a negative ion in the presence of a strong static electric field / N.L. Manakov et al. //J. Phys. B. 2000. - V. 33. -P. R141-R214.

147. Ovsiannikov V.D. Diamagnetic shift and splitting of Rydberg levels in atoms / V.D. Ovsiannikov, S.V. Goosev // Physica Scripta. 1998. -V. 57. - P. 506-513.

148. Shelton D.P. Hyperpolarizability of the hydrogen atom / D.P. Shelton // Phys. Rev. A. 1987. - V. 36. - P. 3032-3041.

149. Edvards M. / M. Edvards, R. Shakeshaft // Zeit. Phys. D. 1988. - V. 8. - P. 51.

150. Gavrila M. Atomic stabilization in superintense laser fields / M. Gavrila // J. Phys. B. 2002. - V. 35. - P. R147-R193.

151. Popov A.M. Strong-field atomic stabilization: numerical simulation and analytical modelling / A.M. Popov, O.V. Tikhonova, E.A. Volkova // J. Phys. B. 2003. - V. 36. - P. R125-R165.

152. Tikhonova O.V. Continuum-interference mechanism of strong-field atomic stabilization / O.V. Tikhonova, A.M. Popov, M.V. Fedorov // Phys. Rev. A. 2002. - V. 65. - P. 053404(5).

153. Deng Z. Effect of coherent continuum-continuum relaxation and saturation in multiphoton ionization / Z. Deng, J.H. Eberly // Phys. Rev. Lett. -1984. V. 53. - P. 1810-1813.

154. Демков Ю.Н. Уровни энергии атома водорода в скрещенных электрическом и магнитном полях / Ю.Н. Демков, Б.С. Монозон, В.Н. Островский // ЖЭТФ. 1969. - Т. 57. - С. 1431-1434.

155. Соловьев Е.А. Второй порядок теории возмущений для атома водорода в скрещенных электрическом и магнитном полях / Е.А. Соловьев // ЖЭТФ. 1983. - Т. 85. - С. 109-114.

156. Manakov N.L. Magnetoelectric susceptibilities of degenerate states / N.L. Manakov, V.D. Ovsiannikov, S. Kielich // Acta Phys. Pol. 1978. -V. A53. - P. 595-611.

157. Lambin P. / P. Lambin, J.C. Van Hay, E. Kartheuser // Amer. J. Phys. 1978.-V. 46.-P. 1144.

158. Турбинер А.В. Атом водорода в слабых электрическом и магнитном полях / А.В. Турбинер // ЖЭТФ. 1983. - Т. 84. - С. 1329-1335.

159. Johnson B.R. Large-order perturbation-theory in the Stark-Zeeman effect for parallel fields / B.R. Johnson, K.F. Scheibner, D. Farrelly // Phys. Rev. Lett. 1983. - V. 51. - P. 2280-2283.

160. Manakov N.L. Nonlinear magnetoelectric susceptibilities and laser light intensity dependent Faraday effect in atomic systems / N.L. Manakov, V.D. Ovsiannikov, S. Kielich // Acta Phys. Pol. 1978. - V. A53. -P. 737-746.

161. Manakov N.L. Nonlinear variation in Faraday effect caused in atomic systems by a strong magnetic field / N.L. Manakov, V.D. Ovsiannikov, S. Kielich // Phys. Rev. A. 1980. - V. 21. - P. 1589-1594.

162. Манаков H.JI. Генерация оптических гармоник на атомах / Н.Л. Ма-наков, В.Д. Овсянников // Квантовая электроника. 1975. - Т. 2. -С. 1943-1950.

163. Gani V.A. Hydrogen atom in crossed external fields reexemined by the moment method / V.A. Gani, V.M. Weinberg // Препринт ИТЭФ №2998, 1998.

164. Друкарев Г.Ф. Частица с малой энергией связи в скрещенных электрическом и магнитном полях / Г.Ф. Друкарев, Б.С.Монозон // ЖЭТФ. -1971.-Т. 61. -С. 956-967.

165. Делоне Н.Б. Поляризация фотоэлектронов, образующихся при ионизации неполяризованного атома / Н.Б. Делоне, М.В. Федоров // УФН. 1979. - Т. 127. - С. 651-681.

