Эффекты статистической памяти в хаотической динамике сложных дискретных систем негамильтоновой природы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Сложные системы

1.1 Нелинейные, хаотические и стохастические системы

1.2 Представления, модели и методы исследования сложных систем.

1.2.1 Временные серии.

1.2.2 Методы нелинейной динамики.

1.2.3 Показатель Ляпунова.

1.2.4 Нестационарность

1.2.5 Дискретность в сложных системах.

1.3 Эффекты памяти в сложных системах.

1.3.1 Долговременные корреляции.

1.3.2 Самоорганизация, спектр \/иа и самоорганизованная критичность.

1.4 Немарковские процессы в статистической физике конденсированных сред.

1.4.1 Метод ВКФ в физике конденсированных сред

1.4.2 Динамические переменные

1.4.3 Кинетические уравнения Цванцига-Мори в физике конденсированных сред и проекционные операторы

1.4.4 Обобщенное уравнение Ланжевена.

1.4.5 Шум в обобщенном уравнении Ланжевена

1.4.6 Вывод цепочки кинетических уравнений.

1.4.7 Параметр немарковости и его статистический спектр

2 Кинетическое описание дискретных стационарных случайных процессов в сложных системах негамильтоновой природы

2.1 Теория дискретных немарковских процессов.

2.2 Временная корреляционная функция

2.3 Геометрическое описание динамики векторов состояния

2.4 Вывод кинетического уравнения для временных корреляционных функций

2.5 Динамические ортогональные переменные и вывод цепочки конечно-разностных кинетических уравнений с памятью для временных корреляционных функций

2.6 Псевдогидродинамическое описание случайных процессов в сложных системах.

2.7 Параметр немарковости.

Выводы ко второй главе.

3 Кинетическая теория для нестационарных дискретных процессов

3.1 Метод оценки нестационарности процесса.

3.2 Вывод цепочки кинетических уравнений для нестационарных процессов

Выводы к третьей главе.

Актуальность исследования. В последнее десятилетие в развитии статистической физики наблюдается бурный рост прикладных исследований в междисциплинарных областях. Особенно сильно вырос интерес к изучению статистических свойств реальных сложных природных систем. С одной стороны это обусловлено интенсивными приложениями ^ методов статистической физики в химии, биологии, физиологии, медицине и других естественно-научных исследованиях. С другой стороны это вызвано потребностями различных областей современного естествознания, технологии и производства.

Систематические исследования свойств сложных систем были начаты сравнительно недавно, в 1990-е годы. В основном они опираются на методы и подходы статистической физики равновесных и неравновесных систем, нелинейной динамики, теории непрерывных и дискретных ► отображений, теории классического и квантового хаоса и др. Однако, в теоретических моделях, разработанных к настоящему времени в физике сложных систем, недостаточно были учтены некоторые фундаментальные особенности систем: дискретность, дальнодействующие корреляции, статистические эффекты памяти и немарковские свойства, быстрая и неожиданная смена режимов поведения системы (перемежаемость) и нестационарность. Широкое применение методов теоретической физики было сильно затруднено тем, что в приложении к реальным сложным системам недостаточно эффективно развиты методы теоретического анализа негамильтоновых систем.

Цель работы состоит в развитии негамильтонового подхода и построении статистической теории динамики реальных сложных систем с учетом эффектов статистической памяти и немарковости, дискретности, перемежаемости и нестационарности стохастического процесса. Практическая цель работы состояла в приложении разработанной теории к анализу динамики реальных сложных систем и построении практических методов исследования свойств статистической памяти в реальных системах. В работе была поставлена задача решения двух взаимосвязанных проблем. Первая проблема связана с принципиальной возможностью построения универсального подхода, позволяющего изучать широ-^ кий круг сложных систем живой и неживой природы с единой физической точки зрения. Этот подход должен опираться на фундаментальные пространственно-временные закономерности и инвариантные свойства в поведении сложных систем. Вторая проблема относится к разработке эффективных методов анализа и диагностики динамических свойств реальных сложных систем, предсказания кризисов и катастроф в их поведении.

Научная новизна работы заключается в следующем: I 1. Развит негамильтонов подход в изучении реальных дискретных сложных систем, основанный на конечно-разностных кинетических уравнениях. Впервые получена замкнутая цепочка кинетических конечно-разностных уравнений для стационарных и нестационарных ВКФ и функций памяти немарковского типа.

2. Методами статистической физики построена кинетическая теория дискретных стохастических процессов в сложных системах. Полученные кинетические уравнения представляют собой обобщение известной кинетической теории Цванцига-Мори в неравновесной статистической физике конденсированных сред на случай дискретных негамильто-новых статистических сложных систем.

3. Разработаны вычислительные алгоритмы нахождения фазовых портретов, спектров мощности функций памяти, статистического параметра немарковости, кинетических и релаксационных параметров для реальных сложных систем непосредственно из экспериментальных временных серий.

