Факторизационные методы исследования влияния поверхностных воздействий на напряженно-деформированное состояние литосферных плит тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи 00461ь£ы

Павлова Алла Владимировна

ФАКТОРИЗАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ НА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ЛИТОСФЕРНЫХ ПЛИТ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

• 8 ш 2010

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Краснодар 2010

004616261

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

Научный консультант: академик РАН,

доктор физико-математических наук, профессор

Бабешко Владимир Андреевич

Официальные член-корреспондент РАН,

оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Индейцев Дмитрий Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор

Фролов Николай Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор

Собисевич Алексей Леонидович

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Южный научный центр РАН

Защита состоится «28» декабря 2010 г. в 14 ч на заседании диссертационного совета Д.212.101.07 в Кубанском государственном университете (КубГУ) по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КубГУ.

Автореферат разослан « » ноября 2010 г.

Ученый секретарь ^

диссертационного совета у&м— М.С. Капустин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Создание теоретических основ систем сейсмодеформационного мониторинга и методов обработки данных, ориентированных на прогнозирование катастрофических природных и техногенных явлений - одна из центральных проблем геомеханики и геофизики. Многолетние попытки поиска прогностических признаков землетрясений подтверждают исключительную сложность задачи и необходимость комплексного применения всех возможных геофизических и математических методов, проведения общего анализа материалов сейсмологических наблюдений и расчетов напряженно-деформированного состояния геологической среды.

В настоящее время существуют разные модели сейсмичности. Фундаментальные проблемы динамики земной коры исследованы в работах В.В. Адушкина, К. Аки, П. Ричардса, A.C. Алексеева, В.Н. Родионова, М.А. Садовского, В.Ф. Писаренко. Важные результаты в области развития методов исследования структуры верхней литосферы и интерпретации данных сейсморазведки принадлежат Г.А. Гамбурцеву, Ю.В. Ризниченко, Е.В. Гальперину. Большой вклад в развитие моделей сейсмических волновых процессов внесли А.О. Глико, A.B. Николаев, J1.E Собисевич, A.JI. Собисевич, Ю.К. Чернов и другие ученые. Используемые механико-математические модели геофизической среды весьма многообразны, степень их общности и сложности определяется решаемыми с их помощью задачами.

Несмотря на значительные усилия и очевидные успехи, проблема оценки сейсмичности и прогноза землетрясений далека от полного решения. Это объясняется чрезвычайной сложностью рассматриваемой системы и указывает на необходимость разработки новых методов ее исследования. Анализ сейсмической напряженности литосферных плит с позиции механики деформируемого твердого тела приводит к изучению задач для слоисто-блочных сред с множественными неоднородностями и оболочек, испытывающих динамические воздействия различной природы. Решение такого рода задач

требует привлечения методов механики контактных взаимодействий деформируемых тел.

Значительный вклад в исследование контактных задач внесли российские и зарубежные ученые Б.А. Абрамян, В.М. Александров, Ю.М. Амензаде, А.Е. Андрейкив, Б.Д, Аннин, Н.Х. Арутюнян, A.A. Баблаян, A.B. Белоконь, Н.М. Бородачев,

A.О. Ватульян, И.И. Ворович, JT.A. Галин, И.П. Гетман, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, Р.В. Гольдштейн, А.Г. Горшков, И.Г. Горячева, В.Г. Гринченко, А.Н. Гузь, И.М. Дунаев, О.Ю. Жарий, В.В. Зозуля, Д.А. Индейцев, В.И. Колесников,

B.В. Калинчук, A.C. Космодамианский, В.Д. Купрадзе, Е.В. Ломакин,

A.B. Манжиров, В.П. Матвеенко, В.В. Мелешко, Н.Ф. Морозов,

B.И. Моссаковский, Н.И. Мусхелишвили, A.B. Наседкин, В. Новацкий, В.В. Панасюк, В.З. Партон, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина, B.C. Саркисян, В.М. Сеймов, М.Г. Селезнев, Л.И. Слепян, Б.И. Сметанин, A.B. Смирнова, Т.В. Суворова, Д.В. Тарлаковский, А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов, Я.С. Уфлянд, Л.А. Филынтинский, М.И. Чебаков, Г.П. Черепанов, J.D. Achenbach, A. Ben-Menahem, A.H.-D. Cheng, D.T. Cheng, W.M.Ewing, W.S. Jardetzky, M.J. Musgrave и др.

В последние десятилетия появилось множество доказательств, позволяющих говорить о постоянных изменениях, происходящих на поверхности и в глубинах Земли не только в сейсмоактивных районах, но и в равнинно-платформенных областях1. То есть сейсмические события происходят и в удаленных от глобальных разломов зонах, что указывает на определенную роль разломов сравнительно малой мощности и необходимость анализировать и мелкомасштабные особенности при изучении предпосылок сейсмического события. Это одна из причин усиления внимания исследователей в различных областях науки к изменению напряженно-деформированного состояния верхней части земной коры.

1 Кузьмин Ю.О. Современные суперинтенсивные деформации земной поверхности в зонах платформенных разломов // Геологическое изучение и использование недр: информ. сб. М., 1996. № 4. С. 43-45.

Другая очевидная причина повышения интереса к изучению напряженно-деформированного состояния литосферных плит -глобальные масштабы промышленной деятельности человека, связанной с отбором углеводородов из глубинных зон Земли, взрывами большой мощности, имеющими место в очагах военных действий, и т.д., создающие так называемые наведенные геомеханические процессы, способные вызвать техногенные катастрофы. Несмотря на редкие проявления сейсмичности в виде техногенных землетрясений, нанесенный ими экологический ущерб может быть велик. Реакция земной коры на внешние воздействия зависит не только от их интенсивности, но и от энергонасыщенности ее структур, величины и распределения напряжений в ней. Неоднородность геологической среды, проявляющаяся в виде естественных структурных нарушений (тектонические разломы, множественные включения и трещины разного масштаба и т.д.), определяет ее деформационные и прочностные свойства, играющие важную роль в формировании отклика на внешние воздействия. Под действием внешних сил на неоднородности литосферной плиты могут активизироваться процессы, приводящие к появлению зон разуплотнения (дилатансных зон). Зарождение и развитие зон дилатансии можно связывать с активизацией «вирусов» вибропрочности -совокупностей неоднородностей различной природы (трещин и включений)". Академиком A.C. Алексеевым и его учениками установлено, что зарождение и развитие локальных дилатансных структур имеет место на этапе подготовки сейсмических событий в упругих средах.

Верхняя часть земной коры, где сосредоточена деятельность человека, является практически важным объектом изучения. Особое внимание в настоящее время уделяется воздействию на земную кору техногенных источников, например, слабых, но продолжительных по времени механических вибраций (автомобильные и железные дороги, промышленные комплексы),

2 Бабешко В.А. Среды с неоднородностями (случай совокупности включений и трещин) // Известия РАН. МТТ. 2000. № 3. С. 5-9.

способных приводить к резонансным явлениям на некоторых элементах земной коры3.

Настоящая работа посвящена изучению влияния поверхностных воздействий на напряженно-деформированное состояние геологической среды и связана с оценкой концентраций напряжений, возникающих в литосферных плитах, с учетом блочного строения последних и наличия межблоковых нарушений сплошности (трещин, включений), которые определяют в целом деформационные свойства и устойчивость к внешним воздействиям слагающих плиты массивов.

Цель диссертационной работы: математическое моделирование динамики литосферных плит в результате воздействия поверхностных факторов; изучение напряженно-деформированного состояния литосферных плит, обусловленного воздействиями различного типа на поверхность Земли; разработка основанного на идеях факторизации математического аппарата для исследования деформационных процессов, позволяющего учитывать сложное строение среды (слоисто-блочную структуру, наличие внутренних концентраторов напряжений и покрытий); выявление закономерностей, связанных с поведением литосферных плит различного строения.

Достижение поставленной цели осуществлялось путем решения следующих задач:

- моделирование динамического поведения сред с учетом их блочного строения;

- моделирование динамических процессов в слоистых средах при наличии множественных дефектов типа плоских жестких включений и трещин, ориентированных параллельно плоскостям раздела слоев;

- моделирование динамических процессов в упругих средах при наличии покрытия;

3 Адушкин В.В. Актуальные проблемы геомеханики земной коры // Вестник ОГГГН РАН. 2001. № 1(16). URL: http://vv\v\v.scgis.ru/russian/cpl251/h_dgggms/l-2001/adushkin.htm#begin (дата обращения: 17.12.2009).

- развитие математических методов исследования краевых задач, возникающих при моделировании динамических процессов в средах сложного строения;

- применение развитых факторизационных методов к решению задач для слоисто-структурированных сред при наличии дефектов на границах структурных элементов;

- применение факторизационных методов к исследованию процессов формирования покрытий за счет осаждения субстанций на поверхность Земли;

- развитие метода фиктивного поглощения решения интегральных уравнений динамических контактных задач.

Научная новизна работы определяется следующими результатами.

Математический аппарат, включающий в совокупности теорию «вирусов» вибропрочности, дифференциальный метод факторизации, интегральный метод факторизации, метод блочного элемента, впервые применен к исследованию задач механики деформируемого твердого тела для многослойных сред с множественными неоднородностями и оболочек, испытывающих динамические воздействия.

Предложен новый аналитический метод построения систем интегральных уравнений динамических задач для слоистых и блочных упругих сред с учетом включений и расслоений на контактных границах.

Получены матрично-функциональные соотношения для различных сред, служащие основой для построения систем интегральных уравнений исследуемых задач.

Эффективный метод решения интегральных уравнений динамических контактных задач - метод фиктивного поглощения обобщен на случай невыпуклых в плане областей контакта.

Построены аналитические представления решений краевых задач для блочно-структурированной среды.

Научное и практическое значение результатов работы. В диссертационной работе проведен комплекс теоретических исследований напряженно-деформированного состояния литосферных плит как сложных деформируемых объектов с

неоднородностями. Получил дальнейшее развитие метод факторизации, использующий топологический подход и позволяющий строить представления решений рассматриваемых задач в различных интегральных формах.

Полученные результаты открывают определенные перспективы разработки моделей и развития методов, направленных на построение теории деформирования литосферных плит и слагающих их горных массивов с учетом их строения. Совокупность научных положений и результатов, полученных и обоснованных в диссертационной работе, служит развитию нового перспективного научного направления в механике деформируемых тел сложной структуры.

Методы, получившие дальнейшее развитие в диссертационном исследовании, позволяют с единых позиций изучить комплекс проблем сейсмологии, связанных с нарастанием напряжений в литосферной плите.

Результаты проведенных теоретических исследований, построенные модели и разработанные подходы позволяют по-новому подойти к изучению сейсмических событий, разработке методов вибрационного воздействия на очаги концентрации напряжений, постановке экспериментальных работ, связанных с изучением волновых полей в геофизической среде, а также дать правильное толкование наблюдаемым геофизическим процессам и явлениям.

Изучение динамики упругих сред с множественными неоднородностями может найти применение при выборе путей и методов изменения резонансных свойств среды, в геофизике и сейсмологии - при разработке методов контроля напряженного состояния горных пород, раннего прогнозирования землетрясений и выявления путей разрядки сейсмичности.

Предложенные методы также могут быть использованы при расчетах конструкций и их элементов на прочность, в решении проблем виброзащиты и сейсмостойкости сооружений.

Исследования проводились в КубГУ в рамках ряда государственных научно-технических программ, в том числе: Федеральной целевой комплексной программы «Интеграция науки и высшего образования России 2002-2006 гг.», проект

№А0017; программ Президента РФ «Развитие научного потенциала ВШ» (грант НШ-2107.2003.1), «Фундаментальные проблемы механики твердого деформируемого тела» (грант НШ-4839.2006.1), «Фундаментальные проблемы механики и сейсмологии» (грант НШ-2298.2008.1), «Разработка теоретических основ и прикладных методов применения блочных элементов для дефектоскопии материалов и конструкций сложного строения с зонами недоступности» (грант НШ-3765.2010.1); программы Минобразования России «Фундаментальные исследования в области естественных и точных наук», грант «Разработка математических моделей, методов и программных средств исследования динамических процессов в связанных задачах механики деформируемого твердого тела», проект № Е-02-4.0-191.

