Эффективный метод решения смешанных задач для областей произвольной конфигурации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Диссертационный совет К 063.73.02 по физико-математическим наукам

На правах рукописи УДК 539.3

ПАВЛОВА Алла Владимировна

ЭФФЕКТИВНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ КОНФИГУРАЦИИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание уте ной степени кандидата физико-математических наук

Краснодар 1995

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Кубанского государственного университета

Научный руководитель - член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Бабешко В А.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

Ведущее предприятие - Кубанский государственный аграрный университет

на заседании диссертационного совета К 063.73.02. по физико-математическим наукам в Кубанском государственном университете по адресу: 350040 г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, КубГУ, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КубГУ.

профессор Дунаев И.М.,

кандидат физико-математических наук

Пряхина ОД.

Защита состоится 20 иортд

1995 года

Автореферат разослан

Ученый секретарь

А.А. Евдокимов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Изучается применение метода фиктивного поглощения к решению некоторых задач теории упругости. Разрабатывается обобщение метода на случай невыпуклых областей контакта.

Рассматриваются интегральные уравнения пространственных динамических задач для областей контакта различной конфигурации, как классических - полоса, круг, так и отличных от классических - прямоугольник, невыпуклая область контакта.

Исследуется также возможность применения метода фиктивного поглощения к решению задач о колебаниях полуограниченных тел, содержащих внутренние разрезы и включения. В частности, рассматривается осесим-метричная задача о вибрации берегов трещины в упругом однородном слое при различных гармонических нагрузках

Актуальность темы

Интерес к решению задач подобного рода на сегодняшний день особенно велик в связи с большой ролью, которую они играют в широком круге практических вопросов. К ним, прежде всего, относятся проблемы фундаментостроения, сейсмостойкого строительства, вибрационной сейсморазведки, использование невзрывных способов поиска полезных ископаемых, дефектоскопии материалов, а также проблемы изучения надежности и долговечности работы строительных конструкций, механизмов, деталей машин. Пристальное внимание привлекают проблемы создания все более точных методов расчета прочности конструкций, практическая потребность в которых приобрела особую остроту в связи с возросшей виброакгивностью современного промышленного оборудования.

Цель работы

Распространение метода фиктивного поглощения на новый класс задач -смешанные контактные задачи для произвольных областей контакта, а также задачи для полуограниченных тел с внутренними разрезами и включениями.

Научная новизна

а) Получил дальнейшее развитие метод решения плоских и пространственных задач теории упругости, позволяющий находить значения контактных напряжений с любой наперед заданной точностью, как во внутренних точках , так и вблизи кусочно-гладких границ области контакта .

б) Получено эффективное приближенное решение интегрального уравнения осесимметричной задачи о колебаниях упругого слоя, вызванных вибрацией берегов внутренней трещины.

в) Проведен численный анализ ряда динамических контактных задач теории упругости, исследована динамика развития круглой трещины ну-

• левой толщины в упругом слое.

Практическая значимость

Практическая значимость работы определяется широким кругом указанных выше приложений рассматриваемых задач в различных отраслях техники.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на республиканской научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям и их приложениям (Одесса, 1987 г.), на региональных конференциях: "Спинвол-новые явления электроники СВЧ" (Краснодар, ,1987 г.), "Динамические задачи механики сплошной среды" (Краснодар, 1988 г.), "Численные методы и автоматизация исследований в гидрогазодинамике и гидротехническом

J

строительстве береговой зоны морей Краснодарского края и других регионов " (Сочи, 1988 г.); а также на семинарах кафедры математического моделирования Кубанского госуниверситета и Кубанского филиала НИИ Механики и прикладной математики РГУ при Куб ГУ.

Публикации

По материалам диссертации написано 6 работ, одна работа направлена в

печать.

Обьем_дабош

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, занимающих 119 страниц машинописного текста, списка цитируемой литературы, содержащего 90 наименований работ отечественных и зарубежных авторов, а также двух приложений, содержащих 33 страницы иллюстраций и графических материалов.

