Эффекты квантовой теории поля в расширенной стандартной модели под влиянием внешних условий тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

J

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

00460 На

732

V"

юписи

ХАРЛАНОВ ОЛЕГ ГЕОРГИЕВИЧ

ЭФФЕКТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ В РАСШИРЕННОЙ СТАНДАРТНОЙ МОДЕЛИ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНИХ УСЛОВИЙ

Специальность 01.04.02 Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

нП?

гоги

Москва —2010

004601732

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук проф. В. Ч. Жуковский.

доктор физико-математических наук г. н. с. А. Е. Шабад, ФИРАН, Москва,

доктор физико-математических наук г. н. с. К. Г. Клименко, ГНЦ ИФВЭ, Протвино.

Ведущая организация:

Лаборатория теоретической физики имени Н.Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований (ЛТФ ОИЯИ), Дубна.

Защита состоится « 2 О » мая 2010 г. в « » на заседании диссер-

тационного совета Д501.002.10 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, аудитория « СфА »•

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан «15"» апреля 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д501.002.10 доктор физико-математических наук профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

На сегодняшний день в физике фундаментальных взаимодействий утвердились две теории — стандартная модель и общая теория относительности (ОТО) — которые полностью согласуются с экспериментальными данными. В то же время, существенный интерес представляет изучение явлений вне стандартной модели, таких как великое объединение, суперсимметрия, дополнительные размерности и квантовая гравитация. Теория последней не может быть напрямую получена квантованием ОТО принятыми в стандартной модели методами — с другой стороны, на ее корректное описание претендуют некоторые существующие теории, такие как, например, теория суперструн. В рамках последних теорий характерным является спонтанное нарушение лоренц- и СРТ-инвариантности, происходящее при энергиях порядка планковской массы Ми ~ 1019ГэВ, что дает возможность изучать проявления физики планковских масштабов при достижимых на сегодняшний день энергиях с помощью постановки прецезионных экспериментов. Таким образом, изучение проявлений возможного нарушения лоренц- и СРТ-инвариантности позволило бы, в лучшем случае, прояснить природу квантовой гравитации, а в худшем случае, наложить ограничения на параметры теорий, предлагающих ее описание.

Цель диссертационной работы

Целью данной диссертационной работы является исследование влияния нарушенной лоренц-инвариантности на две квантовых системы: электрон в связанном состоянии и электромагнитный вакуум между параллельными идеально проводящими пластинами. Соответственно, задачи, которые мы перед собой ставим, — это нахождение стационарных состояний электрона в водородоподобном атоме водорода, изучение его радиационных свойств и свойств по отношению к внешним полям в первом случае и нахождение зависимости силы Казимира от расстояния между пластинами во втором случае.

Научная новизна работы

В диссертационной работе впервые получены волновые функции стационарных состояний электрона в водородоподобном атоме на фоне нарушающего лоренц-инвариантность конденсата Ьц, как в 1/с2-приближении, так и с использованием полностью релятивистского подхода с квадратичной точностью по Ьо. Обнаружено, что наличие ненулевого Ьо порождает специфическое расщепление энергетического спектра водородоподобного атома по орбитальному квантовому числу и асимметрию углового распределения излучения поляризованного атома, а также вносит СРТ-нечетный вклад в анапольный момент атома.

В диссертации также проведен последовательный анализ задачи об эффекте Казимира в рамках (3 + 1)£) электродинамики Максвелла-Черна-Саймонса. Решена задача на стационарные состояния фотона между двумя параллельными проводящими пластинами, и в результате вычислена ведущая поправка к зависимости силы Казимира от расстояния между ними. Также предложен достаточно общий метод нахождения диадной функции Грина в электродинамике Максвелла-Черна-Саймонса. Выражение для этой функции получено для случая параллельных пластин, и на его основе найдена непертурбативная поправка к силе Казимира.

Научная и практическая значимость работы

Полученные в работе результаты могут быть использованы для установления новых ограничений сверху на параметры нарушения лоренц- и СРТ-инвариантности (или даже обнаружения последнего), а также для дальнейшего исследования его влияния на радиационные и другие свойства атома водорода.

Развитые в работе методы полезны для дальнейшего развития теории эффекта Казимира, а рассмотренный в этом отношении случай электродинамики Максвелла-Черна-Саймонса может также иметь космологические приложения.

Апробация работы

Содержание различных разделов диссертационной работы представлялось в виде докладов на научной сессии-конференции секции ЯФ ОФН РАН «Физика фундаментальных взаимодействий» (ИТЭФ, Москва, 2007);

на 13-й и 14-й Международных Ломоносовских конференциях по физике элементарных частиц (МГУ, Москва, 2007, 2009); на конференции «Selected problems of modern theoretical physics» (ЛТФ им. Боголюбова, ОИЯИ, Дубна, 2008); на 4-й Международной Сахаровской конференции по физике (ФИРАН, Москва, 2009); на международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2007» и «Ломоносов-2008» (МГУ, Москва, 2007,2008); на научных конференциях «Ломоносовские чтения» (МГУ, Москва, 2009, 2010). Кроме того, автор выступал на научном семинаре «Квантовая теория поля» в ведущей организации с докладом по материалам диссертации (ЛТФ имени Н.Н. Боголюбова, ОИЯИ, Дубна, 2010).

Публикации

Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в 11 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертационная работа состоит из введения (глава 1), трех глав основного текста, заключения, четырех приложений (первое из которых содержит список основных обозначений) и списка литературы. Полный объем диссертации — 136 стр., рисунков — 3, список литературы включает 114 ссылок.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В Главе 1 (Введении) кратко обрисованы современные представления о спонтанном нарушении лоренц- и СРТ-инвариантности и его связи с не ясной и на сегодняшний день физикой планковских масштабов, в частности, с квантовой гравитацией. На основе этих представлений в конце 1990-х годов В.А. Костелецким была предложена т.н. расширенная стандартная модель (РСМ), в которой поля стандартной модели взаимодействуют с постоянным фоном, представленным набором (псевдо)тензорных констант. Эти константы, как предполагается, являются конденсатами полей планковского масштаба и, в силу тензорного их характера, приводят к нарушению лоренц-инвариантности.

Далее перечислены основные работы по нарушению лоренц-инвариантности, в частности, по направлениям, которые автор развивает в последующих главах. Также обоснована актуальность исследований, проводимых в диссертационной работе.

Наконец, выписан лагранжиан расширенной электродинамики, которая возникает в рамках РСМ после спонтанного нарушения электрослабой симметрии. Для краткости ниже выписаны только две из десяти нарушающих лоренц-инвариантность поправок в его выражении, а именно те, которые изучаются в диссертационной работе:

Хе^ОЕО = + ^Ё^ + + ¡еА,) -т- Ь^У)ф, (1)

где Гцу = д^Ау - дуАц — тензор напряженности электромагнитного поля, = — дуальный тензор поля, е^ар — символ Леви-Чивита с

б0123 = +1, ф — дираковский спинор, а т и е — масса и заряд электрона, соответственно. Слагаемые, содержащие постоянные (фоновые) псевдовекторы Ьм и являются СРТ-нечетными и нарушают лоренц-инвариантность.

В конце главы 1 представлен список публикаций, в которых изложены основные результаты исследований. Необходимо отметить, что каждая из последующих глав содержит подробное введение, поэтому в главе 1 приведено лишь краткое описание исследуемой проблемы.

