Инвариантные представления матриц конечных вращений и их приложения к теории фотопроцессов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ



^ «Я».

На правах рукописи

МЕРЕМЬЯНИН Алексей Васильевич

ИНВАРИАНТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТРИЦ КОНЕЧНЫХ ВРАЩЕНИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ФОТОПРОЦЕССОВ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Воронеж 1998

п ■ ,

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Воронежского государственного университета.

Научный руководитель:. доктор физ.-мат. наук.

профессор Н. Л. Манаков

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук.

профессор Попов В. С.

доктор физ.-мат. наук, профессор Кадменскнй С. Г.

Ведущая организация: Кафедра теоретической физики

МФТИ

Защита диссертации состоится " 1998 г. в

часов на заседании диссертационного совета К 063.48.02 при Воронежском государственном университете по адресу: 394С93. Воронеж. Университетская пл.. 1. ВГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " ^ 1998 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат технических наук. .Доцен

В.II. Клюкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Изучение угловых распределений в атомной, молекулярной и ядерной физике является важнейшим источником информации о внутренней структуре соответствующих объектов, а также о динамике различных физических процессов. С развитием экспериментальной техники стало возможным эффективное исследование угловых распределений с участием поляризованных частиц. Эксперименты такого рода позволяют получать информацию. недоступную в случае наблюдения свободно ориентируго-шихся объектов. Например, изучение одноэлектроннон фотои-онизацпи поляризованного атома дает возможность получать данные не только о величинах, но и об относительных фазах матричных элементов (см. например [1]). что невозможно в принципе в случае ненаблюдаемых спинов.

В последнее время интенсивно развивается квантовая механика систем нескольких частиц. Пример - Не-подобные ноны, отрицательный ион водорода Н~ и т. п.. Очевидно, что роль межэлектронных корреляций в таких системах весьма велика. Особенно сильно корреляции проявляются в процессах с участием электронной пары в непрерывном спектре — двухэлектронной фотононпзации атомов, а также в (е,2е)-процессах. т. е., процессах с участием одного электрона в начальном и двух - в конечном состояниях непрерывного спектра, или наоборот. При небольших значениях энергии электронной пары, «традиционные» методы - борцовское приближение или приближение искаженных плоских волн, становятся неприменимыми. Более того. в фотопроцессах с участием пары электронов в непрерывном спектре (двухэлектронная фотононизация. (е. 2е)-процессы с участием фотона), появляется специфический эффект фотонной поляризации, который в принципе запрещен в случае борцовского приближения и его вариантов. Этот эффект - циркулярный дихроизм (ЦД), есть различие сечений для право- и ле-вополяризованньгх фотонов. Очевидно, что для линейно поляризованных фотонов ЦД отсутствует, чем и объясняется значительная сложность его экспериментального наблюдения, кото-

рое было осуществлено недавно [2,3] и выявило значительные расхождения теории и эксперимента.

Важной задачей, как для фундаментальной, так и для прикладной физики, является исследование угловых распределений в рассеянии квантов рентгеновского и гамма-излучения атомами и ионами. В этом случае также возможен эффект циркулярного дихроизма, который, однако, до сих пор не наблюдался экспериментально в связи с большой сложностью получения и детектирования пучков поляризованных жестких фотонов.

Ясно, что наблюдение поляризации частиц, участвующих в реакции, вносит в задачу дополнительные векторы, которые могут входить в выражения для вероятностей и сечений процессов только в виде скалярных произведений друг с другом. Таким образом, угловые зависимости в случае поляризованных частиц сильно уел о ж н я ются.

В общем случае, эффективным инструментом теоретического изучения угловых распределений является квантовая теория углового момента. Важность этой теории состоит в возможности выделения кинематических (угловых) и динамических факторов в сечениях процессов, что является следствием закона сохранения полного углового момента. Применение теории углового момента к решению конкретных, физических задач приводит к тому факту, что в выражениях для сечений процессов возникают скалярные произведения мультигюлярных гармоник. Муль-типолярными гармониками называют тензорные произведения сферических функций. Произведение двух функций - биполярные гармоники, трех - триполярные и т. п.. Так. например, в выражение для сечения двухэлектронной фотоионизации входит скалярное произведение биполярных гармоник, зависящих от направлений импульсов фотоэлектронов, и тензора фотонной поляризации. Поэтому, анализ свойств мультигюлярных гармоник является важной задачей теории углового момента. До сих пор такой анализ проводился» исходя из прямого определения мультигюлярных гармоник, как суммы компонент сферических функций, входящих в тензорное произведение, с весами в виде коэффициентов Клебша-Гордана. Однако, этот способ является чрезвычайно громоздким и неудобным.

Цель диссертации

Основная цель диссертации состоит в решении следующих проблем:

1. Вывод «инвариантных», т. е. не зависящих от конкретного выбора системы координат, представлений для матриц конечных вращений.

2. Развитие эффективного метода вычисления мультиполяр-ных гармоник.

3. Применение полученных результатов к решению задач об . определении поляризаиионно-угловой структуры сечений, различных фотопроцсссов. таких как:

(а) Одноэлектронная фотоионизация поляризованного атома.

(б) Двухэлектронная фотоионизация.

(в) Релятивистский фотоэффект.

(г) Двухфотонные связанно-связанные переходы в атомах с учетом эффектов запаздывания.

(д) Трехфогонные связанно-связанные переходы в атомах в дипольном приближении.

Научная новизна и значимость работы

В работе впервые получен новый класс представлений матриц конечных вращений, в виде комбинаций тензорных произведений - биполярных гармоник простейшего вида, зависящих от векторов, связанных с исходной (фиксированной в пространстве) системой координат. Таким образом, доказано, что любой неприводимый тензор может быть разложен по конечному набор}' биполярных гармоник.

Далее, впервые получены явные выражения для операторов понижения и повышения ранга сферических функций, что приводит к возможности представления мультиполярных гармоник в операторном виде. Это, в свою очередь, позволяет переписывать скалярные произведения мультиполярных гармоник через обычные скалярные и смешанные произведения векторов.

Полученные математические результаты фактически образуют новую технику вычисления неприводимых тензорных произведений и значительно облегчают проведение как теоретического, так и экспериментального анализа угловых распределений в атомных и ядерных процессах.

В результате рассмотрения задачи об отделении динамической и геометрической зависимости в трехфотонных связанно-связанных переходах в атомах, предсказано существование нового поляризационного эффекта - эллиптического дихроизма, т. е. различия сечения для право- и левополяризованных фотонов при условии, что их степени эллиптичности отличны от нуля.

Тема, развиваемая в диссертации, является плановой в научно-исследовательской работе кафедры теоретической физики (номер гос. регистрации 01.9.60001457) и входит в тематику следующих грантов (руководитель — проф. Манаков Н. Л.):

1. грант Л"!9С-02-1С251 Российского фонда фундаментальных исследований

2. грант Л'!98-02-16111 Рос сийского фонда фундаментальных исследований

3. грант Л'?95-0-5.3-25 Конкурсного Центра фундаментального естествознания при С.-ПбГУ

4. грант Л"=97-0-5.2-12 Конкурсного Центра фундаментального естествознания при С.-ПбГУ

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Получен ряд инвариантных представлений матриц конечных вращений в виде комбинации тензорных произведений векторов.

2. Развит метод, позволяющий получать разложения мульти-полярных гармоник по базису «минимальных» тензоров, что значительно упрощает анализ угловых зависимостей сечений процессов.

3. Предложена удобная параметризация тензора фотонной поляризации, позволяющая переписывать поляризационные параметры сечения в терминах степеней линейной I и циркулярной £ поляризации фотона и скалярных произведений единичных векторов вдоль направлений импульса и большой полз'оси эллипса поляризации фотона.

4. В наиболее компактном и симметричном виде записана вероятность излучения фотона поляризованным атомом. Все угловые факторы представлены в виде скалярных произведений векторов, характеризующих поляризацию фотона и процесс приготовления поляризационного состояния атома.

о. Детально исследована поляризационно-угловая зависимость сечений одно- н двухэлектронной фотопоннзации. Рассмотрена одноэлектронная ионизация поляризованного атома, при нерегистрпруемой поляризации фотоэлектрона. ионизация неполярнзованного атома с регистрируемым спином электрона. Проанализирован циркулярный дихроизм в случае ионизации поляризованного атома и регистрируемого спина фотоэлектрона.

6. В наиболее компактном виде приведена структура сечения ионизации атома с учетом эффектов запаздывания.

7. Детально проанализирована поляризационно-угловая структура сечений произвольных двухфотонных связанно-связанных переходах в атомах с учетом эффектов запаздывания. При этом особое внимание уделено условиям возникновения циркулярного дихроизма. Приведены численные оценки величины циркулярного дихроизма в рассеянии на водородолодобных ионах с ¿Г = 30.50,80. демонстрирующие возможность экспериментального наблюдения дихроизма.

8. В электрическом диполыюм приближении сечение произвольного трехфотоиного перехода между дискретными состояниями атома записано в инвариантной форме, содержащей скалярные и смешанные произведения векторов по-

ляризации фотонов н инвариантные атомные параметры, зависящие лишь от частоты фотонов.

Практическая ценность работы

Результаты, приведенные в диссертации позволяют эффективно анализировать структуру угловых зависимостей сечений процессов с участием поляризованных частиц. Фактически, разработанная техника может применяться к любым расчетам, в которых в принципе возможно использовать стандартную технику теории углового момента. - мультппольные разложения л теорему Вигнера-Эккарта.

Более того, даже в случае, когда обычные методы (напр.. теорема Вигнера-Эккарта) алгебры углового момента неприменимы. полученные результаты дают возможность удобным образом параметризовать как теоретические результаты, так и экспериментальные данные.

