Численное решение двумерных интегральных уравнений теории потенциала в электронной оптике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА ПЕРВАЯ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ГЕОМЕТРИИ ТРЕХМЕРНЫХ ЭОС.

§ I.I. Постановка задачи и вывод основных соотношений

§ 1.2. Параметрическое задание геометрии пространственных ЭОС произвольной конфигурации

§ 1.3. Учет симметрии пространственных ЭОС

ГЛАВА ВТОРАЯ. РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЭОС МЕТОДОМ

ВЫДЕЛЕНИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ

§ 2.1. Алгоритм выделения особенностей в ядре и плотности двумерного интегрального уравнения

§ 2.2. Численная реализация.

§ 2.3. Устойчивость решения интегрального уравнения и выбор точек коллокации в методе выделения особенностей

ГЛАВА ТРЕТЬЯ. РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИИ/! ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

§ 3.1. Аппроксимация при помощи билинейных, биквадратных и бикубических граничных элементов

§ 3.2. Выделение особенностей в плотности и ядре интегрального уравнения

§ 3.3. Численная реализация.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. ВОПРОСЫ ПРОГРАММНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА

ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 4.1. Оптимизация вычислений при построении матрицы коэффициентов системы (2.1.12).

§ 4.2. Описание комплекса программ расчета поля пространственных ЭОС методом выделения особенностей

§ 4.3. Описание комплекса программ расчета поля пространственных ЭОС методом изопараметрических преобразований.•.

ГЛАВА ПЯТАЯ. РАСЧЕТ ПРАКТИЧЕСКИ ВАЖНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

ЭОС СЛОЖНОЙ ФОРМЫ.

Современное развитие многих отраслей естественных наук тесно связано с использованием электронно-вычислительных машин (ЭВМ), которые дают в руки исследователей эффективное средство для математического моделирования сложных задач науки и техники. В его основе лежит решение уравнений математической модели численными методами.

Одним из весьма распространенных применений численных методов являются расчеты электронно-оптических систем (ЭОС) - основных узлов электронно-лучевых приборов (ЭЛП). Повышение точности расчетов ЭОС способствует улучшению технических характеристик приборов. Это требует разработки эффективных алгоритмов для практических расчетов ЭЛП. Такие алгоритмы дают возможность заменить длительный и дорогостоящий технологический эксперимент расчетом на ЭВМ с выбором наилучшего решения разнообразных и сложных по геометрии ЭОС. Весьма актуальной задачей в настоящее время является автоматизация расчетов ЭОС на ЭВМ.

В основе расчета ЭОС лежит задача нахождения потенциала электростатического поля, которое создается системой электродов. С математической точки зрения она сводится к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа в пространстве с разомкнутыми поверхностями сложной конфигурации [3l]. Решению указанной проблемы посвящена обширная литература [24,27,33,39,41,66,76,81, 96].

В случае канонических областей, для которых применим метод разделения переменных, данная задача имеет аналитическое решение. что детально исследовано в монографиях В.Глазера [27] и Г.А.Гринберга [33]. Если же отдельные элементы ЭОС являются достаточно малыми по сравнению с характерными размерами всей системы и имеют сложную форму, то в монографиях А.Г.Власова и Ю.А.Шапиро [243, Г.Ф.Полякова [бб], Л.Э.Цырлина [8l] предложены специальные алгоритмы, которые носят локальный характер, отражаясь на решении в целом.

Для случая замкнутых областей поставленная задача достаточно полно и эффективно решалась многими авторами. Среди них в первую очередь следует назвать монографию В.П.Ильина [39], в которой рассматривается решение задач электрооптики методом конечных разностей. В.Л.Рвачевым [68] решается широкий класс граничных задач методом £ -функций. Некоторые пространственные задачи теории потенциала рассматриваются М.А.Алексидзе [I] методом разложения решения в ряд по полной системе ортогональных функций.

Применение перечисленных методов значительно затрудняется в случае задач со сложной формой границы и неограниченным характером области. Наиболее эффективным для таких задач оказался метод интегральных уравнений, преимущества которого описаны в работах [28,7б]. Особое место при расчете пространственных ЭОС занимают двумерные интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода со слабой особенностью в ядре.

Решению указанных уравнений посвящены работы А.В.Гончарского, А.Г.Яголы, А.С.Леонова, В.Я.Иванова, В.П.Ильина, В.Д.Пер-минова, С.П.Сулейманова, Г.Фикеры, Б.Г.Фрейнкмана, Ю.П.Ярцева [29,36-38,64,75,78,79,86] и др. В работе [78] решается внешняя задача электростатики на одиночном кубе и исследуется характер поведения неизвестной плотности на краю и границах излома области. Выделению особенности в ядре интегрального уравнения посвящена работа [79]. И.М.Полищук [65] рассматривает решения задач Дирихле и Неймана для незамкнутой поверхности путем замыкания области. Численные решения внешней задачи Дирихле с использованием интегральных уравнений приведены в работах И.И.Кочетова

43] и

И.Е.Цукерникова [80]. Вопросам обоснования перехода от решения дифференциального уравнения к решению задачи в интегральной постановке в случае разомкнутых поверхностей посвящены работы [92-94]. Применению аппарата интегральных уравнений для решения внешних и внутренних граничных задач посвящены работы зарубежных авторов [49,69,87-91,95,97].