Глава 2 посвящена исследованию связанного состояния дираковского электрона в потенциале неподвижного атомного ядра в рамках расширенной электродинамики с единственной нарушающей лоренц-инвариантность константой У1 = (6°, Ь). Гамильтониан электрона во внешнем поле Ам(х) имеет вид:

Й = а - Р+ ту0 + еЛ<> - Ъ^Уь - Ь-2,, (2)

где Р = р - еА — оператор обобщенного импульса, а - у°у, Е = -ау5. В сферически-симметричном случае А" = (ф(г), 0), г = |лг|, наличие ненулевого Ь° приводит к нарушению пространственной (Р-) четности. Преобразование же С-четности оставляет Ь^ инвариантным, поэтому сравнение атомов водорода и антиводорода не может дать информации о наличии ненулевого

В разделе 23 выводится квазирелятивистское волновое уравнение для электрона во внешнем электромагнитном поле, т.е. уравнение, учитывающее слагаемые вплоть до 0(1/с2) при разложении по степеням 1/с. По

этой причине разделах 2.3, 2.4 и 2.6 используется система единиц СГС, в которой й, с Ф 1. Предполагается также, что У = (cb,, Ь) имеет размерность энергии, причем b,, Ь - 0(с°). Тогда для квазирелятивистского электрона с волновой функцией ф(х) е С4

¿Й^ = Я</>, JV^=1( (3)

Н=са-Р + тс2уй+ eA0-cb,ys-b-'L, (4)

где Р = р- fA, р = -iRV, и можно совершить сдвиг энергии и ввести квазирелятивистскую двухкомпонентную волновую функцию Ф(х) е С2, обладающую свойством сохранения нормы (в рамках 1 /с2-точности):

где Л = сг • Р+Ь,,сг — вектор из матриц Паули. Далее приближенное уравнение, наложенное на Ф(х), приводится к виду /Й0Ф/<9/ = ЛФ с помощью метода итераций, давая в итоге квазирелятивистский гамильтониан вида:

р> 2 ( р> 2 \ »

h = Т~h-r-h -Г—о-Я-o-ô + ^o-2m ( 4mlcz) 2тс

& г™ „ сг[Р[ЬР]]

1 I Д (6)

4m2c2 8т2с2 г^с2

Рь г >+й,сг, /f н - 2Ъ] = + + 2b,а ■ Р. (7)

Этот гамильтониан эрмитов, а соответствующее уравнение эволюции для Ф обладает £/(1) калибровочной инвариантностью. Полученное выражение (6) согласуется с выражениями для гамильтониана Фолди-Вутхайзена для свободного электрона [Kostelecky, Lane, 1999] и для гамильтониана 1/с-приближения во внешнем поле [Ferreira Jr., Moucherek, 2006] на фоне b^.

Раздел 2.4 посвящен рассмотрению водородоподобного атома на фоне Ьи в квазирелятивистском приближении. Автор также ограничился линейной точностью по ¿у

Сначала рассматривается 1/с-приближение (приближение Паули) в электромагнитном поле Aß:

р2

тдФр/öt = ИрФр, hp = ~ + eAü~ J—iтН - ab, (8)

2m 2mc

где содержит как связывающее поле ядра, так и внешнее поле, в которое помещен атом. Гамильтониан кР можно унитарным преобразованием Ор = ехр Щсг • *:} привести к виду

л 2

кР -* кР=иРЬРй1 = — + еАь-[^сг + ^Н-аг-Ъ, (9)

Ал = (Ю)

Как видим, в преобразованный гамильтониан Ьо входит в виде поправки ¡лА к оператору магнитного момента электрона. Поэтому с использованием преобразования 1/р задача на собственные состояния электрона в сферически-симметричном потенциале А" = (ф(г), 0) может быть сведена к случаю = 0, и ее решения имеют вид:

(фр)п!т,тЛх) = К„}{г)УЫ,(х1г) - ~(Г ■ Д^т,, (11)

Еп1т, = 40)-2йА (12)

где К„1 и Е^ — радиальные волновые функции и собственные значения энергии электрона при Ь^ = 0, У/,т, — сферические функции, а Хт, — нормированные собственные векторы матрицы сг3/2 с собственным значением Ш;. Квантовые числа и = 1,2,3,..., / = 0, п - 1, т/ = -/, I, т5 = ±1/2. Необходимо отметить, что квантовые числа /, т/, т5 соответствуют орбитальному моменту, его г-проекции и г-проекции спина только в преобразованном оператором IIР представлении. Более того, результат для собственных значений энергии является чисто формальным, поскольку в 1 /¿-приближении не учтено спин-орбитальное взаимодействие. Если учесть последнее и использовать теорию возмущений для слагаемого -<г • Ь, то порожденный последним сдвиг энергии

2 хт;

А£& = -2ГГ& (13)

где к = (-1У/_г+1)/2, /' = 2] - I и выбрана система координат, в которой Ь = Ь1е2 {е2 — единичный орт в направлении оси г). Квантовые числа п = 1,2,3,..., / = 0, и - 1, у = / ± 1/2, ] * -1/2, mj = -],). Результат для сдвига энергии уже получали ранее другие авторы, но они допустили ошибку в коэффициенте. Таким образом, наличие ненулевого Ь приводит

к расщеплению по квантовым числам /, причем расщепление по последнему эквидистантно и имеет 2у'+1 компонент. Эта ситуация аналогична аномальному эффекту Зеемана. Однако на величину пространственных компонент наложены очень жесткие ограничения, \Ь\ £ 10~19эВ, в то время как \Ьо\ 5 10"2эВ, поэтому далее в работе считается, что 6 = 0.

Оказывается, и в 1/с2-приближении в случае кулоновского потенциала еА1* = -ХаЪс^г и Ь - 0 существует унитарное преобразование 0 = ехр (1 + сводящее гамильтониан (6) к его виду при ¿>о = 0.

С его использованием получаются собственные функции электрона при 60 Ф 0 в квазирелятивистском приближении:

Фп/>/*) = Кц(г) {^„/лс/г) + ~ (1 + ¿У У^х/Г)|, (14)

где — радиальные функции при Ьо = 0, Е^ — собственные значения энергии при ¿о = 0, дающиеся формулой Бора-Зоммерфельда, а — шаровые спиноры. Квантовые числа у = 5, §, ... и mj = у соответствуют полному моменту электрона и его ¿-проекции, в то время как квантовое число I- _/ ± 1 /2 = 0, п - 1 определяет собственное значение оператора

+ (.6)

равное /(/ +1). Как видим, спектр атома водорода не отличается от характерного для случая до = 0 в рамках линейного приближения по Ьо-

Наконец, если поместить поляризованный по спину атом водорода в основном состоянии |Ф0> в слабое внешнее магнитное поле Щх), то можно ввести эффективную потенциальную энергию атома в этом поле V = <Ф0|МФо>- Совершив в этом выражении унитарное преобразование Ор, нетрудно убедиться, что поправка ¿о вносит в потенциальную энергию вклад вида

Гг = • Н(х)) « -Тг • гогЯ, (17)

где анаполъныймомент Тх = -2ег| Здесь = ±1/2 — проекция

спина на ось г, а гв = Ь/атс — первый боровский радиус. Из оценок на величину Ь0 анапольный момент

\Тг\ 5 0.5 х 10-24см2 • |е|, (18)

что может на 7-10 порядков превышать величины анапольных моментов электрона и ядра, обусловленные электрослабыми радиационными поправками. Для не поляризованных по спину (смешанных) состояний анаполь-ный момент электронной оболочки равен нулю.

