Энергообмен и локализация энергии в углеродных нанотрубках тема автореферата и диссертации по химии, 02.00.06 ВАК РФ
|
Шепелев, Денис Сергеевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2012
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
02.00.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
ШЕПЕЛЕВ ДЕНИС СЕРГЕЕВИЧ
ЭНЕРГООБМЕН И ЛОКАЛИЗАЦИЯ ЭНЕРГИИ В УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБКАХ
02.00.06 - высокомолекулярные соединения
1 ( ¿
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва, 2012
005047869
005047869
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте химической физики им. H.H. Семенова Российской академии наук
Научный руководитель:
доктор технических наук, профессор Маневич Леонид Исаакович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Турусов Роберт Алексеевич
кандидат физико-математических наук, Лесничая Валентина Алексеевна
Ведущая организация:
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук
Защита диссертации состоится часов на заседали
диссертационного совета Д 002.012.01 при Институте химической физики им. Н.Ь Семенова РАН по адресу: 119991 Москва, ул. Косыгина, д.4.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института химической физики ии H.H. Семенова РАН.
Автореферат разослан 12 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.012.01
кандидат химических наук
Ладыгина Т.А.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Углеродные нанотрубки (УНТ) являются в настоящее время одними из наиболее перспективных частиц, используемых в качестве наполнителя полимерных композитов. Они обладают высокой удельной поверхностью, электропроводностью, а также уникальными жесткостными и прочностными характеристиками. В связи с этим задача всестороннего исследования физико-механических свойств УНТ приобретает первостепенное значение. Поведение УНТ, а, следовательно, и композитов с наполнителем такого типа при интенсивных механических и тепловых воздействиях в значительной мере определяется их динамическими свойствами. К ним относятся, прежде всего, частотные спектры и нормальные моды колебаний, которые активно изучались в последние годы как теоретически, так и экспериментально. Однако, нестационарные процессы в УНТ, механизмы энергообмена и переноса энергии, определяющие их теплопроводность и реакцию на интенсивные динамические воздействия, практически не изучены. Поэтому актуальной является тема диссертации, в которой анализ этих механизмов занимает центральное место.
Цель работы - разработка применительно к УНТ нового метода анализа нелинейных нестационарных процессов, основанного на концепции эффективных частиц и предельных фазовых траекторий, с использованием редуцированной модели упругой оболочки, адекватно описывающей динамическое поведение УНТ в низкочастотной области.
Основные результаты работы, которые выносятся на защиту:
1) Построение нелинейной динамической модели УНТ, которая позволяет аналитически изучать низкоэнергетические процессы при основных типах краевых условий.
2) Аналитическое и численное описание интенсивного энергообмена в УНТ и вывод условия, определяющего переход от энергообмена к пространственной локализации энергии.
3) Аналитический вывод спектральных характеристик УНТ при основных типах граничных условий.
4) Подтверждение универсального характера концепции эффективных частиц (ЭЧ) и предельных фазовых траекторий (ПФТ), использующей аппарат негладких функций, при анализе нестационарных процессов в последовательно усложняемых динамических моделях: от нелинейного осциллятора до УНТ.
Научная новизна. Впервые выполнено исследование низкоэнергетической нелинейной динамики УНТ, что потребовало разработки концепции ЭЧ и ПФТ
применительно к ряду моделей с последовательно усложняемой структурой. Если пp^ использовании известных моделей новым является анализ нестационарных процессов I рамках концепции ЭЧ и ПФТ, то наиболее реалистичная модель УНТ впервьк представлена в диссертации. С ее использованием впервые описаны, наряду сс спектральными характеристиками при основных типах краевых условий, существеннс нелинейные процессы энергообмена и локализации энергии в УНТ.
Практическая значимость работы. Полученные результаты создают основу дл> уточненного анализа механизма теплопроводности УНТ. Кроме того, они позволяю] адекватно описать реакцию УНТ на интенсивные динамические воздействия и должнь быть учтены при оценке термомеханических характеристик полимерных нанокомпозитов в которых УНТ являются наполнителем.
Личный вклад автора. Автор, выполняя работу в лаборатории физики и механик1 отдела полимеров ИХФ РАН, активно участвовал (совместно с Л. И. Маневичем I В. В. Смирновым) в разработке новой концепции ЭЧ и ПФТ, которая предполагав использование негладких преобразований - основного математического аппарата примененного в диссертации. Это же относится к разработке новых динамически: моделей УНТ, в рамках которых получены основные результаты диссертации. Авторо» лично выполнена как аналитическая часть работы, так и соответствующее численно! исследование. Он принимал активное участие в постановке задач исследования обсуждении результатов и подготовке публикаций.
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены н; международных конференциях «Современные проблемы механики» (Санкт-Петербург 2009, 2010, 2011 гг), Европейской конференции по нелинейным колебаниям (Рим, Италия 2011 г.), на конференциях отдела полимеров и композиционных материалов ИХФ РА1 (Москва, 2009, 2010, 2011, 2012 гг.). Доклады по материалам работы отмечалис премиями на конкурсах молодых ученых.
Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 8 статей и тезисов докладов.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 177 страницах включает 77 рисунков и 5 таблиц. Работа состоит из Введения, 6 глав, Выводое Приложения и списка цитируемой литературы, включающего 113 ссылок.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.
Во Введении обоснована актуальность работы и сформулированы цель, задач исследования, научная новизна и практическая значимость работы.
В главе 1 приведен обзор литературных данных по экспериментальным исследованиям спектров одностенных и многостенных углеродных нанотрубок различными модификациями метода Рамановской спектроскопии, кратко обсуждаются механизмы, ответственные за Э и С-полосы. Приведен также обзор акустических свойств одностенных УНТ и методов экспериментального измерения модуля Юнга. Особое внимание уделено применению методов молекулярно-динамического моделирования и конечно-элементного анализа, а также различных континуальных теорий, в частности, различных вариантов теории тонких оболочек, к анализу динамики УНТ. Анализ полученных результатов показывает, что, несмотря на активные исследования и наличие богатого инструментария для изучения динамики оболочек, существуют области спектра, в которых имеющиеся упрощенные варианты не работают, в то время как общие теории чрезвычайно сложны в применении. Ввиду сложившейся ситуации была поставлена задача построения новой упрощенной модели тонкой оболочки, применимой в низкочастотной области спектра.
В главе 2 введены физические понятия и математический аппарат, соответствующие концепции ЭЧ и ПФТ, на простой модели нелинейного осциллятора во внешнем поле, причем основное внимание уделяется нестационарной динамике, аналитическое описание которой стало возможным лишь в рамках этих концепций, разработанных сравнительно недавно. Анализ этой модели имеет и самостоятельное значение, поскольку он тесно связан с проблемой целенаправленного переноса энергии от мишени (линейный осциллятор), достигаемого при помощи энергетической ловушки резонансного типа (нелинейный осциллятор).
