Регуляризованное решение задач Коши для уравнения Лапласа применительно к решению задач электронной оптики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.04 ВАК РФ

САШТ^ШЗЙБУРПЖЙ ГОСУЛДРСТВШМ] ТЖШЧЕСКЙИ УШБЕРСЖБТ

ПОЛЯКОВА ШИЯ СТЕПАНОВНА

РШЛЯРИЭЙРОВАКНОЕ PSbEffiE ЗАДАЧИ ШЛИ. ДЛЯ УРАВНЕНИИ шйаса т&шштзшо Я РШШИЮ ашч ЭЛЕКТРОННОЙ' ОПТИКИ ' .■ ■

0I.C4.04 - физическая электроника

04

На правах рукописи

Автореферат

диссертация на соискание учаной степени кандидата ' Физико-математических наук

Санкт - Петербург 1994

Работа выполнена ва Нефедов злевтровикв -г золвовнх процаооов Саратовского ордена Трудового ;КрасногоЗнамени государственного университета вмени Н.Г.Черншгавского

. Научны® руководитель: догтгср -гахничвоянх ваув профессор

С^И«Молок овсеий

Официальные оппоненты: довтор фазиво-ыатематических наук

профессор Ю. К* Годиков (С.т-ПГТУ, г.Санят--Патербург);

кандидат физивс^ка.темзтичесвих ааув ^аввд^адаВ-йбСовв'ГтрШ, старший ваучный оотрудвив ^айвЗров г.Санйт-Легербург)

Ведущая организация: Всероссийский алеятротехвичесвий институт, г.Моовва.

Вашнта диссертации состоится 1994 годе

в/^-^асов вв заседании специализированного совета К.063.38.16 по специальности 01.04.04 - физическая электроника Санят-Петер-бургсвого государственного, технического университета. 195251, г.Санвт-Потербург, Политехническая ул., 29.

С диссертацией'ыоано ознавоыиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного технического университета • . "

Автореферат разослан годе.

>УЧЕШЙ СЕКРЕТАРЬ ¿7^, '^¿гу^^/гс

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРНАгйЖА РАБОТЫ

Актуальность теш. Прй решении некоторых задач электронной оптики возникает необходимость решения зада1® Кош для уравнения Лапласа. Примерами таких задач могут быть: I. Внешняя задача синтеза для интенсивных электронных лучков. Условия Кош заданы на границе пучка. 2. Еадача синтеза элея-трокко-оптическпх систем для "слаботочных" пучков. Условия Коши определены на оси системы, в общем случае криволинзй-ной. 3'; Задача восстановления поля в пространстве по его распределению на оси системы, полученному путем экспериментальных измерений или расчета численным методом. Чаще всего встречается задача восстановления магнитного поля в пространстве по его осевому распределению, найденному экспериментально.

Задача Коши для уравнения Лапласа является некорректной. Некорректность задачи проявляется в неустойчивости решения по отношению я малым изменениям начальных условий и к точности применяемого для ее решрния метода. Если начальные условия заданы з аналитической форме и задача могет быта решена аналитически, то неустойчивость решения по отношений к малы?! изменениям начальных данных не имеет значения. Однако, если . 'начальные условия заданы приближенно С например, численно, в ' виде таблиц ), то при решении задачи и точными, и приближен- ' ними методами небольшая ошибка в величина начальных данных», может привести к ошибке до бесконечности в нахождении ратания.

Задачи электронной оптики,-как правило, не рейазтея аналитически и по точным начальным условиям. Условия Копш . известны-обычно с некоторой-степенью точности, приближенно, так как являются результатом решения "задач численным методом.' Например, при решении внешней задачи синтеза интенсивных электронных пучков эти значения получаются из решения внутренней задачи синтеза ( обычно численным методом ).

