Магнитная гидродинамика плазмы сложного химического состава тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ии^и5Б870

Кочарян Ашот Эрнстович

МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА ПЛАЗМЫ СЛОЖНОГО ХИМИЧЕСКОГО СОСТАВА

Специальность 01.04.02 - Теоретическая Физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Долгопрудный 2007

003056870

Работа выполнена и Государственном Научном центре РФ - Институте теоретической и экспериментальной физики им. А.И. Алиханова, г. Москва

Научный руководитель: д.ф.-м.н. Павел Васильевич Сасоров,

ГНЦ РФ Институте теоретической и экспериментальной физики им. А.И. Алиханова, г. Москва

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., проф., академик РАЕН Кингсеп

Александр Сергеевич, Институт ядерного синтеза, РНЦ «Курчатовский институт:».

д. ф.-м.н. Гасилов Владимир Анатольевич, Институт математического моделирования РАН

Ведущая организация: ГНЦ РФ ТРИНИТИ, г. Троицк.

Защита диссертации состоится оС&и 2007 г. в на заседании

диссертационного совета К 212.156.05 в Московском Фнзико-Техническом Институте по адресу. 141700, г, Долгопрудный Московской обл., Институтский иер., 9, МФТИ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ. Также диссертация и автореферат доступны по запросу через электронную почту abhot.koch@mail.ru

Автореферат разослан 43 2007 г-

Ученый секретарь Диссертационного совета

К 212.156.05, к.ф.-м.н. С.М. Коршунов

1. Актуальность работы.

Проблема моделирования процессов в газе заряженных частиц, именуемом плазмой, является одной из наиболее актуальных и сложных проблем современной физики высоких энергий. Моделирование физических процессов в плазме достигло значительных успехов с использованием основных результатов теоретической физики XX-го века и, прежде всего, кинетической теории газов и уравнений магнитной гидродинамики (МГД). Немецким математиком Гильбертом (Hilbert, 1912) был впервые использован метод решения кинетического уравнения путём разложения функции распределения по малому параметру е, равному числу Кнудсеиа Кп — отношению длины свободного пробега частицы Л к характерному размеру системы L:

/(i. г, V) = г, V). (1)

к

Энског на основе метода Гильберта получил разложение в ряд функции распределения, при помощи которого им были получены имеющие практическое значение транспортные коэффициенты и предсказано явление термодиффузии (Enskog, 1917). Непосредственно Энскогом было получено решение для к = 1. Члены следующего порядка к = 2 на основе метода Чепмеиа—Энскога получил Барнстт (Burnett, 1935). Кроме того, им впервые был предложен способ, позволяющий методом Чепмена—Энскога помучить выражения для транспортных коэффициентов в виде, удобном для численных расчетов, заключающийся в разложении коэффициетов слагаемых получающегося для решения в ряд по полиномам Сонина, так же называемым полиномами Лаггсра. Среди других способов решения кинетического уравнения стоит отметить метод Грчда (Giad, Ii) 19), в котором функция распределения / раскладывается в ряд по полипомам Эрмша Н^К

f = /«» {а°Я<°> + а',<> + ... + + ..•}, (2)

где а^ — коэффициенты, функции t иг, /(0) — максвелловская функция распределения. На основе этого подхода Трэдом было получено широкоизвестное 13-ти моментное приближение.

Интеграл столкновений St для заряженных частиц с учётом далеких столкновений впервые получил Ландау (Ландау, 1936) в так называемом приближении кулоновского логарифма

sw = -div**; Ма - Г (Ь°Л - iW, (3)

та J \тпр dv'ß ma dvlt J

и26^ - UxUn , U=-—Z-- ; u = V - V , (4)

а Ли0 — кулоиовский логарифм столкновений между частицами сортов а и ß. В случае столкповителыюй плазмы кинетическое уравнение принимает вид:

д/а dfa ea{ 1 Д д}а ^

где St„,j опредечяется формулами (3)—(4), а Е и В — напряженности электрического и магнитного полей, для которых справедливы уравнения Максвелла:

,, __ . 1 ав ^ J. „ п „ 4тг. 1ÖE divE = 47Г р ; - — = -rotE; divB = 0; rotB = — j + --т-. (6) с at с с dt

Такое самосогласованное описание электромагнитного поля впервые было реализовано в кинетическом уравнении Власовым для случая бесстолкповительиой плазмы, когда интеграл столкновений St = 0. Основные положения магнитной гидродинамики были сформулированы в 1940-х гг. шведским физиком Х.Альфвеном (Шлиомис, 1974), который в 1942 году предложил эту теорию дли объяснении ряда явлений в космической плазме, таких как солнечные пятна.

На основе метода Ченмена—Энскога и идеи Барнетта использования полиномов Сонина во второй половине двадцатого века был проведен ряд математических исследований (Брагинский, 1958; Feneberg, Fisser, 1965, Hochstim, 1965, 1966, 1967), посвященных вычислению транспортных коэффициентов в диссипативных потоках уравнений МГД плазмы. Кинетические коэффициенты плазмы зависят от замагниченности, равной отношению ларморовской частоты а>д к частоте столкновений и чжтиц между собой, и параметра w, равного отношению частот V\, i>i столкновений разных частиц плазмы между собой, который указывает относительную рочь разных столкновений в плазме. Одно из первых исследований с целью вычисления коэффициентов теплопроводности и проводимости было выполнено Спитцером и Хармом (Spitzer, Härm, 1953) в случае х = 0 дли нескольких значений w. Эта работа служит хорошей проверкой дли всех теорий в пределе х = 0. Широкую известность получило исследование Брагинского (Брагинский, 1958), в котором он на основе метода Ченмена—Энскога получил двухжидкостную двухтемпературиую модель намагниченной плазмы, состоящей из электронов и одного сорта ионов. На протяжении многих лет эта модель была и остается ориентиром для многих проблем динамики столкновительной плазмы. Эпперлейном и

Хайиссом (ЕррсНст, 1986) кинетические коэффициенты для электронов были получены путём прямого численного решения кинетического уравнения. Это позволило авторам выяснить, насколько точны значения кинетических коэффициентов, полученные Брагинским в рамках днухполипомналыюго приближения. Отличительной особенностью большинства выполненных на основе метода Чспмена—Энскога исследований является то, что в них кинетические коэффициенты вычисляются либо при помощи численных методов, либо аналитически при ограниченном наборе значений входящих в них параметров х и ги. В начале 90-х были получены (Боброва, Сасоров, 1993) полные аналитические выражения для кинетических коэффициентов, включающие результаты Брагинского как частный случай.

Ждановым В М. было выполнено исследование (Жданов, 1982) но получению уравнений для плазмы сложного химического состава, содержащей дна и более сортов ионов. Для получения необходимых уравнений МГД им был использован метод моментов Грэда, обобщенный на случай пеизотсрмичсской многосортной плазмы, а так же многоатомного газа и газовой смеси. Этим методом Ждановым получены уравнения для многокомпонентной полностью ионизированной плазмы, состоящей из электронов и нескольких сортов ионов. Однако в этой работе нет полного набора пригодных для непосредственного использования аналитических выражений для кинетических коэффициентов электронов и ионов плазмы.

В статье (ВоЬгоуа, Ьаггаго, Баяогоу, 2005) в результате решения системы кинетических уравнений методом Чспмена—Энскога для электронов и двух сортов ионов, обозначаемых 1 и 2, была получена система уравнений гидродинамического типа, в которой учтена диффузия примеси и зависимость кинетических коэффициентов от двух сортов ионов. В работе (Жданов, 1982) функция распределения раскладывалась сразу в ряд по полипомам, поэтому точность вычисления кинетических коэффициентов ограничена количеством членов ряди (2). В (ВоЬгоуа, Ьа/хаго, Эабогоу, 2005) кинетические уравнения решались путем разложения по малому параметру е = Кп. Полученные выражения для транспортных коэффициентов точные в рассматриваемом приближении, путём разложения в ряд по полиномам Сонина из них могут быть получены с любой требуемой степенью точности приближённые аналитические выражения, пригодные для непосредственного использования в численных расчётах. Кроме того, выражения для кинетических коэффициентов (ВоЬгоуа, Ьаггаго, Баьогоу, 2005), как и выражения для кинетических коэффициентов (Боброва, Сасоров, 1993), получены в форме непрерывных функций входящих в них параметров.

Приближенные удобные для численных расчётов выражения для кинетических коэффициентов (ВоЬгоуа, Ьаггаго, Базогоу, 2005) были получены в случае, когда масса ионов сорта 1 существенно меньше массы ионов сорта 2. В соответсвии с этим ионы сортов 1 и 2 называются соответственно «легкими» и «тяжёлыми».

Важным пунктом в рассматриваемой модели плазмы сложного химического состава является вопрос о поведении входящих в них кинетических коэффициентов тяжёлого сорта ионов при произвольном соотношении концентраций ионов 1-го и 2-го сорта. Особенную важность этот вопрос приобретает, если концентрация тяжёлого сорта ионов достаточно мама. Кроме того, уравнения магнитной гидродинамики и все кинетические коэффициенты были получены (ВоЬгоуа, Ьагиаго, Бавогоу, 2005) в предположении равенства пулю протпости сторонних зарядов и плотности сторонних токов в плазме. Хотя в рассматриваемом приближении выражения дня кинетических коэффициентов теплопроводности и вязкости не зависят от этого предположения, эти эффекты могут дать определённый вклад в коэффициенты диффузионных потоков, которые в свою очередь влияют па диссипативпыс потоки импульса и энергии. Решение кинетических уравнений тяжелого сорта ионов при произвольном соотношении концентраций ионов разных сортов и получение уравнений МГД плазмы сложного химического состава с учётом сторонних зарядов и токов, по существу, является основным содержанием данной диссертационной работы.

2. Цель работы.

Необходимость проведения настоящей работы была продиктована отсутствием полных адекватных уравнений МГД, позволяющих рассчитать основные характеристики и следствия процесса диффузии ионов разных сортов- относительно друг-друга, способного прояснить роль сложного химического состава в таких явлениях, как перенос тепла и излучения. Построение такой модели и анализ численных результатов полученной на се основании численной модели являлись главными задачами диссертации.

Важной цслыо работы стало решение кинетического уравнения доя ионов тяжёлого сорта плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов с существенно отличающимися массами. Представлялось чрезвычайно важным выяснить выяснить, как ведут себя кинетические коэффициенты теплопроводности н вязкости тяжелого сорта ионов в предельных случаях, когда один из сортов ионов плазмы является малой примесью (глава 1).

Дополнительный интерес вызвал вопрос влияния плотности сторонних

зарядов и плотности сторонних токон на диссииативпые потоки импульса и энергии. Поэтому другая цель диссертации состояла в определении вклада сторонних зарядов и токов в коэффициенты диффузионных потоков а так жо в получении на основе модели (ВоЬгота, Ьаггаго, Бадогоу, 2005) двух жидкостных уравнений МГД для плазмы сложного химического состава, учитывающих сторонние источники электромагнитного ноля (глава 2).

Так же целью представленной диссертационной работы являлась попытка определения (глава 3), при каких условиях возможно существенно неоднородное относительное пространственное распределение ионов разных сортов. Необходимо было построить численную модель разряда в плазме для расчёта распределения ионов разных сортов Среди целей работы так же значилось получение критерия значимости учтенного эффекта диффузии примеси.

3. Научная новизна.

Новизна данной диссертационной работы сводится к следующему:

• В рамках одном астичиого приближения кинетической теории рассмотрен вопрос о поведении тяжёюго сорта ионов плазмы, состоящей из электронов п двух сортов ионов с существенно отличающимися массами. Получено решение кинетического уравнения тяжёлого сорта ионов при произвольном соотношении концентраций ионов разных сортов Выполнено сравнение новых выражений для кинетических коэффициентов тяжёлого сорта ионов с соответствующими формулами (ВоЬгоуа, Ьа///аго, Баяогоу, 2005). В рамках двух-полипомиального приближения получены аналитические формулы для С-факторов, входящих в кинетические коэффициенты тяжёлого сорта ионов.

• Построена процедура замыкания для решения векторной части электронного и ионных кинетических уравнений с учетом плотности стороннего заряда. Получены выражения для дисснпатнвного потока примеси и всех входящих в него кинетических коэффициентов. Получена конечная форма двухжидкостных уравнений МГД плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов, с учётом сторонних зарядов и токов, выписаны выражения для всех необходимых кинетических коэффициентов в случае, когда ионы двух сортов имеют существенно отличные массы. Исследовано асимптотическое поведение С-факторов тяжёлого сорта ионов в предельных случаях, когда параметр, указывающий относительную роль столкновений ионов сорта

2 с ионами сорта 1 и столкновений ионов сорта 2 между собой, стремится к нулю или к бесконечности. С использованием этих результатов исследовано поведение полученных уравнений МГД плазмы сложного химического состава в продольных случаях, когда концентрация лёкого или тяжелого сорта иоиои стремится к нулю.

