Эффекты нелинейной дисперсии при взаимодействии волн в жидкости тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Российская академия наук Институт общей физики Научный центр волновых исследований, _ _

Г; Ъ ОД 1 ~ 2 03

На правах рукописи УДК 551.466, 551.466.8

Шуган Игорь Викторович

Эффекты нелинейной дисперсии при взаимодействии волн в жидкости

(01.04.03 - радиофизика)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена в Научном центре волновых исследований Института общей физики РАН

Официальные оппоненты:

Член-корреспондент РАН КУЛИКОВСКИЙ А.Г.

Доктор технических наук, профессор БОНДУР В.Г.

Доктор физико-математических наук, профессор КРАВЦОВ Ю.А.

Ведущая организация - Институт прикладной физики РАН

Защита состоится «//> 2000г. в/-Г часов

на заседании диссертационного совета N3 (Д-003.49.02) в Институте общей физики РАН по адресу: 117942, Москва, ул. Вавилова 38.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института обшей физики РАН

Автореферат разослан <С ¿¿-¿¿¿у^^б/ 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д-003.49.02

д.ф.-м.н. В.П. Быков

^ '>91Ъ%

д/ ^/и . ~> с^ у

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Предмет и актуальность исследования. Распространение поверхностных волн в жидкости отличается большим разнообразием проявлений и обнаруживает множество неожиданных свойств, которые не укладываются в рамки имеющихся представлений. Экспериментальные исследования и натурные наблюдения последних двух десятилетий выявили целый ряд новых эффектов в поведении гидрофизических систем, традиционно являющихся объектом научного и практического интереса.

В первом ряду наблюдаемых явлений такого рода можно указать следующие:

- воздействие внутренних волн (ВВ) на морскую поверхность. Модуляция гравитационных поверхностных волн (ПВ) может иметь период, значительно меньший периода ВВ, так что свойство воспроизводимости внутренних волн на морской поверхности существенно теряется. Впереди цуга ВВ, там, где колебания изотерм отсутствуют, находятся значительные поверхностные аномалии в виде предвестника ВВ. Возможна неустойчивость поверхности и генерация волн в зоне прохождения ВВ в отсутствие заметного ветрового волнения.

- распространение нелинейных поверхностных волн на воде. Многократно наблюдавшиеся в экспериментах эффекты, такие, как понижение средней частоты пакета по мере его распространения, "потеря" и "слияние" волновых гребней, удвоение периода, развороты фазы , быстрая перестройка волновой частоты не имеют к настоящему времени удовлетворительного теоретического объяснения.

- динамика колебательных движений жидкости с упругими границами, рассматриваемой как двухфазная система, обладает необычными дисперсионными свойствами. Массоперенос жидкой фазы в такой системе может иметь режимы, по порядку превосходящие существующие оценки на основе традиционных волновых схем расчета.

Необходимо отметить, что сложность описания каждого из ука-

занных явлений связана с многообразием факторов, определяющих поведение среды, и поэтому довольно трудно вычленить влияние каждого из них и их взаимодействие. В литературе можно даже встретить суждение, что эффекты такого рода принадлежат к сильнонелинейным явлениям и существующий сейчас уровень асимптотических представлений в принципе не позволяет строить удовлетворительное их описание. На наш взгляд, тем не менее, построение модуляционных моделей волнового движения сред в рамках слабонелинейных приближений и даже в традиционно принятых порядках этих приближений позволяет существенно продвинуться в понимании многих гидрофизических проблем.

Предметом нашего исследования явились следующие физические задачи:

- воздействие ВВ на узкие слабонелинейные цуги поверхностных волн, возможности дистанционной диагностики свойств ВВ по их проявлениям на поверхности;

- распространение нелинейных пакетов поверхностных волн с сильной частотной модуляцией;

- волновые и колебательные движения двухфазной среды жидкость - упругие границы; массоперенос в таких системах;

- модели лазерного дистанционного зондирования океана;

- распространение и взаимодействие волн Россби над периодическим дном.

Волновые движения в перечисленных задачах, имея совершенно разную физическую природу и своеобразные проявления, обнаруживают тем не менее ряд, общих свойств и закономерностей. Кл:с ,1.ишм при изучении таких процессов является построение функции нелинейной дисперсии волнового движения, определяющей все поведение системы. Именно нелинейная дисперсия определяет разнообразие волновых решений и позволяет снять математические особенности в известных решениях.

Цель диссертационной работы состоит в разработке теоретических моделей вышеуказанных волновых движений в гидрофизической среде и их дистанционного наблюдения па основе еди-

ного модуляционного подхода; в описании рада качественно новых физических эффектов и закономерностей в рамках представлений о слабонелипейных волнах.

Научная новизна работы. Изучена задача о воздействии ВВ па слабонелинейные пакеты ПВ. Получены новые решения для взаимодействующих волн в условиях группового синхронизма. Найдены локализованные решения задачи и пороги их существования. '

Исследовано распространение нелинейных поверхностных волн на воде с сильной частотной модуляцией. Впервые построена модель, включающая эффекты глубокой модуляции волнового числа и частоты пакета, такие как удвоение периода, отрицательные частоты, перебросы фазы.

Предложена модель волновых движений вязкой жидкости в канале с упругими стенами. Исследованы дисперсионные свойства двухфазной среды. Найдены величины массопереноса для различных мод движения.

Построена модель расчета статистических характеристик морского волнения по данным нового метода лазерного дистанционного зондирования морской поверхности, основанного на непрерывном облучении и регистрации сигналов обратного отражения.

Изучена задача о резонансном взаимодействии волн Россби с периодической топографией дна. Сформулированы условия отражения волн и образования пространственно неоднородных структур огибающих.

Основные защищаемые положения.

1. Модуляция слабонелинейньгх поверхностных волн течением, вызванном внутренними волнами, максимальна в условиях, близких к групповому синхронизму. Воздействие относительно коротких ВВ может иметь период неоднородной модуляции, значительно меньший периода ВВ, приводить к образованию как предвестника, так и следа ВВ на поверхности. Различные моды локализо-

ванных пакетов ПВ образуются на встречном течении в условиях группового синхронизма с ВВ, при достижении порога по интенсивности приповерхностного потока.

2. Выведенная общая система модуляционных уравнений для медленно изменяющихся пакетов поверхностных волн описывает глубокие вариации частоты и волнового числа, которые наблюдались в экспериментах и теперь получили теоретическое объяснение. Описаны эффекты нелинейной модуляции волн, такие, как появление отрицательных частот, фазовых кинков, слияние гребней волн и удвоение периода; уединенные волновые пакеты имеют переменную частоту и распространяются на постоянном волновом фоне.

3. Двухфазная модель движения жидкости в канале с упругими стенками характеризуется дисперсионными свойствами, сильно отличающимися от свойств отдельных фаз. Массоперенос жидкости максимален при стоячих колебаниях стенки для больших чисел Рейнольдса.

4. Разработанная модель расчета статистических характеристик случайной морской поверхности по результатам лазерного зондирования узким лучом позволяет определить угловые зависимости спектра волнения, его интенсивность и насыщенность.

5. Нелинейные резонансные взаимодействия волн Россби с периодической топографией дна могут приводить к полному отражению волн и образованию неоднородных пространственных структур огибающих.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы

- при диагностике поверхностных течений в океане;

- при освоении шельфовой зоны океана;

- при создании вибрационных насосов;

- в проблеме вторичного использования нефтяных скважин;

- для анализа функционирования биологических систем.

Апробация работы. Основные направления исследования, постановка задач и полученные в диссертации результаты неоднократно обсуждались на семинаре Научного центра волновых исследований Института общей физики РАН (руководитель - академик РАН Ф.В. Бункин), на семинаре лаборатории гидрофизики (руководитель - д.ф.м.н. К.И.Воляк), на семинарах кафедры газовой и волновой динамики механико - математического факультета МГУ, и семинаре по гидродинамике Института механики МГУ (руководители чл.-корр. РАН А.Г. Куликовский, проф. A.A. Бар-мин), в Институте прикладной физики РАН, международных и национальных конференциях и опубликованы в 24 работах.

Личный вклад автора. В диссертацию вошли исследования, проведенные автором во время его работы в Физическом институте АН СССР и Институте общей физики РАН. Автором поставлены научные задачи и выбраны пути их решения, предложены и разработаны методы теоретического анализа. Все исследования выполнены лично автором или при его непосредственном участии и руководстве. В постановке задач, проведении расчетов и анализе результатов участвовали также К.И. Воляк, П.В. Григорьев, Г.А. Ляхов, A.B. Марченко, В.Г. Михалевич, М.В. Солнцев, А.Ю. Семенов, Т.Б. Шевченко, A.M. Шерменев.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Объем диссертации 198 страниц, 63 рис., 1 таблица. В списке литературы перечислено 138 названий.

2 СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор совремешюго состояния проблем о распространении поверхностных волн в жидкости, возможности их дистационного наблюдения и практической важности изучаемых задач. Приведено краткое описание содержания работы.

Глава 1 посвящена построению модели воздействия ВВ на слабонелинейные пакеты поверхностных гравитационных волн. Анализ одномерной стационарной задачи был впервые проведен Филлипсом1, в работе которого показана возможность блокировки ПВ поверхностным течением при попутном распространении ПВ и ВВ. Исследование нестационарного взаимодействия на основе

« » "11 4

спектральной кинематическои модели позволяет установить режим "захвата" ПВ течением, возможность образования предвестника и уменьшение периода огибающей ПВ в зоне прохождения периодического цуга коротких диспергирующих ВВ. Указанные модели основаны на линейном описании ПВ.

На наш взгляд, значительный вклад в описание взаимодействия волн вносит нелинейность ПВ. Учет самовоздействия и модуляционной дисперсии позволяет построить равномерно пригодное решение стационарной задачи и значительно расширить круг описываемых эффектов воздействия ВВ на морскую поверхность.

В главе 1 последовательно изучены следующие задачи:

- модуляция волны Стокса вне зоны группового синхронизма;

- взаимодействие при отсутствии потока энергии ПВ, А = О, относительно ВВ;

- модуляция ПВ на периодических цугах и относительно коротких ВВ;

- условия образования и структура локализованных пакетов ПВ в зоне прохождения ВВ.

Система модуляционных уравнений для узкого нелинейного пя-ПЕ т, и^лцииридно движущейся среде получена из уравнений движения идеальной несжимаемой жидкости на глубокой воде со свободной поверхностью с точностью до третьего порядка по крутизне волны. Горизонтальное течение, вызываемое ВВ, представлено в виде бегущей волны с фазовой скоростью, равной скорости ВВ, и воспроизводящей ее форму.

В системе координат, движущейся с фазовой скоростью ВВ уравнения принимают вид:

дисперсионное соотношение:

ш2 = к + е2к4ф2 + €2М£) - с)2фх/ф, (1.1)

уравнение существования фазы:

ш + к{и(£) - с) = П, (1.2)

уравнение волнового действия:

((«(О ~ с)ш + 1/2)ф2 = А, (1.3)

здесь ф,и>,к- нормированные на невозмущенные значения с(д/к^)1/2, (дко)1/2> ко функции потенциала скорости, собственной частоты и волнового числа ПВ, соответственно; с, и(£) - фазовая скорость ВВ и скорость приповерхностного течения, отнесенные к невозму-щепной фазовой скорости ПВ {д/ко)1/2; е = а,(,к0 - малый параметр крутизны ПВ , £ - медленная пространственная координата масштаба е. Постоянные интегрирования А иП имеют физический смысл потока волнового действия и частоты ПВ в движущейся системе координат.

Традиционное использование линейного дисперсионного соотношения (1.1) при 6 = 0 позволяет рассмотреть кинематику взаимодействия - поведение волнового числа к и частоты ш на течении, описываемую уравнениями (1.1), (1.2) отдельно от его динамики, определяемой уравнением волнового действия. Применение линейной модели ограничено здесь условием:

1 + 40(гх(£) - с) > 0. (1.4)

Обращение в нуль указанного выражения приводит к блокировке ПВ течением и неограниченно растущим амплитудам ПВ:

сд + и{£) — с ~ 0, ф оо. (1.5)

Уравнение (1.5) определяет условие группового синхронизма: фазовая скорость ВВ близка к групповой скорости ПВ, с ~ сд — 1/2. Линейная модель модуляции при этом неприменима и для изучения взаимодействия необходимо использовать функции нелинейное дисперсионное соотношение (1.1).

Проведенный анализ показывает, что изменение ПВ при скоростях, далёких от выполнения условий группового синхронизма

(с ~ 1/2 ), удовлетворительно описывается алгебраической системой модуляционных уравнений с функцией линейной дисперсией волн. Модуляция цуга ПВ имеет совершенно различный характер для разных частотных диапазонов, и основным критерием здесь служит отношение групповой скорости ПВ к фазовой скорости ВВ. Глубина модуляции возрастает при сближении их значений.

Групповой синхронизм характеризуется отсутствием потока волнового действия ПВ - когда А = 0 во всей области взаимодействия. Модуляция ПВ в этих условиях максимальна. Амплитуда ПВ значительно возрастает на встречном течении, воспроизводя его форму для крупномасштабных ВВ. Модуляция ПВ на попутном течении приводит к образованию областей сильного выглаживания поверхности (сликов) и сопровождается относительно высокочастотной модуляцией огибающей ЦВ. Глубина модуляции возрастает с ростом скорости и пространственного масштаба течения.

Попутное взаимодействие изначально различающихся по скоростям ПВ (сд) и ВВ (с) может включать как зоны регулярной линейной модуляции, так и локальные участки сильного изменения ПВ в условиях, близких к групповому синхронизму. Нелинейная модель волнового движения позволяет описать также поверхностные аномалии вне области прохождения ВВ.

Проведенный численный анализ показывает, что набегание цуга ПВ на зону прохождения относительно короткой ВВ может вызывать образование её поверхностного предвестника в виде нелинейной модулированной волны, распространяющейся ггрррп нп Ксли фазовая скорость ВВ превосходит групповую скорость коротких ПВ, то в этом случае возможно образование следа ВВ на поверхности, расположенного позади неё с масштабом модуляции, сравнимым с длиной ВВ.

Модуляция цугов ПВ периодической и достаточно длинной ВВ передает её основные волновые характеристики, такие как период, амплитуду и даже некоторые свойства формы. Модуляция, вызванная относительно короткими ВВ, может характеризоваться периодом, меньшим периода ВВ, и неоднородным распределением вдоль периодического цуга. Указанные свойства вместе с воз-

ложностью образования предвестника или следа ВВ критически осложняют проблему восстановления структуры ВВ по её проявлениям на морской поверхности.

Проведен асимптотический анализ существования локализованных решений задачи, при которых пакеты ПВ сопровождают проходящую ВВ и экспоненциально затухают при удалении от области переменного течения. Решения такого вида существуют только в условиях группового синхронизма. Пороговые условия возбуждения различных пространственных мод огибающей ПВ определяются величиной и пространственным масштабом течения. Для длинных ВВ связанные ПВ на встречном приповерхностном течении имеют вид волновых пакетов с глубокой модуляцией огибающей и периодом, в несколько раз меньшем длины ВВ. Эффективная генерация ПВ значительной амплитуды происходит только на встречном течении, вызываемом ВВ. Локализованные решения в присутствии попутного потока характеризуются малыми амплитудами и высокочастотными колебаниями, что говорит об устойчивости поверхности относительно таких возмущений.

В главе 2 представлено исследование распространения нелинейных пакетов поверхностных волн на глубокой воде. Многочисленные эксперименты по распространению модулированных поверхностных волн5-7 выявили некоторые особенности их поведения, необъясняемые существующими нелинейными теориями. Отличительным свойством наблюдаемых режимов распространения ПВ является значительная вариация частоты и волнового числа пакета. Эффекты мгновенного удвоения периода волн, развороты фазы, отрицательные частоты, возникающие локально в местах выглаживания поверхности, наблюдались в детальных лабораторных экспериментах Мелвилла8 как наиболее яркие особенности развития нелинейных ПВ.

