Экстремальные задачи, характеризация и предельные теоремы теории вероятностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИбИРСКОЕ ОЩУНШИЕ ИНСТИТУТ МАТИШИКИ

Ка правак рукописй УДК 519.21

утев Сергей мёксмшовт

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗЛДйЧИ.ХАРДХТЕРИЗАДШ К ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

(01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика)

& » а р 6 ф е р а т диссертогуэ еэ ученой степени

доктора фязнхо-маТ'й^а-Уэтесюп: наук

Новоса5з1р«« -1992

Работа рдаолцеиа в Институте математики СО РАН.

ОЕЩУАЛЬШЕ ОППОНЕНТЫ ; член-корреспондент Российской скадеьсщ доктор фмзико -мате матачо сш наук , профессор И.А.Чбрагсагав, доктор 4изикс)-мптемотЕгаеских паук , профессор В.М.Круглов, доктор физико-математических наук , профессор А.А.Рогозин.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ : Мптематическлй институт вм.В.А.Стеклова

Защита состоится " 20 " кзая 1992 г. С " 15 "часов на зосодании сшдиолнзироааиного саветй Д.002.23.03 при Институт математика СО РАН по адресу I 630090,Швоснолрск.Утшераитотсгазй пр.4,к.¿17, Институт матемалпоЕ СО РАН. .

С диссертацией ыоаао озиакошгаься в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан " 44 " 1992 х-..

Учений секретарь

ехювдаллзировэнного совета Д.002.23.03

д.ф.-ы.н. £<■;Л.В.Косточка

с

ШЕЩЕШЕ

. r-t 2..1! в .настоящей работе оставим объектом доследования являются

^^^{зтгремальиме задачи в теории нероягаостей. Пус1ь G - некоторый

фупкаиИ <5, Q - ¡гскотркй ияасс распределений V , T(G,1?) -

гладкая функция специального здада . В диссертации исследуются

окстрсмуми еледующого вида

Т„ = sup S(g,P), = сир 2(g,P) 6-5 У ^ Q

sup sup 'Kg,?) Е аит> = H(Q.G) PsQgcG 1'eQ

В нерпой главе основное внимание уделано самим окетромалышм

зода'глн,т.г;. »ц-чколевиа акстрему.'.топ для определенного класса фун-

йциотталов Как правого; здесь рассматривается адеду<-".»:ц!Э

задачи

п

Найти sup Ь )

(t,n) i=1 1

ГД© з - сиоцтеяльпэя Функция (как правило g' шпушга) ,а перптпя грань слдсляетсл по псом ni i к все!.! набора!.: независимых случайных величин з нулевиках средними , для которта фиксирован« некоторые суммарное характеристики типа Щ, +Dcn " 3). 3тер класс задач ьосгодит к D.B.Прохорову * которой показал , что го/ают моечо слздукпкэ нераноктпэ

' " гп п . .

Е( £ t, ) S KI(G}'-'я ,32 oh(t J. ) < "В ch(tri4C>) ( "i ) i-1 1 j-t

гдэ Ц »...,tn " эззегиетан ix симмстрлтнго расярэ;;одо7ги,'.Р(С>~ сяу-

«оЗпгя волитапа о совро;:огр;зйЯ5'« ргевроделапием,v.о. .с

схи-шской фущщизй ozp (Г(еЛ- 1>dG(x)),G(A) » >Г ы- ~ .

' оМ -

целое 1го.чс;;:1таг>л:'лхоо чх.ело.Гоэептс«!»* ирэлдеста г.'тад}1Х50о'Н2р»ззко<г.о

VI Ьсвсоюзного сог.етдзгггп но троге*. геролтагастс41 тг етзтаотако .Вплмздз, 1 SS3»o. V7-G4.

. noacnthal.H. i'. On the пргп in of soqusrtoes ox in^pandent random vorinbleu. -In.: ?roo. 6-tfc. Esrtoley Byinp.tiath.Statint.Prob., Взг:-:е-1с;у»1972 v.2» p.1 Э - 163..

t n t ' «• o1mas(D ,A) <E | I r. < c„ maz(D",A), t£2

i=1

для суьхл незасисинит, случайных величин о нулевыми средними, гдо постоянные с^ завг-.ят только от t . Cxoaaio результаты получеки Буркхолдером .Сазоновым В.В.. Сценки для констант с^ ,с2 Получены Нагаевым С.В.и Пинелисом И.Ф. .Петров В.В.пре'дшазш

иную форму пшлевыписашюго неравенства .В совместной работе Пинелкса И.Ф. и автора [ 2 ] на основе результата Ю.В.Прохорова найдепа явная формула для

»(A,D,m) = sup S ( £ Е, )2m, ( 2 ) п,( i=1 х '

где sup берется по всем n ä 1 п независимым и симметрично распре деленным случайным величинам Ц ,.. ., £ с фиксировзшшмй

П О И4 От

£ Dt. = I)1", 2 Е| £ . \ = А.

i=1 1 . i=1 1

В s'roil главе нредлол:ен подход,который позволяет 5

1) ра спрос тропить неравенства типа ( 1 .) на более широкий класс функционалов от сумм независимых случайных величин,не обязательно симметрично распределенных,со значениями в сепарабелыюм банаховом простанстве;

2) решить ряд экстремальных задач, .аналогичных ( 2 ) . Другие классы экстремаллышх задач рассматривались в работах

Золотарева В.J.I. .Прохорова Ю.В., Рогозина Б.А. , Эссеена К.Г.

монографиях В.В.Петрова .В.М.Золотарева ,К.Ь.Eaton и др..

Во второй тлаве основным объектом исследования являится не

сами экстремумы , а точки (распределения) ,на которых они

достигаются. Если существует лишь одна точка Р' , для которой

достигается экстремум = H(Q,G) , то ото есть характеризоцня

распределения .Если есть сходаагасть

из —»£■», вытекает Р„ ♦ Р' Р п

то это устойчивость характеризацзи.Рассмотрены также следующие

естественные попроси:

оценка скорости сходимости в теореме устойчивости ; лрило^счгля к предельным теоремам. Мотивация этого класса задач наиболее подробно объяснена п работах Золотарева В.MÍ.Подробная литература по вопросам хорактеризеили и устойчивости изложена в монографиях Кагана A.M. .Лшплпсо О.В. ,Рао С.Р. ;Япушкявичз>са Р.В. ;Какосян A.B., Клебанова Л.Б..Меламед К.А..

В отой главе вводятся и исследуются интегрод;гИяреше1альгоге Функционалы .основанные на интегроди5>{*!ренци&лышх неравенствах типа

T)g(Y) < K(ß* (Л)?

Здесь V имеет стандартное нормальное распределение ,р. есть

произвольная абсолютно непрерывная функция . Это неравенство

*

получено независимо в работах H.J. Вгазоалр ,Iä.Н. Lieb *

и II. ChemoГХ . Типичный функционал имеет следующий вид

D £(Х)

-X = = аир -о

л lX geH, E(g' (X))

Данные исследования развивают совместную работу Воровкова A.A. и автора [ 1 ] .

В третьей главе экстремальные задачи есть некоторый способ исследования ас ллнтотнческого поведения распределения сую.: слаб-озавксимих слагаемых (здесь в основной рассматривается последовательности или схемы серий с перемешиванием) .В настоящий момент , предельные теоремы для зависимых слагаемых - ото довольно активная разрабатываемая область исследований,в которой развиваются свои методы и техника.Наибольшее влияние на автора в

. Золотарев В.М. .Предельные теоремы как теоремы устойчи-эсти.-Теория верояп и ее примен., 1S89,t.34,N1 ,с.178-189.

. Braseaflip.H. J. ,Meb,li.H. .On extensions о" the Brunn-liinkowski v and Prekopa-leindner theorems including inequalities for log concave functions and with applications to the diliusion equation.-J.Fuct.Anal.,1976,v.22,p.366-389.