Методы исследования

Описанные выше динамические задачи методом интегральных преобразований Фурье сводятся к интегральным уравнениям и системам интегральных уравнений. Для решения последних была разработана и применена модификация метода фиктивного поглощения, позволяющая строить эффективные приближенные решения краевых задач. При этом широко использовался аппарат теории функций комплексной переменной и теории обобщенных функций.

Разработан машинный метод аппроксимации ядра интегральных уравнений.

Численный анализ полученных результатов позволил сделать выводы о распределении контактных напряжений под штампами различной конфигурации в плане, а также проследить динамику развития трещины в упругом слое.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обоснование актуальности темы диссергащш, определяется цель работы и даегся краткое изложение ее содержания. Приводится также краткий обзор исследовательских работ по данной тематике.

Значительный вклад в развитие контактных задач внесли Б Л. Абрамяк, В.М. Александров, Ю.М. Амензаде, ВА. Бабешко, Н.М. Бородачев, A.B. Бе-локонь, И.И. Вороьич, JIA Галин, В.Г. Гринченко, Б.А. Ефимов, В.Д. Куп-радзе, М.Д.Мартыненко, В.И. Моссаковский, Н.И. Мусхелишвили, В.В. Па-насюк , Г. Я. Попов, В. М. Сеймов, Б. И. Сметании, А. А, Толоконнкков ,

A.Ф. Улитко, Ю А. Устинов, Я.С. Уфлянд и целый ряд других исследователей. Большая часть полученных результатов относится к статическим задачам. Динамические контактные задачи и возникающие при их решении интегральные уравнения изучались в работах В.М. Александрова, ВА. Бабешко, В.АБелоконя, В.Г. Буряка, И.И. Воровича, Е.В.Глушкова, В.Т.Грин-ченко, а также в раде работ A.G. Ватульяна, ВА Ильичева, В.Е. Кглинчука,

B.Д. Купрадзе, Г.Я. Попова, О.Д. Пряхиной, H.A. Ростовцева, В.М Сеймова, М.Г. Селезнева, AB Смирновой, Ю.А. Устинова, А.Ф. Улитко.

Решению задач теории упругости для бесконечных и патубесконеч-ных тел с конечными и полубесконечными разрезами уделили внимание Ю.А Амензаде, А.Е. Андрейкив. П.Е. Баркович, Н.И. БелокопытоЕ, Л.Т.Бойко , Н.М. Бородачев, Л.В. Виноградов, Р.В. Гольдштейн, Н.Ф.Гурьев, Н.Е. Качановская, JIA Кипнис, A.C. Космодамианскчй, М.Д. Мгр-тыненко, Е.М. Морозов, В.З. Паргок, П.И. Перлин, Ю.Н. Работнов, В.И. Самаров, М.М. Стадник, B.C. Тоноян, Г.В. Ткачев, А.Ф. Улитко, Г.П. Устинов, Я.С. Уфлянд и другие авторы.

Для сведения смешанных динамических контактных задач, а также задач о вибрации внутренней трещины к интегральным уравнениям и системам применяется известная техника интегральных преобразований

Фурье. Интегральные уравнения решаются методом фикгивного поглощения, позволяющим получить эффективные приближенные решения данных задач.

-разработка метода решения интегральных уравнений в областях произвольной конфигурации; - исследование свойств и проведение численною анализа решений ряда задач на основе данного метода.

Б первой главе дается постановка некоторых динамических контактных задач об установившихся колебаниях на поверхности упругой среды типа слоя, слоистого полупространства жесткого штампа, а также задач о возбуждении гармонических колебаний упругого слоя вибрацией берегов внутренней трещины, сформулированных ь терминах оператора Ламе и граничных условий ( = ^.у)«5"0* , 3(Х>У>1) = 5(*,у)е-ы ).

В краевых задачах о вибрации штампа рассматривается упругий слой толщины Ь, занимающий область 1ХИ 1у!2 00 >° 5 2 й жестко сцепленный с недеформируемым основанием. На границе г=1\ слой подвергается действию штампа, занимающего в плане область О, трение в области контакта отсутствует.

и(х,у) = и33(х,у) = Г(х,у) ,х,у еП . о33 = 0, х,у ¿й; ап = о2з = 0, < х,у <

2—0, .