Для объяснения указанных свойств была выведена общая система уравнений движения медленно изменяющихся волновых пакетов на глубокой воде в приближении третьего порядка по крутизне волны. Предлагаемая модель включает возможность значи-

тельных (порядка единицы) относительных вариаций частоты и волнового числа на "медленных" масштабах времени и пространства. Система модуляционных уравнений для тройки функций: частоты, волнового числа и потенциала скорости волнового движения обобщает, например, хорошо известное нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) огибающей ПВ, к которому она сводится при дополнительных ограничениях на изменения волнового числа и частоты. Стационарная форма уравнений имеет вид (1.1)-(1.3) при отсутствии течения, и(£) = 0. Ограниченные решения полученной системы уравнений проанализированы на фазовой плоскости и построены численно в зависимости от основных параметров задачи: потока волнового действия А, наблюдаемой частоты П и свободной постоянной интегрирования Е, которую можно связать, например, с заданным потоком энергии, излучаемым источником на бесконечности.

При положительном потоке волнового действия А > 0, когда групповая скорость волн превосходит скорость наблюдателя с, модуляции амплитуды и частоты синфазны. Особое поведение волновых пакетов наблюдается в окрестности критической амплитуды потенциала скорости на поверхности ф ~ (2Л)1/2, где частота волн обращается в нуль (см. уравнение (1.3)) вместе со смещением свободной поверхности ?/ а шф. Замкнутые фазовые кривые, пересекающие критическую линию ф = (2А)1^2, соответствуют решениям, имеющим периодически расположенные полосы выглаженной поверхности с резкой перестройкой частоты пакета. Характерный пример такого волнового режима представлен на рис.1. Частота волн (рис.лв) локально падает до небольших отрицательных значений. Решение обладает всеми признаками переброса фазы, наблюдавшимися в экспериментах7'8: фаза 0(£) (рис.1г) содержит отчетливые кинки, локализованные точно в местах выглаживания поверхности. Задержка фазы примерно на уровне 7г/2 длится около одного периода, во время которого происходит слияние гребней волн.

Для сравнения некоторые фрагменты экспериментальных данных Мелвилла8 показаны на рис. 1.д. Легко заметить, что в развитом модуляционном режиме экспериментальные профили первых

Рис.1. Первая (а) и вторая (б) гармоники профиля поверхности ту(^), частота (в) и фаза (г) волн для потока волнового

действия А = 0.30, 1/2 - сП = 0.22, Е = 0,е = 0.25.

Рис.1.д. Первая т/1) и вторая г/2) гармоники профиля поверхности т](£), частота и фаза 6(£) волн. Экспериментальные данные (Мелвилл8).

двух гармоник уровня поверхности в целом подобны рассчитанным нами профилям при определенных выше параметрах. Принципиальным является также то, что в те моменты, когда смещение поверхности близко к нулю вместе с частотой волн (как, например, при ( « 3 с на рис. 1.д), экспериментальные фазовые кинки также хорошо описываются предлагаемой теорией (см. рис. 1.г).

Колебания, происходящие при значительных амплитудах ПВ, превосходящих критическое значение ф = (2А)1/2, плавно модулированы по прострлнгтнрич^й кссрд::::ахс .. ¿.лс^воши соответствуют кноидальным решениям НУП1 для огибающей ПВ.

Отдельный интерес представляют волновые решения с бесконечным периодом при положительных значениях потока волнового действия А > 0. Отличительным свойством "светлых" уединенных волн в данной модели является постоянный волновой поток на бесконечности и переменная собственная частота пакета, возрастающая при увеличении амплитуды. Солитоны НУП1 содержатся здесь как частный случай при нулевом потоке волнового действия А = 0 и нулевом потоке энергии Е — 0.

Рис. 2. Первая (а) и вторая (б) гармоники профиля поверхности ??(£), частота сш(£) (в) и фаза (г) волн для потока волнового действия Л = -0.10, 1/2 - сП = -0.50, Е = 0, е = 0.15.

Основные свойства бегущих волновых решений заметно изменяются для отрицательного потока волнового действия А < О в лабораторной системе координат, то есть когда групповая скорость волн меньше скорости наблюдателя. Частота пакета здесь изменяется в противофазе с колебаниями амплитуды. Типичная картина модуляций первой т/М и второй т^ гармоник показана на рис.2.а,б. для отрицательного потока волнового действия А - -0.10 и 1/2 - сП = -0.5, Е = 0, е — 0.15. Частота волнового пакета са и фаза в(£) испытывают в этом примере вполне регулярную, но глубокую модуляцию. Этот тип решений хорошо соответствует нелинейному режиму распространения волновых пакетов с развитой антифазной модуляцией амплитуды и частоты, которая наблюдалась в экспериментах7'8 на относительно коротком разгоне волн при умеренной нелинейности процесса.

При отрицательном потоке волнового действия А < 0 также существуют уединенные волновые решения, асимптотически стремящиеся к постоянному волновому цугу на бесконечности. Увеличение амплитуды пакета здесь сопровождается падением частоты, которая остается внутри пакета практически постоянной.

Глава 3 посвящена изучению волновых движений и массопере-носа жидкости в канале с упругими границами. Эта задача тесно связана с идеей извлечения энергии морских поверхностных волн на шельфе9,10, работой перистальтических насосов11, вибрационным механизмом интенсификации нрЛтрппКглтттт т д

Перистальтический поток - это движение жидкости, вызванное распространением поперечных волн вдоль подвижной упругой стенки канала. Главным механизмом массопереноса жидкости является ее дрейф в направлении распространения волн, т.е. вдоль стенок канала. В этом случае вязкость жидкости играет определяющую роль, и число Рейнольдса 11е = а2ст/и представляет собой главный безразмерный параметр задачи. Здесь а- это частота возбуждения колебаний стенки, V - кинематическая вязкость жидкости и а - полуширина канала. В работах12,13 исследован массоперенос жидкости для различных значений числа Рейнольд-

са и перепада давления вдоль канала. Эти работы представляют результаты аналитического и численного решения уравнения Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости. Волновое движение включает в себя движущиеся вихри и возвратные струи. Работы9'10 посвящены теоретическому и экспериментальному исследованию перистальтического движения, вызванного гравитационными волнами, бегущими вдоль синусоидальной подвижной стенки. Линеаризованная модель здесь позволяет детально изучить режимы течения для различных чисел Рейнольдса.

Обычно в исследованиях перистальтического движения жидкости предполагают движение стенок заданным по известному закону и пренебрегают обратным эффектом влияния жидкости на стенки канала. Целью данного исследования, изложенного в третьей главе диссертации, явилось создание модели движения двухфазной среды, включающей жидкость и упругие стенки канала, которая предполагает возможность взаимодействия между фазами и расчет массопереноса жидкости в канале.

Рассматривается плоский канал ширины 2а и длины Ь\ отношение ширины к длине канала предполагается малым а/Ь <С 1, что позволяет использовать приближение типа пограничного слоя. Волновое движение возбуждается гармоническими колебаниями левых концов стенок канала с амплитудой Ь, которая также полагается малой по отношению к ширине канала е — Ь/а <С 1

Модель движения жидкости по каналу с упругими стенами строится на основе уравнений Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости, уравнения изгибных колебаний пластины и условий выполнения основных физических законов сохранения на межфазной границе. Представление решения асимптотическим разложением по малому параметру крутизны волн е и приближение типа пограничного слоя позволяет аналитически изучить дисперсионные свойства двухфазной среды в широком интервале изменения определяющих параметров задачи и прежде всего для асимптотических значений числа Рейнольдса.

Дисперсионное соотношение имеет вид:

-= 0 , (3.1)

гапп а — а

в- н1Ей_

7 2 Р За* р„ {1-й2) а2'

а = [Ке/2]1^2(1 Н- г),

здесь к = Ка, К - волновое число, Ец - модуль Юнга, - коэффициент Пуассона, Н„ - толнщна стенок, р„, р{ - плотности стенки и жидкости, соответственно. Параметр /3 характеризует упругие свойства стенок канала и пропорционален их жесткости, а параметр 7 - представляет собой соотношение масс жидкости и стенки.

Собственные колебания такой системы существенно отличаются от свободных колебаний каждой из фаз, принципиально изменяют общую структуру потока и обладают совершенно иными дисперсионными характеристиками волнового движения. Богатый модовый состав решений сильно зависит от значений числа 11е задачи.

Асимптотический анализ дисперсионного уравнения (3.1) при больших числах Рейнольдса В,е 1 и относительно малого влияния жидкой фазы 7/З1''2 <С 1 показывает существование трех мод, две из которых описывают нераспространяющиеся в главном порядке колебания, к2 — 1//31/2 — 7/2, к2 — 7, и одной волновой моды с дисперсионным соотношением:

где использовала подстановка = гк. Присутствие жидкости, определяемое границей р{а < 4р„Я„/\/27/3 , приводит к вырезанию низких пространственных и временных частот в спектре собственных волновых колебаний для больших чисел Ле. При заданной частоте колебаний системы с ростом массы жидкости происходит уменьшение пространственного масштаба распространяющихся волн. Для любых допустимых длин волн фазовая скорость распространения малых возмущений в пластине выше, чем соответствующая скорость двухфазной системы, в то время, как их групповые скорости совпадают. В целом волновые решения для

больших Ле и достаточно жестких стенок трубы характеризуются высокочастотными пространственными и временными осциляци-ями и слабым затуханием с длиной Ь = 4а(2Яе)1/2/7.

Волновая мода решений уравнения (3.1) при 7/31//2 = 0(1) , что соответствует относительно большому " весу " жидкой фазы в системе и достаточной жесткости стенок канала, с точностью до о(Ке"1/'2) имеет вид:

Чот^Г*-- <">

Здесь становятся возможными длинные низкочастоише волны с малой скоростью распространения, многократно уступающей скорости распространения малых возмущений в пластине на той же частоте. Это объясняется определяющим влиянием жидкости на поведение двухфазной системы. Решения обладают слабым затуханием с характерной длиной порядка а\/Т1е.

Собственные колебания двухфазной системы при малых числах Рейнольдса 11е <С 1 имеют две быстрозатухающие моды не-распространяющихся колебаний и одну волновую моду с дисперсионным соотношением:

к __ (3.4)

Для всех трех мод решения характерна довольно слабая зависимость продольной длины волн и декремента их затухания от главных параметров задачи: частоты возбуждения, жесткости стенки, плотности обоих сред и т.д. Это говорит об узости пространтвен-ного спектра собственных колебаний двухфазной среды при малых числах Ке.

Скорость массопереноса определяется дрейфом жидкости вдоль канала и расчитывается во втором порядке разложения для всего широкого модового состава собственных колебаний среды. Отдельный интерес для оптимизации массопереноса представляют как волновые слабо- и быстрозатухающие решеш!Я, так и режимы колебаний стенок канала для различных значений числа Рейнольдса.

Рис. 3. Профили скорости массопереиоса иг в различных сечениях канала: кривая (1) х = 0, (2) х = 0.25 Ь, (3) х = Ь. (а) волновая мода, 11е = 100; (б) ^распространяющиеся колебания, 1!е = 100; (в) волновая мода, В.е = 0.2.

Величина массопереноса при больших значениях числа Рей-нольдса Ие 1 и 7>/3 <С 1 для волновой моды имеет вид:

= ^ - Ы-У2Ч1/4УЩ (3 ,

Ч/27I/*\/Йя V4 48 /

где I = Ь/а - безразмерная длгаа канала. Массопоток при волновом решении растет с увеличением жесткости трубы, числа Рей-польдса Ее , отношения масс жидкости и стенки, но все указанные зависимости являются довольно слабыми. Профиль скорости по поперечному сечению существенно зависит от продольной координаты вдоль канала. На рис. З.а приведены распределения скорости в разных сечениях канала, типичные для волнового режима колебаний стенок. Профиль скорости на входе канала ( кривая 1)

имеет достаточно сложную форму, у стенок образуется сильная попутная струя жидкости. С ростом продольной координаты этот профиль плавно трансформируется в течение Пуазейля ( кривая 3), которое соответствует линейному падению давления вдоль трубы.

Поток массы при режиме относительно быстро затухающих стоячих колебаниях стенок канала имеет вид:

2<//3> 1 « I *

Наиболее эффективно перенос массы происходит здесь при достаточной жесткости стенок трубы: /3* > 21.

Массоперенос для быстрозатухающих стоячих колебаний стенок канала может на порядок, равный числу Е1е превосходить перенос массы для волнового движения стенок. Между тем, именно волновой режим считался до сих пор основным для максимальной скорости дрейфа вибрирующей жидкости, а затухающие и нерас-пространяющиеся колебания двухфазной системы оставались за рамками исследований.

Характерное распределение скорости массопереноса по поперечному сечению для различных участков трубы приведено на рис. З.б. Главное свойство профиля скорости на начальном участке трубы при нераспространяющихся колебаниях системы - это

присутствие сильной встречной струи у ее стенок. С ростом продольной координаты х профиль плавно переходит в течение Пуа-зейля так же, как и при волновом режиме колебаний.

Свойства потока массы в канале при малых числах Рейнольд-са Г1е 1 сильно отличаются от вышеприведенных. Наиболее предпочтительным режимом колебаний здесь представляется волновой, при котором массоперенос максимален:

Зависимость от определяющих параметров задачи чрезвычайно слаба, за исключением длины канала: с увеличением I = Ь/а перенос массы резко падает. На рис. З.в приведены профили скорости переноса массы по поперечному сечению для различных участков канала. Интересным свойством профиля на входе является максимальное значение скорости дрейфа около стенок канала и наличие встречного течения по его центру. На выходе канала, как и во всех предыдущих случаях, имеет место течение Пуазейля.

Основные характеристики массопереноса при волновых модах движения стенок канала соответствуют результатам экспериментов9,1

Глава 4 посвящена описанию модели лазерного зондирования поверхности узким лучом и регистрации сигналов зеркального отражения.

Лазерные методы дистанционного зондирования океана открывают новые возможности в исследовании морской поверхности. Высокая направленность излучения позволяет обеспечить пространственное разрешение на поверхности порядка нескольких сантиметров и изучать мелкомасштабное поверхностное волнение14'15. Применение лазеров, в отличие от аэрофотосъемки не требует естественного освещения, что облегчает условия проведения экспериментов. Лазерная локация с борта самолета позволяет исследовать большие участки поверхности за короткое время, в течение которого синоптические условия на этих участках не успевают

(3.7)

измениться.

В данной главе предложена модель расчета статистических характеристик волнения по статистике зеркально отраженных от поверхности бликовых сигналов при зондировании узким лазерным лучом. Общая схема извлечения информации о поверхностном волнении состоит в следующем. Обратно отраженный сигнал на входе приемного устройства представляет собой случайную последовательность световых импульсов, появление которых соответствует попаданию зондирующего пучка на участок поверхности с уклоном, близким к зеркальному. В отличие от фазовой профило-метрии, предлагаемая методика не дает информации о конкретном профиле морской поверхности вдоль трассы зондирования (полета). Тем не менее вероятностный анализ случайной последовательности зеркально отраженных бликов несет богатую информацию об энергетическом спектре и корреляционной функции поверхности, позволяет определить статистические свойства волнения.

