Транспортные модели в теории переноса позитронов

Еремин, Виталий Валерьевич

Транспортные модели в теории переноса позитронов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.04 ВАК РФ

Еремин, Виталий Валерьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Волгоград МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Транспортные модели в теории переноса позитронов»

Автореферат диссертации на тему "Транспортные модели в теории переноса позитронов"

На правах рукописи

Еремин Виталий Валерьевич

Транспортные модели в теории переноса позитронов

Специальность' 01.04.04 - Физическая электроника

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени " кандидата физико - математических наук

Волгоград 2005

Работа выполнена в Волгоградском Государственном Техническом Университете на кафедре "Физика"

Научный руководитель:

доктор физико - математических наук, профессор Смоляр Владимир Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, профессор Байбурин Вил Бариевич

доктор физико - математических наук, профессор Бецкий Олег Владимирович

Ведущая организация:

Волгоградский государственный университет

Защита состоится 9 декабря 2005 г. в /О часов на заседании диссертационного совета К 212.028.01 Волгоградского Государственного Технического Университета по адресу : 400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, ауд. 209.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского Государственного Технического Университета.

Автореферат разослан V Ц&ЛРПЛ 2005 г.

У1Ш$!1А

Ученый секретарь диссертационного совета

Авдеюк О. А.

¿/¿£2 76

1 V 1ЬЬ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В последнее время стали интенсивно развиваться методы применения позитронов и их состояний в веществе для изучения электронной структуры и некоторых физико-химических характеристик вещества в дополнение к уже существующим (оптическим, электрическим, магнитным и др.), а также возможностей построения приборов и устройств, работающих на основе эффектов взаимодействия излучения с веществом. Существует возможность применения метода позитронной аннигиляционной спектроскопии для определения структуры, природы и концентраций точечных и протяженных дефектов, изучения нарушенных поверхностных слоев и поверхностных состояний. Использование позитронной спектроскопии для изучения свойств поверхности и структуры только начинается. На сегодняшний день реализован проект создания источника позитронов высокой интенсивности с энергиями порядка десяти кэВ. И это создает предпосылки для разработки позитронных микроскопов. Существуют проекты теневого, сканирующего, туннельного и реэмиссионного позитронных микроскопов. В настоящее время в медицине применяют позитроны с энергиями порядка МэВ, испускаемые радиоактивными изотопами. Одним из современных методов радионуклидной диагностики, используемым в нейрорадиологии, является позитронно - эмиссионная томография (ПЭТ). Все перечисленные выше способы применения позитронных пучков требуют точного количественного описания проникновения пучков позитронов низких, средних и высоких энергий в вещество. Однако эта область в настоящее время исследована слабо. Основные усилия направлены на исследование аннигиляции пар «электрон - позитрон», которые образуются уже после замедления позитрона в веществе. Но распределение остановившихся позитронов и образованных ими пар «электрон - позитрон» определяется именно процессом проникновения позитронов в вещество. Например, для оценки разрешающей способности позитронно - эмиссионной томографии требуется знать распределение остановившихся позитронов. Поэтому исследование проникновения позитронов в вещество является актуальной задачей.

Цель работы:

- вычисление транспортных характеристик позитронов: дифференциальных сечений упругого и неупругого рассеяния позитронов, распределения плотности остановившихся позитронов внутри мишени и коэффициента обратного рассеяния;

построение транспортных моделей кинетического уравнения для позитронов и оценка их точности.

Научная новизна. В данной работе впервые:

1. Построена транспортная модель кинетического уравнения для позитронов на основе диффузионного приближения без введения в теорию эмпирических подгоночных параметров. На основе данной модели получены временные характеристики проникновения позитронов в вещество для мгновенного источника позитронов.

2. Проведена оценка предельно достижимой разрешающей способности метода позитронно - эмиссионной томографии.

Научная и практическая ценность. Теоретически исследованные в работе

процессы позволяют глубже понять с;

физических явле-

ВИБЛИОТЕКА з СПе

эзг!

ний, а также разработать методику расчета основных характеристик транспорта позитронов в твердом теле, имеющих важное практическое значение как при исследовании электронной структуры твердых тел, так и в приложениях, например, при проектировании позитронных микроскопов и при использовании позитронов высоких энергий для диагностики различных заболеваний.

Внедрение результатов работы. Работа велась в рамках НИР «Исследование взаимодействия электромагнитных волн и электронных потоков со средами и изучение характеристик мишеней» (тема №29.230), выполняемая на кафедре физики Волгоградского государственного технического университета в рамках плана перспективных и фундаментальных работ. Материалы диссертации включены в курс лекций "Транспортные модели в теории переноса быстрых заряженных частиц", читаемых на 5 курсе для студентов физического факультета.

Достоверность результатов исследования. Достоверность результатов обусловлена строгим аналитическим обоснованием полученных теоретических положений и обеспечивается сравнением с опубликованными в литературе экспериментальными данными, а также с результатами моделирования транспорта позитронов методом Монте-Карло.

Положения, выносимые на защиту:

1. Аналитическое решение задачи о падающем на мишень коротком импульсе моноэнергетических позитронов и полученные на основании этого решения временные характеристики процесса проникновения быстрых позитронов в мишень вплоть до их остановки. \

2. Распределение остановившихся позитронов в биологических тканях и оценка

разрешающей способности позитронно-эмиссионной томографии для позитронов, испущенных радиоактивными изотопами.

3. Оценки точности характеристик переноса позитронов, вычисленных в рамках

предлагаемых транспортных моделей, полученные сопоставлением с экспериментальными данными и с вычислениями методом Монте-Карло.

Апробация работы. Результаты исследований опубликованы в периодической научной печати (журналы "Вопросы физической метрологии", "Биомедицинские технологии и радиоэлектроника", Ж'ГФ) и докладывались на:

Всероссийском конкурсе на лучшие научно-технические и инновационные работы студентов по естественным наукам (Саратов, 2003 г);

- Международном семинаре "Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах" (Воронеж, 2004 г);

Ежегодных внутривузовских научных конференциях (Волгоград, 2000 - 2004 гг..).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 7 печатных работах, из них две - тезисы докладов на Всероссийских научно - технических конференциях, четыре - статьи.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 40 наименований, двух приложений. Основная часть работы изложена на 100 страницах машинописного текста.