4. На основе теоретического анализа, количественных расчетов и вычислений для конкретных систем живой и неживой природы развиты принципиально новые методы анализа, диагностики и предсказания свойств статистических сложных систем. t Научная ценность и практическая значимость состоит в разработке универсальной физической концепции дискретных стохастических сложных систем немарковского типа. Развитые в работе теоретические методы позволяют вычислять ортогональные динамические переменные, спектры мощности функций памяти, статистический спектр параметра немарковости, спектральные, кинетические и релаксационные параметры для любых реальных сложных систем непосредственно из экспериментальных временных серий. Полученные результаты позволя-Ь ют исследовать свойства статистической памяти, дискретность, нестационарность и перемежаемость в реальных сложных системах. Практические приложения теории связаны с созданием и разработкой новых методов анализа, диагностики и предсказания свойств реальных сложных систем.

Содержание работы. Работа состоит из четырех частей. В первой главе приведен обзор основных теорий, используемых для описания динамики сложных систем. Во второй главе приводится вывод дис кретных кинетических уравнений немарковского типа для стационарных процессов. В третьей главе приводится вывод дискретных кинетических уравнений немарковского типа для нестационарных процессов. В четвертой главе представлено приложение теории к описанию динамики реальных сложных систем (исследование динамики сердечного ритма, сейсмических колебаний земной коры при землетрясениях и техногенных взрывах, исследование электроэнцефалограммы человека при эпилепсии).

Положения выносимые на защиту.

1. На основе идей, представлений и методов негамильтоновой физики дискретных стохастических немарковских систем разработана универсальная физическая концепция динамического описания сложных систем.

2. Развита статистическая теория кинетических процессов в реальных сложных системах с учетом дискретности, дальнодействующих временных корреляций, статистических эффектов памяти и нестационарности.

3. Разработаны вычислительные алгоритмы нахождения динамических, кинетических, спектральных, релаксационных параметров и характеристик реальных сложных статистических систем.

4. Предложены принципиально новые методы анализа и диагностики динамических свойств реальных сложных систем, предсказания кризисов и катастроф в их поведении.

Апробация работы. Теоретические и практические результаты работы были доложены на следующих конференциях и семинарах: NATO Advanced Research Workshop "Applications of statistical physics" (Budapest,

1999), "Unsolved Problems in Noise"(Washington, Bethesda, USA, 2002), "Необратимые процессы в природе и технике"(Москва, МГТУ им.Н.Э. Баумана, 1998, 2001), "Nonlinear dynamics and complex systems"(Минск, БГУ и Институт Физики АН Белоруссии, 1998-2002), 3rd Int. Conference and exhibition "Digital signal processing and its applications "(Москва,

2000), "V Int. Congress on Mathematical Modelling"(Дубна, 2002), "Медленные процессы гемодинамики: Пульсация и флуктуация сердечно - сосудистой системы"(Миасс, Челябинская область, 2000), XVIII Всероссийский Съезд физиологов России (Казань, 2001), "Современные возможности холтеровского мониторирования "(С-Петербург, 2002), "Физические проблемы экологии"(Москва, 2001), "Зондирование земных покровов и атмосферы авикосмическими средствами"(Муром, 2001).

Полученные результаты были включены в отчеты по грантам РФФИ (грант 02-02-16146), РГНФ (00-06-00005а), конкурсного центра при Санкт-Петербургском государственном университете (грант 97-014.0-12), НИОКР РТ (грант 06-6.6-98/2001(Ф)).

По теме диссертации опубликовано 20 статей и тезисов в международных и российских журналах, сборниках статей и тезисов докладов (см. список литературы). а

Выводы к четвертой главе

По результатам приложения теории дискретных немарковских процессов для анализа динамики сложных систем можно сделать следующие выводы. В качестве примера исследованы немарковские процессы в хаотической динамике кратковременных и долговременных серий RR-интервалов ЭКГ человека, в записях сейсмических колебаний земной коры и колебаний электрических потенциалов головного мозга человека при эпилепсии. Предлагаемый метод исследования основан на анализе ортогональных динамических переменных, их фазовых портретов, спектров функций памяти и спектров параметра немарковости, полученных из экспериментальных данных на основе теории, изложенной во второй и третьей главах. Показана возможность подробного качественного и количественного описания эффектов статистической памяти в динамике сложной системы.

Детально рассмотрены различные динамические состояния сердечнососудистой системы (здоровое сердце, инфаркт миокарда и некоторые другие болезни). В результате исследований обнаружены явные отличия в немарковских свойствах системы при различных состояниях. Это дает возможность разрабатывать более точные методы анализа сердечной деятельности по сравнению с существующими к настоящему времени.

