Задача Коши для системы теории упругости на плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗбЕШСТАН . ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ имени В.И.РОМАНОВСКОГО

ЗАДАЧА КОШ ДЯЯ СИСТЕМ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НА .ПЛОСКОСТИ

01.01.02 дифференциальный уравнения

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени

ОД

На правах рукописи

НИЕЗОВ ИКБОЛ ЭРГАШЕВИЧ

кандидата физико-математических наук

Ж

Ташкент-1996

Работа выполнена в Самаркандском Государственном университете имени А.Навои.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

Ш.Ярцухамедов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

М.Орипов

кандидат физико-математических наук Ы.Атаходжаев

Ведущая организация - Институт математики Сибирской Отделении Российской Академии шук

г.

Завита диссертации состоится " О-С^ССХ^) 1996

а О '

в ' Ч час. нас заседании объединённого специализированного"

совета Д 015.17.01 в Институте математики имени В.И.Романовского

АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г.Ташкент,

ул.Ф.Ходжаева, 29 •

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики имени В.И.Романовского АН Ресцублики Узбекистан.

Автореферат разослан » М » ¡ЛОЛЛЧсЛ, 1996 г.

аный секретарь |ированного совета 5.-мат.наук,проф.,, * Ш.А.Хаиимов

Общая характеристика работа.

Актуальность теми. В работе изучается задача продолжения решения системы•уравнений теории упругости в плоской области по ее заданш значениям и значениям ее напряжений на части границы, т.е. задача Коши для системы уравнений теории упругости;

В классических задачах для рэшовия задач теории упругости требуется задание тех или иных граничных условий на всей границе области. Однако во многих реальных задачах часть грашщы недоступна для измерений ни перемещений, ни напряжений, либо известны лшдь некоторые интегральные характеристики. Поэтому возникает вопрос эффективные решения задачи по данными на одном чаете гра-нкци области.

При произвольных непрерывных данных задача неразрешима.Если данные Коши аналитичнн на рассматриваемом дуге (дуга аналитическая) и аналитически продолами внутри области то, согласно теореме Коши-Ковалэвской, продолжение осуществимо и единственно. Однако задача некорректна по Адамару, т.е. характер некорректности такой же,как в задаче Коши для уравнения Лапласа.

Так как данные Коши могут быть заданы только, приблшязнно.то речь может идти только о приближенном решении задачи. Но из-за отсутствия устойчивости в решении без дополнительной (относительно решения) информации приближенное решение невозможно.

Возникшие в работах А.Н.Тихонова понятие условной корректности постановки таких задач, развитое затем в работах М.М.Лаврентьева, дало принципу подхода для исследования некорректных задач.

После установления теорем единственности и устойчивости при исследовании условной корректности некорректных задач возникает вопрос построения эффективных методов решения, т.е. построения регуляризующихся операторов.

Для специальных областей задача продолжения ограниченных аналитических функций в случае, когда данные задаются точно на . части границы, была рассмотрена Т.Карлеманом. Исследования Т.Кар-лемана были продолжена Р.М.Голузшшм и В.И.Крыловым. Для уравнения Лапласа задача Коши,когда область полосой,регуляризованное решение построено В.К.Ивановым. Использование класической формулы Грина для построения регуляризованного решения задачи Кош для уравнения Лапласа было построено академиком М.М.Лаврентьевым. Используя идеи М.М.Лаврентьева, Ш.Я.Ярмухамедов построил в явном виде регуляризованное решение задачи Коши для уравнения Лапласа.

Задача Коши для систем теории упругости в ограничнных пространственных областей был изучен О.И.Махмудовым. В этой работе исследуется задача Коши для ограниченных и неограниченных плоских' областей.

Цель работы. Целью диссертационной работы якляется

/

построение матрицы Карл°мана для специальных областей в явном виг де и на ее основе построение регуляризованного решения задачи Коши для систем теории упругости.

Методика исследования. Развывая■ идеи М.М.Лаврентьева, И.Я.Ярмухамедовым было построено в явном виде регуляризованное решение задачи Коши для уравнения Лапласа. В

работе с использованием метода Ш.Я.Ярмухамедова строятся семейства матрицы фундаментальных решений системы теории упругости специального вида для широкого'областей в явном виде. На ее основе строятся регуляризованное решения задачи Коши систем теории упругости. Полученные формулы продолжения основаны на постановке и приеме4, М. М. Лаврентьева.

