Двухжидкостная гидродинамика

Мельниковский, Лев Александрович

Двухжидкостная гидродинамика тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Мельниковский, Лев Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Двухжидкостная гидродинамика»

Автореферат диссертации на тему "Двухжидкостная гидродинамика"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ _имени П. Л. КАПИЦЫ_

на правах рукописи

Не

Мельниковский Лев Александрович

ДВУХЖИДКОСТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА: НОВЫЕ АСПЕКТЫ

Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 2006

Работа выполнена в Институте физических проблем им. П. Л. Капицы РАН

Научный руководитель: академик А. Ф. Андреев

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н.

д.ф.-м.н., профессор

С. Н. Бурмистров Л. П. Межов-Деглин

Ведущая организация:

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН

Защита состоится 19 апреля 2006 года в 10 часов на заседании Диссертационного совета Д 002.103.01 при Институте физических проблем им. П.Л.Капицы РАН по адресу: 119334, г. Москва, ул. Косыгина, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физических проблем им. П. Л. Капицы РАН.

Автореферат разослан марта 2006 года.

Ученый секретарь Совета, член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор

Л.А. Прозорова

¿006 й 6002-,

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В современной физике конденсированного состояния решающую роль играют макроскопические квантовые эффекты. Их детальное микроскопическое описание сопряжено с общеизвестными трудностями и ограничено конечным набором решаемых моделей. В связи с этим чрезвычайно полезным оказывается «гидродинамический» подход, основывающийся на фундаментальных законах сохранения и не отягощенный узкими рамками моделей.

Гидродинамика (в своем исконном смысле) посвящена изучению движения жидкостей и началась в XVIII веке с работ Л.Эйлера и Д. Бернулли. В наши дни под гидродинамическим подходом подразумевается рассмотрение любого слабонеоднородного движения, при котором каждый малый элемент объема можно считать равновесным и описывать термодинамическими переменными. Их количество определяется числом локальных законов сохранения, так при описании обычной несверхтекучей жидкости можно обойтись температурой, плотностью и одной скоростью.

Вероятно, первым объектом, не укладывающимся в эту простую картину, оказался сверхтекучий гелий, теорию которого построил Л.Д.Ландау в 1940-1941 гг. При температуре меньшей 2.19 К жидкий 4Не ведет себя так, как если бы представлял собой смесь двух различных жидкостей. В этих условиях его состояние описывается двумя независимыми скоростями. В настоящей диссертации показано, что такое положение можно интерпретировать как возникновение дополнительного закона сохранения.

Подобное положение имеет место в кристаллах при низкой температуре, когда можно пренебречь влиянием процессов переброса на динамику квазичастиц. В этом случае в однородной системе выполняется закон сохранения квазиимпульса, а в неоднородной си-

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ

стеме оказывается возможным получить уравнения двухжидкостной (двухскоростной) теории упругости.

И сверхтекучая жидкость и кристалл давно исследуются, но ряд экспериментально наблюдаемых явлений не имел удовлетворительного теоретического объяснения до настоящего времени. Среди них

• критические скорости,

• линейный рост гладких кристаллических граней,

• диссипативная теплопередача в сверхтекучей жидкости.

Целью работы являлось объяснение вышеперечисленных явлений, разработка новых теоретических методов исследования этих и близких вопросов и предсказание новых явлений, которые можно наблюдать экспериментально.

Научная новизна данной работы определяется тем, что в ней

• найден новый аддитивный интеграл движения в сверхтекучей системе;

• изучены общие условия термодинамической устойчивости сверхтекучей жидкости;

• построена теория критических скоростей сверхтекучего движения;

• построена теория упругости для двухкомпонентной системы, состоящей из решетки и газа квазичастиц;

• дано объяснение линейного роста гладких граней кристаллического гелия;

• построена сверхтекучая гидродинамика в поле тяжести;

• исследована диссипативная теплопередача в сверхтекучей жидкости на Земле.

Перечисленные выше положения выносятся на защиту.

Научная и практическая ценность

Полученные новые методы и результаты позволяют лучше понять физику квантовых жидкостей и кристаллов и могут быть применены для дальнейших теоретических исследований и анализа экспериментальных данных.

Апробация работы

Изложенные в диссертации результаты были представлены на:

• международной конференции «NATO Advanced Research Workshop "Molecular nanowires and other quantum objects"» (Bled, Slovenia, 2003);

• международной конференции «Third European Conference on Vortex Matter in Superconductors» (Crete, Greece, 2003);

• международной конференции «The 7th International Workshop From Andreev Reflection to the International Space Station through Bjorkliden» (Bjorkliden, Kiruna, Sweden, 2003);

• международной конференции «Workshop on Quantum Phenomena at Low Temperatures» (Lammi, Finland, 2004);

• международной конференции «Quantum Fluids and Solids QFS2004» (Trento, Italy, 2004);

• семинарах и ученых советах в Институте физических проблем. Публикации

По теме диссертации опубликовано 6 научных работ, список которых приведен в конце реферата.

2 Содержание диссертации

В статистической физике термодинамические (и гидродинамические) свойства системы определяются ее аддитивными интегралами движения. Для <обычных» нормальных систем существуют три независимых локальных закона сохранения: массы, энергии и импульса. Уравнения гидродинамики обычной жидкости однозначно следуют из этих законов сохранения, фактически их вывод сводится к выяснению вида потоков массы, энергии и импульса.

