Модуляционная неустойчивость волн и резонанс групповых скоростей в двухслойной жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

р г б од

1 * Ю 1993

тшенский государственный УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

белпгин сергей валерьевич

модуляционная неустойчивость вата

И резонанс групповых скоростей в двухслойной жидкости

01.02.05 - г.йхашгка жидкости, газа н Ш!зг:?м

Автореферат дисеертвшнт на соискание ученой степвшг кандидата ф;131тко-м9тенэт1пес1Ш1 наук

Тндень - 1993

Работа выполнена в Институте механики многофазных систем Сибирского отделения Российской Акаде.дш наук

Научный руководитель: академик РАН Р.И. Нигматулин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Н.А. Гуыеров

кандидат физико-математических наук С.И. Свинолутов

Ведущая организация-, кафедра ькустшси физического факультета МГУ им. Н.В. Ломоносова

Запита состоится "_"_1593г. в_час._мин.

на заседании специализированного совета Д 064.23.01 в Тюменском государственном университете по адресу: 625003, г.Тшеиь, ул. Семакова, д. 10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тшенского государственного университета

Автореферат разослан "__"__ 1993 г.

Ученый.секретарь специализированного совета, кандадагт физико-математических

наук К.М. Федоров

Общая характеристика работы

Актуальность теш. Диссертация посвящена изучении устойчивости поверхностных волн-в двухслойной жидкости.

Актуальность теш объясняется тем, что двухслойная жидкость является удобной моделью для анализа двух задач, имеющих важное практическое значение: движение слоистых жидкостей в трубопроводах при наличии двух фэз и генерация волн ветром на поверхности воды. Кроме того, двухслойная жидкость часто может считаться хорошим приближением для описания термоклиш в океане.

- Исследование начальной стадии роста возмущений и развития нелинейности в слабонелинзйном приближении (то есть в разложении по малой амплитуде возмущений сохраняется только конечное число членов) с помощью различных асимптотических методов применяется, в настоящее время, во многих областях физики и механики.

Целью работы являлось изучение влияния сдвиговой скорости в двухслойной жидкости на модуляционную устой:ивость поверхностных волн и выявление особенностей поведения почти монохроматических волн, возникающих при учете взаимодействия между ними.

Научная новизна раОотн заключается в следующем: определены физические закономерности влияния сдвиговой скорости в двухслойной' жидкости на модуляционную устойчивость поверхностных волн: получена и исследована обобщающая нелинейное уравнение Иредингера система уравнений, описывающая эволюцию нескольких почти монохроматических волн малой конечной амплитуда с учетом взаимодействия между ними, при условии, что волны имеют равные группоЕые скорости; доказана теорема о том, что данная система/не является точно интегрируемой и выявлены физические причины неинтегрируемости; получены решения системы в виде уединенных волн и показано, что они не являются солитонами; получен критерий модуляционной устойчивости волн и проанализировано влияние взаимодействия между волнами на их модуляционную устойчивость; обнаружен новый тип развития модуляционной неустойчивости.

Практическая ценность. Закономерности влияния сдвиговой скорости на модуляционную устойчивость поверхностных волн в двухслойной тадкости могут быть использованы при анализе развития

неустойчивости в течениях слоистой жидкости в трубопроводах и образования волн, генерируемых ветром на поверхности вода.

Полученная в работе система нелинейных эволюционных уравнений к результаты ее исследования могут быть применены при рассмотрении различных, связанных с развитием нелинейности почти монохроматических волн в диспергирущих средах, процессов во мнохш областях физики и механики! в физике плазмы, нелинейной оптике, гидродинамике, механике многофазных сред, термодинамике, теории упругости и других.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались:

- на Международной конференции "Задачи со свободными границами в механике сплошных сред", Новосибирск, 1991;

- на Втором семинаре "Акустика неоднородных сред", Новосибирск, 1992;

- на семинарах по динамике многофазных сред под руководством академика РАН Р.И.Нигматулина, Тюмень.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в II работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения к цервой главе, заключения и списка литературы, включающего 118 названий. Объем диссертации составляет 130 страниц, в том числе 20 иллюстраций.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность проблемы, приведен краткий обзор литературы, коротко изложено содержание диссертации. Дополнительные обзоры литературы даны в начале кавдой из глав.