166. Агре М.Я. Ток увлечения при многофотонной ионизации атомарных газов / М.Я. Агре, В.Д. Овсянников, Л.П. Рапопорт // ЖЭТФ. -1982. Т. 83. - С. 2027-2034.

167. Браун П.А. Эффект Штарка для атома водорода в магнитном поле / П.А. Браун, Е.А. Соловьев // ЖЭТФ. 1984. - Т. 86. - С. 68-83.

168. Казанцев А.П. Теория возмущений для высоковозбужденных состояний / А.П. Казанцев, В.Л. Покровский // ЖЭТФ. 1983. - Т. 85. -С. 1917-1935.

169. Манаков Н.Л. Квазистационарные квазиэнергетические состояния и сходимость рядов теории возмущений в монохроматическом поле / Н.Л. Манаков, А.Г. Файнштейн // ТМФ. 1981. - Т. 48. - С. 385-395.

170. Baier S. Angular distribution of photoelectrons in resonant photoionization of polarized atoms / S. Baier, A.N. Grum-Grzhimailo, N.M. Kabachnik // J. Phys. B. 1994. - V. 27. - P. 3363-3388.

171. Klar H. Angular distribution of photoelectrons from polarised atoms exposed to polarised radiation / H. Klar, H. Kleinpoppen // J. Phys. B. 1982. -V. 15.-P. 933-950.

172. Nikitin S.I. Vibro-rotational states of the two-electron atom. I. Euler angles coordinate basis / S.I. Nikitin, V.N. Ostrovsky // J. Phys. B.- 1985. V. 18. - P. 4349-4369.

173. Korol A.V. New method for the polarizational bremsstrahlung calculation / A.V. Korol, A.G. Lyalin, A.V. Solovy'ov // J. Phys. B. 1995. - V. 28.- P. 4947-4962.

174. Bashkansky M. Asymmetries in above-threshold ionization / M. Bashkansky, PH. Bucksbaum, D.W. Schumacher // Phys. Rev. Lett. 1988. - V. 60. - P. 2458-2461.

175. Basile S. Twofold symmetric angular distributions in multiphoton ionization with elliptically polarized light / S. Basile, F. Trombetta,

176. G. Ferrante // Phys. Rev. Lett. 1988. - V. 61. - P. 2435-2437.

177. Lambropulos P. Comment on "Asymmetries in above-threshold ionization" / P. Lambropulos, X. Tang // Phys. Rev. Lett. 1988. -V. 61. - P. 2506.

178. Muller H.G. Comment on "Asymmetries in above-threshold ionization" /

179. H.G. Muller, G. Petite, P. Agostini // Phys. Rev. Lett. 1988. - V. 61.- P. 2507.

180. Kassaee A. Two-photon ionization of atomic hydrogen with elliptically polarized light / A. Kassaee, M.L. Rustgi, S.A.T. Long // Phys. Rev. A.- 1988. V. 37. - P. 999-1002.

181. Dulieu F. Multiphoton angular distributions with elliptically polarized light. I. Analytic ellipticity dependence of photoelectron distributions in the polarization plane / F. Dulieu, C. Blondel, C. Delsart // J. Phys. B.- 1995. V. 28. - P. 3845-3859.

182. Arnous E. Angular distribution in the two-quantum atomic photoeffect / E. Arnous, S. Klarsfeld, S. Wane // Phys. Rev. A. 1973. - V. 7. -P. 1159-1168.

183. Yang C.N. On the angular distribution in nuclear reactions and coincidence measurements / C.N. Yang // Phys. Rev. 1948. - V. 74. -P. 764-772.

184. Lambropulos P. Multiphoton ionization of one-electron atoms with circularly polarized light / P. Lambropulos // Phys. Rev. Lett. 1972. -V. 29. - P. 453-455.

185. Jacobs V.L. Theory of atomic photoionization measurements / V.L. Jacobs // J. Phys. B. 1972. - V. 5. - P. 2257-2271.

186. Манаков H.Jl. Поляризационно-угловая структура и эллиптический дихроизм сечений трехфотонных связанно-связанных переходов в атомах / Н.Л. Манаков, А.В. Меремьянин // ЖЭТФ.- 1997. Т. 112. -С. 1984-2000.

