Экстремальные задачи в теории целых функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.5

ПОПОВ АНТОН ЮРЬЕВИЧ

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

Специальность: 01.01.01 - "Математический анализ"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор В.А. Осколков; доктор физико-математических наук, профессор Б.Н. Хабибуллин; доктор физико-математических наук, профессор А.А. Шкаликов;

Ведущая организация:

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН

Защита диссертации состоится " 15 " апреля 2005 г. в 16 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д.501,001.85 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного ссв Д.501.001.85 при МГУ, доктор физ-мат ш профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ Значительная часть теории целых функций посвящена исследованию связи между асимптотическими свойствами целых функций и распределением их нулей

Начало этому направлению положили работы К Вейерштрасса, Ж Ада-мара, А Бореля Впоследствии весьма глубокие и общие результаты в этой области были получены А Пфлюгером, Б Я Левиным, Р Боасом

Б Я Левин и А Пфлюгер дали почти исчерпывающее описание поведения функций с "правильным" (в том или ином смысле) распределением нулей Они доказали, что для того, чтобы целая функция была функцией вполне регулярного роста при уточненном порядке необходимо и достаточно чтобы множество ее корней имело угловую плотность при показателе При отсутствии "регулярной" асимптотики модулей нулей (даже если все они лежат на одном луче) поведение функции предсказать трудно В ситуации, когда на нули изучаемого подкласса целых функций заданы некоторые ограничения, но сколько-нибудь "правильное" распределение нулей отсутствует, можно решать только экстремальные задачи для тех или иных асимптотических характеристик функций заданного класса Несколько таких задач были решены Б Я Левиным1, Н В Говоровым2, М И Андрашко3, но в целом эти вопросы мало исследованы, несмотря на то, что результаты по экстремальным задачам о наилучших на том или ином классе последовательностей {Ап} оценках сверху и снизу

оо

произве;]^[|1 — г2/о д я т применение в теории аналитического

П=1

продолжения рядов экспонент Это в полной мере отражено в монографии С Мандельбройта4

Подобные проблемы возникают и в теории интерполяции, когда узлы интерполяции не подчинены каким-либо жестким условиям Ярким примером, иллюстрирующим сказанное, является интерполяционная задача Абеля—Гончарова Она состоит в восстановлении целой или аналитической в некоторой области функции по данным В эту тематику большой вклад внесли С Н Бернштейн, И Дж Шенберг, В Л Гончаров, М А Евграфов, Ю К Суетин, Ю А Казьмин, В А Осколков Тем не менее, задачи Абеля—Гончарова, в которых отсутствует информация

'Левин Б Я Распределение корней целых функций М Госгехиэдат, 1956

'Говоров Н В Екстремальний тдикатор цигаТ функцн з додатними нулями задаяо1 верхний та кижньо1 густини // Доп АН УРСР, 1966, №2, с 148-150

3Андрашко МИ Екстремальний шдикатор шло! ф>нкцп з додатними нулями порядка меньше одинищ // Доповш АН УРСР, 1960, № 7 с 869-872

"Мандельбройт С Ряды Дирихле Принципы и методы , М , Мир, 1973

о поведении |А„| и argAn (например, известны только мажоранты модулей узлов интерполяции) ещё недостаточно исследованы и результаты в них коренным образом отличаются от результатов в задачах, где последовательность {Ап} монотонна на какой-либо прямой в С. Именно, при рассмотрении узлов интерполяции "общего положения" возможны только экстремальные постановки задач.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Цель работы состоит в нахождении максимальных или минимальных значений тех или иных асимптотических характеристик целых функций некторых классов. В пеовой главе диссертации рассматриваются классы фунокций Q (1 — (в параграфе 7 главы 1 —

Л=1

00

, определяемые ограничениями на последовательности

П=1

{цп}. Во второй главе классы целых функций определяются ограничениями на модули ближайших к точке 0 нулей n-х производных или типом относительно некоторой функции сравнения.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Найдено наибольшее значение индекса конденсации последовательности положительных чисел на классах последовательностей с заданным шагом, верхней и нижней плотностями. Напомним, что индексом конденсации возрастающей последовательности положительных чисел называется величина

2. Получена асимптотика при D 0+ функции £(h, D) равной по определению точной верхней грани длины канала, имеющего высоту 2ttD, в которой может быть аналитически продолжена за абсциссу сходимости сумма ряда экспонент ^Г, апехр(А„.г) с положительными показателями {Ап}.

Точная верхняя грань берётся по всем рядам, шаг последовательностей которых не меньше а верхняя плотность не превосходит

3. Найдено наименьшее значение типа при порядке р £ (0,1) канонических произведений — последовательность по-

П=1

ложительных чисел, имеющая заданное значение верхней плотности при показателе р.

4. Для любой последовательности положительных чисел {xn}%L0 такой, что

(п + 1)х„ Z1 +оо , lim (хп+\/хп) = 1

П-+00

найден наименьший рост (в смысле типа относительно функции сравнения) целых функций, отличных от тождественного нуля, каждая n-я производная которых имеет хотя бы один нуль в круге \ z\ < xnvn, где lim v„ = 1

п-Юо

Для функций меньшего роста, нежели найденный экстремальный, получено разложение в интерполяционный ряд

где Р(Ао,..., Аn-\,z) ~ полиномы Гончарова, {Ап} — произвольная последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая ограничению |Anj <

Решена аналогичная задача при ограничении ImAn = о(х„) (тг -¥ оо).

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В главе 1 применен новый метод оценок снизу на луче модуля канонического произведения. Модифицирована традиционная конструкция ряда экспонент с заданным шагом последовательности показателей, сумма которого долускает аналитическое продолжение в "достаточно широкую" область, лежащую за вертикалью сходимости ряда. В главе 2 теорема о разложении функций в интерполяционный ряд по полиномам Гончарова получена за счёт нового метода сведения таких задач к исследованию базисности систем {*" exp(A„i)}^L0 в пространствах .Д(|*| < R). Подобное сведение ранее осуществлялось только для целых функций первого порядка нормального типа. Также новым является метод доказательства полноты систем функций примененный в §3 главы 2. В главе 3 оригинальными являются как сами задачи, так и методы их решения.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Диссертация носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в раличных областях математики (теория функций, теория чисел, теория вероятностей, дифференциальные уравнения), где требуются оценки сверху или снизу модулей канонических произведений. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в МИ РАН, ИММ УрО РАН, Институте математики с ВЦ УНЦ РАН, УрГУ, Ростовском университете, Башкирском Государственном Университете.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, симпозиумах и школах:

• Математической школе по теории функций. Миасс, 1996-2004 г.г.,

• Международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы", Уфа, 1996 г., 2000 г.,

• Международной конференции, посвященной восьмидесятилетию со дня рождения А.Ф. Леонтьева, Нижний Новгород, 1997 г.,

• Казанской летней математической школе по теории функций. 2003 г.,

• Конференция по теории приближения. Тула, 1998 г.,

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах:

академика РАН В.А Садовничего, академика РАН А.А. Гончара и чл.-корр. РАН Е.М. Чирки, чл.-корр. РАН П.Л. Ульянова и чл.-корр. РАН Б.С. Кашина, чл.-корр. РАН Ю.Н. Субботина и профессора Н.И. Черныха, профессоров А.Г. Костюченко и А.А. Шкаликова, профессора Е.П. Дол-женко, профессоров В.А. Скворцова и Т.П. Лукашенко, профессоров A.M. Седлецкого и В.В. Власова.

ПУБЛИКАЦИИ. Все результаты диссертации опубликованы в 8 работах автора. Список этих работ приведен в конце автореферата. Работ, выполненных в соавторстве, нет.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация изложена на 226 страницах и состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы. Библиография содержит 62 наименования.

Во введении рассказывается история вопроса, приводится обзор классических и современных результатов, связанных с темой диссертации и дается краткое изложение ее содержания.

В первой главе диссертации решены две экстремальные задачи для канонических произведений и значительно улучшены оценки Мандельбройта в одной экстремальной задаче в теории аналитического продолжения.

Напомним основные определения. Индексом конденсации возрастающей последовательности положительных чисел А = {А„}ПбМ, верхняя плотность которой конечна, называется величина

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

В §1 главы 1 доказано, что ¿(A) совпадает со значением другого верхнего предела ■

где р\{х) = min |z - А„|.

n€N

Заметим, что lim \L\(x)¡ р\(х)| = ]£'Д(А„)|. Установлено также, что ¿(Л) > 0.

1->Ап

Другими словами, индекс конденсации последовательности Л равен точной нижней грани чисел С > 0 таких, что верно неравенство

\Lx(x)\ > рх(х)е'Сх \/х>х0(С,Х).

Напомним, что L\(z) является целой функцией экспоненциального типа, не превосходящего тгD(\). Потребуются ещё две характеристики последовательности А : шаг h(X) — liminf(An+i — Ап) и нижняя плотность

71—+00

Di А) = liminf(n/An).

П-»00

Ставится следующая экстремальная задача.

Задача 1. Даны числа а, ß, h, удовлетворяющие ограничениям5

О < а < ß < 1/fc.

Требуется найти

Д (q, ß, К) = sup{¿(А) | а < D{А) < D{\) < ß, h{А) > h} .

Поставленная задача решена автором. Величина Д(а, ß, К) найдена как элементарная функция от а, ß, h.

Теорема 1.3. Обозначим к = a/ß, s = (hß)~x,

а = s — -Уs2 — (к + l)s + 0.5(fc2 4- 1). Тогда при всех a, ß, h, удовлетворяющих наложенным на них в задаче 1 ограничениям, справедливо равенство

Д(а, 0, К) = 0 ((а - к) In (2*~_a~fc) + (1 - а) In (2s~_Q~1) +

Вид функции Д(а, ß, h) достаточно сложен. Это побудило автора вывести простую (но в некотором смысле неулучшаемую) двустороннюю оценку этой величины.

50>раничение hß < 1 продиктовано известным неравенством h[\)D[\) < 1. Случай а = ß не рассматривается потому, что при Д(А) = D(\), h(А) > 0 справедливо равенство <5(А) = 0.

¿(A) = limsup — In

I-»+0O X

Р\(х)

Lxix)

Теорема 1.4. При всех а, в, h, удовлетворяющих ограничениям задачи 1, справедливо двойное неравенство

Оценка снизу теоремы 1.4 обращается в равенство при hß = 1. Из теоремы 1.3 вытекает, что

Д(а, ß, l/ß) = {ß - a) ln(3 + VS).

В то же время, при фиксированных а, ß и h —)■ 0+ имеем

Д(а, /3, Л) = 03- а) In (щг^) + 0(h),

откуда видна асимптотическая неулучшаемость при h 0+ оценки сверху теоремы 1.4.

Оценка сверху в теореме 1.4 позволила автору найти асимптотику при ß —¥ 04" экстремальной функции i(ß, К) в известной задаче Мандельброй-та о максимальной длине канала, в который может допускать аналитическое продолжение сумма ряда экспонент с положительными показателями, имеющими заданные шаг и верхнюю плотность.

Дадим строгую постановку задачи. Сначала введём некоторые обозначения и напомним несколько теорем. Для произвольных положительных

чисел ß и h, hß < 1, через E(ß, h) обозначим множество всех рядов экспо-00

нент апехр(Л„г), коэффициенты и показатели которых удовлетворяют

n=i

следующим условиям :

limsup |anJ1/rA" = 1, liminf(An+i - Л„) = Л, lim sup n/A„ = ß.

ПЧОО П-+00 il—>00

Эти условия означают, что абсцисса сходимости рядов из класса E(ß, h) равна нулю, шаг последовательности показателей равен h, а её верхняя плотность равна ß. Как известно, суммы рядов экспонент класса E(ß, h) голоморфны в полуплоскости Re z < 0, но на любом отрезке мнимой оси длины 2ir//i имеют по крайней мере одну особую точку. Должны ли существовать особые точки сумм рассматриваемых рядов экспонент на множествах, лежащих в полуплоскости Re z > 0 и имеющих ширину вдоль мнимой оси, меньшую 2ж/№ Если существует предел lim п/Хп — ß (именно

П-ЮО

предел, а не верхний предел), то согласно теореме Д. Пойа — В. Бернштей-на на любом отрезке мнимой оси длины 2тг/? (напомним, что ß < 1 /К) особая точка есть. Но если предела отношения п/Л„ не существует, то утверждение о существовании особой точки у суммы любого ряда экспонент из

Е{3,Ь) на отрезке мнимой оси длины 2тг/3 перестаёт быть верным. Тем не менее, аналитическое продолжение ни в какую окрестность бесконечной замкнутой полосы высоты 2п/3 уже невозможно. Это открытие было сделано С. Мандельбройтом, который доказал существование величины £1 зависящей только от ¡3 и к, такой, что сумма любого ряда экспонент из класса Е((3, к) не допускает аналитического продолжения ни в какую окрестность прямоугольника

Упомянутая на предыдущей странице автореферата экстремальная задача в теории аналитического продолжения состоит в отыскании величины ^(/3, к), равной по определению точной нижней грани тех чисел ¿, для которых верна цитированная теорема Мандельбройта. Ввиду несложно доказываемого равенства

достаточно найти £(/3,1) при любом /3 6 (0,1). Эта задача не решена до сих пор. Значение £(/3,1) не известно ни при каком (3 £ (0,1). Поэтому возникает вопрос о получении возможно лучших двусторонних оценок ¿(0,1). С Мандельбройт6 вывел следующие оценки :

В теореме 1.5 эти неравенства существенно усилены. Приведём теорему 1.5 в упрощённой (и немного ослабленной) форме для того, чтобы её результат было легче сравнить с неравенствами Мандельбройта. Справедливы следующие неравенства :

{г еС | 0 <Кег <£, Ь < 1т г < Ъ + 2тг/?} У&бМ.