В сверхтекучей жидкости появляется еще один интеграл движения — сверхтекучая скорость. Появление дополнительной переменной приводит к усложнению уравнений гидродинамики и к такому наблюдаемому явлению как, например, появление двух видов звуковых волн в Не-П. В настоящей диссертации изучены особенности термодинамики и установлены критерии термодинамической устойчивости сверхтекучей жидкости.

В некоторых системах появление дополнительной переменной связано с существованием приближенного закона сохранения в однородной системе. Примером может служить кристалл с газом квазичастиц в пренебрежении процессами переброса. Угадать вид дополнительного интеграла движения в этой системе из общих соображений не представляется возможным, поэтому для вывода общих уравнений двухскоростной теории упругости приходится привлекать кинетическую теорию. На основе полученных уравнений оказывается возможным объяснить линейный рост кристаллов гелия с гладкими гранями и предсказать ряд необычных явлений.

Ни один из описанных подходов неприменим для системы находящейся во внешнем поле: законы сохранения в таком случае должны включать и переменные относящиеся к среде, и переменные относящиеся к полю. Если попытаться исправить законы сохранения и добавить в них члены, связанные с полем, вид диссипативных членов все равно остается неопределенным: во внешнем поле даже в равновесии система, вообще говоря, неоднородна. Существует, однако,

ситуация, когда эту проблему можно обойти: как известно, включение гравитационного поля эквивалентно переходу в ускоренную систему отсчета. Из получающихся уравнений видно, что в поле тяжести сверхтекучий гелий характеризуется конечной эффективной теплопроводностью.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Во введении описаны физические системы, исследованию которых посвящена диссертация, сформулированы имеющиеся проблемы и кратко изложены предлагаемые методы их решения. В общих чертах описана структура диссертации.

Вторая глава посвящена построению термодинамики сверхтекучести. В соответствии с общими принципами статистической физики [1] термодинамически равновесное состояние системы должно однозначно определяться значениями ее аддитивных интегралов движения. Равновесное состояние сверхтекучей жидкости характеризуется двумя скоростями. Интегралом движения, соответствующим одной из этих скоростей (скорости «нормальной компоненты»), также как и в обычной гидродинамике, является импульс. Наличие второй скорости связано с существованием особого квантовомеханического параметра порядка: «волновой функцией Бозе-Эйнштейновского конденсата»,

Ф(г) ос е{ф(г' = е^/л,

где т — масса атома гелия. Сверхтекучая скорость (с точностью до постоянного множителя) — это градиент фазы волновой функции = Х7ф. Аналогичное соотношение можно запи-

сать для производной по времени

или

а т {к

+ 1ГТ = гДе Ь*к = -ф5гк.

дхк

Последнее уравнение, очевидно, является локальным законом сохранения всех трех компонент вектора У8 = fvs ¿г. Другими словами, У5 — это добавочный аддитивный интеграл движения, специфический для сверхтекучей жидкости.

Зная интегралы движения, можно вывести условия термодинамической устойчивости сверхтекучего состояния. Эти условия эквивалентны требованию максимальности энтропии однородной системы, т.е., положительной определенности квадратичной формы второй вариации полной энергии при постоянных энтропии и аддитивных интегралах движения. Как обычно, такие условия оказывается возможным записать в виде термодинамических неравенств:

.К^ > О,

.70 < и)р,

Здесь ^ и лу — плотность импульса и скорость нормального движения относительно сверхтекучей компоненты.

Как известно, гелий II теряет свойство сверхтекучести при достаточно больших скоростях движения. Само существование критической скорости следует из формы энергетического спектра элементарных возбуждений: при больших скоростях нарушается критерий сверхтекучести Ландау. Экспериментально наблюдаемое разрушение сверхтекучести обычно связано с рождением вихрей и происходит при нарушении условия Фей-нмана, т.е., при скоростях значительно меньших, чем критическая скорость Ландау.

Однако, существует ряд экспериментов [2, 3] где максимальная скорость не ограничивается скоростью Фейнмана. В некоторых из них изучается сверхтекучее движение сквозь узкие отверстия. В этих условиях максимальная скорость является убывающей функцией ширины отверстия и при достаточно малом сечении может достигать значений порядка критической скорости Ландау. Другой тип экспериментов относится к температурам чрезвычайно близким к фазовому переходу в нормальное состояние. В этой области линейное приближение нарушается при низких скоростях, значительно меньших чем критическая скорость Фейнмана (которая от температуры не зависит).

В диссертации делается предположение, что критические скорости в таких экспериментах определяются пределом термодинамической устойчивости сверхтекучего состояния. В рамках фононно-ротонной модели вычисляется температурная зависимость термодинамических функций и по термодинамическим неравенствам определяется область устойчивости. В диссертации показано, что таким образом определенную критическую скорость можно интерпретировать как обобщение критической скорости Ландау на конечные температуры. Этот термодинамический сценарий разрушения сверхтекучести, возмож-

Рис. 1: Критическая скорость и>с в зависимости от температуры Т. Кривая наложена на экспериментальный график «Критическая разность фаз на отверстии 2 цт х 2 ¡лт в тонкой фольге при различных частотах» [4].

но, имеет место в экспериментах по критическим скоростям в узких отверстиях и по критическим теплопотокам вблизи Тл. На рис.1 изображена зависимость критической скорости от температуры. Пунктирная линия соответствует равенству Т = Д — рот. Видно, что условие Т < А —рош остается верным во всей области устойчивости. При нулевой температуре критическая скорость «неустойчивости» юс совпадает с критической скоростью Ландау у^, а в А-точке обращается в ноль.