Исследованы немарковские свойства различных состояний земной коры (спокойная земля, состояние земли перед сильным и слабым землетрясениями, колебания земной коры при техногенным взрыве). В результате исследований найдены заметные различия немарковских свойств для состояний земной коры перед землетрясением и спокойной земли, а также для сейсмограмм слабого землетрясения и техногенного взрыва.

В записях электроэнцефалограмм исследованы немарковские процессы при эпилептическом приступе. Обнаружено, что при приближении к эпилептическому припадку система постепенно переходит в немарковское состояние, что заметно при анализе изменения спектра параметра немарковости. После припадка система постепенно возвращается в нормальное состояние и значение параметра немарковости постепенно увеличивается (немарковость в системе уменьшается).

Проведенные исследования показали, что эффекты статистической памяти в хаотической динамике сложных систем имеют исключительно важное значение. Учет именно этих эффектов позволяет уловить тонкие специфические характеристики в поведении сложных систем, которые ускользают при использовании других методов. Все это создает надежную основу для разработки новых эффективных методов анализа, диагностики и предсказания кризисов и катастроф сложных систем живой и неживой природы.

Заключение

Приведем основные результаты работы.

1. В работе развит негамильтонов подход в изучении реальных сложных статистических систем, основанный на конечно-разностных кинетических уравнениях. Получена замкнутая цепочка кинетических конечно-разностных уравнений для стационарных и нестационарных ВКФ и функций памяти немарковского типа.

2. Методами статистической физики построена кинетическая теория дискретных стохастических процессов в сложных системах. Полученная цепочка конечно-разностных кинетических уравнений представляет собой обобщение известной кинетической теории Цванцига-Мори в неравновесной статистической физике конденсированных сред на случай дискретных негамильтоновых статистических сложных систем.

3. Разработаны вычислительные алгоритмы нахождения фазовых портретов, спектров функций памяти, статистического параметра немарковости, вычисления кинетических и релаксационных параметров для реальных сложных статистических систем непосредственно из экспериментальных временных серий.

4. На основе теоретического анализа, количественных расчетов и вычислений для конкретных статистических систем разработаны принципиально новые методы анализа, диагностики и предсказания свойств реальных сложных систем.

Благодарности

Огромное спасибо моему научному руководителю, действительному члену Академии Естествознания Российской Федерации, д.ф.-м.н., Соросовскому профессору Ренату Музиповичу Юльметьеву за отличную научную школу, за неоценимую помощь в постановке задачи, организации теоретических и практических исследований, обсуждение полученных результатов; д.ф.-м.н., профессору P.P. Нигматуллину за предоставление экспериментальных данных по землетрясениям и техногенным взрывам, действенную помощь при обсуждении результатов и ценные советы; профессору Питеру Хангги (Институт Физики, университет г. Аугсбурга, Германия) за творческое сотрудничество, действенную помощь при обсуждении результатов и ценные советы. г г

1. Эткинс П.У. Порядок и беспорядок в природе // М.: Мир, 1987.-223с.

2. Badii R., Politi A. Complexity: Hierarchical structures and scaling in physics // Cambridge Univ. Press, 1997.-332p.

3. Yaneer B.-Y. Dynamics of complex systems // Addison-Wesley, 1991.1 848p.

4. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов // Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001.-199с.

5. Zvanzig R. Nonequilibrium statistical mechanics // Oxford Uinv. Press, 2001.-222p.

6. Gilmore R. Topological analysis of chaotic dynamical systems // Rev.1.of Modern Phys. 1998. - Vol.70-N.4.- P.1455-1529.

7. Grasberger P., Schriberer Т., and Schaffrath C. Nonlinear time series analysis // Int. Journal of Bifurcation and Chaos. 1991. - Vol.l-N.3.-P.521-547.

8. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса // М.: Наука, 1988.- 368с.

9. Abarbanel H. The analysis of observed chaotic data in physical systems // Reviews of Modern Physics. 1993. - Vol.65-N.4.- P.1331-1388.

10. Ван Кампен H. Стохастические процессы в физике и химии // М: Высшая школа, 1990.- 380с.

11. Hegger R., Kantz Н., and Schreiber Т. Practical implementation of nonlinear time series methods: The TISEAN package // Chaos. 1999.- Vol.9 P.413.

12. Gradisek J., Siengert S., Frendrich R., and Grabec I. Analysis of time series from stochastic processes // Phys. Rev. E. 2000. - Vol.62-N.3.~ P.3146-3155.

13. Cencini M., Falconi M., Olbrich E., Kantz H., and Vulpani A. Chaos of noise: Difficulties of distinction // Phys. Rev. E. 2000. - Vol.62-N.l.-P.427-437.t

14. Дмитриев В.П. Стохастическая механика // М.: Высшая школа, 1990

15. Hanggi P. and Thomas Н. Stochastic Processes: Time evolution, symmetries and linear response // 1982. Physics Reports. - Vol.88-N.4.- P. 1982.

