Инвариантные кубатурные формулы типа Гаусса-Маркова для сферы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

он

0«П «96

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Сибирское отделение Вычислительный центр

• На правах рукописи УДК 519.644.7

Попов Анатолий Степанович

ИНВАРИАНТНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ТИМ ГАУССА-МАРКОВА ДЛЯ СФЕРЫ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск-1996

Работа выполнена в Вычислительном Центре СО РАН.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Дробышевич В.И.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Цецохо В.А. кандидат физико-математических наук, Васкевич В.Л.

Ведущая организация:

Новосибирский государственный университет.

Защита состоится " О^ТЯ. ^Г^Л 1996 г.

в часов на заседании специализированного совета

К 002.10.01 в Вычислительном Центре СО,РАН по адресу: 630090, Новосибирск-90, проспект академика Лаврентьева, дом 6.

С диссертацией можно ознакомиться' в библиотеке Вычислительного Центра СО РАН.

Автореферат разослан "^2."

1996 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук ■■>

I Кузнецов Ю.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. При решении многих научно-практических задач, например, при проведении гармонического анализа на сфере, при выполнении конечно-разностных аппроксимаций интегральных операторов уравнений переноса частиц, при вычислении молекулярных интегралов в квантовой химии необходимо уметь достаточно ч' эффективно вычислять интегралы по поверхности трехмерной сферы вида

(1) КЯ = -¿-р(э)с1э,

где ^2+г/2+-г2=1 > - единичная сфера, зеБ, йз - эле-

мент поверхности сферы, Г(1)=1. Для численного нахождения интеграла (1) строится кубатурная формула

N

(2) К/) « 2 ш /(з ),

«=1 ' 4

где N - число узлов, т{ - веса, з{ - узлы.

Общая теория кубатурных формул, инвариантных относительно конечных групп вращений сферы, была разработана С.Л.Соболевым в 1962 г. Несмотря на то, что ряд инвариантных кубатур был построен другими авторами еще раньше (отметим работы В.А.Диткина (1948), В.А.Диткина и Л.А.Люстерника (1953), П.С.Хаммера и А.Х.Строуда (1958)), только после выхода работы С.Л.Соболева (1962) различные методики построения инвариантных кубатур были подкреплены общей теорией. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах А.Д.Мак-Ларена, А.Х.Строуда, И.П.Мысовских, Г.Н.Салихова, В.И. Лебедева, С.И.Коняева и многих других авторов.

В данной работе будут рассматриваться алгебраические куба-турные формулы, т.е. формулы, точные для всех многочленов вида хкуггт степени не выше п (или, что равносильно, для всех сфери-

ческих гармоник порядка п). Число п будем называть порядком нашей кубатуры. Качество кубатуры будем оценивать с помощью коэффициента эффективности т]=(л+1 )2/(3ff), где в числителе стоит общее число правильно интегрируемых сферических функций, а в знаменателе - число свободных параметров кубатуры. При заданном порядке п величина т), очевидно, тем больше, чем меньше ¡У. Вторым показателем качества кубатуры будет служить коэффициент однородности и.=а> , /vi , где w , и ш - минимальный и максимальный

^ min тшх min шах

веса в (2). Мы будем считать хорошими только те кубатуры, у которых ц>0 (все веса положительны).

Существуют четыре принципиально различные группы вращений трехмерной сферы: циклическая группа вращений а также группы вращений тетраэдра Т, октаэдра О и икосаэдра J. В настоящей работе подробно описывается методика построения асимптотически оптимальных кубатур (для них т)-»1 при п-*») групп С , Г и О. С помощью этой методики удалось построить семь новых кубатур группы Cfc, восемь новых кубатур группы Г и пять новых кубатур группы О. Все кубатуры имеют |i>1/2 и содержат меньшее число узлов по сравнению с ранее известными формулами той же точности.

Цель работы: 1) разработка методики построения кубатур типа Гаусса-Маркова на сфере, инвариантных относительно групп Г и О; 2) создание на основе этой методики новых кубатур разных порядков точности п с минимальным N и максимальным ц.

Методы исследования. В диссертации применяется аппарат теории конечных групп, теории инвариантных функций, теории кубатур-ных формул, теории численных методов оптимизации и решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений.

Научная новизна. Предложена методика построения кубатур на сфере, инвариантных относительно циклических груш вращений С^ и Са также относительно груш тетраэдра Т, тетраэдра с инверсией Г* и октаэдра С. С помощью этой методики получен ряд новых кубатур, превосходящих по своим показателям все ранее известные кубатуры той же точности.

