Электрические свойства нанокомпозитов металл-диэлектрик и поликристаллических полупроводников с инверсно-легированными границами зерен тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Физико-технический институт им. А.Ф.Иоффе

На правах рукописи

РОЖАНСКИЙ Игорь Владимирович

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НАНОКОМПОЗИТОВ МЕТАЛЛ -ДИЭЛЕКТРИК И ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ с ИНВЕРСНО-ЛЕГИРОВАННЫМИ ГРАНИЦАМИ

ЗЁРЕН

Специальность:

01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2004

Работа выполнена в Физико-техническом институте им. А Ф.Иоффе

научный руководитель'

доктор физико-математических наук С.А.Гуревич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А.С.Веденеев,

доктор физико-математических наук А.Н.Пихтин

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский Государственный университет,

научно-исследовательский институт физики

Защита состоится часов на заседании дис-

сертационного совета К 003.23 01 Физико-технического института им А.Ф.Иоффе РАН. 194021, Санкт-Петербург, ул Политехническая, 26.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Отзывы об автореферате в двух экземплярах, заверенные печатью, просим высылать по указанному адресу ученому секретарю диссертационного совета.

РАН

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

С.И.Бахопдин

Зййьд и® ЮН.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Одним из важных направлений современной физики твердого тела является исследование свойств новых материалов с неоднородной структурой. Значительное внимание уделяется исследованию электрических свойств различных гранулированных неупорядоченных сред, таких как нанокомпозиты металл-диэлектрик и поликристаллические полупроводники с инверсно легированными границами зёрен. Эти гранулированные материалы представляют собой систему твердотельных проводящих кластеров, гранул или зёрен, разделенных зазорами, заполненными другим материалом или расположенных вплотную друг к другу. При этом размеры, форма частиц, их взаимное расположение носит, как правило, случайный характер В таких системах возникают новые физические эффекты, принципиально связанные со статистическим разбросом указанных параметров. В то время, как структурные параметры гранулированной среды существенным образом определяют | её электрические свойства, имеются значительные трудности в опреде-

лении параметров микроструктуры этих материалов имеющимися методами диагностики Поэтому разработка новых методов анализа и моделирования структуры является важной задачей.

Фундаментальная проблема, возникающая при анализе электрических свойств гранулированных сред связана с их нерегулярной природой. Несмотря на то, что во многих случаях элементарный процесс пере-

|>Лцг|<_ЖДЛЬ»1ЛМ , 3 БИБЛИОТЕКА ] С Петербург, / / (

С. Петербург <у / I

оэ щ0»«г7/ 1

носа заряда между двумя проводящими I ранулами с фиксированными параметрами достаточно хорошо изучен, переход к макроскопическим электрическим свойствам материн та в целом, представ ляющел о собой статистический ансамбль гранул, явчяется нетривиальной задачей

В нанокомпозитах металл-диэлектрик - системах металлических кластеров манометрового рашера, разделенных диэлектрическими барьерами. микроскопический механизм прыжкового транспорта связан с эффектом 'кулоновской блокады", т.е. наличием энергетического барьера, препятствующего туннелированию электронов. При этом зарядовая энергия существенным образом зависит как от размеров гранул, так и от их взаимного расположения. Определение средней зарядовой энергии и её разброса в плотной системе металлических гранул, является актуальной задачей. Важным как с теоретической, так и прикладной точек зрения является анализ протекания макроскопического тока в металл диэлектрическом нанокомиозите зависимости электрической проводимости от структурных параметров материала, геомехрии образца, температуры и приложенного внешнего электрического поля, в частности возможности её эффективной модуляции поперечным электрическим полем.

Как и для нанокомпозитов, для поликрис1аллических полупроводников с инверсно-легированными межзеренными границами в настоящее время разработаны аналитические и численные модели зарядового хранспорта между двумя отдельными гранулами - через потенци-

альный двойной барьер Шоттки, возникающий на стыке зёрен, в го же время вопрос о переходе от свойств одной межзеренной границы к свойствам образца, содержащего большое количество зёрен в настоящее время изучен плохо. В частности, актуальной задачей является анализ электрических свойств материалов, средний размер зерен в которых сравним с шириной потенциального барьера на границе. В этом случае рассмотрение процесса электронного транспорта на основе модели одиночного барьера Шоттки вообще неприменимо, и для адекватного описания электрических свойств таких систем требуется разработка новых подходов с применением методов численного моделирования.

Гранулированные неупорядоченные материалы могут обладать электрическими свойствами, важными с точки зрения приборных применений в микро- и наноэлоктронике Важным достоинством неупорядоченных гранулированных материалов является то, что технологический процесс их получения относительно дешев и легко масштабируется, что определяет возможность широкого использования их в различных прикладных областях. С прикладной точки прения актуальной задачей является изучение возможности создания на основе таких структур новых приборов с улучшенными характеристиками. В частности, представляет интерес создание на основе нанокомпозита металл-диэлектрик полевых транзисторов, использование поликристал- -. лических керамических полупроводников в перспективных устройствах оперативной памяти, активных матрицах жидкокристаллических дис-

плеев. создание на их основе инигральных схем пассивных элементов и др.

Целью данной работы являлись

• Разработка методов анализа структурных параметров напоком-позитов металл-диэлектрик с высокой плотностью металлических наночастиц, включая определение среднего размера частиц, дисперсии размеров, параметров распределения частиц в объеме. Построение адекватной численной модели структуры поаикрисгал-лических полупроводников на основе представлений о механизме формирования зёрен.

• Изучение зависимости макроскопического электрического тока в нанокомпозитах металл-диэлектрик от параметров микроструктуры материала, геометрии образца, температуры и приложенною внешнего электрического поля. Изучение возможности модуляции электрической проводимости нанокомпозша поперечным электрическим полем. Для этого разрабохана новая чис ¡енная модель электронного прыжкового транспорча в нанокомпозитах на основе подхода молекулярной динамики, т.е путём моделирования прыжков электронов в системе металлических гранул, разделенных туннельно-прозрачными зазорами.

