Эффективные конечные элементы континуума в нелинейных прочностных расчетах высоконапряженных конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

московский физико-технический институт

На правах рукописи

буеинов Павел Анатольевич

ЭИЕКТИЗШЕ КОНЕЧНЫЕ ЯШЕМЕНТН КОНТИНУУМА В НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТАХ ВиСОКОНАПРЯЖЕНИК КОНСТРУКЦИИ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тола

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических ¡наук

М О С К :в А - I .9 9 2

Работе ваполвенз в mockoeckov £азкко - технической, института.

Научный руководитель: каидвда? флзико - иатемзтических наук

П&шгекга Н.Г.

Официальные о.июкашц: доктор физкко - математических наук Бондарь B.C.

доктор технических наук Ыалшин А.А.

Ведущая организация: KKJ НПО "Эноргонаа" г.Химки

Защита диссертации состоится Щ£0Щ 1А401СЯ 1992 г. в час.

_ мин. не заседании специализированного совета K-063.9I.05 по

присуждению ученой степени кандидата наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела при Московском физию - техническом институте по адресу: I4I700, Ыоск.обл., г. Долгопрудный, Институтский переулок, 9, Ы4ТИ.

о

С диссертацией можно ознакомиться л библиотеке Московского физико-технического института. Автореферат разослан ■^UG-Я 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

КЛ.и. К.Г.Смоляков

- 1 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

V: • АКТУАЛЬНОСТЬ ТОМ. Конечноэлементный прочностной анализ является неотъемлемой частью создания и совершенствования различных машиностроительных конструкций. Множественность аспектов вычислительного моделирования деформационных явлений предполагает существование адекватного программного обеспечения. Наличие в кахдой отдельной организации большого числа программ, решающих частные задачи, со многих точек зрения становится все более невыгодным. Постоянно усложняющиеся условия эксплуатации конструкций заставляют применять исследователей все более и более сложные нелинейные модели реальных процессов деформирования со всеми вытекающими отсюда проблемами. Разработка мощных вычислительных систем достаточно общего назначения, использующих самые современные численные методы механики деформируемого твердого тела, была и остается актуальной и приковывающей внимание специалистов во всем мире.

ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является разработка конечноэлементной системы общего назначения для решения статических и динамических, нелинейных и линейных задач термопрочности конструкций; разработка новых эффективных смешанных конечных элементов; разработка и реализация в системе современных математических и технических средств, повышающих эффективность расчетов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. В диссертации описана конечноэлементная система ТЕРМОПГОК, основными отличительными достоинствами которой являются смешанные элементы континуума и. широкие вычислительные возможности для решения нелинейных задач. Исходная смешанная формулировка метода перемещений - давлений Суссмана и Бате для анализа слабосжимаемых материалов распространена на некоторые случаи зависимости модуля объемного сжатия от степени сжатия. Исходная геометрически линейная смешанная формулировка Сто и Рифаи для получения изгибно суперсходящихся аппроксимационно линейных элементов континуума распространена на геометрически нелинейный случай и квадратичные элементы.

Некоторые версии программы сдаъз! в ОФАП САПР, внедрены на

предприятиях машиностроительного комплекса России и интенсивно используются в ЩШМЛШ. С их помощью отработана прочность многих реальных конструкций.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Осноьнно результаты диссертации доложены на научных конференциях №1>ТИ (I9C6, 1989, 1990), научно-технической конвенции молодых специалистов ЦНМШАШ (1988), III Уральском семинаре по проблемам проиктировпния конструкций е г. Мнассв (1989), международной конфоронции "Космонавтика - 21 век" (1991).

ПУБЛИКАЦИИ. По томе диссертации опубликовано 5 работ.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем - 142 страницы машинописного текста, включая 37 рисунков и 35 таблиц, 114 литературных ссылок.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ВВЕДЕНИИ содержится краткое обоснование актуальности работы, обзор литературы, сформулированы цели и задачи работы, ее научное и практическое значение.