. Chernoîî.H. A note on an inequality involving the normal distribution.- Ann.Probab.,1981,v.9,p.533-535.

виборе рассматриваемых задач повлияли работы И.А.Ибрагимова*. В

0той главе разработан простой способ решения онределошгох'о класса екстремалышх задач , которий позволяет едашш образом исследовать такие иэпросц, :ак

центральная предельная теорема для с2е.и серий с це ро мешквашю м;

о до шел для дисперсии суммы завксжлых случайных величин. Результат!! дассртзтзщш догадывались па се^чпшзрах по теорш; вероятностей к математической статнстшсс в Институте математика (Новосибирск), ЦИАН ,ЛОЫК, па III,IV ы V меядународаш: Б'альнжсских конференциях по теории вероятностей к иатематической статистике (1981,1985,1939); на семинаре по проблемам устойчивости стохастдческих (/.одолей (Кириллов, 1929),на втором берцулжгевскоы 1лшгрессо (Упеалла,1990),в университетах ¿т. Прага (1989) ; /Лица.Патра,Янина (1591).

По теме диссертации аиуЛшиеояано £5 работ. автора.Осньвшо результаты получени автором самостоятельно в хоботах [4-10]. Диссертация состоит из введения и трех глав. ОбъИы 280 стр..

гл.1

ТОЧНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА Д?Ш ВШЕ/КШХ <ЩШИОНД.ЧОВ.йормул41ровка результатов .

Пусть В - сепарабельное банахово пространство,М - норма

в Б,Б -борелесская а -алгебра , Б4 -пространство , соаряжошхсе' к В . Через Р(В) обозначим пространство даазда ноцрершлю дайэреЕЦЕруемш: функций £ ыз Б в I! , через

- значены» 1с -К

. Кбрагаыов И.А.. Некоторые предельнее теорем« для отацкоаарниг процессов .- Теории вороятн. и ее нрнмон., '¡Э62,Т.75НА,С.361-392.

. КбрагЕмов И.А.. Замечание о центральной предельной теорем-) дал зависимая одучЕйзгаг величия » - Теория во^ояты. и оо щяшэн.,

\

производной ß .взятой i) точке х »на а1 ,... е В. Для воякой функции g из В в R через c(g) обозначим наименьшую константу о такуа.что

|g(a-tb)| < c(1 + |g(a)[)(1 + |g(b)|) ( 3 )

для всех a,b е В .Через i/(В) обозначим пространство измеримых функций g из В в U ,для крторых c(g) < а. . Условимся считать функции g" вып'/Аой,есла щж кая-дом

he В функция '(g(x);h,h) выпуй .а но х .Положим

Р^В) = { е-н Р(В) : g'' - Еыпукла }, Fg(B) = f., (В) г» У(В).

Через г,е1.Eg,... обозначим последовательность независимых

случайных велташ с распределением Р(е = ±1) =1/2 .

Будем писать В=Н (или B=R ) ' если В - сепзрэбельное гильбертово пространство (соответственно веществегшая прямая).

Через (Е,п) обозначит.! набор независимых случайных величин (ц.с.в.) ц.....^ со значениями в сенарабелыю;.; банаховом пространстве В и нулевыми средними .Пусть Q(B) -

класс конечных положительных о-аддитишшх мер па В{В) .для которых G({0}) = О .Через Qq(B) обозначил подкласс мер G

та Q(B) таких,что J у <1 G(y) = О .Положим В

п

?MG) = { (Un) : П>1, Е Р( Ь е А ) н G(A), О с А }

i=1 ,

Через V.'2(G) обозначим подкаюжаство V11 (G) .состоящее из наборов пезависш.шх одинаково распределенных случайных величин.Для всякой конечной положительной 6 -аддитивной меры G через 5 (G) будем обозначать случайную величину с

харэктеристичг чеим функционалом (х.ф.) exp(J4e^u,x^-1) d G(x)). где и В*. В

В атой главе ключевую роль играет следуидая

Теорема 1.6.1. Пусть g е р (Б), X ¡g(x)| (1 C(z> < «> .Тогда

Б

п

аир Е ß( Е ?,) * Е g№(G)) . ( 4 )

U.n) е W., (G) i=1 1

Еолк,кроме того, <• неотрицательна к (G) => W - такое

подмножество .что найдутся наборы (ц п> — ,

которых х.ф. случайных величин £ с ■ „ сходятся к я.ф.случайной

l.il

i=1

величины T(G) цри п -» со.,то п

sup Eg( Е е.) = Eg(l(G)) . (E.h)eVV i=1 х

Росработан подход, который позволяет решать подобные задачи . А именно, сначала доказывается вспомогательное неравенство

Eg (Е Е,- В g ( + х) - (n-1 )g(s), ( 5 )

i=1 1 i=1 . 1

причем оказывается , что ото неравенство справедливо для

п = 2 к всех независиъ-ых случайных величин ^ ,..., Еп с

нулевыми средними тогда и только тогда , когда g'1 - выпуклая

фукгсция . Одномерный вариант неравенства ( 5 ) независимо

t

доказан в работе D.C.Cox and J.H.E.Keinperuan . Далее, доказывается ,что справедлива следующая ма:гл>ркзация

Sg(T(I(E))+z) , ( 6 )

где Ъ(1) есть распределение случайного влемента £ , х -свободный параметр -Итерируя последаеэ неравенство „ ш приходил к сооткос.еяшо ( 4 ) .

Пусть E=R ,z+»aa;(z,0) .Очевддоо.что фукздип

. Coz.D.C-.Kercpeman, J.H.B.. Ehojp bounds on tho absoliite rnomenta ol sua of two I.I.D. random variables.- Ann.Pro*>s&., 1983 ,.v.11 ,N3,p.765-771.

t-3 ; euz, ch(uz) принадлежат пространству J-'g(H). Окззьшается ,

чтсп в случае гильбертова пространства В=Н футгчции (т: J при t - 3 н oh(u¿" {) тоже принадлежат пространству ^ И мы кмеем

Следствие 1 . Для всех t>3 и и справедливы утверждения :

со

если J У1 с1(1(у) < со , то аир Е((£ е-) + = (0?ÍG)+)t О U.n) -3 lyo). i=1

если Jsyj^d G(y) < ю , то .зир Щ £ СЛ ' я Е 1 1(0)1*

U (t,n)e\7k(G) i=1

n

ecjni JcL üuy[ d G(y) < со , то вир E ch(uj £ ЬЕ> = Ech(ut'il(G)[) a ■ U.n)s VÍ,C(G) i=1 1

Приведем некоторые характерные применения сформулированной

теорем 1.6.1. В атом подпункта ми будем рассматрхнзать наборы толз.ко из независимая симметрично' распределекишгр.с.в. .Зафиксируем

некоторые неотрицательные числа t ,A,D, , i = 1,2,-... .Положим

UAK) = { (un) : n21, £ В &t.[2 = в2. £ E[E.tt=A}, ' i=1 1 i—1

Ур(П) = {(5,п) :r£1,£ E E E Л 2 B2 » £ E [ t Л * ¿ A },

Í/'(R) = { (t,n) : n>1, £ ЕС,-2 = В2, £ E |е,Г = A >.

1 i~1 ■ " i=1

п ч

Upl.n) =.{ (un) E£,2 £ D2, £ lílt,-!1 ¿ A },

¿ - i=1 ¿ i=1 1

Через U^í*) ^J, (*)) обозначив подкласс U.j (*> соответс яенио U3(í )), со столиц sü га наборов с сдаквкотлает раевреде.'дапгстлй:. При t 4 справедливо утворждепяо' (veopoüa 1.3.1)

sup в | e е,Г = a/s2)t/{t~2) E|L (Ajl-uiwil*

U.n) « U.'ll) 1=1 1 1 *

l

где E^/^.D) , EgiA.E) - k.c.b. .имеющие распределения

Пуассо'.а с параметром (1/2) (A/£t)2/^2~i'^ •

XJ/jm целом четном t правые • .юти формул можно явно вычислить через соответствующие коеффициенти А , D , а^ , Ъ^ ,1<i£U- .