Личный вклад автора. Автор применил транспортные модели, основанные на диффузионном приближении кинетического уравнения Больцмана, для исследования проникновения пучка позитронов низких, средних и высоких энергий в твердое тело, получил аналитические решения и оценил их точность сравнением с методом Монте-Карло.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы, раскрыта научная новизна и практическая ценность полученных результатов, приведены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе дан обзор литературы по теме диссертации, проанализированы основные виды кинетического уравнения, описывающего перенос позитронов в веществе. Транспортные модели проникновения на основе кинетического уравнения были разработаны и применены для вычисления характеристик переноса электронов. В данной работе впервые такие модели были применены для вычисления транспорта позитронов. Был обнаружен ряд особенностей переноса позитронов по сравнению с характеристиками переноса электронов. Эти особенности обусловлены различием в обменном взаимодействии электронов с атомами вещества.

В общем виде задача ставится следующим образом: источник позитронов может находиться в объеме мишени или представлять собой пучок позитронов, падающих на мишень. Требуется найти характеристики переноса: обратно рассеянный поток, распределение "остановившихся" позитронов, время замедления позитронов. Частицы, проникающие в мишень, испытывают упругие и неупругие столкновения с атомами, и их перенос в веществе описывается кинетическим уравнением Больцмана для плотности потока частиц Ф(г,П,£) в приближении непрерывного замедления

Й-УФ = ^,Ф + ^(/?(£)Ф) + 0. (1)

Здесь - интеграл по упругим столкновениям, а —(Р(Е)Ф) - интеграл по неуп-

дЕ

ругим столкновениям, записанный в приближении непрерывного замедления, () -источник позитронов. Уравнение (1) записано для плотности потока электронов в точке г, с энергий Е, движущихся в направлении Г2, и формально имеет вид нестационарного уравнения, в котором роль времени играет энергия.

В Р{ - приближении уравнение (1) сводится к уравнению диффузии для плотности потока частиц, проинтегрированной по всем направлениям движения Ф0:

= + Рев. (2)

Граничные условия вытекают из требования, чтобы поток из вещества в свободное пространство, вычисленный в Р{ - приближении, был равен диффузионному потоку через границу 90 выпуклой области © в свободное пространство и имеют вид

1ф0+я-^уф0)-о, а©. (3)

Задача о выходе позитронов, возникших в однородном веществе, сводится к решению уравнения диффузии (2) с граничным условием (3) с плоским моноэнергетическим изотропным источником 0 = -г0)8(Е-Е0), расположенным на расстоянии г0 от поверхности. Согласно граничному условию (3), энергетический спектр вышедших через поверхность г = О позитронов описывается выражением

Функция выхода равна вероятности выхода из образца позитрона, родившегося на глубине гй с энергией Е0, и дается интегралом

где и„ - работа выхода электрона из вещества, а энергия Е измеряется от уровня Ферми.

Задача об обратном рассеянии пучка моноэнергетических позитронов, падающих на мишень, сводится к решению уравнения (2) с граничным условием (3), и с источником Q = 5(г -г1,)5(Е -Е0), где глубина полной диффузии. Падающий поток позитронов заменяется изотропным источником, который помещается на глубине полной диффузии и испускает позитроны с энергией Еа, но с уменьшенным на величину начальным пробегом /?0. При этом в уравнении диффузии (2) тормозную способность следует увеличить в(Л0-2</)/Л0 раз.

Функция выхода может быть найдена либо интегрированием потока через поверхность среды, либо интегрированием плотности по объему и вычитанием результата из единицы. Оба подхода дают одинаковый результат:

Коэффициент обратного рассеяния можно получить, подставив в формулу (4) вместо 20 глубину полной диффузии гл и заменив Р на РВ^ /(/?<, - гФункция выхода и коэффициент обратного рассеяния показаны на Рисунках 1-2. Транспортные характеристики электронов и позитронов показаны на Рисунке 3.

В случае, когда справедливо приближение непрерывного замедления и ис- 4 точник позитронов моноэнергетический и мгновенный, соответствие между энергией позитрона, длиной пройденного пути и временем движения в веществе становится взаимно - однозначным. Введем новую функцию - плотность потока позитронов, время движения которых лежит в единичном интервале времени около момента I, связанную с плотностью потока в единичном интервале энергий соотношением

и,

9(г0,£0) = ег& --"2/г - - - I [л^Л/Е ,(4)

/Чг.й^ф^Ая)^-

си

Учтем, что

Р(Е) =

с1Е ¿Е

у(£) Л

и перейдем в кинетическом уравнении (1) к новой переменной - времени. В результате получим кинетическое уравнение, записанное для плотности потока (5) в единичном интервале времени

^(ЯД г)] + QVF(r До = RelF(r,Q,t) + Q(f,Ü)S(t) (6)

1 AJ E = 500 eV

»2 О

0 2 4 • В 10 12 14 16 1« 20

vnm

Рисунок 2 - Функции выхода частиц из слоя алюминия, рожденных с энергией 500 эВ на глубине z„: 1 и 2 - электронов по аппроксимациям Бакалейникова, 3 и 4 - позитронов и электронов соответственно, полученные на основе сечений упругого и неупругою рассеяний, учитывающих обменное взаимодействие

10' 10*

§ 10* J-

ю*

10*

Рисунок 3 - Транспортные характеристики электронов и позитронов в алюминии: (а) - по Бакалейникову, (б) - наш расчеч в сравнении с работой Бакалейникова. 1-пробег по траектории, 2 - длина свободного пробега при неупругом рассеянии, 3 -при упругом рассеянии, 4 - транспортная длина для электронов. 1'-4' - соответствующие длины для позитронов

ом

е т

Рисунок 1 - Зависимость коэффициента обратного рассеяния от энергии. Кривые 1,2 и 3 - резулыаты расчета в диффузионной модели для алюминия, серебра и золота соответственно. Точки - экпери-ментальиые данные для алюминия (кружки), серебра (крестики) и золота (треугольники) для энергий 1 и 3 юВ

10" 10" E,eV

Кинетическое уравнение (6), переписанное для плотности позитронов, время движения которых лежит в единичном интервале времени окЬло момента г, имеет вид

ЛГ(г До + уУН(РА') = ле/ (УЛГ(Г Д О) + £Х?Д)*(/) (7)

Здесь М(г,П,1)с£гс1ГМ1 - число позитронов в элементе объёма <1г вблизи г,

движущихся в телесном угле б/О около направления П, время движения которых в веществе лежит в интервале Л включающем г. Плотность позитронов в единичном интервале времени и плотность потока позитронов в единичном интервале времени связаны между собой соотношением

N(r,й,t) = (]/v)F(r,Гl,t) Кинетическое уравнение (7) в Р^ - приближении метода сферических гармоник сводится к уравнению диффузии

^(гДО-^ЛЛ^ДО + ^г-ЯоЖО, *е[0,Г0]. (8)

от 3

В случае нерелятивистских энергий позитронов, воспользуемся степенной аппроксимацией соотношения пробег - энергия г = с" и получим время диффузии от появления позитрона в мишени до его остановки

( п \

а-1/2

где Л» - начальный пробег. Результаты расчетов представлены на Рисунках 4-5.