• Получена численная модель стационарной аксиально-симметричной конфигурации плазмы. При помощи этой модели выполнена серия численных расчетов при условиях, близких к имеющимся в экспериментах но капиллярным разрядам. На примере капиллярных разрядов получен критерий значимости учтенного эффекта диффузии примеси.

4. Выводы, выносимые на защиту.

1) Получены аналитические выражения для всех необходимых кинетических коэффициентов для тяжёлого сорта ионов, рассматриваемых в двухжидкостной МГД модели плазмы, состоящей из электронов и ионов с существенно отличающимися массами.

2) Построена модель с обоснованной областью применимости, учитывающая эффекты теплопроводности, термодиффузии и вязкостного давления в плазме, содержащей два разных по массам сорта ионов, с учётом сторонних зарядов и токов. Предлагаемая модель описывает плазму, как среду с двумя жидкостями, ионной и электронной, каждая из которых обладает своей плотностью, макроскопической скоростью и внутренней энергией. Таким образом, ионы в данной модели описываются как одна жидкость.

3) Рассмотрено простейшее равновесное решение этой системы уравнений в случае аксиально-симметричной конфигурации плазмы и магнитного поля. Результаты численных расчетов показывают, что в ряде случаев может иметь место заметное изменение концентрации тяжелых ионов по радиусу. На примере капиллярных разрядов получен критерий значимости учтенного эффекта диффузии примеси: изменение относительной концентрации примеси в рассматриваемом приближении определяется изменением температуры и параметром <;, который выражается как явная функция параметров плазмы. При изменении температуры относительное изменение концентрации примеси будет определяться характерной величиной коэффициента Если при этом характерные значения с порядка, или заметно больше

1, то это будет означать сильное изменение равновесной концентрации примеси в капиллярном разряде. Величина <; зависит в основном от отношения концентраций ионов при их фиксированных зарядах.

5. Научная и практическая ценность.

Практическая ценность представленной работы состоит в следующем:

• Получены все необходимые кинетические коэффициенты для тяжёлого сорта ионов, рассматриваемых в двухжидкостиой МГД модели плазмы, состоящей из электронов и ионов с существенно отличающимися массами.

• Построена двухжидкостная двухтемпературная модель плазмы, содержащей два разных по массам сорта ионов, учитывающая эффекты теплопроводности, термодиффузии и вязкостного давления, наличие сторонних зарядов и токов, имеющая обоснованную область применимости.

• Получена численная модель стационарного осесимметрнчного разряда в плазме, содержащей два сорта ионов с существенно отличающимися массами

• Получен критерий значимости учтенного эффекта диффузии примеси.

6. Апробация.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались на XXXII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС (Звенигород, 2005), XXXIII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС (Звенигород, 2006) и международном семинаре « Успехи в физике и технологии пинчей и замапшчениой плазмы» (Чешский Технический Университет, 2006), опубликованы в журналах (2 работы, см. раздел «Публикации по теме работ»).

7. Структура и объём диссертации.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, приложения, заключения и списка литературы. Полный объём диссертации 140 страниц, включая 9 рисунков и 2 таблицы. Список литературы насчитывает 97 наименований.

8. Содержание работы.

В главе 1 путем решения кинетического уравнения с использованием разложения функции распределения по малому параметру получены выражения для диссипативных потоков и содержащихся в них кинетических коэффициентов тяжёлого сорта ионов, входящих в уравнения двухжидкоетной гидродинамики (Bobrova, Lazzaro, Sasorov, 2005) для плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов.

Величины па, Va и Та обозначают соответственно число частиц в единице объема, средняя скорость частиц и средняя температура газа. Индекс сорта частиц а = е обозначает электроны, а = 1,2,... обозначает ионы сортов 1,2,. ., еа = zae, za — заряд частицы сорта а в единицах модуля заряда электрона е, ес — -е; mt. — масса электрона, а масса ионов сорта а = j равна rrij — А}гп,\, где тпд и Aj — атомная единица массы и массовое число иона, соответственно.

Поскольку основная цель состоит в получении двужидкостных МГД

уравнений (для ионов и электронов) плазмы, то будем рассматривать ионную

компоненту плазмы в качестве жидкости ионов как целого. Индекс j и к

используются для обозначения сортов ионов. Они принимают значения 1, 2.

Индекс i зарезервирован для обозначения слова ионы, указывающего, что

данная величина относится к ионной компоненте плазмы. Так = —

з

плотность ионов, 2, = п'1 J2 Ь nj ~ средний заряд ионов, А, = nj"1 J2 Л> Щ —

3 3

среднее массовое число ионов, р, = п1тлЛ! — плотность ионной компонеты,

3

— скорость ионной компоненты. Индекс е зарезервирован для электронов.

Получение трёхжидкостной модели так же представляет интерес, однако при этом система уравнений становится намного сложнее, а поскольку массы ионов отличаются не более чем на два порядка, и возможность рассмотрения двух сортов частиц плазмы, как отдельные жидкости, обусловлена степенью различия корней их масс, то модель, в которой температуры и средние скорости ионов разных сортов отличны друг от друга, будет иметь узкую область применимости

В шшзме, сопоящсй из э/1сктронон и двух сортов ионов, состав может меняться в пространстве и времени. Для учета этого явления вводим уравнение, описывающее эволюцию состава плазмы. Мы определяем

концентрацию ионов С илп|я »»™,и " ч«™»"» числа:

Для согласно закону сохранения массы справедливо уравнение

(9)

(10)

Отметим, что

з

Когда характерный масштаб изменения гидродинамических параметров значительно больше средней длины свободного пробега, а средние относительные скорости разных сортов частиц и электрическое поле в сопутствующей системе координат пренебрежимо малы, тогда состояние плазмы близко к состоянию локального термодинамического равновесия. В этом случае функции распределения выражаются как суммы функций распределения нулевого порядка, которые являются слабо зависящими от пространства и времени максвелловскими функциями распределения, и малых возмущений. Поэтому функции распределения электронов и ионов могут быть записаны в виде:

— максвелловскне функции распределения электронов и ионов сорта ] соответственно, отвечающие состоянию термодинамического равновесия, и = у —У,.(<,г) — скорость ч.кпщ в системе отсчета, движущейся со средней скоростью электронов V, у = у — У,({,г) — скорость частиц в системе отсчета, движущейся со средней скоростью ионов V,, Т[М = Те,,(<, г), щ = пс{1,г), С,=С,(<, г), р,=р,{1, г), п, = р.тдМ"'^ — параметры

/,.(«, г, V) = /е0(<, г, и) + <5/е(£, г, и); Г,(г, г, у) = г, у) + ад, г, V) ,

(И) (12)

(13)

(14)

ионных п электронной макевелловских функций распределения, которые являются медленно меняющимися функциями времени и пространства. В этом о чу чае диссипатиппыс потоки, входящие в систему уравнений гидродинамики, выражаются через малые возмущения функций распределения <5^, и <5/е. Отмстим, что все величины электронной и ионной компоненты плазмы определены в системах отсчета, движущихся со средними скоростями Уе и V, соответственно.

В параграфе 1.1 рассматриваются процессы, при которых масштабы изменения гидродинамических параметров плазмы значительно балыке средних длии пробега частиц плазмы, а относительные коллективные скорости частиц разных сортов, а так же электрическое поле в сопутствующей системе координат, достаточно малы. Используется общий подход (ВоЬгоуа, Ьаггаго, Байогоу, 2005), в котором последовательно из кинетической теории была получена гидродинамическая двухжидкостная модель плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов таких, что масса ионов сорта 1 много меньше массы ионов сорта 2, те. тп\<^тг-Используется вероятностное описание состояния частиц плазмы, характеризуемое одиочастичной функцией распределения /(<, Г, V). Электронная часть уравнений взята в приближении (ВоЬгоуа, Ьаггаго, 8ааогоу, 2005), когда средняя длина свободного пробега электронов между столкновениями с ионами значительно меньше характерных масштабов изменения гидродинамических параметров, 1е, Ь, масса электронов много меньше массы ионов те<&тп,, а с |Е + (1/с)[Ус, В]| /е, <С Те. Отмстим, что кинетическое ураиепие для электронов и в частности выражения для входящих в него интегралов столкновений получены путём разложения по малым параметрам одного порядка величины Утаите, |Уе — У,|/игс и \/гп^/щ (см. приложение Б). Для решения необходимых кинетических уравнений было выбрано разложение возмущения функции распределения в ряд но сферическим полиномам. Это позволило записать выражения для днссипативпых потоков и кинетических коэффициентов в компактной форме, из них.легко можно получить выражения, не зависящие от выбора конкретной системы координат. Кинетические коэффициенты электронов могут быть выражены через 8 безразмерных функций <?1,2, ..,б,8,9(х> О1 именуемых С-факторами Изложен метод решения кинетического уравнения для легкого сорта ионов, с выражениями для диссипативных потоков и всех необходимых кинетических коэффициентов. Получено кинетическое уравнение для возмущения функции распределения тяжёлого сорта ионов. Кинетическое уравнение тяжелого сорта ионов зависит от безразмерного параметра щ, который указывает относительную роль столкновений ионов сорта 2 с ионами сорта 1 и столкновений ионов сорта 2 между собой.

Кинетическое уравнение для тяжёлого сорта попон (Bobrova, Lazzaro, Sasorov, 2005) было решено при дополнительном ограничении w2 2> 1. В этом случае кинетические коэффициенты тяжёлого сорта ионов могут быть выражены (Bobrova, Lazzaro, Sasorov, 2005) через 4 безразмерные функции одпоП переменной С>\,г я.»^)- Здесь хо = iO[¡2/i'2i — отношение ларморовской частоты и>о2 = zicB/(гщс) ионов copra 2 к частою столкновений Un ионов сорта 2 между собой Полученные в таком приближении кинетические коэффициенты тяжелого сорта ионов отличны от нуля в пределе при п2 —> 0. Как следствие они непригодны для расчётов в случае, когда малая примесь тяжёлого copra ионов даёт существенный вклад в теплопроводность и/или вязкость ионной компоненты плазмы Поэтому представляется чрезвычайно важным получить выражения для диссипативных потоков тяжёлого сорта ионов со всеми входящими в него кинетическими коэффициентами, справедливые при произвольном значении параметра w2.

В параграфе 1.2 получено решение кинетического уравнения для тяжёлого сорта ионов при произвольном значении параметра указывающего относительную роль 2-1 и 2-2 столкновений. С использованием этого решения получены выражения для потока тепла и тензора вя ¡костного давления тяжёлого сорта ионов со всеми необходимыми кинетическими коэффициентами, в том числе в форме, не зависящей от выбора системы координат. Кинетические коэффициенты выражены через два матричных элемента обратного оператора столкновений. Получены выражения для новых G-факторов Gn, ,ы(\',С). входящих в выражения для кинетических коэффициентов тяжелого сорта ионов Показано, что в случае, когда параметр tri, укапывающий относительную роль 2-1 и 2-2 столкновений, существенно больше единицы, новые формулы для кинетических ко >ффициенгон тяжелого сорта ионов переходят в старые формулы для соответствующих кинетических коэффициентов (Bobiova, Laz-zaio, Sasoiov, 2005), как следствие лого справедливы соотношения

Gi{x2) = lim w2Gn(x2w2, w2); G2(x2) = lim wlGi2(x2w2, w2); (15)

»OO ü»2—»OO

G»[x2) = lim w2G^{x2w2,w2) ; Ga(X'¿) = Jim w2Gu(x2W2,w2). (16)

»OÜ Ü»2~»OC

В параграфе 1.3 в рамках двух-иолиномиального приближения получены формулы для матричных элементов обратного оператора 2-1 столкновений, входящих в выражения для кинетических коэффициентов тяжёлого сорта попов. Получены приближённые выражения для новых G-факторов Gii, ,ы(Х|С). входящих в кинетические коэффициенты тяжёлого copra ноной, обозначающихся как Гц, ,u(x,0- Пиже представлены

результаты вычисления функций Гц,., ,14(х. С):

Г (V С) =_г.,1(С)хг + г,,2(С)__(17)

где

,/М = /

16 при г = 13,14

7(0 = |15 при г = 11,12

ПЖНГ^ + Г^ + Г^С + Г?,, . (18)

Коэффициенты Г,^ для г = 11,..., 16, 3 = 1, 2 и к = О, 1, 2, 3 представлены в таблице 1- Учтены только три главных знака. Точные величины этих коэффициентов, полученные в рамках двух-иолиномиалыюго приближения, даны в [2|.

Таблица 1 — Значения Г,^

7 = 1 3=1

г к =0 к =1 к =2 к =3 к =0 к =1 к =2 к= 3

11 2.81 2 0 0 9.89 20.6 13.3 2.64

12 2.5 0 0 0 8.79 12.1 4.65 0

13 0.75 1.2 0 0 1.69 5.99 6.53 2.23

14 10 0 0 2.25 4.39 2.38 0

15 4.78 6.62 2.7 0 2.11 2.95 0.823 0

16 2.81 6.19 4.05 0 1.13 2.9 1.53 0

В параграфе 1.4 формулируются основные выводы.

