Двухгрупповые модели в теории переноса быстрых электронов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ХАРЛАМОВ Олег Сергеевич

ДВУХГРУППОВЫЕ МОДЕЛИ В ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ

Специальность: 01.04.04 — Физическая электроника

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Волгоград — 2005

Работа выполнена в Волгоградском государственном техническом университете на кафедре «Физика».

Научный руководитель доктор физико-математических

наук, профессор Смоляр Владимир Алексеевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Ильин Евгений Михайлович;

доктор физико-математических наук, профессор Крючков Сергей Викторович.

Ведущая организация — Волгоградский государственный

университет.

Защита состоится 4 марта 2005г. в 10 час. на заседании диссертационного совета К 212.028.01 при Волгоградском государственном техническом университете по адресу: 400131, г. Волгоград, пр. им. В. И. Ленина, 28, ауд. 209.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного технического университета.

Автореферат разослан 3 февраля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Авдеюк О.А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Задачи диагностики перспективных материалов и в том числе квантово-размерных структур, обладающих активными областями с размерами порядка несколько десятков атомов, требуют определения параметров исследуемых объектов с как минимум нанометровым разрешением. Здесь практически важным и перспективным направлением является дальнейшее развитие широкого класса методов, основанных как на использовании электронов в качестве зондирующего возбуждения, так и на регистрации электронов в качестве основного сигнала. Наиболее известными из них являются рентгено-спектральный микроанализ, Оже-спектроскопия, рентгеновская фотоэлектронная спектроскопия, спектрометрия электронной эмиссии, возбуждаемой рентгеновским излучением. Применение этих методик позволяет определять химический состав, размеры неоднородностей (толщины слоев), атомную структуру, электронное строение и прочие характеристики образца с субатомным разрешением.

В исследованиях последнего времени по электронно-лучевой технологии в микроэлектронике значительное место отводится методам расчета взаимодействия пучка электронов с веществом. Развитие вычислительной техники и соответствующее возрастание возможностей применения численного моделирования переноса быстрых электронов нисколько не уменьшают потребности в аналитических подходах, т. к. только аналитическое описание процесса выявляет его физический смысл в математической форме. По этой причине большой интерес представляет поиск математических моделей кинетического уравнения, описывающих в комплексе процесс углового рассеяния и потерь энергии электронов. В особенности важен поиск математически замкнутых, не включающих подгоночных параметров уравнений, моделирующих кинетическое уравнение и описывающих полностью процесс переноса электродов от вхождения в мишень бомбардирующего пучка электронов до их остановки в мишени.

Целью исследований является теоретическое исследование процессов переноса быстрых электронов (1-100 кэВ) в образцах, имеющих границы со свободным пространством, а также проведение сравнения полученных результатов с опубликованными экспериментальными данными и результатами численного моделирования методом Монте-Карло.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. В данной работе впервые исследованы двухгрупповые транспортные модели кинетического уравнения для быстрых электронов, построенные на соединении приближений для группы проникающих в мишень электронов и для группы диффундирующих электронов. Для первой группы используется приближение «прямо вперед» и малоугловое приближение, для второй группы - диффузионное и транс-портно-диффузионное приближения кинетического уравнения.

2. Получены в аналитической форме решения для задачи о падении пучка электронов на полубесконечную мишень и пластину.

3. Получены аналитические выражения для ряда характеристик переноса электронов в полубесконечной мишени и пластине.

Практическая ценность заключается в том, что:

• теоретически исследованные в работе процессы позволяют глубже понять сущность соответствующих физических явлений, а разработанные на основе предлагаемой диффузионной модели кинетического уравнения прикладные программы позволяют вычислять многие характеристики взаимодействия падающего пучка электронов с твердотельной мишенью;

исследованы двухгрупповые модели кинетического уравнения для быстрых электронов, позволяющие вычислять характеристики переноса электронов с точностью, достаточной для приложений, и без введения в теорию эмпирических подгоночных параметров;

найдены аналитические решения задачи о падении пучка электронов на полубесконечную мишень и на пластину.

Внедрение результатов работы. Работа велась в рамках НИР «Исследование взаимодействия электромагнитных волн и электронных потоков со средами и изучение характеристик мишеней» (тема №29.230), выполняемой на кафедре физики Волгоградского государственного технического университета по плану перспективных и фундаментальных работ. Материалы диссертации включены в курс лекций «Транспортные модели в теории переноса быстрых заряженных частиц», читаемых на 5-м курсе для студентов физического факультета.

Достоверность результатов исследования обусловлена строгой аналитической аргументацией полученных теоретических положений с использованием классических физических законов, достаточным количеством результатов, коррелирующих с экспериментальными и литературными данными.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Двухгрупповые транспортные приближения кинетического уравнения для быстрых электронов, позволяющие вычислять интегральные характеристики переноса электронов с точностью, достаточной для приложений, без введения в теорию эмпирических подгоночных параметров.

2. Аналитическое решение задачи о функции выхода электронов при воздействии на мишень ионизирующего излучения, полученное в рамках двухгруппового транспортного приближения.

3. Аналитическое решение задачи о проникновении, обратном рассеянии и релаксации во времени пучка электронов, падающего на мишень.

Апробация работы. Результаты исследований опубликованы в периодической научной печати (журналы «Вопросы физической метрологии», «Биомедицинская радиоэлектроника») и докладывались на:

- Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (Москва, 2002 г.).

- Ежегодных внутривузовских научных конференциях (ВолГУ, 2002, 2004 гг.).

- III Международный семинар «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах» (Воронеж, 2004 г.).

- Международной конференции «Релаксационные явления в твердых телах» (Воронеж, 2004 г.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 6 печатных работах, из них три - тезисы докладов на всероссийских научно-технических конференциях, три - статьи.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 62 наименования, четырех приложений. Общий объем диссертации составляет 144 страницы.

Личный вклад автора. Научному руководителю, профессору В. А. Смоляру принадлежит постановка задачи. Автором диссертации получены аналитические решения задач в рамках двухгруппо-вых транспортных приближений кинетического уравнения для быстрых электронов, решение задачи о функции выхода электронов при воздействии на мишень ионизирующего излучения, а также решение задачи о проникновении в мишень и обратном рассеянии пучка быстрых электронов в реальном времени. Основные научные результаты, содержащиеся в диссертации, опубликованы в соавторстве с научным руководителем.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы, раскрыта научная новизна и практическая ценность полученных результатов, приведены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе проанализированы основные виды кинетического уравнения, описывающего перенос электронов в веществе, вычислен дифференциальный пробег электронов средних энергий, оценен предел применимости для аппроксимации его обратной величиной средних потерь энергии, показана связь между дифференциальным пробегом и его оценкой через средние потери энергии на единице пути.

Во второй главе рассматриваются транспортные модели кинетического уравнения, полученные из кинетического уравнения в приближении непрерывного замедления с использованием транспортного и транспортно-малоуглового приближения для сечения упругого рассеяния. Метод построения моделей - это расщепление исходного уравнения на более простые модельные уравнения. В получившихся уравнениях не используются какие-либо подгоночные параметры, чтобы можно было оценить возможности предлагаемых математических моделей в чистом виде.

Для двухгрупповой модели с центром диффузии исходной точкой служит известная модель, предложенная Г. Бете. Естественным усовершенствованием этой модели является модель переноса электронов, когда проникновение электронов в мишень разделяется на последовательные этапы и уравнение переноса решается сначала в приближении «прямо вперед», а затем в диффузионном приближении.

