Электронные свойства углеродных наноструктур различной геометрии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

17-2008-132

На правах рукописи УДК 538.915

003452398

КОЛЕСНИКОВ Дмитрий Владимирович

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА УГЛЕРОДНЫХ НАНОСТРУКТУР РАЗЛИЧНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна 2008

003452398

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им.H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук В.А. Осипов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

JI.A. Фальковский (ИТФ им. Л.Д.Ландау, г. Москва)

доктор физико-математических наук В.В. Нестеренко (ЛТФ ОИЯИ, Дубна)

Ведущая организация:

Институт спектроскопии РАН, Троицк

Защита диссертации состоится "¿У " 2008 г. в /Г-0

на заседании диссертационного совета Д 720.001.01 при Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан "21 » 0/Q\iJjjU 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

А.Б.АРБУЗОВ

Общая характеристика диссертации.

Актуальность темы.

Как хорошо известно, углерод может существовать не только в форме графита или алмаза, но так же и в форме графена- плоского мономолекулярного слоя, а так же различных родственных ему наноструктур- нанотрубок, фулле-ренов, наноконусов и др. Простота синтезирования углеродных наноструктур, их высокая удельная поверхность и уникальные механические свойства (исключительно высокий из-за прочных углерод-углеродных зр2- связей модуль Юнга растяжения) определяют их использование в качестве фильтров и компонент композитных материалов. Электронные свойства углеродных наночас-тиц также значительно отличаются от свойств твёрдых тел. Малый линейный размер, эффективно низкая размерность наночастиц и структурообразующие топологические дефекты (в-основном дисклинации) приводят к значительным как локальным, так и нелокальным (нанотрубки) изменениям зонной структуры и изменению плотности состояний по сравнению со случаями графита и неискривлённой графитовой плоскости. Поскольку наночастицы с такими электронными свойствами могут быть использованы в различных электронных устройствах (точечные электронные эмиттеры, полевые и обычные диоды и транзисторы, устройства одноэлектроники и - в перспективе - квантовой логики), изучение электронных свойств углеродных наноструктур следует признать актуальным в ближайшей перспективе.

Для приближенного описания электронных свойств вначале графита, а затем и графена при низкой (вблизи энергии Ферми) энергии начиная с работы Ди Винченцо и Меле [1] использовалась теоретико-полевая модель, основанная на к ■ /^приближении, приводящая к эффективному безмассовому стационарному уравнению Дирака. Большинство углеродных наноструктур отличаются от графена только наличием дисклинаций (пяти- или семиугольников) и вызванным ими искривлением поверхности, при этом локально они подобны гра-фену (каждый атом связан с тремя другими в плоскости). В работах Ламмерта

и Креспи [2], Осипова, Кочетова и Пудлака [3], а так же Гонзалеса, Гвинеа и Возмедиано [4] теоретико-полевая модель была модифицирована для применения к различным типам углеродных наноструктур (впоследствии и к многослойным углеродным наноструктурам). Было найдено, что наличие положительных дисклинацнн (пятиугольников) приводит к появлению положительной Гауссовой кривизны и увеличению локальной плотности электронных состояний, а наличие отрицательных дисклинаций (семиугольников)- к появлению отрицательной кривизны и уменьшению плотности состояний

С экспериментальной точки зрения, электронные свойства углеродных наноструктур были исследованы и исследуются в настоящее время.

Целью работы является исследование электронных свойств различных углеродных наноструктур в рамках теоретико-полевого подхода.

Научная новизна и практическая ценность. Электронные свойства углеродных наноструктур важны как с фундаментальной точки зрения (в том числе в качестве моделей, описывающих распространение безмассовых ферми-онов), так и для многочисленных приложений (наноразмерных электронных устройств на углеродных нанотрубках и нанолентах, устройств, использующих электронную эмиссию с УНС и тд.). Существуют различные методы расчёта электронных свойств УНС, которые можно разделить на расчёты из первых принципов, эмпирические методы (включая приближение сильной связи) и континуальный теоретико-полевой подход. Ценность последнего подхода состоит в простоте применения и легкости введения дополнительных взаимодействий в модель.

В представленной на защиту диссертации исследованы электронные свойства различных УНС- наноконусов и нанохорнов, графена с отрицательной кривизной, сферических фуллеренов и закрытых углеродных нанотрубок. Показано, что углеродные нанохорны произвольной морфологии обладают локальной металлизацией вблизи острия. Численный расчёт, учитывающий существование нуль-моды, показывает увеличение плотности состояний вблизи вершины и более резкий рост плотности состояний при увеличении энергии (по сравнению с

плоским случаем) Для графена с отрицательной кривизной построена модель "конуса с избытком угла" (surplus-angle сопе), для которой задача сводится к решенной ранее задаче для обычного конуса Для сферических фуллеренов (Ih)-Tiuia построена модель "магнитного монополя" и найдено ее точное решение (спектр и собственные функции) Для закрытых углеродных нанотрубок численно найдена плотность состояний, обнаружен эффект размывания В<ш-Хововских сннгулярностсй вблизи вершины нанотрубки При помощи анализа асимптотического решения эффект связывается с геометрией нанотрубки

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах Лаборатории теоретической физики им. Н Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований (секторный и тематический семинары), а также представлялись и докладывались на: Международной конференции по теоретической физике "Dubna-NANO 2008" (Дубна, 2008); Международной конференции "Condensed Matter Physics in the prime of XXI century" (Lg,dek Zdrój, Poland, 2007); 9-ой научной конференции молодых ученых и специалистов ( Дубна, 2005); 4-й Международной конференции "Углерод: фундаментальные проблемы науки, материаловедение, технология" (Москва, 2005); Международной конференции "2-nd National Conference on Theoretical Physics and Titeica- Markov Symposium (Constancia, Romania, 2004).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем 101 страница, включая 28 рисунков и список литературы из 77 наименований.

