Энергетический спектр и вертикальная прыжковая проводимость сверхрешеток с контролируемым беспорядком тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.10 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

__________НГо

им. М.В. ЛОМОНОСОВА п ¡- ~ 0Д

1 в Д-К ?№

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 621.315.591

Ормонт Михаил Александрович

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И ВЕРТИКАЛЬНАЯ ПРЫЖКОВАЯ ПРОВОДИМОСТЬ

СВЕРХРЕШЕТОК С КОНТРОЛИРУЕМЫМ БЕСПОРЯДКОМ.

01 (МЛ 0 - физика полупроводников и диэлектриков

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена на кафедре физики полупроводников физического факультета Московс государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор И.П. Звягин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

В.А. Кульбачинский

доктор физико-математических наук В.А. Сабликов

Ведущая организация:

Московский физико-технический институт

Защита состоится "21" декабря 2000г.

в 12 час. на заседании Специализированного Совета

К.053.05.20 в МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу:

119899, г. Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факультет,

криогенный корпус, аудитория 2-05а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан " ноября 2000г.

Ученый секретарь Специализированного Совета К.053.05.20 МГУ им. М.В. Ломоносова /

доктор физико-математических наук, профессор

Г.С. Плотник

/3 519.ШЛ-6 0$

/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. Актуальность темы Последние годы характеризуются стремительным развитием физики систем пониженной размерности. Следует отметить, что в значительной степени это развитие обусловлено совершенствованием высоких технологий, позволяющих создавать такие структуры. "Впервые" идея создания полупроводниковой сверхрешетки (СР) была высказана Есаки и Цу в 1970 г [1].

Строго говоря, в любой СР существует случайный разброс толщин слоев. Как правило, основные технологические усилия при создании СР направлены на уменьшение беспорядка и создание как можно более совершенных периодических структур [2] В то же время особенности технологического процесса позволяют выращивать и непериодические структуры с контролируемым изменением параметров отдельных слоев структур с множественными квантовыми ямами (инженерия сверхрешсток и квантовых ям). В частности, таким путем можно искусственно задавать вертикальный беспорядок (беспорядок в направлении оси роста). Этот подход был реализован при создании и исследовании сверхрешеток с контролируемым беспорядком (СРКБ)

СРКБ представляют собой структуры с квантовыми ямами, распределение уровней размерного квантования в которых можно задавать контролируемым образом путем управления толщинами слоев в процессе роста. СРКБ являются модельными квазиодномерными системами, позволяющими изучать влияние величины и типа беспорядка на энергетический спектр и кинетические свойства сверхрешеток.

Результаты недавних исследований структур на основе СаА$ЛЗаА1А5 [3], однородно по объему легированных с числом ям порядка 102, обнаружили ряд нетривиальных особенностей вертикальной (в направлении оси роста СР) проводимости при низких температурах В частности, оказалось, что даже при большом беспорядке, когда задаваемая ширина случайного распределения уровней размерного квантования (флуктуации ширин ям обеспечивали гауссово распределение уровней размерного квантования) заметно превосходит ширину минизоны и естественно ожидать, что все состояния минизоны локализованы, вертикальная проводимость слабо зависит от температуры, демонстрируя квазиметаллическое поведение Для объяснения указанной особенности поведения вертикальной проводимости в [3] было предположено, что она связана с влиянием кулоновских полей, обусловленных перераспределением электронов между ямами, на энергетический спектр легированной СР.

Цель настоящей работы состоит. 1. в исследовании влияния кулоновских полей, возникающих вследствие беспорядка, на

электронный спектр легированных композиционных СРКБ; 2 в вычислении вертикальной проводимости СРКБ и анализе ее температуркой зависимости

Научная новизна работы заключается з следующем 1. Проведен расчет электронного энергетического спектра легированных СРКБ с учетом кулоновских полей, связанных с перераспределением электронов между квантовыми ямами.

2 Для вычисления основного состояния легированных СРКБ применен метод, основанный на

модификации теории функционала плотности. 3. Показано, что в стационарном случае в слабых электрических полях задачу о проводимости СРКБ можно свести к задаче о сетке случайных сопротивлений, "включенных" между "макроузлами", соответствующими квантовым ямам

4. Вычислены эффективные сопротивления для междуямных переходов с участием акустических и оптических фононов. Показано, что при не слишком малых концентрациях и не слишком низких температурах температурная зависимость интегральных темпов переходов между ямами и вертикальная прыжковая проводимость СРКБ может быть безактивационной.

1. Применение метода, основанного на теории функционала плотности, к расчету основного состояния легированных СРКБ.

2. Сведение квантового кинетического уравнения для электронов в СРКБ к уравнению баланса для электронных переходов между макроузлами, соответствующими квантовым ямам. Расчет вертикальной проводимости СРКБ путем сведения задачи к сетке случайных сопротивлений, "включенных" между макроузлами.

3. Анализ температурной зависимости вертикальной прыжковой проводимости СРКБ.

Научная и практическая значимость. Результаты настоящей работы могут быть

использованы при разработке новых функциональных принципов создания приборов на основе

наноструктур с использованием композиционных сверхрешеток.

приложения и списка литературы, включающего 106 наименований. Основная часть работы изложена на 121 страницах машинописного текста. Работа содержит 13 рисунков.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ, в том числе 3 статьи и 8 тезисов докладов на конференциях, список которых приведен в конце автореферата.

Апробация Результаты диссертации докладывались на 3-й и 4-й Всероссийских конференциях по физике полупроводников (Москва 1997г., Новосибирск 1999г.}, 24-ой Международной конференции по физике полупроводников (Иерусалим 1998г.), Ломоносовскш чтениях (Москва 1998г.), 6-ой конференции студентов и аспирантов "Ломоносов 99' (Москва 1999г.), 8-ой Международной конференции по прыжковому переносу (Мурсия 1999г.) 8-ом Международном симпозиуме "Наноструктуры: физика и технология" (С.-Петербур< 2000г.).

Диссертация состоит из введения, четырех глав,

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении приводится обоснование актуальности темы диссертации; формулируется основная цель работы, приводятся результаты, имеющие научную новизну, и положения, выносимые на защиту; обосновывается практическая значимость результатов работы.

В первой главе приводится литературный обзор методов, позволяющих рассчитывать энергетический спектр СР, работ, посвященных изучению электрических и оптических свойств СР и СРКБ.

В разделе 1 1 приводится обзор методов расчета электронного энергетического спектра сверхрешеток

Большинство методов, позволяющих рассчитывать электронный спектр полупроводниковых структур делятся на две группы. К первой относятся методы, в которых микроскопический потенциал находят самосогласованным образом с учетом перераспределения заряда [4]. Ко второй - методы, подобные методу эффективной массы [5], в которых микроскопический потенциал заменяют некоторым эффективным потенциалом, не содержащим периодического поля решетки Следует отметить, что первая группа методов, к которой относится и метод псевдопотенциала, позволяет рассматривать объекты с весьма сложной геометрией [б]. Однако методы, имеющие дело с микроскопическим потенциалом, весьма трудоемки и часто требуют весьма громоздких численных расчетов Методы второй группы, например, метод эффективной массы, гораздо более просты в исполнении, однако эти методы применимы лишь в для задач, в которых фигурируют характерные размеры, много большие, чем постоянная решетки. Вместе с тем, некоторые системы больших размеров с нетривиальной геометрией не могут быть исследованы ни методом псевдопотенциала (в силу большого размера), ни методом эффективной массы (из-за сложной геометрии) Примером таких пространственно неоднородных систем могут быть частично упорядоченные сплавы, СР с неровностями поверхностей раздела различных материалов, квантовые точки и нити ¡6] В этих случаях иногда оказывается возможным применять различные варианты метода сильной связи, сохраняющего основные эффекты микроскопического потенциала; с другой стороны, условия применимости этих методов существенно ограничивают допустимую величину взаимодействия между атомами [7] Действительно, з методе сильной связи сильная локализация волновых функций исходного базиса позволяет учитывать лишь взаимодействие между ближайшими соседями Основная сложность метода сильной связи состоит в нахождении матричных элементов гамильтониана, соответствующих различным базисным состояниям.

В разделе 1.1 1 рассматривается метод псевдопотенциала. Этот метод основан на почти полной компенсации отрицательной потенциальной и положительной кинетической энергий валентных электронов [4]. Математически это означает возможность перехода от уравнения Шредингера Нц/ = (Т + У)у/ = £у к его модификации (Я + У^уцг г (Г + V + Ук)у = Еу/ , где У„ ■ некоторый отталкивающий потенциал. Сумма потенциалов У+Ук и называется тсевдопотенциалом. При этом псевдоволновая функция у/ близка к волновой функции цг вне атомного ядра, однако, в отличие от у/ не осциллирует внутри ядра.

В разделе 1.1 2 обсуждается метод эффективной массы. Полагая, что добавочное поле главно меняется на периоде кристаллического потенциала, можно показать, что волновые функции электронных состояний представляются в виде блоховских функций, модулированных главными огибающими, которые в сверхрешетке отражают периодичность вдоль оси роста. В

методе эффективной массы периодический атомный потенциал приводит к изменению оператора кинетической энергии, в котором вместо массы свободного электрона появляется эффективная масса т', характеризующая зонную структуру или, иначе говоря, носитель заряда в идеальном бесконечно большом кристалле [8]. Метод огибающей можно применять при условии, что период сверхрешетки й много больше постоянной решетки кристалла а0, определяющей естественную периодичность, с(» а0. Таким образом, метод огабающей функции учитывает естественную периодичность кристалла в рамках приближения метода эффективной массы, а периодичность сверхрешетки находит отражение в огибающей функции, мало изменяющейся на периоде кристаллической решетки.