Для оценки поведения критической скорости вблизи А-точки в диссертации используются соображения теории масштабной инвариантности. Оказывается, что в окрестности перехода кри-

тический поток тепла определяется выражением

<2С ос (ГА - Г)1342.

В третьей главе исследуется динамика кристалла с газом квазичастиц. В пренебрежении процессами переброса состояние этой системы характеризуется независимыми скоростями кристаллической решетки и газа квазичастиц. Точные (нелинейные) уравнения двухскоростной гидродинамики сверхтекучей жидкости были получены Ландау (см. [5]) из феноменологических соображений, используя только законы сохранения. Как уже указывалось, наряду с всегда сохраняющимися массой, энергией и импульсом, в этой системе имеется еще один интеграл движения, связанный с безвихревым характером сверхтекучего движения. Подобное условие отсутствует в кристалле и имеющихся интегралов недостаточно (в неоднородном случае не выполняется закон сохранения квазиимпульса) для получения уравнений движения. Поэтому для вывода двухскоростной теории упругости требуется использовать более общий подход (ср. [б], [7] и [8]). Динамика квазичастиц при этом описывается кинетическим уравнением:

д£ + д/дН _ д/ дН _ дг др др дг

Здесь /(г, р) — функция распределения, р — квазиимпульс и Н{г, р) — функция Гамильтона квазичастиц.

Из функции распределения можно получить макроскопические величины такие как, например, плотность массы:

р = Р1 + <т/),

где угловые скобки обозначают интегрирование по пространству квазиимпульсов: ( ) = / й3р/(2жК)3, р\ — плотность решетки.

Полный набор величин, сохраняющихся в столкновениях, это

• энергия е;

• масса т, которая пропорциональна количеству квазичастиц для «реальных» частиц, таких как электроны и вакансии, и тождественно равна нулю для фононов;

• квазиимпульс р.

Следовательно, самое общее квазиравновесное распределение — это функция от г = (е — ру — тпф)/Т, где ф — цо — а то^ — скорость решетки. Лагранжевы коэффициенты Т, V и цо имеют смысл температуры, скорости относительно решетки и химического потенциала газа квазичастиц соответственно. Для определенности будем считать, что возбуждения подчиняются статистике Бозе. В этом случае функция распределения имеет вид

/ =---•

ехр(г) — 1

Обычные уравнения теории упругости сохраняют свой вид

«Л + П = О, Е + (¿^ = О,

где Ли Е — плотности импульса и энергии, а П^ и соответствующие потоки. Чтобы определить движение квазичастиц нужно умножить уравнение Больцмана на р и проинтегрировать по импульсному пространству. В результате для плотности квазиимпульса получается уравнение:

• д /ги2 \ „дТ п д , . д ,

Полный набор точных (нелинейных) уравнений двухскорост-ной теории упругости состоит из последних трех уравнений,

причем потоки Пг& и выражаются через переменные, характеризующие решетку и газ квазичастиц.

Чтобы применить полученные уравнения к изучению роста кристаллов гелия необходимы граничные условия. Они ставятся на поверхности раздела между кристаллом и жидкостью или на границе между кристаллом и стенкой. Хорошо известно, что поверхность жидкость-кристалл может находиться в двух различных состояниях: гладком и шероховатом. Гладкая поверхность характеризуется дальним порядком и малыми флуктуа-циями. Шероховатая поверхность, наоборот, не проявляет дальнего порядка, а ее смещение значительно флуктуирует. Различия проявляются не только в равновесных свойствах, но и в различной кинетике. Считается, что шероховатая грань легко растет (и описывается коэффициентом роста), в то время как гладкая (при условии отсутствия дислокаций) характеризуется нулевым коэффициентом роста и растет за счет образования зародышей новых кристаллических слоев.

В соответствии с этим механизмом, линейный рост должен отсутствовать при малом передавлении. На самом деле в экспериментах [9] наблюдается линейный рост гладких кристаллических граней свободных от винтовых дислокаций. В диссертации показано, что это явление можно объяснить необычным граничным условием на границе кристалл-стенка: кристалл растет, если вакансии могут рождаться на нижнем (см. рис.2) краю образца (на границе между кристаллом и стенкой) и исчезать на верхнем (на гладкой поверхности раздела кристалл-жидкость).

Действительно, так как гладкая кристаллическая грань (верхняя на рисунке) неподвижна относительно решетки, она движется вверх вместе с решеткой. Пустоты, появляющиеся в результате на нижнем краю кристалла, превращаются в дефекты решетки (обычные вакансии, на рисунке изображены кружочками) и движутся вверх сквозь (и быстрее чем) твердый ге-

Сверхтекучая жидкость

"0 -О

таща -рф ¡т л* л»/'

- • - - ' >:•■.«. .л. Лик

Рис. 2: Рост кристалла «снизу».

лий. На гладкой верхней грани образца они исчезают. Другими словами кристалл растет на поверхности между твердым гелием и стенкой, а не на гладкой поверхности раздела кристалл-жидкость (которая тем не менее является источником массы для роста).

Важно подчеркнуть, что реалистичность такого сценария обусловлена возможностью вылета вакансий из нижней поверхности кристалла. Такая возможность заведомо имеется на стенке с неровностями или на стенке, образующей малый угол с базисной плоскостью кристалла (и образующей вицинальную грань). В определенном смысле эта граница атомно-шероховата — на ней могут появляться новые атомные слои.