Ряд авторов, занимающихся решением плоской, осесимметричной и пространственной задач Дирихле в случае разомкнутых поверхностей сложной конфигурации, формулировали ее в виде интегральных уравнений. Сюда следует отнести работы О.Ф.Антоненко [2], В.И.Гордийчука [3l], Р.А.Лачашвили [48], И.В.Людкевича [54,5б], Б.А.Остудина [бз], А.Н.Чухлебова [83]. В этих работах приближенное решение интегральных уравнений осуществляется как с учетом особенностей в соответствующих ядрах, так и без учета. Отметим, что результаты этих работ успешно используются при ра'счетах плоских, осесимметричных и пространственных электростатических полей.

Среди немногочисленных публикаций, посвященных решению задачи Дирихле в пространстве со щелями, выделим работы [31,63, 83].

В работе В.И.Гордийчука получил дальнейшее развитие метод нелинейных параметров, предложенный И.А.Прусовым и И.В.Людкеви-чем [б7], решения одно- и двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Последние получены обычным методом сведения краевых задач к интегральным уравнениям с помощью представления решения в виде потенциала простого слоя. Сущность метода нелинейных параметров состоит в том, что представляя решение в виде линейной комбинации непрерывных дробно-рациональных функций с так называемыми нелинейными параметрами, исходное интегральное уравнение методом коллокации сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Особенность ядра при этом устраняется за счет выбора точек удовлетворения граничным условиям на некоторой поверхности, близкой к поверхности интегрирования. Хорошая обусловленность матрицы системы линейных алгебраических уравнений достигается путем специального подбора нелинейных параметров и точек коллокации [52,60]. Регуляризирующее влияние на матрицу имеет также количество неизвестных и расстояние между поверхностями интегрирования и удовлетворения граничным условиям.

Б.А.Остудин [63], принимая во внимание свойства ядер, а также делая некоторые априорные предположения о характере поведения искомого решения, исходное уравнение первого рода преобразует к уравнению второго рода, т.е. корректной задаче, используя метод саморегуляризации. Параметром регуляризации при этом является величина окрестности, в которой выделяется особенность ядра.

В работе А.Н.Чухлебова [83"] решение представляется в виде суммы дробно-рациональных функций с наперед заданными особенностями на границе области и линиях ее излома, а особенность в ядре интегрального уравнения выделяется аналитически.

Естественно, что простота метода нелинейных параметров при расчетах относительно простых ЭОС обеспечивает ему достаточно широкое применение. С другой стороны более сложные методы выделения особенностей и саморегуляризации обеспечивают высокую точность расчетов, а также позволяют расчитывать элементы ЭОС более сложной формы.

В последнее время широкое применение находят ЭОС, состоящие из диафрагм произвольной конфигурации, а также содержащие неосе-симметрические линзы - квадрупольные и цилиндрические. Значительный интерес к указанным элементам ЭОС вызван как простотой их изготовления, так и ценными практическими свойствами, которыми они обладают. В то же время расчет таких ЭОС представляет собой значительные трудности, связанные как с отсутствием эффективных методов расчета в случае широкого класса поверхностей, так и с реализацией этих алгоритмов на ЭВМ.

В работах Б.Э.Бонштедта, А.П.Власова, Ю.А.Кузьмина, Н.Н.Лебедева, Л.Э.Цырлина [20,23,34,46,50,82^ и др. предложены алгоритмы расчета осесимметричных диафрагм с бесконечным внешним радиусом. Решению задачи в осесимметричном случае с конечными размерами посвящена работа Л.Я.Косачевского [42], в которой рассчитана осесимметрическая система состоящая из диска и диафрагмы, а также работа Б.М.Орлова [62] . Более сложной задачей является расчет электростатического поля в случае конечных пространственных диафрагм. Здесь имеется небольшое количество работ, причем отсутствует универсальная методика расчета. В работах В.П.Афанасьева и С.Я.Явор [3-7, 85] предложен алгоритм расчета поля в системах, состоящих из нескольких плоских диафрагм с прямоугольными отверстиями. В основе метода лежит разложение потенциала в ряд по полной ортонормированной системе функций. Неудобством метода при реализации на ЭВМ является необходимость вычисления различных специальных функций, если поверхности, составляющие ЭОС, достаточно разнообразны.

Мало исследованную проблему также представляет собой расчет ЭОС, состоящих из конечных произвольно расположенных в пространстве полых эллиптических цилиндров. В частном случае эта задача решалась для систем с незначительно нарушенной осевой симметрией в работах А.Г.Власова, Л.Я.Кузнецовой, И.П.Шахматовой [25,45], где вводится эллиптико-цилиндрическая система координат и задача решается методом разделения переменных. Л.Е.Романив [70] решение задачи сводит к последовательности осесимметричных задач применением метода возмущений [74]. Гордийчук В.И., Людкевич И.В., Маринюк Л.О. [32] провели расчет одиночной круговой линзы с нарушенной осевой симметрией методом интегральных уравнений в пространственной постановке.