16. Hanggi P. and Jung P. Colored noise in dynamical systems // Advances in Chemical Physics. LXXXIX. - Vol.239-326 P.1995.

17. Адомиан Д. Стохастические системы // М.: Мир, 1987.-376с.

18. Розанов Ю.А. Стационарные случайные процессы // М.: Наука, 1963.-284с.

19. Timashev S.F. Science of complexity: Phenomological basis and possibility of application to problems of chemical engineering //

20. Theoretical Foundation of Chem. Engineering. 2000. - Vol.34 P.301-312.

21. Parkhutik V., Timashev S.F. Kinetics of porous silicon grows studied using flicker-noise spectroscopy // Journal of Applied Physics. 2000. -Vol.87 P.7558-7566.

22. Бендат Д.С., Пирсол А.Д. Прикладной анализ случайных данных // М.: Мир, 1989.-540с.

23. Bezruchko В., Dikanev Т. , and Smirnov D. Role of transient processes for reconstruction of model equations from time series // Phys. Rev. E.- 2001. Vol.64-N.3.- P.036210.

24. Yulmetyev R.M., Gafarov F.M. Dynamics of the information entropy in random processes // Physica A. 1999. - Vol.273 P.416-438.

25. Yulmetyev R.M., Gafarov F.M. Markov and non-Markov processes incomplex systems by the dynamical information entropy // Physica A. -1999. Vol.274 P.381-384.

26. Yulmetyev R.M., Gafarov F.M. Dynamical behavior and frequency spectra of the short-time human memory // Nonlin. Phenom. in Complex Systems. 2000. - Vol.3-N.l.- P.49-54.

27. Yulmetyev R.M., Yulmetyeva D.G., Gafarov F.M. Dynamical and г frequency peculiarities of the Shannon entropy for the chaotic dynamicsof RR-intervals in human ECG // Nonlin. Phenom. in Complex Systems.- 200. Vol.3-N.3.- P.284-288.

28. Yulmetyev R.M., Gafarov F.M., Yulmetyeva D.G., Emeljanova N.A. Intensity approximation of random fluctuation in complex systems // Physica A. 2002. - Vol.303-N.3-4,- P.427-438.

29. Ragwitz M., and Kantz H. Markov models from data by simple nonlinear time series predictors in delay embedding spaces // Phys. Rev. E. 2002. - Vol.65-N.5.- P.056201.

30. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence, Lecture Notes in Math // New York, Spinger, 1981 -898p.

31. Quian Quiroga R., Arnhold J., Lehnertz K., and Grassbergert

32. P. Kulback-Leibler and renormalized entropies: Applications to electroencephalograms of epilepsy patients // Phys. Rev. E. 2000. -Vol.62-N.6.- P.8380.

33. Shannon C.E. A Mathematical Theory of Communication // The Bell System Technical Journal. 1948. - Vol.27 P.3T9.

34. Tsallis C. Nonextensive statistics: theoretical, experimental and computational evidences and connections // Brazilian Journal of Physics. 1999. - Vol.29-N.l.- P.l.

35. Grassberger P. Generalizations of the Hausdorff Dimension of Fractal Measures // Phys. Lett. A. 1985. - Vol.107 P.101.

36. Schriber T. Interdisciplinary application of nonlinear time series methods // Physics Reports. 1999. - Vol.308 P.l.

37. Paspard P. and Wang X--J. Noise, chaos, and (e, r)-entropy per unit r time // Physics Reports. 1993. - Vol.235-N.6.- P.291.

38. Schriber Т., Kaplan D. T. Signal separation by nonlinear projections: the fetal electrocardiogram // Phys. Rew. E. 1996. - Vol.53-N.5.- P.R4326.

39. Schreiber T. and Schmitz A. Classification of time series data withnonlinear similarity measures // Phys. Rev. E. 1997. - Vol.79-N.8.-P. 1475-1478.

40. Cuellar M.C., and Binder P.-M. Reducing noise in discretized time series // Phys. Rev. E. 2001. - Vol.64-N.4.- P.046211.

41. Manuca R., Savit R. Stationarity and nonstationarity in time series analysis // Physica D. 1996. - Vol.99 P.134-161.

42. Ни K., Ivanov P., Chen Z., Carpena P., and Stanley H. Effects of trends on detrended fluctuation analysis // Phys. Rev. E. 2001. - Vol.64-N.l.-P.011114.

43. Gribkov D., and Gribkova V. Learning dynamics from nonstationary time series // Phys. Rev. E. 2000. - V0I.6I-N.6.- P.6538-6545.

44. Ignaccolo M., Grigolini P., and Rosa A. Sporadic randomness: The f transition from the stationary to the nonstationary conditions // Phys.

45. Rev. E. 2001. - Vol.64-N.2.- P.026210.

46. Chen Z., Ivanov P.Ch., Ни K., Stanley H. Effects of nonstationarities on detrended fluctuation analysis // Phys. Rev. E. 2002. - Vol.65-N.4.~ P.041107.