В уравнении диффузии (8) тормозная способность 0 и транспортная длина \ являются параметрами вещества рассеивателя и вычисляются через сечения упругого и неупругого рассеяния.Таким образом, прежде всего необходимо вычислить сечения, поскольку опубликованных данных по сечениям позитронов мало, в отличие от электронов.

Рисунок 4 - р -профили пространственного распределения плотности остановившихся позитронов в жировой ткани, облученной узким пучком позитронов с энергией £¡,=1740 кэВ. Числа возле кривых - расстояния от поверхности мишени, измеряемые в единицах начального пробега »,= 3.46 см.

озг оз 0.25 02

013 01 005

1.2 14 «10 ю

Рисунок 5 - Релаксация потока обратно рассеянных позитронов в жировой ткани, облученной коротким импульсом позитронов с энергией 1740 кэВ: (а) - во времени.

Вычисление сечений, вообще говоря, является отдельной, достаточно сложной задачей.

Во второй главе приводится алгоритм вычисления сечений упругого рассеяния электронов и позитронов на атомах с учетом спинового и обменного взаимодействий. Дифференциальное сечение упругого рассеяния определяется асимгпо-тическим поведением амплитуд рассеяния на больших расстояниях от ядра атома и приводится на Рисунке 6.

Разложение по парциальным волнам амплитуды рассеяния без переворачивания и с переворачиванием спина имеет вид соответственно

т = + 1)[ехр(2/<5;) -1] + 1[ехр(Щ) - l]}i>(cos0),

ZlK о

g(B) = ¿¿[-ехр(2 iSj) + Гехр(2Ц+)]^'(cos0), 21Л. ы 1

где К - импульс налетающей частицы. Амплитуды рассеяния определяются сдвигами фаз волновых функций ф1 для ориентации спинов, параллельной направлению

падающего пучка частиц S* и антипараллельной ему .

8* = arcJ - JAKr)W +1) tg ф; + (1 + / + х

\Кпм{Кг)-п,{Кг№ + \)lg<tf +{\ + l + k±)lr]j" Волновое уравнение для ф, имеет вид

{Г) = —sin[2ф?(г)] - cos[2^(/-)l + W- V(r), (10)

dr г

/ = 0,1,2,... к* --1-1, Г=/ и выводится из уравнений Дирака (11) для движения частицы в сферически симметричном самосогласованном потенциале с учетом обменного взаимодействия

V(r) = -—^Alexp(-alr) г м

по Дираку-Хартри-Фоку-Слейтеру. Различие в вычислениях для электронов и позитронов заключается в выборе знака заряда в выражении для потенциальной энергии

V{r) = ±e{U(r)-Ua{r)), а также введением поправки Фернесса - Мак Карти на обменное взаимодействие для электронов

VJr) = \{W- Vir)) - ^[(W - U(r)f + 4лр(г)е\ f.

Значения ф^ были получены численным интегрированием волнового уравнения Дирака (10) методом Рунге - Кутта пятого порядка.

При упругом рассеянии уравнение Дирака учитывает обменное и спиновое взаимодействия автоматически, а не путем введения принципа Паули, как при решении этой задачи с использовании уравнения Шредингера. Уравнение Дирака:

[Ж - У{г) + + ^ + 1±£с? = О, с1г г

с1г

-{¡У - У(г) -1]<7;± + = О

¿г г

На Рисунке 7 показаны транспортные сечения упругого рассеяния электронов и позитронов, вычисленные на основании дифференциальных сечений (9).

120 140 160 180

е.йедгм

Рисунок 6 - Дифференциальное сечение упруюго рассеяния электронов (кривые 1, 2, 3) и позитронов (кривая 4) с энергией 1000 эВ на атомах золота: 1 - Борновское приближение; 2 - формула Мотта без учета обменных эффектов; 3, 4 - расчет по (9) с учетом обменных и спиновых эффектов и эффектов ограничения радиуса взаимодействия сферой Винера-Зейца в твердом теле

10'

с ю2

ю'

■4

■6

10 10 10 10 10 10 Е.еУ

Рисунок 7 - Транспортные сечения упругого рассеяния электронов (кривые 1, 2, 3) и позитронов (кривая 4) на атомах золота, вычисленные: 1 — Борновское приближение; 2 - формула Мотта без учета обменных эффектов; 3,4 - расчет по (9) с учетом обменных и спиновых эффектов и эффектов ограничения радиуса взаимодействия сферой Винера-Зейца в твердом теле

Волновое уравнение (10) было получено из уравнения Дирака (11) подстановкой

о!-А!

СО Эй

± зиЦ*

г г

Достоверность результатов вычислений проверялась прямым сопоставлением сечений с архивом института им. Иоффе для электронов. Однако экранированный атомный потенциал Томаса-Ферми-Дирака, применяемый при вычислении сечений в этом архиве, не учитывает обменного взаимодействия. Нами использовался тот же алгоритм вычислений сечений, но использовался атомный потенциал Дирака Хар-три - Фока - Слейтера, учитывающий эти эффекты. Это позволило учесть различия в обменном взаимодействие электронов с атомом, которое существенно для малых энергий.