Исследования проводились при поддержке грантов РФФИ, выполняемых под руководством диссертанта: 06-01-96802-р_юг_офи, 06-01-96638-р_юг, 08-01-99016-р_офи, 10-08-00289_а; грантов с участием диссертанта в качестве исполнителя: КЕС-004 Американского фонда гражданских исследований и развития для независимых государств бывшего Советского Союза, РФФИ: 99-01-00787_а, 00-01-96007-р_юг, 00-01-96024-р_юг, 03-01-00694_а, 03-01-96537-р_юг, 05-01-00902_а, 06-01-00295_а, 03-01-96519-р_юг_а, 03-01-96658-р_юг, 06-01-08017_офи, 06-01-96805-р_юг_офи, 06-08-00671_а, 08-01-99013, 08-08-00669_а, 09-01-96503-р_юг_а, 09-08-00170_а, 09-08-00294_а.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием адекватных моделей и строгих математических методов, сравнением результатов решения простых задач с полученными иными методами, а также сравнением с результатами, полученными другими авторами.

На защиту выносятся:

1) математические модели динамики блочно-структурированной литосферной плиты с учетом наличия внутренних концентраторов напряжений;

2) развитие дифференциального метода факторизации для исследования напряженно-деформированного состояния

литосферных плит как деформируемых объектов сложного строения;

3) метод построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений, возникающих при исследовании слоистых материалов с неоднородностями и покрытиями;

4) новые функционально-матричные соотношения, связывающие основные динамические характеристики изучаемых моделей;

5) обобщение метода фиктивного поглощения решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений динамических задач теории упругости для случая односвязных областей произвольной конфигурации;

6) методы исследования процессов формирования покрытий за счет осаждения субстанций на подложку.

Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные ее части докладывались: на научно-практической конференции «Проблемы строительства в сейсмоопасных регионах» (Ростов-на-Дону, 2002 г.), Всероссийской научной конференции по волновой динамике машин и конструкций (Нижний Новгород, 2004 г.), ежегодных всероссийских конференциях по математическому моделированию и краевым задачам (Самара, 2002-2007 гг.), XVI (Санкт-Петербург, 2003 г.), XVII (Кострома, 2004 г.), XVIII (Казань, 2005 г.) международных научных конференциях по математическим методам в технике и технологиях, Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (Ростов-на-Дону - Азов, 2004 г.), XXIV Российской школе по проблемам науки и технологий, посвященной 80-летию со дня рождения акад. В.П. Макеева (Миасс, 2004 г.), Международной научно-технической конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2005 г.), Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, 2005 г.),

IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.), VII (2001 г.), VIII (2002 г.),

X (2006 г.), XI (2007 г.), ХП (2008 г.) международных

конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону), VI, VII, VIII всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике, VI Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий» (Сочи, 2010 г.), на конференциях грантодержателей регионального конкурса Российского фонда фундаментальных исследований и администрации Краснодарского края «Юг России» (Краснодар, 2006-2009 гг.). В полном объеме результаты диссертационной работы представлялись и обсуждались на семинарах кафедры математического моделирования КубГУ и Научно-исследовательского центра прогнозирования и предупреждения геоэкологических и техногенных катастроф КубГУ.

Публикации. Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в 58 публикациях, в том числе 15 публикациях, вышедших в изданиях, включенных ВАК в перечень рекомендованных для опубликования основных научных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук. Теоретические положения работы использованы в ряде спецкурсов, а также включены в учебное пособие «Математическое моделирование экологических процессов распространения загрязняющих веществ», рекомендованное отделением Научно-методического совета по математике Министерства образования и науки РФ в ЮФО для студентов, обучающихся по специальностям «Прикладная математика и информатика» и «Безопасность жизнедеятельности в техносфере». Результаты диссертационных исследований использованы в 4 свидетельствах об официальной регистрации созданных программ в Реестре программ для ЭВМ Российской Федерации. Список основных публикаций помещен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы, объемом 265 страниц, и приложений. Список использованной литературы включает 299 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертационной работы, обоснована актуальность темы диссертации, дана общая характеристика работы, сформулированы цель, основные задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Здесь же приведено разделение результатов, принадлежащих автору диссертационной работы и его соавторам в совместных публикациях.

В Кубанском государственном университете ведутся работы по созданию новых методов прогноза сейсмичности. Основная идея подхода состоит в исследовании концентраций напряжений в литосферных плитах как деформируемых физико-механических объектах сложного строения с учетом их слоисто-блочного строения, анизотропии, широкого спектра физико-механических характеристик, наличия совокупностей неоднородностей и т.д.

Моделированию динамических процессов в упругих ограниченных и полуограниченных телах, содержащих неоднородности, посвящено большое количество работ. В работах В.М. Александрова, О.М. Бабешко, А.О. Ватульяна, Е.В. Глушкова, Н.В. Глушковой, Р.В. Гольдштейна, А.Н. Гузя, И.М. Дунаева, В.В. Михаськива, Ю.Н. Подильчука, Г.Я. Попова, О.Д. Пряхиной, Н.Ф. Морозова, М.Г. Селезнева, Б.И. Сметанина,

A.B. Смирновой, Г.П. Черепанова и других авторов описаны результаты исследований применительно к различным упругим и пластическим материалам в широком диапазоне постановок задач.

В крупномасштабной модели строения литосферы литосферные плиты можно рассматривать как покрытия с относительно малой толщиной в масштабах Земли. В другом масштабе литосферную плиту можно моделировать полуограниченным упругим телом с покрытием.

Существенный вклад в развитие теории смешанных задач механики сплошных сред с покрытиями внесли С.А. Амбарцумян,

B.И. Авилкин, В.М. Александров, Н.Х.Арутюнян, И.Н. Векуа, И.И. Ворович, АЛ. Гольденвейзер, А.И. Лурье, Г.И. Петрашень и их ученики и последователи. Различные задачи, нашедшие

практические приложения, исследованы в работах A.C. Вольмира, И.Г. Горячевой, Е.В. Коваленко, A.B. Манжирова, С.М. Мхитаряна, Б.Л. Пелеха и др.

В первой главе даны постановки задач, моделирующих динамику литосферной плиты с позиций механики деформируемого твердого тела с учетом ее строения и наличия внутренних концентраторов напряжения. Приведены определяющие уравнения и соотношения динамики упругого анизотропного тела, обладающего пьезо- и пироэлектрическими свойствами, рассмотрены различные типы начальных и граничных условий, выполнены постановки задач о взаимодействии массивных твердых тел с полуограниченной термоэлектроупругой средой в рамках линейной теории (п. 1.1). Здесь же представлены системы уравнений, описывающих динамические процессы в слоистых средах, содержащих внутренние дефекты, при взаимодействии с поверхностными объектами (п. 1.2).

При постановке задач о вибрации штампов на поверхности среды считается, что существует статическая нагрузка, прижимающая основания штампов к поверхности. Аналогично постановка задач для сред с трещинами подразумевает действие наряду с динамическими препятствующих контакту берегов статических напряжений.

Для решения сформулированных динамических начально-краевых задач к дифференциальным уравнениям, описывающим движение среды и поверхностных объектов, и граничным условиям применяется интегральное преобразование Лапласа по времени с учетом заданных начальных условий или осуществляется переход к установившемуся режиму колебаний.

В п. 1.3 первой главы приведены основные определения и положения теории «вирусов» вибропрочности, используемые при классификации задач для слоисто-структурированных сред с дефектами.

Если задачи для упругих тел с единичной неоднородностью исследованы достаточно глубоко, то в случае совокупности дефектов - недостаточно, в первую очередь по причине трудностей математического характера. Одним из методов,

позволяющих исследовать «вирусы» вибропрочности, является метод факторизации. В настоящей работе метод факторизации развивается применительно к совокупностям плоских жестких включений и полостей-трещин, расположенных на параллельных плоскостях в деформируемой среде, а также их комбинациям. Подобные структуры впервые были обнаружены в литосферных плитах вибросейсмическими методами профессором университета Теннесси Р. Вильямсом в штате Огайо.

Во второй главе изложены сведения о факторизации функций и матриц-функций (п. 2.1), описаны общая схема дифференциального метода факторизации (п. 2.2) и примеры использования факторизационных методов в решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (п. 2.3), демонстрирующие технику применения дифференциального метода факторизации.

Дифференциальный метод факторизации для краевой задачи в области П представляет собой обобщение метода интегральных преобразований, являющегося удобным инструментом изучения последней в случае, когда область О и функции, описывающие интегральное преобразование, согласованы. При этом под согласованностью понимается возможность перехода от дифференциальных уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям в результате применения интегрального преобразования.

Рассматривается краевая задача для системы Р дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в частных производных произвольного порядка в выпуклой трехмерной области О, записанная в операторном виде:

На гладкой границе дО. задаются следующие граничные условия:

—— э

Ф = {%}, 8 = {&Л> 1,т = \,Р, дх,= —

(1)

К(ЙХ[, дх2, дх})ф = {, х е д£1.

(2)

Искомое решение <р и заданные I, ц принадлежат некоторому пространству медленно растущих функций На(0). С помощью дифференциального метода факторизации краевая задача решается в конечном виде, если О является полупространством. В случае, если область О выпуклая, задача сводится к решению системы нормально разрешимых псевдодифференциальных уравнений меньшей размерности.

Используются локальные системы декартовых координат х" ={*,", х\, лгз}, 1/ = 1, Рп, где О х\, Оух\ лежат в касательной

плоскости к границе 8П, а третья ось направлена по внешней нормали. Применением трехмерного преобразования Фурье У3 задача (1), (2) в локальной системе координат сводится к системе функциональных уравнений вида

матрица-функция порядка Р в локальной системе координат с номером у, Ф = У3ф, С = Вектор внешних форм со имеет в качестве компонентов значения решения ф и его нормальных производных на 8С1, заданных граничными условиями, а также неизвестных. Неизвестные функции или производные находятся из псевдодифференциальных уравнений, получаемых при преобразовании функциональных уравнений (3).

Предполагается, что параметры а[, а\ находятся на вещественной оси, а а\ = изменяется в комплексной

плоскости. Осуществляя левостороннюю факторизацию К (а") по параметру а\ в виде к = к+(«з')к_(а1"), функциональное уравнение (3) можно представить как

Слева в соотношении (4) находится вектор-функция, компоненты которой регулярны в области Е_. Такими же свойствами должна обладать вектор-функция, стоящая справа.

(3)

Здесь К(а") = ||*„т(сх')|, а"={<} (/ = 1,з)

полиномиальная

(4)

Здесь использовано обозначение £+ для области, содержащей все нули (1тг]( >о), у'+ = 1,А'+, определителя К, нули считаются однократными. Через Е_ обозначено дополнение Е+ до всей плоскости.

Требование равенства нулю проекции правой части как функции параметра аъ на область Е+ приводит к соотношениям

1т К~:{а1) Лсо-С(сгз)

(«;-.-;) = О, у- = 1А,

(5)

где — нули с1еЖ(аз') (<о).

После решения системы псевдодифференциальных уравнений (5) найденные составляющие вносятся в вектор внешних форм. Из (3) находится Ф(а), к которому затем применяется трехмерное обращение Фурье У3Л В результате получается представление решения в виде

е 1 }с1а;с1а^а;, х'еП, (6)

В случае ограниченной области, используя факторизацию в виде к = к;_(аз")кг + (<) = к/ + (а;)кг_(а;), представление (6)

можно преобразовать к виду

*')-«?/К

1к

>1

¿а*,;

с1а1с1а\,

"3

Яш-С±(а")

XI,

где в матрице-функции КД знаку «-» соответствует /?=/, знаку «+» - р = г. Граница йй и С представлены: ||со= ||со+ ||со,

XI XI, Х1_

с(а") = (а") + (а"); С±(а")->0, Л<о->0 при а^->±оо.

Й1±

Рассматриваемые системы дифференциальных уравнений в частных производных являются весьма общими, и ценность

дифференциального метода факторизации заключается в его применимости к исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений по одному и тому же алгоритму, независимо от типа дифференциальных уравнений. Однако его реализация для задач механики деформируемого твердого тела, порождаемых исследованиями литосферных плит, подверженных внешним воздействиям, недостаточно проработана и требует дальнейшего развития.

В п. 2.3 изложено применение дифференциального метода факторизации к задаче для упругого тела, движение точек которого описывается уравнениями Ляме. Подробно алгоритм построения соотношений (3) - (5) для упругого тела приведен в работах [9, 10]. Для избранной окрестности их можно представить в виде известных соотношений:

ЬУи = БУт или у-'К^т = и, где и = {и;}, т = {г;} - соответственно вектора амплитуд (в случае установившегося режима колебаний) или трансформант Лапласа (в случае нестационарной задачи) перемещений и напряжений; V -оператор двумерного преобразования Фурье по переменным х,, х2; К,,, - матрица Грина упругого полупространства. Вид матриц Ь, Б приведен в диссертационной работе и в [9, 10].