Лмоделипереносасразделениемэлектроновнагруппынерассеян-ных и диффундирующих (транспортное-й приближение) сечение упругого рассеяния аппроксимируется суммой двух компонентов (1): изотропного и образного в направлении вперед.

где - соответственно нулевой и первый коэффициенты в

разложении сечения упругого рассеяния по полиномам Лежандра.

Такая аппроксимация позволяет выделить в потоке электронов F группу нерассеянных /у и группу диффундирующих так что /^/ун^, и в соответствии с этим построить модель переноса, в которой кинетическое уравнение расщепляется на два связанных между собой уравнения для этих групп.

Пусть остросфокусированный поток электронов с энергией.^ падает на полубесконечную мишень по нормали к поверхности, тогда такая система уравнений имеет вид

(2я) р е

—(Ё^(г,р)£)) = {х)гД^(г>р;£)+-!- {¿6/7(2,РДЕ).

ОС 3 А,,

Здесь выбрана цилиндрическая система координат (г,р) с осью г, направленной вдоль падающего пучка, О - единичный вектор, направленный вдоль движения электронов, £2. - проекция этого вектора на ось I, Е ~ энергия электронов, R(E) - пробег электронов, /?0=Д(£0У), Х1г= 1/(и,0-и'|) - транспортная длина. Е — средние потери энергии на единице пути электрона.

Однако в этой модели не учитывается рассеяние электронов первой группы на малые углы.

Модель переноса с группой электронов, рассеянных намалыеуглы, и группой диффундирующих электронов (транспортно-малоугловое приближение) описывает свободный от этого недостатка метод решения кинетического уравнения, объединяющий достоинства малоуглового и транспортного приближений. Основная идея этого метода состоит в замене 5-образного по углам рассеяния компонента транспортного сечения гауссианом с малой угловой дисперсией. Тогда

4я я90 е0

где 0О2 и А(Е) - параметры, которые определяются из условия

(£) = ",(£), / - 0,1,2. (4)

В этом случае вместо системы уравнений (2) получаем

9,Е) = 8 (г + *(£)-/го)^техр(Щ- г±г ■^г1ехрГ-V Ё") '¿Г

I сто к о в" а ! V £

Здесь гх - вектор, перпендикулярный к оси г, 8=П-ё2П.,

Ск{Е)= \А{Е-ра\К{Е')-К(Е))кГЫЕ\ А = 0,1,2; а2 = С2С0 - С,2. (6)

в

Е

Транспортно-малоугловое и транспортное -8 приближения для плоской геометрии идентичны. Различие между приближениями состоит в учете малоуглового рассеяния электронов первой группы и существенно в задачах с узким мононаправленным источником электронов, т. к. позволяет более детально описать плотность потока вблизи источника - как раз там, где погрешности транспортного и обычного диффузионных приближений велики.

В третьей главе получены в явном виде формулы пространственно-угловых моментов по рекуррентным соотношениям Спенсера и Льюиса и соответствующие модельные моменты. Их прямое сопоставление позволяет оценить точность предлагаемых модельных уравнений.

Пусть плоский моноэнергетический и направленный нормально к плоскости источник электронов помещен в бесконечную однородную рассеивающую среду. Кинетическое уравнение для плотности потока, отнесенной к единичному интервалу пробега

Г(г, 0;,г) = 2ягТ(х, П, Е),

имеет вид

-— + п — = 2тс [¿п;>Чг.а',,г)- Яг,О.,г)] + -'-8(г)8(1 - 0 )8(1 -г) дг & > ■ 1 2к у(7)

где . Переход в уравнении (7) к двойным моментам Ны(г)

ЛГ,„(г) = 2тг \Р1(0.7)Ы(г,0.^г)(10.„ 1,п = 0,1,2,.

(8)

приводит к системе зацепляющихся дифференциальных уравнений ^+Л; (г)М,н (г) = + + /ЛГ,_,„_,(/■)]+5„05 (1 - г). (9)

Решение уравнения (9) известно и имеет вид рекуррентной формулы

где 5,(г) = 2яЛ0 р(со80)и<г,9)(1-/Х««е)). (11)

-1

Для вычисления моментов используем аппроксимацию Спенсера:

Б,{г)Л,<1,=Щ. (12)

Используя (11) и рекуррентную формулу (10), можно получить выражения для точных моментов при любых /или модельных мо-

ментов, подставив в (11) вместо \ч(г(Е),0) соответствующие аппроксимации (1) и (3). Из сопоставления моментов следует, что наилучшее приближение дает транспортно-малоугловая модель, в которой среднее смещение, средний косинус и средний квадрат смещения электронов совпадают с соответствующими точными зависимостями от остаточного пробега. приближение совпадает с транспортно-ма-лоугловым приближением для широкого пучка электронов, когда можно свести задачу к одномерной по пространству координат. Диффузионное приближение с центром диффузии дает правильную зависимость среднего смещения электронов от остаточного пробега и хорошо аппроксимирует такие зависимости среднего квадрата смещения вдоль первоначального направления.

В четвертой главе рассматривается обобщенный метод отражений для решения задачи о диффузии электронов в пластине. Для параболического уравнения

от аг

с граничными условиями

дг дг

(13)

(14)

функция Грина имеет вид линейной комбинации фунда-

ментальных решений этого уравнения в среде без границ, полученной последовательным отражением источника от плоскостей

Фундаментальное решение уравнения (13) в среде без границ имеет вид

(15)

где - расстояние от источника до точки

Ряд отражений, дающий функцию Грина для пластины, имеет вид

Л=1

где = |*-Ч г. =(-1),[2£(В/2)(Ь-в)+г'] ,

(16)

Здесь Е(х) - целая часть х, рая - расстояние между точкой г е [а,Ь] и точкой, в которую источник попадает после п последова-

тельных отражений, если первое отражение происходит от границы 1—а\ рЬп - то же, если первое отражение происходит от границы г=Ь\

оператор п последовательных отражений

к

4со(Р)] = С?0(Р); 1а (С0(р)] = 2а |ехр(-а£)С0(р

о

вычислении ряда отражений (16) И-кратное действие опера-приводит к кратным интегралам вероятности:

2

л/я

ру И"'егад, /1=0,1,2,... (18)

В результате получаем

Применение рекуррентной формулы (18) для вычисления кратных интегралов вероятности существенно упрощает вычисление ряда отражений (16).

Таким образом, математический аппарат, основанный на обобщении метода отражений на случай граничных условий третьего рода, позволяет получить решения граничных задач в виде быстро сходящихся рядов, при этом члены рядов вычисляются по рекуррентным формулам, что позволяет применить быстро работающие вычислительные алгоритмы.

В пятой главе получены аналитические решения ряда задач теории переноса.

Кинетическое уравнение записывается для плотности потока частиц с энергией Е и направлением движения А в точке, заданной радиус-вектором и имеет вид

Кинетическое уравнение (20) является исходным для построеШЙ диффузионной модели, в которой применяется диффузионное, или Р.-

где

При

тора

¡'ст&(х) =

приближение метода сферических гармоник. В этом приближении плотность потока и сечение углового рассеяния раскладывают в ряд по полиномам Лежандра и удерживают только два первых члена:

Р(г,П,Е) = -^[Р0(Г,Е)+ЗЩГ,Е)] ,

(21)

где

/г„(г,£)= ¡¿ПР(г,П,Е), Р[(г,Е)= ¡¿П ПГ(гД£)_

нулевой и первый коэффициенты разложения, имеющие смысл плотности потока, проинтегрированной по всем направлениям, и интеграла по всем направлениям векторной плотности потока частиц. Кинетическое уравнение (20) сводится к двум уравнениям для коэффициентов разложения:

-^"(-аддл Е)) = Е)^ (

К(в)

(22)

(23)

Если источник изотропный, расположен внутри вещества в точке г0 и испускает частицы с энергией Е0, тогда в правую часть уравнения (22) следует добавить источник

На границе со свободным пространством Г плотность потока частиц с направлением движения внутрь мишени должна быть равна нулю. Это требование приводит к граничному условию

(24)

где - внешняя нормаль к поверхности Г.