Далее, в разделе 2.5, рассматривается релятивистское уравнение Дирака для электрона в связанном состоянии на фоне конденсата № = (Ьо, 0). Представив внешний потенциал в виде Аи{х) = (/^"'ОО + Ф(г), Лех1(х)), где ф(г) — сферически-симметричное поле, например, связывающий потенциал ядра, можно преобразовать уравнение Дирака (3) с помощью унитарного преобразования, сохраняющего калибровочную инвариантность:

ф(х) -» I}{х) = ёъ"Клф{х\ (19)

Й-иЭ/дГ -» Й-iд|дt = ¿Ьakл{Й-iд|дt)e-iЪ^'K'^■, (20)

i

ЬА = £-х--(ЩР] + 1)ГиГ5. (21)

т

В рамках квадратичного приближения по Ьо это дает: Я ~ а(р - eAext) + ту0 + е(ф + Ae0xt) -

- + (22)

где / еЦ+ 1, dA = ^[ух], ¡iA = -£/[£*], а Л^"'] обозначает слагаемые второго порядка по Ь0, описывающие взаимодействие с внешним полем и квадратичные по последнему. Теперь в случае А"' - 0 преобразованный гамильтониан равен

Ь2

Н = ар + ту° + еф(г) - —/у0, (23)

т

и его собственные функции можно взять в виде:

(Rn);(r)YL (х/г)

(24)

На этих функциях оператор /у0 принимает точное значение, равное + 1/2), что приводит к следующему спектру при ненулевом Ьо:

Е = Ё = Е(°1 - + 1/2)^ = £<«, ±0+ 1/2)— для / = у ± 1/2, (25)

где Е^ц — собственное значение энергии при ¿о = 0. В итоге, в интересном с физической точки зрения кулоновском случае еф(г) = -7а/г при Ьо Ф 0 снимается вырождение по квантовому числу I - у ± 1/2, причем величина расщепления Д£(/) = ЕПгц~ (У + квадратична по

¿о и растет с увеличением полного момента /. Это расщепление конкурирует с лэмбовским сдвигом, обусловленным радиационными поправками, особенно для больших _/. На основе данных экспериментов по последнему получается оценка

|£>о1 5 3 х 10_3эВ, (26)

усиливающая существующие на настоящий момент ограничения на величину Ьо• Наконец, действие обратного к (19) преобразования на волновые функции (24) приводит к собственным функциям при Ьо^О

где радиальные зависимости Д^? берутся из задачи при Ьо - 0. В кулоновском случае выражения для этих функций хорошо известны. Напомним, что связь между главным и радиальным квантовыми числами имеет вид пг - п поэтому пг = 0,1,2,...

В разделе 2.6 показано, что наличие нарушающей лоренц-инвариантность поправки Ьо приводит к специфической асимметрии углового распределения излучения поляризованных по спину атомов водорода. Можно показать, что в нерелятивистском выражении для матричного элемента излучения ведущих мультипольностей возникает специфическая СРТ-нечет-ная добавка, содержащая поправку рл к магнитному моменту:

МЛ = (У1 е{к) ■ (ех - ~(к ■ х)х - ^[Ц10, (28)

где Ц = + <г) + [г> и (/| — начальное и конечное состояния электрона в атоме, приведенные к виду при Ьо = 0 преобразованием Ор, а к и е(к) — волновой вектор и вектор поляризации фотона соответственно. Поправка, содержащая рА, открывает возможность переходов с несохранением Р-четности, и ее вклад в излучение интерферирует с сохраняющим четность (например, электрическим дипольным) излучением. В линейном приближении Ьй не вносит вклад ни в полную интенсивность излучения, ни в угловое распределение излучения для неполяризованных атомов. Для

перехода между поляризованными состояниями 2р1/2(т,=1/2) —> 1$1/2(т,=-1/2) распределение вероятности излучения по сфере имеет вид:

где Я = (¿тс1/2Н — постоянная Ридберга, а 0 — угол между осью квантования момента и волновым вектором к. Как видим, в верхнюю й нижнюю полуплоскости излучаются неравные количества энергии, относительная разность которых имеет порядок \Ъъ\1тсг < Ю-8. В диссертационной работе не рассматривались способы достижения поляризации атомов, хотя теоретически этого можно было бы добиться приложением слабого однородного магнитного поля.

Глава 3 посвящена изучению эффекта Казимира между двумя параллельными идеально проводящими пластинами в рамках (3+1)-мерной электродинамики Максвелла-Черна-Саймонса (МС8-электродинамики). Эта теория соответствует расширенной электродинамике с нарушающей лоренц-инвариантность константой в фотонном секторе. Далее рассматривается исключительно фотонный сектор теории и случай к?ЛР = (кАР, 0). Отличительная особенность МСБ-электродинамики заключается в том, что ее канонический тензор энергии-импульса не может быть приведен к симметричному виду. Более того, его невозможно сделать калибровочно-инвариантным, что связано с тем, что сам лагранжиан меняется на полную 4-дивергенцию при калибровочном и(1 ^преобразовании. Однако в разделе 3.2.1 показывается, что пространственной области V, ограниченной неподвижной идеально проводящей оболочкой Р, можно приписать калибровочно-инвариантный 4-импульс = J где - _

так что дцНУ = 0. Для калибровочной инвариантности также необходимо, чтобы на поверхности Р отсутствовала статическая нормальная компонента магнитного поля Н„, однако, как легко показать, статические поля не вносят вклад в эффект Казимира, поэтому не нарушая общности, можно считать, что Н„ - 0 на поверхности Р. В итоге выводятся две калибровочно-инвариантных формулы для натяжения Казимира — через производную вакуумной энергии по объему V и через нормальную к материальной поверхности компоненту тензора

В разделе 3.2.2 проводится квантование поля в радиационной калибровке А0 - 0, сИу А = 0 в случае параллельных пластин и показывается,

(29)

V

что энергия вакуума

£vас = f = i J¿3x<£2 + Яг - 2k¿fA Н)о = 5 £ "л, (30)

ГУ "

где — собственные значения энергии, получающиеся из секулярного уравнения

(ш2 + V2)í4„(x) = —2k¿F rot Ап(х), xeV, (31)

причем касательные компоненты Ап должны обращаться в нуль на пластинах. Таким образом, на моду с частотой oj„ приходится о>„/2 вакуумной энергии, как в электродинамике Максвелла. Необходимо отметить, что при кAF í 0 уравнение (31) имеет вещественные и чисто мнимые собственные значения о>„, однако, состояния с мнимой энергией при достаточно близко расположенных пластинах образуют множество меры нуль (что доказывается в приложении В.1), поэтому квантование электромагнитного поля, все же, имеет смысл. Сила Казимира, с учетом (30), принимает вид:

I д у

/Casimir = -JjJJf) Yj (32)

п

где L -* со — линейный размер пластин, a D — расстояние между ними.

Теперь, в разделе 3.3, находятся выражения для однофотонных мод А„(х) и их энергетического спектра ío„(D). Декартова система координат хуг выбирается так, чтобы пластины лежали в плоскостях z = ±а, а = D/2, а решения для потенциала ищутся в виде:

An(x) = Neikxf(z), к = (кх, ку, 0), NeR, (33)

kf{~2) = -Ukf(~z), [kf(-z)] = U[kf(-z)l П = ±1. (34)

Оси x,y координатной системы можно выбрать так, чтобы ку-0,кх-к> 0. Тогда оказывается, что на частоты со„ налагается условие

gn(w2) s <Рп(*+а)<£-п(х-о) sin в- + <px\{x-á)íp-n(x+a) sin 0+ = 0, (35)

где <p±{x) = (cs?ns*, X\ = s¡K\-k2, Kx = -ЛкЛР + + PAF, швл = xJKx, Л = ±1. Также в разделе 3.3 представлено выражение для собственных функций /(z).

В следующем разделе 3.4 находятся асимптотические выражения для решений уравнения (35), нумерующихся квантовым числом т = 1,2,3,...,

wt,n,m &>м - f1 - (1 - 2(-l)mn)-^-V *>0,П = ±1, (36)

где cdm - fe + я2,, хм = Jim ¡la, и ведущая поправка к дзета-функции

= ff (37)

и П--- 1 m

q П=±1 m

После деления на I? —> с» вклад состояний с мнимой энергией в Ç(s) дает нуль, так что дзета-функция является однозначно определенной. Выражение для нее имеет вид:

Ф) = ц (ff 2-2) + (S-2)(^j ír(2S) + о(*Ц, (38)

где £r(s) — дзета-функция Римана. Теперь с учетом того, что -рЕ^ = 5^(-1/2), получается асимптотическое выражение для силы Казимира

_ д Е™ _ я2 / 25{kA¥Df 3\

^Casimir - - + ЗЯ2 + ^^ }j' (39)

справедливое при D Тем не менее, асимптотические выражения

(36) не имеют смысла для мод, которые переходят в моды с m = 0 в случае kAF -> 0 ("квазинулевых" мод). Для корректного учета их вкладов в вакуумную энергию в разделе 3.5 используется явное суммирование всех неотрицательных корней уравнения (35) с помощью теоремы вычетов. Чтобы придать такой сумме смысл, вводится мягкое обрезание:

оо

"ir-§fW

q П=±1 m

где Л —> оо, а суммирование в последнем выражении проводится по корням со уравнения gn(w2) = 0, где

Ы«>2) = , -г = tgn sinв+ + tgn х.а sin (41)

Теперь будем считать, что кЛр > 0 (нетрудно показать, что вакуумная энергия не зависит от знака кАр), тогда положительные частоты ^» соответствуют точкам, лежащим на положительной вещественной полуоси в плоскости комплексного К+. Если охватить эту полуось контуром С, состоящим из

отрезка мнимой оси С\т = [/Л, -г'Л] и полуокружности СЛ радиуса Л, то из теоремы вычетов получается:

¿п = (42)

2 У 2т Яп

с

V Л , П . П ЯШ^ Шв^ДСОБ2^ ап= X \ l-tg Кла^ё Х-ла-г-2— +- , (43)

где а)(К+) = л/К+К- = + 2к^)- Перенормировка этого выражения

имеет вид 5пф, Л) -» (А Л) = 5П(А Л) - ^^ - С^}(Л), где функции С||'2)(Л) не зависят от В. Оказьшается, что интеграл по полуокружности С\ полностью исчезает после перенормировки и перехода к пределу Л -* оо. Переопределив же параметры в интеграле по От, можно прийти к выражению для перенормированной вакуумной энергии (энергии Казимира):

¿-«"¿Яг Е/^ф <«>

О Ц-±]~со

Н[Г = 2- V thn.il У (45)

где теперь ¿п = сЬ0+ Лп х++сЬ0- Шп К- - К+-Икма, ш(К+) = л/К+К~, х± - + к2, бЬ0± = сЬ0± = Разложение полученного выражения по клг подтверждает результат (39) для силы Казимира.

В главе 4 та же задача об эффекте Казимира в (3 + 1)-мерной МСБ-элекгродинамике рассматривается методом диадной функции Грина. Центральным объектом в этом методе является вакуумное среднее

П/*, х') = /<Т Е\хШх'))0, (46)

где Е(х) — оператор электрического поля (второй компонентой диады является функция *') = ¡{ТН'(х)Е-1(х'))0). В разделе 4.1 выводятся уравнения для временного фурье-образа Г^(дг, х?\ со) этой функции (далее параметр а) опускается):

((V2 + и2)1 - 2кАРеЧ) Г (*, х') = (V2! - V ® V - 2кЛРеЧ)6ъ (х - х'), (47)

У-Г(х,лО = 0. (48)

Здесь используется матричная форма записи: матрицы еаЬ = 1„ь - 6аь действуют по первому индексу функции Грина Г^с. В разделе 4.2 показано, что записанные выше уравнения можно свести к однородным и выразить их решение через произвольную скалярную функцию ¡р(х,х!\К), удовлетворяющую уравнению (V2 + КгУр{х,х!-,К) = <53(х - д^). Действительно, если взять Г'(х, х') = В(х, х1) + Г'(х, х1), где Г'(лс, дс') = ¿3(дг- д/)1 -§£ Z ё(Л\х,х';Кл),а>= Jcj2 + в то время как

ё«\х, X'-Кл) = [кл 1 + —V ® V + Ле • vj <р(х, х/; Кл), (49)

то на функцию В(х, х') будут наложены уравнения вида (47), (48) без правой части, но при этом она будет удовлетворять неоднородным граничным условиям, содержащим значения <р и ее производных на границе области. В разделе 4.3 изложенный подход применяется к случаю параллельных пластин, т.е. находятся функции В для областей между пластинами и за пластинами. В последнем случае для обеспечения единственности решения используется метод предельного поглощения (отметим, что теорема единственности, необходимая для корректности задачи Грина, применительно к MCS-электродинамике доказана в приложении ВЗ). Анализ получающегося интегрального выражения для натяжения Казимира дает непертурбативную поправку к выражению (39):

A^/casimir = ¿¡(kAfD)A 1п(А^Я2) + 0((kAFD)4). (50)

На основе экспериментальных данных по эффекту Казимира получается оценка < 1.5-2 х 10~2эВ, которая слаба по сравнению с астрофизическими ограничениями. Однако рассмотренная теория Максвелла-Черна-Саймонса может иметь космологические приложения, поскольку ранее было показано, что константа kf^F может возникать как результат конденсации аксионного поля, рассматривающегося в некоторых космологических моделях. Кроме того, представленное в работе выражение для силы Казимира исправляет результат, полученный М. Франк и И. Тураном, необоснованно использовавшими аналогию с (2 + 1)-мерной MCS-электродинамикой.

В Заключении сформулированы основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Решена задача на стационарные состояния электрона в кулоновском потенциале на фоне нарушающего лоренц- и СРТ-инвариантность

конденсата Ь^, как с использованием полученного автором гамильтониана 1 /^-приближения, так и в рамках полностью релятивистского подхода с квадратичной по точностью.

2. Обнаружено квадратичное по Ъо расщепление энергетического спектра атома водорода, которое снимает вырождение по / и может соперничать с лэмбовским сдвигом при больших j. На основе экспериментальных данных по последнему на абсолютную величину 60 наложены новые ограничения.

3. Показано, что наличие ненулевого Ьо эффективно приводит к появлению Р-нечетной поправки к оператору магнитного момента электрона. В результате электронная оболочка поляризованного по спину атома водорода приобретает ненулевой анапольный момент, который может на много порядков величины превышать анапольные моменты электрона и ядра, индуцированные элекгрослабыми радиационными поправками. Модификация оператора магнитного момента также приводит к специфической асимметрии углового распределения излучения поляризованного атома, порождаемой переходами с нарушением Р-четности.

4. Вычислена ведущая поправка к зависимости электромагнитной силы Казимира между двумя параллельными проводящими пластинами от расстояния между ними в рамках (3 + 1)0 электродинамики Максвелла-Черна-Саймонса. Доказана также калибровочная инвариантность этой силы, несмотря на невозможность сделать тензор энергии-импульса симметричным и калибровочно-инвариантным. Для нахождения энергии Казимира разработан метод явного суммирования и перенормировки ряда по корням трансцендентного уравнения. с помощью теоремы вычетов, отличающийся от методов, развитых недавно другими авторами.

5. Найдена диадная функция Грина для случая параллельных проводящих пластин в (3 + 1)0 электродинамике Максвелла-Черна-Саймонса. С ее помощью уточнено выражение для силы Казимира, полученное автором другими методами (см. выше), причем дополнительное слагаемое имеет непертурбативный характер.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Жуковский В. Ч., Харланов О. Г. Эффекты нарушения СРТ- и лоренц-инвариантности в водородоподобных атомах. — Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия. — 2007. — Т. 62, №5. — С. 8-13.

2. Kharlanov О. G., Zhukovsky V. Ch. СРТ and Lorentz violation effects in hydrogenlike atoms. - J. Math. Phys. - 2007. - Vol. 48, no. 9 - P. 092503.

3. Жуковский В. Ч., Фролов И. Е., Харланов О. Г. Электромагнитное излучение квантовых систем в условиях нарушенной лоренц- и СРТ-инвариантности. —Ядерная физика. — 2009. — Т. 72, №2. — С. 348-353.

4. Жуковский В. Ч., Харланов О. Г. Эффект Казимира в (3 + 1)£> электродинамике Максвелла-Черна-Саймонса. — Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия. — 2010. — Т. 65, №1. — С. 3-6.

5. Kharlanov О. G., Zhukovsky V. Ch. Casimir effect within D = 3 + 1 Maxwell-Chern-Simons electrodynamics. — Phys. Rev. D. — 2010. — Vol. 81, no. 2. - P. 025015.

6. Frolov I. E., Kharlanov O. G., Zhukovsky V. Ch. Bound state problems and radiative effects in extended electrodynamics with Lorentz violation. // Particle Physics on the Eve of LHC: Proceedings of the Thirteenth Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics, Moscow, 23-29 August 2007 / Ed. by A. Studenikin. - Singapore: World Scientific, 2009. - Pp. 416-419.