Полученные формулы совпадают со случаем, когда тело является полупространством. Однако существенное различие состоит в том, что носителями вектор-функций и и т выступают окрестности локальных систем координат. Вводя касательное расслоение границы Ш, следует построить локальные системы прямоугольных координат, затем в каждой из них применить преобразование Фурье по всем переменным, сопровождающееся введением своих внешних форм. Количество систем псевдодифференциальных уравнений будет равным количеству локальных систем координат Рп. Системы уравнений могут быть записаны в следующем виде:

и (<,«; Ж («>2)) -

- о (а;,а;,аЦа;,а;))Г +

K,K*V

-D*(a;,a¡,al_(a;,a¡))r(a¡,a¡,a\r\a\,a\))] = 0, v = \J\„ (7)

где r = \,R - нули detK (3), принадлежащие нижней

полуплоскости.

Построенные псевдодифференциальные уравнения позволяют формулировать краевые задачи для упругого тела в различных постановках в зависимости от того, заданы ли на границе перемещения и1, или напряжения т", uv ^V 'U1', т" -v 'T1-.

Создание основанного на методах топологической алгебры, внешнего анализа, теории представления групп и интегральной геометрии математического аппарата исследования блочных структур позволяет изучать особенности напряженно-деформированного состояния литосферной плиты в рамках теории М.А. Садовского. В представленной работе сделаны дальнейшие шаги в развитии математического аппарата исследования структурно-неоднородных сред. В п. 2.5 приведено обобщение дифференциального метода факторизации на случай блочной структуры. Метод излагается для блочных структур на примере разнотипных изотропных блоков, однако он может быть использован и для материалов с произвольными свойствами блоков. Полагается, что область Q блочной структуры состоит из соприкасающихся выпуклых областей j = \,M, с границами 8D.J. Может оказаться, что часть границы 8Qnp некоторого блока

с номером п является общей с границей блока с номером р. Далее такие границы будут называться контактирующими, в их обозначениях использован двойной индекс. Остальные части границ обеих областей сЮ„, д€1р являются неконтактирующими,

они могут быть свободны или подвержены внешним воздействиям. Для каждого блока j = l,M, имеющего свои механические характеристики, справедливы определяющие уравнения изотропной теории упругости. На неконтактирующих частях границы ставятся краевые условия теории упругости, приведенные в первой главе. На контактирующих частях при

условии сохранения сплошности среды ставятся условия равенства векторов напряжений и перемещений, т.е. и„ = ир, т„=тр

на дП^. Краевые условия на контактирующих границах в общем

случае содержат значения напряжений и перемещений по крайней мере из двух соседних областей. Этим блочные структуры существенно отличаются от рассмотренного случая для отдельного выпуклого тела.

Для каждого блока в локальной системе координат задача сводится к функциональным уравнениям вида (3):

К,(а")и,(а')= Дт;,и,(а") = У3иГ.

Процедура применения дифференциального метода факторизации к рассматриваемой краевой задаче, включающая его реализацию в каждой из областей отдельно [12, 13], приводит для двух блоков С1п, Пр к системам псевдодифференциальных

уравнений вида (7), где I/=Ц, О = О;, и- = и;, Т = Т;, д = у,к, 1 = п в области П„ и / = р в области 0.р.

Эти псевдодифференциальные уравнения можно свести к системам интегральных уравнений (СИУ). СИУ для области Г2„, составленная относительно вектора при заданных на неконтактирующих границах перемещениях и"п, имеет вид

(о<

¡¡к + + I я,

=<(<,«)+ I ¡¡С^, Я, (х;,х;)едпт.

Для области Пр, контактирующей с областью 0„ по границе 8Ппр, с учетом выполнения граничных условий система интегральных уравнений принимает вид

Я к; (*г - м - (б",£)<</£ +

Здесь / = /7, т = р, если (л:^, х^ей,,, 1 = п, т = пр при

(х^х^е д£Ъпру; Рп Р2 - числа разбиений единицы для

неконтактирующей и контактирующей частей границы дП

соответственно. Ядра интегральных уравнений определяются формулами

к; (<,<)=(ц У1 б; , к г )=(ь^1 о;, с;* («>;) = (ц)"1 ц.

Изложенный в п. 2.5 вывод интегральных уравнений для блочной структуры из двух блоков позволяет получить интегральные уравнения для структуры, содержащей произвольное число блоков.

В случае блочной структуры так же, как и в случае одного тела, можно построить приближенное решение, опустив малые члены. Тогда интегральные уравнения относительно вектора примут вид

«V

Здесь 1 = р при (л^дг^еШ^, 1 = п при После

решения СИУ точные или приближенные их решения вносятся в интегральные представления решений краевых задач, в результате перемещения представляются в виде

кг'МЯ»;

, 1 = п,р.

При наличии дефектов (трещин или включений) меньших размерностей последние целесообразно рассматривать как границы блоков. В результате получается однотипный алгоритм исследования блочных структур с указанными неоднородностями.

При изучении задач для блоков сложной формы предлагается осуществлять их разбиение на составляющие с плоскими границами, названные блочными элементами. В п. 2.6 построены примеры ограниченных и полуограниченных [14] блочных элементов. Благодаря дифференциальному методу факторизации удалось сформировать алгоритмы теории блочных структур, следствием чего явилась возможность введения блочного элемента как альтернативы конечному элементу, имеющему свои достоинства и недостатки. Блочный элемент -инструмент, позволяющий распространить теорию блочных структур на среды с переменными и нелинейными свойствами и открывающий возможность для представления решений во внутренних областях через значения некоторых дифференциальных форм, задаваемых на границах рассматриваемой области и в заданных сечениях областей.

В третьей главе рассмотрены краевые задачи механики деформируемого твердого тела, поставленные для слоистых структур при наличии совокупности внутренних неоднородностей. Предложен новый аналитический метод построения функциональных уравнений и систем интегральных уравнений для слоисто-структурированной среды на основе дифференциального метода факторизации.

В п. 3.1 с помощью дифференциального метода факторизации построены функциональные уравнения для упругого слоя: -^о<х{,х2 <<», Ък_х <х,<Ик. Предполагается, что на граничных поверхностях хъ=\, п-к-\,к действуют напряжения с амплитудами т„ ={г„1<г„2,г„3}, т„(х|,.т2,й) = {ауи;}| , амплитуды

перемещений точек поверхностей определяются векторами и»={и»1.иН2.и.з}- Здесь использован прямой дифференциальный

метод факторизации, удобный для областей с плоскими границами. Для однородного изотропного слоя к тем же соотношениям, являющимся своеобразной формой записи граничных интегральных уравнений, приводит использование теоремы Бетти4. Однако дифференциальный метод факторизации демонстрирует более общий подход, так как переход к уравнениям для анизотропных и электроупругих сред требует дополнительных усилий по построению аналогов формулы Бетти.

Для слоя с плоскими границами соотношения (5) приводят к матричным уравнениям

L*-u-iu*-i ~ Lt*-iut ~ Dtu-iTit-i_ Dit,*-iT* » (8)

где Ut ={!/„}, Ul!j(ava1) = VUj(xl,x1,hk)', T* = {г„}, 7^«,,«,) = Уг,(.г„х2Л),

При этом матрицы и , 1 = к-\,к, отражают вклад волн, распространяющихся в слое вверх, а матрицы и -соответственно вниз. Здесь использованы обозначения работ [1-3], второй индекс у матриц и введен для указания на номер слоя, совпадающего с номером его нижней границы.

В п. 3.2 рассмотрена задача об установившихся колебаниях многослойной среды. Физико-механические свойства среды предполагаются кусочно-однородными по координате х3 и однородными по дг15 х2. Целесообразность рассмотрения кусочно-неоднородных сред может быть обоснована структурой реальных объектов или удобством соответствующей дискретизации неоднородной среды. Для слоистой среды (N слоев) соотношения (8) принимают следующий вид:

ВД - LUA = В±»Л - DîaXi, к,п = ÏN.

Здесь U*, Т; - двумерные преобразования Фурье функций u* =u(x,,x2,h„ ±0), т* =x{xt,x1,hn±Q). В отсутствие нарушений сплошности контакта Т„+ = Т~ = Т„, U^ = U„ = U„. Кроме того, полагается и~+1 = ил,+|, Ut+ = U,, аналогично Т~+1 = Tv+], Т* = Т,.

4 Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М: Наука, 1989. 344 с.

В случае изотропных материалов предпочтительнее использовать явные выражения матриц , , приведенные в диссертации и работах [4, 21]. В п. 3.1 изложен способ построения соответствующих матриц для анизотропной среды.

С помощью возможных представлений для и Ц_к, [16] вводятся матрицы специального вида:

= ((ьм.+)"'^-¿»-и-)"'-Сь,.,..)"'((ьм>+)"' , -)"'л;!,^ ), «н = ((»и,Г■СА-,,. "(»*-.,)")" )--)-Ьн.),

г/-. = - ((»*-.. + Г -С А-и - Г1 )"' ({^-и )"' - (»»-..- Г Ьи-)'

где - диагональные матрицы, Зкл=\еШп^и\еап1-1Н1 ,еа,1"Н1}, Нк = Ьк - — толщина к-то слоя.

На основе полученных соотношений для слоя, с использованием элементов алгоритма, предложенного О.Д. Пряхиной5, строятся матрицы Грина и выписываются матрично-функциональные соотношения для пакета слоев и слоистого полупространства, подверженных поверхностному воздействию.

В п. 3.3 построены функционально-матричные соотношения, соответствующие различным случаям расположения дефектов типа трещин в слоисто-структурированной среде. Дефекты могут присутствовать как в плоскостях раздела слоев, так и внутри слоев, поверхность пакета подвергается воздействию штампа или системы штампов, нижняя граница жестко сцеплена с недеформируемым основанием. На поверхности в области контакта со штампами задаются смещения, на остальной части поверхности ставится условие отсутствия напряжений. Плоскости дефектов и плоскости раздела физико-механических свойств рассматриваются как блокообразующие границы. Если трещина

5 Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 248 с.

находится внутри одного из слоев, свойства двух введенных блоков, граничащих в плоскости трещины, полагаются одинаковыми. При этом на стыках слоев-блоков в областях, занятых трещинами, напряжения считаются заданными, ставится условие равенства напряжений на берегах разрезов, на остальной части плоскости раздела ставится условие идеального контакта. Далее считается, что во всех плоскостях раздела слоев на высотах Л„, п = 2,Ы имеются полости-трещины, занимающие односвязные области О^ с кусочно-гладкими границами, } = \,М„-Сформулированные условия запишутся в виде

= 4^ = 11^,, (*„х2)е£\+1; т„+1=0, (9)

хъ = \: и, = 0, -со<х1,х2 <+со; (10)

м, _

м

В многослойной среде, жестко сцепленной с недеформируемым основанием, реализован «вирус» вибропрочности класса (1,2)

, где П"+1 -

дополнение ПЛЧ1 до всей плоскости.

Используя обозначения п. 3.1 и 3.2, функционально-матричные соотношения для рассматриваемой задачи можно записать следующим образом:

К*и*=Т. (11)

Здесь т = {т2,...,т„,и°+1}, и*={и*2,...,и;,Т]у+1},

м„ _

и; = Ди;{х^е^^сЬс^ , й„ = , 1 = 2,И.

п„ М

Блоки матрицы К* имеют вид

к'ш = к„, к;, Пв-н,1, к;=(-1)""' Пн-'в;, и=\JT~i;

1М+1

... . Л ,

- н* ' к»-и -кнл-1 П В1В!' > = ("') ' Пн,'в;

/=ЛГ-1 \'=1+1

/,} = 1, N - 2; к; = Н^ - Н^В^К^ ^В^Н-;,, г < N -1;

= ки1В;+.Н;'. для 1 <<*-1' К = -КхК&и тя i<j<N-l,

Кл, - матрица Грина пакета из N слоев без дефектов; Н, = 8,', Н,+1 = - К,.

Перемещения и," на границах раздела слоев могут быть определены через скачки перемещений

\¥*1Г = и, (12)

и={и;,...,и;}, \¥;=к,к; для /<_/, \^;=пв;-н;-1+к1к; для ]<1<н.

/=1

Матрицы К*, \¥* в (11), (12) определяют соответственно напряжения и перемещения в плоскости х3 = Им, вызванные скачком перемещений на границах трещины, расположенной в

ПЛОСКОСТИ А'з =И]+1.

Построены также функционально-матричные соотношения для пакета слоев, содержащего дефекты типа трещин, на упругом полупространстве, соответствующего «вирусу» вибропрочности

В п. 3.4 получены функционально-матричные соотношения для различных случаев расположения дефектов типа жестких включений. На верхней и нижней поверхностях среды заданы соответственно условия (9), (10), условия на блокообразующих границах = имеют следующий вид:

_

и,.,=и;=и-, т*,=т},-т-=0, у = .