В начала первой главы приводится обзор работ по слабонелинейным поверхностным волнам в двухслойной жидкости. Уйази&ается, что нелинейное уравнение.Шредингера (НУШ) ранее уже было пблучвйо ДЛЯ двухслойной ЖИДКОСТИ (R.H.J.Grimshaw and P.D.Pullin (1985), И.Ш.Ахатов (1990;) при различных постановках задачи, ho анализ влияния сдвиговой скорости на модуляционную устойчивость йолн не проводился.

- s -

Постановка задачи опишвзется в §1= рассматривается плоское потенциальное течение двух адвазшвнх несжимаемых жидкостей в ■■ горизонтальном канале постоянной ввгеты jl в поле силы тяжести, ййдкости от-гичагтся только плотнотглш рл и р (индексом > помечаются параметры нижней яздаюети,, « - верхней) и имеют в невозмушегаюм двияении различна постоянные горизонтальные скорости ri и ru . H а-м параметром с (параметром, характеризупяим нелинейность, или отзишЕКие системы от положения равновесия) является произведение амплитуды волны на волновое число, или крутизна волны.

Эволюция начальной почти мслохромзткге ской волны на временах порядка (ег иоГ' , гле <■> - частота волны, будет описываться ' ' нелинейным уравнением Шредингераг

i Ш + « ¡¡т + * - ' « (I) :

е - с ( X - Сд £ ) , с9 = ^ .

НУШ имеет универсальная характер, оно описывает эволюцию * начальной плоской монохроматической линейно устойчивой- волны .в: недиссипативной среде в предполог^-ть что нелинейность и дисперсия являются величинами одвзго тг рядхэ малости (то есть > малая конечная амплитуда волнн шзшззвт рясплывагаю волнового ; -числа того же порядка малости, - это достаточно общее свойство ; сред с сильной дисперсией). Вывод ЮТА из произвольной одномерной " нестационарной системы ■ уравнений в Частных производных," описывающей недиссипативиую сгеду, в области линейной: устойчивости- г малых возмущений приводится в 53.

Устойчивость решений НУШ (соответствующая модуляционной: ' устойчивости волн) определяется знаком произведения-коэффициентов,-а 0 > о соответствует неустойчивости. В .53 приводится явный вил • коэффициента при нзлшшйном члене я; козЗфшдаент при дисперсионном " " члене а можно найти из линейного анализа, а = 1/2 и-" (К) :. ■

Задача может быть описэпэ четырьмя безразмерными параметрами:

р ii - т. 5 /--

к = к h ,R = -H,H = -H,T= ° — , w = и / л,/? • (Z) ■ 1 р. и, /д-н;

Зоны модуляционной неустойчивости, рассчитэкнге' на основ**

анализа знака коэффициента » (вааЗфшивнт « при данной постановке задачи знакопостоянен, ниже Судзт приведен вид дисперсионного соотношения), показаны на рис Л в осях: волновое число к - сдвиговая скорость V . Внешние границы областей » = - V - линии потери устойчивости по линейной теории. Штриховке линии, вокруг которых грушшрувтся области неустойчивости, соответствуют условию1

ср " я " к» • (3)

то есть равенству фазовой скорости волны и скорости верхней жидкости. Эти линии, как сказалось, обладает рядом интересных свойств. На них частота, фазовая и групповая скорости совпадают, с точностью до коэффициента пропорциональности у 1 - к ' , с соответствующими величинами для воля" на свободной поверхности жидкости {р - 0 ){

с - V : а /1-в и , с = /1 - в с , с = /1 - Г-с

р и 1 К Г р V - р| ' д У дГ

(4)

Последнее равенство особенно интересно, так как производная вдоль

линии с "г , вообще говоря, не совпадает с частной производной р «

а/ск , берущейся при постоянной разности скоростей.

Коэффициенты а и & при условии (3), хотя и не совпадают с у 1 - н- а{ и у I - ь*" , ко отличаются от них на величины порядка о(я) . Поэтому, при малой отношении плотностей, условием, делающим волны в двухслойной жидкости похожими (в смысле близости дисперсионных и нелинейных свойств) на волны на свободной поверхности, будет ср = , равенство скоростей волны и верхней жидкости (а на ки = V[ , как можно было бы предположить из линейного анализа); этот факт подтверждается экспериментальными наблюдениями С.А.Торпа (1974, 1978/. В частности, критическое волновое число к, = 1.363, полученное Т.Бенджамином и Дж.Фейром (1967) для волн на воде (более длинные волны, к < к. , модулящкшно устойчивы, более короткие, к > , - неустойчивы), будет с Хорошей точностью сохраняться в двухслойной жидкости на

линий с «■ г „ р и

При малых отношениях высот (я < I) неустойчивость определяется близостью с к г . Волны в течениях с большйми н

б. я = 0.001 , н = ю .

