Задача Коши для многомерной системы Коши-Римана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

}

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РСФСР . ПО ДЕЛАМ НАУКИ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ

НОВОСИБИРСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УШВЕРССТЕ им. Ленинского комсомола

На правах рукописи УДК. 517.946

маликов зтдклло

ЗАДАЧА КОШ ДЛЯ ШГШЕРНОЙ СИСТЕШ КОШИ-ЯКАНА 01.01,02 - дифференциальны» уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

V/'

Новосибирск - 1991

/

Работа выполнена в Самаркандской государстведаом университете иу.. А.Навои

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Ш.Яр^ухаиед^,з

Официальные оппоненты; доктор физико-математических наук

С.1 .Кабантшн;

кандидат физико-математических наук доцент С.П.Белинский

Ведущая организация• Красноярский государственный университет

Защита диссертации состоится егногс/и 1991 г.

в часов на заседании специализированного сс^зта К.063.98.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Новосибирской государственном университете по адресу: 630090» г. Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан ■ №

» фё^&кгЬ 1991 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета

доктор физ.-к .т. наук ' чЗ^Кт^Г^ Б.В.Капитонов

I. Общая характеристика работы

жтуальность темы. В работе изучается задача продолжения решения многомерной системы Коши-Римака и (у) в области О по эе известным значениям /(у) на гладкой части 5 раницы дО „ т.е. задача Коти для многомерной системы Коаи-?имана,

Рассматриваемая задача относится к некорректно задачам, т4е. она н.устойчива.

Если 5 - кусок гиперплоскости и {([/) аналитична и аналитически продолжаема в В , то воссаановление и (у) по за нзвестгшм значениям на гладкой части 5 границы дВ осуществимо и

единственно, хок как из эксперимента известна /$■({/) * приближенное значение (которая кояет нэ принадлежать классу существования решений), то из-за отсутствия устойчивости построение приближенного решения невозможно. Условная устойчивость задачи следует из работы Тихонова А.Н., осли сузить класс возможных решений до компакта.

В работе строится семейство вектор-функций и^^(х)

зависящих от параметра б" , и доказывается, что при некот рыт условиях .и специальном выборе парак'чтра б4» семейство

сходится в обычном смысле к решению и(Х) в точка х&д при О .

Следуя А.Н.Тихонову, семейство вектор-функций назовем

регул яри э о вашим решением задачи. Регуляриэованное решение определяет устойчивый метод приближенного решения задаем, Для специальных областей задача продолжения '"•раниченньк аналитических функций в случае, когда данные задаются точно на части границы, была рассмотрена Т.Карлеманом. Исследования Т.Карлемана были продолжены ' .М.Голузиным и В.И.Крыловым. Многомерный аналог формулы Карлемвна для аналитических функций многих переменных построен Л.А.Айзенбергом. Задача п; цолжсния решения уравнения Лаплгда по его известным значениям и значениям нормальней производной .а куске границы исследуется в работах М.М.Лаврентьева, С.Н.Мерголя-на, В.К.Иванова, Ш.Ярмухамедова и других. Использование классической формулы Грина для построения регуляризованного решения оа~ дачи Коти для уравьения Лапласа было предложено академиком М.М. Лаврентьевым в его известной монографии. Используя идеи М.М.Лав-ре.-гьева, Ш.Ярмухамедовым было р~чтроено в явном виде р уляри-вованное решение зада^ Коши для уравнения Лапласа. Построением 1атрицы Кирлемана для эллиптических систем занимались: Ш.Ярмуха-

медов, Н.Н.Тарханоэ, О.И.Махмудов и другие.