Принятая следующая модель эксперимента . С горизонтально летящего самолета узкий лазерный луч направляется на морскую поверхность и "заметает" наклонную плоскость, составляющую ненулевой угол с вертикалью. Положение лазерного луча характеризуется двумя углами (-у', /3'). Эти углы можно трактовать как определяющие положение самолета; при этом /3' - угол тангажа, а 7' - угол крена платформы. Плоскость движения луча дает в пересечении с морской поверхностью случайную кривую С = С{х')> а в пересечении с горизонтальной плоскостью ось хо, составляющую угол в с осью х некоторой неподвижной системы декартовых координат. Таким образом, бликовые точки, представляющие основной интерес находятся на кривой С = С(х')- Условие, определяющее квазизеркальные точки, принято в виде15,16:

С*<=/3, Су 6 (7-а, 7 +а),/в = tan/3^7 = tan7'. (4.1)

Здесь у',/3' соответствуют чисто зеркальному отражению от морской поверхности, величина допустимого отклонения а определяется пространственной формой отраженного сигнала, а также уровнем шумов приемного устройства. По проведенным оценкам а имеет порядок 10~2. Точки квазизеркального отражения, рас-

положенные па кривой разреза С = С(ж')> представляют собой случайную последовательность. Ее основными характеристиками являются среднее число, дисперсия и последующие моменты числа бликов на интервале заданной длины.

Величина среднего числа бликов на единице длины кривой разреза С — ({х') Для стационарной гауссовой случайной морской поверхности равна

где erf(a;) — функция ошибок; Д2 = тпг ото 2 — то2 1 — инвариант поверхности £(х, у) относительно вращения системы координат;

— n-моменты спектра кривой С(ж'), которые могут быть выражены через моменты двумерного энергетического спектра поверхности £(х, у):

тг(0) = тго cos2 0 + 2тц cos0 sin6 + тог sin20, 1714(6) = ГП40 cos4 в + 4тз1 cos3 в sin0 + 677122 cos2 в sin2 9 +

+ Ami з cos в sin3 0 + тщ4 sin4 в. (4.3)

Экспериментальное определение функции N(6), например, при нормальном зондировании поверхности, /3 = 0,7 = 0, дает возможность нахождения всех вторых и четвертых моментов двумер-

*ТАГ>Л TrtnrAfMfTTfl ЛVrtTV» f*TTflV 14 Ю ТТЛиОПУЦЛГТМ

В свою очередь, принятая в физической океанографии параметризация двумерного энергетического спектра в заданной аналитической форме позволяет по найденным моментам определить весь набор численных значений параметров его формы. Главная особенность предлагаемого метода заключена в возможности детально исследовать азимутальную зависимость энергетического спектра волнения, которая до сих пор недостаточно изучена.

Пример моделирования результатов натурных экспериментов, проведенных в мае-июне 1984 г. над акваторией Черного моря приведен на рис.4.

Направление /ветра .

\

/л

ч

270

\

/

\

\

/

180°

Рис. 4. Экспериментальные и расчетные зависимости N(0) для различных серий натурных экспериментов, Кривая 5 соответствует п = 0, т — 5; кривая 2 —(тг = 3, тп —5, <7 = 0) ; кривая 3 — (п = 2, тп = 5, д' = 0.13)

Экспериментальные и расчетные значения средней плотности N(6) лазерных бликов для трех серий экспериментов показаны в одинаковой ориентации по отношению к скорости ветра. Энергетический спектр поверхности задавался в следующем параметрическом виде:

Неодномерность спектра задана параметром изотропности g и степенью угловой направленности п = 0,1,2,...; насыщенность спектра зависит от числа т-.т — 5 соответствует насыщенному спектру Филлипса, т > 5 — неразвитому волнению; константа А составляет 6 -Ю-3. Волновые числа ко и к\ могут быть найдены экспериментально из распределения интервалов между соседними бликами: fco обратно пропорционально максимальному масштабу, а к\ — минимальному масштабу особенностей этого распределения.

Е(к,в) =

' Ак1/Цт'5) fe-l/2^+3) (g + cos2" в) 9 + 1

О

Результаты расчетов показаны также на рис. 4 в виде трех кривых. Кривая 5 соответствует изотропному развитому волнению с п = 0, т = 5. Кривая 2 обусловлена узким спектром развитого волнения (п = 3, т = 5, д — 0). Точки серии 3 оказались близкими к кривой 3 (п = 2, т — 0.13), обусловленной достаточно узкой направленностью развитого волнения, имеющего к тому же некоторую изотропную компоненту. Данные визуальных наблюдений при этом вполне согласуются с результатами анализа.

Теоретические расчеты статистики лазерных бликов морской поверхности основываются на приближении заморожешюсти морской поверхности, что оправдано при высоких скоростях движения носителя ус с, где с - характерная скорость движения поверхностных волн. В реальной ситуации скорость самолета с лазерным измерителем ус = 100 м/с, так что скорость крупномасштабных волн с ~ 10 м/с может составлять заметную величину от скорости носителя. Поэтому нами предложена методика расчета средней плотности лазерных бликов с учетом движения поверхностных волн и проанализированы результаты экспериментов по наклонному зондированию морской поверхности с учетом рассчитанных поправок. Величину расчитываемой средней скорости движения зеркальных точек можно связать с фазовой скоростью энергонесущей компоненты спектра морских волн.

В проведенных расчетах предполагалось, что для описания поверхности применима гауссова статистика линейного ансамбля поверхностных волн. Однако такой подход справедлив при сравнительно слабом волнении, когда уклоны морской поверхности невелики, при СИЛЬНОМ волнении дли иш^шшл ^.ю.ГмСТжГЧСС^Хл свойств морской поверхности необходим учет нелинейных поправок. Модель случайного нелинейного волнового пакета, основанного на разложении Стокса17, обладает достаточной наглядностью и позволяет детально исследовать различные статистические характеристики волнения. На основе одномерной модели случайного волнового поля нами изучены статистические характеристики морской поверхности, которые могут быть измерены в экспериментах по дистанционному лазерному зондированию: средняя плотность пересечений заданного уровня и среднее число точек

заданного уклона на единице длины. Относительное отклонение этих величин от линейной модели может достигать порядка 10% при умерешгых значениях характерной крутизны волн, что делает доступным наблюдение такого рода эффектов.

Глава 5 посвящена взаимодействию волн Россби над периодическим дном.

Распространение волн в периодической среде представляет собой одно из наиболее интересных и важных явлений в волновой динамике и физике колебаний. Взаимодействие планетарных волн играет важную роль в формировании зональной циркуляции в атмосфере. Сложная форма океанского дна и береговых границ различным образом воздействуют на течения и волны в океане. Слабые модуляции движения малыми топографическими особенностями могут иногда приводить к сильной неустойчивости и бифуркациям, т.е к новым волновым режимам. Мы рассматриваем крупномасштабные движения жидкости в океане над периодическим дном, используя теорию мелкой воды.

Топографическая неустойчивость свободных волн Россби изучалась ранее для достаточно малой шероховатости рельефа дна18. Авторы анализировали крупномасштабную амплитудно-фазовую модуляцию резонансной триады волн Россби на медленно изменяющейся топографии, показали нарушения векторного синхронизма волн. Расстройка волновой триады приводит к существенному уменьшению энергетического обмена между взаимодействующими волнами.

Периодический рельеф оказывает сильное воздействие на распространение волн Россби. В первом порядке асимптотических разложений можно легко получить дисперсионное соотношение для свободных волн, но уже во втором порядке возникает синхронное взаимодействие между волнами Россби и периодическим дном.

Возможность взаимодействия между волнами Россби и периодической топографией впервые указана в работе Райнса и Брезертона19. Необходимо также отметить, что подобный резонанс может так-

же иметь место для гравитационных волн на соответствующих временных и пространственных масштабах. Здесь можно указать на полное отражение поверхностных волн, индуцированных периодическими береговыми барами20. Новые возможности резонанса волны-дно были показаны на основе уравнений движения для жидкости конечной глубины21, где установлено существование нелинейного синхронизма между тремя гравитационными волнами и синусоидально изменяющимся дном.

В пятой главе изучены слабонелинейные резонансные взаимодействия свободных волн Россби в присутствии периодической топографии. Модель основана на квазигеострофических уравнениях для несжимаемой баротропной жидкости. В этой модели члены, выражающие влияние топографии дна, имеют тот же порядок, как нелинейные члены в уравнениях завихренности. В решении применяется метод двухмасштабных временных и пространствешшх асимптотических разложений.

Пространственные условия синхронизма двух волн и дна могут быть выполнены для каждого градиента вектора волнового дна и двух пар волн одинаковой частоты а. Тем не менее, условия синхронизма требуют, чтобы волновое число дна было меньше, чем 1/ст (на временной шкале волн Россби). Скорости распространения энергии резонансных волн всегда имеют противоположные проекции на направление волнового вектора дна. В результате анализа была расчитана пространственная модуляция огибающих волн в рассматриваемой периодической среде.

Для достаточно малых расстроек от условий синхронизма по-

л^ пспи адишаспцисихлпис зах^лапнс надсиищси лилпш, ллиддхцсл! л

область изменяющейся топографии. Взаимодействие в достаточно протяженных областях может приводить к полному отражению этой волны. Инкремент такой волны линейно возрастает с ростом амплитуды донного рельефа и достигает максимума при точном синхронизме.

В более общем случае неоднородных (в пространстве и времени) огибающих все волны Россби, распространяющиеся в периодической среде, обнаруживают дисперсионные свойства. Низкочастотные спектральные компоненты падающего волнового паке-

та экспоненциально затухают и генерируют отраженную волну. Высокочастотные компоненты моделируются волновым рельефом довольно слабо.

Пара волн Россби равной частоты может резонансно взаимодействовать с периодическим дном, но, с другой стороны, эти две волны могут формировать резонансную триаду волн с волной Россби удвоенной частоты. В этом случае направление волнового вектора дна должно быть близко к меридиональному. Пространственная модуляция волн в периодической среде была проанализирована для различных граничных условий. Для существенно широкой области взаимодействия мы показали, что пара распространяющихся волн может генерировать встречную уединенную волну. Для конечной зоны взаимодействия установлена возможность затухания входящей волны и образования пары встречных волн Россби и изучены энергетические характеристики этого взаимодействия.

Используемая упрощенная модель баротропного движения показывает, что медленно и слабо изменяющаяся топография дна может приводить к сильным структурным изменениям в распространении пакетов волн Россби.

В заключении приведены основные результаты работы и указаны возможности дистанционной наблюдаемости рассмотренных эффектов.

3 Основные результаты и выводы

1. Модуляция слабонелинейных поверхностных волн внутренними максимальна в условиях группового синхронизма - отсутствия потока энергии ПВ относительно фронта ВВ. Амплитуда ПВ значительно возрастает на встречном течении, передавая его форму для крупномасштабных ВВ. Модуляция ПВ на попутном течении приводит к образованию сликов - областей выглаживания поверхности - и сопровождается относительно высокочастотными модуляциями амплитуды огибающей ПВ.

Набегание цуга ПВ на зону прохождения достаточно короткой ВВ может вызывать образование её предвестника в виде нелиней-

ной модулированной поверхностной волны. Если фазовая скорость ВВ превосходит групповую скорость коротких ПВ, то в этом случае возможно образование следа ВВ на поверхности. Модуляции цугов ПВ периодической достаточно длинной ВВ передают её основные характеристики, такие, как период, амплитуду и некоторые свойства формы. Модуляции, вызванные короткими ВВ, могут характеризоваться периодами, меньшими периода ВВ, и неоднородностью изменения вдоль периодического цуга.

Указанные свойства осложняют проблему восстановления структуры ВВ по её проявлениям на морской поверхности. 2, Локализованные решения, при которых пакеты ПВ сопровождают ВВ и экспоненциально затухают при удалении от области переменного течения, существуют только при выполнении группового синхронизма. Эффективная генерация ПВ значительной амплитуды происходит на встречном течении, вызываемом ВВ. Пороговые условия возбуждения различных мод огибающей ПВ в поле ВВ определяются величиной и пространственным масштабом течения. Для длинных ВВ связанные ПВ на встречном приповерхностном течении имеют вид волновых пакетов с глубокой модуляцией огибающей и периодом в несколько раз меньшем длины ВВ.

3. Построенная модель нелинейных пакетов поверхностных волн на воде включает возможность глубоких (порядка единицы) относительных вариаций частоты и волнового числа. Проведенное сравнение с имеющимися экспериментальными данными показывает, что такие важные эффекты нелинейной модуляции, как отри дательные маститы, фазовые кип ли, слияние греблей воли, удвоение периода и т.п., адекватно воспроизводятся полученными решениями.

Предлагаемая теория обобщает НУШ теорию и сводится к последней при определенных значениях управляющих параметров. Уединенные волновые пакеты в данной модели имеют переменную частоту и распространяются на постоянном волновом фоне; солитоны НУШ образуют здесь специфический класс уединенных волновых решений.

4. Двухфазная модель колебательного движения жидкости в

канале с упругими стенками принципиально отличается от общепринятой модели с неизменной формой движущихся стенок канала. Присутствие вязкой жидкости дает существенное снижение скорости изгибных колебаний в пластине и затухание волн. При больших значениях числа Рейнольса происходит вырезание полосы низких частот в спектре собственных волновых колебаний системы. Для малых значений числа Рейнольдса возможны три моды колебательного движения, одна из которых описывает волновое движение стенок со слабым затуханием, две остальные задают стоячие резко затухающие вдоль трубы колебания системы.

5. Изучение свойств массопереноса жидкости проведено последовательно для всего модового состава колебаний двухфазной системы. Для больших значений числа Рейнольдса стоячие быстро-убывающие колебания стенок трубы обеспечивают максимальный поток массы, на порядок превосходящий волновые режимы массопереноса. Это изменяет принятое мнение о главных механизмах и способах перекачки жидкости по каналам с подвижными границами. Скорость дрейфа жидкости во входном сечении трубы дает встречную струю у стенок трубы, в выходном сечении - течение Пуазейля. Для малых значений числа Рейнольдса волновая слабозатухающая мода движения стенок канала обеспечивают максимальный массоперенос жидкости.

6. Разработаны модели расчета статистических характеристик случайной морской поверхности при лазерном дистанционном зондировании поверхности и регистрации сигналов обратного отражения. Основные параметры пространственного спектра волнения расчитываются по средней плотности зеркальных лазерных бликов.

Учет средней скорости движения зеркальных точек существенно влияет на результаты расчетов угловых характеристик волнения и позволяет оценить скорости энергонесущих компонент морских волн. Учет нелинейности ПВ существенно влияет на измеряемые статистические характеристики волнения, такие, как среднее число точек заданного уровня и среднее число точек заданного уклона на кривой сечения поверхности узким лазерным лучом.

7. Энергетический обмен пары околорезонансных волн Россби

может приводить к полному отражению волн в областях с периодическим рельефом дна. Огибающая пакета волн Россби при входе в такую область изменяет свои дисперсионные свойства. Низкочастотные спектральные компоненты огибающей испытывают при этом полное отражение.

Резонанс между тремя волнами Россби и дном также возможен при направлении хребтов и впадин волн, близком к широтному. Нелинейный энергетический обмен между резонансными компонентами может приводить к различным устойчивым пространственным структурам огибающих.

Цитированная литература

1. Филлипс О.М. 1973. Изв АН СССР. Физика атмосферы и океана. Т. 9, С. 954-961.

2. Басович А.Я. 1979. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. Т. 15, N. 6. С. 655-661.

3. Басович А.Я., Баханов В.В., Таланов В.И. 1982. Горький. С. 8-31.

4. Басович А.Я.,Баханов В.В., Таланов В.И. 1987 Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. Т. 23, N. 7, С. 694- 705.