47. Verdes P.F., Granito P.M., Navone H.D., and Ceccatto H.A. Nonstationary time series analysis: Accurate Reconstruction of driving forces // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol.87-N.12,- P.124101.

48. Kennel M.B., and Mees A.I. Testing for general dynamical stationarity with a symbolic data compression technique // Phys. Rev. E. 2000. -Vol.61-N.3.- P.2563-2568.

49. Хармут X. Применение методов теории информации в физике // М.: Мир, 1989.-344с.

50. Ohira Т., and Yamane Т. Delayed stochastic systems // Phys. Rev. E. 2000. - Vol.61-N.2.- P.1247-1257.

51. Stanislavsky A.A. Memory effects an macroscopic manifestation of randomness // Phys. Rev. E. 2000. - Vol.61-N.5.- P.4752-4759.

52. Heneghan C., and McDarby G. Establishing the relation between detrended fluctuation analysis and power spectral density analysis for stochastic processes // Phys. Rev. E. 2000. - Vol.62-N.5.- P.6103-6110.

53. Rangarian G., Ding M. Integrated approach to the assessment of long range correlation in time series data // Phys. Rev. E. 2000. - Vol.61-N.5.- P.4991.

54. Федер E. Фракталы // M.: Мир, 1991.-254c.

55. Николас Г., Пригожин И. Познание сложного // М.: Мир, 1990.-512с.

56. Хакен Г. Информация и самоорганизация: Макроскопический подход к сложным системам // М.: Мир, 1991.-240с.

57. Bak P., Tang С., Wiesenfeld С. Self-organized criticality: An explanation of 1 /и noise // Phys. Rev. Lett. 1987. - Vol.59-N.4.- P.381.

58. Вак P., Tang С., Wiesenfeld С. Self-organized criticality // Phys. Rev. E. 1988. - Vol.38-N.l.- P.364-374.

59. Lowen S.B. and Tech M.C. Fractal renewal processes generate 1 ju noise // Phys. Rev. E. 1993. - Vol.47-N.2.- P.992-1001.

60. Lowen S.B. and Tech M.C. Fractal Shot Noise // Phys. Rev. Lett. -1989. Vol.63-N.17,- P. 1755-1759.

61. Zhang S. 1 /fa fluctuation in a ricepile model // Phys. Rev. E. 2000. -Vol.61-N.5.- P.5983.

62. Ivanov P.Ch., Amaral L., Goldberger A., Rosenblum M., Stanley H., Struzik Z. From 1/f noise to multifractal cascades in heartbeat dynamics // Chaos. 2001. - Vol.ll-N.3.- P.641-652.

63. Viera M. de S. Simple deterministic self organized system // Phys. Rev. k E. 2000. - V0I.6I-N.6.- P.R6056-R6059.

64. Bak P., Christensen K., Danon L., and Scanlon T. Unified scaling law for earthquakes // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol.88-N.17,- P. 17805.

65. Lubeck S. Crossover phenomena in self-organized critical sandpile models // Phys. Rev. E. 2000. - Vol.62-N.5.- P.6149-6154.

66. Flanagan J.A. Self-organized criticality and self-organized map // Phys. Rev. E. 2001. - Vol.63-N.3.- P.036130.

67. Gabrielli A., Caldarelli G., and Pietronero L. Invasion percolation with temperature and the nature of self-organized criticality in real systems // Phys. Rev. E. 2000. - Vol.62-N.6.- P.7638-7641.

68. Arenas A., Guilera A.D., Perez C.J., and Redonto F.V. Self-organized evolution in a socioeconomic environment // Phys. Rev. E. 2000. -Vol.61-N.4.- P.346.

69. Koleva M.K., Covachev V.C. Common and different features between the behavior of the chaotic dynamical systems and the l//a-tupe noise // Fluctuation and noise letters. 2001. - Vol.l-N.2.- P.R131-R149.

70. Gleiser P.M., Tamarit F.A., Cannas S.A. Self-organized criticality in a model of biological evolution with long-range interactions // Physica A.- 2000. Vol.275 P.272-280.ft

71. Boettcher S. and Paczuzki M. Ultrametricity and memory in a solvable model of self-organized criticality // Phys. Rev. E. 1996. - Vol.54-N.2.-P.1082-1095.

72. Povinelli M.L., Coppersmith S.N., Kadanoff L.P., Nagel S.R., and Venkataramani S.C. Noise stabilization of self-organized memories // Phys. Rev. E. 1999. - Vol.59-N.5.- P.4970-4982.

73. Марков A.A. Распространение закона больших чисел на величины зависящие друг от друга // Изв. физ.-мат. об-ва Казанского университета. 1906. - Vol.l5-N.4.- Р.135-156.