7. Zhukovsky V. Ch., Bubnov A., Frolov I., Kharlanov O. Quantum effects in QED under the condition of Lorentz and CPT invariance violation. — XIII International Conference on Selected Problems of Modern Physics. Dedicated to the 100th Anniversary of the Birth of D.I. Blokhintsev (19081979), Dubna, June 23-28, 2008: Proceedings of the Conference / Ed. by B.M. Barbashov and S.M. Eliseev. - Dubna: JINR, 2009.

8. Bubnov A. F., Kharlanov O. G., Zhukovsky V. Ch. Vacuum Polarization and Casimir Effect within (3 + 1)D Maxwell-Chern-Simons Electrodynamics with Lorentz violation. // Fourth International Sakharov Conference on

Physics: Proceedings, Moscow, Russia, May 18-23, 2009. — URL: http://sc4.lpi.ru/proceedings/zhukovsky.pdf (дата обращения: 19.06.2009).

9. Харланов О. Г. Эффекты нарушения СРТ- и лоренц-инвариантности в водородоподобных атомах. // Конференция "Ломоносов-2007", секция "Физика". Сборник тезисов. — Москва: Физический факультет МГУ, 2007. - С. 223-224.

10. Жуковский В. Ч., Харланов О. Г. Эффект Казимира в (3 + l)D электродинамике Максвелла-Черна-Саймонса. // Научная конференция "Ломоносовские чтения", секция физики, 16-25 апреля 2009 года. Сборник тезисов докладов. — Москва: Физический факультет МГУ, 2009. — С. 130-132.

11. Жуковский Б.Ч., Харланов О. Г. Эффект Казимира в D = 3 +1 электродинамике Максвелла-Черна-Саймонса: метод диадной функции Грина. // Научная конференция "Ломоносовские чтения", секция физики, 16-25 апреля 2010 года. Сборник тезисов докладов. — Москва: Физический факультет МГУ, 2010. - С. 112-114.

Подписано к печати ИлААП Тираж ЙО Заказ .У.9.

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

1 Введение

2 Эффекты нарушения лоренц-инвариантности в водородопо-добных атомах

2.1 Введение.

2.2 Используемая модель.

2.3 1/«^-приближение в уравнении Дирака с поправкой Ьи

2.4 Водородоподобный атом: квазирелятивистский подход

2.5 Разложение решения уравнения Дирака по bo.

2.6 Свойства излучения атома водорода, характерные для случая bo Ф 0.

2.7 Обсуждение.

3 Эффект Казимира в (3+1 )D электродинамике Максвелл а-Черна-Саймонса

3.1 Введение.

3.2 Электродинамика Максвелла-Черна-Саймонса.

3.2.1 Динамические инварианты.

3.2.2 Квантование поля.

3.3 Однофотонные моды электромагнитного поля между параллельными пластинами.

3.4 Энергия Казимира: регуляризация методом дзета-функции

3.5 Энергия Казимира: суммирование ряда с помощью теоремы вычетов.

4 Эффект Казимира в электродинамике Максвелла-Черна-Сай-монса: метод диадной функции Грина.

4.1 Введение.

4.2 Общее выражение для диадной функции Грина через скалярную функцию Грина.

4.3 Диадная функция Грина: параллельные проводящие пластины

4.4 Обсуждение.

В данной главе мы изучим, как нарушение лоренц- и СРТ-инвариант-ности может сказываться на свойствах простейшего атома — атома водорода. Для некоторой общности мы будем считать заряд ядра Z произвольным, т.е. рассматривать т.н. водородоподобный атом. До сегодняшнего дня эта система активно изучалась в рамках расширенной стандартной модели [32,33,35-38]. Тем не менее, большинство вычислений сводилось к (не всегда обосновашюму) применению теории возмущений по нарушающим лоренц-инвариантность поправкам. Это в лучшем случае позволяло обнаружить влияние нарушения лоренц-инвариантности на энергетический спектр атома.

В нашей работе мы придерживаемся коренным образом другого подхода. Мы стараемся напрямую решить задачу на собственные состояния электрона в связывающем потенциале ядра, пусть и приближенно. Это позволяет, в частности, изучать радиационные свойства атома, такие как поляризация и угловое распределение излучения. В нашем исследовании мы будем работать в рамках расширенной электродинамики с нарушающим лоренц-инвариантность аксиально-векторным конденсатом Ь^. С использованием приближенных методов мы покажем, что можно выразить собственные функции релятивистского уравнения Дирака с малой поправкой bo в центральном электрическом поле через его решения в этом же поле при bo = 0. С помощью этого отображения мы в явном виде найдем решения для интересного с практической точки зрения случая ку-лоновской потенциальной ямы (см. раздел 2.5). Окажется, что существует квадратичное по bo расщепление энергетического спектра, соперничающее с лэмбовским сдвигом [47], которое может в принципе наблюдаться в эксперименте.

Разлагая решение уравнения Дирака с поправкой Ь^ по степеням 1 /с, мы также получим гамильтониан квазирелятивистского (1 /с2-) приближения с этой поправкой (раздел 2.3). Эта тематика в последнее время обсуждалась в литературе [48-53], однако никто до нас не рассматривал 1/с2-приближение во внешнем поле, включающее, в отличие от 1/с-при-ближения Паули, релятивистские поправки. С использованием такого приближенного подхода мы также получили волновые функции собственных состояний электрона в атоме водорода и проанализировали, как эффективно должно проявляться в динамике электрона наличие нарушающей Р-четность поправки bo (см. раздел 2.4). Оказывается, последняя приводит к модификации взаимодействия электрона с внешним магнитным полем, а именно, к появлению СРТ-нечетной добавки к оператору магнитного момента электрона. Это отражается, как мы увидим, в частности, в асимметрии углового распределения излучения атома (раздел 2.6), а также в появлении ненулевого анапольного момента [54] у электронной оболочки. Последняя характеристика описывает системы с нарушением Р-четности, взаимодействующие с электромагнитным полем. Например, из-за электрослабых радиационных поправок нейтрино в стандартной модели приобретает такой момент. Более того, это единственная электромагнитная характеристика, которая может быть приписана майорановскому нейтрино [55].

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. В рамках расширенной электродинамики с СРТ-нечетпым нарушающим лоренц-инвариантность взаимодействием с аксиально-векторным конденсатом Ь^ рассмотрено одночастичное приближение для электрона во внешнем электромагнитном поле. Для такой теории выведен гамильтониан 1 /с2-приближепия и на его основе получены собственные функции и энергетический спектр электрона в водо-родоподобном атоме при малом bo Ф 0. Также исправлена оценка энергетического расщепления, обусловленного наличием пространственных компонент bp, предлагавшаяся другими авторами.

2. Спектр атома водорода и собственные функции электрона в нем также исследованы с использованием точного релятивистского уравнения Дирака с нарушающей Р-четность ^-поправкой. В случае центрального электрического поля задача на собственные состояния сведена к случаю bo = 0 с квадратичной точностью по bo и в результате явно решена для кулоновского потенциала. В последнем возникает квадратичное по bo расщепление эпергетического спектра, снимающее вырождение по квантовому числу / и соперничающее с лэмбов-ским сдвигом при больших j. Экспериментальное наблюдение этого расщепления позволило бы усилить ограничения на абсолютную величину bo.

3. Оказалось, что особенности динамики электрона в атоме, имеющие место при малом Ь0 Ф 0, могут быть сведены к наличию СРТ- и

Р-нечетной добавки к оператору магнитного момента электрона, (в 1 /с2-приближении). Эта поправка приводит к нарушению центральной симметрии углового распределения спонтанного излучения поляризованного по спину атома водорода, а также к наличию у электронной оболочки такого атома анапольного момента. Величина этого момента, как выяснилось, может на много порядков превосходить анапольные моменты самого электрона и ядра, индуцированные электрослабыми радиационными поправками.