В третьей главе рассматривается вычисление сечений неупругого рассеяния электронов и позитронов по оптическим данным. Вычисление сечений неупругого рассеяния электронов и позитронов производилось на основе алгоритма Эшли по оптическим данным в области энергий фотонов от десятых долей эВ до до нескольких кэВ, из которых находилась мнимая часть диэлектрической проницаемости. В

основу вычислений была положена формула для расчета вероятности того, что электрон или позитрон с энергией Е передаст среде импульс q и потеряет энергию со на единице пути

дгХ

дсодд ж Ед

1т

-1

_е(д,(й)

(12)

в которую входит мнимая часть комплексной диэлектрической проницаемости, зависящая от переданного импульса и переданной энергии. Оптические данные содержат информацию о диэлектрической проницаемости вещества при взаимодействиях, в которых переданный импульс близок к нулю. При неравном нулю переданном импульсе предполагается простая квадратичная зависимость между переданной энергией и переданным импульсом. В этом приближении диэлектрическая проницаемость аппроксимируется выражением

1т

-1

е(д,а>)

= 1т

-1

со-д2/2

(13)

е(0,а-д2/2)

Вероятность потери энергии т на единице пути нерелятивистского электрона или позитрона с энергией Е получается интегрированием (12) по всем возможным переданным импульсам д

ад.

да

1т

лЕ / д

-1

е(д,а)

(14)

Обратная длина свободного пробега относительно неупругого рассеяния

(15)

дао

Тормозная способность дается интегралом

дсо

(16)

На основании выражений (12) - (16) получены обратная длина неупругого рассеяния и тормозная способность электронов и позитронов

£/2

-1

е(0,ф')

где множитель для позитронов

, (4) 1а 33а2

а множитель для электронов

4(а) = (1 - а)Ы---а + а3'2 - —а2. ' 4 ' а 4 32

Тормозная способность

2 хЕ о

где множитель для позитронов

1 с. > г

н"рК ' 7п-к )

-1

с» = 2

(а «О,

а множитель для электронов

ч 1/2 ,

—а ■

^ 1 + -а

По этим формулам были вычислены длина неупругого рассеяния и тормозная способность для алюминия, меди, серебра и золота по оптическим данным, взятым из справочника под редакцией Палика. По этим же данным считался электронный архив Физ.- тех. института им. Иоффе. Кроме того, что представлено в этом архиве, нами вычислены угловые распределения при неупругом рассеяния. Результаты расчетов представлены на Рисунках 8-9.

10 ю4

-ю1

й£ 2 ' 10

1о'

101

10'

1 2 1

и-

Но, «V Е, оЧ

Рисунок 8 - Вероятность того, что электрон Рисунок 9 - Тормоэная способность ме-

с энергией Р на единице пути в меди поте- ди для электронов (кривая 2) и пози-

ряет энергию Ьш. Кривые 1,2 и 3 соответ- тронов (кривая 1) ственно для £ =100,1000 и 10 эВ

В четвертой главе рассматривается моделирование взаимодействия электронов с тонкими пленками методом Монте - Карло.

В пятой главе рассматривается двухгрупповая модель кинетического уравнения. Модель построена без введения в теорию эмпирических подгоночных параметров и доведена до конечных аналитических выражений для характеристик проникновения быстрых позитронов. Основные положения двухгрупповой модели для изотропного источника моноэнергетических позитронов можно сформулировать следующим образом: первая группа — это позитроны, испущенные источником с энергией Е0, движущиеся прямолинейно по всем направлениям от центра до сферы полной диффузии с радиусом гй. При этом они теряют энергию в неупругих столкновениях, так что, достигнув сферы полной диффузии, имеют энергию Ел. Позитроны первой группы изотропно рассеиваются на поверхности сферы полной диффузии и переходят во вторую хрупну в виде изотропного источника позитронов, равномерно распределенного по сфере радиуса гл. Вторая группа - это группа позитронов, диффузия которых описывается уравнением (2) с источником

Q-^jSir-r^SiE-E,).

(18)

Уравнение диффузии (18) можно упростить, записав его для функции

которая имеет смысл плотности позитронов с энергией Е в точке г .

Заменим переменную Е новой переменной - возрастом позитронов г, связанным с энергией Е выражением

Т(Е):

i f АШ1

3 l dEldR

dE.

Тогда уравнение диффузии для функции N (г ,т) примет вид J?-N(r,т) = ^N(r,т) + -±:тS(r-rí¡)S(т).

дт

4 кг;

(19)

Функция Грина уравнения диффузии позитронов (19) в бесконечной среде, когда источник находится в точке, заданной радиус-вектором гл

г . \3 Г

G{f,r) =

2фгг)

ехр

(r-Pj

4 г

Тогда плотность позитронов будет даваться интегралом Дюамеля После интегрирования получим:

N(r,T) =

2л/ят.

ехр -

г+К

4г

2г

Td<T<z0.

(20)

Для оценки разрешающей способности ПЭТ необходимо вычислить полуширину плотности остановившихся позитронов, т.е. позитронов с возрастом т0=т(Е = 0).

Квантовомеханический анализ рассеяния электрона, выполненный Моттом на основе релятивистской теории электрона Дирака в предположении точечного ядра и без учета экранирования, приводит к выражению

где ам - сечение Мотта, ак- сечение Резерфорда, R4 - множитель Мотта.

Для небольших Z <27 и р «1 множитель Мотта можно подсчитать по приближенной формуле Мак-Кинли и Фешбаха, полученной также из разложения RM(E,Z,9) в пренебрежении членами (Zaf и дающей хорошую точность

RM =\-p2sm2?- + xp

z Л

, ■ в

1 -sin— sin — .

2 J 2

2 и37,Д

Неупругое рассеяние позитронов релятивистских энергий на легких атомах, из которых состоят биологические ткани, можно считать рассеянием на почти свобод-

ных электронах. Используя теорию позитрона Дирака и принимая во внимание возможность аннигиляции частиц, было получено дифференциальное сечение передачи энергии при рассеянии в виде

7*0

(Г + 1ХГ + 2)

'9.

1 + 2Г 1

+ Г 1

2Д

Т) 2

(Т + 2)

3 + 2Г + Г

2 Г Г

Т о

Т + 2Т

3 + 4Г11-9. \ + Т2

1-Я

Здесь 0 - переданная энергия в столкновении позитрона с кинетической энергией Т со свободным электроном.

В сложном веществе сечение упругого рассеяния одной молекулой вещества находится суммированием сечений рассеяния на атомах, составляющих молекулу с весами, равными числу атомов /' - того сорта в молекуле

1 1

(21)

р Р (1 + 277,-СО80) Из Рисунков 10-11 видно, что полуширина распределения остановившихся позитронов существенно зависит от вида ткани и энергии испускаемых радиоактивным изотопом позитронов. Величины полуширин распределений могут служить оценкой предельно достижимой разрешающей способности ПЭТ.