74. Zwanzig R. Time-correlation functions and transport coefficients in statistical mechanics // Annual review of physical chemistry. 1965.- Vol.16 P.67-102.

75. Mori H. Transport, collective motion and brownian motion. // Progr. ^ Theoret. Phys. 1965. - Vol.33-N.3.- P.423-455.

76. Mori H. A continued-fraction representation of the time- correlation function // Progr. Theor. Phys. 1965. - Vol.34-N.3.- P.399-416.

77. Robertson B. Equation of motion in nonequilibrium statistical mechanics // Phys. Rev. 1966. - Vol.l44-N.l.- P.151-161.

78. Lee M.H. Derivation of the generalized Langevin equation by a method of recurrence relations // J. Math. Phys. 1983. - Vol.24 P.2512-2514.

79. Lee M.H. Ficks Law, Green-Kubo formula, and Heidelberg's equations of motion // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol.85 P.2422-2425.

80. Lee M.H. Heidelberg, Langevin, and current equations via the recurrence relations approach // Phys. Rev. E. 2000. - Vol.61 P.3571-3578.

81. Lee M.H. Generalized Langevin equation equation and recurrence relations // Phys. Rev. E. 2000. - Vol.62 P.1769-1772.

82. Lee M.H., Hang J., and Florenco J. Method of recurrence relation and applications to many-body problems // Physica Scripta. 1987. - Vol.19 P.498-504.

83. Lee M.H. Can the velocity autocorrelation function decay exponentially Phys. Rev. Lett. 1983. - Vol.51 P.1227-1230.

84. Kawasaki K., Gunton J.D. Theory of nonlinear shear viscosity and normal stress effects // Phys. Rev. A. 1973. - Vol.8-N.3.- P.2048-2064.

85. Akeasu A.Z., Daniels E. Fluctuation analysis in simple liquids // Phys. Rev. A. 1969. - Vol.2-N.3.- P.962-975.

86. Jhon M.S., Forster D. A kinetic theory of classical simple liquids // Phys. Rev. A. 1975. - Vol.l2-N.l.- P.254-266.

87. Braun E. On the statistical mechanical theory of brownian motion // Physica. 1976. - Vol.33-N.2.- P.528-546.

88. Mazur P., Oppenheim I. Molecular theory of brownian motion // Physica. -• 1970. Vol.50-N.2.- P.241-259.

89. Kametani К., Shimizu H. Study of dipolar relaxation by a continued fraction representation of the time correlation function //J. Phys. Soc. Japan. 1971. - Vol.4-N.30,- P.1036-1048.

90. Юльметьев P.M. Описание магнитной релаксации спинов в жидкостях на основе идеи Боголюбова об иерархии времен релаксации // ТМФ. 1977. - Vol.2-N.30,- Р.264-281.

91. Kawasaki К. Mode coupling and critical dynamics // Phase transition and critical phenomena. 1976. - Vol.5a P.l-420.

92. Arecchi F.T., Rodari G.S., Sona A. Statistics of the laser radiation at threshold // Phys. Lett. A. 1967. - Vol.25-N.l.- P.59-60.

93. Michler E., Hahn H., Schofield P. Calculation of the neutron scattering law of liquid aluminium //J. Phys. F. 1986. - Vol.l6-N.4.- P.381-398.

94. Sears V.F. Continued fraction representation for slow neutron scattering // Canad. J. Phys. 1969. - Vol.47-N.2.- P.199-208.

95. Novikov A.G., Savostin V.V., Shimkevich A.L., Yulmetyev R.M., Yulmetyev T. R. Coherent effects and relaxation processes in liquid potassium // Physica B. 1996. - Vol.228 P.312.

96. Хустнутдинов H.P., Юльметьев P.M. Спектр параметра немарковости для гидродинамических систем // ТМФ. 1995. - Vol.l05-N.2.-Р.292.

97. Shurygin V.Yu., Yulmetyev R.M. The spectrum of the non-Markovity parameter // Physics Letters A. 1993. - Vol.174 P.433.

98. Shurygin V.Yu., Yulmetyev R.M. and Vorobjev V.V. Physical criterion of the degree of non-Markovity of relaxation processes in liquids // Physics Letters A. 1990. - Vol.148-N.3-4,- P.199-203.

99. Zwanzig R. Statistical mechanics of irreversibility // Lect. Theor. Phys. 1960. - Vol.3 P.106-141.

100. Van Hove L. Quantium-mechanical perturbation giving rise to a statistical transport equation // Physica. 1955. - Vol.21-N.7.- P.343-354.

101. Copley J. R.D., Lovsey S.W The dynamic properties of monoatomic liquids // Rep. Prog. Phys. 1975. - Vol.38-N.4.- P.461-559.

102. Tankeswar K., Dubey G.S., Pathak K.N. Collective density excitation in liquid aluminium // J. Phys. C. 1988. - Vol.21-N.12.- P.L811-L814.