Практическая ценность. Полученные кубатуры можно использовать при решении широкого круга прикладных задач, в которых возникает необходимость эффективного численного интегрирования по поверхности сферы.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах ВЦ СО РАН в 1992-1996 гг., на международной конференции АМСА-95 (Новосибирск, 1995).

Публикации. По теме диссертации опубликованы четыре статьи. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы - 56 машинописных страниц. Список литературы содержит 35 источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дается постановка задачи, обсуждается ее актуальность и кратко излагается содержание диссертации по главам. Здесь же дается определение инвариантной кубатурной формулы и приводится теорема С.Л.Соболева:

Т е о р е м а 1. Для того, чтобы кубатурная формула на сфере, инвариантная относительно группы <?, имела порядок п, необходимо и достаточно, чтобы она была точна для всех инвариантных относительно группы О многочленов порядка п.

Первая глава посвящена кубатурным формулам, инвариантным относительно циклических груш вращений.

В § 1 описывается метод построения кубатур, инвариантных относительно группы которая для краткости обозначается символом С^. В самом общем случае эти кубатуры имеют вид:

Г (Л « 4/(0,0,1) + 5/(0,0,-1) н-Д^ДЯи^) + ъ -к М 2Ь

+ 2 В. 2 /(«.,) + 2 С. 2 т.),

где к точек /4{-типа имеют координаты хи=(1-а2)1/2соз(?г/), Уи=(1-а2)1/2з{п(?г/), ги=а{, & точек В(-типа имеют координаты

2к точек с -типа имеют координаты хи=(1-с^)1/гсоа(с2{+п;), уи=±(1-с2)1/2з1п(сЗ{+?и), В=%/к, h=Zg, j=0,1,...,й-1.

Параметрами данной кубатуры являются веса А0,В0,А1,В1,С1, высоты а{,Ь{,с{ и фазы Базисными инвариантными функциями

этой группы будут

1 ..,р1,гр1,ггр1,...,р2,гр2,ггр2.....р3,2р3,22р3>...,

где р1 = (1 -г2)к/2созЩ1, р2=(1-г2 )ъсоз2Щ, р3=(1-г2)3к/-2созЗЩ -сферические гармоники степени к, 2к и 3к соответственно. Инвариантные гармоники, содержащие з(пйф, з{гс2&р и т.д., в базис не входят, ибо наша кубатура точна для них автоматически (ввиду ее инвариантности к отражению в плоскости у=0).

При построении кубатур вида (3) часто оказывается полезным наложение на данную грушу дополнительной симметрии. В частности, для большинства представленных ниже кубатур ось г будет служить зеркально-поворотной осью порядка 2к. Иными словами, эти

кубатуры будут инвариантны не только к операциям симметрии группы Ск, но и к поворотам вокруг оси z на угол %!к с последующим отражением в плоскости 2=0. Общим символом для обозначения представителей этих групп при четном1 и нечетном к нам будет служить знак С*. Когда же мы будем рассматривать их только при нечетном к, то будем использовать более привычный знэк С*, поскольку в этом случае группы О* и С* эквивалентны.

Итак, наши кубатуры группы С* будут иметь вид:

К/) « 4о[/(0,0,1 )+/(0,0,-1)] + 2 А.Ч /(и,,) +

(4' X 2Ь И 4 к

+ 2 В, 2 /(и,,) + 2 С. 2 /№,,),

где координаты точек В{-, и С{-тшюв верхней полусферы 2>0 (назовем эти точки базовыми) вычисляются аналогично кубатуре (3), а точки низкней полусферы 2<0 получаются из базовых путем их поворота вокруг оси г на угол %/к с последующей заменой г на -2. Ест к нечетно, то мы имеем дело с группой С*, и генерация точек нижней полусферы сводится к простой инверсии базовых точек относительно начала координат, когда каздоЯ точке (г,у,г) соответствует точка (~х,-у,-г). Заметим, что кубатуры группы С* имеют симметрии антипризмы, а кубатуры группы Д , исследованной А.Н. Казаковым и В.И.Лебедевым (1994) - симметрию прямой призмы. Примером кубатуры группы В^ может служить кубатура п=7, N=22 [13.

Базисными функциями группы С* будут 1;,22,24,...,р1 ,. ..,р2,22р2,24р2,...,р3,22р3,24р3,..., где Р1 =2 (1 -г2)ь/гсоайср, р2=(1-22)ггсоа2йср, р3=г(1-22)3й/2созЗ&р -сферические гармоники степени й+1, 2й и Зй+1 соответственно.