Полученные результаты используются другими авторами (см.. например [4.5|).

Апробация работы и публикации

Основные результаты исследований опубликованы в журналах Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena. Journal of Physics B. Physical Review А. Журнале Экспериментальной и Теоретической Физики и в тезисах докладов, сделанных па следующих конференциях:

1. XIX Int. Conf. on Phys. Electr. and At. Collisions (Vancouver. 1995)

2. Autoionization Phenomena in Atoms (5th International. Workshop. Dubna, Russia. December 12-14. 1995);

3. V Europ. Conf. on At. Mol. Phys (ECAMP V) (Edinburgh, 1995)

4. The 11th International Conference on Vacuum Ultravialet Radiation Physics (August 27 - September 1, Tokyo, 1995);

5. 15 Inf. Conf. on atomic Physics: Zeeman-Effect Centenary (Amsterdam, 1996)

6. Resonant Inelastic Soft X-Ray Scattering (International Workshop, 5-7 September, Walberberg, 1996);

7. 28 Conference of Europ. Group on Atomic Spectroscopy (Gratz, 1996);

8. 17th International Conference X-Ray and Inuer-Shell Processes (September 9-13, Hamburg, 1996);

9. 1998 Annual Meeting of the Division of Atomic. Molecular, and Optical Physics (DAMOP) of the American Physical Society (May 27-30. Santa-Fe, New-Mexico. 1998):

10. 6th EPS Conference on Atomic and Molecular Physics. (14-18 July. Siena. Italy, 1998);

11. The 12th International Conference on Vacuum Ultravialet Radiation Physics (July 3-7, San-Francisco. 1998).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из Введения, пяти глав. Заключения и Приложения. Обншй объем диссертации составляет 177 страниц машинописного текста, включает 1 таблицу, а также список цитируемой литературы из 70 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении изложено обоснование актуальности темы исследования. ставятся задачи, решаемые в диссертации и приведено краткое содержание отдельных ее глав.

В главе 1 получены различные «инвариантные» представления матриц конечных вращений (МКВ), которые определяют

закон преобразования неприводимых тензоров при пространственных вращениях в соответствии с равенством [6|:

Пп = £ Ът,щп,т(П), (1)

где Т]1П и - компоненты тензора Т}, указанные в «старой» (фиксированной или начальной) системе Л' и «новой» (повернутой или лабораторной или конечной) системе Л'', соответственно. Символ обозначает параметры вращения. Ур. (1) содержит МКВ и абстрактной форме. Явные представления МКВ зависят от конкретного выбора параметров, определяющих вращение.

В разделе 1.1 изложены общие замечания о тензорной структуре матриц конечных вращении. В настоящее время наиболее широко используются два различных представления МКВ. Это так называемые Б- и и-функции [6|. Функции Вигне-ра 2?^п,т(о|}'>) зависят от трех углов Эйлера а. 3. 7, использование которых приводит к наиболее компактным алгебраическим выражениям для МКВ. Функции и^,т{п.~и) зависят от направления оси вращения п и от углов попорота

Несмотря на то обстоятельство, что матрица конечных вращений есть набор 2} + 1 неприводимых тензоров, пронумерованных либо индексом т'. либо индексом гп (т. е. МКВ есть тензор ранга j с проекциями гп в системе К', а в системе К - с проекциями гп'): явные выражения для МКВ не обладают тензорной структурой, инвариантной относительно конкретного выбора системы координат.

Даже в простейшем случае, когда ранг j МКВ равен единице. функции 0'п,т или £7п'т ш' Л1°ГУТ быть представлены в виде инвариантных комбинаций некоторых векторов. Только для такое инвариантное представление широко известно. Оно указано, например, в [б)

. ^Ш(0,/3.7).= (2)

где }';-т(а) есть сферическая гармоника зависящая от вектора а, направленного вдоль оси Ъ фиксированной системы координат К. Использование термина «инвариантный» для соотношений, аналогичных (2) оправдано, поскольку сферическая гармоника

в правой части этого этого равенства является тензорным произведением векторов а [С].

В разделе 1.2 получены представления МКВ в терминах тензорных произведений векторов сферического базиса системы А", обобщающие формулу (2) на случай т' ф 0.

В разделе 1.3 получено «дифференциальное» представление МКВ в виде действия тензорного произведения операторов градиента, определенных в лабораторной системе К', на сферическую функцию, определенную в фиксированной системе К. Дифференциальное определение МКВ. во-первых, наглядно демонстрирует фундаментальные групповые свойства МКВ. такие как унитарность, закон сложения поворотов: а во-вторых, удобно для получения различных явных выражений для МКВ.

Раздел 1-4 содержит вывод представлений МКВ в виде комбинации биполярных гармоник, зависящих от векторов а, Ь. декартового базиса фиксированной системы К (а||02. ЬЦОЛ', с||ОУ).

= Е -4ь ^ г- П-2.(Ь)Ьт, (3)

= Е {со 0}-*+2.(а) Э

з=0

Использованы стандартные обозначения теории углового момента [б|. Симмегризованные МКВ определены равенствами

ДЫП) = к> о. (4)

В разделе 1.5 получено разложение МКВ по биполярным гармоникам (БГ), зависящим ог пары произвольных неколлине-арных единичных векторов п. п'. связанных с системой К. Это разложение имеет вид к

= Е <>) 0 (5)

5=0

4-1

ЛЫП) = Е (V х 0 '(") ® (6)

5=0

где вектор п направлен вдоль оси Z системы Л", а вектор и' лежит в плоскости 2Х той же системы. Зависимость коэффициентов В^ от угла между векторами и, п' определяется равенством

Вх«{в) = (2к — 1)!!

V (2s + 1)!(2у - 28 -2Х + 1)!.'0' + k)l(j - к)Г v ;

Отметим, что .многочлены Гегенбауэра C¿_^_x(cosB) а правой части (7) не зависят от ранга j МКВ. Для тензорного произведения сферических функций в (5) будем использовать термин «минимальные биполярные гармоники», поскольку «внешний» ранг этих БГ j равен сумме «внутренних» рангов s. j — s. Поскольку число векторов, образующих тензор ранга j должно быть больше либо равно j, ясно, что минимальные БГ являются простейшими тензорами ранга j, составленными из двух векторов.

Подставляя' (4) в (1) можно получить «модифицированное» правило преобразования неприводимых тензоров при вращениях. содержащее минимальные биполярные гармоники и скалярные коэффициенты — компоненты тензора в фиксированной системе Л\ Таким образом, минимальные БГ образуют базис в пространстве неприводимых тензоров.

В разделе 1.6 изложены некоторые примеры использования инвариантных представлений МКВ для вычисления тензорной структуры конкретных объектов. В параграфе 1.6.1 рассматриваются триполярные гармоники второго ранга

■ У&1Ш'{т.Щ.щ) = {¥,>,) 3 (V,,,(n2) eY/,(ii3)}/}2,„; (8) Разложение этой триполярной гармоники представлено в виде

i'2m('3'3)'(nb П2. Пз) = «1 {пХ <3 Ilibm + й2 {п2 0 П2}2т

+ a3{niGn2}2m + bl {[ni X П2] 0 n, }2т + Ь2 {[llx ХИ2]0П2}2т-

здесь a¡, bj являются скалярными коэффициентами, зависящими от относительных углов между векторами íij, п2, n.¡. Параметр а2, например, равен

«2 = --■ 2

sin t)2

где К2т = Оч 0, в3 ф3) есть компоненты триполярной

гармоники в системе координат с осыо Z, направленной вдоль вектора П! и осью У, направленной вдоль [111 х 1ь]; (92, — азимутальные углы векторов п2, Пз, соответственно, фз — полярный угол вектора Пд в указанной системе. В параграфе 1.6.2 получены инвариантные представления неприводимых компонент поляризационной матрицы плотности - поляризационных муль-тпиолей Рггп (см. [7,8]). Поскольку поляризационные моменты являются тензорами, для них применимо «модифицированное» правило преобразования. Ниже представлены явные выражения для поляризационных моментов рангов г = 1.2.

Р, = Рх^ + РиЬ+Р'пс (9)

Р2 = 7>2о{аОа}г + 7>22{ЬэЬЬ+7МаЭЬ}2

+^{аОсЬ+К2{Ь0с}2, (10)

где а. Ь, с — единичные векторы декартового базиса, направленные вдоль осей Z. X, У системы К. которая может быть связана с процессом возбуждения, использованного для приготовления мишени. Параметры Ргт представлены в виде

-Рю^с^Зъ), Р22 = с2((Х1)-(31)). (11)

где .1а - проекция оператора углового момента на ось Ъ системы К и т.д.: С), с2 - числовые коэффициенты. Существует прямая связь между параметрами Ргт и свойствами симметрии поляризационного состояния. Например, если поляризационное состояние обладает аксиальной симметрией, то направляя вектор а (или Ь) вдоль оси симметрии, мы получаем, что только тензоры, содержащие коэффициенты РГ0 (или Ргг) дают вклад в Ргт. В случае право-левой (зеркальной) симметрии (т. е. по отношению к отражению с ^ —с), выпадают все тензоры с коэффициентами Р'.

Глава 2 содержит технику приведения мультнполярных гармоник. Под термином «приведение» подразумевается сведение мультиполярной гармоники к комбинации минимальных гармоник, ранг которых совпадает с числом векторов, входящих в гармонику.