В глапе 2 получены уравнения МГД для плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов г. существенно отличающимися массами с. учетом пютности сторонних зарядов рел и плотности сторонних токов ]ех-При этом считается, что для совокупности плазмы и сторонних зарядов ныноинено условие чиектронейтральжхти.

Уравнения магнитной гидродинамики (ВоЬгоуа, Ьамаго, Бавогоу, 2005) и все кинетические коэффициенты были получены в предположении равенства нулю плотности сторонних зарядов и плотности сторонних токов в плазме Хотя в рассматриваемом приближении выражения для кинетических коэффициентов теплопроводности и вязкости не зависят от этого предположения, эти эффекты могут дать определённый вклад в коэффициенты диффузионных потоков, которые в свою очередь влияют на лпссипн'пшпые потоки импульса и энергии.

Важным пунктом в рассматриваемой модели является вопрос о совместном решении кинетических уравнений для ионов и электронов.

Принципиальная трудность вызвана тем, что п правой части каждого кинетического уравнения присутствуют сторого говоря возмущённые функции распределения всех сортов. Можно попытаться (Боброва, Сасоров, 1993) исключить возмущения функций распределения ионов из кинетического уравнения электронов за счёт подходящего выбора системы координат Именно, кинетические уравнения были записаны в системе координат, движущейся относительно лабораторной со скоростью

Vo= j - (19)

которая отличается о г скорости ионной компоненты V, (7). При таком выборе получающееся кинетическое уравнение дли члена /¿^ ряда (1) электронной функции распределения не зависит от возмущений функций распределения ионов, что значительно упрощает его решение. Однако возникают серьезные трудности при решении кинетических уравнений для ионов. Удобнее оказывается решать кинетическое уравнение для электронов в системе координат, движущейся относительно лабораторной со средней скоростью электронов Ve, а кинетические уравнения для ионов — в системе координат, движущейся со скоростью V,. При этом проблема решения совместной системы кинетических уравнений преодолевается иным путем. Интегралы, не позволяющие расцепить и решить по отдельности кинетические уравнения, рассматриваются как дополнительные неизвестные параметры, в результате кинетические уравнения разделяются, а их решения оказываются функциями этих параметров, которые затем определяются при помощи соотношений, вытекающих из законов сохранения, которым должны удовлетворять найденные решения кинетических уравнений.

В параграфе 2.1 обсуждается проблема совместного решения кинетических уравнений для возмущений функций распределения электронов и ионов 1-го и 2-го сорла, обозначаемых соответственно <5/е, 6F\ и 6F2 Описанное в главе 1 решение кинетического уравнения для тяжёлого сорта ионов позволяет получить уравнения МГД плазмы, состоящей из электронов и ионов двух сортов, со всеми необходимыми транспортными коэффициентами, справедливыми при проишолышм соотношении концентраций ионов разных сортов Обсуждается критерий электронейтральности совокупности плазмы и сторонних зарядов. Выписана полная система уравнений, необходимых для получения двухжидкостпой модели плшмы, состоящей из электронов и 2-х сортов ионов, с определениями макроскопических параметров плазмы: скоростей ионов сорта 1 и 2, плотности тока плазмы, плотности электрического заряда

В параграфе 2.2 путём решения условия совместности векторных

компонент кинетических уравнений для разных сортов ионов получено выражения для потока примеси в терминах основных МГД параметров плазмы, а так же выражения для всех входящих в него кинетических коэффициентов. Здесь и далее мы предполагаем, что в плазме может присутствовать сторонний электрический заряд.

В параграфе 2.3 выписана конечная форма замкнутой системы двухжидкостных двухтемпературных уравнений МГД плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов Учтена плотность сторонних зарядов рсл и плотности сторонних токов ]ех. Дана конечная форма электронных гидродинамических уравнений (законы сохранения массы, импульса и энергии) Отметим, что эти уравнения не содержат эффектов инерции электронного газа, а члены вязкости имеют упрощенную форму. Закон сохранения импульса электронов записывается в форме обобщённого закона Ома. Даны выражения для электронных диссипативных потоков, входящих в электронные МГД уравнения, таких как электронный поток тепла, электрон-ионная сила трения, электронная вязкость, скорость теплообмена между ионами и электронами. Дано уравнение электронной энтропии. Выписана конечная форма ионных гидродинамических уравнений (законы сохранения массы, импульса, энергии и уравнение (9) для j = 1). Даны выражения для ионных диссипативных потоков, входящих в ионные МГД уравнения, таких как ионный поток тепла, ионная вязкость и поток «примеси». Выписаны выражения для всех необходимых кинетических коэффициентов. Получены уравнения для электромагнитного ноля, совместные с предположениями, при которых были получены уравнения МГД. Система уравнений электромагнетизма (6) достаточно общая и ее непосредственное использование приводит к превышению точности, так как она не учитывает сильных неравенств, при которых получены уравнения МГД. Согласно этим неравенствам, характерные масштабы изменения гидродинамических параметров должны быть существенно больше средних пробегов частиц, а временные масштабы должны быть значительно больше обратных частот столкновений. Кинетическое уравнение (5) справедливо только в почти идеальной плазме, когда средние длины свободных пробегов частиц значительно больше дебаевских радиусов, а частоты столкновений значительно меньше всех плазменных частот. Комбинируя эти два набора сильных неравенств и учитывая, что движение плазмы нерелятивистское, мы получаем, что все пространственные масштабы в рассматриваемой проблеме значительно больше дебаевских радиусов, и что все масштабы времени значительно меньше обратных плазменных частот. Тогда мы должны пренебречь в уравнениях Максвелла током смещения и считать ил.пму квнзинейтральной + р^ = 0. В результате мы получаем

й>2

Рис. 1. Графики С-факторов (51(3:2) и ^2Сц(х2го2)гйг) как функций величины гйг при х2 = 0, 0.3, 1 и 3.

Й>2

Рис. 2. Графики Д-факторов С?2(х2) и го|С1г(ж2г"2> ^г) как функций величины й>2 при х2 = 0, 0.3, 1 и 3.

электромагнитные уравнения, совместные с предположениями, при которых были получены уравнения МГД:

ГСЛВ = — + ; рр, + р„ = 0; - ^ = -го1Е; сИуВ = 0, (20) с с от

где плотность тока плазмы jР1 и плотность заряда плазмы определяются следующими выражениями:

= ег1п1У1 +ег2п2У2-еп,Ус; р,,1 = е(г1п1 + г2"2 - пе). (21)

Для замыкания полученную систему дифференциальных уравнений с независимыми переменными пе, Тс, Т„ п, и С\, включающую уравнения МГД для электронов (законы сохранения массы, импульса и энергии), (законы сохранения массы, импульса, энергии и уравнение (9) для ] = 1) и уравнения (20), следует дополнить системой уравнений, определяющей рех и .Ь-

В параграфе 2.4 обсуждается связь полученных уравнений МГД плазмы из электронов и двух сортов ионов с существенно отличными массами с уравнениями МГД Врагинского. В главе 2 было показано, что в пределе при й>2 —* оо справедливы соотношения (15), (16). Этот предельный переход продемонстрирован на примере б-факторов Сц и С\2■ приведены результаты серии численных расчётов (рис. 1 и 2) для характерных значений параметров, входящих в кинетические коэффициенты для потока тепла ионов 2-го сорта.

Показано, что и случае, когда параметр ù>2, указывающий относительную роль 2-1 н 2-2 столкновений, существенно больше единицы, новые формулы дня кинетических коэффициентов тяжелого сорта ионов переходят в старые формулы для соответствующих кинетических коэффициентов (Bobrova, Laz-zaro, Sasorov, 2005). Исследована асимптотика G-факторов тяжёлого сорта ионов при й>2 —»оо, й>2 —» 0. Продемонстрирована возможность получения точных аналитических выражений для кинетических коэффициентов без использования двух-полиномиального приближения в случае, когда параметр ù)2, указывающий относительную роль 2-1 и 2-2 столкновений, существенно меньше единицы. Оказывается, что ввиду диагональности матрицы обратного оператора 2-1 столкновений кинетические коэффициенты, полученные в рамках двухполиномиального приближения, совпадают с точным решением при ù>2 —» 0. Исследуется поведение кинетических коэффициентов ионов 1-го и 2-го сорта в двух предельных случаях, когда либо ni —> 0, либо П2 —> 0. И в том, и в другом случае полученная система уравнений переходит в систему уравнений Брагинского.

В параграфе 2.5 сформулированы основные результаты.

В главе 3 в рамках уравнений двухжидкостной магнитной гидродинамики (Bobrova, Lazzaro, Sasorov, 2005) представлена стационарная осееимметрпчиая модель [1| плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов с существенно отличающимися массами, ограниченной стенками цилиндрического капала, в условиях, типичных для Z-пипчей и капиллярных разрядов. Численно показано, что в ряде случаев может иметь место заметное изменение концентрации тяжёлых ионов вдоль радиуса. Получен простой критерий, позволяющий определять условия, при которых изменения относительной концентрации тяжелой примеси в плазме будут достаточно большими. Продемонстрирована возможность существенно неоднородного распределения ионов разных сортов относительно друг-друга.

В большом количестве экспериментальных ситуаций встречается плазма, в которой помимо основной лёгкой компоненты есть примесь тяжёлого сорта ионов. Одним из возможных примеров такой сильно столкновительной плазмы является плазма капиллярных разрядов. В капиллярных разрядах возможно создание плотной, горячей плазмы с необходимыми для рентгеновского лазера параметрами (Rocca, 1999). Капиллярные разряды можно также использовать для каналирования лазерных импульсов для обеспечения режима его распространения без дифракционного расширения (Tajima et al., 1985, 1990; Bulanov et al., 1994, 1995; Chou et. a!., 1995). В подавляющем большинстве экспериментов с капиллярными разрядами плазма создается внутри канала в твердом диэлектрике между

диумя металлическими электродами. При этом либо капилляр заполняется газом, который ионизуется предварительным разрядом, и капиллярный разряд развивается уже в этой плазме, либо капилляр является исходно пустым, а плазма образуется в результате развития поверхностного разряда и испарения материала стенок. Однако и в случае заполненного газом капилляра необходимо учитывать испарение материала стенок иод воздействием потока тепла in плазмы, заполняющей канал Поэтому очень часто приходится иметь дело с плазмой, состоящей из нескольких сортов ионов. При этом надо заметить, что такое исследование имеет принципиальное значение, поскольку не существует экспериментальных методик определения пространственного распределения ионов разных сортов в плазме. На практике их относительное распределение в плазме часто принимается без каких-либо оснований однородным по всему сечению разряда.

- Основной задачей является исследование возможности образования существенно неоднородного распределения ионов разных сортов относительно друг друга

В параграфе 3.1 сформулирована постановка задачи стационарном разряде с цилиндрически-симметричной конфигурацией плазмы в отсутствии аксиального магнитного поля. Это — типичная конфигурация Z-пинча, в которой все величины зависят лишь от цилиндрического радиуса г. Рассмотрим равновесную конфигурацию, в которой макроскопическая скорость плазмы равно нулю. Радиальная компонента тока jr, так же как и радиальная компонента магнитного поля равны в такой ситуации нулю. Приведено краткое описание методики определения степеней ионизации ионов. Обсуждается вопрос выбора однотемпературного приближения.

В параграфе 3.2 представлены численные модели для равновесного Z-пипча с учетом переноса примеси. Детально рассмотрены граничные условия, необходимые дня построения численной модели. Считается, что разряд ие отрывается от стенок Приведён расчёт одной из полученных равновесных конфигураций. Параметры данного разряда типичны для капилляров, использованных в серии экспериментальных работ (Ehrlich et al., 1996; Kaganovich et al., 1999). Рассматривалась углеродно-водородная плазма в капилляре диаметром 0.5 мм, с погонными плотностями водорода и углерода, равными 3.6 • 1015 см-1 и 3.8 • 1015 см-1 соответственно Полный ток разряда был равен 286 А. Граничная температура, Т», была выбрана достаточно низкой. Соотношение между количеством водорода и углерода подбиралось таким образом, чтобы отношение их концентраций на стенке капилляра было таким же, как и в стенке капилляра, изготовленного из полиэтилена, то есть

¡г, КА/СМ2 180-1

л,,2,1018см-3 6

пв, 1018 см"3 -10

100 150 г, мкм

Рис. 3. Графики температуры плазмы Т и плотности тока ]г от радиуса г в равновесном углеродно-водородном разряде в капилляре. Полный ток I = = 286 А, пе(0) = 6 • 1018 см"3.