В приложении к электронной оптике задача Коши для уравнения Лапласа решалась для случая аналитического задания начальных данных точными и приближенными методами. ; В

настоящее время в категахлке интенсивно разрабатываются метода решения некорректных задач. Многие задачикатекатк-ческой физики приводя! к постановкам, некорректным в классическом с иг еде ( некорректным по Адакару ). Один es ■ возможных подходов к решению некорректной задачи состоит в изменении требований, предъявляемых к постановка задачи. Тпхоновш А.Ы. был введен термин условно-корректной постановки задачи £ понятие регуляризации. Полагают, что задачи математической физики, описывавшие реальные явления, регуляргзируемк.

Целью диссертационной работы является регуляризирован-ное решение зада»« Кош для уравнения Лапласа при приближенных, заданных численно начальных условиях х приложении к задачам электронной оптике, т.е. применение /метода рагуля-ризалЕВ задачи Коее для уравнения .¿аяласа к решению задач электронной оптики.

Научная новизна исследований

■ I. Решение задачи Кошн для уравнения Лапласа при приближенном { -численной ) •задании начальных услоеиё применительно г задачам электронно« оптики в плоском к простра&-ственноы случае прсводится с применением риударззгруюадго алгоритма ( без предварительной аппроксимации численно заданных начальных условии полиномами ) с использованием метода Лаврентьева U.M., 'что позволяет получить устойчивое

решение. -.-... -..........

• 2. Проводится исследование -устойчивости" решенгя задачи по' отношению к изменениям различных параметров, входящих в выражение для потенциала, получено выракение для потеналала в рассматриваемой области в плоском случае, проводится вн-öop оптимального значения параметра -регуляризации.

3. Показывается, что решение устойчиво по отношение к сильной осшлляши начальных условий ( в плоском и пространственном случае ). .......

4. Получено выражение для функции Карлемана, проведе-

4

на аз опазва и получено выракенкз для потендаэлз в рассматриваемой области в трехмерном случае.

5. Проведено сравнение полученных результатов о точным решением и нерегуляризированвым решением. Решение задача проводится на ЩВД в плоском з вкоиалъно-аетлиатричвои случав. Показано, что получаемое решение имеет точность задавая начальных условий.

6. Показана зозг^ожность решения задачи путем оведе-ния з решению интегрального уравнения первого родэ методом Лаврентьева li.ll* Получены выражения для потенциала в рассматриваемых областях, совпадающие в частном случае с известным. д

Достоверность полученных результатов

Получаемое решение имеет точность порядна точности задаваемых ¡зачалъпух условий.

В частном случае полученные выражения совпадают с янвестнш.

Лгавтичесуэя значимость работы

Разработаны методики и составлена программы для опре-дедеззя ЗЕЕЗкотвншалай поля я яахоадевия формы фокусирующих электродов в задачах синтеза электронно-оптических спо~-тем.

Апробация работа

Результата, излозеннне в диссертации, догладывались на научпих семинарах кафедры РТЗ з Санкт-Петербургском государственном элевтротехвнчвсвом университете, нз УШ ?.!ехвузовскоп конференции по электронике СШ, на научном семинаре ззйэдры электроники и волновых процессов СГУ иы.Н.Г.'Черзшавсяого. . '

Публикапии

По материалам диссертации опубликовано 4 работа.

Струзтусз и объем дгссертлцаи. Диссертация состоит аз введения, четырех глав, заключения, списка литература •

и прялонения. Общий объем диссертации сссшавадеи 221 страницу машинописного текста ( 161 страницу основного текста, 28 рисунков, 8 страниц приложения; список литературы изложен на 24 страницах, содер:еит 212 наименований ).

содакАшр РАБОЙ?

Во введении обоснована ш::туальность диссертационных исследований, сформулирована цель ¿шссертапионной работы, показана научная л практическая значимость работы и описана структура диссертации.

В первом разделе диссертации проведен анализ исследований, посвященных решению различных типов электронкоопти-ческих задач, сводящихся к решению задачи Коши для уравнения .Лапласа. Показано, что задача Коши для уравнения Лапласе решалась для случая аналитического задания начальных услови: точными и приближенными методами. Однако чаще всего в элек-троннооптических задачах имеется приближенное ( численное ) задание начальных условий ( например, результаты машинного счета в виде'таблиц ). Для решения задачи в этом случае пш> 'меняется йредварительная аппроксимация начальных данных полиномами и-задача решается по аналитически заданным началь-.