Содержание работы

Во введении обсуждается актуальность проводимых исследований. Дано краткое содержание диссертации.

В первой главе даётся введение в теоретико-полевой подход к описанию

электронных свойств углеродных наноструктур Для плоского случая исходя из к ■ /¡"-формализма находится уравнение, описывающее электронную волновую функцию на двух подрешетках, сводящееся к двумерному стационарному безмассовому уравнению Дирака вида

—гсГФф = Еф,

где а- матрицы Паули, а энергия Е отсчитывается от энерги Ферми Находится дисперсионное соотношение и вычисляется зависимость плотности электронных состояний от энергии для плоского случая (графена). Учёт кривизны поверхности производится при помощи тетрадного формализма Влияние дис-клинаций учитывается введением калибровочных полей двух типов (Абелевого и неабелевого), возникающих соответственно из теории упругости в нерасширительном приближении и вследствии смешивания подрешеток при возникновении дисклинации Поля являются вихревыми, и их циркуляции вокруг дефектов, которые считаются сводимыми в точку, определяются формулами

/

а«*г = ЛГ|т2, (1)

для нечетного числа дефектов, и

айг = тг( у + — )т3, (2)

для четного, где число М, описывающее эффективный сдвиг, принимает значение М — 0, ±1

Второе поле определяется условием

г _ N

= (3)

Основное уравнение модели имеет вид

»ТЧ^,, - Ч - = Ефк, (4)

где ак — и калибровочные поля, уа- две зи(2)- матрицы размер-

ности 2x2, которые можно выбрать например в виде 7, = —а„ иУ(1 = 9(1 + Ц,,

где

Обсуждаются ограничения и свойства модели.

Во второй главе исследуются электронные свойства углеродных напокону-сов и углеродных нанохорнов. Поверхность модели, описывающая электронные свойства наноконусов и нанохорнов, имеет геометрию одной из частей двухпо-лостного гиперболоида, что связано с необходимостью учесть плавное изменение кривизны вблизи вершины наноконуса. Исследование поведения волновых функций при энергии Ферми показало, что для случая пяти дефектов- для нанохорнов- существует одно нормируемое решение (нуль-мода), что говорит о локальной металлизации нанохорнов вблизи их вершины. Использование найденных нуль-мод позволяет найти приближенное решение вблизи энергии Ферми, что в свою очередь позволяет численно найти волновые функции и плотность состояний (смотри Рис. 1). Также в Главе 2 исследуются элек-

Рисунок 1: Локальная плотность состояний нанохорна в произвольных единицах, зависящая от координаты (в единицах а) и энергии (в единицах ЬУр/а).

тронные свойства графена с отрицательной кривизной (в присутствии семи- и восьмиугольных колец). Поскольку поверхность считается нерастяжимой, введение отрицательной дисклинации (вставка в неё сектора в 60° или 120°) при-

2 X

-0.004

водит к появлению бесконечной отрицательной Гауссовой кривизны в центре (аналогично положительной кривизне в центре обычного конуса) Используя такую модель "конуса с избытком угла" (surplus-angle cone), а также приближение, учитывающие только угловые компоненты калибровочных полей, удалось свести задачу, не обладающую изначально аксиальной симметрией, к задаче для обычного конуса. Производится сравнение результатов с найденным ранее решением в приближении сильной связи [5].

В третьей главе исследуются электронные свойства сферических фулле-ренов и закрытых углеродных нанотрубок. Для сферических фуллеренов, подразделяющихся на два класса по наличию в них зеркальной симметрии (I) и (Ih) классы- исследуются циркуляции поля а вокруг групп дефектов. Для фуллеренов (Ih)- типа применяется приближение "размазанного поля", рассмотренное ранее в работе Гонзалеса, Гвинеа и Возмедиано [4]. Отличие от указанной работы состоит в том, что введение приближения производится самосогласовано, путём применения введенной в Главе 1 модели, учитывающей вместе с неабеле-вым также и абелево поле (аналог упругого поля дисклинации). Поставленная задача решается аналитически, находится спектр и собственные функции модели.

Та же модель расширяется для описания сферической крышки нанотрубок произвольной хиральности, причём крышка может являться также и половинкой фуллерена (I)- типа. Для такого случая поля дисклинации включают в себя ненулевой фактор, связанный с относительным сдвигом пятиугольников, для (Ih)- класса равный нулю. Таким образом, приближение "размазанного поля" перестаёт соответствовать полю магнитного монополя в произвольном случае, как в работе Гонзалеса и др. [4]. Для зоны нанотрубки используется стандартное поле, впервые введённое в работе Кане и Меле[6]. Для обоих областей, как того требует теоретико-полевой подход, вводится единая форма поверхности, качественно описывающая переход от полусферической крышки к трубке. Как и ранее, исследование асимптотического поведения волновой функции вблизи полюса полусферы и вдали от крышки позволило численно найти плотность

10

25 20 И

1

-1 10

25 20 15 10 3

Рисунок 2: Локальная плотность состояний (на единицу площади, в произвольных единицах) в зоне крышки (нижние рисунки), около крышки (в середине) »

и вдали от крышки (верхние рисунки). Результаты для металлических нанот-рубок показаны слева, для полупроводящих- справа. Здесь 1/а=0.9, и энергия Е измерена в единицах ЬУр/Я^

состояний (смотри рисунок 2). Основной особенностью поведения плотности состояний при различных энергиях в области трубки является "смазывание" Ван-Хововских сингулярностей (замена их на конечные пики с максимумами при больших энергиях). Смазывание сингулярностей объясняется геометрическим фактором после более пристального исследования асимптотических решений вдали от крышки.