Важнейшим для практических приложений частным случаем мультнполярных гармоник являются биполярные гармони-

ки - тензорные произведения двух сферических функций. Полученные в диссертации (Приложение А) дифференциальные операторы повышения и понижения ранга сферической функции приводят к представлению БГ в виде результата действия тензорного произведения операторов градиента на полином Ле-жандра. что дает возможность получить общие формулы приведения БГ произвольного вида (раздел 2.1). Приложение В. содержит формулы приведения БГ рангов 1, 2, 3. записанные в максимально простой форме. Одна из таких формул имеет вид:

о*» - «мь - ^да^» м I»"

здесь л: — п ■ п' - косинус относительного угла.

Раздел 2.2 содержит схему (базирующуюся на использовании операторов дифференцирования) приведения мультиполяр-ных гармоник специального вида, являющихся тензорным произведением двух сферических функций с произвольными рангами и сферических функций первого ранга (векторов). Тензор

{{з-ЗадЬ.-Ша)}!.

представляет пример гармоник такого рода. В параграфе 1.2.1 изложен алгоритм, позволяющий переписывать скалярные произведения мультиполярных гармоник, составленные из различных векторов, через скалярные произведения тех же векторов. Там же приведены примеры вычисления таких конструкций.

В главе 3 рассмотрена поляризационно-угловая структура сечений однофотонных процессов — излучения поляризованного атома, одно- и двухэлектронной фотоионизацпи. релятивистского фотоэффекта.

В разделе 3.1 получено выражение для поляризационной зависимости вероятности излучения фотона поляризованным атомом в дипольном приближении

(ки

= 11 а 11 • Р1)+а3(^20(3|е - а|2-1)

+ Р22{3|е • Ь|2 - 1) + 3?>2111е(е • а)(е* • Ь) + ЗР'21Ле{е ■ а)(е* • с) + ЗР22Ке(е ■ Ь)(е* • с))]. (13)

Здесь использованы обозначения (9-11); к - единичный вектор вдоль направления вылета фотона с вектором поляризации е. Параметры а,- пропорциональны б^символам. Выражение (13) для вероятности содержит только скалярные произведения векторов задачи — векторов поляризации фотона, и векторов, связанных с системой возбуждения, что позволяет эффективно учитывать симметрию процесса возбуждения. Для анализа эффектов фотонной поляризации удобно использовать равенства

(е • а)(е* • Ь) = 11е(е • а)(е* ■ Ь) + £ £ к • [а х Ь], (14)

2 Бе(е • а)(е* • Ь) = 21 (а - е)(е- Ь) + (/ - 1) [а х к] • [к х Ь],

справедливые для действительных векторов а. Ь и произвольно (в т.ч. частично) поляризованных фотонов. Здесь е и к есть единичные векторы, направленные вдоль большой полуоси эллипса фотонной поляризации и импульса фотона, соответственно: I и £ - степени линейной и циркулярной поляризации фотона. Соотношения (14) позволяют переписывать поляризационные коэффициенты в виде скалярных произведений действительных векторов с коэффициентами, зависящими ог степеней линейной и циркулярной поляризации фотонов.

В разделе 3.2 исследована угловая структура сечения одно-фотонной ионизации поляризованного атома в дипольном приближении. В параграфе 3.2.1 проведено феноменологическое рассмотрение поляризационной зависимости сечения. Рассмотрены следующие ситуации: а) поляризованный атом, неполяри-зованный фотоэлектрон; б) поляризованный фотоэлектрон, не-полярпзованный атом: в) циркулярный дихроизм в случае поляризованных и атома, и фотоэлектрона: г) для ионизации атома из состояния с начальным моментом = 1/2 проанализированы все возможные поляризационные эффекты. Для случаев а) — г), в параграфе 3.2.2 получены выражения для динамических факторов в сечениях в виде комбинаций производных от полиномов Лежандра, зависящих от косинуса угла меж,ту направлениями оси симметрии поляризационного состояния атома и импульса фотоэлектрона, с весами в виде приведенных матричных элементов оператора взаимодействия.

В разделе 3.3 рассмотрена угловая зависимость сечения двухэлектронной фотоионизации неполяризованного атома. По-

ляризационнан структура сечения установлена из общих соображений (параграф 3.3.1). В общем случае сечение включает пять слагаемых, зависящих от угла 0 между направлениями импульсов фотоэлектронов; один из параметров описывает циркулярный дихроизм. Связь атомных факторов с матричными элементами оператора днпольного момента приведена в параграфе 3.3.2, при этом для волновой функции фотоэлектронов используется мультиполыюе разложение. ЦД описывается членом £(Х1 к • [п1 х п2]. где к. пь п2 — единичные векторы вдоль направлений импульсов фотона и фотоэлектронов, соответственно. Параметр 0\ представлен в виде ряда по производным от полиномов Лежандра. зависящим от п( • гь, с коэффициентами в виде комбинаций приведенных матричных элементов.

В разделе 3-4 рассмотрен релятивистский фотоэффект с учетом эффектов поляризации спина фотоэлектрона. В параграфе 3-4-1 проведено выделение кинематической и динамической зависимости сечения в терминах тензорных произведений сферических функций и комбинаций приведенных матричных элементов. В параграфе 3-4-2 приведена поляризационно-угловая структура сечения. Рассмотрены случаи: а) поляризованный атом с полным моментом 1/2. спин фотоэлектрона не регистрируется: б) неполярпзованнып атом с произвольным начальным моментом, поляризованный электрон.

В главе 4 рассмотрены эффекты фотонной поляризации и угловые распределения в релятивистских двухфотонпых связанно-связанных переходах. Такими переходами могут быть рассеяние -/-квантов, двухфотонное возбуждение или распад.

В разделе 4-1 проведен общий анализ ЦД в двухфотонпых переходах (нерелятивистское рассмотрение см. в [9)). Из общих соображений пространственной и временной инвариантности можно установить, что ЦД в рассеянии фотонов пепо-ляризованными атомами возможен лишь при учете недиполь-ных поправок. Поскольку дихроизм обусловлен интерференцией действительной и мнимой частей амплитуды перехода, ЦД в рассеянии 7-квантов можно наблюдать если энергия 7-кванта превышает порог ионизации атома.

Раздел 4-2 содержит анализ поляризационной зависимости сечений двухфотонпых переходов в релятивистском случае. В параграфе 4-2.1 проведено феноменологическое рассмотрение

поляризационной зависимости переходов между состояниями с произвольными значениями полного углового момента. Общая форма сечения упругого или неупругого рассеяния, а также любого связанно-связанного перехода представлено в виде, аналогичном формуле Плачека для дипольного рассеяния

Г(|2 ( I *|2 I 1 /1 I \1\

= -у— (ai|ei • е2| 4- ^а2(1 — |е1 ■ е2| )

+ + |ei ■ е2|2 - • еГ,|2) + а4|щ • е2|2

+ а5|п2 • е]|2 + • е2|2|п2 ■ е, |2 + а7 /, + а8 /2j . (15)

Здесь а,- «¿(cos^) - атомные параметры: г0 - классический радиус электрона. Параметры 2 в (15) определяют ЦД и имеют вид:

/, = £<" Re{(e2-n1)(e.Mn1 х п,])} (16)

/2=£(2) Re{(e,-n2)(e;-[n2 xn,])}. (17)

,с(2) _ степени циркулярной поляризации, a nj, п2 - направления импульсов падающего и рассеянного фотонов, соответственно. Выражение для сечения включает 8 различных угловых комбинаций, 3 из которых совпадают с параметрами дипольного рассеяния. 2 комбинации Л, /2 описывают ЦД. Кроме того, получено выражение для сечения и в записи через традиционные параметры Стокса падающего и рассеянного фотонов, при этом поляризационная зависимость сечения представлена в виде, аналогичном известной формуле Клейна-Нишины [7] для рассеяния -•-кванта на свободном электроне — члены, описывающие циркулярный дихроизм. В параграфе 4.2.2 анализируется угловая зависимость в случае переходов между состояниями с нулевыми моментами (например, рэлеевское рассеяние 7-квантов на атомах с заполненными оболочками), когда амплитуда процесса не зависит от магнитных квантовых чисел.

В разделе 4.3 проведено отделение геометрических и динамических факторов в сечениях двухфотонных переходов. В параграфе 4-3.1 с помощью стандартных методов теории углового момента получено разложение амплитуды процесса на неприводимые части. Аналогично диполыгаму рассеянию, число

da

парциальных амплитуд зависит от величины угловых моментов ./,, Jf начального и конечного состояний атома. При J, = Jj = О (например, атомы с заполненными электронными оболочками) парциальное разложение амплитуды включает только скалярную часть, что радикально упрощает выражения для угловой зависимости сечения (параграф 4-3-1). При J; + Jj = 1 в разложение входит также парциальная амплитуда первого paîtra, (так называемая «антисимметричная» амплитуда). Результаты главы 2 позволяют представить антисимметричную амплитуду в виде комбинаций векторов со скалярными коэффициентами, которые определяются динамикой процесса (частотой фотонов и т.п.). Динамические коэффициенты амплитуды являются рядами матричных элементов мультиполей оператора электромагнитного взаимодействия. Пример вычисления угловых коэффициентов в двухфотонной амплитуде приведен в Приложении Г.

В отличие ог дипольного рассеяния, когда парциальное разложение амплитуды, при произвольных значениях моментов ./,-, Jf. включает только три части (скалярную, антисимметричную и тензорную), учет эффектов запаздывания приводит к чрезвычайно громоздким выражениям для амплитуды при -/¿ + .7/ > 1 и в этом случае приходится рассматривать поляризационную зависимость сечения в целом (раздел 4-4 )•

В разделе 4-5 в одноэлектронпом приближении рассмотрена связь динамических атомных параметров с радиальными матричными элементами (параграф 4-5.1) и приведены численные оценки динамических факторов для переходов в Н-подобных ионах с Z=30.50.80 (параграф 4-5.2). демонстрирующие возможность экспериментального наблюдения ЦД в рассеянии жестких фотонов атомами с большими Z.