• Исследование электрических свойств поликристаллических полупроводников с инверсно-легированными границами зёрен, зависимости проводимости и емкости от геометрических парамет-

ров поликристаллической структуры материала и размера зёрен. При этом подход на основе решения уравнений диффузионно-дрейфового переноса заряда в полупроводниках впервые применяется совместно с моделью поликристаялической структуры на основе сетки Вороного. Такая модель позволяет проанализировать влияние геометрических параметров поликристаллической структуры на её электрические свойства, в частности впервые количественно описать переход от случая больших зёрен к случаю малых зёрен, когда средний размер зерна становится сравним с шириной потенциального барьера на межзёренной границе.

• В задачу работы входило изучение возможности использования исследованных структур для создания новых типов электронных приборов: полевых транзисторов на основе нанокомпозитов металл-диэлектрик, варисторов и миниатюрных устройств опера-'швной памяти на основе поликристаллических керамических полупроводников.

• Научная новизна работы заключается в следующем:

1 Разработана новая чисченная модель, описывающая когерентное рассеяние излучения в системе металлических частиц с учетом интерференционных эффектов Данная модель хорошо описывает экспериментальные спектры малоуглового рентгеновского рассеяния в нанокомпозитах с содержанием металла выше 10 об. %

2. Впервые проведен расчет энергии кулоновского взаимодействия в плотной системе металлических гранул с учетом их взаимной поляризации Установлена «висимость средней величины и дисперсии зарядовой энергии от объемной концентрации металлической фазы.

3. С помощью численного моделирования прыжкового транспорта методом Монте-Карло обнаружена возможность эффективной модуляции проводимости тонких пленок нанокомпозитов мегалл-диэлектрик внешним электрическим полем (эффект поля). Исследованы зависимости глубины модуляции проводимости от параметров нанокомпозитной плёнки и найдены условия, при которых такая модуляции может быть эффективной.

4 Предложена новая модель для анализа электрических свойств поликристаллических полупроводниковых материалов с инверсно-легированными границами зёрен, в которой структура поликристаллического полупроводника представлена в виде случайной трёхмерной сетки Вороного и 1ранспорт носителей на каждой межхёренной границе описывается в рамках одномерной диффузионно-дрейфовой модели. С помощью этой модели установлены зависимости параметров вольт-амперных и вольт-фарадных характеристик полупроводниковой поликристаллической структуры от легирования межзеренных границ, характера расположения зёрен.

5 Разработана двумерная диффузионно-дрейфовая модель зарядового транспорта в полупроводниковых поликристаллических материалах с субмикронными размерами зёрен. С помощью данной модели впервые получена зависимость вольт-амперной характеристики и удельной емкости поликристаллического материала от среднего размера зёрен и количественно рассчитан эффект подавления электрической емкости при уменьшении среднего размера зёрен.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

1. Разработана методика, позволяющая с высокой точностью определять параметры структуры металл-диэлектрических нанокомпо-зитов (средний размер, дисперсию, степень упорядочения структуры) в широком диапазоне объемных концентраций частиц на основе анализа экспериментальных спектров малоуглового рентгеновского рассеяния.

2. Показано, что на основе тонких пленок нанокомпозитов могут быть созданы новые быстродействующие полевые транзисторы, в которых высокая эффективность мод>ляции тока достигается за счёт эффекта поля при температурах вплоть до 300 К

3. Разработаны численные модели для расчета электрических характеристик поликристаллических полупроводников с инверсно-легированными границами зёрен. Эти модели могут примененять-

ся для расчета и оптимизации электрических свойств микроэлектронных устройств на основе поликристаллических материалов, а также Д71я расчета интегральных схем пассивных элементов (резисгор-варистор-емкость). устройствах оперативной памяти па основе поликристаллических керамических материалов.

На защиту выносятся следующие основные научные положения:

• В нанокомпозитах металл-диэлектрик, содержащих зародыши металлической фазы, распределение металлических частиц по размерам описывается ^-нормальным законом. В нанокомпозитах Су : БЮ2. полученных методом магнетронного сораспыления, в диапазоне концентраций металлической фазы 10-30 %, средний радиус частии составляет 1.5 ±0.1 нм, а логарифмическая дисперсия 0.2 ± 0.025

• В нанокомпозитах металл-диэлектрик имеется сильная зависимость величины зарядовой энергии металлических частиц от концентрации металлической фазы. При увеличении объемной концентрации металлической фазы от 5% до 20% средняя величина зарядовой энергии частиц уменьшается в 1.5 раза.

• Электрическая проводимость тонких пленок нанокомпозитов металл-диэлектрик увеличивается при приложении поперечного электрического поля (эффект поля). В пленках, состоящих из одного слоя металлических наночастиц диаметром 1.5 нм, глубина

модуляции проводимости при комнатной температуре составляет более 3-х порядков при условии малой величины случайного потенциала в структуре.

• В

поликристаллическом по чу проводнике с инверсно-легированными границами зерен электрические характеристики, такие как порог проводимости по напряжению, электрическая емкость и частотная зависимость проводимости, меняются в широких пределах при малом изменении концентрации легирующей примеси на границе, а также зависят от степени упорядоченности лоликристаллической структуры.

• В поликристаллическом полупроводнике уменьшение размеров зёрен приводит к росту порогового напряжения и уменьшению электрической емкости. Эффект становится значительным для материалов со средними размерами зёрен менее 5d (d-ширина обедненного слоя с одной стороны от границы). Этот эффект адекватно описывается двумерной диффузионно-дрейфовой моделью.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на международной конференции "International Conference on Physics of Semiconductors", Эдинбург, 2002г, на 4-й и 7-й международных конференциях "Nanostructure: Physics and Technology". С.-Пе1ербург, 1998,2001 гг., на Зимней Школе по физике полупроводников 2001,2003 гг., а также на

научных семинарах лаборатории полупроводниковой квантовой электроники ФТИ им. А.Ф.Иоффе РАН

Исследования в данном направлении были поддержаны Российским Фондом Фундаментальных Исследований (грант РФФИ N98-02-18210). Программой "Физика Твердотельных Наноструктур"МН РФ (гранил 97-2014 и 97-1035) а также персональными грантами Конкурсного Центра Фундаментального Естествознания г. С-Петербурга.