В заключении кратко сформулированы полученные в диссертации результаты, которые выносятся на защиту.

На защиту выдвигаются следующие результаты:

1 Построена модель, описывающая электронные свойства углеродных на-HOKOHJCOB и нанохорнов Найдено отличие в электронных свойствах принятой в модели геометрии двухполостного гиперболоида и известной модели с конической геометрией Найдены нуль-моды и асимтотические решения модели

2. Для случая углеродных нанохорнов использованное низкоэнергетическое приближение позволило численно посчитать волновую функцию и плотность состояний при различных энергиях. Делается вывод о локальной металлизации углеродных нанохорнов

3 Для случая графена с отрицательной кривизной сформулирована модель "surplus-angle cone" Использовав приближение, учитывающее только полярные компоненты калибровочных полей, задачу удалось свести к решенной ранее задаче для обычного конуса

4 Сформулирована модель, описывающая электронные свойства сферических фуллеренов в приближении " магнитного монополя". Для случая (Ih)- фул-леренов аналитически найден спектр и волновые функции.

5. Сформулирована модель, описывающая свойства углеродных нанотрубок, закрытых половинками сферических фуллеренов. Численно найдена зависимость плотности состояний от энергии и положения, обнаружен и объяснен эффект размывания Ван-Хововской сингулярности вблизи крышки нанотрубки.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. D. V Kolesnikov and V. A. Osipov, Electronic structure of negatively curved graphene, JETP Letters 87, 487 (2008).

2. D.V.Kolesnikov and V A.Osipov, Geometry-induced smoothing of van Hove singularities in capped carbon nanotubes, Europhysics letters 78, 47002 (2007)

3 D V Kolesnikov and V.A.Osipov, The continuum gauge field-theory model for low-energy electronic states of icosahedral fullerenes , European Physical Journal В 49, 465 (2006)

4 D V Kolesnikov and V A Osipov Electronic structure of carbon nanoliorns near the Fenni level, JETP Letters 79, GGO (2004)

5 VA Osipov and D V Kolesnikov, Electronic Properties of Curved Carbon Nanos-tructures, Romanian Journal of Physics, 50 p.457 (2005)

G Материалы IX научной конференции молодых учёных и специалистов, 31 Янв - 6 Фев. 2005, Дубна, "Электронная плотность состояний углеродных нанохорнов вблизи уровня Ферми" , с.98

7. Материалы IX научной конференции молодых ученых и специалистов, 31 Янв. - 6 Фев. 2005, Дубна, "Нуль-моды двумерного уравнения Дирака в искривлённом пространстве", с. 247

8 D V. Kolesnikov and V A Osipov, Properties of van Hove singularities in capped carbon nanotubes, Dubna-NANO 2008 (book of abstracts), p.56, Dubna, 2008

Список литературы:

1. D. P. DiVincenzo and E. J. Mele, Self-consistent effective-mass theory for in-tralayer screening in graphite intercalation compounds, Physical Review В 29, 1685 (1984).

2 P. E. Lammert and V. H. Crespi, Graphene cones: Classification by fictitious flux and electronic properties, Physical Review В 69, 035406 (2004).

3. V. A. Osipov, E. A. Kochetov and M. Pudlak, Journal of Experimental and Theoretical Physics 96, 140 (2003).

4. J. González, F. Guinea and M.A.H. Vozmediano, Continuum Approximation to Fullerene Molecules, Physical Review Letters 69, 172 (1992).

5. R Тапшra and M Tsukada, Disclinations of monolayer graphite and their electronic states, Physical review В 49, 7697 (1994).

6 С L Kane and E J. Meie, Size, Shape, and Low Energy Electronic Structure of Carbon Nanotubes, Physical Review Letters 78, 1932 (2007).

Получено 30 сентября 2008 г.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 01.10.2008. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,81. Уч.-изд. л. 0,73. Тираж 100 экз. Заказ № 56330.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publish/

ВВЕДЕНИЕ.'.

1. ТЕОРЕТИКО-ПОЛЕВОЙ ПОДХОД К ОПИСАНИЮ ЭЛЕКТРОННЫХ СВОЙСТВ УГЛЕРОДНЫХ НАНОСТРУКТУР.

1.1 Уравнение Дирака в У НС

1.2 Учёт влияния дисклинаций на электронную структуру У НС: калибровочные поля.

1.3 Учёт кривизны поверхности УНС.

1.4 Ограничения модели и возможность её расширения

2. УГЛЕРОДНЫЕ НАНОКОНУСА И НАНОХОРНЫ.

2.1 Электронные свойства наноконусов.

2.2 Углеродные нанохорны. Локальная металлизация

2.3 УНС с отрицательной кривизной: "surplus-angle cone".

3. ФУЛЛЕРЕНЫ И ЗАКРЫТЫЕ НАНОТРУБКИ.

3.1 Сферические фуллерены: модель.

3.2 Сферические (1Ь)-фуллерены: точное решение.

3.3 Углеродные нанотрубки: простейшие электронные свойства и модель полусферической крышки

3.4 Закрытые углеродные нанотрубки: электронные свойства.

