Экстремальные задачи и оценки в некоторых классах аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А. И. ГЕРЦЕНА

СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ СОВЕТ К 113.05.14

На правах рукописи

НИКИТИН

Сергей Владимирович

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И ОЦЕНКИ В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ

01.01.01— МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

1992

Работа выполнена в Российском государственном педагогическом университете имени А. И. Герцена.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор И. М. МИЛИН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор И. А. АЛЕКСАНДРОВ, кандидат физико-математических наук, доцент Е. Г. ЕМЕЛЬЯНОВ

Ведущая организация — Казанский государственный университет имени В. И. Ульянова (Ленина).

заседании специализированного совета К 113.05.14 в Российском государственном педагогическом университете имени А. И. Герцена по адресу: 191186, С.-Петербург, наб. р. Мойки, 48, ауд. 210, корп. 1, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета по адресу: 191186, наб. р. Мойки, 48. Фундаментальная библиотека.

Защита состоится «

1992 г. в 1С

часов на

Автореферат разослан « ' Г »

1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

БАРАНОВА

! ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

'■ I

Актуальность теш. В геометрической теории функций, одним из главных направлений исследований является постановка и решение различных экстремальных задач. При этом значительное место отводится .изучению однолистных аналитических функций. В частности, большую роль играют задачи, в которых, исходя из условия однолистности аналитической функции, требуется получить количественные оценки некоторых величин, связанных с этой функцией: оценки модуля функции, модуля и аргумента ее производной, модулей коэффициентов и т.п.

Эти и другие экстремальные задачи привели к появлению, развитию и успешному применению таких методов, как метод площадей, вариационный и параметрический методы, метод экстремальных метрик, метод симметризации и др. Актуальность экстремальных зёдач проявляется не только в том, что они имеют важное значение в теоретических вопросах математического анализа, но и в возможности их применения к вопросам прикладного характера.

Реферируемая работа является дальнейшим продолжением исследований по экстремальным проблемам в некоторых классах аналитических и однолистных функций.

Цель работы. Используя различные метода, применить доказанные в диссертации теоремы для логарифмических коэффициентов однолистных функций к решению экстремальных задач и исследованию гипотез, стоящих в проблематике коэффициентов и логарифмических коэффициентов однолистных функций. Исследовать экстремальные задачи для различных классов однолистных функций, определяемых с помощью операции подчинения, и классов аналитических функций, получаемых посредством свертки Адамара. Получить радиусы и порядки выпуклости, звездообразности, спиралеобразности изучаемых классов, вкладываемость одного класса в другой, оценки коэффициентов, теоремы искажения и т.д.

Методы исследования. При доказательствах широко применяется метод площадей, то есть способ решения задач теории однолистных функций, использующий теоремы площадей. Этот метод для различных классов функций использовался в работах Г.М.Голузина, И.Е.Еазилевича, Н.А.Лебедева, И.М.Милина, Ю.Е.Аленицына, В.Я.

Гутлянского, С.Л.Крушкаля, А.З.Гриншпана, Дж.Дженкиноа, Х.Пом-меренке, 3.Нехари, Р.Кюнау, М.Шиффера и др.

В первой главе для решения экстремальных задач используется вариационный метод. С помощью этого метода получены значительные результаты в теоретических и прикладных вопросах М.А. Лаврентьевым, Г.М.Голузиным, П.П.Куфаревым, Б.В.Шабатом, И.А. Александровым, В.Я.Г^утлянским, В.В.Черниковым, М.Шиффером, А.Гудманом, М.Робертеоном и др.

При рассмотрении вопросов, связанных с логарифмическими коэффициентами, в диссертации используется новый подход, применявши рядом математиков (в СССР, США и других странах) и получивший в последнее время широкое распространение. Этот подход заключается в сочетании теорем площадей и аппарата экспоненци-рования. С помощью метода площадей выражается свойство однолистности функций в виде ограничений на их логарифмические коэффициенты, а теоремы экспоненцирования позволяют перенести эти ограничения на тейлоровские коэффициенты разложения самих функций. Используя данный подход И.Е.Еазилевич, Н.А.Лебедев, И.М.Милин, А.З.Гриншпан, К.Фитцджеральд, П.Дюрен, Л.де Бран-д и многие другие получили эффективные оценки целого рада функционалов в различных классах однолистных функций.