187. Berakdar J. Dynamical and geometrical properties of the circular dichroism in one-photon double ionization / J. Berakdar // J. Phys. B.- 1998. V. 31. - P. 3167-3180.

188. Liu C.R. One- and two-photon detachment of H~ with excitation of H(n = 2) / C.R. Liu, N.J. Du, A.F. Starace // Phys. Rev. A. 1991. - V. 43. -P. 5891-5906.

189. Sanchez I. Asymmetry parameters in two-photon detachment of H~ below 1 ev / I. Sanchez, H. Bachau, F. Martin //J. Phys. B. 1998. - V. 31.- P. L801-L806.

190. Moore C.E. Atomic Energy Levels / C.E. Moore. Washington, DC: US Govt Printing Office, 1949. - V.I.- 309 p.; V.2.-230p.

191. Zernik W. Two-photon ionization of atomic hydrogen / W. Zernik // Phys. Rev. 1964. - V. 135. - P. A51-A57.

192. Berson I. Multiphoton ionisation of high-Rydberg states / I. Berson // Phys. Lett. A. 1981. - V. 84. - P. 364-366.

193. Федоров M.B. Электрон в сильном световом поле / М.В. Федоров. -М.: Наука, 1991. 222 с.

194. Agostini P. Free-free transitions following six-photon ionization of xenon atoms / P. Agostini, F. Fabre, G. Manfray // Phys. Rev. Lett. 1979. -V. 42.-P. 1127-1130.

195. Делоне Н.Б. Нелинейная ионизация атомов лазерным излучением / Н.Б. Делоне, В.П. Крайнов. М.: Физматлит, 2001. - 312 с.

196. Karule Е. Two-photon ionisation of atomic hydrogen simultaneously with one-photon ionisation / E. Karule // J. Phys. B. 1978. - V. 11. -P. 441-448.

197. Shakeshaft R. A note on the Sturmian expansion of the Coulomb Green's function / R. Shakeshaft // J. Phys. B. 1985. - V. 18. - P. L611-L616.

198. Karule E. Analytical continuation of the transition matrix elements and multiphoton above-threshold ionisation of atomic hydrogen / E. Karule // J. Phys. B. 1988. - V. 21. - P. 1997-2014.

199. Potvliege R.M. High-order above-threshold ionization of hydrogen in perturbation theory / R.M. Potvliege, R. Shakeshaft // Phys. Rev. A. -1989. V. 39. - P. 1545-1548.

200. Берсон И.Я. Многофотонная ионизация высоковозбужденных состояний атомов / И.Я. Берсон // ЖЭТФ. 1982. - Т. 83. - С. 1276-1286.

201. Овсянников В.Д. Фотоионизация поляризованных ридберговских атомов / В.Д. Овсянников // Опт. и спектр. 1993. - Т. 75. - С. 24-28.

202. Agre M.Ya. Polarization effects in multiphoton ionization of atoms / M.Ya. Agre, V.D. Ovsiannikov, L.P. Rapoport // Laser Phys. 1993.- V. 3. P. 719-747.

203. Овсянников В.Д. Ориентирование и выстраивание ионов при фотоионизации атомов / В.Д. Овсянников // Опт. и спектр. 1987. - Т. 63.- С. 983-988.

204. Cherepkov N.A. Optical activity of polarised atoms / N.A. Cherepkov, V.V. Kuznetsov // J. Phys. B. 1989. - V. 22. - P. L405-L409.

205. Летохов B.C. Лазерная фотоионизационная спектроскопия / B.C. Ле-тохов. М.: Наука, 1987. - 318 с.

206. Gavrila М. Free-free electron transitions in a strong laser field / M. Gavrila // Collisions theory for atoms and molecules; ed. by F.A. Gianturco. -N.-Y.,London: Plenum Press, 1989. P. 87-93.

207. Ehlotzky F. Electron-atom collisions in a laser field / F. Ehlotzky, A. Jaron, J.Z. Kaminski // Phys. Rep. 1998. - V. 297. - P. 63-153.

208. Andrick D. Measurement of free-free transitions in e~ — Ar scattering / D. Andrick, L. Langhaus // J. Phys. B. 1976. - V. 9. - P. L459-L462.