Оказывается , что верхняя 'грань для некоторых функционалов от сумм независимых симметрично распределенных случайных '"еличин со значениями в сенграбел!>пом гальберто.чом пространстве сводится к одномерному случаю. А ыленло, пусть dire Н > 2 .Тогда справедливо неравенство

п ' п

Е б(£ £ a,c,-is . + х) < Е g( Е Еа.|е,- + х) . i=1 - - н-. i i=1 х i

прстем оказывается , что ето неравенство верно для п = 2 и всех векторов а., и вещественных чисел х тогда л только тогда ,

когда и'' - выпуклая функция .Любопытно , что мы снова пришли is тому классу (В') -В частности, справедливо

Следствие 2. Пусть - н.с.р.с.в..котогше не

зависят от e.j,..., с . При t 2: 3 справедливо неравенство

Е Е Ё £j !^ Е | Е U,-S е,

х—1 х 1=1 1 1

а зпачзт при t s 4 справедливо утверждение

sup Е|Е = (A/E2)t/(t~2) Е| е., (A^Dj-EpU.D)!11

(t.n) e U,(H) i=1 1 ' 2

Для полноты картины выпишем еще один результат (теорема 1.8.3)

п t t Пусть dim Н = со .тогда ini Е ! Е Е,-Г = max(D ,А).

(Е .п) е [^(Н) 1=1 Данный результат доказывается близкими рассуждениями.Положим

n I!

г> = у: ц -, р( Eí ■=- л \ {о} ) = с.(л;

3-—1 J- Х--1

В совместной работе Пинеднса И.Й>. и автора Г 3 j предложи« подход з: налождегесг точуяхх., экспоненциальных он "Shok для Р( Б £ z )

в 'ïôr.tr.niar усрэдретшг характеристик,т.е. характеристик, дзпуеяавдих иредставдвтткв через интеграл от парк G . Условимся нзсать

liS ÍT) ^

Е с? £ 11 , ?( S ï ï ) í Û ,

лив S eJlb =• Г< , int e~hz cut) Я еШ - Q h>-Û

где пир берется по веек наборам u.c.п. Ц,____ £ с

(¿зпссировэтишн значениям« характеристик , входящих в вмрааазпия ■ R » Q coo'roeTOBOiBTO..Ïaianî образом значок (т) указлпает нэ точность оценки.

Отправным пунктом являемся следулгцая тсшая оцсшга

ьа - * hz ' n

Be S ezp'v ГЬ -1 )<lG(x)) a Ee:q>im(G)) = nuji Kcr>rp(u E Ы

■ Той cm.r.A! i.-: видим ,тхх> яалсхгдетк» дашшс оксгпЕенцкаяыпс:

сцепок г, тормлтгях характорнсткк у.-яда

n

К Я « «„ , - -1 í>

сподктся к задаче чеЗгазевского оттла об отискятш •

■чир охр ( • J (e~i£ - 1) й 0(х) ).

ври усхолин ,что фякскрэвзпи зкачептея пькоторит. v.r.rz-rpszов ;

,Г S s te) (5 G (x) я , i = 1 .

Как известно, сопровоздапдее распределение и мера G играют пахнул роль и в предельную теоремах - В частности , В.М.Круглой доказал еквизалентность равномзрной интегрируемости последовательности { <¡¡(S^) : k i 1} и последовательности { «t-WG^)) : Й г 1} ( ;-дзсь Б^к'и соответсвенно

последовательность сумм независимых случайных величин и

последовательность случайных величин с сспровогдаииуфди

распределениями ) , а функция ф удовлетворяет свойству ( 3 ).

ДррхлЕяетр;,ру'-ч предложенный подход . Пусть

п о л . + п

Q.=< <t,n>; пй1, Г D , Е Е(е . ) = A, ¡C Р(Е- > у) = О }.

1 1=1 1 i=1 1 i=1

Z. = { (E.ti) : nil, . S ВЦ2 £ Б2, E t/> У ) = 0 > , 1 Í-1 1 i=1 1 Через Qg ( Zg) обозначим подкласс dj ( соответственно Z1) , состоятотй из наборов независимых случайных величин одинаковыми распределениями:.

Приведем два характерных результата .Более подробные Ъдедствия приведены б отмеченной совместной работе [3].

Теорема 1.16.1 .При Z < t£3,y>0,0<A< D2yt_2 , имеет место

-i (Т) ' п

Ее113 < e-xp{2~1h2(D2-Aj2_t)+(ehy-1-hy)Ay~t} = »sup 2exp(u E 'Ь)

U,n)eQk 1=1 1

Теорема 1.16.2. Пусть у > О , x > О . Тогда

?(Siz) iT) ехр{х/у - (х/у + В2 /у2) In (jy/D2 + 1)> s

.w n ■ - ■ "

S inf e sup Eexp(u E {..)•

h U.n)«^ . i=1

Теорема 1.1S.1 усиливает соответствующее неравенство ,

. Kruglov.V.lí.. The method of aooompenjring Infinitely divisible distributions.-Lect. Notes inliath., 1 <">6,v.550,p.316-323.

полученное в совместной работе Фука Д.X..Нагаева C.B.* Теорема 1.16.2 показывает точность известного неравенства Бенеттз-Хефдинга .

- гл.2

ПРИМЕНЕНИЕ ттГГРОДО^ФЕРЕНШЛЬШХ ФУНКЦИОНАЛОВ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .Формулировка результатов. .

V к

Пусть С ( Cq ) обозначает пространство 1с раз непрерывно дифференцируемых (соответственно, ф^мигяых к раз непреривно дифференцируймых ) функций,к = 1/tе ^т.Чёрьэ Р будем обозначать пространство полиномов, .через Я^ -пространство абсолютно непрерывных функций-.. Полоаотл

Qk(X> = (g : О < Е (е^(Х))г < 00 , Eg(i)(X) = О, i = О.....к-1},

EjtX) = H, П Qk{X}.

0кш = ск л Qk{X>, С®Ш = п Qk{X>, Р{Х} = P.n Qk{x> Eg2(X) Eg2(X>

1 J(X) Eg2(X) %

PRr зир -rpr-ô . Ry = вир -np;—Г? • UX =-:

X,kg.P(X}^W ^ nx

Одшм из основных реультатов второй главы является следуицая теоре?ла :

Теорема 2.S.1 -Имеют место слодумдне свойства функционала P.j-^ <1> RX,lc = rX,k = PRX,k • -

(2). Пусть N /экое полоаэттельное число,что .

Р( 1Х| ^ К0 ) £ ол .Тогда 2 |X|mS с2 + '

. й>ук Д.Х. i Нагаев C.B.. Вероятностные неравенства для сумм независимых случайных величин.- Теория вероятн. ы ее примэя., 1971,т.16,N4,с.660-775.

для всех натуральных ni,где с^ зависят только от Зс .

Следоиателъно.есл;.-. К,. . ,< а ,то выполнено условие Крамера на л., К

убывание ."хвостог" распределения X.

(3) вх,к+ю sE;.,kxBx.c -

U) ¿ к!; .

(5). Пусть X сходятся к X w распределегивЛ'сгда ' ЛХ,К - inr rX,k

* П-'СО Ъ*

(7).Пусть 1\_ у, ) есть соляном степени п £ ]г-1 такай ,что

„(X) = Eg(i)(X> ,i = 0.....k-1 .Тогда

B(g(X> -PkfXi-g(X))2 s 33<s№)W }2.

(О). Пусть задала последовательность функций { g^(u) ! ni 1 >, дал которых

EtG^tX))2 «=1. ЕС ¡üg^Wl^O,

при n -> со. Тогда

Ex J, 2 Jk aup E g J¡(X) .