В § 2 строятся конкретные кубатуры группы Су которые характеризуются заданием в (3) к=3, Л0>0, В0=0. Сначала строится

известная кубатура п=2, У=4, а затем - новая кубатура п=10, У=43, для которой дается численное решение с 16 значащими цифрами.

В § 3 строятся конкретные кубатуры группы Су которые характеризуются заданием в (4) &=3. Сначала строится известная кубатура п-3, N"=6, а затем - новые кубатуры п-13, N=66 и п=17, N=104-, для которых дается численное решение.

В § 4 строятся две новые кубатуры группы Сд, характеризуемой заданием в (4) &=4. Это кубатуры п=4, 77=10 и д=6, 1Г=18. Для обеих формул дается точное решение.

В § 5 строятся конкретные кубатуры группы С^, характеризуемой заданием в (4) к-5. Строятся известные кубатуры л=5, 17=12 и п=9, 5=32, а также новые кубатуры гг=7, №=22 и п=19, ¡7=132. Для кубатуры п=7 дается точное решение, а для п=19 - численное.

В § 6 даются некоторые комментарии. В частности, отмечаются случаи, когда для данного п существует несколько кубатур с одинаковым ЛГ, но разным

Вторая глава посвящена кубатурным формулам, инвариантным относительно группы вращений тетраэдра.

В § 1 описывается метод построения кубатур, инвариантных относительно группы вращений тетраэдра с инверсией Т*. Эти кубатуры имеют вид:

К/) 1/(иор Л /(и ) +

(5) 4-1

В ¡1 24

+ В 2 /(« ) +2 В X /(V ).

(=1 1 ^

где 6 точек 40-типа лежат в вершинах вписанного в сферу октаэдра и имеют координаты (±1,0,0), (0,±1,0), (0,0,±1); 12 точек ■4{-типа лежат на проекциях ребер октаэдра и имеют координаты (±а(,±е{,0), (0,±а4,±е{), (±е ,0,±а{); 8 точек В0-типа отвечают

центрам граней октаэдра при координатах (±3~1/'2,±3~1'/2,±3~1'/2); 24 точки В -типа отвечают точкам общего положения на гранях октаэдра при координатах (+Ь{,±с{>+<3{), (±й{ ,±Ь{ ,±с{), (±о1.±аг±ь1).

Кубатурные формулы группы Т* инвариантны относительно отражений в координатных плоскостях л>0, у=0, г=0, а также относительно циклических перестановок координат х,у,г. Следовательно, согласно теореме 1, достаточно потребовать, чтобы кубатура (5) была точна лишь для тех многочленов степени не выше п, которые инвариантны относительно указанных преобразований группы т*. Чтобы найти образущие базис группы Р* многочлены, необходима

Т е о р е м а 2. Любой инвариантный относительно группы Т* многочлен мокно представить на Б в виде многочлена от

и tg=(:r2-y2)(:r2-z2)(y2-z2), причем входит в это представление в нулевой или первой степени.

Далее приводятся все базисные многочлены группы Т* до двадцатой степени включительно и описывается процесс задания параметров Л0, В0, Ъ, М при построении кубатуры вида (5) порядка гс, исходя из отрешения к созданию кубатуры с минимальным N.

В § 2 описывается метод построения кубатур, инвариантных относительно группы вращений тетраэдра Т.-Эти кубатуры имеют вид

1(Я "АЛ пхх ) + 3Л пь ) + (б)

6 М 12

+ 02 /(ш ) + 241! /(и ),

где 4 точки 40-типа лежат в вершинах вписанного в сферу тетраэдра и имеют координаты (р,р,р), (р,-р,-р), (-р,р,-р), (-р,-р,р) при р=3~1/'2; 4 точки В0-типа отвечают центрам граней нашего тетраэдра и имеют координаты (-р,-р,-р), (-р,р,р), (р,-р,р),

(р,р,-р); 6 точек С0-типа отвечают центрам ребер тетраэдра при координатах (±1,0,0), (0,±1,0), (0,0,±1); 12 точек ^-типа отвечают точкам общего положения на гранях тетраэдра при координатах (а,.^.с,). (Qj.-bj.-Cj), (-а4,Ь4,-с1), (-а,".-Ь4,с1), (с£,а{,Ъ{), <с{,-а{,-г>{), (-с{,а{,-Ь{), (-с,,-а£,Ь{), (Ь{,с{,о4), (Ь4,-с{,-а{), (-Ъ{,с{,-а{), (-Ъ{,-с{,а{). При такой пространственной ориентации тетраэдра наилучшим образом подчеркивается его тесная связь с октаэдром, б вершин которого соответствуют точкам С0~типа тетраэдра, а 8 центров граней - точкам А0~ и В0-типов тетраэдра.