4. В рамках (3+1 )D электродинамики Максвелла-Черна-Саймонса (MCS-электродинамики) с нарушающей лоренц- и СРТ-инвариантность поправкой к лагранжиану вида ^lFetIvapAv Fafi рассмотрена задача об эффекте Казимира. В частном случае = (kAF, 0) найдены ка-либровочно-инвариантные выражения для энергии и силы Казимира, несмотря на невозможность полностью симметризовагь и сделать калибровочно-инвариантным тензор энергии-импульса. В случае бесконечных параллельных проводящих пластин показано, что нестабильность электромагнитного вакуума теории, имеющая место при kAF Ф 0, является пренебрежимо малой при достаточно малом (но конечном для фиксированного kAi) расстоянии между пластинами.

5. В случае параллельных пластин найден полный набор стационарных однофотонных состояний. Энергетический спектр MCS-фотона оказался задан неявно в виде трансцендентного уравнения, на основании которого мы получили ведущую /^-поправку к энергии (и, как результат, к силе) Казимира. Мы использовали метод регуляризации введением дзета-функции и разработанный нами метод явного суммирования и перенормировки ряда по корням трансцендентного уравнения с помощью теоремы вычетов. Полученная поправка к силе Казимира, квадратичная по kAF, исправляет результаты других авторов, неоправданно полагавшихся при ее нахождении на аналогию с (2+1)-мерной MCS-электродинамикой.

6. В рамках той же теории Максвелла-Черна-Саймонса развит метод построения диадной функции Грина электромагнитного поля для кЛр Ф 0, сводящий волновые уравнения на ее компоненты к уравнениям, характерным для случая кАр = 0- На основании этого метода построена диадная функция Грина для случая параллельных пластин в MCS-электродинамике, с помощью которой найдено натяжение Казимира. Восстановлено выражение для последнего, полученное нами же другими методами, кроме того, к нему найдена непертурбативная поправка, пропорциональная kAF Inгде D — расстояние между пластинами. С использованием полученных поправок и экспериментальных данных по эффекту Казимира на абсолютную величину кАР наложены ограничения.

Автор выражает благодарность профессору В. Ч. Жуковскому за научное руководство, за неотступное внимание и терпение, а также за талантливое разъяснение в своих лекциях основных идей квантовой теории поля. Автор также глубоко признателен А. В. Борисову и А. Е. Лобанову за обсуждение и советы в отношении исследований, составляющих содержание настоящей диссертационной работы.

Написание данной работы было бы невозможным без помощи лекционных курсов Ю. С. Владимирова, Д. В. Гальцова, Ю. В. Граца, К. А. Казакова, JI. С. Кузьменкова, П. И. Пронина, А. А. Славнова, Н. Э. Смирнова и К. В. Степаньянца, которые автор имел удовольствие слушать. Отдельное спасибо автор хочет сказать Б. А. Лысову за его курс "Дополнительные главы квантовой механики", который значительно углублял видение этого предмета.

Наконец, автор признателен Г. Л. Октябрьской и Н. А. Соколовой за помощь в решении административных вопросов и чуткое отношение.

1. Rovelli С. Quantum gravity. — Cambridge: Cambridge University Press, 2004. - 455 pp.

2. Giulini D., Kiefer C., Lammerzahl C. Quantum gravity: From theory to experimental search. — Berlin: Springer, 2003.— 400 pp.

3. Green M., Schwarz J. H., Witten E. Superstring theory.— Cambridge: Cambridge University Press, 1987. — Vol. 1. Introduction. — P. 484.

4. Green M., Schwarz J. H., Witten E. Superstring theory.— Cambridge: Cambridge University Press, 1987.— Vol. 2. Loop Amplitudes, Anomalies, and Phenomenology. — P. 614.

5. Randall L., Sundrum R. A large mass hierarchy from a small extra dimension. — Phys. Rev. Lett.— 1999.— Vol. 83, no. 17.- Pp. 33703373.

6. Connes A. Non-commutative geometry. — New York: Academic Press, 1994.-661 pp.

7. Seiberg N., Witten E. String theory and noncommutative geometry.— JHEP. 1999. - Vol. 1999, no. 09. - P. 032.

8. Doplicher S., Fredenhagen K., Roberts J. E. The Quantum Structure of Spacetime at the Planck Scale and quantum fields.— Commun. Math. Phys. 1995. - Vol. 172, no. 1. - Pp. 187-220.

9. Kostelecky V. A., Samuel S. Gravitational Phenomenology in Higher Dimensional Theories and Strings. — Phys. Rev. D. — 1989. — Vol. 40, no. 6.-Pp. 1886-1903.

10. Andrianov A. A., Soldati R., Sorbo L. Dynamical Lorentz symmetry breaking from (3+1) axion-Wess-Zumino model.— Phys. Rev. D. — 1999. Vol. 59, no. 2. — P. 025002.

11. Field G. В., Carroll S. M. Cosmological magnetic fields from primordial helicity. Phys. Rev. D. - 2000. - Vol. 62, no. 10. - P. 103008.

12. Shapiro I. L. Physical aspects of the space-time torsion. — Phys. Rept. — 2002. Vol. 357, no. 2. - Pp. 113-213.

13. Coleman S., Weinberg E. Radiative Corrections as the Origin of Spontaneous Symmetry Breaking. — Phys. Rev. — 1973. — Vol. 7, no. 6. — Pp. 1888-1910.

14. Nambu Y., Jona-Lasinio G. Dynamical Model of Elementary Particles Based on an Analogy with Superconductivity, I. — Phys. Rev. — 1961. — Vol. 122, no. 1. — Pp. 345-358.

15. Nambu Y., Jona-Lasinio G. Dynamical Model of Elementary Particles Based on an Analogy with Superconductivity, II. — Phys. Rev. — 1961. — Vol. 124, no. l.-Pp. 246-254.

16. Klimenko K. G. Three-dimensional Gross-Neveu model at nonzero temperature and in the presence of an external electromagnetic field. — Zeitschrift fur Physik C. 1992. - Vol. 54, no. 2. - Pp. 323-329.

17. Colladay D., Kostelecky V. A. Lorentz-violating extension of the standard model. — Phys. Rev. D.~ 1998.- Vol. 58, no. 11. — P. 116002.

18. Bluhm R. Overview of the SME: Implications and Phenomenology of Lorentz Violation. — Lect. Notes Phys. — 2006.— Vol. 702.— Pp. 191226.

19. Zhukovsky V. Ch., Lobanov A. E., Murchikova E. M. Radiative effects in the standard model extension. — Phys. Rev. D. — 2006. — Vol. 73, no. 5. — P. 065016.

20. Arbuzova E. V., Lobanov A. E., Murchikova E. M. Pure quantum states of a neutrino with rotating spin in dense magnetized matter. — Phys. Rev. D. 2010. - Vol. 81, no. 4. - P. 045001.

21. Shabad A. E., Usov V. V. Electric field of a point-like charge in a strong magnetic field and ground state of a hydrogen-like atom. — Phys. Rev. D. 2008. - Vol. 77, no. 2. - P. 025001.

22. Kostelecky V. A., Lehnert R. Stability, causality, and Lorentz and CPT violation. Phys. Rev. D. — 2001. — Vol. 63, no. 6. — P. 065008.

23. Ebert D., Zhukovsky V. Ch., Razumovsky A. S. Chern-Simons-like term generation in an extended model of QED under external conditions. — Phys. Rev. D. 2004. - Vol. 70, no. 2. - P. 025003.

24. Andrianov A. A., Giacconi P., Soldati R. Lorentz and CPT violations from Chern-Simons modifications of QED.- JHEP.- 2002.- Vol. 2002, no. 02. P. 030.

25. Altschul B. Gauge invariance and the Pauli-Villars regulator in Lorentz-and CPT-violating electrodynamics. — Phys. Rev. D. — 2004. — Vol. 70, no. 10.-P. 101701.

26. Jackiw R., Kostelecky V. A. Radiatively induced Lorentz and CPT violation in electrodynamics.— Phys. Rev. Lett.— 1999.— Vol. 82, no. 18.-Pp. 3572-3575.