5. Mollo-Christensen, Е. & Ramamonjiarisoa, A.R. 1982. J. Geophys. Res.87, 5699-5717.

6. Huang, N.E., Long, S.R. & Shen Z. 1996. Adv. Appl. Mech. 32, 59-117.

7. Chereskin, T. & Mollo-Christensen, E. 1985. J. Fluid Mech. 154, 337-365.

8. Melville,. W. 1983. J.Fluid Mech. 128, 489-506.

9. Allison H. 1983. J.Fluid Mech. 137, pp. 385-392.

10. Longuet-Higgins M.S. 1983. J.Fluid Mech. 137, pp.393-407.

11. Jaffrin M.Y.& Shapiro A.H. 1971. Ann.Rev.Fluid Mech., 3,pp.l3-36.

12. Braun T.D.& Hung T. 1977. J.Fluid Mech. 83, pp.249-272.

13. Ayukawa K. & Takabake S. 1982. J. Fluid Mech. 122, pp. 439-465.

14. Бункин Ф. В., Воляк К.И., Маляровский А.И. и др. 1985. Доклады АН СССР, т.281, с. 1441.

15. Бункин Ф.В., Воляк К.И., Маляровский А.И. и др. 1986. Труды ИОФАН, т. 1, М.: Наука, с. 3 - 23.

16. Солнцев М.В. 1986. Кр. Сообщ. по Физике. N 4, с.22 - 25.

17. Huang N.E. et al.1984. J.Geophys.Res., Vol.89, P.1961-1969.

18. W. Cree and G. Swaters.1991. Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 61, 75.

19. P.B. Rhines and F.P. Bretherton.1973. J. Fluid Mech. 61, 583.

20. C.C. Mei.1985. J. Fluid Mech. 152, 315.

21. Воляк К., Пурини P.1990. Dyn. Atmos. Oceans 14, 170.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Воляк К.И., Семенов А.Ю., Шуган И.В. 1989. Взаимодействие поверхностных и внутренних волн. Труды ИОФАН. Том 18. Нелинейные волновые процессы. М., "Наука". С. 153-162.

2. Семенов А.Ю., Шуган И.В. 1997. Численная модель нестационарного взаимодействия поверхностных и внутренних волн. Труды ИОФАН. Том 53. Вычислительная гидродинамика природных течений. М., "Наука". С. 124 - 131.

3. Воляк К.И., Даниленко А.Ю., Толстых А.И., Шуган И.В. 1991. О разрывных решениях для волн в неоднородно движущейся среде. Кр. сообщ. по физике. N 5 , с.32 - 36.

4. Воляк К.И., Лоссов К.И., Лоссов Н.И., Шуган И.В., Семенов А.Ю. 1992. К теории воздействия внутренних волн на морскую поверхность. Препринт ИОФ РАН N 33, М., 67 с.

5. Purini R., Shugan I. 1993. Rossby wave propagation over periodic topography. BRAS Supplement. Physics of vibrations. Vol.57, N4, P.157 - 171.

6. Пурини P., Шуган И. 1999. Взаимодействие волн Россби над периодическим дном. .Труды ИОФАН. Том 56. Динамика волн на поверхности жидкости. М., "Наука". С. 3-27.

7. Shugan I. and Voliak К.. 1998. On phase kinks, negative frequencies, and other third-order peculiarities of modulated surface waves. J. Fluid Mech. 57, N4, P.157 - 171.

8. Воляк К.И., Шуган И.В. 1999. Сильная частотная модуляция

нелинейных поверхностных волн.Труды ИОФАН. Том 56. Дина----------- 14 Э1ТТ_____» о (iT

Л'1 И ГЧ CL I3UJ1П па UUDCpAilUV. Ш Д1-1/11М». I И- А» 1. , iiibJAU . \__'. и Ы| .

9. Шевченко Т.Б., Шуган И.В. 1988. Влияние нелинейности гравитационных поверхностных волн на статистические характеристики случайной морской поверхности. Кр. сообщ. по физике. N 1 , с.9 - 12.

10. Шевченко Т.Б., Шуган И.В. 1987. Метод лазерного зондирования морской поверхности с борта самолета. В кн.Тезисы докл. 5 Всесохозн. конф. "Оптика лазеров".

11. Shugan I. 1999. Fluid mass transfer in a channel with vibrating elastic walls. Physics of vibrations. Vol.7., N 2, P.107 - 117.

12. Shugan I., Voliak K. 1995. Wave flow through a channel with vibrating elasic walls. BRAS Supplement. Physics of vibrations. Vol.59, N 4, P. 177 - 184.

13. Волях К.И., Шуган И.В. 1999. Волновое движение жидкости в канале с упругими стенками. Труды ИОФАН. Том 56. Динамика волн на поверхности жидкости. М., "Наука". С. 153-162.

14. Воляк К.И., Михалевич В.Г., Шевченко Т.Е., Шуган И.В. 1986. Методы лазерного измерения статистических свойств морской поверхности. Изв. АН СССР. Сер. Физическая. Т. 16, N. 10. С. 10681076.

15. Бункин Ф.В., Воляк К.И., Маляровский А.И., Михалевич В.Г., Солнцев М.В., Шевченко Т.Б., Шуган И.В. 1986. Измерение параметров морского волнения по статистике отраженного лазерного сигнала. Труды ИОФАН, т.1, М.: Наука, с. 3 - 23.

16. Бункин Ф. В., Воляк К.И., Маляровский А.И. , Михалевич В.Г., Солнцев М.В., Шевченко Т.Б., Шуган И.В. 1985. Самолетные измерения морского волнения по зеркальным отражениям луча непрерывного лазера. Доклады АН СССР, т.281, с. 1441.

17. Григорьев П.В., Шевченко Т.Б., Шуган И.В. 1987. Исследование статистических свойств движущейся морской поверхности лазерным локатором. Кр. сообщ. по физике. N 5 , с.32 - 36.

18. Бункин Ф.В., Воляк Г.А., Ляхов Г.А., Паненко В.В., Шугаи И.В. 1983. Трассовые измерения волнения самолетным локатором бокового обзора. Исследования Земли из космоса. N 5. с. 22-29.

19. Volyak K.I.,G.A. Lyakhov G.A., Shugan I.V. 1983. Excitation of slow-amplitude solitons in systems with decay instability. Physics letters.A.Vol.9.N2. P.53-55.

20. Воляк К.И., Грушин В.А., Иванов A.B., Ляхов Г.А., Шуган И.В. 1985. Взаимодействие случайно-модулированных поверхностных воли. Изв. ФН СССР. ФАО. т.21, N 11. с.895-902.

21. Солнцев М.В., Шевченко Т.Б., Шуган И.В. 1985. Применение лазеров для измерения энергетического спектра случайной поверхности.

В кн.Тезисы докл. XII Международной конф. по когерентной и нелинейной оптике. М. с.45.

22. Воляк К.И., Шевченко Т.Б., Шуган И.В. 1987. Исследование

статистических характеристик поверхности моря методом дистанционного лазерного зондирования. В кн.Тезисы докл.III съезда советских океанологов. М. с.80.

23. Бункин Ф.В., Воляк К.И., Шуган И.В. 1984. Методы лазерного измерения статистических свойств морской поверхности. В кн.И Всесоюзн. научн. техн. конф. Применение лазеров. Л.: изд.ЛЭТИ.

24. АванесоваГ.Г., ВолякК.И., ШутанИ.В. В кн.: Исследования по гидрофизике. М.: Наука, 1984. (Труды ФИАН. Т. 156).

Введение

1 Воздействие внутренних волн на морскую поверхность

Введение.

1.1 Вывод основных уравнений

1.2 Квазистационарная модуляция волны Стокса на течении. Модуляция поверхностных волн вне областей группового синхронизма.

1.3 Модуляция волны Стокса в условиях группового синхронизма

1.4 Генерация поверхностных волн в поле внутренней волны.

1.5 Численный анализ модуляции волн Стокса течением, индуцированным внутренними волнами.

1.6 Выводы.;.

2 Сильная частотная модуляция нелинейных поверхностных волн

2.1 Введение

2.2 Основные уравнения

2.3 Стационарные волновые решения.

2.4 Анализ решений .I.

2.4.1 Положительный поток волнового действия

2.4.2 Отрицательный поток волнового действия

2.5 Заключительные замечания.

3 Массоперенос жидкости в канале с упругими стенками

3.1 Введение.

3.2 Система "жидкость - упругие стенки"

3.3 Дисперсионный анализ двухфазной среды

3.4 Расчет скорости дрейфа и построение модели массопереноса жидкости в трубе.

3.4.1 Большие числа Рейнольдса.

3.4.2 Малые числа Рейнольдса . . Расчет и оптимизация массопереноса Выводы

4 Модель лазерного измерения статистических свойств морской поверхности

4.1 Введение.

4.2 Модель формирования бликов зеркального отражения

4.3 Натурные самолетные исследования морских волн: статистика бликов лазерного отражения.

4.4 Дисперсия числа бликовых точек, уравнение для корреляционной функции случайной поверхности

4.5 Статистические свойства движущейся морской поверхности

4.6 Нелинейные статистические характеристики случайной морской поверхности.

5.2 Постановка задачи . 161

5.3 Резонансное взаимодействие между двумя волнами и дном .162

5.4 Дисперсионные свойства огибающей волн Россби . 168

5.5 Резонансное взаимодействие трех волн Россби со дном170

5.5.1 Общее стационарное решение модуляционных уравнений . 174

5.5.2 Взаимодействие волн в ограниченной области 179

5.6 Выводы.181

6 Заключение 183 Литература 186

Введение

Нелинейная динамика поверхностных волн в жидкости отличается большим разнообразием проявлений и обнаруживает множество неожиданных свойств, которые не укладываются в рамки имеющихся представлений. Экспериментальные исследования последних двух десятилетий выявили целый ряд новых эффектов в поведении гидрофизических систем, традиционно являющихся объектом научного и практического интереса.

В первом ряду наблюдаемых явлений такого рода можно указать следующие:

- Воздействие внутренних волн (ВВ) на морскую поверхность. Впереди цуга ВВ, там, где колебания изотерм отсутствуют, находятся значительные поверхностные аномалии в виде предвестника ВВ. Изменения спектральной плотности поверхностных волн могут иметь период, значительно меньший периода ВВ, так что свойство воспроизводимости внутренних волн на морской поверхности существенно теряется. Возможна неустойчивость поверхности и генерация волн в зоне прохождения ВВ в отсутствие заметного ветрового волнения.

- Распространение нелинейных, поверхностных волн на воде. Многократно наблюдавшиеся в экспериментах эффекты, такие, как "потеря" и "слияние" волновых гребней, развороты фазы , быстрая перестройка волновой частоты, не име?от к настоящему времени удовлетворительного теоретического объяснения.

- Динамика колебательных движений жидкости с упругими границами, рассматриваемая как двухфазная система, обладает необычными дисперсионными свойствами. Массопёренос жидкой фазы в такой системе может иметь режимы, по порядку превосходящие существующие оценки на основе традиционных волновых схем расчета.

Этот список еще будет продолжен и детально рассмотрен ниже. Необходимо отметить, что сложность описания каждого из указанных явлений связана с многообразием факторов, определяющих поведение среды, и поэтому довольно трудно вычленить влияние каждого из них и их взаимодействие. В литературе можно даже встретить суждение, что эффекты такого рода принадлежат к сильнонелинейным явлениям и существующий сейчас уровень построения асимптотических представлений в принципе не позволяет строить удовлетворительные их описание. На наш взгляд, тем не менее, построение модуляционных моделей волновых движений сред в рамках слабонелинейных приближений и даже в традиционно принятых порядках этих приближений позволяет существенно продвинуться в понимании многих гидрофизических проблем.

Предметом нашего исследования явились следующие физические задачи:

- внутренние волны : их наблюдаемость , особенно, средствами дистанционного зондирования на свободной морской поверхности и воздействие на поверхностное волнение; распространение нелинейных волновых пакетов поверхностных волн с сильной частотной модуляцией;

- распространение и взаимодействие волн Россби над периодическим дном;

- волновые и колебательные движения двухфазной среды: жидкость - упругие границы; массоперенос в таких системах.

- модели лазерного дистанционного зондирования океана. Волновые движения в перечисленных задачах, имея совершенно разную физическую природу и своеобразные проявления, обнаруживают ряд общих свойств и закономерностей. Ключевым при изучении таких процессов, как всегда было принято в радиофизике, безусловно, является построение функции нелинейной дисперсии волнового движения, определяющей все поведение системы. Именно эта функция определяет разнообразие волновых решений и позволяет снять математические особенности известных решений.

Цель диссертационной работы состоит в разработке теоретических моделей вышеуказанных волновых движений гидрофизических сред и дистанционного их наблюдения на основе единого модуляционного подхода; описание ряда качественно новых физических эффектов и закономерностей в рамках слабонелинейных представлений.

Рассмотрим более подробно проблематику каждого из перечисленных направлений исследования.

Воздействие внутренних волн на морскую поверхность.

Внутренние волны (ВВ) - одно из самых интересных и малоизученных явлений в динамике океана. Несмотря на то, что встречаются они практически повсеместно, банк экспериментальных данных их измерений весьма ограничен. Натурные исследования, проводимые традиционными контактными океанографическими средствами, сопряжены со значительными техническими сложностями, морские экспедиции работают, как правило, в достаточно ограниченных акваториях Мирового океана и не способны решать задачи по составлению общей картины ВВ в глобальном масштабе.

В настоящее время наряду с контактными измерениями активно развивается другое направление изучения ВВ - по их проявлениям на морской поверхности. Способность ВВ существенно изменять структуру поверхностного волнения замечена достаточно давно [1, 2, 3], подтверждена многочисленными экспериментами и сейчас считается прочно установленной. Основная форма их проявления - это широкие параллельные полосы выглаженной морской поверхности (слики), а также зоны заметного повышения наклонов поверхности, вызывающих частные обрушения волн (сулои). Максимальному воздействию подвержены поверхностные волны (ПВ) в метровом и дециметровом диапазонах спектра.

Приборы дистанционного зондирования поверхности океана (радиолокаторы, традиционные оптические устройства, лазерные локаторы - лидары) способны надежно регистрировать поверхностные проявления ВВ. Установленные на борту авиа- или космических носителей дистанционные средства наблюдения типа локаторов с синтезированной апертурой позволяют оперативно исследовать широкие акватории Мирового океана. Это создает значительные преимущества их применения по сравнению с контактными измерениями.

Вместе с тем задача установления количественных характеристик ВВ по результатам дистанционного зондирования поверхности требует решения ряда теоретических проблем, главные среди которых - построение модели формирования изображения морской поверхности и установление механизмов возмущения морской поверхности ВВ.

В настоящее время уже накоплен достаточно большой объем экспериментальных данных по дистанционному наблюдению В В и предложен ряд теоретических моделей формирования морских изображений в различных каналах аппаратуры дистанционного зондирования. Исследованию воздействия ВВ на морскую поверхность посвящены многочисленные экспериментальные и теоретические работы. Вместе с тем, пока еще не существует исчерпывающих экспериментальных данных для описания процесса такого воздействия во всех областях спектра ПВ в различных гидрометеорологических условиях. Это связано с большим разнообразием факторов, влияющих на взаимодействие ВВ и ПВ, таких, как характеристики приводного ветра, свойства пленок поверхностно-активных веществ, различные параметры и масштабы самих ВВ и т.д.