НИМ УСЛОВИЯ1,!.

Кроме того, в первом разделе диссертация проведен шал* разработанных в настоящее время в математике методов решения некорректно поставленных задач, в результате чего выбраны методы регуляризации задачи Коши для уравнения Лапласа, используемые в диссертационной работе.

Во втором разделе проведено регуляризнрованное решение задачи Коши для уравнения Лапласа применительно к решению задач электронной оптики в плоском случае.

Проводится построение регуляризированного решения задачи для случая, когда условия Копщ заданы на кривой линии, с использованием метода Лаврентьева М.М. Решение задачи априори предполагаем существующим и принадлежащим классу

'раниченнкх функций. Доказательство единственности решения .дачи Кош для уравнения Лапласа известно.

Пусть надо решить одну из электроннооптичсскнх задач, годящихся к задаче Коши для уравнения Лапласа, когда зна-:шш потенпкала I/ и его нормальной производной задашь :слекно ( з виде таблгш ) на разомкнутой кривой АВ, такие данной численно ( в виде таблиш )

е. значения 1Ге1-зс)и (известны с некоторой за-

:кной степени точности <

I И- Г(гс) I 6 ¿-V,

1Ш- &

¡обходило определять значения потенциала в области ,

ютыо границы которой является кривая АВ. ( В случае реше-га внешней задачи синтеза для интенсивных электронных пуч~ ¡в надо определить распределение потенциала вне пучка, 7(&) ж - условия на гранило электронного погона,

[едущие аз решения внутренней задачи синтеза такой .элек-юннооптическсй системы ). Пусть известно также, что в ¡ласти величина потенпкала ограничена'

I и а) I < м.

о. необходимо найти гармоническую функцию ТУ , опреде-¡ннуго и ограниченную з некоторой ограниченной области <0 , > заданным численно на часта гсанклы области ¿2) ' I и и ЪУ/дП. ' .

Отлитие требований условно-корректной постановки зада-[ от классической состоит в том, что в условно-корректной ютезозке решение априори предполагается существующим и при-щлежащии заданному множеству "?ь функшонального пространна, обычно компактному; непрерывную зависимость решения от .чальнЕХ данных надо установить на множестве корректности % , т.е. сколь угодно малым пзмвввЕсяи начальных данных

долпш соответствовать из:ле нетал р. -спня. л^еспге тот кр порядок малости, я при этом решение долине оставаться в множестве Ш

Задача кахогления гармонической сункпии Т-Г , определенно!: к ограниченной в ограниченней области , по заданным на части грант; ( кркггя АВ ) об лас те о£5> значениям 1/ и ЭУ/стг сводится г. задаче отыскания аналитической функции • ± сх.) - ЪГ(Ж)+ / V ¿г) , определенной я ограниченной г. то;': ке сбласгп, 2 = сг ♦ ¿у "\Г (ху- сопряженная к 2У гарглоничеекгя фун-

кция» Рассматриваемая область -покрывается треугольниками О ¿А)£ , в точка? б&ссектрис которых аналитическая функяия у г^ козе? бек. рпрсдсгсга по условиям Зопп на кривой АВ путем вводсппе г ин-тс-гргльяуЕ формулу Копг "гасящей" £увкши, сводней « -яу-жэ зкичеЕня интегралов по пряшы и В . "Гас..та.":" сункиня является г'н-н:-

шхей величины /Ч* , которой ограничен;, по мспунн аналитическая функция У (Я) у данной области; величин: максимального отклонения ^ заданного значения У 'я; кривой АВ от ее точного значения, длины кривой АЗ,

расстояний точки наблюдения &? до точки О н

до точки з ( = ^з ^^з - точка на кринов АВ, блинайшая к точке г ), расстояний точки О ^^ до точек А,В и точке г ( ^ - .ЯГ, + .¿^Л г- тонка ' вой АВ, б которой величина (г., ££АВ

имеет максимальное значение ), величины угла А О

'Следовательно, параметр регуляризации г нанном случае имеет слоеную структуру.