Чтобы найти энергетический спектр сверхрешетки в рамках метода эффективной массы, нужно решить задачу об электроне в периодическом прямоугольном потенциале, высота барьера которого представляет собой разность между положениями доньев зон проводимости в материалах, формирующих структуру. Если предположить, что в сверхрешетке эффективная масса электрона в пределах слоя не зависит от координаты, то уравнение Шредингера для электрона принимает обычный вид

кг

Н„Ч>(г)-

-У2 + К(г) 2т,

Ч(г) = ЕУ(г), (1)

Нг

где Я0 =--гУг + У{г), У(г) = У\ ¡^(г), ^(г) - потенциал г -го слоя СР. Отметим, что в

I

уравнении (1) можно осуществить разделение переменных, ища решение в виде Ч'(г) = Х(х)У(у)2(г). Волновые функции Х{х) и У(у) в плоскости слоя СР представляют собой плоские волны. В то же время, как 2{г) можно найти, решив уравнение

к2 й1

2« = £2(»). (2)

2лГ(г,.) сЬ7

Решение одномерного (вдоль оси роста) уравнения Шредингера можно находить методов Монте Карло [9] (разд. 1.1.2.а), вариационным методом (с ортогонализацией волновы; функций) [10] (разд. 1.1.2.а), методом конечных элементов [11] (разд. 1.1.2.Ь) или методов матрицы переноса [12] (разд. 1.1.2.с). Отметим, что вариационный метод с ортогонализацие! волновых функций является развитием метода Монте Карло, а метод матрицы переноса упрощением метода конечных элементов.

В разделе 1.1.3 рассматривается метод сильной связи. В случае, если барьеры достаточн< широки, т.е. состояния сильно локализованы в области квантовых ям (в направлении оа роста СР), для вычисления спектра можно применить метод сильной связи, считал мало] неортогональность собственных функций, вычисленных в приближении изолированной ямь [13].

В разделе 1.2 приводится обзор работ, посвященных изучению энергетического спектр сверхрешеток с контролируемым беспорядком методами, изложенными в разделе 1.1.

Впервые свойства СРКБ обсуждались в работе [13], в которой на основе метода сильно связи был проведен расчет полной к одномерной плотностей электронных состояний СРЮ для разных типов и величин контролируемого беспорядка. Основным результатом работы [13 было предсказание возможности существования щели в одномерной плотности состояний случае асимметричного затравочного распределения квантовых уровней в СРКБ, чтс фактически, соответствует модели с двумя типами центров.

В разделе 1.2 рассмотрен ряд работ, в которых разными методами исследовалась зависимость степени локализации волновых функций в СРКБ от типа и величины беспорядка. В работе [14] исследовалась возможность применения метода эффективной массы для нахождения энергетического спектра СР. На основе вычисления спектра _ регулярной СР методом псевдопотенциала и методом эффективной массы были построены зависимости энергий состояний от периода СР Сравнение полученных зависимостей показало, что при периодах СР, больших 10 монослоев, нет существенных отличий между результатами расчетов, полученных различными методами.

В ряде случаев беспорядок может быть ответственным за неожиданные свойства рассматриваемых нами структур. Действительно, в работе [14] было продемонстрировано, что состояния в СР с вертикальным беспорядком существенно локализованы вдоль оси роста, причем локализация тем сильнее, чем больше разброс толщин слоев СР. Однако в случае специального типа беспорядка в положении слоев (беспорядка Фибоначчи) электронные состояния в структуре могут оставаться делокализованными [15].

В разделе 1.3 приводится обзор работ, посвященных изучению оптических свойств сверхрешеток с контролируемым беспорядком и обсуждению существенно более интенсивной фотолюминесценции, которую обнаруживали неупорядоченные системы, по сравнению с упорядоченными короткопериодными СР того же состава (см., например, [16,17]).

В разделе 1.4 приводится обзор работ, в которых исследуются электрические свойства сверхрешеток с контролируемым беспорядком. Вертикальный транспорт в полупроводниковых регулярных СР впервые изучался Есаки и Чангом [18]. Ими было обнаружено, что одна из особенностей систем множественных квантовых ям состоит в появлении отрицательного дифференциального сопротивления при низких температурах. Кроме того, при азотных температурах зависимость дифференциального сопротивления от напряжения имела осциллирующий характер Наблюдавшиеся расстояния по энергии между соседними минимумами дифференциального сопротивления оказались близкими к величине энергетического зазора между первой и второй минизонами СР, что позволило интерпретировать полученный результат не только как демонстрацию образования доменов сильного поля, но и как подтверждение формирования первой и второй минизон

В разделе 1 4 обсуждаются результаты прямых электрических измерений температурной зависимости вертикальной проводимости СРКБ, приведенные в работе [3]

В разделе 1.5 обсуждаются проблемы и постановка задачи.

На сегодняшний день существует достаточно развитый набор методов (метод

псевдопотенциала, метод эффективной массы, метод сильной связи) для нахождения энергетического спектра систем (к примеру, СРКБ), состоящих из множественных квантовых ям. Целесообразность применения каждого из методов определяется главным образом геометрией систем.

В настоящей работе рассматриваются легированные СР с некоррелированным контролируемым беспорядком (при конкретных оценках выбираются параметры, соответствующие параметрам СРКБ, изучавшимся в работе [3]) Характерные значения среднего периода СРКБ (порядка 102 А) позволяют использовать метод эффективной массы. Вместе с тем, относительная техническая простота при решении задачи об энергетическом спектре имеет место лишь при известном профиле ограничивающего потенциала системы, который, однако, не всегда является заданным. Действительно, в рассматриваемом случае легированной СРКБ необходимо принимать во внимание кулоновские поля, возникающие из-

за перераспределения носителей заряда по квантовым ямам, и меняющие энергетический спектр системы. Это, в свою очередь, приводит к необходимости самосогласованной постановки задачи об энергетическом спектре. Поэтому для решения задачи об электронном энергетическом спектре легированной СРКБ мы использовали метод функционала плотности, позволяющий учесть указанные выше обстоятельства.

В работе задача решалась в пренебрежении неидеальностью границ раздела для случая узких квантовых ям, когда можно ограничиться рассмотрением лишь нижней подзоны размерного квантования.

Во второй главе обсуждаются методы расчета проводимости сверхрешеток с контролируемым беспорядком.

Используемые в работе методы расчета вертикальной проводимости СРКБ определяются особенностями механизма переноса, определяемого характеристиками структуры (числом ям, размерами ям и барьеров, степенью беспорядка) и внешними условиями (электрическим полем и температурой). Одна из особенностей идеальной регулярной СР с большим числом периодов состоит в существовании минизон, состояния в которых делокализованы в направлении оси роста СР. При возрастании вертикального беспорядка происходит авдерсоновская локализация электронных состояний и сужение минизоны делокализованных состояний до тех пор, пока при некоторой величине флуктуации случайного потенциала все состояния не становятся локализованными. Вертикальный перенос в регулярной периодической СР осуществляется по минизоне. Поскольку ширина минизоны мала (в типичных условиях порядка 10-20 мэВ), механизм переноса по минизоне может быть различным при разных температурах. При низких температурах имеет место обычный зонный перенос больцмановского типа, характеризуемый достаточно большими (по сравнению с периодом СР) длинами свободного пробега (например, относительно рассеяния на фононах). При повышении температуры длина свободного пробега уменьшается и, подобно тому, как это имеет место для поляронов малого радиуса в ионных кристаллах [19], происходит переход к прыжковой проводимости по локализованным состояниям.

В разделе 2.1 рассматривается применение метода функционала плотности к анализ) спектра уровней размерного квантования в сверхрешетках с контролируемым беспорядком.

В 1964 году Хохенберг и Кон показали, что свойства неоднородного электронного газа вс внешнем поле для невырожденного основного состояния определяются его электронно} плотностью [20]. Была доказана теорема, утверждающая, что для системы взаимодействующих частиц во внешнем поле соответствующий термодинамический потенциал, выраженный чере: универсальный функционал одночастичной плотности, не зависящий от потенциала внешнегс поля, достигает минимального значения, отвечающего основному состоянию, для равновесногс распределения плотности п(г).

Метод функционала плотности оказывается особенно удобным при описании влиянш кулоновских эффектов в неоднородных системах заряженных частиц. В силу флуктуацю положения края подзоны размерного квантования в отдельных ямах в СРКБ происходи; перераспределение электронов между ямами и, как будет видно из дальнейшего, этот мeтo^ весьма эффективен и при расчете распределения электронной плотности в СРКБ при учет< кулоновских эффектов.

При конечных температурах в качестве соответствующего термодинамического потенциал; нужно рассматривать свободную энергию

и^М+г^М+г.иадВД. О)

где - энтропия системы, Е„„[п] - кинетическая энергия системы невзаимодействующих

электронов, £н[и] - энергия взаимодействия между электронами, вычисленная в рамках классического приближения Хартри (сюда же включена энергия взаимодействия с положительным фоном), Ест/[п] - энергия взаимодействия, с ограничивающим_потенциалом,

¿иН - энергия взаимодействия с внешними полями, а Еи[п] - обменно-корреяяционный вклад в энергию системы. Заметим, что точный вид обменно-корреляционного вклада, вообще говоря, неизвестен, и для записи его выражения приходится пользоваться рядом приближений [21].

Хорошо известно, что при не слишком малых концентрациях носителей заряда вклад

обменно-корреляционных эффектов мал, и основную роль играют эффекты взаимодействия, описываемые в приближении Хартри [22]. В легированных СРКБ, обычно используемых, в экспериментах по исследованию вертикальной проводимости, концентраций легирующей примеси не слишком малы, и вкладом обменно-корреляционных эффектов можно

пренебречь Отметим, что в слабо легированных СР при низких температурах эти эффекты могут оказаться важными, приводя к переходу в состояние с неоднородным распределением электронов по ямам СР (образование электронных сверхструктур) даже в упорядоченных СР без искусственно вводимых флухтуаций ширин квантовых ям и уровней размерного квантования [23].

