Эйлеровское описание твердых тел тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.09 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ им. П.1.КАПИЦЫ

На правах рукописи

БАЗАЛИЙ ЯРОСЛАВ БОРИСОВИЧ

УДК 538.941

ЭЙЛЕРОВСКОЕ ОПИСАНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.

специальность 01.04.09 - физика низких температур и криогенная техника

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1992

Работа выполнена в Институте Физических Проблем им.П.Л.Капицы Российской Академии Наук.

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук, профессор, академик А.Ф.Андреев.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор

В.П.Минеев.

доктор физ.-мат. наук

В.И.Марченко,

Ведущая организация:

Кафедра физики низких температур ИГУ им.Ломоносова

Защита диссертации состоится 6 1992 г. В /Я

часов на заседании Специализированного совета Д 003.04.01 при Институте физических проблей РАН, 117334, г.Москва, ул.Косыгина

Д.2.'

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физических проблем РАН.

(О

Автореферат разослан и*? 1992 года.

Ученый секретарь Специализированного совета А .

Д 003.04.01, доктор физ. -мат. наук

Л.А.Прозорова

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕШ

Электронная теория металлов представляет собой хорошо разработанную область физики как в теоретическом, так и в экспэриментальном отношении. Однако некоторые принципиальные вопросы обоснования теорфизического описания • металлов до настоящего времени требуют своего разрешения и окончательного прояснения, тем более, что при этом сами по себе указанные принципы и методы одновременно применялись для получения конкретных результатов и прочно вошли в практику- физических вычислений без достаточных обоснований.

Одним из подобных случаев является описание движения деформированного металла. Это движиние должно описываться системой уравнений, состоящей из связанных кинетического уравнения Больцмана для электронов, уравнения теории упругости и уравнений Максвелла. Примерами такого движения могут быть прохождение звука через металл при малых' (по сравнению с фермиевским импульсом рр и фермяевской энергией волновом векторе и частоте звука, явления в ускоренно движущемся проводнике, в частности эффект Стюарта-Толмена, явления во вращающихся проводниках. Получившее широкое распространение бесконтактное электромагнитное возбуждение звука в металле, то есть трансформация злектромагактшх волн в звуковые и обратно (см. обзор [1]), также описывается системой уравнёний динамики деформированного металла. Вывод таких уравнений призводился многими авторами, причем наиболее полно и последовательно -Конторовичем (см. его работы [21 и цитированную в них литературу). Речь всюду, однако, шла о линеаризованных уравнениях. Помимо очевидного недостатка линеаризованных уравнений, связанного с невозможность!) их приложения к нелинейным задачам, например, о взаимодействии колебательных мод, имеются принципиальные вопросы, последовательное решение которых возмовно лишь в точной нелинейной постановке задачи.

Наиболее существенный вопрос - это описание - динамики

-3-

электронов в нестационарно деформированной кристаллической решетке. В точном описании все физические величины, характеризующие электрон, являются, как и в кедеформированном металле, периодическими функциями квазиимпульса, однако соответствующие периоды являются функциями координат и времени. Границы зоны Бриллюэна зависят при этом не только от деформации в данный момент времени, но и от скорости решетки. Если производить разложение всех величин по степеням вектора смещения решетки, то в выражениях для физических величин (энергия и т.д.) возникает кажущаяся непериодичность, вполне аналогичная "вековым" членам в теории нелинейных колебаний. Кинетическое уравнение становится несовместным с условием периодичности функции распределения. Конторович преодолевал эту трудность путем использования ряда искусственных приемов - -переходом в неинерциальную сопутствующую систему координат и, по существу, постулированием вида неинерцивлышх членов в электронной функции Гамильтона. Тем не менее нельзя не отметить, что найденные Канторовичем окончательные линеаризованные уравнения верш.

Указанное несовершенство вывода уравнений динамики было преодолено в работе Андреева и Пушкарова [3). Этими авторами было развито новое, эйлеровское,. описание решетки кристалла, благодаря которому удалось провести последовательный нелинейный вывод вида гамильтониана электронов и затем всей системы уравнений динамики. Правильная форма гамильтониана была получена безо всяких дополнительных постулатов. Полученная система является полной системой точных нелинейных уравнений динамики металлов. Для ее применимости требуется лишь, чтобы параметры решетки, электронная функция распределения и напряженности электромагнитного поля являлись медленно меняющимися функциями координат и времени соответственно в масштабах межатомного расстояния и атомных времен.

