Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка

Тарасов, Василий Евгеньевич

Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Тарасов, Василий Евгеньевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка»

Автореферат диссертации на тему "Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ имени Д.В. СКОБЕЛЬЦИНА

На правах рукописи УДК 530.1

4вээиии ¡Сур О Со<

Тарасов Василий Евгеньевич

МОДЕЛИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ С ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

Специальность 01.04.02 Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 9 СЕН 2011

Москва-2011

4855060

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте ядерной физики имени Д.В. Окобельцина, Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН Волович Игорь Васильевич (МИ имени В.А. Стеклова РАН)

доктор физико-математических наук, профессор

Славнов Дмитрий Алексеевич (МГУ имени М.В. Ломоносова)

доктор физико-математических наук, профессор

Фаустов Рудольф Николаевич (ВЦ имени А.А. Дородницына РАН)

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет

сертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ имени М.В.Ломоносова, дом 1, строение 2, физический факультет, Северная физическая аудитория.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова.

Защита состоится

на заседании дис-

диссертационного совета Д

профессор

Ученый секретарь

Автореферат разослан

Ю.В. Грац

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время наблюдается заметный рост интереса физиков теоретиков к методам дробного математического анализа. В первую очередь это обусловлено многочисленными эффективными приложениями интегро-дифференцирования дробного порядка к описанию широкого класса физических процессов и явлений, имеющих место в системах со степенной нелокальностыо, со степенной памятью и фрактальностью.

Актуальной задачей современной теоретической физики является исследование явлений и систем, характеризующихся нелокальностыо, эредитарностыо, немарковостью, фрактальностью, негамильтоновостыо. Последние годы уделяется большое внимание исследованиям степенной нелокальное™ и степенной долговременной памяти. Эти свойства изучаются для систем различной физической природы, относящихся к различным масштабам (от наносистем до космологии), для квантовых и классических систем, для непрерывных и дискретных. В настоящее время зарождаются основные физические концепции и создаются математические методы одного из современных направлений теоретической физики, называемого дробной динамикой (fractional dynamics). Фактически в настоящее время рождается новый раздел физики - дробная динамика. Правда этот термин еще не является устоявшимся в русскоязычной научной литературе, что нельзя сказать об англоязычной. В этом разделе теоретической физики рассматриваются в первую очередь общие свойства физических процессов со степенной памятью, со степенной нелокальностью и фрактальностью. При этом изучаются новые динамические свойства систем различной физической природы и масштабов, не зависящие от материала среды или типа физической системы, в котором осуществляется эта динамика.

Свойствами и явлениями, описываемыми предлагаемыми в диссертации моделями теоретической физики, являются (а) долговременная память, эредитар-

ность, немарковоская динамика; (б) степенная пространственная нелокальность и нелокальные взаимодействия степенного типа; (в) фрактальность структуры и ее нецелая топологическая размерность. Основой описания указанных явлений и свойств являются методы интегро-дифференцирования дробного порядка и дробного математического анализа, история которого насчитывает более трехсот лет и восходит к исследованиям большого числа известных математиков, таких как Лейбниц, Лиувилль, Риман, Абель, Рисс, Вейль. Интегралы и производные нецелого порядка, а также дробные интегро-дифференциальные уравнения находят множество применений в современных исследованиях в физике и механике. Новые возможности в математике и теоретической физике появляются, когда порядок а дифференциального оператора О" или интегрального оператора 1° становится произвольным параметром. При этом многие из обычных свойств дифференцирования целого порядка О" не выполняются для операторов дробного дифференцирования Например, правило дифференцирования произведения, правило дифференцирования сложной функции, полугрупповое свойство, очевидные для производной первого порядка Бх, не имеют места для операторов О™. Однако существуют аналоги этих правил и свойств, задаваемые довольно громоздкими соотношениями. Дробный математический анализ является важнейшим методом для построения моделей теоретической физики, в которых интегро-дифференциальные операторы дробного порядка по времени и координатам описывают степенную долгосрочную память и пространственную нелокальность сложных сред, процессов и явлений.

Нелокальные взаимодействия изучались как в дискретных системах, так и в их непрерывных аналогах, начиная с работ Дайсона, Накано и Такахагаи. Физические процессы с долговременной памятью исследовались в вязкоупругих средах, начиная с работ Больцмана, Вольтера и Работнова. Фрактальные распределения полей и частиц активно изучаются, начиная с работ Мандельброта. При

этом оставались нерешенными проблемы описания динамики фрактальных сред и распределений, динамики диэлектрических сред с универсальным откликом, неголономных систем со степенной памятью, взаимосвязи дискретных отображений с памятью и уравнений движения, согласованного описания интегральных и дифференциальных векторных операций дробного порядка, получения уравнений дробной кинетики из статистической механики, связи дискретных и непрерывных моделей физических систем с нелокальностями степенного типа, марковской динамики гамильтоновых и негамильтоновых квантовых систем со степенным экранированием окружения, квантования интегро-дифференцирования дробного порядка и некоторые другие.

Цель работы. Целью работы является

Разработать метод построения теоретических моделей, позволяющий описывать динамику фрактальных сред и распределений массы, заряда, различных типов полей и частиц, и применить этот метод для описания фрактальных систем в гидродинамике, в механике твердого тела, в электродинамике, в аналитической механике, в статистической механике.

Построить модели нелокальных взаимодействий для дискретных физических систем, таких как кристаллические решетки и линейные цепочки, которые в непрерывном пределе будут описываться уравнениями движения с производными дробного порядка.

Развить методы дробного векторного математического анализа и дробного внешнего исчисления для построения моделей физических систем со степенной нелокальностью и применить эти методы для описания моделей нелокальных систем в электродинамике, статистической механике, аналитической механике.

Построить теоретические модели систем различной физической природы, обладающих степенной памятью, а именно, (а) диэлектрических сред, подчиняющихся

законам универсального отклика; (б) механических систем с неголономными связями и долговременной степенной памятью; (в) физических систем с периодическими толчками и степенной памятью, уравнения движения которых допускают представление в виде дискретных отображений с памятью.

Построить модели марковских гамильтоновых, негамильтоновых и открытых квантовых систем со степенным экранированием окружения и разработать метод вейлевского квантования иитегро-дифференцирования дробного порядка для построения квантовых аналогов моделей со степенными нелокальными свойствами.

Научная новизна. Новизна научных результатов, полученных автором и выносимых им на защиту, определяется следующим.

а) Построены принципиально новые модели описания динамики фрактальных сред и распределений, в которых они представляются специальными сплошными средами, при этом их характеристики и динамические законы описываются интегральными уравнениями дробных порядков равных нецелым (массовой, зарядовой, частичной и др.) размерностям сред и распределений.

б) Впервые разработан метод получения в непрерывном пределе моделей нелокальных сплошных сред, описываемых интегро-дифференцированием нецелого порядка по координатам, из уравнений движения дискретных систем (таких как линейные цепочки и кристаллические решетки) с нелокальными взаимодействиями степенного типа.

в) Впервые взаимно согласовано определены дифференциальные и интегральные векторные операции дробного порядка, на их основе сформулированы и доказаны обобщения интегральных теорем Грина, Стокса, Гаусса. Используя методы дробного векторного анализа, нами были построены новые модели статистической механики и электродинамики со степенными нелокальностями.

г) Впервые построены модели градиентных и гамильтоновых систем дробного порядка, позволяющие сводить изучение широкого класса неградиентных и

негамильтоновых систем к исследованию свойств обобщенных потенциалов и гамильтонианов.

д) Предложен новый метод описания электромагнитных полей и диэлектрических средах, подчиняющихся законам универсального отклика, основанный на использовании уравнений с интегро-дифферепцированиями дробного порядка, который явно выражается через экспериментально измеримые показатели стеленной зависимости универсального отклика.

е) Впервые построены модели физических систем, на которые наложены него-лономные связи с памятью, описываемой интегро-дифференцированиями Римапа-Лиувилля и Капуто дробного порядка.

ж) Впервые построены без каких-либо аппроксимаций модели дискретных систем (отображений) с памятью, эквивалентные моделям физических систем с периодическими толчками и со степенной памятью, описываемой интегро-дифферен-цированием дробного порядка.

з) Впервые построены модели квантовых гамильтоновых и негамильтоновых систем со степенным экранированием окружения, в которых использовались дробные степени супероператоров.

и) Впервые реализовано вейлевское квантование интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля и Лиувилля дробного порядка, позволяющее описывать квантовые аналоги классических систем со степенными нелокальностями.

Достоверность. Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается использованием современных математических методов расчета, ясной физической интерпретацией описываемых свойств и явлений, возможностью экспериментальной проверки полученных решений. Правильность результатов проверялась с помощью предельных переходов к известным случаям и использованием компьютерных программ аналитических вычислений.

Практическая ценность. Построение моделей фрактальных сред и процессов имеет практическую ценность, так как в предлагаемых моделях дробный порядок интегрирования выражается через экспериментально измеримые (массовые, зарядовые и другие) нецелые размерности этих сред и распределений. Результаты, полученные в рамках дробно-интегральных моделей, могут быть использованы при расчетах динамических характеристик и мультипольных моментов фрактальных сред и распределений различных типов в различных областях от астрофизики до расчета коллекторов нефтегазовых месторождений.

В полученных уравнениях для электромагнитного поля в диэлектрических средах, подчиняющихся законам универсального отклика, дробный порядок интегро-дифференцирования явно выражается через экспериментально измеримые показатели степенной зависимости универсального отклика. Эти уравнения позволяют в широком диапазоне частот точно описывать свойства материалов с низкими потерями на излучение, которые имеют важное значение для стелс-технологий.

Дискретные отображения с памятью, полученные из уравнений движения с производными дробных порядков, могут быть использованы в компьютерном моделировании физических систем с долговременной стеленной памятью, что позволяет исследовать новые типы регулярных и странных аттракторов.

Полученные в диссертации модели описания физических систем со степенной пространственной нелокальностью, со степенной долговременной памятью, и фрактальными свойствами во многом расширяют существующие представления о динамических свойствах этих систем и могут стать важной частью учебных курсов по теоретической физике.

Личный вклад автора. Две монографии на английском языке, одна переведена на русский язык, и 41 статья, опубликованная по теме диссертации в ре-

цензируемых российских и зарубежных журналах, являются единоличными публикациями автора диссертации. В 14 статьях, выполненных с соавторами и опубликованных в рецензируемых зарубежных журналах, вклад автора диссертации является определяющим, как на этапах постановки задач, так и на этапах проведения аналитических расчетов, а также интерпретации полученных результатов.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах НИИ ядерной физики МГУ, физического факультета и института математических паук им. Куранта Ныо-Йоркского университета (США), физического факультета университета Барселоны (Испания), математического факультета Сингапурского университета (Сингапур), а также на международных конференциях: Х1Х-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (2010, Москва); Международная конференция "Динамический хаос и неравновесная статистическая механика: От точных результатов к применениям в наио-системах"(2000, Сингапур); Международная конференция по хаотическим явлениям переноса и сложности в жидкостях и плазме (2004, Карри ле Роует, Франция); ХУН-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (2003, Самара-Саратов); Первый международный симпозиум по квантовой информатике (2002, Липки, Московская область); ХУ1-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (2001, Москва); ХУ-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (2000, Тверь); Х1У-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (1999, Москва); 37 Международная университетская конференция по физике ядра и частиц (1998, Шладминг, Австрия); ХП-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (1997, Самара); Х1-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (1996,

Санкт-Петербург); Международная конференция по квантовой диссипации и ее применениям (1996, Триест, Италия).

Исследования, результаты которых вошли в настоящую диссертацию, были поддержаны Московским государственным университетом имени М.В. Ломоносова: грант 2006 года за цикл статей "Физика фрактальных сред и процессов" и грант 2009 года за монографию "Квантовая механика негамильтоновых и дисси-пативных систем"; Российским фондом фундаментальных исследований в 20022003 годах: грант No. 02-02-16444-а "Исследования теорий с дополнительными измерениями и нетривиальной структурой пространства-времени"; в 2000-2001 годах - грант No. 00-02-17679 -а "Изучение физических эффектов в моделях с дополнительными измерениями и нетривиальной структурой пространства-времени"; Министерством энергетики США (U.S. Department of Energy): грант No. DE-FG02-92ER54184; Офисом Военно-морских Исследований США (US Office of Naval Research): грант No. N00014-02-1-0056; Национальным научным фондом США (U.S. National Science Foundation): грант No. DMS-0417800.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 3 монографиях и в 55 статьях, опубликованных в рецензируемых российских и зарубежных журналах. Из них 53 статьи опубликованы в журналах, включённых в систему цитирования Web of Science: Science Citation Index Expanded. Список статей и монографий приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы. Она содержит 298 страниц машинописного текста, в том числе основной текст 255 страниц. Приведенная библиография содержит 330 наименований.

СОЖЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении да); краткий обзор различных подходов к проблеме описания физических систем, обладающих свойствами степенной нелокальности, фракталь-ности и степенной памятью, использующих методы интегро-дифференцирования дробного порядка. Формулируются тема и основные цели диссертации, обосновывается их актуальность, схематично излагается содержание каждой главы.

В первой главе рассматриваются основные понятия дробно-интегральных моделей фрактальных распределений и сред. Интегрирование нецелого порядка используется для описания фрактальных распределений массы, заряда, полей, частиц и вероятности. В первой главе рассмотрены дробно-интегральные модели фрактальных сред и распределений в гидродинамике, в механике абсолютно твердого тела, в теории случайных процессов, в электродинамике, в статистической механике. Выводятся уравнения движения и описываются свойства фрактальных сред и распределений.