-1-—|-1—|—'—г

50 100 150 200 250 г, мкм

Рис. 4. Графики концентрации ионов сорта 1, пх, ионов сорта 2, П2, и электронов пе от радиуса г в равновесном углеродно-водородном разряде в капилляре. Полный ток I = = 286 А, пе(0) = 6 • 1018 см"3.

2 1. При таких параметрах температура плазмы па оси равна Т(0) — 5.9 эВ, а плотность электронов — пе(0) = 6 • 1018 см-3. Степень ионизации углерода на оси, рассчитанная по равновесию Саха, равна 22 « 2.74, а водорода — « 1. Результаты численного моделирования позволяют заметно упростить решаемую систему уравнений: давление магнитного ноля рв = В2/(8п) оказывается пренебрежимо мало по сравнению с давлением плазмы р = = («1 +П2 + пп)Т (ра < 10~3р). Относительно малая величина магнитного ночя приводит к тому, что ионы и электроны можно считать иезамагпичеппыми, что заметно упрощает выражения для электронного потока тепла, потока примеси и входящих в него кинетических коэффициентов. Численное решение упрощенной системы уравнений для тех же значений параметров капиллярного разряда, что и в случае полной системы уравнений, показало, что результаты этих расчетов совпадают.

На рис. 3 представлены расчетные радиальные распределения температуры плазмы и плотности тока. Мы предполагали для простоты, что степени ионизации постоянны по сечению разряда, и определяются параметрами плазмы па оси. Вне зависимости от того, как решается этот вопрос, мы видим (см. рис. 4), что отношение П2/Щ сильно меняется по

<г

п/пг

Рис. 5. Графики зависимости параметра с от относительной концентрации П1/П2 для следующих значений параметров: тт/т2 = 0.04,0.08,0.16 и гх/х2 = 0.18,0.36,0.72.

сечению разряда, с преобладанием тяжелой примеси на оси разряда по сравнению со средней относительной концентрацией тяжелой примеси.

В параграфе 3.3 получен критерий, позволяющий определить условия, при которых изменения относительной концентрации ионов разных сортов в капиллярных разрядах будет достаточно большим. Пространственную производную относительной концентрации можно выразить через пространственную производную от температуры:

— —?{щ/щ) ~\пТ, (22)

где <; (у) известная функция у при заданном значении параметров тп\/тпг и Мы видим, что изменение относительной концентрации примеси

в этом приближении определяется изменением температуры и параметром С, входящим в уравнение (22) При изменении температуры относительное изменение концентрации примеси будет определяться характерной величиной коэффициента с. Ести при этом характерные шачеппя <; порядка, или (<шетпо баньте 1, 'ю г го будет о (начать сильное изменение равновесной концентрации примеси в капиллярном разряде Величина ? зависит в основном ог отношения при фиксированных зарядах ионов. На

рис 5 приведена чависнмость функции <; от щ/щ. при этом параметры в выражении для <; равны тщ/тг = 0.01; 0.08; 0.16 и ¿1/22 = 0.18; 0.36; 0.72.

7"в,эВ; пв,1018 см'3

г, мкм

Рис. 6. Графики температуры Те и концентрации электронов пе для капиллярного разряда в водороде (ВоЬгоуа et а1., 2002) в момент времени Ь = = 100 не.

п2,1018см-3 пв,ь 1018 см"3

г, мкм

Рис. 7. Графики концентраций электронов пе и ионов 1-го и 2-го сортов, соответственно щ и п2, в углеродно-водородном капиллярном разряде, в котором тге(0) = 2.4 • 1018 см-3, а полный ток I = 260 А.

На основе анализа критерия выполнен расчёт в условиях, когда полное число тяжёлой примеси относительно мало. Параметры плазмы выбираются близкими к значениям, имевшим место в капиллярном разряде, исследованном в ряде [забот (Spense, Hooker, 2001; Bobrova et al., 2002). В иих рассматривался керамический капилляр диаметром 300 мкм, заполненный водородом с плотностью 5.6 • 10~6 г/см3. Максимум тока 250 А достигался за 100 не. Результаты расчетов (Bobrova et al., 2002) показали, что эффект пинчевания плазмы в данном случае отсутствует, а аксиальное электрическое поле не скшшруется и, следовательно, однородно вдоль радиуса капилляра Давление магнитного поля пренебрежимо мало по сравнению с гидродинамическим давлением плазмы, и, следовательно, давление плазмы может считаться постоянным вдоль радиуса капилляра. Электроны и ионы пезамагпичеиы, а их температуры равны. Вследствие этих условий распределение плазмы внутри капилляра определяется балансом между омическим нагревом и охлаждением за счет теплопроводности. Было показано, чго мри t > 80 не плазма находится в квазиравновесии. На рис. 6

г, мкм

Рис. 8. Профиль величины qo.

приведены радиальные профили электронной температуры и плотности в момент времени 1 = 100 не.

Проведенный расчет показывает, что плотность тяжелых ионов щ уменьшается с радиусом (см. рис. 7) Ионы сорта 2 собираются у оси разряда.

Сделана грубая оценка характерного времени установления равновесия в плазме и рассматриваемых условиях Радиальный профиль величины ч^г оценим по порядку величины по графику её слагаемого <70 ос ¿Т/йг (см. рис. 8). как 10~2 ед. СГС Относительная массовая концентрация С\ ~ 1, р,г ~ Ю-8 г/'см2. Тогда для характерного времени установления равновесия т получим оценку

Ю-0 с = 1000 не.

В параграфе 3.4 «формулированы основные, результаты.

В заключении приводятся основные результаты диссертации, выносимые автором на защиту.

В приложении А дан обзор основ используемого метода получения МГД уравнений плазмы. Изложены общие свойства кинетического уравнения, а так же методы его решения, среди которых рассмотрены метод Гильберта, метод Чсимспа—Энскога и метод Брагинского.

В приложении Б изложен используемый метод разложения интеграла столкновений но малым параметрам.

В приложении В дан полный набор необходимых определений,

касающихся сферического представления векторов, тензоров и функций.

В приложении Г приведены аналитические выражения для G-факторов G) о, ,0.8.9 в двух-полиномпальном приближении

9. Публикации по теме работы.

|1] Кочаряи А.Э., Боброва H.A., Сасоров П. В. Неоднородность химического состава плазмы в капиллярных разрядах // Физика Плазмы.— 2006. Т 32. 10. С 1-10.

|2| Конарян А. Кинетические коэффициенты тяжёлого сорта ионов в многокомпонентной плазме.—Москва, 2006.—20 С. (ИТЭФ; Препринт 11—06).

Кочаряи Ашот Эрнстович

МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА ПЛАЗМЫ СЛОЖНОГО ХИМИЧЕСКОГО СОСТАВА

Подписано а печать 02,04.07. Формат 00x84 l/ie- Печать офсетная. Уел ном л. 1,0 Уч.-изл. л. 1,0. Тираж 60 экз. Заказ Х'ф -233

Г<х'уднрггигших> образовательное учреждение ны< iiit'iD проф^геношичьного образования

М.ККОШ КИП <] lit ШКО- 14'ХНИ'ИЧ Kllil IIIU-IIIIVI (1<К'уД.1[)С-иИ'Ш1ЫЙ YIIXIH'I» И|1'|)

Oiyuvi aii'ioMftгизиjюнпп11i,iх силгм "ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ" М1700, Мо<к обл., г ДолтпрудныП, Иистщутгкий пер., 9

Введение.

Глава 1. Кинетические коэффициенты тяжелого сорта ионов плазмы сложного химического состава.

1.1. Уравнения МГД плазмы с ионами двух сортов, массы которых 777,1 С 7712.

1.2. Кинетическое уравнение для тяжёлого сорта ионов j = 2 и его решение.

1.2.1. Тяжёлые ионы, j = 2.

1.2.2. Кииетические коэффициенты и G-факторы для тяжёлого сорта ионов при произвольном значении параметра щ.

1.2.3. Кинетические коэффициенты и G-факторы тяжёлого сорта ионов при W2 —» оо

1.3. Приближенные формулы для G-факторов в кинетических коэффициентах.

1.3.1. Двух-полиномиальное приближение.

1.3.2. Матричные элементы оператора С21.

1.3.3. Приближённые формулы для Си,., и(х, С).

1.4. Выводы.

Глава 2. Уравнения МГД плазмы сложного химического состава с учётом сторонних зарядов и токов.

2.1. Совместное решение уравнений для 5fe, 5F\ и Sfy.

2.2. Процедура замыкания для решения векторной части электронного и ионных кинетических уравнений с учётом плотности стороннего заряда.

2.3. Конечная форма МГД уравнений.

2.3.1. Конечная форма электронных МГД уравнений

2.3.2. Диссипативные члены в электронных МГД уравнениях

2.3.3. Конечная форма ионных уравнений.

2.3.4. Ионные диссипативные члены в уравнениях МГД

2.3.5. Уравнения электродинамики.

2.4. Уравнения МГД плазмы с двумя сортами ионов т,\ <С гпъ в предельных случаях п\ —> 0, пг —*► 0.

2.4.1. Асимптотика G-факторов тяжёлого сорта ионов при щ —> оо, W2 ► 0.

2.4.2. Уравнения МГД плазмы с двумя сортами ионов

Ш\ Ж2 в предельных случаях щ —> О, П2 —>

2.5. Основные результаты.

Глава 3. Влияние диффузии примеси на процессы в плазме.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Решения системы МГД уравнений плазмы для равновесных состояний в геометрии Z-пинча.

3.2.1. Решение общей системы МГД уравнений

3.2.2. Упрощённая модель распределения параметров плазмы в капиллярных разрядах с небольшими токами

3.3. Значимость эффекта диффузии примеси.

3.3.1. Простая оценка степени неоднородности равновесного химического состава.

3.3.2. Распределение малого количества тяжёлой примеси по капиллярному разряду.

3.4. Выводы.

Современное состояние проблемы

Моделирование процессов в плазме является одной из наиболее актуальных и сложных проблем современной физики высоких энергий. Первые исследования электрических разрядов в газах были выполнены в 1830-х Майклом Фарадеем. В 1879 году Вилльям Крукс ввёл представление об ионизованном газе как о четвёртом состоянии вещества. Термин «плазма» в физике был введён Ленгмюром [1] в 1928 году, для описания области со «взаимоуравновешивающими зарядами ионов и электронов», характеризующей состояние газа, через который пропускают переменные токи большой мощности. За прошедшие десятилетия появилось большое количество физических проблем, связанных с исследованием плазмы, таких как осуществление управляемого термоядерного синтеза для получения принципиально новых источников энергии [2—4], узучение строения и эволюции звёзд [5]. Большой интерес представляет плазма в атмосфере Земли и планет. Без изучения физических процессов в плазме невозможно успешное развитие устройств, применяемых в экспериментах по Z-пинчам [6], быстрому импульсному нагреванию металлических проволочек [7]. Другим возможным примером является плазма капиллярных разрядов [8], в которых возможно образование горячей, плотной плазмы с необходимыми для рентгеновского лазера параметрами. Капиллярные разряды также можно использовать для каналирования лазерных импульсов для обеспечения режима его распространения без дифракционного расширения [9, 10]. Многопроволочные лайнеры так же могут служить источником мощного рентгеновского излучения [11, 12]. Результаты таких исследований находят применение в различных задачах, связанных со спектроскопией, медициной. Кроме того, плазма используется для проведения химических реакций, которые в горячей сильно ионизованной среде протекают быстро. Так почти полностью ионизированная плазма присутствует в устройствах, применяемых в техногии травления металлических и полупроводниковых плат.

Моделирование процессов в плазме достигло значительных успехов с использованием основных результатов теоретической физики ХХ-го века и, прежде всего, кинетической теории газов и уравнений магнитной гидродинамики (МГД). Основные положения магнитной гидродинамики были сформулированы в 1940-х гг. шведским физиком Х.Альфвеном [13], который в 1942 году предложил эту теорию для объяснения ряда явлений в космической плазме, таких как солнечные пятна. Сборник ранних работ Альфвена «Cosmical Electrodynamics» [14] оказал огромное влияние на специалистов по астрофизике и физике плазмы. Альфвен сделал много пророческих открытий в области физики плазмы, которые выглядели неожиданно и даже отвергались в свое время. Альфвен сформулировал положение о «вмороженности» магнитного поля в плазму, открыл новый тип волнового движения проводящей среды в магнитном поле — магнитогидродинамические волны [15], в его честь названные волнами Альфвена, которые были обнаружены в жидком металле в 1949 и в плазме в 1959 г. Еще одним из ранних предположений Альфвена, подтвердившихся позднее, было существование крупномасштабных слабых магнитных полей в Галактике из-за присутствия даже малого количества плазмы — полей, которые влияют на движение космических лучей. Новая область физики, получившая название магнитной гидродинамики, основы которой заложил Альфвен, оказалась важной не только для исследований по управляемому термоядерному синтезу [16], но и для разработок по таким темам, как сверхзвуковые полеты, ракетные двигатели и торможение спускаемых космических аппаратов.

