Эквивариантные кокомпактные бордизмы для собственных действий дискретной группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

804604845

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 515.14

Моралес Мелендес Китсе

ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОКОМПАКТНЫЕ БОРДИЗМЫ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ДЕЙСТВИЙ ДИСКРЕТНОЙ ГРУППЫ

Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2010

1 7 ИЮН 2010

004604045

Работа выполнена па кафедре высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Мищенко Александр Сергеевич доктор физико-математических наук, доцент Мануйлов Владимир Маркович Официальные оппоненты: доктор физико-математических паук,

профессор Смирнов Владимир Алексеевич кандидат физико-математических наук, доцент Попеленский Федор Юрьевич Ведущая организация: Московский государственный областной

социально-гуманитарный институт

Защита диссертации состоится 4 июня 2010 года в 10 час. 45 мни. па заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мехаппко-математнческого факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан мая 2010 года.

Ученый секретарь дпссер'ки ЦЮИ1 юго совета Д.501.001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор А- О- Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию квази-сво-

бодных действий дискретных групп па многообразиях и соответствующей теории бордизмов.

Изучению множеств неподвижных точек гладких отображений и их инвариантов посвящено множество работ. В 1945 году, в связи с разработкой пятой проблемы Гильберта, С. Бохпер1 доказал линеаризуемое«» действия группы в окрестности неподвижных точек, применив меру Хаара па компактной группе.

С тех пор возник ряд вопросов о свойствах множеств неподвижных точек. Например, вопрос о том, какие многообразия можно встретить в качестве множества неподвижных точек действия некоторой компактной группы. в частности, какова их размерность. Также возникли вопросы о линейных представлениях в разных 'точках многообразия.

В начале С()-х годов П. Коннер и Э. Флойд2, привлекая современные методы алгебраической топологии к решению задач о неподвижных точках, обосновали теорию эквивариантнмх бордизмов. Они создали так называемую фикспоинт-конструкцшо и показали на конкретных примерах мощность этой теории. Они также разработали методы описания бордизмов со свободным действием конечной группы в терминах ее классифицирующего пространства и применили свою конструкцию для вычисления бордизмов гладких инволюции.

А. С. Мищенко3 в 1969 году применил эту конструкцию для описания бордизмов с действием циклической конечной группы простого нечетного порядка. В результате была получена длинная точная последовательность для этих бордизмов в терминах бордизмов со свободным действием и бордизмов многообразий, оснащенных структурой нормального (векторного, конечномерного) расслоения.

'S. BoclmiT. Compact group» of differentiahle transformations Ann. of Math 40 (1045), 372 381.

2P. Conner. E. Floyd. ViJJercntiul/k periodic maps. Berlin, Springer-Verlag, 19G1.

•'А. С. Мищенко. Бордизмы с Oeiiстонем группы и неподвижные точки. Мнтем. сборник Т. 80(122). № 3(11) (1960), 307-313.

Большинство проблем ir задач о неподвижных точках были успешно решены только для компактных или конечных групп.

Однако в конкретных примерах часто встречаются бесконечные дискретные группы и некомпактные группы Ли. Поэтому возникает проблема редукции геометрических инвариантов действия групп к инвариантным действиям ее компактных или конечных подгрупп. Решение этой проблемы неизбежно приводит к задаче описания неподвижных точек для подгрупп. С другой стороны, необходимо описание инвариантных пространств орбит. Решение последнего вопроса хорошо известно в случае свободных действии и не зависит от конечности или компактности действующих групп.

Р. Пале заметил4, что один из главных инструментов для того, чтобы перевести топологические и геометрические свойства пространства с действием группы на пространство орбит — это существование так называемых орбитпых разрезов, так как они позволяют применить теорию однородных пространств. Действия, для которых существуют разрезы, называются собственными. При них сохраняются хорошие топологические свойства. Папе также показал, что для других, более общих, классов действий, топологические свойства уже не наследуются пространством орбит.

