Электрогидродинамическая устойчивость некоторых микротечений с концентрационной поляризацией тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

004613374 „

На правах рукописи

Полянских Сергей Валерьевич

Электрогидродинамическая устойчивость некоторых микротечений с концентрационной поляризацией

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 5 НОЯ 2010

Москва - 2010

004613874

Работа выполнена на кафедре ЭММиМ Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

Научный руководитель: д-р. физ.-мат. наук

Е.А. Демёхин

Официальные оппоненты: д-р. физ.-мат. наук, профессор

В.А. Полянский д-р. физ.-мат. наук A.A. Шутов

Ведущая организация: Южный федеральный университет

Защита состоится 3 декабря 2010 года в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.89 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, д. 1, Главное здание МГУ, механико—математический факультет, аудитория 16-24. » , *' И

»V

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан « В » октября 2010 года.

Учёный секретарь диссертационного совета, д-р. физ.-мат. наук

А.Н. Осипцов

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Современный интерес к электрогидродинамике и, в частности, к микротечениям, движимым внешним электрическим полем, связан, прежде всего, с конкретными прикладными задачами и требованием времени — постоянной тенденцией к миниатюризации приборов и устройств. Задачи электрогидродинамики микро- и наномасштабов привлекают большое внимание исследователей в связи с широкой областью их применения, в основном, в нано— и биотехнологиях. Кроме практического имеется также и чисто теоретический интерес к микротечениям в условиях концентрационной поляризации, которые могут порождать когерентные структуры, а также демонстрировать хаотическую динамику в этих масштабах.

Несмотря на обилие экспериментальных и теоретических исследований по данной тематике, внедрение как классических, так и новых приложений электрогидродпнамики тормозится недостатком знаний о физических механизмах динамики жидкости во внешнем электрическом поле. Новыми являются задачи электрогидродинамики малых масштабов. В этих задачах доминирующими становятся электрокинетические эффекты и эффекты концентрационной поляризации.

В настоящей работе рассматриваются две задачи современной электрогидродинамики малых масштабов: 1) задача об электроконвекции в ионообменных мембранах; 2) задача о динамике капиллярной струи во внешнем переменном электрическом поле. В обеих задачах решающую роль играют эффекты концентрационной поляризации. Предлагаемые модели дадут качественную картину механизмов потери гидродинамической устойчивости в рассматриваемых задачах, а также позволят теоретически получить необходимые для приложений численные значения параметров смены устойчивости без проведения дорогостоящих экспериментов.

Основной целью диссертационного исследования является теоретическое исследование некоторых появившихся в последнее время вопросов течения и устойчивости жидкости в микромасштабах под действием постоянного и переменного электрического поля в условиях концентрационной поляризации ионов в растворе жидкости.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Вывести асимптотическую систему уравнений, описывающую двумерную электроконвекцию в ионообменных мембранах.

2. Выявить существование и описать электроконвекгивную неустойчивость в ионообменных мембранах на нестационарной стадии развития процесса.

3. Вывести асимптотическую систему уравнений, описывающую среднюю динамику капиллярной микроструи в продольном сильноосциллиру-ющем электрическом поле.

4. Теоретически исследовать неустойчивость и распад капиллярной микроструи в продольном сильноосциллирующем электрическом поле.

Научная новизна. При решении поставленных в диссертационной работе задач получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту.

1. Вывод асимптотической системы уравнений, описывающей двумерную электроконвекцию в ионообменных мембранах в пределе малого числа Дебая.

2. Вывод промежуточной асимптотики одномерного нестационарного решения задачи об электроконвекции в ионообменных мембранах.

3. Доказательство и исследование неустойчивости этого решения как сценария перехода к электроконвекции в ионообменных мембранах.

4. Исследование неустойчивости и распада капиллярной микроструи в переменном электрическом поле.

Практическое значение. Полученные результаты и выводы об устойчивости исследуемых микротечений, во—первых, помогут определить новые подходы к технологии проектирования и использования полупроницаемых ионообменных мембран и, во—вторых, могут быть использованы в технологиях создания устойчивых микроструй и монодисперсных капель.

Достоверность полученных результатов обусловлена применением классических математических и надёжных численных методов, сопоставлением полученных теоретических результатов с прямым численным счётом, работами других авторов и экспериментами, где это возможно.

Апробация работы. Результаты диссертационного исследования представлялись на девяти научных конференциях:

• Международная конференция "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность" ("НеЗаТеГиУс и турбулентность"), г. Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 24 февраля—2 марта 2008 г.

• Международная конференция "Microfluidics 2008", г. Болонья (Италия), Болоиский университет, 10—12 декабря 2008 г.

• Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений", г. Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 30 марта—2 апреля 2009 г.

• Международная конференция "Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей", г. Санкт—Петербург, СПбГУ, 22-26 июня 2009 г.

• Международная конференция "Two—phase systems for ground and space applications", г. Новосибирск, Институт теплофизики CO РАН, 6-8 сентября 2009 г.

• XXXIX Уральский семинар "Механика и процессы управления", г. Екатеринбург, УрО РАН, 22-24 декабря 2009 г.

• Международная конференция "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность" ("НеЗаТеГиУс и турбулентность"), г. Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 28 февраля—7 марта 2010 г.

• XIV Международная конференция "Современные проблемы механики сплошной среды", г. Ростов-на-Дону, г. Азов, ЮФУ, 19—24 июня 2010 г.

• XVI школа-семинар "Современные проблемы аэрогидродинамики", г. Сочи, "Буревестник" МГУ им. М.В. Ломоносова, 6-16 сентября 2010 г.,

а также докладывались и обсуждались на научных семинарах:

• Семинар кафедры аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством академика Г.Г. Черного, 18 марта 2010 г.

• Семинар по аэромеханике в НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством академика Г.Г. Чёрного, 19 мая 2010 г.

• Семинар лаборатории физико-химической гидродинамики НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством доктора физ—мат. наук, профессора В.А. Полянского, 11 октября 2010 г.

Проведённые исследования были поддержаны научными фондами:

• Российский фонд фундаментальных исследований, грант на участие в конференции 'МсгойшсКсз 2008", проект № 08-01-09309-моб_з (руководитель), 2008-2009 г.

• Российский фонд фундаментальных исследований, грант "Неустойчивость и распыливание жидких капель и струй в переменном электрическом поле", проект № 08-01-00005-а (исполнитель), 2008-2010 гг.

Доклад на международной конференции "НеЗаТеГиУс и турбулентность" 2008 г. удостоен медали имени академика Г.И. Петрова за лучшую работу конкурса молодых учёных в области гидродинамической устойчивости и турбулентности (регистрационный № 2008-9).

На программный комплекс "Расчёт основных характеристик устойчивости электроконвективного течения в плоских катионообменных мембранах" получено авторское свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010611247 от 12.02.10.

Публикации и личный вклад автора. Основное содержание и результаты диссертационного исследования изложены в восемнадцати работах [1 — 18], в том числе в четырёх статьях [1 — 4] в рекомендованных ВАК журналах. Работы [5, 8—10] выполнены соискателем лично. В работах [1—4], написанных в соавторстве, автору диссертации принадлежит вывод основных соотношений, формул и построение основных алгоритмов решения задачи, а в работах [6, 7, 11 —18] — составление комплексов программ, получение и анализ результатов. Все положения, выносимые на защиту, отражены в работах [1 — 18] и получены лично соискателем.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка цитируемой литературы (147 наименований) и пяти приложений. Общий объём диссертации 153 страницы, включая 36 рисунков и три таблицы.

Содержание работы

Во введении кратко описаны основные проблемы, обосновывается их актуальность, формулируется цель работы и научная новизна, дана информация об апробации работы, публикациях и личном вкладе автора.

В первой главе описывается модель бинарного ионного раствора, принятая в работе в качестве основной, представлен обзор теоретических и экспериментальных работ в изучаемой области.

В п. 1.1 формулируются основные уравнения, описывающие динамику ионной жидкости, помещённой во внешнее электрическое поле. Жидкость предполагается вязкой ньютоновской. С физико-химической точки зрения жидкость предполагается раствором простого бинарного электролита (коэффициенты диффузии отрицательных и положительных ионов равны, зарядовые числа по модулю равны единице) в случае полной диссоциации при отсутствии химических реакций и эффектов ионной рекомбинации. Электродинамическая часть задачи описывается двумя уравнениями переноса ионов для ионных концентраций и уравнением Пуассона для потенциала электрического поля. Динамика жидкости описывается уравнениями Навье—Стокса и неразрывности. Указанная система уравнений используется в работе в качестве основной как в задаче об электроконвекции, так п в задаче о динамике капиллярной струи. Различия возникают только в постановках краевых условий и выборе характерных масштабов.

В п. 1.2 приводится краткий обзор исследований, касающихся задачи об электроконвекции в ионообменных мембранах. Указаны работы, в которых теоретически и экспериментально исследуется электрогидродинамичсский сценарий возникновения сверхпредельных токов в мембранах. Приводится краткое описание основных методов и идей, позволивших Рубинштейну и соавт. теоретически исследовать сценарий возникновения электроконвекции как неустойчивости стационарного одномерного решения задачи. Приведены недавние работы Н,—С. Chang и соавт., в которых экспериментально наблюдался новый класс одномерных нестационарных решений, теряющих устойчивость.