Научная новизна. В диссертации получены новые неравенства для логарифмических коэффициентов однолистных функций, позволившие сделать следующее :

- получить лучшие в настоящее время оценки конечных сумм модулей логарифмических коэффициентов;

- уточнить неравенство А.Бернстайна для интегральных средних, в зависимости от двух первых коэффициентов разложения однолистной функции;

- усилить неравенство (бывшая гипотеза И.Е.Базилевича) для логарифмической площади функций из класса ¡э ;

- решить задачу Н.А.Лебедева и И.М.Милина о точной оценке модулей коэффициентов функций из класса - расширения класса функций Еибербаха-Эйленберга;

- доказать теорему искажения в классе и установить коэффициентные оценки для класса - всех однолистных функ-

п *

ции из ¡^

Кроме того, в работе, с помощью вариационного метода Г.М.

Голузина, получено и исследовано дифференциальное уравнение для определения экстремума функционала в гипотезе Дюрена-Ленга, решением которого является функция Кебе.

Найдены порядки и точные радиусы выпуклости, звездообразнос-ти, спиралеобразности, оценки коэффициентов в классах регулярных функций, определяемых посредством условий подчинения и сверток Адамара, доказана вкладываемость одного класса в другой.

Определено множество значений комплексного параметра Л , гарантирующего однолистность ^ (^'(г^С^г , а также доказаны теоремы искажения для класса 0 Б* (А, В)-функций, удовлетворяющих условию подчинения.

Все результаты являются новыми.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и метода исследования можно использовать для изучения различных классов аналитических и однолистных функций, в конструктивной теории.функций комплексного переменного, а'также в приложениях, связанных с конформными отображениями (теория упругости, газоЕая динамика, гидромеханика и т.п.).

Апробация работы. Результаты, содержащиеся в диссертации, докладывались на региональной Северо-Кавказской школе-конйерен-ции по теории функций и приближений, на конференциях "Герценоес-кие чтения" в Российском государственном педагогическом университете имени А.И.Герцена (г.С.-Петербург), на научной сессии Томского отделения Сибирского математического общества, на У Саратовской зимней школе по теории функций и приближений, на П Суслинских математических чтениях (г.Саратов).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 научных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем работы 94 страницы машинописного текста. Библиография содержит 80 наименований работ советских и зарубежных математиков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий анализ литературы, показывающий развитие и современное состояние изучаемых вопросов и задач,

обзор полученных результатов по главам и вводятся основные определения и обозначения. ^

3 - класс функций -^(2)= Сц2п, регулярных и однолистных в единичном круге Е-(2:|2|<1] ;

Щ - класс функций , регулярных и однолистных в об-

ласти 1<|г|<°о , нормированных лорановским разложением Г(г) = 2 +

Ш0 - класс функций Р(2)£2И , не обращающихся в нуль в области 4< | < оо

со

Пусть lJ = fL(z)=Z]c^nZn - регулярная и однолистная в Е функция, отображающая^1 Б на область В \л/ плоскости. Обозначим через В - замыкание области В • Дополнение к В на \д/ - плоскости, содержащее точку Ы=о° , обозначим че-.рез Ю

Пусть - функция, отображающая на

область Я) . Будем говорить, что функция принадлежит

классу Э» если ^ •

Под классом 5Г понимается совокупность функций (2)= I. -Ч

оо

-V1 * п г-

~z.iQ.nZ , регулярных ь ¡1 и таких, что для любой фл'нк-

Ц-1 "о

ции из этой совокупности найдется однолистная подчиняющая из р^-Из определения следует, что подкласс всех однолистных функций класса совпадает с Для ^"(г) £ В обозначим