Поскольку конечной целью нашей работы является реализация расчета ЭОС в виде комплексов прикладных программ, принципы построения которых являются предметом самостоятельных исследований, в заключение обзора литературы отметим по этому вопросу работы [18,19,30,39,40,57,58,68,73] и др. В работах [18,19] описаны автоматизированные системы комплексного машинного проектирования изделий СВЧ электронной техники. Внедрение в практику таких систем при расчетах конкретных ЭОС позволяет заменить дорогостоящий и продолжительный процесс изготовления опытных образцов вычислительным экспериментом [72]. В.П.Ильин [39] рассматривает вопросы машинной реализации алгоритмов и системы автоматизации расчетов электрооптических приборов с помощью системы КСИ-БЭСМ. В монографии [57], основываясь на общих принципах построения автоматизированных систем прикладных программ (АСПП), созданы конкретные АСПП для решения задач теории фильтрации. В работах [58,68] описан комплекс генератора программ серии "Поле", которые реализуют метод R-функций для расчета полей различной физической природы.

Данная диссертационная работа посвящена разработке эффективного метода приближенного решения внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в пространстве с разомкнутыми поверхностями и применению его к расчету электростатических полей ЭОС сложной конфигурации. Разработано два метода решения указанной задачи: выделения особенностей и изопараметрических преобразований. Освещаются вопросы реализации предложенных методов в виде комплекса программ и приводятся многочисленные результаты по решению практически важных задач. Рассмотрены также вопросы затрат машинного времени при работе указанных методов, построены эффективные алгоритмы заполнения матриц систем линейных алгебраических уравнений, коэффициентами которых являются поверхностные интегралы от функций с особенностями. Результаты работы переданы Специальному конструкторскому бюро ПО "Кинескоп" (г. Львов), где они внедряются в инженерную практику при проектировании новых пространственных ЭОС сложной конфигурации. Комплексы соответствующих программ по расчету ЭОС вошли в состав математического обеспечения системы автоматизации проектирования электронно-лучевых приборов (САПР ЭЛП).

Данная работа состоит из настоящего введения, пяти глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы.

В первой главе рассматривается постановка задачи, выводятся основные соотношения, используемые в работе, а также рассматривается задание геометрии поверхностей сложной формы в пространстве .

В первом параграфе путем представления поля потенциалом простого слоя с неизвестной плотностью распределения зарядов по поверхности задача Дирихле для уравнения Лапласа в пространстве со щелями сводится к решению двумерного интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Рассмотрен алгоритм решения поставленной задачи в случае поверхностей с малой толщиной. Приводятся формулы для вычисления потенциала эллектростатического поля, выражения компонент вектора напряженности.

Во втором параграфе показано, как при помощи параметрического представления поверхностей описывается геометрия отдельных узлов и вся ЭОС в целом. Рассмотрено задание пространственных диафрагм со сложными вырезами, конечных эллптических цилиндров с вырезами и без них, отклоняющих пластин, а также частей описанных поверхностей.

В третьем параграфе приведено интегральное уравнение с учетом возможной симметрии или антисимметрии ЭОС.

Во второй главе предложен алгоритм расчета пространственных ЭОС сложной формы методом интегральных уравнений.

В первом параграфе предложен алгоритм выделения особенностей в плотности и ядре интегрального уравнения в случае произвольной граничной поверхности. В случае, если область S задана параметрически уравнениями 7 = 7 (и, U) , где и проведено аналитическое выделение особенности в ядре интегрального уравнения аналогично методу Канторовича и выделение особенностей в плотности, которая в этом случае примет вид

5(и, 17) = 6*W) е С( А).

Приведен также алгоритм учета особенностей в плотности с использованием кубатурных формул с соответствующими весовыми функциями. Следует отметить, что способ задания геометрии ЭОС делает все необходимые преобразования однотипными для разных функциональных элементов системы.

Во втором параграфе приведен расчет модельных задач. Приведенные примеры показывают высокую точность метода выделения особенностей при расчете различных конфигураций.

Третий параграф посвящен исследованию устойчивости решения в зависимости от размещения точек коллокации на граничной поверхности. Проведенные расчеты позволяют сделать вывод, что решение задачи устойчиво, если размещение точек коллокации достаточно полно отображает геометрию области.

В третьей главе предложен алгоритм расчета ЭОС с использованием изопараметрических преобразований.

Наряду с преимуществами, которыми обладает рассмотренный во второй главе метод выделения особенностей, на эффективность его применения существенно влияют два фактора: I) необходимость задания геометрии ЭОС в аналитическом виде, необходимом при проведении интегрирования, что усложняет алгоритм расчета; 2) проведение интегрирования при вычислении потенциала простого слоя по всей поверхности, что значительно влияет на время проведения расчетов.