27. Kostelecky V.A., Pickering A. G. M. Radiatively induced Lorentz and CPT violation in electrodynamics. — Phys. Rev. Lett. — 2003. — Vol. 91, no. 3.-P. 031801.

28. Adam С., Klinkhamer F. R. Photon decay in a CPT violating extension of quantum electrodynamics. — Nucl. Phys. B. — 2003. — Vol. 657, no. 1. — Pp. 214-228.

29. Altschul B. Lorentz violation and synchrotron radiation. — Phys. Rev. D. 2005. - Vol. 72, no. 8. - P. 085003.

30. Andrianov A. A., Espriu D., Giacconi P., Soldati R. Anomalous positron excess from Lorentz-violating QED.— JHEP.— 2009.— Vol. 2009, no. 09. P. 057.

31. Frolov I. E., Zhukovsky V. Ch. Synchrotron radiation in the standard model extension. — J. Phys. A — 2007.— Vol. 40, no. 34. Pp. 1062510640.

32. Bluhm R., Kostelecky V. A., Russell N. CPT and Lorentz tests in hydrogen and antihydrogen. — Phys. Rev. Lett.— 1999.— Vol. 82, no. 11.-Pp. 2254-2257.

33. Casimir H. B. G. On the attraction between two perfectly conducting plates. Proc. K. Ned. Akad. Wet. - 1948. - Vol. 51. - Pp. 793-795.

34. Bluhm R. Lorentz and CPT tests in atomic systems. — AIP Conf. Proc. — 2000.-Vol. 539, no. 1. — Pp. 109-118.

35. Bluhm R., Kostelecky V. A. Lorentz and CPT Tests with Spin-Polarized Solids. Phys. Rev. Lett. — 2000. - Vol. 84, no. 7. - Pp. 1381-1384.

36. Milton K. A., Ng Y. J. The Maxwell-Chern-Simons Casimir Effect. — Phys. Rev. D.- 1990.— Vol. 42, no. 8.- Pp. 2875-2880.

37. Chern S.-S., Simons J. Characteristic forms and geometric invariants. — Ann. Math. II- 1974.- Vol. 99, no. 1.- Pp. 48-69.

38. Frank M., Turan I. Casimir force in a Lorentz violating theory. — Phys. Rev. D. 2006. - Vol. 74, no. 3. - P. 033016.

39. Elizalde E. Dynamical Casimir Effect with Semi-Transparent Mirrors and Cosmology. J. Phys. A. - 2008. - Vol. 41, no. 16. - P. 164061.

40. Antonsen F., Bormann K. Evolution of a hyperspatial tube due to the Casimir effect. Phys. Rev. D. — 1995. — Vol. 51, no. 2. - Pp. 568-578.

41. Nojiri Sh., Odintsov S., Zerbini S. Bulk versus boundary (gravitational Casimir) effects in quantum creation of inflationary brane world universe. — Class. Quant. Grav. — 2000.— Vol. 17, no. 23. — Pp. 48554866.

42. Brevik I. H., Milton K. A., Odintsov S. D., Osetrin К. E. Dynamical Casimir effect and quantum cosmology.— Phys. Rev. D.— 2000.— Vol. 62, no. 6. — P. 064005.

43. Elizalde Е. The vacuum energy: Casimir effect and the cosmologicalconstant. AIP Conf. Proc. — 2007. — Vol. 905, no. 1. — Pp. 50-55.i

44. Lamb W. E., Retherford R. C. Fine Structure of the Hydrogen Atom by a Microwave Method. — Phys. Rev. — 1947. — Vol. 72, no. 3. — Pp. 241243.

45. Kostelecky V. A., Lane C. D. Nonrelativistic quantum Hamiltonian for Lorentz violation.— J. Math. Phys.— 1999.— Vol. 40, no. 12. — Pp. 6245-6253.

46. Ferreira Jr. M. M., Moucherek F. M. O. Influence of Lorentz- and CPT-violating terms on the Dirac equation. — Int. J. Mod. Phys. A. — 2006. — Vol. 21, no. 30.- Pp. 6211-6227.

47. Belich H., Costa-Soares Т., Ferreira Jr. M. M., Helayel-Neto J. A., Mouchereck F. M. O. Lorentz-violating corrections on the hydrogen spectrum induced by a non-minimal coupling. — Phys. Rev. D. — 2006. — Vol. 74, no. 6. P. 065009.

48. Belich H., Costa-Soares Т., Ferreira Jr. M. M., Helayel-Neto J. A,, Orlando M. T. D. A comment on the topological phase for anti-particles in a Lorentz-violating environment. — Phys. Lett. B. — 2006. — Vol. 639, no. 6. Pp. 675-678.

49. Belich H., Costa-Soares Т., Ferreira Jr. M. M., Helay61-Neto J. A. Classical solutions in a Lorentz-violating scenario of Maxwell-Chern-Simons-Proca electrodynamics.— Eur. Phys. J. C. — 2005.— Vol. 42, no. l.-Pp. 127-137.

50. Belich H., Costa-Soares Т., Ferreira Jr. M. M., Helayel-Neto J. A., Orlando M. T. D. Lorentz-symmetry violation and electrically charged vortices in the planar regime. — Int. J. Mod. Phys. A. — 2006. — Vol. 21, no. 11.- Pp. 2415-2429.

51. Зельдович Я. Б. Электромагнитное взаимодействие при нарушении четности. — ЖЭТФ. — 1957.- Т. 33, № 6.- С. 1531.

52. Борисов А. В., Жуковский В. Ч., Тернов А. И. Электромагнитные свойства массивных нейтрино.— ДАН СССР.— 1989.— Т. 308, № 4. С. 841-843.

53. Coleman S., Glashow S. L. High-energy tests of Lorentz invariance. — Phys. Rev. D.— 1999.- Vol. 59, no. 11.- P. 116008.

54. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. — Москва: Физматлит, 2002. — Т. 4 из Теоретической физики. — 720 с.

55. Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч. Квантовая механика. — Москва: Наука, 1979. — 528 с.

56. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля.— Москва: Физматлит, 2006. — Т. 2 из Теоретической физики. — 534 с.

57. Foldy L. L., Wouthysen S. A. On the Dirac theory of spin 1/2 particles and its non-relativistic limit. — Phys. Rev.— 1950.— Vol. 78, no. 1.— Pp. 29-36.

58. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Москва: Физматлит, 2004. — Т. 3 из Теоретической физики. — 800 с.

59. Weber Е. W., Goldsmith J. Е. М. Double-Quantum Spectroscopy in Hydrogen: Measurement of the ЗРз/2-3£>з/2 Lamb Shift. — Phys. Rev. Lett. 1978. - Vol. 41, no. 14. - Pp. 940-944.

60. Weitz M., Schmidt-Kaler F., Hansch T. W. Precise Optical Lams Shift Measurements in Atomic Hydrogen. —Phys. Rev. Lett. — 1992. — Vol. 68, no. 8.-Pp. 1120-1123.

61. Hagley E. W., Pipkin F. M. Separated oscillatory field measurement of hydrogen IS хц-^Ръ/г fine structure interval. — Phys. Rev. Lett. — 1994. — Vol. 72, no. 8. —Pp. 1172-1175.

62. Новиков В. H., Хриплович И. Б. Несохранение четности в переходах между компонентами сверхтонкой структуры тяжелых атомов. — Письма в ЖЭТФ. 1975. - Т. 22, № 3. - С. 162-165.

63. Bouchiat М. A., Bouchiat С. С. Weak neutral currents in atomic physics. Phys. Lett. B. — 1974. — Vol. 48, no. 2. — Pp. 111-114.

64. Хриплович И. Б. Несохранение четности в атомах. — УФН. — 1988. — Т. 155, № 2. — С. 325.

65. Дубовик В. М., Тосунян Л. А. Тороидные моменты в физике электромагнитных и слабых взаимодействий. — ЭЧАЯ.— 1983. — Т. 14, № 5.- С. 1193-1228.