Процедура отыскания минимума соответствующего нелинейного функционала с учетом взаимодействия электронов в приближении Хартри, основанная на прямой минимизацию функционала, развита в 3 гл.

В разделе 2 2 рассматривается проводимость СРКБ при низких температурах.

Вообще говоря, в вертикальный перенос в структурах ограниченных размеров в направлении оси роста, могут дать вклад процессы когерентного туннелирования через всю-систему Проводимость при низких температурах, обусловленную изоэнергетическим туниелированием, можно рассчитать, используя формулу Ландауэра, обобщенную на случай конечных температур [24]. Отметим, что туннельная прозрачность СРКБ в интересующей нас области значений параметров оказывается пренебрежимо малой, что позволяет пренебречь процессами изоэнергетического туннелирования через всю структуру Это связано, с одной стороны, с тем, что суммарная длина туннелирования намного превышает длину затухания волновой функции электрона в подбарьерной области С другой стороны, уменьшение амплитуды "резонансных" пиков туннельной прозрачности, соответствующих различным пикам отдельных ям структуры, связано с асимметричным их положением в СРКБ,

В разделе 2.3 рассматривается уравнение баланса в теории прыжковой проводимости.

Вычисление вертикальной проводимости СРКБ в режиме прыжкового переноса проводится с использованием основных представлений теории прыжкового переноса по локализованным состояниям, развитой для неупорядоченных систем [25]. В основе этих методов лежит решение кинетического уравнения (уравнения баланса электронных переходов между локализованными состояниями) с помощью теории протекания

Миллер и Абрахаме [26] показали, что в стационарном случае рассматриваемая задача о вычислении полной проводимости системы в слабых электрических полях эквивалентна задаче о нахождения сопротивления случайной сетки сопротивлений, в которой каждый из узлов ! связан со всеми остальными сопротивлениями Я , определяемыми выражениями

Согласно [25,27], в случае асимптотически большого разброса сопротивлений основная

температурная зависимость проводимости системы определяется критическим перколяционным значением сопротивления Л = Лс, при котором появляется бесконечный кластер зацепляющихся связей, определяемых условием <Л.

В разделе 2.4 рассматриваются методы анализа прыжковой проводимости сверхрешеток с контролируемым беспорядком.

Важное отличие рассматриваемой задачи от обычной состоит в том, что состояния локализованы лишь в направлении оси роста структуры, в то время как в направлении вдоль слоев электроны ведут себя как свободные. Соответственно, в общем случае кинетическое уравнение должно представлять собой "гибрид" кинетического уравнения Больцмана (для движения вдоль слоев) и уравнения баланса для электронных переходов между состояниями разных ям. Это приводит к тому, что непосредственно применить подход Миллера и Абрахамса, позволяющий свести задачи задачу о проводимости к сетке сопротивлений, "включенных" между локализованными состояниями, нельзя; соответственно, требуется существенно изменить метод решения кинетического уравнения для локализованных электронов, основанный на теории протекания [27]. Этот вопрос решается в 4 гл.

СРКБ при учете кулоновских полей, возникающих за счет перераспределения электронов между квантовыми ямами. С помощью подхода, основанного на теории функционала плотности, и с использованием численных методов изучено влияние экранирования на вертикальный беспорядок, в частности, на распределение уровней размерного квантования в СРКБ. Показано, что экранирование приводит к смещению пика функции распределения уровней размерного квантования и к существенному уменьшению его ширины; это может приводить к делокализации электронных состояний, определяющих вертикальную проводимость структуры.

В разделе 3.1 уточняется постановка задачи.

Показано, что в приближении узких квантовых ям можно считать, что действие как внешнего поля, приложенного вдоль оси роста структуры, так и внутреннего поля, возникающего за счет перераспределения заряда между ямами СР, можно описать просто путем введения "классических" сдвигов уровней размерного квантования в ямах Уг

В разделе 3.2 рассматривается экранирование вертикального беспорядка при Т = О К.

Для расчета спектра СРКБ с учетом перераспределения электронов между квантовыми ямами использован подход, основанный на теории функционала плотности [20,21]. В приближении узких ям для объемной концентрации электронов мы имеем "(г) = X~2') • Где 2 " координата вдоль оси роста структуры, V, - двумерная

концентрация электронов в 1-ом слое, i = \¡¿)...tN, N - полное число квантовых ям в структуре, а г, - положение г -ой квантовой ямы; в этом случае функционал £[л] представляет собой просто функцию многих переменных {у,. },

проведен расчет энергетического спектра электронов в легированных

= /2р,) + (1/2)2>,(Ч. _ - V.) . (5)

■ ' и

?десь Е- энергетический уровень в I -ой яме в отсутствие свободных электронов

затравочные энергии), р0 - двумерная плотность состояний в яме, У^ =-2кгг\г: е ■

(иэлектрическая проницаемость, е - заряд электрона, у0 = Nа<1 - средняя двумерная сонцентрация электронов слое," д. - средний ■ период структуры,- з Л^ — концентрация 1егирующей примеси. Однородное распределение примеси по структуре позволяет юпользовать модель "желе",- считая компенсирующий положительный заряд однородно размазанным по пространству.

Изложим алгоритм прямой минимизации нелинейного функционала. Запишем сокцентрации электронов в некоторой паре квантовых ям а и 6 в виде:

(6.1)

■ = (6.2)

Гогда выражение для энергии (5) принимает вид

Е = ^ + ^ + {Е.т + ЕГ)^ь + - Е«>) Д V, + + А „„ - V,) + Рч Ро

+ЕУч>(у°> + А1/.» - "оХ"у - "о) + ~ ЧХ", - "о) + (7>

Ыа.Ь о ¡*а.Ъ ^ <*о,Ь

1*0.Ь

Минимум функции Е( Ду^ ) можно найти, вычисляя производную выражения для энергии 7) по и приравнивая ее нулю, если отвечающее экстремуму, находится в

•штервале -у„ь << (это соответствует неравенствам >0). В этом случае

явечающее экстремуму, дается выражением'

- £„<°>)- X - „„) УЬ]р,{у1 - V„))

ду -I--------. (В)

* 2 У-ЛЪ)

Если же значение Д^, найденное с помощью выражения (8), попадает за пределы сказанного выше интервала, то экстремум достигается на границе интервала [-1/06,у04]. В »том случае значение Д 1/о4 выбирается разным тому граничному значению, которому отвечает

минимальная энергия.

Повторяя описанную процедуру для всех пар квантовых ям, мы последовательно понижаем >нергик> системы. В результате мы находим значения концентраций электронов в квантовых мах v= {V,.} , отвечающие минимуму полной энергии системы.

В разделе 3.3 рассматривается экранирование вертикального беспорядка в случае гауссова 1атравочного (без учета кулоновских полей, создаваемых свободными электронами) распределения уровней размерного квантования.

Расчеты распределения перенормированных уровней , вычисленных с учетом сулоновских полей, возникающих за счет перераспределения носителей между ямами, доводились для заданного затравочного гауссова распределения уровней размерного свантования. Из расчетов видно, что кулоновские эффекты приводят к существенному

уменьшению ширины функции распределения в области энергий, лежащих ниже уровн. Ферми, и к смещению уровня Ферми. Найдено, что ' картина смещения уровней расположенных выше и ниже уровня Ферми, не симметрична относительно ц. В облает] Ё,>м ширина распределения уровней изменяется значительно слабее, чем в области Е) < ^ Это обусловлено тем, что при' уходе из ямы всех электронов положительный заряд слоя н может превышать положительного заряда примесей, тогда как отрицательный заряд, связанны: с заполнением квантовых ям электронами, может быть существенно большим. Таким образок уменьшение беспорядка, в основном, происходит для квантовых уровней, находящихся ниж уровня Ферми.

В результате уменьшения ширины функции распределения уровней (уменыдени беспорядка) уровни соседних ям сближаются, что приводит к усилению гибридизаци. электронных состояний. Это и определяет тенденцию к ослаблению локализации электронны состояний в направлении оси легированной СР с вертикальным беспорядком.

В разделе 3.4 рассматривается экранирование вертикального беспорядка при конечны температурах.

Чтобы найти электронный спектр СРКБ при конечных температурах, нужн минимизировать выражение (3) для свободной энергии системы Щп\. Для энтропии ^{у,} справедливо выражение [28]

}] = -Е ■ 1п(/{Е.М..Т)) + (1 - АЕ,м„Т))■ 1п(1 - ЛЕ.М..Т))}р0ЛЕ,

I в,

•(9)

где f = /(Е.^^Т) - функция распределения электронов, а ¡1> - уровень Ферми в ¿-о квантовой яме, причем выражение для ¡1, через концентрацию электронов в яме можн

получить из соотношения у,

в,

А = = £Г1п{ехр(-~-) -1} + Е,т. (10)

кТр0

Подставляя (9) в (3), получаем выражение для свободной энергии

Ж".}] = XИ"]ь{1 -ЯБ.М..Т)) ■ Р* ¿Е + £м, ■ 1/, +1£У, ■ (V,. - V.) ■ (и. - V.), с, 1 I

(И)

где ¡,; = 1,2,...,//.

Варьируя выражение (11), получаем систему уравнений относительно двумерны концентраций электронов в квантовых ямах, решение которой отвечает минимуму свободно энергии системы

кТ• 1п{ехр(^. /кТРо) -1} + £<0) + - у0) + м = 0. (12)

1

Система уравнений (12) не является линейной, и ее решение, как и при Г = О К, можм получить с помощью описанной в разд. 3.2 процедуры. Именно, свободную энергию систем! (11) можно минимизировать, последовательно минимизируя энергию для каждой пар! квантовых ям по концентрациям электронов в них.