Тем не менее, можно выделить основные закономерности поверхностных аномалий, экспериментально установленных в ходе комплексных гидрофизических экспедиций по изучению взаимодействия ВВ с морской поверхностью [4, 5, 6]:

1) широкие полосы сликов и сулоев перемещаются с фазовой скоростью цуга ВВ; наиболее отчётливо полосы видны при небольших значениях скорости ветра (< 5 м/с), с ростом этой скорости ширина полос заметно уменьшается;

2) максимальная модуляция наблюдается при попутном распространении ветровых волн и ВВ для тех спектральных компонент волнения, групповая скорость которых сд близка к фазовой скорости с ВВ (сд ~ с); обычно это условие выполняется для коротких гравитационных волн метрового или дециметрового диапазона;

3) в целом вся зона взаимодействия характеризуется меньшими среднеквардратичными уклонами поверхности по сравнению с невозмущенной поверхностью, области выглаженной поверхности занимают большую площадь, чем зоны сулоя с интенсивным волнением;

4) положение индивидуального слика неоднозначно относительно фазы ВВ: он может располагаться как над подошвой, так и над гребнем ВВ;

5) расстояние между полосами обычно соответствует длине ВВ;

Детальные экспериментальные исследования [7], проведенные в натурных условиях, выявили ряд новых дополнительных особенностей процесса попутного взаимодействия ПВ и ВВ:

6) спектральная плотность волнения вдоль однородного по амплитуде цуга ВВ в среднем нарастает от конца цуга к его началу; спектральная плотность ПВ дециметрового диапазона в начале цуга может почти в 7 раз превышать свое невозмугценное значение, что значительно превосходит характерные величины этой плотности при встречном взаимодействии, которая практически однородна вдоль цуга ВВ; значительные поверхностные аномалии имеются впереди цуга ВВ, где колебания изотерм отсутствуют, т.е. возникает предвестник ВВ; для цуга линейных ВВ предвестник выражен значительно сильнее, чем для нелинейных ВВ, близких по форме к уединенным волнам; в ряде экспериментальных наблюдений предвестник ВВ обнаружен не был;

8) изменения спектральной плотности имеют харатерный период, меньший периода ВВ.

Наблюдения резонансно связанных пакетов ПВ, групповая скорость которых соответствует фазовой скорости ВВ, в отсутствии заметного ветрового волнения приведены в работах [8, 9]"

Следует отметить, что целый ряд интересных физических эффектов, таких, как изменение направления волновых векторов спектральных составляющих волнения в зависимости от фазы ВВ, особенности взаимодействия с нелинейным пакетом ПВ, остается до настоящего времени за рамками экспериментальных исследований как в натурных, так и в лабораторных условиях.

Теоретическому описанию взаимодействия ПВ и ВВ посвящены многочисленные работы, выполненные в течение последних 25 лет. Тем не менее, единой и исчерпывающей теории этого явления до сих пор не существует, хотя и предложено несколько механизмов такого взаимодействия, характерных для различных спектральных диапазонов поверхностного волнения.

Свойства высокочастотных волн гравитационно-капиллярного и капиллярного масштабов при определенных условиях могут в сильной степени зависеть от поверхностно-активных веществ, присутствующих в виде тонкой пленки на морской поверхности. В работе [10] рассмотрены свойства реальных морских пленок, рассчитаны зависимости декрементов затухания коротковолновой ряби различной длины от концентрации поверхностно-активных веществ (ПАВ), модулированной приповерхностным течением, вызванным ВВ. Проанализирована динамика пленки в поле ВВ, показано, что ПАВ при определенных условиях способны сильно гасить рябь.

В работах [11,12] изучены возможности воздействия ВВ на характеристики приповерхностной турбулентности, которые, в свою очередь, также способны модулировать достаточно высокочастотные составляющие спектра ПВ или непосредственно проявляться на свободной поверхности.

В метровом и дециметровом диапазонах ПВ основным механизмом модуляции, видимо, является воздействие приповерхностного течения, вызванного ВВ, на ПВ.

Внутренние волны в приповерхностном влое воды представлены горизонтальным течением, переменным по направлению распространения: и(К(х — сЬ)) , практически не изменяющимся по глубине и перемещающимся с фазовой скорость ЗВ с.

Пространственные и временные масштабы изменения течения намного превосходят соответствующие масштабы ПВ, что дает основание положить в основу модели взаимодействия распространение ПВ в медленно изменяющейся и движущейся среде.

Общее уравнение энергии для волн в неоднородной среде дЕ/дг + У[(и + се)Е] + (Е/а)[к ■ (с8 • У)и] - 0 (1) впервые получено в работе [13] . Здесь Е - локальная плотность энергии волн; <т, сё, к - собственная частота, вектор групповой скорости и волновой вектор ПВ; и - скорость течения, медленно изменяющаяся на масштабе поверхностных волн. Первые два члена в уравнении (1) представляют собой локальную скорость изменения волновой энергии и дивергенцию потока энергии, которая переносится относительно движущейся среды с групповой скоростью сё. Последнее слагаемое описывает обмен энергии между волнами и течением.

Кинематика такого взаимодействия описывается законом сохранения плотности волн в неоднородной среде [14]: дк/дЬ + Ч(а + к-и) = 0 (2)

Уравнения (1),(2), дополненные линейным дисперсионным соотношением для поверхностных волн а = <т(к), составляют замкнутую систему, описывающую распространение волн в движущейся среде. Отметим, что в такой постановке поведение волнового вектора на течении определяется только условием существования фазы (2) и не зависит от динамических характеристик возмущения.

Анализ одномерной стационарной задачи на основе системы уравнений (1),(2) был проведен Филлипсом [15]. В этой работе показано, что амплитуда цуга ПВ изменяется в зависимости от фазы ВВ, а наибольшее усиление достигается при попутном распространении волн и когда групповая скорость ПВ близка к фазовой скорости ВВ. Если эти значения близки или совпадают, решение становится некорректным, так как дает неограниченно растущие амплитуды в окрестности точек "блокировки" волн течением, где сё + и — с = 0. Отсюда был сделан вывод о невозможности построения стационарного решения в этом случае и необходимости численного анализа соответствующей нестационарной задачи.

Теоретический и численный анализ нестационарного режима воздействия ВВ на морскую поверхность был проведен в цикле работ [17, 18, 19]. Линейная модель нестационарного взаимодействия поверхностных и внутренних волн (Семенов А.Ю., Шуган И.В. 1997. [17]) показала возможность нарушения гладкости и образования движущихся разрывов во временной динамике функции волнового числа поверхностных волн. При этом амплитуда огибающей пакета ПВ многократно возрастает и представляет собой движущиеся функции, устойчиво существующие во времени. Момент возникновения особенности соответствует результатам теоретического исследования [19] и выражает собой потерю однозначности решения для функции волнового числа. Формально резкие градиенты амплитуды ПВ заведомо нарушают приближения исходной модели и делают некорректным решение, начиная с момента образования разрыва функций. Тем не менее, даже в рамках данной модели возможно построить решение, включающее разрывы типа ударных волн фазы волнового движения, и сопроводить зто решение физически осмысленными условиями на разрыве (аналог в газовой динамике - принцип неубывания энтропии). Эта процедура нуждается в экспериментальном подтверждении, а также в переосмыслении и переопределении всех базовых характеристик волнового движения. Более естественным путем представляется построение модели воздействия ВВ на морскую поверхность с учетом нелинейности и самовоздействия ПВ.

Детальное аналитическое исследование нестационарной задачи Коши о влиянии ВВ на линейное поле ПВ проведено в работе [19]. Здесь выявлена природа сингулярности амплитуды и волнового числа пакета в окрестности точек "блокировки". Существенной особенностью полученного решения является возможность образования конечной зоны полного выглаживания поверхности с равной нулю амплитудой ПВ. Равномерно пригодное решение в окрестности каустики строится применением модифицированнно-го метода стационарной фазы с использованием полной системы уравнений волн на воде.

Двумерное стационарное взаимодействие ПВ и ВВ в модуляционной постановке задачи (система уравнений (1) и (2)) было исследовано Гаржеттом и Хьюзом [20]. При этом невозмущенный цуг ПВ малой амплитуды был направлен под ненулевым углом во по отношению к направлению распространения ВВ.

В расчете показано, что при выполении условия сдо cos 6>0 > с , где сдо - невозмущенная групповая скорость ПВ, волновой вектор ПВ изменяет свое направление, приближаясь к направлению ВВ при прохождении ее гребня, и амплитуда ПВ возрастает. Если сдо cos во < с , направление ПВ изменяется на обратное при прохождении гребня ВВ и амплитуда ПВ уменьшается. Противоположные эффекты должны наблюдаться в ПВ при прохождении подошвы ВВ. В приводимом решении также возникает область сингулярности энергии ПВ, соответствующая выполнению векторного условия "блокировки" сё + и — с = 0 , амплитуды при этом становятся неограниченными, что автоматически нарушает лежащие в основе анализа предположения о малости амплитуд ПВ.

Таким образом, на основе линейной модели (1) и (2) не удается построить корректное стационарное решение задачи в окрестности группового резонанса сд ~ с, между тем именно эта часть спектра ПВ наиболее подвержена воздействию ВВ.

Дальнейшее развитие теория распространения волн в медленно изменяющейся движщейся среде получила в работах Брезертона и Гаретта [21], в которых на основе гамильтонова формализма был установлен общий принцип сохранения волнового действия, справедливый для недиссипативных волн малой амплитуды: дА/дг + Щи + с^А] = 0 (3) где А = Е/а - плотность волнового действия; а - собственная частота волн.

Динамика линейных поверхностных волн, заложенная в модели (3), (2), позволяет легко перейти к спектральному описанию процесса взаимодействия [22] и исследовать модуляцию течением отдельных спектральных компонент и соответствующих компонент спектра волнового действия: дЪ/дЬ + (и + с8) • УФ = А '' (4)

Здесь Ф — Ф(к, ж, ¿) - спектральная компонента волнового действия, являющаяся функцией координат и соответствующего волнового вектора к (ж, £) , который модулирован течением со скоростью и согласно уравнению (2). В правой части уравнения (4) присутствует член А , определяемый феноменологически и описывающий влияние приводного ветра, а также нелинейные и диссипативные эффекты. В [21] принята следующая модель:

А = /3(к,иад)Ф-/3(к)Ф2/Ф0(к) (5) где /3(к, иУ]) характеризует инкремент нарастания поверхностных волн под действием ветра, имеющего скорость -и^ ; второе слагаемое правой части соответствует нелинейному ограничению экспоненциального роста Ф(к) (Фо(к) - невозмущенное значение спектральной плотности).

Такой вид функции Л в значительной степени произволен, так как в настоящее время способа даже для одназначного выбора инкремента Д(к,иад) не существует.

В работе [23] , например, предпринята попытка более адекватного учета указанных выше эффектов путем соответствующей модификации члена Л в уравнении (4). Феноменологическое описание диссипативных, нелинейных волновых процессов в [23] , привлекаемое из различных моделей поверхностного волнения, неудовлетворительное состояние теории о генерации поверхностных волн под действием ветра, постулирование линейного дисперсионного соотношения для спектральных составляющих без учета самовоздействия волн не позволяют рассматривать предлагаемый в [23] вид члена Л в уравнении волнового действия (4) как существенно лучшее приближение по сравнению с выражением (5).

Исследование нестационарного двумерного взаимодействия поверхностного волнения с периодической ВВ на основе системы (2), (4), (5) проведено в цикле теоретических работ [24, 25, 26]. В них детально изучена кинематика волновых пакетов, установлены режимы "захвата" ПВ течением, отражения и прохождения поверхностных пакетов. Также в работах рассчитаны спектры морского волнения и дисперсия уклонов морской поверхности в присутствии ВВ, проанализировано влияние ветра на процесс взаимодействия. Показана возможность образования предвестника и уменьшение периода огибающей ПВ в зоне прохождения периодического цуга коротких диспергирующих ВВ.

Основные выводы из расчетов, проведенных по "кинематической" модели взаимодействия (2) - (5) и качественно согласующихся с экспериментальными данными, сводятся к следующему: наиболее сильная модуляция в спектре ветрового волнения происходит в интервале длин волн с групповыми скоростями, близкими к скорости ВВ; относительное изменение дисперсии уклонов поверхности увеличивается с ростом амплитуды ВВ и уменьшается с ростом скорости ветра; расположение зоны слика относительно фазы ВВ завичит от скорости ветра, начального спектра ветрового волнения, угла между направлениями скорости ветра и распространения ВВ. Эти модели основывались на линейном описании ПВ.

В ряде теоретических исследований проанализировано влияние нелинейности поверхностных волн на процесс взаимодействия с медленно изменяющимся течением. В работе [27] показано, что учет самовоздействия ПВ в виде волн Стокса может снять сингулярность линейного стационарного решения, описывающего поведение ПВ на стационарном неоднородном течении. В то же время в [28] на основе многомасштабных разложений установлено, что резонансные условия при учете нелинейности ПВ изменяются лишь незначительно, не снимая проблемы построения равномерно пригодного решения.

Исследование устойчивости волн Стокса в неоднородной по скорости среде проведено Гербером [29]. Им предложен аналог уравнения Шредингера для комлпексной огибающей узкого волнового пакета в движущейся среде. Поведение несущей при этом определяется из линейной теории. Принятый подход позволяет проследить поведение цуга поверхностных волн при условиях, далеких от резонансных.

Проведенный анализ теоретических и экспериментальных результатов по данной теме показывает недостаточное внимание, которое уделяется нелинейным аспектам волновых взаимодействий в проблеме наблюдаемости ВВ на морской поверхности. И это значительно сужает круг экспериментальных явлений, удовлетворительно описываемых в рамках имеющихся моделей.

Первая глава диссертации посвящена изучению влияния самовоздействия поверхностных волн на процесс взаимодействия с течением, вызванным внутренней волной (см. [16] - [19]).

Цель работы состоит в построении равномерно пригодной модели воздействия ВВ на поверхностное морское волнение, включающей как режимы амплитудно-частотной модуляции ПВ для различных частотных диапазонов поверхностных волн, так и режимы генерации ПВ в поле ВВ. Такую модель можно построить, включив в рассмотрение нелинейные дисперсионные свойства поверхностных волн и модуляционную дисперсию. Модуляционная дисперсия учитывает влияние изменений амплитуды на собственную частоту волн и неизбежно возникает при описании распространения волн в неоднородной среде.

Учет дисперсии высших порядков позволяет снять особенности стационарного решения, данного Филлипсом [15] , и предложить теоретическое описание ряда экспериментальных эффектов из описанных выше, таких как возможность образования предвестника и следа ВВ, неоднородность модуляции ПВ и т.д.

Анализ условий, близких к резонансным, при которых происходит максимальная модуляция ПВ цугом ВВ, позволяет установить количественные характеристики взаимодействия в критических областях. Задача исследуется в адиабатическом приближении без учета источников и стоков энергии, вызванных действием ветра. Это дает возможность в чистом виде представить роль нелинейности при описании некоторых принципиально новых, по сравнению с линейной моделью, режимов модуляции ПВ, а также описать процесс генерации ПВ в присутствии цуга ВВ.

Возможно, самым важным в рассматриваемой физической задаче является вопрос о наблюдаемости ВВ на морской поверхности. И здесь особую роль призваны сыграть локализованные волновые решения, при которых цуги поверхностных волн сопровождают ВВ и экспоненциально затухают вне зоны их взаимодействия. "Время жизни" таких волновых образований в сильно за-шумленных природных условиях должно быть значительно больше характерного времени волновых взаимодействий, разнесенных по скоростям волновых пакетов. Описание режимов генерации поверхностных волн в поле ВВ также становится возможным при включении дисперсии высших порядков в описание поверхностного волнения.

Сильная частотная модуляция нелинейных поверхностных волн.

Эксперименты, проведенные в течение двух последних десятилетий по распространению поверхностных нелинейных волн на воде, выявили ряд модуляционных эффектов, не имеющих удовлетворительного теоретического объяснения по настоящее время.

Лэйк и Юэнь (Lake & Yuen 1978) [30] впервые экспериментально наблюдали эффект "потери" волновых гребней в окрестности модуляционных узлов при распространении сильно модулированных поверхностных пакетов. Подобный эффект отмечен также Ра-мамоньярисоа и Молло-Христенсеном (Ramamonjiarisoa & MolloChristensen 1979 [31] , Mollo-Christensen &; Ramamonjiarisoa 1982 [32]) и для поля ветровых волн, и в лабораторных условиях: нелинейная поверхностная волна сливается с предыдущей и затем исчезает. В результате такого слияния период волны мгновенно удваивается. Эти локальные эффекты волнового движения могут способствовать снижению средней частоты волн на большом разгоне (Huang, Long к Shen 1996 [33]).