66. Curtis Michel F. Neutral Weak Interaction Currents. — Phys. Rev. — 1965. Vol. 138, no. 2B. — P. 408.

67. Рекало M. П. Анапольный момент легггонов и кварков как источник Р-нечетного взаимодействия лептонов с адронами. — Письма в ЖЭТФ. 1979. - Т. 29, № 5. - С. 299-302.

68. Milton К. A. The Casimir Effect: Physical Manifestation of Zero-Point Energy. New York: World Scientific, 2001. — 320 pp.

69. Vepstas L., Jackson A. D., Goldhaber A. S. Two-Phase Models of Baryons and the Chiral Casimir Effect. — Phys. Lett. В. — 1984.— Vol. 140, no. 5-6. Pp. 280-284.

70. Bordag M., Elizalde E., Kirsten K., Leseduarte S. Casimir energies for massive scalar fields in a spherical geometry. — Phys. Rev. D. — 1997. — Vol. 56, no. 8. Pp. 4896-4904.

71. Lee H.-J., Min D.-P., Park B.-Y., Rho M., Vento V. The proton spin in the chiral bag model: Casimir contributions and Cheshire Cat principle. — Nucl. Phys. A. 1999.- Vol. 657, no. 1.- Pp. 75-94.

72. Frank M., Turan I., Ziegler L. The Casimir force in Randall-Sundrum models. Phys. Rev. D. — 2007. — Vol. 76, no. 1. — P. 015008.

73. Elizalde E., Odintsov S. D., Saharian A. A. Repulsive Casimir effect from extra dimensions and Robin boundary conditions: from branes to pistons. Phys. Rev. D. — 2009. — Vol. 79, no. 6. — P. 065023.

74. Mohideen U., Roy A. Precision measurement of the Casimir force from 0.1 to 0.9jim.— Phys. Rev. Lett. — 1998.— Vol. 81, no. 21,- Pp. 45494552.

75. Harris B. W., Chen F., Mohideen U. Precision measurement of the Casimir force using gold surfaces. — Phys. Rev. A. — 2000. — Vol. 62, no. 5. — P. 052109.

76. Chan Н. В., Aksyuk V. A., Kleiman R. N., Bishop D. J., Capasso F. Quantum mechanical actuation of microelectromechanical system by the Casimir force. Science.— 2001.— Vol. 291, no. 5510.— Pp. 19411944.

77. Chan H. В., Aksyuk V. A., Kleiman R. N., Bishop D. J., Capasso F. Nonlinear micromechanical Casimir oscillator. — Phys. Rev. Lett. — 2001.-Vol. 87, no. 21.-P. 211801.

78. Antonini P., Bressi G., Carugno G., Galeazzi G., Messineo G., Ruoso G. Casimir effect: a novel experimental approach at large separation. — New J. Phys. 2006. - Vol. 8, no. 10. — P. 239.

79. Antonini P., Bimonte G,, Bressi G., Carugno G., Galeazzi G., Messineo G., Ruoso G. An experimental apparatus for measuring the Casimir effect at large distances. — J. Phys. Conf. Ser. — 2009. — Vol. 161, no. l.-P. 012006.

80. Bressi G„ Carugno G., Onofrio R., Ruoso G. Measurement of the Casimir Force between Parallel Metallic Surfaces. — Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 88, no. 4.-P. 041804.

81. Flachi A., Toms D. J. Quantized bulk scalar fields in the Randall-Sundrum brane model. — Nucl. Phys. В.— 2001.— Vol. 610, no. 1-2.- Pp. 144168.

82. Ponton E., Poppitz E. Casimir energy and radius stabilization in five and six dimensional orbifolds.— JHEP.— 2001.- Vol. 2001, no. 06.-P. 019.

83. Lifshitz E.M. The theory of molecular attractive forces between solids. — Sov. Phys. JETP. — 1956. — Vol. 2, no. 1.- Pp. 73-83.

84. Boyer Т. H. Quantum Electromagnetic Zero-Point Energy of a Conducting Spherical Shell and the Casimir Model for a Charged Particle. — Phys. Rev. 1968. - Vol. 174, no. 5. - Pp. 1764^1776.

85. Milton K. A. Vector Casimir effect for a i)-dimensional sphere. — Phys. Rev. D. 1997. - Vol. 55, no. 8. - Pp. 4940^1946.

86. Bordag M. The Casimir effect for a sphere and a cylinder in front of plane and corrections to the proximity force theorem. — Phys. Rev. D. — 2006.- Vol. 73, no. 12.- P. 125018.

87. Bordag M., Nikolaev V. Casimir force for a sphere in front of a plane beyond Proximity Force Approximation. — J. Phys. A. — 2008. — Vol. 41, no. 16.-P. 164002.

88. Linares R., Morales-Tecotl H. A., Pedraza O. Casimir force for a scalar field in warped brane worlds. — Phys. Rev. D. — 2008. — Vol. 77, no. 6. — P. 066012.

89. Kirs ten K., Fulling S. A. Kaluza-Klein models as pistons. — Phys. Rev. D. 2009. - Vol. 79, no. 6. - P. 065019.

90. Frank M., Saad N., Turan I. The Casimir Force in Randall-Sundrum Models with q + 1 dimensions. — Phys. Rev. D. — 2008. — Vol. 78, no. 5. P. 055014.

91. Saharian A. A. Fermionic Casimir effect in toroidally compactified de Sitter spacetime.— Class. Quant. Grav.— 2008.— Vol. 25, no. 16.— P. 165012.

92. Herdeiro C. A. R., Ribeiro R. H., Sampaio M. Scalar Casimir effect on a Z)-dimensional Einstein static Universe. — Class. Quant. Grav. — 2008. — Vol. 25, no. 16.-P. 165010.

93. Nesterenko V. V., Pirozhenko I. G. A simple model for cosmic string of a finite thickness. — 2010. — URL:http://arxiv.org/pdf/1003.0886 (дата обращения: 03.10.2010).

94. Nam S. Casimir force in compact noncommutative extra dimensions and radius stabilization. JHEP. — 2000. - Vol. 2000, no. 10. - P. 044.

95. Chaichian M., Demichev A., Presnajder P., Sheikh-Jabbari M. M., Tureanu A. Quantum theories on noncommutative spaces with nontrivial topology: Aharonov-Bohm and Casimir effects.— Nucl. Phys. В.— 2001.-Vol. 611, no. 3.- Pp. 383-402.

96. Milton K. A., Ng Y. J. Maxwell-Chern-Simons Casimir effect. П. Circular boundary conditions. — Phys. Rev. D. — 1992. — Vol. 46, no. 2. — Pp. 842852.

97. Carroll S.M., Field G. В., Jackiw R. Limits on a Lorentz- and parity-violating modification of electrodynamics. — Phys. Rev. D. — 1990.— Vol. 41, no. 4. —Pp. 1231-1240.

98. Dobado A., Maroto A. L. Standard model anomalies in curved space-time with torsion. Phys. Rev. D. — 1996. - Vol. 54, no. 8. — P. 5185.

99. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред.— Москва: Физматлит, 2003. — Т. 8 из Теоретической физики. — 656 с.

100. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — Москва: Наука, 1999. — 799 с.

101. Nesterenko V. V. Boundary conditions at spatial infinity for fields in Casimir calculations. —J. Phys. A. — 2006. — Vol. 39, no. 21. Pp. 66096616.

102. Elizalde E. Ten Physical Applications of Spectral Zeta Functions.— Berlin: Springer, 1995. — 224 pp.

103. Edwards Н. М. Riemann's Zeta Function. — New York: Dover Publications, 2001. — 330 pp.

104. Markushevich A. I. Theory of Functions of a Complex Variable. — New York: AMS, 2005. 1138 pp.

105. Mostepanenko V. M., Trunov N. N. The Casimir Effect and Its Applications. — Oxford: Oxford University Press, 1997. — 212 pp.

106. Bouniakowsky V. Ya. Sur quelques inegalites concernant les integrates aux differences finies. — Mem. Acad. Sci. St. Petersburg VII. — 1859. — Vol. 1, no. 9. — Pp. 1-18. — (на франц. языке).

107. Тамм И. Е. Основы теории электричества. — Москва: Наука, 2003. — 616 с.