К настоящему моменту известно много типов наноструктур. Примерами таковых могут являться металлические наночастицы (а так же наноплёнки) [1, 2], наноструктуры, нанотрубки и квантовые точки на основе арсенида галлия (GaAs/AlGaAs) [3, 4, 5], различного рода наночастицы, включаемые в композитные материалы [6], углеродные наноструктуры, которые будут описаны ниже, а так же нанотрубки на основе бора [7, 8] и кремния [9, 10]. Основным методом получения наноструктур в значительных количествах является самосборка (self-assembling) [11], при этом внешние условия подбираются таким образом, чтобы образование желательного типа наноструктур было бы наиболее вероятно. На этом принципе основывается как первая установка для получения фуллеренов Смолли [12], так и установка с дуговым разрядом Кречмера-Хаффмана [13]. Методы получения наноструктур, относящиеся к типу " снизу-вверх" (сборка из компонент меньшего размера) также получают развитие [14], но они являются менее эффективными для относительно простых структур. Электронные микроскопы при этом используются не для сборки структур, но для манипуляции готовыми структурами (при создании различных устройств, использующих их) [15] и исследования свойств последних [16]. Также есть методы получения наноструктур, близкие к первой группе и являющиеся по-сути химическими [17]. Свойства наноструктур и массивов из них определяют области их применения. Так, высокая удельная поверхность и сорбционная способность позволяют использовать неупорядоченное графитовое и нанотрубочное волокно в качестве фильтров, среды для хранения жидкого водорода, химических сенсоров, а их исключительные механические свойства (модуль Юнга многостеночных углеродных нанотрубок при растяжении больше, чем у железа)- в качестве компонентов в лёгких и высокопрочных композитах [18, 19].

Как известно, электронные свойства наноструктур отличны от электронных свойств твёрдых тел. Такое отличие определяется как их размером, так и свойствами их структуры. Наиболее близким к наноструктурам феноменом в твёрдом теле будут свойства вблизи поверхности (связанные как с электронной структурой, так и с плаз-монами), а кроме того- свойства вблизи различных топологических дефектов, дислокаций и дисклинаций, а также других дефектов типа вакансий. При этом для случая наноструктур их свойства, связанные с малой пространственной размерностью, малыми размерами и/или топологическими дефектами (которые служат в наноструктурах структурообразующими) являются основными. Хорошо известно, что для случая низкой размерности могут появляться принципиально новые эффекты- Люттинджеровская жидкость для одномерных проводников

20], особенности, связанные с эффектом Холла и Вигнеровской кристаллизацией в двумерных системах [21, 22], а так же "искусственные атомы" с контролируемым дискретным спектром и.

Углеродные наноструктуры (УНС) включают в себя такие типы структур, как графеновые полосы (carbon nanoribbons), сферические и сфероидальные фуллерены, в качестве предельного случая последних-закрытые нанотрубки, а так же открытые нанотрубки, наноконуса и нанохорны, многослойные и комбинированные наноструктуры (пример - "гороховый стручок" C6o@CNT- представляет собой фуллерены, размещённые в углеродной нанотрубке [23]). УНС также могут химически присоединять к себе атомы, образовывать многослойные структуры при помощи химических связей, а фуллерены могут заключать в себе различные атомы и группы атомов. Необходимо отметить, что большинство углеродных наноструктур родственны скорее графиту и графену, а не алмазу, то есть внутри каждого слоя атомы соединены sp2~ связями, а между слоями в многослойных наноструктурах существует только слабое взаимодействие Ван-дер-Ваальса. Этот факт определяет подход к УНС, определяющий их через мысленную процедуру " сборки" из графитовой плоскости (или плоскостей), путём введения в неё различных дефектов. Для однослойных углеродных наноструктур, не содержащих "дырок" (разрывов sp2~ связей), эта "cut-and-paste" процедура является введением в графитовую плоскость дисклинаций (топологических дефектов вращения), что можно представить как разрезание краёв и вставление или удаление сектора поверхности, с последующей "склейкой" краёв. Таким образом, дисклинации определяют геометрические свойства наноструктур, а следовательно- и электронные свойства в одноэлектронном приближении. Основной задачей данной диссертации является исследование электронных свойств углеродных наноструктур в рамках описанного выше подхода.

Основными факторами, определяющими электронные свойства углеродных наноструктур (УНС), являются дисклинации и форма поверхности, при этом последняя сама по себе определяется дискли-нациями. Первая глава посвящена теоретико-полевому формализму, в котором дисклинации учитываются через введение двух типов калибровочных полей, а форма поверхности- через тетрадный формализм. Следуя [24], теоретико-полевой подход вводится в рамках (к • р)-приближения. Исходя из наличия в графитовой плоскости (гра-фене) двукратно вырожденной функции Блоха, доказывается тождественность уравнения, описывающего амплитуды Елоховских функций уравнению Дирака в двух пространственных измерениях с нулевой массой. Особое внимание уделяется существованию двух независимых /С-точек, важное для дальнейшего развития формализма. Простейшие электронные свойства графена легко вычислимы, "релятивистская" зависимость энергии квазичастицы от её волнового вектора (отсчитываемого от К-точки, роль скорости света играет скорость электронов на поверхности Ферми Ур) подтверждается различными экспериментами [25]. "Безмассовость" квазичастиц приводит к ряду необычных электронных свойств, таких как невозможность локализовать электроны в графене в потенциальной яме (парадокс Клейна). Вычисленные в Главе 1 электронные свойства плоского и бездефектного гра-фена (в первую очередь зависимость плотности электронных состояний от энергии) будут применяться в дальнейшем в качестве граничных условий для более сложных моделей. Далее рассматривается учёт кривизны поверхности У НС, вводимой согласно [26] в рамках тетрадного формализма. Поскольку УНС в рамках используемого подхода можно считать релаксируюгцей двумерной поверхностью, изменяющей свою форму для минимизации упругой энергии [27, 28], кривизна двумерных углеродных наноструктур (принимая, что локально решетка УНС везде совпадает с решеткой графена, кроме отдельных точек дефектов) непосредственно связана с наличием дисклинаций. Положительные дисклинации считаются порождающими положительную Гауссову кривизну, отрицательные- отрицательную. В работах Лам-мерта и Креспи [29, 30] было рассмотрено калибровочное поле, появляющееся при введении дисклинаций в графитовую плоскость. В продолжении Главы 1 рассматривается необходимость введения такого поля в исходном контексте (к ■ р)-приближения и эффективного уравнения Дирака а так же необходимость введения другого- Абелевого-поля, должного присутствовать ещё до рассмотренного приближения (см. так же статью [31]). Делается акцент на связи мощности дисклинации с геометрическими свойствами порождаемой ей поверхности (конкретно- спиновой связностью, которую так же можно формально рассматривать в качестве поля). В конце Главы 1 рассмотрены ограничения используемой теоретико-полевой калибровочной модели и возможности её дополнения и расширения.