В п. 1.3 даётся обзор экспериментальных и теоретических работ, посвящёпных динамике капиллярных струй во внешнем электрическом поле. В подавляющем большинстве работ рассматривается случай посто-

янного поля. В недавних немногочисленных экспериментах Н—С. Chang, G. Gneist, F. Malloggi и соавт. отмечен ряд преимуществ переменного высокочастотного поля перед постоянным: 1) наличие нового контрольного параметра — частоты колебаний; 2) электронейтральность образующихся при распылении капель жидкости; 3) отсутствие при достаточно больших частотах колебания (более 10 кГц) нежелательных химических реакций, сопровождающих процесс. Отсутствие соответствующих теоретических исследований в некоторой степени восполняется настоящей работой.

Вторая глава посвящена исследованию нового класса одномерных нестационарных решений задачи об электроконвекции в ионообменных мембранах. Выявляется промежуточная асимптотика решений нестационарной одномерной задачи на промежуточных временах. Приводится численное обоснование промежуточной асимптотики и приближённое решение одномерной задачи на промежуточных временах.

До сих пор теоретически исследовалось только стационарное одномерное равновесие, которое, согласно проведённому численному счёту, устанавливается через несколько минут реального времени после включения разности потенциалов между мембранами. Тем не менее, согласно недавним экспериментам, достичь установления одномерному решению мешает электрогидродинамическая неустойчивость, возникающая уже через несколько секунд и разрушающая одномерное решение (см. рис. 1). Таким образом, неустойчивость наступает задолго установления во времени одномерного решения задачи, что указывает на важность рассмотрения одномерной задачи, изучения свойств её решений и их устойчивости в полной нестационарной постановке.

В п. 2.1 приводится полная постановка задачи об электроконвекции в ионообменных мембранах, включающая основные уравнения п. 1.1, дополненные соответствующими краевыми условиями на стенках и начальными условиями. Уравнения Навье—Стокса берутся в стоксовском приближении. На поверхностях мембран задаётся концентрация положительных ионов, условие непроницаемости для отрицательных ионов, разность потенциалов и условие прилипания для скорости жидкости. Приводятся характерные значения параметров задачи.

В п. 2.2 описан диапазон времён, в котором решается задача. В результате эффектов концентрационной поляризации в окрестностях электродов ионы быстро формируют тонкие пограничные заряженные

Рис. 1. Типичная эволюция толщины диффузионного слоя 6: сплошным изображён численный расчёт одномерной задачи

слои. Известно, что изначально стационарное распределение ионных концентраций в жидкости при включении разности потенциалов становится нестационарным по времени. В рассматриваемом случае предельных и сверхпредельных токов диффузионный слой около катода, у — О, расширяется с течением времени, пока не почувствует влияние анода, у = 1, либо не разрушится из—за возникающей гидродинамической неустойчивости раствора (см. рис. 1). Задача рассматривается на промежуточных временах,

А2/(4£)<<г<<Ь2/(4Д), (1)

где А^ = (ёДТ/(^,2с00))1|/2 — дебаевская толщина, е — диэлектрическая проницаемость раствора, Ё — газовая постоянная, Ё — постоянная Фарадея, Т — абсолютная температура, Ё> — коэффициент диффузии ионов, Ь — расстояние между мембранами. На временном интервале (1) влияние начальных условий уже не существенно, а влияние анода ещё пренебрежимо мало. Задача обез-размеривается с помощью теплового потенциала, Фе = ЙТ/Ё, характерной ионной концентрации, с^, и некоторого характерного времени, ¿о-

В п. 2.3 показано, что решения одномерной нестационарной задачи на исследуемом временном интервале (1) допускают промежуточную

асимптотику, попадая на двухпараметрическое семейство решений упрощённой задачи (параметры: число Дебая е и безразмерная эффективная разность потенциалов ДФ) (см. рис. 2). Последняя получается из исходной постановки переходом к переменным

Т = 1, 77 = 1, е = ДФ =

' 6 6 2

и отбрасыванием производных по т. Здесь — характерная толщина

нестационарного диффузионного слоя, 3 = ]Ь/{БРс^) — безразмерный электрический ток через мембрану, ] — размерный ток, ДУ = ДК/Ф„.

Приближённое решение упрощённой промежуточно—асимптотической задачи получено в п. 2.4 в явном виде в пределе малого числа Дебая с помощью обобщения метода декомпозиции, что позволило сократить число параметров задачи до одного. Таким образом, в пределе е<с1 на промежуточных временах (1) решения одномерной нестационарной задачи полностью описываются асимптотической универсальной вольтамперной характеристикой

Jevfc

7эд р2У/3" 4

и) = -7=ехР 0Г

/9Д^2\2/3'

V 87;

(2)

где J =jS/(.О-Рсоо) — электрический ток в новых переменных, ДР = еДФ (см. рис. 3).

Третья глава посвящена выводу приближённой системы уравнений, описывающей двумерную электроконвекцию в ионообменных мембранах в пределе малого числа Дебая г, а также исследованию с её помощью устойчивости полученного одномерного решения задачи на промежуточных временах.

В п. 3.1 асимптотический метод декомпозиции обобщается на нестационарную двумерную задачу в пределе малого числа Дебая. Характерные величины продольной и поперечной координат, соответствующих компонент скорости и давления принимаются равными

ы

ю

¡о = —, 6 = 2у/Ш, С/0 =

с*о /0

соответственно, где ао — характерное волновое число возмущения /2 — динамическая вязкость жидкости. Время концентрации с± и электрический

Рис. 2. Профили плотности заряда р - с+—с в различные моменты времени: сравнение численного решения (сплошные линии) с промежуточной асимптотикой (пунктир)

Рис. 3. Универсальная асимптотическая ВАХ (2) (сплошная линия) и численный счёт ВАХ полной задачи но времени (маркеры) на промежуточных временах

потенциал Ф, как и в одномерном случае, относятся к ¿о, Ох, и Фе соответственно. Вводятся новые переменные

* с У

д

и зависящие от времени волновое число а = ¿¿о и число Дебая е = Хд/б. Вводится функция тока, С/ = ЭФ/Зт?, У= — ЭФ/Эя, и новые переменные

В обозначениях

аг % + <5! уд^дх дхдт])'

V - (а— —^ V' - — \ дх' дг)) ' \ дх' дт]

декомпозиция полной системы уравнений в области пространственного заряда приводит к уравнениям

К = О, V • (У^У^) = О, У4Ф = ^У х (V2Р\7'Г),

<9Ф ' (3)

0: Ф = —- = о, ^ = 0.

ОТ] 11

Декомпозиция системы в диффузионном электронейтральном слое приводит к уравнениям

F = AF, Я = 0, ^ = V2K, У4Ф = О,

т <4>

?7 —> оо : Ф О, ---»0, К2.

ОТ]

Здесь = — постоянная, описывающая физические свойства

раствора. Для расчётов бралось к = 0.2 (раствор NaCl в воде).

На границе rj = г)т зоны пространственного заряда используются условия непрерывности неизвестных задачи вместе с несколькими первыми производными.

Уравнения (3)—(4) представляют собой упрощённую асимптотическую систему уравнений, описывающую двумерную электроконвекцию в пределе малого е. Показано, что выведенная модель справедлива в квазиодномерном приближении при а<г(eine-1)2''3<С rjm

П. 3.2 посвящен исследованию линейной устойчивости найденной промежуточной асимптотики одномерного решения задачи. На одномерное решение накладываются двумерные, периодические по продольной координате х малые возмущения, растущие по времени степенным образом как тЛ. Задача линеаризовывается, давая уравнения на возмущения неизвестных в области пространственного заряда и основную спектральную задачу в диффузионном электронейтралыюм слое.

Задача на возмущения неизвестных в области пространственного заряда полностью разрешается в терминах рядов Тейлора по переменной £ — a(rim — 77). Это, в частности, приводит к универсальности зависимости компонент скоростей проскальзывания от внешних параметров:

2х ». - Их

Vm = —G{r)v{r)J, Um=-—G(r)u(r)J, (5)

e^cr eiai

где G, и, v — некоторые универсальные затабулированные функции, зависящие только от r = arjm, J — возмущение тока J, г = \/—1. Соотношение (5) даёт обобщение известной формулы Духина—Рубинштейна для скорости проскальзывания, справедливое не только в длинноволновом приближении по отношению к толщине зоны пространственного заряда.

Гидродинамическая часть линеаризованной задачи может быть решена во всём полупространстве 77 > 0 сразу после решения задачи в области заряда. Линии тока жидкости, определяемые как линии уровня функции Ф,

Рис. 4. Электроконвективные вихри

предсказывают появление конвективных ячеек в случае развития неустойчивых возмущений (см. рис. 4).