В первом параграфе первой главы рассматриваются основные понятия дробно-интегральных моделей фрактальных сред. У реальных сред и физических систем фрактальная структура не может наблюдаться на всех масштабах. Среды и системы обладают наименьшим характеристическим размером таким, как радиус частицы (например, атома или молекулы). Фрактальная структура обычно существует при тех масштабах Я, для которых Я > До, где До - характерный размер частицы среды. В силу этого используется физический аналог размерности Хаусдорфа, для которого не требуется предельного перехода к бесконечно малым диаметрам покрывающих множеств. В качестве такой размерности используются массовая размерность, зарядовая размерность и размерность числа частиц. Под фрактальными средами в диссертации подразумеваются среды, распределенные в пространстве К™, где п = 1,2,3, массовая размерность И которых

меньше размерности пространства п. Размерность D фрактальных сред может быть эмпирически получена методом поклеточного счета (box-counting method). Интегрирование нецелого порядка используется для описания фрактальных распределений массы, заряда, частиц и вероятности. Порядок интегрирования равен соответствующей (массовой, зарядовой, частичной) размерности фрактального распределения или среды. Для описания фрактальных сред и распределений с помощью дробно-интегральных моделей используются два основных понятия такие, как плотность состояний с,,(£>, г) и функция распределения p{r,t). Функция с„(Д г), являющаяся плотностью состояний, описывает то, как плотно упакованы разрешенные состояний в пространстве R". При этом свойства симметрии функции плотности состояний Сп(1),г) должны определяться свойствами симметрии фрактальной среды, то есть симметрией распределения разрешенных состояний в ней. Функция p(r,i), являющаяся функцией плотности распределения, описывает распределение физических величин (например, таких как масса, электрический заряд, вероятность, число частиц) на множестве разрешенных состояний в R" в момент времени t. Приводятся модели фрактальных распределений частиц и разрешенных состояний. Обсуждаются методы описания массы, заряда, числа частиц и вероятности для фрактальных сред и распределений.

Во втором параграфе первой главы рассматривается гидродинамика фрактальных сред, описываемых в рамках дробно-интегральной модели. В дробно-интегральной модели характеристики фрактальных сред определены везде внутри области, при этом они подчиняются дробно-интегральным уравнениям, порядок которых равен массовой размерности среды, то есть предлагается рассматривать фрактальные среды как особый тип сплошных сред, описываемых с помощью специальных (дробно-интегральных) моделей. В общем случае фрактальные среды не могут рассматриваться как сплошные среды, поскольку существуют точки и области во фрактальной среде, которые не заполнены частицами среды. Реаль-

ные фрактальные среды с нецелой массовой размерностью описываются не как фрактальные множества, а как особые сплошные среды, для описания которых применяется интегрирования дробного порядка, равного массовой размерности фрактальной среды. Интегралы дробного порядка применяются для получения обобщений уравнений законов сохранения на фрактальные среды. Выводятся интегральные уравнения дробного порядка, описывающие законы сохранения массы, импульса и внутренней энергии во фрактальных средах. Используя дробно-интегральную модель, получаем соответствующие дифференциальные уравнения с производными целого порядка для описания законов сохранения массы, импульса и внутренней энергии в дифференциальной форме для фрактальных сред. Рассматриваются обобщения уравнений Навье-Стокса и уравнений Эйлера для фрактальных сред. Предлагаются уравнения равновесия для фрактальных сред и обобщения интеграла Бернулли. Рассматриваются звуковые волны во фрактальных средах с использованием дробно-интегральной модели.

В третьем параграфе первой главы рассматривается динамика фрактальных неупругих твердых тел. В рамках дробно-интегральной модели предлагаются интегральные уравнения дробного порядка для вычисления моментов инерции фрактальных твердых тел. Рассматриваются примеры вычислений моментов инерции для фрактальных твердых тел в форме шара и цилиндра. Доказывается, что уравнения движения фрактальных твердых тел имеют тот же вид, что и уравнения для нефрактальных твердых тел. При этом моменты инерции фрактальных тел отличаются от моментов инерции обычных твердых тел той же формы и массы. В качестве примеров движения фрактальных твердых тел рассматриваются динамика маятника Максвелла с фрактальным твердым телом и задача о скатывании по наклонной плоскости недеформируемого шарообразного фрактального твердого тела. Полученные уравнения позволяют экспериментального определять массовые размерности фрактальных твердых тел путем измерения периодов ко-

лсбаний и скоростей движения этих тел.

В четвертом параграфе первой главы рассматривается электродинамика фрактальных распределений зарядов и полей. В общем случае распределения заряженных частиц могут быть фрактальными с нецелой зарядовой или частичной размерностью. Для описания электрических и магнитных полей фрактальных распределений частиц применяются дробно-интегральные модели, в которых используются непрерывные распределения электрического заряда, описываемые интегральными уравнениями дробного порядка. Предлагается дробно-интегральная модель для описания электрических и магнитных полей, создаваемых фрактальными распределениями. Приводятся формулы полного электрического заряда и силы тока фрактальных распределений зарядов. В рамках дробно-интегральной модели формулируются теоремы Гаусса и Стокса для фрактальных распределений. Рассматриваются простые примеры полей, создаваемых гомогенными фрактальными распределениями. Законы Кулона и Гаусса, Био-Савара и''-Ампера формулируются для фрактальных распределений в рамках дробно-интегральной модели. Предлагаются методы вычислений электрического дипольного и квадру-польного моментов фрактальных распределений зарядов. Обсуждаются уравнения магнитог'идродинамики фрактальных распределений заряженных частиц.

В рамках дробно-интегральной модели фрактального распределения получены интегральные уравнения Максвелла дробного порядка. Показано, что фрактальное распределение может быть представлено как некоторая эффективная среда. Уравнения для электромагнитных полей фрактальных распределений интерпретируются как эффекты поляризации и намагниченности, создаваемые фрактальным распределением. Более того, и само электромагнитное поле также изменяется фрактальным распределением. Из обобщенных уравнений Максвелла виден эффект изменения фрактальным распределением свободных электрических зарядов и плотности тока. Это изменение существует в дополнение к эффекту появления

поляризации и токов намагниченности. Эффективная электрическая проницаемость е и эффективная магнитная проницаемость ¡л фрактального распределения определяются плотностью состояний и зарядовой размерностью распределения. Уравнения для электромагнитного поля в этом случае могут рассматриваться как уравнения с некоторым эффективным магнитным монополем.

В пятом параграфе первой главы предлагается обобщение принципа стационарности действия для фрактальных сред. В качестве примера выводятся уравнения Гинзбурга-Ландау для фрактальных сред с использованием соответствующих обобщений функционала свободной энергии и вариационного уравнения Эйлера-Лагранжа.

В шестом параграфе первой главы рассматриваются уравнения Ченмена-Колмогорова и Фоккера-Планка для фрактальных сред. Предлагается обобщение уравнения Чепмепа-Колмогорова на случай фрактальных распределений вероятности, описываемых в рамках дробно-интегральной модели. Под фрактальным распределением вероятности подразумевается такое распределение вероятности во фрактальной среде, при котором вероятность найти частицу вне этой среды равна нулю. Предложенное уравнение Чепмена-Колмогорова представляет собой интегральное уравнение дробного порядка по координатам. Уравнение Чепмена-Колмогорова дробного порядка призвано описывать марковские процессы во фрактальных средах в рамках дробно-интегральной модели. Из дробно-интегрального уравнения Чепмена-Колмогорова выводится обобщенное уравнение Фоккера-Планка, описывающее динамику фрактальных распределений в рамках дробно-интегральных моделей.

В седьмом параграфе первой главы рассматривается статистическая механика фрактальные распределения в фазовом пространстве. Для описания таких распределений применяется дробно-интегральная модель, в которой используются интегральные уравнения дробного порядка для средних значений и нормиро-

вочных условий. Ядрами дробно-интегральных уравнений по координатам являются плотности состояний в фазовом пространстве. При получении обобщений уравнений Лиувилля и Боголюбова для фрактальных распределений разрешенных состояний в фазовом пространстве используются дробно-интегральные нормировочные условия и выражения для средних значений классических наблюдаемых. В этих обобщениях используются интегралы дробного порядка, позволяющие учитывать степенную плотность состояний. Порядок дробного интегрирования равен фрактальной размерности числа состояний.

Во второй главе рассматриваются модели физических систем и сред с нелокальными свойствами и с нелокальными взаимодействиями степенного типа, для описания которых применяются методы интегро-дифференцирования дробного порядка по координатам.

В первом параграфе второй главы рассматриваются модели цепочек и решеток с нелокальным взаимодействием, а также их непрерывные пределы. Определяется отображение моделей дискретных систем в модели специальных сплошных сред, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями дробного порядка. Описывается широкий класс нелокальных взаимодействий в решетках и цепочках, которые в непрерывном пределе приводят к дифференциальным уравнениям с. производными дробного порядка. Показано, что существует взаимосвязь между уравнениями движения систем с нелокальным взаимодействием частиц и уравнениями дробного порядка для сплошных сред. Рассматривая решетку связанных нелинейных осцилляторов, и переходя к непрерывному пределу, мы выводим дробные дифференциальные уравнения, описывающие динамику сложных сплошных сред. Уравнения движения для цепочки с нелокальным взаимодействием отображаются в уравнения с дробными производными Рисса. Нелинейные нелокальные взаимодействия для дискретных систем используются для получе-

ния обобщений уравнений Бюргерса, Кортевега-де Фриза и Буссинеска, содержащих производные дробного порядка. Описывается нелокальное взаимодействие типа Грюнвальда-Летникова-Рисса и соответствующие ему уравнения среды, являющиеся интегро-дифференциальньши уравнениями дробного порядка.

Во втором параграфе второй главы рассматриваются взаимно согласованные определения дифференциальных и интегральных векторных операций с интегро-дифференцированием дробного порядка. На основе предложенных определений дифференциальных и интегральных векторных операций нецелого порядка формулируются и доказываются обобщения теорем Грина, Стокса, Гаусса. Методы векторного интегро-дифференцирования дробного порядка развиваются для исследования моделей физических систем в электродинамике, аналитической механике, статистической физике. Развиваются также методы дробного внешнего исчисления дифференциальных форм, дается взаимно согласованое построение дифференциальные и интегральные операций дробного порядка для обобщения дифференциальных форм с использованием производные Капуто и интегралы Римана-Лиувилля дробного порядка. Определяются векторные операции нецелого порядка через дробные дифференциальные формы, операцию звезда Ходжа и внешнюю производную дробного порядка.

Во третьем параграфе второй главы используются взаимосогласованные определения дифференциальных и интегральных векторных операций с интегро-дифференцированием дробного порядка для описания электромагнитных полей. В рамках нелокальной электродинамики рассматриваются дифференциальные уравнения Максвелла с производными дробного порядка с использованием дробного векторного анализе и дифференциальных форм нецелого порядка.

В четвертом параграфе второй главы предлагаются обобщения некоторых основных уравнений статистической механики, в которых используются интегро-дифференцирования дробного порядка. Для получения этих уравнений использу-

ется закон сохранения вероятности в дробно-дифференциальном элементе объема фазового пространства. Из законов сохранения вероятности получаем уравнения Лиувилля с дробными производными по координатам и импульсам. Дробное уравнение Лиувилля используется для получения дробных уравнений Боголюбова и кинетических уравнений с дробными производными. Рассматриваются уравнения статистической механики для дробных гамильтоновых систем. Уравнения Лиувилля и Боголюбова с дробными производными по координатам и импульсам рассматриваются как базис для получения обобщенных кинетических уравнений. Получены уравнение Власова с производными нецелого порядка. Уравнения Фоккера-Планка с дробными производными в фазовом пространстве получаются из уравнения Боголюбова с производными дробного порядка.

В пятом параграфе второй главы предлагаются обобщения понятий градиентной и гамильтоновой систем с использованием дифференциальных форм и внешних производных дробных порядков. В общем случае дробные гамильтоновы (градиентные) системы являются негамильтоновы (неградиентными) системами. Предлагаемый класс дробных градиентных и гамильтоновых систем значительно шире, чем класс обычных градиентных и гамильтоновых динамических систем. Обычные гамильтоновы и градиентные системы фактически являются частными случаями дробных гамильтоновых и градиентных систем. Дробные градиентные системы используются для рассмотрения нового типа бифуркаций для широкого класса неградиентных систем.

В третьей главе рассматриваются модели физических систем и сред с эре-дитарными свойствами и с долговременной памятью степенного типа с использованием методов интегро-дифференцирования дробного порядка по времени.

В первом параграфе третьей главы показывается, что электромагнитные поля и волны для широкого класса диэлектрических сред должны описываться

дифференциальными уравнениями с производными нецелого порядка по времени. Порядок этих производных равен 2 — а и 2 + ¡1, где параметры 0<а = 1—п<1 и 0 < /? = ш < 1 определяются показателями п и т, фигурирующими в экспериментально измеримых частотных зависимостях диэлектрической восприимчивости, называемых законами универсального отклика. Получены уравнения, описывающие обобщения закона Кюри - фон Швейдлера и закон Гаусса для диэлектрических материалов с универсальным откликом. Получены дробные интегро-дифференциальные уравнения для электромагнитных волн в диэлектрических средах. Эти уравнения являются общими для широкого класса сред независимо от их физической структуры, химического состава и природы поляризации, будь то дипольная, электронная или ионная.

Во втором параграфе третьей главы рассматриваются неинтегрируемые (неголономные) связи с долговременной степенной памятью, описываемой интегро-дифференцированием дробного порядка по времени. Производные нецелого порядка позволяют описывать неголономные связи со степенной памятью с использованием методов дробного математического анализа.

Для системы, описываемых лагранжианом Ь ~Т — II, непотенциальными силами и неинтегрируемыми связями /5 = 0, 5 = 1 ,...,тп, рассматриваются следующие два частных случая неголономной динамики систем с памятью:

а) Динамические системы с памятью, на которые наложены неголономные связи без памяти:

Ь = Ь(д, = О, а = 1, ...,г < п.

б) Динамические системы, на которые наложены неголономные связи с памятью:

Ь = Ь{д, АЧ /,(?, а^Ч гЧч, 0=0, 5 = 1,.... г < п.

Здесь аТ>" обозначает производную дробного порядка а по времени I.