В главе 5 рассматривается поляризационная структура сечений трехфогонных связанно-связанных переходов в атомах.

В разделе 5.1 проведен анализ угловой зависимости сечений для переходов с тремя различными фотонами. Для оператора взаимодействия используется днпольное приближение. Общий вид поляризационной зависимости сечения установлен из соображений пространственно-временной инвариантности (параграф 5.1.1). Квантово-механическое рассмотрение проведено в параграфе 5.1.2.. Выражения для динамических параметров сечения приведены в Приложении Д. Показано, что в случае

ненаблюдаемых спинов сечение содержит 15 различных слагаемых, 3 из которых описывают ЦД, который для трехфотонных переходов возможен уже в дипольном приближении. В параграфе 5.1.3 анализируются правила отбора для трехфотонных переходов.

Практически важный частный случай переходов с идентичными фотонами изучается в разделе 5.2. Когда два из трех фотонов тождественны, возможен интересный поляризационный эффект — эллиптический дихроизм, т. е. зависимость сечения от знака степени эллиптичности (/£) фотонов. Как и в случае циркулярного дихроизма, эллиптический дихроизм определяется интерференцией действительных и мнимых частей парциальных амплитуд и его измерение позволяет получить информацию о диссппативных параметрах среды, недоступную в экспериментах с линейной или циркулярной поляризацией фотонов.

В разделе 5.3 анализируются эффекты атомной ориентации при возбуждении в двухчастогном поле, также имеющие интерференционную природу. Показано, что ориентапионные эффекты имеют место даже и случае переходов с участием полностью линейно поляризованных фотонов.

В Заключении сформулированы основные результаты, выносимые на защиту.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. N. L. Manakov. S. I. Marmo, and А. V. Meremianin. On the angular distributions in the processes with polarized particles. In Invited Talks of V Int. Workshop on Autoiniz. Phen. in Atoms (AIS-95), 45-49, Dubna, 1995.

2. N. L. Manakov, S. I. Marmo, and A. V. Meremianin. A new-technique in the theory of angular distributions in atomic processes: the angular distribution of photoelectrons in single and double photoionization. J. Phys. В, 29, 2711-2737, 1996.

3. N. L. Manakov, S. I. Marmo and A. V. Meremianin. Circular dichroism in VUV- and X-ray atom scattering caused by virtual photoionization, J. Electron Spectrosc. Relat. Phenom., 79. 331-334. 1996.

4. H. Л. Манаков, А. В. Меремьянин. Полярпзационно-угловая структура и эллиптический дихроизм сечений трехфотонных связанно-связанных переходов в атомах. ЖЭТФ. 111(6), 1984-2000, 1997.

о. N. L. Manakov. А. V. Meremianin. and А. Е Starace. Invariant representations of finite rotation matrices and some applications. Phys. Rev. A. 57(5). 3233-3244. 1998.

6. N. L. Manakov, S. I. Marmo. and A. V. Meremjanin. Circular dichroism in vuv- and x-ray atom scattering caused by virtual photoionization. In Abstracts of 11 Int. Conf. on Vacuum Ultravialet Radiation Physics (VUV XI). Tu 01. Tokyo. 1995.

7. N. L. Manakov. S. I. Marmo. and A. V. Meremjanin. Circular dichroism in photon-atom scattering caused by virtual photoionization. In Abstract of XIX Int. Conf. on Phys. Eltctr. and At. Collisions (XIX ICPEAC), Fr 20. Vancouver. 1995.

8. N. L. Manakov and A. V. Meremjanin. Circular dichroism in resonant two-photon, two-color excitation of atoms. In Contributed papers of V Eur op. Conf. on At. Mol. Phys. (ECAMP V). volume II. G35. Edinburgh. 1995.

9. N. L. Manakov. S. I. Marmo, and A. V. Meremianin. Angular distribution in double photoionization and in electron-atom brcmsstrahlung. In Abstracts of 17 Int. Conf. X-ruy and Inner-Shell Processes. TuPo44, Hamburg, 1996.

10. N. L. Manakov and A. V. Meremianin. Circular dichroism in angular distribution of polarized electrons in photoionization of polarized atoms. In Abstracts of 17 Int. Conf. X-ray and Inner-Shell Processes, TuPo45, Hamburg, 1996.

11. N. L. Manakov and A. V. Meremianin. Circular dichroism in elastic and inelastic x-ray scattering by atoms. In Abstracts of

Int. Workshop on Resonant Inelastic Soft X-Ray scattering, 018, Walberberg, 1996.

12. N. L. Manakov and A. V. Meremianin. On the complete experiment in photoinization of atoms with jo = 1/2. In Abstracts of 28 EGAS, 338, Gratz. 1996.

13. N. L. Manakov, S. I. Marmo, and A. V. Meremianin. New approach to the angular distributions in atomic processes. In Abstracts of 15 Int. Conf. on atomic Physics: Zeeman-Effect Centenary, ThMlO, Amsterdam, 1996.

14. N. L. Manakov. A. V. Meremianin. and A.F Starace. Invariant representations of finite rotation matrices and some applications. In Bulletin of the American Physical Society, Meeting of the APS Division of At. Mol. Opt. Phys. (DAMOP), volume 43. HP38, Santa-Fe. May 1998.

15. N. L. Manakov. A. V. Meremianin. and A.F. Starace. New representations of finite rotation matrices and some applications. In Book of Abstracts of VI Europ. Conf. on At. Mol. Phys. (ECAMP VI), volume 22D. 1-85. Siena. 1998.

16. N. L. Manakov. A. V. Meremianin. Photon polarization effects. especially circular dichroism. in relativistic two-photon bound-bound transitions in atoms. In Abstracts of 12 Int. Conf. on Vacuum Ultravialet Radiation Physics (VUV XII), Fr 05. San-Francisco, 1998.

Цитированная литература

1. Н. Klar. Н. Kleinpoppen. J. Phys. В. 15 (1982) 933.

2. .1. Viefhaus. L. Avaldi. G. Snell. Phys. Rev. Lett.. 77 (199G) 3975.

3. V. Mergel. et al. Phys. Rev. Lett., 50 (1998) 5301.

4. L. Malegat. P. Seiles. A. Huetz. .7. Phys. B. 30 (1997) 251.

5. J. Berakdar. J. Phys. B. 31 (1998) 31G7.

6. Д. А. Варшалович. A. H. Москалев. В. К. Херсонский. Квантовая теория углового момента. Ленинград: Наука. (1975).

7. В. Б. Берестецкнй. Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. Квантовая электродинамика. Москва: Наука. (1989).

8. К. Blum. Density matrix theory and applications. New-York: Plenum Press. (1981).

9. H. Л. Манаков. ЖЭТФ. 106 (1994) 128C.

Заказ ЫяЗ#& от 18. К1998 г. Тир.12Р_ экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

Введение

1 Инвариантные представления матриц конечных вращений и некоторые приложения

1.1 Общие замечания.

1.2 Инвариантное представление МКВ в терминах векторов сферического базиса.

1.3 Дифференциальная форма МКВ

1.4 Представление МКВ в терминах векторов декартового базиса

1.5 Разложение МКВ по базису биполярных гармоник.

1.6 Некоторые приложения.

1.6.1 Упрощение триполярных и мультиполярных гармоник.

1.6.2 Инвариантная форма поляризационных моментов.

2 Тензорная структура мультиполярных гармоник

2.1 Формулы приведения биполярных гармоник.

2.2 Схема приведения мультиполярных гармоник.

2.2.1 Вычисление тензорных произведений векторов

3 Поляризационно-угловая структура сечений однофотон-ных процессов

3.1 Излучение фотонов поляризованными атомами

3.2 Угловые распределения в однократной фотоионизации.

3.2.1 Общая структура угловых распределений.

•/3.2.2 Параметры угловых распределений

3.3 Угловое распределение фотоэлектронов в двойной фотоионизации

3.3.1 Общие равенства

3.3.2 Угловая зависимость параметров о.

3.4 Релятивистская фотоионизация с учетом эффектов запаздывания

3.4.1 Общая структура сечения.

3.4.2 Поляризационно-угловая структура сечения в терминах инвариантных атомных параметров.

4 Эффекты фотонной поляризации и угловые распределения в релятивистских двухфотонных связанно-связанных переходах

4.1 Общий анализ циркулярного дихроизма для сечений двухфотонных переходов.

4.2 Общий анализ поляризационной зависимости сечений двухфотонных переходов.

4.2.1 Феноменологическое рассмотрение случая произвольных 3].

4.2.2 Сечение для атомов с заполненными оболочками.

4.3 Разделение геометрических и динамических факторов в двухфотонных сечениях.

4.3.1 Разложение двухфотонных амплитуд на неприводимые части.

4.3.2 Скалярная амплитуда и сечения для атомов с заполненными оболочками (Ji — Jf = 0).

4.3.3 Антисимметричная амплитуда и сечения переходов с Ji = Jf = 1/2.

4.4 Параметры сечений для произвольных моментов Jj, Jf

4.5 Одноэлектронное приближение и численные оценки для во-дородоподобных ионов

4.5.1 Параметры a^'j, в одноэлектронном приближении

4.5.2 Параметры для упругих и неупругих переходов в водородоподобных ионах.

5 Поляризационная структура сечений трехфотонных связанно-связанных переходов в атомах

5.1 Поляризационно-угловая структура сечений трехфотонных переходов.

5.1.1 Феноменологическое рассмотрение

5.1.2 Квантовомеханические формулы для динамических атомных факторов.

5.1.3 Правила отбора для трехфотонных переходов

5.2 Трехфотонные переходы с идентичными фотонами.