Атомно-гладкая соизмеримая стенка, строго параллельная базисной плоскости, должна наоборот, вести себя как обычная гладкая поверхность, т.е., быть неподвижной относительно ре-

ОТ

пв'

о. _—адо^Зе

- и; 1 Р1^ ,

А" II

шетки. Кристалл в этой ситуации растет только за счет появления зародышей новых слоев. В диссертации на основании уравнений двухскоростной теории упругости вычислен коэффициент роста кристалла гелия с гладкой верхней гранью, связанный с предлагаемым механизмом

, ьд а4р-р1 И [К (е0\ К ГГ ( Д£/\\ = ~ Т— / \УтеХР Ы + а V Д еХР т) )

Здесь Д — ширина зоны вакансий, ео — энергия дна зоны вакансий, Ац — энергия характерная для процессов переброса, рь — плотность жидкости, а — постоянная решетки, и И, — высота образца,

В четвертой главе обсуждается сверхтекучая гидродинамика в поле тяжести. Для вывода гидродинамических уравнений в этой системе не представляется возможным воспользоваться обычной процедурой, основанной на использовании законов сохранения. Однако, в гравитационном поле легко написать точные уравнения, воспользовавшись общим принципом относительности, т.е., исключив гравитационное поле подходящей заменой координат.

Для однородного поля Земли g эта замена эквивалентна переходу в неинерциальную свободно падающую систему отсчета К. Она движется с постоянным ускорением g по отношению к лабораторной системе К(Ь,хг). Потребуем также, чтобы при í = О эти системы совпадали и их относительная скорость была равна нулю. Это обеспечит совпадение всех гидродинамических переменных1 в этот момент. В системе К гравитация отсутству-

1Являющихся функциями р,V. и Е, но не их производных по времени.

ет, поэтому жидкость описывается обычными уравнениями [5]

др = д? дЬ ~ дхг д]к дП1к

ддк _ дФ ей дхк ЭЁ дС?

т дхг

К дг дх1'

где величины с тильдой относятся к К, р — плотность жидкости, j — поток массы, у8 — скорость сверхтекучего движения а Е — плотность энергии. Потоки в этих уравнениях описываются стандартными выражениями. Здесь V!, — скорость нормального движения, р — давление, /л — химический потенциал, $ — плотность энтропии.

Чтобы переписать эти уравнения в лабораторную систему, необходимо перевести все члены в левых частях в К. Это достигается преобразованием

Р = Р,

3 = 3 - g*Р,

Ё = Е-]& + рдЧ2/2.

При £ = 0 получаем

М *

т + дхк~ 9

Общеизвестно [10], что сверхтекучая жидкость обладает свойством «сверхтеплопроводности». Из полученных уравнений следует неожиданный результат: сверхтекучая жидкость, будучи помещенной в гравитационное поле, в некотором смысле теряет эту исключительность.

Сверхтеплопроводность объясняется своеобразным конвективным механизмом переноса тепла — всякая разность температур в гелии II приводит к возникновению в нем противотока нормального и сверхтекучего движений, компенсирующих друг друга по количеству переносимой ими массы. Тепло при этом переносится нормальным движением и поток может иметь конечную величину при сколь угодно малой разности температур. Таким образом, в отличие от описывающейся законом Фурье теплопроводности в обычных жидкостях, перенос тепла происходит без диссипации [11]. Экспериментально наблюдаемое иногда отклонение от этого правила при больших потоках тепла обычно связывается с рождением вихрей. Такой механизм [12] приводит к сложной нелинейной зависимости градиента температуры от потока тепла. Оказывается, что в поле тяжести Земли гелий-Н при пропускании через него тепла не изотермичен даже при отсутствии вихрей.

Понять это явление можно следующим образом. Поле тяжести Земли нарушает однородность системы, создавая, в частности, градиент давления по высоте. Эта неоднородность и является причиной диссипации нормального движения. Другими словами, гравитация является механизмом трения между нормальной компонентой и Землей. Из-за этого трения в жидкости появляется конечный градиент температуры. Для простоты в диссертации рассматривается одномерная задача, когда влиянием стенок можно пренебречь, а поток энергии направлен вертикально. Из линеаризованных гидродинамических уравнений видно, что в поле тяжести теплопередача в сверхтекучей жид-

кости описывается законом Фурье:

т' = -вЯ,

причем эффективное тепловое сопротивление квадратично по неоднородности системы д ос д2 и выражается через свойства жидкости.

Таким образом, в линейном приближении градиент температуры пропорционален потоку тепла.2. При учете членов более высокого порядка один и тот же поток тепла, направленный вверх и вниз, приводит к отличающимся градиентам температуры.

Эффективное тепловое сопротивление увеличивается по мере приближения к температуре сверхтекучего перехода. Найти его расходящуюся часть можно с использованием идей динамического подобия [13]. Оказывается, что в окрестности Т\

дос^.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

3 Основные результаты

• В сверхтекучей системе найден новый аддитивный интеграл движения, позволивший построить последовательную термодинамику сверхтекучести.

23аметим, что естественная конвекция в обычной жидкости законом Фурье не описывается.

• Изучены общие условия термодинамической устойчивости сверхтекучей жидкости в полном пространстве термодинамических переменных, содержащем (наряду с обычными термодинамическими координатами, такими как давление и температура) скорость сверхтекучего движения и плотность импульса. Условия устойчивости приводят к термодинамическим неравенствам, которые при нулевой температуре сводятся к критерию сверхтекучести Ландау.