Единственным ее ограничением в указанной области частот и волновых векторов является использование модели "независимых

-4-

электронов", т.е. предположение, что электроны взаимодействуют лишь с периодическим потенциалом решетки, но не между собой.

о /

Движение примеси Не в полностью сверхтекучем Не во многом аналогично . задаче о металле. Сверхтекучее движение в этом случае играет роль движения решетки, а примесь 3Не - роль электронов. Уравнения гидродинамики сверхтекучего раствора были выведены Халатниковым [4].

Кристаллы диэлектриков, содержащие дефекты кристаллической структуры, тоже представляют собой в некотором отношении подобие металла. В них также есть две подсистемы: во-первых, решетка, а во-вторых, дефекты, которые могут двигаться относительно нее. Андреевым и Лифшицен [5] было предсказано, что при очень низкой температуре может возникнуть квантовый кристалл, в котором подсистема вакансий ведет себя так же, как и подсистема электронов в металле, т.е. возможно бездиссипатив-ное движение вакансии по кристаллу. Аналогично ситуации с электронами в металле свободный пробег вакансий в квантовом кристалле ограничен столкновениями их с другими квазичастицами - фононами и вакансионами. Динамика кристаллов с делокализован-ными вакансиями описывается такой же системой уравнений, как и электроны в металле, с той разницей, что здесь квазичастицы не имеют заряда и уравнения Максвелла писать не нужно. Такие уравнения' были написаны в [5] для случая линеаризованного по "твердотельным" переменным движения. Кроме того в этой работе предполагалось, что все делокализованные дефекты являются точечными вакансиями.

Движение дефектов сквозь решетку приводит к пластическому течению твердых тел. Оно может осуществляться и в том случае, когда длина свободного пробега вакансий 1—0, т.е. в случае, когда вакансии являются классическими. Таким способом происходит пластическая деформация поликристаллов (Лифшиц, [6]). В веществах с большой концентрацией или подвижностью вакансий возможно перемещение под действием внешней силы вмороженного (вплавленного) твердого тела. Перемещение

-5-

происходит за счет перетекания вакансий с задней поверхности тела на переднюю. Это явление наблюдалось экспериментально Дюминым, Зуевым и Григорьевым 17]. Для теоретического описания движения твердого тела через кристалл важны граничные условия на поверхности. Для случая сферы такое описание дано в [8], однако там одно из условий использовано ошибочно. Другое граничное условие - на концентрацию вакансий - было выведено Херрингом [9.] и применялось в работах Лифшица [6] и Андреева и др. [8]. Вывод этого условия Херринг произвел для Случая термодинамического равновесия. В работе Лифшица указано, что, в случае движения границы с конечной скоростью, к условию Херринга должна возникать поправка.

Настоящая диссертация посвящена выводу нелинейных систем уравнений динамики твердых тел при более общих предположениях, чей это было сделано другими авторами, и рассмотрению некоторых следствий этих уравнений.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ

Хорошо известно, что в действительности взаимодйствие между электронами в металле не мало. При низких температурах Т<<«р его можно хорошо описывать в рамках теории ферми-жидкости. В диссертации методом, развитым в [3], проведен вывод выражения для гамильтониана электронов и системы уравнений динамики металла с учетом ферми-жидкостного взаимодействия между электронами. Получены выражения для тензора потока импульса и потока энергии.

Аналогично получен гамильтониан движения примеси и в задаче о сверхтекучем растворе 3Не-4Не, хотя в этом случае и нет усложнений, связанных с отличием импульса и квазиимпульса. Полученный гамильтониан отличается от использованного Халатнико-вым в квадратичных" членах. Выведена система гидродинамических уравнений.

Как известно, на микроскопическом языке деформацию крис-

-6-

таллической решетки можно представить как суперпозицию фоконных состояний, а зависимость движения электронов от деформации,-как электрон-фононное взаимодействие. Таким образом, возможно найти соответствие между некоторыми величинами в микроскопическом и макроскопическом описаниях. Показано, что следствием динамических уравнений является ряд точных тождеств для вершин электрон-фононного взаимодействия. Ими определяется вершина взаимодействия с длинноволновыми низкочастотными фононами по заданным электронному энергетическому спектру и ферми-жидкостной функция Ландау.