• Научная новизна. Задача Коши системы теории упругости в плоской области не ставилось и не исследовалось. В диссертации найдено регуляризованное решение задачи Коши для специальных ограниченных и не ограниченных классов областей в явном виде.

Теоритическая и практическая ценное т ь. Построение в явном виде решения поставленной задачи представляет теоретический и практический интерес. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании математических задач теории упругости, задачах геомеханики и т.д.

Апробация работы. Основные результаты диссорта-

Докладивались на научном конференции молодых ученных Инстету-тэ Механики АН Украини.на объединенном семинаре отделов "Дшйере-йциальные уравнения" и "Неклассические уравнения математической физики" Инстетута математики им. В.И.Романовского АН Республики Узбекистан (руководители- академики АН РУз М.С.Салахитдинов и Т.Д.Жураев), на семинаре "Функциональные методы математической физики" (руководиель-член-корр.АН РУз Ш.А.Алимов), на Всесогон. конференции "Условно-корректные задачи математической физики и

анализа" (г.Новосибирск, 1992 г., ишь), на УШ-конференции СНГ (г.Самарканд, 1992г., сентябрь),на Реснуб.науч.конф.(г.Наманган, 1994 г., май).

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в работах автора [26-32).

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения.двух г^ав, содержащих 8 параграфа (§§ 1.11.4 в гл.1, §§ 2.1-2.4 в гл. 2), и библиографии. Общий объем работы 96 страниц машинописного текста. Библиография включает 47 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации и шжведены основные результаты диссертации.

В § 1.1 приводится постановка-.изучаемой задачи Коши,предварительные сведения и вспомогательные утверждения. Дан пример • Адамара для рассматриваемой задачи.

Параграмм §§ 1.2-1.4 являются основными в работе,Здесь приводится конструкция мэттацы фундаментальных решений системы теории упругости специального вида. Построена в явном виде матрица фундаменталышх решений системы теории упругости с выше указанными свойствами для специальных классов областей. Полученная здесь обобщенная формула Сомшшана-Бетти является основным рабочим апаратом настоящей диссертасии. В §1.4 приводиться обобщенные

формулы Сомилиана-Бетти для неограниченных областей специального вида.

Цусть D -ограниченная односвязная область в к2 с гладкой границей 3D, S -гладкий кусок 3D.

Рассмотрим уравнения равновесия однородной изотропной упругой среды D в векторной форма

* И A u(y> + X + ц) grad div u(y) =0. (1)

здесь u =(uj;u2)-вектор смешения; X, р. -постоянные Ламе рассматриваемой упругой среда; Д -оператор Лапласа.

Пусть и (у)-регулярное решение системы (1) в обласШ D т.е. и с Cí(D)nCJ(B) и на S . Удовлетворяет следующим условия^ ЙЪшй:

и(у) = f(y) , y«S 1 (2*

Т(Зу.П) U(y) = Я(У) , yeS )

где 1 »(íjíj), к =(K,;Kj) -садзпппэ пепроравные вектор-

5; Т(Зу,п) -оператор напряжения. Требуется продолжить и(у) в D, исходя из заданных г. и g. Данная постановка является задачей Коши для системы теории упругости. В. начала 5 1.1 приводится пример, доказывавший некорректность рассматриваемой задачи

Пример. Вектор-функция u(y) = { sin(c у,) Shtoy^/o* ; соз(о yt) сМоу^/о2 ), в полуплоскости уг>0 является регулярным решением системы теории упругости и удовлетворяет на границе у2=0 условиям Коши: иСу^О) = (0, соз(о у^/о2),

- б -

T(3y,n)u(yt,0) = (О, 2 (Х+ц) cos (о уt)/a ).