Простейшей областью применения построенной модели являются УНС с поверхностью, порождаемой одной или несколькими близко расположенными дисклинациями (пятиугольниками). Такими УНС являются наноконуса, содержащие от одного до пяти пятиугольных колец в своей вершине. Считая, что такие структуры имеют коническую форму, можно построить точно решаемую модель, которая была развита в статье [29, 30]. Уравнения модели, описывающие поведение " спинорной" волновой функции и в конечном итоге электронную плотность, представляют собой систему двух связанных дифференциальных уравнений первого порядка на полубесконечном отрезке. Так как конус считается неограниченно большим и используется континуальный подход, описанная задача на собственные значения имеет непрерывный спектр, причём из точного решения следует, что он не имеет запрещённых зон. Единственным ограничением, производящим отбор волновой функции, являются граничное условие на границе отрезка, соответствующей вершине конуса. Это условие играет ключевую роль, и вместе с тем как экспериментальные данные, так и расчеты в рамках теории упругости [27, 28] указывают на плавное изменение кривизны в вершине структур, порождаемых из плоскости расположенными близко дисклинациями. Так как полная модель с геометрией, полученной из решения задачи теории упругости является излишне сложной в рамках используемого подхода , в Главе 2 рассматривается модель с геометрией двухполостного гиперболоида вместо геометрии конуса (а так же отсутствующим в модели Креспи вторым Абелевым полем дефекта). Изменение модели приводит к исчезновению аналитического решения, однако оказалось возможным получить приближенное решение, используя точно найденные решения при нулевой энергии (т. е. энергии Ферми) [31, 32]. Вдали от дисклинации, где волновые функции исследуемой модели совпадают с таковыми для конуса, можно проследить за уменьшением влияния дисклинации (как её калибровочных полей, так и вызванного ей искривления), так что вдали от дисклинации зависимость плотности электронных состояний совпадает с зависимостью плотности состояний от энергии для графена. Используя описанное выше поведение плотности состояний, для наиболее интересного класса наноконусов, содержащих ровно пять дисклинаций - для нанохорнов показывается существование локальной металлизации вблизи вершины.

В продолжении главы строится и исследуется модель, описывающая графен с отрицательной кривизной. Предполагая, что графено-вая плоскость является нерастяжимой, показывается, что введение в неё отрицательных дисклинаций приводит к образованию "конуса с избытком угла" - поверхности с бесконечной Гауссовой кривизной в центре. Если в такой модели отбросить радиальные компоненты калибровочных полей, связанные с отсутствием аксиальной симметрии, то задача сводится к решенной ранее задаче об обычном конусе (см. [29, 30]).

Исторически углеродные наноконуса были открыты позже других наноструктур, в первую очередь фуллерепов и углеродных нанотру-бок. Теоретико-полевые модели электронных свойств (1Ь)-фуллеренов и углеродных нанотрубок произвольной хиральности были рассмотрены в работах [34, 35] и [36] соответственно. Для фуллеренов существенную роль играет замкнутость поверхности (и конечность), сохраняющаяся и в континуальном приближении. По аналогии со случаем наноконусов каждая особая точка налагает граничное условие на решения уравнений модели. При построении модели на поверхности сферы возникают две особые точки (в сферических координатах соответствующие полюсам сферы), которые дают два независимых граничных условия. Для удовлетворения обоим граничным условиям спектр должен быть существенно дискретен, причём зависимость "масштаба" энергии спектра от размера хорошо описывается законом обратной пропорциональности (что говорит о том, что фуллерены представляют собой с достаточной степенью точности описания двумерный объект). В цитируемой работе была построена полевая модель с "размазанным" источником калибровочного неабелевого поля (аналогииным источнику "магнитного монополя" фиксированного заряда) и найдены нуль-моды. Что же касается углеродных нанотрубок, основным свойством которых является значительная (по сравнению с поперечным размером) длина, то построенная в [36] модель является в настоящее время стандартной для описания низкоэнергетических возбуждений, транспортных свойств и т. д. Основной особенностью модели является разделение всех нанотрубок на два больших класса- "чистых" металлических и полупроводящих, имеющих запрещённую зону обратно пропорциональную радиусу (если учитывать ещё и добавки более высокого порядка, из первого класса можно выделить "слабо" полупроводящие с небольшой запрещенной зоной). На границе зоны плотность состояний стремится к бесконечности, что известно как Ван-Хововские сингулярности. Сингулярности в зависимости плотности электронных состояний от энергии на границе зоны, а так же на регулярном расстоянии от неё (на границах зон в другом канале) связаны с эффективным уменьшением размерности нанотрубки (при описании плотности состояний нанотрубка считается эффективно одномерной). Нанотрубки могут быть открытыми или закрытыми, причем в последнем случае шесть пятиугольников (необходимых для закрывания нанотрубки без разрыва связей) согласно так называемому "правилу изолированных пятиугольников" будут распределены по закрывающей крышке более или менее равномерно.