Очевидно, что если хотя бы один из параметров а{,Ь{,с4 общей орбиты А(-типа равен нулю, то узлы этой орбиты будут иметь симметрию группы Г*. Аналогично теореме 2, справедлива

Те оремаЗ. Любой инвариантный относительно группы Т многочлен можно представить на Б в виде многочлена от а^=хуг, а4=д2у2+22г2+уг22 и г6=(22-у2) (г2-£2) (у2-г2), причем *;6 входит в это представление в нулевой или первой степени.

Далее приводятся все базисные многочлены группы Т до пятнадцатой степени включительно и описывается процесс задания параметров А0, В0, С0, Ы при построении кубатуры вида (б) порядка п с минимальным N.

При выполнении практических расчетов с целью определения параметров конкретных кубатур удобнее использовать в качестве искомых величин не параметры а{, Ь{, с{, связанные уравнением а2+Ь2+с2=1, а параметры г{, з{, , которые равны, соответственно, значениям функций г=271/2о3, а=30д, t=Z71/'2t6 в узлах ^-типа и связаны уравнением г2 = -4г2 + Зз2 + 6г2з{ - 4з^ - г* Заметим, что в узлах А0-типа г=з=1, t=0; в узлах В0-типа

г=-1, з=1, 1=0; в узлах С0-типа г=з=1=0.

Для определения параметров а{, Ь{, с{ через найденные величины г , з{, tl можно использовать следующий алгоритм.

Шаг 1. Пусть х^у^г^О - корни кубического уравнения

х3 - х2 + (з(/3)х - г2/27 = 0. Шаг 2. Положим а(=х]/2. Шаг 3. Если положим Ь,=у1/2, с=гУ2,

Ъ I I II

в противном случае Ь1=г1{//2> с{=у|'/2. Шаг 4. Если г.<0, положим с,=-с,.

ь II

В § 3 строятся две новые кубатуры п=11, №=48 и п=15, №=84 группы Т*. Для обеих кубатур приводится численное решение с 16 значащими цифрами.

В § 4 строятся шесть новых кубатур га=8, У=28; п=12, 2У=60; гс=1б, »=100; п=18, 27=124; п=20, 27=148 и п=22, 27=180 группы Г. Для всех кубатур приводится численное решение.

В § 5 даются некоторые комментарии. В частности, отмечается, что полученные кубатуры группы Т* имеют на два узла меньше, чем соответствующие кубатуры группы О*, а кубатуры группы Т - на два узла меньше, чем лучшие кубатуры группы О. Указывается, что в некоторых случаях применение методики из § 1 и § 2 может привести к появлению кубатур с более высокой симметрией по сравнению с группами Т и Т*, например, к появлению кубатур групп О ж J. Это не удивительно, поскольку группа тетраэдра является подгруппой групп октаэдра и икосаэдра.

Впервые эта методика была изложена в [3] и на сегодняшний день автору не известны другие формулы групп Г и Г*, кроме указанных выше. В работах И.П.Мысовских. строятся кубатуры группы

(симметрического) тетраэдра Г , а также группы Т*, которая эквивалентна группе О*. В наших обозначениях, кубатуры группы т инвариантны ко всем перестановкам координат узлов (а,Ь,с), и в базис входят только многочлены вида о^о* (см. § 2). Простейшим примером кубатуры группы Та может- служить формула п=2, N=4. С.И.Коняевым (1995) построены две кубатуры группы Гй для ■ п=б. Первая имеет ¡7=22 и |д>0, а вторая - К=20 и ^<0. Эти формулы уступают по качеству кубатуре №=18 группы С^ (см. гл.1).

Третья глава посвящена кубатурным формулам, инвариантным относительно группы вращений октаэдра. Во вступлении отмечается, что к настоящему времени наибольшее распространение получили кубатуры, инвариантные относительно группы вращений октаэдра с инверсией О* (цикл работ В.И.Лебедева, создавшего серию таких кубатур от п=9 до гс=59). До нашей работы были известны только две кубатуры, инвариантные относительно группы октаэдра 0, но не инвариантные относительно группы О*. Это кубатуры п=7, #=24 и п=8, N=30, полученные А.Д.Мак-Лареном (1963).