При увеличении температуры эффекты перераспределения носителей между ямами

эслабляются, и функция распределения уровней размерного квантования стремится к ¡атравочной функции распределения. Таким образом, экранирование беспорядка в гегированных.СРКБ может быть весьма существенным при низких температурах. Однако при (.арактерных значениях параметров СРКБ ширина функции распределения уровней размерного свантования при учете кулоновского взаимодействия остается сравнимой с шириной минизоны эегулярной СР, а электронные состояния в хвостах функции распределения вдоль- оси роста 2Р остаются существенно локализованными. Поскольку сопротивление СРКБ, в основном, определяется высокоэнергетическими состояниями, кулоновские поля, обусловленные терераспределением: носителей между слоями,' сравнительно слабо влияют на вертикальную чроводимость, и их учета недостаточно для объяснения квазиметаллической температурной ¡ависимости проводимости СРКБ.

Четвертая глава диссертации посвящена последовательному вычислению вертикальной троводимости в СРКБ в режиме прыжкового переноса и анализу ее температурной ¡ависимости. В ней показано, что в стационарном случае в слабых электрических полях задачу з проводимости СРКБ можно свести к задаче о сетке случайных сопротивлений, 'включенных" между "макроузлами", соответствующими квантовым ямам, а также проведен засчет эффективных сопротивлений для междуямных переходов с участием акустических и оптических фононов.

В разделе 4.1 оценивается вклад в вертикальную проводимость СРКБ, связанный с «оэнергетическим туннелированием через всю структуру. Для оценки используется формула Павдауэра (см. разд. 2.2 и [24]). Расчет прозрачности проводился с использованием метода,

описанного в разд. I 1 2.с.

В разделе 4 1.1 на примере двухямной системы было показано, что туннельная трозрачность в области энергий, отвечающей окрестности уровня в одной из ям, существенно ¡ависит от положения уровня в соседней яме. Туннельная прозрачность резко падает при зозрастании асимметрии структуры. При уменьшении расстояния между уровнями происходит -ибридизация состояний; это приводит к уменьшению асимметрии задачи и к увеличению эероятности туннелирования электрона через рассматриваемую структуру Следует отметить, гго степень локализации состояния и, следовательно, ширина пика прозрачности существенно )ависит от времени жизни носителя в рассматриваемом состоянии ямы, очевидно, что время кизни экспоненциально зависит от ширины барьера

В разлеле 4.1.2 рассчитывается туннельная прозрачность сверхрешетки с контролируемым 5еспорядком (с гауссовым затравочным распределением уровней размерного квантования) Здесь показано, что при увеличении беспорядка в положении уровней размерного квантования дирина области энергий, в которой туннельная прозрачность заметно отлична от нуля, уменьшается. Это связано с тем, что туннелирование через рассматриваемую структуру троисходят с участием состояний многих ям, так что при возрастании расстояния между /ровнями вероятность образования "цепочек" ям, определяющих вероятность туннелирования три энергиях, удаленных от центра гауссова распределения, падает Прозрачность системы из зольшого числа квантовых ям представляет собой набор дельтаобразных пиков Картина сачественно аналогична картине туннельной прозрачности системы с непрерывным случайным одномерным потенциалом, исследованной в работе [29]

Отметим, что туннельная прозрачность СРКБ в интересующей нас области значений гараметров оказывается пренебрежимо малой. Это связано, с одной стороны, с тем, что

суммарная длина туннелирования намного превышает длину затухания волновой функш электрона в подбарьерной области. С другой стороны, уменьшение амплитуды "резонансны; пиков туннельной прозрачности, соответствующих различным пикам отдельных ям структур; связано с асимметричным их положением в структуре. Заметим, что в случае СРКБ зада» существенно асимметрична: Это позволяет во всех практически интересных случа! пренебречь процессами изоэнергетического туннелирования через всю структуру.

В разделе 4.2 рассматривается кинетическое уравнение для электронов в сверхрешеткг с контролируемым беспорядком. В случае, когда внешнее поле приложено вдоль оси рост структуры (вертикальный перенос) квантовое кинетическое уравнение принимает в( уравнения баланса для электронных переходов между квантовыми состояниями А| и |Г,£'

^ = аз)

где ^..ц. - вероятность перехода между состояниями и а /,ц - неравновесн

одночастичная матрица плотности (вероятность заселенности состояния |г,£|); сумма

уравнении (13) учитывает как переходы между состояниями, локализованными в различш квантовых ямах, так и переходы внутри квантовых ям.

Удобно просуммировать обе части уравнения (13) по к и перейти к соотношения! описывающим изменение двумерных концентраций электронов V, в квантовых ямах

Л 5......

где 5 - площадь сечения образца, перпендикулярного оси СР, а V, = • Сумма в прав!

£ к

части уравнения (14) уже не содержит внутриямных переходов.

В силу малости перекрытия волновых функций электронов, локализованных в разнь ямах, вероятности переходов между состояниями внутри квантовых ям намного превышав вероятности переходов между состояниями различных квантовых ям. Соответственно, каждой квантовой яме устанавливается квазиравновесие - вид функции распределения в ¡' -с квантовой яме близок к фермиевскому с локальным химическим потенциалом , т. &= При этом получаем

-я-к-я)-***-/гМ')]- ,05)

¿Е-

В слабых электрических полях (при —соотношение (15) можно линеаризоват

кТ

полагая ^ - = , Здесь - равновесные вероятной

переходов между состояниями и . а ' равн°весные вероятное

заселенности состояний . Выполняя линеаризацию уравнения (15), мы получаем

■ - 4 £ ¡«1,,. /.- •(' -/»)- ■!„ "О -/,)]. (»)

' "равновесный" темп переходов между состояниями !,£|и {'',£'}, б,,' - разность обобщенных потенциалов между слоями ¡' и ¡'

Qu.^-(8E,+5^л,-8El-8^il), (17) - -

кТ5/1'

ои. =--- - изменение локального химического потенциала, обусловленное

/■ГО-/Л

вешним полем (очевидно, что стоящее в правой части последнего равенства выражение не шисит от к)

Видно, что уравнение (16) имеет тот же вид, что и линеаризованное уравнение баланса £5,26] с тем отличием, что в качестве узлов здесь фигурируют многоэлектронные системы -

зантовые ямы, а парциальные потоки между узлами

'„< = ~' (X Гх Л ^' Йу представляют

кТ

обой интегральные потоки между квантовыми ямами, получаемые суммированием по всем эстояниям начальной и конечной ям Как и в случае прыжкового переноса по окализованным состояниям, задачу о проводимости СРКБ можно свести к задаче о сетке пучайных сопротивлений , включенных между квантовыми ямами и определяемых ыражениями

— = — 2Х-,. (18)

Голное сопротивление случайной сетки можно находить, используя закон Кирхгофа для токов

'аким образом, задача о вертикальной проводимости системы сведена к отысканию опротивления случайной квазиодномерной сетки типа сетки Миллера-Абрахамса Коль скоро опротивления Д, экспоненциально зависят от расстояний между ямами и от положения ровней в ямах, их величины меняются случайным образом в широких пределах, и для тыскания полного сопротивления такой случайной сетки естественно воспользоваться еорией протекания. Выражения для Д.,, (18) в случае рассматриваемых структур, отличаются, днако, от стандартных выражений для прыжков между локальными центрами. > разделе 4.3 проводится расчет интегральных темпов переходов и эффективных опротивлений между слоями СРКБ.

Неупругие переходы электронов между квантовыми ямами могут происходить с участием :ак акустических, так и оптических фононов. Взаимодействие электронов с акустическими зоноками описывалось в рамках модели потенциала деформации, а с продольными ■нтическими фононами - в рамках модели Фрелиха. Было показано, что в случае оптических зононов интегральный темп перехода -^Г^. зависит от температуры по

кк'

ктивационному закону при любых взаимных положениях двух уровней При этом, коль скоро

энергия беспорядка меньше энергии оптического фонона, энергия активации определяете энергией оптического фонона.

В случае акустических фононов при переходах между состояниями квантовых ям, дот подзон в которых находится выше уровня Ферми, сопротивление экспоненциально зависит с разности между энергией наиболее высоко лежащего дна подзоны и уровня Ферми.

Задачу о вычислении проводимости случайной сетки сопротивлений Яи, можн существенно упростить, заметив, что сопротивления экспоненциально зависят от расстояш между квантовыми ямами. В приближении ближайших соседей задача о случайной сетк сопротивлений сводится к задаче о цепочке сопротивлений между соседними квантовым ямами; при этом разброс энергий уровней размерного квантования приводит экспоненциальному разбросу критических сопротивлений, определяющих полну: проводимость СРКБ. В силу активационной температурной зависимости вероятносте переходов и интегральных темпов переходов, при низких температурах вероятность того, ч1 электрон протуннелирует через "трудную" квантовую яму (содержащую высоко лежащи уровень в хвосте распределения), становится больше, чем вероятность двух последовательны переходов. Соответственно, рассчитанное сопротивление (18) между ¡'-1 и ¿+1 квантовым ямами может оказаться существенно меньшим суммы двух последовательных сопротивлени между 1 и 1-1, I и ¡'+1 квантовыми ямами, т.е. происходит шунтирование "трудно{ квантовой ямы. Шунтирование приводит х ослаблению активационной температурнс зависимости проводимости при низких температурах. При увеличении температуры рог шунтирования уменьшается.

Выводы.

В заключение сформулируем основные выводы работы:

• Показано, что учет кулоновского взаимодействия в легированных СРКБ приводит существенному изменению функции распределения уровней размерного квантованш соответствующих минимумам подзон размерного квантования в отдельных ямах.

• Найдено, что кулоновское взаимодействие (вертикальное экранирование) приводит уменьшению беспорядка, определяемому фактором /? = 1 + 2яе2р^/ е, и к возрастани интегралов перекрытия волновых функций электронов соседних ям, т.е. эффективной ширин минизоны. Картина смещения уровней, расположенных выше и ниже уровня Ферми, ь симметрична относительно ц. В области Е, > ц ширина распределения уровней изменяете значительно слабее, чем в области Таким образом, уменьшение беспорядка, основном, происходит для квантовых уровней, находящихся ниже уровня Ферми.