¿{13, к) = к~1£{(3к, 1)

¿(/3,1) </31п^+ 4.15/3, 0</3<1, £{¡3,1) >/?1п^ + 0.06/3, 0 < /3 < 1/6.

Следствие. При 0 < (Зк < 1/6 справедливо соотношение

с абсолютной постоянной в символе О.

6Мандельбройт С Ряды Дирихле. Принципы и методы , М , Мир, 1973.

Оценки Мандельбройта (при фиксированном h > 0) позволяли доказать лишь порядковое соотношение ¿(ß, h) х ß\n j (ß 0+).

Таким образом, при 0 < ßh <1/6 автором найдены достаточно точные оценки величины d(ß,h). Что же касается значений ßh 6 (1/6,1) то, хотя оценка сверху £(ß, h), полученная в диссертации, более чем в 2.8 раза меньше оценки сверху Мандельбройта, об окончательных результатах говорить ещё рано.

Раскроем секрет усиления автором результатов Мандельбройта, С. Ман-дельбройт доказал неравенство

где H{ß) — точная верхняя грань индикатрис роста на луче R+ канониче-

00

ских произведений L\(z) = Д (l — z2/A2), взятая по всем возрастающим

последовательностям положительных чисел А = {Anj-^Lj^ , верхняя плотность которых не превосходит ß. Отметим, что С. Мандельбройт доказал более тонкую теорему (её обсуждение увело бы нас в сторону от основного содержания автореферата), но для оценки сверху i(ß,h) он использовал именно приведенное выше неравенство. Это же неравенство используется и в диссертации, но используется значительно продуктивнее именно благодаря тому, что автор нашёл значение A(a,ß, h) (и, в частности, Д(0,/3, h)) и получил его простую, но точную при малых ßh оценку сверху :

Величину H(ß) = ß ln(3 + \/8) нашёл в 50-е годы прошлого века Б.Я. Левин. Задача об отыскании Д(а, ß, h) оказалась намного сложнее. Этот результат Левина дополнен в диссертации следующим образом.

Теорема 1.6. 7 Для любых ß > 0, h > 0, hß < 1 существует возрастающая последовательность положительных чисел А = [А,,}^! , имеющая верхнюю плотность ß и шаг h, такая, что выполнены одновременно два следующих равенства :

¿(А) = Д(0, ß, h), limsup 1п|^а(з:)| = H(ß).

7Теорема доказана в работе Попов А.Ю. Точная оценка индекса конденсации // Mathematica Montisnigri, 1999, v. 11, p. 67-103.

Другими словами, существует последовательность, доставляющая максимум одновременно в задаче о наибольшем значении индекса конденсации и в задаче о наибольшей индикатрисе роста.

Теоремы 1.3 и 1 6 позволяют утверждать, что на пути использования неравенства £(ß, h) < Д(0, 0, h) 4- H(ß) ресурсы усиления оценки сверху l[ß, h) исчерпаны. Для дальнейшего продвижения в этой задаче нужны принципиально новые методы в теории аналитического продолжения. В последнем параграфе первой главы решена задача о наименьшем

типе при порядке р, 0 < р < 1, канонических произведений Lß(z) =

00

If (1 - z/ßn)J нули которых лежат на R+ и их последовательность р =

п=1

{А'п} п € N имеет заданную верхнюю р-плотность. Без ограничения р С К+ ответ в такой задаче давно известен8 : наименьший тип при порядке р произведений Lß(z) при условии

Dp{p) = lim sup r-PN^r) =0, N^r) = V 1,

M<r

равен (ep)~l. Напомним, что типом при порядке р целой функции / называется величина

сгр(/) = limsup Л_р1п ( max|/(z)| д-юо \М<Д

Как изменится результат при условии р С R+?

Теорема 1.7. При любом р 6 (0,1) справедливо равенство

inf{*p(Lß) I Dp{p) = ß, p С R+} = ßC(p),

где С{р) = max{i""pln(l + t) \ t > 0}. Нижняя грань достигается на некоторой (для каждого р своей) возрастающей последовательности положительных чисел р.

Функция С(р) не элементарна. Поэтому требуется исследовать поведение функции С(р) на интервале (0,1) и дать возможно более точные двусторонние оценки С{р) через элементарные функции переменной р.

Теорема 1.8. Функция С(р) убывает на интервале (0,1/1п4), возрастает на интервале ( 1/ In4,1), аналитична на интервале (0,1), С(1/1п4) = In2. Верны следующие неравенства:

(2еуР < С(р) < (4еУ, е = 1 -р, 0.9 < р < 1,

*См. главу 4 цитированной выше монографии Левина.

Теорема 1.8 показывает, что при р достаточно близких к нулю минимумы р-типов канонических произведений при нулевых и произвольных аргументах их нулей весьма мало отличаются друг от друга, но с возрастанием р всё более разнятся.

Во второй главе диссертации поставлена и решена экстремальная задача о наименьшем росте отличной от тождественного нуля целой функции, каждая n-я производная которой имеет по краней мере один нуль в круге kl < ^п (или на отрезке j— хп, жп]), где {xn}íS=o — заданная последовательность положительных чисел, удовлетворяющая определённым условиям "регулярности".

Для того, чтобы дать строгую постановку задачи, необходимо привести несколько фактов из теории целых функций.

С. Какея9 доказал, что если последовательность комплексных чисел Л = удовлетворяет ограничению

то любая целая функция единственным образом определяется значениями {.р(п)(Ап)}^0 и восстанавливается по ним интерполяционным рядом

Система полиномов Гончарова {Fn(A,z)}^0 (А = {Ап}^.0 — некоторая последовательность комплексных^чисел) является биортогональной к системе функционалов {{ЗТр^А,,} _д'

Из теоремы С. Какея вытекает, что сформулированная задача тривиальна, если хп = 0(1/п). Это побуждает рассмотреть класс мажорант узлов интерполяции удовлетворяющих условиям

Заметим, что такие последовательности {£„} могут стремиться к нулю, но всегда медленнее, чем . В то же время, они могут и стремиться к +оо,

9Kakeja S. An extetion of power series. // Proc. of the Phys.-Math. Soc. of Japan, ser. 3, 1932, v. 14, №4, p. 125-138.

но всегда медленнее любой геометрической прогрессии. Ясно, что условия регулярности, наложенные на последовательность {хп} сужают класс мажорант узлов интерполяции, но без этих требований задача значительно усложняется и пока не поддаётся решению.

Существенная деталь постановки задачи, которую необходимо прояснить, состоит в подходе к "измерению роста" целых функций. В множестве целых функций конечного положительного порядка общепринятой шкалой роста является класс уточнённых порядков. В этом множестве целых функций совокупность всех уточнённых порядков образует так называемый плотный класс сравнения. Это означает, что для любой целой функции / конечного положительного порядка найдётся такой уточнённый порядок р(г), что тип / относительно fi(r) равен 1. Соответствующие определения и теоремы имеются в главе I, §§12-13 цитированной выше монографии Б.Я. Левина. Но системы уточнённых порядков для наших целей недостаточно, поскольку проводимые во 2-й главе диссертации исследования затрагивают класс всех целых функций и, в частности, множество всех целых функций бесконечного порядка. Существуют различные шкалы роста целых функций. Библиография по этой тематике приведена в §1 главы 1 обзора А.А. Гольдберга, Б.Я. Левина, И.В. Островского10. Дальнейшие исследования в этом направлении были проведены В.А, Осколковым11. Вообще говоря, из многочисленных шкал роста всегда выбирают ту, которая более всего удобна для решаемой задачи и (это не менее важно!) является плотным классом сравнения в изучаемом множестве Н С .Д(С). Последнее означает, что для любой функции существует элемент данной шкалы роста, такой, что тип относительно него конечен и положителен (иногда требуется, чтобы тип был равен 1). Для решаемых во 2-й главе диссертации задач в качестве шкалы роста больше всего подходит система функций сравнения; её в ряде своих работ рассматривал Ю. А. Казьмин12. Напомним необходимые определения.

оо

Определение 1. Функция A(z) — ^ Anz" называется функцией сравне-

71=0

ния, если коэффициенты её ряда Маклорена удовлетворяют следующим

10Гольдберг А.А., Левин Б.Я., Островский И.В. Целые и мероморфные функции. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М., 1991, т. 85, с. 5-185.

пОсколков В А. О некоторых вопросах теории целых функций. // Матем сб., 1993, т. 184, №1, с. 129-148.

12Качьмин Ю А Методы интерполяции аналитических функций и их приложения. Дисс. д.ф.-м.н., М , МГУ, 1972 , Казьмин Ю.А. Сравнения функции. // Математическая энциклопедия, т. 5, М.: Сов. энциклопедия, 1985, с. 160., Казьмин Ю.А. Об интерполировании средними. /' Доклады АН СССР, 1987, т. 295, № 5, с. 1050-1053.

условиям :

1) Ап > 0 Уп е N0, 2) Ап+1/А„ \ О, п —► оо.

Множество всех функций сравнения обозначим 21.

00

Определение 2. Целая функция /(г) = апгп называется сравнимой

п=0

00

с А(г) = Апгп б 21, если существует число г такое, что

п=0

зир(|/(г)|/А(ф|)) <+ос. геС

Нижняя грань таких чисел т называется А-типом функции / и обозначается <7а(1)-

Ю. А. Казьминым доказана формула для А-типа, выражаюшая его через коэффициенты рядов Маклорена функций / и А:

<тА(Я = Ит8ир|а„/А„|1/п.

П-+00

Если <7 > О, А е 21, то множество всех целых функций /, А-тип которых не превосходит а, будем обозначать [А, а], а множество всех / таких, что <7д(/) < <7, обозначим [А, сг).

Вернёмся к задаче о нахождении наименьшего роста целой функции /(г) ^ 0, каждая п-я производная которой имеет хотя бы один нуль в круге И < хп. Условимся измерять рост целых функций с помощью функций сравнения.

Автором для любой последовательности X = {яп}^, удовлетворяющей условию (п + 1)х„ +оо (стремление к 1 отношения хп+\1хп пока не требуется), предложена функция сравнения

00

Ах(г) = 1 + 53г* П^1' Д„ = (п + 1)*»,

*=1 п=0

подходящая для решения поставленной задачи. Эта функция сравнения была найдена В.А. Осколковым13, но использовалась им лишь в ситуации Ишп_>00(хп+1/хп) = +оо. Тогда все такие функции Ах имеют нулевой порядок и даже 1пАх(Я) = о(1п2 Я) (й —> +оо). В рассматриваемом в диссертации общем случае рост Ах(Я) может быть, вообще говоря, произвольным.

13Осколков В А. Некоторые базисы в пространствах регулярных функций и их применение в теории интерполяции // Матем. сб. 1978, т. 105(147), №2, с. 238-260.

Через Л (JE) обозначим множество всевозможных последовательностей комплексных чисел {Ап}£°=0, удовлетворяющих асимптотической оценке

|А„| < z„(l + o(l)), п ->оо.

Следующие три теоремы 2.1 — 2.3 приводятся в автореферате в упрощённом виде для того, чтобы сократить их формулировки и не давать дополнительных определений.

Теорема 2.1. Пусть X — {^n}if=o ~~ произвольная последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условию (п 4- 1)хп +оо. Тогда, какова бы ни была последовательность {A„}5JL0 6 Л(Э£) из условий

Fe[Ax, In 2), F^(An) = 0 VneNo,

следует тождество F{z) = 0. С другой стороны, существует последовательность действительных чисел ^ и целая функция /, Ax-тип которой равен 1, такие, что

n) = o VneN0.

Теорема 2.1 доказывает корректность следующего определения.

Определение 3. Постоянной единственности интерполяционных задач Абеля—Гончарова для класса узлов А(Х) (обозначим её <т(Х)) назовём точную нижнюю грань А^-типов функции f, отличных от тождественного нуля, для которых существует последовательность {An}^_0 Е Л(£) такая, что А„) = 0 при всех п 6 No-

Из теоремы 2.1 вытекает неравенство

In 2 < а(Х) <1.

Заслуживает внимания, что оценка сверху в этом неравенстве на множ-нстве всех последовательностей X неулучшаема. При условии lim x„+i/x„ =

n-чоо

+00 В.А. Осколков нашёл <т(Х) = 1.

Автор нашёл постоянную ст(ЗЕ) при ограничении lim хп+\/хп = 1.

П->-00

Теорема 2.2. При условии lim хп+\/хп = 1 справедливо равенство <т(Х) =

п-юо

W, где W — постоянная Уиттекера.

Ранее этот результат был получен только в случае хп — (n + 1)р, —1 < р < +00, М.М. Драгилевым и О.П. Чухловой14 (неравенство о(Х) > W)

"Драгилрв М М., Чухлова О.П. О сходимости некоторых интерполяционных рядов. // СМЖ, 1963, т. 4. Л>2, с. 287-294.

и Ю К Суетиным15 (cr(X) < W) Соответствующая функция сравнения

со

Ap(z) — zk(k\)~p~l задаёт классический гип при порядке р — (р + I)-1 *=о

(Лр-тип и классический тип <тр при порядке р связаны соотношением рар = {аАрУ.) Отметим, что как в цитированных работах, так и в теореме 2.2 доказана разложимость любой функции F € [Ах, W) з интерполяционный ряд по полиномам Гончарова с коэффициентами какова бы ни была последовательность {А„} е Л(£). Именно разложимость в интерполяционный ряд, равномерно сходящийся к F на любом компакте в С, и доказывает импликацию

Ffn)(A„)=0 Vn б No => F(z) = О

Доказательство разложимости функций F € [Ax,W) в интерполяционный ряд проведено в диссертации новым методом. Именно этот метод и позволил от последовательностей мажорант узлов интерполяции хп = (п + 1)р перейти к мажорантам общего вида. Есть все основания полагать, что этот метод может найти эффективное применение в других интерполяционных задачах; например, в задаче восстановления аналитических функций по значениям разностей порядка га, п = 0,1,2,....