ПЕРВАЯ ГЛАВА работы состоит из 3-х частей. В ПЕРВОЙ ЧАСТИ ГЛАВУ приведены общие уравнения нелинейного деформирования сплошной среды и их линеаризация для метода перемещений, иллюстрируюнуш линейную и нелинойные общую и модифицированную лагранжовы формулировки ТЕШОНРОКа.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ ГЛАШ I посвящена предлагаемой модификации смешанной формулировки метода перемещений - давлений Суссмана и Бате (1987). Стандартный принцип виртуальных перемещений записывается в виде

J СИ dV - J S : SE (IV = R .

Q Q

Здесь R - внешняя виртуальная работа e womoht времени или для

уроЕня нагрузки t, S - второй тензор напряжений Пио.пы-Кирхгофа, 6Е

- вариация тензора деформаций Грина-Лагранжа, W - так называемый инкрементальный потенциал, [1 - начальный объем тела. Черта сверху над символом означает, что данная величина вычислена непосредственно из перемещений, например, напряжения через

деформации но закону Гуна. Отдельно интерполируемое давление

обозначается символом р и считается вместо с р положительным irpn сжатии. Суссман и Бате получашт модифицированный инкрементальный потенциал в виду

W + Q - W---i---( р - р )*,

2 Р( р )

где

Р(.) =--!— tr ( р -Л рт )

3 J н

-линейльй оператор, позволяющий получить давление из перемещения:

р = РОЯ).

Здесь Р - градиент диформаций, J = uet F, ir - оператор следа. В результате рассуждений автори приходят к уравнению

Рг (р) = Р(Р(р) ) - О, нредсташшюдему, по их мменио, основное ограничение u/p -формулировки на шд определяющих соотношений в конкретной модели материала. Для изотрошюго материала, нагфимер, величина Р(р) физически есть модуль объемного сжатия К, и последнее урашюние требует независимости К от степени деформирования.

Предлагаемая модификация формулировки Суссмана и Бате состоит ь замене давления, получаемого из перимещениЯ, на отдельно интерполируемое давление не априйри заданием модифицированного потенциала, а апостериори с помощьи шже следу щих формул. Фактически кш имеем один из вариантов формулировок галеркинского типа. Ограничение Р2(р)=0 при атом снимается без всякого изменения Q. Принцип виртуальных перемещений теперь принимает вид

J S : ÖE (IV - R

О ~

вместе с уравнением, связивающим р и р:

0

Здесь

J -i--( р - р ) 0 р dV = 0.

Р( Р )

S = S -

( р - р ) , Р( D ) <3 в

-LP - PJ:

¿•(Pip) )

2 [ Р(р)]г <» Е

Результатом рошения задачи яьляитсн компоненты иапрншниЛ Коии о:

о=о+(р-р)-в, гда о получены из Б обычным образом, £ - метрический тензор окружающего пространства. При Р(р)=сопзг в качестве частного случая мы получаем исходную формулировку Суссмана и Бате.

Приведены уравнения для двух простейших моделей изотропных материалов с зависимостью модуля объемного сжатия от степени сжатия. Отмечено, что наличие в формулах вторых и третьих производных модуля объемного сжатия по своему параметру иногда приводит к трудностям со сходимостью ньютоновских методов решения нелинейных задач.

В ТРЕТЬЕЙ ЧАСТИ ГЛАВЫ I смешанный метод перемещений -деформаций Симо и Рифаи (1990) обобщается на геометрически нелинейный случай и квадратичные алименты континуума. Напряжения исключаются из исходного трехполевого нелинейного принципа Ху-Васидзу с помощью условий Ь - ортогональности к деформациям.