Применение двухгрупповой модели кинетического уравнения для позитронов позволяет получить распределение термализованных позитронов, не вводя в теорию подгоночных параметров, взятых из эксперимента. При этом выполненные вычисления показывают, что предельная разрешающая способность ПЭТ, обусловленная дисперсией излучаемых радиоактивным изотопом позитронов, существенно зависит от применяемого изотопа и биологической ткани лежит в пределах от нескольких миллиметров до приблизительно 1.5 см.

Рисунок 10 - Плотность термализованных позитронов в жировой ткани, испускаемых изотопами: 1 - 18F (0.635 МэВ), 2 - 11С (0.97 МэВ), 3 - 13N (1.2 МэВ), 4 - 150, 17F (1.74 МэВ)

Рисунок 11 - То же, что и на Рисунке

ЮОшибка! Источник ссылки не найден., для мышечной ткани

В заключении исследования перечислены основные результаты и выводы диссертации.

1. В области малых энергий от 100 эВ и ниже учет обменного взаимодействия по модели Дирака-Хартри-Фока-Слейтера приводит к увеличению сечения с уменьшением энергии, в то время как учет только экранирования по модели Томаса-Ферми-Дирака приводит к уменьшению сечений с уменьшением энергии.

2. В диффузионном приближении получено аналитическое решение задачи о падающем на мишень коротком импульсе моноэнергетических позитронов и оценены временные характеристики процесса проникновения быстрых позитронов в мишень вплоть до их остановки. Показано, что время замедления позитронов на порядки меньше времени жизни пар «электрон-позитрон» относительно аннигиляции.

3. Проведена оценка точности диффузионных моделей кинетического уравнений для позитронов путем сопоставления аналитических характеристик с вычислениями методом Монте-Карло и экспериментальными данными, и показано, что в области средних энергий аналитические оценки интегральных характеристик переноса позитронов хорошо согласуются с результатами моделирования переноса позитронов методом Монте-Карло.

4. Показано, что вероятность выхода электронов из мишени, вычисленная с учетом обменных эффектов в (области малых энергий), меньше вероятностей выхода, вычисленных с использованием сечений рассеяния без такого учета.

5. Для позитронов вероятность выхода несколько больше, чем для электронов в силу различия в сечениях рассеяния. Это различие оказывается более существенным для упругого взаимодействия в области малых энергий.

6. В рамках двухгрупповой транспортной модели кинетического уравнения для позитронов, испущенных радиоактивными изотопами, применяемыми в пози-тронно - эмиссионной томографии (ПЭТ), получены аналитические формулы для распределения остановившихся позитронов в биологических тканях и оценена разрешающая способность ПЭТ.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Смоляр, В.А. Распределение энергии, выделенной пучком быстрыхШ(Лар1нс0в§и^ни / В.А.Смоляр, В.В. Еремин, A.B. Еремин // Вопросы физической метрологии. Вестник Поволжского отделения метрологической академии России. - 2001. - Вып. 3. - С. 56 - 63. Смоляр, В.А. Распределение выделенной энергии и инжектированного заряда при нормальном падении на мишень пучка быстрых электронов / В.А. Смоляр, В.В. Еремин, A.B. Еремин // Журнал Технической Физики. - 2002. - Т 72. Вып. 4. - С. 46 - 52.

Еремин, В.В. Диффузионная модель кинетического уравнения для пучка быстрых частиц, падающего на полубесконечную мишень / В.В. Еремин // VII Межвузовская конференции студентов и молодых ученых г.Волгограда и Волгоградской области. Вып 4- Физика и математика: тезисы докладов - Волгоград: Издательство ВолГУ, 2003. - С. 68.

Аналитический и численный подходы к вычислению характеристик переноса заряженных частиц / А.П. Давидян, В.В. Еремин, Е.С. Жукова, А.И. Ерин // Федеральная итоговая научно-техническая конференция творческой молодежи России по естественным, техническим и гуманитарным наукам. - М., 2003. - С. 68 - 69.

Смоляр, В.А. Сравнительный анализ сечений рассеяния электронов и позитронов средних энергий атомами вещества / В.А Смоляр, А.В Еремин, В.В. Еремин // Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах: материалы III международного семинара / ВГТУ. - Воронеж, 2004. - С. 116 - 121. Смоляр, В.А. Алгоритм вычисления сечений упругого рассеяния электронов и позитронов на атомах с учетом спинового и обменного взаимодействий/ В.А. Смоляр, В.В. Еремин, A.B. Еремин // Вопросы физической метрологии. Вестник Поволжского отделения метрологической академии России, - 2004. - Вып. 6. - С. 76 - 81.

Смоляр, В.А. Распределение позитронов, излученных радиоактивными изотопами, в биологических тканях/ В.А Смоляр, A.B. Еремин, В.В. Еремин // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. - 2005. - №3. - С. 26 - 32.

РЫБ Русский фонд

2006-4 19165

Подписано в печать ¿.И .2005 г. Заказ Ш7Ц7. Тираж 100 экз. Печ. л. 1,0 Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Типография РПК «Политехник» Волгоградского государственного технического университета.

400131, г. Волгоград, ул. Советская, 35

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Еремин, Виталий Валерьевич

ВВЕДЕНИЕ.

1 АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О ПЕРЕНОСЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ.

1.1 Диффузионное приближение кинетического уравнения.

1.2 Влияние потенциального барьера на границе со свободным пространством на граничное условие.

1.3 Решение задачи о пучке частиц, падающих на полубесконечную мишень.

1.3.1 Обратное рассеяние.

1.3.2 Функция выхода.

1.4 Проникновение, обратное рассеяние и релаксация пучка быстрых электронов и позитронов в реальном времени.

2 АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ СЕЧЕНИЙ УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ НА АТОМАХ С УЧЕТОМ СПИНОВОГО И ОБМЕННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ.

Введение.

2.1 Аналитическое решение уравнения Дирака для электронов в центральном электростатическом поле для малых г.

2.2 Численное решение уравнения Дирака для электронов в центральном электростатическом поле.

2.3 Дифференциальное, полное и транспортное сечения упругого рассеяния электронов и позитронов малых энергий.

3 ВЫЧИСЛЕНИЕ СЕЧЕНИЙ НЕУПРУГОГО РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ ПО ОПТИЧЕСКИМ ДАННЫМ.