Модель может быть описана следующим уравнением (в безразмерной форме):
^-^-+2уе—+и + %аеи3 = 2£-^Б1п(1 + $£/) (2.1)
Л Л
... йГи( 0) п
с начальными условиями и(0) =-- = 0, где и - смещение ловушки относительно
Л
мишени, у -коэффициент диссипации ловушки, а - параметр нелинейности осциллятора-ловушки, F - детерминированная или случайная амплитуда воздействия мишени на ловушку, 5 - параметр, характеризующий отклонение частоты мишени от частоты ловушки в линейном приближении, Е - малый параметр, определяющий возможность введения медленного времени.
Переходя к комплексным переменным и проводя многомасштабное разложение, можно свести уравнение (2.1) к системе уравнений:
Рис. 1 - фазовая плоскость уравнений (2.2) и аналитическое решение диссипативно? системы (2.2), полученное сопряжением решений недиссипативной системы и квазилинейных затухающих к стационарной точке колебаний (сплошная линия -численное решение).
с!а _
— + у а = Г соб Д
Л,
с1А з гг ' л'
¿г,
где а - величина, характеризующая амплитуду и скорость колебаний, Д - фазовый сдвиг ловушки относительно осциллятора, г, - медленное время, возникающее в процессе многомасштабного разложения. На основе этой системы вводится понятие предельной фазовой траектории - траектории на фазовой плоскости а - Д, соответствующей максимально эффективной перекачке энергии в ловушку.
О 20 40 60 80 100 1 (
Рис. 2 - аналитическое решение уравнений (2.2) методом негладких преобразований при у = 0 и оценка эффективности энергетической ловушки.
В работе приведены аналитические решения системы (2.2) вдоль ПФТ (как консервативной (у = 0), так и диссипативной (см. рис. 2) систем), а также рассмотрено влияние внешнего воздействия, имеющего случайный характер.
В Главе 3 проясняется механизм локализации энергии в а — Р цепочке Ферми-Паста-Улама (ФПУ), которую можно рассматривать как модель молекулы олигомера. Здесь концепции ЭЧ и ПФТ распространяются на многомерные системы в наиболее простой ситуации.
Динамика периодической цепочки ФПУ с асимметричным потенциалом взаимодействия между атомами определяется функцией Гамильтона:
Я«=£ \р) + - <7, )2 + - Ъ )3 + - ЬУ
у. 2
(3.1)
и условиями периодичности =Я\^Рк*\= М> где Я] и - координаты и,
соответственно, сопряженные им моменты, N - число частиц в системе. Для анализа динамики цепочки выполняется переход к нормальным координатам, задаваемый каноническим линейным преобразованием:
Вводя комплексные амплитуды, характеризующие модальные координаты и скорости, и применяя метод многомасштабных разложений, можно свести анализ системы с функцией Гамильтона (3.1) к системе уравнений в угловых переменных:
ав (V щх)п, . . зр,хп, . .. . .А .
-+---—— П 8тД + ——П 51П2Й51П2Д = 0,
</г, {А 16 ) 32 (3.3)
яп20— + {— п! + 5!п40(соб1 д-8) = 0,
сЬ^ \2 % ) 16 4 '
4
где Рх=/3-—а1,Д - переменная, характеризующая фазовый сдвиг половины цепочки,
образующей ЭЧ, относительно второй ЭЧ, в - переменная, характеризующая амплитуду возбуждения половины цепочки, О = 2 - частота ограничивающая первую зону Бриллюэна, X - уровень энергии в системе.
Фазовая плоскость системы при различных уровнях возбуждения X и соответствующие распределения энергии по цепочке во времени представлены на рис. 3.
Точки на фазовой плоскости соответствуют стационарным колебаниям -нормальным модам; траектория, проходящая через уровни в = о и 6 = ^, - предельная фазовая траектория, описывающая полный энергообмен между ЭЧ.
-2 -I О I 2 3 4 5 6 ; -I О I I 1 4 5 6
а) " л б) л в)
Г) " IV л)
Рис. 3 - фазовая плоскость уравнений (3.3) (а-в); распределение энергии по цепочке во времени: г) при уровне возбуждения, соответствующем фазовой плоскости (б), д) при уровне возбуждения, соответствующем фазовой плоскости (в),
а)
о,*» -0,3 -
А ,/ \
'У'ал ' 1 л ; / У 1.5
¿ЗГ 1 1.= тг
Рис. 4 - аналитическое решение уравнений (3.3), полученное методом негладких преобразований (а-Ь) - в случае, когда происходит полный энергообмен, (с-ф -локализация энергии на эффективной частице (сплошная линия - численное решение).
Как видно по рис. 4, полученное аналитическое решение хорошо согласуется с численным как при полном энергообмене, так и в случае локализации энергии.
Глава 4 посвящена исследованию простой модели нанотрубки, построенной на базе цепочки типа Клейна-Гордона с изгибным потенциалом.
Рассматривается одностенная УНТ конечной длины со свободно опертыми краями, которая мысленно рассекается на N колец плоскостями, перпендикулярными ее оси. В этом случае потенциальная энергия УНТ может быть представлена в виде:
где 8 - деформация контурной длины, ^ - продольная деформация (вдоль оси трубки), к - изгибная деформация формы (изменение кривизны), К[| - изгибная деформация вдоль оси трубки, E,J,J' - модуль Юнга, момент инерции кольца и момент инерции в плоскости, проходящей через ось трубки, 8=ЯИ - эффективная площадь элемента сечения кольца.
Деформация УНТ представляется комбинацией низшей по частоте моды эллиптического профиля в плоскости, перпендикулярной оси
УНТ (~Хсоз20) и двух
соседних мод вдоль трубки - в случае свободного опирания это моды с волновыми .Я . Ъх
векторами К =— и К, ——. Таким образом, деформация каждого кольца УНТ характеризуется одной переменной - амплитудой эллиптической деформации Х\
ж, = X,соз20, V, =—51П20 2Х„
После интегрирования по углу 0 получается следующее представление для энергии деформации
1С 2 2 " 4 1 2
и,„
.К =Х„«-2Х„+Х„а Я Л
где кп и «Гц „ - соответствующие деформации для п-го кольца.
Энергия (4.2) содержит также ангармоническую составляющую, которая соответствует учету физической нелинейности.
Перейдя к нормальным координатам, а затем к комплексным амплитудам и проведя многомасштабное разложение, приходим к уравнениям в угловых переменных:
Лв 5 . д 3рх „
--1- — 51ПД + —г 51п2#51п2Д = 0,
с1 г, 2 32й).
(4.3)
5Ь2Й —+ <5 ссвДсо820 + ^- 81п40 (д-соб2 д) = 0,
ърх
\6<о!