При достаточно большом о.начальние условия для решений и(у) будут малы, а сама решения при у/ 0, y2¡¿ 0, уг>0 мотет быть сделана сколь угодно большой, т.е. устойчивость не имеет места. Доказывается

Теорема). Регулярное в D решение и(х) уравнения (1) представляется выражением

u(x)=f [r(y,x){T(ay,n)u(y)>--u(y){T(ay,n)r(y,x)>]dsy, х eD (3)

3D

где Г(у,х)-матрица фундаментальных решений уравнений систем теории упругости.

В 51.?,.' приводится определение матрица Карлемана: Определение. Матрица размера (2x3) fja(y,x) висящая от параметра а>0, определенная при у i- х , называется матрицей Карлемана для точки х е D и части SD\S, вели она удовлетворяет следующим условиям:

1) Ц^У.*) представима в виде

П0 = (У-*) + Со(у,х), где Со(у,х)-матрица размера (2x2) по переменному у удовлетворяющая системе (1) в D включая у=х, т.е.

2) при фиксированном 1«! матрица ftа(у,х) удовлетворяет неравенству

[ [ |П0(У.Х>| + |Т(9у,п)П0(У,Х)|]с1а <а(о>, (1.17)

aD\s

где а(а)—>0, при о—а>.

Доказывается теорема о справедливости представление (3) при замене матрицу Г(у-х) на По(у,х).

Пусть К (и) (ш=и+1г0-целая функция, принимающая действительные значения при вещественных ы и удовлетворяющая условиям

K(u)*0, sup гf".gp\b>)! = M(p,u)< р=0,1,2, -о» < u < оо.

Положим a=!yi-xil

Функции Ф<у,х) при а > 0 и у^х определим равенством

г ,-.г" К^-Л^+а2 + у,) и йи Ф(у,х) = -¡2тсК(Х2 )] 1т ---;-г- ■-—• (4>

1 * Ло 1-/иг+а2 '+ у -х /и2 + а2"

2 2

С помощью функции Ф(у,х) построим следующую матрицу: П(у.х)=ЙПк/у,х)И2,2= ЦХ.'ОкФ(У,х)-иЧУГх)а/ЗукФ(у,х)Цг)<2. (5)

где 5^-символ Кронекера,

Я' = (Л+Зц)(4и; ц(Х+гц))~*. м.' = (Я.-нх)(41С ^Х+гц))-* Доказывается,что матрица (у.х), определенная формулами (4) и (5), представима в виде

(У.х) = (У.х) + С(у,х) где, С(у,х) = { Ск.(у,х)|-матриц8, ределеянэя для всех значений у.х, и по переменной уесть регулярное решение системы (1) во всем о?2.

В §§ 1.3-1.4, подбирая функцию К(ш) в явном виде в формулах (4) и (5), построены матрицы Карлемана задачи (1)-(2) для специальных классов областей В явном виде. Обозначил' следуй* [ио

D = <(У,;У2>: 0<y2<h, h=o/p, p>0, < yt< » ), ft(D)-itnacc всех регулярных решений системы (1),

й (D)= = iu(y):u(y)«ft(D),!u(y)i+igrad u(y)i s p

s exp(o(exp piy,!)), У —p>0>,

Bp(D)= {u(y): u(yM(D),!u(y)!+!Krad u(y>! < exp!yp!, p>0) Теорема2. Пусть u(x)eftp(D) удовлетворяет граничному условия роста

|и(у)|+|Т(Эу,п)и(у)| ^ С exp [a cos p4(ya-h/2) erp p,|yj]. a JO, у « SB. Если 0< pt< p, то справедлива равенства

u(x) = Г Г (y,x)iT(ay.n)u(y)>— и(у)ШЭу,п> (y.x»l dsy, x <=D

ac

T e о p e м 8 3. Пусть u(x)e вр(В), где D -область в полуплоскости уг> 0, с границей простиращихся до бесконечности заданным уравнением y2=X(yt),причем Г(у4)-дифференцируемая функция .удовлетворяющаяся условию 0 £ X(yt) yo< со и if' (yt) I < Ю , удовлетворяет граничному условию:

Г |U(y>| г |Т(3 ,n)u(y)| I -г ds < «О , -г г—- ds <

JaD 1 + l.arl" v

Если р < t, то

U(x) = [ [ (y.x)iT(a ,n)u(y))-u(y){T(a ,n) (y,x))l da X eD JflD J

В 5§ 2.1-2.4 приводится регуляризованное решение задачи (1)-

-(2) дяя специальных классов областей . Доказанные здесь формулы

продольжэния основаны на формуле Сомшшана-Вотти и матрице Карле-

мана. ■ • .