Численное интегрирование главной спектральной задачи в диффузионной области методом стрельбы дало кривые нейтральной устойчивости (см. рис. 5). Ошибка теории особенно видна в окрестности носика нейтральной кривой, соответствующего переходным процессам между первым и вторым родом, где предложенная асимптотика не точна. Вдали от носика относительная ошибка стремится к нулю при е —* 0.

Тот факт, что коэффициенты спектральной задачи зависят от времени, в корне меняет саму интерпретацию кривых нейтральной устойчивости. Отношение к = а/е-1 = йоА^ не зависит от времени, следовательно, каждая прямая линия в плоскости параметров (е-1, а), выходящая из нуля с наклоном к, характеризует отдельный сценарий эволюции во времени наложенного возмущения с размерным (постоянным!) волновым числом йо-В зависимости от соответствующего возмущению наклона к возможны два качественно различных сценария эволюции: 1) устойчивый, когда возмущение неограниченно затухает; 2) неустойчивый, когда возмущение сначала затухает, затем, войдя в неустойчивую область, возрастает и, наконец, выйдя и неустойчивой области, снова начинает затухать (см. рис. 6). В действительности же на данном этапе эволюции возмущений начинают играть роль нелинейные эффекты, не дающие возмущению исчезнуть. Предложенная теория позволяет, в частности, оценить время пребывания неустойчивых возмущений в области неустойчивости: {к4С2е — Н2)/(4а1Г)), где Л — затабулированные величины, зависящие только от ДФ.

Рис. 5. Кривые нейтральной устойчивости: сравнение асимптотики (пунктир) с численным решением (сплошные линии)

Рис. 6. Кривые нейтральной устойчивости (сплошные линии) и прямые эволюции возмущений (пунктир)

Четвёртая глава посвящена исследованию устойчивости и распада капиллярной струи, находящейся во внешнем переменном электрическом поле. Вдали от жидкости поле предполагается ориентированным по оси невозмущённой струи.

В п. 4.1 приводится осесимметричная постановка задачи, включающая основные уравнения из п. 1.1 в жидкой фазе и уравнение Лапласа для электрического потенциала в газе (газ предполагается идеальным диэлектриком, а жидкость — раствором простого бинарного электролита). Замыкают постановку соответствующие начальные условия и краевые условия на границе раздела и в бесконечности. На свободной поверхности задаются условия отсутствия тока, условие непрерывности электрического потенциала и скачка его нормальной производной из—за разностей диэлектрических проницаемостей фаз, условия баланса касательных и нормальных напряжений и кинематическое условие. Вдали от струи задаются простые гармонические колебания внешнего электрического поля. Система приводится к безразмерному виду отнесением длин, концентраций, электрического потенциала, скоростей, времени и давления к величинам

R.T ( ~ \ ^ т

Го, Сое, Фе = --, Оо =(4-) , ¿0 = 7Р Ри = рЩ F \pr0J Uu

соответственно, где Гц — радиус невозмущенной струи, Соо — равновесная концентрация ионов в невозмущённой струе, р ~ плотность жидкости, 7 — коэффициент поверхностного натяжения.

Задача описывается семью безразмерными параметрами

Ре^, Re=^, Во=Д , 3, 5 Л, D Ц Ф2 го' е'

w гйЕж -

Еж = , и = wi0,

где Ре — число Пекле, Re — число Рейнольдса, Во - электрическое число Бонда, Фг = (7Го/с)1/12 — характерный "капиллярный потенциал".

Для асимптотического упрощения задачи используются основные предположения

е<С1, е2Ре«:1, (6)

означающие соответственно малость числа Дебая, основанного на радиусе струи, и малость характерного электрического времени релаксации по сравнению с внешним гидродинамическим характерным временем: s2Pe = 2te/tg, te= е/к =A^/(2D) (к — средняя удельная электрическая проводимость раствора). Эти факты естественны для микроструй и обычно имеют место в экспериментах. Предположения (6) позволяют заменить решение задачи в двойном ионном слое некоторыми интегральными соотношениями на границе раздела, выражающими закон сохранения поверхностного электрического заряда и связь между величинами заряда, потенциала II его производными на границе раздела и за двойным ионным слоем.

Окончательная постановка асимптотически упрощённой задачи включает в себя уравнения Навье-Стокса без внешней движущей силы, уравнение неразрывности, уравнение Лапласа для электрического потенциала внутри и вне струи и граничные соотношения. Таким образом, внешнее электрическое поле влияет на динамику струи только посредством создания дополнительных напряжений на её свободной поверхности. Стоит особо отметить, что предложенная постановка не требует задание извне поверхностного заряда о", который предполагается индуцированным внешнем полем н малыми возмущениями струи и находится в процессе решения задачи.

Особое внимание в работе уделено случаю высокочастотных колебаний, имеющему первостепенное значение для приложений. В задаче существует два характерных времени: гидродинамическое to = (p^^fo)1^2

(медленное время), введённое выше в качестве базисного, и электрическое время релаксации 1е = ё/к (быстрое время). Соответственно этому возникают два безразмерных параметра, полученные отнесением размерной частоты к этим временам: ш = й)Ц — основная (быстрая) и = — модифицированная (медленная) частота колебаний. Для высокочастотных колебаний принимается, что размерная частота имеет порядок величины, обратной характерному времени электрической релаксации, й> = 0( 1/£е), что составляет порядка 1 — 1000 кГц и полностью согласуется с известными экспериментами. В безразмерном виде с учётом (6) это условие примет вид

Для асимптотического упрощения задачи в случае высокочастотных колебаний используется метод усреднения, основанный на гипотезе о разделении механического движения на медленное среднее и малое по амплитуде быстрое колебательное,

г = (г) + Не (ге™'). В случае колебаний внешнего поля с произвольной частотой электрические и механические величины, вообще говоря, содержат как колебательную, так и среднюю составляющую. Для высокочастотных колебаний, колебательная часть механических величин, равно как и средняя часть электрических, исчезает как 0(1/и>). При этом средние части механических величин порождаются наложением электрических вибрационных полей из-за нелинейности в нормальных и касательных электрических напряжениях:

2

ЭФ

+ (!-<*)

2 дФ

дп

дв

2 (дФдФ

(7)

Выделение колебательной части в граничных соотношениях, связывающих плотность электрического заряда а с потенциалом Ф и его производными, приводит к явным соотношениям, связывающим их комплексные амплитуды

„ г дФ Д г\дФ сдФд - -

где Фд — значение комплексной амплитуды колебаний электрического потенциала в газовой фазе. Уравнения гидродинамики для средних компонент

Рис. 7. Характерная кривая нейтральной устойчивости (сплошная линия) и характерные временные зависимости возмущений (на вставках): 1) устойчивый; 2) нейтрально устойчивый; 3) неустойчивый случаи

Рис. 8. Скачок радиуса образующихся главных капель (I) и капель—сателлитов (II) согласно прямому численному счёту для 11е = 1, 1/5 = 24: А — П = 0.3; ■ — Я = 0.5; ▼ — £1 = 1

скоростей жидкости, уравнения Лапласа для комплексных амплитуд колебаний электрического потенциала и соотношения (7)—(8) составляют новую модель, описывающую среднюю динамику капиллярной струи в силыюос-циллирующсм электрическом поле.

П. 4.2 посвящен исследованию устойчивости одномерного решения задачи по отношению к двумерным, периодическим по осевой координате х малым возмущениям капиллярной струи. Анализ устойчивости проводится как для случая высокочастотных колебаний, так и для полной постановки осесимметричной задачи. Для обоих случаев выведены дисперсионные соотношения, дающие зависимость коэффициента линейного роста от волнового числа возмущения и остальных параметров задачи.

В п. 4.3 обсуждаются результаты линейной теории, построенной в п. 4.2, а также приводится прямой численный счёт нелинейной стадии эволюции неустойчивого возмущения вплоть до схлопывания струи. В случае высокочастотных колебаний задача линейной устойчивости описывается четырьмя внешними безразмерными параметрами: 11е, Еж = гаЕ^/Фс, <5 и одним внутренним — волновым числом возмущения а. Параметр 6 берётся равным 1/24, что соответствует 95% этанолу, чаще всего использующемуся в экспериментах. Числа Рейнольдса предполагаются малыми, 11е= 10~3—1,

Рис. 9. Профили струи незадолго до охлопывания при 11с 1. Е-^ = О.Л, \/д - 24, а = 0.5: и) Г! = 0.1; Ь) П = 0.39; с) П = 1

Рис. 10. Рассчитанная численно зависимость объёма капли—сателлита от модифицированной частоты при 1/5 = 24: 4 - 11е = 0.5, £оо = 0.3: ■ - Ые=1, £^ = 0.3; ▼ - йе=1, £«, = 0.25; ♦ -Ке = 0.5, £оо = 0.2

что характерно для микроструй. Задача нейтральной устойчивости, А = 0, от Ие не зависит (см. рис. 7).