Аналогичная задача решена для более узких классов узлов интерполяции

Ло(ЭС) = { {А„}~ 0 G Л(£) I Im An = о{хп), n оо} . Определим постоянную ао(Х) так же, как и в определении 3, заменив Л(Х) на Ло(3£).

Теорема 2.3. Если последовательность X = {;с„}£10 такова, что (п + 1)х„ /■ +оо, lim xn+i/xn — I, то cr0(X) = rr/4.

n-*oo

Ранее такой результат был доказан только в случае х„ = 1 г. работах С.Н. Бернштейна16 (А„ € [-1,1]) и Ш.С. Макинтайр17 (limsup|An| < 1,

п-юо

lim Im An = 0). В теореме 2.3 также доказана разложимость в интерполя-

П-» 00

ционный ряд

00

= uz) V{An} € Ао(Э£)

n=0

15Суетин Ю.К. Совпадение постоянных единственности и сходимости некоторых интерполяционных задач. // Вестник МГУ, сер 1 математика, механика 1966, №5, с. 16-25.

1вБернштейн С Н Sur les fonctions regiilierment monotones // Труды междуняр матем конгр , Болонья (1930), т 2, стр 267-275 Бернштейч С НО некоторых свойствах циклических монотонных функций // Изв АН СССР, сер матем , 1950, т J4, Л»5, стр 381-404

17Macyntyre S S On the zeros of successives derivatives of mtegrai functions // Trans, of Amer Math soc , 1949, v 67, №, p 241-251

произвольной функции F G [Ах,к/£) В случае А„ G [—1,1], Ar(z) = ег это было сделано И Дж Шенбергом18

Таким образом, пространство единственности интерполяционных задач \беля -Гончарова с узлами {А„}^0 G Л(3£) при сужении класса узлов до Ло(Э£) расширяется от [Ах, W) до [А*,7г/4) Известно, что 0 7372 < W < О 7378 7г/4 = 0 785398 Четвертый знак после запятой в десятичной записи постоянной Уиттекера W пока не найден

То обстоятельство, что теоремы 2 2 и 2 3 верны для весьма широкого класса мажорант узлов интерполяции, позволило перенести упомянутые результаты Драгилева — Чухловой — Суетина и Бернштейна — Шенберга — Макинтайр на уточненные порядки

Напомним, что уточненным порядком называется произвольная положительная дифференцируемая функция определенная на луче для которой выполняются два предельных соотношения 1) существует hm р(г) = р, 2) lim p'(r)rlnr = О

' г-Ч-оо r-f+oo

Здесь рассматриваются только такие уточненные порядки, предел которых на бесконечности р > О

Типом целой функции при уточненном порядке называется ве-

Из определения вытекает, что при г > г\ функция гр'г! является возрастающей Следовательно, на луче (ц, +оо), х\ = существует функция

В параграфе 2 главы 2 диссертации из теорем 2 2 и 2 3 выведены два следствия которые приводятся в автореферате, как и сами теоремы 2 2 и

Следствие 2.2 Пусть р{г) — произвольный уточненный порядок, lim р(г) = р € (0, +оо), v(y) — функция, обратная к тАх"> Пусть затем

{An}if=o — произвольная последовательность комплексных чисел, удовле-Тогда любая целая функция F (г), имеющая тип при уточненном по-

8Srhoeaberg IJ On /eros of successives derivatives of integral functions / Trans of Amer Math soc 1936 \ 40 p 12 13

является тождественным нулем. При дополнительном орраниненип

1шЛп = o(v(n)/n), п —»• оо ,

постоянную W в этом, утверждении следует заменить на ж/А. В то же время, найдутся последовательности комплексных чисел А* j такая, что |А*д| < v(n + 1)/(п + 1) (Vn G No) и действительных чисел А* 2 с асимптотикой А*2 ~ (—l)nv(n)/n (п —> со), а также функции f\(z) и /г(г) с типами при уточненном порядке р{г), равными W/p и (я'/4)/>/р соответственно, для которых справедливы равенства

/i(n)Ki) = 0, /2(n)(A;i2) = 0 VneNo.

Если последовательность мажорант X узлов интерполяции имеет вид х„ = i(n)/(n + 1), где i{t) — некоторая медленно растущая19 функция, то функция сравнения Ах} определяющая максимальное (в терминах типа относительно функции сравнения) пространство единственности всех интерполяционных задач Абеля—Гончарова с узлами из Л(ЗС), имеет бесконечный порядок. При дополнительном условии "правильности" роста ¿(t), состоящем в справедливости асимптотических оценок («(я) — функция, обратная к t{t))

35 > 0 : v'{x) = О (v2-*(x)) , х -»■ +оо , е'(х) = о (x~lt{x)) , х +оо .

получается следующий результат.

Следствие 2.3. Пусть {An}£L0, F{z) — последовательность комплексных чисел и целая функция, удовлетворяющие ограничениям

|А„| < (l + o(l))i(n)/n, п-+ оо,

(»Ш) \

J {xi'{x)/1{х)) dx I , \z\ > Ro , а < W ,

где er <W. (Здесь i(t) — произвольная медленно растущая функция, удовлетворяющая условию, написанному перед формулировкой следствия.) Тогда равенства

F{n){Xn) = 0 VneNo

lsTo есть возрастающая и удовлетворяющая предельному соотношению lim t{2t)/£(t) ~ I.

влекут .зо собой тождество Е(г) = 0. С другой стороны, существуют последовательность комплексных чисел {А*}£10 и целая функция ¡(г) ^ 0 такие, что

К|<г(п)/(п + 1), /(п)(А;) = О Упем0,

("((И'+г)!*!) \

I (х£'(х)/е(х)) ¿х Уе > 0, \г\> гь(е).

Аналогичный результат верен для действительных узлов интерполяции; в этом случае постоянная V/ заменяется на 7г/4.

В третьем параграфе главы 2 при некоторых ограничениях на |А„| и рост целой функции / доказаны полнота в пространстве -4(С) системы функций {/<п)(А»*)}~_ 0, а также "достаточно редких" её подсистем.

00

Теорема 2.5. Пусть А(г) = X] Апгп € 21, а А = {А„}£10 - произвольная

п=о

последовательность отличных от нуля комплексных чисел, удовлетворяющая ограничению

Пусть затем / € [Л, 0]\С[г], а ф - произвольная положительная функция натурального аргумента. Тогда найдётся последовательность натуральных чисел {п*}ь=о (зависящая от А, X, / и тр) такая, что

1) п*+1 > ф{щ) V* €

2) система функций {/'Л*'(Ап>г)}£10 полна в .Д(С);

3) существует последовательность линейных агрегатов из функций системы 2)

9ч{г)= с1^п-\Хп,г), 6 С, д€К0,

образующая квазистепенной базис в .А(С).

Следующий результат, непосредственно вытекающий из теоремы 2.5, является новым даже в случае А(г) = ег, и поэтому выделен в отдельную теорему.

оо

Теорема 2.6. Пусть А{г) = £ Апгп е 21, / 6 [А,0]\С[г], {А„}^=0 - про-

п=0

извольная последовательность отличных от нуля комплексных чисел, удовлетворяющая ограничению из теоремы 2 5. Тогда система функций Ь(п> полна в Л(С).

Заслуживает внимания следующее обстоятельство. Теорема 2.6 является неулучшаемой в том смысле, что множество [Л, 0] в ней нельзя заменить более широким множеством [Л, е] (при любом е > 0). Из теоремы 2.1 вытекает существование последовательности действительных чисел

= 0(Ап/{(п + 1)Л„+1)), ^ 0, и целой функции /, имеющей А-тип, равный е, таких, что = 0 при всех п € Но- Следовательно, система

Утверждение теоремы 2.6 было известно20 ранее только в частном слу-

В третьей главе диссертации доказаны две теоремы о плотности классов функций сравнения. Дадим определение понятия плотности класса функций сравнения в подмножестве целых функций и мотивируем постановку задачи.

Определение 4. Класс функций сравнения 'В называется плотным классом сравнения в множестве С С «4(С), если для любой функции / £ С, отличной от полинома, существует функция сравнения В 6 05 такая, что В-тип f конечен и положителен.

Другими словами, класс сравнения 2$ плотен в в, если справедливо

Поясним, почему в данном представлении рассматриваются классы [В, +оо)\ [5,0], а не [_0,+оо). Причина этого состоит в следующем. Если тип целой функции / относительно некоторой функции сравнения В равен нулю, то на рост / в комплексной плоскости имеется только некоторая оценка сверху, и информация о поведении ) слишком мала. Например, в класс [ехр,0] (в других обозначениях [1,0]) входят как все целые функции порядка 1 нулевого типа, так и целые функции порядков а последние, как известно, весьма различны по своим свойствам.

В пользу исследования плотности тех или иных классов функций сравнения говорит следующее соображение. Предположим, что имеется некоторая задача, которая решается в функциональных пространствах [В. +оо) только для функций сравнения из класса ® С 21 (напомним, что через 21 обозначено множество всех функций сравнения). Зачастую бывает, что для произвольной функции сравнения задачу решить либо не удаётся, либо результат, полученный в классе 5$, для всего множества 21 уже не верен.

20Громов В.П. О полнот»» системы производных аналитических функций. // Известия АН СССР, сер. матем., 1961, т. 25, с. 543-551. Казьмин Ю.А. О полноте одной системы аналитических функций I, II // Вестник МГУ, 1960. N 5, с. 3-13, N 6, с. 11-19.

В таком случае весьма естественно исследовать, в каком же классе целых функций реально "работает" полученный результат. И если 05 оказывается плотным классом сравнения в б С .4(С), то это означает, что задача решена для любой целой функции из б. Именно в таком духе можно трактовать теоремы 3.1 и 3.2, доказанные в третьей главе.

Нетрудно убедиться в том, что множество мажорант узлов интерполяции задач Абеля—Гончарова, рассматриваемых во 2-й главе, состоящее из всех последовательностей X = {x„}£L0 таких, что

порождает в точности класс функций сравнения 2ii с дополнительным условием А(0) = 1. Последнее условие является нормировкой, и не влияет на плотность данного класса сравнения. Таким образом, выяснено, в каком множестве целых функций эффективно применимы результаты теорем 2.2 и 2.3 второй главы.

Конечно, утверждения теорем 2.2 и 2.3 о разложимости в интерполяционный ряд по полиномам Гончарова верны и для функций более медленного роста (т.е. для V/ € .4(C) \ Ci), но не очень сложно доказываются для таких функций и не очень интересны, поскольку верны для любой последовательности узлов интерполяции, модули элементов которой мажорируются какой-либо последовательностью хп, lim хп+\/хп = 1. Вся содержательная часть теорем 2.2 и 2.3 связана именно с целыми функциями класса G\.

Одно из двух достоинств функций сравнения состоит в том, что они порождают ядра интегральных представлений сравнимых с ними целых

функций. Если A(z) = Anzn £ 21, er > 0, a(z) — £ € [А,а], то

а(г) — I А^т^ла^)*!™, г€<С,

2т у

|Ц)|=Г><7

00

где 7л,а(ш) = Т1(ап/Ап)ю~п~1 Это интегральное преобразование назы-

п=0

вается обобщённым преобразованием Боряля (ОПБ) и довольно часто используется при решении интерполяционных и иных задач (упомянем препринты М А Евграфова, монографию М М Джбаршяна, диссертацию и статьи Ю А Казьмина, книгу Л С Маергойза, статью В А Осколкова, диссертации В Л Андрианова, Г И Андриянова, А И Шаповалова21, статьи автора [4], [6]) В исследованиях связи роста целой функции а(г) в углах и на лучах комплексной плоскости и аналитического продолжения А-ассоциированной с а(г) функции уа^™) внутрь круга |гИ < о (речь идет о цитированных выше работах М А Евграфова, М М Джрбашяна, Л С Маергойза, [7]) важной является интегральная формула обращения (она существует не для любой функции сравнения1) ОПБ

где дд — некоторая положительная на [0, +оо) мера, порождаемая функцией сравнения А Через обозначим множество всех функций сравнения А(г), для которых существует данная формула обращения ОПБ

00

Критерием п р и н а , A{z) = ^ Anzn Е 21 классу Ш+ е т с я

71=0

справедливость равенств

21 Евграфов М А Основные понятия интерполяции целых функций // Препринт № 20 ИПМ АН СССР, М , 1975 , Евграфов М А Обобщенное преобразование Бореля // Препринт № 35 ИПМ АН СССР, М , 1976 Джрбашян М М Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области М , Наука, 1966 Казьмин Ю А Методы интерполяции аналитических функций и их приложения Дисс д ф -м н , М , МГУ, 1972 Казьмин Ю А Об одной задаче А О Гельфонда // Матем сборник, 1973, т 90 N 4, с 521-543 Казьмин Ю А Об интерполировании средними // Доклады АН СССР, 1987, т 295, № 5 с 1050-1053 Маергойз Л С Асимптотические характеристики целых функций и их приложения Новосибирск Наука, 1991 Осколков В А Задачи Абеля- Гончарова для целых функций бесконечного порядка //СМЖ, 1975 т 16 №\ с 75-85 Андрианов В Л О симметричных задачах теории иетерг.оляции Дисс к ф-м н, Горький, 1980 АндрияновГИ Интерполяционная задача Абеля—Гончарова Дисс каид физ-мат наук, М , 1998 Шаповалов А И Максимальные пространства сходимости и единственности некоторых классов интерполяционных задач Дисс к ф -м н М МГУ, 2000

(Заметим, что если отбросить условие положительности меры dpL^(t), то подобные равенства, вообще говоря, не влекут за собой обращения ОПБ в интегральной форме.) Именно для функций сравнения класса Ш+ верна теорема автора [б] о возможности аналитического продолжения 7_4,a(w) в некоторую область, заходящую внутрь круга |ги| < Стл(а) и определяемую ростом функции a(z) в углах комплексной плоскости. (В общей ситуации необходимо рассматривать рост целой функции в углах "малого" раствора вместо лучей, поскольку асимптотическое поведение целой функции бесконечного порядка ка одних только лучах, вообще говоря, не отражает её асимптотического поведения во всей плоскости.) В диссертации эта тематика почти не затронута; с результатами автора в этой области можно ознакомиться по статье [6], а для целых функций конечного положительного порядка аналог теоремы Пойа об индикаторе в полном объёме изложен в главах 3-5 упоминавшейся выше книги Л.С. Маергойза.