Для линейного четырехугольника и в геометрически нелинейном случае для аппроксимации дополнительных деформаций в элементе мы используем 5а матрицу Е Симо и Рифаи:

г 0 0 0 га

В(С) = 0 а 0 0 -гз

0 0 г а г'-в'

В трехмерном случав получается 15а матрица К, первые 9 столбцов которой соответствуют трехмерной версии 9а модифицированного

несовместного четырехугольника ОНб Тейлора с соавторами:

" г 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ГЗ 0 -гг

0 в 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -ГБ аг 0

Е = 0 0 1 0 0 0 0 0 о 0 0 0 0 -аг гг

0 0 0 г 0 0 8 0 0 гг ег 0 г*-в' 0 0

0 0 0 0 а 0 0 0 0 гз гг 0 в'-г2 0

. 0 0 0 0 0 г 0 0 Г га 0 81 0 0 г*-г*

Эффективным оказывается также элемент Н8А12, использующий только первые 12 столбцов матрицы Е. В обозначениях элементов первая буква означает тип элемента: Н - гексаэдр (кубик), 0 -четырехугольник, Т - треугольник. Число после первой буквы есть

количество узлов в элементе. Буква А обозначает элемент метода перемощений - деформаций с последующим числом внутриэлементных параметров деформаций.

Детальное рассмотрение мод деформаций для двумерного восьииузлового (довятиузлового) четырехугольника обнаруживает возможность добавления к компонентам деформаций членов, пропорциональных гз, что дает в результате элемент 08АЗ (09АЗ). Для получения физических компонентов тензоров из изопараметрических по-прежному используется одноточечное центральное пребразование. Осесимметричный элемент совпадает с плоским. В квадратичных треугольниках к деформациям добавляется член с гз(1-г-з)-1/120, что соответствует элементам Т6АЗ и Т7АЗ. В трехмерном случав добавление гз ко всем шести компонентам деформаций дает элементы Н20А6 и Н27А6. Указанные элементы удовлетворяют кусочному тестированию, условию устойчивости и являются ашгроксимационно изотропными.

С помощью ограничительных принципов подтверждена неэффективность применения указанных идей в треугольных и тетраэдральных симплекс-элементах.

Практические расчеты показывают, что в некоторых слаОоекимаемых нелинейных задачах радиус сходимости ньютоновских методов у элементов метода перемещений - деформаций бывает значительно меньше, чем у элементов метода перемещений - давлений. Здесь отчетливо видна необходимость разработки элементов, среди внутриэлемонтных параметров которых имеются не только дополнительные деформации, но и давление одновременно.

Во ВТОРОЙ ГЛАВЕ описаны основные компоненты системы ТЕРМОПРОК.

Автоматизированный ввод информации включает в себя автоматизированное построение сетки конечных элементов и задание на ней условия задачи. Сетка строится пофрагментно с пристыковкой каждого следующего фрагмента к укэ существующей сетке по признаку совпадения координат узлов с точностью до е. Сетки двухузловых элементов фермы, четырехугольных двумерных элементов континуума и трехмерных элементов строятся на фрагменте с помощью параметрического преобразования. Сетки треугольников в плоской ограниченной многосвязной области после задания граничных узлов строятся алгоритмом стягивания текущего контура автоматически.

Глобальная система линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов при вместимости всей необходимой информации в основную память ЗИЛ решается профильным методом. Если вся необходимая информация не помещается целиком ь основную память ЭВМ, то блоки ленты матрицы хранятся на внешней памяти, все блочные манипуляции с элементами матрицы проводятся только внутри профиля.

Линейные ограничения общего вида на перемещения в узлах В1 и = 6(1)

реализуются специальными тинами элементов с помощью метода штрафа. Как чаетзшй случай сюда входят задание ньнулнних перемещений в отдельных узлах в направлениях глобальных оииЯ координат или перемещения в направлении, не совпадающим с направлением какой-либо из глобальных осей; двухузловыо ограничения геометрической периодичности в конструкции при вращении вокруг оси X:

соз а -ы1п а

з!п а соз а

Последние оказываются полезными, например, при решении задач прочности лопаточных турбин. Для решения статической задачи с периодическими условиями достаточно рассмотреть сектор, соответствующий только одной лопатке.