• Построена теория критических скоростей сверхтекучего движения и получена их зависимость от температуры в области низких температур (в пределах применимости фононно-ротонной модели) и вблизи лямбда-точки (на основании гипотезы масштабной инвариантности).

• Получен полный набор точных (нелинейных) уравнений теории упругости для двухкомпонентной системы, состоящей из решетки и газа квазичастиц. Найдены граничные условия для этих уравнений.

• Дано объяснение линейного роста гладких граней кристаллического гелия. Предложен ряд новых экспериментов для проверки теоретических предсказаний.

• Получены уравнения двухжидкостной гидродинамики для сверхтекучего гелия в поле тяжести.

• Показано, что гравитация должна разрушать бездиссипатив-ный характер теплопередачи в стационарной сверхтекучей жидкости. Найден эффективный коэффициент теплопроводности в такой системе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Андреев А.Ф., Мельниковский Л.А. Two-Velocity Elasticity Theory and Facet Growth, ЖЭТФ 120, 1457 (2001).

2. Андреев А.Ф., Мельниковский JI.A. Термодинамические неравенства в сверхтекучей жидкости, Письма в ЖЭТФ 78, 1063 (2003).

3. A.F.Andreev, L.A.Melnikovsky, Thermodynamic Inequalities in Superfluid and Critical Velocities in Narrow Orifices, in Molecular Nanowires and Other Quantum Objects, 107 (Kluwer Academic Publishers: 2004).

4. A.F.Andreev, L.A.Melnikovsky, Two fluid model: new aspects, Physica С 404, 34 (2004).

5. A.F.Andreev, L.A.Melnikovsky, Thermodynamics of Superfluidity, Journal of Low Temperature Physics 135, 411 (2004).

6. L.A.Melnikovsky, Heat Transfer in Superfluids: Effect of Gravity,

Journal of Low Temperature Physics 138, 61 (2005).

Список литературы

[1] Ландау Jl.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика, чЛ (М: Наука, 1995.).

[2] Е. Varoquaux, W. Zimmermann, and О. Avenel, in Excitations in Two-Dimensional and Three-Dimensional Quantum Fluids, edited by A.F.G. Wyatt and H.J. Lauter, p. 343 (NATO ASI Series, Plenum Press, New York-London, 1991).

[3] R.V. Duncan, G. Ahlers, and V. Steinberg, Phys. Rev. Lett. 60, 1522 (1988).

[4] J.A. Flaten, С.A. Lindesmith, W. Zimmermann, Journal of Low Temperature Physics 101, 743 (1995).

[5] Халатников И.М., Теория сверхтекучести (M: Наука, 1971).

[6] Андреев А.Ф., Пушкаров Д.И., ЖЭТФ 89, 1883 (1985).

[7] Андреев А.Ф., Базалий Я.Б., ЖЭТФ 98, 1480 (1990).

[8] A.F.Andreev, Ya.B.Bazaliy, A.D.Savishchev, Journal of Low Temperature Physics 88, 101 (1992).

[9] J.P.Ruutu, P.J.Hakonen, A.V.Babkin, A.Ya. Parshin, J.S.Penttila, J.P.Saramaki, and G.Tvalashvili, Phys. Rev. Letters 76, 4187, (1996).

[10] W.H.Keesom and Miss A.P.Keesom Physica III, 359 (1936).

[11] Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Гидродинамика. M.: Наука,1988.

[12] C.J. Gorter, J.H. Mellink, Physica 15, 285 (1949).

[13] Паташинский A.3., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов (М: Наука, 1982).

Заказ № 74/03/06 Подписано в печать 14.03.2006 Тираж 75 экз. Усл. п.л. 0,8

ООО "Цифровичок", тел. (095) 797-75-76; (095) 778-22-20 www.cfr.ru; е-тай:т/о@р/г. ги

¿OOCfi

- 6 0 0 2

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Мельниковский, Лев Александрович

1 Введение

2 Термодинамика Не

2.1 Устойчивость.

2.2 Обсуждение.

2.3 Фононно-ротонная модель

2.4 Окрестность Т\.

Введение диссертация по физике, на тему "Двухжидкостная гидродинамика"

В соответствии с общими принципами статистической физики [1], термодинамические (и гидродинамические) свойства системы определяются ее аддитивными интегралами движения. Для «обычных» нормальных систем существуют три независимых локальных закона сохранения: массы, энергии и импульса. Уравнения гидродинамики обычной жидкости однозначно следуют из этих законов сохранения, фактически их вывод сводится к выяснению вида потоков массы, энергии и импульса.

В сверхтекучей жидкости (мы будем говорить о сверхтекучести в 4 Не) появляется еще один интеграл движения — сверхтекучая скорость. Появление дополнительной переменной приводит к усложнению уравнений гидродинамики и к такому наблюдаемому явлению, как, например, появление двух видов звуковых волн в Не-Н. Термодинамика сверхтекучей жидкости тоже отличается от обычной, ее изучению посвящена глава 2. В частности там выводятся термодинамические неравенства для этой системы, являющиеся естественным обобщением критерия сверхтекучести Ландау на конечные температуры.

В некоторых системах появление дополнительной переменной связано с существованием приближенного закона сохранения в однородной системе. Примером может служить кристалл с газом квазичастиц в пренебрежении процессами переброса. Угадать вид дополнительного интеграла движения в этой системе из общих соображений не представляется возможным, поэтому для вывода общих уравнений двухскоростной теории упругости приходится привлекать кинетическую теорию (глава 3). На основе полученных уравнений оказывается возможным объяснить линейный рост кристаллов гелия с гладкими гранями и предсказать ряд необычных явлений.