Гидродинамическая часть МГД уравнений плазмы может быть получена при помощи одночастичной функции распределения /(£, r,v), впервые предложенной Максвеллом для описания системы большого количества частиц, где величина /с?Г определяет ожидаемое количество частиц, находящихся в элементе фазового объема с?Г = clrdv [17].

Моментом N- го порядка функции распределения называют компоненты тензора N-ro порядка вида: б где Xk = 1,2,3. Наряду с моментами мм так же рассматривают

Г N v) - hi i.Ajv ~ / II Jfe=l IK/<*v. (2) где u = v — V. Моменты М^ и мм могут быть выражены друг через друга. С этой точки зрения параметры гидродинамических уравнений МГД плазмы (локальные плотность, импульс и температура) являются моментами одночастичной функции распределения. Например, n(t, г) = М<°> (3) число частиц в единице объема,

VA(i,r) = -V' (4) V средняя скорость частиц,

5) Л средняя температура газа.

Уравнение для функции распределения / впервые было получено Больцманом для газа нейтральных частиц, и носит его имя: df

7rSt- ®

Здесь df/dt — производная вдоль фазовой траектории частиц, a St — скорость изменеиия количества частиц вдоль фазовой траектории за счет столкновений между ними, так же называемая интегралом столкновений. Больцман так же установил, что для «сумматорных инвариантов» фг, г = 0,1,2,3,4, где

Фо(va) = rna ; Ф\(уа) = mava\; ^4(va) = mav2a, (7) а величины

JvJa/? = (8) удовлетворяют следующим соотношениям:

Равновесное решение уравнения (6) з/2 г п i т ч 3/2 ехр т 0

2Т ~ ^ называется Максвелловским распределением, и было открыто Максвеллом еще до получения Больцманом уравнения (6).

Несмотря на то, что кинетическое уравнение (6) успешно использовалось для описания процессов в газах, оно не сразу нашло применение в теории плазмы. Так Тонкс и Ленгмюр уже в работе [18] рассматривали самосогласованным образом движение частиц плазмы и электромагнитного поля, однако не использовали кинетическое уравнение. Вероятно причиной тому служит тот факт, что для рассмотрения кинетического уравнения для заряженных частиц требуется записать интеграл столкновений St для далеких столкновений заряженных частиц, соответствующих малому изменению их импульсов. Впервые это сделал Ландау [19]. В так называемом приближении кулоновского логарифма интеграл столкновений частиц сорта а и (3, имеет вид [20]:

Sta/j(/a, М = -divsa/?; X ^ Г ( fa Щ tidfAn,' М-П

-ST" J Uц - u^dv' (11) где их» =-^з-U = v-v, (12) а Аар — кулоновский логарифм столкновений между частицами сортов а и /3. В формулах величины без штрихов являются функциями координаты ra = г и скорости va = v частицы сорта а, а величины со штрихами являются функциями координаты гд = г' и скорости vp = v' частицы сорта (5. Идея Ленгмюра—Тонкса рассматривать движение частиц и электромагнитное поле самосогласованным образом впервые была реализована в кинетическом уравнении Власовым [21] для случая бесстолкновительной плазмы, когда интеграл столкновений St = 0. В этом случае уравнение (6) принимает вид: df df ze ( 1 \ df где Е и В — напряженности электрического и магнитного полей, для которых справедливы уравнения Максвелла: divE = 47Гр; -^? = -rotE; divB = 0; rotB = — j + (14) с at с с at

Уравнение (13) описывает поведение так называемой бесстолкновительной плазмы. В случае столкновительной плазмы кинетическое уравнение принимает вид: где Stар определяется формулами (11)—(12).

Уравнение (6) решается точно только в ряде простых задач. В общем случае необходимы приближенные математические методы. Одним из них является метод разложения функции / по малому параметру е: f(t,r,v) = Y,ekf{k)(t,r,v). (16) к

Впервые такой подход в кинетической теории газов был использован немецким математиком Гильбертом [22]. В качестве малого параметра € он взял число Кнудсена Кп, равное отношению длины свободного пробега частицы А к характерному размеру системы L. Им был исследован частный случай газа, состоящего из идеальных упругих шаров, для которого разработанный им метод имеет математически строгое и в тоже время достаточно простое обоснование. Гильберт установил, что в рассматриваемом случае решение / в любой момент времени определяется пятыо величинами, которые есть плотность частиц газа п, три компоненты средней скорости V и температура Т. Он так же показал, что уравнения гидродинамики для макроскопических параметров газа п, V и Т получаются естественным образом, как условия разрешимости уравнений для последовательных приближений ряда (16), получающихся из кинетического уравнения (6). Класс решений уравнения (6), представимых в виде ряда (16), называется гильбертовым классом нормальных решений. Энског использовал метод Гильберта и на его основе получил разложение в ряд функции распределения, описанное им в докторской диссертации [23]. В отличие от метода Гильберта, производная df/dt раскладывается в ряд и) к не по очевидной формуле о) = 0; = -; к> 0, (18) at а так, чтобы уравнения для макроскопических параметров вещества, получаемые в каждом порядке аппроксимации к, решались в явном виде относительно f(k\ На основе этого метода Энскогом были получены имеющие практическое значение транспортные коэффициенты и предсказано явление термодиффузии. Аналогичные результаты были независимо получены Чепменом путём обобщения предложенного Максвеллом метода нахождения кинетических коэффициентов. Метод Энскога был использован Чепменом и Каулингом [24], вследствие чего стал известен как метод Чепмена—Энскога. Он впервые позволил получить в явном виде члены к > 1 разложения (16). Непосредственно Энскогом было получено решение для к = 1. Члены следующего порядка к = 2 на основе метода Чепмена—Энскога получил Барнетт [25]. Кроме того, им впервые был предложен способ, позволяющий методом Чепмена—Энскога получить выражения для транспортных коэффициентов в виде, удобном для численных расчетов, заключающийся в разложении коэффициетов слагаемых получающегося для решения в ряд по полиномам Сонина, так же называемым полиномами Лаггера. Для достижения требуемой точности оказывается достаточным учесть только несколько первых N членов ряда. В различное время этот подход был использован Каулингом [26] для случая N = 2, Ландзхоффом [27] и Брагинским [28] для случая N = 3, Шкарофским [29] для N = 4, Канеко [30] для N = 6, Фенебергом и Фиссерром [31] для N = 9. Метод Чепмена—Энскога использует предположение метода Гильберта, согласно которому функция распределния зависит только от n, V и Т, т.е. является функцией моментов нулевого, первого и второго порядков, а остальные моменты однозначно определяются значениями моментов нулевого, первого и второго порядков.

Кроме того, в нем, как и в методе Гильберта выполнено предположение о малости числа Кнудсена Кп. Среди других способов решения [32] кинетического уравнения стоит отметить метод моментов Трэда [33, 34]. Трэд обобщил предположение Гильберта, согласно которому решение кинетического уравнения принадлежит классу решений, зависящих только от первых пяти моментов Mfy предполагается, что функция распределения целиком определяется значениями некоторой совокупности моментов ., М^: =/(v, М<4., , (19) а остальные моменты однозначно определяются значениями моментов M^kl\ ., M^ktf\ Этот подход был реализован Трэдом путём разложения функции распределения / в ряд по полиномам Эрмита Н^: f = /<»> |в°Я(°» + а!Х> +. + + -}.

20) где а? ,\N коэффициенты, функции t иг. Трэдом было получено широкоизвестное 13-ти моментное приближение [33, 35, 36].

На основе метода Чепмена—Энскога и идеи Барнетта использования полиномов Сонина во второй половине двадцатого века был проведен ряд математических исследований [28—38], посвященных вычислению транспортных коэффициентов в диссипативных потоках уравнений МГД плазмы. Кинетические коэффициенты плазмы зависят от параметров х и w, где

Шп х = (21) замагниченность плазмы, равная отношению ларморовской частоты ив к частоте столкновений v частиц между собой, а w = ui/u2 (22) отношение частот щ, U2 столкновений разных частиц плазмы между собой, указывающее относительную роль разных столкновений в плазме. Одно из первых исследований с целью вычисления коэффициентов теплопроводности и проводимости было выполнено Спитцером и

Хармом [39, 40] в случае х = 0 для нескольких значений w. Работа [40] служит хорошей проверкой для всех теорий в пределе х = 0. Широкую известность получило исследование Брагинского [28], в котором при помощи модифицированного метода Чепмена—Энскога [24] по аналогии с работой Шлютера [41] получил двухжидкостную двухтемпературную модель замагниченной плазмы, состоящей из электронов и одного сорта ионов. На протяжении многих лет эта модель была и остаётся ориентиром для многих проблем динамики столкновительной плазмы (см., например, [42—49]). В работе [50] кинетические коэффициенты для электронов Эпперлейном и Хайнесом были получены путём прямого численного решения кинетического уравнения. Это позволило авторам выяснить, насколько точны значения кинетических коэффициентов, полученные Брагинским в рамках двух-полиномиального приближения.

В большинстве выполненных на основе метода Чепмена—Энскога исследований кинетические коэффициенты вычисляются либо при помощи численных методов, либо аналитически при ограниченном наборе значений входящих в них параметров х и w. В начале 90-х были получены полные аналитические выражения [51] для кинетических коэффициентов, включающие результаты Брагинского как частный случай.

Модель плазмы сложного химического состава с учётом диффузии ионов разных сортов относительно друг-друга

Плазма в природных объектах и лабораторных установках часто имеет сложный химический состав. Кроме электронов в ее состав входят ионы, различающиеся по массе и/или заряду. Назовем одну из компонент ионной составляющей плазмы «примесью». Заметим, что это название отнюдь не означает, что влияние этой компоненты мало.

Исследование плазмы сложного химического состава является одной из наиболее актуальных задач современной физики [52—61]. Несмотря на то, что этому вопросу посвящён ряд работ (см., например, [62—66]), до сих пор не было получено применимой в практических целях системы уравнений динамики плазмы со всеми необходимыми коэффициентами, которая обладала бы обоснованной областью применимости. В существующих моделях, постороенных по образу и подобию МГД модели Брагинского, не учитывается ни в уравнениях, ни в диссипативных коэффициентах то, что в плазме присутствуют ионы с разными массами и/или зарядами. Однако понятно, что ионы разной массы могут вести себя по-разному, их концентрации могут по-разному зависеть от координат и времени. Поэтому существующие модели плазмы не могут правильно описать влияние сложного химического состава на процессы переноса вещества и энергии.

Влияние примесей можно учесть качественно, например, путем добавления к имеющимся МГД уравнениям Брагинского системы уравнений для концентраций присутствующих в плазме ионов разных сортов [5]. Однако, такая модель может описать лишь поведение малой примеси, влияние которой на физические процессы в плазме пренебрежимо мало. На практике же в ряде задач несколько разных сортов ионов могут давать одинаковый по порядку величины вклад в потоки вещества и энергии. Поэтому представляется более продуктивным на основе методов решения кинетического уравнения развивать теорию, которая была бы справедлива при произвольном соотношении концентраций ионов разных сортов. Ждановым В.М. было выполнено исследование [66] по получению уравнений для плазмы сложного химического состава, содержащей два и более сортов ионов. Для получения необходимых уравнений МГД им был использован метод моментов Трэда, обобщённый на случай неизотермической многосортной плазмы, а так же многоатомного газа и газовой смеси. Этим методом Ждановым получены уравнения для многокомпонентной полностью ионизированной плазмы, состоящей из электронов и нескольких сортов ионов. Однако в этой работе нет полного набора пригодных для непосредственного использования аналитических выражений для кинетических коэффициентов электронов и ионов плазмы.

Эта проблема долгое время оставалась без должного внимания, быть может, в виду технических особенностей вопроса. Рассмотрение свойств таких систем как правило ограничивается случаями полностью ионизованной двухкомпонентной плазмы. Между тем реальная плазма, используемая в ряде экспериментальных и технических устройств, так же как и плазма естественного происхождения, практически всегда оказывается многокомпонентной. Даже в сравнительно «чистой» водородной плазме, удерживаемой магнитным полем в установках термоядерного синтеза, имеются примеси более тяжелых химических элементов, существенно влияющие на излучение, электропроводность, перенос вещества и энергии, и другие параметры плазмы, устанавливают пределы энергии, вкладываемой за эффективное время удержания, выходной полезной мощности. Примеси имеют фундаментальное значение (не до конца пока понятое) в механизмах формирования неустойчивостей. Процессы в плазме сложного химического состава диктуют граничные условия, которые необходимы для получения требуемых конфигураций плазмы. В процессе исследований по возможности использования токамаков в качестве термоядерных реакторов были опробованы несколько методов контролирования примесей, основанных на использовании материалов с низким г, испаряющихся с внутренней поверхности стенки (углерод, бериллий, бор) [67—70], или на непосредственном управлении потоками примесей. Кроме того, были найдены новые интересные способы управления плазмой при помощи примесей, например, для изменения условий удержания плазмы, уменьшения тепловой нагрузки. Другим возможным примером является плазма капиллярных разрядов [8, 9], в которых возможно образование горячей, плотной плазмы с необходимыми для рентгеновского лазера параметрами. Капиллярные разряды также можно использовать для каналирования лазерных импульсов для обеспечения режима его распространения без дифракционного расширения. В большинстве экспериментов с капиллярными разрядами плазма создаётся внутри канала на твердом диэлектрике между двумя металлическими электродами. При этом либо капилляр заполняется газом, который ионизуется предварительным разрядом, и капиллярный разряд развивается уже в этой плазме, либо капилляр является исходно пустым, а плазма образуется в результате развития поверхностного разряда и испарения материала стенок. Однако и в случае заполненного газом капилляра необходимо учитывать испарение материала стенок под воздействием потока тепла из плазмы, заполняющей канал.