В случае, когда вещество является однородным, уравнение диффузии (22) можно привести к более простому виду введением новой переменной

1 '

(25)

возраста частиц. - возраст остановившихся частиц, опре-

деляемый из формулы (25). В случае, когда мишень является неод-

нородной, например «слой на подложке», такая замена переменных должна производиться для каждого вещества структуры, а на границе раздела слоев должно выполняться условие непрерывности потока. В этом случае аналитическое решение имеет сложный вид, и целесообразнее численно решать уравнение (22) с кусочно-непрерывными коэффициентами и граничным условием (24).

После замены переменной в уравнении (22) получим уравнение диффузии с постоянным и равным единице коэффициентом диффузии

где - плотность потока частиц в точке с возрастом

отнесенная к единичному интервалу пробегов. Возраст т играет роль времени в этом уравнении диффузии. В случае, когда вещество заполняет полупространство условие на границе (24) примет вид

Для того чтобы получить аналитическое решение задачи (26), (27), необходимо усреднить к1г в граничном условии (27). Тогда решение с

источником в точке с координатами имеет вид

из которого можно вычислить в аналитическом виде любые характеристики переноса пучка частиц. Здесь

Вероятность выхода электрона, рожденного в точке с координатами , получается интегрированием потока через границу со свободным пространством по возрасту электронов и дается выражением

( \

д(г, Е) = егГс

2 ф{Ё)

-ехр(а2т(Е) + ага} ег&

еп(Е) +

2 ф(Ё)

(29)

г (нм)

Рис. 1. Функция выхода электфонов с энергией 10 кэВ из структуры Al-слой на подложке Аи (данные метода Монте-Карло предоставлены Л А Вакалейниковым)

Для структуры решение задачи (26), (27) было найдено численно с использованием стандартных решателей дифференциальных уравнений в частных производных в вычислительной системе Matlab. Вероятность выхода, вычисленная в диффузионном приближении для энергии электронов, больших 1 кэВ, хорошо аппроксимирует функцию выхода, вычисленную методом Монте-Карло, как для однородной мишени, так и для структуры «слой на подложке» (рис. 1).

Определение вероятности выхода электронов, появившихся вре-зультатерентгеновского облучения образца, является ключевой проблемой для ряда методов анализа материалов. Существующие формулы для вероятности выхода электронов не обеспечивают удовлетворительной аппроксимации экспериментальных данных и нуждаются в дополнительном обосновании.

Предполагая, что вероятность выхода электронов одинакова для аморфного слоя и кристаллической подложки и что глубина выхода электронов много меньше характерной длины рентгеновского поглощения, получим

где Р - вероятность рождения электрона /-той группы, д^г) - вероятность выхода электрона ¿-той группы, суммирование ведется по всем группам электронов. Задерживающий потенциал на детекторе II позволял отсекать группы электронов, рожденных с энергией, меньшей е1!.

Для одномерной пространственной геометрии (широкий падающий пучок или плоский источник на глубине и полубесконечной рассеивающей среды решение задачи с усредненной транспортной длиной в граничном условии известно и имеет вид (28). Вероятность выхода электрона, рожденного на глубине г0 с энергией Е0, дается формулой (29).

Рис.2. Зависимость доли электронов, вышедших из слоя, от толщины слоя t для [ермания, облучаемого СиКа линией при запирающем напряжении

1 3 кэВ (вклад в квантовый выход вносят лишь электроны 1-й и 2-й групп) Кружки - экспериментальные результаты, 1 - е*-электроны, 2 - ^-электроны, 3 - суммарный выход электронов, 4 - вычисление на основе диффузионной модели КУ, 5 - вычисление по эмпирической формуле

Эту формулу мы использовали для вычисления функции выхода изА1, ве и Аи, чтобы сравнить с расчетами методом Монте-Карло. Результаты сравнения представлены на рис. 2.

Облучениематериалов электронами сэнергией порядка 1 МэВ может использоваться в медицинских целях, в частности, для разруша-

ющего воздействия на раковые опухоли. При этом бывает важно, чтобы максимальная доза облучения приходилась на опухоль, расположенную на некоторой глубине, а не на поверхностные ткани.

Кииетическое уравнение Больцмана для плотности потока электронов с энергией Е и направлением движения О. в точке, заданной радиус-вектором в приближении непрерывного замедления имеет вид (20). Первый член в левой части представляет собой аппроксимацию интеграла по неупругим столкновениям в приближении непрерывного замедления.

Транспортно-малоугловое приближение необходимо применить к задаче о переносе пучка электронов, падающего по нормали на поверхность многослойной мишени. Это приближение объединяет преимущества обоих - транспортного и малоуглового - приближений.

При нормальном падении пучка электронов с начальной энергией на многослойную структуру кинетическое уравнение сводится к двум связанным между собой уравнениям (5).

Учитывая аксиальную симметрию задачи, представим плотность поглощенной энергии в виде

(IV

где

р)

¿V

-о I

^(сове^Дг.р.Э.Я), (32)

? I ?

}<*Бе(Я,г)2я р(со5е)^(г,р,0,£)= }</££(£, 2)^(2, р,£). (33)

п _1 л

Выполняя интегрирование в (32), получаем гауссиан

(34)

с полушириной и амплитудой

Еа { Ъ • Л

Плотность поглощенной энергии диффузионного компонента вычислялась по формуле (33) с помощью функции которая

является решением уравнения диффузии в системе (5). Решение было найдено численно с помощью специально разработанной программы методом конечных элементов.

(35)

Из представленного на рис. За,Ь пространственного распределения мощности дозы видно, насколько сильно это распределение отличается от экспоненциального спада в глубину мишени, характерного для облучения рентгеновскими лучами или у -квантами.

Рис. 3. Пространственное распределение мощности дозы в трехслойной структуре жировой слой, мышца и кость Пучок электронов с энергией 1 МэВ и током 1мкА направлен вдоль оси г(а), распределение в глубину проинтегрированной по г дозы, показанной на рис 1, -кривая 1, вклад диффузионного компонента - 2, вклад малоуглового компонента 3(Ь)

Проникновение, обратное рассеяние и релаксация пучка быстрых электронов вреальном времени. Нестационарное кинетическое уравнение Бете для плотности электронов в момент времени I после появления электронов с начальной энергией Е0 в точке г0 в момент времени 1=0 сводится к уравнению диффузии

¿ЛГ(г, 0,0 = (*) »(|)Щг Д 0+6 (г - Г0)6 (0, (36) от 3

где у(0 - скорость электронов.

Рассмотрим случай нерелятивистских энергий электронов, когда

V2 Т{Т+2) , __=_ь-£ <1

с2 741

где с - скорость света, Т-Т/тс2. Тогда

у = = (37)

где е =Т/Тй-Е/Ей, у0- начальная скорость электронов.