Публикации По результатам исследований, выполненных в диссертационной работе, опубликовано 14 научных работ из них б - в реферируемых журналах. Список работ приведен в конце автореферат Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитированной литера1уры Общий объем диссертации составляет 109 страниц, в том числе 74 страницы ос иовного текста, 24 рисунков на 24 страницах и 2 таблицы Список цитированной литературы включает в себя 56 наименований и занимает 7 страниц

В первой главе рассматриваются электрические свойства металл-диэлектрических нанокомпозитов.

Во введении обсуждаются особенности структуры и электрических свойств металл-диэлектрических нанокомпозитов, их преимущества и недостатки с точки зрения перспективы применения в приборах нано-электроники.

В параграфе 1 1 описывается численная модель структуры нано

композита. Нанокомпозитный материал представляется набором металлических шаров с заданным распределением по размерам, случайным образом размещенных в заданном объеме таким образом, чтобы расстояние между шарами было не меньше некоторого минимального расстояния, являющегося параметром расстановки. Излагается методика определения параметров распределения гранул по размерам на основе прямого численного моделирования рассеяния рентгеновского излучения под малыми углами на системе гранул нанокомпозита и сопоставления картины распределения интенсивности с данными эксперимента по малоугловому рентгеновскому рассеянию. Данная методика была применена для анализа структуры нанокомпозитных пленок Си : .5'г О 2, полученных методом одновременного магнетронного напыления и позволила определи 1ь параметры ^-нормального распределения гранул по размерам с высокой степенью точности: логарифмическое среднее значение радиуса частипы го = 1.4 ± 0.1 нм, логарифмическая дисперсия ¡3 = 0.200 ± 0.025.

Параграф 1.2 посвящен обсуждению ключевого параметра, определяющего электрические свойства нанокомпозита - зарядовой энергии металлических частиц. В системе с большой концентрацией металлической фазы (20-30%), типичной для нанокомнозитов с туннельным механизмом проводимости, возникает заметное отпичие зарядовой энергии от энергии уединенной гранулы из-за поляризации соседних гранул, а энергия взаимодействия соседних гранул отличается от энергии взаи-

модействия точечных зарядов Описывается разработанная методика расчета энергии электростатического взаимодействия в плотной системе металлических гранул Учет поляризации гранул производится в ли-полыюм приближении, диполь-дипольное взаимодействие не учитывается При концентрациях металлической фазы до 30-г 35% эта методика позволяет рассчитать элементы матрицы емкостных коэффициентов С с точностью до нескольких процентов. Проведенные расчеты показывают, что вследствие электростатического экранирования зарядовая энергия гранул существенно зависит от концентрации металла в структуре Так. при объемной концентрации металла 25 -г 30% средняя зарядовая энергия уменьшается вдвое по сравнению со сл\чаем уединенной гранулы.

В параграфе 1.3 описывается численная модель зарядовою транспорта в нанокомпозите Структура нанокомпозша моделируется методом, описанным в п.1.1, и представляет собой систему сферических металлических гранул, случайным образом распределенных в диэлектрической матрице, характеризуемой диэлектрической проницаемостью с. Каждая гранула характеризуется своим зарядовым состоянием он может иметь заряд —пе, 0, +пг где е заряд электрона, а и число избыточных (недостающих) электронов на грануле. Полная энергия системы вычисляется как сумма энергии заряженных гранул во внешнем электрическом поле и энергии электростатического взаимодействия гранул между собой. На каждом шаге моделирования рассчитываюн'я спектр

одноэлектронных возбуждений в системе, находящейся в данном зарядовом состоянии, и вероятности туннельных переходов электронов между гранулами, затем осуществляется процедура моделирования прыжка Рассматриваются все N х (ТУ — 1) возможных событий гунпелиро-вания с гранупы на гранулы, где N полное число гранул в системе. В соответствии с рассчитанными вероятностями с помощью стандартной процедуры Монте-Карло выбирается прыжок, который будет осуществлен на данном шаге. Таким образом, на каждом шаге итерационного процесса моделирования осуществляется один прыжок электрона. Величина тока вычисляется путем суммирования всех одноэлектронных прыжков через поперечное сечение образца.

В параграфе 1.4 обсуждаются результаты расчетов эффекта модуляции электрической проводимости тонких пленок нанокомпозитов поперечным электрическим полем (эффект поля), выполненных с помощью разработанной модели Обсуждается механизм эффекта поля в нано-композитах. Рассматриваются модельные структуры полевого транзистора на основе нанокомпозита с одним и двумя затворами Проведены численные расчеты зависимости тока с гок-исток от напряжения на затворе Исследована зависимость глубины модуляции проводимости поперечным электрическим полем от толщины нанокомпозитной пленки, величины зарядовой энерши гранул и амплитуды случайного потенциала в системе. Установлены условия, при которых такая модуляция является эффективной Такими условиями являются, малая толщина

пленки, большая по сравнению с кТ величина зарядовой энергии и малая по сравнению с зарядовой энергией амплитуда случайного потенциала. Так, в пленках, состоящих из одного слоя металлических нано-частиц диаметром 1.5 нм, глубина модуляции проводимости при комнатной температуре может составлять более 3-х порядков при условии малой величины случайного потенциала в структуре.

Во второй главе изложен подход к моделированию структуры и электричесих свойств нерегулярных гранулированных сред другого типа - поликристаллических полупроводников с инверсно-легированными границами зёрен (используется также термин "поликристаллические керамические полупроводники".

Во введении излагаются основные свойства и области применения поликристаллических поликристаллических полупроводников с инверсно-легированными границами зёрен и обсуждается роль межзе-ренных границ в формировании их электрических свойств. Указываются подходы к описанию электрических свойств таких материалов на основе численного моделирования.