* w II ■» cs>

(9). Пусть X имеет нормальное распределение с нулов1Г;д средни?! и даспереивй с.Для всякой 1с - непреривпо дафферошргруешй фунхщш g имеет место ■

>:~1 ад п. У.-! cr-J , ,, o;i 0

Г ■et№s '(Х))*" 5 Dg(X) й £ + -гг S(gW(X))t-

В теореме 2.6.3 рассмотрены примеры коикретиых распределений Е частности , доказано , что

Если Z кжет показательное распродолмгдэ

с параметром 1 » то R,, ,, = 4

íj

k

Если У имеет стандартное нормальное роеттределоние, то ПУ.к = 1/к!

Если и имеет равномерное распределение на интервале

-л

[0,1] , то 4 . Кц г = v \где v = nri.rU ш > О : С е

е_у'71:>созш7г + ( е7'"'" + £ О > .

Следующая теорема ,ее чзспще случаи , обобщения г. приложения составляют основное содерд-.эние вероятностных задьч, рассматриваемых в этой главе .

Теорема 2.6.3. (о характеризэции нормального распределения).Имеет место

(1), (характеризация). Пусть задана случа'4ная величина X такая,что В X1 = Е У1 при 1 = 1,___,2к,Всегда К,. , £ 1/к!

А»;..

и равенство достигается тогда и только тогда,когда X имеет стандартное нормальное распределение.

(2), (устойчивость характеризации). Пусть Е Х^ Е У ^ для 1 = 1,___,2к и К^ - 1/к! .Тогда Хп сходится по

распределении к стандартному нормальному распределения.

Пример экспоненциального распределения показывает,что неравенства '3) и (4) является точными . Полоаж

гк = гпК^ х : ЕХ =0,Ш = 1 >.

Пример равномерного распределения показывает , что

ЕЕ = 0,-Щ = 1. й 2 < 1/2 = Р.^ ,

где У имеет стандартное нормальное распределение , а I имеет рэъломерное распределение на интервале [-УЗ, •>'3 ]. Из теоремы г 3 следует,что г^ = 1 и 1гЛ достигается то-^ко не гауссовском распределении . Пример равномерного распределения показывает ; что г0 < 1/2 ,т.е. 1п1 для IV не достигается на гауссовском распределении . Это означает ,в частности,что 2 теореме 6.3 при к = 2 дополнительное условие совпадения моментов

третьего чсп.-ортого норядкои чипе теп нкобходимим.

В ¡IV прмк.-даналогичнче результаты о функционала* содег.»!.:';:.' в..:есто пропог/оешх конечные разности.

При и(;с.чедояа1_1И фуккгдеоншю Ку ^ для случайной яеличдкы У со стандартным пермахышч распре делением осг.овьт; ислоль--;уе:.!.им фактом было с.тедугчее свойство Ллязля ДЗД оргогонил-ьных жшстомсв Урмитэ

----= п'/2 н (х) ( 7 )

¿г л 1

Су^ечтио пр:гоедо1с-юй характегизацаи нормального распределения с

поморья фуккхеюнзлоо Н*. ,, как раз и состоит в том »что среда ±, к

всех последовательностей многочленов .удоилетворихцнх свойству Аллели ! 7 ) система мкогочленоз Эрмнта есть единственна.! , удолло".'вар.'гл;гя свойству ортогональности . Есч'гстзешгам аналогом свойства ( 7 5 в случае «онзишх разностей ягляетпя следующее

= с^ (х).

Это прицедит :-: многочленам Дуэссока -- Шарлье (х) : п ¿ 0 }, кохорио образуют орюго'гальнув спи ему для раснределеш1Я Пуассонз.

Кос жду о мне в птой главе задачи но своей природе достатотц:о 2 и 8 дано пряло-екмз к центральной предельной

теореме .

Через ?у Означим распределение случайной величины X , чярзз у> - стандартное нормальное распределение.

била приведена хграктерпвацкк нормального раснродьлеЕит. через фушецкенал к . Выделим случай 1с=1 особо .

Теорема 2.6.4 .Справедливы утверждения (хараг.т^ризация) Всегда > 1 и равенство достигается тогда и только тогда ,когда X имеет нормальное-- тзаспределенло. (устомигость характеризации) .Пусть и., ■» 1' .Тогда случайннс.-

иьличжш (Xn EX^JZ/DX^ слабо сходятся sc стандартному

нормальному распределолия.

Эта теорема была доказана в совместной, работе Зорсвкопа А.д.я автора [ 1 ) и получила развитие а работаг ï.Caeoiilles, J.K. Зли и L.Y.J.Clin , V.Papatbanasiou.K.L.S. УгаЧааа Rao и IS. ßreohari, U.R. Srivaatava , Preirr.er М.м Uyriholkar G.G. . Шчтркме p. Какуллос и Папасангсиу* предложили хергктеркзацию нормального распределения о помогу» следующего функционала

,IV = аър---5---.

" ^ ii (ее'(х))гех ° 1

Л именно , справедливо следующее утверждение

Всегда Jjr £ 1 и равенство достигается тогда и только

тогда когда X имеет нормальное распределение.

Оказывается , и теореме 6.4 справедлива устойчивость ,

относительно меTpvmn по вариации,а именно,пусть

р(Ру,Ф) = cup I ?у(А) - £'U) i .

А •

Теорема 2.8.1.Пусть ЕХ - О , SX = 1 .Имеет место нераьеяство

р(Рх,ф) 5 3 .."О^НП . ( 8 )

Этот результат доказан автором в [ б ] . Оказалось , что ькалогичнка оценки верни п для другие функционалов . Пусть функция y.(u> задается та уравнения

и

w(u)r(u) = - s tr(t) dt ,

—д>

где tir.) есть плотность случайной величина X .име-юихзй абсолютно непрерывное распределение с носителем ,равный

. Caoonllos,ï.,Papathanasiou,V.Characterisations of distributions by variance bounds. - Statistics à Probability lie tiers, 1S89.V.7,p.351-356.

Нг.которо.лу интервалу ; EX = О , DX - 1 .Справедливы неравенства : pl.Yyyi) С 2 ( E|w(X) ~ 1| + И -а | ) ( 9 )

p(Pv,C-) * [2 + ( 10 )

-Л А

Хьмбер* показал,что , если носитель абсолютно непрерывного распределения j'V есть вся вещественная прямая ,ю имеет

место раьснство ' - 1(Х) БХ , где 1(Х) есть информация

?

Фишера .т.о. 1(Х) = ■> ft' (u)/f(u)} da. В частности,'имеет

—со

месте оценка

Р(»х,Ф) < (? + {27^} (11)

Приведены прпяохкшит предложенных вариационных неравенств и

построены црлмзры,показывающие точность оценок { 8 )-( 11 ). ч

L.H.Y. Chen ' с помодыо функционала Ux предложил euift одно доказательство центральной предельной теоремы . Ранее, блжчеке задачи рассматривались в связи с информацией Склера в работах В.В.липняка и b.B.Brovm .Обобщение функционала Ну- г. ею свойств пре^логвны в работах L.H.Y." Chen и J.K. Lou .

Они жй> сформулировала следуксдай вопрос :

Пусть Х,Х1>Х0,... - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с ЕХ = О, DX = 1 и таких, что Ц^ < ® . Доказать , что

Г< Uv , , „ (А) -• 1 при п -» со .

В §\ предложена еще одна характеризация нормального

. НиЪег.Р. .'Robust statistics. ,.John Wiley, 1981.

.. Chen,L.H.Y. .The central limit theorem and Poincare-type . Chen.l.K.Y. ,Lou,J.H. .Asymptotic normality and convergence of eigenvalues.-, Stochasic processes ana their applications,, 1990, '.34, p.197.

1С

распределения , которая позволяет реиать подобние задачи не только в одномерном, но и в многомерном случае .