Найдем аналитическое выражение, связывающее время и остаточную энергию диффундирующего электрона. Для этого воспользуемся степенной аппроксимацией соотношения «пробег - энергия»

г=е», (38)

где г-Я(ЕуЯ0, е =Е/Е0, а - постоянная, зависящая от вещества. Воспользовавшись выражением (38), выразим средние потери энергии электрона на единице пути через безразмерные г и е-

сЬ ^¿г {, а Я,, а где 1- л - безразмерный путь электрона. Учтем, что

(39)

Подставляя (39) в (40), получим

Л = -а

Л«

(40)

Интегрируя, приходим к аналитическому выражению, связывающему время диффузии электрона с его остаточной энергией.

( = -а

и

^„а-1/2 _ , Л _ а-1/2 \ , ®

Е (¿£-¿„(1-8 1, („=--

4 ' а — Ь

(41)

а-1/2

где /0 - время диффузии от появления электрона в мишени до его остановки. Применяя аппроксимацию Спенсера для транспортной длины и учитывая (41), получим вместо (36)

ч(а+|/2)/(а-1/2)4

ДЛГ + 8(?-г0)6(0, *е[0Л]. (42)

ау д1

3<*.

1-1

В случае, когда на мишень падает поток моноэнергетических электронов, диффузионная модель кинетического уравнения отличается

тем, что следует положить ?0 равным глубине полной диффузии г,, которая дается выражением

(43)

и в 1/(1-| гл |) раз увеличить потери энергии электрона на единице пути, чтобы электроны, испущенные изотропным источником, заменившим падающий поток, прошли до остановки в мишени путь, меньший полного пробега на величину |г,|. Тогда

с1Е

-—81

Таким образом, вместо (39) получаем

1 ¿Е _ 1 ¿Е

(44)

(45)

ов мм

о о

Рис. 4. Релаксация пространственного распределения плотности электронов в алюминиевой мишени, облученной коротким импульсом электронов в моменты

времени, а - О I <0, Ь - 0 2«0 , с - 0 5/0, (1 - („ Энергия электронов £„=10 кэВ, начальный пробег/?0= 1098 нм, время остановки <0= 2 59x10 |4с Координаты г и г измерены в единицах Я0, плотность Щг, л, ч) - в единицах 1/ й03

Поток эмитируемых мишенью электронов является функцией времени запаздывания по отношению к возбуждающему импульсу На рис 4 показана релаксация пространственного распределения плотности электронов в алюминиевой мишени, облученной коротким импульсом электронов Поток обратно рассеянных электронов показан на рис 5

Рис 5. Релаксация по тока обратно рассеян ньгх электронов алю миниевой мишенью облученной коротким импульсом электро нов с энергией 10 кэВ а - во времени Ь - по энергии Время оста новки ?„=2 59x10 14 с

Фактором, возбуждающим эмиссию электронов, может быть, например, облучение мишени коротким импульсом рентгеновского излучения Измеряемой в таком эксперименте величиной является не поток обратно рассеянных электронов в данный момент времени, а число электронов, вышедших из мишени в некотором интервале времени вблизи данного момента

В заключении исследования перечислены основные результаты и выводы диссертации.

В результате исследований получены следующие основные научные результаты.

1. Вычислен дифференциальный пробег электронов средних энергий и оценен предел применимости для аппроксимации его обратной величиной средних потерь энергии, а также показана связь между дифференциальным пробегом и его оценкой через средние потери энергии на единице пути.

2. Исходя из кинетических уравнений Бете и Спенсера, получена диффузионная модель переноса быстрых электронов. При этом предлагаемая модель не содержит эмпирических подгоночных параметров и является математически замкнутой.

3. Для решения задачи о диффузии быстрых электронов, падающих на пластину, применен и реализован в вычислительной программе метод отражений, позволяющий формализовать построение функции Грина на основе применения принципа суперпозиции и правил отражения, обеспечивающих выполнение граничных условий. Этот метод дает возможность записать член ряда отражений в виде кратного интеграла вероятности, вычисление которого сводится к использованию рекуррентной формулы для кратных интегралов вероятности, что позволяет применить быстро работающие вычислительные алгоритмы.

4. Показано, что в области энергий электронов, для которых справедлива аппроксимация Спенсера для транспортной длины, параметры диффузионной модели зависят от трех величин: - отношения пробега к транспортной длине, а - показателя в степенной аппроксимации соотношения «пробег - энергия» и /?0— полного пробега по траектории. Все характеристики переноса электронов в диффузионной модели выражаются через эти параметры.

5. Получено аналитическое выражение для коэффициента обратного рассеяния и распределения по энергиям обратно рассеянных электронов и проведено сравнение с имеющимися в литературе экспериментальными данными. На основании этого сравнения можно утверждать, что предложенная в настоящей работе двухгрупповая транспортная модель хорошо согласуется с экспериментом и позволяет вычислять коэффициенты обратного рассеяния для веществ, перекрывающих практически всю таблицу Менделеева, не хуже, чем эмпирические формулы, содержащие подгоночные параметры.

6. Показано, что предложенное диффузионное приближение кинетического уравнения хорошо согласуется как с экспериментальны-

ми данными по рентгеновской фотоэмиссии электронов, так и с вычислениями вероятности выхода электронов методом Монте-Карло. При этом нет необходимости вводить в теорию подгоночные параметры.

7. Решена задача об облучении органических материалов пучком быстрых электронов на основе транспортно-малоугловой аппроксимации кинетического уравнения и рассчитано пространственное распределение выделенной энергии в многослойном биологическом объекте, облучаемом узким пучком электронов с энергией порядка 1 МэВ. Приведены результаты вычислений для объекта, состоящего из жировой прослойки, мышечной ткани и кости. Показано, что максимум выделенной энергии находится в глубине объекта и его локализация зависит от толщины и состава тканей.

8. Получено кинетическое уравнение для плотности потока электронов, время движения которых в мишени лежит в единичном интервале около некоторого среднего времени движения по траектории. Возбуждающим эмиссию электронов фактором может быть воздействие на мишень короткого импульса быстрых электронов или облучение мишени коротким импульсом рентгеновских фотонов. Получено аналитическое решение задачи о падающем на мишень коротком импульсе моноэнергетических электронов, т.е. найдена функция Грина для этой задачи. Вычислено энергетическое распределение обратно рассеянных электронов и, соответственно, распределение вышедших электронов по времени запаздывания по отношению к моменту появления возбуждающего импульса.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Смоляр В.А., Харламов О.С. Вычисление эмиссии электронов при облучении образцов кремния и германия характеристическим СиКа на основе диффузионной модели кинетического уравнения// Материалы III Международного семинара «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах».-Воронеж, 2004. - С. 122-124.

2. Смоляр В. А., Давидян А. П., Харламов О. С. Оценка точности диффузионного приближения кинетического уравнения для быстрых электронов// Физическая метрология: Вестник Поволж. отд-ния Метролог. Акад. России. - 2002.- Вып. 4. - С. 98 -108.

3. Харламов О.С. Оценка точности диффузионного приближения кинетического уравнения для быстрых электронов межвузовская конференция студентов и молодых ученых г. Волгограда и Вол-

гоградской области. - Вып. 4: Физика и математика: Тез. докл. - Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2003. - С. 42-44.

4. Смоляр В. А., Давидян А. П., Харламов О. С. Аналитический и численный подходы к вычислению характеристик переноса заряженных частиц в структурах «слой на подложке»// Физическая метрология: Вестник Поволж. отд-ния Метролог. Акад. России.- 2003.-Вып. 5.-С. 95-104.

5. Смоляр В. А., Харламов О. С. Распределение дозы в биологических структурах, облученных пучком ускоренных электронов// Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. - 2004. - №4. - С. 22-28.