Используя принцип Даламбера-Лагранжа, мы выводим дробные дифференциальные уравнения из лагранжиана и гамильтониана, которые содержат только

производные целого порядка, при условии наложения на систему неголономных связей со степенной памятью. Обсуждается применимость принципа стационарности действия для неголономных систем с долговременной памятью.

В третьем параграфе третьей главы рассматриваются модели дискретных систем со степенной памятью, которые следуют из уравнений движения, содержащих производные дробного порядка по временим. Эффект памяти в дискретных системах означает, что эволюция данного состояния зависит от всех прошлых состояний. Дискретные отображения со степенной памятью выводятся из дифференциальных уравнений с производными дробного порядка по времени без использования каких-либо аппроксимаций дробных производных. Рассматриваются дробные дифференциальные уравнения, описываюхцие движение систем с памятью и периодическими толчками. Из этих уравнения получены соответствующие дискретные отображения с памятью, являющиеся обобщениями хорошо известных отображений таких, как стандартное и универсальное отображения, отображения Амосова, Заславского и Хенона. Для получения дискретных отображений с памятью из дробных дифференциальных уравнений используются два метода. В первом методе применяются вспомогательные переменные. Вторым методом дискретные отображения с памятью выводятся из дифференциальных уравнений с производными Капуто и Римана-Лиувилля с использованием эквивалентности задачи Коши и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Наличие памяти у дискретных систем приводит к тому, что эволюция данного состояния зависит от всех предыдущих состояний. При этом влияние этих состояний определяется степенными весовыми функциями Уа(г), За(г) и Ша{а,Ь, с). Полученные модели дискретных систем с памятью выводятся из соответствующих уравнений движения с интегро-дифференцированием дробного порядка без использования какие-либо аппроксимации производных дробного порядка.

В четвертой главе рассматриваются модели квантовых гамильтоновых и нега-мильтоновых систем, взаимодействующих со своим окружением и описываемых дробными степенями инфшштезимальных производящих генераторов. Описываются динамические свойства экранированных квантовых систем. Используя вейлевское квантование и представление производных нецелого порядка в виде ряда и в виде интеграла Фурье, мы строим квантовые аналоги производных Римана-Лиувилля и производных Лиувилля.

В первом параграфе четвертой главы рассматриваются модели гамильтоновых квантовых систем, взаимодействующих с окружением и описываемых дробными степенями дифференцирований на операторной алгебре. Для гамильтоновых систем уравнение Гейзенберга определяется некоторой формой дифференцирования на операторной алгебре. Инфинитезимальный генератор £ = (г/К)[Н, . ], используемый в уравнении Гейзенберга, является дифференцированием наблюдаемых, то есть линейным отображением С, которое удовлетворяет правилу Лейбница. Дробное дифференцирование на множестве квантовых наблюдаемых рассматривается как дробная степень дифференцирования £ = (г/Л) [Я, . ], что позволяет обобщить понятие гамильтоновой квантовой системы. В этом случае операторное уравнение для квантовой наблюдаемой будет (дробно-дифференциальным) обобщением уравнения Гейзенберга. Предлагаемое обобщенное уравнение Гейзенберга точно решается для гармонического осциллятора. Решения задачи Коши для дробно-дифференциального уравнения Гейзенберга представляются через супероператоры г > 0, которые образуют однопараметрическую полугруппу. В силу этого эволюция наблюдаемых дробно-дифференциальных квантовых систем является марковской. Дифференцирование нецелого порядка рассматривается как один из способов описания взаимодействия между квантовой системой и окружающей средой. Эта интерпретация обусловлена тем, что формула Бохнера-Филлипса представляет собой некоторое сглаживание (усреднение) гамильтоно-

вой эволюции Фг по времени £ > 0. Это сглаживание интерпретируется как влияние окружающей среды на квантовую систему. Показатель степени инфинитези-мального генератора характеризует меру интенсивности взаимодействия между системой и окружением.

Во втором параграфе четвертой главы рассматриваются модели открытых и негамильтоновых квантовых систем, взаимодействующих с экранированным окружением с использованием дробных степеней вполне-диссипативных супероператоров. Доказывается, что предлагаемые супероператоры являются инфи-нитезимальными генераторами вполне положительных полугрупп. Описываются основные свойства квантовой дробно-динамической полугруппы. Нецелая степень квантового марковского производящего супероператора рассматривается как параметр для описания меры экранирования окружающей среды. Квантовые марковские уравнения с вполне диссипативными супероператорами являются наиболее общим видом марковских уравнений, описывающих неунитарную эволюцию оператора плотности, сохраняющую след и являющуюся вполне положительной при любых начальных условиях. Показатель нецелой степени инфинитезимально-го генератора рассматривается как параметр, описывающий меру экранирования окружения системы, то есть окружающей ее среды. Используя представление взаимодействия для квантового марковского уравнения, мы рассматриваем дробную степень негамильтоновой части инфинитезимального генератора с показателем а. В пределе а —> 0 получается уравнение Гейзенберга для гамильтоновых систем. В случае а = 1 получается обычное квантовое марковское уравнение. Выделяются следующие случаи: (а) отсутствие влияния окружающей среды (а = 0); (б) пол-нос влияние окружающей среды (а = 1); (в) степенное экранирование влияния окружающей среды (0 < а < 1).

В отличие от гамильтоновых квантовых систем инфинитезимальные генераторы открытых и негамильтоновых систем не является дифференцированиями

на алгебре квантовых наблюдаемых. Для широкого класса квантовых негамиль-тоновых систем инфинитезимальный генератор С является вполне диссипатив-ным. Рассматривается обобщение квантового производящего уравнения для нега-мильтоиовых систем на случай дробной степени производящего суперопсратора и на случай системы со степенной долговременной памятью. Формула Бохнера-Филлинса позволяет выразить дробно-динамическое описание в терминах обычной динамики. Предложенные квантовые марковские уравнения с дробными степенями супероператоров уравнения решены для линейного гармонического осциллятора, являющегося открытой системой.

В третьем параграфе четвертой главы рассматриваются методы вейлевского квантования для интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля и Лиувил-ля. Для нахождения квантового аналога производных Римана-Лиувилля используется представление этих производных на множестве аналитических функций. В этом представлении производная Римана-Лиувилля является степенным рядом с производными целого порядка, что позволяет использовать соответствие между производными целого порядка и самосопряженными коммутаторами. Для определения квантового аналога производной Лиувилля, которая определена на всей действительной оси, используется представление вейлевского квантования через Фурье-преобразование. Предлагаемые квантование производных Римана-Лиувилля позволяют сформулировать квантовые аналоги дробных гамильтоно-вых систем.

В приложении приводятся основные сведения об интегрировании дробного порядка.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации. Они сводятся к следующим:

1. Построены принципиально новые модели описания динамики фрактальных сред и распределений, в которых они представляются специальными сплошными средами, при этом их характеристики и динамические законы описываются интегральными уравнениями дробного порядка. Порядок интегрирования определяется нецелыми (массовой, зарядовой, частичной и др.) размерностями среды и распределения. Описаны способы расчета масс, зарядов, потоков, полей, мультипольных моментов, моментов инерции, энергий, импульсов и других характеристик фрактальных сред и распределений.

2. Впервые построены теоретические модели дискретных систем, таких как линейные цепочки и кристаллические решетки, с нелокальными взаимодействиями степенного типа, приводящие в непрерывном пределе к моделям нелокальных сплошных сред, описываемых уравнениями с интегро-дифференци-ронаниями нецелого порядка по координатам. Показано, что степенная пело-кальность в непрерывных средах связана с межчастичным взаимодействием дробно-степенного типа.

3. Впервые взаимно согласовано определены дифференциальные и интегральные векторные операции дробного порядка, на их основе сформулированы и доказаны интегральные теоремы, построены новые модели статистической механики и электродинамики со степенными нелокальностями. Впервые построены модели градиентных и гамильтоновых систем дробного порядка, позволяющие сводить изучение широкого класса неградиентных и негамильто-новых систем к исследованию свойств обобщенных потенциалов и гамильтонианов.

4. Предложен принципиально новый подход к описанию электромагнитных полей в диэлектрических средах, подчиняющихся законам универсального отклика. В основе этого подхода лежат интегро-дифференциальные уравнения, дробный порядок которых явно выражается через экспериментально измери-

мые показатели степенной зависимости универсального отклика.

5. Впервые построены модели нсголономных систем со степенной памятью, использующие интегро-дифференцирования Римаиа-Лиувилля и Капуто дробного порядка. Показано, что эффекты памяти могут возникать вследствие наложения на систему неголономных связей.

6. Впервые построены без каких-либо аппроксимаций модели дискретных систем (отображений) с памятью, эквивалентные моделям физических систем с периодическими толчками и со степенной памятью, описываемой интегро-дифференцироиаиием дробного порядка.

7. Впервые построены модели квантовых гамильтоновых и негамильтоновых систем со степенным экранированием окружения и описаны динамические свойства таких систем. Впервые реализовано вейлевское квантование интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля и Лиувилля дробного порядка, позволяющее описывать квантовые аналоги классических систем со степенными нелокальностями.

Список опубликованных работ

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Tarasov V.E. Quantization of non-Hamiltonian and dissipative systems // Physics Letters A. Vol.288. No.3-4. (2001) 173-182.

2. Тарасов B.E. Вейлевское квантование динамических систем с плоским фазовым пространством //' Вестник Московского университете. Серия 3 Физика. Астрономия. Т. 56. No.6. (2001) С. 6-9.

3. Tarasov V.E. Fractional generalization of Liouville equations // Chaos. Vol.14. No.l. (2004) 123-127.

4. Tarasov V.E. Fractional generalization of gradient and Hamiltonian systems // Journal of Physics A. Vol.38. No.26. (2005) 5929-5943.

5. Tarasov V.E. Electromagnetic field of fractal distribution of charged particles // Physics of Plasmas. Vol.12. No.8. (2005) 082106 (9 pages).

6. Tarasov V.E. Mult.ipole moments of fractal distribution of charges // Modern Physics Letters B. Vol.19. No.22. (2005) 1107-1118.

7. Tarasov V.E. Fractional hydrodynamic equations for fractal media // Annals of Physics. Vol.318. No.2. (2005) 286-307.

8. Tarasov V.E. Dynamics of fractal solid // International Journal of Modern Physics B. Vol.19. No.27. (2005) 4103-4114.

9. Tarasov V.E. Fractional generalization of gradient systems // Letters in Mathematic Physics. Vol.73. No.l. (2005) 49-58.

10. Tarasov V.E. Wave equation for fractal solid string // Modern Physics Letters B. Vol.19. No. 15. (2005) 721-728.

11. Tarasov V.E. Continuous medium model for fractal media // Physics Letters A. Vol.336. No.2-3. (2005) 167-174.

12. Tarasov V.E. Possible experimental test of continuous medium model for fractal media // Physics Letters A. Vol.341. No.5-6. (2005) 467-472.

13. Tarasov V.E. Fractional Fokker-Planck equation for fractal media // Chaos. Vol.15. No.2. (2005) 023102.

14. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fractional Ginzburg-Landau equation for fractal media // Physica A. Vol.354. No. 1-4. (2005) 249-261.

15. Tarasov V.E. Fractional Liouville and BBGKI equations // Journal of Physics: Conference Series. Vol.7. (2005) 17-33.

16. Tarasov V.E. Fractional systems and fractional Bogoliubov hierarchy equations // Physical Review E. Vol.71. No.l. (2005) 011102 (12 pages).

17. Tarasov V.E. Map of discrete system into continuous // Journal of Mathematical Physics. Vol.47. No.9. (2006) 092901. (24 pages)

18. Tarasov V.E. Fractional statistical mechanics // Chaos. Vol.16. No.3. (2006) 033108.

19. Tarasov V.E. Electromagnetic fields on fractals // Modern Physics Letters A. Vol.21. No.20. (2006) 1587-1600.

20. Tarasov V.E. Continuous limit of discrete systems with long-range interaction // Journal of Physics A. Vol.39. No.48. (2006) 14895-14910.

21. Tarasov V.E. Fractional variations for dynamical systems: Hamilton and Lagrange approaches // Journal of Physics A. Vol.39. No.26. (2006) 8409-8425.

22. Tarasov V.E. Psi-series solution of fractional Ginzburg-Landau equation // Journal of Physics A. Vol.39. No.26. (2006) 8395-8407.

23. Tarasov V.E. Magnetohydrodynamics of fractal media // Physics of Plasmas. Vol.13. No.5. (2006) 052107. (12 pages)

24. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Nonholonomic constraints with fractional derivatives // Journal of Physics A. Vol.39. No.31. (2006) 9797-9815.

25. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fractional dynamics of systems with long-range interaction // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. Vol.11. No.8. (2006) 885-898.

26. Tarasov V.E. Zaslavsky G.M., Dynamics with low-level fractionally // Physica A. Vol.368. No.2. (2006) 399-415.

27. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fractional dynamics of coupled oscillators with long-range interaction // Chaos. Vol.16. No.2. (2006) 023110. (13 pages)

28. Tarasov V.E. Transport equations from Liouville equations for fractional systems // International Journal of Modern Physics B. Vol.20. No.3. (2006) 341-353.

29. Tarasov V.E. Gravitational field of fractal distribution of particles // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. Vol.94. No.l. (2006) 1-15.

30. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fractional dynamics of systems with long-range space interaction and temporal memory // Physica A. Vol.383. No.2. (2007) 291308.

31. Zaslavsky G.M., Edelman M., Tarasov V.E. Dynamics of the chain of oscillators with long-range interaction: from synchronization to chaos // Chaos. Vol.17. No.4. (2007) 043124.

32. Korabel N., Zaslavsky G.M., Tarasov V.E. Coupled oscillators with power-law interaction and their fractional dynamics analogues // Communications in Nonlinea Science and Numerical Simulation. Vol.12. No.8. (2007) 1405-1417.

33. Tarasov V.E. Fractional Chapman-Kolmogorov equation // Modern Physics Letters B. Vol.21. No.4. (2007) 163-174.

34. Tarasov V.E. Liouville and Bogoliubov equations with fractional derivatives // Modern Physics Letters B. Vol.21. No.5. (2007) 237-248.