где 8 - параметр, характеризующий разницу частот, Д - переменная, характеризующая фазовый сдвиг первой ЭЧ (одной половины цепочки) относительно второй ЭЧ (соответственно, другой половины цепочки), в - переменная, характеризующая амплитуду возбуждения половины цепочки, со, - частота первой моды шарнирно опертой цепочки, X - уровень энергии в системе. Фазовая плоскость системы при различных уровнях возбуждения X и соответствующие распределения энергии по цепочке во времени представлены на рис. 5.
Точки на фазовой плоскости соответствуют стационарным колебаниям -
нормальным модам; траектория, проходящая через уровни в = 0 и в = - предельная
фазовая траектория, описывающая полный энергообмен между ЭЧ.
|
; ;
Шш • щйг
1) ■> " ' " — " г| Рис. 5 - фазовые плоскости и энергетические карты цепочки при различных типах нелинейности и уровнях возбуждения: 1) мягкая нелинейность (р <0)\ а), в) биения между эффективными частицами (фазовая плоскость и карта распределения энергии со временем); б), г) переход к локализации (фазовая плоскость и карта распределения энергии со временем); 2) жесткая нелинейность (у? > 0); а), в) биения между эффективными частицами (фазовая плоскость и карта распределения энергии со временем); б), г) переход к локализации (фазовая плоскость и карта распределения | энергии со временем);
Как видно по рис. 6, полученное аналитическое решение хорошо согласуется с численным.
Рис. 6 - аналитическое решение уравнений (4.3) методом негладких функций (толстая линия - численное решение).
Глава 5 посвящена построению модели нанотрубки на основе теории тонких оболочек Сандерса-Коитера.
Деформации и кривизны оболочки записываются, исходя из изменения метрики и второй квадратичной формы:
ди \( ЗиЛ2 \[ 3» 5ы V *
£.--+ -\а— +- \а------!«
Ц ц) 81, д4 дв)
Зу \(е*> У \( дч диУ д( , (5-1)
£,=и> +— + —--V +—\а------к,-— V--
дв 2{ев ) дв) ^ дв)
е —^а—- = Г_-> ^ За ди 1а»'
12 дв 2 дв 2Г
где ^ = — - безразмерная координата вдоль оси трубки, I - длина УНТ, в - угловая
координата в поперечном сечении УНТ. Безразмерные продольное и, радиальное № и
Я
тангенциальное V смещения измеряются в единицах радиуса УНТ к , параметр о. = —
характеризует отношение поперечного и продольного размеров трубки. В уравнениях (5.1) введены безразмерные кривизны, получаемые из размерных величин умножением на радиус. В главе 5 используются линейные составляющие выражений деформаций и кривизн.
Первая задача состоит в получении уравнения для и», основанного на гипотезах относительной малости кольцевой деформации и деформации сдвига.
После варьирования соответствующей функции Лагранжа и представления смещений в виде
в) = и(%)со$ пв ехр(/(У/), £,&)=№(£)сов пвехр(/й>/),
последовательного исключения из уравнений тангенциального движения кольцевого и сдвигового усилий и их подстановки в уравнение радиального движения (при этом учитываются выражения продольного и тангенциального смещений через радиальное, полученные из условий относительной малости кольцевой деформации и деформации сдвига), приходим к дифференциальному уравнению 4-го порядка относительно приведенного радиального смещения:
[ 12(«г+1) ) б(«2+1) л (и -\)) <1?
12я (я +1]
Уравнение (5.2) может быть представлено в факторизованной форме:
Принимая во внимание вид факторизованного оператора, общее решение можно представить в виде линейной комбинации гармонической и экспоненциальных составляющих
И'Й) = С1мпО'(г-^))+Сг««р[-^] + С1ехрО'^-1)], (5.3)
где константы С, -С, определяются граничными условиями. Далее был рассчитан спектр низкочастотных колебаний УНТ при различных граничных условиях. Рассмотрено влияние граничных условий, как на величины собственных значений, так и на форму колебаний при наименьшем «угловом волновом» числе п = 2. На рис. 7 представлены профили радиальных смещений для первых трех мод и соответствующие им профили УНТ в случае свободно опертых и закрепленных краев. Расчеты проводились для нехиральных УНТ с радиусом Л = 0.39нм и характерными длинами ¿ = 3.0, 6.0, 10.0 нм. Для получения численных характеристик нормальных колебаний были использованы следующие параметры УНТ: модуль Юнга £ = 5.5ТГ1а, коэффициент Пуассона у = 0.19, плотность р = 11700 кг/м3 и эффективная толщина стенки УНТ И = 0.067 нм.
Рис. 7 - профили радиальных смещений первых трех мод и соответствующие им формы трубок в случае 1) шарнирно опертых краев, 2) закрепленных краев.
Для подтверждения гипотезы относительной малости деформации растяжения кольца и сдвиговой деформации значения частот были рассчитаны также из полных уравнений Сандерса-Коитера. Сравнение полученных спектров, приведенное на Рис. 8, показало, что редуцированная модель адекватно описывает низкочастотную часть спектра УНТ.
Номер моды, т
Рис. 8 - сравнение спектра шарнирно опертой трубки, полученного при решении полных уравнений Сандерса-Коитера (□) со спектром, полученным из уравнения (5.2) (■).
Номер молы, Ж
Рис. 9 - полученные спектры для нанотрубки длиной 6 нм и радиусом 0.39 нм.
На рис. 9 изображены полученные спектры для нанотрубки длиной 6 нм и радиусом 0.39 нм.
В главе 6 учтена геометрическая нелинейность в выражениях для деформаций и кривизн (5.1) и в рамках новой редуцированной теории типа Сандерса-Коитера проведен анализ нелинейных колебаний УНТ. Особенности разработанной модели состоят в том, что, в отличие от полубезмоментной теории, учитывается энергия, обусловленная изменением всех компонент тензора кривизны-кручения. В отличие же от теории пологих оболочек учитываются все компоненты силы инерции и зависимость компонент тензора кривизны-кручения от всех составляющих вектора перемещений, но не учитывается энергия, связанная с изменением кольцевой и сдвиговой деформаций.
Результирующие усилия (продольное Nt, тангенциальное N2 и сдвиговое jV12, а также поперечная сила Q) и моменты (продольный М, и крутящий Мп) определяются обобщенным законом Гука:
1 — v
N,=s,+ ve2, N2 = е2 + щ, Nl2 = — еп,
1 -v ^ дк. дк. 1 - v
где v - коэффициент Пуассона Выражение для потенциальной энергии оболочки может быть представлено в виде:
и=к*!1++2уе'е> +"4^12 +
о1 1 1я,
+ 24 {+ + 2Ш,К2 + (6Л)
Кинетическая энергия колебаний в безразмерных переменных имеет вид:
I 2
Т
2
= -}|(и2 + уг + №2)с/£/0 (6.2)
2 о о
В уравнениях (6.1 - 6.2) энергия измеряется в единицах ЕШИ, где Е - модуль Юнга, К -радиус трубки, Л - ее длина, И - толщина оболочки. Точка над символом означает
дифференцирование по безразмерному времени т = I I-Д-с, р - плотность графена.