6. Смоляр В. А., Харламов О. С. Проникновение, обратное рассеяние и релаксация пучка быстрых электронов в реальном времени// XXI Международная конференция «Нелинейные процессы в твердых телах»: Тез. докл. - Воронеж: Воронеж, гос. ун-т, 2004- С. 247-248.

ХАРЛАМОВ Олег Сергеевич

ДВУХГРУППОВЫЕ МОДЕЛИ В ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ

Автореферат

Подписано к печати 2.02.2005 г. Формат 60x84/16. Печать офс. Бум. офс. Гарнитура Times. Усл. печ. л. 0,9. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ SO

ВГПУ. Издательство «Перемена» Типография издательства «Перемена» 400131, Волгоград, пр. им. В.ИЛенина, 27

213

ВВЕДЕНИЕ.

1. ИСХОДНЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ.

Введение.

1.1. Уравнение Больцмана для электронов.

1.2. Разброс пробегов электронов.

1.3. Приближение непрерывного замедления и исходные кинетические уравнения.

1.4. Транспортное-5 приближение.

1.5. Транспортно-малоугловое приближение.

1.6. Сравнение индикатрис рассеяния в различных приближениях.

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

Введение.

2.1. Поэтапная модель с центром диффузии.

2.2. Модель переноса с разделением электронов на группы нерассеянных и диффундирующих.

2.3. Модель переноса с группой электронов, рассеянных на малые углы, и группой диффундирующих электронов.

Выводы.

3. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ МОДЕЛЕЙ ПЕРЕНОСА ЭЛЕКТРОНОВ ПО МОМЕНТАМ.

Введение.

3.1. Моменты плотности потока в приближении непрерывного замедления.

3.2. Вычисление моментов плотности потока в различных транспортных приближениях.

3.2.1. Моменты плотности потока в транспортном-<5 приближении.

3.2.2. Моменты плотности потока в транспортно-диффузионном приближении.

3.2.3. Моменты плотности потока в транспортно-малоугловом приближении.

3.3. Радиальные моменты.

3.4. Контроль точности моделей по моментам.

Выводы.

4. МЕТОД ОТРАЖЕНИЯ В ДИФФУЗИОННЫХ МОДЕЛЯХ.

Введение.

4.1. Обобщение метода отражений на случай граничных условий третьего рода.

4.2. Функция Грина для пластины, диаграммная техника.

4.3. Функция Грина для полубесконечной составной мишени.

Выводы.

5. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О ПЕРЕНОСЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ДИФФУЗИОННЫХ МОДЕЛЯХ.

Введение.

5.1. Функция выхода при рентгеновской фотоэмиссии электронов.

5.2. Аналитическое вычисление вероятности выхода быстрых электронов.

5.3. Распределение дозы в биологических структурах, облученных пучком ускоренных электронов.

5.4. Проникновение, обратное рассеяние и релаксация пучка быстрых электронов в реальном времени.

Актуальность исследования. Задачи диагностики перспективных материалов и в том числе квантово - размерных структур, обладающих активными областями с размерами порядка несколько десятков атомов, требуют определения параметров исследуемых объектов с как минимум нанометровым разрешением. Здесь практически важным и перспективным направлением является дальнейшее развитие широкого класса методов, основанных как на использовании электронов в качестве зондирующего возбуждения, так и на регистрации электронов в качестве основного сигнала. Наиболее известными из них являются рентгено - спектральный микроанализ, Оже - спектроскопия, рентгеновская фотоэлектронная спектроскопия, спектрометрия электронной эмиссии, возбуждаемой рентгеновским излучением. Применение этих методик позволяет определять химический состав, размеры неоднородностей (толщины слоев), атомную структуру, электронное строение и прочие характеристики образца с субатомным разрешением.

Для количественного определения искомых параметров, т.е. для моделирования основных эффектов, требуется информация о функции распределения эмитируемых электронов. Она может быть получена из кинетического уравнения, одним из наиболее универсальных численных методов решения которого является метод Монте-Карло, связанный с громоздкими вычислениями, и быстро работающие, но не точные феноменологические модели, требующие введения в расчёты большого числа подгоночных параметров даже при вычислении самых простых и хорошо известных характеристик, например, коэффициента обратного рассеяния. Поэтому разработка аналитических и численных методов расчёта переноса электронов на основе кинетического уравнения остаётся нерешённой и актуальной задачей.

В монографиях последнего времени по электронно-лучевой технологии в микроэлектронике [1-3] значительное место отводится методам расчета взаимодействия пучка электронов с веществом. Совершенствование локального рентгеновского микроанализа обусловлено успехами в разработке быстро работающих алгоритмов вычисления характеристического излучения, возбуждаемого электронным зондом [4]. Публикации итальянского ученого М. Дапора за 1990, 1994 г. [5, 6], посвященные обратному рассеянию электронов и позитронов также свидетельствуют об актуальности данной проблемы.

Следует отметить, недавнюю серию работ, выполненных в Физико - техническом институте им. А.Ф. Иоффе Л. А. Бакалейниковым и др. [7-11] был предложен способ расчета результатов неупругого взаимодействия электрона с веществом, базирующийся на использовании дважды дифференциального сечения неупругого рассеяния и ориентированный на эффективную реализацию метода Монте-Карло.

На основе этой работы был создан электронный архив сечений упругого и неупрупругого рассеяния электронов с энергией от 5 эВ до 30 кэВ [12]. Для расчета упругого взаимодействия электронов с атомами вещества было использовано дифференциальное сечение Мотта. Оно было найдено разложением по парциальным волнам для элементов таблицы Менделеева с атомными номерами от 1 до 103. Неупругое взаимодействие электронов с атомами вещества вычислялось на основе формализма, учитывающего различные каналы взаимодействия и основанного на использовании данных по диэлектрическое проницаемости.

В работе [10] разработана программа моделирования транспорта электронов по методу Монте-Карло. При этом была использована модель однократного рассеяния, т. е. при расчете траектории учитывались вероятности как упругих, так и неупругих столкновений электрона с атомами вещества. Проведены расчеты функций выхода из алюминия, германия и золота в диапазоне энергий 0.012-20 кэВ.

В этой серии работ развивался также аналитический подход к вычислению функции выхода в диффузионном приближении [10], основанном на ранней работе Л. А. Бакалейникова и Э. А. Троппа [8], в которой кинетическое уравнение расщепляется выделением характерных масштабов процессов релаксации по энергии и углам и главных членов уравнения. Область применимости приближений определяется малостью безразмерных параметров, измеренных в характерных масштабах. Модели связаны передаваемыми граничными условиями, которые получают, используя процедуру сращивания асимптотических разложений. Таким способом удается включить в общую схему уже полученные результаты по малоугловому рассеянию и энергетическому распределению в случае малых потерь энергии и записать приближенное уравнение для главных членов разложения в различных масштабах длин, углов и энергий. Эта схема расщепления может быть применена только для полубесконечных тяжелых мишеней, и она включает семь пограничных слоев угловой и энергетической релаксации и столько же модельных уравнений в соответствующих областях переменных.

Таким образом, развитие вычислительной техники и соответствующее возрастание возможностей применения численного моделирования переноса быстрых электронов нисколько не уменьшают потребности в аналитических подходах, т. к. только аналитическое описание процесса выявляет его физический смысл в математической форме. По этой причине большой интерес представляет поиск математических моделей кинетического уравнения, описывающих в комплексе процесс углового рассеяния и потерь энергии электронов. В особенности важен поиск математически замкнутых, не включающих подгоночных параметров уравнений моделирующих кинетическое уравнение и описывающих полностью процесс переноса электродов от вхождения в мишень бомбардирующего пучка электронов до их остановки в мишени.