Введение.

3.1 Модель оптических данных.

3.2 Дифференциальный свободный пробег.

3.3 Угловое распределение при неупругом рассеянии.

3.4 Тормозная способность и средний свободный пробег.

3.5 Вычисление сечений по оптическим данным.

4 МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОНОВ С ТОНКИМИ ПЛЕНКАМИ МЕТОДОМ МОНТЕ - КАРЛО.

Введение.

4.1 Метод Монте - Карло.

4.2 Результаты.

5 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЗИТРОНОВ, ИЗЛУЧЕННЫХ РАДИОАКТИВНЫМИ ИЗОТОПАМИ, В БИОЛОГИЧЕСКИХ ТКАНЯХ.

Введение.

5.1 Основные положения двухгрупповой модели.

5.2 Аналитическое решение задачи о распределении термализованных позитронов.

5.3 Результаты вычислений и их обсуждение.

Введение диссертация по физике, на тему "Транспортные модели в теории переноса позитронов"

Актуальность исследования.

В последние годы наблюдается интенсивное развитие позитроники различных веществ и их состояний. Интерес к изучению позитроники не случаен. С одной стороны, он связан с фундаментальными проблемами физики, а, с другой, с поиском новых уникальных методов исследования электронной структуры и некоторых физико-химических характеристик вещества в дополнение к уже существующим (оптическим, электрическим, магнитным и др.), а также возможностей построения приборов и устройств, работающих на основе эффектов взаимодействия излучения с веществом.

В настоящее время выполнены экспериментальные исследования пози-тронной аннигиляции в металлах, полупроводниках, сплавах, конденсированных средах и др. Обнаружена высокая чувствительность позитронного метода к электронной и дефектной структуре этих веществ. Таким образом, можно говорить о позитронной аннигиляционной спектроскопии (ПАС) как о методе исследования электронной структуры, определения структуры, природы и концентраций точечных и протяженных дефектов, изучения нарушенных поверхностных слоев и поверхностных состояний [1].

Пучок позитронов с низкой энергией может использоваться как зонд поверхности Ферми (Двумерная Угловая Корреляция Аннигиляционного Излучения (2D-ACAR)), зонд дефектов в металлах, полупроводниках, и т.д. (Позитрон Спиновая Релаксация (PSR)), зонд поверхностей и границ (Дифракция Медленных Позитронов (LEPD)), микро-зонд (Реэмиссионная Позитронная Микроскопия (PRM), Туннельная Позитронная Микроскопия (РТМ), Реэмиссионный По-зитронный Спектромикроскоп (PRSM), Позитрон Индуцированная Оже Эмиссионная Спектроскопия (PAES), Позитрон Индуцированная Оже Эмиссионная Микроскопия (РАЕМ)). Применение этих методик позволяет получать информацию о поверхности Ферми, обнаруживать примеси и дефекты решетки, обнаруживать дефекты на заданной глубине от поверхности при изменении энергии позитронов. С использованием высокоинтенсивных пучков позитронов появляется возможность создавать отдельные виды микроскопов: теневой позитрон-ный микроскоп, сканирующий позитронный микроскоп, реэмиссионный пози-тронный микроскоп и туннельный микроскоп. Например, реэмиссионный позитронный микроскоп может быть использован для анализа поверхностных структур или поверхностных дефектов с высоким разрешением.

Один из возможных способов получения интенсивных пучков низкоэнер-гетичных позитронов заключается в использовании ускорителей заряженных частиц, что реализовано в комплексе SPring-8 [2].

Позитроны высоких энергий применяют в медицине. Одним из современных методов радионуклидной диагностики, используемым в нейрорадиологии, является позитронно - эмиссионная томография (ПЭТ). Основными показаниями к применению ПЭТ в клинической практике являются сосудистые заболевания головного мозга, опухоли, эпилепсия и различные виды слабоумия. В основе метода лежит введение радионуклидных препаратов, которые испускают позитроны.

Все перечисленные выше способы применения позитронных пучков требуют точного количественного описания транспорта позитронов низких, средних и высоких энергий. Теория транспорта позитронов сталкивается с трудностью, которая обусловлена многообразием и сложностью взаимодействий позитрона с рассеивающим веществом. Оценки показывают, что основным механизмом потерь энергии для позитронов низких и средних энергий является процесс ионизации, а рассеяние по углам происходит при упругом взаимодействии с ядрами атомов рассеивателя. Для строгого количественного описания характеристик рассеяния необходима разработка алгоритмов расчета сечений упругого и неупругого рассеяния.

Расчет процессов замедления позитронов позволяет правильно оценить эффективность замедлителя в ускорителе заряженных частиц и выход медленных позитронов.

Для моделирования основных эффектов, требуется информация о функции распределения позитронов. Она может быть получена из кинетического уравнения путем построения феноменологических моделей, требующих введения в расчёты большого числа подгоночных параметров даже при вычислении самых простых и хорошо известных характеристик, например, коэффициента обратного рассеяния [3]. Кроме того, эти феноменологические модели ориентированы на вычисление только лишь какой-либо одной характеристики транспорта. При этом вычисление других характеристик потребует введение в модель своих подгоночных параметров [4, 5, 6, 7]. Однако только модели кинетического уравнения, основанные на применении физически обоснованных приближений и не содержащие подгоночных параметров, могут дать адекватное аналитическое описание процессов переноса и получить количественные оценки характеристик проникновения и обратного рассеяния падающего на мишень потока позитронов. Такие методы и модели разработаны для электронов [8, 9, 32], однако транспорт позитронов имеет свои особенности, которые должны быть учтены, а их влияние на конечные характеристики, представляющие интерес для приложений, оценены аналитически и найдены численно.

Поэтому разработка аналитических и численных методов расчёта транспорта позитронов на основе кинетического уравнения остаётся актуальной и нерешённой задачей.

Цель работы:

- построение транспортных моделей кинетического уравнения для позитронов и оценка их точности.

При реализации поставленной цели решены следующие задачи: построена модифицированная диффузионная и двухгрупповая модели проникновения и обратного рассеяния позитронного пучка низких, средних и высоких энергий, падающего на полубесконечную мишень; разработан алгоритм расчета сечений упругого рассеяния позитронов и электронов на атомах с учетом спинового и обменного взаимодействий; разработан алгоритм вычисления сечений неупругого рассеяния позитронов и электронов по оптическим данным; изучены характеристики обратного рассеяния и проникновения в мишень, вычисленные в рамках двухгрупповых транспортных моделей кинетического уравнения для позитронов и электронов; оценена предельно достижимая разрешающая способность в методе ПЭТ.