Рис.1. Зоны модуляционной неустойчивости (у////), рассчитанные по критерию а /з > о , внутри области линейной устойчивости. Штриховая ли-шя соответствует условию с = , пунктирные - длинно-коротковолновому резонансу.

в целом более неустойчивы, вблизи V возникают дополнительные "языки" неустойчивости (рис.10), в которых модуль коэффициента р имеет наибольшие значения (хотя локальный экстремум ггри ср ^ сохраняется). Такая неустойчивость особенно ваша, так как она может наиболее вероятно повлечь за собой развитие сильно нелинейной неустойчивости•(при а ц > о возмущения на начальной стадии растут пропорционально ехр (1е 0 л\г) ). Появление больших значений р при сдвиговых скоростях V 0.6 + 0.9 V хорошо согласуется с приводимыми 'а литературе экспериментальными данными о том, что неустойчивость в двухслойной жидкости начинается при скоростях V - 0.5 V

ехр Мп

В приложении к первой главе приводятся явные формулы для вывода нелзшейтго уравнения Шредиигера в двухслойной кидкости.

Во второй глзвэ, в §1 выводится система кзлкнзйкых дифференциальных уравнений, описывающая гвоздив нвскольких почти монохроматических волн малой конечной амплитуды и

Ф = А. ехр в . + С. с. , о . = 1 ( к . X - и. с ) , (5)

j *= .3 } 1 ] ■>

имеющих равные групповые скорости (¡о;. аи

—I (к = к.) = —'■

6.к 3 с1к

а Е —1к = к ) = —2 (л = к ) , V у , т , (6)

у г!1: ■> гпг 1,1

с учетом нелинейного взаимодействия между ними (резонанс группоид скоростей, РГС):

дАт Я2*,-, и ?

л — + —? Лл. £ Г-П1 = 0 ' ° " 1....." ■ <7>

ас дх 1«1 я" 1

Коэффициенты о^. равны 1

«,• = 5 -4 (к = к.) , (8)

и характеризуют дисперсию волн, коэффициенты * - нелинейное самовоздействие (они совпадают с коэффициентами ¡з

соответствующих НУШ) и коэффициенты 7т- , т * j , - нелинейное взаимодействие между волнам. Система (7) обобщает НУЫ и векторное НУШ и сводится к ним при соответствующих выборах коэффициентов (к

векторному КУШ При а. * а , * т >•

Как и нелинейное уравнение Шредингера для одной слабомодулированной волны, система РГС описывает эффекты нелинейности и дисперсии в недисслпативной среде, в предположении, что они являются величинами одного порядка малости, а также дополнительно учитывает нелинейное взаимное влияние волн через индуцвруеше ими среднее течение и высшие гармоники.

Как известно, НУШ и Еектсрное НУШ интегрируемы методом обратной задачи рассеяния. В §2, методом, аналогичным предложенному С.И.СвинолупоБым (1992), доказывается, что система (7) не является точно интегрируемой (не имеет бесконечной последовательности законов сохранения).

Теорема. Система уравнений (7) имеет нввыроадешшй закон сохранения порядка п » 3 в том и только том случае, если она распадается на векторные НУШ.

Под порядком закона сохранения э{. р - эх а пошшается

порядок дифференциального оператора и : *=<§£>.'

где 4/5и означает вариационную производную, звездочка -производную Фреше. Невырожденность закона сохранения соответствует* невырожденности грины при старием порядке производной в операторе й .

Из теоремы следует, что система РГС нзинтегрирузма, если найдутся хотя бы де? ; ^личных по модулю коэффициента |«11 * ¡а^ и система не распадается на Еекторные НУШ с а1 и <х. ,

В §3 с физической точки зр"> анализируются причины неинтегрируемости и на примере интегрируемого уравнения Буссидеска показывается, что наличие в •1ногомэсштаОяом разлонеши хотя бы двух различных дисперсий, I * |а.| , можег приводить к

разрушению структуры обратной задачи рассеяния ("портить" интегрируемость).