Имеется довольно нетривиальная зависимость параметров устойчивости от модифицированной частоты П. Существует три критических значения Г2г и Г2г, при переходе через которые происходит качественная перестройка кривых нейтральной устойчивости и кривых максимального роста. В частности, в некотором диапазоне наблюдаются наличие двух интервалов неустойчивости по волновому числу возмущения: рэлеевского и нового длинноволнового, примыкающего к а = 0. Новый интервал неустойчивости в отличие от рэлеевского не может быть полностью подавлен, но может быть сколь угодно уменьшен (вместе с соответствующими коэффициентами роста) увеличением амплитуды колебаний. Для основных характеристик новой неустойчивости (правой границы интервала неустойчивости, наиболее опасного волнового числа возмущения и соответствующего ему коэффициента роста) получены удобные асимптотические формулы.

В некотором диапазоне частот наблюдается конкуренция двух максимумов коэффициентов роста, сопровождающаяся скачком наиболее опасного волнового числа возмущения. Последний порождает скачок образующихся в результате распада струи капель, что подтвердил численный эксперимент (см. рис. 8).

Численный счёт также показал, что размер капель—сателлитов (вторичных капель, образующихся между главными) может быть значительно уменьшен регулированием модифицированной частоты О, (см. рис. 9 и 10). Так, для значений Г1е и приведённых на рис. 10, объём сателлитов может быть уменьшен в 15—40 раз при подходящем выборе П. Таким образом, дополнительный контрольный параметр задачи — частота колебаний — позволяет уменьшить дисперсность капель по размеру до 40 раз.

В п. 5 перечислены основные результаты диссертации согласно пунктам, выносимым на защиту.

В Приложении приводятся некоторые дополнения, разъяснения и обоснования по задаче об электроконвекции в ионообменных мембранах и задаче о динамике капиллярной струи в переменном электрическом поле. В приложении А приводятся подробности полуэмпирического обобщения на двумерный случай метода декомпозиции, обсуждаются границы его применимости. В приложениях В и С приводятся длинноволновые и коротковолновые асимптотики электроконвекции. В приложении Б доказывается устойчивость капиллярной струи в переменном электрическом поле по отношению к неосесимметричным возмущениям. Приложение Е посвящено описанию квазиодномерной модели динамики капиллярной струи, использовавшейся для численного анализа задачи и вывода упрощённых дисперсионных соотношений в длинноволновом приближении.

Основные выводы и результаты работы

1. С помощью обобщения метода "декомпозиции" на нестационарный многомерный случай выведена асимптотическая система уравнений, описывающая двумерную электроконвекцию в ионообменных мембранах в пределе малого числа Дебая.

2. Впервые объяснена и описана промежуточная асимптотика одномерного нестационарного решения задачи об электроконвекции в ионообменных мембранах.

3. Впервые показано, что потеря устойчивости одномерного решения и переход к режиму электроконвекции происходит на нестационарном этапе действия промежуточной асимптотики.

4. Впервые выведена приближённая система уравнений, описыващих среднюю динамику капиллярной микроструи в высокочастотном тангенциальном электрическом поле. Исследована линейная устойчивость и распад струи:

4.1 показано, что при увеличении напряжённости переменного электрического поля происходит неполная стабилизация струи: в окрестности малых волновых чисел возмущения всегда остаётся интервал неустойчивых волновых чисел;

4.2 установлено, что возможно одновременное существование двух наиболее опасных длин возмущения; при электрораспылении они могут приводить к двум совершенно разным размерам образующихся капель, отличающимся более, чем в 10 раз;

4.3 показано, что размер капель-сателлитов может быть значительно уменьшен (вплоть до 40 раз) по отношению к размеру главных капель регулированием частоты колебаний поля.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Демёхин Е.А., Полянских C.B. Неустойчивость струи жидкости в переменном электрическом поле высокой частоты // Прикладная механика и техническая физика. 2009. Т. 50. № 5. С. 56-66.

2. Демёхин Е.А., Полянских C.B. Устойчивость струи вязкой жидкости в переменном электрическом поле высокой частоты // Прикладная механика и техническая физика. 2010. Т. 51. № 1. С. 39-53.

3. Демёхин Е.А., Полянских C.B. Устойчивость микроструи вязкой жидкости в постоянном и переменном электрическом поле // Известия РАН. МЖГ. 2010. № 5. С. 49-65.

4. Калайдин E.H., Полянских C.B., Демёхин Е.А. Автомодельные решения в ионообменных мембранах и их устойчивость // Доклады РАН. 2010. Т. 434. № 4. С. 476-480.

5. Полянских С.В. Бифуркация валов и гексагональных структур при электроконвекции // Международная конференция "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность". Тезисы докладов. М.: Изд—во Московского университета, 2008. С. 126.

6. Polyanskikh S.V., Demekhin Е.А., Shapar ЕМ. Jet instability in high-frequency alternating electric fields // 1st European Conference on Microflui-dics "Microfluidics 2008". Book of abstracts. Bologna (Italy), 2008. P. 100.

7. Polyanskikh S.V., Demekhin E.A. Stability of non-axisymmetric electrolyte jet in high-frequency AC electric field // 4th International Topical Team Workshop "Two—phase systems for ground and space applications". Book of abstracts. Novosibirsk, 2009. P. 124.

8. Полянских С.В. Неустойчивость и бифуркации в задаче о распаде струи вязкой жидкости в переменном электрическом поле // IX международная конференция "Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей". Сборник докладов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2009. С. 154-157.

9. Полянских С. В. Коротковолновая асимптотика в задаче об электроконвекции в плоских катионообменных мембранах // XXXIX Уральский семинар "Механика и процессы управления". Сборник научных трудов. Екатеринбург: УрО РАН, 2009. С. 172-179.

10. Полянских С.В. Влияние амплитуды и частоты колебаний внешнего электрического поля на устойчивость жидкой струи // Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений". Тезисы докладов. М.: Изд—во Московского университета, 2009. С. 294-295.

11. Polyanskikh S. V., Demekhin E.A. Stability of non-axisymmetric electrolyte jet in high-frequency AC electric field // Microgravity Sci. Technol. 2009. V. 21. Supplementary Issue № 1. P. 325-329.

12. Demekhin E.A., Polyanskikh S. V. Instability of slender liquid jet in AC electric field of arbitrary frequency // Microgravity Sci. Technol. 2010. V. 22. № 3. P. 369-375.

13. Гусарчук А.Н., Полянских С.В., Демёхин Е.А. Об электроконвективной неустойчивости // Международная конференция "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность". Тезисы докладов. М.: Изд—во Московского университета, 2010. С. 59—60.

14. Полянских С.В., Демёхин Е.А. Устойчивость струи электролита в переменном электрическом поле произвольной частоты // Международная конференция "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность". Тезисы докладов. М.: Изд-во Московского университета, 2010. С. 151-152.

15. Demekhin Е.А., Polyanskikh S. V., Shtemler Yu.M. Electroconvective instability of self-similar equilibria // Cornell University open access e-prints [Electronic resource]. 2010. Mode of access: http://arxiv.org/pdf/1001,4502vl.

16. Полянских С.В., Демёхин Е.А. К задаче об устойчивости вязкой микроструи в постоянном электрическом поле // Вестник Армавирского государственного педагогического университета. Естественные и технические науки. 2010. № 4. С. 34-39.

17. Полянских С.В., Гусарчук А.Н., Демёхин Е.А. Автомодельный сценарий перехода к электроконвекции в ионообменных мембранах // Международная конференция "Современные проблемы механики сплошной среды". Сборник докладов. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2010. С. 275-279.

18. Гусарчук А.Н., Демёхин Е.А., Полянских С.В. Гидродинамическая устойчивость автомодельного решения задачи об электроконвекции // XVI школа-семинар "Современные проблемы аэрогидродинамики". Тезисы докладов. М.: Изд-во Московского университета, 2010. С. 42-43.

Подписано в печать 21.10.2010. Формат 60x841/16. Уч. печ. л. 1,0. Печать трафаретная. Бумага Maestro. Тираж 100 экз. Заказ № 10318.

Тираж изготовлен с оригинал-макета заказчика в типографии ООО «Просвещение-Юг» 350059, г. Краснодар, ул. Селезнева, 2. Тел./факс: 239-68-31

Введение.

1 Обзор темы и основные уравнения.

1.1 Модель бинарного ионного раствора.

1.2 Электроконвекция в ионообменных мембранах.

1.3 Капиллярные струи во внешнем электрическом поле

2 Постановка задачи об электроконвекции и промежуточная асимптотика её решений.

2.1 Основные уравнения и характерные значения параметров

2.2 Одномерное нестационарное решение на промежуточных временах.

2.3 Численное обоснование промежуточной асимптотики одномерной задачи

2.4 Приближённое выражение для промежуточной асимптотики одномерной задачи.

3 Переход к электроконвекции на нестационарном этапе развития процесса.

3.1 Нестационарная двумерная задача в пределе малого числа Дебая.

3.2 Линейная устойчивость одномерного нестационарного решения

3.2.1 Постановка задачи на устойчивость.

3.2.2 Решение задачи о распределении пространственного заряда.

3.2.3 Нахождение компонент скорости проскальзывания

3.2.4 Спектральная устойчивость одномерного решения

4 Устойчивость капиллярной струи в переменном электрическом поле.