Система, рассматриваемая в данной работе, была введена Л, А. Дезизгым,, Для этой системы им были изучены корректные граничные задачи и найден аналог интегральной формулы Коши в ограниченной области,,

Во многих корректных задачах- для много.'-рной сгстемы Коши-Римана -здостутшо вычисление значения вектор-функции на всей границе. Поэтов задача восстановления решения многомерной системы' Коши-Римана по его известным 31~.ченияы на куске границы области является <""щой из актуальных задач теории дифференциальных уравнений ,

Цель работы. Целью работы является:

- построение в явном виде регуляризованного решения задачи Коши доя многомерной системы Коши-Римана в специальных ограниченных и неограниченных областях;

- обобщение аналога интегральной форцулы Коши на бесконечной области с некомпактными границами для многомерной системы Коши-Римана.

Общая методика исследования. Развивая идеи М.М.Лаврентьева, Ш.Ярмухамедов построил в явном виде регуляризованное решение задачи Коши для уравнения Лапласа. В данной работе с использование! метода Ш.Ярмухомедова строится семейство матриц фундаментальных решений многомерной системы Коши-Римана специального вида для широкого класса областей в явном виде. Построенная матрица фундаментальных реше1 1 обладает важным свойствен Она в пределе исчезает вне произвольного фиксированного конуса. Полученные форель: продолжения основаны на постановке и приеме М.Ы.Лаврентьева.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации являются новыми. В работе найдено регуляризо ванное решение задачи Коши для многомерной системы Коши-Римана в специальных ограниченных и неограниченных областях. Получено интегральное представление растущего решения многомерной системы Коши-Римана в неограниченных областях с некомпактными границами. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании математических задач теории многомерна систем Коши-Римана.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах в Математическом институте АН СССР, на семина-

ре отдела условно корректных задач Института математики СО АН СССР, на семинаре кафедры теории функций Новосибирского и Самаркандского государственных университетов и на заседаничх в шкалах: по комплексному анализу и математик'~кой уазике (1987 г. Красноярск); но функциональным методам в прикладной математике и математической физике (1988 г., Ташкент); по актуальным вопросам комплексного анализа (1989 г., Ташкент); советско-итальянского симпозиума (1990 г., Самарканд)„

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в работах автора £1-8

Структура и объем диссертации. Диссертация объемом 105 машинописных страниц состоит из введения и'двух глав, разбитых на семь параграфов, библиография содержит 40 наименований отечественной и зарубежной литературы.

П» Содержание работы

Пусть Цт, вещественное эвклидово пространст-

во, д - односвязнля ограниченная область из Ят с ку эчио-гладкой даницей . Введем облачение .

* " №,. ■ ■• • Л / - (у,.ул,-,у„), .-.усН™

X* (**,**, У • Ца -.у*. <), ¿»/у'-х'Ь^'сб*

\и *]/"}(¥)'"¡(у)* ••• ,

Рассмотрите всистему дифференциальных уравнений

АаЛ,....Д«)Щу)-о 9 (Г)

где иу).

1

»1 -л* 0 . •■К.и . 0 в„ 0 о V"

в егг 0 0 . . о - Лх 0... о ... -Д*.* с.. ■

0

Обозначим через K(D) класс вектор-функций, удовлетворяющих системе CD и непрерывных вплоть до границы Ы) а

Задача Кс л для системы (I) ставится следующим образом«, Пусть щу) € КС В) и S - гладкая часть границы области J5 , на S задано значение вектор-функции, т.е.

где /'у) - заданная непрерывная вектор-пункция» Требуется продолжить U {у) в D , исходя из /(у) = Данная задача имеет большой интересо если на S зад&кс непрерывное приближение вектор-функции и (у) С ТОЧНОСТЬЮ О , Уово

sup\tl(t/) - fK(U)\ д fr , C^Ai; №

Решение этой задачи приведем для областей специального вида» Длг этого вводим функцию (р(, X).