В настоящее время одной из основных задач в случае собственных действий является установление или опровержение достоверности основных фактов теории свободных действий.

В частности, наши усилия в перспективе направлены на редукцию вычисления сигнатуры многообразия с собственным действием дискретной группы к сс вычислению на неподвижных точках. Подобные формулы можно найти для конечных групп и компактных многообразий в книге0.

Недавние работы С. Ильмана6 и его ученика Т. Корпии' об инвариантных триапгуляциях подтверждают, что выбранный нами путь перспективен.

Цель работы.

4R. S. Palais. On the. Existence of Slices for Actions of Non-Compact Lie Groups Ann. Math., '2nd Ser., 73, No. 2, (1901), 295-323.

r' I). B. Zagier. Equivariant Pontrjagin Classes and Applications to Orbit Spaces. Springer-Verlag. Berlin. Heidelberg, New York, 1972.

''S. Illman. Existence anil Uniqueness of equivariant triangulations of smooth pwper G-ntanifolds with some applications tu equivariant Whitehead torsion, J. Reine Angcw. Math. 524 (2000), 120-183.

7T. Korppi. Equinaiiant trianfjulations of differcntiuble and real-analytic manifolds with n properly discontinuous action Armales Academia; acientiarum fennicx matematica dissertationes 141. Helsinki, Suomalainen Tiedeakatcmia, 2005.

Целью работы является получение: спектральной последовательности для бордизмои многообразий с квази-свободпым действием дискретной группы, а также вычисление первого члена этой спектральной последовательности и описание экшшарнантпых векторных расслоении с кшеш-сиободн ы м дойетвием.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Получено описание эквивариантных конечномерных векторных расслоений с квази-евободным действием дискретной группы в терминах классифицирующих пространств группы п ее подгрупп и линейных представлении конечных подгрупп.

2. Получена спектральная последовательность для бордизмоп многообразий с квазн-свободным действием дискретной группы по фильтрации, заданной структурой множеств неподвижных точек различного ранга.

3. Получено описание первого члена указанной спектральной последовательности.

Методы исследования.

В данной работе применяются методы алгебраической топологии (спектральные последовательности, теория эквнвариантных бордизмоп, классифицирующие пространства) и топологии многообразий.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к эквивариантпой алгебраической топологии и могут применяться при исследовании многообразий с: квази-свободным действием бесконечных групп.

Апробация диссертации.

Результаты диссертации докладывались:

• На научно-исследовательском семинаре семинаре "Некоммутативная геометрия и топология" механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. А. С. Мищенко, в 2009 г.

• На международной конференции "С*-алгсбры и эллиптическая теория IIIм (Бедлево, Польша, 26-31 января 2009 г.).

• На семинаре по топологии Института Математики Национального Автономного Университета Мексики под руководством преподавателя-ученого Хосе Луиса Сиснероса Молины в 2009 г.

Публикации.

Основные, результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1-3].

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Текст диссертации изложен на 89 страницах. Список литературы содержит 24 наименования.

Содержание работы

Во сведении описаны история рассматриваемой проблемы, приведены основные результаты и изложено содержание диссертационной работы.

В первой, вводной, главе содержатся основные понятия и определения, а также некоторые вспомогательные утверждения о действиях групп.

Предполагается, что группа G является дискретной, fio не обязательно конечной. Поэтому рассматриваемые многообразия являются не компактными, а кокомпактными, т.е. соответствующие им пространства орбит я в л я ются ко м пакт 11 ы м и.

Топологическая структура пространств орбит играет важную роль. Поэтому нельзя рассматривать произвольные гладкие действия, а только те, для которых эта структура сохраняется. В их число включаются и так называемые собственные действия, которые допускают только множества неподвижных точек действия конечных подгрупп исходной группы, что позволяет воспользоваться результатами Бохнера о линеаризации действий компактных и, в частности, конечных групп.