Дальнейшие исследования проволлгея для системы из дгт--взаимодействующих во.та (п = 2):

-1

+ + + <х -- +

аг + дх

а2л

— + а_ —? +

В1 ах2

^ Т „ * I т • г ■ Т • — ' 1 У

(10)

I — + —т + (э. + л. = о .

В §4 находятся реыения системы (10) в виде уединенных волн:

(2 (а 8 - а 7 ) л = а —^-

Л - а

1/2 2 2

зесй а(х - 2а4Ь.£) еярШЬ* - а,(а,

2(о О г г ,

" гесЛ а(х - 2а ехр(ЦЬх - л (а_- Ъ^)«:]),

а = о ь , (II)

и показывается, что многосолитонные решения существуют только при а+ « а_ (то есть при |а+| * уединенные волш не являются

солитонами). Определяется критерий модуляционной устойчивости решений системы (10):

2 + > о - неустойчивость; ц2)

устойчивость при 1 ^ о , неустойчивость при д < о ,

А = - 1+ Г_ ,

знаки неравенств для д относятся к случаю а_ > о , если же а_ < 0 , то знаки неравенств надо заменить на противоположные.

Области существования уединенных волн (условие положительности подкоренных выражений в (II)) и модуляционной неустойчивости для системы (10), в отличие от НУШ и векторного КУШ, не совпадают.

Схема численного решения системы (10) с быстроубывапцими граничными условиями: ы+1, М_1 -» о при * -> ±» , приводится в §5. В"шестом параграфе обсундаются результаты расчетов. Численно проиллюстрированы факты, установленные в §4: уединенные волны системы при столкновениях деформируются, если |а+1 * 1а_! ; взаимодействие Двух модуляционно устойчивых волн (то есть оба соответствующих НУШ устойчивы, а е < о ) может приводить к

|| 1: V

/ (Л л'"'/; I IV. 1Ч^-^ч^

-20.00 0 00 20.00 40.00 60.00 X

3. с ~4.

6. С = 6.

Рис. 2. Распад начального возмущения: сплошная линия соответствует |л I, штриховая - 1л_|. Картинка симметрична относительно оси Ординат. Пунктиром показано начальное распределение, одинаковое для Ы+| и |л_1.

= 1, в+ = 1, = 2, = - 2,' г = 1.

неустойчивости. Обнаружен новый тип развития модуляционной неустойчивости (рис.2)1 образуется уединенная волна, бегущая по одной из амплитуд, а на второй амплитуде, з результате нелинейного взаимодействия, формируется локализованное возмущение, которое бежит вместе с уединенной волной (х соответствует € из (I), это координата, движущаяся с групповой скоростью). В отличие от привычных уединенных волн данное возмущение не имеет гладкой стационарной формы, но оно и не расплывается со временем (или распаивается значительно медленнее, чем обычный фон). Такие возмущения, по-видимому, невозможны для интегрируемых систем. Условиями существования таких решений являются! о+ > 0 , а_ е_ < О - одна волна неустойчива, другая устойчива, и взаимодействие между волнами слишком слабое, чтобы сформировать уединенную волну по устойчивой моде (одно из подкоренных выражений в (II) отрицательно).

В третьей главе, в 51 выводятся уравнения РГС для двухслойной жидкости. Главная трудность заключается в получении коэффициентов взаимодействия , так как коэффициенты а+ и р± остаются теми же, что и для НУШ. Характерный вид дисперсионного соотношения для двухслойной жидкости без поверхностного натяжения приведен на рис.3. Почти для любой волны (Л+ , ) (за исключением узкой зоны вблизи к1) найдется волна (к_ , и_ ) , принадлежащая другой ветви дисперсионного соотношения, имеющая равную групповую скорость (параллельную касательную).

Рйс.З. Дисперсионное соотношение н(<): к =0.001, н = 1,

V - 5.