Целью исследований является теоретическое исследование процессов переноса быстрых электронов (1-100 кэВ) в образцах, имеющих границы со свободным пространством, а также проведение сравнения полученных результатов с опубликованными экспериментальными данными и результатами численного моделирования методом Монте-Карло, полученными в физико-техническом институте им. А.Ф. Иоффе и вычисленными с использованием программы

ЭКЕМ, свободно доступной через интернет [13] и разработанной с участием ведущих зарубежных специалистов.

При реализации поставленной цели решены следующие задачи:

- исследованы двухгрупповые транспортные модели кинетического уравнения для быстрых электронов;

- оценена точность двухгрупповых транспортных моделей кинетического уравнения для быстрых электронов;

- изучены характеристики обратного рассеяния и проникновения в мишень, вычисленные в рамках двухгрупповых транспортных моделей кинетического уравнения для быстрых электронов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. В данной работе впервые исследованы двухгрупповые транспортные модели кинетического уравнения для быстрых электронов, построенные на соединении приближений для группы проникающих в мишень электронов и для группы диффундирующих электронов. Для первой группы используется приближение «прямо вперед» и малоугловое приближение, для второй группы -диффузионное и транспортно - диффузионное приближения кинетического уравнения.

2. Получены в аналитической форме решения для задачи о падении пучка электронов на полубесконечную мишень и пластину.

3. Получены аналитические выражения для ряда характеристик переноса электронов в полубесконечной мишени и пластине.

Практическая ценность заключается в том, что

- теоретически исследованные в работе процессы позволяют глубже понять сущность соответствующих физических явлений, а разработанные на основе предлагаемой диффузионной модели кинетического уравнения прикладные программы позволяют вычислять многие характеристики взаимодействия падающего пучка электронов с твердотельной мишенью;

- исследованы двухгрупповые модели кинетического уравнения для быстрых электронов, позволяющие вычислять характеристики переноса электронов с точностью достаточной для приложений и без введения в теорию эмпирических подгоночных параметров;

- найдены аналитические решения задачи о падении пучка электронов на полубесконечную мишень и на пластину.

Внедрение результатов работы. Работа велась в рамках НИР «Исследование взаимодействия электромагнитных волн и электронных потоков со средами и изучение характеристик мишеней» (тема №29.230), выполняемая на кафедре физики Волгоградского государственного технического университета в рамках плана перспективных и фундаментальных работ. Материалы диссертации включены в курс лекций "Транспортные модели в теории переноса быстрых заряженных частиц", читаемых на 5 курсе для студентов физического факультета.

Достоверность результатов исследования обусловлена строгой аналитической аргументацией полученных теоретических положений с использованием классических физических законов, достаточным количеством результатов, коррелирующих с экспериментальными и литературными данными.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту: 1. Двухгрупповые транспортные приближения кинетического уравнения для быстрых электронов, позволяющие вычислять интегральные характеристики переноса электронов с точностью достаточной для приложений без введения в теорию эмпирических подгоночных параметров.

2. Аналитическое решение задачи о функции выхода электронов» при воздействии на мишень ионизирующего излучения, полученное в рамках двух-группового транспортного приближения.

3. Аналитическое решение задачи о проникновении, обратном рассеянии и релаксации во времени пучка электронов, падающего на мишень.

Апробация результатов.

Результаты исследований опубликованы в периодической научной печати (журналы "Вопросы физической метрологии", "Биомедицинская радиоэлектроника") и докладывались на:

- Всероссийской научной конференции "Проектирование научных и инженерных приложений в среде МАТЬАВ" (Москва, 2002 г).

- Ежегодных внутривузовских научных конференциях (ВолГУ, 2002, 2004 гг.).

- III международном семинаре "Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах" (Воронеж, 2004г.).

- Международной конференции "Релаксационные явления в твердых телах" (Воронеж, 2004г.).

Публикации (в хронологическом порядке):

1. Смоляр В.А., Харламов О.С. Вычисление эмиссии электронов при облучении образцов кремния и германия характеристическим СиКа на основе диффузионной модели кинетического уравнения.//Материалы III международного семинара "Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах".-Воронеж.-2004. с. 122-124.

2. Смоляр В. А., Давидян А. П., Харламов О. С. Оценка точности диффузионного приближения кинетического уравнения для быстрых электронов// Физическая метрология. Вестник Поволжск. Отдел. Метролог. Акад. России.

2002. Вып. 4.-С. 98-108.

3. Харламов О.С. Оценка точности диффузионного приближения кинетического уравнения для быстрых электронов//УП межвузовская конференция студентов и молодых ученых г. Волгограда и Волгоградской области. Вып. 4: Физика и математика: Тезисы докладов. - Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2003. с. 42-44.

4. Смоляр В. А., Давидян А. П., Харламов О. С. Аналитический и численный подходы к вычислению характеристик переноса заряженных частиц в структурах «слой на подложке»// Физическая метрология. Вестник Поволжск. Отдел. Метролог. Акад. России. 2003. Вып. 5. - С. 95 - 104.

5. Смоляр В. А., Харламов О. С. Распределение дозы в биологических структурах, облученных пучком ускоренных электронов// Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. - 2004. - №4. - с. 22 - 28.

6. Смоляр В. А., Харламов О. С. Проникновение, обратное рассеяние и релаксация пучка быстрых электронов в реальном времени//ХХ1 Международная конференция "Нелинейные процессы в твердых телах": Тезисы докладов. — Воронеж: Воронежский государственный университет, 2004. с. 247-248.

Личный вклад автора. Научному руководителю, профессору Смоляру В. А. принадлежит постановка задачи. Автором диссертации получены аналитические решения задач в рамках двухгрупповых транспортных приближений кинетического уравнения для быстрых электронов, решение задачи о функции выхода электронов, при воздействии на мишень ионизирующего излучения, а также решение задачи о проникновении в мишень и обратном рассеянии пучка быстрых электронов в реальном времени. Основные научные результаты, содержащиеся в диссертации, опубликованы в соавторстве с научным руководителем.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 62 наименований, четырёх приложений. Общий объем диссертации составляет 144 страницы.

Выводы

Сопоставление значений коэффициента обратного рассеяния и функции выхода для ионного и электронного пучков, полученные путем аналитического решения кинетического уравнения, с результатами метода Монте-Карло и экспериментом показывает, что:

• Диффузионное приближение для кинетического уравнения построенное "ab initio" - без введения в теорию каких-либо подгоночных эмпирических параметров - дает хорошее соответствие вычисленных характеристик обратного рассеяния с методом Монте-Карло и экспериментальными данными.

• Проникновение ионов и электронов рассматриваемого энергетического интервала в твердые тела можно рассматривать как диффузию.

• Для разработки быстрых алгоритмов диагностики структур можно использовать диффузионную модель, представленную в данной работе, при этом количество параметров, от которых зависят значения искомых характеристик, минимально. Например, коэффициент обратного рассеяния электронов зависит только от отношения пробега к транспортной длине при начальной энергии, а для ионов еще и отношения показателей в степенных аппроксимациях зависимостей этих величин от энергии.

В пункте 5.3 предложен алгоритм вычисления дозы при облучении биологических объектов позволяющий оперативно оценивать радиационное воздействие облучения тканей электронным пучком и выбирать параметры пучка и время облучения.

В пункте 5.4 получено аналитическое решение задачи о падении на мишень короткого импульса моноэнергетических электронов. Релаксация плотности потока электронов в мишени и поток обратно рассеянных электронов из мишени вычисляются как ответ на импульсное воздействие с учетом запаздывания во времени

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате исследований получены следующие основные научные результаты.