209. Direct observation of multiphoton processes in laser-induced free-free transitions / A. Weingartshofer et al) // Phys. Rev. Lett. 1977. - V. 39.- P. 269-270.

210. Wallbank В. Laser-assisted elastic electron-atom collisions / B. Wallbank, J.K. Holmes // Phys. Rev. A. 1993. - V. 48. - P. R2515-R2518.

211. Wallbank B. Low-energy electron helium scattering in a CO2 laser field /

212. B. Wallbank, J.K. Holmes // J. Phys. B. 1996. - V. 29. - P. 5881-5887.

213. Mason N.J. Laser-assisted electron-atom collisions / N.J. Mason // Rep. Progr. Phys. 1993. - V. 56. - P. 1275-1346.

214. Berson I.J. Multiphoton ionization and stimulated bremsstrahlung radiation in the case of short-range potentials / I.J. Berson //J. Phys. B.- 1975. V. 8. - P. 3078-3088.

215. Бункин Ф.В. Тормозной эффект в сильном поле излучения / Ф.В. Бункин, М.В. Федоров // ЖЭТФ.-1965. Т. 49. - С. 1215-1221.

216. Kroll N.M. Charged-particle scattering in the presence of a strong electromagnetic wave / N.M. Kroll, K.M. Watson // Phys. Rev. A. -1973. V. 8. - P. 804-809.

217. Берсон И.Я. Полуклассическое приближение для вынужденного тормозного излучения / И.Я. Берсон // ЖЭТФ.- 1981. Т. 80. - С.1727-1736.

218. Altman J.C. Double atomic-field bremsstrahlung / J.С. Altman,

219. C.A. Quarles // Phys. Rev. A. 1985. - V. 31. - P. 2744-2746.

220. Kahler D.L. Double bremsstrahlung / D.L. Kahler, J. Liu, C.A. Quarles // Phys. Rev. Lett 1992. - V. 68. - P. 1690-1693.

221. Liu J. Cross section for coincident two-photon emission at ±90° in electron-atom collisions / J. Liu, C.A. Quarles // Phys. Rev. A. 1993.- V. 47. P. R3479-R3482.

222. Hippler R. Two-photon bremsstrahlung of free atoms / R. Hippler // Phys. Rev. Lett. 1991. - V. 66. - P. 2197-2199.

223. Gavrila M. Two-photon free-free transitions in a Coulomb potential / M. Gavrila, A. Maquet, V. Véniard // Phys. Rev. A. 1985. - V. 32.- P. 2537-2540.

224. Veniard V. Two-photon bremsstrahlung / V. Veniard, M. Gavrila, A. Maquet // Phys. Rev. A. 1987. - V. 35. - P. 448-451.

225. Gavrila M. Stimulated two-photon free-free transitions in a Coulomb potential: Formalism / M. Gavrila, A. Maquet, V. Veniard // Phys. Rev. A. 1990. - V. 42. - P. 236-247.

226. Florescu V. Two-photon bremsstrahlung in the Coulomb field / V. Florescu, V. Djamo // Phys. Lett. A. 1986. - V. 119. - P. 73-78.

227. Dondera M. Results from the nonrelativistic dipole-approximation theory of two-photon electron bremsstrahlung in the Coulomb field / M. Dondera, V. Florescu // Phys. Rev. A. 1993. - V. 48. - P.4267-4271.

228. Fainstein P.D. Polarization dependence of laser-assisted electron-atom elastic collisions / P.D. Fainstein, A. Maquet //J. Phys. B. 1994. -V. 27. - P. 5563-5571.

229. Effects of laser polarization in laser-assisted electron-helium inelastic collisions: a Sturmian approach / O.E. Akramine et al. // J. Phys. B. 1999. - V. 32. - P. 2783-2880.

230. Geltman S. Laser-assisted collisions: The Kroll-Watson formula and bremsstrahlung theory / S. Geltman // Phys. Rev. A. 1996. - V. 53. -P. 3473-3483.

231. Geltman S. Low-energy laser-assisted electron-helium collisions / S. Geltman // Phys. Rev. A. 1997. - V. 55. - P. 3755-3759.

232. Briggs J.S. Differential cross sections for photo-double-ionization of the helium atom / J.S. Briggs, V. Schmidt // J. Phys. B. 2000. - V. 33. -P. R1-R48.