Ни один из описанных подходов, вообще говоря, неприменим для системы, находящейся во внешнем поле: законы сохранения в таком случае должны включать и переменные, относящиеся к среде, и переменные, относящиеся к полю. Если попытаться исправить законы сохранения и добавить в них члены, связанные с полем, вид диссипативных членов все равно остается неопределенным: во внешнем поле даже в равновесии система, вообще говоря, неоднородна. Существует, однако, ситуация, когда эту проблему можно обойти: как известно, включение гравитационного поля эквивалентно переходу в ускоренную систему отсчета. В главе 4 производится описанная процедура. Из полученных уравнений видно, что в поле тяжести сверхтекучий гелий характеризуется конечной эффективной теплопроводностью.

Глава 2

Термодинамика Не-11

Характерной особенностью сверхтекучей жидкости является одновременное существование двух независимых типов движения. Ее равновесное состояние, таким образом, характеризуется двумя скоростями этих движений. Как уже отмечалось во Введении, термодинамически равновесное состояние системы, должно однозначно определяться значениями ее аддитивных интегралов движения. Интегралом движения, соответствующим одной из этих скоростей (скорости «нормальной компоненты»), также как и в обычной гидродинамике, является импульс.

То, что сверхтекучая скорость оказывается термодинамической переменной означает появление дополнительного интеграла движения. Ниже мы найдем этот интеграл в явном виде, что позволит исследовать общие условия термодинамической устойчивости сверхтекучей жидкости и решить проблему критических скоростей.

Как известно, гелий II теряет свойство сверхтекучести при достаточно больших скоростях движения. Само существование критической скорости следует из формы энергетического спектра элементарных возбуждений: при больших скоростях нарушается критерий сверхтекучести Ландау. Экспериментально наблюдаемое разрушение сверхтекучести обычно связано с рождением вихрей и происходит при нарушении условия Фейнмана, т.е., при скоростях значительно меньших, чем критическая скорость Ландау. Поэтому в уравнениях сверхтекучей гидродинамики достаточно ограничиваться первыми неисчезающим членами в разложении по степеням малых скоростей.

Однако, существует ряд экспериментов [2, 3], где это приближение неприменимо. В некоторых из них изучается сверхтекучее движение сквозь узкие отверстия. В этих условиях максимальная скорость является убывающей функцией ширины отверстия и при достаточно малом сечении может достигать значений порядка критической скорости Ландау. Другой тип экспериментов относится к температурам, чрезвычайно близким к фазовому переходу в нормальное состояние. В этой области линейное приближение нарушается при низких скоростях, значительно меньших чем критическая скорость Фейнмана (которая от температуры не зависит).

Таким образом все термодинамические величины становятся нетривиальными функциями не малых сверхтекучих скоростей (т.е., они зависят не только от обычных термодинамических переменных, таких как давление и температура). В такой общей постановке, не делая никаких предположений о малости скоростей, (используя только изотропию покоящейся жидкости) мы находим (§2.1) полный набор термодинамических неравенств, то есть условий, налагаемых на термодинамические функции требованием устойчивости сверхтекучего состояния. При этом естественным оказывается (§2.2), например, обращение в ноль сверхтекучей плотности в А-точке.

В рамках фононно-ротонной модели (§2.3) мы вычисляем максимальную скорость, совместную с полученными термодинамическими неравенствами, и показываем, что ее можно интерпретировать как обобщение критической скорости Ландау на конечные температуры. Такой термодинамический сценарий разрушения сверхтекучести возможно имеет место в экспериментах по критическим скоростям в узких отверстиях и по критическим теплопотокам вблизи ТА. Для оценки поведения критической скорости в окрестности А-точки мы используем соображения теории масштабной инвариантности (§2.4).

2.1 Устойчивость

При выводе общих уравнений сверхтекучей гидродинамики обычно предполагается [4], что каждый малый элемент жидкости находится в локальном равновесии и это равновесие устойчиво. Такое условие устойчивости обычно записывают в виде термодинамических неравенств. Для устойчивости состояния необходимо, чтобы оно реализовывало максимум (по меньшей мере локальный) энтропии для замкнутой системы, т.е., при постоянных значениях аддитивных интегралов движения. Вместо исследования условий максимальности энтропии оказывается более удобным [1] использовать эквивалентное условие — условие минимальности полной энергии системы при постоянных энтропии и аддитивных интегралах движения.

В несверхтекучей системе существует три аддитивных интеграла движения: масса, энергия и импульс. Явление сверхтекучести связано со спонтанным нарушением калибровочной инвариантности. При этом система обладает особым квантовомеханическим параметром порядка: «волновой функцией Бозе-Эйнштейновского конденсата». С его существованием связано наличие двух независимых скоростей нормального и сверхтекучего движения. Сверхтекучая скорость (с точностью до постоянного множителя) — это градиент фазы волновой функции = Уф. Аналогичное соотношение можно записать для производной по времени = Уф. Последнее уравнение, очевидно, является локальным законом сохранения всех трех компонент вектора Уд = с1г. Действительно,

Другими словами, У3 — это добавочный аддитивный интеграл движения, специфический для сверхтекучей жидкости.