В отличие от линейного предела, в нелинейном случае радиальное и тангенциальное модальное смещения с и узлами по кольцу дополняются безузловыми колебаниями (осесимметричная компонента):
Гипотеза относительной малости кольцевой деформации сжатия-растяжения и сдвиговой деформации позволяет выразить тангенциальное смещение, смещение вдоль образующей и возникающую в силу нелинейности осесимметричную компоненту через радиальное смещение:
л я 4п 4п )
Подставляя полученные выражения в функцию Лагранжа и варьируя ее, получаем нелинейное дифференциальное уравнение, содержащее линейные члены четвертого порядка относительно радиального смещения:
12(п2 + 1) { б(п2+1) п2(п2-1^ <1?
(6.4)
№п (п +1) к '
где /г = /г,(^) - многочлен третьей степени от радиального смещения IVи его производных по 4 ■
В уравнение (6.4) подставляется функция (У((,£) = /(г)5т(я-^)+/2(/)зш(2^), описывающая профили радиального смещения вдоль трубки при условии возбуждения
лишь первых двух мод. Затем полученное выражение, в соответствии с процедурой метода Галеркина, проектируется на каждую из мод:
^ + о;,2/ + £,/' + Кш/22/: + % + ^ +
где все К- известные константы, = - частота у-той нормальной моды.
После комплексификации уравнений (6.5), проведения процедуры многомасштабного разложения и ряда математических преобразований получены уравнения главного асимптотического приближения:
•^+Л\х1\гх1 + В\х2\2ъ+Сх1х;=0 5гг , (6.6)
^ + + А^Хг + ВЫ2Хг + СХ1х\ = О 5гг
где А, В,С - известные действительные постоянные, т2 = ег1 - медленное время,
е- J--1- При переходе к эффективным частицам ^yr, = J^fo, у/2 = j
система (6.6) трансформируется в уравнения следующего вида:
dw. t \ Л + В + С i 12 А-В + С ¡ • .
-—:-k. v. + M-cJkil v,+—--ViVi =0
dr2 2 2 (6.7)
dip, / \ A + B + C i i2 /. |2 A-B + C 2 • л
---1(/2 + V2 +-1-V,V2 =0
i?r2 2 2
Эта система обладает интегралом X = |i/,|2 +|(/2|2,что позволяет перейти к угловым
переменным <//¡ = Xcosflexpf/'jJ, ty2 = A'sin6'exp[/í?2], & = S¡ -<52:
M--4sinA + X(A-B + C)s.mWs.m2A = 0
dT> 2 4 (6.8)
sin 20—- <a, cos Д cos2é> - CXsin 40+X^A B + C>sin 40coszA = O dx2 2
Фазовая плоскость и карты распределения энергии вдоль трубки, полученные из численного решения уравнений (6.8), представлены на рис. 10.
а) - Ь)
Рис. 11 - аналитическое решение уравнений (4.3) методом негладких преобразований (толстая линия - численное решение).
Рис. 10 - фазовые плоскости а), б) и карты полученного распределения энергии вдоль УНТ в), г) при различных уровнях возбуждения: более низкий уровень - биения между ЭЧ (фазовая плоскость (а) и карта распределения энергии со временем (в)), переход к локализации (фазовая плоскость (б) и карта распределения энергии во времени (г));
Получено также аналитическое решение уравнений (6.8) методом негладких преобразований. По рис. 11 видно, что это решение находится в хорошо согласуется с численным решением уравнений (6.8).
выводы
1. Концепция эффективных» частиц и предельных фазовых траекторий с использованием аппарата негладких функций обеспечивает адекватное описание нестационарных процессов в динамических моделях различных уровней сложности: от нелинейного осциллятора в периодическом и случайном внешнем поле до УНТ, испытывающей импульсное возбуждение.
2. Полученное аналитическое представление спектральных характеристик УНТ впервые позволяет не только предсказать частоты ее нормальных колебаний при всех основных типах краевых условий, но и выявить особенности пространственного распределения энергии нормальных мод, обусловленные существованием пограничных слоев.
3. В УНТ может быть реализован процесс интенсивного энергообмена между частями нанотрубки. Выявлены условия, при которых полный энергообмен становится невозможным и энергия остается пространственно локализованной в первоначально возбужденной области УНТ.
4. В случаях, когда доминируют геометрическая или физическая нелинейность, эффективные характеристики качественно отличаются, что приводит к закономерностям различного типа при описании интенсивного энергообмена.
5. Аналитические результаты, полученные в диссертации, подтверждены данными численного моделирования.
Основные результаты работы изложены в следующих публикациях.
1. L. Manevitch, A. Kovaleva, E. Manevitch, D. Shepelev. Limiting phase trajectories and nonstationaiy resonance oscillations of the Duffing oscillator. Part 1. A non-dissipative oscillator. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, vol. 16 (2), pp.1089-1097. ISSN: 1007-5704.
2. L. Manevitch, A. Kovaleva, E. Manevitch, D. Shepelev. Limiting phase trajectories and nonstationary resonance oscillations of the Duffing oscillator. Part 2. A dissipative oscillator. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, vol. 16 (2), pp. 1098-1105. ISSN: 1007-5704.
3. L. Manevitch, A. Kovaleva, D. Shepelev. Non-smooth approximations of the limiting phase trajectories for the Duffing oscillator near 1:1 resonance. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2011, vol. 240 (1), pp. 1-12. ISSN: 0167-2789.
4. V.V. Smimov, D. S. Shepelev, L. I. Manevitch. Localization of bending vibrations in the single-wall carbon nanotubes. Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 2011, 2 (2), p. 102-106
5. V.V. Smirnov, D.S. Shepelev, and L.I. Manevitch. Energy exchange and transition to localization in the asymmetric Fermi-Pasta-Ulam oscillatory chain. Eur. Phys. J. B (2012) DOI: 10.1140/epjb /e2012-30753-2
6. L.I. Manevitch, D.S. Shepelev, A.S. Kovaleva. Non-stationary vibrations of a nonlinear oscillator under random excitation. In: Proceedings of the 37th Summer School and Conference "Advanced Problems in Mechanics", (St Petersburg, June, 30 — July, 5, 2009). IPME, 2009. pp. 479-489. ISBN: 978-5-91339-029-5.