В статье [71] в результате решения при помощи модификации метода Чепмена—Энскога [28] системы кинетических уравнений для электронов и двух сортов ионов, обозначаемых 1 и 2, была получена система уравнений гидродинамического типа, в которой учтена диффузия примеси и зависимость кинетических коэффициентов от двух сортов ионов. В работе [66] функция распределения раскладывалась сразу в ряд по полиномам, поэтому точность вычисления кинетических коэффициентов ограничена количеством членов ряда (20). В [71] кинетические уравнения решались путём разложения по малому параметру б = Кп. Полученные выражения для транспортных коэффициентов — точные в рассматриваемом приближении, путём разложения в ряд по полиномам Сонина из них могут быть получены с любой требуемой степенью точности приближённые аналитические выражения, пригодные для непосредственного использования в численных расчётах. Кроме того, выражения для кинетических коэффициентов [71], как и выражения для кинетических коэффициентов [51], получены в форме непрерывных функций входящих в них параметров. Авторы воспользовались широко известным подходом [72] к макроскопическому описанию плазмы, в котором плазма рассматривается как совокупность взаимно проникающих друг в друга заряженных газов, каждый из которых описывается своей системой макроскопических уравнений. Вместо того, чтобы рассматривать каждый сорт частиц, как отдельную жидкость, и, таким образом, строить трёхжидкостную модель (электронная жидкость и ионные жидкости первого и второго сорта), авторы получили двухжидкостную модель, в которой ионы рассматриваются, как одна жидкость, параметры которой выражаются через основные физические величины ионов первого и второго сорта. При этом предполагается, что каждый из сортов ионов имеет собственную плотность (щ и П2, соответственно), а средние скорости и температуры ионов обоих сортов одинаковы. Для замыкания системы уравнений МГД используется уравнение диффузии для ионов сорта 1 и 2 относительно друг-друга. Разница скоростей ионов первого и второго сортов Vi и V2 рассматривается, как подлежащая определению функция основных параметров плазмы. Выписывание отдельно уравнений для электронов и двух сортов ионов тоже представляет интерес, однако при этом система уравнений становится намного сложнее, при том что ее область применимости уже, чем в случае двужидкостного приближения. В работе [71] получены точные выражения для кинетических коэффициентов, входящих в уравнения двухжидкостной МГД плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов с существенно отличающимися массами, через матричные элементы обратного оператора столкновений. В соответсвии с этим ионы сортов 1 и 2 называются соответственно «лёгкими» и «тяжёлыми». Для решения необходимых кинетических уравнений было выбрано разложение возмущения функции распределения в ряд по сферическим полиномам. Это позволило записать выражения для диссипативных потоков и кинетических коэффициентов в компактной форме, из них легко можно получить выражения, не зависящие от выбора конкретной системы координат. Было показано, что решение кинетического уравнения для лёгких, ионов сводится заменой обозначений к решению кинетического уравнения для электронов, установлено, что уравнение для ионов сорта 2 вообще говоря не обладает таким свойством. Кинетические коэффициенты для тяжёлых ионов были получены в случае, когда плотность тяжёлых ионов 712 не может быть слишком малой по сравнению с плотностью лёгких ионов щ, т.е. выполнено неравенство где Zi, zi — заряды ионов сортов 1 и 2, соответственно, в единицах заряда электрона е. В этом частном случае решения кинетических уравнений для ионов обоих сортов сводятся к решению кинетического уравнения для электронов. Для написания конкретных аналитических выражений для коэффициентов использовался метод полиномов Сонина, предложенный Барнеттом.

Отметим, что в рамках рассматриваемой модели процессов в плазме сложного химического состава важно не превысить точность.

23)

Диффузия ионов разных сортов относительно друг друга имеет компоненты, обусловленные неоднородностью давления, температуры и различным ускоряющим действием внешних сил (электромагнитного поля) на частицы плазмы [24]. В случае бинарной смеси диффузия от неоднородности давления («pressure diffusion») заключается в стремлении более тяжёлых частиц перемещаться в направлении большего давления. Примером диффузии, обусловленной действием внешних сил («forced diffusion»), является диффузия заряженных частиц плазмы под действием сторонних токов плазмы. Эффект термодиффузии («thermal diffusion») состоит в том, что градиент температуры вызывает пространственное разделение частиц плазмы по массе. Он используется, например, при разделении изотопов.

В переносе тепла электронов и ионов учитываются все диссипативные эффекты, среди которых эффекты Нернста и Эттингхаузена, а так же слагаемые, обусловленные диффузией ионов разных сортов относительно друг-друга. В силу сделанных замечаний для того, чтобы не превысить точность получаемой двужидкостной модели плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов, в уравнениях МГД пренебрегается инерцией электронной компоненты. По той же причине в уравнениях Максвелла (14) для параметров электромагнитного поля Е, В пренебрегается током смещения и полагается выполненным условие электронейтралыюсти вещества.

Важным пунктом в рассматриваемой модели плазмы сложного химического состава является вопрос о поведении входящих в них кинетических коэффициентов тяжёлого сорта ионов при произвольном соотношении концентраций ионов 1-го и 2-го сорта. Этот вопрос становится особенно значимым, если концентрация тяжёлого сорта ионов достаточно мала. Кроме того, уравнения магнитной гидродинамики [71] и все кинетические коэффициенты были получены в предположении равенства нулю плотности сторонних зарядов и плотности сторонних токов в плазме. Хотя в рассматриваемом приближении выражения для кинетических коэффициентов теплопроводности и вязкости не зависят от этого предположения, эти эффекты могут дать определённый вклад в коэффициенты диффузионных потоков, которые в свою очередь влияют на диссипативные потоки импульса и энергии. Решение кинетических уравнений тяжёлого сорта ионов при произвольном соотношении концентраций ионов разных сортов и получение уравнений МГД плазмы сложного химического состава с учётом сторонних зарядов и токов, по существу, является основным содержанием данной диссертационной работы.

Цель, научная и практическая ценность работы

Необходимость проведения настоящей работы продиктована отсутствием на настоящий момент полных адекватных уравнений МГД, позволяющих рассчитать основные характеристики и следствия изложенного в предыдущем разделе процесса, проясняющего роль сложного химического состава в таких явлениях, как перенос тепла и излучения. Построение такой модели и анализ численных результатов полученной на её основании численной модели являются главными задачами диссертации. Основное содержение главы 1 составляет решение кинетического уравнения для ионов тяжёлого сорта плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов с существенно отличающимися массами. Представлялось чрезвычайно важным выяснить выяснить, как ведут себя кинетические коэффициенты теплопроводности и вязкости тяжёлого сорта ионов в предельных случаях, когда один из сортов ионов плазмы является малой примесыо. Принципиальным результатом диссертационной работы (в части главы 1) является то, что полученное решение кинетического уравнения для тяжёлого сорта ионов позволяет получать двухжидкостные уравнения гидродинамики для плазмы из электронов и ионов двух сортов с существенно отличающимися массами и малой примеси любого количества ионов разных сортов (массы которых так же существенно различны) с точно вычисляемыми в рассматриваемом приближении кинетическими коэффициентами. Показано, что в пределе, когда лёгкий сорт ионов составляет малую примесь, кинетические коэффициенты для тяжёлого сорта ионов переходят в соответсвующие выражения, ранее полученные в работе [71].

В главе 2 на основе модели [71] были получены двухжидкостные уравнения МГД для плазмы сложного химического состава, учитывающие влияние сторонних источников электромагнитного поля, что так же является важным достижением данной диссертационной работы. Следует обратить особое внимание на тот факт, что в этой модели не только была учтена плотность стороннего тока, но и полагалась неравной нулю плотность сторонних зарядов. Плазма при этом считалась в целом по-прежнему электронейтральной. Такая модель может быть использована для исследования влияния на эволюцию плазмы пучков заряженных частиц.

С использованием модели стационарного цилиндрически симметричного разряда в плазме было установлено, что относительная концентрация тяжёлого и лёгкого сортов ионов может быть существенно неоднородна в пространстве, что является важным результатом. Важным результатом диссертации (в части главы 3) явилось получение достаточно простого критерия, позволяющего определить, при каких условиях следует ожидать существенно неоднородного распределния примеси в капиллярном разряде.

Практическая ценность представленной работы состоит в следующем:

• Получены все необходимые кинетические коэффициенты для тяжёлого сорта ионов, рассматриваемых в двухжидкостной МГД модели плазмы, состоящей из электронов и ионов с существенно отличающимися массами.

• Построена двухжидкостная двухтемпературная модель плазмы, содержащей два разных по массам сорта ионов, учитывающая эффекты теплопроводности, термодиффузии и вязкостного давления, наличие сторонних зарядов и токов, имеющая обоснованную область применимости.

• Получена численная модель стационарного осесимметричного разряда в плазме, содержащей два сорта ионов с существенно отличающимися массами.

• Получен критерий значимости учтенного эффекта диффузии примеси.

Краткое содержание работы

В главе 1 путём решения кинетического уравнения с использованием разложения функции распределения по малому параметру получены выражения для диссипативных потоков и содержащихся в них кинетических коэффициентов тяжёлого сорта ионов, входящих в уравнения двухжидкостной гидродинамики [71] для плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов.

В параграфе 1.1 рассматриваются процессы, при которых масштабы изменения гидродинамических параметров плазмы значительно больше средних длин пробега частиц плазмы, а относительные коллективные скорости частиц разных сортов, а так же электрическое поле в сопутствующей системе координат, достаточно малы. Общий подход заимствован из работы [71], в которой последовательно из кинетической теории была получена гидродинамическая двухжидкостная модель плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов таких, что масса mi ионов сорта 1 много меньше массы т2 ионов сорта 2. Используется вероятностное описание состояния частиц плазмы, характеризуемое одночастичной функцией распределения f(t, г, v). Электронная часть уравнений взята из [71], там она была получена в приближении, когда средняя длина свободного пробега электронов между столкновениями с ионами значительно меньше характерных масштабов изменения гидродинамических параметров, lei L, масса электронов много меньше массы ионов me <С т*, а е |Е + (l/c)[Ve, В]| lej Те , где Ve и Те — соответственно средняя скорость и температура электронов. Кинетические коэффициенты электронов могут быть выражены через 8 безразмерных функций Gi,2,.,6,8,9(x?0- Изложен метод решения кинетического уравнения для лёгкого сорта ионов, с выражениями для диссипативных потоков и всех необходимых кинетических коэффициентов. Получено кинетическое уравнение для возмущения функции распределения тяжёлого сорта ионов.

В параграфе 1.2 получено решение кинетического уравнения для тяжёлого сорта ионов при произвольном значении параметра W2, указывающего относительную роль 2-1 и 2-2 столкновений. С использованием этого решения получены выражения для потока тепла и тензора вязкостного давления тяжёлого сорта ионов со всеми необходимыми кинетическими коэффициентами, в том числе в форме, не зависящей от выбора системы координат. Кинетические коэффициенты выражены через два матричных элемента обратного оператора столкновений. Показано, что в случае, когда параметр гй2, указывающий относительную роль 2-1 и 2-2 столкновений, существенно больше единицы, новые формулы для кинетических коэффициентов тяжёлого сорта ионов переходят в формулы для соответствующих кинетических коэффициентов, полученные в [71].

В параграфе 1.3 в рамках двух-полиномиального приближения получены формулы для матричных элементов обратного оператора 2-1 столкновений, входящих в выражения для кинетических коэффициентов тяжёлого сорта ионов. Получены приближённые выражения для новых G-факторов Gn,.,i4(X) £), входящих в кинетические коэффициенты тяжёлого сорта ионов, обозначающихся как Гц^.д^х, £)•

В параграфе 1.4 формулируются основные выводы.

В главе 2 получены уравнения МГД для плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов с существенно отличающимися массами с учётом плотности сторонних зарядов рех и плотности сторонних токов jex. При этом считается, что для совокупности плазмы и сторонних зарядов выполнено условие электронейтральности.