— :lo —

Расчеты показывают (выражения для коэффициентов имеют

очень сложный вид), что козф|ациеит i может во много раз превосходить коэффициент в . Объясняется это тем, что волновое'' число к_ , связанное с л+ через РГС, + , и+) » cg(k+ , uj , оказывается довольно близким к волновому числу кз , и (к+ + к2) = - u (h+) + и (Jt2) , то есть пара волн (k+ , ) и (Jt_ , ) близка паре волн из резонансной триады. Критерием, определяющем близость н_ к к2 , является относительная величина сдвиговой скорости, v / vra , где vra - разность скоростей, при которой линейно неустойчивыми становятся бесконечно длинные волны (при v > vra уже все длины волн линейно неустойчивы, см. также рис.1). При I V / Чт 1 < 0.5 (малых сдвиговых скоростях) К_ ~ к2 , при | v / vm | > о.5 к_ и к2 достаточно хорошо различаются. Чтобы резонанс групповых скоростей не подавлялся трехволновым, происходящем в предыдущем порядке, должно выполняться услоьнвi

| (k_ - k2 ) / к2 | » с . (13)

Поэтому следует рассматривать РГС в двухслойной жидкости только при разностях скоростей | v / va | > а.5 ото как раз наиболее интересная область, где линейная теория дает устойчивость, а эксперимент показывает неустойчивость). В данной "разрешенной" области г монет превосходить ß на 2-3 порядка (а в "запрещенной" из-за трехволнового резонанса области малых сдвиговых скоростей | v / vm | < 0.5 и на 7-8 порядков; но чтобы при этом выполнялось условие (13), крутизна волн, пропорциональная с , должна быть порядка 0.001, что не представляет физического интереса). Но это означает, что даже очень слабое возмущение

( ! / | - /1 / rt | ) парной (то есть связанной с данной через РГС) волны будет оказывать существенное влияние на эволюцию данной, и собственная нелинейность волны может сказаться менее важной, чем нелинейность парной. Причем влияние парной волны особенно сильно сказывается именно на длинных волнах, самых устойчивых относительно самовоздействия.

С точки зрения влияния на модуляционную устойчивость, взаимодействие между волнами с равными групповыми скоростями следует признать дестабилизирующим фактором. Области"" "без-

условной" модуляционной устойчивости (то есть не зависящей от отношения амплитуд волн - когда устойчивы оба соответствующих НУШ и а «_ д »■о , см. (12)) оказываются очень малым*. Это объясняется двумя причинами. Во-первых, зависимость к+ от к_ является обратной - чем больше , тем меньше к_ ; поэтому, если выбрать одну волну достаточно длинной, устойчивой относительно самовоздействия, то связанная с ней через РГС волна получается обычно неустойчивой, а_ /з_ > о . Во-вторых, собственно взаимодействие менду волнами в основном действует в сторону увеличения-неустойчивости, а+ а_ д < о . Другой теоретически возможный вариант модуляционной устойчивости, когда неустойчивость волны гасится за счет взаимодействия с устойчивой волной, если амплитуда последней достаточно велика, см. (12), для двухслойной жидкости не реализуется совсем, так как взаимодействие с неустойчивой волной всегда оказывается неустойчивым, «+ а_ а < о . "Безусловная" модуляционная устойчивость и слабое . развитие неустойчивости (уединенная волна по одной амплитуде и локализованное возмущение по другой) возможна только при взаимодействии между очень длинным и очень короткими волнами, то есть в ситуации, близкой к длшшо-коротковолповому резонансу; скорее в:";"о, на практшсе, для гравитационных волн они реалйзовываться на могут.

Влияние взаимодействия между волнам проиллюстрировано на рис.4-5. На каждом из рисунков, эволюция поверхности раздела показана без учета (б) и с учетом (в) нелинейного взаимодействия между волнами. В начальный момент времени (а) поверхность задавалась в виде

Г) = Е А^ е"5* 4 С Л_ е"5- + С. С. , (3.2и4)

■6 = I к+ х , = 1 к_ х , и для случая (г1) эволюция , л_ определялась двумя

независимыми НУШ, а для (в) - системой (10). Координата х соответствует 5 . то есть х = е ( х + сд ь ) .

На рис.4 показано, как две модуляционно устойчивые волны в результате взаимодействия между ними теряют устойчивость. Видно, что, если волни эволюционируют независимо, то локализованное возмущение стремится рассеяться, а нелокальное - стать суммой синусоид с постоянными амплитудами; если же учитывать

О.Ш

аоо -

-одо ■

ю

20

30

а. Поверхность раздела в начальный момент.

о.ш

о.оо н

-0.10

10

20

30 X

б. Поверхность раздела в момент времени г = ва, . Эволюция определялась двумя независимыми НУШ (т. = г_ = о).

010-1

ово

-О 10

-.....;

о

I

10

20

31)

в. Поверхность раздела ъ момент времени £ = а-с, . Эволюция определялась системой РГС (10). Рис.4. Влияние нелинейного взаимодействия мевду волнами на их эволюцию.