К- I

и будем называть числа 2ук (К= 1,2,...) логарифмическими коэффициентами функции ^(г) •

Сверткой^или произведением Адамара двух регулярных в Е функций 2 О-п 2П и £(г)=Е1Ьп7-П называется функция

(110 п""°оо

Первая глава сос?т#ит из четырех параграфов. В §1 дается обзор результатов этой главы, в §2,3 изучаются конеч-

иьте сшмы логарифмических коэффициентов - Функционалы ьида

Зп(Я = £|Гк12 иКп(Я»Ё|Ук|гк , 0< г^ 1 , п = 1,2.....

Зп(Я ' с помощью вариационного метода Г.М.Голузина, находится и исследуется дифференциальное уравнение определяющее его экстремум. Функционал , П =1,2,..., Фигурирует в ги-

потезе Дюрена-Ленга, предполагающей справедливость^ неравенства^

ЗпСЯ^Й ' п = 1)2.....Известно, что

(Дврен-Ленг 1979 г.). Дифференциальное уравнение относительно имеет вид

¿рж

КЙ]

где|ф(2)|п - обозначает коэффициент при 2П в разложении

в окрестности т. 2= О , 2 , Е , 7. -фиксировано. Функция Кебе = является решением этого уравнения в . Получена также оценка Зп(Ь) < 2 *0,Ц .

Для функционала ^пЧ' рассматривается задача, аналогичная гипотезе Дюрена-Ленга (так как Ё ^ ЕО^О" Г) » т0

п / > ^ 1 к * = '

дет лигслф^1!—Г , П = 1,2,...?). Для , с использова-

нием принципа максимума модуля субгармонической функции, находится оценка сверху, лучшая из известных. Например, при частном значении Г - 1 она дает более сильный результат, чем применение известного неравенства И.М.Милина.

К:1 ' М К.1 К

где $ - константа Килина, == 0,312.

Ь 19г/4 г. А.Гернстайн получил методом симметризации для всех важный результат:

1р(г.;Г)з1р(г\К). (I)

где ГР(г,^) ^^г ] I )1 ~ среднепнтегральный модуль функ-

ции )(г), порядка р , г = ге10 , Гб(0,0 , 0<р<с° ,0ф,25Г],

К (г) - функция Кебе, со знаком равенства только для К(2) и ее вращений.

В §4 главы I неравенство (I) уточняется в зависимости от коэффициентов С2 и С3 в тейлоровском разложении Б •

При доказательстве этого уточнения используется метод экспонен-цирования и следствие из теоремы Л.де Бранжа, доказанное И.М.Ми-линым: для каждой функции j(z) 6 5 и Для любой последовательности чисел {'Гц]'1*1 подчиненной условиям невозрастания и выпуклости:

I). ... ^ *ип.4 =0 (гЫ),

2). ТЛч^к(КН.пи; П>2)

выполняется неравенство для логарифмических коэффициентов

П л Н П" I . ч 1,1 О ] \

К-1 КМ Ш»14 'КМ / •

Знак равенства имеет место только для функции Кебе.

Вторая глава состоит из четырех параграфов. В ней, с помощью теорем для логарифмической площади, свойств А меры области и соотношений экспоненцирования, решается ряд известных задач для классов $ , и

В §1 приводятся основные определения и дается краткий обзор результатов П главы. В §2 рассматривается величина логарифмической площади функции $ » то есть площадь образа круга

при отображении функцией » которая может быть

представлена в виде

и|< г

С помощью следствия И.М.Милина из теоремы Л.де Еранжа усиливается неравенство для логарифмической площади: ^^ ^д 1111.^с

( ГД0 3 , Г фи) - функция Кебе, из-

вестное как бывшая гипотеза И.Е.Еазилевича. А именно, справедлива

г2к

Теорема 2.1. Для каждой функции 3 при любом Г 6(0,1)

величина логарифмической площади удовлетворяет неравенству

со знаком равенства для функции Кебе.