Эйлеровское описание решетки оказалось очень плодотворным. Однако в [3] оно было развито только для решетки без дислокаций. В диссертации этот метод обобщается на случай наличия дислокаций и выводится система динамических уравнений для кристалла с дислокационными петельками. Методом вычисления поверхностного производства энтропии [101 находится набор гранич!шх условий к указанной системе, в частности обобщение условия, выведенного Херрингом, на случай конечной скорости границы раздела.

Система динамических уравнений вместе с граничными условиями описывает "слоиные дефекта", которые, в отличие от простых точечных вакансий, характеризуются не только вносимым дефектом массы дш, но и дислокационным моментом с1". При наличии "сложных дефектов" предсказано явление "обратимой пластичности", состоящее в том, что при однородной деформации изменение формы крис-. талла не соответствует изменению формы элементарной ячейки решетки и эти изменения обратимы при снятии нагрузки.

Изучено движение тел различной формы, вплавленных в кристалл с дефектами, за счет перетекания дефектов при приложении внешней силы к этим телам. Показано, что за счет изменения формы тела мошго разделить вклады от объемного сопротивления к поверхностного трения.

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

Основные результаты работы докладывались на: 1.Бакурианской юколе по физике гелия и некоторым вопросам сверхпроводимости (Бакуриаш, 1989).

2.Общемосковсном теоретическом семинаре (ФИАН СССР, Москва, 1990).

З.Советско-болгарском семинаре по физике низких температур (Пампорово, 1990)

4.26-м Всесоюзном совещании по физике низких температур (До нецк, 1990).

5.Семинаре Института Физики Польской АН (Варшава, 1991).

6.Сессии отделения ОФА РАН (Москва, 1992).

По теме диссертации опубликовано 2 работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, 6 глав и заключения. В первой главсг описывается способ введения эйлеровых координат•для решетки, показываются преимущества такого описания в нелинейной ситуации и в качестве демонстрации метода выводятся уравнения теории упругости для диэлектрика при Т=0.

'ро второй главе кратко характеризуется проблема нахождения гамильтониана электронов в поле деформации я способ его нахождения, предложенный Андреевым и Пушкаровым. .Затеи этот способ обобщается на случай ферми-шидкостного взаимодействия между электронами. С учетом этого взаимодействия выводится система уравнений динамики металла, представляющая собой связанные уравнение Больцмана, уравнение теории упругости и уравнения Максвелла. Решение системы необходимо искать с учетом условия электронейтральности.

В третьей главе находится связь между феноменологичес-. кими макроскопическими характеристиками металла и его микроскопической характеристикой - вершиной электрон-фононного взаимодействия. Уравнения Мигдала [11] на треххвостую вершину обобщаются на пространственно неоднородный случай, соответствующий

-8-

\

периодичности решетки. Путем сравнения полученных уравнений с линеаризованным -уравнением Больцмана доказывается связь между £-функцией Ландау и и-пределом четкреххвостой вершины. Г", и

находится точное' тождество для «-предела эффективной

треххвостой вершины взаимодействия с деформацией. Полученное уравнение позволяет тогда выразить вершину взаимодействия реальных длинноволновых фононов через спектр электронов, деформационный потенциал и функцию.

В четвертой главе выводятся уравнения гидродинамики сверхтекучего раствора 3Не-4Не. При этом используется гамильтониан Н=ч(р-ту)+ру-пл;2/2, полученный методом Андреева и Луш-нарова и отличающийся в квадратичном члене от -гамильтониана, используемого Халатниковым. Получены вид потока энергии и вид тензора потока импульса.