В задаче о вибрации трещины рассматривается упругий слой толщины Ь, занимающий область М-°°> |у|2со ,С<7. лежащий без трения на жестком основании. Трещина конечных размеров и нулевой толщины, расположенная в слое на некоторой глубине с в плоскости, параллельной

его недеформированным границам, моделируется скачком перемещений на берегах.

и(х,у,с + 0)-и(х,у,с + 0), х.уеО, О , х,у

На берегах трещины заданы нагрузки:

о(х,у,с + 0) = о'(х,у) ,х,уеП, о(х,у,с-0) = 5П(х,у) ,х,уеП.

Верхняя и нижняя границы слоя свободны от напряжений

5(х,у,Ь) = 0 ,-°о£х,у£<®, 5(х,у,0) = 0 .-оо^Х.У^оо. -

Замыкают постановку задач условия излучения на бесконечности. В первой главе приводится схема сведения рассматриваемых задач к интегральным уравнениям и системам интегральных уравнений путем применения интегрального преобразования Фурье и основные свойства ядер этих интегральных уравнений. Условия излучения диктуют выбор ветвей многозначных функций и направление обхода особенностей контурами интегрирования.

Глава вторая посвящена изложению сути метода решения интегральных уравнений смешанных задач теории упругости, называемого методом фиктивного поглощения, и исследованию его особенностей в случае различных, в том числе невыпуклых, областей контакта.

Метод фиктивного поглощения получил свое название в связи с тем, что он основан на таком преобразовании ядер интегральных уравнений или систем, которое позволяет уравнения с сильно осциллирующими ядрами

2"(х,у)

приводить к интегральным уравнениям с ядрами неосциллирующими, экспоненциально убывающими с ростом аргумента, такое поведение ядер соответствует задачам для сред с сильным затуханием. Суть метода состоит в следующем: в интегральном уравнении Кц=Г , где К - интегральный оператор с разностным ядро;»;, вводится новая неизвестная функция р соотношением q=p+ф , где ф - некоторая функция, содержащая неизвестные на размерность меньше, чем размерность q. Тогда для р получается следующее уравнение:

Кр = Г-&» .

Неизвестная р подбирается таким образом, что введение новой функции I соотношением р="Ы , приводит уравнение к виду С1=К1Л=£-Кф , где оператор С обладает сильным затуханием.

Для устранения произвола в определении I, вносимого функциями ф, из условия эквивалентности всех уравнений вытекает дополнительная система уравнений УС~'(Г-Кф) = О на некотором множестве. Метод позволяет в качестве задач для среды с затуханием брать соответствующие статические задачи, которые решаются одним из методов решения чисто статических задач. Затем, с помощью обратных формул строится приближенное решение исходной задачи.

Рассматриваются интегральные уравнения для произвольной области контакта О , которая допускает некоторое разбиение на выпуклые области

^ О

■п-1 , при котором области являются замкнутыми и ограниченными, пересечением" их могут быть лишь гзномерные или нульмерные множества.

п

Ь3

Рис.1

Система интегральных уравнений для такого рода области контакта будет иметь вид:

м

Х-КтЧю =Гр(х.У) т-1 , р = 1,...,М.

Л'шЧш = ,х,у 6Б,

в»

к(х,у) = / /КМИ"'^«^

О, о,

Свойства подынтегральной функции ядра и расположение контуров

°1 , °2 детально описаны в первой главе.

Следуя схеме метода фиктивного поглощения, разработанного в работах ВА. Бабеппсо и получившего дальнейшее развитие в работах ОД. Пряхиной, и О.М. Тукодовой дается его модификация в части подбора базисных, функций ф, что позволяет свободно распространить данный метод на случай невыпуклых ограниченных ' областей контакта, а также областей, вырождающихся в неограниченные. Одновременно получаются новые соотношения для решений интегральных уравнений типа свертки с разностным ядром в ограниченной области и системе таких областей для ядер с весьма

(1) (2) (3)

общими свойствами, списывающие решения одинаково точно во всех точках области контакта, включая кусочно-гладкую границу.

Во второй главе также даются интегральные представления приближенных решений ряда динамических контактных задач.