Из этой теоремы следует, что для каждой функции f(z)6 5 при любом Г6 (0,1) справедлива усиленная теорема искажения

со знаком равенства только для функции Кебе.

Так как , то полученная оценка усиливает извест-

ную оценку модуля однолистной функции:|^з)|£ г/((-г)2 . Эта оценка так же усиливает оценку Гун Шена:

для (^Г^Г, , где Г, - наименьший корень уравнения гг-2г(\сг\ +

♦бУ(з|Сг|*2)--1.

Теорема 2.1 позволяет так же усилить неравенство А.Бернстайна (I) при р= I , так как для каждой функции ^2)6 Б при любом Г € (0,1) из этой теоремы получается неравенство для средне-интегрального модуля I.) (Г, :

В §3, с помощью свойств А - меры, доказывается теорема о логарифмической площади функций ^ (г) £ • А - мера одно-связной области В(0 £ В) , 006 В) определяется формулой

А(В) = £оо £ п |ВП|2.

Здесь И - конфорлный радиус области В относительно начала,- однолистное конформное отображение круга Е на В Впервые понятие А - меры введено в работе А.З.Гриншпана^.

^Г'риншлан А.З. Применение принципа площадей к функциям Еибербаха-Эйленберга //Мат.заметки.-1972.- т.II,№6.- С.609-618.

-гО-4-1^

Теорема 3.1. Пусть функция | (г)=2йп1пб и отображает

т 11*1

Е на область Б , а Р^/^бЕ - функция, указанная в

определении класса . Тогда

¿•6

Fit)

Эта теорема используется в дальнейшем для доказательства утверждений §4, где дается оценка коэффициентов функций из ^ , и приводится теорема искажения для класса

с*с

*,

Теорема 4.1. Пусть функция _f (z)=^anZnGS, » тогда

L mi

|d.*|< \ для всех П = 1,2,..., причем знак равенства достигается только для функции f*(z) , ■

Эта теорема полностью решает вопрос о точной оценке модуля П -го коэффициента функций из класса^ $ * » поставленный Н.А.Лебедевым и И.М.Милиным в 1951 г.^

Другим результатом §4 является оценка взвешенной суммы квадратов модулей коэффициентов из класса Sj_ :

где

~А 00 /

(1-z) =Ect,(A)zK,A>0. к=о

Так как в классе S^ точные оценки коэффициентов до сих пор не найдены, то возникает вопрос о порядке роста коэффициентов.

Теорема 4.3. Пустьf(z)=£a*ZK6 S? • Тогда la^l^ü.l^

п к--1

(и =1,2,...), где С - постоянная Эйлера. Порядок роста по П при П оо точный. *

В конце §4 приводится теорема искажения для класса SL Теорема 4.4. Пусть f*(z)--£j a*Zn6 S* ■ Тогда

L n=i

Лебедев-H.A., Милин И.М. О коэффициентах некоторых классов аналитических функций //Мат.сб.-1951.- 28 70, №2.- C.35S-400.

Так как - расширение класса Еибербаха-Эйленберга, то

полученные сценки являются менее жесткими, чем соответствующие результаты в классе Еибербаха-Эйленберга.

В третьей главе, состоящей из двух параграфов, исследуются экстремальные задачи на классах функций, определяемое посредством условий подчинения и сверток Адамара.

В §1 рассматриваются классы К,„(А,В) и Зп (А,В)-\<т (А,В) -

класс функций = г ^йт + <2ГП4<+С1га+22т+2.-■ , регулярных и удовлетворяющих в Е условиям: ^'(х) 4 0 и

■ + —---< - ?

' 2) <+Вх

где -< - операция подчинения, А , ■ Б £ Е , А ^ В 1 т =1,2..........- класс функций {(г) = 2+апи2п*< +

л, ' -,п + 2 Г-

+ +... , регулярных ней удовлетворяющих условию

А,ВеЕ , А ¥ - В, - ОГ/2 < А < ЗГ/2 При А И , В = -4

М - 1 получается ^О, ~1) - класс выпуклых в Е функций.