35. Tarasov V.E. Fractional derivative as fractional power of derivative // International Journal of Mathematics. Vol.18. No.3. (2007) 281-299.

36. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Conservation laws and Hainiltonian's equations for systems with long-range interaction and memory // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. Vol.13. No.9. (2008) 1860-1878.

37. Tarasov V.E. Fokker-Planck equation for fractional systems // International Journal of Modern Physics B. Vol.21. No.6. (2007) 955-967.

38. Tarasov V.E. Quantum, Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems (Elsevier, Amsterdam, London, 2008). 540p.

39. Tarasov V.E. Fractional Heisenberg equation // Physics Letters A. Vol.372. No.17. (2008) 2984-2988.

40. Tarasov V.E. Chains with fractal dispersion law // Journal of Physics A. Vol.41. No.3. (2008) 035101. (6 pages)

41. Tarasov V.E. Fractional vector calculus and fractional Maxwell's equations // Annals of Physics. Vol.323. No.ll. (2008) 2756-2778.

42. Tarasov V.E. Fractional equations of Curie-von Schweidler and Gauss laws // Journal of Physics: Condensed Matter. Vol.20. No.14. (2008) 145212.

43. Tarasov V.E. Universal electromagnetic waves in dielectric // Journal of Physics: Condensed Matter. Vol.20. No.17. (2008) 175223.

44. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fractional generalization of Kac integral // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. Vol. 13. No.2. (2008) 248-258.

45. Tarasov V.E. Fractional powers of derivatives in classical mechanics // Communications in Applied Analysis. Vol.12. No.4. (2008) 441-450

46. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fokker-Planck equation with fractional coordinate derivatives // Physica A. Vol.387. No.26. (2008) 6505-6512.

47. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fractional equations of kicked systems and discrete maps // Journal of Physics A. Vol.41. No.43. (2008) 435101. (16 pages)

48. Tarasov V.E. Weyl quantization of fractional derivatives // Journal of Mathematic Physics, Vol.49. No.10. (2008) 102112. (6 pages)

49. Тарасов B.E. Дробное обобщение квантового марковского производящего урав нения // Теоретическая и математическая физика. 2009. Т. 158. No.2. С. 214233.

50. Тарасов В.Е. Дробные интегро-дифференциальные уравнения для электромагнитных волн в диэлектрических средах // Теоретическая и математическая физика. 2009, Т. 158. No.3. С. 419-424.

51. Tarasov V.E. Differential equations with fractional derivative and universal map with memory // Journal of Physics A. Vol.42. No.46. (2009) 465102. (13 pages)

52. Tarasov V.E. Discrete map with memory from fractional differential equation of arbitrary positive order // Journal of Mathematical Physics. Vol.50. No. 12. (2009) 122703. (6 pages)

53. Edelman M., Tarasov V.E. Fractional standard map // Physics Letters A. Vol.374. No.2. (2009) 279-285.

54. Tarasov V.E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media, (Springer, Higher Education Press, 2010) 516p.

55. Tarasov V.E., Edelman M. Fractional dissipative standard map // Chaos. Vol.20. No.2. (2010) 023127. (7 pages).

56. Tarasov V.E. Fractional dynamics of relativistic particle // International Journal of Theoretical Physics. Vol.49. No.2. (2010) 293-303.

57. Tarasov V.E. Fractional Zaslavsky and Henon discrete maps /'/ Chapter 1 in Longrange Interaction, Stochasticity and Fractional Dynamics Luo A.C.J. Afraimovich V.S. (Eds.) (Springer, Higher Education Press, 2010) pp.1-26.

58. Тарасов B.E. Модели теоретической физики с иптегро-диффсренцированием дробного порядка Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2011. 568 с.

Подписано к печати JJU&J1 Тнрзж J&L- Заказ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Тарасов, Василий Евгеньевич

Введение

Глава 1. Дробно-интегральные модели фрактальных распределений

1.1 Дробно-интегральная модель фрактальных сред.

1.2 Гидродинамика фрактальных сред.

1.3 Динамика фрактальных твердых тел.

1.4 Электродинамика фрактальных распределений зарядов и полей

1.5 Принцип стационарности действия для фрактальных сред.

1.6 Уравнения Чепмена-Колмогорова для фрактальных сред.

1.7 Статистическая механика фрактальных распределений.

Глава 2. Модели физических систем со степенной нелокальностью

2.1 Динамика систем со степенным нелокальным взаимодействием

2.2 Метод векторного интегро-дифференцирования дробного порядка

2.3 Электродинамика со степенной нелокальностью.

2.4 Модели статистической механики со степенной нелокальностью

2.5 Дробные градиентные и гамильтоновы системы.

Глава 3. Модели физических систем со степенной памятью

3.1 Электродинамика со степенной памятью.

3.2 Динамика неголономных систем с памятью.

3.3 Дискретные физические системы с памятью.

Глава 4. Модели квантовых систем дробного порядка

4.1 Квантовая динамика дробных гамильтоновых систем.

4.2 Квантовая динамика экранированных открытых систем

4.3 Квантование интегро-дифференцирования дробного порядка.

Введение диссертация по физике, на тему "Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка"

Актуальность темы. В настоящее время наблюдается заметный рост интереса физиков теоретиков к методам дробного математического анализа (см. например, монографии [320, 327, 59, 171, 306, 55], редактируемые сборники [86, 133, 234, 152]. обзоры [180, 326, 191, 181]). В первую очередь это обусловлено многочисленными эффективными приложениями интегро-дифференцирования дробного порядка к описанию широкого класса физических процессов и явлений, имеющих место в системах со степенной нелокальностью, со степенной памятью и фрактальностью.

Актуальной задачей современной теоретической физики является исследование явлений и систем, характеризующихся не локальностью, эредитарностью, немарковостью, фрактальностью, негамильтоновостью. Последние годы уделяется большое внимание исследованиям степенной нелокальности и степенной долговременной памяти. Эти свойства изучаются для систем различной физической природы, относящихся к различным масштабам (от наносистем до космологии), для квантовых и классических систем, для непрерывных и дискретных. В настоящее время зарождаются основные физические концепции и создаются математические методы одного из современных направлений теоретической физики, называемого дробной динамикой (fractional dynamics). Фактически в настоящее время рождается новый раздел физики - дробная динамика. Правда этот термин еще не является устоявшимся в русскоязычной научной литературе, что нельзя сказать об англоязычной. В этом разделе теоретической физики рассматриваются в первую очередь общие свойства физических процессов со степенной памятью, со степенной нелокальностью и фрактальностыо. При этом изучаются новые динамические свойства систем различной физической природы и масштабов, не зависящие от материала среды или типа физической системы, в котором осуществляется эта динамика.

Свойствами и явлениями, описываемыми предлагаемыми в диссертации моделями теоретической физики, являются (а) долговременная память, эредитар-ность, немарковоская динамика; (б). степенная пространственная нелокальность и нелокальные взаимодействия степенного типа; (в) фрактальность структуры и ее нецелая топологическая размерность. Основой описания указанных явлений и свойств являются методы интегро-дифференцирования дробного порядка и дробного математического анализа, история которого насчитывает более трехсот лет [47, 225] и восходит к исследованиям большого числа известных математиков, таких как Лейбниц, Лиувилль, Риман, Абель, Рисс, Вейль. Интегралы и производные нецелого порядка, а также дробные интегро-дифференциальные уравнения находят множество применений в современных исследованиях в физике и механике [320, 327, 59, 171, 306, 55, 86, 133, 234, 152]. Новые возможности в математике и теоретической физике появляются, когда порядок а дифференциального оператора D£ или интегрального оператора становится произвольным параметром. При. этом многие из обычных свойств дифференцирования целого порядка D™ не выполняются для операторов дробного дифференцирования DНапример, правило дифференцирования произведения, правило дифференцирования сложной функции, полугрупповое свойство, очевидные для производной первого порядка Dx, не имеют места для операторов Д". Однако существуют аналоги этих правил и свойств, задаваемые довольно громоздкими соотношениями. Дробный математический анализ является важнейшим методом для построения моделей теоретической физики, в которых интегро-дифференциальные операторы дробного порядка по времени и координатам описывают степенную долгосрочную память и пространственную нелокальность сложных сред, процессов и явлений.

Нелокальные взаимодействия изучались как в дискретных системах, так и в их непрерывных аналогах начиная с работ Дайсона, Накано и Такахаши. Физические процессы с долговременной памятью исследовались в вязкоупругих средах, начиная с работ Больцмана, Вольтера и Работнова. Фрактальные распределения полей и частиц активно изучаются, начиная с работ Мандельброта. При этом оставались нерешенными проблемы описания динамики фрактальных сред и распределений, динамики диэлектрических сред с универсальным откликом, неголо-номных систем со степенной памятью, взаимосвязи дискретных отображений с памятью и уравнений движения, взаимно согласованного описания интегральных и дифференциальных векторных операций дробного порядка, получения уравнений дробной кинетики из статистической механики, связи дискретных и непрерывных моделей физических систем с нелокальностями степенного типа, марковской динамики гамильтоновых и негамильтоновых квантовых систем со степенным экранированием окружения, квантования интегро-дифференцирования дробного порядка и некоторые другие.

Цель работы: Целью работы является

Разработать метод построения теоретических моделей, позволяющий описывать динамику фрактальных сред и распределений массы, заряда, различных типов полей и частиц, и применить этот метод для описания фрактальных систем ч в гидродинамике, в механике твердого тела, в электродинамике, в аналитической механике, в статистической механике.

Построить теоретические модели систем различной физической природы, обладающих степенной памятью, а именно, (а) диэлектрических сред; подчиняющихся законам универсального отклика; (б) механических систем с неголономными'связями и долговременной степенной памятью; (в) физических систем с периодическими толчками и степенной памятью, уравнения движения которых допускают представление в виде дискретных отображений с памятью.

Построить модели марковских гамильтоновых, негамильтоновых и открытых квантовых систем со степенным экранированием окружения и разработать метод вейлевского квантования интегро-дифференцирования дробного порядка для построения,4 квантовых аналогов моделей со степенными нелокальными свойствами.

Научная, новизна. Новизна научных результатов, полученных автором и выносимых им на защиту, определяется следующим. а) Построены принципиально новые модели описания динамики фрактальных сред и распределений, в которых они представляются специальными сплошными средами, при этом их характеристики № динамические законы описываются интегральными уравнениями дробных порядков равных нецелым* (массовой, зарядовой, частичной» и др.) размерностям сред и распределений. б) Впервые разработан метод получения в непрерывном- пределе моделей нелокальных сплошных сред, описываемых интегро-дифференцированием нецелого порядка по координатам, из уравнений движения дискретных систем (таких как линейные цепочки и кристаллические решетки) с нелокальными взаимодействиями степенного типа. в) Впервые взаимно согласовано определены дифференциальные и интегральные векторные операции дробного порядка, на их основе сформулированы и доказаны обобщения интегральных теорем Грина, Стокса, Гаусса. Используя методы дробного векторного анализа, нами были построены новые модели статистической механики и электродинамики со степенными нелокальностями. г) Впервые построены модели градиентных и гамильтоновых систем дробного порядка, позволяющие сводить изучение широкого класса неградиентных и негамильтоновых систем к исследованию свойств обобщенных потенциалов и гамильтонианов. д) Предложен новый метод описания электромагнитных полей в диэлектрических средах, подчиняющихся законам универсального отклика, основанный на использовании уравнений с интегро-дифференцированиями дробного порядка, который явно выражается через экспериментально измеримые показатели степенной зависимости универсального отклика. е) Впервые построены модели физических систем, на которые наложены него-лономные связи с памятью, описываемой интегро-дифференцированиями Римана-Лиувилля и Капуто дробного порядка. ж) Впервые построены без каких-либо аппроксимаций модели дискретных систем (отображений) с памятью, эквивалентные моделям-физических систем с периодическими толчками и со степенной памятью, описываемой интегро-дифференцированием дробного порядка. з) Впервые построены модели квантовых гамильтоновых и негамильтоновых систем со степенным экранированием окружения, в которых использовались дробные степени супероператоров. и) Впервые реализовано вейлевское квантование интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля и Лиувилля дробного порядка, позволяющее описывать квантовые аналоги классических систем со степенными нелокальностями.

Достоверность. Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается использованием современных математических методов расчета, ясной физической интерпретацией описываемых свойств и явлений, возможностью экспериментальной проверки полученных решений. Правильность результатов проверялась с помощью предельных переходов к известным случаям и использова-, нием компьютерных программ аналитических вычислений для перепроверки полученных результатов.

Практическая ценность. Построение моделей фрактальных- сред ^ процессов имеет практическую ценность, так как- в .предлагаемых моделях-дробный- поря- : док интегрирования выражается • через экспериментально измеримые: (массовые, зарядовые и; другие); нецелые размерности этих сред и распределений: Результаты. полученные В: рамках, дробно-интегральных моделей, могут быть, исполь- " зованы при; расчетах динамических характеристик и мультипольных моментов фрактальных- сред ш распределений различных типов в различных- областях от астрофизики до расчета;коллекторовшефтегазовых месторождений.

В ,полученных уравнениях для электромагнитного поля в:диэлектрических средах, подчиняющихся законам; универсального отклика, дробныйшорядок интегро-дифференцирования явно выражается через экспериментально измеримые показатели: степенной зависимости универсального отклика: Эти уравнения позволяют в широком диапазоне частот точно описывать свойства материалов с низкими потерями;на излучение; которые имеют важное значение длягстелс-технологий:.

Дискретные отображения? с памятью, полученные из уравнений? движения с производными-дробных порядков;- могут быть использованы в компыотерном моделировании физических систем с долговременной степенной памятью, что позволяет исследовать новые типы регулярных и странных аттракторов:

Во второй* главе рассматриваются модели физических систем и сред с нелокальными свойствами и с нелокальными взаимодействиями степенного типа, для описания которых используются методы интегро-дифференцирования дробного порядка по координатам. Доказана взаимосвязь дискретных (решетчатых) моделей частиц с дальнодействием степенного типа и уравнений сплошных сред с производными дробного порядка. Развиваются методы дробного векторного анализа и дробного внешнего исчисления для построения теоретических моделей с интегро-дифференцированием дробного порядка в статистической механике и физической кинетике, в электродинамике сплошных сред и в аналитической механике.