7. D. Shepelev, V.V. Smirnov, L.I. Manevitch. Energy exchange and transition to localization in asymmetric Fermi-Pasta-Ulam oscillatory chain. In: Proceedings of the 38th Summer School and Conference "Advanced Problems in Mechanics", (St Petersburg, July, 1-5, 2010). IPME, 2010.
8. 7. V.V. Smirnov, D. Shepelev, L.I. Manevitch. Localization of bending vibrations in the single-wall carbon nanotubes In: Proceedings of the 39th Summer School and Conference "AdvancedProblems in Mechanics", (St Petersburg, July, 1 - 5, 2011). IPME, 2011.
9. D. Shepelev, V.V. Smirnov and L.I. Manevitch. Limiting Phase Trajectories and Energy Transfer in Asymmetric Fermi-Pasta- Ulam chain, ENOC 2011, 24-29 July 2011, Rome, Italy.
Объем: 1,0усл.п.л. Подписано в печать: 25.12.2012 Тираж: 100 экз. Заказ № 9566 Отпечатано в типографии «Реглет» г. Москва, ул. Ленинский проспект, д. 2 (495)978-66-63; www.reglet.ru
1 Введение
2 Глава 1: Литературный обзор.
2.1 Колебательные моды односменных углеродных нанотрубок.
2.2 О-полоса и С'-полоса.
2.3 Механизм, ответственный за О и С' полосы.
2.4 Общие свойства О и С полос.
2.5 Скорости звука в ОУНТ.
2.6 Экспериментальное измерение модуля Юнга.
2.7 Молекулярно-динамическое моделирование и коиечно-элемент-ный анализ.
3 Глава 2: Предельные фазовые траектории: физические аспекты и математический аппарат.
3.1 Уравнения движения и асимптотический их анализ.
3.2 Анализ системы в угловых переменных при отсутствии диссипации.
3.3 Негладкие замены времени и аналитическое приближение решения.
3.4 Движение вблизи сепаратрисы.
3.4.1 Движение во внутренней области 1.
3.4.2 Движение во внешней области
3.5 Анализ переходной динамики диссипативной системы.
3.6 Осциллятор, подвергаемый гармоническому воздействию со случайной амплитудой.
3.7 Выводы.
4 Глава 3: Энергообмен и локализация энергии в асимметричной периодической цепочке Ферми-Паста-Ула ма (сс — (3 ФПУ).
4.1 Введение.
4.2 Модель и уравнения движения.
4.3 Уравнения главного асимптотического приближения.
4.4 От "волн"к "частицам".
4.5 Аналитическое решение для ПФТ.
4.6 Выводы.
5 Глава 4: Модель углеродной нанотрубки на основе модели Клейна-Гордона.
5.1 Введение.
5.2 Модель.
5.3 Анализ цепочки с мягкой нелинейностью.
5.4 Анализ цепочки с жесткой нелинейностью.
5.5 Аналитическое решение вдоль ПФТ.
5.6 Выводы.
6 Глава 5: Влияние краевых условий на низкочастотный спектр углеродных нанотрубок.
6.1 Введение.
6.2 Уравнения движения и их редукция.
6.3 Расчет низкоэнергетического спектра при основных типах краевых условий.
6.3.1 Шарнирное (свободное) опирание.
6.3.2 Закрепленные края.
6.3.3 Шарнирное опирание - закрепленный край.
6.3.4 Свободные края.
6.3.5 Свободный край - шарнирное опирание.
6.3.6 Свободный край - закрепленный край (консоль).
6.4 Сравнение спектров при различных типах краевых условий.
6.5 Выводы.
7 Глава 6: Энергообмен и локализация энергии в одностенных углеродных нанотрубках.
7.1 Введение.
7.2 Уравнения движения и их редукция.
7.3 Комплексификация уравнений.
7.4 Анализ фазовой плоскости уравнений в угловых перемеиых.
7.5 Аналитическое решение вдоль ПФТ.
7.6 Выводы.
Актуальность темы. Углеродные нанотрубки (УНТ) являются в настоящее время одними из наиболее перспективных частиц, используемых в качестве наполнителя полимерных композитов. Они обладают высокой удельной поверхностью, электропроводностью, а также уникальными жесткост-ными и прочностными характеристиками. В связи с этим задача всестороннего исследования физико-механических свойств УНТ приобретает первостепенное значение. Поведение УНТ, а, следовательно, и композитов с наполнителем такого типа при интенсивных механических и тепловых воздействиях в значительной мере определяется их динамическими свойствами. К ним относятся, прежде всего, частотные спектры и нормальные моды колебаний, которые активно изучались в последние годы как теоретически, так и экспериментально. Однако, нестационарные процессы в УНТ, механизмы энергообмена и переноса энергии, определяющие их теплопроводность и реакцию на интенсивные динамические воздействия, практически не изучены. Поэтому актуальной является тема диссертации, в которой анализ этих механизмов занимает центральное место.
Цель работы - разработка применительно к УНТ нового метода анализа нелинейных нестационарных процессов, основанного на концепции эффективных частиц и предельных фазовых траекторий, с использованием редуцированной модели упругой оболочки, адекватно описывающей динамическое поведение УНТ в низкочастотной области.
Основные результаты работы, которые выносятся на защиту:
1) Построение нелинейной динамической модели УНТ, которая позволяет аналитически изучать низкоэнергетические процессы при основных типах краевых условий.
2) Аналитическое и численное описание интенсивного энергообмена в УНТ и вывод условия, определяющего переход от энергообмена к пространственной локализации энергии.
3) Аналитический вывод спектральных характеристик УНТ при основк. ных типах граничных условий.
4) Подтверждение универсального характера концепции эффективных частиц (ЭЧ) и предельных фазовых траекторий (ПФТ), использующей аппарат негладких функций, при анализе нестационарных процессов в последовательно усложняемых динамических моделях: от нелинейного осциллятора до УНТ.
Научная новизна. Впервые выполнено исследование низкоэнергетической нелинейной динамики УНТ, что потребовало разработки концепции ЭЧ и ПФТ применительно к ряду моделей с последовательно усложняемой структурой. Если при использовании известных моделей новым является анализ нестационарных процессов в рамках концепции ЭЧ и ПФТ, то наиболее реалистичная модель УНТ впервые представлена в диссертации. С ее использованием впервые описаны, наряду со спектральными характеристиками при основных типах краевых условий, существенно нелинейные процессы энергообмена и локализации энергии в УНТ.
Практическая значимость работы. Полученные результаты создают основу для уточненного анализа механизма теплопроводности УНТ. Кроме того, они позволяют адекватно описать реакцию УНТ на интенсивные динамические воздействия и должны быть учтены при оценке термомеханических характеристик полимерных нанокомпозитов, в которых УНТ являются наполнителем.