Мелвилл (Melville 1983 [34]) детально изучил эволю цию однородного цуга поверхностных волн Стокса в длинном лабораторном лотке. На начальном участке волнового движения он наблюдал развитие хорошо известной неустойчивости Бенджамена-Фейра (Benjamin & Feir 1967 [35]) в боковых спектральных полосах и соответствующую слабую амплитудно-частотную модуляцию цуга волн. С нарастанием нелинейных эффектов возрастала также ассиметрия огибающей волны относительно ее гребня. Одновременно было отмечено изменение сдвига фазы между модуляцией амплитуды и частоты: начальная задержка . фазы 7г/2 стремилась к 7г в развитом нелинейном режиме, так что модуляция амплитуды приобретала фазу, противоложную модуляции частоты. При дальнейшем распространении волнового цуга Мелвилл наблюдал наиболее яркие особенности развития нелинейности -развороты фазы, сопровождающиеся достаточно быстрыми изменениями частоты, волнового числа и фазовой скорости. При этом частота становилась даже отрицательной вблизи этих локальных фазовых кинков.

Для объяснения быстрых изменений в модулированных нелинейных волновых группах Черескин и Молло-Христенсен (Chereskin & Mollo-Christensen 1985 [36]) численно анализировали нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), выведенное для волн на воде Захаровым (1968 [37]) и пришли к выводу о невозможности объяснить отмеченные эффекты в рамках решений этого уравнения, а также других уравнений для слабонелинейного взаимодействия волн. Согласно теории НУШ вначале однородный цуг волн периодически трансформируется в связанную группу соли-тонов огибающей (Захаров, Шабат 1972 [38]), а затем происходит обратный процесс слияния солитонов. НУШ модели неоднократно усовершенствовались для адекватного описания разнообразной динамики нелинейных поверхностных волн конечной амплитуды. Наиболее популярными в этой области являются модели волнового самовоздействия, основанные на модуляционных уравнениях четвертого порядка по крутизне волны (Ковкев 1977 [39], Був^е 1979 [40], Тотйа 1986 [41], Ьо к Ме1 1987 [42], Аку1ав 1989 [43], 1991 [44]). Отмеченные работы посвящены главным образом объяснению так называемого группового расщепления волн, наблюдавшегося в экспериментах на глубокой воде Фейром (Рек 1967) [45] и Сю (Би 1982 [46]), когда изначально симметричная (типа решений НУШ) группа поверхностных волн становилась на большом разгоне упорядоченной последовательностью пакетов, благодаря снижению средней частоты волн передних пакетов. Именно этот частотный сдвиг указывает на то, что теория может усовершенствоваться за счет ослабления ограничений на вариации спектра волнового пакета. Результаты численного интегрированйя НУШ четвертого порядка для бимодального волнового спектра оказались в количественном соответствии с экспериментами (Ьо к Ме1 1985 [47], 81ап8Ье^ 1995 [48]). Модели, включающие диссипа-тивные эффекты, дают удовлетворительное теоретическое объяснение экспериментально наблюдаемому сдвигу средней частоты волн (Нага к Ме1 1991 [49], 1994 [50]; К^о к 01калга 1995 [51]; исЫуата к КалуаЬага 1994 [52]). Однако, численный анализ упомянутых моделей не дал никакой интерпретации отмеченным выше сильным скачкообразным эффектам в поведении нелинейных поверхностных волн (фазовым кинкам, отрицательным частотам, слиянию гребней).

Вывод НУШ в третьем порядке приближения по крутизне волны всегда основан на приближении спектрально узкой модуляции волн. Тем не менее, мы предполагаем, что класс равномерно пригодных решений общей системы модуляционных уравнений в рамках такого приближения не исчерпывается известными решениями НУШ для огибающей волнового пакета.

Во второй главе диссертации представлены вывод и анализ общей системы уравнений медленно изменяющихся волновых пакетов, распространяющихся на глубокой воде в приближении третьего порядка по крутизне волны. В отличие от других работ, предлагаемая модель включает возможность значительных (порядка единицы), относительных вариаций частоты и волнового числа на "медленных" координатах времени и пространства (cM.I.Shugan and K.Voliak, 1998 [53]).

Глубокие модуляции такого типа наблюдались в описанных выше экспериментах и не могут быть описаны в рамках классической НУШ теории. В данной работе асимптотическое двух-масштабное разложение будет применено непосредственно к потенциалу скорости и смещению свободной поверхности для безвихревого движения жидкости. Стационарные решения системы модуляционных уравнений для трех функций, характеризующих волновое движение - амплитуды потенциала скорости, волнового числа и частоты - дают равномерно пригодную асимптотику поведения слабонелинейных поверхностных волн, позволяющую описать указанные перебросы фазы, отрицательные частоты И другие экспериментально наблюдаемые эффекты.

Предлагаемая теория обобщает НУШ теорию и сводится к последней при определенных значениях управляющих параметров. С другой стороны, мы надеемся открыть некоторые новые режимы распространения волновых пакетов, обусловленные теми же причинами, что и локальные перебросы фазы. Например, представляется интересным найти некоторое обобщение солитона огибающей НУШ, решая более общую систему уравнений. Такие решения в форме уединенной волны могут иметь в принципе свойства, отличные от солитонов НУШ. Отказ от приближения несущей частоты дает возможность (по крайней мере, формальную) моделировать очень короткие пакеты, содержащие несколько периодов волн. Обычно такие волновые группы без огибающей описываются комбинированными уравнениями более высокого порядка, подобными уравнениям НУШ типа и включающими эффекты нелинейной групповой скорости, аберрации волн и т.д. (см. Громов, Таланов 1996 [55]). Как будет показано, солитоны НУШ образуют специфический класс уединенных волновых решений новой теории, которые имеют, ненулевую амплитуду на бесконечности. Значительно более глубоко модулированные волновые решения нового типа не укладываются в рамки традиционных модельных представлений о волнах, имеющих плавно изменяющуюся огибающую с постоянной несущей.

Массоперенос жидкости при движении в канале с упругими границами.

Изучение течения жидкости в каналах с подвижными границами обычно ассоциируется с проблемой перистальтического движения как важного механизма функционирования многих живых организмов (Fung Y.C.& Yih C.S.1968 [56], Shapiro А.Н. [57], Jaffrin M.Y.& Weinberg S.L. 1969 [58], Zien T.F.& Ostrach S. 1970 [59]). Перистальтический поток - это движение жидкости, вызванное распространением поперечных волн вдоль подвижной упругой стенки канала. Режим "продавливания" представляет собой предельную моду движения жидкости, которое происходит в случае, когда стенки могут полностью перекрыть канал. При этих условиях массоперенос максимален. Этот принцип используется в нескольких модификациях насосов (Zien T.F.& Ostrach S. 1970 [59]). Неполное блокирование канала приводит к сложному вихревому движению жидкости, где главным механизмом массопереноса является ее дрейф в направлении распространения волн, т.е. вдоль стенок канала (Barton C.&Raynor S. 1968 [60]). В этом случае вязкость жидкости играет определяющую роль, и число Рейнольдса Re = a?cr/v представляет собой главный безразмерный параметр задачи. Этот параметр определяет баланс между инерционными и вязкими эффектами, где а- это характеристическая частота колебаний стенки, V - кинематическая вязкость жидкости и а - характеристическая ширина канала.

В работах (Braun T.D. к Hung Т.1977 [61], Ayukawa К. & Takabake S. 1982 [62]) исследован массоперенос жидкости для различных значений числа Рейнольдса и перепада давления вдоль канала. Эти работы представляют результаты аналитического и численного решения уравнения Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости. Волновое движение включает в себя движущиеся вихри и возвратные струи. Исследование траектории движения частиц показывает возможность продвижения жидких частиц навстречу основному потоку.

Работы (Allison Н. 1983 [63], Longuet-Higgins M.S. 1983 [64]) посвящены теоретическому и экспериментальному исследованию перистальтического движения, вызванного гравитационными волнами, бегущими вдоль синусоидальной подвижной стенки. Линеаризованная модель позволяет детально изучить режимы течения для различных чисел Рейнольдса. Для малых Re распределение скорости поперек канала аналогично профилю Пуазейля. Для больших Re структура течения подобна решению для пограничного Слоя Рэлея со струями жидкости,возникающими около стенки. В этой моде скорость жидкости остается постоянной в основной части трубы. ■ Экспериментально наблюдаемые скорости дрейфа (Allison Н. 1983 [63]) имеют тот же порядок, что и величины рассчитанных скоростей. Тем не менее, измеряемые перепады давления превосходят соответствующие теоретические оценки.

Обычно в исследованиях перистальтического движения жидкости предполагают движение стенок заданным по известному закону и пренебрегают обратным эффектом влияния жидкости на стенки канала.

Целью настоящего исследования, изложенного в третьей главе диссертации, является создание модели движения двухфазной среды, включающей жидкость и упругие стенки канала, которая предполагает возможность взаимодействия между фазами и расчет массопереноса жидкости в канале (см. I.Shugan 1999, [66]).

Собственные колебания такой Системы существенно отличаются от свободных колебаний каждой из фаз, принципиально изменяют общую структуру потока и обладают совершенно иными дисперсионными характеристиками волнового движения. Богатый модовый состав решений сильно зависит от значений числа Re задачи.

Массоперенос представлен здесь дрейфом жидкости, возникающем во втором порядке разложения решения по малому параметру крутизны волн.

Наряду с волновыми режимами движения упругих стенок канала, представляет интерес исследовать массоперенос жидкости при стоячих быстрозатухающих колебаниях системы, также присутствующих в спектре собственных колебаний пластины. Ранее колебания такого типа при анализе способов перекачки жидкости по каналам с подвижными границами не рассматривались .

Модель лазерного дистанционного зондирования морской поверхности.

Дистанционные методы зондирования - важнейший инструмент исследования свойств поверхности Мирового океана. К настоящему времени сложилось несколько методик дистанционного зондирования. Еще до появления лазеров оптические методы, основанные на отражении и преломлении света взволнованной морской поверхностью, использовались для измерения таких характеристик волнения, как статистическое распределение и среднеквадратичные значения высот и уклонов, спектральные характеристики волн. Измерения плотности вероятности уклонов по фотографиям солнечных бликов, выполненные в работах [68, 69], продемонстрировали широкие возможности оптических методов в исследовании морского волнения. Они позволили установить эмпирическую зависимость параметров волнения от скорости и направления ветра, исследовать степень негауссовости (нелинейности) случайной системы поверхностных волн. Такая, экспериментальная техника получила развитие в работах [70, 71], в которых были измерены среднеквадратичные значения крутизны волн. Радиолокация с борта самолета или спутника при помощи микроволнового радара дает возможность анализировать состояние морской поверхности на больших акваториях [70]. Основной недостаток этого метода - низкое пространственное разрешение, обусловленное большой шириной диаграммы направленности радаров. Пятно пространственного разрешения при зондировании с борта самолета составляет несколько десятков метров. С помощью таких систем можно измерять характеристики длинных волн (> 50м) и изучать крупномасштабные образования на поверхности океана.

В последнее десятилетие наряду с традиционными методами исследования морского волнения — аэрофотосъемка, контактная волнография, короткомикроволновая радиолокация — получили развитие лазерные методы. Эти активные дистанционные методы обладают рядом достоинств. Применение лазеров, как и радиолокаторов, не требует равномерного естественного освещения, что облегчает условия проведения экспериментов. Лазерная локация с борта самолета позволяет исследовать большие участки поверхности за короткое время, в течение которого синоптические условия на этих участках не успевают изменяться. Высокая направленность излучения лазеров позволяет обеспечить расходимость светового луча ~ 10-5рад, что на 3 — 4 порядка ниже, чем у радара. При этом разрешающий элемент поверхности от 1см до 1м. Лазерное зондирование поэтому позволяет в принципе измерять и мелкомасштабные характеристики волнения.

К настоящему времени сложились два основных метода лазерного зондирования морской поверхности: импульсная локация и фазовая профилометрия.

В основе импульсной локации лежат измерения временной задержки между зондирующими и отраженными морской поверхностью импульсами, а также измерения формы и длительности отраженных импульсов [72, 73]. По этим измерениям определяют средний уровень и наклоны поверхности взволнованного моря и оценивают балльность волнения. Точность измерения среднего уровня поверхности в пятне светового луча ограничена длительностью зондирующего импульса.

Один из уже разработанных методов измерений предполагает освещение поверхности моря короткими лазерными - импульсами, падающими под скользящими углами [74, 75]. В каждый момент времени зондирующий импульс освещает полоску поверхности длиной ст. При распространении светового импульса такая полоса движется по поверхности моря, давая отраженный сигнал на участках, ориентированных нормально оси лазерного пучка.

Теоретический анализ, выполненный в отмеченных работах для одномерного волнения, позволяет в принципе установить интегральную связь между формой отраженного сигнала и профилем поверхности. Имеются также попытки (см., например, [72]) найти корреляцию формы отраженного сигнала с характеристиками профиля отражающей поверхности при вертикальном лазерном зондировании. В условиях многократного освещения поверхности моря световыми импульсами, пространственная протяженность которых мала по сравнению с характерной длиной поверхностной волны, можно пытаться также проследить эволюцию волн во времени. Такая попытка была предпринята в работе [76] при зондировании под скользящими углами со стационарной платформы.

Другая методика импульсного зондирования состоит в определении статистических характеристик волнения при облучении больших участков поверхности. Так, в работе [77] выполнен теоретический анализ возможных результатов вертикальной импульсной, лазерной локации, когда по временному уширению отраженного импульса оценивается дисперсия распределения высот морской поверхности.

При лазерном зондировании на углах, близких к вертикали [78], в апертуру приемника попадает отраженный сигнал, амплитуда которого пропорциональна вероятности уклонов участков поверхности с нормалью, совпадающей с направлением источник — приемник. Это позволяет на основе зависимости интенсивности отраженного сигнала от угла зондирования определить функцию распределения уклонов поверхности. Точность такого метода определения вероятности уклонов при работе с самолета связана, в основном, с полнотой статистики принятых импульсов и обеспечивается высокой частотой работы лазера. Такая методика получила в работе [78] качественную экспериментальную проверку при зондировании с берега.

Аналогично работе [77] дисперсию уклонов морской поверхности (в предположении нормального закона их распределения) можно измерить также по временному уширению отраженных сигналов при вертикальной локации короткими импульсами в расходящемся лазерном пучке [79, 80]! В этих работах были выполнены одни из немногих экспериментов по зондированию поверхности моря короткими лазерными импульсами с вертолета.

Однако реальное пространственное разрешение при импульсном зондировании, определяемое длительностью лазерного импульса, во всех известных практических реализациях этого метода составляет величину более Зм. Это означает, что указанный метод зондирования может быть применен только для исследования крупномасштабного волнения (с длинами волн в десятки метров и значительными амплитудами — порядка 1 м и выше). Вследствие своей ограниченности метод импульсной лазерной локации пока не нашел широкого практического применения.

Фазовая профилометрия поверхности включает использование фазового лазерного дальномера, установленного на самолете и работающего в режиме измерения высот [81, 82]. Последовательные по времени отсчеты высоты дают возможность восстановить разрез профиля поверхности в направлении полета.

В настоящее время схемы таких фазовых профилометров хорошо разработаны и с успехом применяются для измерения профиля как земной [83, 84], так и морской [85, 86] поверхности. Однако схемные принципы измерения профиля отражающей (рассеивающей) поверхности в двух этих случаях все же существенно отличаются друг от друга вследствие разных механизмов формирования принимаемого сигнала. Отражение света при зондировании земной поверхности носит чисто диффузный характер. Это обеспечивает постоянство (или по крайней мере колебания в небольшом динамическом диапазоне) интенсивности принимаемого сигнала. При зондировании же морской поверхности, как ранее указывалось, наряду с диффузной составляющей обратного сигнала, возникающей при рассеянии как от поверхности, так и на частицах в подповерхностном слое, существует интенсивная зеркальная компонента. Одновременный прием отраженного и рассеянного сигналов технически сложен, поскольку соотношение их интенсивностей составляет ~ 103 —104; отраженный сигнал в этих условиях играет роль мощной импульсной помехи.