В третьей главе рассматриваются модели физических систем и сред с эреди-тарными свойствами« и с долговременной памятью степенного типа с использованием методов интегро-дифференцирования дробного порядка по времени. Строятся модели электродинамики диэлектрических сред со степенной памятью, проявляющейся в эффектах универсального отклика. Рассматриваются неголономные системы с обобщенными связями, описывающими долговременную степенную память. Уравнения дискретных систем (отображений) с памятью выводятся без использования аппроксимаций из уравнений движения с интегро-дифференцированием дробного порядка.

В четвертой главе рассматриваются модели квантовых гамильтоновых и негамильтоновых систем, взаимодействующих со своим окружением и описываемых дробными степенями инфинитезимальных производящих генераторов. Описываются динамические свойства экранированных квантовых систем. Используя вейлевское квантование и представление производных нецелого порядка в виде ряда и в виде интеграла Фурье, нами строятся квантовые аналоги производных Римана-Лиувилля и производных Лиувилля.

В приложении приводятся основные сведения об интегрировании дробного порядка.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации. Они сводятся к следующим:

1. Построены принципиально новые модели описания динамики фрактальных сред и распределений, в которых они представляются специальными сплошными средами, при этом их характеристики и динамические законы описываются интегральными уравнениями дробного порядка. Порядок интегрирования определяется нецелыми (массовой, зарядовой, частичной и др.) размерностями среды и распределения. Описаны способы расчета масс, зарядов, потоков, полей, муль-типольных моментов, моментов инерции, энергий, импульсов и других характеристик фрактальных сред и распределений.

2. Впервые построены теоретические модели дискретных систем, таких как линейные цепочки и кристаллические решетки, с нелокальными взаимодействиями степенного типа, приводящие в непрерывном пределе к моделям нелокальных сплошных сред, описываемых уравнениями с интегро-дифференцированиями нецелого порядка по координатам. Показано, что степенная нелокальность в непрерывных средах связана с межчастичным взаимодействием дробно-степенного типа.

3. Впервые .взаимно согласовано определены дифференциальные и интегральные векторные операции дробного порядка, на их основе сформулированы и доказаны интегральные теоремы, построены новые модели статистической механики и электродинамики со степенными нелокальностями. Впервые построены модели градиентных и гамильтоновых систем дробного порядка, позволяющие сводить изучение широкого класса неградиентных и негамильтоновых систем к исследованию свойств обобщенных потенциалов и гамильтонианов.

5. Впервые построены модели неголономных систем со степенной памятью, использующие интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля и Капуто дробного порядка. Показано, что эффекты памяти могут возникать вследствие наложения на систему неголономных связей.

6. Впервые построены без каких-либо аппроксимаций модели дискретных систем (отображений) с памятью, эквивалентные моделям физических систем с периодическими толчками и со степенной памятью, описываемой интегро-дифферен-цированием дробного порядка.

7. Впервые построены модели квантовых гамильтоновых и негамильтоновых систем со степенным экранированием окружения и описаны динамические свойства таких систем. Впервые реализовано вейлевское квантование интегро-дифференцирований Римана-Лиувилля и Лиувилля дробного порядка, позволяющее описывать квантовые аналоги классических систем со степенными нелокальностями.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующим:

2. Впервые построены теоретические модели дискретных систем, таких как линейные цепочки и кристаллические решетки, с нелокальными взаимодействиями степенного типа, приводящие в непрерывном пределе к моделям нелокальных сплошных сред, описываемых уравнениями с интегро-дифференцированиями нецелого порядка по координатам. Показано, что степенная нелокальность в непрерывных средах связана с межчастичным взаимодействием дробно-степенного типа.

3. Впервые взаимно согласованно определены дифференциальные и интегральные векторные операции дробного порядка, на их основе сформулированы и доказаны интегральные теоремы, построены новые модели статистической механики и электродинамики со степенными нелокальностями. Впервые построены модели градиентных и гамильтоновых систем дробного порядка, позволяющие сводить изучение широкого класса неградиентных и негамильто-новых систем к исследованию свойств обобщенных потенциалов и гамильтонианов.

7. Впервые построены модели квантовых гамильтоновых и негамильтоновых систем со степенным экранированием окружения и описаны динамические свойства таких систем. Впервые реализовано вейлевское квантование интегроi дифференцирования Римана-Лиувилля и Лиувилля дробного порядка, позволяющее описывать квантовые аналоги классических систем со степенными нелокальностями.

По теме диссертации опубликованы 3 монографии [306, 290, 55] и 55 статей, среди которых 41 статья [51, 53, 54, 247, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 263, 264, 266, 268, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 282, 283, 285, 286, 287, 289, 291, 292,

293^ 294, 295, 297, 300, 302, 303, 305, 308], являющаяся единоличнымшпубликаци-ями автора диссертации в рецензируемых российских и. зарубежных журналах, и 14 статей [267, 278, 279, 280, 281,, 284, 288, 296, 298; 299, 304, 329, 103, 15% выполненных с соавторами и опубликованных по теме диссертации-в рецензируемых^ зарубежных журналах. В; работах, выполненных с соавторами, вклад автора; диссертации является'; определяющим как на этапах, постановки: задач;. так и на, этапах проведения: аналитических расчетов, а также интерпретации полученных результатов. , :

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах НИИядернойфизикиМГУ, физического;факультетами института,математических наук-им; КурантаШью-Йоркскогоуниверситета^СШ университета; Барселоны, (Испания), математического факультета Сингапурского университета (Сингапур), а также на; международных конференцйях:: Х1Х-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (2010, Москва); Международная конференция; "Динамический хаос и неравновесная статистическая механика:.От точных результатов к применениям в нано-системахп(2006, Сингапур); Международная конференция? по»хаотическим • явлениям переноса и сложности в жидкостях и плазме (2004, Карри ле Роует, Франция) ; XVI 1-ая Международная конференция» но физике высоких.энергий; и квантовой теории поля (2003. Самара-Саратов); Первый международный; симпозиум по квантовой информатике (2002; Липки, Московская область); ХУ1-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории-поля (2001, Москва); ХУ-ая Международная конференция по физике высоких энергий:и квантовой теории поля (2000, Тверь); Х1У-ая Международная конференция;по физике высоких энергий и квантовой теории поля (1999, Москва); 37 Международная университетская конференция по физике ядра и частиц (1998, Шладминг, Австрия);

XII-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (1997. Самара); XI-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (1996, Санкт-Петербург); Международная конференция по квантовой диссипации и ее применениям (1996, Триест, Италия).

Исследования, результаты которых вошли в настоящую диссертацию, были поддержаны Московским государственным университетом имени М.В. Ломоносова: грант 2006 года за цикл статей "Физика фрактальных сред и процессов" и грант 2009 года за монографию "Квантовая механика негамильтоновых и дисси-пативных систем"; Российским фондом фундаментальных исследований в 20022003 годах: грант No. 02-02-16444-а "Исследования теорий с дополнительными измерениями и нетривиальной структурой пространства-времени"; в 2000-2001 годах - грант No. 00-02-17679-а "Изучение физических эффектов в моделях с дополнительными измерениями и нетривиальной структурой пространства-времени"; Министерством энергетики США (U.S. Department of Energy): грант No. DE-FG02-92ER54184; Офисом Военно-морских Исследований США (US Office of Naval Research): грант No. N00014-02-1-0056; Национальным научным фондом США (U.S. National Science Foundation): грант No. DMS-0417800.

Заключение

Список источников диссертации и автореферата по физике, доктора физико-математических наук, Тарасов, Василий Евгеньевич, Москва

1. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Наука, 1990. 312 с.

2. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. Регулярные и хаотические автоколебания: Синхронизация и влияние флуктуаций. М.: Интеллект, 2009. 312 с.

3. Боголюбов А.Н., Потапов A.A., Рехвиашвили С.Ш. Способ введения дробного интегро-дифференцирования в классической электродинамике // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. No.4 (2009) С. 9-12.

4. Боголюбов H.H. Избранные труды. Том. 2. Киев: Наукова думка, 1970. 522 с.

5. Боголюбов H.H. Кинетические уравнения // Журнал Экспериментальной и Теоретической физики. Том 16. (1946) 691-702.

6. Боголюбов H.H. Проблемы динамической теории в статистической физике. М.: ОГИЗ, 1946. 120 с.

7. Валландер C.B. Лекции по гидроаэромеханике. 2-е изд. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005. 296 с.

8. Вилази Г. Гамильтонова динамика. Пер. с англ. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2006. 432 с.

9. Владимиров B.C., Волович И.В., Зеленов Е.И. р-адический анализ и математическая физика. М.: Наука, 1994. 352 с. Параграф 10.

10. Власов A.A. О вибрационных свойствах электроного газа // Успехи физических наук. 1967. Том 93. Вып. 11. С. 444-470.271

11. Власов A.A. О вибрационных свойствах электроного газа // Журнал Экспериментальной и теоретической физики. 1938. Том 8. No.3. С. 291-318.

12. Власов A.A. Статистические функции распределения. М.: Наука, 1966. 356 с.

13. Власов A.A. Нелокальная статистическая механика. М.: Наука, 1978. 264 с.

14. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 304 с.

15. Востовский Г.В., Колмаков А.Г., Бунин И.Ж. Введение в мультифракталь-ную параметризацию структуры материалов. Москва-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. 116 с.

16. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. Том>1. М.: Мир, 1984. 350 с.

17. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. 4-е изд. М.: Наука, 1965. 400 с.

18. Гуров К.П. Основания кинетической теории. Метод H.H. Боголюбова. М.: Наука, 1966. 352 с.

19. Добронравов В.В. Основы механики неголономных систем. М.: Высшая школа, 1970. 272 с.

20. Заславский Г.М. Гамильтонов хаос и фрактальная динамика. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2010. 472 с.

21. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Ввеедение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. 368 с.

22. Зеленый JI.M., Милованов A.B. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // Успехи Физических Наук. 2004. Т. 174. No.8. С. 809-852.

23. Зубарев Д.Н., Новиков М.Ю. Обобщенная формулировка граничного условия к уравнению Лиувилля и цепочке Б-Б-Г-К-И // Теоретическая и математическая физика. 1972. Т. 13. No.3. С. 406-420.

24. Иванова B.C. Баланкин A.C., Бунин И.Ж., Оксогоев A.A. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука, 1994. 383 с.

25. Исихара А. Статистическая физика. М.: Мир, 1973. 470 с. Приложение IV, и Параграф 7.5.

26. Казбеков К.К. Дробные дифференциальные формы в евклидовом пространстве // Владикавказкий Математический Журнал. Том 7. No.2. (2005) 41-54.

27. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 792 с.

28. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М. Наука, 1967. 464 с.

29. Кулак М.И. Фрактальная механика материалов. Минск: Вышэйшая школа, 2002. 302 с.

30. Лоренц Э.Н. Детерминированное непериодическое течение // Странные аттракторы. Сборник статей. М.: Мир, 1981. С. 88-116.

31. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Основы теории сложных систем Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2007. 612 с.

32. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 656 с.

33. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. 2-е изд. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 160 с.

34. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

35. Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967. 520 с.

36. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. 424 с.

37. Нигматуллин P.P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // Теоретическая и математическая физика. 1992. Т. 90. No.3. С. 354-368.

38. Нигматуллин P.P., Рябов Я.Е. Диэлектрическая релаксация типа Коула-Девидсона и самоподобный процесс релаксации // Физика твердого тела. 1997. Т 39. No.l. С. 101-105.

39. Новоселов B.C. Вариационные методы в механике. JL: Изд-во ЛГУ, 1966. 72 с.

40. Петкевич В.В. Теоретическая механика. М.: Наука, 1981. 496 с.

41. Потапов A.A. Фракталы в радиофизике и радиолокации. Топология выборки. М.: Университетская книга, 2005. 848 с.

42. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Том 1. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 800 с.

43. Псху A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 200 с.

44. Румянцев В.В. Принцип Гамильтона для неголономных систем // Прикладная Математика и Механика. 1978. Т. 42. No.3. С. 387-399.

45. Рутман P.C. К статье P.P. Нигматуллина "Дробный интеграл и его физическая интерпретация"// Теоретическая и математическая физика. 1994. Т. 100. No.3. С. 476-478.

46. Рутман P.C. О физических интерпретациях фрактального интегрирования и дифференцирования // Теоретическая и математическая физика. 1994. Т. 105. No.3. С. 393-404.

47. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и Техника, 1987. 688 с.

48. Сибатов Р.Т., Учайкин В.В. Дробно-дифференциальный подход к описанию дисперсионного переноса в полупроводниках // Успехи физических наук. 2009. Т. 179. No.10. С. 1079-1104.

49. Силин В.П., Рухадзе A.A. Электромагнитные свойства плазмы и плазмопо-добных сред. М: Атомиздат, 1961. 244 с.

50. Станиславский A.A. Вероятностная интерпретация интеграла дробного порядка // Теоретическая и математическая физика. 2004. Т. 138. No.3. С. 491507.

51. Тарасов В.Е. Вейлевское квантование динамических систем с плоским фазовым пространством // Вестник Московского университете. Серия 3 Физика. Астрономия. Т. 56. N0.6. (2001) С. 6-9.

52. Тарасов В.Е. Квантовая механика. Лекции по основам теории. 2-е изд. М.: Вузовская книга, 2005. 326 с.

53. Тарасов В.Е. Дробное обобщение квантового марковского производящего уравнения // Теоретическая и математическая физика. 2009. Т. 158. N0.2. С. 214-233.

54. Тарасов В.Е. Дробные интегро-дифференциальные уравнения для электромагнитных волн в диэлектрических средах // Теоретическая и математическая физика. 2009. Т. 158. N0.3. С. 419-424.