С многообразием М с действием группы G можно ассоциировать семейство подгрупп имеющих нетривиальные множества неподвижных точек, т.е.

5л, = {// < G\M" ф 0} Из равенства </.Mw = Л/'г'я-'; непосредствен по следует, что на действует группа G.

Лемма 7. Для любого собственного действия G х М —» М, сели фак-торпростринство M/G компактно, то (/хчсторсемсйстао $m/G -коне чно.

Обозначим через Iso(3\\/) множество максимальных элементов семейства 5.1/- т.е. Н 6 Iso(3j/), если для любой подгруппы К, Н < К < G, либо Мк = 0 либо К = Н. В частности, это значит, что если К, II € Iso(&i/), К Ф II, то Мк П М" = 0. Очевидно, что на Isoföu) действует G. Через N(H) обозначим нормализатор подгруппы Н.

Теорема 5. Пусть группа G гладко и собственно действует на гладком многообразии М, причем факторпространстчо M/G компактно. Тогда существует система трубчатых окрестностей [/#( //) Э М". II £ Iso(3jt/) таких, что

UnuD П иЩК) = 0,

если К Ф Н, и

yU.\(H) = Ux(;r4i,j)

для любого g £ G.

Во второй главе описываются эквивариаптные конечномерные векторные расслоения на многообразиях с квази-свободным действием. Это естественная постановка задачи, поскольку в случае общих собственных действий после факторизации по конечной группе такие действия могут оказаться свободными только на базе расслонеия, но иметь неподвижные точки нижнего ранга на тотальном пространстве.

Описание эквипариантных конечномерных векторных расслоении с квази-свободным действием дается в терминах классифицирующих пространств группы и ее подгрупп и линейных представлений конечных подгрупп.

Обозначим через Veeta(M, р) категорию G-эквиварнаптиых векторных расслоений £ — ® V над базой М, с квази-свободным действием группы G с конечной стационарною подгруппой Н < G, где группа Н действует тривиально над расслоением V одновременно обозначает тривиальное расслоение со слоем V и послойным действием группы II при помощи

неприводимого представления р. Здесь мы требуем, чтобы представления pg(h) = p(g~lhg) были эквивалентны для любого g £ G. Обозначим через Bundle(X, L) категорию главных ¿-расслоений над базой Л", G0 = G/H.

Теорема 7. Существует каноническое вложение

Vectс;(М,р) —> Bundle(M/G0l Autc(C?o x (F ® V))).

Следствие 7. Если пространство X компактно, то

[X, B(Autc(G0 x (F ® F)))] « (J [M,

д/е[Л',В(7о|

В случае произвольного эквивариантного векторного расслоения оно представляется в виде £ = ®]с£к ® Ук, W- действие подгруппы Я на ^ тривиально, а в тривиальном расслоении 14 H действует послойно с помощью представления р. Назовем Х(р) = Go х ® И-)) канонической моделью для представления р.

Следствие 8. Имеет .место тонная последовательность групп

1 Л GL(Fk)^Auto (Хр) -^Go -»■ 1. к

Отдельно изучен случай, когда подгруппа H не является нормальной.

Третья глава посвящена, теории эквивариантных бордизмов для собственных действий дискретной группы. Для этого примснепяется метод Коннера-Флойда описания бордизмов с действием группы G при помощи так называемой фикспойнт-конструкции.

> О

Обозначим через Q, ' группу бордизмов многообразий с действием группы G без неподвижных точек "вис" Формально, элементами группы QÏ'C являются классы бордизмов многообразий с собственным действием группы G, для которых

г?м с з.

Все границы считаются инвариантными. Операция суммы и умножения индуцируются несвязным объединением и декартовым произведением, соответственно. Действие группы G на декартовым произведении индуцируется диагональным отображением Д : G —> G x G.

Очевидно, M всегда определяет класс в Q1!"'6.