Личный вклад автора. Автор, выполняя работу в лаборатории физики и механики отдела полимеров ИХФ РАН, активно участвовал (совместно с Л. И. Маневичем и В. В. Смирновым) в разработке новой концепции ЭЧ и ПФТ, которая предполагает использование негладких преобразований - основного математического аппарата, примененного в диссертации. Это же относится к разработке новых динамических моделей УНТ, в рамках которых получены основные результаты диссертации. Автором лично выполнена как аналитическая часть работы, так и соответствующее численное исследование. Он принимал активное участие в постановке задач исследования, обсуждении результатов и подготовке публикаций.
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на международных конференциях "Современные проблемы механики" (Санкт-Петербург, 2009, 2010, 2011 гг), Европейской конференции по нелинейным колебаниям (Рим, Италия, 2011 г.), на конференциях отдела полимеров и композиционных материалов ИХФ РАН (Москва, 2009, 2010, 2011, 2012 гг.). Доклады по материалам работы отмечались премиями на конкурсах молодых ученых.
Публикации.По результатам диссертационной работы опубликовано 8 статей и 5 тезисов докладов.
7.6 Выводы.
Впервые получены уравнения нелинейной динамики тонких упругих оболочек, допускающие аналитическое исследование. Полученные уравнения справедливы в области волновых чисел, в которой выявленные нелинейные эффекты принципиально важны.
Анализ нелинейных уравнений показал возможность полного энергообмена между различными частями УНТ, который адекватно описывается в терминах эффективных частиц и предельных фазовых траекторий.
Выявлена возможность динамической локализации энергии на возбужденной части УНТ и сформулированы условия перехода от интенсивного обмена энергией к ее локализации.
1. Iijima S., Helical microtubules of graphitic carbon, Nature 354, 56-58, (1991).
2. Iijima S., Ichihashi Т., Single-shell carbon nanotubes of 1-nrn diameter, Nature 363, 603 (1993).
3. Bethune D.S. et al., Cobalt-catalysed growth of carbon nanotubes with single-atomic-layer walls, Nature 363, 605 (1993).
4. Bandow S. et al., Effect of the Growth Temperature on the Diameter Distribution and Chirality of Single- Wall Carbon Nanotubes, Phys. Rev. Lett. 80 (17), 3779-3782, (1998).
5. Rao A.M. et al., Diameter-Selective Raman Scattering from Vibrational Modes in Carbon Nanotubes, Science 275, 187, (1997).
6. Venkataraman L., Bachelor thesis, Massachusetts Institute of Technology, (1993).
7. Jishi R.A. et al., Phonon Modes in Carbon Nanotubules, Chem. Phys. Lett. 209, 77, (1993).
8. Richter E., Subbaswany K.R., Theory of Size-Dependent Resonance Raman Scattering from Carbon Nanotubes, Phys. Re v. Lett. 79, 2738, (1997).
9. Pimenta M.A. et al., Raman modes of metallic carbon nanotubes, Phys. Rev. В 58 (24), R16016, (1998).
10. Alvarez L. et al., Resonant Raman study of the structure and electronic properties of single-wall carbon nanotubes, Chem. Phys. Lett. 316, 186190, (2000).
11. Milnera M. et al., Periodic Resonance Excitation and Intertube Interaction from Quasicontinuous Distributed Helicities in Single-Wall Carbon Nanotubes, Phys. Rev. Lett. 84 (6), 1324, (2000).
12. Duesberg G. S. et al., Experimental observation of individual single-wall nanotube species by Raman microscopy, Chem. Phys. Lett. 310, 8-14, (1999).
13. Duesberg G.S. et al., Polarized Raman Spectroscopy on Isolated SingleWall Carbon Nanotubes, Phys.Rev.Lett. 85 (25), 5436-5439, (2000).
14. Saito R. et al., Raman intensity of single-wall carbon nanotubes, Phys. Rev. B 57, 4145, (1998).
15. Ajiki H., Ando T., Aharonov-Bohm effect in carbon nanotubes, Physica (Amsterdam) 201B, 349, (1994).
16. Rao A.M. et al., Polarized Raman Study of Aligned Multiwalled Carbon Nanotubes, Phys. Rev. Lett. 84, 1820, (2000).
17. Cardona M., in "Light Scattering in Solids, II, Basic Concepts and Instrumentation Topics in Applied Physics, edited by Cardona M. and Guntherrodt G. (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1982), Vol. 50, p. 19.
18. Pimenta M.A. et al, Resonant Raman effect in single-wall carbon nanotubes, J. Mater. Res. 13, 2396, (1998).
19. Saito R.,Dresselhaus G., Dresselhaus M., "Physical Properties of Carbon Nanotubes" (Imperial College Press, London, 1998).
20. Jorio A. et al, Structural (n, m) Determination of Isolated Single-Wall Carbon Nanotubes by Resonant Raman Scattering, Phys. Rev. Lett. 86 (6), 1118, (2001).
21. Dresselhaus M.S. et al., Raman spectroscopy on isolated single wall carbon nanotubes, Carbon 40, 2043-2061, (2002).
22. Tuinstra F., Koenig J. L., Raman spectrum of graphite, J. Chem. Phys. 53, 1126, (1970).
23. Vidano R. P. et al., Observation of Raman band shifting with excitation wavelength for carbons and graphites, Solid State Commun. 39, 341, (1981).
24. Baranov A. V. et al., Opt Spectroscop USSR 62, 612, (1987).
25. Matthews M. J. et al., Origin of dispersive effects of the Raman D band m carbon materials, Phys. Rev. B 59, R6585, (1999).
26. Thomsen C., Reich S., Double resonant Raman scattering in graphite, Phys. Rev. Lett. 85, 5214, (2000).
27. Pocsik I. et al, Origin of the D-peak m the Raman spectrum of microcrystallme graphite, J. Non-Cryst. Solids 227 230B, 1083, (1998).
28. Saito R. et al., Probing phonon dispersion relations of graphite by double resonance Raman scattering, Phys. Rev. Lett. 88, 027401, (2002).
29. Pimenta M.A. et al., The anomalous dispersion of the disorder-induced and the second-order Raman Bands in Carbon Nanotubes, Braz. J. Phys. 30, 423-427, (2000).
30. Maultzsch J., Reich S., Tomscn C., Chirality-s elective Raman scattering of the D mode m carbon nanotubes, Phys. Rev. B 64, 121407(R), (2001).
31. Brown S. D. M., Jorio A. et al., Observation of the D-band feature in the Raman spectra of carbon nanotubes, Phys. Rev. B 64 (7), 3403, (2001).
32. Gruneis A., Hulman M. et al. In: Proceedings of the Int. Winter School on Electronic Properties of Novel Materials (IWEPNM'01), American Institute of Physics, Woodbury, (2002)
33. Pimenta M.A, Jorio A. et al., Diameter dependence of the Raman D-band in isolated single-wall carbon nanotubes, Phys. Rev. B 64 (4), 041401, (2001).