5.3 Эффекты атомной ориентации при возбуждении в двухчастотном поле

Изучение угловых распределений в процессах с участием поляризованных частиц дает возможность получать информацию, недоступную при наблюдении свободно ориентирующихся систем. Особенно актуальны задачи исследования угловых распределений в реакциях с поляризованными фотонами.

Поскольку экспериментальный анализ поляризационных явлений в реакциях с жесткими фотонами чрезвычайно затруднен, выражения для вероятностей, как правило, усредняются по поляризациям фотонов, что приводит к значительному упрощению угловых зависимостей, и вместе с тем, к потере ценной информации о динамике процесса. Эксперименты по взаимодействию интенсивного лазерного излучения с веществом тоже, как правило, проводились с линейно или циркулярно поляризованными фотонами из одного лазерного пучка. В этом случае также общие выражения для поляризационных зависимостей упрощаются, хотя известно, что эксперименты с эллиптически поляризованными фотонами позволяют полетать информацию, недоступную в принципе в случае линейно-или циркулярно-поляризованных фотонов [34].

С развитием экспериментальной техники стало возможным эффективное исследование поляризационно-угловой зависимости сечений процессов с участием поляризованных жестких фотонов, а также многофоонных процессов с эллиптически поляризованными фотонами.

Одним из наиболее эффективных средств исследования угловых распределений в задачах квантовой физики является теория углового момента, которая изучает общие свойства неприводимых тензоров — совокупности величин, преобразующихся при пространственных вращениях по тому же закону, что и хорошо известные сферические функции У,-т(а).

Очевидно, что учет эффектов поляризации сильно усложняет анализ угловых распределений, поскольку вносит в задачу дополнительные векторы, которые могут входить в выражения для сечений только в виде скалярных произведений друг с другом. Применение стандартных методов теории углового момента, — мультипольных разложений и теоремы Вигнера-Эккарта, - приводит к появлению в выражениях для сечений и вероятностей процессов трудно анализируемых тензорных произведений сферических функций — мультиполярных гармоник.

До сих пор, анализ поляризационных эффектов проводился либо исходя из прямого определения мультиполярных гармоник, как суммы произведений компонент сферических функций, входящих в определение гармоники, с соответствующими коэффициентами Клебша-Гордана [20], либо путем вычисления тензорных произведений в подходящей системе координат [5,45]. Оба этих метода обладают одним принципиальным недостатком - они не позволяют получать «инвариантные» равенства, т.е. равенства, явно не зависящие от конкретного выбора системы координат. Следствием этого, в частности, является необходимость отдельного рассмотрения случаев линейной и циркулярной поляризации фотонов [1,5,20].

Основной целью представленной диссертации является развитие метода теории углового момента, позволяющего выделять поляризационную зависимость сечений в инвариантном виде, содержащем только скалярные произведения векторов задачи, например, векторов поляризации, направлений импульсов и т.д.

Техника выделения поляризационных зависимостей, предложенная в диссертации, состоит в использовании инвариантных представлений матриц конечных вращений, определяющих преобразование неприводимых тензоров при вращениях.

Стандартные представления матриц конечных вращений определяются конкретной параметризацией поворота системы координат, например, тремя углами Эйлера [4,26]. В главе 1 получены новые представления матриц конечных вращений в инвариантной тензорной форме, содержащей векторы, связанные с фиксированной в пространстве системой координат К. Представлены три явных выражения для матриц конечных вращений: а) в терминах тензорных произведений векторов сферического и декартова базисов; б) в дифференциальном виде, содержащим тензорные произведение операторов градиента: в) в виде суперпозиции «минимальных» биполярных гармоник (1.40), зависящих от любой пары неколлинеарных векторов п, п' связанных с системой К. На основе этих результатов для матриц конечных вращений, получено правило преобразования неприводимых тензоров при пространственных вращениях в терминах биполярных гармоник. Данные результаты в особенности полезны при анализе угловых распределений в атомных процессах, включающем точный учет всех эффектов поляризации фотона и мишени.

Полученные инвариантные представления МКВ дают возможность явно выделять тензорную структуру различных объектов и представляют собой, по сути, обобщение координатного метода векторной алгебры на случай неприводимых тензоров.

С помощью инвариантных представлений МКВ получены следующие результаты: во-первых, найдено инвариантное представление тензора фоонной поляризации, содержащее степени линейной и циркулярной по-шризации фотона и единичные векторы, направленные вдоль импульса {зотона и большой полуоси эллипса поляризации; во-вторых, получено швариантное разложение триполярных гармоник второго ранга в виде комбинации тензорных произведений двух векторов. Третье, предложена удобная параметризация для поляризационных мультиполей состояния поляризованной атомной мишени.

Хотя результаты главы 1 являются общими и справедливы для произвольных тензоров, в ряде конкретных случаев приходится иметь дело с мультиполярными гармониками специального вида, включающими две сферические функции произвольных рангов 1,1' и небольшое количество дополнительных векторов. Например, тензорные произведения двух сферических функций, - биполярные гармоники, - являются базисными функциями теории гамма-гамма корреляций [40], кроме того, через биполярные гармоники выражаются неприводимые компоненты матрицы плотности состояний, возбужденных в результате поглощения лазерных фотонов [15].

В таких случаях возможно получать более простые, чем при прямом применении инвариантных представлений матриц конечных вращений, результаты. В главе 2 работы (разделы 2.1, 2.2) развит метод, позволяющий существенно упростить анализ угловых распределений, включающих мультиполярные гармоники конечного ранга Ь с произвольными рангами внутренних тензоров. Он базируется на разложении биполярных гармоник с произвольными 1,1' в суперпозицию «минимальных» биполярных гармоник с тем же самым рангом Ь, но с минимально возможными рангами внутренних тензоров, сумма которых равна Ь. Минимальные гармоники являются простейшими гармониками ранга Ь и удобны для анализа. Процедура разложения мультиполярных гармоник по минимальным гармоникам обозначается термином «приведение». В приложении В выписаны формулы приведения для биполярных гармоник с рангами Ь = 1,2,3 в простейшей, удобной для приложений форме. Приложения А, Б содержат некоторые результаты техники векторного дифференцирования и операторного представления мультиполярных гармоник.

В представленном подходе выражения для поляризационных зависимостей процессов включают только скалярные и смешанные произведения векторов задачи и полиномы, зависящие от углов между этими же векторами. Таким образом, выделение геометрических и динамических факторов возможно в общем виде без использования приближенных волновых функций. Полное число динамических факторов (т.е. инвариантных «радиальных» параметров, не зависящих от углов и поляризационных состояний) определяется величинами угловых моментов и других квантовых чисел начального и конечного состояний системы.

Общие результаты, полученные в разделах 2.1, 2.2 могут быть использованы в различных задачах, включающих мультипольные разложения.

В главах 3,4,5 с использованием техники приведения мультиполярных гармоник рассмотрены угловые распределения в процессах с участием одного, двух и трех фотонов, соответственно.

Прогресс в экспериментальных исследованиях фотопроцессов с участием поляризованных атомов и молекул предоставляет широкие возможности для исследования специфических вопросов теории многоэлектронных атомов, например / ' ффектов внутренних оболочек». При учете поляризационных эффектов фотонов, электронов и/или остаточных ионов возможно появление новых интересных эффектов. Циркулярный дихроизм (т.е. разность сечений, соответствующих различным знакам степени циркулярной поляризации фотонного пучка) - один из них. В настоящее фемя циркулярный дихроизм (ЦД) /детально изучен (экспериментально I теоретически) главным образом в процессах однократной фогоиониза-щи. В этом случае ЦД отличен от нуля только при ненулевой поляризации атома и/или фотоэлектрона. Последние результаты исследования ЦД для случая прямой фотоионизации и для резонансной ионизации с фотовозбуждением автоионизационного резонансного состояния изложены в работах [20,31]. Изучение ЦД в фотопроцессах с неполяризованны-ми атомами и электронами было начато в последние несколько лет. Так, ЦД в двойной ионизации впервые обсуждался в работе [23] (см. также [24,47,54]). В работах [36,54,58] обсуждался ЦД в случае упругого и неупругого рассеяния электрона на атоме в лазерном поле и в тормозном излучении. ЦД в рассеянии света неполяризованными атомами детально исследован в работе [8].

Кроме того, циркулярный дихроизм возможен и в излучении фотонов поляризованными (ориентированными) атомами. Наблюдение ЦД в этом случае дает возможность определить среднее значение полного момента атома (см. раздел 3.1). Инвариантная форма поляризационных моментов позволяет записать выражение для вероятности в наиболее компактном виде, содержащем скалярные произведения векторов поляризации фотона и векторов, характеризующих процесс приготовления поляризованной атомной мишени.

Уже в простейшем фотопроцессе - однократной фотоионизации в электрическом дипольном приближении, аккуратный учет всех поляризационных эффектов является сложной проблемой, поскольку дифференциальное сечение «¿сг содержит различные векторы. Общее выражение для с1а было получено в [49,64] и включает скалярное произведение поляризационного тензора фотона и триполярной гармоники (2.2). Это выражение столь сложно, что до сих пор детально проанализированы

1шь случаи атомного момента < 3/2 [20,31]. Уже в случае = 3/2 ^ учтен вклад атомных мультиполей состояния ранга 3. Далее, в указап-э1Х работах не учитывалась поляризация электрона, и случаи линейной циркулярной поляризации фотона рассматривались отдельно.

В разделе 3.2, из соображений симметрии и вращательной иивари-нтности, получена общая структура сечения однократной фотоиониза-,ии. Для получения инвариантных атомных параметров в явном виде спользуются результаты раздела 2.1, с помощью которых параметры тлового распределения электронов записаны в терминах приведенных татричных элементов оператора дипольного момента В. Все результаты :праведливы для произвольной поляризации фотона.