В параграфе 2.1 анализируются электрические свойства плоской границы между двумя однородно-легированными полупроводниковыми зернами. Граница предполагается легированной примесью инверсного (по отношению к объемному легированию) типа, профиль этой концентрации имеет максимум на самой границе и концентрация примеси резко спадает к нулю на расстоянии от границы порядка нескольких

моноатомных слоев материала от границы. Описывается численная модель для расчета равновесного состояния и анализа зарядового транспорта через межзеренную границу Профиль электрического потенциала в отсутствие внешнего электрического ноля рассчитывается путем численного решения уравнения Пуассона и уравнения нейтральности с учетом Фермиевского распределения концентраций электронов, дырок, ионизованных акцепторов и доноров При приложении электрического поля транспорт зарядов через одиночную межзеренную границу описывается в рамках диффузионно-дрейфового приближения. В рамках модели решается нестационарная система уравнений непрерывности совместно с уравнением Пуассона. Решение соотвествующей задачи Коши реализовано неявным методом Эйлера с автоматическим выбором шага по времени, при этом на каждом шаге решается система нелинейных конечно-разностных алгебраических уравнений с помощью модифицированного метода Ньютона-Рафсопа. В последнем используется также специальный прямой метод решения систем линейных уравнений высокой размерности с несимметричной разреженной матрицей Применение указанных численных методов позволило эффекшвно справиться с основной трудностью, характерной для анализируемой физической системы - наличием резкого максимума концентрации инверсно-легирующей примеси вблизи границы зёрен.

Достигнутая эффективность численного решения в рамках данной (одномерной) модели позволила также создать двумерную модель за-

рядового транспорта в сис1еме зёрен, описанную ниже в п.2.3. Приводится ряд модельных расчетов на примере широко распространенною поликристаллическою полупроводника БгТгОз р-типа, однородно легированного N1 с инверсно легированными границами зёрен Получена зависимость высоты потенциального барьера от концентрации легирующей примеси на границе, рассчитаны вольт-амперные и волы-фарадные характеристики межзеренных границ при различных значениях концентрации инверсно- легирующей примеси Расчет временнбй эволюции системы при наложении нестационарных граничных условий позволяет установить частотные характеристики границы. Обсуждается влияние концентрации примеси на границе зёрен на электрическую проводимость и емкость, определена оптимальная концентрация примеси с точки зрения достижения максимальной электрической емкости.

В параграфе 2.2 обсуждается переход от электрических свойств одиночной межзеренной границы к свойствам поликристаллического образца, содержащего достаточно большое число зёрен. Предложена численная модель зернистой структуры материала, основанная на трехмерном построении Вороного. Сетка Вороного строится на наборе начальных узлов зародышей, определенным образом размещенных в образце, имеющем форму параллелепипеда. Ячейки сетки рассматриваются как зёрна, а грани как межзеренные границы. Для каждой границы вычисляются вольт-амперные и вольт-фарадные характеристики с помощью одномерной диффузионно-дрейфовой модели, описанной в параграфе

2 1В дальнейшем границы зёрен рассматриваются как элементы электрической схемы, обладающие заданными нелинейными электрическими характеристиками и соединенными между собой в соответствии с топологией построенной сетки Вороною, при этом электрическое сопротивление внутренней час л и зерна полагается малым по сравнению с сопротивлением границ. Такой подход (квазитрехмерная модель) корректен в случае, когда характерные размеры зерен существенно превышают ширину области объемного заряда вблизи межзеренной границы. Толщина этого слоя в зависимости ог условий легирования материала может составлять 10 нм - 10 мкм. С помощью квазитрехмерной модели исследовано влияние схепени упорядоченности иоликристалличе-ской структуры материала на вид вольт амперной характеристики и пороговое напряжение. Приведен пример расчета вольт-амперной и вольт-фарадной характеристик для образца, в котором инверсно-легирующая примесь вследствие диффузии вдоль межзеренных границ с поверхности образца распределена макроскопически неоднородно.

При уменьшении размеров зерен до значений, сравнимых с толщиной приграничного обедненного слоя, возникает перекрытие областей объемного заряда соседних межзеренных границ При этом опис анный в п 2.2 метод сетки независимых нелинейных электрических элементов становится неприменим. В параграфе 2.3 изложен подход, позволяющий с помощью численного моделирования провести расчет зарядового транспорта в поликристаллических полупроводниках с малыми

размерами зёрен. Для корректного описания таких материалов разработана двумерная диффузионно-дрейфовая модель зарядового транспорта в системе многих зерен. Поликристаллическая структура материала описывается двумерной сеткой Вороного, однако, в отличие от квазитрехмерного подхода, изложенного в п.2.2. это построение используется только для задания распределения концентрации инверсно-легирующей примеси, сосредоточенной вблизи межзеренных 1раниц. При заданных профилях легирования материала расчет электрических характеристик выполняется с помощью двумерной диффузионно-дрейфовой модели сразу для всей системы, содержащей несколько монокристаллических зёрен Применение эффективных численных методов для решения уравнений модели, описанных в п.2.1 позволило проводить расчет для систем, содержащих несколько десятков з^рен.С помощью разработанной численной модели впервые рассчитана зависимость вольт-амперной характеристики от среднего размера зёрен и количественно описан эффект уменьшения удельной электрической емкости, связанный с перекрытием областей объемного наряда соседних межзеренных границ Определён минимальный размер зерна, при котором эффект уменьшения удельной емкости еще не является критичным.

В заключении сформулированы основные результаты дис сертацион-ной работы.

Заключение

Основные результаты диссертационной работы сводятся к следую-

щему:

• Разработана

численная модель структуры металл-диэлектрического наноком-позиаа и методика определения параметров распределения металлических наночастиц по размерам на основе прямого численного моделировании интенсивности малоуглового рентгеновского рассеяния. Установлено, что в металл-диэлектрических наиокомпози-тах Cu:Si02. полученных методом магнетронного сораспыления, имеется log-нормальное распределение гранул по размерам, средний радиус частиц составляет 1.5 ± 0.1 нм, а логарифмическая дисперсия 0.2 ± 0.025.

• Создана численная модель электрической проводимости наноком-позигов материале, основанная на расчете вероятностей туннели-рования электронов и моделировании электронных прыжков методом Монте-Карло. Модель учитывает наличие в структуре случайного потенциала, дисперсию размеров гранул, корреляцию в их расположении, а также отличие кулоновского взаимодействия гранул от взаимодействия точечных зарядов. С помощью разработанной модели проведен расчет эффекта поля в тонких пленках нанокомпозита, установлен критерий эффективной модуляции продольной проводимости пленки поперечным электрическим полем.

• Разработана новая двумерная диффузионно-дрейфовая модель

перенога заряда в поликрис1аллических керамических полупроводниках с инверсно-легированными межзерепными границами Поликристаллический полупроводник представлен как система потецниальных барьеров, возникающих на границах однородно легированных монокрж 1аллических зёрен.