Автором в [6] построен пример функции сравнения A(z), для которой теорема об аналитическом продолжении A-ассоциированной с a(z) функции неверна и, тем более, обращение ОПБ в интегральной форме не имеет места. Этот пример поставил на повестку дня вопрос о плотности класса сравнения ЭЛ+ в .Д(С). В диссертации дан положительный ответ: ЯЯ+ является плотным в .Д(С) классом сравнения. Доказано даже более сильное утверждение. Плотным в -4(С) классом сравнения является даже более узкое множество сотоящее по определению из всех таких функций сравнения A(z), что м е рс£|Цд(Й)п я е т с я аналитической на [0,+оо) и при всех

Перед формулировкой теоремы 3.2 дадим Определение 5. Две функции сравнения A(z) = и B(z) = Bnzn

назовём эквивалентными (А~ В), если lim (Ап!Bn)l^n = 1.

П-+00

Из определения 5 и формулы Казьмина для типа относительно функции сравнения (см. стр. 12 автореферата) вытекает, что

Отсюда и из определения 4 выводим следующее

Утверждение. Пусть ® С 01 является плотным классом сравнения в некотором множестве целых функций G. Взяв из каждого класса эквивалентности, лежащего в 93, по одному представителю, образуем подмножество 93 С 2$. Тогда 93 также является плотным классом сравнения в G.

Различные примеры показывают, что множество 21 слишком обширно и содержит столь разнообразные функции сравнения, что многие их них не очень полезны для решения задач, в которых используется система 21 эталонов роста. Смысл приведенного утверждения состоит в том, что потери в системе эталонов роста не происходит, если в каждом классе эквивалентности оставить хотя бы одну функцию сравнения, обладающую какими-либо дополнительными свойствами, необходимыми для решения поставленной задачи.

Теорема 3.2. Для любой функции В £ Ш существует эквивалентная ей функция сравнения А £

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Попов А. Ю. Экстремальные задачи в теории аналитического продолжения // Матем. сборник, 1999, т. 190, №5, с. 113-138.

2. Попов А.Ю. Точная оценка индекса конденсации последовательности положительных чисел. // Труды ин-та им. В.А.Стеклова, 2004, Дополнение 1, с. 183-206.

3. Попов А.Ю. О полноте в пространствах аналитических функций систем экспонент с вещественными показателями заданной верхней плотности. // Вестник МГУ, сер. 1, математика, механика, 1999, №5, с. 48-52.

4. Попов А.Ю. Границы сходимости и единственности интерполяционных задач Абеля—Гончарова. // Матем. сб., 2002, т. 193, №2, с. 97-128.

5. Попов А.Ю. Об аппроксимативных свойствах некоторых типов последовательностей целых функций. // Доклады РАН, 1999, т. 366, №1, с. 18-20.

6. Попов А.Ю. Об обращении обобщённого преобразования Бореля. // Фундаментальная и прикладная математика, 1999, т.5, N 3, с. 817-841.

7. Попов А.Ю. О полноте редких подпоследовательностей систем функций вида /(п)(А„г). // Изв. РАН сер. матем., 2004, №5, с 189-212.

8. Попов А.Ю. Наименьший возможный тип при порядке р < 1 канонических произведений с положительными нулями заданной верхней плотности. // Вестник МГУ, сер. 1, математика, механика, 2005, №1, с. 31-37.

Издательство ЦПИ при механико математическом фак>льтете МГУ им М В Ломоносова Подписано в печать С{ ОЗ 05

Формат 60 х 90 1/16 Уел печ л /,Ь

Тираж 100 экз Заказ

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20 02 2001 г

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

о f. сз

400

Введение

1 Экстремальные задачи для канонических произведений и их приложения в теории аналитического продолжения

1.1 Основные определения и обозначения.

1.2 Несколько вспомогательных результатов.

1.3 Оценка снизу модуля канонического произведения

1.4 Максимальное значение индекса конденсации последовательностей с заданными шагом, верхней и нижней плотностями.

1.5 Двусторонние оценки функции A(a,f3, К).

1.6 Экстремальные задачи в теории аналитического продолжения.

1.7 Наименьший возможный тип при порядке р < 1 канонических произведений с положительными нулями заданной верхней р-плотности.

2 Экстремальные задачи в теории интерполирования значениями последовательных производных

2.1 Границы сходимости и единственности интерполяционных задач Абеля—Гончарова.

2.2 Следствия из теорем 2.2 и 2.3. Примеры.

2.3 О полноте редких подпоследовательностей систем функций вида fin\Xnz).

3 Плотные классы функций сравнения

3.1 Теорема о плотности множества функций сравнения для которых lim (Лп+2АГ+1Аг) = 1.

3.2 Плотность в Л(С) класса функций сравнения, порождающих обобщённое преобразование Бореля, обратимое в интегральной форме.

В диссертации решены несколько экстремальных задач, актуальных в теории целых функций. Они состоят в нахождении на том или ином классе функций, определяемом распределением своих нулей (глава 1) или распределением нулей последовательных производных (глава 2), точной верхней или точной нижней грани некоторых асимптотических характеристик функций данного класса. Результаты главы 1 применяются для решения экстремальных задач в теории аналитического продолжения степенных рядов и рядов экспонент. В связи с тем, что диссертационная работа связана с решением конкретных экстремальных задач, а не с общими методами их исследования, перейдём сразу к постановкам задач.

В главе 1 основным объектом исследования являются канонические произведения

00 / z2\

Л(*) = П (1-Д2 Ь « п=1 4 п/ с симметричными нулями {iAn}^, где Л = {Ап}^ - возрастающая последовательность положительных чисел, имеющая конечную верхнюю плотность

D(X) = limsupn/An . (2) n—оо

Интерес к функциям (1) обусловлен многочисленными их применениями в таких важных разделах комплексного анализа, как проблемы полноты систем экспонент, теория интерполяции, теория аналитического продолжения. Список фамилий математиков, в работах которых использовались функции L\(z), занял бы не одну страницу. Отметим, что в значительной доле этих работ рассматриваются "достаточно регулярные" последовательности Л, имеющие плотность (они называются измеримыми) d= lim п/Хп (3) п—о именно lim, а не lim sup!). Но задачи, решаемые в первой главе диссертации, интересны и содержательны именно для последовательностей, не имеющих плотности. Сформулируем две такие задачи, решённые в первой главе, а потом расскажем об их приложениях в теории аналитического продолжения рядов экспонент и в вопросах полноты систем экспонент. # Величину

6(А) = lim sup — In (4)

П-КХ) Лп L/^{An) назовем, следуя В. Бернштейну [53] и А.Ф. Леонтьеву [26] (глава 2, §5), индексом конденсации последовательности Л. Из (4) сразу видна справедливость следующего утверждения.

Утверждение. Для любого е > 0 существует натуральное число щ = По(е) такое, что при всех п > щ верна оценка

L'A(A„)|>exp(-(J(A)+£)A„) . (5)

В этом утверждении постоянную 5(Л) нельзя заменить меньшей.

В главе 1 §2 доказано (теорема 1.1), что индекс конденсации помогает дать в определённом смысле неулучшаемую оценку снизу не только |1/Л(Ап)|, но и \L\(x)\ при х +оо. Через р(х) обозначим расстояние от точки х до ближайшего к ней элемента последовательности Л. Из теоремы 1.1, доказанной в §2 главы 1, вытекает

Следствие. Для любого £ > 0 существует, положительное число xq = xq(e) такое, что при всех х > xq верна оценка

Lx(x)\ >р(х)ехр(-(6(\) + е)х) . (6)

И в этом утверждении постоянную 5(A) нельзя заменить меньшей. Попутно заметим, что неравенство (6) заодно является и оценкой снизу минимума модуля канонического произведения L\(z) на окружности \z\ = ж, поскольку min|LA(*)| = \Lx{x)\. z\=x

Хорошо известно, что если последовательность А имеет положительный шаг h(А), равный по определению h(А) = liminf (An+i - An) , n—>00 и существует предел (3), то 6(А) = 0. В противном случае 5(A) может принимать положительные значения. Заметим, что из (6) сразу же вытекает неотрицательность индекса конденсации любой последовательности, имеющей конечную верхнюю плотность — пояснение см. в доказательстве теоремы 1.1. Ввиду того, что оценки снизу вида (5) и (б) постоянно применяются в исследованиях по интерполяции, рядам экспонент и решениям уравнений свёртки [53, 30, 26, 27, 5], получение наилучших оценок сверху 5(A) является весьма важным. Высказанные соображения приводят к следующей экстремальной задаче.

Задача 1. Даны два положительных числа /3 и h, удовлетворяющие ограничению1 h/3 < 1. Требуется найти Д (j3, К) — точную верхнюю грань индексов конденсации всевозможных возрастающих последовательностей, верхняя плотность которых не превосходит f5, а шаг не меньше h.

Величина lim inf п/\п п—> оо называется нижней плотностью последовательности Л. Если 22(A) = D(X), то последовательность Л имеет плотность (3), и при условии h(А) > 0 верно равенство 5(\) = 0. Поэтому величина нижней плотности оказывает существенное влияние на оценку индекса конденсации. Это соображение приводит к более сложной задаче.

Задача 1А. Даны три действительных числа а, /3 и h, удовлетворяющие ограничениям

0<а</3, 0<h<l/p. (7)

Требуется найти А (а,/5, Л) — точную верхнюю грань индексов конденсации всевозможных возрастающих последовательностей, верхняя плотность которых не превосходит /3, ниоюняя плотность не меньше а, а шаг не меньше h.

Решив задачу 1А, мы сможем проследить, как может увеличиваться индекс конденсации последовательностей с фиксированными верхней плотностью и шагом при уменьшении нижней плотности. Ясно, что при а = 0 получается задача 1. Действительно, по определению 22(A) > 0, а значит условие 0 < 22(A) не

Это ограничение продиктовано соотношением D(X)h(X) < 1 (см. [30], глава 1, §1).

DM накладывает никаких ограничений на нижнюю плотность. Тем самым, Д(0,/?, К) = A(/3,h) и, решив задачу 1А, мы заодно и решим задачу 1.

Задачи 1 и 1А не были решены до выхода в свет работ автора [39] и [41]. Задача 1 давно привлекала к себе внимание. В 60-е годы прошлого века С. Мандельбройт ([30] глава 1) получил оценку сверху

A(/3,h)< 3/3 In ^ +8.5/?, (8) а также асимптотическую оценку снизу

A(/M)>/?(lni-lnlni-ln2 + o(l)) (/3^+0). (9)

Оценка (8) приводится и в монографии [26] (глава 2, §4). Заметим, что между неравенствами (8) и (9) имеется большой зазор, не позволяющий даже найти асимптотику А(/3,1) при /? —»■ +0.

Заслуживает внимания то, что другая экстремальная задача — о максимально возможном росте канонических произведений L\(z) на R+ и других лучах комплексной плоскости была исчерпывающим образом решена Б.Я. Левиным в начале 50-х годов.

Хорошо известно, что L\(z) является целой функцией экспоненциального типа, не превосходящего ttD(X). Через Н\(в) обозначим индикатрису роста L\(z):

Ял(0) = Шпвир 14ММ1. (10)

R-++оо -ft

Требовалось найти Н^в) — точную верхнюю грань функций Н\(6), взятую по всем последовательностям Л, верхняя плотность которых не превосходит (3. Ввиду чётности канонических произведений L\(z) можно ограничиться значениями £ из правой полуплоскости, то есть в £ [—7г/2, 7г/2].

Теорема Левина. ([25], глава 5). При любом /3 > 0 справедливо равенство %р(9) = /ЗН^О), где n(g) = f« lsin6?l' ^/4<И<тг/2, lU {A(0)cos0 + B(e)\sm0\, |0|<тг/4.

А(в) = In (l + 2 cos 20 + V8 cos 20 cos , (u) 2 cos 2(9-1

В (в) = arcctg -,

2| sin#|\/2 cos 20. л

Для любого j3 > 0 существует последовательность X, верхняя плотность которой равна (3, а индикатриса роста функции L^(z) совпадает с Нр(0).

В приложениях важен частный случай

7^(0) = /31n(3 + л/8). (12)

Таким образом, задача Левина о наибольшей индикатрисе роста канонических произведений с верхней плотностью положительных нулей, не превосходящей [3, во-первых, линейна по (3, а во-вторых, в её постановку не входит ограничение на шаг последовательности. Отсутствие зависимости результата в этой задаче от шага последовательности видно из следующей теоремы (§6 гл. 1).