В § 2.1 с использованием матрицы Карлемана доказаны теоре. устойчивости. '

В §§ 2.2 рассматриваются односвязна'я ограниченная область В, граница которой состоит из отрезка 1, прямой у2= 0 и гладкой кривой Б, лежащей в верхней полуплоскости уг>0. Для рассматриваемой области В построена рэгуляризованиое решение задачи (1)-(2) в области Б.

В формулах (4)-(5) пблоким

Г1—р

К(ш)=ехр(о ш), «= •■Лг-кг + уа, а > О.

Так как Ф(у,х) и П(у,х) зависят от параметра а > 0, в (4),(5) по* •

лагаем

Ф(У.х)=Фа(У.х) И П(у,х>=Па(у,х)

Обозначим

и0(х) = Г [ Ло(у,х>СТ(0у,п)и<у)} —

; — и(у>{Т(ау.п)По(у,х>) ] йзу. х <Ш, (6)

Тогда имеет место.

Теорем а.4. Пусть и(зс)- регулярное решение уравнения (1) в области В, на части 1 удовлетворяющее условию |и(у)| + |Т(а у ,п ). и(у)| < м, у' « 1 (V)

Тогда при о>О справидашва оценка.

|и(х) - ио(х)| < М С(Х.ц.х) а ехр(-о х2), х-И

Приведем.результат,который позволяет вычислить и(х) прибли-

г - 10 -

3 жен , когда на S вместо ц(у) и T(öy,n)u(y) заданы их непрерывные приблежения fö(y) и gö(у):

шах |и(у)-Г (у)| + шах |T(ö ,п)и(у)-я(у)| < а (8)

S S у

функцию ио0(х) опредшшм формулой

uo6(x)=J [ 0<У.*>йв(У)-Гв<У>«(0у.п) 0(y,x»]dsy, Id (9) где о=(х°Г*1п(М/С), х°= шах х,

■ D

Тогда имеет место.

Теорема 5. Цусть и(х)~ регулярное решение уравнения (1) в области Б, удовлетворяющее условию (7) на всей <ЗВ. Тогда справедливо соотношений

|п(х) - иой(х)1 $ И С(Х,ц,Х) 6 г 21п(И/б), XeD

Следствие 2-/1 .■ Педальные равенства lim uo(x): = ütx")lim иов(х) = u(x)

(7—»CO ö—

выполняется раййЬмёрно'ätf1 каждом компакте из D.

На основе теоремы^ 4: и 5 приводиться оценка устойчивости. Пусть 1:;х)-рогулярное' решениэ уравнение (1) удовлетворяет следующему условию ' |U(y)| +' |i'<e;,n)U<y)i $ И, yel, '

|u(y)| + |?(öy.n)u(y)| £ Й, y«Sv

Тогда

|U(X)| £ И С(Х.Ц,Х) ö^'^lndi/ö), XeD

где

са.ц.х) = С(\,ц)Г 11п г + Г-1! <1зу, г =|у-х|

В § 2.3 рассматриваются односвязная ограниченная область Ир с с границей состоящей из отрезков лучей

|у11 = 1 у2, 1 = гя(х/2р), р > 1, о < у2 « ь < со с началом в нуле и дуги Э гладкой кривой, лежащей внутри угла величины х/р.'В данной работе для рассматриваемой области Бр построена матрица Карлвмана задачи Коши для системы теории упругости, выводим оценку устойчивости задачи (1)-(2) для области В . Введем обозначения: Э = 1 У2~ Т = |х.1* а =

При фиксированном х « др обозначим через Б* ту часть Б, на которой 9 > а. Если х = х0«=Бр то Э = Б*. Положим в формулах (4),(5)

К(ш)=Е (о"'"«). К(хэ)=Е (од/"7)

иполучим соответственно Ф (у,х),

По(у,х). Обозначим

ио(х) = Г Г П (у,х>{Т(в ,п)и(у» —

Б*1

— иСуХТСау.п^Су.х)) ] с1зу, х еБ

Тогда имеет место

Теоремаб. Пусть и (х)-регулярное решение уравнения (1) в области Бр и удовлетворяет на части ЗСр/5 граничному

условию

■|и(у)| + |Т(0у1п)иОГ>|.<*. У^аБр/Б.