Пусть X - случайны.'! вектор со значениями в конечномерном

ев)сдлдсвом пространстве E-RK , Е сопряженное пространство к Е , ! х | н jii| - евклидовы нор мы соответственно в Е и Е*; A. -пепреривний неотрицательный СилинейянИ оператор, А : Е х Е

- Е+, ! Л г = aup{ A(h,h) : he Е*, |h| = 1 },A0(h,h)=|h|2.

Поломш

IV; СО

*

Ujr = = sup

g EA.(ß'(X),s'(X))

где sup берется по классу СЦ (Е) непрерывно днфферекцирувмих

функций. таких что Е ¿d (X) < га ; О < Е A(g' (X) g' (X)) <ю -Так ка как и в одномерном случае функционал не нзмеплт-ся при сужении класса С^ (Е) до класса' финитных бесконечно дифференцируемых функций.

Теорема 2.1.2 . (характеризацпя ) Для всяких независимых случайных величин X и У справедливо неравенство

их + ¥<их + их

н равенство в случае пропорциональных ковариационных операторов

D(X,h) = <xA(h,h), D(Y,h) = ßAÜi.h) , а > О , р > О

достхггается тогда и только тогда , когда X и У имеют гауссовскпе распределения.

(устойтпшость характернзадян) Пусть Хп и Уп независимы ,

UX +У /(0 + ) —1' DlX^h)« <A(h,h), -B(Yn,h)= p^A(h.h),'

' n n *n

0 < lim Inf "-r/ßn - lim sup ап/<e> .Тогда

Приведен npisiep который показывает,что в отличии от одномерного случая вашепрнведенноэ тождество без дополнительвых

ограничений jia к о в а р и a i о i xhi е оператора cj :сгаеммх не является характеризующим

На основе теоремы 2.1.2 приведено еще одно доказательство тарактеризации нормального распредзле;тч через линейные статистики ,а так*:е получен полоямтелыий ответ на во прок L.1I.Y. Chen н J.N. lou , дли последовательности независчмих одинаково распределенных векторов Х,Х,( ,Xg,___ с ЕХ = О, ГС'.,'л)

А(Ь,Ь)и UX(A> < со .

В i3 вводятся и исследуются интоградиЭДсргццизлыше функционалы для бансховоупачных случайных величин .В частности, предлог-зна характеризация банаховозначкого гяусеовского случайного вектора .приведено еа;е одно доказательство конечности зкснопенцияльного момента гауссовсого распределения .

Конечность введенных функционалов накладывает сильные ограничения на распределения . Нагример, из конечности ' Uy следует выполнение в некоторой окрестности нуля условия Крамера на убывание хвостов рсспредления . В i 4 вводится и исследуется сглагазтшй тггегрода1ферзнциальний фугещнонал , который конечен для всех распределений . Пусть

[g[ = rnax{nup!g(t)t,6up|g'(t)|,Bup!6" (t)[> ig : £дf < с"1}, "t t t;

где lg'(t)|,!s''(t)| ость нормы соответственно линейного is билинейного функционалов. Фиксируем непрерывный билидейпнД неотрицательный функционал А и поло:ади

Hg(X)

U-Де) = Uy(A,e) - sup------

Л A г,гГ с + В A(G'(X).g'(X))

° г

В теореме 2.4.2 доказываются свойстве введзшшго функционала На основе етой теоремы даны невне доказательства закона болылих чисел к центральной предельной теореми.

Как правило, характерпзацки .полученные с помощь» мод/лих гагтегродиф^еренциэльпых функционалов, являются устойчивыми.

В § 5 среди других предложен естествешшЯ функционал .которые! тем пе менее приводит к неустойчивой характерлзацин.А именно , пусть X случайный елемент со г"этеш1ямп в сепарабельном банаховом пространстве Е , п <? К,а ^ 0 .Положим

а>- аир--;;-----

л 6 Е3г(Х-а)

где .чир берется по всем ограниченным измеримым функциям.Здесь

удобно считать .что 0/0 '1 .

Теорема 2.5.3.Всегда а„. £ I и равенство достигается тогда

л

к только тогда »когда X имеет пырогдегаюз распределение.

Построен пример , который показывает , что приведенная харзктэркзадля шроггденного рэс.чределошы в обп;е.м случае пе являете!! устойчивой относительно сходимости по распределении.

ГЛ. 3

ЭТСГШМЛЫИЕ ЗАДАЧИ И ж ЛРИЖЗЕШЯ ПРИ исследовании суш СЛДь'СЗАШСШДС СЛУЧАЙНЫХ ВНЛИЧИН.Формулировка результатов

Некоторые вероятностные неравенства, связанные

экстремальными задачами. Пусть задана последовательность случайных величии > •. • Пологям

5(г,и) = Е Е,- . = Б(0,п),

rci.su .

гдз сумму по пустому мнодасшу лг *ексов считаем равной нули.

Вагаув г ->хь нрп исследовании суим слабоззвискмых случайных г.элтгитн игракт верхние оценки для дисперсии с у «л. Прекде коого,исхода из аналогии для случая т'.езависимнх Е ^ > еох'сствеппо нс-пнтаться найти неулучшаемые условия в терминах косф!:яциентов перевешивания,при которых имеет место верхняя оценка :

к;п - пл Е D ( 12 )

п. i 1

Дэнпая задача решена в терминах коэффициента р-перемешивания А именно,пусть К!^ -а~алгебра.порожденная с.в. í i í Ь.

, ч

p(h) - ir,ах звр -5—5-770 ,к = 1,2..... .

3-1 Е •= И3 г, е

5 - »Т) е Кз+к

Теорема 3.3.1 . Предаолсамм,что

Я = Е Р(2к) <оо ( 13 )

Тогда существует постоянная с , зависящая только от р , для которой выполнено неравенство ( 12 ) .

Приведенная оценка независимо получена Гапошкиным .

Пример И.А.Ибрагимова и Ю.А.Розанова * показывает, что

условие (13 ' ослабить нельзя . Там жз доказана оценка ( 12 )

в случае стационарных последовательностей .

При доказательстве теоремы 3.3.1 фактически исследуется

следующий экстремум : ..

- а+г.

1 = вир аир DS(a,a+n)/ £ Dt. a i 1 rU 1 i=a+1

Существо теоремы 3.3.1 состоит в.том .чтобы показать , что при сделанных предположениях Z < ои

При исследовании дисперсии сум;.! слзбозависимых случайных величин, a Т5ю:е при выводе оценок дпя больших укло. зний максимума частичных сумм особую роль, играет следующая задача :

Пусть задана последовательность двумерных случайных векторов (Ц ) , Ug»2^'»-.. ,с конечными вторыми моментами .причем

. Гапошкин В.Ф..06 оценке.моментов извещенных сумм для перемешивающие-процессов,- Математические заметки, 1989.т.46,Ы2,с.42-50. .

. Ибрагимов И.А. .Розанов ¡O.A. Гауссовские случайные процессы.-М.: Наука, 1970.

ем г с „ « 1?» . №Г1:/)С>-

ш'.рэт щлегмь еоедшю ; Р^ -линейное поднростианство ,

д. ' а

I;.',тянутов на огемыгеи С • .а - 1 - Ь : а Ь^ - лзизЛное

а. а

г.одсрзстракстко, натянутое на элгченти 4 ,а £ 1 £ Ь

в* - линсЯнОе подпространство , натянутое на «ледапты г. г. £ 1 г 1> .Положил

г,<к) = гсг сир - - о

«г пкк сир -' р ^к) = тал.(р., (к),р., (!-:))•

с- > ■

."\у:ето пякгп оттасэлыию услоипа Гнрв которих суще стоуст ггссгояттаи с^ такая , что

п - ! п п-1 ^ л 1/2

: с кхл.,-1 ^ о? ( Е >: яе,- ) но ,5=1+1 1 0 " 1=1 1 1

Теореме 3-3-2 . Првдполоамм ,что вшталнепо условие

р ~ ~ Г Р*(гк) < со ( 15 )

1-1

?сг;;а существует постоянная с^ »зависящая лишь от р'" ,д.яя

'/„оторой внсохлено ( 14 ) Г

Полагал в этой теореме ж- = Е- , мл придем к оценке / * ( 12 ).Следив•>и-елътто ,условие ( 15 ) необходимо.