И = 0.1, Н « 1., V = -2.5, )!+ = 0.92, к_ = 1.07, сс+ = - 0.49 , р+ = 6.41 , = ~ 13.2 , а_ = 0.60 , (!_ = -7.80 , у_ = 12.8 ,

С = 0.05 , С = е"

Угь1 /

<3 ■

0.04- \ААЛЛ/\/ШWVWwwv^--

О ОО -

-0.04

-.-,--1---1-

О 10 20 30 X

а. Поверхность раздела в начальный момент.

0.04

0.00

\ААА/\ААЛЛЛ/^ЛЛАДал/^--:-

-0.04 --1 -]-:--г

10 20 30 X

<3. Поверхность раздела в момент временя е = 8 ?, . Эволюция определялась двумя независимыми НУ111 (г+ = г_ = о).

0.04

0.00 -

-0.04

---1---1-----1-1-

О 10 20 30 X

в. Поверхность гудела в момент времени с ='8^, . Эволюция определялась системой РГС (10). Рис.5. Влияние малого возмущения парной (связанной через РГС) волны на эволюцию основной волны, | | / | л+ | = 0.1 , при большом отношении | г(. / (з+ | .

11 = 0.1, Н = 0.1, V = - Ь, ~ 6.5, к _ = 1.11, а = - 0.61 , /3+ = 29.9 , 7+ = - 9768 , (У_ 0.23 , |3_ = -9.54 , = 523 ,

с — 0.05 , = г.'2 у / д .

взаимодействие, то возмущения группируются и начинают формироваться уединенные волны. Рис.6 показывает, что дака слабое 1 возмущение еолны оказывает существенное влияние на еолну , если отношение | т+ / | » 1 .

Заклдчеииа

Исследовано влияние сдвиговой скорости на модуляцконруи устойчивость монохроматической еоиы, распространяющейся г.о поверхности раздела двухслойной кидкости ( на основе анализа устойчивости рв28нка нелинейного уравнения Шредингера, НУШ). Получена и после довзно обобхшсдая НУШ система взливейнах И!$|0Р8Н1ЩаЛЬЕНХ уравнений для амплитуд, опясыващвя зз8Е<;од'эйствке нескольких почти монохроматических волн, имеглцяс равше грушюше сксросга (ресонапс групповых скоростей, РГС). Система РГС, как и НУЕ, пригодна для волк в произвольной Ездассяпаишвой среда в области лвиейяой устойчивости волк, если только дисперсионное соотасйепне ы ( н ) допускает точки, о пзрадлалыг-ма касательными. Основные выводы исследований:

1. основной тертой, отлнчаюаей сл8бон8лннейнз9 волны в двухслойной ззккости от волн на свободной поверхности, является существование дкизгоческого взаимодействия меаду волной и верхней жидкость». Это взакмэдействкз подояительно влияет на устойчивость волн и его влияние тем сильнее, чем меньше отношение высот н (чем "блике" верхняя стенка). При небольших опюпешшх впсот (н < I) неустойчивость опрздалкэтся близостьп Фазовой скорости волны с к скорости газа V .

2. Волны в течениях с болькйки н • в целом более неустойчивы, вблизи у41г - сдвиговой скорости, ири которой происходит потеря линейной устойчивости, - возникают области более сальной (в- скаслз величины модуля коэффициента при шдйнейкостя & , карактвризукас.1 скорость роста возмуЕвнкй) неустойчивости. Неустойчивость . ь областях с больэзши значениями модуля р особенно важна, хг:с г ы; кмзнпо она наиболее вероятно мо:гзт повлечь га сойоЯ рогссгв.: сильно нелинейной неустойчивости, приводящей к ?«ктг: тытер-.-гнг,; для физически» прилокенай явлениям как пер-д'рцтке каг л и 1.с£ш.-д

к "снарядному" режиму течения. Появление больших значений ß дри сдвиговых скоростях V « 0.6 + 0.9 V хорошо согласуется с приводимыми в литературе экспершентальными данными о том, что неустойчивость в двухслойной жидкости начинается при скоростях V - 0.5 V,, .

вхр . lin

3. Система ITC для и волн, если только она не распадается на независимые НУШ или векторные НУШ, не является точно интегрируемой ( в смысле существования бесконечной серии законов сохранения). Показано, что наличие в асимптотическом разложении двух (или нескольких) различных дисперсий может "портить" интегрируемость.