От перечисленных недостатков удается избавиться, используя аппарат т.н. изопараметрических преобразований [6l], т.е. аппроксимируя граничную поверхность и неизвестную плотность при помощи граничных элементов [21]. Теперь для задания граничной поверхности необходимо лишь задать пространственную сетку из четырехугольных элементов и порядок аппроксимации данных. Координаты произЛ вольной точки *Z , принадлежащей четырехугольному элементу определяются узловыми точками элемента и порядком аппроксимации следующим образом

Л Л Jl. i, л о io —

A I где ft - порядок алпроксимации, 1-L - координаты узловых точек,

1) - [-М] X [- i} 1] • Представив теперь неизвестную плотность в виде т

J'1 4 * п р п z с

1 1 'о ,

Шп)*1 е где Ш - количество в: ; G: 1?) - функция, учитывающая d i 4 ' 1 особенности в плотности; jllj - неизвестные значения плотности в узлах сетки. Интегральное уравнение для определения значении Jli• примет вид itt ti Ift р

IjX^ р a,Dij.w/RM.ttfdsdfi] -%0а\ j®1 Л) xeS

Полученное интегральное уравнение решается методом коллокации, причем точек наблюдения на S выбираем больше, чем количество I неизвестных jUj , а полученную систему линейных алгебраических уравнений решаем методом наименьших квадратов. При этом в элементах сетки, прилегающих к границе области, проводится выделение особенности по алгоритму, изложенному для общего случая во второй главе.

Особенность в ядре или игнорируется, аналогично методу нелинейных параметров, или выделяется аналитически в точке наблюдения, что усложняет алгоритм, но гарантирует высокую точность решения задачи.

Полученное решение являет собой сеточную функцию, аппроксимирующую плотность заряда. Вычисление по ней поля и его градиента в любой точке пространства будет выражаться через определенные интегралы, что будет оказывать сглаживающее влияние на решение, апостериорная погрешность которого всегда может быть проверена расчетом поля в промежуточных точках.

В первом параграфе главы рассмотрены алгоритмы аппроксимации граничных поверхностей и неизвестных плотностей соответственно билинейными, биквадратичными, бикубическими четырехугольными граничными элементами.

Во втором параграфе приведены алгоритмы выделения особенностей в ядре и плотности при применении граничных элементов.

В третьем параграфе на модельных задачах исследованы возможности предложенной методики.

В четвертой главе рассмотрены вопросы программной реализации разработанных во второй и третьей главах численных алгоритмов.

В первом параграфе предложена методика заполнения матриц систем линейных алгебраических уравнений, элементами которых являются двойные интегралы. Некоторое увеличение памяти для запоминания значений подынтегральных функций в узлах кубатурных формул ведет к значительному сокращению времени расчетов.

Во втором и третьем параграфах приведено описание комплексов программ расчета полей пространственных ЭОС сложной конфигурации с использованием, соответственно, методов выделения особенностей и изопараметрических преобразований.

В пятой главе приведены расчеты практически важных электронно-оптических систем сложной конфигурации.

В приложении приведены тексты комплексов программ и контрольные примеры обращения к ним.

Основные результаты работы докладывались на семинарах кафедры вычислительной математики и научных конференциях Львовского государственного университета (1978-1984 г.г.), на Республиканской научной конференции "Вычислительная математика в научно-тех-ничееком прогрессе" (Киев, 1978), на Республиканской научно-технической конференции "Исследование путей повышения качества электронно-лучевых приборов" (Львов, 1979), на семинаре "Качество, прочность и технологичность ЭЛП" при ЗЩ АН УССР (Львов, 1980), на Всесоюзных школах молодых ученых "Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики" (Дрогобыч, 1981), "Численные методы решения задач математической физики" (Львов, 1983), Республиканской научно-технической конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" (Киев, 1983), на семинаре кафедры математики физического факультета Московского государственного университета (1983) и опубликованы в работах [8-15], [53-55].

Отметим вклад соавторов работ, опубликованных по теме диссертации. Научный руководитель И.В.Людкевич участвовал в постановке задачи и обсуждении результатов. В.И.Гордийчук участвовал в обсуждении результатов. В.А.Пучка проводил массовые расчеты на ЭВМ ЕС-1022 и БЭСМ-б, И.И.Ширий принимала участие в разработке алгоритмов выделения особенностей в плотности и ядре интегрального уравнения на случай произвольных граничных поверхностей.

На защиту рассматриваемой диссертационной работы выносятся следующие результаты:

1). Алгоритм выделения особенностей в плотности и ядре двумерных интегральных уравнений электронной оптики в случае произвольных граничных поверхностей.

2). Методика расчета пространственных ЭОС сложной конфигурации, основанная на решении двумерного интегрального уравнения первого рода с выделением особенностей.

3).Методика расчета пространственных ЭОС сложной конфигурации с использованием изопараметрических преобразований.

4). Результаты численных расчетов практически важных задач электронной оптики.