Определим группу бордизмов оснащенных структурой векторного расслоения с квази-свободпым действием группы N{H) и стационарной

О

подгруппой Я, как группу бордизмов пар {Мн, vn(H))< где vn(U)—— векторное Л7(Я)-раселоение с квази-свободным действием на базе группы N(H) и стационарной подгруппой Я.

Теорема 12. Пусть 5 семейство конечных подгрупп группы G. Если фактор семейство fi/G конечно, то имеет место длинная точная последовательность

• ■ • -> 0 ...

неьо(з)

Неподвижные тонки определяют семейства конечных подгрупп, н перо-ход от неподвижных точек большего ранга к точках меньшего ранга образует фильтрации этих семейств. Это позволяет построить спектральную последовательность в терминах не топологической, а алгебраической фильтрации.

Обозначим через группу бордиз.мов многообразий с собственным действием группы G, все стационарные подгруппы которого принадлежат семейству $ подгрупп, на котором действует группа G групповым сопряжением, и через группу бордизмов многообразий, оснащенных структурой векторного расслоения с квази-свободным действием нормализатора N(H) и стационарной подгруппой Я, в частности, это означает, что факторгруппа N(H)/H действует свободно на этих многообразиях.

Обозначим через (Х(р)), Go) группу бордизмов простран-

ства SAutjv(H) (Х(р)).

Лемма 22. Имеет место изоморфизм

nW « ф ЩВАиЩн) (ВД), N(II)/H) р

где р пробегает все унитарные не эквивалентные представления группы

Я.

Положим Iso'(S) = Isos_1(3") U Iso(S' - Isos_1(5')). Если для семейства S конечных подгрупп группы G (фактор семейство 'S/G конечно, тогда можно найти число к такое, что ¡J — Iso*-1^) = {1}- Положим

= ff-Iso*—(Ю-

Следствие 12. Пусть J — семейство конечных подгрупп группы G. Если, фактор семейство 3/G конечно, то существует спектральная по-

следоаательноапь, сходящаяся к Qf такая, что

Еы Ä ® (ф VpHl(BAutm) (Х{р)), N(H)/H)j .

[tf]erso(j„)/G \ р )

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям профессору А. С. Мищенко и профессору В. М. Мануйлову за постановку задач, постоянное внимание и интерес к работе, а также всему коллективу кафедры высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ за поддержку и внимание.

Работы автора по теме диссертации

[1| Моралес Мелендес К. Бордизмы многообразий с собственным действием дискретной группы. Вести. Моск. ун-та, сер. 1, Матем., Меха»., 2010, N0. 2, с. 57-59.

(2) Моралес Мелендес К. Описание в-расслоений на С-пространствах с квази-свободным действием дискретной группы II. доп. в ВИНИТИ № 717-В2009 от 24.11.2009, 11 стр.

[3] Моралес Мелендес К. Бордизмы многообразий с собственным действием дискретной группы, ден. в ВИНИТИ № 718-В2009 от 24.11.2009, 13 стр.

Подписано в печать 11.05.2010 Формат 60x88 1/16. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1002 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

1 Обозначения и вспомогательные результаты о действиях дискретных групп

1.1 Семейства конечных подгрупп

1.2 Линейные представления семейства конечных подгрупп.

1.3 Собственные действия на ко-компактных пространствах

1.4 Гладкие собственные действия и неподвижные точки.

2 Описание ^-расслоений на (^-пространствах с квази-свободным собственным действием дискретной группы G

2.1 Постановка задачи.

2.2 Описание частного случая

2.3 Описание общего случая квази-свободного векторного расслоения.

2.4 Случай, когда подгруппа Н < G не является нормальной.

Оглавление

2.5 Неподвижные точки.

3 Эквивариантные бордизмы для собственных действий дискретной группы

3.1 Спектральная последовательность.

Актуальность темы. Изучению множеств неподвижных точек гладких отображений и их инвариантов посвящено множество трудов.

В 1945 году, в связи с разработкой пятой проблемы Гильберта, С. Бохнер доказал линеаризуемость ее действия на близости неподвижных точек, применив меру Хаара в компактной группе.