4.1 Постановка задачи в осесимметричном случае.

4.1.1 Обезразмеривание основных уравнений.

4.1.2 Предел малого числа Дебая.

4.1.3 Случай высокочастотных колебаний.

4.2 Линейная устойчивость одномерного решения.

4.2.1 Случай колебаний с произвольной частотой.

4.2.2 Случай высокочастотных колебаний.

4.3 Устойчивость и распад струи в высокочастотном поле

4.3.1 Режимы устойчивости.

4.3.2 Длинноволновая неустойчивость в сильном поле

4.3.3 Численный анализ нелинейного каплеобразования

There's a plenty of room at the bottom: an invitation to enter a new field of physics

R. Feynman1

Основные особенности течения жидкости существенным образом зависят от характерных линейных масштабов, в которых это течение рассматривается. В обычных для человека масштабах порядка метра и больших поверхностные силы в жидкости оказываются малыми по сравнению с объёмными. В этом случае наличие внешних электрических полей слабо отражается на динамике хорошо проводящих жидкостей в целом, так как электрогидродинамические эффекты в таких средах возникают фактически только благодаря дополнительным электрическим напряжениям на границе раздела фаз в силу эффектов концентрационной поляризации. В этом случае электрические напряжения балансируются вязкими и имеют характер поверхностных.

В важных для современных приложений микромасштабах поверхностные силы в жидкой фазе становятся сравнимыми по величине с объёмными. Это влечёт за собой, в частности, практическую невозможность использования обычных механических принципов прокачки жидкости созданием градиента давления. На первый план выходят способы управления течением жидкости, в которых главную роль играют различные электрические эффекты. Альтернатив им в настоящее время не существует.

На рис. 0.1 изображена шкала характерных линейных размеров некоторых микро- и нанообъектов.

Актуальность темы. Первоначально исследования течений жидкости в микромасштабах представляли лишь чисто теоретический интерес.

1с'Там внизу много места: приглашение в новую физику" — выступление Ричарда Фейнмана на встрече Американского Физического Общества (APS meeting, 1959) о методах, которые впоследствии будут названы микро- и нанотехнологиями. наноустроиства микроустроиства

-1-1-1-1—

Ю-4 О"3 10"2 МГ1 1 10 102 103 104мкм

4-V-' частицы дыма

V " V вирусы кровяные капилляры бактерии

Рис. 0.1. Характерные линейные размеры некоторых микро- и нанообъектов [1, 2]

Современный интерес к электрогидродинамике и, в частности, к микротечениям, движимым внешним электрическим полем, связан, прежде всего, с конкретными прикладными задачами и требованием времени — постоянной тенденцией к миниатюризации приборов и устройств. Кроме практического имеется также и чисто теоретический интерес к микротечениям в условиях концентрационной поляризации, которые могут порождать когерентные структуры, а также демонстрировать хаотическую динамику в этих масштабах.

В настоящее время-имеется огромное число как классических, так и совершенно новых теоретических и прикладных задач, требующих описания механизмов поведения жидкости под действием различных электрических эффектов. Каждая из них оказывается на стыке нескольких наук: электродинамики, теории гидродинамической устойчивости, электрохимии и, как следствие, довольно сложна по своей математической постановке. Для достаточно полного исследования этих задач требуется весь современный аппарат как механики, так и математики.

К настоящему времени на стыке электрофизики и гидродинамики сформировалась отдельная динамично развивающаяся дисциплина — электрогидродинамика, круг приложений которой огромен и продолжает расширяться. Задачи электрогидродинамики микро- и наномасштабов привлекают большое внимание исследователей, главным образом, в связи с широкой областью их применения в нано—, биотехнологиях и медицине.

Литература, посвященная различным эффектам электрогидродинамики и их приложениям, насчитывает сотни статей, содержащих как экспериментальные данные, так и теоретические исследования (обзор многочисленных современных приложений можно найти в [1, 3]). Однако, несмотря на обилие работ, внедрение как классических, так и новых приложений электрогидродинамики тормозится недостатком знаний о физических механизмах динамики жидкости во внешнем электрическом поле. Новыми являются задачи электрогидродинамики малых масштабов. В этих задачах доминирующими становятся электрокинетические эффекты и эффекты концентрационной поляризации.

В настоящей работе рассматриваются две задачи современной электрогидродинамики малых масштабов: 1) задача об электроконвекции в ионообменных мембранах; 2) задача, о динамике капиллярной струи во внешнем переменном электрическом поле. Предлагаемые модели,1 во-первых, дадут качественную картину механизмов потери гидродинамической устойчивости в рассматриваемых задачах и, во—вторых, позволят теоретически получить численные значения параметров устойчивости, необходимые для приложений, без проведения дорогостоящих экспериментов.

Основной целью диссертационного исследования является теоретическое исследование некоторых появившихся в последнее время вопросов течения и устойчивости жидкости в микромасштабах под действием постоянного и переменного электрического поля в условиях концентрационной поляризации ионов в растворе жидкости.

Предполагается решить следующие задачи:

1. Вывести асимптотическую систему уравнений, описывающую двумерную электроконвекцию в ионообменных мембранах.

2. Выявить существование и описать электроконвективную неустойчивость в ионообменных мембранах на нестационарной стадии развития процесса.

3. Вывести асимптотическую систему уравнений, описывающую среднюю динамику капиллярной микроструи в продольном сильноосцил-лирующем электрическом поле.

4. Теоретически исследовать неустойчивость и распад капиллярной микроструи в продольном сильноосциллирующем электрическом поле.

Достоверность полученных результатов обусловлена применением классических математических и надёжных численных методов, сопоставлением полученных теоретических результатов с прямым численным счётом, работами других авторов в этом направлении и экспериментами, где это возможно.

Научная новизна. При решении поставленных в диссертационной работе задач получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:

1. Вывод асимптотической системы уравнений, описывающей двумерную электроконвекцию в ионообменных мембранах в пределе малого числа Дебая.

2. Вывод промежуточной асимптотики одномерного нестационарного решения задачи об электроконвекции в ионообменных мембранах.

3. Доказательство и исследование неустойчивости этого решения как сценария перехода к электроконвекции в ионообменных мембранах.

4. Исследование неустойчивости и распада капиллярной микроструи в переменном электрическом поле.

Апробация работы. Основное содержание и результаты исследования изложены в восемнадцати работах [4—21], в том числе в четырёх работах в рекомендованных ВАК журналах: "Доклады РАН", "Известия РАН. Механика жидкости и газа", "Прикладная механика и техническая физика":

• Демёхин Е.А., Полянских С.В. Неустойчивость струи жидкости в переменном электрическом поле высокой частоты // Прикладная механика и техническая физика. 2009. Т. 50. № 5. С. 56—66.

• Демёхин Е.А., Полянских С.В. Устойчивость струи вязкой жидкости в переменном электрическом поле высокой частоты // Прикладная механика и техническая физика. 2010. Т. 51. № 1. С. 39—53.

• Демёхин Е.А., Полянских С.В. Устойчивость микроструи вязкой жидкости в постоянном и переменном электрическом поле // Известия РАН. МЖГ. 2010. № 5. С. 49-65.

• Калайдин Е.Н., Полянских С.В., Демёхин Е.А. Автомодельные решения в ионообменных мембранах и их устойчивость // Доклады РАН. 2010. Т. 434. № 4. С. 476-480 и двух работах в зарубежном журнале "Microgravity: science and technology":

• Polyanskikh S.V., Demekhin E.A. Stability of non—axisymmetric electrolyte jet in high-frequency AC electric field // Microgravity Sci. Technol. 2009. V. 21. Supplementary Issue № 1. P. 325-329.

• Demekhin E.A., Polyanskikh S. V. Instability of slender liquid jet in AC electric field of arbitrary frequency // Microgravity Sci. Technol. 2010. V. 22. № 3. P. 369-375.

Результаты диссертационного исследования представлялись на девяти научных конференциях:

• Международная конференция "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность" ("НеЗаТеГиУс и турбулентность"), г. Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 24 февраля—2 марта 2008 г.

• Международная конференция "Microfluidics 2008", г. Болонья (Италия), Болонский университет, 10—12 декабря 2008 г.

• Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений", г. Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 30 марта—2 апреля 2009 г.

• Международная конференция "Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей", г. Санкт-Петербург, СПбГУ, 22-26 июня 2009 г.

• Международная конференция "Two—phase systems for ground and space applications", г. Новосибирск, Институт теплофизики CO РАН, 6-8 сентября 2009 г.

• XXXIX Уральский семинар "Механика и процессы управления", г. Екатеринбург, УрО РАН, 22-24 декабря 2009 г.

• Международная конференция "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность" ("НеЗаТеГиУс и турбулентность"), г. Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 28 февраля—7 марта 2010 г.

• XIV Международная конференция "Современные проблемы механики сплошной среды", г. Ростов—на—Дону, г. Азов, ЮФУ, 19—24 июня 2010 г.