В разделе 3.3 проанализировано угловое распределение фотоэлектронов и ДД в однофотонной двухэлектронной фотоионизации неполяризо-занного атома (без учета спина фотоэлектронов). Как и в разделе 3.2, сначала на основе соображений симметрии записана общая структура дифференциального сечения, и затем окончательные результаты получены с использованием формул приведения биполярных гармоник. Эти результаты аккуратно описывают общую структуру углового распределения в двойной ионизации любого атома с угловым моментом </0, и упрощают результаты работ [24,47]. Для волновой функции пары электронов в непрерывном спектре используется мультипольное разложение.

Хотя в работе [53] показано, что экспериментальные результаты для двухэлектронной ионизации гелия и неона хорошо параметризуются при учете всего 4 членов парциального,1 изложения амплитуды, проведение практических расчетов с использованием мультипольных разложений волновых функций непрерывного спектра затруднено в связи с отсутствием на сегодняшний день сколько-нибудь приемлемых аналитических выражений для коэффициентов мультипольных разложений.

В разделе 3.3 обсуждается также угловое распределение в тормозном излучении электрона на атоме, представлены соответствующие атомные параметры. В разделе 3.4 в наиболее простом и компактном виде пррь ведена структура поляризационно-угловой зависимости сечения релятивистского фотоэффекта с учетом эффектов запаздывания и поляризации спина фотоэлектрона. Эксперименты обычно проводятся с линейно поляризованными фотонами сцнхротронного излучения, которые поля

I . ' ' ризованы частично и, в общ, м случае, имеют ненулевую (хотя и малую) степень эллиптичности [46]. Полученная параметризация сечения релятивистского фотоэффекта (3.1) может облегчить обработку экспериментальных данных в случае произвольно поляризованных фотонов.

Современные достижения в технике источников гамма- и рентгеновского (в особенности, синхротронного) излучения делают возможным экспериментальное наблюдение эффектов фотонной поляризации в рассеянии жестких фотонов атомными мишенями. Корректный теоретический анализ этих задач требует привлечения аппарата квантовой электродинамики с учетом запаздывания и релятивистских эффектов. Анализ как теоретических, так и экспериментальных результатов в области упругого рассеяния квантов гамма- и рентгеновского излучения атомами с заполненными электронными оболочками изложен в обзорной статье [48]. Более детальные исследования вклада релятивистских и мультипольных эффектов изложены в [33,41], где главным образом изучались угловые распределения рассеянных фотонов для конкретных атомов, однако поляризационная зависимость сечений не была проанализирована, исключая простейший случай атомов с нулевым полным моментом (с заполненными электронными оболочками). Эффекты фотонной поляризации были полностью проанализированы только в случае рассеяния на релятивистском свободном электроне (см., например [3,62]). Наряду с рассеяним фотонов, аккуратный анализ поляризационной зависимости интересы и для других двухфотонных релятивистских задач, эксперименталь-юе изучение которых началось в последние годы. Среди них - измерение спектральных и угловых распределений фотонов при двухфотонном заем аде метастабильных состояний в водороде и гелии и соответствующих многозарядных ионах (некоторые ссылки см. в [19, -35]). Другой пример - многофотонные эффекты в сильном электрическом поле VUV-пазеров, включая двухфотонное возбуждение и ионизацию внутренних атомных оболочек (см. [70]). Важность релятивистских эффектов в такого рода задачах продемонстрирована в вычислениях [68] двухфотонного возбуждения водородоподобных ионов линейно-поляризованным фотонным пучком.

В главе 4 развита квантовоэлектродинамическая теория эффектов фотонной поляризации в двухфотонных связанно-связанных переходах в атомах с аккуратным учетом эффектов запаздывания и релятивистских эффектов. Обнаружено, что в общем случае произвольного полного углового момента J/, начального и конечного состояний свободно ориентированной мишени и произвольного поляризационного состояния фотонов, дифференциальное сечение содержит 8 инвариантных (относительно поляризаций) атомных параметров, «¿(соэб1), зависящих от угла 9 между волновыми векторами фотонов. Получен явный вид а; в виде рядов полиномов Лежандра от cos в и матричных элементов второго порядка сферических функций Бесселя. Поляризационные параметры сечений записаны как в виде скалярных произведений векторов поляризации фотонов, так и через параметры Стокса. Показано, что два параметра a.i описывают специфический дипольно-запрещенный эффект - циркулярный дихроизм, обусловленный интерференцией действительной и мнимой частей парциальных амплитуд рассеяния. Этот эффект, в частюсти, приводит к возникновению эллиптичности рассеянных фотонов 1ри полностью линейно поляризованном падающем пучке. На основании юображений симметрии получены необходимые условия появления ЦД 5 двухфотонных переходах между связанными состояниями. В деталях рассмотрены случаи атомных переходов с ./г = = 0 и .7г- = ./у — 1/2. Численные оценки параметров аг(соз#) для водородоподобных ионов, а также для рэлеевского рассеяния на атомах с заполненными оболочками демонстрируют, что описывающие ЦД члены в сечениях имеют величину, достаточную для экспериментального наблюдения эффектов циркулярного дихроизма.

В ранних экспериментах по взаимодействию лазерного излучения с атомами и молекулами использовалось, как правило, линейно-поляризованное излучение и поляризационная зависимость сечений не исследовалась. Между тем известно, что состояние поляризации фотонного пучка существенным образом влияет на характер протекания многофотонных процессов. В частности, достаточно подробно изучена зависимость сечений типичных многофотонных переходов от абсолютной величины степени эллиптичности светового поля (см., например, ( [34,37]). Однако, наиболее интересен случай циркулярного дихроизма, когда сечения различаются при одновременном изменении знаков циркулярной поляризации всех фотонов, участвующих в процессе (как падающих, так и испущеных в результате взаимодействия). В процессах с хаотически ориентированными атомными частицами ЦД определяется интерференУ цией действительных и мнимых частей парциальных амплитуд пт ' цесса и содержит важную информацию о характере взаимодействия атомных частиц с излучением, которая не может быть получена из экспериментов с линейно-поляризованными фотонами.

В фотоионизации атомов и молекул ЦД отличен от нуля только при юнизации первоначально ориентированных (поляризованных) атомов 1ли при фиксированной ориентации спина фотоэлектрона. Этот факт >чевиден из общих соображений симметрии: поскольку степень цирку-I яри ой поляризации фотона £ является псевдоскалярной величиной, слагаемые в сечении фотоэффекта, ответственные за ЦД, могут содержать ; лишь в произведениях типа £ Л, где Л — полный момент атома или спин фотоэлектрона, которые являются псевдовекторами. Последние результаты в этой области содержатся, например, в работах [10, 20] и показывают, что различие сечений для право и левополяризованных фотонов может достигать весьма значительной величины и позволяет получить важную информацию, в частности, о величине парциальных дипольных матричных элементов перехода и фазах рассеяния электрона на остаточном ионе.

Более специфическим эффектом является ЦД в процессах взаимодействия фотонов с неполяризованными атомными частицами. Исследование этого эффекта начато лишь в последние годы. Так, в работах [24,47] (см. также [57]) обсуждается ЦД в двойном фотоэффекте (выбивание двух электронов одним фотоном) и фотоиндуцированном Оже-распаде. В работах [10,58] установлены условия возникновения дихроизма в процессах тормозного излучения и поглощения и рассеяния электронов на атомах в присутствии световой волны. В работе [8] детально исследован ЦД в процессах рэлеевского и рамановского рассеяния света газами, а особенности ЦД при резонансном двухфотонном возбуждении атомов обсуждаются в [59]. Как показано в [8], в двухфотонных связанно-связанных переходах ЦД возникает лишь при учёте недипольных поправок во взаимодействии атома с фотонами и наиболее существен в области частот, резонансных дипольно-запрещённому переходу в атоме, когда малость недипольных эффектов в сечении компенсируется малостью реонансного знаменателя.

В главе 5 анализируются поляризационные эффекты в трехфотонных ¡ереходах между дискретными атомными уровнями (трехфотонное возбуждение, гиперкомбинационное рассеяние, смешение частот и т.д.) [12]. 3 отличие от известной теории Плачека двухфотонного рассеяния [3], соторое полностью описывается тремя инвариантными атомными параметрами, разделение кинематических (зависящих от поляризаций и на-травлений волновых векторов фотонов) и динамических (атомных) факторов в сечениях трехфотонного рассеяния более сложно. Феноменологическая теория нерезонансного трехфотонного рассеяния в газах развита в работе [14], однако, в таком подходе не выясняется связь параметров рассеяния с микроскопическими атомными константами, а приближение прозрачной среды исключает эффекты ЦД. Структура сечений трехфотонных процессов в атомах исследовалась в работе [11], однако, полученные общие результаты оказались весьма громоздкими, поскольку угловая часть выражена через трудно анализируемые тензорные произведения шести векторов, а атомные факторы - через сложные комбинации приведённых матричных элементов, включающие 3п] - символы Вигнера.

Используя специальную технику вычисления тензорных произведений векторов (раздел 2.2.1) и удобную параметризацию векторов поляризации фотонов для общего случая произвольной, в т.ч. и частичной поляризации, в разделе 5.1.2 проведено выделение геометрических и динамических факторов для сечения произвольного трехфотонного перехода между связанными состояниями |г) и |/) противоположной четн/ ти, разрешённого правилами отбора для электрического дипольного излучения. В общем случае сечение содержит 15 различных слагаемых, четыре из которых описывают ЦД, возникающий для трехфотонных процессов уже в электрическом дипольном приближении. Как и в двухфотонных ооцессах [8], ЦД отличен от нуля лишь при наличии антиэрмитовой час-л у парциальных амплитуд перехода («диссипативно-индуцированный ихроизм»), и достигает значений .порядка единицы в области одно- или вухфотонных резонансов с промежуточными атомными уровнями.