103. Chung C.H., Yip S. Generalized hydrodynamics and time correlation functions // Phys. Rev. 1969. - Vol.l82-N.l.- P.323-339.

104. Юльметьев P.M. Исследование корреляций частиц в жидкостях методом сокращенного описания: Автореф. дис. . докт. физ.-мат. наук.-Киев, 1980.-41 с.

105. Юльметьев P.M. Описание магнитной релаксации спинов в жидкостях на основе идеи Боголюбова об иерархии времен релаксации // ТМФ. 1977. - Vol.30-N.2.- Р.264-281.

106. Brinati J.R., Mizrahi S.S., Prataveria G.A. Non-Markovian analysis of coherence in a driven two-level atom // Phys. Rev. A. 1994. - Vol.50 P.3304-3311.

107. Brinati J.R., Mizrahi S.S., Prataveria G.A Effects of temperature on absorption line-shape function for driven two-level atoms: A non-Markov treatment // Phys. Rev. A. 1995. - Vol.52 P.2804-2810.

108. Brinati J.R., Mizrahi S.S., Prataveria G.A. Susceptibility of strongly driven two-level atoms: a non-Markovian analysis // Phys. Rev. A. -1997. Vol.56 P.322-330.

109. Yulmetyev R.M., Khusnutdinov N.R. Statistical spectrum of the non-Markovity parameter for simple model systems // J. Phys. A. 1994. -Vol.27 P.5363.I

110. Yulmetyev R., Hanggi P., and Gafarov F. Stochastic dynamics of time correlation in complex systems with discrete current time. // Phys. Rev. E. 2000. - Vol.62-N.5.- P.6178-6194.

111. Yulmetyev R., Hanggi P., and Gafarov F. Quantification of heart rate variability by discrete non-stationary non-Markov stochastic processes // Phys. Rev. E. 2002. - Vol.65-N.4.- P.046107.

112. Yulmetyev R., Hanggi P., and Gafarov F. Stochastic processes of demarkovization and markovization in chaotic signals of the human brain activity from EEG's at epilepsy, принято к опубликованию в ЖЭТФ (2002).

113. Yulmetyev R., Hanggi P., and Gafarov F. Non-Markov Stationary Time Correlation in Complex Systems with Discrete Current Time // Nonlin. Phenom. Complex Syst. 2001. - Vol.4-N.4.- P.412-423.

114. Yulmetyev R., Hanggi P., and Gafarov F. Statistical theory of non-stationary time correlation in complex systems with discrete time j( Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2002. - Vol.5-N.2.- P.129.

115. Ишмурзин Г.П., Латфуллин И.А., Юльметьев P.M., Гафаров Ф.М. Анализ вариабельности ритма сердца больных острым инфарктом миокарда и стенокардией напряжения // Вестник аритмологии. -2000. Vol.16 Р.41-43.

116. Юльметьев P.M., Гафаров Ф.М. Методы исследования состояния сердечно сосудистой системы на основе долговременных эффектовк памяти // Вестник аритмологии. 2002. - Vol. 27 Р.97-98.

117. Применение новой математической модели вариабельности сердечного ритма к кратковременным и долговременным спектрам ЭКГ человека //в сборнике докладов XVIII съезда физиологического общества им. И.П. Павлова, Казань, 25-28 сентября, 2001, стр. 462463

118. R. Yulmetyev, A. Mokshin and F. Gafarov. Mathematical modelling of seismic phenomena by discrete non-Markov nonstationary processes //в сборнике докладов V Int. Congress on Mathematical Modelling, Дубна, 21-23 сентября, 2002, P. 41

119. Graber H., Projection operator technique in Nonequilibgrium Statistical mechanics, Springer Tracts in Modern Physics, vol. 95, (Springer Verlag,Berlin) New York, 1982f

120. Рид M., Саймон Б., // Методы современной математической физики, М:Мир, 1997, т.1, -357с.

121. Johansen A., Sornette D. Acoustic Radiation Controls Dynamic Friction: Evidence from a Spring-Block Experiment // Phys. Rev. Lett. 1999. - Vol.82-N.25,- P.5152.

122. Lown B.and Verrier R.L. Neural activity and ventricular fibrillation // ' N.Engi.J.Med. 1976. - Vol.294 P.1165.

123. Luczak H., and Lauring W.J. An analysis of heart rate variability // Ergonomics. 1973. - Vol.16 P.85.

124. Heart rate variability. Standards of Measurment, Physiological Interpretation and Clinical Use. // Circulation. 1996. - Vol.93 P.1043.

125. Peng C.-K., Havlin S., Stanley H.E., and Goldberger A.L. Quantification of scaling exponents and crossover phenomena in non-stationary heartbeat time series. // Chaos. 1995. - Vol.5 (1) P.82.