5). Комплексы программ расчета электростатических полей пространственных ЭОС.

Автор выражает сердечную благодарность доценту Людкевичу И.В. за предложенную тему, постоянное внимание и помощь при выполнении работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основное содержание диссертационной работы - численное решение двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода со слабой особенностью в ядрах и сингулярным поведением искомой плотности на краю граничных поверхностей, которыми являются произвольно расположенные в пространстве диафрагмы, эллиптические цилиндры, отклоняющие пластины или их части.

Отметим преимущества метода интегральных уравнений: I) сведение задачи к интегральному уравнению позволяет на единицу понизить ее размерность, а значит при имеющихся вычислительных ресурсах рассматривать более сложные классы задач; 2) ядра рассматриваемых интегральных уравнений, происходящие от потенциала простого слоя имеют слабую особенность в окрестности точек наблюдения^ результате этого диагональные элементы матрицы системы линейных алгебраических уравнений, полученные при помощи метода коллокации, являются преобладающими, что говорит в пользу хорошей обусловленности; 3) если априорно известен характер поведения искомой функции, то аппроксимирующие функции выбираются из того же класса, что дает возможность уменьшить размерность матрицы, сохранив при этом точность; 4) неизвестные величины определяются на границе, а не во всей области, как это требуется в других методах; о) решение задачи в произвольной точке определяется интегрированием, обладающим сглаживающим свойством, которое тем значительнее, чем дальше от границы определяется решение; 6) о точности решения каждой конкретной задачи всегда можно судить по величине апостериорной ошибки в промежуточных точках удовлетворения граничным условиям.

Резюмируя результаты, полученные в работе, отметим следующее:

1. Предложена методика расчета пространственных ЭОС на основе численного решения двумерного интегрального уравнения с выделением особенностей в ядре и плотности на случай поверхностей с криволинейными границами и поверхностей с произвольными вырезами.

2. Разработан также алгоритм решения двумерного интегрального уравнения, в котором неизвестная плотность аппроксимируется при помощи сплайн-функций. При этом на краю разомкнутой поверхности аппроксимирующий сплайн имеет особенность на краю. Особенность в ядре интегрального уравнения или учитывается специальным выбором точек наблюдения, или выделяется аналитически. Представление неизвестной плотности при помощи сплайн-функций значительно уменьшает время расчета, так как для вычисления коэффициентов матрицы системы линейных алгебраических уравнений интегрирование ведется только по локальному участку, а не по всей граничной поверхности.

3. Предложено описание основных функциональных узлов ЭОС при помощи параметрического представления в локальных системах координат, что позволяет все необходимые преобразования в методе интегральных уравнений проводить с единой точки зрения, а также значительно упрощает их алгоритмизацию.

4. Исходя из пространственной постановки задачи, обобщен расчет ЭОС с нарушенной осевой симметрией, которая получается как частный случай.

5. Исследована эффективность применения методов нелинейных параметров, выделения особенностей и сплайн-функций для различных классов поверхностей. б. Предложенные алгоритмы реализованы в виде комплексов программ на языке ФОРТРАН-IУ,аппробированы на ЭВМ БЭСМ-6, EC-I022;

- 116 они оптимальны по затратам машинного времени и точности; эффективно используются в инженерной практике при расчетах практически важных электронно-оптических систем.

7. Созданные программы могут использоваться при расчетах стационарных полей произвольной физической природы.

8. Эффективность предложенных алгоритмов подтверждена численными расчетами практически важных задач и проверена на модельных примерах. Проведены исследования, позволяющие учитывать допуски при изготовлении ЭОС. Результаты иллюстрируются таблицами, рисунками, графиками.

1. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по ортогональным функциям. - М.: Наука, 1978.- 352с.

2. Антоненко О.Ф. Численное решение интегрального уравнения 1-го рода для задачи Дирихле в случае тел вращения. В сб.: Математические проблемы геофизики. - Новосибирск, 1969, вып.1, с.202-211.

3. Афанасьев В.П. метод расчета поля системы диафрагм со щелевыми отверстиями. ЖТФ, 1972, 42, вып.2, с.303-308.

4. Афанасьев В.П. Расчет поля в системах, состоящих из диафрагм со щелями и толстых электродов с прямоугольными и щелевыми отверстиями. ЖТФ, 1972, вып.2, с.309-319.

5. Афанасьев В.П., Явор С.Я. Наложение фокусирующего и отклоняющего полей в цилиндрических системах, содержащих диафрагмы и толстые электроды. ЖТФ, 1972, 42, вып.2, с.320-327.

6. Афанасьев В.П., Явор С.Я. Расчет поля в системе, состоящей из произвольного числа диафрагм с прямоугольными отверстиями. ЖТФ, 1973, 43, вып.7, с.1371-1380.

7. Афанасьев В.П., Явор С.Я. Расчет электронно-оптических параметров одиночной трехэлектродной скрещенной линзы. ЖТФ, 1977, 47, вып.5, с.908-916.