• Установлено, что процессами вертикального изоэнергетического туннелирования чер< СРКБ можно пренебречь по сравнению с неупругими процессами.

• Показано, что в стационарном случае в слабых электрических полях задачу проводимости СРКБ можно свести к задаче о сетке случайных сопротивлений, "включенные между "макроузлами", соответствующими квантовым ямам.

• Показано, что при не слишком низких температурах вертикальная проводимость СРК в режиме прыжкового переноса определяется переходами между соседними ямами и име( активационную температурную зависимость (энергия активации определяется энергие беспорядка в случае акустических фононов и энергией оптического фонона . в случ; оптических фононов).

• Установлено, что температурная зависимость проводимости может существенно

:лабляться при низких температурах из-за туннелирования электронов на удаленные зантовые ямы

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: ■ J М А. Ормонт, "Вертикальная проводимость неупорядоченной структуры с множественными квантовыми ямами", 3 Всероссийская конференция по физике полупроводников, 1-5 декабря, 1997, Москва, Россия, Тезисы докладов, ПнСа -20, с 80 i]A I.P. Zvyagin, М A- Ormont, "Vertical screening in doped semiconductor superlattices with intentional disorder". The 24ih Int. Conf. on the Physics of Semiconductors," August 2-7,1998, Jerusalem, Israel, Abstracts, p.Tu-100. 1] I.P. Zvyagin, M.A. Ormont, "Vertical screening in doped semiconductor superlattices with intentional disorder", In: Proc. 24th Int. Conf. on the Physics of Semiconductors, August 27,1998, Jerusalem, Israel, World Scientific, Singapore, 1999." 1]A И.П. Звягин, M.A. Ормонт, "Экранирование вертикального беспорядка в легированных

полупроводниковых сверхрешетках", ФТП, т.33, в.1, сс 79-82 (1999). )]А I.P. Zvyagin, M.A. Ormont, "Electronic structure and vertical transport in doped intentionally disordered superlattices", В сб.: Международная школа по физике полупроводников, 27 февраля-2 марта, 1999, С.-Петербург, Россия, Тезисы докладов, сс.29-32.

з]А М.А. Ормонт, К.Е. Борисов, "Вертикальная прыжковая проводимость сверхрешеток с контролируемым беспорядком", б конференция студентов и аспирантов Ломоносов 99,

апрель 1999, Москва, Россия, МГУ, Тезисы докяадов. /]А 1 P. Zvyagin, M.A. Ormont, "Vertical hopping transport in doped intentionally disordered superlattices", The 8th Int. Conf on Hopping and Related Phenomena, 7-10 September, Murcia, Spam, Abstracts, pp 37-38. 3]A I.P Zvyagin, M A Ormont, "Vertical hopping transport in doped intentionally disordered

superlattices", phys stat. sol (b), v 218, pp.107 -111 (2000). )jA M А. Ормонт, И П. Звягин, К В, Борисов, "Вертикальная прыжковая проводимость сверхрешеток с контролируемым беспорядком", 4 Всероссийская конференция по физике полупроводников, 25 29 октября, 1999, Новосибирск, Россия, Тезисы докладов, ПнС-19, с.62.

10]А I.P. Zvyagin, M.A. Ormont, К.Е. Borisov, "Hopping transport equation for electrons in

superlattices with vertical disorder", In Proc. 8th Int.Symp "Nanostructures. Fhysics and Technology", St Petersburg, 14-18 lune, 2000, St Petersburg loffe Inst 2000, pp 516-519

Список цитируемой литературы.

1] L. Esaki, R. Tsu, IBM I. Res. Dev., v 14, pp.61-65 (1970).

2] A Y Cho, Appl Phys Lett , v 19, pp 467-468 (1971).

3] G Richter, W, Stolz, P.Thomas, S Koch, K. Maschke, I P. Zvyagin, Superlattices and Microstructuies, v.22, pp.475-480 (1997).

1] В I. Austin, V Heine, L I Sham, Phys Rev , v 127, pp 276-282 (1962)

5]JM Luttmger, W Kohn, Phys Rev , v 97, pp 869-883 (1955).

5] K.A. Mader and A. Zunger, Phys.Rev. B, v.SO, pp. 17393-17405 (1994).

7] P. Vogl, H.P. Hjalmarson, I.D. Dow, I. Phys. Chem. Solids, v.44, pp.365-378 (1983).

[8] А.И. Ансельм, Введение в теорию полупроводников, Гос. изд. физ.-мат. литератур! Москва 1962.

[9] J. Singh, Appl. Phys. Lett., v.48, pp.434-436 (1986).

[10] D. Ahn, S.L. Chuang, Appl. Phys. Lett., v.49, pp.1450-1452 (1986).

[11] K. Nakamura, A. Shimizu, M. Koshiba, K. Nayata, IEEE Journal of Quantum Electronic v.2S, pp.889-895 (1989).

[12] P.J. Price, Superlattices and Microstructures, v.2, pp.213-218 (1986).

[13] J.D. Dow, S.Y. Ren, and K. Hess, Phys. Rev. B, v.25, pp.6218-6224 (1982).

[34] K.A. Mader, L.W. Wang, A.Zunger, J. Appl. Phys., v.78, pp.6639-6657 (1995).

[15] F. Laruelle, B. Etienne, Phys. Rev. B, v.37, pp.4816-4819 (1988).

[16] A. Chomette, B. Deveaud, A. Regreny, G. Bastard, Phys. Rev. Lett., v.57, pp.l464-14f (1986).

[17] T. Yamamoto, M. Kasu, S. Noda, A. Sasaki, J. Appl. Phys., v.68, pp.5318-5323 (1990).

[18] L. Esaki, L.L. Chang, Phys. Rev. Lett., v.33, pp.495-498 (1974).

[19] Д. Дппель, Ю.А. Фирсов, Полкроны, под ред. Ю.А. Фирсова, Наука, Москва 1975.

[20] P. Hobenberg and W. Kohn, Phys. Rev., v.136, ppB864-B871 (1964).

[21] В. Кон, П. Вашишта, в сб.: Теория неоднородного электронного газа, под ред. < Лундквиста и Н. Марча, Мир, Москва 1987, с 86.

[22] В. Фок, Приближенный способ решения квантовой, задачи многих mt - Применение обобщенного способа Хартри. к атому натрия, Ленинград 1931.

[23] И.П. Звягин, ЖЭТФ, т.114, сс.1089-1100 (1998).

[24] S. Datta, Electronic transport in mesoscopic systems, Cambridge University Press, Cambrid 1995.

[25] Б.И. Шкловский, А.Л. Эфрос, Электронные свойства легированных полупроводнико Наука, Москва 1979.

[26] A. Miller, Е. Abrahams, Phys. Rev., v.120, pp.745-756 (1960).

[27] V. Ambegaokar, B.I. Halpenn, J.S. Langer, Phys. Rev. B, v.4, pp.2612-2620 (1971).

[28] M Shimizu, Proc. Phys. Soc., v.86, pp.147-157 (1965).

[29] C. Jacobini, P.J. Price, In: Proc. 20th Int Conf. on the Physics of Semiconductors, August < 10, 1990, Thessalomki, Greece, World Scientific, Singapore, v.3, pp.2435-2438 (1990).

Введение.

Глава 1. Литературный обзор.

1.1 Методы расчета электронного энергетического спектра сверхрешеток.

1.1.1 Метод псевдопотенциала.

1.1.2 Метод эффективной массы. 1.1.2.а Вариационный метод.

1.1.2.Ь Метод конечных элементов.

1.1.2.с Метод матрицы переноса в случае прямоугольного ограничивающего потенциала.

1.1.3 Метод сильной связи.

1.2 Энергетический спектр сверхрешеток с контролируемым беспорядком.

1.3 Оптические свойства сверхрешеток с контролируемым беспорядком.

1.4 Электрические свойства сверхрешеток с контролируемым беспорядком.

1.5 Проблемы и постановка задачи.

Глава 2. Методы расчета проводимости сверхрешеток с контролируемым беспорядком.

2.1 Применение метода функционала плотности к анализу спектра уровней размерного квантования в сверхрешетках с контролируемым беспорядком.

2.2 Проводимость СРКБ при низких температурах. Формула Ландауэра.

2.3 Уравнение баланса в теории прыжковой проводимости.

2.4 Методы анализа прыжковой проводимости сверхрешеток с контролируемым беспорядком.

Глава 3. Экранирование вертикального беспорядка в легированных полупроводниковых сверхрешетках с контролируемым беспорядком.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Экранирование вертикального беспорядка при нулевой температуре.

3.3 Экранирование вертикального беспорядка в случае гауссова распределения уровней.

3.4 Экранирование вертикального беспорядка при конечных температурах.

Глава 4. Вертикальная проводимость сверхрешеток с контролируемым беспорядком в режиме прыжкового переноса.

4.1 Туннельная прозрачность сверхрешеток с контролируемым беспорядком.

4.1.1 Двухямная система.

4.1.2 Туннельная прозрачность сверхрешеток с контролируемым беспорядком.

4.2 Кинетическое уравнение для электронов в сверхрешетках с контролируемым беспорядком.

4.3 Расчет темпов переходов и эффективных сопротивлений между слоями СРКБ.