55. Тарасов В.Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка // Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2011. 568 с.

56. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Советское радио, 1977. 488 с.

57. Учайкин В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // Успехи физических наук. 2003. Т. 173. N0.8. С. 847-876.

58. Учайкин В.В. Аномальная диффузия и дробно-устойчивые распределения // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2003. Т. 124. N0.3. С. 903-920.

59. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.

60. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 254 с.

61. Форстер Д. Гидродинамические флуктуации, нарушенная симметрия и корреляционные функции. М.: Атомиздат, 1980. 288 с.

62. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИИЛ, 1962. 830 с.

63. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988. 240 с.

64. Электронная теория неупорядоченных полупроводников. Бонч-Бруевич B.J1. Звягин И.П., Кайпер И.П., Миронов А.Г., Эндерлайн Р., Эссер Б., М.: Наука, 1981. 384 с. Параграфы 1.5, 1.6, 2.5.

65. Accardi L., Lu Y.G., Volovich I.V. Quantum Theory and Its Stochastic Limit (Springer Verlag, New York, 2002).

66. Agrawal O.P. Formulation of Euler-Lagrange equations for fractional variational problems // Journal of Mathematical Analysis and Applications. Vol.272. No.l. (2002) 368-379.

67. Balakrishnan V. Fractional power of closed operator and the semigroup generated by them // Pacific Journal of Mathematics. Vol.10. No.2. (1960) 419-437.

68. Barre J., Bouchet F., Dauxois Т., Ruffo S. Large deviation techniques applied to systems with long-range interactions // Journal of Statistical Physics. Vol.119. No.3-4. (2005) 677-713.

69. Barrett J.H. Differential equations of non-integer order // Canadian Journal of Mathematics. Vol.6. No.4. (1954) 529-541.

70. Belleguie L., Mukamel S., Nonlocal electrodynamics of weakly confined excitons in semiconductor nanostructures // Journal of Chemical Physics. Vol.101. No.ll. (1994) 9719-9735.

71. Ben Adda F. Geometric interpretation of the differentiability and gradient of real order // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences Series I - Mathematics. Vol.326. No.8. (1998) 931-934.

72. Ben Adda F. Geometric interpretation of the fractional derivative // Journal of Fractional Calculus. Vol.11. No.l. (1997) 21-52.

73. Ben Adda F. The differentiability in the fractional calculus // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences Series I - Mathematics. Vol.326. No.7. (1998) 787-791.

74. Ben Adda F. The differentiability in the fractional calculus // Nonlinear Analysis. Vol.47. (2001) 5423-5428.

75. Berens H, Butzer P.L. Westphal U. Representation of fractional powers of infinitesimal generators of semigroups // Bulletin of the American Mathematical Society. Vol.74. No.l. (1968) 191-196.

76. Bergman R. General susceptibility functions for relaxations in disordered systems // Journal of Applied Physics. Vol.88. No.3. (2000) 1356-1365.

77. Biler P:, Funaki T., Woyczynski W.A. Fractal Burger equation // Journal of Differential Equations. Vol.148. No.l. (1998) 9-46.

78. Brandt E.H. Non-local electrodynamics in a superconductor with spacially varying gap parameter // Physics Letters A. Vol.39. No.3. (1972) 227-228.

79. Braun O.M., Kivshar Y.S. Nonlinear dynamics of the Frenkel-Kontorova model // Physics Reports. Vol.306. No.l. (1998) 2-108.

80. Braun O.M., Kivshar Y.S., Zelenskaya I.I. Kinks in the Frenkel-Kontorova model with long-range interparticle interactions // Physical Review B. Vol.41. No.10: (1990) 7118-7138.

81. Brouers F., Sotolongo-Costa O. Relaxation in heterogeneous systems: A rare events dominated phenomenon // Physica A. Vol.356. No.2-4. (2005) 359-374.

82. Bogolyubov N.N., Bogolyubov N.N. (Jr.) Introduction to Quantum, Statistical • Mechanics (World Scientific, Singapore, 1982)

83. Burgers J. The Nonlinear Diffusion Equation (Reidel. Dordrecht, Amsterdam, 1974)

84. Calcagni G. Quantum field' theory, gravity and cosmology in a fractal universe // Journal of High Energy Physics. Volume 2010. Article id. 120. URL: http://arxiv.org/abs/1001.0571 (E-print: arXiv:1001.0571).

85. Campa A., Dauxoisb T., S. Ruffo S. Statistical mechanics and dynamics of solvable models with long-range interactions // Physics Reports. Vol.480. No.3-6. (2009) 57-159.

86. Carpinteri A., Mainardi F. (Eds.), Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics (Springer, New York, 1997)277

87. Chechkin A.V., Gonchar V.Yu., Szydlowsky M. Fractional kinetics for relaxation and superdiffusion in magnetic field // Physics of Plasmas. Vol.9. No.l. (2002) 78-88.

88. Chen Y., Yan Z.Y., Zhang H.Q. Applications of fractional exterior differential in three-dimensional space // Applied Mathematics and Mechanics. Vol.24. No.3. (2003) 256-260.

89. Chirikov B.V. A universal instability of many dimensional oscillator systems // Physics Reports. Vol.52. No.5. (1979) 263-379.

90. Collet P., Eckman J.P. Iterated Maps on the Interval as Dynamical System (Birkhauser, Basel, 1980).

91. Cottrill-Shepherd K., Naber M. Fractional differential forms // Journal of Mathematical Physics. Vol.42. No.5. (2001) 2203-2212.

92. Cottrill-Shepherd K., Naber M. Fractional differential forms II // URL: http://arxiv.org/abs/math-ph/0301016 (E-print math-ph/0301016).

93. Cronstrôm C., Raita T. On nonholonomic systems and variational principles // Journal of Mathematical Physics. Vol.50. No.4. (2009) 042901.

94. Curie J. Recherches sur le pouvoir inducteur spécifique et la conductibilité des corps cristallises // Annales de Chimie et de Physique. Vol. 17. (1889) 385-434.

95. Curie J. Recherches sur la conductibilité des corps cristallises // Annales de Chimie et de Physique. Vol.18. No.6. (1889) 203-269. (in French)

96. Davies E.B. Quantum stochastic processes II // Communication in Mathematical Physics. VoL19. No.2. (1970) 83-105.

97. Davies E.B. Quantum dynamical semigroups and neutron diffusion equation // Reports in Mathematical Physics. Vol.11. No.2. (1977) 169-188.

98. Davies E.B. Quantum Theory of Open Systems (Academic Press, London, New York, San Francisco, 1976).

99. Dietz K. Asymptotic solutions of Lindblad equations // Journal of Physics A. Vol.35. No.49. (2002) 10573-10590.

100. Dyson F.J. Existence of a phase-transition in a one-dimensional Ising ferromagnet // Communication in Mathematical Physics. Vol.12. No.2. (1969) 91-107.

101. Dyson F.J. Non-existence of spontaneous magnetization in a one-dimensional Ising ferromagnet // Communication in Mathematical Physics. Vol.12. No.3. (1969) 212-215.

102. Dyson F.J. An Ising ferromagnet with discontinuous long-range older // Communication in Mathematical Physics. Vol.21. No.4. (1971) 269-283.

103. Edelman M., Tarasov V.E. Fractional standard map // Physics Letters A. Vol.374. No.2. (2009) 279-285.

104. Edgar G.A. Measure, Topology, and Fractal Geometry (Springer, New York 1990).

105. Engheta N. Fractional curl operator in electromagnetics // Microwave and Optical Technology Letters. Vol.17. No.2. (1998) 86-91.

106. Engheta N. On the role of fractional calculus in electromagnetic theory // Antennas and Propagation Magazine. Vol.39. No.4. (1997) 35-46.

107. Evans D.J., Hoover W.G., Failor B.H., Moran B., Ladd A.J.C. Nonequilibrium molecular dynamics via Gauss's principle of least constraint // Physical Review A. Vol.28. No.2. (1983) 1016-1021.

108. Evans D.J., Morriss G.P. The isothermal/isobaric molecular dynamics ensemble // Physics Letters A. Vol.98. No.6-9. (1983) 433-436.

109. Falconer K.F. Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications (Wiley, Chichester, New York, 1990).

110. Federer H. Geometric Measure Theory (Springer-Verlag, Berlin, 1969).

111. Fick E., Fick M., Hausmann G. Logistic equation with memory // Physical Review A. Vol.44. No.4. (1991) 2469-2473.

112. Flach S. Breathers on lattices with long-range interaction // Physical Review E. Vol.58. No.4. (1998) R4116-R4119.

113. Flach S., Willis C.R. Discrete breathers // Physics Reports. Vol.295. No.5. (1998) 181-264.

114. Foley J.T., Devaney A.J. Electrodynamics of nonlocal media // Physical Review B. Vol.12. No.8. (1975) 3104-3112.

115. Frame M., Mandelbrot B., Neger N., Fractal Geometry URL: http: / / classes.yale.edu / fractals

116. Frenning G. Dielectric-response function determined by regular singular-point analysis // Physical Review B. Vol.65. No.24. (2002) 245117.

117. Fröhlich J., Israel R., Lieb E.H., Simon B. Phase transitions and reflection positivity I. General theory and long-range lattice model // Communication in Mathematical Physics. Vol.62. No.l. (1978) 1-34.

118. Fulinski A., Kleczkowski A.S. Nonlinear maps with memory // Physica Scripta. Vol.35. No.2. (1987) 119-122.

119. Gafiychuk V., Datsko B., Meleshko V. Analysis of fractional order Bonhoeffer-van der Pol oscillator // Physica A. Vol.387. No.2-3. (2008) 418-424.

120. Gaididei Yu.B., Mingaleev S.F., Christiansen P.L., Rasmussen K.O. Effects of nonlocal dispersive interactions on self-trapping excitations // Physical Review E. Vol.55. No.5. (1997) 6141-6150.

121. Gaididei Yu.B., Flytzanis N., Neuper A., Mertens F.G. Effect of nonlocal interactions on soliton dynamics in anharmonic lattices // Physical Review Letters. Vol.75. No.l. (1995) 2240-2243.

122. Gallas J.A.C. Simulating memory effects with discrete dynamical systems // Physica A. Vol.195. No.3-4. (1993) 417-430; "Erratum"Physica A. Vol.198. No.l-2. (1993) 339-339.

123. Genchev Z.D. Generalized nonlocal electrodynamics of distributed tunnel Josephson junctions // Superconductor Science and Technology. Vol.10. (1997) 543-546.

124. Gilding B.H., Kersner R. Travelling Waves in Nonlinear Diffusion Convection Reaction (Birkhauser Verlag, Basel, 2004).

125. Giona M. Dynamics and relaxation properties of complex systems with memory // Nonlinearity. Vol.4. No.3. (1991) 991-925.

126. Gorenflo R. Fractional calculus: some numerical methods //in Carpinteri A., Mainardi F. (Editors): Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics (Springer, Wien and New York, 1997) pp.277-290.

127. Gorenflo R., Luchko Y., Mainardi F. Wright functions as scale-invariant solutions of the diffusion-wave equation // Journal of-Computational and Applied Mathematics. Vol.118. No.1-2. (2000) 175-191.

128. Gorini V., Kossakowski A., Sudarshan E.C.G. Completely positive dynamical semigroups of N-level systems // Journal of Mathematical Physics. Vol.17. No.5. (1976) 821-825.

129. Gorini V., Frigerio A., Verri M., Kossakowski A., Sudarshan E.C.G. Properties of quantum markovian master equations // Reports in Mathematical Physics. Vol.13. No.2. (1978) 149-173.

130. Haile J.M., Gupta S. Extensions of the molecular dynamics simulation method. II. Isothermal systems // Journal of Chemical Physics. Vol.79. No.6. (1983) 30673076.

131. Hartwich K., Fick E. Hopf bifurcations in the logistic map with oscillating memory // Physics Letters A. Vol.177. No.4-5. (1993) 305-310.

132. Heymans N., Podlubny I. Physical interpretation of initial conditions for fractional differential equations with Riemann-Liouville fractional derivatives // Rheologica Acta. Vol.45. No.5. (2006) 765-771.

133. Hilfer R. (Ed.), Applications of Fractional Calculus in Physics (World Scientific, Singapore, 2000).

134. Hussain A., Naqvi Q.A. Fractional curl operator in chiral medium and fractional non-symmetric transmission line // Progress In Electromagnetics Research. Vol.59. (2006) 199-213.

135. Hussain A., Ishfaq S., Naqvi Q.A. Fractional curl operator and fractional waveguides // Progress In Electromagnetics Research. Vol.63. (2006) 319-335.

136. Ingarden R.S., Kossakowski A. On the connection of nonequilibrium information thermodynamics with non-Hamiltonian quantum mechanics of open systems // Annals of Physics. Vol.89. No.2. (1975) 451-485.

137. Isar A., Sandulescu A., Scutaru H., Stefanescu E., Scheid W. Open quantum systems // International Journal of Modern Physics E. Vol.3. No.2. (1994) 635714.

138. Ishimori Y. Solitons in a one-dimensional Lennard-Jones lattice // Progress of Theoretical Physics. Vol.68. No.2. (1982) 402-410.

139. Ivakhnychenko M.V., Veliev E.I. Fractional curl operator in radiation problems // 10th International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. IEEE (2004) 231-233.

140. Jonscher A.K. Dielectric Relaxation %n Solids (Chelsea Dielectrics Press, London, 1983).

141. Jonscher A.K. Universal Relaxation Law (Chelsea Dielectrics Press, London, 1996).

142. Jonscher A.K. Dielectric relaxation in solids // Journal of Physics D. Vol.32. No. 14. (1999) R57-R70.

143. Jonscher A.K. Universal dielectric response // Nature. Vol.267. No.5613. (1977) 673-679.

144. Jonscher A.K. Low-frequency dispersion in carrier-dominated dielectrics // Philosophical Magazine B. Vol.38. No.6. (1978) 587-601.