233. Ландау Л.Д. Теория поля / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1967. - 460 с.

234. Kogan V.I. Kramers electrodynamics and electron-atomic radiative-collisional processes / V.I. Kogan, A.B. Kukushkin, V.S. Lisitsa // Phys. Rep. 1992. - V. 213. - P. 1-116.

235. Гайтлер В. Квантовая теория излучения / В. Гайтлер. М.: ИЛ, 1956.- 492 с.

236. Ландау Л.Д. Механика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1973. - 208 с.

237. Drell S.D. Proton bremsstrahlung / S.D. Drell, К. Huang // Phys. Rev.- 1955. V. 99. - P. 686-691.

238. Манаков Н.Л. Кулоновская функция Грина в параболических координатах / Н.Л. Манаков, Л.П. Рапопорт // Опт. и спектр. 1972. -Т. 33. - С. 998-999.

239. Madajczyk J.L. Singular part of the hydrogen dipole matrix element / J.L. Madajczyk, M. Trippenbach //J. Phys. A. 1989. - V. 22. - P. 2369-2374.

240. Véniard V. Continuum-continuum dipole transitions in femtosecond-laser-pulse excitation of atomic hydrogen / V. Véniard, В. Piraux // Phys. Rev. A. 1990. - V. 41. - P. 4019-4034.

241. Korol A.V. General formula for the singular part of the free-free dipole matrix element / A.V. Korol //J. Phys. B. 1994. - V.27. - P. L103-L107.

242. Korol A.V. Methods of the approximate treatment of the two-photon bremsstrahlung in point Coulomb field / A.V. Korol //J. Phys. B. -1995. V. 28. - P. 3873-3889.

243. Effects on observables of the singularity in the multiphoton free free dipole matrix elements / T. Mercouris et al. // J. Phys. B. - 1996. -V. 29. - P. L13-L20.

244. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. М.: Наука, 1971. - 1100 с.

245. Гервидс В.И. Тормозное излучение электрона в кулоновском поле / В.И. Гервидс, В.И. Коган // Препринт ИАЭ №2720, 1976.

246. Dimou L. New class of resonance in the e + H+ scattering in an excimer laser field / L. Dimou, F.H.M. Faisal // Phys. Rev. Lett. -1987. V. 59. -P. 872-875.

247. Oh S.D. Positiveness and monotonicity of continuum-continuum Coulomb dipole matrix elements / S.D. Oh, R.H. Pratt // Phys. Rev. A. 1992. -V. 45. - P. 1583-1586.

248. Shaffer C.D. Zeros in (inverse) bremsstrahlung matrix elements / C.D. Shaffer, R.H. Pratt, S.D. Oh // Phys. Rev. A. 1998. - V. 57.- P. 227-234.

249. Semiclassical matrix elements, essential-states models and perturbation theory of above-threshold ionisation /М. Trippenbach et al. //J. Phys. B.- 1989.-V. 22.-P. 1193-1206.

250. Hokland S. Off-shell effects in laser-assisted scattering / S. Hokland, L.B. Madsen // Eur. Phys. J. D. 2004. - V. 29. - P. 209-216.

251. Kylstra N.J. Laser-assisted, low-energy electron-potential scattering in a C02 laser field / N.J. Kylstra, C.J. Joachain // Phys. Rev. A. 1998. -V. 58. - P. R26-R29.

252. Kylstra N.J. Low-energy electron-He scattering in a low-frequency laser field / N.J. Kylstra, C.J. Joachain // Phys. Rev. A. 1999. - V. 60. -P. 2255-2268.

253. Dunseath K.M. Scattering of low-energy electron by helium in a C02 laser field / K.M. Dunseath, M. Terao-Dunseath // J. Phys. B. 2004. - V. 37.- P. 1305-1320.

254. On the second Born approximation for laser assisted electron-atom collisions / Bouzidi et al. // J. Phys. B. 2001. - V. 34. - P. 737-748.

255. Dube L.J. Sturmian discretisation. II. The off-shell Coulomb wavefunction / L.J. Dube, J.T. Broad // J. Phys. B. 1990. - V. 23. - P. 1711-1732.

256. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М.: Наука, 1979. - 832 с.