>1

В многослойной среде, жестко сцепленной с недеформируемым основанием, реализован «вирус» вибропрочности класса (1,2) v(l/h1;co/h2;n2/..JhN+l;nNJ/2/h2;n-/..JhN+l■,QN+l).

Перемещения на границах раздела слоев могут быть выражены через скачки напряжений на включениях

КТ* = 11, (13)

где и={и2,...,и°+1}, т*={т;,...,т;,т^+1},

т; = ¡¡^(х^е^'^х^, , 1 = 2^.

п, М

Напряжения Т~ на границах раздела слоев могут быть определены через скачки напряжений на границах включений

\УТ*=Т,

где т = {т2~,...,т~}, блоки матриц I* и \У выражаются через введенные в п. 3.1 , Щ и матрицы Грина пакетов слоев без дефектов.

Построены также функционально-матричные соотношения для пакета слоев, содержащего дефекты типа жестких включений, на упругом полупространстве, соответствующего «вирусу» вибропрочности Р(1/А,;01/...//гЛГ;0Л,//2/А1;01"/...//2ЛГ;^).

Ранее приведены представления систем функционально-матричных уравнений (11), (13) для случаев, когда нарушения сплошности имеются на всех стыковочных границах слоев. В общем случае на некоторых границах раздела слоев / = /,,/,) могут выполняться условия идеального контакта,

тогда и* = 0, Т* = О и из матриц К* (11) и К (13) удаляются строки и столбцы с номерами / =, соответственно удаляются и и*, Т* из вектора неизвестных, и I)., и, из правой части. Аналогично для случая свободной верхней границы ТЛ,+1 = 0 из матрицы системы удаляются последняя строка и столбец.

В п. 3.5 осуществлено построение интегральных уравнений, порождаемых динамическими задачами для слоисто-структурированных сред, на основе полученных функционально-матричных соотношений с учетом заданных смешанных граничных условий на границах элементов структуры.

При взаимодействии системы штампов, занимающих области 7 = 1 ,Мц+1, с пакетом из N слоев при наличии

совокупностей включений, занимающих области Пт1 (т = и совокупностей трещин, располагающихся в областях Г2;; (у = 1,М/,/ = 2,Лг), на стыках слоев система интегральных уравнений примет вид

А-1Ц _ ¡V-1 Я, М„_,

ы у=1 /=1 }=1 м

V -1 M, N-1 N, Л/..,

У] У! K„+N-U (Q) U iU 1 + У. У, rf+1 ) T I./+I + X = Tm,/i+l '

1=1 j=l /=1 J=1 J-l

(*Р*2)еП»,Л+1> m = \>Nn> » = \,N-1;

\'-l M, ЛМ л'/ MV,1

yT/mif^J.l)11)).! + У, У KlN-U+N-\ (^lUI )T i.M + = Up,N+l '

/=1 /=1 ;=i 7=i y=i

x3=hN+1, (xpxJeQ,,^,, p = l,MN+l.

Здесь интегральные операторы представляются соотношениями

, (14)

= j jK„,(flrl,a2)e"'(ff|,,+aA)i/ar1i/«2. (15)

г,г2

Подынтегральные матрицы-символы описываются соответствующими блоками матриц-функций К*, W*, R, W, построенных в п. 3.3, 3.4.

Метод факторизации, в результате применения которого получены матрицы-символы ядер интегральных уравнений задач для сред с дефектами, дает возможность исследовать с единых позиций все основные типы краевых задач, возникающих при изучении напряженно-деформированного состояния сред при наличии воздействий внешних полей любой природы, описываемых системами линейных уравнений в частных производных конечного порядка с постоянными коэффициентами. Достоинством предложенного подхода является его тесная связь с методом преобразований Фурье в областях с плоскопараллельными границами, кроме того, использование метода факторизации упрощает построение систем интегральных уравнений рассматриваемых задач.

В п. 3.5 приведены известные асимптотические свойства элементов матриц-блоков символов ядер построенных систем интегральных уравнений, знание которых необходимо для построения приближенных решений.

В работах О.Д. Пряхиной, A.B. Смирновой проведено аналитическое исследование корневых и полярных множеств

элементов и определителей матриц-символов ряда динамических задач для многослойных сред с неоднородностями.

Полученные в настоящей работе представления матриц-блоков символов ядер систем интегральных уравнений для слоисто-структурированных сред с нарушениями сплошности на структурных границах позволяют реализовать численные алгоритмы построения корневых и полярных множеств их элементов и определителей для широкого круга задач.

На рис. 1 и 2 представлены нули и полюса определителей матриц-символов для задач о колебаниях двухслойной среды с включением на стыке слоев (рис. 1) и трехслойной среды с включением между вторым и третьим слоями (рис. 2), толщины слоев приведены в безразмерных величинах, у, = к2 = у3 = 0,3.

Сплошные линии представляют полюса функции, пунктирные - нули. По оси абсцисс откладывается безразмерная частота, по оси ординат - параметр преобразования Фурье.

В четвертой главе изложен подход к моделированию установившихся колебательных процессов для упругой среды с покрытием. Крупномасштабная модель позволяет рассматривать литосферные плиты как покрытия с относительно малой толщиной в масштабах размера Земли. Рассматривая литосферную плиту в другом масштабе, ее можно моделировать полуограниченным упругим телом сложного строения, имеющим покрытие.

В настоящей главе проблема взаимодействия литосферных плит как контактирующих разделенных деформируемых плит,

расположенных на деформируемом основании, исследуется в рамках теории смешанных задач упругости. В качестве покрытий рассматриваются пластины, движение которых описывается системой дифференциальных уравнений в перемещениях.

В п. 4.1 приведены постановки нелинейных краевых задач для установившихся с частотой а колебаний однослойной однородной оболочки6. В принятой модели, если покрытие представляет собой систему Р пластин, занимающих области ГХ с границами Ш, = Т,, для завершения постановки краевой задачи формулируются условия стыковки на контактирующих краях пластин Т,, i = l,Р. В общем случае характер этих условий определяется видом контактного взаимодействия.

Для математического описания явлений, связанных с потерей устойчивости плит, необходимо рассматривать описанные ранее задачи в нелинейной постановке. Для оценки концентрации напряжений в литосферных плитах можно ограничиться линеаризованными уравнениями движения пластин.

В общем случае литосферные плиты имеют рельефные поверхности и сложную в плане форму. Исследование их напряженно-деформированного состояния с учетом всех особенностей сопряжено с большими техническими трудностями. Далее рассмотрен случай взаимодействия двух литосферных плит, моделируемых пластинами, граничащими вдоль прямой. В результате линеаризации приведенных уравнений для плоского покрытия в матричном виде уравнения движения примут вид

R(3x[,9x2)u - St = g,

где u - вектор перемещений точек срединной поверхности с компонентами u,(xl,x2), i = 1,3, м12 - перемещения точек в плоскости х]0х2, и} - прогиб срединной поверхности; R-матричный дифференциальный оператор с компонентами

дх1 дх2 дх1дх2 axfix2

6 Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

дх1 од-, с'.т, йс2

_ 1-1/ „ й>2р(1-И . 1 + Г „ 1.2/ 1-у

где а=—Д=—; V, п -

соответственно коэффициент Пуассона и модуль сдвига; к -толщина покрытия; р - плотность покрытия; (¡(х1,х2) -компоненты вектора усилий t на нижней грани пластины, Ь(х1>хг) -Ь на верхней грани, / = 1,3.

В качестве основания, на котором находится покрытие, можно принимать деформируемое полупространство, слой, многослойную среду, в том числе содержащую внутренние неоднородности, и т.д. Учет сложных свойств подложки (неоднородность, анизотропия и др.) даже в рамках линейной теории упругости приводит к увеличению математических трудностей при исследовании указанных задач.

В п. 4.2 на основе полученных в третьей главе соотношений построены системы интегральных уравнений для слоистой полуограниченной среды с дефектами при наличии покрытия. Построенные системы интегральных уравнений связывают напряжения в плоскостях раздела слоев и на границе между покрытием и подложкой со скачками характеристик в областях дефектов. Решения получаемых систем интегральных уравнений для простейших моделей подложки и частных случаев областей, занимаемых покрытиями, строятся в конечном виде с помощью интегральных факторизационных методов Винера - Хопфа или фиктивного поглощения.

Для преодоления трудностей, вызванных степенным ростом элементов матриц-символов ядер полученных систем, использован метод выноса дифференциального оператора:

Ар(дх,, дх2)=\\б„,кг:к\1^, р = 1,2, Уртт{дхх,дх2)цгт ^(-Д + \р)¥т,

ду/

дхх

дг2=0

Появляющиеся при этом произвольные гладкие функции /]р, р = 1,2 определяются из дополнительных физических условий.

В п. 4.3 описан метод решения системы для случая двух полуограниченных пластин на упругом основании без дефектов. Литосферные плиты рассматриваются как контактирующие разделенные пластины на деформируемом основании в докритической стадии деформации. Система интегральных уравнений на границе покрытия и подложки, описанная в 4.2, примет вид

ас

|Кр(а1,а2)е-'влТ(а1,а1)</а2=1Да1,*2), *2еПр, /> = 1,2, (16)

—00

где К/,(а1,а2) = -А;1(-/а1,-1а2)[ярК-8/,]; Ър = АГ}%р; К- матрица Грина основания; О,: -со < х2 <0, С12:0 < х2 < +оо.

Система (16) решается с помощью интегрального метода факторизации. Найденные контактные напряжения, действующие между покрытием и подложкой (на плиту - снизу, на основание -сверху), позволяют определить смещения срединной плоскости покрытия:

и(х,,х2) = |.

При этом вектор т = У_1Т содержит восемь неизвестных функций, нуждающихся в определении при удовлетворении граничных условий в области контакта пластин.

Если покрытие представляет собой бесконечную пластину, нетрудно получить функционально-матричное соотношение для интегральных характеристик амплитуд напряжений на границе покрытие/основание. Найдя Т(а1,а2), можно вычислить перемещения на границе покрытия и основания.

На рис. 3, 4 приведены кривые нулей (рис. 3) и полюсов (рис. 4) элемента Ки матрицы Грина для слоя, жестко сцепленного с недеформируемым основанием: сплошные линии -

без покрытия, крупный пунктир - с покрытием толщины 0,01, мелкий пунктир - толщины 0,1.

Рис. 3 Земная кора

Рис. 4

находится в непрерывном развитии. Взаимодействуя с атмосферой и гидросферой, она обменивается с ними массой и энергией, в результате чего поверхность земной коры непрерывно изменяется.

В п. 4.4 продемонстрировано применение интегрального метода факторизации к решению задач расчета временных покрытий, формирующихся за счет осаждения субстанций на разнотипные подстилающие поверхности. Изменение содержания субстанции в приповерхностном слое описывается уравнением переноса и диффузии, в зависимости от свойств подстилающей поверхности на различных участках происходит частичное или полное осаждение субстанции. Приведены примеры решения интегральных уравнений для двух вариантов подстилающей поверхности.

На рис. 5 представлено распределение субстанции у поверхности, представляющей собой две разнотипные области

Е, = {х, < 0,-оо<х2 <оо|, Е2 = {я, > 0,-00 <хг<оэ} при следующих

граничных условиях:

= 1//1(х1,х2), (х1,х2)е=£г

Решению задачи для областей Е,:^ > а,-со < х2 < оо} и {х, < -а.-да < х2 < =с}, Е2: {-а < х, < а,-оо < х2 < да} соответствует рис. 6. Для обоих случаев ^,=0, 1//2=-Ае^, Л = сопб1 [7].

Рис. 5 Рис. 6

Пятая глава посвящена разработке теории интегральных I уравнений, задаваемых в областях сложной формы.

Метод фиктивного поглощения развит для случая невыпуклых в плане областей, занимаемых штампом или дефектом. Достоинство данного метода заключается в возможности описания решения как внутри области контакта, так и в окрестности ее границ. Метод рассматривается для решения контактных задач о вибрации штампов, жестких включений или полостей произвольной в плане формы.

В п. 5.1 дана общая схема метода фиктивного поглощения решения интегрального уравнения в произвольной в плане области. Предполагается, что невыпуклая область контакта представляет собой объединение замкнутых ограниченных

! М

областей = , М < со, общими у которых могут быть только

ы 1

граничные множества Як. В данном случае СИУ будет иметь вид

м

1Х<7„,=/,(*„*2), 7 = 1 ,-М, (17)

ш=1

А,.