Дальнейшие выводы относятся к системе из двух взаимодействующих волн ( n = 2 ).

4. Уединенные волны системы РГС не являются солитонами (если дисперсии волн не совпадают) и деформируются, при взаимных столкновениях. Области модуляционной неустойчивости и существования уединенных волн для системы РГС, в отличие от НУШ и векторного НУШ, не совпадают.

5. Численно обнаружен новый тип эволюции начального возмущения, "промежуточный" между рассеянием и образованием уединенных волн: уединенная волна, распространяющаяся по одной из амплитуд, ведет за собой локализованное возмущение другой амплитуды, не имеющее гладкой формы огибающей, но при этом почти не расплывающееся со временем (такие решения невозможны для НУШ и векторного НУШ).

6. Учет взаимодействия между волнами может очень существенно влиять на поведение воли, так как коэффициент нелинейного взаимодействия г может иногда превосходить коэффициент нелинейного самовоздействия ß на 2-3 порядка. Такие большие значения т объясняются тем, что условия резонанса групповых скоростей оказываются для двухслойной жидкости довольно близкими к условиям трехволнового резонанса. Критерием, определяющем, близость этих условий, является относительная величина сдвиговой скорости, * / V ' , где vm - разность скоростей, при которой линейно неустойчивыми становятся бесконечно длинные волны. Чтобы резонанс групповых скоростей не подавлялся трехволновым, происходящем в предыдущем порядке, следует рассматривать РГС в двухслойной жидкости только при разностях скоростей o.s < | v / v | < i .

7. Взаимодействие не жду волнами является да стабилизирующим фактором: возмущение. состоящзе нэ двух квазиыоногроматических волн с равными групповыми скоростями, почти всегда оказывается ыодуляционно неустойчивым. Внешние проявления неустойчивости остаются такими же, как и для неустойчивости, описываемой НУШ: возмущения группируются, образуя волновые пакеты или уединенные волны.

Публикации ш теме диссертации

1. Белютин C.B. Исследование нелинейной устойчивости стратифицированного горизонтального течения двух идеальных несжимаемых жидкостей. - Отчет ÏGMHC ИТ CÖ АН СССР. - Инв. № 029.00043810.

- Тюмень, 1990. - 31с.

2. Белютин C.B. Исследование нелинейной устойчивости стратифицированного горизонтального течения двух идеальных несжимаемых жидкостей. - Итоги исследования ТОШС ИТ СО АН СССР.Вып.I,

- Тюмень, 1990. - С.36-39.

3. Белютин C.B. Исследование нелинейной устойчивости ш,зиочного течения жидкости. - Итога исследований ИШС СО АН СССР.Вып.2.

- Тюмень, 1991. - С.54-59.

4. Белютин-C.B. Некоторые резонансные взаимодействия в двухслойной жидкости. - Отчет ИШС СО РАН. - Инв. № 029.^0010814. - Тюмень, 1992. - 30с.

5. Белютин C.B. Взаимодействие двух волн с равными групповыми скоростями. - Итоги исследований ИШС СО РАН.Bun.3. - Тюмень, 1992. - С.9-И.

6. Белютин C.B. Резонанс групповых _скоростей//Труды 2 семинара "Акустика неоднородных сред". - Динамика сплошной среди. -Вып.105. - Новосибирск, 1992. - С.51-54.

7. Белютин C.B. Резонанс групповых скоростей: эволюционные уравнения. - Отчет по НИР ИШС СО РАН. - № г.р. 01.90.0055072.

- Тюмень, - 1993, - 32 с.

8. Belyutin S.V. Nonlinear instability of stratified horizontal flow of two ideal incompressible Liquida. - Transactions of THMMM, No. 1. - Tyumen, 19Я0. - p. 32-">.

9. Belyutin S.V. Konlinear stability of the film flow of fluid. -Transactions of TIMM, Bo.2. - Tyunen, 1990. - P.«4-49.

10. ■lgxatolin H.I., Belyntin S.V. Konlinear stability of two superposed fluids' flow in horizontal darnel// froc. of int. conf. "Free-boundary problems in continues nedsanlcs". -HovosiblreJc, 1991. - V.90.

11. Belyutin S.V. Interaction of sonochroaatic waves with equal group velocities. - Transactions of ТМИМ, Но.Э. - Tyumen, 1992. - P.9-11.