Актуальность темы. Последние годы характеризуются стремительным развитием физики систем пониженной размерности. Следует отметить, что в значительной степени это развитие обусловлено совершенствованием высоких технологий, позволяющих создавать такие структуры. В настоящей работе речь пойдет о полупроводниковых сверхрешетках (СР). Впервые идея создания полупроводниковой сверхрешетки была высказана Есаки и Цу в 1970 г. [1]. Они предложили создать структуру, реализующую одномерный периодический потенциал, путем изменения состава твердого раствора, с периодом, меньшим длины волны де-Бройля. Таким образом, полупроводниковая сверхрешетка - это структура, состоящая из повторяющихся слоев двух полупроводников, толщина которых составляет обычно несколько нанометров, что, с одной стороны, меньше длины волны де-Бройля, а с другой, больше периода кристаллической решетки веществ, которые используются при создании сверхрешетки. В дальнейшем мы будем рассматривать композиционные сверхрешетки, потенциал которых создается путем изменения ширины энергетической запрещенной зоны в направлении оси роста сверхрешетки. Действительно, разрывы зон на гетерограницах создают естественные потенциальные барьеры для электронов и дырок. Созданный подобным образом прямоугольный потенциал весьма существенно изменяет зонную структуру исходных материалов [1]. В частности, возникают как минизоны в пространстве волновых векторов, так и энергетические подзоны за счет эффектов размерного квантования в потенциальных ямах. Композиционные полупроводниковые сверхрешетки являются новыми синтезированными полупроводниками, обладающими необычными физическими свойствами, что может быть использовано при создании электронных приборов.

Первые композиционные сверхрешетки, выращенные методом молекулярно-лучевой эпитаксии, появились в семидесятых годах [2,3]. В этом методе кристалл выращивают в вакууме, направляя на нагреваемую монокристаллическую пластину-подложку атомарные или молекулярные пучки требуемых веществ в необходимых пропорциях по отношению друг к другу. Далее вещество осаждается на подложке, образуя кристаллические слои. Чанг и Есаки [3] создали сверхрешетку из нескольких сотен слоев СаА8-А1хОа[хА8. Возможность создания сверхрешетки из ваАз с добавлением А1 обусловлено одинаковыми валентностями и схожими ионными радиусами А1 и Оа. Введение А1 в решетку ОаАч не вызывает значительных механических напряжений кристаллической решетки. Вместе с тем, существенное изменение положения дна зоны проводимости и потолка валентной зоны оказывается достаточным для наблюдения влияния эффектов размерного квантования на энергетический спектр и кинетические характеристики сверхрешеток. Следует отметить, что сверхрешетка, созданная на основе СаАБ-А^Са^хАз является контравариантной композиционной сверхрешеткой, т.е. в области слоя ОаАя, находящегося между слоями широкозонного А1хСа1-хА8, образуются квантовые ямы для электронов и дырок. Композиционная структура с разделением электронов и дырок по слоям, образованными различными материалами, является другим типом сверхрешетки - ковариантным [4].

Альтернативным способом создания сверхрешеток является легирование. Сверхрешетки легирования представляют собой последовательность слоев полупроводника, легированных, соответственно, донорными и акцепторными примесями [5]. Перераспределение заряда электронов с доноров на акцепторы приводит, в случае однородного легирования, к возникновению последовательности квантовых ям, потенциал которых создается ионизованными примесями в легированных слоях [6]. Накладываясь на потенциал кристаллической решетки, потенциал объемного заряда модулирует края зоны проводимости и валентной зоны. Особенность сверхрешеток легирования но отношению к композиционными состоит в отсутствии гетерограниц и связанного с ними разупорядочения состава [7].

Отметим одно обстоятельство, касающееся композиционных СР, однородно легированных по объему. В отличие от нелегированных композиционных сверхрешеток, в которых, благодаря резким границам между слоями (шириной порядка одного атомного слоя), квантовые ямы можно считать прямоугольными; объемный заряд ионизованной примеси в легированных композиционных сверхрешетках приводит к некоторому дополнительному периодическому изгибу зон, небольшому в случае короткопериодных СР (несколько монослоев). Как правило, для короткопериодных СР этим обстоятельством можно пренебречь.

Строго говоря, любая СР содержит случайный разброс в толщинах слоев, как в направлении роста, так и в плоскости самих слоев. Как правило, основные технологические усилия при создании СР направлены на уменьшение беспорядка и создание как можно более совершенных периодических структур [2,3]. В то же время особенности технологического процесса позволяют выращивать и непериодические структуры с контролируемым изменением параметров отдельных слоев структур с множественными квантовыми ямами (инженерия сверхрешеток и квантовых ям). В частности, таким путем можно искусственно задавать вертикальный беспорядок (беспорядок в направлении оси роста). Этот подход был реализован при создании и исследовании сверхрешеток с контролируемым беспорядком (СРКБ).

СРКБ представляют собой структуры с квантовыми ямами, распределение уровней размерного квантования в которых можно задавать контролируемым образом путем управления толщинами слоев в процессе роста. СРКБ являются модельными квазиодномерными системами, позволяющими изучать влияние величины и типа беспорядка на энергетический спектр и кинетические свойства сверхрешеток.

Впервые свойства СРКБ обсуждались в работе [8], в которой на основе метода сильной связи был проведен расчет полной и одномерной плотностей электронных состояний СРКБ для разных типов и величин контролируемого беспорядка. Основным результатом работы [8] было предсказание возможности существования щели в одномерной плотности состояний в случае асимметричного затравочного распределения квантовых уровней в СРКБ, что, фактически, соответствует модели с двумя типами центров.

Первоначальный практический интерес к СРКБ был обусловлен наличием существенно более интенсивной фотолюминесценции, которую обнаруживали неупорядоченные системы, по сравнению с упорядоченными короткопериодными СР того же состава [9,10].

Результаты недавних исследований структур на основе СаА8/ОаА1Аз [11], однородно по объему легированных 81, с числом ям порядка 10 , обнаружили ряд нетривиальных особенностей вертикальной (в направлении оси роста СР) проводимости при низких температурах. В частности, оказалось, что даже при большом беспорядке, когда задаваемая ширина случайного распределения уровней размерного квантования (флуктуации ширин ям обеспечивали гауссово распределение уровней размерного квантования) заметно превосходит ширину минизоны и естественно ожидать, что все состояния минизоны локализованы, вертикальная проводимость слабо зависит от температуры (квазиметаллическое поведение). Для объяснения указанной особенности поведения вертикальной проводимости в [11] было предположено, что она связана с влиянием кулоновских полей, обусловленных перераспределением электронов между ямами, на энергетический спектр легированной СР.

Цель настоящей работы состоит: 1) в исследовании влияния кулоновских полей, возникающих вследствие беспорядка, на электронный спектр легированных композиционных СРКБ; 2) в вычислении вертикальной проводимости СРКБ и анализе ее температурной зависимости.

В работе исследовано основное состояние легированных СРКБ при учете кулоновских полей, связанных с перераспределением электронов между квантовыми ямами. Проведены последовательные вычисления вертикальной проводимости СРКБ в режиме прыжкового переноса и анализ ее температурной зависимости.

Научная новизна работы заключается в следующем:

Проведен расчет электронного энергетического спектра легированных СРКБ с учетом кулоновских полей, связанных с перераспределением электронов между квантовыми ямами.

Для вычисления основного состояния легированных СРКБ применен метод, основанный на модификации теории функционала плотности.

Показано, что в стационарном случае в слабых электрических полях задачу о проводимости СРКБ можно свести к задаче о сетке случайных сопротивлений, "включенных" между "макроузлами", соответствующими квантовым ямам. Вычислены эффективные сопротивления для междуямных переходов с участием акустических и оптических фононов. Показано, что при не слишком малых концентрациях и не слишком низких температурах температурная зависимость интегральных темпов переходов между ямами и вертикальная прыжковая проводимость СРКБ может быть безактивационной.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1. Применение метода, основанного на теории функционала плотности, к расчету основного состояния легированных СРКБ.

2. Сведение квантового кинетического уравнения для электронов в СРКБ к уравнению баланса для электронных переходов между макроузлами, соответствующими квантовым ямам. Расчет вертикальной проводимости СРКБ путем сведения задачи к сетке случайных сопротивлений, "включенных" между макроузлами.

3. Анализ температурной зависимости вертикальной прыжковой проводимости СРКБ.

Научная и практическая значимость. Результаты настоящей работы могут быть использованы при разработке новых функциональных принципов создания приборов на основе наноструктур с использованием композиционных сверхрешеток.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на 3 и 4 Всероссийских конференциях по физике полупроводников, 24 Международной конференции по физике полупроводников, Ломоносовских чтениях, 6 конференции студентов и аспирантов Ломоносов 99, 8 Международной конференции по Хоппингу, 8 Международном симпозиуме "Наноструктуры: физика и технология". Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен на с. 111.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ, в том числе 3 статьи и 8 тезисов докладов на конференциях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы, включающего 106 наименований. Основная часть работы изложена на 121 странице машинописного текста. Работа содержит 13 рисунков.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1]А М.А. Ормонт, "Вертикальная проводимость неупорядоченной структуры с множественными квантовыми ямами", 3 Всероссийская конференция по физике полупроводников, 1-5 декабря, 1997, Москва, Россия, Тезисы докладов, ПнСа-20, с.80.

2]А I.P. Zvyagin, М.А. Ormont, "Vertical screening in doped semiconductor superlattices with intentional disorder", The 24th Int. Conf. on the Physics of Semiconductors, August 2-7,1998, Jerusalem, Israel, Abstracts, p.Tu-100.

3]A I.P. Zvyagin, M.A. Ormont, "Vertical screening in doped semiconductor superlattices with intentional disorder", In: Proc. 24th Int. Conf. on the Physics of Semiconductors, August 2-7,1998, Jerusalem, Israel, World Scientific, Singapore, 1999.

4]a И.П. Звягин, М.А. Ормонт, "Экранирование вертикального беспорядка в легированных полупроводниковых сверхрешетках", ФТП, т.33, в. 1, сс.79-82 (1999).

5]а I.P. Zvyagin, М.А. Ormont, "Electronic structure and vertical transport in doped intentionally disordered superlattices", В сб.: Международная школа по физике полупроводников, 27 февраля-2 марта, 1999, С.-Петербург, Россия, Тезисы докладов, сс.29-32.

6]А М.А. Ормонт, К.Е. Борисов, "Вертикальная прыжковая проводимость сверхрешеток с контролируемым беспорядком", 6 конференция студентов и аспирантов Ломоносов 99, апрель 1999, Москва, Россия, МГУ, Тезисы докладов.