Пусть К (WJ (Wm tl^iv) - целая функция, вещественная при вещественном W , удовлетворяющая условиям (в качестве К (W7можно взять аналитическую функцию, регулярную в некоторой области комплексного переменного W« u, + £(f ): К (и) ¥• & .

sup V! К W I я м '(и) * при

suplvW'cw)! = М ^ при л**3»/»-0.*.*,-''*-

«> <u <

При уфх функцию ^ определим равенством

г<МЫ<Рч,*)?-¡МШ^ ПРИ * i4>

о

Ст КЫФ(у,^ при «.«^(Б)

4 дЬ Ч v

где Йл » C'ifz iK(2K-i)i<ir(t" -z)UJm ,

/» Кб* )ФСУ, Л1) « ^ Jm А'+.У») , /п. л-(б)

7-

ти единичного шаря, в R°* , U* + оСг.

tc-i

где i) (2k-i)lCm~z) W ,tOm - площадь поверхнос

1усть и (у) е. К (В) , тогда справедлив аналог интегральной формулы Коши

а(х) = ст $А (А Л, х)А(**, и ..»ЦиСуЩ,*^

дО

■•де^. = координаты анешнего единичного нормали в течке у&дД » Эта формула является основнгав рабочим тларатом всей диссертации«

3 первом параграфе первой главы фор?<ула (7) распространяется ю. неогратаченныэ области с некомпактными границами, лежащие зкутр'л слоя для растущих решений системы (I).

Содержанием § 2 главы I является построение регуляризованного решения системы Коши-Римана в ограниченной области на плоскости* Результаты § 2 главы I распространяются в т. -мерном случае з 5 I :»лазы Е„

Регуляризовтннов решение задачи Коши для системы Коши-Римана построено з 5 3 главы 2 для ограниченных областей, лежащих внутри /гла. Результаты § 3 главы 2 обобщены в та. -?лерный случай в § 2 ?лазы 2„

Для областей, лсяащих внутри попсы, регуляризованнсз реаекие задачи Коши достроено в § 4 главы 1„ В 5 3 главы 2 полученные ззхения § 4 главы I обобщены в тп -черном случае. Пусть и (у) 6 К(3) удовлетворяет условию

I , . О)

3 дальнейшем будем считать , где 6">0 -

параметре Обозначим

/Ло*,гс/>, (Ю),

?дв /(у) определяется из (3).

Пусть область В леяит внутри слоя наименьшей ширины, опреде-тяемой неравенством , % *-^¡г , у > о о, границей

)В , простирающейся до бесконечности. Будем предполагать, что граница области В состоит из гиперплоскости ' ¡/^ - о и некоторой ^лодкой гиперповерхности & с заданным уравнением угп ■ £ (уГ/ ). где удовлетворяет условиям

£

В (7) выберем

Ке^)" ' . где и^ I * и, , >0 -

параметру при Ш ■ 2 ,

К Ы) огк)"йхр> ^И/ , при л ¿л;*/, к**, УУ-/ ]/и%С*'*уе

Обозначим через (Д? класс вектор-функций 6? € /Г (Д) имэаосций лост

!«Су)\ а /у- —, у ¿13.

При этих обозначениях еправедлива

Теорема 10 Пусть щи) е К^ СП) удовлетворяет условию (8) на всей границе дЛ р тогда вер;ш неравенства \и.(х)-ие(х)\ьСтС■)СттехрС-<Гхт) , , * * Д 1ч(х)~и^сх)} ь ет(*)Ст и % ^ хеЛ г

б* при т * 2к } к >'1

(II)

6" при т* г НИ, *

а^ (х) , и^р {X) определяется соответственно из (9), (10) >

у«'"

* I

^ - некоторая константа, зависящая от у . Следствие, Предельные равенства

йт И^с*)- аса), ¿Ьп. и^ С*)- и Сх) е хеГ . ¡г-» ро " Б"-«-«

выполняются равномерно на кажд а компакте тД .

Пусть граница ограниченной односвязной области В состоит из части гиперкплоскости ут - о и некоторой гладкой гиперповерхности 5 , расположенной в ул>г . В (7) положим

6~УУ , <Г >о - параметр ^

Теорема 2» Пусть и-(у) & И (I)) удовлетворяет условиг (8), тогда верны неравенства^

[ат-и^* & ¿Г (6-)ехр (г «Гг^, б~, хеВ,

9

где х1~таие Г- ¿п-^г . ,

С ^ - ^^^г17^77, С- некоторая конс-

танта.