Полную энергию жидкости Еш можно представить в виде интеграла от плотности энергии Е по всему объему = / Е<1 г. Эту плотность энергии можно получить при помощи преобразования Галилея

2.1)

Здесь у3 — сверхтекучая скорость, р — плотность массы, а индекс «О» используется для обозначения величин, измеренных в системе отсчета, связанной со сверхтекучей компонентой (т.е., системы, в которой сверхтекучая скорость равна нулю). Таким образом, Ео и ^ — это плотность энергии и плотность импульса относительно сверхтекучей компоненты. Первая является функцией р, ^ и плотности энтропии 5. Дифференциал Ео можно записать в виде

Щ, = Т(15 + А«<1р + *г<Уо, (2.2) а соответствующие частные производные Т, ц и \у имеют смысл температуры, химического потенциала и, так называемой, относительной скорости нормальной и сверхтекучей компонент.

Изотропия жидкости позволяет получить полезное соотношение на частные производные ,]о по цЛм' ^дзо^ +(-- и)кга1\ ¿0 (2 3)

Чди>г/Тр -и]2 \дю)т IV3

Действительно, скорость лу и плотность импульса ^ параллельны друг другу У

Дифференцируя это тождество, получаем равенство (2.3).

Далее, преобразовывая (2.1) и используя (2.2), мы можем записать 6.Е в виде:

Е = Т(15 + + - у8уп) ¿р + 0 - руп) с!у8 + уп си, (2.4) где j = ру8 + ,]о — полная плотность импульса, а уп = у3 + лу — нормальная скорость.

Устойчивость предполагает, что любая «разрешенная» флуктуация увеличивает полную энергию системы Еш. При этом разрешенными являются флуктуации, которые оставляют неизменными сохраняющиеся величины. Это означает, что минимальность Еш нужно исследовать при постоянных энтропии и всех аддитивных интегралах движения: массы, импульса и сверхтекучей скорости.

Рассмотрим макроскопическую флуктуацию всех переменных <55, 5р, 5у3 и Сохранение этих величин обеспечивает тождественное равенство нулю первой вариации полной энергии однородной системы дЕ\ „„ (дЕ\

Ем = ( ^ ) <К + дЕх

5} ^г = 0.

Для выяснения характера экстремума необходимо рассмотреть вторую вариацию полной энергии. Матрица 8x8 квадратичной формы второй вариации — это Якобиан д{Т, уп, ц + уЦ2 - у8уп, ] - руп) £ =

5(5, j, р, у8 )

Он положительно определен (в соответствии с критерием Сильвестра), если все главные миноры М\, Мг, . Л/8 положительны. Мы последовательно проверяем условия на эти миноры:

• Первое условие

5(Т,р, v.) 5(Т, р, v») д(Т, у„, р, v.)

М1 =

5(5, р, ув) д(Т, уп, р, у8) 5(5, 1 р, у8) дг»)тЛ\дт)рш\дШ)т<р \дТ

-1 0 р \ / у является обобщением обычного требования положительности теплоемкости. Ниже будет показано (2.7), что (д^0/дю)Тр > 0, таким образом последнее неравенство фактически имеет вид (?к) .(?к)2 >0.

2.5)

• Положительность следующей группы миноров легко проверить при помощи преобразования

9(Г, уп, р, у,) 5(5, j, р, v.) д(Т, j, р, у.) 5(5,р, уя)

5(Г, уп, Р, У8) 5(Г, I р, у.)

2-6) д}\ -1 (ЯЛ

Ут,р,Ув

-1

Отсюда видно, что положительность миноров Мг, Мз, М4 будет обеспечена в том и только том случае, если положительны все миноры второго множителя в (2.6) фо/дт)т>р О О О зо/ы О О 0 зо/ы

Мы использовали тождество (2.3) и выбрали направление вектора в качестве первой координаты. Таким образом, к нашему набору добавились следующие неравенства

Зо* > 0, (2.7)

2'8)

• Такое же преобразование, будучи примененным к самому большому минору, дает д{Т, у„, ц + уЦ2 - у8у„, j - руп) й'5". д(Т, у„, р, у8 )

Аналогично, положительность миноров М5, Мб, М7, М$ обеспечивается положительностью нетривиальных главных миноров матрицы 9)". Используя термодинамическое тождество р = получаем д(р + у*/2-у8уп) \ др ) ТУп(У8 \др)т<ч/ р\др)

Ниже приведено явное выражение для подматрицы, соответствующей подпространству р, г>8, г^, и8, матрицы Как и ранее, мы направили ось х в направлении вектора лу. Используя (2.3), получаем др/др)Т ш/р (д^/др)Тш - ш О О д^/др)Т ш - V) р - {д]й/д1и)Т р О О

О 0 р — зо/и) О

О 0 0 р - ¿о/ги Ло р р Р

Л ( 'др^

Р) и

Соответствующие неравенства — это

IX, >'* которое является обобщенным (на случай ненулевой относительной скорости ги) требованием положительности сжимаемости, к < ™Р (2-10)

Неравенства (2.5), (2.7), (2.8), (2.9), (2.10) и (2.11) представляют полный набор условий термодинамической устойчивости.

2.2 Обсуждение

В ситуации с «остановленной нормальной компонентой» поток массы Г относительно нормальной компоненты может оказаться более удобной переменной, чем поток относительно сверхтекучей ^ Очевидное соотношение между ними / = ръи—Зо приводит к следующей переформулировке полученных неравенств 0, / < ыр, (2.12)

ЭЛ ш ^гзг' др)т,п, \дш)Р,т >Р \др)^т Легко убедиться, что неравенство (2.15) может быть также записано в виде

В качестве простого примера использования выведенных соотношений рассмотрим их при ги = 0. Из (2.12), (2.13), (2.14) и (2.15) имеем дБ\ „ (др\

В обычных обозначениях последнее неравенство имеет ясный физический смысл р. > 0, рп > 0. (2.19)

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Андреев А.Ф., Мелышковский JI.A. Two-Velocity Elasticity Theory and Facet Growth, ЖЭТФ 120, 1457 (2001).