• Впервые проведен расчет вольт-амперной характеристики (ВАХ) и электрической емкости поликристаллического керамического образца, в том числе содержащего монокристаллические зёрна субмикронных размеров. Показано, что при отношении ширины обедненной области к размеру зерна £ = 0.4 изменяется характер зависимости ВАХ и удельной емкости от числа межзеренных I раниц и происходит рост порогового напряжения

• С помощью созданной двумерной модели теоретически установлены оптимальный размер зёрен и оптимальный уровень легирования межзеренных границ, необходимые для достижения максимальной электрической емкости поликристаллическою полупроводника.

Основные содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. S.A.Gurevich, V.M.Kuznetsov, V.M Kozhevin, D.A.Yavsin, D.A.Zakheim, V.V.Khorenko, I.V.Rozhansky. "Fabrication and electrical properties of the monolayer of oxidized nanometer-size

mctallic granules", Proc. of Int. Symp. "Nanostrvctures Phystcs and Technology", St.-Petersburg, p.344 (1998)

2. Д.А.Закгейм, И.В.Рожанский, С.А Гуревич, "Электростатическая энергия неупорядоченной системы металлических гранул", Письма в ЖЭТФ, 70. 100 (1999)

3. Д.А.Закгейм, И.В.Рожанский, И.П.Смирнова, С.А.Гуревич, "Температурная зависимость проводимости композитных пленок Си : SiOi - эксперимент и численное моделирование", ЖЭТФ, 91. 553 (2000)

4. И.В.Рожанский, Д.А.Закгейм "Моделирование проводимости гранулированных пленок, школа по физике полупроводников", Тезисы докладов международной зимней школы по физике полупроводников, С.Петербург, 2000, стр.14

5. И.В.Рожанский, Д.А.Закгейм, Т.Н.Василевская. С.А.Гуревич, "Анализ структуры композитных металл-диэлектрических материалов методом матоуглового рентгеновского рассеяния". ФТТ, 43, 892 (2001).

6. Д.А.Закгейм, И.В.Рожанский, "Полевой эффект в гранулированных металлических пленках", Тезисы докладов итогового семинара по физике и астрономии по результатам конкурса грантов для молодых ученых С -Петербурга, cip.40 (2001)

7. I.V. Rozhansky, D.A.Zakheim "Modeling of the electrical properties of polycrystalline semiconductor ceramics", Proc of 26th International Conference on Physics of Semicondcutors (ICPS-26), P275 (2002)

8. D.A. Zaklieim, I.V. Rozhansky, I.P. Smnnova, S.A. Gurevich, "Field effect in thin granulated metal films", Proc. of Int. Symp. "Nanostructures: Physics and Technology", St.-Peteisburg (2001)

9 И В.Рожанский, Д.А.Закгейм, "Моделирование электрических свойств поликристаллических керамических полупроводников", Тезисы докладов итогового семинара по физике и астрономии по результатам конкурса грантов для молодых ученых С.Петербурга, стр.40 (2002)

10 D.A Zakheim. S.A. Gurevich, I V. Rozhansky, T.P. Smirnova, Y.M. Kozhevin, D A. Yavsin , "Two types of granular metal films-applicability for field-effect devices". Proc of 7th international conference on nanometer-scale science and technology (nano-7), TH-P-030 (2002)

11. D.A.Zakheim, I.V.Rozhansky,S.A.Gurevich "Field effect in granular metal films", Nanotechnology, 14, 366 (2003)

12. I.V.Rozhansky,D.A.Zakheim "Modelling of the electrical properties of polycrystalline semiconductor ceramics", Тезисы докладов конференции "1st International Meeting on Applied Physics"(APHYS 2003), 7-209 (2003)

13. DA Zakheim. SA. Gurevirh, I.V Ro/hansky, I.P. Smirnova, V.M Kozhevin, D A Yavsin , "Two types of granular metal films applicability for field-effect devices", Surface Science, 532-535, 1187 (2003).

14. И.В.Рожанский, "Моделирование электрических свойств поликристаллических полупроводников", Тезисы докладов международной зимней школы по физике полупроводников, стр. 13 (2003)

Подписано в печать /<? 4? ЯХ>У _ формат 60x84/16. Печать офсетная. Уч. печ. л. ■{, 5 . Тираж /¿V . Заказ .

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая, 29.

p-1 Ol®

РНБ Русский фонд

2006-4 3194

î

Введение

1 Физические свойства нанокомпозитов

1.1 Моделирование структуры нанокомпозитов.

1.2 Электростатическая энергия системы металлических паногранул

1.3 Прыжковая проводимость в системе металлических наногранул

1.4 Эффект поля.

2 Физические свойства и структура поликристаллических керамических полупроводников

2.1 Свойства одиночной межзеренной границы

2.2 Квазитрехмерная модель на основе сетки Вороного.

2.3 Двумерная диффузионно-дрейфовая модель.

Актуальность темы.

Одним из важных направлений современной физики твердого тела является исследование свойств новых материалов с неоднородной структурой. Значительное внимание уделяется исследованию электрических свойств различных гранулированных неупорядоченных сред, таких как нанокомиозиты металл-диэлектрик и поликристаллические полупроводники с инверсно-легированными границами зёрен. Эти гранулированные материалы представляют собой систему твердотельных проводящих кластеров, гранул или зёрен, разделенных зазорами, заполненными другим материалом или расположенных вплотную друг к другу. При этом размеры, форма частиц, их взаимное расположение носит, как правило, случайный характер. В таких системах возникают новые физические эффекты, принципиально связанные со статистическим разбросом указанных параметров. В то время, как структурные параметры гранулированной среды существенным образом определяют её электрические свойства, имеются значительные трудности в определении параметров микроструктуры этих материалов имеющимися методами диагностики. Поэтому разработка новых методов анализа и моделирования структуры является важной задачей.

Фундаментальная проблема, возникающая при анализе электрических свойств гранулированных сред связана с их нерегулярной природой. Несмотря на то, что во многих случаях элементарный процесс переноса заряда между двумя проводящими гранулами с фиксированными параметрами достаточно хорошо изучен, переход к макроскопическим электрическим свойствам материала в целом, представляющего собой статистический ансамбль гранул, является нетривиальной задачей.