В Главе 3 рассматривается полевая модель, описывающая электронные состояния сферических фуллеренов (Ш)-типа. За основу была взята цитируемая выше модель Гонзалеса и др. [34, 35]. Суть используемой модели- использование приближения " размазанного поля", когда вместо двенадцати единичных источников роля, соответствующих дис-клинациям, вводится гомогенный распределённый источник поля, так что модель сохраняет однородность при включении в неё полей (а уравнения сохраняют аксиальную симметрию). Для (1Ь)- фуллеренов такое поле аналогично полю магнитного монополя, помещённого в центр фуллерена. Было произведено дополнение и обоснование этой модели с использованием формализма, описанного в 1 главе; было показано, что наличие двух калибровочных полей (Абелевого и иеабелевого) в итоге соответствует двум монополям с зарядами 5/2 и 1/2, что отлично от указанного в цитируемой работе. Как и для случая [34], вводится дополнительное "изоспиновое" расщепление задачи, но оно отделяется от К-спинового расщепления, не дающего вклада в оператор момента. Была поставлена и аналитически решена задача на энергетический спектр и собственные функции (Ш)-фуллеренов. Сферические фулле-рены разделяются по симметрии своей кристаллической решетки на два типа- (I) и (1Ь), в зависимости от отсутствия/наличия зеркальной симметрии решетки. В третьей главе также рассматривается модель с "размазаным полем" для (I)- фуллеренов, однако построить точно решаемую модель для такого случая не представляется возможным. Необходимо также отметить, что в некоторых случаях (а именно-когда фактор, отвечающий за поле трансляции равен нулю, см. ниже) модель для (I)- фуллеренов полностью сводится к модели для (1Ь)- фул-леренов.

Закрытые углеродные нанотрубки (рассматриваемые как полубесконечные объекты) состоят из двух областей- полусферической области крышки, содержащей шесть пятиугольников и цилиндрической трубки. Принимая, что крышка представляет собой в точности половину сферического фуллерена (содержащую ровно шесть пятиугольников), удалось построить модель, описывающую электронные свойства закрытой нанотрубки. В последней части третьей главы показано, что из двух возможных типов сферических фуллеренов (I и 1Ь) (Ш)-тип закрывает всегда только нанотрубки металлического типа, а (^-тип-металлические или полу проводящие, в зависимости от радиуса. Используя иссоедованное ранее приближение "размазанного поля", для модели закрытой нанотрубки поле в области крышки считается совпадающим с полем фуллерена (так как топологическая характеристика закрытой нанотрубки совпадает с плоским случаем, дополнительного " изоспинового" расщепления не вводится). В области трубки поле принимает значение, согласующееся с ранними моделями [36]. В рамках используемого самосогласованного формализма, таким образом, соответствие (1Ь)- и эквивалентным им фуллеренов металлическим нанот-рубкам прямо следует из непрерывности калибровочных полей в области соединения крышки с нанотрубкой. Проведённое численное решение уравнений модели показало для обоих случаев полупроводящей и металлической напотрубок общее уменьшение плотности состояний в области крышки, а так же неожиданное исчезновение Ван-Хововских сингулярностей (замена их на пики конечной высоты, увеличивающиеся при удалении от крышки). Максимум пиков находится при энергии, большей чем граница зоны рассматриваемого канала. Ван-Хововские сингулярности и их "размывание" подробно изучаются в настоящее время как экспериментально [37, 38], так и теоретически, но ранее в рамках одноэлектронной задачи (без введения кулоновского взаимодействия, беспорядка и т. п.) размывание Ван-Хововских сингулярностей не рассматривалось. В заключении Главы 3 изложен оригинальный результат, объясняющий "размывание" Ван-Хововских сингулярностей геометрическим механизмом. Анализ асимптотического решения модели вдали от крышки и на границе зоны позволил качественно описать переход конечных пиков в сингулярности при удалении от крышки.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и основывается на работах [31, 32, 33, 42, 43, 44, 45].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе теоретико-полевого подхода, включающего учёт кривизны поверхности и два вида калибровочных полей, построена модель, описывающая электронные свойства углеродных наноконусов. Подробно исследован случай нанохорнов, доказана локальная металлизация на-нохорнов вблизи вершины и численно найдена зависимость плотности состояний от энергии и координаты, показан значительный рост плотности состояний вблизи вершины. Для случая графена с отрицательной кривизной сформулирована модель "surplus-angle cone". Использовав приближение, учитывающее только полярные компоненты калибровочных полей, задачу удалось свести к решенной ранее задаче для обычного конуса.

Для сферических (1Ь)-фуллеренов была построена полевая модель на основе используемого подхода в приближении "размазанного поля". Было найдено точное аналитическое решение (энергетический спектр и собственные функции) для данной модели.

На основе приближения "размазанного поля" была построена модель, описывающая электронные свойства углеродной нанотрубки произвольной хиральности, закрытой половинкой сферического (I) или

Ш)-фуллерена. Численное исследование зависимости плотности состояний от энергии показало размывание Ван-Хововских сингулярнос-тей в трубке вблизи перехода в крышку. Анализ асимптотических решений позволил объяснить размывание сингулярностей на границах зон было влиянием геометрии трубки.

В заключение считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю В.А. Осипову за постановку задачи и помощь, оказанную в выполнении работы. Я также благодарен РФФИ (Грант #08-02-01027) и программе Боголюбов-Инфельд за финансовую поддержку исследований.

1. R.-L. Chern, Х.-Х. Liu, and С.-С. Chang , Particle plasmons of metal nanospheres: Application of multiple scattering approach, Physical Review E 76, 016609 (2007).

2. J. Trice et al., Pulsed-laser-induced dewetting in nanoscopic metal films: Theory and experiments, Physical Review В 75, 235439 (2007).