Научная новизна работы.

В данной работе впервые:

Практическая ценность заключается в том, что теоретически исследованные в работе процессы позволяют глубже понять сущность соответствующих физических явлений, а также разработать методику расчета основных характеристик транспорта позитронов низких, средних и высоких энергий в твердом теле, имеющих важное практическое значение как при исследовании электронной структуры твердых тел, так и в приложениях, например, при проектировании позитронных микроскопов и при использовании позитронов высоких энергий для диагностики различных заболеваний.

Объекты исследования работы: кинетическое уравнение Больцмана для позитронов; сечения упругих и неупругих процессов рассеяния позитронов; характеристики процесса переноса позитронов низких, средних и высоких энергий в мишени (угловое и энергетическое распределения обратно-рассеяных позитронов, пространственные распределения плотности тер-мализованных позитронов и выделенной энергии).

Достоверность результатов исследования обусловлена строгим аналитическим обоснованием полученных теоретических положений и обеспечивается сравнением с опубликованными в литературе экспериментальными данными, а также с результатами моделирования транспорта позитронов методом Монте-Карло.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту: а) Аналитическое решение задачи о падающем на мишень коротком импульсе моноэнергетических позитронов и полученные на основании этого решения временные характеристики процесса проникновения быстрых позитронов в мишень вплоть до их остановки. б) Распределение остановившихся позитронов в биологических тканях и оценка разрешающей способности позитронно-эмиссионной томографии для позитронов, испущенных радиоактивными изотопами.

• в) Оценки точности характеристик переноса позитронов, вычисленных в рамках предлагаемых транспортных моделей, полученные сопоставлением с экспериментальными данными и с вычислениями методом Монте-Карло.

Апробация результатов.

Результаты исследований опубликованы в периодической научной печати (журналы "Вопросы физической метрологии", "Биомедицинские технологии и радиоэлектроника", ЖТФ) и докладывались на:

- Всероссийском конкурсе на лучшие научно-технические и инновационные работы студентов по естественным наукам (Саратов, 2003 г);

- ежегодных внутривузовских научных конференциях (Волгоград, 2000 -2004 гг.).

Публикации (в хронологическом порядке):

1. Смоляр, В.А. Распределение энергии, выделенной пучком быстрых электронов в мишени / В.А.Смоляр, В.В. Еремин, А.В. Еремин // Вопросы физической метрологии. Вестник Поволжского отделения метрологической академии России. - 2001. - Вып. 3. - С. 56 - 63.

2. Смоляр, В.А. Распределение выделенной энергии и инжектированного заряда при нормальном падении на мишень пучка быстрых электронов / В.А. Смоляр, В.В. Еремин, А.В. Еремин // Журнал Технической Физики. -2002. -Т. 72. Вып. 4.-С. 46-52.

3. Еремин, В.В. Диффузионная модель кинетического уравнения для пучка быстрых частиц, падающего на полубесконечную мишень /В.В. Еремин // VII

Межвузовская конференции студентов и молодых ученых г.Волгограда и Волгоградской области. Вып. 4: Физика и математика: тезисы докладов. — Волгоград: Издательство ВолГУ, 2003. - С. 68.

4. Аналитический и численный подходы к вычислению характеристик переноса заряженных частиц / А.П. Давидян, В.В. Еремин, Е.С. Жукова, А.И. Ерин // Федеральная итоговая научно-техническая конференция творческой молодежи России по естественным, техническим и гуманитарным наукам. -М., 2003.-С. 68-69.

5. Смоляр, В.А. Сравнительный анализ сечений рассеяния электронов и позитронов средних энергий атомами вещества / В.А. Смоляр, А.В. Еремин, В.В. Еремин // Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах: материалы III международного семинара / ВГТУ. - Воронеж, 2004. - С.116 - 121.

6. Смоляр, В.А. Алгоритм вычисления сечений упругого рассеяния электронов и позитронов на атомах с учетом спинового и обменного взаимодействий/ В.А. Смоляр, В.В. Еремин, А.В. Еремин // Вопросы физической метрологии. Вестник Поволжского отделения метрологической академии России. - 2004. -Вып. 6.-С. 76-81.

7. Смоляр, В.А. Распределение позитронов, излученных радиоактивными изотопами, в биологических тканях/ В.А. Смоляр, А.В. Еремин, В.В. Еремин // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. - 2005. - №3. - С. 26 - 32.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 40 наименований, двух приложений. Основная часть работы изложена на 100 страницах машинописного текста.

Заключение диссертации по теме "Физическая электроника"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1) В рамках двухгрупповой транспортной модели кинетического уравнения для позитронов, испущенных радиоактивными изотопами, применяемыми в позитронно - эмиссионной томографии (ПЭТ), получены аналитические формулы для распределения термализованных позитронов в биологических тканях и оценена разрешающая способность ПЭТ. При этом в теорию не вводятся эмпирические подгоночные параметры.

2) В области малых энергий от 100 эВ и ниже учет обменного взаимодействия приводит к увеличению сечения с уменьшением энергии, в то время как учет только экранирования по модели Томаса-Ферми-Дирака приводит к уменьшению сечений с уменьшением энергии. Учет обменного взаимодействия производился по модели Дирака-Хартри-Фока-Слейтера.

3) Получено нестационарное кинетическое уравнение для плотности потока позитронов в приближении непрерывного замедления при облучении мишени коротким импульсом, и построено его диффузионное приближение в области средних энергий.

4) В диффузионном приближении получено аналитическое решение задачи о падающем на мишень коротком импульсе моноэнергетических позитронов и оценены временные характеристики процесса проникновения быстрых позитронов в мишень вплоть до их остановки .

5) Проведена оценка точности диффузионных моделей кинетического уравнений для позитронов путем сопоставления аналитических характеристик с вычислениями методом Монте-Карло и показано, что в области средних энергий аналитические оценки интегральных характеристик переноса позитронов хорошо согласуются с результатами моделирования переноса позитронов методом Монте-Карло.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Еремин, Виталий Валерьевич, Волгоград

1. Графутин, В.И. Применение позитронной аннигиляционной спектроскопии ® для изучения строения вещества / В.И. Графутин, Е.П. Прокопьев // УФН. -2002.-Т. 172, №1. -С. 67-83.