8. Бакалец В.А. Алгоритм расчета электронно-оптических систем, состоящих из произвольных диафрагм. Теоретическая электротехника, 1982, вып.32, с.104-111.

9. Бакалец В.А., Гордийчук В.И. Усовершенствованная методика расчета полей ЭОС сложной конфигурации. В кн.: Повышение качества ЭЛП. - Киев: Наукова думка, 1981, с.103-106.

10. Бакалец В.А., Гордийчук В.И., Людкевич И.В. Численное решение пространственных граничных задач теории потенциала дляповерхностей с вырезами. Вычислительная и прикладная математика, 1982, вып.46, с.72-77.

11. Бакалец В.А., Людкевич И.В., Пучка В.А. Расчет электростатического поля, создаваемого системой произвольных диафрагм. Львов, гос. ун-т, Львов, 1982. - 20с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 28 апреля 1982г., №2072-82Деп.).

12. Бакалец В.А., Пучка В.А. Моделирование электростатических полей сложной формы методом интегральных уравнений. В кн.: УШ Всесоюзная школа молодых ученых "Численные методы решения задач математической физики": Тезисы докладов. - М., 1983, ч.П, с.45-46.

13. Бакалец В.А., Пучка В.А., Ширий И.И. Расчет электростатического поля с нарушенной осевой симметрией в пространственной постановке. Львов, гос. ун-т, Львов, 1983. - 14с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 24 января 1983 г., №390-8ЗДеп.).

14. Бакалец В.А., Ширий И.И. Выделение особенностей в интегральных уравнениях пространственных задач теории потенциала.

15. В кн.: Республиканская научно-техническая конференция "Интегральные уравнения в прикладном моделировании": Тезисы докладов. Киев, 1983, ч.П, с.23-24.

16. Белоносов С.М. Интегральные уравнения краевых задач для уравнения Лапласа и Гельмгольца в случае тел вращения. -Вычислительные системы. Новосибирск, 1964, вып.12, с.5-25.

17. Беляев С.Ю. Электростатическая задача для двух колец. ЖТФ,1982, 52, вып.З, с.419-422.

18. Блейвас И.М., Невский П.В., Руденко Б.В. и др. Методические особенности расчета ЭОС в трехмерной постановке с помощью комплекса программ КСИ-БЭСМ. В кн.: Методы расчета электронно-оптических систем. - М.: Наука, 1977, с.25-33.

19. Бонштедт Б.Э. Расчет электростатического поля системы диафрагм. ЖТФ, 1958, 28, вып.8, с.1801-1808.

20. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982. - 248с.

21. Васильев С.Н. Автоматизация задач дифракции на основе интегральных уравнений. В сб. Прикладная электродинамика, вып.1. - М.: Высшая школа, 1977, с.65-98.

22. Власов А.Г. Расчет полей простейших электростатических линз. Изв. АН СССР, сер. физ., 8, №5, 1944. - с.240-242.

23. Власов А.Г., Шапиро Ю.А. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем. -Л.: Машиностроение (Ленинградское отделение), 1974. 184 с.

24. Власов А.Г., Шахматова И.П. Поле линзы с нарушенной осевой симметрией. ЖТФ, 1962, 32, вып.6, с.695-705.

25. Волков А.П., Илюшко В.Н., Рвачев В.Л. Пространственная задача об электростатическом поле вокруг заряженной металической пластинки. Теоретическая электротехника, 1968, вып.5,с.165-170.

26. Глазер В. Основы электронной оптики. М.: Гостехиздат,1957. 763 с.

27. Гольдштейн Р.В. Применение интегральных уравнений для численного решения задач теории упругости и пластичности. Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск, 1978,т.9, №5, с.37-69.

28. Гончарский А.В., Ягола А.Г., Леонов А.С. 0 решении двумерных интегральных уравнений Фр^дгольма 1-го рода. ЖВМ и МФ, 1971, II, I®, с.1296-1301.

29. Горбенко Н.И., Ильин В.П., Попова Г.С. и др. Пакет программ ЭРА для автоматизации электрооптических приборов. В кн.: Численные методы решения задач электронной оптики. Новосибирск : ВЦ СО АН СССР, 1979, с.34-60.

30. Гордийчук В.И. Численное решение пространственных задач теории потенциала в электронной оптике методом нелинейных параметров: Автор. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Киев, 1979. - 17с.

31. Гордийчук В.И., Людкевич И.В., Маринок Л.О. Численное решение граничных задач теории потенциала с нарушенной осевой симметрией. Теоретическая электротехника, 1982, вып.32, с.116-121.

32. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948. - 728с.

33. Гринберг Г.А., Колесникова Э.Н. 0 расчете электростатического поля системы плоских диафрагм с круглыми отверстиями. ЖТФ, I960, 30, вып.6, с.723-733.

34. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. - 352с.

35. Иванов В.Я. Решение задачи Дирихле для трехмерного уравнения

36. Гельмгольца методом интегральных уравнений. В кн.: Вычислительные методы и программирование. - Новосибирск, 1973, с.I14-122.