3 ямеотве следствия имеем

Теорема 3.5.1 . Пусть виполнепо условно (13 ) . Тогда

гутошуог псетолпнял с3 .зоишм-дая лишь от р ,япя которой'

гг-с-ет место .еравопстсо

1с ' п п

Р( | Е_ 2 х ) < с3х~'- Т.

1-г<п .1-1 " 1=1

Н-чЕюсредслогягае обобщение неравенств Коляш'срсиа на слг.ми соргЛ о гаро.'ж-ивагшзм всергт пол?чсш л рпйото ситара I 4 ]■

Ранее, близки, результат предложил Ю.А.Данидоа* .

При доказательстве.теоремы 3.3.2 фактически исследуется следующий экстремум :

a+ri-1 а+n а+п-1 а+п -1/2

Q - sup аир Г Х Е Ех.£.| ( Е Exf Е Db ) аМиМ. 1=а41 * i=a+1 А i=a+2

Существо теорешг 3.3.2 состоит в том .чтобы показать .что при сделанных предположениях Q < ® . .

Как известно , многие предельные теоремы для сумм независимых веще.ствецнЬзначных случа!шых величин легко переносятся ка серарабельдае банаховы пространства типа 2 ,. т.е. такие пространства В , для которых справедливо неравенство : -

Е! Е x^iCgE ( 16 >

1—1 i=1 .

для всех Вд7ур>.лышх п и всех независимых В -значных

случавших величин с нулевыми средними.Оказывается ,что в

пространствах типа 2, где постулируется неравенство ( 16 ) для

одзввисидах слагаемых, справедливо аналогичное неравенство

и для последовательностей с'ф-перемепгявакием.Пусть

ц , t2«- • последовательность В-значных случайных величин с

нулевыми средними и

ф(к) = шах » вир |Р(В|А) - Р(В)| , к=1,2,... .

S . А^.ВсКД

Теорема 6.1 . Предположим,что выполнено условие

ф= Е Ч1/2(2к)<® 1—1

Тогда существует постоянная с^ .зависящая лишь от <$> и св

. Давыдов D.A.. О сходимости распределений, порожденных стационарными случайными проце- ■гами . - Теория веролтн. и её примен., 1968,т.13,К i, с.730-737.

для которой справедливо неравенство

* «м^ч»2

Как непосредственное следствие теоремы 6.1 мы имеем Следствие 1. Пусть £ , Ц . • • • строго стационарная последовательность случайных величин со значениями в сепарабельном банаховом пространстве типа 2 , причем

о " 1 /? к

виг <ю,Е£=Оп £ 4> (2) < ® .Тогда справедлива

1=1

центральная предельная теорема .

В случае независимых слагаемых центральную предельную теорему в пространствах типа 2 доказали НоХХтап - «1ог£епяен- и Р1в1ег в. .Ранее . в случае последовательностей я п&реиепгиВайибм центральная предельная теорема рассматривалась только в сдациальш.тх пространствах., -типа-пространств , пря р 2 и

при более жестких условиях на ноеффяциенты перемешивания .

При доказательстве теоремы 6.1 фактически иссльдуется следугщий экстремум*:.

о а+п 0

41= вир вир Е|8(а,а+-п)| /"Е В|Е<| а £ 1 п £ 1

Существо теоремы 3.6.1 состоят в* том ,н>гоби НокЗзатг. , что при

сделанных преддолох-ейиях" V? < со. .

Центральная предельная-теорема Х-Ц-л-Т- )

для охеа серий с перемешиванием.

' - Пусть {ц : пг .> - схема серий случайных■

величин (с.в.) с нулевыми средними и конечными дисперсиями,

£,п> -о-алгебра,порожденная с.в. ё . „ ,& '< 15 Ъ.Положим

а 1|П

П 2

1.р-перемешиванио Положим

n • ;:Ef>l|, ГС = Я Etj r. . p()0 = «UI> mar na\, --г,—'

1=1 ' n ''^¿ск^ип),®5^

Теорема 3.7.1 . Пусть иыполноно услюшгв ( ТЗ )• а г

lira inia"2 Е2 > О , ( 17 )

I)

при п -* оо Ve > с .Тогда справедлива n.n.T.t т'.е. Зп /о^

слабо сходится к стандартному нормальному раслредзленк;;)> %

Н.Bradley построил пример,который показывает пеоСходимость условия С 13 ) . Для стационарных носледокатольностс.!* данная теорема доказана И.Л. Ибрагимовым .для цепей Маркова доказана Розснблатом . Нестационарный случек ДЯЯ! цэкзй. Маркова рзссмо-рел Дпфшкц Б.А* . II. ^-перемешивание . Полоэзог

Фп(к) - ФП(Е = max sup. . ¡Р(В|:А)' - 3?'{Е>) [i

Теорема 3.8.1 .Пусть существует последовательность натуральных чисел ,0-.,..., токая ,что

sup 4ч, (1:,1Г.) О , лри к - «> ; п. '. •

Vn2 -- -vfl) ~ 0

при n -» ю vc > О .Тогда справедлива ц.п.т..

"iiradlcy, ГГГЛГ г?уагй ©"Ltie^cerlH'SFTimit qiTeiltlonToF dependent random variables J.Appl Д'гоЪ. ,1980,v.17 .КГт p. 9-1-Ю1.

. Rosenblatt,И..!iat<kov processes , a-cr-uciurc- find asymptotic-behavior.- Berlin, Springer-Yerlag , 127 I.

. Лифонш Б.Л.. О центральной предельней тооремз для cj-им случайных ве.шчш, евлзашшх it цош>. - Теория пероятл. и es нримзн., 1ЭТа,т.23,К2,с.г95-ЗК.

ПрШЗЬДОМ ряд СЛЕДСТВИИ СфОХЯЛулирОВаННОЙ теоремы. 1. Рассмотрим -зависимые случайные величины.

Следствие,- 2.Пусть „ „ - hl зависимы и для

I , П а ГЧ , п п

при п ч со Ve > 0 .Тогда справедлива д. п. т..

Дашюе следствие развивает и усиливает соответствующего

* . ■ % результата работ S.A.Orey , Х.Н. Berk .

2.Функционалы,заданные на цепях Маркова.Пусть {Х1

t ,п

^ n : n i 1 } - схема серзД цепей Маркова с фазовыми пространствами Qn ; [Г., n(q1 .ш) : n > 1 } -

схема серий независимых по i процессов и при фиксированном п, не зависяЕ^тх в совокупности от соответствующей цеди Х1>п '•••»ХП(Г ■ Поло:й1ы n = ^ n^i.n''^ и предположим .что

4»n(X,k) £ qta^k). ( 18 )

еде q(s) - неотрицателная функция , и; ^ 0 , и q(z) О при з-»»,ап^О.( Например ,в качестве можно взя . соофрщиент эргодичности ,т.е. ап - =

= 1 - знР{ |P(Xk+1tne Л / Х!с>п= х) - Р(Х1С,1>П. В / ХК(П= х)| :

i.,B,x, k=1,— ,n-1) и q(s> - A e~z , т.е. мы получим

Фп(Х,к) £ Л(1-ап)'с й Лехр{-ап3с} .Из условия ( 18 ) вытекает,что

Фп(Ыг) - q(ank) Следствие 3. Пусть выполнено условие ( 18 ) и

an £ Е°пап> - 0

ри п ■> со Ve > 0 .Тогда справедлива ц.п.т.. •

. ьегк.К.М..Л central lirait theorem for m-dependent random ariables with anbounded m.- Ann.Probab.,1973,v.I,N2,p.352-354. . Orey.S.A..Central limit theorem for m-dependent random iriablws Duke Math.J.,1953,v.25,N4,p.543-546.