Теорема 1.6. [40]. Для любых /3 > 0 и h Е (0,1//3] существует последовательность X с шагом h и верхней плотностью /3, для которой имеют место равенства

Н\(6) = ~Нр(в) vee[~,|], 5(A) = ДОЗ, Л).

Н.В. Говоров [б] рассмотрел обобщение задачи Левина в том же ключе, в котором задача 1А обобщает задачу 1. Им была найдена функция ?{а,/з{0), равная по определению точной верхней грани индикатрис роста Н\(в), взятой по всем последовательностям Л, верхняя плотность которых не больше /3, а нижняя плотность не меньше а. И здесь шаг последовательности не имеет смысла учитывать.

В задачах 1 и 1А ситуация совершенно иная. Во-первых, линейность по /3 отсутствует (см. (8) — (9)), а во-вторых, влияние величины шага очень существенно, поскольку при любых фиксированных аи/3, 0<а</3 справедливо предельное соотношение

В силу этого можно утверждать, что задачи 1 и 1А являются значительно более тонкими и более сложными, чем упомянутые выше задачи Левина и Говорова.

В §3—§4 главы 1 диссертации задачи 1 и 1А получили точное решение. Величина Д(а, /?, h) (а вместе с ней и Д(/3, К) = Д(0, /3, К)) найдена как элементарная функция от а, /?, h (теорема 1.3). Доказано также, что точная верхняя грань индексов конденсации A(a,f3,h) достигается на некоторой последовательности А, имеющей шаг h и нижнюю и верхнюю плотность, равные а и /3 соответственно.

Явная формула для A(a,(3,h) весьма сложна; поэтому она во введении не приводится. Большего внимания заслуживает следующая двусторонняя оценка, доказанная в §5 главы 1.

Теорема 1.4. При любых а, /3, h, удовлетворяющих ограничениям (7), справедливо двойное неравенство h->+о lim Д(а, К) = +оо.

13)

Р-а) In

3 + >/8)(1 -ha) h(p - а) (/?-<*) In ю в котором постоянную 3 + л/8 нельзя заменить большей, а постоянную 4е — меньшей при всех допустимых значениях а, (3, h.

Постоянная 3 + у/8 в (14) является точной при наибольшем возможном значении h = 1/(3 :

Д(а, А 1//3) = {/3-а) 1п(3 + \/8). (15)

Постоянная 4е в оценке сверху (14) не может быть уменьшена при h —> +0. При любых фиксированных аиД 0 < а < /3 верна асимптотика

A(a,/3,h) = (/3- a) In j + 0(h), h^+0, (16) константа в символе О зависит от а и /3). Асимптотика (16) существенно уточняет предельное соотоношение (13). Из (14) видно, что lim Д(о,/?,А).= 0 (17) сх——0 как и ожидалось: индекс конденсации измеримой последовательности, имеющей положительный шаг, равен нулю), но стремление к нулю в (17) происходит медленнее, чем 0(/3 — а), за исключением единственного случая h/3 = 1 (см. выше (15)). В частности, из (14) вытекает следующее утверждение.

Утверждение. При любом £ > 0 на множестве троек чисел а, /3, h, удовлетворяющих ограничению

0 < а < р < l/e, £<h<l/f3-s справедливо соотношение

Д(а, /3, h) = ((3 - a) In + °(Р ~ а) с константой в О, зависящей только от е.

Задача 1 привлекла внимание автора в связи с её приложениями к проблемам аналитического продолжения сумм степенных рядов за границу круга сходимости, или, более общо, сумм рядов экспонент за полуплоскость сходимости. Расскажем об интересующей нас области исследований вначале для степенных рядов, а потом перейдём и к рядам экспонент. Рассмотрим класс всех степенных рядов оо f(z) = У2 ап*л , limsup И1'" = 1, (18)

А п—»оо п—0 с радиусом сходимости, равным 1. Звездой голоморфности функции f(z), — суммы степенного ряда (18) — заведомо аналитической в круге \z\ < 1, назовём множество

G(f) = {z = reie \ г < д(в)} , (19) где д(в) — точная верхняя грань всех таких положительных чисел Я, что f(z) допускает аналитическое продолжение в некоторую окрестность отрезка, соединяющего точки z = 0 и z = Re%e. Как известно, звездообразное множество G(f) обладает следующими свойствами:

1) G(f) открыто и односвязно,

2) содержит в себе открытый круг \z\ < 1,

3) хотя бы одна точка окружности \z\ = 1 не принадлежит G(f). В остальном множество G(f) может быть, вообще говоря, совершенно произвольным. Другими словами, каково бы ни было открытое и звездообразное относительно точки z — 0 множество G, содержащее круг \z\ < 1, но не его замыкание, существует степенной ряд (18) такой, что G = G(f). Приведём два примера.

Функции оо

Ш = рек, (20) п= 1 имеют в определённом смысле максимальную звезду G(fp) = С \ [1, +оо). Зато у сумм лакунарных степенных рядов

00 limsup \Ък^Пк = 1, пк+1/пк > q > 1 V/c€N, звезда голоморфности наименьшая возможная: она совпадает с кругом < 1. Это утверждение было впервые доказано Ж. Ада-маром, а звезду функций (20) нашёл JI. Л о, основываясь на теореме Адамара об аналитическом продолжении сумм степенных рядов, коэффициенты которых являются моментами некоторой меры на отрезке [0, 1]. Подробный обзор исследований по этой тематике имеется в монографии [3], там же приведен обширный список литературы. Мы же ограничимся обсуждением вопросов, непосредственно относящихся к теме диссертации, а именно к экстремальным задачам.

Цитированная теорема Адамара о непродолжаемости сумм лакунарных степенных рядов за границу круга сходимости породила надежду у его современников, что и для рядов с меньшими лакунами в последовательности степеней переменной z оо = Е bkzb , хк е N, limsup \Ък\1/Хк = 1, (21) к=1 либо верен тот же результат, либо можно доказать, что множество С \G(f) намного обширнее одного луча. Вскоре такие теоремы стали появляться.

Теорема Фабри.2 ([3], глава 4). Если lim k/Xk = О, то звезда к—^оо голоморфности суммы ряда (21) совпадает с кругом \z\ < 1. Теорема Пойа. [59]. Если Y\m к/Xk = d, 0 < d < 1, mo ./шк—¥ оо бая замкнутая дуга \z\ = 1 длины 2nd содержит хотя бы одну особую точку суммы ряда (21).

Если под замкнутой дугой нулевой длины понимать точку, то теоремы Фабри и Пойа можно объединить в одну и сформулировать следующим образом.

Теорема. При условии lim k/Xk^d, 0<d<l, любая замкнуоо тая дуга окружности \z\ = 1 длины 2nd содержит хотя бы одну особую точку суммы ряда (21).

Поясним одну важную тонкость. Почему в математической литературе вместо простого словосочетания "особая точка функции /" часто употребляется более сложное название "точка из дополнения к G(/)M? Когда речь идёт о точках границы круга сходимости, это излишне. Но если взять какую-либо точку лежащую за пределами замкнутого круга сходимости степенного ряда, то может произойти следующее. При одном способе аналитического продолжения его суммы ( будет особой точкой, а при другом — нет (такие точки называются подвижными особенностями в отличии от стационарных — остающихся особыми при любом способе аналитического продолжения). Из определения звезды голоморфности суммы степенного ряда вытекает, что граница множества G(f) состоит из стационарных особых точек /. Ниже приводятся результаты С. Мандельбройта, развиваемые

2Ссылка на первоисточник не приводится, поскольку оригинальное изложение представляется многим специалистам весьма неудачным и трудно понимаемым (см. комментарии в [3] глава 4). автором, связанные с возможностью или невозможностью аналитического продолжения суммы степенного ряда радиуса сходимости 1 в секторы радиуса большего 1. В этих теоремах под множеством особых точек понимается именно С \ G(f).

Обратимся снова к рядам (21). Что можно сказать о С \ G(f) в случае, когда отношение k/Хк не имеет предела? В этой ситуации прямого аналога цитированной теоремы Пойа нет. Для любого е > 0 существует возрастающая последовательность натуральных чисел {AjtJjg^ верхней плотности (2), меньшей е, и степенной ряд (21) с этими показателями, сумма которого имеет на окружности \z\ = 1 всего одну особую точку (пример см. в [30], гл. 6). И всё же теорема Пойа допускает обобщение, но совсем в другом ключе. Предварительно заметим, что в теореме Пойа очень важна замкнутость дуги длины 2пd. На открытых дугах такой длины особой точки у суммы ряда может и не быть. Известно даже более сильное утверждение.

Утверждение. Для любой возрастающей последовательности натуральных чисел {Ап}^1; имеющей плотность (3); равную d, существует степенной ряд с этой последовательностью пооо казателей и радиусом сходимости 1, а именно ^ zXn/Lfx(Xn), п=1 сумма которого допускает аналитическое продолжение в открытый угол | arg^l < ird.

Аналог теоремы Пойа, найденный Мандельбройтом, состоит как раз в том, что суммы степенных рядов (21) с верхней плотностью показателей {А^}^, не превосходящей ни в какой замкнутый угол величины 2тт/3 с вершиной в точке z = 0 аналитического продолжения не допускают. Сформулируем следствие из теоремы Мандельбройта (ниже его результаты, связанные с аналитическим продолжением рядов экспонент, будут приведены более полно).

Следствие. Для любого (3 Е (0,1) существует постоянная С(/3) > 1 такая, что каков бы ни был степенной рясР (21) с верхней плотностью показателей не превосходящей /3, звезда голоморфности его суммы не содержит в себе ни один замкнутый сектор с вершиной в точке 0, раствора 27т/3 и радиуса C{j3).

Разумеется, возникает желание найти наилучшую постоянную в этой теореме, то есть наименьшее значение C(j3), для которого цитированный результат верен. В связи со сказанным приходим к следующей экстремальной задаче.

Задача 2. Для любого /3 Е (0,1) требуется найти величину R{(3) равную точной верхней грани всех чисел г таких, что сумма некоторого ряда (21) с верхней плотностью показателей {А&}; не превосходящей /3, допускает аналитическое продолжение в некоторую окрестность сектора z Е С | \z\ < г , | arg z| < 7Г/3} .

Значение величины R(f3) ни для одного (3 Е (0,1) до сих пор не известно. В связи с этим возникает вопрос о получении для R{/3) двусторонних оценок. Оценки Мандельбройта таковы, что хотя и доказывают предельное соотношение lim R(f3) = 1,

0-++О но найти асимптотику R(/3) — 1 при /3 —>> +0 не позволяют. В диссертации двусторонние оценки Мандельбройта для R(f3) существенно улучшены. В частности, доказана асимптотика

R(J3) = 1 + (31п(1 /13) + 0{р) {f3 +0). (22)

3Напоминаем, что радиус сходимости рядов (21) равен 1.

Перейдём теперь к более детальному обсуждению результатов. Обозначим

3) = In R(p).

Мандельбройт в [30] вывел для £(/3) следующие неравенства:

Щ < 3/3 In 1/(3 + (8.5 + тг)/3 \/(3 е (0,1), (23)

3) > [3 (In 1//3 - In In l/f3 - In 2 + o(l)) (/3 +0). (24)

Ясно, что неравенства (23) и (24) дают лишь порядковое соотношение £(/3) х f3\n(l//3) (f3 -» +0). Автор в работе [39] усилил оценку сверху (23), решив экстремальную задачу 1. Связь между задачами 1 и 2 была открыта Мандельбройтом; о том, в чём она состоит, речь пойдёт далее. В [39] также был построен ряд с "далеко продолжаемой" суммой, что позволило усилить и оценку снизу (24). Приведём теорему 1.5 в сокращённом варианте.

Теорема 1.5. [39]. При любом/3 € (0,1) справедливо неравенство а при любом (3 Е (0,1/6] имеем ад > № (£*) .

Заметим, что у/Ш/тг > 1.07, а 1п(4е(3 + л/8)) < 4.15. Следовательно, f3) < 01п(1//?) +4.150 V/3 Е (0,1),

ЦЗ) > I3\n(i/f3) + о.оер Vf3 е (о, 1/6]. ^ J

Из неравенств (25) сразу же следует асимптотика (22). Заслуживает внимания то, что в (22) величину 0(/3) нельзя заменить на o(j3). Однако, задача нахождения следующего члена асимптотики (если он существует) в форме

Rtf) = 1 + р 1п(1//?) + Сф + о(р)\ /3 +0, представляется автору очень сложной. По крайней мере, в рамках известных методов достичь этого маловероятно.

Теперь изложим метод получения оценок сверху функции £(/3). Выше уже было сказано, что С. Мандельбройт в действительности изучал более общие объекты — ряды экспонент оо ап exp (Xnw) (26) п= 1 с последовательностью положительных возрастающих показателей Л = {Ап}^. При условии положительности шага последовательности показателей в теории рядов экспонент имеется немало аналогий с теорией степенных рядов. У ряда (26) есть абсцисса сходимости, вычисляемая по формуле lnlaJ а = — lim sup

Л, п—УОО "п

Если а ф ±оо, то при Rew < а ряд (26) сходится абсолютно, а в каждой из полуплоскостей Rew < а — £, е > 0, равномерно. При Rew > а ряд (26) расходится в каждой точке. Сумма ряда (26) голоморфна в полуплоскости Re го < а.

Эти утверждения доказаны Ж. Валироном [62] при существенно более слабом ограничении на показатели: lim A"1 Inn = 0. п—>00

Положительность шага гарантирует у суммы ряда (26) наличие особых точек на вертикальной прямой Rew = а. Нетрудно убедиться в том, что степенные ряды представляют собой ряды экспонент с натуральными показателями, если положить z = ew. Все цитированные выше теоремы об особых точках степенных рядов были обобщены на ряды экспонент с положительным шагом.