В параграфе 2.1 обсуждается проблема совместного решения кинетических уравнений для возмущений функций распределения электронов и ионов 1-го и 2-го сорта, обозначаемых 5fe, 5F\ и 5F2, соответственно. Описанное в главе 1 решение кинетического уравнения для тяжёлого сорта ионов позволяет получить уравнения МГД плазмы, состоящей из электронов и ионов двух сортов, со всеми необходимыми транспортными коэффициентами, справедливыми при произвольном соотношении концентраций ионов разных сортов. Обсуждается критерий электронейтральности совокупности плазмы и сторонних зарядов. Выписана полная система уравнений, необходимых для получения двухжидкостной модели плазмы, состоящей из электронов и 2-х сортов ионов, с определениями макроскопических параметров плазмы: скоростей ионов сорта 1 и 2, плотности тока плазмы, плотности электрического заряда.

В параграфе 2.2 путём решения условия совместности векторных компонент кинетических уравнений для разных сортов ионов получено выражения для потока примеси q^i в терминах основных МГД параметров плазмы, а так же выражения для всех входящих в него кинетических коэффициентов. Здесь и далее мы предполагаем, что в плазме может присутствовать сторонний электрический заряд.

В параграфе 2.3 выписана конечная форма замкнутой системы двухжидкостных двухтемпературных уравнений МГД плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов. Учтена плотность сторонних зарядов рех и плотности сторонних токов jex. Дана конечная форма электронных гидродинамических уравнений. Отметим, что эти уравнения не содержат эффектов инерции электронного газа, а члены вязкости имеют упрощенную форму. Объяснения были даны во введении. Даны выражения для электронных диссипативных потоков, входящих в электронные МГД уравнения, таких как электронный поток тепла, электрон-ионная сила трения, электронная вязкость, скорость теплообмена между ионами и электронами. Дано уравнение электронной энтропии. Выписана конечная форма ионных гидродинамических уравнений. Даны выражения для ионных диссипативных потоков, входящих в ионные МГД уравнения, таких как ионный поток тепла, ионная вязкость и поток примеси. Выписаны выражения для всех необходимых кинетических коэффициентов. Получены уравнения для электромагнитного поля, совместные с предположениями, при которых были получены уравнения МГД.

В параграфе 2.4 обсуждается связь полученных уравнений МГД плазмы из электронов и двух сортов ионов с существенно отличными массами с уравнениями МГД Брагинского. Приведены результаты серии численных расчётов для характерных значений параметров, входящих в кинетические коэффициенты для потока тепла ионов 2-го сорта, показано, что в случае, когда параметр й)2, указывающий относительную роль 21 и 2-2 столкновений, существенно больше единицы, новые формулы для кинетических коэффициентов тяжёлого сорта ионов переходят в формулы для соответствующих кинетических коэффициентов, полученные в [71]. Исследована асимптотика G-факторов тяжёлого сорта ионов при W2 ► оо, w2 —> 0. Продемонстрирована возможность получения точных аналитических выражений для кинетических коэффициентов без использования двух-полиномиалыюго приближения в случае, когда параметр и>2, указывающий относительную роль 2-1 и 2-2 столкновений, существенно меньше единицы. Оказывается, что ввиду диагональности матрицы обратного оператора 2-1 столкновений кинетические коэффициенты, полученные в рамках двух-полиномиального приближения, совпадают с точным решением при щ ► 0. Исследуется поведение кинетических коэффициентов ионов 1-го и 2-го сорта в двух предельных случаях, когда либо щ —► 0, либо щ —> 0.

В параграфе 2.5 сформулированы основные результаты.

В главе 3 в рамках уравнений двухжидкостной магнитной гидродинамики представлена стационарная осесимметричная модель [73] плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов с существенно отличающимися массами, ограниченной стенками цилиндрического канала, в условиях, типичных для Z-пинчей и капиллярных разрядов. Численно показано, что в ряде случаев может иметь место заметное изменение концентрации тяжёлых ионов вдоль радиуса. Получен простой критерий, позволяющий определять условия, при которых изменения относительной концентрации тяжёлой примеси в плазме будут достаточно большими. Продемонстрирована возможность существенно неоднородного распределения ионов разных сортов относительно друг-друга.

В параграфе 3.1 сформулирована постановка задачи стационарном разряде с цилиндрически-симметричной конфигурацией плазмы в отсутствии аксиального магнитного поля. Детально рассмотрены данные для построения численной модели такие, как граничные условия для макроскопических параметров плазмы. Приведено краткое описание методики определения степеней ионизации ионов. Обсуждается вопрос выбора однотемпературного приближения.

В параграфе 3.2 представлены численные модели для равновесного Z-пинча с учётом переноса примеси. Детально рассмотрены граничные условия, необходимые для построения численной модели. Считается, что разряд не отрывается от стенок. Приведён расчёт одной из полученных равновесных конфигураций. Обсуждается вопрос оценки соотношения ионов разных сортов в пристеночной области.

В параграфе 3.3 получен критерий, позволяющий определить условия, при которых изменения относительной концентрации ионов разных сортов в капиллярных разрядах будет достаточно большим. На основе анализа критерия выполнен расчёт в условиях, когда полное число тяжёлой примеси относительно мало. Обсуждаются полученные результаты. Сделана грубая оценка характерного времени установления равновесия в плазме в рассматриваемых условиях.

В параграфе 3.4 сформулированы основные результаты.

В заключении приводятся основные результаты диссертации, выносимые автором на защиту.

В приложении А дан обзор основ используемого метода получения МГД уравнений плазмы. Изложены общие свойства кинетического уравнения, а так же методы его решения, среди которых рассмотрены метод Гильберта, метод Чепмена—Энскога и метод Брагинского.

В приложении Б изложен используемый метод разложения интеграла столкновений по малым параметрам.

В приложении В дан полный набор необходимых определений, касающихся сферического представления векторов, тензоров и функций.

В приложении Г приведены приближённые аналитические выражения для G-факторов Gfi,2,.,6,8,9 в двух-полиномиальном приближении.

Основные результаты диссертации, выносимые автором на защиту.

1) Получены все необходимые кинетические коэффициенты для тяжёлого сорта ионов, рассматриваемых в двухжидкостной МГД модели плазмы, состоящей из электронов и ионов с существенно отличающимися массами.

2) Построена модель с обоснованной областью применимости, учитывающая эффекты теплопроводности, термодиффузии и вязкостного давления в плазме, содержащей два разных по массам сорта ионов, с учётом сторонних зарядов и токов. Предлагаемая модель описывает плазму, как среду с двумя жидкостями, ионной и электронной, каждая из которых обладает своей плотностью, макроскопической скоростью и внутренней энергией. Таким образом, ионы в данной модели описываются как одна жидкость.

3) Рассмотрено простейшее равновесное решение этой системы уравнений в случае аксиально-симметричной конфигурации плазмы и магнитного поля. Результаты численных расчетов показывают, что в ряде случаев может иметь место заметное изменение концентрации тяжёлых ионов по радиусу. На примере капиллярных разрядов получен критерий значимости учтенного эффекта диффузии примеси: изменение относительной концентрации примеси в рассматриваемом нами приближении определяется изменением температуры и параметром <;, который выражается как явная функция параметров плазмы. При изменении температуры относительное изменение концентрации примеси будет определяться характерной величиной коэффициента с. Если при этом характерные значения с порядка, или заметно больше 1, то это будет означать сильное изменение равновесной концентрации примеси в капиллярном разряде. Величина с зависит в основном от отношения концентраций ионов при их фиксированных зарядах.

Автор признателен сотрудникам ИТЭФ: д.ф.-м.н. П.В. Сасорову за внимание, проявленное к работе и ценные замечания, д.ф.-м.н. М.М. Баско и к.ф.-м.н. Н.А. Бобровой за полезные обсуждения.

Отдельно хочется поблагодарить сотрудников МФТИ: декана ФОПФ д.ф.-м.н. Ф.Ф. Каменца и к.ф.-м.н. Е.П. Кузнецова за помощь при написании работы и обсуждение результатов.

Заключение

1. Langmuir 1. Oscillations in ionized gases // Proc Natl Acad Sci USA.— 1928.—Vol. 14.-8.-P. 627-637.

2. Isler R.C., Brooks N.H., West W.P. et al. Spectroscopic analysis of normal and reversed ion flows in the DIII-D divertor // Phys. Plasmas.— 1999.—Vol. 6.-P. 541.

3. Lazarus E.A., Bell J.D. and Bush C.E. et al. Confinement improvement in beam heated ISX-B discharges with low-z impurity injection // J. Nucl. Mater.-1984.-Vol. 121-P. 61.

4. Singh R., Kaw P.K., Rogister A. and Tangri V. Radiatively Improved Mode in a Tokamak: a theoretical model // Proceedings of the 20th IAEA Fusion Energy Conference.—2004.

5. Сорокина Е.И., Блинников С.И., Косенко Д.И., Лундквист П. Динамика и излучение молодых остатков сверхновых типа 1а: важные физические процессы // Письма в астрономический журнал.—2004.— Т. 30.-11.-С. 812-826.

6. Zdravkovic D., Coppins М., Bell A.R. The effect of radial dynamics on the stability of diffuse profile Z pinches // Physics of Plasmas—2001.— Vol. 8.-2.-P. 564.

7. Sarkisov G.S., Bauer B.S., De Groot J.S. Homogeneous Electrical Explosion of Tungsten Wire in Vacuum // JETP Letters.-2001.-Vol. 73-P. 69-74.

8. Rocca J.J. Table-Top Soft x-Ray Lasers // Rev. Sci. Instrum.—1999.— Vol. 70.—P. 3799.

9. Butler A., Spence D.J. and Hooker S.M. Guiding of High-Intensity Laser Pulses with a Hydrogen-Filled Capillary Discharge Waveguide // Phys. Rev. Lett.-2002.-Vol. 89.-P. 185003.

10. Kaganovich D., Ting A., Moore C.I. et al. High efficiency guiding of ter-awatt subpicosecond laser pulses in a capillary discharge plasma channel // Phys. Rev. E.-1999.-Vol. 59.—P. R4769.

11. Sanford T.W.L., Mock R.C., Spielman R.B. et al. Increased x-ray power generated from low-mass large-number aluminum-wire-array Z-pinch implosions // Physics of Plasmas-1998.-Vol. 5.-10.-P. 3737.

12. Sanford T.W.L., Allshouse G.O., Marder B.M. et al Improved Symmetry Greatly Increases X-Ray Power from Wire-Array Z-Pinches // Phys. Rev. Lett.-1996.-Vol. 77.-P. 5063.

13. Шлиомис М.И. Магнитные жидкости // Успехи физических наук.— 1974.—Т. 112.—вып. 3.

14. Альфвен X. Космическая электродинамика // М.: Изд. иностр. лит., 1952.

15. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability.—Oxford: Clarendon Press, 1961.

16. Имшенник B.C., Боброва H.A. Динамика столкновительной плазмы.—M.: Энергоатомиздат, 1997.

17. Коган М.Н. Динамика разреженного газа.—М.: Наука, 1967.

18. Tonks L., Langmuir I. Oscillations in ionized gases // Phys. Rev.—1929.— Vol. 33.-P. 195.

19. Ландау Л.Д. Кинетическое уравнение в случае кулоновского взаимодействия // Журн. эксперим. и теор. физ.—1937.—Т. 7—С. 203.

20. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П., Физическая кинетика.—М.: Наука, 1979.

21. Власов А.А. О вибрационных свойствах электронного газа // ЖЭТФ.-1938.-Т. 8.-3.-С. 291.

22. Hilbert D. Begrundung der kinetischen Gastheorie // Mathematische Annalen.-1912.-Vol. 72-P. 562-577.

23. Enskog D. Kinetische theorie der Vorange in massig verdunnten Gasen // I Allgemeiner Teil / Almqvist and Wiksell—Uppsala, 1917.

24. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов.—Москва: ИЛ, 1960.

25. Burnett D. The Distribution of Molecular Velocities and the Mean Motion in a Nonuniform Gas // Proc. Lond. Math. Soc.-1935.-Vol. 40.-P. 382.

26. Cowling T. G. Conductivity of an ionised gas, with applications // Proc. R. Soc. London.-1945.-Vol. 183, Sec. A.-P. 453.

27. Landshoff R. Transport Phenomena in a Completely Ionized Gas in Presence of a Magnetic Field 11 Phys.Rev.-1949.-Vol. 76.-P. 904.

28. Брагинский С.И. Явления переноса в полностью ионизованной двухтемпературной плазме // ЖЭТФ.—1957.—Т. 33.—вып. 2.—С. 458.

29. Shkarofsky I.P. Values of the transport coefficients in a plasma for any degree of, ionization based on a Maxwellian distribution // Can. J. Phys.— 1961.—Vol. 39.—P. 1619.