• XVI школа-семинар "Современные проблемы аэрогидродинамики", г. Сочи, "Буревестник" МГУ им. М.В. Ломоносова, 6—16 сентября 2010 г., а также докладывались и обсуждались на научных семинарах:

• Семинар кафедры аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством академика Г.Г. Черного, 18 марта 2010 г.

• Семинар по аэромеханике в НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством академика Г.Г. Чёрного, 19 мая 2010 г.

• Семинар лаборатории физико-химической гидродинамики НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством доктора физ.— мат. наук профессора В.А. Полянского, 11 октября 2010 г.

Проведённые исследования были поддержаны научными фондами:

• Российский фонд фундаментальных исследований, грант на участие в конференции "МюгоАш&св 2008", проект № 08-01-09309-мобз (руководитель), 2008-2009 гг.

• Российский фонд фундаментальных исследований, грант "Неустойчивость и распыливание жидких капель и струй в переменном электрическом поле", проект № 08-01-00005-а (исполнитель), 2008—2010 гг.

Доклад на международной конференции "НеЗаТеГиУс и турбулентность" 2008 г. удостосн медали имени академика Г.И. Петрова за лучшую работу конкурса молодых учёных в области гидродинамической устойчивости и турбулентности (регистрационный № 2008-9).

На программный комплекс "Расчёт основных характеристик устойчивости электроконвективного течения в плоских катионообменных мембранах" получено авторское свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010611247 от 12.02.10.

Личный вклад автора. Работы [8, 11 — 13] написаны автором лично. В работах [4—6], посвящённых исследованию устойчивости капиллярной струи в электрическом поле, автору диссертации принадлежит проведение всех вычислений, анализ результатов, а также вывод приближённых формул для длинноволновой области неустойчивости. В работе [7], посвя-щённой электроконвекции в ионообменных мембранах, автору принадлежит вывод основных формул промежуточной асимптотики и проведение соответствующих численных расчётов. В работах [9, 10, 14—21] автору принадлежит вывод основных соотношений и формул, построение основных алгоритмов решения задачи, составление комплексов программ, а также получение и анализ результатов. Все положения, выносимые на защиту, отражены в работах [4 — 21] и получены лично автором диссертации.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка цитируемой литературы (147 наименований) и пяти приложений. Общий объём диссертации 153 страницы, включая 36 рисунков и три таблицы.

5. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1.

2.

3.

4.

4.1 показано, что при увеличении напряжённости переменного электрического поля происходит неполная стабилизация струи: в окрестности малых волновых чисел возмущения всегда остаётся интервал неустойчивых волновых чисел;

4.2 установлено, что возможно одновременное существование двух наиболее опасных длин1 волн возмущения; при электрораспылении они могут приводить к двум совершенно разным размерам образующихся капель, отличающимся более, чем в 10 раз;

4.3 показано, что размер капель—сателлитов может быть значительно уменьшен (вплоть до 40 раз) но отношению к размеру главных капель регулированием частоты колебаний поля.

С помощью обобщения метода декомпозиции на нестационарный многомерный случай выведена асимптотическая система уравнений, описывающая двумерную электроконвекцию в ионообменных мембранах в пределе малого числа Дебая.

Впервые объяснена и описана промежуточная асимптотика одномерного нестационарного решения задачи об электроконвекции в ионообменных мембранах.

Впервые показано, что потеря устойчивости одномерного решения и переход к режиму электроконвекции происходит на нестационарном этапе действия промежуточной асимптотики.

Впервые выведена приближённая система уравнений, описыващих среднюю динамику капиллярной микроструи в высокочастотном тангенциальном электрическом поле. Исследована линейная устойчивость и распад струи:

В заключение автор выражает благодарность своему научному руководителю проф., д. ф— м. н. Е.А. Демёхину за постоянное внимание к работе и неоценимую помощь во время подготовки диссертации, проф., д. ф — м. н. В.Я. Шкадову и участникам семинаров под руководством академика Г.Г. Чёрного и проф., д. ф.—м. н. В.А. Полянского за полезные обсуждения, высказанные замечания и исправления, д. ф.—м. н. А.А. Шутову за полезные замечания, позволившие значительно улучшить работу, отделу аспирантуры КубГУ за помощь и внимание в процессе обучения в аспирантуре, а также родным и близким, без участия которых эта работа была бы невозможна.

1. Nguyen N.T., Wereley S.T. Fundamentals and applications of microfluidics. Boston: Artech House, 2006. 520 p.

2. Probstein R.F. Physicochemical hydrodynamics: an introduction. New York: Wiley, 1994. 406 p.

3. Schoch R.B., Han J., Renaud P. Transport phenomena in nano-fluidics // Rev. Mod. Phys. 2008. V. 80. № 3. P. 839-883.

4. Демёхин E.A., Полянских С.В. Неустойчивость струи жидкости в переменном электрическом поле высокой частоты // Прикладная механика и техническая физика. 2009. Т. 50. № 5. С. 56-66.

5. Демёхин Е.А., Полянских С.В. Устойчивость струи вязкой жидкости в переменном электрическом поле высокой частоты // Прикладная механика и техническая физика. 2010. Т. 51. № 1. С. 39—53.

6. Демёхин Е.А., Полянских С.В. Устойчивость микроструи вязкой жидкости в постоянном и переменном электрическом поле // Известия РАН. МЖГ. 2010. № 5. С. 49-65.

7. Калайдин Е.Н., Полянских С.В., Демёхин Е.А. Автомодельные решения в ионообменных мембранах и их устойчивость // Доклады РАН. 2010. Т. 434. № 4. С. 476-480.

8. Полянских С.В. Бифуркация валов и гексагональных структур при электроконвекции // Международная конференция "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность". Тезисы докладов. М.: Изд—во Московского университета, 2008. С. 126.

9. Polyanskikh S.V., Demekhin Е.А., Shapar Е.М. Jet instability in high—frequency alternating electric fields // 1st European Conference on Microfluidics "Microfluidics 2008". Book of abstracts. Bologna (Italy), 2008. P. 100.

10. Полянских С.В. Коротковолновая асимптотика в задаче об электроконвекции в плоских катионообменных мембранах // XXXIX Уральский семинар "Механика и процессы управления". Сборник научных трудов. Екатеринбург: УрО РАН, 2009. С. 172-179.

11. Polyanskikh S.V., Demekhin E.A. Stability of non—axisymmetric , electrolyte jet in high-frequency AC electric field // Microgravity Sci.

12. Technol. 2009. V. 21. Supplementary Issue № 1. P. 325-329.

13. Demekhin E.A., Polyanskikh S.V. Instability of slender liquid jet in AC electric field of arbitrary frequency // Microgravity Sci. Technol. 2010. V. 22. № 3. P. 369-375.

14. Demekhin Е.А., Polyanskikh S.V., Shtemler Yu.M. Elect.ro-convective instability of self—similar equilibria // Cornell University open access e—prints electronic resource. 2010. Mode of access: http://arxiv.org/pdf/1001.4502vl.

15. Полянских C.B., Демёхин Е.А. К задаче об устойчивости вязкой микроструи в постоянном электрическом поле // Вестник Армавирского государственного педагогического университета. Естественные и технические науки. 2010. № 4. С. 34-39.

16. Saville D.A. Electrohydrodynamics: The Taylor—Melcher leaky dielectric model // Annu. Rev. Fluid. Mech. 1997. V. 29. P. 27-64.

17. Полянский В.А., Панкратьева И.Л. Об иерархии моделей в электрогидродинамике // Сборник "Проблемы современной механики: к 85—летию со дня рождения акад. Г.Г. Черного". М.: Изд. МГУ им. М.В. Ломоносова, 2008. С. 432-451.

18. Гогосов В.В., Полянский В.А. Электрогйдродинамика: задачи и приложения, основные уравнения, разрывные решения // В кн.: Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ. 1976. Т. 10. С. 5-85.

19. Левин В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматлит, 1959. 700 с.

20. Ватажин А.Б. Электрогидродинамические турбулентные течения // Труды математического института им. В.А. Стеклова. СССР. 1989. Т. 186. С. 168-176.

21. Zaltzman В., Rubinstein I. Electro—osmotic slip and electroconvective instability // J. Fluid Mech. 2007. V. 579. P. 173-226.

22. Smyrl W.H., Newman J. Double layer structure at the limiting current // Trans. Faraday Soc. 1967. V. 63. P. 207-216.

23. Buck R.P. Steady—state space charge effects in symmetric cells with concentration polarized electrodes // J. Electroanal. Chem. Interf. Electrochem. 1973. V. 46. № 1. P. 1-23. ,

24. Rubinstein I., Shtilman L. Voltage against current curves of cation exchange membranes // J. Chem. Soc. Faraday Trans. II. 1979. V. 75. P. 231-246.i

25. Nikonenko V.V., Zabolotsky V.I., Gnusin N.P. Electric transport of ions through diffusion layers with impaired electroneutrality // Sov.

26. Elektrochem. 1989. V. 25 P. 301.

27. Листовничий А.В. Прохождение токов больше предельного через систему электрод—раствор электролита // Электрохимия. 1989. Т. 25. № 12. С. 1651-1654.