е Ч (я) % $(.X) определяется соотвзтстввнно из (II), (9)0 (10)«

Предельные разенства им)** и(х), ¿¿т

выполняются равномерно на к&идом компакте из И „

П, сть граница ЪВ^ односвязной ограниченной области состоит из части Г поверхности конуса

, • гУ»1 (12)

и гладкой поверхности 5 , лежащей внутри конуса. Предположим, что Т)р содержит точку х* « (о, о,... , о , Х„>с , Введем обозначение __

При фиксированном хеВр через 5 обозначил ту часть , на которой р^-об , уе £> . Ясно, что, если Х"Хо€ Л^, , то 5 "б**

( £*лежит внутри конуса Ы = ф-) с вершиной в точке

> 'Х«>-*(7=~) • леж£Ш'ей на конусе (12)). •

Функцию при <¿>0 определим следующими равенствами.

Если ^ то ^Г ^ ^

*Гс, I ^Г •

Если , кэя . то

Если +1 , яг г ,

л/» Г д«-' „ ¿-ЛГО о1и

е. е, г "л ъъ ^-цщ^Г/РЗ?;

Здесь Е^С^) - целая функция Миттт-Лефлера» лбозначим

г с*; -/л & А & х)к $1,+*,■•■> , ,

1'Дв определяется из (3).

При этих обозн«че;шях справедлива

Теорема 3. Пусть и (у) <? удовлетворяет условию (8) '

на всей границе ЪВ^, , тогда справедливы неравенства

\исхуи^Х)\^Пт (X) (ЯехрС-б*/,, где К' * тая.

А? П/, С(&)

определяется формулой (II).

5

г <¿3

С„ Сх) " 3 \п,-1 - , т , ^ £ Д> , - постоянная, зависящая только от ]> " Я гл -¿¿г > Следствие. Предельные равенства йт иМ - и (х), и (х) - им , хеЦ,

¿"»"О

выполняются равномерно на каждом компакте из \

Б заключение авт >р выражает признательность своецу научноцу руководителю профессору Ш.Я.Ярмухаыедову за постановку зада«! и постоянные обсуждения в процессе ее решения.

Содержание основной части диссертации полностью опубликовано в следующих работах:

I. Маликов 3. Задача Коши для многомерной системы К">ш::-Рима-на /. Тез .докл. Всесоюз. школы-сешнар.. "Комплексный анализ и математическая с^.зика". - Кр^ндярск, 1997. 0.71,

■ 20 Маликов 3„ Задача Коши для многомерной системы Коши-Рика-на // Тез.докл. Всесогоз. школы молодых ученых "Згуккциональные методы в прикладной математике и математической физике". - Ташкент, 1983. - Ч. П. -

3. Мали зв 3. Задача Коти для многомерной системы Коши-Рима-на // Тезвдокл.научн.конф. молодых ученых "Современные аспекта математических и физических наук". - Самарканд, 196~с - 0о II- "2.

4. Маликов 3. Интегральные представления типа Коши для многомерной системы Коши-Римана в неограниченной области // Тез.докл. Всесовзо школы-семинара "Актуальные вопроси комплексного анализа" „ - Ташкент, 1939. - С.70.

5. М&ллков 3. Задача Коши для мно*" мерной системы к^ши-Рима-на // Вопросы математического анализа и изг ¡.рило-ения. - Самарканд, 1989. - С.52-58.

I 6» Маликов 3. Задача Коши для мокогекибго вектора // Тез.докл. молодых ученых. - Самарканд, 1990. - С.29е

7. Маликов 3. Задача Коши для многомерной системы Коши-Ршла-на // Тез.докл. молодых математиков Сибири и Дальнего Востока. -Новосибирск, 1990е - С.69.

8. Маликов 3. Задача Коши для многомерной системы Кои::-Рима-на // Докл. АН УзССР. - 1991. - # 6.