В нанокомпозитах металл-диэлектрик - системах металлических кластеров манометрового размера, разделенных диэлектрическими барьерами, микроскопический механизм прыжкового транспорта связан с эффектом "кулоновской блокады", т.е. наличием энергетического барьера, препятствующего туннелированию электронов. При этом зарядовая энергия существенным образом зависит как от размеров гранул, так и от их взаимного расположения. Определение средней зарядовой энергии и её разброса в плотной системе металлических гранул, является актуальной задачей. Важным как с теоретической, так и прикладной точек зрения является анализ протекания макроскопического тока в металл-диэлектрическом нанокомпозите, зависимости электрической проводимости от структурных параметров материала, геометрии образца, температуры и приложенного внешнего электрического поля, в частности возможности её эффективной модуляции поперечным электрическим полем.

Как и для нанокомпозитов, для поликристаллических полупроводников с инверсно-легированными межзёренными границами в настоящее время разработаны аналитические и численные модели зарядового транспорта меж;;у двумя отдельными гранулами - через потенциальный двойной барьер Шоттки, возникающий на стыке зёрен, в то же время вопрос о переходе от свойств одной межзе-ренной границы к свойствам образца, содержащего большое количество зёрен в настоящее время изучен плохо. В частности, актуальной задачей является анализ электрических свойств материалов, средний размер зёрен в которых сравним с шириной потенциального барьера на границе. В этом случае рассмотрение процесса электронного транспорта на основе модели одиночного барьера Шоттки вообще неприменимо, и для адекватного описания электрических свойств таких систем требуется разработка новых подходов с применением методов численного моделирования.

Гранулированные неупорядоченные материалы могут обладать электрическими свойствами, важными с точки зрения приборных применений в микро- и нано-электронике. Важным достоинством неупорядоченных гранулированных материалов является то, что технологический процесс их получения относительно дешев и легко масштабируется, что определяет возможность широкого использования их в различных прикладных областях. С прикладной точки зрения актуальной задачей является изучение возможности создания на основе таких структур новых приборов с улучшенными характеристиками. В частности, представляет интерес создание на основе нанокомпозита металл-диэлектрик полевых транзисторов, использование поликристаллических керамических полупроводников в перспективных устройствах оперативной памяти, активных матрицах жидкокристаллических дисплеев, создание па их основе интегральных схем пассивных элементов и др.

Целью данной работы являлись

• Разработка методов анализа структурных параметров нанокомпозитов металл-диэлектрик с высокой плотностью металлических наночастиц, включая определение среднего размера частиц, дисперсии размеров, параметров распределения частиц в объеме. Построение адекватной численной модели структуры поликристаллических полупроводников на основе представлений о механизме формирования зёрен.

• Изучение зависимости макроскопического электрического тока в наноком-позитах металл-диэлектрик от параметров микроструктуры материала, геометрии образца, температуры и приложенного внешнего электрического поля. Изучение возможности модуляции электрической проводимости нано-комиозита поперечным электрическим полем. Для этого разработана новая численная модель электронного прыжкового транспорта в нанокомпозигах на основе подхода молекулярной динамики, т.е. путём моделирования прыжков электронов в системе металлических гранул, разделенных туинельно-прозрачными зазорами.

• Исследование электрических свойств поликристаллических полупроводников с инверсно-легированными границами зёрен, зависимости проводимости и емкости от геометрических параметров поликристаллической структуры материала и размера зёрен. При этом подход на основе решения уравнений диффузионно-дрейфового переноса заряда в полупроводниках впервые применяется совместно с моделью поликристаллической структуры на основе сетки Вороного. Такая модель позволяет проанализировать влияние геометрических параметров поликристаллической структуры на её электрические свойства, в частности впервые количественно описать переход от случая больших зёрен к случаю малых зёрен, когда средний размер зерна становится сравним с шириной потенциального барьера на межзёренпой границе.

• В задачу работы входило изучение возможности использования исследованных структур для создания новых типов электронных приборов: полевых транзисторов на основе нанокомпозитов металл-диэлектрик, варисторов и миниатюрных устройств оперативной памяти на основе поликристаллических керамических полупроводников.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработана новая численная модель, описывающая когерентное рассеяние излучения в системе металлических частиц с учетом интерференционных эффектов. Данная модель хорошо описывает экспериментальные спектры малоуглового рентгеновского рассеяния в ианокомпозитах с содержанием металла выше 10 об. %

2. Впервые проведен расчет энергии кулоновского взаимодействия в плотной системе металлических гранул с учетом их взаимной поляризации. Установлена зависимость средней величины и дисперсии зарядовой энергии от объемной концентрации металлической фазы.

3. С помощью численного моделирования прыжкового транспорта методом Монте-Карло обнаружена возможность эффективной модуляции проводимости тонких пленок панокомпозитов металл-диэлектрик внешним электрическим полем (эффект поля). Исследованы зависимости глубины модуляции проводимости от параметров папокомпозитной плёнки и найдены условия, при которых такая модуляции может быть эффективной.

4. Предложена новая модель для анализа электрических свойств поликристаллических полупроводниковых материалов с инверсно-легированными границами зёрен, в которой структура поликристаллического полупроводника представлена в виде случайной трёхмерной сетки Вороного и транспорт носителей на каждой межхёренной границе описывается в рамках одномерной диффузионно-дрейфовой модели. С помощью этой модели установлены зависимости параметров вольт-амперных и вольт-фарадных характеристик полупроводниковой поликристаллической структуры от легирования межзе-ренных границ, характера расположения зёрен.

5. Разработана двумерная диффузионно-дрейфовая модель зарядового транспорта в полупроводниковых поликристаллических материалах с субмикронными размерами зерен. С помощью данной модели впервые получена зависимость вольт-амперной характеристики и удельной емкости поликристаллического материала от среднего размера зёрен и количественно рассчитан эффект подавления электрической-емкости при уменьшении среднего размера зёрен.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

1. Разработана методика, позволяющая с высокой точностью определять параметры структуры металл-диэлектрических нанокомпозитов (средний размер, дисперсию, степень упорядочения структуры) в широком диапазоне объемных концентраций частиц на основе анализа экспериментальных спектров малоуглового рентгеновского рассеяния.