28. Manzanares J.A., Murphy W.D. et al. Numerical simulation of the nonequilibrium diffuse double layer in ion-exchange membranes // J. Phys. Chem. 1993. V. 97. P. 8524-8530.

29. Бабешко В.А., Заболоцкий В.И. и др. Теория стационарного переноса бинарного электролита в одномерном случае. Численный анализ // Докл. РАН. 1997. Т. 355. № 4. С. 488-490.i

30. Chu К.Т., Bazant M.Z. Electrochemical thin films at and above the classical limiting current // Я1ДМ J. Appl. Math. 2005. V. 65. № 5.1. P 1485-1505.i

31. Демёхин E.A., Шапарь E.M., Лапченко В.В. К возникновению электроконвекции в полупроницаемых электрических мембранах // Доклады РАН. 2008. Т. 421. № 4. С. 478-481.

32. Yossifon G., Chang Н.—С. Selection of nonequilibrium overlimiting currents: universal depletion layer formation dynamics and vortex instability // Phys. Rev. Lett. 2008. V. 101. № 25. P. 254501.

33. Rubinstein I., Staude E., Kedem O. Role of the membrane surface in concentration polarization at ion—exchange membrane // Desalination.' 1988. V. 69. P. 101-114. !

34. Заболоцкий В.И., Никоненко В.В. Перенос ионов в мембранах. М.: Наука, 1996. 392 с.

35. Helfferich F. Ion Exchange. New York: McGraw Hill, 1962. 624 p. '

36. Графов Б.М., Черненко А.А. Теория прохождения постоянного тока через раствор бинарного электролита // Доклады АН СССР. 1962. Т. 146. № 1. С. 135-138.

37. Dukhin S.S. Electrokinetic phenomena of the second kind and their applications // Adv. Coll. Interf. Sci. 1991. V. 35. P. 173-196.

38. Духин С.С., Мищук Н.А. Исчезновение феномена предельного тока в случае гранулы ионита // Коллоидн. журн. 1989. Т. 51. № 46. С. 659-671.

39. Urtenov M.A.-Kh., Kirillova E.V. et al. Decoupling of the Nernst-Plank and Poisson equations. Applications to a membrane system atoverlimiting currents // J. Phys. Chem. B. 2007. V. 111. P. 14208-14222.I

40. Бабешко В.А., Заболоцкий В.И. и др. Декомпозиция систем уравнений Нернста—Планка—Пуассона // Доклады РАН. 1995. Т. 344. № 4. С. 485-486.

41. Бабешко В.А., Заболоцкий В.И. и др. Декомпозиционные уравнения для стационарного переноса электролита в одномерном' случае // Электрохимия. 1997. Т. 33. № 8. С. 855-862.

42. Уртенов М.Х. Математические модели электромембранных систем очистки воды // Диссертация на соискание степени доктора физ.—мат. наук. Краснодар, 2001. 352 с.

43. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.:Мир, 1964. 311 с.I

44. Панкратьева И.Л., Полянский В.А. Исследование механизма протекания тока в слабопроводящих жидкостях при наличии объёмных и поверхностных электрохимических процессов // Труды математического института им. В.А. Стеклова. 1998. Т. 223. С. 248-254.

45. Cross M.C., Hohenberg P.G. Pattern formation outside ofequilibrium // Rev. Modern Physics. 1993. V. 65. № 3. P. 851-1112.i

46. Рубинштейн И., Зальцман В., Прец И., Линдер К. Экспериментальная проверка электроосмотического механизма формирования "запредельного" тока в системе с катионообменной электродиализной мембраной // Электрохимия. 2002. Т. 38. № 8. С. 956-967.

47. Rubinstein S.M., Manukyan G. et al. Direct observation of a > nonequilibrium electro-osmotic instability // Phys. Rev. Lett. 2008. V. 101. № 23. P. 236101.

48. Kim S.J., Wang Y.—C., Lee J.H., Jang H., Han J. Concentration polarization and nonlinear electrokinetic flow near a nanofluidicchannel // Phys. Rev. Lett. 2007. V. 99. № 4. P. 044501.i

49. Grigin A.P. Coulomb convective instability of a binary electrolyte in a ' cell with plane—parallel electrodes // Sov. Electrochem. 1985. V. 21. P. 52.

50. Grigin A.P. Coulomb convection in electrochemical systems // Sov. ■Electrochem. 1992. V. 28. P. 247-269.

51. Rubinstein I., Zaltzman Т., Zaltzman B. Electroconvection in a layer and in a loop // Phys. Fluids. 1995. V. 7. № 6. P. 1467-1482.

52. Bruinsma R., Alexander S. Theory of electrohydrodynamic instabilities in electrolytic cells // J. Chem. Phys. 1990. V. 92. P. 3074 3085.

53. Александров P.C, Григин А.П., Давыдов А.Д. Численное исследование электроконвективной неустойчивости бинарного электролита в ячейке с плоскими параллельно расположенными электродами // Электрохимия. 2002 Т. 38. № 10. С. 1216-1222.I

54. Baygents J.С., Baldessari F. Electrohydrodynamic instability in a thin fluid layer with an electrical conductivity gradient // Phys. Fluids. 1998. V. 10. P. 301-311.

55. Buchanan M.E., Saville D.A. Electrohydrodynamic stability in electrochemical systems // Proceedings of APS 53rd Annual Meeting.2000. Washington, DC.

56. Lerman I., Rubinstein I., Zaltzman B. Absence of bulk electro-convective instability in concentration polarization // Phys. Rev. E. 2005. V. 71. № 1. P. 011506.

57. Духин С.С., Мищук Н.А., Тахистов П.В. Электроосмос второго рода и неограниченный рост тока в смешанном монослое ионита //, Коллоидн. журн. 1989. Т. 51. № 3. С. 616-618.67.' Духин С.С., Дерягин Б.В. Электрофорез. М.: Наука, 1976. 328 с.

58. Zholkovskij Е.К., Vorotyntsev М.А., Staude Е. Electrokinetic instability of solution in a plane—parallel electrochemical cell // J. Coll. Interf. Sci. 1996. V. 181. № 28. P. 28-33. 1

59. Bazant M.Z., Squires T.M. Induced-charge electro-kinetic phenomena: theory and microfluidic applications // Phys. Rev. Lett, i 2004. V. 92. P. 066101.i

60. Rubinstein I., Zaltzman B. Electro-osmotically induced convection at a permselective membrane // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. № 2. P. 2238-2251.i

61. Rubinstein I., Zaltzman B. Wave number selection in a nonequilibrium electro-osmotic instability // Phys. Rev. E. 2003. V. 68. № 3. P. 032501.

62. Rubinstein I., Zaltzman В., Lerman I. Electroconvective instability in concentration polarization and nonequilibrium electro-osmotic slip // Phys. Rev. E. 2005. V. 72. № 1. P. 011505.i

63. Pundik Т., Rubinstein I., Zaltzman B. Bulk electroconvection in- electrolyte // Phys. Rev. E. 2005. V. 72. № 6. P. 061502.i

64. Storey B.D., Zaltzman В., Rubinstein I. Bulk electroconvective instability at high Peclet numbers // Phys Rev. E. 2007. V. 76. № 4. P. 041501.

65. Rubinstein I., Zaltzman B. Electro-osmotic slip of the second kind andiinstability in concentration polarization at electrodialysis membianes //

66. Math. Mod. Meth. Appl. Sci. 2001. V. 11. № 2. P. 263-300.76/ Zeleny J. The electrical discharge from liquid points, and a hydrostatic method of measuring the electric intensity at their surfaces // Phys. Rev. , 1914. V. 3. № 2. P. 69-91.

67. Zeleny J. On the conditions of instability of electrified drops // Proc. Camb. Phil. Soc. 1915. V. 18. P. 71-83.

68. Zeleny J. Instability of electrified liquid surfaces // Phys. Rev. 1917. V. 10. № 1. P. 1-6.

69. Taylor G.I. Disintegration of water drops in an electric field // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1964. V. 280. № 1382. P. 383-397.

70. Taylor G.I. Studies in electrohydrodynamics. I. Circulation produced in a drop by an electric field // Proc. R. Soc. Lon. A. 1966. V. 291. № 1425. P. 159-166.

71. Taylor G.I. Electrically driven jets // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1969. V. 313. № 1515. P. 453-475.

72. Magarvey R.H., Outhouse L.E. Note on the break—up of a charged liquid jet // J. Fluid Mech. 1962. V. 13. P. 151-157. ,

73. Cloupeau M.? Prunet—Foch B. Electrostatic spraying of liquids in cone-jet mode // J. Electrost. 1989. V. 22. P. 135-159.I

74. Cloupeau M., Prunet—Foch B. Electrohydrodynamic spraying functioning modes: a critical review // J. Aerosol Sci. 1994. V. 25. № 6. P. 1021-1036.I

75. Jaworek A., Krupa A. Classification of the modes of EHD spraying // J. Aerosol Sci. 1999. V. 30. № 7. P. 873-893.

76. Yeo L.Y., Lastochkin D., Wang S.-C., Chang H -С. A new ACelectrospray mechanism by Maxwell—Wagner polarization and capillary resonance'// Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92. № 13. P. 133902.