В разделе 5.2 анализируется наиболее интересная для эксперимента итуация, когда два из трех фотонов идентичны (из одного лазерного ;учка накачки). В этом случае при произвольной эллиптической поля-»изации накачки «полный опыт» позволяет определить 6 независимых томных параметров, один из которых описывает дихроизм, в то время сак при линейной поляризации сечение описывается лишь двумя различ-1ыми параметрами. Далее, в случае идентичных фотонов «дихроичное» слагаемое в сечении содержит произведение степеней линейной и циркулярной поляризации накачки и, таким образом, ЦД в экспериментах с двумя идентичными фотонами отличен от нуля лишь при эллиптической поляризации накачки («эллиптический дихроизм» - ЭД).

Выше предполагалось, что атомы мишени свободно ориентированы в пространстве, так что сечения усредняются и суммируются по проекциям моментов атома в начальном и конечном состояниях, соответственно. Наряду с ЦД, учет диссипативных эффектов, обусловленных »чтиэрмитовой частью амплитуды трехфотонных переходов, приводит также к специфическим эффектам ориентации атомов при взаимодействии с неполяризованными или линейно-поляризованными фотонами. В разделе 5.3 эти эффекты обсуждаются на простейшем примере резонансного трехфотонного возбуждения атомного уровня с полным моментом 1 = 1/2.

Заключение

Суммарный результат диссертации состоит в следующем: во-первых, развит общий метод кинематического анализа угловых распределений в атомных процессах при произвольных величинах атомных угловых моментов и, во-вторых, проведен общий анализ угловой структуры сечений фотопроцессов, таких как

1. излучение фотонов поляризованными атомами;

2. одноэлектронная фотоионизация поляризованных атомов;

3. двухэлектронная фотоионизация;

4. релятивистский фотоэффект;

5. релятивистские двухфотонные связанно-связанные переходы в атомах с учетом эффектов запаздывания;

6. трехфотонные связанно-связанные переходы.

Инвариантные представления МКВ (равенства (1.47) и (1.48)) наряду с новым правилом преобразования неприводимых тензоров (1.55) представляют ключевой результат главы 1. Использование инвариантных представлений МКВ может быть эффективно не только в задачах, включающих мультипольные разложения, где они позволяют извлекать информацию о поляризационной и спиновой зависимости сечений в инвариантной векторной форме, но также и в случаях, когда стандартная техника углового момента и тензорная алгебра (например, теорема Вигнера-Эккарта) неприменимы. Такая ситуация, например, возникла в работе [22], в которой исследовались ориентационные эффекты в ионизации поляризованного атома электронным ударом, с использованием так называемой ЗС волновой функции, которая в асимптотическом пределе совпадает с асимптотикой точной кулоновской трехтельной волновой функции. В этой работе численно вычислялись в специальной системе координат тензоры описывающие динамику процесса. Использоване инвариантных представлений МКВ позволяет записать Т,Кд непосредственно в виде, к

5.28) лг=о справедливом также и для недиагональной матрицы плотности начального атома. В равенстве (5.28) С к n являются скалярными коэффициентами, зависящими как от динамики, так и от углов между векторами задачи. В качестве векторов п^ могут быть выбраны единичные векторы вдоль направлений электронных импульсов.

Аналогичная ситуация возникла также в работе [52], в которой исследовалось угловое распределение в трехэлектронной фотоионизации, с использованием 6С волновой функции, которая является обобщением ЗС волновой функции, используемой в двойной ионизации. Результаты раздела 1.5 позволяют записывать сечение в инвариантном виде, аналогичном приведенному в разделе 3.3.

Полученное в разделе 3.1 выражение для угловой зависимости излучения поляризованного атома отличается высокой симметрией и инвариантной структурой, содержит только скалярные произведения векторов поляризации фотона, и векторов, связанных с процессом приготовления атомной мишени, что позволяет эффективно учитывать симметрию процесса возбуждения, и удобно для анализа конкретной геометрии эксперимента. Результаты раздела 3.1 могут быть легко обобщены на случай, когда в статистическую смесь входят атомные состояния с различными значениями полного момента «/¿. В этом случае возможны так называемые квантовые биения [27,39,51].

Как правило, прямое использование мощной техники неприводимых тензорных операторов приводит к появлению в сечениях тензорных произведений векторов задачи (мультиполярных гармоник). Проблемой является запись сечений в наиболее удобной форме, предпочтительно в виде комбинаций простых векторных конструкций - скалярных и смешанных произведений векторов. Для решения этой проблемы в главе 2 предложена техника приведения мультиполярных гармоник, которая может быть применена не только к задачам столкновений свободных атомов с электронами и/или ионами, но также и ко всем задачам, включающим мультипольные разложения по сферическим функциям.

Анализ однократной и двойной фотоионизации, проведенный в разделах 3.2, 3.3 представляет собой примеры, иллюстрирующий эффективность предлагаемой техники для решения конкретных проблем.

Результаты раздела 3.2 являются, вероятно, наиболее удобным способом описания угловых распределений в однократной фотоионизации любого атома или иона с угловым моментом с аккуратным учетом эффектов поляризации атома, фотона и электрона. Важность равенств (3.14), (3.22) - (3.33) или (3.16), (3.39) для с?сг/сШ состоит в их регулярной структуре и простой зависимости коэффициентов при мультиполях состояния от соб 9 и атомных В— факторов. С увеличением </0> коэффициенты <т,-, при векторных комбинациях в выражениях (3.14),

3.16) включают дополнительные члены с высшими рангами мультипо-лей состояния и полиномов от cos в, при одной и той же глобальной векторной структуре da/dQ. Полное число независимых атомных параметров зависит от схемы связи и от квантовых чисел начального атомного состояния. Для конкретных Jo и схем связи, представленные результаты упрощают анализ т.н. «полного» эксперимента [49] в фотойонизации в электрическом дипольном приближении. Результаты раздела 3.2 могут быть использованы и для анализа поляризационных состояний фотоиона. В этом случае возникает специфический эффект ионной ориентации, аналогичный рассмотренному в [18] эффекту атомной ориентации в рассеянии света.

Кинематический анализ двойной фотоионизации, представленный в разделе 3.3 дает общую структуру сечения без использования каких-либо приближённых выражений для двухэлектронных волновых функций. Конечно, вычисление двухэлектронных параметров Bkk,(pi,p2) ~ сложная задача, которая в настоящее время может быть решена только приближённо. Пример численных расчетов ЦД в двойной фотоионизации гелия можно найти в работе [24].

Формулы для углового распределения в релятивистском фотоэффекте, полученные в разделе 3.4 могут быть полезны для анализа экспериментальных данных, поскольку они не связаны с какой-либо конкретной экспериментальной геометрией и не зависят от выбора параметров, описывающих поляризацию фотона. Кроме того, приведенные результаты облегчат проведение и теоретических расчетов, так как позволяют избежать вычисления «лишних» Э^символов и содержат зависимость от относительного угла в виде простых многочленов.

В главе 4 развита квантово-электродинамическая теория эффектов фотонной поляризации в двухквантовых переходах между связанными состояниями неполяризованной мишени с определенными значениями полного углового момента Jj, Jf. Общая структура поляризационной и угловой зависимости сечений приведена в двух эквивалентных формах (4.16) и (4.20), выделены независящие от поляризаций атомные факторы для произвольных угловых моментов J,, Jf. В общем случае, в сечения входят 8 различных атомных факторов, зависящих от относительного угла в между направлениями волновых векторов фотонов. Это число уменьшается до 6 в случае упругого рассеяния. Атомные факторы являются рядами полиномов Лежандра от cos 9 и матричных элементов второго порядка со сферическими функциями Бесселя. В деталях проанализированы частные случаи J{ — Jf = 0 и J{ = Jf = 1/2. Эти результаты обобщают хорошо известную теорию поляризационных эффектов в рассеянии фотонов свободным релятивистским электроном на случай связанно-связанных переходов.

Показано, что для связанного электрона наличие антиэрмитовой (дис-сипативной) части в амплитуде двухфотонных переходов приводит к специфическому эффекту фотонной поляризации — циркулярному дихроизму. Выведены необходимые условия появления ЦД и структура членов сечения, описывающих ЦД. В результате, диссипативные эффекты в фотонном рассеянии могут приводить к эффектам, анализ которых требует определения дополнительных характеристик, помимо стандартного набора традиционных параметров, таких как коэффициент экстинкции (полное сечение), степень деполяризации. Одним из таких дополнительных параметров может быть относительный ЦД, определенный как отношение Д (4.2) к полному сечению а. Поскольку для резонансного рассеяния или двухфотонного возбуждения мы имеем Д ~ Гг, экспериментальное изучение Д может быть использовано, в частности, для развития высокочувствительного метода измерений ширин резонансных уровней. Для надпорогового рассеяния измерение ЦД может дать важную информацию о соотношениях между мнимыми и действительными частями амплитуд рассеяния. Численные оценки членов с ЦД для водородоподоб-ных ионов и вычисления для атомов с заполненными оболочками показывают, что эффекты ЦД имеют заметную величину и доступны для экспериментального наблюдения.

В заключение отметим, что детальный анализ поляризационных эффектов является сложной задачей уже в рамках квантовой электродинамики свободных частиц. Тем более, такой анализ усложняется в случае связанных электронов из-за необходимости использования методов алгебры углового момента для описания электрона с произвольными </г-, ,7/ в комбинации с двумя бесконечными мультипольными разложениями фотонного векторного потенциала. Таким образом, несмотря на сложность, явные выражения (4.16) или (4.20) являются, по сути, наиболее общими и простыми формами записи угловых распределений, зависящих от нескольких векторов. Представленные результаты достаточны для исчерпывающего анализа угловых распределений в любом связанно-связанном переходе с двумя поляризованными фотонами. Для каждого конкретного атома они нуждаются только в расчете радиальных матричных элементов второго порядка.