37. Иванов В.Я., Ильин В.П. О численном решении интегральных уравнений теории потенциала для модельных задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1976. Препринт, вып.33. - 12с.

38. Иванов В.Я., Ильин В.П. Решение смешанных краевых задач для уравнения Лапласа методом интегральных уравнений. В кн.: Типовые программы решения задач математической физики. -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975, с.5-35.

39. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрооптики. -Новосибирск: Наука, 1974. 202с.

40. Карпов В.Я., Корягин Д.А., Самарский А.А. Принципы разработки пакетов прикладных программ для задач математической физики. IBM и МФ, 1978, т.18, №2, с.458-467.

41. Кельман В.М., Явор С.Я. Электронная оптика. Л.: Наука (Ленингр. отд-ние), 1968. - 487с.

42. Косачевский Л.Я., Кристя В.И. Электростатическое поле диска вблизи плоского кольца. ЖТФ, 1978, 48, вып.Ю, с.2015-2018.

43. Кочетов И.И. Об одном методе решения внешних краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка. ЖВМ и МФ,1975, т.15, Ш, с.779-781.

44. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы, т.1. М.: Наука, 1976. - 304с., т.2. - №.: Наука,1976. 400с.

45. Кузнецова Л.Я., Шахматова И.П. Расчет разрешающей силы электронно-оптических систем с нарушенной осевой симметрией. Оптико-механическая промышленность, 1965, МО, с.15-17.

46. Кузьмин Ю.А. Электростатическое поле диска вблизи плоскости с отверстием. ЖТФ, 1972, 42, вып.З, с.599-604.

47. Купрадзе В.Д. Приближенное решение задач математической физики. УМН, 1967, 22, вып.2, с.59-107.

48. Лачашвили Р.А. Расчет электростатического поля в плоских ЭОС с помощью интегральных уравнений I рода. ЖТФ, 1976, 46, вып.4, с.886-889.

49. Лаша Ж.К., Уотсон Дж.О. Усовершенствованная программа решения трехмерных задач теории упругости методом граничных интегральных уравнений. В кн.: Метод граничных интегральных уравнений. М.: Мир, 1978, c.III-128.

50. Лебедев Н.Н. Электростатическое поле иммерсионной электронной линзы, составленной из двух диафрагм. ЖТФ, 1957, 27, вып.9, с.2097-2104.

51. Леус В.А. О численном решении системы интегральных уравнений с криволинейными интегралами. Вычислительные системы. -Новосибирск, 1978, вып.75, c.III-117.

52. Людкевич И.В. Об уточнении одного метода расчета электростатического поля системы электродов малой толщины. Вестник Львовского ун-та, серия мех.-мат. наук, 1969, вып.4, с. 4345 (на укр. яз.).

53. Людкевич И.В., Гордийчук В.И., Бакалец В.А. и др. Численное решение пространственных задач теории потенциала. Львов: ЛГУ, 1979. - Пбс.

54. Людкевич И.В., Гордийчук В.И., Чухлебов А.Н. Численное решение граничных задач теории потенциала методом интегральных уравнений. Львов: ЛГУ, 1978, - 66с.

55. Ляшко И.И., Сергиенко И.В., Мистецкий Г.Е. Вопросы оптимизации решения задач фильтрации на ЭВМ. Киев: Наукова думка, 1977. - 288с.

56. Манько Г.П. Проблемно-ориентированные программирующие системы (генераторы программ) серии "Поле". Вестн. АН УССР, 1982, №3, с.3-8 (наукр. яз.).

57. Мартыненко М.Д. Основные краевые задачи теории потенциала. -УМЖ, 1963, М, с.431-437.

58. Мартыненко М.Д., Романчик B.C. Об одной специальной аппроксимации функций и ее применении к решению интегральных уравнений 1-го рода. ДАН БССР, 1977, 21, МО, с.882-885.

59. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. - 416с.

60. Орлов Б.М. Расчет потенциала электронно-оптических систем с диафрагмой. ОМП, 1968, №9, с.19-23.

61. Остудин Б.А. Численное решение граничных задач теории потенциала с помощью интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода: Автореф. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Минск, 1981. - 16с.

62. Перминов В.Д. Численный алгоритм для решения линейных двумерных интегральных уравнений 1-го рода. Инженерно-физический журнал, 1977, 33, IF6, с.1103-1108.

63. Полищук И.М. Построение решения задачи Дирихле и Неймана для незамкнутой поверхности. ДАН СССР, 1970, т.192, №1, с.59-63.

64. Поляков Г.Ф. Анализ и расчет электростатических систем. -Новосибирск: Наука, 1976. 254с.

65. Прусов И.А., Валько Б.В., Людкевич И.В. и др. Расчет электростатического поля системы электродов малой толщины методом нелинейных параметров. В кн.: Вычислительные системы. Новосибирск, 1967, с.158-163.

66. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. -Киев: Наукова думка, 1982, -552с.