¿(х,,х2) = —^ | jк(al,a2)e~'^•a^x'*aл^da]c^a2, а,2 +а2 = а1.

^ Г1 Г2

Вводятся локальные системы координат х"'Отх2 с центрами во внутренних точках областей От, с осями, параллельными осям

ххОх2. При этом точки От в системе х1Ох2 имеют координаты ат, Ьт, уравнения границ в системе х1Ох1 записываются как ят = Ят{у). Согласно схеме метода фиктивного поглощения7, вводится функция КХа)=К{а)П-\а), где П(а) = Е^д^а1)^^-:]){а2 -Р1]\ 2„,

*ы

рк - соответственно вещественные нули и полюса К (а). Решение отыскивается в виде д(х^х2) = р{х^х2) + (р{х^х2). Вспомогательная функция <р вводится следующим образом:

м 1=1

N 2*

Здесь Д - двумерный оператор Лапласа; - неизвестные однозначные функции, подлежащие определению.

В работе дается модификация указанного метода в части подбора базисных функций. Использование производных дельта-функций облегчает построение решений. После ряда преобразований решение (17) представляется в виде

д{х1,х2) = у-)П-](а,М)у[<р2+К-'/{х],х2)-К-0\]К0<р2],

N М 1

й = ^ЧЕМа'Х«'"Рк) е'Ы*Ь'а2) К(гУ^'^ч,.

/М 5=1 О

Последнее соотношение можно упростить, дополнительно выделив у функции <р2 составляющие с носителем в Ди вне этой

области, положив <р2! =р2(х,,д:2), (х,,^)^,, ср^=<р2(хх,х2),

м

(*„*2)е2>„ Ъ=р2(х„х2)-]Гр2\.

1=1

Используя обозначение ^ (лг,,д;2) = =

(лг,,д;2) е И,., соотношение для решения (17) примет вид

Ч(х„х2,0^) = \-уП-\а,И)Р{а1,а2,0!),

1 Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 265 с.

[К;:/ - к^ад]+^.

Неизвестные /ь определяются из системы

^(а„а2,Д) = 0, «,2 + «22=г„2, и = р\

Предложенная схема метода фиктивного поглощения решения интегральных уравнений применима для решения СИУ (п. 5.2). Как и в случае одного уравнения, вектор-функция ср в окончательном решении присутствует лишь под знаками операторов. Это обстоятельство позволяет существенно расширить класс функций, из которого выбираются ф(д:1,д;2), и использовать комбинации производных от дельта-функций.

В п. 5.3 приведены примеры построения аналитических представлений приближенных решений для ряда областей. Рассмотрено интегральное уравнение, соответствующее плоской или антиплоской задаче (а2 = 0, а, = а) о вибрации массивного штампа на поверхности полуограниченной среды (слоя, пакета слоев) или жесткого включения в среде при любых условиях на нижней границе и одной отличной от нуля компонентой контактных напряжений или скачка напряжений. Кроме того, построены представления приближенных решений для осесимметричной задачи и пространственной контактной задачи для составной области контакта.

В задачах о колебаниях полуограниченной среды, вызванной вибрацией берегов внутренних трещин или пластин на поверхности, рассмотренных в третьей и четвертой главах, нарушается свойство убывания элементов матриц-символов ядер интегральных уравнений. Так, для задачи о колебаниях трещины в уравнении д(х1,х2) = ии1(х1,х2), К(а) = Км(а) - элемент матрицы К,7 (15) в (14), соответствующий плоской или антиплоской

постановке задачи. Согласно приведенным в третьей главе асимптотическим свойствам элементов блоков матрицы-символа ядра системы, ядро оператора К является обобщенной функцией. В этом случае осуществляется регуляризация К, приводящая к интегральному уравнению с классической функцией ядра. Обращение последнего производится в соответствии с

приведенной ранее схемой. То же самое справедливо для систем интегральных уравнений. Осуществить регуляризацию можно, например, путем выноса из обеих частей уравнения дифференциального оператора, как это предлагалось в четвертой главе.

В п. 5.4 приведен пример применения метода фиктивного поглощения к решению интегрального уравнения осесимметричной задачи о возбуждении гармонических колебаний в упругой среде вибрацией берегов трещины отрыва.

Метод фиктивного поглощения позволяет использовать весь арсенал методов решения статических смешанных задач. Данный метод, будучи полуаналитическим, устраняет недостатки прямых численных методов. Область применения полученных формул, дающих приближенные решения динамических задач, определяется областью применения решений соответствующих задач для сред с сильным затуханием.

В заключении сформулированы основные результаты исследования, выносимые на защиту.

В приложения диссертации вынесены некоторые представления решений рассмотренных задач, результаты расчетов и иллюстративный материал.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертационной работе представлено одно из возможных решений важной научно-технической проблемы создания математических моделей слоистых и блочных упругих сред с учетом включений и расслоений на контактных границах и разработки эффективных методов построения и решения систем уравнений, описывающих поведение таких сред.

Предложен подход, позволяющий провести исследование параметров напряженно-деформированного состояния литосферных плит с учетом внутреннего строения и воздействия поверхностных факторов.

Основными результатами являются:

- математические модели динамики блочно-структурированной литосферной плиты с учетом наличия множественных внутренних концентраторов напряжений;

-развитие дифференциального метода факторизации для исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит как деформируемых объектов сложного строения;

- метод построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений, возникающих при исследовании слоистых материалов с неоднородностями (дефектами) типа плоских жестких включений и трещин, ориентированных параллельно плоскостям раздела слоев, и покрытиями;

- новые функционально-матричные соотношения, связывающие основные динамические характеристики изучаемых моделей;

- модификация метода фиктивного поглощения решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений динамических задач теории упругости для случая односвязных областей произвольной конфигурации;

- методы исследования процесса формирования покрытий за счет осаждения субстанций на подложку.

В ходе проведенного диссертационного исследования:

- разработанный ранее для отдельного выпуклого изотропного тела алгоритм дифференциального метода факторизации обобщен на случай блочных структур, одним из вариантов которых являются слоистые;

- рассмотрены примеры ограниченного (в виде прямоугольного параллелепипеда) и полуограниченного блочного элементов, вводимых из-за сложности анализа полученных систем интегральных уравнений для блоков произвольной формы;

- на основе предложенных моделей и разработанных методов построены аналитические представления приближенных решений краевых задач для блочно-структурированной среды;

-на базе метода факторизации для различных моделей слоисто-структурированных сред с разрывными условиями на границах структурных элементов построены матрицы-символы Грина;

- предложен способ факторизации матриц с полиномиальными элементами;

- предложена модификация метода фиктивного поглощения решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений динамических контактных задач в части выбора используемых систем вспомогательных функций;

- рассмотрены примеры построения решений ряда задач для уравнений, характеризующихся различным поведением символов ядер.

Предложенные модели и разработанные методы расширяют возможности изучения процессов деформации в слоисто- и блочно-структурированных средах. С их использованием могут исследоваться конкретные задачи сейсмологии прикладного характера, а также задачи диагностики напряженного состояния сложных структур, находящихся в условиях динамических воздействий.

Публикации автора по теме диссертации в журналах,

определенных ВАК РФ для докторских диссертаций

1. Бабешко В.А., Павлова A.B., Ратнер C.B., Вильяме Р. К решению задачи о вибрации упругого тела, содержащего систему внутренних полостей //ДАН. 2002. Т. 382, № 5. С. 625-628.

2. Бабешко В.А., Павлова A.B., Ратнер C.B., Вильяме Р. Задача о вибрации упругого полупространства, содержащего систему внутренних полостей // ДАН. 2002. Т. 386, № 1. С. 625-628.

3. Вильяме Р., Павлова A.B., Ратнер C.B. Исследование «вирусов» вибропрочности при моделировании геологических структур // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2003. № 1. С. 33-35.

4. Павлова A.B., Рубцов С.Е. Исследование многослойных материалов при наличии нарушений сплошности соединений // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 3. С. 19-22.

5. Павлова A.B., Ратнер C.B., Рубцов С.Е. К решению динамической задачи для упругого полупространства с трещиной //

Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 4. С. 14—17.

6. Нижник М.П., Павлова A.B., Рубцов С.Е. К решению одной задачи для упругого полупространства с жидким включением // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. № 2. С. 40-43.

7. Павлова A.B., Цыбулъников A.A. Метод факторизации в задачах распространения и осаждения субстанций // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. № 4. С. 17-21.

8. Зарецкая М.В., Москвичев C.B., Павлова A.B., Плужник A.B., Ратнер C.B., Сыромятников П.В. О смешанных задачах для многослойных анизотропных материалов со множественными неоднородностями // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2007. № 1. С. 35-41.

9. Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Бабешко В.А., Павлова A.B., Гладской КБ., Зарецкая М.В., Федоренко А.Г. Некоторые приложения дифференциального метода факторизации // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2007. № 3. С. 24—29.

10. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Зарецкая М.В., Павлова A.B., Федоренко А.Г. О дифференциальном методе факторизации в приложениях // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2008. № 2. С. 5-12.

\\.Павлова A.B., Цыбулъников A.A. К моделированию распространения примеси от динамического площадного источника // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2008. №2. С. 51-56.

12. Бабешко В. А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Зарецкая М.В., Павлова A.B., Мухин A.C., Лозовой В.В., Федоренко А.Г. О приложениях теории блочных структур в науках о Земле, сейсмологии, строительстве, материаловедении // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2008. № 4. С. 27-34.

13. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Зарецкая М.В., Павлова A.B. Дифференциальный метод факторизации для блочной структуры // ДАН. 2009. Т. 424, № 1. С. 36-39.

14. Евдокимова О.В., Зарецкая М.В., Павлова A.B., Бабешко О.М., Лозовой В.В., Бабешко В.А., Федоренко А.Г. О полуограниченных блочных элементах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 4. С. 14-19.

15. Павлова A.B., Колесников М.Н. К проблеме моделирования динамических процессов в средах с покрытиями // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 4. С. 41^47.

Основные публикации автора по теме диссертации в других изданиях:

16. Бабешко В.А., Бужан В.В., Павлова A.B., Ратнер C.B. Упругое пространство с совокупностью неоднородностей // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2001. Спецвыпуск. С. 26-29.

17. Павлова A.B., Телятников C.B. Метод фиктивного поглощения в решении динамических задач при наличии плоских трещин // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Т. 8, вып. 2. С. 663-664.

18. Павлова A.B. Метод фиктивного поглощения в решении динамических задач для произвольных областей контакта // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т. 9, вып. 3. С. 646-647.

19. Бабешко В.А., Павлова A.B., Ратнер C.B. К задаче о вибрации упругого полупространства с совокупностью внутренних трещин // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2002. Вып. 3. С. 36-38.

20. Павлова A.B., Смирнова A.B., Телятников C.B. Об одном методе исследования динамики полуограниченных тел, содержащих внутренние плоские трещины // Природа. Общество. Человек. 2002. № 1(14). С. 75-78.

21. Павлова A.B., Рубцов С.Е. К решению динамических задач для слоистого полупространства с дефектами // Наука технологии: тр. XXIV Рос. школы. М.: Изд. РАН, 2004. С. 283-290.

22. Павлова A.B., Ратнер C.B. Исследование «вирусов» вибропрочности смешанного типа в упругих средах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. Приложение №1. С. 64-69.

23. Павлова A.B., Гладской КБ., Яковенко Р.Г. Использование ГИС-технологий при моделировании динамики литосферных плит // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006. Т. 13, вып. 5. С. 845-846.

24. Капустин М.С., Павлова A.B., Рубцов С.Е. Исследование напряженно-деформированного состояния многослойной плиты с позиций теории вирусов вибропрочности // Наука Кубани. 2007. № 3. С. 13-15.

25. Павлова A.B., Рубцов С.Е. К исследованию напряженно-деформированного состояния литосферных плит // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. Т. 14, вып. 1. С. 133-134.

26. Павлова A.B., Рубцов С.Е. К исследованию установившихся колебаний упругой среды с покрытием при наличии внутренних дефектов // Современные проблемы механики сплошной среды: тр. X Междунар. конф. Ростов н/Д, 2008. С. 149-151.

27. Павлова A.B., Рубцов С.Е. Дифференциальный метод факторизации решения задач в слоистых и блочных структурах // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Т. 16, вып. 6. С. 1104-1105.

28. Колесников М.Н., Павлова A.B., Рубгрв С.Е. Исследование дисперсионных характеристик упругого полупространства с дефектами при наличии покрытия // Современные проблемы механики сплошной среды: тр. XI Междунар. конф. Ростов н/Д, 2009. Т. 1. С. 170-173.