В главе 5 в электрическом дипольном приближении сечение произвольного трехфотонного перехода между дискретными состояниями атома с полными угловыми моментами </г и «7/ записано в инвариантной форме, содержащей скалярные и смешанные произведения векторов поляризации фотонов и инвариантные атомные параметры, зависящие лишь от частоты фотонов. Определено число независимых атомных параметров при фиксированных значениях <7, и и получены их явные выражения через приведённые составные дипольные матричные элементы. Поляризационная зависимость сечений выражена через степени I и £ линейной и циркулярной поляризации фотонов. Проанализирован диссипативно-индуцированный циркулярный дихроизм в трехфотонных процессах, т.е. различие Д сечений при одновременном изменении знака степени циркулярной поляризации всех фотонов. Детально рассмотрен случай двух идентичных фотонов и явление эллиптического дихроизма, когда А ~ и дихроизм имеет место лишь при эллиптической поляризации фотонов с 0 < |£| < 1. Обсуждаются эффекты ориентации атомов при резонансном трехфотонном возбуждении линейно-поляризованными или неполя-ризованными фотонами, которые имеют место даже в случае линейно-поляризованных или неполяризованных фотонов.

1. М. Я. Амусья, Атомный фотоэффект, М., (1987).

2. Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, Москва: Наука, (1966).

3. В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Квантовая электродинамика, Москва: Наука, (1989).

4. Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонский, Квантовая теория углового момента, Ленинград: Наука, (1975).

5. С. А. Запрягаев, Ю. А. Нефедов, Оптика и спектроскопия, 71(3) (1991) 417-424.

6. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория поля, Москва: Наука, (1988).

7. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика. Нерелятивистская теория, Москва: Наука, (1989).

8. Н. Л. Манаков, ЖЭТФ, 106 (1994) 1286.

9. Н. Л. Манаков, А. А. Некипелов, А. Г. Файнштейн, Ядерная Физика, 45 (1987) 1091.

10. Н. Л. Манаков, С. И. Мармо, А. Г. Файнштейн, ЖЭТФ, 108 (1995) 1569:

11. H. JI. Манаков, В. Д. Овсянников, Опт. и спектр., 48 (1980) 651.

12. Н. Л. Манаков, А. В. Меремьянин, ЖЭТФ, 111 (1997) 1984-2000.I

13. М. С. Маринов, Ядерная Физика, 5(6) (1967) 943.

14. В. Л. Стрижевский, В. М. Клименко, ЖЭТФ, 53 (1967) 244.

15. А. В. Тайченачев, А. М. Тумайкин, В. И. Юдин, Г. Ниенхаус, ЖЭТФ, 114 (1998) 125-134.

16. Г. В. Фролов, Ядерная Физика, 17 (1973) 355.

17. И. Б. Хриплович, Несохрапение четности в атомных явлениях, Москва: Наука, (1981).

18. М. Y. Agre, N. L. Manakov, J. Phys. В, 29 (1996) L5.

19. R. Ali, I. Ahmad, R. W. Dunford, Phys. Rev. A, 55 (1997) 994.

20. S. Baier, A. N. Grum-Grzhimailo, N. M. Kabachnik, J. Phys. 5., 27 (1994) 3363.

21. A. Bechler, R. H. Pratt, Phys. Rev. A, 42 (1990) 6400.

22. J. Berakdar, A. Engelns, H. Klar, J. Phys. B, 29 (1996) 1109.

23. J. Berakdar, H. Klar, Phys. Rev. Lett., 69 (1992) 1175-1177.

24. J. Berakdar, H. Klar, A. Huetz, P. Selles, J. Phys. В, 26 (1993) 1463.

25. A. K. Bhatia, A. Temkin, Rev. Mod. Phys., 36 (1964) 1050-1064.

26. L. C. Biedenharn, J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics. Theory and Applications, Addison-Wesley, (1981), рус. перев.: Л. Би-денхарн, Дж. Лаук. Угловой момент в квантовой физике. М.:«Мир», 1984.

27. K. Blum, Density matrix theory and applications, New-York: Plenum Press, (1981).

28. P. 0. Bogdanovich, A. K. Kazansky, V. N. Ostrovsky, J. Phys. B, 30 (1997) 921-940.

29. S. Chakrabarti, D. P. Dewangan, J. Phys. B., 28 (1995) L769.

30. N. A. Cherepkov, Adv. At. Mol. Phys., 19 (1983) 395-447.

31. N. A. Cherepkov, V. V. Kuznetsov, V. A. Verbitskii, J. Phys. B, 26 (1995) 1221.

32. J. W. Cooper, Phys. Rev. A, 47 (1993) 1841.

33. A. Costescu, P. M. Bergstrem, C. Dinu, R. H. Pratt, Phys. Rev. A, 50 (1994) 1390.

34. N. B. Delone, V. P. Krainov, Multiphoton processes in atoms, Berlin: Springer-Verlag, (1994).

35. A. Derevianko, W. R. Johnson, Phys. Rev. A, 56 (1997) 1288.

36. A. G. Fainshtein, N. L. Manakov, S. I. Marmo, Phys. Lett, 195a (1994) 359-361.

37. A. G. Fainshtein, N. L. Manakov, V. D. Ovsiannikov, L. P. Rapoport, 210 Phys. Rep. (1992) 112.

38. U. Fano, Rev. Mod. Phys., 29 (1957) 76.

39. U. Fano, J. H. Macek, Rev. Mod. Phys., 45 (1973) 553.

40. A. J. Ferguson, Angular Correlation Methods in Gamma-ray Spectroscopy, Amsterdam: North-Holland, (1965).

41. V. Florescu, M. Marinescu, R. H. Pratt, Phys. Rev. A, 26 (1990) 3844.

42. E. W. Hobson, The theory of spherical and ellipsoidal harmonics, Cambridge University Press, (1931).

43. J. D. Jackson, Classical electrodynamics, N.-Y. London: John Wiley and Sons Inc., (1962).

44. V. L. Jacobs, J. Phys. B, 5 (1972) 2257-2271.

45. W. R. Johnson, F. D. Feiock, Phys. Rev., 168 (1968) 22.

46. M. Jung, B. Krassig, D. S. Gemmel, E. P. Kanter, T. LeBrun, S. H. Southworth, L. Young, Phys. Rev., A, 54(3) (1996) 2127-2136.

47. N. M. Kabachnik, V. Schmidt, J. Phys. B, 28 (1996) 233.

48. P. P. Kane, L. Kissel, R. H. Pratt, S. C. Roy, Phys. Rep., 140 (1986) 75.

49. H. Klar, H. Kleinpoppen, J. Phys. B, 15 (1982) 933-950.

50. A. V. Korol, A. G. Lyalin, A. V. Solovy'ov, J. Phys. B, 28 (1995) 49474962.

51. J. Macek, D. Burns, in: Beam Foil Spectroscopy, ed. S. Bashkin, Berlin: Springer, (1976).

52. A. W. Malcherek, J. S. Briggs, J. Phys. B, 30 (1997) 4419.

53. L. Malegat, P. Selles, P. Lablanque, J. Mazeau, A. Huetz, J. Phys. B, 30 (1997) 263-276.

54. N. L. Manakov, S. I. Marmo, A. G. Fainshtein, Zh. Eksp. Theor. Phys., 106 (1995) 1569-1588.

55. N. L. Manakov, S. I. Marmo, A. V. Meremianin, in: Invited Talks of V Int. Workshop on Autoiniz. Phen. in Atoms (AIS-95), 45-49, Dubna, (1995).

56. N. L.Manakov, S. I. Marmo, A. V. Meremianin, J. Electron Spectrosc. Relat. Phenom79 (1996) 331-334.

57. N. L. Manakov, S. I. Marmo, A. V. Meremianin, J. Phys. B, 29 (1996) 2711-2737.

58. N. L. Manakov, S. I. Marmo, V. V. Volovich, Phys. Lett. A, 204 (1996) 42.

59. N. L. Manakov, A. V. Meremianin, in: Contributed papers of 5-th EC AMP, no. II, 635, (1995).

60. N. L. Manakov, A. V. Meremianin, in: Proceedings of 5-th ECAMP, no. 2, 635, Edinburgh, (1995).

61. N. L. Manakov, V. D. Ovsiannikov, Z. Ozgo, Physica, 100 C (1980) 260.

62. W. H. McMaster, Rev. Mod. Phys., 33 (1961) 8.

63. S. I. Nikitin, V. N. Ostrovsky, J. Phys. B, 18 (1985) 4349-4369.

64. M. Peshkin, in: Advances in Chemical Physics, vol. XVIII, 1-14, John Wiley and Sons, (1970).

65. T. Aberg, S. Heinasmaki, Appl. Phys. A, 65 (1997) 131.

66. S. C. Roy, B. Sarcar, L. D. Kissel, R. H. Pratt, Phys. Rev., A, 34 (1986) 1178.

67. C. K. Schneider, R. Wilson, J. Math. Phys., 20 (1979) 2380-2390.

68. С. Szymanovsky, V. Veniard, R. Tajeb, A. Maquet, Phys. Rev., A, 56 (1997) 700.

69. J. Viefhaus, L. Avaldi, G. Snell, Phys. Rev. Lett., 77 (1996) 3975.

70. D. Xenakis, O. Faucher, D. Charalambidis, C. Fotakis, J. Phys. В, 29 (1996) L 457.