3. A. I. Persson et al., Solid-phase diffusion mechanism for GaAs nanowire growth, Nature Matherials 3, 677 (2004).

4. V. Ya. Prinz et al., A technique for fabricating InGaAs/GaAs nan-otubes of precisely controlled lengths, Nanotechnology 13, 231 (2002).

5. С. Kammerer et al., Photoluminescence Up-Conversion in Single Self-Assembled InAs/GaAs Quantum Dots, Physical Review Letters 87, 207401 (2001).

6. E. Ruiz-Hitzky et al., Nanocomposite materials with controlled ion mobility, Advanced Materials 7, 180 (2004).

7. R. Sen, B-C-N, C-N and B-N nanotubes produced by the pyrolysis of precursor molecules over Co catalysts, Chemical Physics Letters 287, 671 (1998).

8. A. Rubio, J. L. Corkill, and M. L. Cohen, Theory of graphitic boron nitride nanotubes, Physical Review В 49, 5081 (1994).

9. M. Zhang et al., Why silicon nanotubes stably exist in armchair structure, Chemical Physics Letters 379, 81 (2003).

10. A. K. Singh et al., Magnetism in Transition-Metal-Doped Silicon Nanotubes, Physical Review Letters 91, 146802 (2003).

11. G. M. Whitesides and B. Grzybowski, Self-Assembly at All Scales, Science 295, 2418 (2002).

12. P. E. Смолли, Открывая фуллерены (нобелевская лекция), Успехи Физических Наук 168, 324 (1998).

13. М. Е. McHenry et al., Superparamagnetismin carbon-coated Co particles produced by the Kratschmer carbon arc process, Physical Review В 49, 11358 (1994).

14. В. И. Балыкин, Атомно-проекционная параллельная фабрикация наноструктур, Успехи Физических Наук 177, 780 (2007).

15. R. S. Liu et al., Assembling ferromagnetic single-electron transistors by atomic force microscopy, Nanotechnology 18, 055302 (2007).

16. B.An et al., Applied Physics Letters 78, 3696 (2001).

17. P. M. Parthangal, R. E. Cavicchi and M. R. Zachariah, A generic process of growing aligned carbon nanotube arrays on metals and metal alloys, Nanotechnology 18, 185605 (2007).

18. R. H. Baughman, A. A. Zakhidov, W. A. de Heer, Carbon Nanotubes-the Route Toward Applications, Science 297, 787 (2002).

19. Ю.Е. Лозовик, A.M. Попов, Свойства и нанотехнологические применения нанотрубок, УФН 177, 786 (2007).

20. J. М. Luttinger, An exactly soluble model of a many fermion system, Journal of Mathematical Physics 4, 1154 (1963)

21. T. Ando, A. B. Fowler and F. Stern, Electronic properties of two-dimensional systems, Review of Modern Physics 54, 437 (1982).

22. L. A. Falkovsky, Unusual field and temperature dependence of Hall effect in graphene, Phys. Rev. В 75, 033409 (2007).

23. J. Cambedouzou et al., Low-frequency excitations of C60 chains inserted inside single-walled carbon nanotubes, Physical Review В 71, 041403 (2005).

24. D. P. DiVincenzo and Е. J. Mele, Self-consistent effective-mass theory for intralayer screening in graphite intercalation compounds, Physical Review В 29, 1685 (1984).

25. M. Katsnelson, Graphene: carbon in two dimensions, Materials Today 10, 20 (2007).

26. E. A. Kochetov and V. A. Osipov, J.Phys. A: Math.Gen. 32, 1961 (1999).

27. H. S. Seung and D. R. Nelson, Defects in flexible membranes with crystalline order, Physical Reviev A 38, 1005 (1988).

28. D. R. Nelson and L. Peliti, J. Phys. (Paris) 48, 1085 (1987).

29. P. E. Lammert and V. H. Crespi, Graphene cones: Classification by fictitious flux and electronic properties, Physical Review В 69, 035406 (2004).

30. P. E. Lammert and V. H. Crespi, Topological Phases in Graphitic Cones, Physical Review Letters 85, 5190 (2000).

31. V. A.Osipov and D.V.Kolesnikov, Electronic Properties of Curved Carbon Nanostructures, Romanian Journal of Physics, 50 p.457 (2005).

32. D.V. Kolesnikov and V.A.Osipov, Electronic structure of carbon nanohorns near the Fermi level, Письма в ЖЭТФ 79, 660 (2004).

33. D. V. Kolesnikov and V. A. Osipov, Electronic structure of negatively curved graphene, Письма в ЖЭТФ 87, 487 (2008).

34. J. González, F. Guinea and M.A.H. Vozmediano, The electronic spectrum of fullerenes from the Dirac equation, Nuclear Physics В 406, 771 (1993).

35. J. González, F. Guinea and M.A.H. Vozmediano, Continuum Approximation to Fullerene Molecules, Physical Review Letters 69, 172 (1992).

36. C. L. Kane and E. J. Meie, Size, Shape, and Low Energy Electronic Structure of Carbon Nanotubes, Physical Review Letters 78, 1932 (2007).

37. P. Kim, T. W. Odom, J.-L. Huang, and С. M. Lieber, Electronic Density of States of Atomically Resolved Single-Walled Carbon Nanotubes: Van Hove Singularities and End States, Physical Review Letters 82, 1225 (1999).

38. A. Rubio, Spectroscopic Properties and STM Images of Carbon Nanotubes, Applied Physics A 68, 275 (1999).

39. A.C. Давыдов, Теория твердого тела, M. : Наука , 1976.

40. A. Cortijo and M. A. H. Vozmediano, Electronic properties of curved graphene sheet, Europhysics Letters 77, 47002 (2007).