Итак, мы изучаем вопросы аналитического продолжения сумм рядов экспонент с абсциссой сходимости, равной нулю (для определённости), положительным шагом h последовательности показателей Л = {Лп}^] и верхней плотностью Л, равной /3.

Теорема Марцинкевича. [16] (т. 1, гл. 5). Функция f(w), определённая в левой полуплоскости рядом (27), имеет на любом отрезке мнимой оси длины 2тг/Zi хотя бы одну особую точку.

Теорема В. Бернштейна. [53]. Если существует lim п/\п =

3, то на любом отрезке мнимой оси длины 2ir/3 функция f имеет хотя бы одну особую точку.

Нетрудно убедиться в том, что при An Е N, z = ew теорема В. Бернштейна переходит в теорему Пойа.

Основные результаты о непродолжаемости сумм рядов (27) с последовательностью показателей, не имеющей плотности, принадлежат Мандельбройту. Настало время сформулировать их в полном объёме. Сперва напомним одно определение.

С каждой возрастающей последовательностью положительных чисел А = {Ап}^!, имеющей конечную верхнюю плотность, мы связывали целую функцию конечного экспоненциального типа L\(z), задаваемую формулой (1). Обозначим её экспоненциальоо п—> оо

27) ный тип ст(А), а через К(А) обозначим её индикаторную диаграмму. Под индикаторной диаграммой, как обычно, понимается компакт

К{А) = {rei9 | г < и(0)} , где v ) \cos(if-6) * V 2' 2/J

Hx{<p) — индикатриса роста функции L\(z) (см. (10)). Менее формальное геометрическое определение К(А) имеется в учебнике [31] (глава 11). Из (1) видно, что max \L\(z)\ = L\(±iR). z\<R

Следовательно, Н\(±тг/2) = сг(А). Отсюда заключаем, что компакт К(А) помещается в полосе | Imга| < сг(А).

Теорема 1 Мандельбройта. Сумма ряда экспонент (27) не допускает аналитического продолжения ни в какую окрестность объединения прямоугольника we С | 0 < Rew < 6( А), | lmw\ < сг( А)} и компакта К(А) = К(А) + 5(A).

Под множеством Е+а, а £ С, Е С С, как обычно, понимается Ё = {w + a\w е Е}.)

Ввиду оценки сг(А) < 7г/3 получаем следующую теорему.

Теорема 2 Мандельбройта. Сумма ряда экспонент (27) не допускает аналитического продолжения ни в какую окрестность канала4 weC\0<Rew< S{ А), | Imw| < (J (А'(А) + 5(A)} .

4Этот термин использовался С. Мандельбройтом.

И наконец, ввиду равенства max{Rew \ w € if(A)} = Ял(0) получаем упрощённую теорему Мандельбройта.

Теорема. Сумма ряда экспонент (27) не допускает аналитического продолжения ни в какую окрестность прямоугольника w е С | 0 < Rew < 6{А) + Нх(0), | lm w\ < тг/?} .

Все эти три теоремы, разумеется, остаются справедливыми, если замкнутые множества, в которых утверждается наличие особой точки функции f(w)} сдвигать на любое чисто мнимое число. Например, упрощённую теорему Мандельбройта можно было бы сформулировать так.

Теорема. Сумма ряда (27) не допускает аналитического продолжения ни в какую окрестность прямоугольника we С | 0 < Rew < 6( А) + #А(0), Ъ < lm w < b + 2np} , (28) каково бы ни было число Ь € Ш.

Напомним ([26], гл. 1, §2), что если последовательность А имеет плотность (3), то Н\(0) = ird\ sin0| и H\(Q) = 0, а при наличии у А положительного шага равен нулю и индекс конденсации <£(А). Таким образом, упрощённая теорема Мандельбройта содержит в себе цитированную теорему В. Бернштейна, поскольку в данном случае прямоугольник (28) вырождается в отрезок мнимой оси длины 27г/3.

Упрощённая (но в действительности весьма сильная!) теорема Мандельбройта инициирует постановку следующей экстремальной задачи.

Задача 2'. Найти величину £(}3, К), равную точной верхней грани чисел I > 0 таких, что существует ряд экспонент (27), сумма которого допускает аналитическое продолжение в некоторую окрестность прямоугольника w е С | О < Rew < 11шгу| < тг/?} .

Из упрощённой теоремы Мандельбройта вытекает следующая оценка сверху функции £(/3,h) :

Определение функций Д(/3, h) и см. выше в постановках задачи 1 и задачи Левина.) Неравенство (29) и составляет связь, открытую Мандельбройтом, между экстремальными задачами в теории аналитического продолжения и экстремальными задачами для канонических произведений (1). Поскольку степенные ряды после замены z = exp w становятся рядами экспонент с шагом 1, а секторы переходят в полуполосы, то верно неравенство

Неравенство (29) — один из главных результатов Мандельбройта в теории рядов экспонент — оставляет чувство неудовлетворённости, поскольку его точность не ясна. Да и вообще, правильно ли выбрал Мандельбройт асимптотическую характеристику последовательности А — индекс конденсации — для оценки длины прямоугольника, содержащего особенности сумм рядов экспонент? Для ответа на поставленные вопросы необходимо (но, увы, h) < Д(/3, h) + Пр(0).

29)

31)

30) не достаточно!) точно решить задачу 1. Как уже сообщалось выше, задача 1 точно решена автором в §3 главы 1. Её решение позволяет сделать следующие выводы.

1. При "малых" значениях произведения hp характеристика £(А) отражает суть дела в задачах 2 и 2' ввиду асимптотики p,h) = A{p,h) + 0(P), hp <1/6 (32) постоянная в О абсолютная, она не зависит от Л,). В частности, т = ДОЗ, 1) + 0(р), /3 < 1/6. (33)

Слагаемое О(Р) в соотношениях (32) и (33) при р + 0 является остаточным членом ввиду двойного неравенства з4) вытекающего из теоремы 1.4 при а = 0. Отметим, что получение остатка в (32) и (33) в форме 0(/3) стало возможным не только за счёт точного решения задачи 1 и вывода на этой основе неравенств (34). Автору удалось улучшить известную конструкцию степенного ряда с "далеко продолжаемой" суммой. Это позволило усилить оценку Мандельбройта для 1(/3) снизу. Данный результат составляет основное содержание §6 главы 1.

2. При (3 —>■ 1/h — 0 даже в простейшем случае (степенные ряды) ситуация остаётся совершенно неясной. Полученное автором точное значение величины A(/3,h) не помогает (оставаясь в рамках теорем 1 и 2 Мандельбройта) доказать предельное соотношение lim £(Р) = 0, справедливость которого представляется весьма вероятной. Причина неудачи состоит в том, что область, в которой Мандельбройт гарантирует наличие особых точек суммы ряда (27) не меньше прямоугольника {w £ С | 0 < Rew < <5(А), 11шго| < тг/?}, а согласно теореме 1.4 имеем lim^ Д(/3,1) = Д(1,1) = In (3 + д/8).

Таким образом, результаты диссертации указывают на необходимость дальнейших исследований в данном направлении. Несомненна потребность развития новых методов решения задач в теории аналитического продолжения функциональных рядов. Аппарат экстремальных задач для канонических произведений в проблеме исследования величин £(/3) и £(/3, К) после работ автора почти исчерпал свои возможности в рамках старых методов Мандельбройта.

Последний параграф первой главы посвящён решению следующей экстремальной задачи для канонических произведений (1).

Задача 3. На классе возрастающих последовательностей положительных чисел А = {An}J£L1; имеющих конечную верхнюю плотность /3, требуется найти величину s(/3), равную точной нижней грани экспоненциальных типов L\(z).

Эта задача связана с проблемами полноты систем экспонент ехр(±Ап2:)} , пе N, (35) в областях комплексной плоскости. Напомним несколько фундаментальных понятий. Если V — произвольная область5 (открытое связное множество) комплексной плоскости, то через Л(Т>) обозначим пространство функций, аналитических в области D, с

5Возможно, неограниченная. Случай V = С не исключается. топологией, задаваемой счётной системой норм f\\Kn = max\f(z)\, (36) zeKn где Кп — произвольная счётная система вложенных друг в друга компактов, исчерпывающих область V: оо

Кп С int Kn+i Vn G N, (J Kn = V. (37) n= 1

Доказывается, что определённая таким образом топология не зависит от выбора систем компактов, удовлетворяющих условию (37). Вместо норм (36) можно рассматривать и другие нормы. Например, если компакты Кп диффеоморфны кругам, то в качестве норм можно брать 1^-нормы функции / на дКп (1 < р < -Ьоо). Пространство А(Т>), снабжённое такой топологией, является пространством Фреше [49] (гл. 1, 3), а одна из метрик, задающих эту топологию, определяется формулой оо dist(/, g) = Yl 2~П min (Ml/ - 9Ik) - /, 9 € A{V). (38)

П= 1

Сходимость функциональных последовательностей по этой метрике равносильна равномерной сходимости на любом компакте, лежащем внутри области V. Полнота системы функций {fn(z)}™=: в пространстве Л(Т>) означает по определению возможность сколь угодно точной аппроксимации любой функции / £ A(V) линейными комбинациями функций данной системы по метрике (38). После напоминания этих элементов теории аналитических функций вернёмся к обсуждаемой теме.

Согласно теореме Левина [25] (гл. 4), если последовательность А имеет плотность (3) равную d, то система экспонент (35) полна во всех пространствах А(Т>), где V — произвольная (возможно, неограниченная) область комплексной плоскости, удовлетворяющая следующему условию: пересечение V с любой прямой, параллельной мнимой оси, является интервалом длины, не превосходящей 2nd.

В этой теореме нельзя отказаться от измеримости последовательности Л. Существуют системы экспонент (35) с верхней плотностью показателей {An}^Ll5 равной /3, неполные6 в пространстве A(\z\ < г) при любом г > nj3/e. В связи с отмеченным отсутствием полноты систем (35) рассмотрим следующую задачу.

Задача 4. Найти 7£(/3) — точную верхнюю грань всех положительных чисел г таких, что все системы функций (35) с верхней плотностью {Ап}^1; равной /3, полны в пространстве A(\z\ < г).

Нетрудно убедиться в том, что эта задача линейна по /3 : пф) = (ЗЩ1). (39)

Менее тривиальным фактом, вытекающим из критерия полноты в пространствах A(\z\ < г), теоремы об общем виде линейного непрерывного функционала в A(\z\ < г) и представления целых функций экспоненциального типа в виде преобразования Бореля [31] (гл. И), [32] (гл. 3), является следующее утверждение.

Система экспонент (35) неполна в пространстве A(\z\ < г) тогда и только тогда, когда существует целая функция F(z) ф. О экспоненциального типа, меньшего г, обращающаяся в нуль в точках ±АП при любом п € N.

6Разъяснение того, откуда вытекает этот факт, будет дано на следующей странице.

В связи со сказанным приходим к следующей задаче, равносильной задаче 4 (поэтому экстремум в ней обозначается той же буквой).

Задача 4\ Найти 7Z{/3) — точную нижнюю грань экспоненциальных типов функций F(z) ф 0, для которых существует возрастающая последовательность положительных чисел {Ап}-1; имеющая верхнюю плотность, равную (3, и такая, что F{±Хп) = 0 (Vn € N).

Теперь связь между задачами 3 и 4 очевидна. Выполняется неравенство

11(13) < s(/3), (40) поскольку в задаче 4' минимизируется тип всех целых функций, обращающихся в нуль в точках ±An, п € N, а в задаче 3 — только канонических произведений. Задача 3 также линейна по /3:

8(0) = /За(1). (41)

Из (39) и (41) видно, что для решения задач 3 и 4 достаточно найти постоянные 7£(1) и s(l).

Насколько автору известно, задачи 3 и 4 в математической печати ранее не обсуждались. Известен пример [30] (гл. 1) последовательности Л верхней плотности 1 с усреднённой верхней плотностью7, равной 1/е. Тогда <т(А) < 7г/е. Вот откуда берутся системы экспонент (35) с верхней плотностью показателей /3, неполные в пространствах A(\z\ < г) (Vr > тг(З/е). Аналоги задач 3 и 4' для последовательностей ъ стремящихся к оо

7Усреднённой верхней плотностью последовательности комплексных чисел А = {Ап}, стремящейся к х оо, называется величина limsupa;-1 f (N(r)/r)dr, где N(r) — количество элементов А в круге \z\ < г.

1-++оо о произвольным образом, а не только по М, давно решены даже в более общем случае.

Определение 1. ([25], гл. 3). Последовательность комплексных чисел {zn}^L 1; lim zn = оо имеет верхнюю плотность при пооо рядке р > 0 (более кратко р-плотность), равную /3, если lim sup R~pN{R)=p, (42) jR->oo где N(R) — количество элементов последовательности {zn} в круге \z\ < R.

Теорема. ([25], гл. 3). Точная нижняя грань типов при порядке р целых функций, не равных нулю тождественно и имеющих нули в некоторой последовательности точек комплексной плоскости верхней р-плотности (3, равна /3(ер)-1. Этой же величине равна точная нижняя грань типов при порядке р, 0 < оо р < 1, канонических произведений fj (1 — z/zn), взятая по всем п=1 последовательностям {zn}™=i верхней р-плотности /3.