77. Maheshwari S., Chetwani N., Chang H.—C. Alternating current electrospraying // Ind. Eng. Chem. Res. 2009. V. 48. № 21. P. 9358-9368.

78. Malloggi F., Ende D., Mugele F. Phase selection and capillary breakup in AC electric fields // Langmuir. 2008. V. 24. P. 11847-11850.

79. Anno J.N. The mechanics of liquid jets. Lexington, Massachusetts:1.xington Books, 1977. 102 p. I

80. Eggers J., Villermaux E. Physics of liquid jets // Rep. Prog. Phys. 2008. V. 71. P. 036601.

81. Rayleigh, Lord. On the equilibrium of liquid conducting masses charged with electricity // Phil. Mag. 1882. V. 14. P.' 184-186.

82. Rayleigh, Lord. On the instability of jets // Proc. Lond. Math. Soc. 1878. V. 10. P. 4-13.

83. Rayleigh, Lord. On the instability of cylindrical fluid surfaces // Phil.

84. Mag. 1892. V. 34. № 207. P. 177-180.i

85. Стретт Дж.В. (лорд Рэлей). Теория звука. М.: Гостехиздат, 1955. Т. 1. 504 е.; Т. 2. 476 с.

86. Plateau J. Statique experimentale et theorique des liquides soumis aux seules forces moléculaires. Paris: Gauthier—Villars, 1873.98/ Huebner A.L. Disintegration of charged liquid jets // J. Fluid Mech. 1969. V. 38. № 4. P. 679-688.I

87. Basset A.B. Waves and jets in a viscous liquid // Am. J. Math. 1894. V. 16. № 1. P. 93-110.

88. Глонти Г.А. К теории устойчивости жидких струй в электрическом поле // ЖЭТФ. 1958. Т.' 34. № 5. С. 1328-1330.130 1iдиэлектрической жидкости в продольном электростатическом поле // ЖТФ. 2010. Т. 80. № 2. С. 45-50.

89. Saville D.A. Stability of electrically charged viscous cylinders // Phys. Fluids. 1971. V. 14. № 6. P. 1095-1099.

90. Saville D.A. Electrohydrodynamic stability: effects of charge relaxation at the interface of a fluid jet // J. Fluid. Mech. 1971. V. 48. P. 815-827.

91. Saville D.A. Electrohydrodynamic stability: fluid cylinders in longitudinal electric fields // Phys. Fluids. '1970. V. 13. № 12.1. P. 2987-2994.i

92. Melcher J.R., Taylor G.I. Electrohydrodynamics: a review of the role of interfacial shear stresses // Annu. Rev. Fluid Mech. 1969. V. 1. P. 111-146.

93. Melcher J.R. Continuum electromechanics. Massachusetts: The MIT Press, 1981. 640 p.

94. Mestel A.J. Electrohydrodynamic stability of a slightly viscous jet // ' J. Fluid Mech. 1994. V. 274. P. 93-113.i

95. Mestel A.J. Electrohydrodynamic stability of a highly viscous jet //

96. J. Fluid Mech. 1996. V. 312. P. 311-326. ' 'i

97. Шкадов В.Я., Шутов А.А. Устойчивость поверхностно-заряженной вязкой струи в электрическом поле // Изв. РАН. МЖГ. 1998. Т. 33. № 2. С. 29-40.

98. Кириченко В.Н., Петрянов И.В. и др. Асимптотический радиус слабопроводящей жидкой струи в электрическом поле // Докл. АН. СССР. 1986. Т. 289. № 4. С. 817-820.1

99. Шутов А.А. Форма несжимаемой слабопроводящей струи в сильном электрическом поле // Прикладная механика и техническая физика. 1991. № 2. С. 20-25.

100. Shutov A. A. On the capillary decay of jet in electric field // Трудымеждународной Аэрозольной конференции. Москва, М.: РИЦ МГИУ, . 2000. С. 304-308.

101. Шутов А. А. Автомодельное решение задачи о форме струи с граниIцей раздела в продольном силовом поле // Математическое моделирование. 2007. Т. 19. № 11. С. 80-82.

102. Шутов А.А. Формирование и зарядка струй, капель и плёнок слабо-проводящих жидкостей в электрическом поле // Диссертация на соискание учёной степени доктора физ—мат. наук. Москва, 2008. 292 с.

103. Hohman М.М., Shin М. et al. Electrospinning and electrically forced jets. I. Stability theory // Phys. Fluids. 2001. V. 13. № 8. P. 2201-2220.

104. Hohman M.M., Shin M. et al. Electrospinning and electrically forced, jets. II. Applications // Phys. Fluids. 2001. V. 13. № 8. P. 2221-2236.

105. Shin Y.M., Hohman M.M. et al. Electrospinning: a whipping fluid jet generates submicron polymer fibers // Appl. Phys. Lett. 2001. V. 78. P. 1149-1151.

106. Garcia F.J., Gonzalez H. et al. Stability of insulating viscous jetsunder axial electric fields // JJ Electrost. 1997. V. 40. № 41. P. 161-166.i

107. Gonzalez H., Ramos A., Castellanos A. Parametric instability of conducting slightly viscous liquid jets under periodic electric fields // J. Electrost. 1999. V. 47. № 1,2. P. 27-38.

108. Gonzalez H., Garcia F.J., Castellanos A. Stability analysis of conducting jets under ac radial electric fields for arbitrary viscosity //

109. Phys. Fluids. 2003. V. 15. № 2. P. 395-407.t

110. Седов Д.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1977. 440 с.

111. Boyd J.P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods. New York: Dover Publications, 2001. 688 p.

112. Шкадов В.Я., Запрянов З.Д. Течения вязкой жидкости. М.: Изд— во Московского университета, 1984. 200 с.

113. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. 464 с.

114. Shtemler Yu.M. Stability of unsteady viscous flows // Fluid Dynamics. 1979. V. 16. № 4. P. 601-605.

115. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теоретическая физика. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматлит, 2005. 656 с.

116. Gogosov V.V., Shaposhnikova G.A. Electrohydrodynamics of surface phenomena // Appl. Electromagn. Mater. 1990. V. 1. № 1. P. 45-58.i

117. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1983. 528 с.

118. Gonzalez Н., Ramos A. et al. Fluid flow induced by nonuniform AC electric fields in electrolytes on microelectrodes. II. A linear double—layer analysis // Phys. Rev. E. 2000. V. 61. № 4. P. 4019-4028.

119. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Едиториал УРСС, 2003 416 с.

120. Юдович В.И. Вибродинамика и виброгеометрия механических систем со связями. Часть II // Успехи механики. 2006. Т. 4. № 3.i С. 75-129.i

121. Ландау Л.Д.', Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. М.: Физматлит, 2004. 224 с.

122. Симоненко И.Б. Метод усреднения в теории нелинейных уравнений параболического типа с приложением к задачам гидродинамической устойчивости. Ростов-иа-Дону: Изд. Рост, ун-та, 1986. 184 с.

123. Левенштам В.Б. Обоснование метода усреднения для параболических уравнений, содержащих быстроосциллирующие слагаемые с большими амплитудами // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. Т. 70. № 2. С. 25-56.

124. Шкадов В.Я. Некоторые методы и задачи теории гидродинамической устойчивости. М.: Изд. МГУ, Институт механики. Научн. труды25, 1973. 192 с.i

125. Eggers J. Universal pinching of 3D axisymmetric free—surface flow // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71. № 21. P. 3458-3460.

126. Eggers J., Dupont T.F. Drop formation in a one-dimensional approximation of the Navier—Stokes equation // J., Fluid. Mech. 1994. V. 262. P. 205-221.

127. Eggers J. Nonlinear dynamics and breakup of free-surface flows // Rev. Mod. Phys. 1997. V. 69. P. 865-929.

128. Eggers J. Singularities in droplet pinching with vanishing viscosity // SIAM J. Appl. Math. 2000. V. 60. № 6. P. 1997-2008.

129. Bechtel S.E., Carlson C.D., Forest M.G. Recovery of the Rayleigh• i capillary instability from slender 1—D inviscid and viscous models // Phys.

130. Fluids. 1995. V. 7. № 12. P. 2956-2971. I144. "Чесноков Ю.Г. Нелинейное развитие капиллярных волн в струе вязкой жидкости // ЖТФ. 2000. Т. 70. Ш 8. С. 31-38.

131. Sherwood J.D. The deformation of a fluid drop in an electric field: aslender-body analysis // J. Phys. A. 1991. V. 24. P. 4047-4053.i

132. Stone H.A., Lister J.R., Brenner M.P. Drops with conical ends in electric and magnetic fields // Proc. R. Soc. Lond. A. 1999. V. 455.1. P. 329-347.i

133. Garcia F.J., Castellanos A. One—dimensional models for slender axi— symmetrical viscous liquid jets // Phys. Fluids. 1994. V. 6. P. 2676-2689.