тогда при о > 0 и х « Вр справедливо неравенство |и(х> - < К Ср(х) ехр(- о 7 р).

г (1з

где С (х) = С —£-^ . г = |у-Ц

р

Приведем формулы согласно которы значения и(х) вычисляется

в любой точке 1б1 .

р

Положим . . ' . •

ио(х> = | [ Ьо<у.х)(1(0у.п)и<у» — и(у)«Юу.п}Ь0(у.х)> ] «!ву.

3

иоа(х) = Г [ Ьа(у,х)йв(у) — Гв<У)«(ву,П)Ьв(у,Х)) ] йзу, 5*

где Ьо(у,х)=(!я'с^Ф^у,х)-ц' ^-^в/ву^у.хЦ^,

Фс(У.х)

ехр(а иР) и йи

<Ра(У<1) = Р|й ь

** /и2 + а2~ '

ш = 11 /и2 -к а? -г ы,= I ^и2 + аг" + уг.

Тогда имеет мвсго

Теорем' й 7. й**)1 Удовлетворяет йй

границе условию (7), тогда

|u(x) - uo(x)l « М С(х) о ехр(- о 7 р>.

|и(х) - и я(х)| « М С(х) в" 1п(М/0),

XeD

Р

XeD

о

где о = R~pln(M/ö), Rp= max Re(iia + ß)p, q = (7/R)p. СледствиеЗ. Предельные равенства

Ilm u (x) = u(x), lim u „(x) = u(x)

с—со ° 8—°8

выполняются равномерно на каждом компакте из D .

В § 2.4 рассматривается вопрос регуляризации решения задачи Коши для неограниченних областей.

Пусть область D с к2 лежит внутри полосы о < у2< h, h=x/p, р > 0, границы которой состоит из прямой уг= 0 и некоторой кривой S: у = Г(у4), удовлетворяющей условиям

О < Г(yf) < h, |Г(у,)| < const < оо, у4е R* Положим в формулах (4) и (5)

К(ш)= [w-x2+2h]",exp(ou)), ш= . У и2 + а1 + у2, h=x/p. Возмем ио(х) и иов(х) как в- формулах (6) и (9).

' Теорема 8. Пусть u(x) е Ap(D) удовлетворяет граничному условию (7) на всей границе 5D. Тогда ■ |и(х) - ист(х)| < М. С (х) ехр(- о х2) , XeD где Ср(х) = Ср/х2 .

Если введем в области D функцию и (х) тогда верна нера-

венства

|и(х) - иа0(х)| < И Ср(х) О

х /h [ 2

ln(M/ö),

- u -

где о = (1/h)ln(M/6)

о

Теперь относительно кривой S Судем предпологать, что она гладкая и ее длина удовлетворяет условию роста:

f exp [-b0ch Р0|у, I] dsy < «., О < ро< р JS

Пусть u(x) е Ap(D) удовлетворяет граничному условию роста

|u(y)| + |I(dy.n)u(y)| ехр[а cos pt(ya-h/2> exp pjyj], y«3D

Предположим, что непрерывные на S заданные функции íe(y) и ga(y) удовлетворяют неравенства:

|Гв(У)1 + 1кв(У) I « ехр[а cos pt(y2-h/2) exp pjy.l], .

|u(y)-íe(y)| + |T(dy.n)u(y)-ñü(y)| §

í б exp [a cos pf (y¿-3í/¿) exp pjyj],

где 0 < 6 < 1, 0 < p¿<0i Тогда верна

T e о p e м á S; При сделЙЙШ выше предположениях справедливо неравенство.-

.&Jь .

|и(х) - í С(х) б ln(1/0) expf2a cos P,(x2-

-h/2) exp pjxj], x 6 D

где C(x) = C f exp [-boch p0a ](r_1+r~*)dsy.