Был проведен выбор оптимального значения параметра регуляриэалди. -Получено вкрггенис ~ля нотонниала н области вне кривой АВ, на которой заданы условия Кегги; получено выр^ение величины /"1 у через величины, которые могут быть заданы априори. НаЬше вырансния для спрэдедЕЕО? зеддчпг

• , гкрр~т-:т- .-<< ■цгчдкг. ™ча.5:!вп (• .-"лоно-

нля нодулл аннлнт;г"снсг •"'у::"::;::. У л:узз а—ллл.: начально отклонения гснгипсчесдс: увидит /_' к а; .-с.рднгльно:. грскзвсгш)2 на крихой АБ от тонзс-э заа 'лини. Ь гз'-астзе заданной арпзс* жгло гсхгхе делольгпвагь одну из у~е получении: г результате решения з калл о танина леи г::;: прямун - ;и:.сг-нтрлсу едкого лз треугольников /5 О {Л)3 , - толкал потере;; лоте.ч-длал уге найден.

£ля вычисления эсвпяотснияаяеИ поля в облдсгл ¿Э сгс-гаглеш ллограала счете. на ЗЦЗ£.

Для опенки точности получаемого Даниил методом реаенпя проводилось ого сравнение с вкзепкеи, получении.: точнкл мат о-док - аналитического продолжения - псе ярлблЕкекдом задании начальннх условий ( нерегуляризирозаннп;.: резениегл ) и точно?,; згдгшп: начальное условий ( точкигл редс-пдем ).

Регуляризирозанное редение задачи совпадает с течкнм с точностью заданхЕ начально: условия, а нерегулярпздрозав-ное радение задачи очень сильно отличается от неге. Приводятся £ор:ш эквипотенциален, нолучлег.апс в результате репе нее.

Показано, что величины S'fJ ¿Гг могут бить заданы априори. Решение задачи устойчиво но сгнгзеягпэ и евоольшш иг:,'.£нс:-У!лм величин > X' ~ X*

При сильно;; сонплляипп лачадыдге да лил: точность получаемого ранения остается пепддке. точности задлансгна: начал1— гит; условий.

5 тпетьс" "азллле проводится рстляргзпророгкое решение задачг Ъ'они длл уравненная ¿ахгяг.са пригенитсльяс к зегвзэв задач электронно"; оптики для гр«з«рпого случая кстодск 1ал-пентьева

Провопится построение регулярпзпрованиого ре:-;евия. Усяс— здя Коле садапь' ш пог.^рхлеота с годлсегкэ на £ На лотопннсстл " , я~.ляггцл,1ся дслс.-псдкр".? дол-ринаот"

.Г ' уе з.ег.ннп'гс-" достаточно глллл; :::а уллезт;' £ отнаннчг-'лнл:: область ¡2) , :■ потере; п'лг гллллнн: аначения г: л алллескон ^шег и~ <, л ас норглльная предалгхчья сгулднусгл:

. > i - J ЧГ1-:-:)\ < Ai

Т.е. задача решается в области <=-¿2 в классе ограниченных решений для функции , Гармоническая функция "¿/"¿ее) в люоой точка замкнутой области может быть определена по формула Грнна. Если в качестве функции Гриш выбрать функцию Карлемана, то моеео "погасить" интеграл по поверхности ¿Г " Получено выражение для потенциала вне поверхности, на которой заданы условия Коша. Получено выражение для функции Карлемана г проведена ее опенка. Проводятся решение задачи для аксиально-симметричного случая. Проводятся его сравнение с точным решением.

Решение, полученное данным методом, имеет погрешность, не превышающую точность задания начальных условий ( также я для быстро осциллирующих начальных данных ).