Глава третья посвящена построению эффективных приближенных решений некоторых плоских и пространственных контактных задач, при построении этих решений в качестве базисных функций <р берутся системы производных 5-функцкй. При этом используются решения вспомогательных интегральных уравнений, которые являются типичными для статических задач или задач для сред с поглощением.

В первом разделе методом фиктивного поглощения строится решение интегрального уравнения плоской задачи для полосового штампа.

(4)

к(х) = |К(и)е~"и<1и

а

Рассматриваются также некоторые математические вопросы, связанные с решением статической задачи для полосы. Во втором разделе рассматривается интегральное уравнение пространственной задачи для прямоугольного в плане штампа.

Л-ъ >|<а,|у|<;Ь.

(5)

Ядро интегрального уравнения имеет представление (3). Функция ср(х,у) берется в виде:

<р(х,у) = ¿Gk(-A)l Тб(х - а)5(у - atg4/)flk(y)dv + k-i {-щ

J6(x + a)5(y +atgv)fJk(v)dv + |б(у - Ь)б(х - bctgvKjkMdv -

я+Ч»,

+ J6U +

2 «-«с,

+ Jö(y + ojö^x +

|5(y + b)5(x + bctgii/)f4k(v)d^

Vi = arctg(t)

л & &

Д = —j+—j-Здесь ^У , а "к имеют вид:

G*H = (u2 -p?)...(uJ -pL)(uJ -pL)-(u2 - Pn)

(6)

где Рк - полюса подынтегральной функции ядра; а 1л ,8=1,„.,4 ,к=1,...,Н -неизвестные функции, подлежащие определению.

В третьем разделе рассматривается интегральное уравнение осесим-метричной задачи

fkn(r,p)q(p)pdp = f(r)

о ,0s гйа, (7)

kn(r,p) = jK(u)Ja(ur)Jn(up)udu

(8)

результат решения которого в дальнейшем используется при решении осе-симметричной задачи о трещине. Здесь функция 9 выбирается в виде:

<p(r)-ZGk(LN)Ck5(r~a)

w , (9)

т (\ d d N2)

LN=47dird?+^J. (1C)

Четвертый раздел посвящен решению системы интегральных уравнений для невыпуклой области контакта П с кусочно гладкой границей. Cor-

ласно схеме метода, изложенной во второй главе, область П разбивается на

п= йс>ш

три прямоугольника т=1

Система принимает вид (1),(2) , где р=3. Функция р взбирается в виде:

ф(х,у) = ф'(х,у) + ф2(х,у) + ф3(х,у)

(И)

n »

(х,у)= £Ок(-А)| Г.(у)5(х - а5 - Е,(чг)«ж|г)в(у - Ь. - КДч/)ятц/)йч/

Б= 1,2,3.

Здесь ^«М _ уравнение границы б-той области в местной системе координат с центром в точке

¥Д

О,

2Ь-<3

О

к->

Рис.2

Решив эту систему, получаем приближенные решения, описывающие контактные напряжения под штампом в любой из областей , т=1,2,3. Соотношения приведены в безразмерных амплитудных параметрах, все линейные размеры и упругие смещения отнесены к толщине слоя Ь.

Глава четвертая посвящена построению решения шггегралыгого уравнения осесимметричной задачи о колебаниях упругого слоя, вызванных вибрацией берегов внутренней трещины нулевой толщины.

/

о

Однозначность разрешимости рассматриваемых интегральных уравнений в значительной степени базируется на определенном чередовании нулей и полюсов элементов подынтегральной матрицы-функции ядра. Для проверки выполнения этого условия проведен расчет вещественных нулей и полюсов при различной глубине залегания трещины. Применение метода фиктивного поглощения требует также наличия определенных свойств у подынтегральной функции ядра. В рассматриваемых задачах элементы матрицы являются растущими на бесконечности функциями. В частности, в случае трещины отрыва приходим к интегральному уравнению

|Гк(Х-$,у-С)и;($,С)с1$<1С = аз(х>у) , , ,

хЧуЧа- ) х2 +У2 г (12)

где ядро записывается соотношением (3) и = ^зз(и) ч Кэз(и) = С(и( + 0(1) ПрИ |и) оо