Библиотека конечных элементов описываемой версии ТЕРМОПРОК состоит из следующих типов элементов:

1) двухузловые элементы фермы, работающие только на растяжение-сжатие;

2) двумерные мзопараметрические четырехугольные и треугольные элементы континуума с числом узлов от 4 до 9 (треугольники - от 3 до 7);

3) трехмерные изопараметрические и субпараметрические элементы континуума с числом узлов от 8 до 27 (куоики, трехгранные

1 призмы, тетраэдры);

4) элементы для задания перемещений с помощью метода штрафа (способ Пейна-Айронса);

5) пространственные изопараметрические оболочечные элементы с числом узлов от 4 до 16 (в настоящей работе не рассматриваются) ;

6) элементы для задания линейных ограничений общего вида на перемещения в узлах методом штрафа; число ограничений и

узлов с ограничениями произвольно: 7) частный случай элемента типа 6 для задания линейных ограничений геометрической периодичности в конструкции.

Имеется несколько видов двумерных и трехмерных элементов континуума (элементы типов 2 ч 3):

1) стандартный метод перемещений;

2) гибридный полностью линейный метод перемещений-напряжений -- элементы Пиана с соавторами;

3) смешанный метод перемещений-деформаций - элементы Симо и Рифаи, распространенные н ТЕГМОПРОКе на геомотрически нелинейные формулировки*(часть 3 1лавы I);

4) смешанный метод перемещений-давлений - и/р-формулировка Суссмана и Бате для расчета слабосжимаомых материалов, распространенная в ТЕРМОПРОКе на случай перемешюго в зависимости от степени сжатия модуля объемного сжатия (часть 2 главы I).

Элементы видов 2 и 3 обладает свойством так называемой изгибной сушроходимости, обеспечивая, например, практически точное решение об изгибе балки с помощью всего одного слоя прямоугольных четырехугольников или кубиков по высоте сечения.

В ТЕРМОПРОК имеются следующие модели материалов: для элементов формы:

- линейно и нелинейно упругие материалы;

- нелинейно упругая спецмодель для решения контактных задач неирон;цсноьения тел при отсутствии трения;

для двумерных и трехмерных элементов континуума:

- линейно термоупругие изотропный и орготрогашЛ материалы;

- нелинейно термоупругий изотропный материал с зависимостью давления от первого инварианта тензора деформаций и зависимостью интенсивности напряжений от интенсивности деформаций;

- гиперупруган трехлырамвтричоскан (С1, С2, К) модель Муни-Ишлина для расчета резиноподобных материалов в геометрически нелинейной материальной формулировке; при двумерном плоским напряжении - несжимиемая (01, С2) модель без учета влияния температуры;

- тормоукруго1ишо'И1ческая модель ^-теории течении Мизеса с

нелинейными изотрошшм и кинематическим упрочнениями;

Для реализации пользователем своих моделей материалов составлена подробная инструкция.

Представлен обидой алгоритм решения статических и динамических задач. В задачах динамики используются методы Вилсона и Ньшарка, в статических задачих динамические члены просто опускаются.

Ньютоновские методы решения нелинейных задач включают в себя полный и модифицированный методы Ньютона, BFGS-метод с использованием и без использования линейного поиска. Может быть использован адаптивный дихотомический алгоритм коррекции величины шага по времени в зависимости от скорости сходимости итераций равновесия.

Задачи на собственные значения - определение частот и форм колебаний, определение спектра глобальной матрицы кесткости, линеаризованный анализ устойчивости - решаются методом исследования характеристического уравнения (в оригинале determinant search algorithm Бате). Данный метод реализован только для того случая, когда и профильная матрица К, и согласованная или диагональная матрица М целиком вместе с другой конечноэлиментной информацией помещаются в основную память ЭВМ.

Наглядное представление несглажонных компонентов тензоров напряжений и деформаций позволяет визуально оценить адекватность выбранной сетки и вида элемента для решаемой задачи.