Полученный результат восходит к работа Добрушина Р.Л. , гдз нсследовалисп центральная предельная теорема для суим неслучайных функционалов , заданных па цепях Маркова с ненулевыми коэффициентами эргодичности b , Наиболее близкий

результат к бедствию 3 получен Б.А.ЛифшкЦем .

3.Рассмотрим последовательность случайных величин с ф -перемешиванием (ста тематика восходит к работам Ибрагимова .И.А.). В этом случае задана последовательность

и Ц n = ti Для всех inn , а также

вир фп(Ю = Ф(к) « шах sup |P(B|A) -,P(B)i k=1,2.....

П " С А г К3 В е 1г ш

1е s+k

Условие ф-перемешшзачия означает,что

ф(к) - О при к - со ( 19 )

Следовательно .можно взять s 1, n=1,2,____ и справедливо

п

следующее следствие

Следствие 4. Пусть выполнено условие (19 ) к

-г 2 т,2

«n E^i-ltil * <~n>

при п со > О .Тогда справедлива ц.п.т..

В случае строго стационарной последовательности

Ибрагимов II.А. (19б2) доказал . что р

оп = п Мп) , п = 1,2,..., ( 20 )

где Н(?,) медленно меняющаяся фушецгся вещественного аргумента, г 'го . Тем сашм , справедливо

Следствие 5. Пусть строго стационарная

последовательность случай и л величин причем Е£ = О , о -ю о

. Добрушшг Р.Л.. Центральная продольна;; теорема для цеоднородпих цепей Маркова . - Теория взроятн. и ее примеи., I, 1956 , т.1 ,111,с.72-89, II,1956,т. 1 с.365-425-

. Ли$ягац Б.А.. Принцип инвариантности для слабо завксюшх величин . - Теория чероятн. и ее приман., 1934,т.29,И1,с.33-40.

33) П < » , для некоторого а > О .Тогда спршзедлпна ц.п.т..

Последнее следствие доказано п вишенрнведенной работе Ибрагимова И.Л.,где исследовалась центральная предельная теореыа для стационарных п узком сшсле i следонательностей случа1ид«я велггчип;, результаты етой работы неоднократно раьвшзалнеь . Наиболее полно исследована последовательности случай.шх величии .с ф-первызшиззаниеы,которые в некотором смысле влазкл к стацяонэргшм.т.е. удовлетворяют дополнительному условию ( 20 ). В частности ,следствие i при дополнительном

условии ( 20 ) доказало в работе Ц.Peligrad* .

Сводимость к-безгранично делимому распрвделенат без

гаусеовской компонента для сзеы серпй с р-перемешивапаем.

Необходимые н достаточные условия и теореме Пуассона .

I. Сходимость к безгранично делимому расределению .

Пусть ÍE1 „ : ni 1} - схема серий случайных

« 9IX П |П

величия (с.в.) . Положим

п '

Sn=

Через р(3с) будем обозначать хоеффлциент р-перемешиваиия , определенней вш;е .Как обычно будем предполагать , что выполнено условие бесконечной мало ста

гсах Г( Ц. | > е ) — 0 ( 21 )

при П ■* <£> для любого е > О .

Через {Х^ n , — jXj^ : п S .} обозначил схему серий ив-за- -гчо:!ип слусайпмз: величин с темя а» мэргзшальннма распределениями Дредюлс.агл, что

. Peligrad, И.. Invarianee principie Хог ф-raising acquenees. - Ami. Probab.. 1985, 7.13, N4, р.1304 -1313 •

л

Е X. „ -> X ( 22 )

при п •» ст.. , где случайная величина X имеет безгранично делимое распределение без гауссовской компоненты , т.е.

1+у 00 1+х2

Е е = ехр[ ita + Ц (е11,2 - 1--? ) —р- 0(<1х) ] , .

1 + * *

где С(+0) - 0(-0) = О . Последнее как раз и означает отсутсвие гауссовской компоненты .

Теорема 3.9.1. Пусть выполнены условия (13),(21),(22 ) а так зсе •

П-П1

Е=1Р(1Ч>П1 >в. !Ч+Ш>П1 >е ) О

яри п оо для любого е > О и,натурального гг, .Тогда Эп X .

Данная теорема доказана в работе автора [ 8 ] .В етой гее работе , как прэтлоажние теоремы 3.9.1 рассмотрена сходимость к устойчивому распределению .

Сходимость к безгранично делимому распределению для схем серий с «{»-перемешиванием , но с дополнительным условием на скорость убываш1я ф-перемешивання и "правильном"поведении дисперсии суммы урезанных случайных величин была доказана Бергстремом.

II. Необходимые и достаточные условия в теореме Пуассона.

Пусть {Ц п .....: п2 1} - схема серий бернуллиевских

случайных величин , т.е.

Р( =1) =1 -Р( д1>п =0 ) =р1>п , 1=1,...,п ,

■гШп - о ■ ( 23 )

Через т1л обозначим случайную величину с распределением Пуассона с параметром Л. .

(р-перьмешивакие)

Теорема 3.V.3.Пусть справедеттю соотношение (23 ) и услош..-р-пзромеш1гоаш!л ( 13 ).Для того г чтоба ш.:ело место слабил сходимость Г>п ■> г)х , необуоднио и достаточно выполнение следукмртх условий :

п п-га

при п •« со для любого к > О и натурального га . (.ф-нерзмегаивазие) Тс-срокс 3.10.1. Пуста' 'стационарно связана

цря кзтдом факс'гровзгатом п л справедливо условно с])-пэремоиппапия ( 19 ).Дяя того , чтеби гслзяа Место глаЗая сводимость Б ч» 1ц , необходимо и достаточно гашолкииие следуетега уодохкхЯ :

г.р:1 п -» со для любого в > О п всгассП последовательности патурллкгсп чисел ( ^ ) , для которой /п ■* О при п ® .

Ь.НЛ.С'аоп* доказал теорему Пуассона для пг-ззвистолнх

случоЯти волячлп .Я.Н.ПиОзоп.П.О.ШиоЗсеэ? п «Т.А.УееЬ *дадучиди посбходи'.ще п достаточшго уолэвая в тооромо Пуассона для схем сер:Ш ¡я-завястзмиг стащгапэрно связаштих бернуллаавекгог случайных

г:з„-агп:н .

. 5;crg3tre;n,il. .On the convergence oi curas of random variables in distribution under mixing condition .- Periodica liath.TIungar.ica,

• 1972,v.2,K1 -J ,p.173-1 SO. . Chen.l.II.Y. .Poicaon approximation lor dependent trials.-

Ann,Preba u.,1975,v.3,53 4-54 5.

. JIu<U;on,Tucker,E.G. ,Veeh, J.A. .limit Distributions oi" cus? ol rn-ds'pendent Bernoulli random variablen .- Probab. Th. ¿iol.Plelda, 1939,v.82,1-11 ,p.95-103.

Основные публикации автора по тема диссертации

1. Боровков А.А.,Утев С.А..Об одном неравенство и связанной с шш характернзации нормального распределения Теория вероятностей

и ее применения.,1983,T.28.N 3 ,с. ЙС9-218.

2. Пинелис И.4>.,Утев С.А..Оценки моментов сумм независимых случайных величин, - Теория вероятн. и ее примен. ,1984,т.29,Л 3, с.554-557.

3. л1инелис И.Ф. ,Утев С.А..Точные експоненциальныо оценки дли сумм независимых случайных величин.- Теория вероятн. и ое

примен.,1989,т.34,N 2, с.384-390.

4. Утов С.А.. Неравенства для сумм слабозависвмых случайных величин и оценки скорости сходимости в принципе инвариантности.-'•'руда Института математики СО АН СССР,1984, т.3,с.50-76.