41. H. Matsumura and T. Ando, Effective-Mass Theory of Carbon Nan-otube Junctions, Journal of Physical Society of Japan 67, 3542 (1998).

42. D. V. Kolesnikov and V.A.Osipov, Geometry-induced smoothing of van Hove singularities in capped carbon nanotubes, Europhysics letters 78, 47002 (2007).

43. D. V. Kolesnikov and V.A.Osipov, The continuum gauge field-theory model for low-energy electronic states of icosahedral fullerenes , European Physical Journal В 49, 465 (2006).

44. Д. В. Колесников и В. А. Осипов, Материалы IX научной конференции молодых учёных и специалистов, 31 Янв. 6 Фев. 2005, Дубна, "Электронная плотность состояний углеродных нанохор-нов вблизи уровня Ферми" , с.98.

45. Д. В. Колесников и В. А. Осипов, Материалы IX научной конференции молодых учёных и специалистов, 31 Янв. 6 Фев. 2005, Дубна, "Нуль-моды двумерного уравнения Дирака в искривлённом пространстве", с. 247.

46. R. С. Т. da Costa, Quantum mechanics of a constrained particle, Physical Review A 23, 1982 (1981).

47. G.E. Volovik, Superfluid Analogies of Cosmological Phenomena, Physics Reports 351, 195 (2001).

48. P. R. Wallace, The band theory of graphite, Physical Review 71, 622 (1946).

49. G. S. Painter and D. E. Ellis, Electronic Band Structure and Opticalproperties of Graphite from Variational Approach, Physical review В 1, 4747 (1970).

50. J. C. Slonczevski and P. R. Weiss, Band Structure of Graphite, Physical Review 109, 272 (1958).

51. V. A. Osipov, E. A. Kochetov and M. Pudlak, Journal of Experimental and Theoretical Physics 96, 140 (2003).

52. С. Вейнберг , Гравитация и космология; M: Мир, 1975

53. G. A. Gallup, The application of zero-range potentials to the electronic properties of footballene, C60, Chemical Physics Letters 187, 187 (1991).

54. E. Manousakis, Electronic structure of C60 within the tight-binding approximation, Physical Review В 44, 10991 (1991).

55. J. W. Mintmire, В. I. Dunlap, D. W. Brenner, R. C. Mowray, and С. T. White, Local-density-functional calculation of photoelectron spectra of fullerenes, Physical review В 43, 14281 (1991).

56. M. Pudlak, R. Pincak and V.A. Osipov, Electronic structure of spheroidal fullerenes in a weak uniform magnetic field: a continuum field-theory model, Physical Review A, 75, 025201 (2007).

57. H. Suzura and T. Ando, Phonons and electron-phonon scattering in carbon nanotubes, Physical Review В 65, 235412 (2002).

58. C. L. Kane and E.J. Meie, Electron Interactions and Scaling Relations for Optical Excitations in Carbon Nanotubes, Physical Review Letters 93, 197402 (2004).

59. S. Bellucci, J. Gonzalez and P. Onorato, Crossover from the Luttinger-Liquid to Coulomb-Blockade Regime in Carbon Nanotubes, Physical Review Letters 95, 186403 (2005).

60. V.A. Osipov, E.A. Kochetov, Dirac fermions on graphite cones, JETP Letters 73, 631 (2001).

61. J.-C.Charlier and G.-M. Rignanese, Electronic Structure of Carbon Nanocones, Physical Review Letters 86, 5970 (2001).

62. J.-M.Bonard, R. Ga'al, S. Garaj, et al., Field emission properties of carbon nanohorn films, Journal of Applied Physics 91, 10107 (2002).

63. S. Berber, Y.-K. Kwon, and D. Tomanek, Electronic and structural properties of carbon nanohorns, Physical Review B 62, R2291 (2000).

64. S.Iijima, P. M. Ayayan,and T. Ichihashi, Growth model for carbon nanotubes, Physical Review Letters 69, 3100 (1992).

65. H. Terrones and M. Terrones, Curved nanostructured materials, New Journal of Physics 5, 126.1 (2005).

66. R. Tamura and M. Tsukada, Disclinations of monolayer graphite and their electronic states, Physical review B 49, 7697 (1994).

67. Н. Terrones and М. Terrones, Quasiperiodic icosahedral graphite sheets and high-genus fullerenes with nonpositive Gaussian curvature, Physical Review В 55, 9969 (1997).

68. M. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен, Теория суперструн, т.2, М.: Мир, 1990.

69. V. A. Osipov, Extension of Kadic-Edelen gauge model: electronic properties of defect systems, Physica A 175, 369 (1991).

70. A. A. Abrikosov, jr., Fermion states on the sphere S2, International Journal of Modern Physics A 17, 85 (2005).

71. Terrones H. et al., Phys. Rev. Lett. 84, 1716 (2000).

72. E. Manousakis, Electronic structure of C60 within the tight-binding approximation, Physical Review В 44, 10991 (1991).

73. Y.-L. Lin and F. Nori, Electronic structure of СбО within the tight-binding approximation, Physical Review В 44, 10991 (1991).

74. A. G. Tang, F. Q. Huang and R. Z. Liu, Electronic structures of fullerenes Cn with Ih symmetry and n= 20k2, Physical Review В 53, 7442 (1996).

75. A. Pérez-Garrido, F. Alhama and D. J. Katada, Electronic structure of fullerenes with defects, Chemical Physics 278, 71 (2002).

76. Dai H., Carbon nanotubes: opportunuties and challenges, Surface Science 500, 218 (2002).

77. А. В. Елецкий, Углеродные нанотрубки, Успехи Физических наук 167, 945 (1997).