В § 1 описывается метод построения кубатур группы 0, которые имеют вид:

К/) « А ¡ Г(и„) + В 2 /(%) +

(7)

12 М 24

+ С 2 /(» ) +242 /(и ), ^=1 ^ {=1 ^

где б точек 40-типа лежат в вершинах вписанного в сферу октаэдра и имеют координаты (±1,0,0), (0,±1,0), (0,0,±1); 8 точек В0-типа отвечают центрам граней октаэдра при координатах (±3-1/2,±3~1/2,±3-1/2); 12 точек С0-типа отвечают центрам ребер октаэдра при координатах (±2"1/2,±2"1/2,0), (0,±2-1/г,±2~1/г), (±2~1/'г,0,±2_1/'2); 24 точки 4{-типа отвечают точкам общего поло-

жения на гранях октаэдра и порождены двумя точками общего положения (а,,Ь,,с.) и (а.,с,,-Ь.) группы тетраэдра Т. Напомним из

1(1 V V Ь

гл.2, что каждая точка общего положения вида (а.Ь.с) группы Т порождает 12 точек

(а.Ь.с), (а,-Ь,-с), (-а,Ь,-с), (-а,-Ь,с), (с,а,Ъ), (с,-а,-Ь), (-с,а,-Ъ), (-с,-а,Ь), (Ь.с.а), (b.-c.-а), (-Ь,с,-а), (-Ь,-с,а).

Очевидно, что если хотя бы один из параметров а{,Ь{,с£ общей орбиты 4{-типа равен нулю, либо хотя бы два из этих параметров равны между собой, то узлы этой орбиты будут иметь симметрию группы О*. В частности, узлы AQ-, BQ- и С0-типов имеют симметрию группы О*.

Образующие базис группы 0 многочлены поможет найти

Т е о р е м а 4. Любой инвариантный относительно группы О многочлен можно представить на S в виде многочлена от o4=o2t/2+^z2+y2z2, а^=о^у2г2 и t^={o^-y2){^-z2)(y2-z2)xyz, причем tg входит в это представление в нулевой или первой степени.

Далее приводятся все базисные многочлены группы О до двадцатой степени включительно и описывается процесс задания параметров AQ, BQ, CQ, M при построении кубатуры вида (7) порядка п с минимальным N.

При выполнении практических расчетов с целью определения параметров конкретных кубатур удобнее использовать в качестве искомых величин не параметры а{, b{, с{, а параметры г{, з{, t{f которые равны, соответственно, значениям функций г=ЗОд, з=27о6> t=27tg в узлах 4{-типа и связаны уравнением

t

2 = ('43t + 3rt + ~ - фв,-

Заметим, что в узлах Л0-тила г=а=1=0; в узлах В0-типа г=з=1, 4=0; в узлах С0-типа г=3/4, з=4=0.

Для определения параметров а{, Ь{, с{ через найденные вели- -чины г{, з{, ti можно использовать следующий алгоритм.

Шаг 1. Пусть - корни кубического уравнения

х3 - з?- + (г,/3)х - з,/27 = О.

Шаг 2. Положим а{=г1(/2.

Шаг 3. Если положим Ь{=у]/£, с{=2|/2,

в противном случае Ъ{=гУ2,

Приводится табл.1 значений п, Ь, АГ, Л, т) для оптимальных кубатур группы О вплоть до гг=35. Для сравнения указывается также число узлов V* в оптимальных кубатурах группы О*. Исходя из анализа данных табл.1, а также учета накопленного опыта практических расчетов, выдвигается ряд гипотез относительно существо-

Ж

вания кубатур групп О и 0 с минимальным К- и с рО для различных значений п.

В § 2 строятся новые кубатуры группы О гг=11, У=48; гг=23, ЛГ=192; п=25, ^=230; п=31, №=342 и п=35, N=432. Для кубатуры тг=11 дается точное решение, а для остальных - численное.

В четвертой главе описывается методика решения систем нелинейных алгебраических уравнений, возникающих при' построении инвариантных кубатур для сферы и имеющих вид (8) Р{(х)=0, г=1,2,...,т,

где г=(х1,х2,...вектор неизвестных. Точное решение таких систем возможно лишь в некоторых простых случаях. Как правило, эти системы приходится решать приближенно каким-либо итерационным методом на ЭВМ.