7]Л I.P. Zvyagin, М.А. Ormont, "Vertical hopping transport in doped intentionally disordered superlattices", The 8th Int. Conf. on Hopping and Related Phenomena, 7-10 September, Murcia, Spain, Abstracts, pp.37-38.

8]a I.P. Zvyagin, M.A. Ormont, "Vertical hopping transport in doped intentionally disordered superlattices", phys. stat. sol. (b), v.218, pp.107-111 (2000).

9]A M.A. Ормонт, И.П. Звягин, К.Е. Борисов, "Вертикальная прыжковая проводимость сверхрешеток с контролируемым беспорядком", 4 Всероссийская конференция по физике полупроводников, 25-29 октября, 1999, Новосибирск, Россия, Тезисы докладов, ПнС-19, с.62.

10]A I.P. Zvyagin, M.A. Ormont, K.E. B orisov, "Hopping transport equation for electrons in superlattices with vertical disorder", In Proc. 8th Int.Symp. "Nanostructures: Physics and Technology", St. Petersburg, 14-18 June, 2000, St. Petersburg: Ioffe Inst. 2000, pp.516-519.

11]A I.P. Zvyagin, M.A. Ormont, K.E. Borisov, "Hopping transport equation for electrons in superlattices with vertical disorder", Nanotechnology, v.11, pp. 1-4 (2000).

1. L. Esaki, R. Tsu, "Superlattice and negative differential conductivity in semiconductors", 1.M J. Res. Dev., v.14, pp.61-65 (1970).

2. A.Y. Cho, "Growth of periodic structures by the molecular-beam method", Appl. Phys. Lett., v.19, pp.467-468 (1971).

3. L.L. Chang, L. Esaki, W.E. Howard, R. Ludeke, "The growth of GaAs-GaAlAs superlattice", J. Vacuum Sci. Technol., v.10, pp.11-16 (1973).

4. L.L. Chang, L. Esaki, "Electronic properties of InAs-GaSb superlattices", Surf. Sci., v.98, pp.70-89 (1980).

5. G.H. Dohler, "Electronic states in crystals with "nipi-superstructure"", phys. stat. sol. (b), v.52, pp.79-92 (1972).

6. G.H. Dohler, In: Advances in Solid State Physics, Ed.P.Grosse., Braunschweig: Vieweg 1983, v.23, p.207.

7. K. Ploog, G.H. Dohler, "Compositional and doping superlattices in III-V semiconductors", Advances in Physics, v.32, pp.285-359 (1983).

8. J.D. Dow, S.Y. Ren, and K. Hess, "Random superstructures", Phys. Rev. B, v.25, pp.6218-6224 (1982).

9. A. Chomette, B. Deveaud, A. Regreny, G. Bastard, "Observation of carrier localization in intentionally disordered GaAs/GaAlAs superlattices", Phys. Rev. Lett., v.57, pp. 1464-1467 (1986).

10. A. Chomette, B. Deveaud, J.Y. Emery, A. Regreny, "Vertical transport in GaAs/Gai.xAlxAs superlattices observed by photoluminescence", Solid State Commun., v.54, pp.75-78 (1985).

11. G. Richter, W. Stolz, P.Thomas, S. Koch, K. Maschke, I.P. Zvyagin, "Effects of Coulomb interaction in intentionally disordered semiconductor superlattices", Superlattices and Microstructures, v.22, pp.475-480 (1997).

12. J.C. Phillips, L. Kleinman, "New method for calculating wave functions in crystals and molecules", Phys. Rev., v.116, pp.287-294 (1959).

13. L. Kleinman, J.С. Phillips, "Crystal potential and energy bands of semiconductors. Self-consistent calculations for silicon", Phys. Rev., v.118, pp.1153-1167 (1960).

14. M.H. Cohen, V. Heine, "Cancellation of kinetic and potential energy in atoms, molecules, and solids", Phys. Rev., v.122, pp.1821-1826 (1961).

15. B.J. Austin, V. Heine, L.J. Sham, "General theory of pseudopotentials", Phys. Rev., v.127, pp.276-282 (1962).

16. K.A. Mader and A. Zunger, "Empirical atomic pseudopotentials for AlAs/GaAs superlattices, alloys, and nanostructures", Phys.Rev. B, v.50, pp. 17393-17405 (1994).

17. K.A. Mader, L.W. Wang, A.Zunger, "Electronic consequences of random layer-thickness fluctuations in AlAs/GaAs superlattices", J. Appl. Phys., v.78, pp.6639-6657 (1995).

18. K.A. Mader, L.W. Wang, A. Zunger, "Electronic structure of intentionally disordered AlAs/GaAs superlattices", Phys. Rev. Lett., v.74, pp.2555-2558 (1995).

19. L.W. Wang, A. Zunger and K.A. Mader, "Direct calculation of the transport properties of disordered AlAs/GaAs superlattices from the electronic and phonon spectra", Phys. Rev. B, v.53, pp.2010-2019 (1996).

20. L.W. Wang, A. Zunger, "Solving Schrodinger's equation around a desired energy: Application to silicon quantum dots", J. Chem. Phys., v.100, pp.2394-2397 (1994).

21. А.И. Ансельм, Введение в теорию полупроводников, Гос. изд. физ.-мат. литературы, Москва 1962.

22. J.C. Slater, "Electrons in perturbed periodic lattices", Phys. Rev., v.76, pp. 15921601 (1949).

23. J.M. Luttinger, W. Kohn, "Motion of electrons and holes in perturbed periodic fields", Phys. Rev., v.97, pp.869-883 (1955).

24. G.H. Wannier, "The structure of electronic excitation levels in insulating crystals", Phys. Rev., v.52, pp.191-197 (1937).

25. G. Bastard, "Superlattice band structure in the envelope-function approximation", Phys. Rev. B, v.24, pp.5693-5697 (1981).

26. В.JI. Бонч-Бруевич, С.Г. Калашников, Физика полупроводников, Наука, Москва 1990.

27. Ч. Киттель, Введение в физику твердого тела, Гос. изд. физ.-мат. литературы, Москва 1962.

28. R. de L. Kronig, W.G. Penney, "Quantum mechanics of electrons in crystal lattice", Proc. Roy. Soc. A, London, v.130, pp.499-513 (1931).

29. F. Bloch, "Uber die quantenmechanik der elektronen in kristallgittern", Zeitschrift fur Physik, v.52, pp.555-600 (1928).

30. J.C. Slater, G.F. Koster, "Simplified LCAO (linear combination of atomic orbits, or Bloch, or tight-binding method) method for periodic potential problem", Phys. Rev., v.94, pp.1498-1524 (1954).

31. G.G. Hall, "The electronic structure of diamond , silicon and germanium", Phil. Mag., v.3, pp.429-439 (1958).

32. D. Weaire, M.F. Thorpe, "Electronic properties of an amorphous solid. A simple tight-binding theory", Phys. Rev. B, v.4, pp.2508-2520 (1971).

33. M.F. Thorpe, D. Weaire, "Electronic properties of an amorphous solid. Further aspects of the theory", Phys. Rev. B, v.4, pp.3518-3527 (1971).

34. W.A. Harrison, "Bond-orbital model and the properties of tetrahedrally coordinated solids", Phys. Rev. B, v.8, pp.4487-4498 (1973).

35. S.T. Pantelides, W.A. Harrison, "Structure of the valence bands of zinc-blende-type semiconductors", Phys. Rev. B, v.11, pp.3006-3021 (1975).

36. D.J. Chandi, M.L. Cohen,"Tight-binding calculations of the valence bands of diamond and zincblende crystals", phys. stat. sol. (b), v.68, pp.405-419 (1975).

37. P. Vogl, H.P. Hjalmarson, J.D. Dow, "A semi-empirical tight-binding theory of the electronic structure of semiconductors", J. Phys. Chem. Solids, v.44, pp.365-378 (1983).

38. J. Singh, "A new method for solving the ground-state problem in arbitrary quantum wells: Application to electron-hole quasi-bound levels in quantum wells under high electric field", Appl. Phys. Lett., v.48, pp.434-436 (1986).

39. D.A.B. Miller, D.S. Shemla, T.C. Damen, A.C. Gossard, W.Wiegmann, Т.Н. Wood, C.A. Burrus, "Electric field dependence of optical absorption near the band gap of quantum-well structures", Phys. Rev. B, v.32, pp. 1043-1060 (1985).

40. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Квантовая механика нерелятивистская теория, Гос. изд. физ.-мат. литературы, Москва 1963.

41. G. Bastard, Е.Е. Mendez, L.L. Chang, L. Esaki, "Variational calculations on a quantum well in an electric field", Phys. Rev. B, v.28, pp.3241-3245 (1983).

42. D. Ahn, S.L. Chuang, "Variational calculations of subbands in a quantum well with uniform electric field: Gram-Schmidt orthogonalization approach", Appl. Phys. Lett., v.49, pp. 1450-1452 (1986).

43. K. Nakamura, A. Shimizu, M. Koshiba, K. Nayata, "Finite-element analisis of quantum wells of arbitrary semiconductors with arbitrary potential profiles", IEEE Journal of Quantum Electronics, v.25, pp.889-895 (1989).

44. K. Nayata, M. Koshiba, K. Nakamura, A. Shimizu, "Eigenstate calculation of quantum well structures using finite elements", Electronics Lett., v.24, pp.614-616 (1988).

45. П.М. Варвак, И.М. Бузин, A.C. Городецкий, В.Г. Пискунов, Ю.Н. Толокнов, Метод конечных элементов, Вища Школа, Киев 1981.

46. Т. Ando, S. Mori, "Effective-mass theory of semiconductor heterojunctions and superlattices", Surface Science, v.113, pp.124-130 (1982).

47. A.K. Ghatak, K. Thyagarajan, M.R. Shenoy, "A novel numerical technique for solving the one-dimensional Schrodinger equation using matrix approach -Application to quantum-well structures", IEEE Journal of Quantum Electronics, v.24, pp. 1524-1531 (1988).