Для того, чтобы получить интегральное уравнение с убывающей на бесконечности подынтегральной функцией ядра, в первом разделе четвертой главы осуществляется вынос дифференциального оператора V2-!2, где 1- некоторое число, из обеих частей интегрального уравнения (12). При этом уравнение принимает вид:

ДкЧх-^у-диП^.О^^ч'зСх.у) хЧуЧа' ^ х + у £ а ^ (13)

к(х,у)=^2-12)кЧх,у)> Чз(х,у) = (72-12Уз(х,у)

к'(х,у) = -1у/ /ф^Ь-'^^Р 4л211 сг ^Р"* +1

О. «9. г

Прокзведя преобразования правой и левой части и перехода к цилиндрической системе координат, приходим к необходимости решать интегральное уравнение сходное по своим свойствам с уравнением (7) контактной осесимметричной задачи с правой частью, представляющей собой линейную комбинацию функции Бесселя и модифицированной функции Бесселя

д3(х,у) = Ь)1п(пг) + Ь21п(1г) _

Заметим, что решите подобного рода интегрального уравнения для правой части ^(пг) било осуществлено в третьей главе.

Во втором разделе четвертой главы, используя линейный характер задачи, построено решение интегрального уравнения (13) осесимметричной задаче о трещине отрыва (все соотношения приведены в безразмершлх амплитудных параметрах, все линейные размеры и упругие смещения отнесены к тзадиусу трещины а).

Глава пятая посвящена анализу численных расчетов, проведенных при помощи реализации на ПЭВМ метода фиктивного поглощения для интегральных уравнений различных задач, рассмотренных в предыдущих главах:

- плоская задача о колебаниях штампа на слое ;

- пространственная контактная задача о вибрации прямоугольного штампа на слое;

- осесимметричная задача о колебаниях штампа на слое;

- пространственная контактная задача о вибрации штампа, занимающего в плане невыпуклую область (см. рис 1.);

- осесиммегричная задача о вибрации трещины в слое.

Численный анализ проводился для упругой среды, представляющей собой слой, исследования для других моделей сред (слоистое полупространство,

многослойное основание и т. д.) могут быть проведены на основе результатов, полученных в настоящей работе.

Кратко алгоритм численной реализации состоит в следующем: Символы ядра для рассматриваемых задач построены аналитически, с помощью ПЭВМ рассчитываются вещественные нули и полюса; на основании поведения вещественных нулей и полюсов проверяется выполнение теорем Таинственности и выбираются контуры 0,01,02,00 для удовлетворения принципа предельного поглощения; с помощью ПЭВМ строится специальная аппроксимация подынтегральной функции ядра по вещественным нулям и полюсам этой функции; из некоторой линейной алгебраической системы определяются неизвестные постоянные, участвующие в решении; результат аппроксимации и найденные значения постоянных вносятся в приближенные формулы, описывающие поведение контактных напряжений или ( б задаче о трещине) скачка перемещений на берегах трещины; по этим формулам производится расчет на ПЭВМ. Численные результаты, полученные при решении контактных задач для штампов различной в плане формы, совпадают с полученными ранее при изучении подобных задач. Результаты для невыпуклой области контакта в предельном случае ( при вырождении области П в прямоугольник)» согласуются с результатами, полученными ранее в работах В. А. Бабешко. О. Д. Пряхиной для прямоугольной области контакта.

Рис. 3 иллюстрирует зависимость реальной (сплошная линия) и мнимой (пунктирная линия) части амплитудных значений контактных напряжений под штампом от его размеров для приведенной частоты к2=2.б (кривая 1-а=5, в=7, с=2, (1=4; кривая 2 - а=5, в=7, с=1,с! =5: кривая 3 - а=5, в=7, с=0, <1=7; см. рис. 2 ).

-ля

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Рис.3

Численный анализ кривых вещественных нулей и полюсов подынтегральной функции ядра задачи о трещине показал наличие требуемого для однозначной разрешимости задачи чередования нулей и полюсов. Причем во всем рассматриваемом диапазане частот отсутствуют такие, на которых подынтегральная функция ядра не имела бы вещественных особенностей.