2. Показано, что на основе тонких пленок нанокомпозитов могут быть созданы новые быстродействующие полевые транзисторы, в которых высокая эффективность модуляции тока достигается за счёт эффекта ноля при температурах вплоть до 300 К.

3. Разработаны численные модели для расчета электрических характеристик поликристаллических полупроводников с инверсно-легированными границами зёрен. Эти модели могут примененяться для расчета и оптимизации электрических свойств микроэлектронных устройств на основе поликристаллических материалов, а также для расчета интегральных схем пассивных элементов (резистор-варистор-емкость), устройствах оперативной памяти на основе поликристаллических керамических материалов.

На защиту выносятся следующие основные научные положения:

• В нанокомпозитах металл-диэлектрик, содержащих зародыши металлической фазы, распределение металлических частиц по размерам описывается

-нормальным законом. В нанокомпозитах Си : 5г02, полученных методом магнетронного сораспыления, в диапазоне концентраций металлической фазы 10-30 %, средний радиус частиц составляет 1.5 ± 0.1 нм, а логарифмическая дисперсия 0.2 ± 0.025.

В нанокомпозитах металл-диэлектрик имеется сильная зависимость величины зарядовой энергии металлических частиц от концентрации металлической фазы. При увеличении объемной концентрации металлической фазы от 5% до 20% средняя величина зарядовой энергии частиц уменьшается в 1.5 раза.

Электрическая проводимость тонких пленок нанокомпозитов металл-диэлектрик увеличивается при приложении поперечного электрического ноля (эффект поля). В пленках, состоящих из одного слоя металлических нано-частиц диаметром 1.5 нм, глубина модуляции проводимости при комнатной температуре составляет более 3-х порядков при условии малой величины случайного потенциала в структуре.

В поликристаллическом полупроводнике с инверсно-легированными границами зерен электрические характеристики, такие как порог проводимости по напряжению, электрическая емкость и частотная зависимость проводимости, меняются в широких пределах при малом изменении концентрации легирующей примеси на границе, а также зависят от степени упорядоченности поликристаллической структуры.

В поликристаллическом полупроводнике уменьшение размеров зёрен приводит к росту порогового напряжения и уменьшению электрической емкости. Эффект становится значительным для материалов со средними размерами зёрен менее 5с1 (ё-ширина обедненного слоя с одной стороны от границы).

Этот эффект адекватно описывается двумерной диффузионно-дрейфовой моделью.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на 4-й и 7-й международных конференциях "Nanostructure: Physics and Technology", С.-Петербург, 1998,2001 гг., на международной конференции "International Conference on Physics of Semiconductors", Эдинбург, 2002г, на Зимней Школе по физике полупроводников 2001,2003 гг., а также на научных семинарах лаборатории полупроводниковой квантовой электроники ФТИ им. А.Ф.Иоффе РАН.

Исследования в данном направлении были поддержаны Российским Фондом Фундаментальных Исследований (грант РФФИ N98-02-18210), Программой "Физика Твердотельных Наноструктур"МН РФ (гранты 97-2014 и 97-1035), а также персональными грантами Конкурсного Центра Фундаментального Естествознания г. С.-Петербурга.

Публикации. По результатам исследований, выполненных в диссертационной работе, опубликовано 13 научных работ, из них G-в реферируемых изданиях. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитированной литературы. Общий объем диссертации составляет 109 страниц, в том числе 74 страницы основного текста, 24 рисунков на 24 страницах и 2 таблицы. Список цитированной литературы включает в себя 52 наименования и занимает 7 страниц.

Основные результаты диссертационной работы сводятся к следующему:

• Разработана численная модель структуры нанокомпозита и методика определения параметров распределения наногранул по размерам на основе прямого численного моделировании интенсивности малоуглового рентгеновского рассеяния. Установлено, что в металл-диэлектрических нанокомпозитах Си:ЗЮ2, полученных методом магнетронного сораспыления имеется нормальное распределение гранул по размерам, средний радиус составляет 1.5+-1 пш, а логарифмическая дисперсия 0.2+-0.025.

• Создана численная модель электрической проводимости в нанокомпозитном материале, основанная на расчете вероятностей туннелирования электронов и моделировании электронных прыжков методом Мопте-Карло. Модель учитывает наличие в структуре случайного потенциала, дисперсию размеров гранул, корреляцию в их расположении, а также отличие кулоновского взаимодействия гранул от взаимодействия точечных зарядов. С помощью разработанной модели проведен расчет полевого эффекта в тонких пленках нанокомпозита, установлен критерий эффективности модуляции продольной проводимости пленки поперечным электрическим полем.

• Разработана новая двумерная диффузионно-дрейфовая модель электронного переноса в поликристаллических керамических полупроводниках. Поликристаллический полупроводник представлен как система двойных барьеров Шоттки, возникающих на границах монокристаллических зёрен.

• Впервые проведен расчет вольт-амперной характеристики и электрической емкости поликристаллического керамического образца, в том числе содержащего монокристаллические зёрна субмикронных размеров. Показано, что при отношении ширины обедненной области к размеру зерна £ = 0.4 резко изменяется характер зависимости ВАХ и удельной емкости от числа межзе-ренных границ и происходит рост порогового напряжении.

• С помощью созданной двумерной модели теоретически установлены оптимальный размер зёрен и оптимальный уровень легирования межзеренных границ, необходимые для достижения максимальной электрической емкости образца.

Основные содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. S.A.Gurevich, V.M.Kuznetsov, V.M.Kozhevin, D.A.Yavsin, D.A.Zakheim, V.V.Khorenko, I.V.Rozhansky, "Fabrication and electrical properties of the monolayer of oxidized nanometer-size met allie granules", Proc. of Int. Syrnp. "Nanostructures: Physics and Technology", St.-Petersburg, p.344 (1998)

2. Д.А.Закгейм, И.В.Рожанский, С.А.Гуревич, "Электростатическая энергия неупорядоченной системы металлических гранул", Письма в ЖЭТФ, 70, стр. 100 (1999)

3. Д.А.Закгейм, И.В.Рожанский, И.П.Смирнова, С.А.Гуревич, "Температурная зависимость проводимости композитных пленок Си : SiÖ2 - эксперимент и численное моделирование", ЖЭТФ, 91, 553 (2000)

4. Д.А.Закгейм, И.В.Рожанский, "Моделирование электрической проводимости гранулированных металлов - мезоскопический и макроскопические режимы", Тезисы докладов итогового семинара по физике и астрономии по результатам конкурса грантов для молодых ученых С.-Петербурга, стр. 13 (1999) . •

5. И.В.Рожанский, Д.А.Закгейм, Т.Н.Василевская, С.А.Гуревич, "Анализ структуры композитных металл-диэлектрических материалов методом малоуглового рентгеновского рассеяния", ФТТ, 43 (2001).