48. B. Jonsson, S.T. Eng, "Solving the Schrodinger equation in arbitrary quantum-well potential profiles using the transfer matrix method", IEEE Journal of Quantum Electronics, v.26, pp.2025-2035 (1990).

49. P.J. Price, "Theory of resonant tunneling in heterostructures", Phys. Rev. B, v.38, pp. 1994-1998 (1988).

50. A. Sanchez, E. Macia, "Suppression of localization in Kronig-Penney models with correlated disorder", Phys. Rev. B, v.49, pp. 147-157 (1994).

51. W.A. Harrison, "Tunneling from an independent-particle point of view", Phys. Rev., v.123, pp.85-89 (1961).

52. J. Strozier, Y.A. Zhang, C. Horton, A. Ignatiev, H.D. Shih, "Model calculations of optical properties for disordered GaAs/AlAs superlattices", J. Vac. Sci. Technol. A, v.ll, pp.923-928 (1993).

53. P.W. Anderson, "Absence of diffusion in certain random lattices", Phys. Rev., v.109, pp. 1492-1505 (1958).

54. R.K. Littleton, R.E. Camley, "Investigation of localization in a 10-well superlattice", J. Appl. Phys., v.59, pp.2817-2820 (1986).

55. R. Lang, K. Nishi, "Electronic state localization in semiconductor superlattices", Appl. Phys. Lett., v.45, pp.98-100 (1984).

56. W.P. Su, H.D. Shih, "Localization in one-dimensional random superlattices", J. Appl. Phys., v.ll, pp.2080-2082 (1992).

57. R. Merlin, K. Bajema, R. Clarke, F.-Y. Juang, P.K. Bhattacharya, "Quasiperiodic GaAs-AlAs heterostructures", Phys. Rev. Lett., v.55, pp.1768-1770 (1985).

58. F. Laruelle, B. Etienne, "Fibonacci invariant and electronic properties of GaAs/Gai.xAlxAs quasiperiodic superlattices", Phys. Rev. B, v.37, pp.4816-48191988).

59. A. Sasaki, M. Kasu, T. Yamamoto, S. Noda, "Proposal and experimental results of disordered crystalline semiconductors", Jpn. J. Appl. Phys., v.28, pp.L1249-L12511989).

60. M. Kasu, Т. Yamamoto, S. Noda, A. Sasaki, "Absorption spectra and photoluminescent processes of AlAs/GaAs disordered superlattices", Jpn. J. Appl. Phys., v.29, pp.828-834 (1990).

61. T. Yamamoto, M. Kasu, S. Noda, A. Sasaki, "Photoluminescent properties and optical absorption of AlAs/GaAs disordered superlattices", J. Appl. Phys., v.68, pp.5318-5323 (1990).

62. L. Esaki, L.L. Chang, "New transport phenomenon in a semiconductor "superlattice" ", Phys. Rev. Lett., v.33, pp.495-498 (1974).

63. R.A. Davies, M.J. Kelly, T.M. Kerr, "Tunneling between two strongly coupled superlattices", Phys. Rev. Lett., v.55, pp.1114-1116 (1985).

64. R.A. Davies, M.J. Kelly, T.M. Kerr, "Room-temperature oscillation in a superlattice structure", Electronics Letters, v.22, pp.131-133 (1986).

65. R.A. Davies, M.J. Kelly, T.M. Kerr, "Tailoring the IN characteristics of a superlattice tunnel diode", Electronics Letters, v.23, pp.90-92 (1987).

66. R.A. Davies, M.J. Kelly, T.M. Kerr, "Consequence of layer thickness fluctuations on superlattice miniband structures", Appl. Phys. Lett., v.53, pp.2641-2643 (1988).

67. V. Bellani, E. Diez, R. Hey, L. Toni, L. Tarricone, G.B. Parravicini, F. Dominguez-Adame, R. Gomez-Alcala, "Experimental evidence of delocalized states in random dimer superlattices", Phys. Rev. Lett., v.82, pp.2159-2162 (1999).

68. P. Hohenberg and W. Kohn, "Inhomogeneous electron gas", Phys. Rev., v.136, pp.B864-B871 (1964).

69. W. Kohn, L.J. Sham, "Self-consistent equations including exchange and correlation effects", Phys. Rev., v.140, pp.Al 133-A1138 (1965).

70. И.П. Звягин, "Электронные сверхструктуры в легированных сверхрешетках", ЖЭТФ, т.114, сс. 1089-1100 (1998).

71. В. Фок, Приближенный способ решения квантовой задачи многих тел. Применение обобщенного способа Хартри к атому натрия, Ленинград 1931. (D.R. Hartree, Proc. Cambr. Phil. Soc., v.24, p.lll (1928)).

72. V. Fock, "Naherungsmethode zur losung des quantenmechanischen mehrkorperproblems", Zeitschrift fur Physik, v.61, pp. 126-148 (1930).

73. A.C. Давыдов, Квантовая механика, Гос. изд. физ.-мат. литературы, Москва 1963.

74. Л.Э. Эльсгольц, Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, Наука, Москва 1965.

75. Д. Аппель, Ю.А. Фирсов, Поляроны, под ред. Ю.А. Фирсова, Наука, Москва 1975.

76. S. Datta, Electronic transport in mesoscopic systems, Cambridge University Press, Cambridge 1995.

77. R. Landauer, "Electrical resistance of disordered one-dimensional lattice", Phil. Mag., v.21, pp.863-867 (1970).

78. M.Ya. Azbel, "Generalized Landauer formula", Phys. Lett., v.78A, pp.410-412 (1980).

79. M. Jonson, A. Grincwaig, "Effect of inelastic scattering on resonant and sequential tunneling in double barrier heterostructures", Appl. Phys. Lett., v.51, pp. 1729-1731 (1987).

80. A.D. Stone, P.A. Lee, "Effect of inelastic processes on resonant tunneling in one dimension", Phys. Rev. Lett., v.54, pp.1196-1199 (1985).

81. M. Buttiker, "Quantum coherence and phase randomization in series resistors", in Resonant Tunneling in Semiconductors, ed. by L.L. Chang et al., Plenum Press, New York 1991, pp.213-227.

82. T. Weil, B. Vinter, "Equivalence between resonant tunneling and sequential tunneling in double-barrier diodes", J. Appl. Phys. Lett., v.50, pp. 1281-1283 (1987).

83. A. Miller, E. Abrahams, "Impurity conduction at low concentrations", Phys. Rev., v. 120, pp.745-756 (1960).

84. Б.И. Шкловский, А.Л. Эфрос, Электронные свойства легированных полупроводников, Наука, Москва 1979.

85. I.P. Zvyagin, "Quantum statistical theory of transport by localized carriers in disordered semiconductors", phys. stat. sol. (b), v.101, pp.9-41 (1980).

86. И.П. Звягин, Кинетические явления в неупорядоченных полупроводниках, изд. МГУ, Москва 1984.

87. V.L. Bonch Bruevich, A.G. Mironov, I.P. Zvyagin, "Behaviour of charge carriers in a random force field and some problems of the electronic theory of disordered semiconductors", Rivista del Nuovo Cimento, v.3, pp.321-418 (1973).

88. G.E. Pike, C.H. Seager, "Percolation and conductivity: A computer study. I, II", Phys. Rev. B, v.10, pp. 1421-1434, pp.1435-1446 (1974).

89. V. Ambegaokar, B.I. Halperin, J.S. Langer, "Hopping conductivity in disordered systems", Phys. Rev. B, v.4, pp.2612-2620 (1971).

90. В.Л.Бонч-Бруевич, И.П. Звягин, P. Кайпер, А.Г. Миронов, Р. Эндерлайн, Б. Эссер, Электронныая теория неупорядоченных полупроводников, Наука, Москва 1981.

91. V.K.S. Shante, S. Kirkpatrick, "An introduction to percolation theory", Advances in Physics, v.20, pp.325-357 (1971).

92. И.П. Звягин, "Вертикальная прыжковая проводимость через виртуальные состояния в сверхрешетках с контролируемым беспорядком", Письма в ЖЭТФ, т.69, сс.932-937 (1999).

93. Р.В. Visscher, L.M. Falikov, "Dielectric screening in a layered electron gas", Phys. Rev. B, v.3, pp.2541-2547 (1971).

94. M. Shimizu, "On the conditions of ferromagnetism by the band model: II", Proc. Phys. Soc., v.86, pp. 147-157 (1965).

95. R. Tsu, G. Dohler, "Hopping conduction in a "superlattice"", Phys. Rev. B, v.12, pp.680-686 (1975).

96. D. Caleski, J.F. Palmier, A. Chomette, "Hopping conduction in multiquantum well structures", J. Phys. C, v.17, pp.5017-5030 (1984).

97. C. Jacobini, P.J. Price, "Conductivity of a one-dimensional conductor with continious random potential", In: Proc. 20th Int. Conf. on the Physics of

98. Semiconductors, August 6-10,1990, Thessaloniki, Greece, World Scientific, Singapore, v.3, pp.2435-2438 (1990).

99. Д.Н. Зубарев, "Двухвременные функции Грина в статистической физике", УФН, т.71, сс.71-116 (1960).

100. Б. Ридли, Квантовые процессы в полупроводниках, Мир, Москва 1986. (В.К. Ridley, Quantum processes in semiconductors, Clarendon Press, Oxford 1982.)

101. H. Frohlich, "Theory of electrical breakdown in ionic crystals", Proc. Roy. Soc. A, v.160, pp.230-241 (1937).

102. H. Callen, "Electric breakdown in ionic crystals", Phys. Rev., v.16, pp. 1394-1402 (1949).

103. T. Weil, B. Vinter, "Calculation of phonon-assisted tunneling between two quantum wells", J. Appl. Phys., v.60, pp.3227-3231 (1986).