2. Андреев А.Ф., Мелышковский JI.A. Термодинамические неравенства в сверхтекучей жидкости, Письма в ЖЭТФ 78, 1063 (2003).

3. A.F. Andreev, L.A. Melnikovsky, Thermodynamic Inequalities in Superfluid and Critical Velocities in Narrow Orifices, in Molecular Nanowires and Other Quantum Objects, 107 (Kluwer Academic Publishers: 2004).

4. A.F. Andreev, L.A. Melnikovsky, Two fluid model: new aspects, Physica С 404, 34 (2004).

5. A.F. Andreev, L.A. Melnikovsky, Thermodynamics of Superfluidity, Journal of Low Temperature Physics 135, 411 (2004).

6. L.A. Melnikovsky, Heat Transfer in Superfluids: Effect of Gravity, Journal of Low Temperature Physics 138, 61 (2005).

В заключение я хотел бы выразить благодарность моему руководителю А.Ф.Андрееву, а также Р.В.Данкану, К.О.Кешишеву, В.И.Марченко, А.Я.Паршину, Д.А.Сергацкову и И.А.Фомину.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

• Получены уравнения двухжидкостной гидродинамики для сверхтекучего гелия в поле тяжести.

• Показано, что гравитация должна разрушать бездиссипативный характер теплопередачи в стационарной сверхтекучей жидкости. Найден эффективный коэффициент теплопроводности в такой системе.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Мельниковский, Лев Александрович, Москва

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика, ч.1 (М: Наука, 1995.).

2. Е. Varoquaux, W. Zimmermann, and О. Avenel, in Excitations in Two-Dimensional and Three-Dimensional Quantum Fluids, edited by A.F.G. Wyatt and H.J. Lauter, p. 343 (NATO ASI Series, Plenum Press, New York-London, 1991).

3. R.V. Duncan, G. Ahlers, and V. Steinberg, Phys. Rev. Lett. 60, 1522 (1988).

4. Халатников И.М., Теория сверхтекучести (M: Наука, 1971).

5. R.J. Donnelly, Р.Н. Roberts, Journal of Low Temperature Physics 27, 687 (1977).

6. R.J. Donnelly, J. A. Donnelly, R.N. Hills, Journal of Low Temperature Physics 44, 471 (1981).

7. J. A. Flaten, C.A. Lindesmith, W. Zimmermann, Journal of Low Temperature Physics 101, 743 (1995).

8. B.D. Josephson, Phys. Lett. 21, 608 (1966).

9. J.A. Lipa, J.A. Nissen, D.A. Strieker, D.R. Swanson, T.C.P. Chui, cond-mat/0310163.

10. J.S. Langer, J.D. Reppy, Prog. Low. Temp. Phys., vol. VI, ed. C.J.Gorter (North-Holland, Amsterdam, 1970) ch.l.

11. L. Kramer, Phys. Rev. 179, 149 (1969).

12. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Гидродинамика. M.: Наука,1988.

13. P. Nozi6res, in Solids Far From Equilibrium, edited by C. God^che (Cambridge University Press, Cambridge, 1991), p. 1.

14. J.P. Ruutu, P.J. Hakonen, A.V. Babkin, A.Ya. Parshin, J.S. Penttila, J.P. Saramaki, and G. Tvalashvili, Phys. Rev. Letters 76, 4187, (1996).

15. C. Herring, J. Appl. Phys. 21, 437 (1950).

16. Лифшиц И.М., ЖЭТФ 44, 1349 (1963).

17. Лифшиц E.M., Питаевский Л.П., Физическая кинетика (М: Физматлит, 1979).

18. Андреев А.Ф., Пушкаров Д.И., ЖЭТФ 89, 1883 (1985).

19. Андреев А.Ф., Базалий Я.В., ЖЭТФ 98, 1480 (1990).

20. A.F. Andreev, Ya.B. Bazaliy, A.D. Savishchev, Journal of Low Temperature Physics 88, 101 (1992).

21. Лифшиц E.M., Питаевский Л.П., Статистическая физика, ч.2 (М: Физматлит, 2000).

22. Андреев А.Ф., УФН 105, 113 (1971).

23. G.A. Lengua, J.M. Goodkind, Journal of Low Temperature Physics 79, 251 (1990).

24. E. Kim, M.H.W. Chan, Nature 427, 225 (2004).

25. W.H. Keesom and Miss A.P. Keesom Physica III, 359 (1936).

26. C.J. Gorter, J.H. Mellink, Physica 15, 285 (1949).

27. D.A. Sergatskov, A.V. Babkin, S.T.P. Boyd, R.A.M. Lee, R.V. Duncan, Journal of Low Temperature Physics 134, Nos.1/2, 517 (2004).

28. Паташинский А.З., Покровский B.J1. Флуктуационпая теория фазовых переходов (М: Наука, 1982).

29. A.S. Rittner, J.D. Reppy, Elimination of the Supersolid State through Crystal Annealing, KITP Supersolid Workshop 2-06-06,http://online.itp.ucsb.edu/online/smatterm06/.