Свидетельства о регистрации программ

1. Сыромятников П.В., Ратнер C.B., Зарецкая М.В., Павлова A.B., Ломакина Л.В. Программа расчета механических

перемещений и напряжений, возбуждаемых гармоническими нагрузками на берегах трещин и границах жестких включений в пакете упругих анизотропных слоев. Свидетельство об офиц. регистрации программы для ЭВМ (Россия). № 2007610339 от

18.01.2007.

2. Бабешко В. А., Павлова A.B., Цыбульников A.A., Ломакина JI.B. Расчет параметров оптимальных зон размещения источников, загрязняющих атмосферу: Свидетельство о государств, регистрации программы для ЭВМ (Россия). № 2008611547 от 26.03.2008.

3. Бабешко В.А., Павлова A.B., Цыбульников A.A., Ломакина Л.В. Расчет осаждения субстанций на разнотипные подстилающие поверхности: Свидетельство о государств, регистрации программы для ЭВМ (Россия). №2008611548 от

26.03.2008.

4. Сыромятников П.В., Павлова A.B., Ломакина Л.В. Расчет амплитуд волн, возбуждаемых поверхностным механическим источником в анизотропном слое. Свидетельство о государств, регистрации программы для ЭВМ (Россия). № 2008616012 от

13.02.2009.

Автореферат

Павлова Алла Владимировна

ФАКТОРИЗАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ НА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ЛИТОСФЕРНЫХ ПЛИТ

Подписано в печать 13.10.2010. Печать цифровая. Формат 60x84 ^.

Бумага тип. № 1. Уч.-изд. л. 2,5. Тираж 100. Заказ № 777.

350040 г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149 Центр «Универсервис», тел. 2199-551

ВВЕДЕНИЕ.

1 Моделирование динамики литосферной плиты как структурно-неоднородного деформируемого тела.

1.1 Начально-краевые задачи динамической теории упругости.

1.2 Постановка динамических задач для блочно-структурированной среды, взаимодействующей с поверхностными объектами.

1.2.1 Задача Коши для уравнений движения массивного тела.

1.2.2 Постановка задач для элементов структуры.

1.3 Определения теории «вирусов» вибропрочности.

2 Факторизационные методы исследования задач для структурированных сред.

2.1 О факторизации функций и матриц-функций.

2.1.1 Факторизация функций.

2.1.2 Факторизация матриц-функций.

2.2 Общая схема дифференциального метода факторизации.

2.3 Применение факторизационных методов к решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.4 Применение дифференциального метода факторизации к задаче для упругого тела.

2.5 Применение дифференциального метода факторизации к задаче для блочной структуры.

2.6 Блочные элементы. Примеры построения блочных элементов.

3 Метод факторизации исследования динамических задач для слоисто-структурированных сред как «вирусов» вибропрочности различного строения.

3.1 Построение функциональных уравнений для слоя.

3.1.1 Дифференциальный метод факторизации в краевой задаче для слоя.

3.1.2 Построение граничных уравнений с помощью формулы Бетти.

3.2 Построение функциональных уравнений для сплошной1 многослойной среды.

3.3 Построение функциональных уравнений для многослойной среды, содержащей совокупность трещин.

3.4 Построение функциональных уравнений для многослойной среды, содержащей совокупность включений.

3.5 Построение систем интегральных уравнений динамических задач для слоисто-структурированных сред.

4 Применение факторизационных методов в моделировании динамических процессов для сред с покрытиями.

4.1 Постановка задачи для одной модели покрытия.

4.2 Построение систем интегральных уравнений задачи для слоисто-структурированной среды с покрытием.

4.3 Способы построения приближенных решений для полуограниченных и неограниченных покрытий.

4.4 О моделировании временных покрытий.

5 Метод решения интегральных уравнений динамических контактных задач.

5.1 Общая схема метода фиктивного поглощения решения интегрального уравнения в произвольной в плане области.

5.2 Метод фиктивного поглощения решения системы интегральных уравнений.

5.3 Метод фиктивного поглощения решения интегральных уравнений для частных случаев областей.

5.3.1 Метод фиктивного поглощения для одномерного интегрального уравнения.

5.3.2 Построение приближенного решения интегрального уравнения для осесимметричного случая.

5.3.3 Построение приближенного решения интегрального уравнения для пространственной задачи.

5.4 Построение приближенного решения интегрального уравнения с растущим символом ядра.

Создание теоретических основ систем сейсмодеформационного мониторинга и методов обработки данных, ориентированных на прогнозирование катастрофических природных и техногенных явлений, является одной из фундаментальных проблем геомеханики и геофизики. Многолетние попытки поиска прогностических признаков землетрясений подтверждают исключительную сложность задачи и необходимость комплексного применения всех возможных геофизических и математических методов, проведения общего анализа материалов сейсмологических наблюдений и расчетов напряженно-деформированного состояния геологической среды.

К настоящему времени накоплены значительные сведения по оценке произошедших землетрясений и закономерностям их повторяемости, последствиям сейсмических событий. Однако достаточно достоверных объяснений проявления признаков нарастания сейсмичности в настоящее время нет. Интенсивное развитие инструментальной базы наблюдательной' сейсмологии, появление новых технических средств измерения важных физико-механических параметров, характеризующих динамику геологических структур (высокоточные ОРБ/вЬСЖАЗ приемники, прецизионные наклономеры высокой разрешающей способности, тяжелые передвижные вибросейсмоисточники, высокоскоростные станции обработки цифровой информации), позволили значительно увеличить объем регистрируемой информации о сейсмических событиях.

Земная кора образует наружную зону литосферы, состоящую из контактирующих литосферных плит. Области контактов характеризуются наибольшим числом очагов сильных землетрясений. Однако в последние десятилетия появилось множество доказательств, позволяющих говорить о постоянных изменениях, происходящих на поверхности и в глубинах Земли не только в сейсмоактивных районах, но и в равнинно-платформенных областях [156], то есть сейсмические события происходят и в удаленных от глобальных разломов зонах, что указывает на определенную роль разломов сравнительно малой мощности. Это является одной из причин усиления внимания исследователей в различных областях науки к изменению напряженно-деформированного состояния верхней части земной коры. При изучении причин сейсмического события следует анализировать и мелкомасштабные особенности: разломы, включения, неоднородности. Сама литосферная плита при этом может моделироваться горизонтально протяженной и даже неограниченной трехмерной плитой сложного строения.

Другая очевидная причина повышения интереса к исследованию напряженно-деформированного состояния литосферных плит - глобальные масштабы промышленной деятельности человека, связанной с отбором углеводородов из глубинных зон Земли, взрывами большой мощности, имеющими место в очагах военных действий, и т.д., создающей так называемые наведенные геомеханические процессы, способные вызвать техногенные катастрофы. Несмотря на относительно редкие макропроявления сейсмичности в виде техногенных и индуцированных землетрясений, их разрушающее влияние и нанесенный экологический ущерб могут быть велики [3]. Реакция земной коры на техногенные воздействия зависит не только от интенсивности и вида воздействия, но и от характера естественного деформационного процесса, энергонасыщенности структур коры, распределения и величины напряжений в ней.

Физика землетрясения изучается в различных научных центрах на протяжении многих лет. В.В. Кузнецов [153] отмечает работу Х.Ф. Рейда [293] как положившую начало подобным исследованиям.

Несмотря на значительные усилия и очевидные успехи, проблема оценки сейсмичности и прогноза землетрясений далека от полного решения. Оценка сейсмического состояния глубинных слоев Земли является чрезвычайно сложной задачей, решение которой предполагает построение моделей участков земной коры и породных массивов и использование в данных моделях сейсмологической информации инструментальных наблюдений.

В настоящее время существуют разные модели сейсмичности. Теория распространения сейсмических волн, основанная на линейно-упругой модели, нашла отражение в монографии К. Аки, П. Ричардса [5]. Фундаментальные проблемы динамики земной коры рассматриваются в работах В.В. Адушкина, В.Н. Родионова, М.А. Садовского, В.Ф. Писаренко и других авторов [2, 3, 231, 234, 235, 237, 236]. Важные результаты в области развития методов исследования структуры верхней литосферы и интерпретации данных сейсморазведки принадлежат Г.А. Гамбурцеву, Е.В. Гальперину, Ю.В. Ризниченко [229, 230]. Большой вклад в развитие моделей сейсмических волновых процессов внесли А.О. Глико, A.B. Николаев, У.Ф. Саваренский, JLE. Собисевич, A.JI. Собисевич, Ю.К. Чернов [183, 184,233,244,245,257] и др.

Различные подходы к исследованию сейсмических процессов, обеспечивающие известные успехи, отражены в работах A.C. Алексеева, Л.В. Канторовича, Б.В. Кострова, В.В. Кузнецова, C.B. Медведева,. [10, 142, 151, 153, 154, 169], а таюке в работах других авторов [145, 147, 156, 180, 215, 228, 251, 257, 266, 268, 274, 275]. Приведенный перечень работ ни в коей мере не претендует на полноту.

При всем разнообразии подходов выполнено немного исследований по анализу сейсмической напряженности с позиции механики разрушения литосферных плит. Известные в этой области работы зачастую связаны с идеализацией строения литосферных плит, в то время как при исследовании напряженно-деформированного состояния геологических сред нельзя не учитывать их сложную структуру, преднапряженность, сильную анизотропию, термоэлектроупругость и пр.

В работах академика М.А. Садовского, уделявшего большое внимание исследованию проблем сейсмичности, приведены многочисленные примеры, свидетельствующие о блочном строении земной коры [234-237]. В настоящее время получены существенные результаты в рамках моделей геофизических сред, использующих представление о блочном строении коры Земли, обоснованном в работах М.А. Садовского. Активно проводятся исследования строения геофизической среды, состоящей из целого ряда составляющих (упругих и неупругих) в большом диапазоне масштабов.

Однако изучение волновых явлений в коре Земли не позволяет отвергать и ее сплошности, игнорируя процессы, приводящие к «залечиванию» разломов, представляющиеся альтернативными процессам нарушения сплошности земной коры [79]. Учет таких данных приводит к необходимости дальнейшей разработки континуальных моделей сред с неоднородностями, позволяющих исследовать напряженно-деформированное состояние геологической среды в значительных объемах.

Относительные (дифференциальные) смещения блоков геологической среды существенно влияют на ее поведение при внешних воздействиях. Возможность возникновения дифференциальных движений связана в первую очередь со сложной структурой реальной геологической среды. Неоднородность, проявляющаяся в виде естественных структурных нарушений и зон ослабления прочности среды (тектонические разломы, множественные трещины и включения разного масштаба и т.д.), определяет ее деформационные и прочностные свойства, которые играют важную роль в формировании отклика на внешние воздействия.

Наличие подобного рода структур неоднократно отмечалось при экспериментальном изучении условий распространения сейсмических сигналов в реальной геологической среде. В частности, профессором университета Теннеси Р. Вильямсом (США, Ноксвилл) методами вибросейсморазведки были построены горизонты по всей толщине литосферной плиты в штате Огайо. Таким образом, концепция возникновения сейсмических событий, связанная с разрушением сплошности зон коры Земли как деформируемой среды, вполне обоснована. Для ее реализации приходится применять большой арсенал методов механики деформируемого твердого тела.

Современные методы исследований геодинамических явлений включают разнообразные экспериментальные и теоретические подходы. Однако необходимость учета множественных внешних факторов, влияющих на напряжённо-деформированное состояние литосферных плит, приводит к значительным трудностям в изучении этих вопросов. Многоплановые и многофункциональные воздействия естественных и техногенных факторов способствуют изменению энергетического и напряженно-деформированного состояния геологической среды и проявляются в изменении характеристик экспериментально измеряемых геофизических полей. К числу таких факторов относятся: глобальные вариации скорости движения в космическом пространстве всей Солнечной системы, центробежные силы, связанные с вращением Земли, смена времен года и, как следствие, температурные и деформационные изменения, геодинамический режим движения литосферных плит, приливные процессы в твердой Земле, солнечная активность, действие гравитационных полей, выпадение осадков и т.д.

Анализ сейсмической напряженности литосферных плит с позиции механики деформируемого твердого тела приводит к исследованию задач для слоисто-блоковых сред с множественными неоднородностями и оболочек, испытывающих динамические воздействия различной природы. Изучение такого рода задач требует привлечения методов механики контактных взаимодействий деформируемых тел.