Отсюда вытекают общие требования к лазерным фазовым про-филометрам морской поверхности: световой сигнал, принимаемый от поверхности, должен обеспечиваться преимущественно зеркальной составляющей; для непрерывного приема такого зеркального сигнала необходимо, чтобы размер лазерного пятна на поверхности воды был больше минимальной длины волны, порождающей зеркальный "блик".

Таким образом, фазовые лазерные профилометры морской поверхности, так же как и импульсные локаторы, способны регистрировать лишь крупномасштабную часть морского волнения. Этот вывод действительно подтверждается данными лазерного зондирования морской поверхности, а именно: оптимальный диаметр пятна на поверхности воды при зондировании морской поверхности лежит в интервале 10—15 см [87]; большинство фазовых измерений профиля морской поверхности с помощью лазеров дает информацию о длинноволновой части спектра волнения, например о положении его спектрального пика [86].

Целью многих океанографических исследований является изучение наряду с крупномасштабным также и мелкомасштабного волнения. Примером может служить задача о взаимодействии внутренних волн с поверхностным волнением, при которой наиболее существенны изменения в спектре коротких поверхностных волн. Поэтому актуальной проблемой становится разработка лазерного метода,- способного обеспечить измерения характеристик морского волнения с длинами волн от нескольких сантиметров до десятков метров. ~

В четвертой главе диссертации изучается метод дистанционного лазерного измерения статистических характеристик волнения, основанный на непрерывном зондировании морской поверхности узким лучом и регистрации сигналов обратного отражения (см. [88, 89, 90]). При зондировании с самолета индикация бликов не требует больших масштабов усреднения сигнала, что значительно улучшает пространственное разрешение и позволяет продвинуться в изучении характеристик мелкомасштабной ряби. В отличие от фазовой профилометрии, предлагаемая методика не дает информации о конкретном профиле морской поверхности вдоль трассы зондирования (полета). Однако, учитывая случайный характер волнения морской поверхности, такая информация не всегда является необходимой, поскольку интерес могут представлять только статистические характеристики поверхности. В нашей методике вероятностный анализ случайной последовательности зеркально отраженных бликов позволяет определить статистические свойства волнения. Экспериментальное определение азимутальной функции средней плотности бликов при зондировании морской поверхности по разным направлениям дает возможность оценить как угловые характеристики энергетического спектра, так и развитость и насыщенность поверхностного волнения.

Теоретические расчеты статистики лазерных бликов морской поверхности основываются на приближении "замороженности" морской поверхности, что оправдано при высоких скоростях движения носителя ус с, где с - характерная скорость движения поверхностных волн. В реальной ситуации (в частности, в экспериментах, описанных в [89, 90]) скорость самолета с лазерным измерителем ус = 100 м/с, так что скорость крупномасштабных волн (с = 10) м/с может составлять заметную величину от скорости носителя. Поэтому нами предложена методика расчета статистических характеристик последовательности лазерных бликов с учетом движения поверхностных волн и проанализированы результаты экспериментов по наклонному зондированию морской поверхности с учетом рассчитанных поправок(см. [91]).

В проведенных расчетах предполагалось, что для описания поверхности применима гауссова статистика линейного ансамбля поверхностных волн. Однако такой подход применим при сравнительно слабом волнении, когда уклоны морской поверхности невелики. При сильном волнении для описания статистических свойств морской поверхности необходим учет нелинейных поправок. Модель случайного нелинейного волнового пакета, основанного на разложении Стокса [95], обладает достаточной наглядностью и позволяет детально исследовать различные статистические характеристики волнения. На основе одномерной модели случайного волнового поля [95] нами изучены статистические характеристики морской поверхности, которые могут быть измерены в экспериментах по дистанционному лазерному зондированию: средняя плотность пересечений заданного уровня среднее число точек заданного уклона на единице длины АГ5(см. [96]).

Взаимодействие волн Россби над периодическим дном.

Распространение волн в периодической среде представляет собой одно из наиболее интересных и важных явлений в волновой динамике и физике колебаний. Мы рассматриваем крупномасштабные движения жидкости в океане над периодическим дном, используя теорию мелкой воды. Сложная форма океанического дна и береговых границ различным образом воздействуют на течения и волны в океане, и обычно слабые модуляции движения малыми топографическими особенностями могут иногда приводить к сильной неустойчивости и бифуркациям к новым волновым режимам.

Анализ устойчивости волн Россби над периодическим дном был главным образом сфокусирован на вынужденных волнах Россби, индуцированных дивергенцией зонального течения из-за длин-номасштабной топографии. Стационарная теория этих волн была развита Чарни и Элиазен (J.G. Charney &; A. Eliassen.1949) [101]. Топографическая неустойчивость таких течений была описана в серии работ (см., например, Чарни и Тевор (J.G. Charney &; J.G. De Vore.1979) [102] и Педлоски (Pedlosky 1982) [103]). Показана неустойчивость зонального потока в приближении /3-плоскости при синусоидальной топографии дна. С другой стороны, различными авторами был проведен линейный анализ устойчивости свободных волн Россби для различных типов возмущений ( R.P. Mied.1978 [104]). В частности, динамика волн конечной амплитуды и их устойчивости была изучена Денингером ( R. Deinenger.1982 [105]). В работе показано, что с возрастанием возмущения амплитуда и фазы волн Россби эволюционируют, создавая нелинейное обратное воздействие, стабилизирующее начальное возмущение.

Топографическая неустойчивость свободных волн Россби изучалась также для достаточно малой шероховатости рельефа дна. Кри и Свотерс (Cree & Swatérs.1991 [106]) проанализировали длин-номасштабные амплитудно- фазовые модуляции резонансных взаимодействующих трех волн Россби на медленно изменяющейся топографии. Используя технику многомасштабных разложений, авторы показали существование нарушения векторного резонанса волн. Расстройка волновой триады приводит к существенному уменьшению энергетического обмена между взаимодействующими волнами.

Периодическое дно резонансной частоты оказывает сильное воздействие на распространение волн Россби и их резонансные взаимодействия. В первом порядке асимптотических разложений можно легко получить дисперсионное соотношение для свободных волн, во втором порядке разложения возникают резонансные взаимодействия между волнами Россби и периодическим дном. Райнс и Бре-зертон (P.B.Rhines &; F.P. Bretherton.1973 [107]) первыми указали на возможность взаимодействия между волнами Россби и периодической топографией. Необходимо отметить, что подобный резонанс может также иметь место для гравитационных волн на соответствующих временных и пространственных масштабах. Одним из примеров здесь можно указать полное отражение поверхностных гравитационных волн, индуцированных периодическими береговыми барами (С.С. Mei.1985 [108]; Воляк К. и Пурини Р.1990 [109]). Приближение мелкой воды с квадратичной нелинейностью для волнового движения дает резонансные условия Брег-га Ль = 1/2As, где Ль and As - это длины волн дна и поверхности , соответственно. Экспериментальные работы (A.G. Davies' & A.D.Heathershow 1984 [110], A.D.Heathershow.1982 [111],) подтверждают основные теоретические результаты.

Медленные модуляции пакета поверхностных волн распространяющегося над периодическим дном были проанализированы Мит-ро и Гринбергом (A. Mitra & M.D. Greenberg.1984 [112]). Новые возможности резонанса волны-дно были показаны Воляком и Пурини (1990) [109] на основе уравнений движения жидкости конечной глубины. Установлено существование нелинейного резонанса между тремя гравитационными волнами и синусоидально изменяющимся дном.

Пятая глава диссертации посвящена изучению распространения и резонансного взаимодействия волн Россби с периодическим дном (см. Purini R., Shugan I. 1993, [113]). Условия полного отражения волн периодическим рельефом дна, энергообмен между падающими и отраженными волнами исследуются для различных граничных условий в традиционной постановке. Проводится анализ дисперсионных свойств огибающей волн Россби в периодической среде. Установлены кинематические условия резонанса тройки волн Россби и синусоидального дна, характеристики энергетического обмена при таком взаимодействии. Изучены возможности генерации и модуляции различных мод волн Россби, распространяющихся над синусоидальным рельефом дна.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.

5.6 Выводы

Мы изучили слабо-нелинейное резонансное взаимодействие свободных волн Россби в присутствии периодической топографии дна. Математическая модель взаимодействия основана на квазигеостро-фических уравнениях для несжимаемой баротропной жидкости. В этой модели члены, выражающие влияние топографии дна имеют '-тот же порядок, что и нелинейные члены в уравнении завихренности. Мы использовали метод двухмасштабных временных и пространственных асимптотических разложений для анализа резонансного взаимодействия волн Россби с донным рельефом.

Прастранственные условия резонанса могут быть выполнены для каждого градиента вектора волнового дна и двух пар резонансных волн одинаковой частоты ст. Тем не менее резонансные условия требуют, чтобы волновое число дна было меньше, чем 1/<7 (во временной шкале волн Россби). Скорости распространения энергии резонансных волн всегда имеют противоположные проекции на направление волнового вектора дна. В результате анализа была расчитана пространственная модуляция огибающих волн Россби в рассматриваемой периодической среде.

Для достаточно малых расстроек от условий резонанса получено экспоненциальное затухание падающей волны в области переменной топографии. Взаимодействие в достаточно протяженных областях может приводить к полному отражению этой волны. Инкремент такой волны линейно возрастает с ростом амплитуды донного рельефа и достигает максимума при точном резонансе.

Далее мы рассмотрели взаимодействие волн в области с периодическим дном, прилегающим к твердой стенке. В этом случае коэффициент отражения тоже равен единице. В более общем случае неоднородных ( в пространстве и времени ) огибающих все волны Россби, распространяющиеся в периодической среде, обнаруживают дисперсионные свойства. Низкочастотные спектральные компоненты падающего волнового пакета экспоненциально затухают и генерирует отраженную волну. Высокочастотные компоненты моделируются волновым рельефом довольно слабо. Пара волн Россби равной частоты может резонансно взаимодействовать с периодическим дном, но с другой стороны, эти две волны могут образовать резонансную триаду волн с волной Россби удвоенной частоты. В этом случае направление волнового вектора дна должно быть близко к меридиональному.

Пространственная модуляция волновых огибающих в периодической среде была проанализирована для различных граничных условий. Для существенно широкой области взаимодействия мы показали, что пара распространяющихся волн может генерировать встречную уединенную волну. Для конечной ширины зоны взаимодействия установлена возможность затухания входящей волны и образования пары встречных волн Россби и изучены энергетические характеристики этого взаимодействия.

Использованная упрощенная математическая модель баротроп-ного движения показывает, что слабые вариации топографии дна могут приводить к сильным структурным изменениям в распространении пакетов волн Россби.

6 Заключение

1. Модуляция слабонелинейных поверхностных волн внутренними максимальна в условиях группового синхронизма - отсутствия потока энергии ПВ относительно фронта ВВ. Амплитуда ПВ значительно возрастает на встречном течении, передавая его форму для крупномасштабных ВВ. Модуляция ПВ на попутном течении приводит к образованию сликов - областей выглаживания поверхности - и сопровождается относительно высокочастотными модуляциями амплитуды огибающей ПВ.

Набегание цуга ПВ на зону прохождения достаточно короткой ВВ может вызывать образование её предвестника в виде нелинейной модулированной поверхностной волны. Если фазовая скорость ВВ превосходит групповую скорость коротких ПВ, то в этом случае возможно образование следа ВВ на поверхности. Модуляции цугов ПВ периодической достаточно длинной ВВ передают её основные характеристики, такие, как период, амплитуду и некоторые свойства формы. Модуляции, вызванные короткими ВВ, могут характеризоваться периодами, меньшими периода ВВ, и неоднородностью изменения вдоль периодического цуга.

Указанные свойства осложняют проблему восстановления структуры ВВ по её проявлениям на морской поверхности.

2. Локализованные решения, при которых пакеты ПВ сопровождают ВВ и экспоненциально затухают при удалении от области переменного течения, существуют только при выполнении группового синхронизма. Эффективная генерация ПВ значительной амплитуды происходит на встречном течении, вызываемом ВВ. Пороговые условия возбуждения различных мод огибающей ПВ в поле ВВ определяются величиной и пространственным масштабом течения. Для длинных ВВ связанные ПВ на встречном приповерхностном течении имеют вид волновых пакетов с глубокой модуляцией огибающей и периодом в несколько раз меньшем длины ВВ.

3. Построенная модель нелинейных пакетов поверхностных волн на воде включает возможность глубоких (порядка единицы) относительных вариаций частоты и волнового числа. Проведенное сравнение с имеющимися экспериментальными данными показывает, что такие важные эффекты нелинейной модуляции, как отрицательные частоты, фазовые кинки, слияние гребней волн, удвоение периода и т.п., адекватно воспроизводятся полученными решениями.

Предлагаемая теория обобщает НУШ теорию и сводится к последней при определенных значениях управляющих параметров. Уединенные волновые пакеты в данной модели имеют переменную частоту и распространяются на постоянном волновом фоне; солитоны НУШ образуют здесь специфический класс уединенных волновых решений.

4. Двухфазная модель колебательного движения жидкости в канале с упругими стенками принципиально отличается от об-щейринятой модели с неизменной формой движущихся стенок канала. Присутствие вязкой жидкости дает существенное снижение скорости изгибных колебаний в пластине и затухание волн. При больших значениях числа Рейнольса происходит вырезание полосы низких частот в спектре собственных волновых колебаний системы, Увеличение относительной массы жидкости приводит к изменению функционального вида дисперсионного соотношения и уменьшению пространственного масштаба волн при заданной частоте возбуждения. Для малых значений числа Рейнольдса возможны три моды колебательного движения, одна из которых описывает волновое движение стенок со слабым затуханием, две остальные задают стоячие резко затухающие вдоль трубы колебания системы.

5. Изучение свойств массопереноса жидкости проведено последовательно для всего модового состава колебаний двухфазной системы. Для больших значений числа Рейнольдса стоячие быстро-убывающие колебания стенок трубы обеспечивают максимальный поток массы, на порядок превосходящий волновые режимы массопереноса. Это изменяет принятое мнение о главных механизмах и способах перекачки жидкости по каналам с подвижными границами. Скорость дрейфа жидкости во входном сечении трубы дает встречную струю у стенок трубы, в выходном сечении - течение Пуазейля. Для малых значений числа Рейнольдса волновая слабозатухающая мода движения стенок канала обеспечивают максимальный массоперенос жидкости.

6. Разработаны модели расчета статистических характеристик случайной морской поверхности при лазерном дистанционном зондировании поверхности и регистрации сигналов обратного отражения. Основные параметры пространственного спектра волнения расчитываются по средней плотности зеркальных лазерных бликов.

Учет средней скорости движения зеркальных точек существенно влияет на результаты расчетов угловых характеристик волнения и позволяет оценить скорости энергонесущих компонент морских волн. Учет нелинейности ПВ существенно влияет на измеряемые статистические характеристики волнения, такие, как среднее »число точек заданного уровня и среднее число точек заданного уклона на кривой сечения поверхности узким лазерным лучом.

7. Энергетический обмен пары околорезонансных волн Россби может приводить к полному отражению волн в областях с периодическим рельефом дна. Огибающая пакета волн Россби при входе в такую область изменяет свои дисперсионные свойства. Низкочастотные спектральные компоненты огибающей испытывают при этом полное отражение.