С тех пор возник ряд вопросов о свойствах множеств неподвижных точек. Например, возник вопрос о том, какие многообразия можно встретить в качестве неподвижных точек действия некоторой компактной группы, — в частности, какова их размерность. Также возникли вопросы о линейных представлениях в разных точках многообразия.

В начале 60-х годов Коннер и Флойд [2], пытаясь привлечь современные методы алгебраической топологии для применения в задачах о неподвижных точках, обосновали теорию экви-вариантных бордизмов, создали так называемую фикспойнт-конструкцию и показали в конкретных примерах мощность этой теории. Они разработали методы описания бордизмов со свободным действием конечной группы в терминах ее классифицирующего пространства и применили свою конструкцию для вычисления бордизмов гладких инволюций.

А.С. Мищенко [1] в 1969 году применил эту конструкцию для описания бордизмов с действием циклической конечной группы простого нечетного порядка. В результате была получена длинная точная последовательность для этих бордизмов в терминах бордизмов со свободным действием и бордизмов многообразий, оснащенных структурой нормального (векторного, конечномерного) расслоения.

Большинство проблем и задач о неподвижных точках были успешно решены только для конкретных примеров компактных или конечных групп.

Тем, кому интересны результаты исследований по данной теме, рекомендуется посмотреть собрание трудов [21] конференции 1987 года, проведенной в Осаке, Япония. Основные учебные ссылки даны на книги Бредона [22], Кавакубо [20] и Дика [19].

Однако в конкретных примерах часто встречаются бесконечные дискретные группы и некомпактные группы Ли, которые, как правило, являются локально компактными. Таким образом, возникает проблема, с одной стороны, о редукции геометрических инвариантов действия групп к инвариантным действиям ее компактных или конечных подгрупп и, с другой, к инвариантным пространствам орбит. Решение последнего вопроса хорошо известно в случае свободных действий и независимо от конечное™ или компактности действующих групп. Решение первой проблемы неизбежно приводит к проблеме описания неподвижных точек.

Было отмечено [3], что один из главных инструментов для того, чтобы перевести топологические и геометрические свойства пространства с действием группы на пространство орбит — это существование так называемых орбитных разрезов, так как они позволяют применить теорию однородных пространств. Действия, для которых существуют разрезы, называются собственными. При них сохраняются хорошие топологические свойства. Также было доказано, что для других, более общих, классов действий топологические свойства уже не наследуются пространством орбит.

В настоящее время одной из основных задач в случае собственных действий является установление или опровержение достоверности всех фактов теории свободных действий.

В частности, наши усилия направлены на редукцию вычисления сигнатуры многообразия с собственным действием дискретной группы к ее вычислению на неподвижных точках. Подобные формулы можно найти для конечных групп и компактных многообразий [24].

Недавние работы С. Ильмана [16] и его ученика Т. Корп-пи [17] о инвариантных триангуляциях подтверждают, что выбранный нами путь перспективен.

Цель работы. Целью работы является получение спектральной последовательности для бордизмов многообразий с квази-свободным действием дискретной группы, а также вычисление первого члена этой спектральной последовательности и описание эквивариантных векторных расслоений с квазисвободным действием.

Методы исследования. В данной работе применяются методы алгебраической топологии (спектральные последовательности, теория эквивариантных бордизмов, классифицирующие пространства) и топологии многообразий.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.

В диссертации получены следующие результаты:

• Получено описание эквивариантных конечномерных векторных расслоений с квази-свободным действием дискретной группы в терминах классифицирующих пространств группы и ее подгрупп и линейных представлений конечных подгрупп.

• Получена спектральная последовательность для бордиз-мов многообразий с квази-свободным действием дискретной группы по фильтрации, заданной структурой множеств неподвижных точек различного ранга.