Значительный вклад в исследование контактных задач внесли российские и зарубежные исследователи Б.А. Абрамян, В.М. Александров, Ю.М. Амензаде, А.Е. Андрейкив, Б.Д. Аннин, Н.Х. Арутюнян, В.А. Бабешко, A.A. Баблаян, A.B. Белоконь, Н.М. Бородачев, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, JI.A. Галин, И.П. Гетман, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, Р.В. Гольдштейн,

A.Г. Горшков, И.Г. Горячева, В.Г. Гринченко, А.Н. Гузь, И.М. Дунаев, О.Ю. Жарий, В.В. Зозуля, Д.А. Индейцев, В.В. Калинчук, В.И. Колесников,

B.Д. Купрадзе, A.C. Космодамианский, Е.В. Ломакин, A.B. Манжиров, В.П. Матвеенко, В.В. Мелешко, Н.Ф. Морозов, В.И. Моссаковский,

Н.И. Мусхелишвили, A.B. Наседкин, В. Новацкий, В.В. Панасюк, В.З. Партон, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина, B.C. Саркисян, В.М. Сеймов, М.Г. Селезнев, Л.И. Слепян, Б.И. Сметанин, A.B. Смирнова, Т.В. Суворова, Д.В. Тарлаковский,

A.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов, Я.С. Уфлянд, JT.A. Филыптинский, М.И. Чебаков, Г.П. Черепанов, J.D. Achenbach, A. Ben-Menahem, A.H.-D. Cheng, D.T. Cheng, W.M. Ewing, W.S. Jardetzky, MJ. Musgrave и другие авторы. В монографиях [15, 22, 51, 93, 94, 112, 138-140, 170, 177, 260] приведены достаточно полные обзоры работ по динамике контактного взаимодействия.

В Кубанском государственном университете и Южном научном центре РАН ведутся работы по созданию новых методов прогноза сейсмичности. Основная идея подхода состоит в исследовании концентраций напряжений в литосферных плитах как деформируемых физико-механических объектах сложного строения. В работах [63, 133] с помощью факторизационных методов исследовано влияние внутренней активности Земли на напряженно-деформированное состояние литосферных плит.

В макромасштабной модели строения коры Земли литосферные плиты можно рассматривать как покрытия с относительно малой толщиной в масштабах Земли. В другом масштабе литосферную плиту можно моделировать полуограниченным упругим телом с покрытием.

Существенный вклад в развитие теории смешанных задач механики сплошных сред с покрытиями внесли С.А. Амбарцумян, В.И. Авилкин,

B.М. Александров, Н.Х. Арутюнян, И.И. Ворович, И.Н. Векуа, А.И. Лурье, А.Л. Гольденвейзер, Г.И. Петрашень, а также их ученики и последователи [6, 15, 77, 88, 109]. Различные задачи, нашедшие практические приложения, исследованы в работах A.C. Вольмира, И.Г. Горячевой, Е.В. Коваленко, A.B. Манжирова, С.М. Мхитаряна, Б.Л. Пелеха и др. Детальный обзор и анализ подходов, применяемых при решении контактных задач для тел с покрытиями, приведен в статье Е.В. Коваленко [170].

При исследовании геологической среды на практике геофизики и механики всегда имеют дело с неоднородными структурами. Используемые механико-математические модели геофизической среды весьма многообразны, степень их общности и сложности определяется решаемыми с их помощью задачами. Однако существует реальная необходимость разработки моделей, учитывающих слоисто-блочное строение, анизотропность среды, широкий спектр физико-механических характеристик, преднапряженность, наличие совокупностей неоднородностей и т.д.

В настоящее время при решении задач для сред, обладающих различными свойствами, широко используются конечно-элементные подходы [261]. Существует целый набор зарубежных комплексов. Ряд теоретических результатов по конечно-элементным аппроксимациям изложен в монографии В.Н. Апановича [14]. Эти методы хорошо зарекомендовали себя в задачах изотропной теории упругости, были построены различные типы конечных элементов [296], в многочисленных публикациях метод конечных элементов (МКЭ) получил развитие для новых типов краевых задач, учитывающих разнородность сред и действие различных физических полей (электроупругие, термоэлектроупругие материалы, пьезоэлектрики и т.д.) [64, 65, 181, 188, 264, 265, 269, 273, 276, 295]. Созданию новых технологий МКЭ посвящена работа [73]. Однако для более сложных сред в задачах генерации установившихся гармонических колебаний метод конечных элементов неэффективен ввиду неограниченности области, охваченной возмущением.

Моделированию динамических процессов в упругих ограниченных и полуограниченных телах, содержащих неоднородности, посвящено большое количество работ, обзоры которых приведены в [209, 214, 242, 256, 272]. В работах В.М. Александрова, В.А. Бабешко, А.О. Ватульяна, Е.В. Глушкова, Н.В. Глушковой, Р.В. Гольдштейна, А.Н. Гузя, И.М. Дунаева, В.В. Михаськива, Н.Ф. Морозова, Ю.Н. Подильчука, Г.Я. Попова, О.Д. Пряхиной, М.Г. Селезнева, Б.И. Сметанина, A.B. Смирновой, Г.П. Черепанова и других авторов описаны результаты исследований применительно к различным упругим и пластическим материалам в широком диапазоне постановок задач. Так, в [103, 104, 105, 106] изучаются проблемы дифракции волн на трещине, в

9, 110, 123, 174, 175] исследуются механизмы распространения дефектов и процессы, приводящие к разрушению. В ряде работ, например [111, 120], задачи для тел с трещиной рассматриваются с учетом контактного взаимодействия берегов.

Разнообразие постановок задач для сред с неоднородностями определяет широкий круг методов, применяемых для их решения. Большое число работ посвящено численному решению названных задач [262, 267, 270, 278, 279, 283, 299].

В большинстве публикаций рассматривается динамика одной неоднородности, что не позволяет обнаружить особенности, свойственные их совокупности.

При воздействии внешних сил на неоднородности литосферной плиты могут активизироваться процессы, приводящие к появлению зон разуплотнения (дилатансных зон). Зарождение и развитие зон дилатансии можно связывать с активизацией «вирусов» вибропрочности - совокупностей неоднородностей различной природы (трещин и включений), описанных в работах [26, 17, 18, 24, 25]. На сегодняшний день академиком A.C. Алексеевым и его учениками установлено, что зарождение и развитие локальных дилатансных структур имеет место на этапе подготовки сейсмических событий в упругих средах.

Локальные изменения сейсмической активности, наблюдаемые в тектонически опасных регионах, указывают на то, что в условиях глобального взаимодействия литосферных плит в слоисто-блоковой геофизической среде имеют место явления, связанные с возникновением резонансных взаимодействий, обусловленных как медленными деформационными процессами, так и групповым взаимодействием деформационных волн разгрузки, распространяющихся из очагов произошедших землетрясений и активизирующих области, резонансные свойства которых способствуют возникновению новых очагов.

Свойство совокупности дефектов при определенных условиях локализовывать волновой процесс в своей окрестности лежит в основе открытия В.А. Бабешко, И.И. Воровича, И.Ф. Образцова «Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями» [50]. Работы [17, 24-26, 30, 31, 95] содержат теоретическое обоснование явления локализации волнового процесса.

Использование механически и математически строгой теории «вирусов» вибропрочности, систематизация типов неоднородностей, локализующих волновой процесс, вызывая рост деформаций в ограниченной области, позволяет перейти к исследованию моделей, более точно учитывающих свойства геологической среды, и определить условия, при которых происходит локализация волнового процесса. Для «вирусов» различных классов такие условия в виде теорем сформулированы в [17, 24, 25], для систем дефектов различного строения в работах [31, 49, 58, 220, 221, 223, 225, 226] проведено исследование условий локализации.

Традиционные численно-аналитические и численные методы анализа зачастую становятся неэффективными при исследовании динамических задач для сред с дефектами, даже в случае небольшого числа дефектов, поскольку напряженно-деформированное состояние механических систем такого рода зависит от многих параметров. При возрастании частоты колебаний и в протяженных областях многие из методов вовсе неприменимы.

Одним из перспективных направлений является использование методики граничных интегральных уравнений (ГИУ) и опирающегося на нее метода граничных элементов (МГЭ). В основе данной группы методов лежит сведение исходных задач к системам двумерных интегральных (операторных) уравнений первого и второго рода, при этом используются различные подходы. Один из подходов для операторов теории упругости и термоупругости отражен в работах [11, 157-159]. Граничные уравнения для моделей линейной электроупругости даны в [209, 253], разработка конечно-элементных аппроксимаций к такого рода задачам проведена в [287].

Теоретические основы построения фундаментальных решений для операторов в частных производных содержатся в работах [155, 164], в [285, 289-291] использованы известные представления функций Грина.

В работах [18, 51] были построены системы ГИУ первого рода с гладкими ядрами для задач изотропной теории упругости, дальнейшее развитие применение ГИУ с гладкими ядрами получило в работах [74—76]. Кроме того, определенные успехи применения метода ГИУ и основанного на нем МГЭ отражены в [66, 70, 148, 149, 166, 250, 282, 286, 294, 298, 299].

Однако усложнение формы области и наличие множественных неоднородностей существенно затрудняет применение указанных методов. Кроме того, вследствие установленной в [24] неединственности решения динамических задач для сред, содержащих совокупность неоднородностей, при некоторых параметрах применение указанных методов следует контролировать аналитическими методами.

Использование широко распространенного в настоящее время МКЭ применительно к решению указанного класса задач представляется эффективным лишь при исследовании задач о нестационарном воздействии на многослойную структуру при относительно малом времени наблюдения. Увеличение последнего приводит к существенному увеличению размеров области, подлежащей разбиению, что увеличивает время счета и снижает его точность [170].

Землетрясение — это разрушение литосферной плиты, происходящее с высвобождением накопившейся в ней упругой энергии. Сейсмический режим как следствие деформационных процессов формируется, как уже было сказано, под действием сил различной природы: тепловой конвекции, гравитации, инерции, приливных воздействий и т.д.

Изучение каждого из указанных явлений представляет собой отдельное, достаточно емкое исследование. Даже краткое описание проблемы показывает, что существует острая необходимость совершенствования прогностических методов геофизических катастроф. Последнее неразрывно связано с развитием имеющихся и разработкой новых физико-математических методов исследования краевых задач механики деформируемого твердого тела для сред сложного строения.

Практически важным объектом изучения является верхняя часть земной коры, где сосредоточена деятельность человека. Особое внимание в настоящее время уделяется воздействию на земную кору техногенных источников, например, слабых, но продолжительных по времени механических вибраций (автомобильные и железные дороги, промышленные комплексы), способных приводить к резонансным явлениям на некоторых элементах земной коры [2]. Настоящая работа посвящена изучению влияния поверхностных воздействий на напряженно-деформированное состояние геологической среды и связана с оценкой концентраций напряжений, возникающих в литосферных плитах, с учетом блочного строения последних и наличия межблоковых нарушений сплошности (трещин, включений), которые определяют в целом деформационные свойства и устойчивость к внешним воздействиям слагающих плиты массивов.

Актуальность проведенных исследований определяется необходимостью создания теоретических основ сейсмодеформационного мониторинга и методов обработки данных, ориентированных на прогнозирование катастрофических природных и техногенных явлений. Не решенная на сегодняшний день проблема прогноза землетрясений требует разработки математического аппарата исследования ключевых механизмов развития сейсмических явлений.

Самостоятельный интерес представляет развитие принципиально новых механико-математических методов диагностики напряженного состояния сложных структур, находящихся в условиях динамических воздействий.

Целью исследования является:

- математическое моделирование динамики литосферных плит в результате воздействия поверхностных факторов;

- изучение напряженно-деформированного состояния литосферных плит, обусловленного воздействиями различного типа на поверхность Земли;

- разработка математического аппарата, основанного на идеях факторизации, для исследования деформационных процессов, позволяющего учитывать сложное строение среды (слоисто-блочную структуру, наличие внутренних концентраторов напряжений и покрытий);

- выявление закономерностей, связанных с поведением литосферных плит различного строения.

Достижение поставленной цели осуществлялось путем решения следующих задач:

- моделирование динамического поведения сред с учетом их блочного строения;

- моделирование динамических процессов в слоистых средах при наличии множественных дефектов типа плоских жестких включений и трещин, ориентированных параллельно плоскостям раздела слоев;

- моделирование динамических процессов в упругих средах при наличии покрытия;

- развитие математических методов исследования краевых задач, возникающих при моделировании динамических процессов в средах сложного строения;

- применение развитых факторизационных методов к решению задач для слоисто-структурированных сред при наличии дефектов на границах структурных элементов;

- применение факторизационных методов к исследованию процессов формирования покрытий за счет осаждения субстанций на подложку;

- развитие метода фиктивного поглощения решения интегральных уравнений динамических контактных задач.