Для вещественных нулей ситуация иная. Значение постоянной 71(1) найти не удалось. Из приведенной теоремы вытекает оценка снизу 2/е < 7£(1) (здесь р = 1, а верхняя плотность последовательности {±АП} в два раза больше, чем у {Ап}). Оказалось, что 1Z(1) < s(l). Задача 3 была решена автором в [42]:

5(1) = max= 0.8047. (43)

В [42] также доказано, что г(1) < 0.8, (44) откуда видно, что неравенство (40) в действительности строгое. Доказательство равенства (43) и даже существенно более общего результата (и формулировка последнего) подробно изложены в §7 главы 1 диссертации. Доказательство неравенства (44) в диссертацию не включено ввиду того, что задача 4 пока не решена.

Перейдём к освещению содержания второй главы диссертации. Одна из основных теорем единственности в теории целых функций состоит в следующем.

Теорема. Если Ао Е С, F G Л(С), то из равенств

F(n)( А0) = 0 VneNo (45) вытекает тождество F(z) = 0.

Сколь устойчива эта теорема единственности относительно возмущения агрументов функции F в (45)? Другими словами, если положить Ао — 0, то какая скорость стремления к нулю |АП| ф (An G С) гарантирует, что равенства

F^(An) = 0 Vn € No, f€A( С), влекут за собой тождество F(z) = 0? Из старого результата С. Какея [56] вытекает, что такая теорема единственности верна при Хп = 0(1/п) (п -» оо). А если последовательность Ап стремится к нулю с меньшей скоростью?

Поставленные вопросы лежат в русле направления в теории интерполяции, носящего название "Интерполяционная задача Абеля-Гончарова" (см. [33], [7], [13]). Интерполяционная задача Абеля-Гончарова состоит в нахождении всех целых функций F из того или иного топологического пространства X С Л (С), удовлетворяющих соотношениям

F{n)(X„) = сл, п е N0 , (46) где Л = {An}JJL0> (cn}5JLo ~~ произвольные допустимые для X последовательности комплексных чисел. Ниже будут рассматриваться различные пространства X С Л(С) с некоторой, как правило более сильной топологией, нежели индуцированная на X из

Л (С).

Решение поставленной задачи обычно начинается с отыскания в определённом смысле максимальных для неё пространств сходимости и единственности. Пространством сходимости интерполяционной задачи (46) назывется такое линейное подпространство S С X, что любая функция F € S представима в виде суммы интерполяционного ряда оо

F(z) = £F<»>(An)P„(A,z), (47)

71=0 сходящегося в топологии X. Через {Pn(A, обозначена система полиномов Гончарова, соответствующих последовательности А и задаваемых формулами [13] (гл. 1) Pq(\,z) = 1,

2 х\ Хп-1

-Рп(А, z) = Рп(Хо, Ai,., Ani, z) = J J" J dxi.dxn, n € N

Л0 Ai Ani

48)

Полиномы (48) образуют систему, биортогональную к системе функционалов \dn/(dz)n\ > , т.е. выполняются равенства

I I z-Лп j п=0

PW(A,A„) = 1, Р«(А,А») = 0, кфп. (49)

Из формулы (48) видно, что п-й многочлен Гончарова имеет степень п по переменной z и зависит не от всей последовательности А, а только от п первых её элементов. Если Ао = Ai = • • • = Апх, то многочлены Гончарова являются многочленами Тейлора

Рп(А0, А0,., А0, z) = (z- А0)п/п!, а ряд (47) при совпадении всех узлов интерполяции становится классическим рядом Тейлора.

Пространством единственности Е интерполяционной задачи (46) называется такое линейное подпространство X, что условия

F^(An) = 0 Vne N0, FeE, влекут за собой тождество F(z) = 0. Из определений видно, что всякое пространство сходимости интерполяционной задачи (46) является её пространством единственности. Обратное же утверждение, вообще говоря, неверно.

Нахождение максимальных (в какой-либо шкале) пространств сходимости и единственности задачи (46) в том случае, когда последовательность узлов интерполяции {Ап} не обладает какими-нибудь "хорошими" арифметическими свойствами и не является достаточно регулярной (например, монотонной на некоторой прямой в С), представляет очень большие трудности. В диссертации изучаются экстремальные задачи в интерполяции значениями последовательных производных. Рассматриваются классы последовательностей {Ап}, определяемые мажорантами модулей их элементов. Ищутся максимально широкие пространства, которые являются пространствами сходимости и единственности одновременно всех интерполяционных задач (46) с последовательностями узлов {Ап} данного класса. Для такого рода задач удаётся найти окончательное решение в терминах типов относительно функций сравнения.

Перейдём к строгим постановкам задач. Возьмём произвольную последовательность положительных чисел X = УД0влетворяющую следующему условию: п + 1)хп +оо . (50)

С её помощью определим класс А(3£), состоящий из всевозможных последовательностей комплексных чисел {An}5£L0, Для которых выполняется предельное соотношение lim sup \ Хп\/хп < 1. п—>00

Введём также более узкий класс Ло(ЗЕ), состоящий из всех последовательностей {An}^=0 G Л(£), для которых lm Хп = о(хп), п —> оо .

В частности, если А = {Ап}^0 € Л(Э£) и числа Ап вещественны, то А е Ло(£).

Цель состоит в том, чтобы для введенных классов получить точную теорему единственности следующего вида.

Пусть X — произвольная последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условию8 (50). Тогда каковы бы ни были последовательность {Ап}^0 € Л(Э£) и целая функция F, максимум модуля которой не превосходит некоторой мажоранты, зависящей от X (именно эту мажоранту и надо построить!), равенства i»(An) = 0 Vne No (51) влекут за собой тождество F(z) = 0.

Мажоранту надо построить такую, чтобы для целых функций большего роста данное утверждение уже перестало бы быть верным.

8Условие стремления к бесконечности произведения (п + \)хп весьма разумно. Если А„ = 0(1/п), то согласно цитированной выше теореме Какея из равенств (51) следует тождество F(z) = 0 для любой целой функции F.

Данная задача была решена только в частных случаях.

1. хп = (п+1)р, — 1 < р < +оо, (М.М. Драгилев и О.П. Чухлова [11], Ю.К. Суетин [50]). Для классов Ло(Э£) был исследован один-единственный случай р = 0 (т.е. хп =1) в работах С.Н. Берн-штейна [1], [2], И.Дж. Шёнберга [60], Ш.С. Макинтайр [58].

2. lim xn+i/xn — +оо (В.А. Осколков [34]). п—УОО

Автору в [43] удалось добиться успеха в общей ситуации: требуемая мажоранта в теореме единственности была построена. Сейчас будет сформулирована "грубая", но полезная для понимания дальнейшего материала теорема автора из работы [43]. Перед этим напомним несколько определений и фактов [17], [18], связанных с эталонами роста целых функций и интегральными преобразованиями в порождаемых ими пространствах. оо

Определение 2. Целая функция A(z) = J] Anzn называется п—0 функцией сравнения, если

1)Ап> 0 Vn е No, 2)An+l/An\^ (поо).

Класс всех функций сравнения обозначим 21. оо

Определение 3. Целая функция a(z) = ^ anZn называется п=0 сравнимой с A(z) Е 21, если существует постоянная г > 0 такая, что отношение |a(z)|/A(r|2:|) ограничено в С. Нижняя грань таких чисел т - обозначим её сга(р) ~ называется А- типом функции a(z).

Для А £ 21 известна теорема (полное ее доказательство имеется в [18] (стр. 34-38), которая утверждает, что Л-тип целой функции a(z) выражается через коэффициенты рядов Маклорена a(z) и A(z) следующим образом: а а (а) = lim sup | ап/Ап |:1/п . (52) п—»оо

Множество всех целых функций, А-тип которых строго меньше заданного числа <т, будет обозначаться [А, <т), а множество всех целых функций, А-тии которых не превосходит а - через [А, а]. оо

Заметим, что expz = JZ zn/n\ Е 21, и тип любой целой функп=О ции относительно exp z в смысле определения 3 совпадает с её классическим экспоненциальным типом.

Функции сравнения широко используются в качестве эталонов роста в Д(С) и для представления сравнимых с ними целых функций в виде интегральных преобразований (см. [13], [18], [10], оо оо

14]). Если A{z) = £ Anzn е 21, a(z) = £ anzn £ [А, а), то n=0 71=0 ф) = f A(ztbaAt)dt, (53) t\=a где оо ъЛ*) = ^2т-ГП-1£А(Щ>а). (54) n=0 An

Функция 7a,лй называется А-ассоциированной по Борелю с a(z). Очевидно, что 7а^(оо) = 0. Подкласс функций, аналитических при \t\ > а и обращающихся в нуль в бесконечно удаленной точке будет обозначаться через Ao(\t\ > а). Представление (53) устанавливает изоморфизм между [А, а) и Ao(\t\ > о). Как известно, >A)(\t\ > R) естественным образом отождествляется с пространством, сопряженным к A(\z\ < R). Топология в Ao(\t\ > R) задается равномерной сходимостью на одной из окужностей \t\ = г < R. Пространство Ao(\t\ > R) с такой топологией является полным рефлексивным локально-выпуклым пространством. Когда мы будем ниже говорить о топологии [А, сг), не прибавляя к этому пояснений, всякий раз будет подразумеваться, что в [А, а) задана топология A*(\t\ < сг), где функция a{z) € [А, а) отождествляется с ее образом ja,A(t), задаваемым формулой (54). Известно, что последовательность функций fn(z) сходится в [А, сг) к f(z) при 71 —> оо тогда и только тогда, когда при некотором а < а верна оценка

8иртах|/п(г)| = 0(Л(аД)), R> 0, (55) пеN \z\<R и fn{z) сходится к f(z) в топологии Л (С). Рассматриваемая топология пространства [А, а) сильнее, чем топология Д(С), индуцированная на [А, а), так как равномерная сходимость {fn(z)} на любом компакте вообще говоря не влечет за собой справедливости соотношений вида (55). Аналогичным образом посредством изоморфизма (53), (54) вводится топология и в простанстве [А, сг], которое отождествляется с пространством Ao(\t\ > сг), состоящем из функций 7(£), аналитических при \t\ > а и обращающихся в нуль на бесконечности, наделенном стандартной топологией, порождаемой равномерной сходимостью функциональных последовательностей на окружностях \t\ = а + е (Ve > 0). Такие топологические пространства в теории интерполяции целых функций рассматривались ранее в ряде работ (см., например [14], [17], [19], [23], [34], [35]).

Определение 4. Если простанство [A, a), A Е 21, с определенной выше в нём топологией является пространством сходимости интерполяционной задачи (1), то будем говорить, что [А, сг) - пространство А-сходимости.

Теорема 2.1. (глава 2, §1). Пусть X = ~ произвольная последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условию (50). Положим оо к—1

Rn = (n + 1)хп, Аж(г) = 1 + Y^ zk' П Rll' (56) fc=l j=о

Тогда Ах - функция сравнения, а [Ах, сг) при любых a £ (0, In 2] являются пространствами Ax-сходимости интерполяционных задач Абеля—Гончарова с узлами {Лп}^0 € А(Х). В то же время, найдутся последовательность действительных чисел {£п}55=о и функция f £ [Ах, 1], f(z) ф 0; такие, что выполняются соотношения

16.1 <*», /(п)й.) = 0 VneNo.

Другими словами, [Ах, 1] не является пространством единственности некоторой интерполяционной задачи Абеля—Гончарова с узлами {^J^io € Л(£) •

Очевидно, что в теореме 2.1 имеется зазор. Возникает вопрос, "позитивная" или "негативная" часть теоремы 2.1 неточна? Можно ли в её формулировке увеличить постоянную In 2? Существует ли последовательность X такая, что пространство [Ах, 1) является пространством единственности интерполяционной задачи (46) для любой последовательности узлов из класса А(Х)?

Ответ на последний вопрос вытекает из следующей теоремы.

Теорема В.А. Осколкова. [34]. Если последовательность X = удовлетворяет условию lim (xn+i/xn) = +оо; то для

П—ЬОО любой последовательности узлов интерполяции {Ап} С А(Х) пространства [Ах, 1) являются пространствами Ах-сходимости (и тем более пространствами единственности) задачи (46). В то же время существуют последовательность и целая функция }(z), имеющая А%-тип, равный 1 такие, что

М(л;) = о (Vn е n0).

Таким образом "негативная" часть теоремы 2.1 является обобщением "негативной" части теоремы В.А. Осколкова на произвольные последовательности удовлетворяющие лишь условию (50). Следовательно, это утверждение теоремы 2.1 неулучшаемо, поскольку теорема В.А. Осколкова точна на изучаемых им в [34] классах узлов интерполяции.

Ответ на вопрос об окончательности первого утверждения теоремы 2.1 автору неизвестен. Но всё же теорема 2.1, хотя и не окончательная, важна тем, что указывает правильный ориентир в безбрежном море функций сравнения, который поможет решить поставленную задачу — найти максимально возможное пространство сходимости и единственности всех интерполяционных задач с узлами из Л(3£) или из Ло(ЭЕ).

Определение 5. Пусть задана произвольная последовательность положительных чисел X = удовлетворяющая условию

50). Постоянной сходимости ас(Х) класса интерполяционных задач Абеля—Гончарова с узлами {Ап}^0 £ Л(Э£) назовем точную верхнюю грань чисел а таких, что в топологии а) справедливы разложения (47) для любых F G [Ах,<т) и {An} G Л(£). Постоянной единственности сги(Х) назовем точную нижнюю грань чисел а, для которых найдутся f G \Ах,о), f ф 0, и {A*} G А(Х) такие, что А*) = 0 Vn G No- Другими словами, а) при любом а < сгс(Х), а значит и при а = сгс(Х) (см. выше определение топологии в этих пространствах), является пространством А%-сходимости всех задач (46) с узлами интерполяцииj лежащими в Л(Э£), а при любом а > сги(Х) [Ах, (?) уже не будет пространством единственности какой-либо одной задачи (46) с узлами интерполяции из класса Л(Э£).