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ классифицированы и кратко обсуадены некоторые типичные свойства конечных элементов и помещены многочисленные примеры расчетов. Здесь с помощью различных элементов решены задачи из линейного тестового набора Макнила и Хардера, утвержденного в качестве стандарта английским Национальным агентством по методам конечных элементов. Сюда входят задача о консольной балке, нагруженной концевой перерезыващей нагрузкой и моделируемой регулярной сеткой прямоугольников (гексаэдров), сетками трапеций и параллелограммов; задачи о 90-градусном секторе кругового бруса и закрученном брусе с аналогичными нагрузками; задача о свободно опертой и защемленной прямоугольной пластинке, нагруженной равномерно распрэделешшм давлением и сосродоточешюй силой в центре; задача о крыше Скорделиса-Ло под равномерно

распределенной нагрузкой; задача о сферической оболочке, нагруженной сосредоточенными силами; задача о толстостенном слабосжимаемом цилиндре под внутренним давлением.

Рассмотрено несколько задач с наличием объемного запирания -ухудшением точности конечноэлементных решений с увеличением степени несжимаемости материала. Здесь рассмотрены линейная осесимметричная задача Буссинеска о нормальной сосредоточенной силе на полупространство с возрастающим от 0,3 до 0,49999 коэффициентом Пуассона; плоскодеформированная линейная задача о течении в полости; геометрически нелинейная контактная плоскодеформированная задача о сжатии цилиндра скользкими плитами; задача о толстостенном цилиндре из двух материалов под внутренним давлением, свойства одного из материалов моделируются теорией малых унругонластических деформаций Ильюшина с зивисящим от первого инварианта деформаций модулем объемного сжатия; геометрически нелинейная контактная задача о сжатии и сдвиге плоскодеформироваиной полосы из резиноподобного материала, описываемого трохлараметрической моделью Муни - РивлиНа с постоянным и переменным в зависимости от детерминанта градиента деформаций модулем объемного сжатия.

Решено несколько задач, демонстрирующих свойства элементов метода перемещений - деформаций. Это геометрически нелинейная задача о нлосконапряженной консоли под равномерно распределенной нагрузкой в статическом и динамическом случаях; линейная задача о цилиндре с логарифмической температурой под внутренним давлением; упругопластическая задача о диске под температурной нагрузкой. Рассмотрены четыре задачи, иллюстрирущие поведение предлагаемых элементов в сравнении с геометрически нелинейными элементами Лю -Величко - Чена. Это задача сб устойчивости стержня по Эйлеру; задача о закритическом поведении стержня Эйлера; задача о секторе защемленного кругового бруса под центральной сосредоточенной нагрузкой без прощелкиьания; задача о цилиндре Ривлина под внутренним следящим давлением.

Решены также задача о циклическом нагрукешш цилиндра внутренним давлением, свойства материала цилиндра описываются теорией течения Мизеса с линейными изотропным и кинематическим упрочнениями; геометрически линейная задача о

плоскодеформированном идеально пластическом образца с трещиной при заданных растягивающих перемещениях; задача о статической и

динамической устойчивости уиру¿^пластической сферической оболочки под внешним следящий давлением с большими нерлмищениями.

Исследовало напряженно - деформированное состояние двух реальных конструкций. Здесь рассмотрены осесимметричная упругош1астическая задача о корпусе теплообменника под внутренним давлением с точшм определением места разрушения; трехмерная термоунру1'оплэстическая задача о роторе турбины, нагруженной ыеклопаточшм давлением, силами инерции вращения и температурным перепадом. В последней задаче использование условий геометрической периодичности дало возможно ;ть рассматривать всего 1/57 часть ротора, соответствуицую одной лопатке.

Точность и эффективность элементов можно сравнить с помощью таблиц, графиков и .наглядных пиктограмм изонолос компонентов напряжений и деформаций.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. На базе современных численных мотодов и программных средств механики деформируемо]'о твердого тела создана конечноэликонтная система ТЕРМОПРОК для решения статических и динамически/, нелинойннх и линейных задач термопрэчности конструкций. Создан препроцессор для автоматизированного ввода информации.