1. Исходя из кинетических уравнений Бете и Спенсера, получена двухгруппо-вая модель переноса быстрых электронов. При этом предлагаемая модель не содержит эмпирических подгоночных параметров и является математически замкнутой.

2. Для решения задачи о диффузии быстрых электронов, падающих на пластину, применен и реализован в вычислительной программе метод отражений, позволяющий формализовать построение функции Грина на основе применения принципа суперпозиции и правил отражения, обеспечивающих выполнение граничных условий. Этот метод дает возможность записать п -ый член ряда отражений в виде кратного интеграла вероятности, вычисление которых сводится к использованию рекуррентной формулы для кратных интегралов вероятности, что позволяет применить быстро работающие вычислительные алгоритмы.

3. Показано, что в области энергий электронов, для которых справедлива аппроксимация Спенсера для транспортной длины, параметры двухгрупповой модели зависят от четырех величин: с^ — первого и второго коэффициентов в разложении по полиномам Лежандра сечения упругого рассеяния, а — показателя в степенной аппроксимации соотношения пробег - энергия и В^ - полного пробега по траектории. Все характеристики переноса электронов в двухгрупповой модели выражаются только через эти параметры и в теорию не требуется вводить никаких подгоночных параметров.

4. Получено аналитическое выражение для коэффициента обратного рассеяния и распределения по энергиям обратно рассеянных электронов и проведено сравнение с имеющимися в литературе экспериментальными данными, на основании чего, можно утверждать, что предложенная в настоящей работе двухгрупповая транспортная модель хорошо согласуется с экспериментом и позволяет вычислять коэффициенты обратного рассеяния для веществ, перекрывающих практически всю таблицу Менделеева, не хуже, чем эмпирические формулы, содержащие подгоночные параметры.

5. Показано, что предложенное диффузионное приближение кинетического уравнения хорошо согласуется как с экспериментальными данными по рентгеновской фотоэмиссии электронов, так и с вычислениями вероятности выхода электронов методом Монте-Карло. При этом нет необходимости вводить в теорию подгоночные параметры.

6. Решена задача об облучении органических материалов пучком быстрых электронов на основе транспортно-малоугловой аппроксимации кинетического уравнения и рассчитано пространственное распределение выделенной энергии в многослойном биологическом объекте, облучаемом узким пучком электронов с энергией порядка 1 МэВ.

7. Приведены результаты вычислений для объекта, состоящего из жировой прослойки, мышечной ткани и кости и показано, что максимум выделенной энергии находится в глубине объекта и его локализация зависит от толщины и состава тканей.

8. Получено кинетическое уравнение для плотности потока электронов, время движения которых в мишени лежит в единичном интервале около некоторого среднего времени движения по траектории. Возбуждающим эмиссию электронов фактором может быть воздействие на мишень короткого импульса быстрых электронов или облучение мишени коротким импульсом рентгеновских фотонов.

9. Получено аналитическое решение задачи о падающем на мишень коротком импульсе моноэнергетических электронов, т.е. найдена функция Грина для этой задачи.

10. Вычислено энергетическое распределение обратно рассеянных электронов и, соответственно, распределение вышедших электронов по времени запаздывания по отношению к моменту появления возбуждающего импульса. fr

1. Валиев К.А., Раков А.В.Физические основы субмикронной литографии в микроэлектронике - М.: Радио и связь, 1980 - 350 с.

2. Электронно лучевая технология в изготовлении микроэлектронных приборов Под ред. Дж. Р. Брюэра. - М.: Радио и связь, 1984 - 332 с.

3. Рязанов М.И., Тилинин И.О. Исследование поверхности по обратному рассеянию частиц. М.; Энергоатомиздат, 1985 - 150 с.

4. Физические основы рентгеноспектрального локального анализа. Перев. с англ, под ред. Боровского И.Б.- М.: Наука, 1973 312 с.

5. М. Dapor. Elastic scattering of electrons and positrons by atoms: differential and transport cross section calculations // NIMB 1994 p. 470-476.

6. M. Dapor Electron-Atom Scattering: an Introduction. // Nova Science, New York, 2000.

7. Бакалейников JI.А., Тропп Э.А. // ЖТФ. 1986. Т 56. Вып. 1 .с. 16-26.

8. Бакалейников Л.А., Конников С.Г. и др. Определение функции выхода для электронов средних энергий на основе использования кинетического уравнения// ЖТФ 1994, Т 64. Вып. 4. С 9-16.

9. Бакалейников Л.А., Флегонтова Е.Ю., Погребицкий К.Ю. Эффективная реализация расчета потери энергии и угла рассеяния при неупругом взаимодействии электрона с веществом // ЖТФ 2000. Т. 70. Вып. 12. С 6-11.

10. Бакалейников Л.А., Флегонтова Е.Ю., Погребицкий К.Ю. Аналитический и численный подходы к расчету функции выхода электронов средних энергий из однородных образцов // ЖТФ 2001. Т. 71. Вып. 7. С 14-20.

11. Бакалейников Л.А., Флегонтова Е.Ю., Погребицкий К.Ю. Расчет функции выхода и фотоэмиссии электронов средних энергий из образцов типа "слой на подложке"// ЖТФ 2002. Т. 72. Вып. 9. С 119-129.

12. Электронный архив http://www.ioffe.rssi.ru/ES.

13. Вычислительный портал SREM http://www.gel.usherb.ca/casino/index.html.

14. Н.Калашников Н.П., Ремизович B.C., Рязанов М.И. Столкновения быстрых заряженных частиц в твердых телах. М.:Атомиздат. - 1980. - 350 с.

15. Bethe H. Rose M.E. Smith L.P. Multiple scattering of fast charged particles // Proc. Amer. Phil. Soc.- 1938.- v.78, J64.- p.573-583.

16. Lewis H.W. Multiple scattering in infinite medium // Phys. Rev.-1950.- v.78, №5. p.526-529.

17. Spencer L.V. Theory of electron penetration // Phys. Rev.-1955.- v.98, №6-p.1597-1616.

18. Archard G.B. Backscattering of electrons // J. Appl. Phys. -1961.-v.32, №8. -p.1505-1509.

19. Tomlin S.G. The Backscattering of Electrons from Solids // Proc. Phys. Soc., London. -1963. v.82, - p.465-466.

20. Metchnik V., Tomlin S.G. On Absolute Intensity of Emission of Characteristic X Radiation // Proc. Phys. Soc.- 1963.- v.84,-p.956-964.

21. Kanaya K. Okayama S. Penetration and energy-loss theory of electrons in solid targets // J. Appl. Phys.- 1972.- v.5, №1 p.43-58.

22. Messey H.S.W. Electron scattering in solids // Adv. in electronics. 1952. v.4. p.2-68.

23. Галишев B.C. Метод модифицированных сферических гармоник в теории многократного рассеяния частиц.- М.: Атомиздат, 1980 132 с.

24. Zheng-ming L. Improved bipartitition model of electron transport. II. Application to inhomogeneoue media. // Phys. Rev. B: Condens. Matter.- 1985.- v.32, N2.-824-836.

25. Калашников Н.П., Ремизович B.C., Рязанов М.И. Столкновения быстрых заряженных частиц в твердых телах.- М.:Атомиздат.- 1980.-350 с.

26. Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамович, И. Стиган. М. «Наука». 1979г. 830 с.