При А-8-1 , ПН получается Б^ЧМ) - класс Л -спиралеобразных в Е Функций.

При ограничениях ¡¡а А и В , в §1 решается вопрос о выпуклости функций из класса Кт(А,В) . Определяется множество значений комплексного параметра Л , гарантирующего однолистность функций

где £(2) 6 (А, В) •

Для класса (А, В) рассмотрен вопрос о А -спиралеобраз-ности, получены точные оценки коэффициентов и величин(г)|»

В §2 изучаются линейные комбинации сверток Адамара регулярных функций. С помощью свертки можно определить оператор обобщенного дифференцирования порядка

где операция # - произведение Адамара. Так же можно представить и производные 1^ушевея :Snj-(z)=[z/(i-z)n* ]*f(z) , которые

определяются в виде: $) f(z) = z (z-'fWf/n! , где П = 1,2,... -

порядок производной. Для линейных комбинаций операторов обобщенного дифференцирования РиИ^Я^ф+ЛЙ^'Я*) , Л 3^0 ,

где |CLn | Zn и принадлежит подклассам класса 5 вы-

пуклых, звездообразных функций порядка1 ) , находят-

ся порядки выпуклости, звездообразное™, точные радиусы выпуклости и звездообразное™,-исследуется почти выпуклость и т.п.

Для линейных комбинаций вида Jn(iJf-)=(1-/)X)n-f(2)/z+i(n»'l)£)n4,J-(z)y

П= 1,2,..., <L - произвольное действительное число, вводятся классы.функций, для которыхReJn(oi,j-)>j3 . Доказывается вкладываемость одного класса в другой в зависимости от <L , получена оценка функционала |1 + /||û.j-JMQj | , jvi -комплексное, для функций f(z) = Z+z" принадлежащих указанным

К«2

классам.

Ряд аналогичных задач решается для линейных комбинаций операторов обобщенного дифференцирования вида

v ; m ipïz)

где <¿>4 , -ЗГ/2 <^<5Г/2 , А >-0 , ф ( Z) , ^ -спиралеобразная функция порядка jvi , 0$jvi<1 .

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

I. Никитин C.B. О линейных комбинациях производных 1^ушевея аналитических функций //Вопросы теории специальных классов функций, -изд-во Ставроп. пед. института, 1985, С.38-46. '

2. Никитин C.B. О линейных комбинациях отношений регулярных функций //Экстремальные задачи теории функций, изд-во Томского ун-та, 1986, С.38-41.

В. Никитин C.B. Об одном классе регулярных функций //Актуальные вопросы теории функций, изд-во Ростовского ун-та, 1987, С.143-147.

1. Никитин C.B. О линейной комбинации обобщенных производных регулярных однолистных функций с отрицательными коэффициентами. Депонирована ред. ж. Известия Вузов. Математика, 1987.13 е., ЭТ549-В87.

5. Никитин C.B. Об одном классе голоморфных функций //Дифференциальные уравнения с частными производными, изд-во Ленингр. пед. института, 1987, С.65-69.

3. Никитин C.B. Об оценке интегральных средних однолистных функций //Математический анализ. Вопросы теории, истории и методики преподавания, изд-во Ленингр. пед. института, 1990,

С.15-20.

7. Никитин C.B. 0 логарифмических коэффициентах однолистных функций //Изв.Вузов. Мат., 1991, №7, С.42-49.

Î. Никитин C.B. Классы регулярных функций $L и //Вторые

матем. чтения памяти М.Я.Суслина, тезисы докладов, Саратов, 1991, С.74.

Подписано К лечат»! ¿6'. Рэ Ус ... формат бумаги 60x84 1/16, ГО - 3 "Ленуприздата". 191104 Ленинград, Литейный пр

. Заказ Séô" . Тирад Ç7Ô печ.л. Бесплатно.

', дом !,"' 55.