145. Katz A.J., Thompson A.H. Fractal sandstone pores: implications for conductivity and pore formation // Physical Review Lettetrs. Vol.54. No.12. (1985) 1325-1328.282

146. Kempfle S., Schafer I. Fractional differential equations and initial conditions // Fractional Calculus and Applied Analysis. Vol.3 No.4. (2000) 387-400.

147. Kilbas A.A., Bonilla B., Trujillo J.J. Nonlinear differential equations of fractional order is space of integrable functions // Doklady Mathematics. Vol.62. No.2. (2000) 222-226.

148. Kilbas A.A., Bonilla B., Trujillo J.J. Existence and uniqueness theorems for nonlinear fractional differential equations // Demonstrate Mathematica. Vol.33. No.3. (2000) 583-602.

149. Kilbas A.A., Marzan S.A. The Cauchy problem for differential equations with fractional Caputo derivative // Doklady Mathematics. Vol.70. No.3. (2004) 841845.

150. Kilbas A.A., Marzan S.A. Nonlinear differential equations with the Caputo fractional derivative in the space of continuously differentiate functions // Differential Equations. Vol.41. No.l. (2005) 84-89.

151. Kilbas A. A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations (Elsevier, Amsterdam, 2006).

152. Klafter J., Lim S.C., Metzler R. (Eds.), Fractional Dynamics in Physics (World Scientific, Singapore, 2011)

153. Kolmogorov A.I., Petrovsky I., Piscounov N. Etude de l'equation de la diffusion avec croissance de la quantite de matiere et son application a un probleme biologique // Moscow University Bulletin. Ser. International Sect. A. Vol.1. No.6. (1937) 1-25.

154. Komatsu H. Fractional powers of operators // Pacific Journal of Mathematics. Vol.19. No.2. (1966) 285-346.

155. Korabel N., Zaslavsky G.M., Tarasov V.E. Coupled oscillators with power-law interaction and their fractional dynamics analogues // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. Vol.12. No.8. (2007) 1405-1417.

156. Kossakowski A. On quantum statistical mechanics of non-Hamiltonian systems // Reports in Mathematical Physics. Vol.3. No.4. (1972) 247-274.

157. Kuzelev M.V., Rukhadze A.A. Methods of Waves Theory in Dispersive Media, (World Publisher, Singapore, 2009) 272p.

158. Laskin N., Zaslavsky G.M. Nonlinear fractional dynamics on a lattice with longrange interactions // Physica A. Vol.368. No.l. (2006) 38-54.

159. Laskin N. Fractional quantum mechanics // Physical Review E. Vol.62. No.3. (2000) 3135-3145.

160. Laskin N. Fractional Schrodinger equation // Physical Review E. Vol.66. (2002) 056108.

161. Li J. Ostoja-Starzewski M. Fractal solids, product measures and fractional wave equations // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. Vol.465. No.2108. (2009) 2521-2536.

162. Liboff R.L. Kinetic Theory: Classical, Quantum and Relativistic Description, 2nd ed. (Wiley, New York, 1998) 548p.

163. Lindblad G. On the generators of quantum dynamical semigroups // Communication in Mathematical Physics. Vol.48. No.2. (1976) 119-130.

164. Lindblad G. Brownian motion of a quantum harmonic oscillator // Reports in Mathematical Physics. Vol.10. No.3. (1976) 393-406.

165. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. Vol.20. No.2. (1963) 130-141.

166. Luo A.C.J., Afraimovich V.S. (Eds.), Long-range Interaction, Stochasticity and Fractional Dynamics (Springer, 2010).

167. Lutzen J. Liouville's differential calculus of arbitrary order and its electrodynamical origin // in Proc. 19th. Nordic Congress Mathematicians, (Icelandic Mathematical Society, Reykjavik, 1985) pp. 149-160.

168. Machado J.A.T. A probabilistic interpretation of the fractional-order differentiation // Fractional Calculus and Applied Analysis. Vol.6. No.l. (2003) 73-80.

169. Machado J.A.T. Fractional derivatives: Probability interpretation and frequency response of rational approximations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. Vol.14. No.9-10. (2009) 3492-3497.

170. Mainardi F. Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena // Chaos, Solitons and Fractals. Vol.7. No.9. (1996) 1461-1477.

171. Mainardi F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models, (World Scientific, Singapore, 2010).

172. Mainardi F., Luchko Yu.rPagnini G. The fundamental solution of the space-time fractional diffusion equation // Fractional Calculus and Applied Analysis. Vol.4. No.2. (2001) 153-192.

173. Martynov G.A. Classical Statistical-Mechanics (Kluwer, Dordrecht, 1997)

174. Martinez C., Sanz M. The Theory of Fractional Powers of Operators, North-Holland Mathematics Studies. Vol.187. (Elsevier, Amsterdam, 2000) 374p.

175. Mashhoon, B. Vacuum electrodynamics of accelerated systems: Nonlocal Maxwell's equations // Annalen der Physik. Vol.12. No. 10. (2003)*586-598.

176. Mashhoon B. Nonlocal electrodynamics of linearly accelerated systems // Physical Review A. Vol.70. No.6. (2004) 062103.

177. Mashhoon B. Nonlocal electrodynamics of rotating systems // Physical Reviewi

178. A. Vol.72. No.5. (2005) 052105.

179. Metzler R., Klafter J. The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Physics Reports. Vol.339. No.l. (2000) 1-77.285

180. Metzler R., Klafter J. The restaurant at the end of the random walk: recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics // Journal of Physics A. Vol.37. No.31. (2004) R161-R208.

181. Miller K.S., Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations (Wiley. New York, 1993)

182. Milovanov A.V. Pseudochaos and low-frequency percolation scaling for turbulent diffusion in magnetized plasma // Physical Rewiew E. Vol.79. No.4. (2009) 046403.

183. Milovanov A.V., Rasmussen J.J. Fractional generalization of the Ginzburg-Landau equation: an unconventional approach to critical phenomena in complex media // Physics Letters A. Vol.337. No.1-2. (2005) 75-80.

184. Milovanov A.V., Rasmussen J.J., Rypdal K. Stretched-exponential decay functions from a self-consistent model of dielectric relaxation // Physics Letters A. Vol.372. No.13. (2008) 2148-2154.

185. Milovanov A.V., Rypdal K., Rasmussen J.J. Stretched exponential relaxation and ac universality in disordered dielectrics // Physical Review B. Vol.76. No. 10. (2007) 104201.

186. Mingaleev S.F., Gaididei Y.B., Mertens F.G. Solitons in anharmonic chains with power-law long-range interactions // Physical Review E. Vol.58. No.3. (1998) 3833-3842.

187. Mingaleev S.F., Gaididei Y.B., Mertens F.G. Solitons in anharmonic chains with ultra-long-range interatomic interactions // Physical Review E. Vol.61. No.2. (2000) R1044-R1047.

188. Momani S. An explicit and numerical solutions of the fractional KdV equation // Mathematics and Computers in Simulation. Vol.70. No.2. (2005) 110-1118.

189. Monsrefi-Torbati M., Hammond J.K. Physical and geometrical interpretation of fractional operators // Journal of The Franklin Institute B. Vol.335. No.6. (1998) 1077-1086.

190. Montroll E.W., Shlesinger M.F. The wonderful world of random walks // In: Studies in Statistical Mechanics, Vol.11. (North-Holland, Amsterdam, 1984) pp.l-121.

191. Naber M. Time fractional Schrodinger equation // Journal of Mathematical Physics. Vol.45. No.8. (2004) 3339-3352.

192. Nakano H., Takahashi M. Quantum Heisenberg model with long-range ferromagnetic interactions // Physical Review B. Vol.50. No.14. (1994) 1033110334.

193. Nakano H., Takahashi M. Magnetic properties of quantum Heisenberg ferromagnets with long-range interactions // Physical Review B. Vol.52. No.9. (1995) 6606-6610.

194. Nakazato H., Hida Y., Yuasa K., Militello B., Napoli A., Messina A. Solution of the Lindblad equation in the Kraus representation // Physical Review A. Vol.74. No.6. (2006) 062113.

195. Naqvi Q.A., Abbas M. Complex and higher order fractional curl operator in electromagnetics // Optics Communications. Vol.241. No.4-6. (2004) 349-355.

196. Naqvi S.A., Naqvi Q.A., Hussain A. Modelling of transmission through a chiral slab using fractional curl operator // Optics Communications. Vol.266. No.2. (2006) 404-406.

197. Newell A.C., Whitehead J.A. Finite bandwidth, finite amplitude convection // Journal of Fluid Mechanics. Vol.38. No.2. (1969) 279-303.

198. Newkome G.R., Wang P., Moorefield C.N., et al. Nanoassembly of a fractal polymer: A molecular "Sierpinski hexagonal gasket // Science. Vol.312. No.5781. (2006) 1782-1785.

199. Ngai K.L., Jonscher A.K., White C.T. On the origin of the universal dielectric response in condensed matter // Nature. Vol.277. (1979) 185-189.

200. Nigmatullin R.R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Physica Status Solidi B. Vol.133. No.l. (1986) 425-430.

201. Nigmatullin R.R. Fractional kinetic equations and universal decoupling of a memory function in mesoscale region // Physica A. Vol.363. No.2. (2006) 282298.

202. Nose S. Constant-temperature molecular dynamics // Progress of Theoretical Physics. Supplement. Vol.103. No.l. (1991) 1-46.

203. Novikov V.V., Privalko V.P. Temporal fractal model for the anomalous dielectric relaxation of inhomogeneous media with chaotic structure // Physical Review E. Vol.64. No.3. (2001) 031504.

204. Oldham K.B., Spanier J. The Fractional Calculus: Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order (Academic Press, New York, 1974).

205. Ostoja-Starzewski M. Towards thermoelasticity of fractal media // Journal of Thermal Stresses. Vol.30. No.9-10. (2007) 889-896.

206. Ostoja-Starzewski M. Towards thermomechanics of fractal media // Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik. Vol.58. No.6. (2007) 1085-1096.

207. Ostoja-Starzewski M. On turbulence in fractal porous media // Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik. Vol.59. No.6. (2008) 1111-1118.

208. Ostoja-Starzewski M. Extremum and variational principles for elastic and inelastic media with fractal geometries // Acta Mechanica. Vol.205. No. 1-4. (2009) 161-170.

209. Ostoja-Starzewski M. Continuum mechanics models of fractal porous media: Integral relations and extremum principles // Journal of Mechanics of Materials and Structures'. Vol.4. No.5. (2009) 901-912.

210. Park Y. On fractal theory for porous media // Journal of Statistical Physics. Vol.101 No.5/6. (2000) 987-998.

211. Petrina D.Ya., Gerasimenko V.I., Malishev P.V. Mathematical Foundation of Classical Statistical Mechanics (Taylor and Francis, 2002) 2nd ed.

212. Phillips R.S. On the generation of semigroups of linear operators // Pacific Journal of Mathematics. Vol.2. No.3. (1952) 343-369.

213. Pierantozzi T., Vazquez L. An interpolation between the wave and diffusion equations' through the fractional evolution equations Dirac like // Journal of Mathematical Physics. Vol.46. No.l. (2005) 113512.

214. Podlubny I. Fractional Differential Equations (Academic Press, New York, 1999)

215. Podlubny I. Geometric and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation // Fractional Calculus and Applied Analysis. Vol. 5. No.4. (2002) 367-386.

216. Ramakrishnan T.V., Lakshmi M.R. (Eds.), Non-Debye Relaxation in Condensed Matter (World Scientific, Singapore, 1984).

217. Ramshaw J.D. Remarks on non-Hamiltonian statistical mechanics // Europhysics Letters. Vol.59. No.3. (2002) 319-323.

218. Rasmussen K.O., Christiansen P.L., Johansson M., Gaididei Yu.Bl, Mingaleev S.F. Localized excitations in discrete nonlinear Schroedinger systems: Effects of nonlocal dispersive interactions and noise // Physica D. Vol.113. No.2-4. (1998) 134-151.

219. Ren F.Y., Yu Z.G., Su F. Fractional integral associated to the self-similar set or the generalized self-similar set and its physical interpretation // Physics Letters A. Vol.219. No. 1-2. (1996) 59-68.

220. Ren F.Y., Yu Z.G., Zhou J., Le Mehaute A., Nigmatullin R.R. The relationship between the fractional integral and the fractal structure of a memory set // Physica A. Vol.246. No.3-4. (1997) 419-429.

221. Ren F.Y., Liang J.R., Wang X.T., Qiu W.Y. Integrals and derivatives on net fractals // Chaos, Solitons and Fractals. Vol.16. No.l. (2003) 107-117.

222. Resibois P., De Leener M. Classical Kinetic Theory of Fluids (Wyley, New York, 1977) sec. IX.4.

223. Ross B. A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus // Lecture Notes in Mathematics. Vol.457. No.l. (1975) 1-36.

224. Roy N. On spherically symmetrical accretion in fractal media // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. Vol.378. No.l. (2007) L34-L38.

225. Roy N., Ray A.K. Critical properties of spherically symmetric accretion in a fractal medium // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. Vol.380. No.2. (2007) 733-740.

226. Roy N., Ray A.K. Fractal features in accretion discs // Monthly Notices of the Royal Astronomial Society. Vol.397. No.3. (2009) 1374-1385.

227. Rossler O.E. An equation for continuous chaos // Physics Letters A. Vol.57. No.5. (1976) 397-398.

228. Rumiantsev V.V. On integral principles for nonholonomic systems // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. Vol.46. No.l. (1982) 1-8.

229. Rumyantsev V.V. Forms of Hamilton's principle for nonholonomic systems // Facta Universitatis. Series Mechanics, Automatic Control and Robotics. Vol.2. No.19. (2000) 1035-1048.

230. Ryabov Ya.E., Feldman Yu. Novel approach to the analysis of the non-Debye dielectric spectrum broadening // Physica A Vol.314. No. 1-4. (2002) 370-378.