67. Риццо Ф. Метод граничных интегральных уравнений современный вычислительный метод прикладной математики. - В кн.: Метод граничных интегральных уравнений. М.: Мир, 1978, с.П-17.

68. Романив Л.Е. Приближенная методика решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в многосвязных областях с незначительно нарушенной осевой симметрией: Автореф. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Львов, 1975. - 20с.

69. Руховец А.Н., Уфлянд Я.С. Электростатическое поле системы непараллельных круглых дисков. ЖТФ, 1971, 41, вып.6, C.II03-II08.

70. Самарский А.А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Вестник АН СССР, 1979, №5, с.38-49.

71. Силагадзе Г.С., Джанджгава П.В., Абрамидзе Е.Л. и др. Пакет прикладных программ решения граничных задач для уравнения Лапласа и Пуассона методом разложения по фундаментальным решениям. Труды ВЦ АН ГрузССР, Тбилиси: Мецицереба, 1979, М, с.90-124.

72. Стэррок П.А. Статистическая и динамическая электронная оптика. М.: ИЛ, 1958. - 286с.

73. Сулейманов С.П. О приближенном решении линейного интегрального уравнения в двумерном случае методом коллокации. Изв. АН АзерССР, сер. физ.-техн. и мат. наук, 1974, №2, с.138-142.

74. Тозони О.В., Маергойз И.Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. Киев: Техника, 1974. - 352с.

75. Уба П.Р. Приближенное решение интегрального уравнения со слабо особым ядром на неравномерной сетке: Автореф. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1983. - Пс.

76. Фикера Г. Асимптотическое поведение электрического поля и плотности электрического заряда в окрестности сингулярных точек проводящей поверхности. УМН, 1975, т.30, вып.З, с.103-124.

77. Фрейнкман Б.Г. Выделение особенности в интегральных уравнениях трехмерного электромагнитного поля. ЖТФ, 1980, 50, вып.2, с.425-427.

78. Цукерников И.Е. 0 численном решении внешней задачи Дирихле с помощью интегральных уравнений I рода. ЖВМ и МФ, 1976, т.16, №5, с.1359-1364.

79. Цырлин Л.Э. Избранные задачи расчета электрических и магнитных полей. М.: Советское радио, 1977. - 320с.

80. Цырлин Л.Э. Метод расчета электростатического поля систем диафрагм. ЖТФ, 1966, 36, вып.5, с.843-851.

81. Чухлебов А.Н. Численное решение граничных задач для уравнений Лапласа и Гельмгольца в случае незамкнутых поверхностей: Автореф. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1983. - 14с.

82. Шпак Е.В., Явор С.Я. Расчет квадрупольных линз и их применение. В кн.: Методы расчета Электронно-оптических систем. -Новосибирск, 1970, с.7-25.

83. Явор С.Я. Расчет скрещенных электронно-оптических линз. -ЖТФ, 1970, т.40, вып.10, с.2257-2260.

84. ChnidLanjen $ Handen S.&. flumbttcat dotaticn of foundcm.^ -mtaz ptotiem tfnou^h interval

85. Tatlond. Z. апвеъ). Ulcrth. and ttlech.) W&,go. <fccheta jg/. ; Rccci P.8. 3#e din^k taiji potmtiai approach in ihe -tfacny of Sourtdwtg vaiue jnoSCemi jvi ethptcc ^aaiioni. - 3ed. Hoted. TtUih13% f 561, p. 3g-50.

86. Handon R, ^ phMipd tf. tlume.niQ.at dotationof Ыо- dimendionak interna? ecjjuatcond tiding

87. Ccnem etementi.- S\AM fr Hamen. dml. f5 АЧ, p. МЪ-Ш.

88. Hayadhl y. The JdiiCchtet рпобСет -fen the b*o<-dlmendionai Мтко&г equation -fin an open ioimdam. f. iticdh. Ctnai. and CLppit) M,p. W9-530.

89. Havjadfii у. ffwee dCmendCona£ £hnich№ jnoSdem -fotike HetmhoU? legation fen an open ВoundwtLL. ftoc. tfxp. dead. f \m) Д5Ъ} U5} p. m-m.

90. Hayadki у. Же expansion tfocny. of- the fiitiMtiyvoifan fen -the №mhotl% 2cj-jucctu>n fen. out open

91. Sounday. ~ ft 1tlaih. Cinat arid Ctpp?. mi, 64, M, p. 33<f~ 540. П

92. Pad ha Ж X. Zfcdtodbaite potential due. bo afinite num&vt of ciouUe laminae Ui ftee dpaze.-Off?. Pbyj. } m5tM,M, j).S5GJ~35?5.

93. Pad%how<}ki 5. Opiujka decbtonotfa . гОГаъМаъТа: Vl/VT; 1965. - 34<$c

94. W. Vaid 8. К; fain fi. Some etttttodiatu andhudt о dun a tni c- jdt.oitemd fen btfro jph&ticaB Gxxpd.

95. SIAM jf. Of pi. ТПа1к./№,*.30? ЫЪ} р.Ш-Ш.