34. Souza Filho A.G, Jorio A. et al., Electronic transition energy Eu for an isolated (n, m) single-wall carbon nanotube obtained by anti-Stokes/Stokes resonant Raman intensity ratio, Phys. Rev. B 63 (24), (2001).
35. Sauvajol J.L. et al., Phonons in single wall carbon nanotube bundles, Carbon 40, 1697-1714, (2002).
36. Yacobson B.I. et al., Nanomechanics of Carbon Tubes: Instabilities beyond Linear Response, Phys. Rev. Lett 76, 2511-2514, (1996).
37. Cornwell C.F. et al., Elastic properties of single-walled carbon nanotubes in compression, Solid State Commun 101, 555-558, (1997).
38. Hernandez E. et al., Elastic Properties of C and BxCyNz Composite Nanotubes, Phys. Rev. Lett 80, 4502-4505, (1998).
39. Sanchez-Portal D. et al., Ab initio structural, elastic, and vibrational properties of carbon nanotubes, Phys. Rev. B 59, 12678-88, (1999).
40. Krishnan A. et al., Young's modulus of single-walled nanotubes, Phys. Rev. B 58, 14013-19, (1998).
41. Blakslee O.L. et al., Elastic Constants of Compression-Annealed Pyrolytic Graphite, J. Appl. Phys. 41, 8, (1970).
42. Kelly B.T., Physics of Graphite (Applied Science, London, 1981).
43. Treacy M.M.J, et al., Exceptionally high Young's modulus observed for individual carbon nanotubes, Nature (London) 381, 678, (1996).
44. Wong E.W. et al., Nanobeam Mechanics: Elasticity, Strength, and Toughness of Nanorods and Nanotubes, Science 277, 1971, (1997).
45. Poncharal P. et al., Electrostatic Deflections and Electromechanical Resonances of Carbon Nanotubes, Science 283, 1513, (1999).
46. Gupta S. S., Bosco F. G., Batra R. C., Breakdown of structural models for vibrations of single-wall zigzag carbon nanotubes, Journal of Applied Physics 106 (9), 063527, (2009).
47. Cheng H. C. et al., On radial breathing vibration of carbon nanotubes, Comp. Meth. in Appl. Mech. Eng. 199, 2820-2827, (2010).
48. Gupta S. S., Bosco F. G., Batra R. C., Wall thickness and elastic moduli of single-walled carbon nanotubes from frequencies of axial, torsional and inextensional modes of vibration, Comput. Mat. Sci. 47, 1049-1059, (2010).
49. Duan W. H., Wang C. M., Zhang Y. Y., Calibration of nonlocal scaling effect parameter for free vibration of carbon nanotubes by molecular dynamics, J. of Appl. Phys. 101 (7), 024305, (2007).
50. Sakhaee-Pour A., Ahmadian M. T., Vafai A., Vibration analysis of singlewalled carbon nanotubes using beam element, Thin-Walled Structures 47, 646-652, (2009).
51. Arghavan S., Singh A. V., On the vibrations of single-walled carbon nanotubes, J. of Sound and Vibr. 330, 3102-3122, (2011).
52. Odegard G. M. et al., Equivalent-Continuum Modeling of Nano-Structured Materials, Compos. Sci. and Tech. 62 (14), 1869-1880, (2002).
53. Lu P. et al., Application of nonlocal beam models for carbon nanotubes, Int. J. of Sol. and Str. 44, 5289-5300, (2007).
54. Yang S. et al., Multiscale modeling of size-dependent elastic properties of carbon nanotube/polymer nanocomposites with interfacial imperfections, Polymer 53, 623-633, (2012).
55. Ru C. Q., Axially compressed buckling of a doublewalled carbon nanotube embedded in an elastic medium, J. of the Mech. and Phys. of Sol. 49, 1265-1279, (2001).
56. Elishakoff I , Pentaras D., Fundamental natural frequencies of doublewalled, carbon nanotubes, J. of Sound and Vibr. 322, 652-664, (2009).
57. Silvestre N. et al., Sanders shell model for buckling of single-walled carbon nanotubes with small aspect ratio, Compos. Str. 93, 1683-1691, (2011).
58. Huang Y., Wu J., Hwang K. C., Thickness of graphene and single-wall carbon nanotubes, Phys. Rev.B 74 (9), 245413, (2006).
59. Yao N., Lordi V., Young's modulus of single-walled carbon nanotubes, J. of Appl. Phys. 84 (4), 1939-1943, (1998).
60. Jin Y., Yuan F. G. Simulation of elastic properties of single-walled carbon nanotubes, Compos. Sci. and Tech. 63, 1507-1515, (2003).
61. Vodenitcharova T., Zhang L. C., Effective wall thickness of a smgle-walled carbon nanotube, Phys. Rev. B 68 (4), 165401, (2003).
62. Licw K. M., Wang Q., Analysis of wave propagation in carbon nanotubes via elastic shell theories, Int. J. of Eng. Sci. 45, 227-241, (2007).
63. Silvestre N., On the accuracy of shell models for torsional buckling of carbon nanotubes, Eur. J. of Mech. A/Sol. 32, 103-108, (2012).
64. Wang C. Y., Ru C. Q., Mioduchowski A., Applicability and Limitations of Simplified Elastic Shell Equations for Carbon Nanotubes, J. of Appl. Mech. 71, 622-631, (2004).
65. Cong W., Modeling and Analysis of Carbon Nanotube Buckling Using Thick Shell Theory, Engineering Science Programme, National University of Singapore, 2011.
66. Ghavanloo E., Fazelzadeh S. A., Vibration characteristics of smgle-walled carbon nanotubes based on an anisotropic elastic shell model including chirahty effect, Appl. Math. Model. 36 (10), 4988-5000, (2012).
67. Chang Т., A molecular based anisotropic shell model for single-walled carbon nanotubes, J. of the Mech. and Phys. of Sol. 58, 1422-1433, (2010).
68. Amabili M., Nonlinear Vibrations and Stability of Shells and Plates, Cambridge University Press, New York, (2008).
69. Manevitch L.I., Gourdon E., Lamarque С. H., Towards design of optimal energetic sink in strongly nongomogeneous 2 dof system, ASME, J. Appl. Mech.