126. Thurner S., Feurstein M., and Teich M. Multiresonance Wavelet Analysis of Heartbeat Intervals Discriminates Healthy Patients from Those with Cardiac Pathology. // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol.80 P. 1544.

127. Corr P.B., Yamada K.A., and Witkowski F.X. in The Heart and Cardiovascular System, ed. by H.A. Fozzard, E. Haber, R.B. Jennings, A. N. Katz, and H.E. Morgan, (New York, Raven Press, 1986) 1343-1403.

128. Levy M.N., and Schwartz P.J., eds. Vagal control of the heart: Experimental basis and clinical implications // Armonk, Futura, 1994

129. Myers G.A., Martin G.J., Magid N.M. et al., Power spectral analysis of heart rate variability in sudden cardiac death: comparison to other methods // IEEE Trans. Biomed. Eng. 1986. - Vol.33 P.1149.

130. Martin G.J., Martin N.M., Myers G.A. et al. Heart rate variability and sudden death secondary to coronary artery disease during ambulatory ECG monitoring. // Am. J. Cardiol. 1986. - Vol.60 P.86.

131. Singers D.H., and Ori Z. Heart rate variability // Armonk, Futura, 1995

132. Kobayashi M., and Musha T. 1/f fluctuation of heart beat period. // IEEE Trans. Biomed. Eng. 1982. - Vol.29 P.456.

133. Turcott R.G. and Teich M.C. Fractal character of the Electrocardiogram: Distinquishing Hearth-Failure and Normal Patients. // Ann. Biomed. Eng. 1996. - Vol.24 P.269.

134. Viswanathan G.M., Peng C.-K., Stanley H.E., and Goldberger A.L. Deviations from uniform power low scaling in non-stationary time series. // Phys. Rev. E. 1997. - Vol.55-N.- P.845.

135. Yamamoto Y., and Hudson R.L. Coarse-graining spectral analysis: new method for studying heart rate variability //J. Appl. Physiol. 1991. -Vol.71 P.1143.

136. Babloyantz A., and Destexhe A. Is the normal heart a periodic oscillator? // Biol. Cybern. 1988. - Vol.58 P.203.

137. Stefanovska A., and Bracic M. Physics of the human cardiovascular system. // Contemp. Phys. 1999. - Vol.40 P.31.

138. Khlebnikov S. Dynamics of lattice spins as a model of arrythmia. // Phys. Rev. E. 1999. - V0I.6O-N.- P.7262.

139. Ivanov P.Ch., Goldberger A.L., Havlin S., Peng C.-K., Rosenblum M.G., and Stanley H.E., in Wavelets in Physics ed. by H. van der Berg (Cambridge University Press, Cambridge, 1999);

140. Thurner S., Feurstein M.C., Lowen S.B., and Teich M.C. Receiver-Operating Characteristic Analysis Reveals Superiority of Scale-Dependent Wavelet and Spectral Measures for Assessing Cardiac Dysfunction // Phys. Rev. Lett. 1998. - V0I.8I-N.- P.5688.

141. Peng C.-K., Bylderev S.V., Havlin S., Simons M., Stanley H.E., and Goldberger A.L. On the mosaic organization of DNA sequences. // Phys. Rev. E. 1994. - Vol.49 P.1691.

142. Absil P.-A., Sepulchre R., Bilge A., and Gerard P. Nonlinear analysis of cardiac rhythm fluctuations using DFA method. // Physica A. 1999. - Vol.272 P.235.

143. Kotani K., Takamasu K., Ashkenazy Y., Stanley H.E. and Yamamoto Y. Model for cardiorespiratory synchronization in humans // Phys. Rev. E. 2002. - Vol.65-N.5.- P.051923.

144. Nunez P.L. Neocortical Dynamics and Human EEG Rhythms // New York, Oxford University Press, 1995

145. Tegmark M. Importance of quantum decoherence in brain processes // Phys. Rev. E. 2000. - Vol.61-N.4.- P.4194.

146. Quiroga R.Q., Arnhold J., Lehnertz K., and Grassberger P. Kulback-Leibler and renormalized entropies: Applications to electroencephalograms of epilepsy patients // Phys. Rev. E. 2000. -Vol.62 P.8380.

147. Robinson P.A., Rennie C.J., Wright J.J., Bahramali H., Gordon E., and Rowe D.L. Prediction of electroencephalographic spectra from neurophysiology // Phys. Rev. E. 2001. - Vol.63-N.2.- P.021903.

148. Lehnertz K. and Elger C.E. Can epileptic seizures be predicted? Evidence from nonlinear time series analysis of brain activity // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol.80-N.22,- P.5019.

149. Lai Y.- C., Osorio I., Harrison M., and Frei M. G. Correlation-dimension and autocorrelation fluctuations in epileptic seizure dynamics // Phys. Rev. E. 2002. - Vol.65-N.3.- P.031921.