27. Роках А.Г., Смоляр В.А. О коэффициенте отражения и энергетических потерях электронов средних энергий в соединениях типа АгВ6 , в сб. "Физика и химия соединений типа А2В6'7/ АН СССР, АН УССР,- Киев, 1969 с. 123-124.

28. Роках А.Г., Смоляр В.А. Расчет тормозной способности сернистого кадмия для киловольтовых электронов. в сб. "Физика полупроводников и полупроводниковая электроника" // Изд. Саратовского унив.,- 1970.- Вып.З.- с.42-48.

29. Роках А.Г., Смоляр В.А. Прохождение нерелятивистских электронов через сернистый кадмий в сб. "Физика полупроводников и полупроводниковая электроника" // Изд. Саратовского унив., - 1970.- вып.З,-с.48-52.

30. Роках А.Г., Смоляр В.А. О зависимости максимума катодопроводимости от энергии бомбардирующих электронов в сб. "Физика полупроводников и полупроводниковая электроника" // Изд. Саратовского унив., 1970.- вып.З.-с.52-57.

31. Новикова E.H., Смоляр В.А. Распределение неравновесных носителей заряда в полупроводниковой пластине при электронном возбуждении.- в сб. "Физика полупроводников и полупроводниковая электроника" // Изд. Саратовского унив.,1973.- вып.4.- с.57-61.

32. Смоляр В.А. Определение толщины области пространственного заряда у поверхности раздела металл CdS в режиме ТОПЗ методом электронного зонда, в сб. "Проблемы физики соединений А2Вб" // Вильнюс, 1972.- т.2.- с.174-179.

33. Недорубова Н.Г., Смоляр В.А. Пространственное и энергетическое распределение ускоренных электронов в полубесконечной мишени XV Всесоюзная конференция по эмиссионной электронике, краткие содержания докладов// Киев- 1973.- т.1.- с. 166-167.

34. Смоляр В.А. Обратное рассеяние и прохождение ускоренных электронов через слой вещества XVI Всесоюзная конференция по эмиссионной электронике, краткие содержания докладов // Махачкала -1976.- т.З.- с.163-164.

35. Смоляр В.А. Зарядка диэлектрика пучком киловольтовых электронов XVII Всесоюзная конференция по эмиссионной электронике, тезисы докладов// Ленинград - 1978.- с.265-266.

36. Смоляр В.А. Диффузионная теория обратного рассеяния и проникновения электронов в полубесконечную мишень, не содержащая подгоночных параметров // Радиотехника и электроника. 1979. - т.24, N9.-c.1812-1819.

37. Смоляр В.А. Зарядка диэлектрика пучком киловольтовых электронов. Фундаментальные основы оптической памяти и среды: Респ. междувед. сб. // 1981.-вып. 12. с.28-34.

38. Смоляр В.А. Оценка параметров переноса электронов с энергией порядка килоэлектронвольт в мишенях сложного состава по эффективному атомному номеру // Укр. физ. журн.- 1982.- т.27, №10.-с.1537-1542.

39. Смоляр В.А. Диффузионная теория энергетических потерь электронов, бомбардирующих мишень // Радиотехника и электроника.- 1983-Т.28, №10.-с.2034-2036.

40. Смоляр В.А. Обратное рассеяние, прохождение и энерговыделение в пластине, бомбардируемой пучком электронов // Радиотехника и электроника.-1985.- Т.ЗО, Вып. 11.- с.2221-2228.

41. Михеев Н.П., Смоляр В.А. Транспортно-диффузионное приближение в теории переноса электронов // Укр. физич. журн.- 1985. т .30, №1. - с.140- 143.

42. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса.- М.: Мир, 1972. 384 с.

43. Ремизович B.C., Рязанов М.И., Тилинин И.С. Исследование поверхностных и объемных свойств твердых тел по взаимодействию частиц./ Под ред. М.И. Рязанова. М: Энергоиздат, 1983 - с.3-24.

44. Калашников Н.П., Машинин В.А. К теории обратного рассеяния быстрых заряженных частиц от плоской мишени произвольной толщины // Журн. экс-перим. и теор. физ.- 1973.- т.43, вып.11.- с.2239-2234.

45. Brown D.B., Ogilvie R.E. An Electron Transport Model for the Prediction of X-Ray Production and Electron Backscattering in Electron Microanalysis // J. Fppl. Phys. 1966.- v.37, №12.- p.4429-4433.

46. Smolar V. Electron backscattering and penetration in the small-angle and transport approximation model. // Vacuum.- 1990,-v.41. №7-9.- p. 1718-1720.

47. Смоляр В.А. Транспортно-малоугловое приближение в теории переноса электронов средних энергий. // Укр. физ. журн.- 1988.- т. 33, №7.- С. 10721077.

48. Смоляр В.А. Транспортно-малоугловое приближение в теории переноса электронов средних энергий. Сб. докладов Второй Международной конференции по электронно-лучевым технологиям ЭЛТ-88, // Варна, Болгария -1988.

49. Макарова Е.Л., Смоляр В.А. Оценка точности транспортно-малоуглового приближения по моментам сечения / Деп. ВИНИТИ № 1193-В89 от 22.02.89 // Депонированные научные работы 1989. №6, б/о 186.

50. Смоляр В.А. Вычисление обратного рассеяния, проникновения и выделения энергии на основе решения кинетического уравнения для электронов в транспортно-малоугловом приближении. 5. Celostatna konferencia MKROELEKTRONIKA, Bratislava. - 1989. - p.52.

51. Smolar V. Electron backscattering and penetration in the small-angle and transport approximation model.- Poster presentation at the 11 International Vacuum Congress/ 7 International Conference on Solid Surface // Koln, FRG, 1989.

52. Смоляр В.А. Обратное рассеяние, прохождение и поглощение пучка электронов средних энергий в многослойной мишени. XXI Всесоюзная конференция по эмиссионной электронике, тезисы докладов // Ленинград - 1991.

53. Смоляр В.А. Перенос электронов в многослойных мишенях в транспортно-малоугловом приближении. XXII Конференция по эмиссионной электронике, XXII Конференция по эмиссионной электронике краткие содержания докладов//Москва, 1994. С.-166-168.

54. Михеев Н.П., Смоляр В.А. Транспортно-диффузионное приближение в теории переноса электронов // Укр. физич. журн.- 1985. т .30, №1. - с.140- 143.

55. Макарова Е.Л., Смоляр В.А. Двухэтапная модель переноса и энерговыделения электронов в пластине, бомбардируемой пучком электронов. Физико-технологические принципы создания компонентов ЭВМ // Киев, ИК АН УССР, 1987.

56. Смоляр В. А., Ерёмин А. В. Распределение эквивалентной дозы по глубинепри облучении органических материалов пучком ускоренных электронов -Биомедицинская радиоэлектроника, 2002, N4, с. 24-28.

57. Смоляр В. А., Маглеванный И. И. Распределение плотности энерговыделения электронов средних энергий при нормальном падении пучка на мишень — Радиотехника и Электроника -1995, вып. 10, с. 1579-1589.

58. Larsen E. W. // Ann. Nucl. Energy. 1992. V. 19. P. 701.

59. Смоляр В. А., Ерёмин А. В., Ерёмин В. В. Распределение выделенной энергии и инжектированного заряда при нормальном падении на мишень пучка быстрых электронов. // ЖТФ 2002. Т.72, Вып. 4, С. 46-52.

60. Смоляр В. А., Давидян А. П. Распределение эквивалентной дозы по глубине при облучении органических материалов пучком ускоренных протонов.// Биомедицинские технологии и радиоэлектроника, 2003 г. №4. С. 23-30.