Из определения 5, так как пространство сходимости является пространством единственности, следует неравенство сгс(Х) < сги(Х). Теорема 2.1 доказывает существование постоянных сходимости и единственности и устанавливает, что

In 2 < ас(Х) < аи(Х) < 1.

Однако, найти ас(Х) и <?и(Х) для последовательностей X самого общего вида не удается. Основным результатом §1 главы 2 является теорема о совпадении постоянных сходимости и единственности при условии lim (xn+i/xn) = 1. (57) п—>00

Теорема 2.2. [43]. Для любой последовательности X, удовлетворяющей условиям (57) и (50), справедливо равенство гс(Х) = аи{Х) = W, (58) где W ~ постоянная Уиттекера.

Постоянная Уиттекера вошла в математическую литературу в 30-40-е годы 20 века и определяется как постоянная единственности класса интерполяционных задач (46) с комплексными узлами, по модулю не превосходящими 1. Равенство (58) для хп = 1 доказал М.А. Евграфов [13], а для хп = (п + 1)р, — 1 < р < +оо, — М.М. Драгилев и О.П. Чухлова [11] (неравенство с?с > W) и Ю.К. Суетин (неравенство аи < W). Отметим, что природа постоянной Уиттекера до сих пор недостаточно хорошо изучена. Так, например, известно неравенство

0.7372 < W < 0.7378, но четвёртый знак после запятой в десятичной записи числа W пока не найден. Теорема 2.2 выявляет универсальность постоянной Уиттекера в экстремальных задачах, возникающих в интерполировании целых функций значениями последовательных производных.

В аналогичной задаче для классов последовательностей Ло(ЗС) постоянные сходимости и единственности при условии (57) также совпадают, но равны не загадочной константе Уиттекера, а числу 7г/4 (теорема 2.3, глава 2, §1, опубликована в [43]).

Изучаемую проблему можно ставить и по-другому. Дана произвольная функция сравнения оо п=0 и положительное число ст. Найти мажорантную последовательность X = такую, что пространство [А, о) будет пространством Л-сходимости всех интерполяционных задач (46) с узлами из класса Л(Э£) (или Ло(£)), а пространство [Д а] уже не будет обладать этим свойством, а может быть даже будет содержать отличную от тождественного нуля функцию, каждая п-я производная которой имеет хотя бы один нуль в круге \z\ < хп (или на отрезке [—хп,хп]).

Сразу же возникает вопрос об общности такой постановки задачи. Сколь велик класс 21? Функции сравнения нам нужны как эталоны роста в Д(С). Верно ли, что для каждой целой функции f(z), отличной от многочлена, существует функция сравнения, относительно которой f(z) имеет конечный и положительный тип? Утвердительный ответ на этот вопрос был дан Ада-маром в конце 19 века в [55], хотя функции сравнения он и не изучал. Просто им было установлено, что для любой последовательности комплексных чисел содержащей бесконечно много отличных от нуля элементов, и удовлетворяющей условию9 lim \ап\1/п — 0 найдётся последовательность положительных чип—> оо сел с монотонно стремящемся к нулю отношением10 Ап+\/А такая, что

1) KI <Ап\/пе N0,

2) равенство \ап\ = Ап выполняется для бесконечного множества номеров п.

Отсюда и из формулы (52) для А-типа вытекает, что А-тип f(z) равен 1.

Определение 6. Пусть G — некоторое подмножество (не обязательно подпространство) пространства целых функций Л (С), а 211 — некоторое подмножество функций сравнения 21. Будем говорить, что 2li является плотным классом сравнения в G, если для любой целой функции a(z) € G, отличной от многочлена, существует функция сравнения A(z) Е 2li; относительно которой a(z) имеет конечный положительный тип.

Смысл этого определения ясен. Плотный в G класс функций сравнения 2li "обслуживает" всё это подмножество целых функоо

9Это и означает, что f(z) = ап7-п — отличная от полинома целая функция.

71=0 оо

10То есть A(z) = AnZn является функцией сравнения.

РОССИЙСКАЯ . ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕКА ций в качестве эталонов роста. Справедливо включение

G \ ОД С У ([А+оо)\[Д0]). (59)

АеЩ

Через C[z] здесь, как обычно, обозначено множество всех многочленов от переменной £ с комплексными коэффициентами.) Целесообразность рассмотрения в (59) классов [А, +оо) \ [А, 0], а не [А, -Ьоо) продиктована недостаточностью информации об a(z) в том случае, когда А-тип a(z) равен нулю. В этой ситуации для \a(z)\ имеется лишь некоторая оценка сверху. Так, например, в i класс функций экспоненциального типа нуль входят, в частности, все функции, имеющие порядок, меньший 1, а они, как известно, весьма различны по своим свойствам. Напротив, если А-тип функции a(z) равен сг, 0 < а < Н-оо, то, во-первых, на рост \a(z)\ имеется оценка не только сверху, но и снизу: существует последовательность комплексных чисел {zn\™ i такая, что lim zn — оо п-> оо и при любом е > 0 a(z)\ lim ——--гт = +оо . п->оо A{\zn\{a - £))

Во-вторых, на окружности |t| = сг фукнция 7(t), ^-ассоциированная с a(z) имеет хотя бы одну особую точку. Отметим, что с помощью изучения особых точек функции 7 (t) в классическом случае

00 zn было получено немало интересных и содержательных результатов [10], [17], [19], [28].

Итак, 51 — плотный класс сравнения в Л (С), и коль скоро мы умеем решать какие-либо интерполяционные задачи в пространствах [А^ а) и [Л, сг] для любой функции А Е 51, то это означает, что мы их умеем решать для всех целых функций. Аналогично, умение решать интерполяционные задачи в тех же пространствах для любой функции сравнения из плотного в G С *А(С) класса сравнения означает по сути умение их решать для всех функций из G.

Посмотрим, в каком же подмножестве целых функций реально работают сформулированные выше результаты автора по интерполяционной задаче Абеля—Гончарова. Если X = пробегает всё множество последовательностей, удовлетворяющих условию (50), то множество функций сравнения Ах пробегает весь класс % нормированный условием А(0) = 1. Для того, чтобы убедиться в справедливости данного утвержения, достаточно для оо любой функции сравнения A(z) = ^ Anzn, А(0) = 1, построить п=О последовательность удовлетворяющую условию (50) такую, к-1 что Ak = Ц ((n + l)^)""1 (см. (56)). Из определения 2 и формулы п=0 п-1

Ап = Ао Y[ Щ1 > гДе Rk = Ак/Ак+1 к=0 видно, что последовательность хп = Rn/(п+1) является искомой. Поэтому верна следующая теорема, равносильная теореме 2.1. оо

Теорема. Пусть A(z) = ^ Anzn G % а > 0, {Лп}^0 — пР°~ п=о извольная последовательность комплексных чисел, для которой верна асимптотическая оценка

А„| < —•-ф- (1 + о(1)) , п^ оо.

Тогда любая функция F 6 [А, а) представима рядом оо

F{z) = Y, F(n\Xn)Pn{z, Ао,., Anx), п=О сходящимся к ней в топологии [А, а). С другой стороны, существуют последовательность действительных чисел {А* элементы которой удовлетворяют неравенствам

IA:I< vneNo, и целая функция f А-типа, равного 1, такие, что f{n)(K) = о при всех целых неотрицательных п. Из этой теоремы немедленно вытекает оо

Следствие 2.1. Для любой функции сравнения A(z) = Anzn

71=0 справедливы следующие утверждения.

1. Если {An}J£L0 — произвольная последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая ограничению (60) то для любой функции F € [А, 0] равенства

F(n\Хп) = 0 VnG N0 (61) влекут за собой тождество F(z) = 0.

2. Если {An}^L0 — произвольная последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая ограничению

-* 00- (62) то для любой функции F е [А, +оо) равенства (61) влекут за собой тождество F(z) = 0.

Хотя следствие 2.1 и грубее теоремы 2.1, оно тем не менее является точным. В утверждении 1 нельзя заменить [.А, 0] на [А, в] ни при каком г > 0, а в утверждении 2 нельзя заменить о на О даже с малой постоянной в символе О. В диссертации следствие 2.1 усилено в другом направлении.

Теорема 2.6. Пусть £ — произвольный линейный непрерывный функционал на пространвстве Л (С). Тогда при условии (60) для любой функции F € [Л, 0] \ C[z] равенства влекут за собой тождество F(z) = 0; и то же самое верно для любой функции F 6 [А, +оо) \ C[z] при условии (62).

Следствие 2.1 получается из теоремы 2.6, при £(f(z)) = /(1).

Замечание. Условие F 0 С[г] в теореме 2.6 нельзя отбросить. Для любого многочлена p(z) легко находится линейный непрерывный на *Д(С) функционал £*, а именно £*(f) = /^(1), т > degр, такой, что £*(p(n\z)) = 0 при всех целых неотрицательных п. Что же касается следствия 2.1, то его справедливость для многочленов (какова бы ни была последовательность комплексных чисел {Ап}) проверяется элементарно.

Исходя из известного критерия полноты систем функций в пространстве Л (С) заключаем, что теорема 2.6 допускает следующую равносильную формулировку (именно так она и сформулирована в §3 главы 2).

Теорема 2.6. Если выполнено условие (60) и F £ [ДО] \ C[z] или выполнено условие (62) и F Е [А, +оо) \ С[z], то система функций полна в пространстве Д(С).

В §3 главы 2 доказываются теоремы о полноте подсистем функций (63) и рассказывается об исследованиях других авторов в этой области.

Вернёмся к анализу результатов §1 главы 2. Если рассмотреть все последовательности X = удовлетворяющие условиям

50) и (57), то множество функций сравнения Ах совпадает с оо

Их = \A{z) = ]Г Anzn е а

71=0 lim d^dn = i, Ао = 1

64)

Поэтому теоремы 2.2 и 2.3 эквивалентны следующей теореме.

Теорема. Пусть A(z) € 2li, а > 0. Тогда

1. Если {Ап}^0 — произвольная последовательность комплексных чисел, для которой верна асимптотическая оценка Л , ^ WAn(l + о(1))

An < у 71 У оо , а(п + 1)Ап+1 то любая функция F Е [А, а) разлагается в ряд оо

F(z) = ^^(Ап)Рп(г,Л0,.,Ап1), (65) п= 0 сходящийся к ней в топологии [А, а). С другой стороны, существуют целая функция f А-типа, равного а, и последовательность {А*}^0; удовлетворяющая неравенствам а(п + 1)Ап+1 такие, что /^(А*) = 0 при всех целых неотрицательных п.

2. Если {An}JJL0 — произвольная последовательность комплексных чисел, для которой при п —> оо выполняются соотношения ^ тгЛп(1 + о(1)) т , ( А.

АП| < —(——pr-i-' Im Ап = о '

4сг(п + l)An+i' \(n + l)A»+i. то любая функция F Е [А,сг) разлагается в ряд (65), сходящийся к ней в топологии [А, а). С другой стороны, существуют целая функция f А-типа, равного а, и последовательность действительных чисел {А*}^0; для которой верна асимпотика

-1ГтгАп

К ~ ~л—'(-771- п 00, п 4 <т(п + 1)Ап+1 такие, что /^(А*) = 0 при всех целых неотрицательных п. Ранее утверждение 1 этой теоремы было доказано только для оо

Ap(z) = J2 Zn/(n\)^pt О < р < +оо (Драгилев, Чухлова, Ю.К. Суп=0 етин), а утверждение 2 — для A(z) = ez (С.Н. Бернштейн, Шёнберг, Макинтайр).

Доказанные теоремы ставят вопрос о том, в каком же именно подмножестве Л (С) плотны функции сравнения (64). Ответ даёт

Теорема 3.1. (§1 главы 3, опубликована в [43]). 2li является плотным классом сравнения в множестве целых функций a(z), для которых ln(max|a(z)| lim sup — ^-— = +оо. (66)

R—too In R

Класс всех функций, определяемый соотношением (66), состоит из всех функций бесконечного порядка, конечного и положительного порядка, а также содержит в себе значительную часть целых функций нулевого порядка. Это свидетельствует об обширной области применимости теорем 2.2 и 2.3. Соответствующие примеры приведены в §2 главы 2.

В третьей главе диссертации доказана также теорема о плотности в Д(С) класса функций сравнения, для которых обобщённое преобразование Бореля (53) допускает обращение в форме оо

7A,a{w) — w~l f a(t/w)d/iA(t), где d/ia — некоторая положитель-o ная аналитическая мера на [0,+оо). Результаты работы докладывались

• на конференциях по комплексному анализу в Уфе в 1996 и 2000 г.г.,

• на конференции по комплексному анализу в Нижнем Новгороде в 1997 г.,

• на летних школах по теории функций в Миассе с 1997 по 2004 г. г.

• на летней школе по теории функций в Казани в 2003 г.

• на конференции по теории приближения функций в Туле в 1998 г.

Результаты работы докладывались на семинарах: академика РАН В.А. Садовничего, чл.-корр. РАН П.Л. Ульянова и чл.-корр. РАН Б.С. Кашина, чл.-корр. РАН Ю.Н. Субботина и профессора Н.И. Черныха, профессоров А.Г. Костюченко и А.А. Шкалико-ва, профессора Е.П. Долженко, профессоров В.А. Скворцова и Т.П. Лукашенко, профессоров A.M. Седлецкого и В.В. Власова.

Автор благодарит руководителей указанных семинаров за обсуждение результатов работы, высказанные замечания и предложения, способствовавшие улучшению работы.