231. Ryabov Ya.E., Feldman Yu. The relationship between the scaling parameter and relaxation time for non-exponential relaxation in disordered systems // Fractals. Vol.11. Supplementary Issue 1. (2003) 173-183.290

232. Sabatier J., Agrawal O.P., Machado J.A.T. (Eds.), Advances in Fractional Calculus. Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering (Springer, Dordrecht, 2007).

233. Saichev A.I., Zaslavsky G.M. Fractional, kinetic equations: solutions and applications // Chaos. Vol.7. No.4. (1997) 753-764.

234. Sandulescu A., Scutaru H. Open quantum systems and the damping of collective models in deep inelastic collisions // Annals of Physics. Vol.173. No.2. (1987) 277-317.

235. Segel L.A. Distant side-walls cause slow amplitude modulation of cellular convection // Journal of Fluid Mechanics. Vol.38. No.l. (1969) 203-224.

236. Sousa J.R. Phase diagram in- the quantum XY model with long-range interactions. European Physical Journal B. Vol.43. No.l. (2005) 93-96.

237. Sparrow C. The Lorenz Equations: Bifurcation, Chaos, and Strange Attractors (Springer, New York, 1982), 269p.

238. Special Issue: "Application of Fractals in Material Science and Engineering"// Chaos, Solitons and Fractals. Vol.8. No.2. (1997) 135-301.

239. Spohn H. Approach to equilibrium for completely positive dynamical semigroups of N-level systems // Reports in Mathematical Physics. Vol.10. No.2. (1976) 189194.

240. Spohn H. An algebraic condition for the approach to equilibrium of an open N-level system // Letters in Mathematical Physics. Vol.2. No.l. (1977) 33-38.

241. Stanislavsky A.A. Long-term memory contribution as applied to the motion of discrete dynamical system // Chaos. Vol.16. No.4. (2006) 043105.

242. Stanislavsky A.A., Weron K. Exact solution of averaging procedure over the Cantor set // Physica A. Vol.303. No.l. (2002) 57-66.

243. Tarasov V.E. Quantization of non-Hamiltonian and dissipative systems // Physics Letters A. Vol.288. No.3-4. (2001) 173-182.

244. Tarasov V.E. Quantization of non-Hamiltonian systems // Theoretical Physics. Vol.2. (2001) 150-160.

245. Tarasov V.E. Pure stationary states of open quantum systems // Physical Review E. Vol.66. No.5. (2002) 056116.

246. Tarasov V.E. Quantum computer with mixed states and four-valued logic // Journal of Physics A. Vol.35. No.25. (2002) 5207-5235. (quant-ph/0312131)

247. Tarasov V.E. Stationary states of dissipative quantum systems // Physics Letters A. Vol.299. No.2-3. (2002) 173-178.

248. Tarasov V.E. Classical canonical distribution for dissipative systems // Modern Physics Letters B. Vol.17. No.23. (2003) 1219-1226.

249. Tarasov V.E. Path integral for quantum operations // Journal of Physics A. Vol.37. No.9. (2004) 3241-3257.

250. Tarasov V.E. Fractional generalization of Liouville equations // Chaos. Vol.14. No.l. (2004) 123-127.

251. Tarasov V.E. Fractional generalization of gradient and Hamiltonian systems // Journal of Physics A. Vol.38; No.26. (2005) 5929-5943.

252. Tarasov V.E. Electromagnetic field of fractal distribution of charged particles // Physics of Plasmas. Vol.12. No.8. (2005) 082106 (9 pages).

253. Tarasov V.E. Multipole moments of fractal distribution of charges // Modern Physics Letters B. Vol.19. No.22. (2005) 1107-1118.

254. Tarasov V.E. Fractional hydrodynamic equations for fractal media // Annals of Physics. Vol.318. No.2. (2005) 286-307.

255. Tarasov V.E. Dynamics of fractal solid // International Journal of Modern Physics B. Vol.19. No.27. (2005) 4103-4114.292

256. Tarasov V.E. Fractional generalization of gradient systems // Letters in Mathematical Physics. Vol.73. No.l. (2005) 49-58.

257. Tarasov V.E. Wave equation for fractal solid string // Modern Physics Letters B. Vol.19. No.15. (2005) 721-728.

258. Tarasov V.E. Phase-space metric for non-Hamiltonian systems // Journal of Physics A. Vol.38. No.10-11. (2005) 2145-2155.

259. Tarasov V.E. Continuous medium model for fractal media // Physics Letters A. Vol.336. No.2-3. (2005) 167-174.

260. Tarasov V.E. Possible experimental test of continuous medium model for fractal media // Physics Letters A. Vol.341. No.5-6. (2005) 467-472.

261. Tarasov V.E. Thermodynamics of few-particle systems // International Journal of Modern Physics B. Vol.19. No.5. (2005) 879-897.

262. Tarasov V.E. Fractional Fokker-Planck equation for fractal media // Chaos. Vol.15. No.2. (2005) 023102.

263. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fractional Ginzburg-Landau equation for fractal media // Physica A. Vol.354. No.1-4. (2005) 249-261.

264. Tarasov V.E. Fractional Liouville and BBGKI equations // Journal of Physics: Conference Series. Vol.7. (2005) 17-33.

265. Tarasov V.E. Stationary solutions of Liouville equations for non-Hamiltonian systems // Annals of Physics. Vol.316. No.2. (2005) 393-413.

266. Tarasov V.E. Fractional systems and fractional Bogoliubov hierarchy equations // Physical Review E. Vol.71. No.l. (2005) 011102 (12 pages).

267. Tarasov V.E. Map of discrete system into continuous // Journal of Mathematical Physics. Vol.47. No.9. (2006) 092901. (24 pages)

268. Tarasov V.E. Fractional statistical mechanics // Chaos. Vol.16. No.3. (2006) 033108.

269. Tarasov V.E. Electromagnetic fields on fractals // Modern Physics Letters A. Vol.21. No.20. (2006) 1587-1600.

270. Tarasov V.E. Continuous limit of discrete systems with long-range interaction // Journal of Physics A. Vol.39. No.48. (2006) 14895-14910.

271. Tarasov V.E. Fractional variations for dynamical systems: Hamilton and Lagrange approaches // Journal of Physics A. Vol.39. No.26. (2006) 8409-8425.

272. Tarasov V.E. Psi-series solution of fractional Ginzburg-Landau equation // Journal of Physics A. Vol.39. No.26. (2006) 8395-8407.

273. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fractional dynamics of systems with long-range interaction // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. Vol.11. No.8. (2006) 885-898.

274. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Dynamics with low-level fractionality // Physica A. Vol.368. No.2. (2006) 399-415.

275. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fractional dynamics of coupled oscillators with long-range interaction // Chaos. Vol.16. No.2. (2006) 023110. (13 pages)

276. Tarasov V.E. Transport equations from Liouville equations for fractional systems // International Journal of Modern Physics B. Vol.20. No.3. (2006) 341-353.

277. Tarasov V.E. Gravitational field of fractal distribution of particles // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. Vol.94. No.l. (2006) 1-15.

278. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fractional dynamics of systems with long-range space interaction and temporal memory // Physica A. Vol.383. No.2. (2007) 291308.

279. Tarasov V.E. Fractional Chapman-Kolmogorov equation // Modern Physics Letters B. Vol.21. No.4. (2007) 163-174.

280. Tarasov V.E. Liouville and Bogoliubov equations with fractional derivatives // Modern Physics Letters B. Vol.21. No.5. (2007) 237-248.294

281. Tarasov V.E. Fractional derivative as fractional power of derivative // International Journal of Mathematics. Vol.18. No.3. (2007) 281-299.

282. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Conservation laws and Hamiltonian's equations for systems with long-range interaction and memory // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. Vol.13. No.9. (2008) 1860-1878.

283. Tarasov V.E. Fokker-Planck equation for fractional systems // International Journal of Modern Physics B. Vol.21. No.6. (2007) 955-967.

284. Tarasov V.E. Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems (Elsevier, Amsterdam, London, 2008). 540p.

285. Tarasov V.E. Fractional Heisenberg equation // Physics Letters A. Vol.372. No.17. (2008) 2984-2988.

286. Tarasov V.E. Chains with fractal dispersion law // Journal of Physics A. Vol.41. No.3. (2008) 035101. (6 pages)

287. Tarasov V.E. Fractional vector calculus and fractional Maxwell's equations // Annals of Physics. Vol.323. No.ll. (2008) 2756-2778.

288. Tarasov V.E. Fractional equations of Curie-von Schweidler and Gauss laws // Journal of Physics: Condensed Matter. Vol.20. No.14. (2008) 145212.

289. Tarasov V.E. Universal electromagnetic waves in dielectric // Journal of Physics: Condensed Matter. Vol.20. No.17. (2008) 175223.

290. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fractional generalization of Kac integral // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. Vol.13. No.2. (2008) 248-258.

291. Tarasov V.E. Fractional powers of derivatives in classical mechanics // Communications in Applied Analysis. Vol.12. No.4. (2008) 441-450.

292. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fokker-Planck equation with fractional coordinate derivatives // Physica A. Vol.387. No.26. (2008) 6505-6512.

293. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fractional equations of kicked systems and discrete maps // Journal of Physics A. Vol.41. No.43. (2008) 435101. (16 pages)295

294. Tarasov V.E. Weyl quantization of fractional derivatives // Journal of Mathematical Physics. Vol.49. No. 10. (2008) 102112. (6 pages)

295. Tarasov V.E. Quantum Nanotechnology // International Journal of Nanoscience. Vol.8. No.4. (2009) 337-344.

296. Tarasov V.E. Differential equations with fractional derivative and universal map with memory // Journal of Physics A. Vol.42. No.46. (2009) 465102. (13 pages)

297. Tarasov V.E. Discrete map with memory from fractional differential equation of arbitrary positive order // Journal of Mathematical Physics. Vol.50. No.12. (2009) 122703. (6 pages)

298. Tarasov V.E., Edelman M. Fractional dissipative standard map // Chaos. Vol.20. No.2. (2010) 023127. (7 pages)

299. Tarasov V.E. Fractional dynamics of relativistic particle // International Journal of Theoretical Physics. Vol.49. No.2. (2010) 293-303.

300. Tarasov V.E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media, (Springer, Higher Education Press, 2010) 516p.

301. Tarasov V.E. "Relativistic non-Hamiltonian mechanics"Annals of Physics. Vol.325. No.10. (2010) 2103-2119.

302. Tarasov V.E. Fractional Zaslavsky and Henon discrete maps // Chapter 1 in Long-range Interaction, Stochasticity and Fractional Dynamics Editors: A.C.J. Luo, V.S. Afraimovich (Springer, Higher Education Press, 2010) pp. 1-26.

303. Tatom F.B. The lelationship between fractional calculus and fractals // Fractals. Vol.3. No.l. (1995) 217-229.

304. Tsujii K. Fractal materials and their functional properties // Polymer Journal. Vol.40. No.9. (2008) 785-799.

305. Tuckerman M.E., Mundy C.J., Martyna G.J. On the classical statistical mechanics of non-Hamiltonian systems // Europhysisics Letters. Vol.45. No.2. (1999) 149-155.

306. Tuckerman M.E., Liu Y., Ciccotti G., Martyna G.J. Non-Hamiltonian molecular dynamics: Generalizing Hamiltonian phase space principles to non-Hamiltonian systems // Journal of Chemical Physics. Vol.115. No.4. (2001) 1678-1702.

307. Van Kampen N.G. Stochastic Processes in Physics and Chemistry, (North-Holland, Amsterdam, 1984). ^

308. Vlasov A.A. Many-particle Theory and its Application to Plasma (Gordon and Breach, New York, 1961).

309. Veliev E.I., Engheta N. Fractional curl operator in reflection problems // 10th International Conference on Mathematical Methods' in Electromagnetic Theory, Sept. 14-17. Ukraine. Institute of Electrical and Electronics Engineers (2004) 228230.

310. Weiss U. Quantum^Dissipative Systems (World Scientific, Singapore, 1993).

311. Weitzner H., Zaslavsky G.M., Some applications of fractional derivatives // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. Vol.8. No.3-4. (2003) 273-281.

312. Weitzner H., Zaslavsky G.M. Directional fractional kinetics // Chaos. Vol.11. No.2. (2001) 384-396.

313. Wheatcraft S.W., Meerschaert M.M. Fractional conservation of mass // Advances in Water Resources. Vol.31. No.10. (2008) 1377-1381.

314. West B.J., Bologna M., Grigolini P. Physics of Fractal Operators (SpringerVerlag, New York, 2003)

315. Yilmaz Y., Gelir A., Salehli F., Nigmatullin R.R., Arbuzov A.A. Dielectric study of neutral and charged hydrogels during the swelling process // Journal of Chemical Physics. Vol.125. No.23. (2006) 234705.

316. Yosida K. Functional Analysis (Springer, Berlin, 1965).

317. Yu Z.G., Ren F.Y., Zhou J. Fractional integral associated to generalized cookiecutter set and its physical interpretation // Journal of Physics A. Vol.30. No.15. (1997) 5569-5577.

318. Zaslavsky G.M. Simplest case of a strange attractor // Physics Letters A. Vol.69. No.3. (1978) 145-147.

319. Zaslavsky G.M. Fractional kinetic equation for Hamiltonian chaos // Physica D. Vol.76. No.1-3. (1994) 110-122.

320. Zaslavsky G.M. Chaos, fractional kinetics, and anomalous transport // Physics Reports. Vol.371. No.6. (2002) 461-580.

321. Zaslavsky G.M. Hamiltonian Chaos and Fractional Dynamics (Oxford University Press, Oxford, 2005).

322. Zaslavsky G.M., Edelman M.A. Fractional kinetics: from pseudochaotic dynamics to Maxwell's demon // Physica D. Vol.193. No.1-4. (2004) 128-147.

323. Zaslavsky G.M., Edelman M., Tarasov V.E. Dynamics of the chain of oscillators with long-range interaction: from synchronization to chaos // Chaos. Vol.17. No.4. (2007) 043124.

324. Zolotuhin I.V., Kalinin Yu.E., Loginova V.I. Solid fractal structures // International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology. Vol.9. No.29. (2005) 56-66.