70. Manevitch L.I., New approach to beating phenomenon in coupled nonlinear oscillatory chains, Arch. Appl. Mech. 77(5), 301-312, (2007)
71. Маневич JI.И., Михлин Ю.В., Пилипчук В.Н., Метод нормальных колебаний для существенно нелинейных систем, Наука, Москва, (1985)
72. Vakakis A.F., Manevitch L.I., Mikhlin Yu.V., Pilipchuk V.N., Zevin A.A., Normal modes and localization in nonlinear systems, Wiley, New York, (1996)
73. Manevitch L.I., Musienko A.I., Transient forced vibrations of duffing oscillator, in International Conference "Nonlinear Phenomena in Polymer Solids and Low-dimensional Systems 7-10 July, 2008, Moscow, Russia, 114 -127. IChPh RAN (2008)
74. Manevitch L.I., Kovaleva A.S., Shepelev D.S., Non-smooth approximations of the limiting phase trajectories for the Duffing oscillator near 1:1 resonance, Physica D 240, 1Ц12, (2011)
75. Manevitch L.I., Kovaleva A.S., Manevitch E.L., Shepelev D.S., Limiting phase trajectories and поп-stationary resonance oscillations of the Duffingoscillator. Part 2. A dissipative oscillator, Commun Nonlinear Sci Nuraer Simulat 16, 1098Ц1105, (2011).
76. Smirnov V.V., Shepelev D.S., and Manevitch L.I., Energy exchange and transition to localization in the asymmetric Fermi-Pasta-Ulam oscillatory chain, The Eur. Phys. J. B, DOI: 10.1140/ epjb /e2012-30753-2, (2012)
77. Sagdeev R.Z., Usikov D.A., Zaslavsky G.M., Nonlinear Physics: From the Pendulum to Turbulence and Chaos, Harwood Academic Publishers, New-York, (1988).
78. Диментберг M. Ф., Нелинейные стохастические задачи механических колебаний, Наука, Москва, (1980)
79. Scott A., Nonlinear Science: Emergence and Dynamics of Coherent Structures, Oxford University Press, New York, (2003).
80. Manevitch L. I., Smirnov V. V., Limiting phase trajectories and the origin of energy localization in nonlinear oscillatory chains, Phys. Rev. E 82, 036602,(2010)
81. Manevitch L.I., The description of localized normal modes in a chain of nonlinear coupled oscillators using complex variables, Nonlin. Dyn. 25, 95-109, (2001)
82. Manevitch L.I., Mikhlin Yu.V., Pilipehuk V.N., The method of normal vibrations for essentialy nonlinear systems (in Russia, Moscow, Nauka (1989), 216p.).
83. Feng B.-F., An Integrable Three Particle System Related to Intrinsic Localized Modes in Fermi-Pasta-Ulam Chain, J. of the Phys. Soc. of Japan 75 (1), 014401, (2006)
84. The Fermi-Pasta-Ulam Problem: A Status Report, Springer Series Lect. Notes Phys. Vol. 728, edited by G. Gallavotti (Springer-Verlag, Berlin (2008) and references therein).
85. Poggi P. and Ruffo S., Exact solutions in the FPU oscillator chain, Physica D 103, 251, (1997)
86. Rink B. and Verhulst F., Near-integrability of periodic FPU-chains, Physica A 285, 467, (2000)
87. Henrici A. and Kappeler T., Results on Normal Forms for FPU Chains, Commun. Math. Phys. 278, 145, (2008)
88. Flach S., Ivanchenko M. V., and Kanakov O. I., q-Breathers and the Fermi-Pasta- Ulam problem, Phys. Rev. Lett. 95, 064102, (2005)
89. Dauxois T., Khomeriki R., Piazza F., and Ruffo S., Anti-FPU problem, Chaos 15, 015110, (2005)
90. Ru C. Q., Effective bending stiffness of carbon nanotubes, Phys. Rev. B62, 10405, (2000)
91. Ouakad H. M., Younis M. I., Natural frequencies and mode shapes of initially curved carbon nanotube resonators under electric excitation, J. Sound Vibr. 330, 3182, (2011)
92. Vaziri A., Mechanics of highly deformed elastic shells, Thin-Walled Structures 47, 692, (2009)
93. Wu G. et al, Radial breathinglike mode of the collapsed single-walled carbon nanotube bundle under hydrostatic pressure, Appl. Phys. Lett. 88, 223114, (2006)
94. Hertel T. et al, Deformation of carbon nanotubes by surface van der Waals forces, Phys. Rev. B58, 13870, (1998)
95. Elliott J. A. et al, Collapse of single-wall carbon nanotubes is diameter dependent, Phys. Rev. Lett. 92, 95501 (2004)
96. Chang T., Dominoes in carbon nanotubes, Phys. Rev. Lett. 101, 175501, (2008)
97. Soltani P. et al, Nonlinear free and forced vibration analysis of a singlewalled carbon nanotube using shell model, Int. J. Fund. Phys. Sci., 1, 47, (2011)
98. Li Q. M. and Shi M. X., Intermittent transformation between radial breathing and flexural vibration modes in a single-walled carbon nanotube, Proc. R. Soc. A 464, 1941, (2008)
99. Smirnov V. V., Shepelev D. S., Manevitch L. I., Localization of bending vibrations in the single-wall carbon nanotubes, Nanosystems: Phys. Chem. Math. 2, 102, (2011)
100. Смирнов В. В., Маневич JI. И., Предельные фазовые траектории и динамические переходы в нелинейных периодических системах, Акуст. Журн. 57, 279, (2011)
101. Маневич Л. И., Смирнов В. В., Предельные фазовые траектории и термодинамика молекулярных цепей , ДАН 433, 185, (2010)
102. Доннел Л. Г., Балки, пластины и оболочки, Пер. с англ., М., Наука, (1982), 568 стр.
103. Голденвейзер А. Л., Теория упругих тонких оболочек, М., Наука, (1976), 512 стр.
104. Yamaki N. Elastic Stability of Circular Cylindrical Shells, Elsevier Science Ltd, North-Holland. Amsterdam, (1984), 572pp.
105. Васильев В. В., О теории тонких пластин, Механика твердого тела 3, 26-47, (1992)
106. Manevich A. I., Manevitch L.I., The mechanics of Nonlinear systems with internal resonances, Imperial College Press, London, (2005)
107. Novozhilov V. V., Foundations of the nonlinear theory of elasticity, Greylock Press, 186-198, (1953).
108. Novozhilov V. V., The theory of thin shells, P. NordhofF Ltd., (1959).
109. Sanders J. L., An improved first approximation theory for thin shells, N.A.S.A. Report 24, June, (1959).
110. Koiter W. T., A consistent first approximation in the general theory of thin elastic shells, Proc. of I.U.T.A.M. Symposium on the theory of thin elastic shells, North-Holland Pub. Co., 12-33, (1959).
111. Mushtari Kh. M., Galimov K. Z., Nonlinear theory of thin elastic shells, Israel Program for Scientific Translation, (1961).
112. Donnell L. H., Stability of thin-walled tubes under torsion, N.A.C.A. TR 479, (1934).