6. D.A. Zakheim, I.V. Rozhansky, S.A. Gurevich Monte-Carlo simulation of electron transport and field effect in granular métal nanostructures, Microelectronic Engineering, G9 (2003), G46-652

Автор выражает благодарность Сергею Александровичу Гуревичу за руководство и внимание уделяемое работе, Дмитрию Александровичу Закгейму за непосредственное участие в исследованиях, обсуждение результатов, Никите Сергеевичу Аверкиеву за обсуждение результатов, представленных в диссертационной работе, С.П.Воскобойникову за ценные консультации по вопросам численного моделирования, а также моим коллегам - сотрудникам лаборатории полупроводниковой квантовой электроники.

Заключение

1. W. Chen, H.Ahmed, K.Nakazoto, Appi. Phys. Lett, 66, 3383 (1995)

2. K.Likharev, "Single-Electronics: Correlated transfer of single electrons in ultrasmall junctions, arrays, and systems", Granular Narwelectronics, ed. l)y D. Ferry et al., Plenum, New-York, p.371 (1991)

3. T.Claeson, K.Likharev, "Single Electronics", Single Electroinc^. Scientific American, 266, p.80 (1992) 13.

4. K.K.Likharev, IEEE Trans.Magn., 23, 1142 (1987) 23(2), p.ll38 (1987)

5. N.J.Stone, H.Ahmed,"Silicon single electron memory cell", Appl. Phys. Lett., 73, 2134 (1998)

6. B.Abeles, P.Sheng, M.D.Coutts, Y.Arie, Adv. Physics, 24, 407 (1975)

7. P.Sheng, Philosophical Magazine B, 65, 357 (1992)

8. Zakheim D.A., Rozhansky I.V., Smirnova LP., Gurevich S.A., JEIT, 91, 553 (2000).

9. D.A. Zakheim, S.A. Gurevich, I.V. Rozhansky, LP. Smirnova, V.M. Kozhevin, D.A. Yavsin Surface Science, 532, 1187 (2003)

10. L.C.Shen, C.Liu, J.Korringa, K.J.Dunn J- of Appl. Phys.,

11. Д.А.Закгейм, И.В.Рожанский, А.Гуревич, Письма в ЖЭГФ, 70,100 (1999)

12. В.В.Батыгин, И.Н.Топтыгин, Сборник задач по электродинамике, М., Наука, 1970, 53.

13. T.Chui, G.Dcutscher, P.Lindenfeld, W.L.McLean, "Conduction in granular aluminum near the metal-insulator transition", Phys. Rev. B, 23 (11), p.G172 (1981)

14. S.Barzilai, Y.Goldstein, LBalberg, J.S.Helman, "Magnetic and transport properties of granular cobalt films", Phys. Rev. B, 23 (4), p.l809 (1981) 67, 7071 (1990).

15. D.A.Zakheim, I.V.Rozhansky,S.A.Gurevich, Nanotechnology, 14, 366 (2003)

16. N.Setter, R.Waser, Acta.mater. 48, 151 (2000)

17. N.Setter, J.Europ.Ceram Soc, 21, 1279 (2001)

18. R.Waser, R.Hagenbeck, Acta.mater. 48, 797 (2000)

19. К.М.Дощано1!,Ф7^Я, 32, 6 (1998)

20. Faruque M. Hossain, J. Nishii, S.Takagi, ./.Appl.Phys., 94, 7768 (2003)

21. H.-Y.Lee, J.-S.Kim, S.-J. Kang,/nterf. Sci., 8, 223 (2000)

22. LV. Rozhansky, D.A.Zakheim "Modeling of the electrical properties of polycrystalline semiconductor ceramics", Proc. of 26th International Confc^rcrnce on Physics of Semicondcutors (ICPS-26), P275 (2002)

23. L.M.Levinson. H.R.Philipp, Am.Ceram.Soc.Bull. 65, 639 (1986) /ir f^

24. G.E.Pike, Phys.Rev.B, 30, 795 (1984)

25. G.Blatter, F.Greuter, Phys.Rev.B, 34, 8555 (1986)

26. D.E.Kotecki et al., IBM J.Res.Develop, 3,1999

27. R.Hagenbeck,et al. Mater.Sci.Eng. B, B39, 179 (1996)

28. T.Holbing, R.Waser, J.Appl.Phys. 91, 3037 (2002)

29. M.Bartkowiak, G.D.Mahaii, Phys. Rev., B51, 10825 (1995)

30. I.V.Rozhansky, D.A. Zakheim, Modeling of the electrical properties of polycrystalline semiconductor ceramics, Int. Coiif, Physics of Semiconductors ICPS, Edinburgh (UK), 2002

31. M.Volmann, R.Waser, J.Electroceramics 1, 51 (1997)

32. T..Shimizu, N.Gotoh, N.Shinozaki,H.Okushi Appl.Surf.Sci 117/118, 400 (1997)

33. M.Kuwabara, H.Matsuda, Y.Ohba J.Mater.Sci. 34, 2635 (1999)

34. I.V.Rozhansky, D.A. Zakheim, Modeling of the electrical properties of polycrystalline semiconductor ceramics, Int.Conf. Applied Physics APHYS, Badajos, Spain, 2003 j51. В.Л.Вонч-Бруевич, Г.Калашииков, Физика полупроводников. М.:"Наука",1990

35. Т. А. Davis, UMFPACK Version 4.1 User Guide, http://www.ci.se.ufl.edu/research/sparse/umfpack/ (2003)

36. Р.П.Федоренко, Введение в вычислительную физику, М., 1994 0<.

37. Н.Н.Медведев, Метод Вороного-Делоне в исследовании структуры некрти- сталлических систем, Новосибирск, 2000