• Получено описание первого члена указанной спектральной последовательности.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к эквивариантной алгебраической топологии и могут применяться при исследовании многообразий с квази-свободным действием бесконечных групп.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

На семинаре "Некоммутативная геометрия и топология" механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. А. С. Мищенко.

На международной конференции "С*-алгебры и эллиптическая теория III" (Бедлево, Польша, 26-31 января 2009 г.).

На семинаре по топологии Института Математики Национального Автономного Университета Мексики под руководством преподавателя-ученого Хосе Луиса Сиснероса Молины.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [8, 9, 10].

Структура работы. Работа состоит из введения, 3 глав и списка литературы, содержащего 24 наименование. Общий объем диссертации — 88 страниц.

1. Мищенко А. С. Бордизмы с действием группы Zp и неподвижные точки. Матем. сборник Т. 80(122), № 3(11), 1969.

2. P. Conner, Е. Floyd. Differentiable periodic maps. Berlin, Springer-Verlag 1964.

3. Palais R.S. On the Existence of Slices for Actions of Non-Compact Lie Groups Ann. Math., 2nd Ser., Vol. 73, No. 2. (1961), pp. 295-323.

4. Bochner, S. Compact groups of differentiable transformations Ann. of Math 46(1945), 372-381.

5. Atiyah M.F., K-theory. Benjamin, New York, (1967).

6. Luke G., Mishchenko A. S., Vector Bundles And Their Applications. Kluwer Academic Publishers Group (Netherlands), 1998. ISBN: 9780792351542

7. Serre J.P., Representations linedires des groupes finis. Hermann, Paris. 1967.

8. Моралес Мелендес К. Бордизмы многообразий с собственным действием дискретной группы. Вестн. Моск. ун-та, сер. 1, Математика. Механика. 2010. No.2, с.57-59.

9. Моралес Мелендес К. Описание G-расслоений на G-пространствах с квази-свободным действием дискретной группы II. деп. в ВИНИТИ №717-В2009 от 24.11.2009

10. Моралес Мелендес К. Бордизмы многообразий с собственным действием дискретной группы, деп. в ВИНИТИ Ж718-В2009 от 24.11.2009

11. Rowlett R. The fixed-point construction in equivariant bordism Trans, of Am. Math. Soc., Vol. 246 (1978), pp. 473-481.

12. Levine M., Serpe C.,On a spectral sequence for equivariant K-theory K-Theory (2008) 38 pp. 177-222

13. Beyl F.R., Tappe J ^Groups Extensions, Representations, and the Schur Multiplicator. Springer-Verlag (Berlin Heidelberg), 1982. ISBN 354011954X

14. Brown K.S. Cohomology of groups. Springer-Verlag (New York Heidelberg Berlin), 1982.

15. Eilenberg S., MacLane S. Cohomology theory in abstract groups. II. Group extensions with a non-abelian kernel. Ann. Math., 1947, (2) 48, p. 326-341.

16. Illman, S. Existence and Uniqueness of equivariant triangulations of smooth proper G-manifolds with some applications to equivariant Whitehead torsion, J. Reine Angew. Math. 524 (2000), 129-183

17. Korppi T. Equivariant triangulations of differentiable and real-analytic manifolds with a properly discontinuousaction Annales Academise acientiarum fennicae matematica dissertationes 141: Helsinki, Suomalainen Tiedeakatemia, 2005.

18. Kawakubo, K., The Theory of Transformation Groups, Oxford Univ. Press, Oxford, 1991.

19. Kawakubo, K. Transformation Groups Proceedings of a Conference held in Osaka, Japan, Dec. 16-21, 1987. ISBN 3540-51218-7 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York

20. Bredon, G.E., Introduction to Compact Transformation Groups, Pure and Applied Math. Vol. 46, Academic Press, 1972.

21. Spanier, Edwin H. Algebraic topology, Springer (New York Heidelberg Berlin), 1966.

22. Zagier, D.B. Equivariant Pontrjagin Classes and Applications to Orbit Spaces. ISBN 3-540-06013-8. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1972