5. Утев С.А.. Экстремальные задачу» в моментннх неравентсвах.-Труда Института математики СО АН СССР, 1935,т.5,с.56-75.

6. Утев С.А..Вероятностные задачи,связанные с одним интегродафференциальным неравенством.- Сиб.матем.зк. ,1989,т.30, N 3,0.182-188.

7. Утев С.А.. О центральной предельной теореме для схем серий, случайных величин о ¡{.-перемешиванием. - Теория вероятн. и ее примен. ,1990,т.35,N1 ,с.110-117.

8. Утев С.А. Об одном способе исследования сумм слабозависимих случайных величин .- Сиб.матем. х.г 1991,т.32,N4,с.165-183.

9. Utev.B.A. .Central limit theorem for dependent random variables .- In.: РгоЪ.Theory and Kath.Stat., 1990,VSP/Mokslaa, v.2,p.519-528.

10. Utev,S.A. .Sums of ф-mixing random variables.- Sib. Advances in Kath., 1991 ,v.1 ,m,p. 124-155 .

р о с с и й а к л И А К л д е Гл и я ил у к сибирское отделение инстн1ут математики

На праг'^;,: рукописи удк 519.21

ШСС СЕРГЕЙ ГЕОРГИЕВ!?!

СТОХАСТИЧЕСКИ РЕКУРСИИ 2 Ж ПОСЖДОМТЕЛЬПОСТИ и их ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ

(01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1992

P.ifKiTC лнеЬс) ь г .п'уд:, щ (кино.,! y^ui

07'?i.'i'!AJibfUE Ok/iOLTilVj'i.": /и1;],',) ■ -г^.с.л.пгч^к:!:; наук,

iif'." -Ii. П.Кс, r.'.ü'tivu-i,, ли;* ор (>ii3mco -ы-лтематнчоских наук, профессор Л. а. Мсгульскин, доктор фиашсо-;.:аиомат1г<оских наук, профоссот. В.Б.РгЖОв.

ВЗДУЩАЯ OiTAIBJ3АЦИЯ: механико-математический факультет Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Защита состоится "______'___1992 г. в " " часов на

и&седапии специализированного совета Д.ОС32.23.03 при Институте математика СО РАН по адресу: 680090, Новосибирск, Университетский проспект, 4, к.417, Институт математики СО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

ло юреферат разослан "__"_______19У2 г.

Ученый секретарь специализированного

совета Д.002.20.СЗ

д. Ф. —мл!. A.B. Косточка

",г"' "В настоящее время в теории вероятностей и ее приложениях Ь'^гй^гДили развитие исследования класса случайных последовательностей- элементы оторых определяются по предыдущим с помояыо 'некоторой рекуррентной процедуры. Речь идет о'последовательностях {X(л)} вида

Л(л И)=Г{Х(п),£п), про, (1)

где г - заданная функции и {£' } - заданная случайная последовательность, образующие. "управление" последовательности {х(п)У. Последовательности вида (1) мы будем называть "стохастически " рекурсивными" (СРП). На значимость СРП указывает тот факт, что в широком классе приложений теории вероятностей (теории систем обслуживания, теории надежности и т.д.) практически все рассматриваемые модели (в дискретном времени).допускают представление- в виде (1). С..одует отметить и другой аспект: любая цепь Маркова (07.1) с дискретным временем и достаточно общим фазовым пространством может бить задана в виде СРП при независимых £ , так что СРП является об'ектом более общей природа, чем ИМ.

В работе рассматриваются следующие два важных направления исследования СРП:

1. Изучение условий эргодичности СРП, то есть условий, гарантирующих сходимость (в том или ином смысле) распределений Р{:<(и)г. .) при л -> к некоторому собственному стационарному, или предельному, распределению.

2. Изучение условий устойчивости СРП, то есть условий, при которых при малых (в известном смысле) "возмущениях" управления { I } стационарные рспределения последовательности л' (п) тг'гжа

изменяются мало.

Изучение общих СРП впервые началось, по-видимому, в работах Р.Лойнеса* и б-_ло продолжено (при той или иной степени общности об'екта исследований) в работах А.А.Бэровкова, Б.М.Золотарева, Л.Г.Афанасьевой- В,В.Калашникова, С.Т.Рачева, Н.П.Леонтьевой. И.Ахмарова П.Франкена, А.Брандта, Б.Лизека, Ф.Бач-чОлли, С.Г.Фосса и др. авторов. Как правило, предполагалось, что последовательность { } стационарна в узком смысле (в частности, состоит из и.о.р.с.в.). Полученные результаты применялись для исследования различных классов систем обслуживания.

Выделим два достаточно общих подхода к получении теорем эргодичности для СРП. Первый из них базируется на свойстве монотонности функции г по первому аргументу.При.этом подходе получаются утверждения о "слабой" эргодичности последовательности л (л) , т.е. о слабой сходимости распределений Р(А'(л )е. ) к некоторому предельному. Отметим, что в широком классе прикладных моделей (системах обслуживания с отказами, системах со случайным множественным доступом и т.д.) для изучаемых процессов, как правило, условие монотонности не имеет места. Кроме того, в системах с ожиданием свойство монотонности г может быть использовано для доказательства теоремы эргодичности только при специальным образом выбранных начальных условиях.

Второй подход, основашшй но понятии г.н. обновляющего

Ъ-.-.улея р. ТЬе etabi.li.iy о£ а оиеие у/ЗЛЬ ло.гс-л1к)ерепсЗл.чч1 arriv.il апй г.ег"/асц tinr.cs.// Ргоо.С&тЬг. 1. Бо?.. - 1Р6& . -Л'. ЬО, 11.3. -Р. ¿97--52-.0.

события, бил предложен А.А.Еоропколым* и исследовался (для различных типов СРП) б работах В.В.Калашникова, Л.Г.лфэнпи*е80Й, А.Ерандта, ЕЛиоека, Г.Ш.Ииинатвили,С.Г.Фосса и др.авторов. При условии наличия обновляющих событий имеют место утверждения об эргодичности последовательности .X(п) а некоторое, "сил?ком" смысле, эквивалентном в известней степени сходимости в метрике полной вариации. Именно сходимость такого типа.наблюдается з широком классе прикладных моделей (нппр., в системах обслуживания). Эти два подхода зачастую успешно дополняют друг пиуга.

Заметим, что в теории цепей Маркова исследование вопросов эргодичности в указанном выше "сильном" смысле хронологически началось раньше, с, работ Деблина, и продолжалось рядом известных авторов (Т.Е.Харрисом, с.Ореем, С,Асмусоеном, Х.Ториссоном, К.Е.Атрейя, П.Неем, Э.Нуммелином и др.) независимо (до последнего времени) от работ по исследованию СРП. В частности, Атрэйя-Неем** и Ну^елином*** был предложен прием, связанней с -возможностью построения регенерирующей цепи в расширенном фазовом пространстве и позволяющий доказывать эргодичность однородных цепей Маркова в т.н. "условиях Харриса". ЭЛТуммелином**** было доказано, что упомянутые "условия Харви-са" необходимы и достаточны для "сильной" сходимости. В работе

* оэроЕхоз АЛ., Асимптотические метода в теории массового обслуживании. -М.: Наука,IS60.

*» Athrvya ¡I.E. , Ney P. , A ne-.v approach to the limit theory of recurrent Markov chains.// Trims. Anier.Math.Soc.-197S. -V.24-3. -

P. 4ГЭЗ-?01 .

Num'i? Lin E. , 1 splitting technique for Harris recurrent Mnrlxv c'min:?. /,' Z-.'.Vnhr.Geb. - ' 9'ГЗ. -V. 43. -P. 309-3"! 8. **»* И;.-:.:: 3., 0*«ric неприводимые цепи Маркова и неотрииа-тольыыо пьораторы.- М.: Мир. I98S.