и

12 10 8 6 4 2

8 10

2 1

к \ I

и V. К VI \ ( (

1 1 ! \ 1__

0 2 4 6

Рис.4

На рис. 4, 5 приведены кривые вещественных нулей и полюсов для случая, когда трещина расположена в слое на глубине 0.4 его толщины, для трешины отрыва и трещины, совершающей радиальные колебания, соотвгтстасшю.

и

!Г ✓

Л

г

// ¡¡й*5"^ ... /Г 1 \ у ^ г / Г {

0 : 4 6 8. 10

Рис.5

Сопоставление результатов для различной глубины залегания трещины показывает, что при движении трещины от середины слоя к поверхности существует область трещины, где точки испытывают незначительные отклонения от своего первоначального положения во время всего процесса движения трещины от середины слоя до глубины 0.2 его толщины.

Рис. 6 иллюстрирует реальные части амплитудных значений скачка перемещений для различной приведенной частоты . Трещина расположена на глубине 0.4 толщины слоя.

;;е и*

Рис.б

В заключении дана сводка основных результатов работы.

В приложении приведены графики, иллюстрирующие распределение напряжений под штяг.гпгм тли рззяичных динамических контактных :*а.Ш'!. кривые вещественны;: куле Л ч полюсов симнола -,ыт осе с и м метр ич но и задачи о трещине, ■ пкже графики ¡"зме.чення скачков перемещений на берегах греши.чы для ;:а;лчччой глубины ее залегания при различных заданных гармонических нагрузка:;.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Получил дальнейшее развитие метод решения плоских и пространственных задач теории упругости, называемый методом фиктивного поглощения, позволяющий находить значения контактных напряжений, как во внутренних точках, так и вблизи кусочно-гладких границ в любых односвязных областях, в том числе невыпуклых, а также в задачах для тел, имеющих внутренние. разрезы и включения.

2. Получены эффективные приближенные решения ряда контактных задач , а также осесимметрнчнсй задачи о вибрации слоя с внутренней трещиной.

3. Разработаны пакеты прикладных программ для ПЭВМ, реализующие предложенный метод решения динамических задач для ряда областей, позволяющий произвести расчет контактных напряжений под штампами, и скачков перемещений на берегах внутренней трещины в слое.

4. Проведен численный анализ ряда динамических задач. Изучены особенности поведения механических характеристик рассматриваемых задач в зависимости от задаваемых параметров задачи.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Бабешко В А., Павлова АВ. Некоторые соотношения для решений двумерных интегральных уравнений типа свертки смешанных задач / Кубанский Государственный университет.- Краснодар, 1987,- 18 с.-Деп. в ВИНИТИ 18.08.87, №6022-В87.

2. Бабешко ВА., Павлова АВ. К решению смешанных задач в произвольных областях методом фиктивного поглощения // Тезисы докладов республиканской конференции по дифференциальных» и интегральным уравнениям и их приложениям.- Одесса, 1987,- С. 25.

3. Бабешко ВА, Павлова АВ. Некоторые соотношения для решения двумерных уравнений типа свертки смешанных задач // Вопросы волно-движений жидкости: Сб. науч. тр. КубГУ.- Краснодар, 1987.- С. 15-20.

4. Павлова АВ. О решении задач в невыпуклых областях при расчете СВЧ-устройств // Спинволновые явления электроники СВЧ: Тез. докл. регион, конф.- Краснодар, 1987.- С.74.

5. Павлова АВ. О решении одного интегрального уравнения специального вида // Динамические задачи механики сплошной среды: Тез. докл.

регион. конф.- Краснодар, 1988.- С. 144. 6. Павлова А.В. К расчету фундаментов сложной конфигурации // Численные методы и автоматизация исследований в гидрогазодинамике и гидротехническом строительстве береговой зоны морей Краснодарского краяи других регионов: Тез. докл. регион, конф.- Сочи, 1988.- С-113.

Подписано в печать 16. 02. 95. Формат бумаги 60 х 84 1/16. Усл. п. л. 1,3 Уч - изд. л. 1,0 . Тираж 100 экз. Заказ №

Типография Кубанского госуниверситета 350023, г. Краснодар, ул. Октябрьская, 25