В пятой главе эйлеровское описание решетки обобщается на случай решетки с дислокациями. Выводится система уравнений для кристалла с дислокационными петельками. Рассматривается физический смысл эффективных координат *>в. Методом вычисления поверхностного производства энтропии находится набор граничных условий к системе динамических уравнений. Одно из этих условий обобщает условие, найденное Херрингом, на случай движения границы с конечной скорость«). Граничные условия находятся для поверхностей раздела между твердыми телами и между твердым телом и жидкостью {в т.ч. сверхтекучей). Система динамических уравнений может описывать поведение "сложных дефектов" (рис.1), дополнительно характеризующихся (по сравнению с точечными вакансиями) дислокационными моментами дефекта й?. Сложные дефекты могут приводить к явлению "равновесной пластичности". Оно состоит в том, что изменение формы образца при однородной деформации не соответствует изменению элементарной ячейки его решетки. При снятии нагрузки в условиях обратимой пластичности восстанавливается и форма образца, и форма элементарной ячейки.

В шестой главе линеаризуются уравнения движения образ-

-9-

б. Бнвахансия

Рис.1 "Сложные дефекты"^

ца с дефектами. С помощью линеаризованных уравнений исследуется движение твердых.тел через кристалл при приложении к ним внешней силы. Движение .происходит за счет перетекания вакансий с задней поверхности тела на переднюю. Его скорость зависит как от подвижности и концентрации вакансий, так и от поверхностного коэффициента трения. Вычислена скорость для эллипсоидов разной формы, у которых вклад поверхностного трения различен.

В заключении перчислены основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1.Выведена точная нелинейная система уравнений динамики металла, учитывающая ферми-жидкостное взаимодействие. Система является точной в пределе длинноволновых и низкочастотных возмущений. Она может такие описывать квантовые кристаллы фермиев-ского типа.

2.На основании системы уравнений из п.1 выведен ряд точных тождеств на вершины электрон-фононного взаимодействия, позволяющих найти вершину взаимодействия с длинноволновыми низкочастотными фононами через деформациошшй потенциал, спектр и. £-функцию Ландау электронов.

3.Проведен вывод нелинейных уравнений гидродинамики сверхтекучего раствора 3Не-4Не с правильным гамильтонианом квазичастиц примеси.

4.Эйлеровское описание решетки обобщено на случай наличия дислокаций. Выведена нелинейная система уравнений динамики кристалла с дислокационными петельками и набор точных. граничных условий к ней. Граничное условие, полученное впервые Херрингом, обобщено на случай конечной скорости границы.

5.На основании системы уравнений из п.4 введено представление о "слоином дефекте", дополнительно характеризующемся (по сравнению с точечными вакансиями) дислокационным моментом <1°. Описано явление "равновесной пластичности", которое может происходить при наличии сложных дефектов.

-11ч

6.Исследовано движение твердых тел через кристалл при приложении к ним силы (за счет перетекания вакансий с их задней поверхности на переднюю). Это движение представляет собой пример диссипативной пластичности.

• Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. А.Ф.Андреев, Я.Б.Базалий. Динамика ферми-жидкости в Металлах и электрон-фоноюгое взаимодействие. ИЭТФ, 1990, т.98, с.1480. - '

2.А.Ф.Андреев, Я.Б.Базалий. Динамика ферми-жидкости в металлах и электрон-фононное взаимодействие. Тезисы докладов на 26 Бсесопзнои совещании по физике низких температур, т.З, с.7, Донецк, 1990. ■

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Каганов Ы.И., Фикс В.В. УФН,1986,т.150,с.159.

2.Конторович В.М. УФН,1984,т.142,с,265; ИЭТФ,1963,т.45,с.1638; 1970,т.59,с.2116.

3.Андреев А.Ф., Пушкаров Д.И. ИЭТФ,1985,т.89,с.1883. 4-Халатников И.Ы. ИЭТФ,1968,т.55,с.1919.

'5.Андреев А.Ф., Лифшиц И.М. ВЭТФ,1969,т.56,с.2057. б.Лифшиц И.Ы. ВЭТ4»,1963,т.44,с.1348.

Т.Двмин Н.Е., Зуев И.В., Григорьев В.Н., ФНТ,1990,т.16,с..863.„

8.Андреев А.Ф., Кешишев К.О., Межов-Деглин Л,П., (Пальников А.И. Письма в ВЭТФ,1969,т. 9,Ст507.■

9.С.Herring. J.Appl.Phys.,1950, v.21, p.437

10.Андреев А.Ф., Компанеец Д.А. Я!ЭТФ,1971,т.61,с.2459. И.Мигдал А.Б. Теория конечных ферми:систем и свойства атомных ядер. М.:Наука,1983,с.175.

-12-