2. Помимо классических континуальных конечных элементов метода

перемещений в системе реализованы смешанные элементы метода

перемещений - давлений для ьсследованин -конструкций из

слабосжимаомых материалов. Исходная формулировка распространена на

некоторые случаи зависимости модуля объемного сжатия от степени

скатин. о

3. Реализован и распространен на геометрически нелинейный случай и на квадратичные элементы смешанный метод перемещений - деформаций.

Для смешанных элементов методов перемещений - давлений и перемещений - деформаций отмечены области эффективного применения и недостатки.

4- Система обладазт широкими вычислительными ьозмоисиостими для решения нелинейных задач. Полный и модифицированный методы Ньютона, ВТСЗ - метод могут использоваться в совокупности с линейным поиском и процедурой адаптивной коррекции шага по времени в зависимости от скорости сходимости итераций равновесия. 5. Разработаны и реализованы ь программе многочисленные

современше математические и технические приемы, . позволяющие повысить эффективность расчетов. Среди них способы перенумерации степеней свободы для разветвляющихся конструкций, задание ограничений на перемещения в узлах, способы автоматического построения сеток треугольников и т.д..

6. Блочный принцип построения способствует интенсивному развитию программы. Библиотеки моделей материалов, методов решения систем линейных алгебраических уравнений, видов нагрузок могут пополняться пользователем без дотальных знаний об устройстве системы.

7. Проведена сертификация программного комплекса на классе стандартных тестовых задач, утвврвденном английским Национальным агентством по методам конечных элементов.

8. На основе программы ТЕГМОПРОК проведен анализ наггряженно-деформироианного состояния теплообменника, ротора турбины, решен ряд дрклх важных научно - технических задач отработки прочности конструкций новой техники.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАПШ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТ/X:

1. Бузинов П.А., Расчет трехмерного термоупругого напряпенно -деформированного состояния методом конечных элементов (ФОРТРАН, ЕС ЭВМ). 01АП САПР, СИБ, вып.43, ГОНТИ N I, N 1587П, 1985.

2. Бузинов ГГ.Л., Конечноэлементный расчет деформатявнос-ти резшоподобных гиперупругих материалов. Труды XV конференции молодых ученых и специалистов МОТИ, 19Э0, чЛ, с. 1-4. Рукопись деп. в В1ШШ! 10.12.90, N 6173-390.

3. Бузинов H.A., Исследование напряженно - деформированного состояния корпуса дозатора методом конечных элементов в двумерной и трехмерной постановке. Проблемы проектирования конструкций. Сборник кратких сообщений III Уральского семинара. Миасс, 1990, 84-88.

4. Бузинов П.А., ТЕРМОПРОК - система для нелинейного инкрементального конечноэлементного анализа термопрочности конструкций. Документация в 4-х частях. М.: ЦНЙИУАШ, С554, 1991. Также НТО ЦНИИМАШ N 801-5009/91-0554-91-218.

5. Бузинов П.А., Смешанная конечноэлементная формулировка для анализа слабос.кимаемых материалов. Материалы международной конференции "Космонавтика-21 век", Калининград М. о., 19ЭГ.

Автор благодарит своих родственников, коллег из лаборатории Паничкина Н.Г. и его самого за предоставленную возможность работы над ТЕШЭПРОКом, совместные обсуждения, практическое тестирование программы, помощь в проведении расчетов и подготовке документации; основного разработчика графического постпроцессора ТЕЙЮПРОК Владимирова С.А. за использование этой подсистемы при подготовке иллюстраций; Дегтярева В.П., Коновалова Д.Н., Мамрова Н.В., Мартынову Е.Д. за помощь в подборе примеров расчетов для u/p -элементов. Автор очень признателен Митрофанову В.Г. за поддержку с программным обеспечением и дружеское участив. Автор обязан поблагодарить, хотя и заочно,' профессора Бате К.-Ю. из Ыассачусетского технологического института: работа, в особенности на первых порах, во многом основывалась на его с коллегами публикациях.

Подпись

рсцГ. и^А. 546-3&-3G

Тч Р. foo JP3.