30. Kaneko S. Transport Coefficients of Plasmas in a Magnetic Field // J. Phys. Soc. Jpn.-1960.-Vol. 15.—P. 1685.

31. Feneberg W. and Fisser X. // in Proceedings of the Seventh International Conference on Phenomena in Ionized Gases.— Belgrade, 1965.—Vol. 11 — P. 63-69.

32. Gorban A.N., Karlin I.V. and Zinovyev A.Yu. Constructive Methods of Invariant Manifolds for Kinetic Problems // Phys. Rep.—2004.— Vol. 396.—P. 197-403.

33. Grad H. On the Kinetic Theory of Rarefied Gases // Commun. Pure Appl. Math.-1949.-Vol. 2.-P. 331-407.

34. Grad H. //in Handbuch der Physic.—Berlin.—Springier Verlag.—Bd 12.— 1956.—P. 205 ; Термодинамика газов: Рус. пер./ Под ред. B.C. Зуева.— М. Машиностроение, 1970.

35. Алиевский М.Я., Жданов В.М. // Журн. прикл. мех. и техн. физ.— 1963.-5.-С. И.

36. Жданов В.М., Каган Ю., Сазыкин A. j j Журн. эксперим. и теор. физ.—1962.—Т. 42.—С. 857.

37. Hochstim A.R. //in Proceedings of the Seventh International Conference on Phenomena in Ionized Gases (Belgrade, 1965) / edited by B. Perovic and D. Tosic.—Belgrade: Gradevinska Knjiga, 1966—Vol. 11.—P. 75—79.

38. Hochstim A.R. //in Proceedings of the Eighth International Conference on Phenomena in Ionized Gases (Vienna, 1967) / edited by H.Bertele and F.P.Viehbock.—Vienna: Springer, 1967.-P. 304.

39. Cohen R.S., Spitzer L., Routly Jr. and P. McR. The electrical conductivity of an ionized gas. // Phys. Rev.-1950.-Vol. 80.-2.-P. 230-238.

40. Spitzer L. and Harm R. // Phys. Rev.-1953.-Vol. 89.-P. 977.

41. Schliiter. A. // ZS. Naturforsch.-1950.- 5a, 72,

42. Bobrova N.A., Bulanov S.V., Esaulov A.A. and Sasorov P.V. Capillary Discharges for Guiding of Laser Pulses // Plasma Physics Reports-January 2000.—Vol. 26.—Issue l.-P. 10-20.

43. Боброва H.A., Буланов С.В., Разинкова Т.Л., Сасоров П.В. Динамика пинчевого разряда в тонком канале // Физика Плазмы.—1996.— Т. 22.-5.-С. 387-402.

44. Bobrova N.A., Esaulov A.A., Sakai J.I. et al. Simulations of a hydrogen-filled capillary discharge waveguide // Phys. Rev. E.—2001.—Vol. 65.— P. 016407.

45. Ki-Tae Lee, Dong-Eon Kim and Seong-Ho Kim Shock model for the reversed current flow in a z-pinch plasma // JKPS.—2002,—Vol. 40.— P. 214.

46. Myra J.R., D'lppolito D.A., Xu X.Q. and Cohen R.H. MHD and Fluid Instabilities at the Plasma Edge in the Presence of a Separatrix and X-Point // Plasma Edge Theory (PET-7) Workshop in Tajimi (October 4—6th) Contributions to Plasma Physics.—Japan.

47. Balbus, Steven A. Convective and Rotational Stability of a Dilute Plasma 11 The Astrophysical Journal.-Vol. 562, Issue 2.-P. 909-917.

48. Rognlien T.D. and Ryutov D.D. Analysis of classical transport equations for the tokamak edge plasma // Contr. Plasma Phys.—1998.—Vol. 38.— P. 152.

49. Ball R. A unified dynamical model for plasma confinement transitions // preprint.

50. Epperlein E.M. and Haines M.G. Plasma transport coefficients in a magnetic field by direct numerical solution of the Fokker—Planck equation // Phys. Fluids.-1986.-Vol. 29.-P. 1029.

51. Боброва H.A., Сасоров П.В. МГД уравнения для полностью ионизованной плазмы сложного состава // Физика Плазмы—1993.— Т. 19.—вып. 6.-С. 789.

52. Sugimoto Т., Matsubara A. Study of Impurity Transport Parallel to the Magnetic Field Lines with the Use of TPD-II //J. Plasma Fusion Res. SERIES.-2004.-Vol. 6.-P. 723-726.

53. Porter G.D., Isler R., Boedo J. and Rognlien T.D. Detailed comparison of simulated and measured plasma profiles in the scrape-off layer and edge plasma of DIII-D // Phys. Plasmas.-2000.-Vol. 7.-P. 3663.

54. Zaniol В., Isler R.C., Brooks N.H., West W.P., Olson R.E. Measurements of С V flows from thermal charge-exchange excitation in divertor plasmas // Phys. Plasmas.-2001.-Vol. 8.-P. 4386.

55. Isler R.C., Colchin R.J., Brooks N.H., Evans Т.Е., West W.P., Whyte, D. G. Spectroscopic determinations of carbon fluxes, sources, and shielding in the DIII-D divertors // Phys. Plasmas.-2001.-Vol. 8-P. 4470.

56. Pugno R., Kallenbach A., Bolshukhin D. et al. Spectroscopic investigation on the impurity influxes of carbon and silicon in the ASDEX upgrade experiment // J. Nucl. Mter.-2001.-Vol. 290-293.-P. 308.

57. Shimizu К., Kubo H., Takizuka Т., et al. Impurity transport modelling and simulation analysis of impurity behavior in JT-60U // J. Nucl. Mater.-1995.-Vol. 220-222.-P. 410.

58. Haddad E., Meo F., Marchand R. et al. Interpretation of the impurity distribution in the divertor during divertor plate biasing using the DI-VIMP code. // J. Nucl. Mater.-2000.-Vol. 278.-P. 111.

59. West W.P., Porter G.D., Evans Т.Е. et al. Modeling of carbon transport in the divertor and SOL of DIII-D during high performance plasma operation. // J. Nucl. Mater.-2001.-Vol. 290-293.-P. 783.

60. Shoucri M. Charge separation at plasma edge in the presence of impurity ions // 26^ EPS Conf. on Contr. Fus. and Plasma Phys — Maastricht, 1999.—Vol. 23J.-P. 313.

61. Lazaurus E.A., Bell J.D. and Bush C.E. et al Confinement in Beam-Heated Plasmas: The Effect of Low-z Impurities // J. Nucl. Fusion.— 1985.—Vol. 25.—P. 135.

62. Висповатый-Коган Г. С. Перенос тепла и диффузия в частично ионизованной двухтемпературной плазме // ПМТФ.—1964,—3.— С. 43.

63. Висповатый-Коган Г. С. Вязкость частично ионизованной двухтемпературной плазмы // ПМТФ.—1965.—2.—С. 74.; Висповатый-Коган Г. С. Изотропные поправки к максвелловским функциям распределения в плазме и скорость обмена энергией // ПМТФ.—1965.—3.—С. 74.

64. Vekshtein G.E. Magnetothermal processes in dense plasma // Reviews of Plasma Physics.-1990.-Vol. 15.-P. 1.

65. Гордеев А.В. Гидродинамическая модель проникновения магнитного поля в плазму с двумя сортами ионов // Физика плазмы.—2001.— Т. 27.-8.-С. 700.

66. Жданов В.М. Явления переноса в многокомонентной плазме.—М.: Энергоатомиздат, 1982.

67. Dux R., Peeters A.G., Gude A. et al. Z dependence of the core impurity transport in ASDEX Upgrade H mode discharges // Nucl. Fusion.— 1999-Vol. 39.—P. 1509.

68. Weynants R.R., Messiaen A.M., Ongena J. et al Overview of radiative improved mode results on TEXTOR-94 // Nucl. Fusion-1999 -Vol. 39.—P. 1637.

69. Tang a A., Behringer K.H., Costley A.E. et al Magnetic separatrix experiments in JET // Nucl. Fusion.-1987.-Vol. 27.-P. 1877.

70. Simonini R., Feneberg W. and Taroni A. // Proc. of 12th EPS Conf. on Contr. Fus. and Plasma Phys.-Budapest, 1985 -Vol 9F, part II.-P. 484.

71. Bobrova N.A., Lazzaro E. and Sasorov P. V. Magnetohydrodynamic two-temperature equations for multicomponent plasma // Phys. Plasmas.— 2005 -Vol. 12.—P. 022105.

72. Шафранов В.Д. // Физика плазмы и проблемы управляемых термоядерных реакций / Под ред. М. А. Леонтовича.—М.: Изд-во АН СССР, 1958.—Т. 2.

73. Кочарян А.Э., Боброва Н.А., Сасоров П.В. Неоднородность химического состава плазмы в капиллярных разрядах // Физика Плазмы.—2006.—Т. 32.-11.-С. 963-972.

74. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике.—М.: Наука, 1987.

75. Митчиер М., Кругер Ч. Частично ионизованные газы.—М.: Мир, 1976.

76. Franklin R.N. Plasma Phenomena in Gas Discharges.—Oxford: Clarendon, 1976.

77. Сиикевич О.А., Стаханов И.П. Стационарные процессы в частично ионизованном газе // Физика плазмы,—М.: Высшая Школа, 1991.

78. Справочник по специальным функциям. / Под ред. М. Абрамовица, И. Стигана—М.: Наука, 1979.

79. Боброва II.А., Кочарян А.Э. и Сасоров П.В. Кинетические коэффициенты для тяжёлой примеси в многокомпонентной плазме // Физика Плазмы—принято в печать ;

80. Боброва Н.А., Кочарян А.Э., Лаззаро Э. и Сасоров П. В. Двухжидкостные МГД-уравнения для плазмы сложного химического состава // (ИТЭФ; Препринт)

81. Кочарян А. Кинетические коэффициенты тяжёлого сорта ионов в многокомпонентной плазме—Москва, 2006.-20 С. (ИТЭФ; Препринт 11—06).

82. TFR Group Are heavy impurities in TFR Tokamak plasmas at ionization equilibrium? 11 Plasma Phys.-1980.-Vol. 22.-P. 851-860.

83. Ueda N., Tanaka M., Kikuchi M. and Seki Y. Method of power handling in tokamak power reactors // Nucl. Fusion—1992.—Vol. 32.—P. 1037— 1042.

84. Tokar M.Z., Rapp J., Bertschinger G. et al // Nucl. Fusion-1997-Vol. 37.—P. 1691-708.

85. Romanelli M. and Ottaviani M. Effects of density asymmetries on heavy-impurity transport in a rotating tokamak-plasma // Plasma Physics and Controlled Fusion-1998-Vol. 40.-10.-P. 1375.

86. Тимохин B.M., Кутеев Б.В., Сергеев В.Ю. Исследование выключения тока в токамаке Т-10 методом пеллет-инжекции // Письма в ЖТФ-2001.-Т. 27.-вып. 18.-С. 83.

87. Tajima Т., Sprangle P., Esarey Е. Nonlinear interaction of intense laser pulse in plasma // Phys. Rev. A.-1990.-Vol. 41.-P. 4463.

88. Chou T.C., Katsouleas Т., Decker C.D., Mori W.B., Wurtele J.S., Shvets G., Su J.J. Laser Wake Field Acceleration and Optical Guiding in a Hollow Plasma Channel // Phys. Plasmas.-1995.-Vol. 2.-P. 310.

89. Ehrlich Y., Cohen C., Zigler A. et al. Guiding of High Intensity Laser Pulses in Straight and Curved Plasma Channel Experiments // Phys. Rev. Lett.-1996.-Vol. 77.-P. 4186.

90. Kaganovich D., Sasorov P., Cohen C., Zigler A. Variable Profile Capillary Discharge for the Improved Phase Matching in a Laser Wakefield Accelerator // Appl. Phys. Lett.-1999.-Vol. 75.-P. 772.

91. Spence D.J., Hooker S.M. Investigation of a hydrogen plasma waveguide // Phys. Rev. E.-2001.-Vol. 63.-P. 015401(R).

92. Bobrova N.A., Esaulov A. A., Sakai J.I. et al. Simulations of a hydrogen-filled capillary discharge waveguide // Phys. Rev. E.—2002—Vol. 65— P. 016407.

93. Боголюбов H.H. Проблемы динамической теории в статистической физике // ЖЭТФ.—1946.—Т. 16.-вып. 8.-С. 691.

94. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. // Квантовая Механика— М.: Физматгиз, 1963.

95. Климоитович Ю.Л. Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной плазмы—М.: Наука, 1975.

96. Силин В. П. Введение в кинетическую теорию газов—М.: Наука, 1971.

97. Chandrasekhar S. Dynamical Friction. I. General Considerations: the Coefficient of Dynamical Friction // Astrophys. J—1943—Vol. 97.-P. 255263.