В четвертом раздела проводится сведение задачи Коши для уравнения Лапласа для плоского криволинейного случая методом Лаврентьева М.М. к решению интегрального уравнения первого рода.

В данном методе интеграл по кривой , дополняю-

щей заданную кризуэ Г' , на которой известны условия Коши, до замкнутой кривой 1 внутри области ¿2? ), не "гасится", а вычисляется, при этом и возникает задача реш-шш интегрального уравнения первого рода. Используется формула Коши нахождения аналитической функции внутри области до ее значениям на граница области. • •

Получены выражения для потеншала в области вне кривой, на которой заданы условия Коши, выбраны различные границы этой области.

В частном случае полученные выражения для патёшхиала совпадают с известным выражением.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы я выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

I. Показана возможность регуляризированного решения задачи Коши для уравнения Лапласа в случае приближенного ( численного ) задания начальных условии применительно к задачам электронной оптики в плоском и пространственном случае ( без предварительной аппроксимации численно заданных начальных условий полиномами ) с использованием метода 'Лаврентьева М.М.

2. Рассмотрена процедура решения задачи Коии для уравнения Лапласа в двумерном случае с использованием метода регуляризации. Получено выражение для определения потенциала и разработан алгоритм его численного расчета.

3. Исследовано влияние параметров, используемых в процедуре регуляризации, на результаты регулярсзировагашго решения и даны рекомендации по их выбору.

Показано, что данная процедура применима и для случая сильной осцилляции нэтаяьных условий ( условий Коши ).

. 4. Разработана процедура регуляризированного. решения задачи Коши для уравнения Лапласа г. тпедм^рном случае с использованием функции Карлемана. Получено выракение для этой функции, проведена ее оценка и разработан алгоритм расчета потенциала в области вне поверхности, на которой заданы условия Копи.

5. Составлены программы, реализующие указанные выше алгоритмы и обеспечивающие решение задачи для плоского е аксиально-симметричного случая.

6. Проведена апробация и тестирование разработанных процедур, алгоритмов п программ путем расчета внешней .задачи синтеза для конкретных электронно-оптических ' спетом.

7. Показана возможность решения задачи Коаи для уравнения Лаптоп дрлкекятельно я задачам электроннгй оптики путем сведения задачи методом Лаврентьева U.U. к решению Hi-

ll

тегр&льного уравнения первого рола. Прев-елен выбор облаете;": вне кривой ¿3 ( на которой кагссиш условен Коаи ), подучена bkраненая для потвинала г рассштризаегдлс областях вне кривой АВ, которые в частной случае соыкшнет с известным выражением.

Основные результат диссертации опубликованы в слеаугеих pacora:::

X. Бологоеский С.П., Полякова IC.C. Решение внешне;": задачи сичтеза эяоягреегегкчеснях линз с еспользованием алгоритма р~гу л_-р::заш:и // ¡зз.ЛЗТЛ. Л.-1£?Ь. - Zun.IEI. -

- С.50-56.

2. ¡..олскоеский С.:-!., Полякова 1С.С. Регуляризирозавкое ре-иен:;е загсчг Коз: хля уравнения Лапласа прпкэнгтельяо к c:::-:tsô" оплитрокксоатическп:: систем с криволинейной Гранине: потока // Электроника. Mo-вуз.сб.науч.тр. -

■ - 1£7£. - bi-п.З. - C.I3I-I37.

3. îicr-сковский С.П., Полл г о за Ю.С. Росвясв задачи Коми длт уровнечая Лапласа с использованием алгоритма регузярп-z&bzz приме:::-, тельыс i: рзаечнэ задач электронней оптики. -Тезисы ш: ледов '.Z. '...п'.тгузевгкой кон'ерсЕгсп по олегтро-:-лке С1Л. 14-17 сентября ÏS75 г. - С.83.

4. Полякова i.C. Per:- дярлзкрованаое решение зедече Еоев для уравнения Лапласа применительно к ре-ениа задач'злех-трЗЕНой оптики // ?;;3. - ISS8. - Т.ШШ, с.S II. -

- С.2355-2360.