2. Ando ¥.// J. Synchrotron Rad. 1996. - V. S3. - P. 201-215.

3. Dapor M. Comparison of the results of analytical and numerical model calculations of electron backscattering from supported films// Eur. Phys. J. AP. 2002. - V.18. -P. 155.

4. Dapor M. Monte Carlo simulation of the interaction of electrons with supported and unsupported thin films// NIMB. 2003. - V. 202. - P. 155-160.

5. Вятскин, А.Я. Метод определения характеристик взаимодействия электронов ^ средних энергий с массивными твердыми телами / А.Я. Вятскин, В.Ю. Храмов

6. ФТТ. 1975. - Т.17. Вып.11. - С. 3412-3413.

7. Исследование характеристик проникновения электронов с энергией 5-25 кэВ в массивные мишени / А.Я. Вятскин, А.Н. Кабанов, Б.Н. Смирнов, В.Ю. Храмов // Радиотехн. и Электроника. 1979. - Т.24. Вып. 2. - С.405-407.г

8. Arnal P. Transmission d electrons monooinJtiques par des objets amorphee ou polyorystallins// C. R. Acad. Sc. Paris. 1982. - V.294. - P. 831-833.

9. Смоляр В.А. Обратное рассеяние, прохождение и энерговыделение в пластине, бомбардируемой пучком электронов// Радиотехника и электроника. 1985. - Т.ЗО. Вып.11. - С. 2221-2228.

10. Smolar V. Electron backscattering and penetration in the small-angle and transportapproximation model// Vacuum. 1990. - V. 41, № 7-9. - P. 1718-1720.

11. Simulation of the X-ray induced electron emission at the absorption edge/ L.A. Bakaleinikov, K.Ju. Pogrebitsky, E.A. Tropp, Y.N. Yur'ev, S.A. Song // The Nucleus. 1997. - V. 34, № 1-2. - P. 1-9.

12. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М., Мир, 1972. - 384 с.

13. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. T.III. Квантовая механи-• ка (нерелятивистская теория). М., ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 808 с.

14. Бакалейников, JI.А. Аналитический и численный подходы к расчету функции выхода электронов средних энергий из однородных образцов / Л.А. Бакалейников, Е.Ю. Флегонтова, К.Ю. Погребицкий // ЖТФ. 2001. - Т. 71. Вып. 7. -С. 14-20.

15. Bethe, Н. Multiple scattering of fast charged particles / H. Bethe, M.E. Rose, L.P. Smith // Proc. Amer. Phil. Soc. 1938. - V. 78, J64. - P. 573-583.

16. Larsen, E. W.// Ann. Nucl. Energy. 1992. - V. 19. - P. 701.

17. Электронный архив: http://www.ioffe.rssi.ru/ES.

18. Dapor, МЛ J. Appl. Phys. 1996. - V. 79, № 11. - P. 1-6.

19. Fink M., Ingram J., Yates A.C.// J. Phys. B. 1996. - V. 3. - P. 536.

20. Mott, N.F., Massey H.S.W. The Theory of Atomic Collisions. Oxford University Press, 1965.-750 P.

21. Lin S.-R., Sherman N., Percus J.K.// Nucl. Phys. 1963. - V. 45. - P. 492.

22. Analytical Dirac-Hartree-Fock-Slater screening function for atoms (Z=l-92) / F. Salvat, D. Martinez, R. Mayol, J. Parellada // Phys. Rev. A. 1987. - V. 36, № 2. -p. 467-474.

23. Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамович, И. Стиган. М.: «Наука». 1979. - 830 с.

24. Bunyan, P.J. Polarization by mercury of 100 to 2000 eV electrons / P.J. Bunyan, J.L. Schonfelder // Proc. Phys. Soc. 1965. - V. 85. - P. 455.

25. Пайнс, Д. Элементарные возбуждения в твердых телах. М.: Мир, 1965. -382 с.

26. Palik, E.D. Handbook of Optical Constants of Solids. New York, 1985.

27. Ashley, J.C. Energy loss rate and inelastic mean free path of low-energy electrons and positrons in condensed matter// Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena. 1990. - V. 50. - P. 323-334.

28. Cosslett V.E., Thomas R.N.// J. Appl. Phys. 1965. - V. 16. - P. 779.

29. Bishop H.E.// Proc. 4e Congres International d'Optique des Rayons X et de Mi-croanalyse. Hermann, Paris, 1967. - P. 153.

30. Hunger H.-J., Kuchler L.// Phys. Stat. Sol. 1979. - V. (a)56. K45.

31. Alavia, A. Studies of central nervous system disorders with single photon emission computed tomography and positron emission tomography / A. Alavia, L. J. Hirsch // Semin. Nucl. Med. 1991. - V. 21. - P. 58-81.

32. Maurer A. H. Nuclear medicine: SPECT comparisons to PET.//Radiol. Clin. North Am. 1988. - V. 26.-P. 1059-1074.

33. Смоляр, В. А. Распределение выделенной энергии и инжектированного заряда при нормальном падении на мишень пучка быстрых электронов / В.А. Смоляр, А.В. Ерёмин, В.В. Ерёмин // ЖТФ. 2002. - Т. 72. Вып. 4. - С. 46-52.

34. MottN.F.//Proc. Roy. Soc. 1930. - V. 126.-P. 259.

35. Mc Kinley W.A., Feshbach H.// Phys. Rev. 1948. - V. 74. - P. 1759.

36. Bethe H., Rose M. E., Smith L. P.// Proc. Amer. Phil. Soc. 1938. - V. 78, № 4. -P. 573-585.

37. Spencer, L. V. Theory of electron penetration// Phys. Rev. 1955. - V. 98, № 6. -P. 1597-1616.

38. Moliere G.// Z. Naturforsch. 1947. - V. 2. - P. 133.

39. Воробьев A.A., Кононов Б.А. Прохождение электронов через вещество. -Томск: Изд. ТГУ, 1966. 141 с.

40. Bhabha Н. I.// Proc. Roy. Soc. 1937. - V. 164. - P. 257.

41. Смоляр, В. А. Распределение дозы в биологических структурах, облученных пучком ускоренных электронов / В.А. Смоляр, О.С. Харламов // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. 2004. - №4.