дБ

В заключение,автор выражает признательность своему научному руководителю профессору Ш.Я.Ярмухаммедову за постановку задачи

S*

я постоянные обсуждение в процессе ее решения.

Основные результаты диссертации опубликованы в следящих

научных работах:

1. Нивзов И.Э. Задача Коши для системы теории упругости на

плоскости // Тр.XVI науч. конф. мол. ученых Ин-тз механики АН УССР,Киев. -1991.-4.1.- с. 144-148.

2. Нивзов И.Э. Задача Коши для системы теории упругости на плоскости // Вопросы мат.анализаи его приложения.Сб.науч. трудов СамГУ.-Самарканд,1992.-с.48-52.

3. Ниезов И.Э. Регуляризация решения задачи Коши для системы теории упругости на плоской области // Условяо-корректные задачи математической физики и анализа.Тез. докл .Всесоюз. конф. -Новосибирск, 1992. с.-29.

4. Ниезов И.Э. Интегральная формула Грина для систом теории упругости // Качественная теория дифференциальных уравнений.Тез.докл. VIII конференция СНГ.-Самарканд,1992. С.-81.

5. Нивзов И.Э. Задаче Коши для системы теории упругости на плоскости //. Рукопись депонирована в ГФНТИ ГКНТ РУз

29 июля 1993г. К 1882-УзЭЗ, 12 С.

6. Ниезов И.Э. Задача Коша для система теории упругости на плоскости // Новые теоремы молоди катематиков-94.Тез. докл. Респуб.няуч.ковф. -Намангая, 1994. -с.97.

7. Махмудов О.И., Ниезов И.Э. Регуляризация решения задачи Коши для системы теории упругости в перемещениях //Алгоритмичес-

кий и численный анализ некорректных задач. Тез.докл.Всероссийский нмуч.кояф. -Екатеринбург, 1995. -с.91-92. 8. Ниезов И.Э. Задача Коши для системы теории упругости на плоскости // Узбекский математический журнал.-1995.-.15 1 .

'П-

•ТЕККСЛВДА ЭЛАСТШЛЙК НАЗАРИЯСЙ СИСТЕМАСИ УЧУН КОШ МАСАЛАСИ

Бу ишда сох;а чегарасининг мусбат улчовля бирор дасмида ечим ва унинг кучланиши берилган з.олДа, эластихлик назарияси система сининг ечишши сох,анинг ичида топва, льни тку система учун Кожи масаласи урганилган.

Уибу ив икки бобдан иборат булиб, уншг биринчи бобининг би-рянчи вэ туртинчи параграфларида зластшиган папарляси системаси-нинг регуляр ечимя иптегрзл курзпиида пфодалапиши к?рсатялган. Биринчи бобнинг иккинчи ва учинчи параграфларида айрим чегаралан-ган те кис со^алар учун Карлеман матрицаси аник; куринишда курилган, туртинчи параграфда айрим чегараланмагая сох,з учун х,ам Карлеман матрицаси курзлган.

Иккинчи бобда зса шу курилган Карлеман матрицаси ердамзда з^р бир каралэетган мэхсус сох,алар учун эластиклик назарияси сис-темаси учун «уйилган Кош ма сала сининг регулярлаштярилган очими курилган. Будда, албатта масала коррект булмаган масала булгани учун, масала стаи. тавзуд дэб фараз кзланган хрлда уни топит масаласи гсаралади.

Урганилган масала янга ва ьюханиканинг куп сох,аларяда кулланилиш мумкш.

-is-

THE CAUCHY PROBLEM TOR THE ELASTICITY THEORY SYSTEM ON THE PLANE

The present ivestigation studies the problem of finding a solution of the elasticity theory system within a restricted domain accoding to its given values and those of its stress on a piece of the domain boundary, i.e. the Cauchy problem for the elasticity theory system.

The candidate dissertation consists of Introduction and two chapters.

In the §1.and §4,of the first chapter the regular solution of elasticity theory system is showed by integral form. In the §2 and ¿3 of the first chapter the mnatrix Carleman constructed for some finit plane domain,In §4 the matrix Carleman constructed for in some infinite domain.

In the two chapter the . regularization solution is constructed by Carleman matrix.

The results obtained in the dissertation and they can be

applied to many fields of mechanics.

• * •