В § 1 рассматриваются простые системы, для которых сравнительно легко получить точное решение. Эти системы содержат малое число уравнений низкой степени относительно неизвестных

Способ точного решения таких систем состоит в последовательном исключении неизвестных, что приводит в итоге к одному алгебраическому уравнению невысокой степени относительно одного неизвестного. Корни этого уравнения легко определяются стандартными методами, если степень многочлена не превышает четырех.

В качестве примера, приводится полное решение системы из шести уравнений для кубатуры п=7, N=22 группы С*.

В § 2 рассматриваются сложные системы, с которыми, как правило, и приходится иметь дело на практике.

Решение таких систем проводилось в два этапа. Целью первого этапа было получение хорошего начального приближения для сходимости метода Ньютона. Задавалось какое-то довольно грубое начальное приближение и проводилась минимизация квадратичного функционала

ж 0

(9) f(x) = 2 ГЛх)

1=1 (

каким-либо методом спуска. Мы использовали различные методы, но в конце этапа обязательно применяли модифицированный метод Ньютона со спектральным разложением матрицы Гессе, что позволяло оценить число обусловленности нашей задачи. Заметим, что число обусловленности задачи (9) равно квадрату числа обусловленности задачи (8).

Во всех случаях мы использовали достаточно хорошо масштабированные независимые переменные и иногда лишь проводили дополнительное масштабирование функций (х). В ходе решения оценивались следующие величины: /(х), градиент g{x), собственные числа

матрицы Гессе и вектор решения х. Если величины f(x) и g(x) становились достаточно малы, а решение х обладало требуемым качеством, то первый этап считался завершенным. В противном случае проводился счет из другой начальной точки, в качестве которой часто выступала точка, полученная на предыдущем этапе, у которой исправлялись некоторые компоненты х{.

На втором этапе к системе (8) применялся метод Ньютона с ^Л-разложением матрицы Якоби.

Расчеты на первом этапе велись с 16-разрядной десятичной арифметикой, а на втором - с 35-разрядной на ЭВМ ЕС-1066, Sun-10 и Silicon Graphics. Число обусловленности матрицы Якоби в конечной точке всегда было меньше 1010. Итерационное решение системы (8) велось до тех пор, пока не выполнится условие

max\F (х) | <10--''0. Полученное решение округлялось до 16 десятич-t 1

ных знаков и табулировалось для проведения расчетов с 16-разрядной десятичной арифметикой. О том, что найденные решения лежат в области сходимости метода Ньютона, можно судить хотя бы по тому, что достаточно взять в качестве начальной точки любое из этих решений с 4 знаками, чтобы через 3-4 итерации получить решение с указанной точностью.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработаны методы построения высокоэффективных кубатур типа Гаусса-Маркова для сферы, инвариантных относительно следующих групп вращений: циклических тетраэдра Т, тетраэдра , с инверсией Г* и октаэдра О.

2. Получены следующие кубатуры, превосходящие по своим показателям все ранее известные кубатуры той же точности.

71 N ■п V- группа п К Т) Р. группа

4 10 0.833 0.800 16 100 0.963 0.669 Г

б 18 0.907 0.770 17 104 1.038 0.812 с;

7 22 0.970 0.870 18 124 0.970 0.581 т

8 28 0.964 0.899 г 19 132 1 .010 0.662 г* 5

10 43 0.938 0.566 сз 20 148 0.993 0.731 Т

11 48 1.000 0.839 т* ПО С.С. 180 0.980 0.718 Т

11 48 1.000 0.904 0 23 192 1.000 0.803 0

12 60 0.939 0.848 т 25 230 0.980 0.688 0

13 66 0.990 0.757 31 342 0.998 0.869 0

15 84 1.016 0.704 т* 35 432 1.000 0.830 0

3. Приведены параметры этих кубатур с большим числом знача-

щих цифр, что позволяет их использовать при решении разнообразных прикладных задач.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Попов A.C. Кубатурные формулы четвертого и седьмого порядков точности для сферы, инвариантные относительно группы вращений квадрата вокруг полярной оси // Вычисл. методы и технол. решения задач матем. физ! Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1993. С.4Т-53.

2. Popov A.S. Cubature íomulae for a sphere invariant under cyclic rotation groups // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1994 . 7. '9. *6. P. 535-546.

3. Попов A.C. Кубатурные формулы для сферы, инвариантные относительно группы тетраэдра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35. Я 3. С. 459-466.

4. Попов A.C. Кубатурные формулы высоких порядков точности для сферы, инвариантные относительно группы тетраэдра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Г. 36. /Г4» С. 5-9.