Резонанс между тремя волнами Россби и дном также возможен при направлении хребтов и впадин волн, близком к широтному. Нелинейный энергетический обмен между резонансными компонентами может приводить к различным устойчивым пространственным структурам огибающих.

1. Perry R., Schimke G. 1965. Large amplitude internal waves of the north-west coast of Sumatra. J.Geophys.Res., Vol.70, p. 2319 - 2324.

2. Osborne A., Burch T. 1980. Internal solitons in the Andaman Sea. Science. Vol. 208, N 4443., p.451 460.

3. Apel J., Byrne H., Proni J., Charnell R. 1975. Observations of oceanic internal and surface waves from the earth resources technology satellite. J.Geophys.Res. Vol.80, N 6 . P. 865-881.

4. Hughes В., Grant H. 1978. The effect of internal waves " on surface wind waves. 1. Experimental measurements.

5. J.Geophys.Res. Vol.83C, N 1,Р! 443-454.

6. Веселов B.M., Давыдов А.А., Скачков В.А. и др. 1984. Радиодистанционные измерения внутренних волн с борта судна. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. Т. 20. N 4 С. 308 318.

7. Браво-Животовский Д.М., Володина Н.И., Гордеев Л.Б. и др. 1982. Исследования воздействия океанских внутренних волн на поверхностное волнение дистанционными методами. Докл. АН СССР. Т. 265, N.2. С. 457-460.

8. Басович А.Я.,Баханов В.В.,Браво-Животовский Д.М. и др. 1986. Воздействие коротких цугов интенсивных внутренних волн на ветровое волнение. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. Т. 22, N. 11. С. 1194-1204.

9. Phillips О.М. 1974. Nonlinear dispersive waves. Ann. Rev. Fluid Mech., v.6, p.93 110.

10. Osborne A.R., Burch T.L. 1980. Internal solitons in the Andaman Sea, Science, v.258, p.451- 460.

11. Ермаков С.А., Пелиновский Е.М., Талипова Т.Г. 1980. О влиянии пленок поверхностно-активных веществ на изменение спектров ветрового волнения под действием внутренних волн. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. Т. 16, N. 10. С. 1068-1076.

12. Островский Л.А., Соустова И.А., Цимринг JI.III. 1981. Воздействие внутренних волн на мелкомасштабную турбулентность в океане: Препр. ИПФ АН СССР N 31. Горький. 13 с.

13. Иванов A.B., Островский Л.А., Соустова И.А., Цимринг Л.Ш. 1982. Взаимодействие внутренних волн и турбулентности в верхнем слое океана. Воздействие крупномасштабных внутренних волн на морскую поверхность. Горький. С. 75-85.

14. Longuet-Higgins M.S., Stewart R.W. 1960. Changes in the form of short gravity waves on tidal currents. J.Fluid Mech. Vol.8. P. 565 583.

15. Whithem G.B. A note on group velocity. 1960. J.Fluid Mech. Vol.9, P. 347 352.

16. Gargett A., Hughes В. 1972. On the interaction of surface and internal waves. J. Fluid Mech. Vol.52. P.179 191.

17. Bretherton F., Garrett C. 1969. Wavetrains in inhomogeneous moving media. Proc. Roy. Soc. London A. Vol.302. P. 529 554.

18. Hughes B. 1978. The effect of internal waves on surface wind waves. 2. Theoretical analysis. J.Geophys.Res. Vol.83C, N 1. P. 455 465.

19. West В., Thomson J. 1975. Statistical mechanics of ocean waves. J.Hydronaut., Vol.9, N 1, P. 25 31.

20. Басович А.Я. 1979. Трансформация спектра поверхностного волнения под действием внутренних волн. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. Т. 15, N. ,6. С. 655-661.

21. Басович А.Я., Баханов В.В., Таланов В.И. 1982. Влияние интенсивных внутренних волн на ветровое волнение: (Кинематическая модель). Воздействие крупномасштабных внутренних волн на морскую поверхность. Горький. С. 8-31.

22. Басович А.Я.,Баханов В.В., Таланов В.И. 1987. Трансформация спектров ветрового волнения короткими цугами внутренних волн. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. Т. 23, N. 7, С. 694- 705.

23. Holliday D. 1973. Nonlinear gravity-capillary surface waves in a slowly varying current. J. Fluid Mech. Vol.57, P. 797 802.

24. Smith R. 1976. Giant waves. J.Fluid Mech. Vol.77. P.417 431.

25. Gerber M. 1987. The Benjamin-Feir instability of a deep-water stokes waterpacket in the presence of a nonuniform medium. J.Fluid Mech. Vol. 176, P. 311 332.

26. Lake, B.M. & Yuen, H.C. 1978 A new model for nonlinear wind waves. Part 1: Physical model and experimental evidence. J. Fluid Mech. 88, 33-62.

27. Ramamonjiarisoa, A.R. & Mollo-Christensen, E. 1979 Modulation characteristics of sea surface waves. J. Geophys. Res. 84, 7769-7775.

28. Mollo-Christensen, E. & Ramamonjiarisoa, A.R. 1982 Subharmonic transitions and group formation in a wind wave field. J. Geophys. Res. 87, 5699-5717.

29. Huang, N.E., Long, S.R. & Shen Z. 1996 The mechanism for frequency downshift in nonlinear wave evolution. Adv. Appl. Mech. 32, 59-117.

30. Melville, W. 1983 Wave modulation and breakdown. J.Fluid Mech. 128, 489-506.

31. Benjamin, T.B.& Feir, J.E. 1967 The disintegration of wave trains on deep water. Pt.l. Theory. J. Fluid Mech. 27, 417-430.

32. Chereskin, T. & Mollo-Christensen, E. 1985 Modulational development of nonlinear gravity-wave groups. J. Fluid Mech. 154, 337-365.

33. Захаров B.E. 1968 Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости. ПМТФ No. 2, 86-94.

34. Захаров В.Е., Шабат А.Б. 1971 Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах. ЖЭТФ т.61, с.118-134.

35. Roskes, G. 1976 Comments on 'Nonlinear deep water waves: theory and experiment'. Phys. Fluids 19, 766.

36. Dysthe, K.B. 1979 Note on a modification to nonlinear Schrodinger equation for application to deep water waves. Proc. R. Soc. Lond. A 369, 105-114.

37. Tomita, H. 1986 On nonlinear sea waves and the induced mean flow. J. Ocean. Soc. Japan 42, 153-160.

38. Lo, Y. &; Mei, C.C. 1987 Slow evolution of nonlinear deep water in two horizontal directions: a numerical study. Wave Motion 9, 245-259.

39. Akylas, T.R. 1991 Higher-order modulation effects on solitary wave envelopes in deep water. J. Fluid Mech. 198, 387-397.

40. Akylas, T.R. 1991 Higher-order modulation effects on solitary wave envelopes in deep water. Pt.2. Multi-solution envelopes. J. Fluid Mech. 224, 417-128.

41. Feir, J.E. 1967 Discussion: some results from wave pulse experiments. Proc. R. Soc. Lond. A 299, 54-56.

42. Su, M.Y. 1982 Evolution of groups of gravity waves with moderate to high steepness. Phis. Fluids 25, 2167-2174.

43. Lo, Y. & Mei, C.C. 1985 A nukerical study of water-wave modulation based on a higher-order Shr'odinger equation. J. Fluid Mech. 150, 395-416.

44. Stansberg, G.T. 1995 Spatially developing instabilities observed in experimental bichromatic wave trains. 26th IAHR Congress (HYDRA 2000), vol.3, 180-185. Thomas Telford.

45. Hara, T. &; Mei, C.C. 1991 Frequency downshift in narrow-banded surface waves under the influence of wind. J. Fluid Mech. 230, 429-477.

46. Hara, T. & Mei, C.C. 1994 Wind effects on the nonlinear evolution of slowly varying gravity-capillary waves. J. Fluid Mech. 267, 221-250.

47. Kato, Y. & Oikawa, M. 1995 Wave number downshift in modulated wavetrain through a nonlinear damping effect. J. Phys. Soc. Japan 64, 4660-4669.

48. Громов Е.М., Таланов В.И. 1996 Приближения высшего по-• рядка в дисперсионной теории нелинейных волн в однородной и неоднородной среде. Изв. РАН. Сер. физическая. 60,с.1836.-1848.

49. Fung Y.C. & Yih C.S. 1968. Peristaltic transport. Trans.ASMEE E:J.Appl.Mech. v.35, pp.669-675.

50. Shapiro A.H., Jaffrin M.Y.& Weinberg S.L. 1969. Peristaltiv pumping with long wavelengths at low Reynolds number. J.Fluid Mech.v.37,pp.799-825.

51. Jaffrin M.Y.& Shapiro A.H. 1971. Peristaltic pumping.Ann.Rev.Fluid Mech., v.3,pp.13-36.

52. Zien T.F.& Ostrach S. 1970. A long wave approximation to peristaltic motion. J. Biomech. v.3.pp. 63-75.

53. Barton C.&; Raynor S. 1968.Peristaltic flow in tubes. Bull.Math.Biophys. v.30, pp. 663-683.

54. Braun T.D.& Hung T. 1977. Computational and experimental investigations of two-dimensional nonlinear peristaltic flows.J.Fluid Mech. v.83, pp.249-272.

55. Ayukawa К. к Takabake S. 1982. Numerical study of two dimensional peristaltic flows. J. Fluid Mech. v.122, pp. 439-465.

56. Allison H. 1983. Streaming of fluid under a near-bottom membrane for utilization of sea-wave energy. J.Fluid Mech. v.137, pp. 385-392.

57. Сох С., Munk W. J. Mar. Res. 1954, 12 (2), 198.

58. Сох С., Munk W. JOSA. 1954, 44 (11), 838.

59. SchooleyA. J. Opt. Soc. Am. 1954, 44(1), 37.

60. WuJ. J. Opt. Soc. Am. 1972, 62(3), 395.

61. Захаров B.H., Костко O.K. Метеорологическая лазерная локация. JI.: Гидрометеоиздат, 1977.

62. Stamm С., HarrisL. Appl. Opt. 1974, 13 (11), 2477.

63. Захаров B.M., Павлов B.H., РокотянВ.Е. Труды ЦАО. 1973. Вып. 105, 69.

64. ГуревичГ.С., Жигулева И. С., Лысенко Б.М. и др. В кн.: Оптические методы изучения океанов и внутренних водоемов. Новосибирск: Наука, 1979. С. 107.

65. ГуревичГ.С., Жигулева И. С., Лысенко Б.М. и др. Труды ЦАО. 1979. Вып. 139, 93.

66. ГуревичГ.С. IV Всесоюз. симп. по лазерному зондированию атмосферы: Тез. докл. Томск, 1976. С. 121.

67. ГолъдинЮ.А., КагайнВ.Э., Келъбалиханое Б.Ф., Пелевин В.Н. В кн.: Оптические методы изучения океанов и внутренних водоемов. Новосибирск: Наука, 1979. С. 135.

68. ПелевинВ.Н. В кн.: Световые поля в океане. М.: Наука, 1979. С. 212.

69. СтемковскийА.И. В кн.: Световые поля в океане. М.: Наука, i 1979. С. 224.

70. ВафиадиВ.ГПопов Ю.В. Скорость света и ее значение в науке и технике. Минск: Изд-во Белорус, ун-та, 1970.

71. RossD., Cardone V., ConawayJ. IEEE Trans. Geosci. Electron. 1970, GE-8(4), 326.

72. Куллсов А.Г., МарасинЛ.Е., Попов Ю. В. и др. Геодезия и картография. 1979, № 10, 41.

73. Miller В. Aviat. Week and Space Technol. 1965, 82 (13), 60.

74. Olsen W., Adams Я. J. Geophys. Res. 1970, 75 (12), 2185.

75. Lin P., RossD. J. Phys. Oceanogr. 1980, 10(11), 1842.

76. J.G.Charney and A. Eliassen.1949. A numerical method for predicting the perturbation of the middle latitude westerlies. Tellus 1, 38.

77. J.G. Charney and J.G. De Vore.1979. Multiple flow equilibria in the atmosphere and blocking. J. Atmos. Sci. 36, 1205.

78. J. Pedlosky.1982. Resonant tepographic waves in barotropic and baroclimic flows. J. Atmos. Sci. 38, 2626.

79. R.P. Mied.1978. The instabilities of finite-amplitude barotropic Rossby waves .J. Fluid Mech. 86, 225.

80. R. Deinenger.1982. Free Rossby wave instability at finite amplitude. J. Atmos. Sci. 39, 563.

81. W. Cree and G. Swaters. 1991. On the tepographic dephasing and amplitude modulation of nonlinear Rossby wave interactions. Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 61, 75.

82. Р.В. Rhines and F.P. Bretherton.1973. Topographic Rossby waves in a rough-bottomed ocean. J. Fluid Mech. 61, 583.

83. C.C. Mei.1985. Resonant reflection of surface water waves by periodic sand bars. J. Fluid Mech. 152, 315.

84. Воляк К., Пурини P.1990. Surface opposing-wave interaction over a periodically corrugated bed. Dyn. Atmos. Oceans 14,170.

85. A.G. Davies and A.D. Heathershow.1984. Surface-wave propagation over sinusoidally varying topography. J. Fluid Mech. 144, 419.

86. A.D. Heathershow. 1982. Seabed-wave resonance and sand-bar i growth. Nature 296, 343.

87. Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. JL: Гидроме-теоиздат, 1980.

88. Jle Блон П., Майсек JI. 1981. Волны в океане. М.: Мир. Т. 1/2. 820 с.

89. Уизем Дж. 1977. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 622 с.

90. Chu, V.H. & Mei, C.C. 1970 On slowly-varying Stokes waves. J. Fluid Mech. 41, 873-877.

91. Stokes G.G. 1849. On the theory of oscillatory waves. Trans. Camb. Phil. Soc. Vol.8. P.441 455.

92. Yuen H., Lake B. 1975. Nonlinear deep water waves: Theory and experiment. Phys.Fluids. Vol.18. P.956 960.

93. Юэн Г., Лэйк Б. 1987. Нелинейная динамика гравитационных волн на глубокой воде. М.: Мир. 179 с.

94. Chu, V.H. к Mei, С.С. 1971 The nonlinear evolution of Stokes waves in deep water. J. Fluid Mech. 47, 337-351.

95. Седов JI.И. Механика сплошной среды.ТТ. 1,2 . 1976.12^. Быстров В.П., Володин В.В., Ломоносов A.M. и др. 1985. Тезисы докл. 12 Всесоюз.конф. по когерентной и нелинейной оптике. М. с. 566.

96. Солнцев М.В. 1986. Статистические свойства эхо-сигнала при дистанционном лазерном зондировании морской поверхности. Кр. сообщ. по физике. N 4 , с.22 25.

97. Longuet-Higgins М. Philos. Trans. Roy. Soc. London A. 1957, 249, 321.

98. RiceS. Bell Syst. Tech. J. 1944, 23, 282.

99. Jans en P., KauenG. J. Geophys. Res. 1984, 89(3), 3635.

100. Крамер Г., Лидбеттер M. Стационарные процессы. М.: Мир, 1969.

101. Steiberg#., SchultheissP., WorginC., ZweigF. J. Appl. Phys. 1966, 26, 195.

102. Longuet-Higgins M. 1963 J. Fluid Mech. , 17, 459.

103. Taifun M.A.1980. J.Geophys. Res. Vol.85., P.1980133. * АванесоваГ.Г., ВоллкК.ИШуганИ.В. В кн.: Исследования по гидрофизике. М.: Наука, 1984. (Труды ФИ АН. Т. 156).

104. Океанология, т.2 , Физика океана, под ред. Каменковича В.М., Монина А.С. М. Наука 1978.

105. A.G. Davies.1982. The reflection of wave energy by undulations on the seabed. Dyn. Atmos. Oceans 6, 207.