Научную новизну составляют следующие результаты, полученные автором:

- математический аппарат, включающий в совокупности теорию «вирусов» вибропрочности, дифференциальный метод факторизации, интегральный метод факторизации, метод блочного элемента, впервые применен к исследованию и решению задач механики деформируемого твердого тела для многослойных сред с множественными неоднородностями и оболочек, испытывающих динамические воздействия;

- предложен новый аналитический метод построения систем интегральных уравнений динамических задач для слоистых и блочных упругих сред с учетом включений и расслоений на контактных границах;

- получены матрично-функциональные соотношения для различных сред, служащие основой для построения систем интегральных уравнений исследуемых задач;

- эффективный метод решения интегральных уравнений динамических контактных задач - метод фиктивного поглощения обобщен на случай невыпуклых в плане областей контакта;

- построены аналитические представления решений краевых задач для блочно-структурированной среды.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием адекватных моделей и строгих математических методов решения, сравнением результатов решения простых задач с полученными иными методами, а также сравнением с результатами, полученными другими авторами.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения.

Результаты исследования были использованы при реализации проектов, поддержанных научными фондами, с участием диссертанта в качестве исполнителя:

- Американский фонд гражданских исследований- и- развития для независимых государств бывшего Советского Союза, грант Б1ЕС-004, 1999-2002;

- Российский фонд фундаментальных исследований, грант «Разработка теоретических основ оптимального вибровоздействия на трещиносодержащие зоны», проект № 99-01-00787, 1999-2001;

Российский фонд фундаментальных исследований; Администрация Краснодарского края, грант «Экологическая оценка вибрационного воздействия на окружающую среду и промышленные объекты ответственного назначения», проект № 00-0Г-96007-рюг, 2000—2002; Российский фонд фундаментальных исследований, Администрация Краснодарского края, грант «Исследование возможностей новых физических явлений для целей рыхления и уплотнения грунтов», проект № 00-01 -96024-рюг, 2000-2002;

Российский фонд фундаментальных исследований, Администрация Краснодарского края, грант «Исследование проблемы наращивания суши в акваториях со сложными течениями», проект № 03-01-96519-рюг, 2003-2005;

Российский фонд фундаментальных исследований, Администрация Краснодарского края, грант «Исследование модели литосферной плиты с учетом преднапряженности, термо и пьезоэффектов», проект № 03-01-96537-рюг, 2003-2005;

Российский фонд фундаментальных исследований, Администрация Краснодарского края, грант «Динамика неоднородных элементов конструкций при локальных и импульсных воздействиях в терморадиационных полях», проект № 03-01-96658-рюг, 2003-2005; Российский фонд фундаментальных исследований, грант «Разработки критериев разрушения тел с совокупностями трещин», проект № 03-01-00694, 2003-2005;

Российский фонд фундаментальных исследований, грант «Исследование напряженности протяженных объектов с неоднородностями сложной геометрии», проект № 05-01-00902,2005-2007;

Российский фонд фундаментальных исследований, грант «Исследование внутренних деформаций и напряжений в материалах блочного строения», проект № 06-01-00295, 2006-2008;

Российский фонд фундаментальных исследований, грант «Исследование конструкционных материалов с дефектами сложной формы», проект № 06-01-08017, 2006-2008;

Российский фонд фундаментальных исследований, Администрация Краснодарского края, грант «Создание комплексных математических моделей оценки состояния окружающей среды Краснодарского края», проект № 06-01 -96805-рюг, 2006-2007;

Российский фонд фундаментальных исследований, грант «Исследование прочностных свойств материалов с покрытиями в условиях воздействия комплексом внешних полей», проект № 06-08-00671, 2006-2008; Российский фонд фундаментальных исследований, Администрация Краснодарского края, грант «Исследование смешанных задач для неклассических линейно-деформируемых тел дифференциальным методом факторизации», проект № 06-01-9663 7-рюг, 2006-2008; Российский фонд фундаментальных исследований, Администрация, Краснодарского края, грант «Исследование конструкционных материалов с дефектами сложной формы», проект № 06-01-08017-рюг, . 2006-2008;

Российский фонд фундаментальных исследований, грант «Исследование конструкционных материалов с дефектами сложной формы», проект № 08-01-99013,2008-2009;

Российский фонд фундаментальных исследований, грант «Развитие теории и методов исследования опасных природных явлений в прибрежных и горных районах с интенсивной застройкой», проект № 08-08-00669а, 2008-2010;

Российский фонд фундаментальных исследований, Администрация Краснодарского края, грант «Развитие математической теории конструирования новых композиционных материалов, меняющих свои свойства при воздействиях внешних физических полей и в условиях фрикционного взаимодействия», проект № 09-01-96503-рюга, 2009-2011;

- Российский фонд фундаментальных исследований, грант «Исследование дифференциальным методом факторизации нестационарных процессов в деформируемых разноразмерных блочных структурах», проект № 09-08-00170а, 2009-2011;

- Российский фонд фундаментальных исследований, грант «Исследование напряженно-деформируемого состояния застраиваемых территорий при воздействиях сейсмической и техногенной природы», проект № 09-08-00294а, 2009-2011.

Результаты исследований вошли в отчеты по ряду проектов, поддержанных грантами РФФИ, выполняемых под руководством диссертанта:

- Российский фонд фундаментальных исследований, Администрация Краснодарского края, грант «Разработка и адаптация метода факторизации к использованию в ГИС-технологиях», проект № 06-01 -96802-рюг, 2006-2007;

- Российский фонд фундаментальных исследований, Администрация Краснодарского края, грант «Исследование напряженно-деформированного состояния литосферных плит, обусловленного воздействием гравитационных полей и вращением Земли», проект № 06-01-96638-рюг, 2006-2008;

- Российский фонд фундаментальных исследований, грант «Разработка теории и методов исследования дифференциальных и интегральных уравнений в блочных структурах и построение прикладных приближенных методов решений для ГИС», проект № 08-01-99016, 2008-2009;

- Российский фонд фундаментальных исследований, грант «Исследование напряженно-деформированного состояния блочной структуры, сформированной разломами в литосферной плите на территории Краснодарского края», проект № 10-08-00289,2010-2012.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе представлено одно из возможных решений важной научно-технической проблемы создания математических моделей слоистых и блочных упругих сред с учетом включений и расслоений на контактных границах и разработки эффективных методов построения и решения систем уравнений, описывающих поведение таких сред под действием поверхностных нагрузок.

Предложен подход, позволяющий провести исследование параметров напряженно-деформированного состояния литосферных плит с учетом внутреннего строения и воздействия поверхностных факторов.

Основными результатами являются:

- математические модели динамики блочно-структурированной литосферной плиты с учетом наличия множественных внутренних концентраторов напряжений;

-развитие дифференциального метода факторизации для исследования л напряженно-деформированного состояния литосферных плит как деформируемых объектов сложного строения;

- метод построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений, возникающих при исследовании слоистых материалов с покрытиями и неоднородностями (дефектами) типа плоских жестких включений и трещин, ориентированных параллельно плоскостям раздела слоев;

- новые функционально-матричные соотношения, связывающие основные динамические характеристики изучаемых моделей;

-обобщение метода фиктивного поглощения решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений динамических задач теории упругости для случая односвязных областей произвольной конфигурации;

-методы исследования формирования покрытий за счет осаждения субстанций на подложку.

В ходе проведенного диссертационного исследования:

- разработанный ранее для отдельного выпуклого изотропного тела алгоритм дифференциального метода факторизации обобщен на случай блочных структур, одним из вариантов которых являются слоистые;

- получил дальнейшее развитие метод блочного элемента, применяемый для исследования напряженно-деформированного состояния изотропного линейно-упругого тела. Рассмотрены примеры ограниченного (в виде прямоугольного параллелепипеда) и полуограниченного блочных элементов, вводимых из-за сложности анализа полученных систем интегральных уравнений для блоков произвольной формы;

- на основе предложенных моделей и разработанных методов построены аналитические представления приближенных решений краевых задач для блочно-структурированной среды;

- на базе метода факторизации для различных моделей слоисто-структурированных сред с разрывными условиями на границах структурных элементов построены матрицы-символы Грина;

- предложен способ факторизации матриц с полиномиальными элементами;

-предложена модификация метода фиктивного поглощения решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений динамических контактных задач в части выбора используемых систем вспомогательных функций;

- рассмотрены примеры построения решений ряда задач для уравнений, характеризующихся различным поведением символов ядер.

Представленные модели и разработанные методы расширяют возможности изучения процессов деформации в слоисто- и блочно-структурированных средах. С их использованием могут исследоваться конкретные задачи сейсмологии прикладного характера, а также задачи диагностики напряженного состояния сложных структур, находящихся в условиях динамических воздействий.

Результаты диссертационных исследований использованы в четырех свидетельствах об официальной регистрации созданных программ в Реестре программ для ЭВМ Российской Федерации.

Диссертационная работа выполнялась в Кубанском государственном университете в рамках ряда государственных научно-технических программ, в числе которых:

- Федеральная целевая комплексная программа «Интеграция науки и высшего образования России 2002-2006 гг.», проект № А0017;

- Программа Президента РФ «Развитие научного потенциала ВШ», грант НШ-2107.2003.1;

- Программа Президента РФ «Фундаментальные проблемы механики твердого деформируемого тела», грант НШ-4839.2006.1;

- Программа Президента РФ «Фундаментальные проблемы механики и сейсмологии», грант НШ-2298-2008.1;

- Программа Президента РФ «Разработка теоретических основ и прикладных методов применения блочных элементов для дефектоскопии материалов и конструкций сложного строения с зонами недоступности», грант НШ-3765.2010.1

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: ИЛ, 1962. 208 с.

2. Адушкин В.В. Актуальные проблемы геомеханики земной коры // Вестник ОГГГН РАН. 2001. № 1(16). URL: http://www.scgis.ru/russian/cpl251/ hdgggms/l-2001/adushkin.htm#begin (дата обращения: 17.12.2009).

3. Адушкин В.В., Трунтагв С.Б. Техногенные процессы в земной коре (опасности и катастрофы). М.: ИНЭК, 2005. 252 с.

4. Айзенберг JI.A., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979. 368 с.

5. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология. Теория и методы: в 2 т. М.: Мир, 1983. 876 с.

6. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 487 с.

7. Александров В.М., Пожарский Д.А. К задаче о трещине на границе раздела упругих полосы и полуплоскости // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 1. С. 86-93.

8. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. М.: Машиностроение, 1986. 176 с.

9. Александров В.М., Сметании Б.И., Соболь В.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука, 1993. 224 с.

10. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в* приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991. 352 с.

11. Андрейкив А.Е. Пространственные задачи теории трещин. Киев: Наукова думка, 1982. 345 с.

12. Аннин Б.Д. Механика деформирования и оптимальное проектирование слоистых тел. Новосибирск: Изд-во Института гидродинамики, 2005. 204 с.

13. Апаноеич В.Н. Метод внешних конечноэлементных аппроксимаций. Минск: Вышэйшашк., 1991. 170 с.

14. Арутюнян Н.Х., Манжирое A.B. Контактные задачи теории ползучести. Ереван: HAH, 1999. 320 с.

15. Бабешко В.А. Высокочастотный резонанс массивного штампа // Докл. АН СССР. 1989. Т. 306, № 6. С. 1328-1333.

16. Бабешко В.А. Динамика сред при наличии совокупности неоднородностей или дефектов и теория вирусов вибропрочности // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 1998. № 1. С. 24-26.

17. Бабешко В.А. К проблеме исследования динамических свойств трещиноватых тел // Докл. АН СССР. 1989. Т. 304, № 2. С. 318-321.

18. Бабешко В.А. К теории смешанных задач в произвольных областях // Докл. АН СССР. 1988. Т. 302, № 4. С. 552-556.

19. Бабешко В.А. Метод фиктивного поглощения в форме преобразования Фурье // Докл. АН СССР. 1995. Т. 345, № 4. С. 475-478.

20. Бабешко В.А. Новый метод решения краевых задач механики сплошной среды и математической физики для неклассических областей // Докл. АН СССР. 1984. Т. 284, № 1. С. 73-76.

21. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 265 с.

22. Бабешко В.А. О неединственности решений динамических смешанных задач для систем штампов // Докл. АН СССР. 1990. Т. 310, № 6. С. 1327-1330.

23. Бабешко В.А. Среды с неоднородностями (случай совокупности включений и трещин) // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 3. С. 5-9.

24. Бабешко В.А. Теория вирусов вибропрочности для совокупности включений //Изв. вузов. Сев.-Кавказ: регион. Естеств. науки. 2000. № 3. С. 21-23.

25. Бабешко В.А. Вирусы вибропрочности // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. 1994. № 1 (спец. вып.) С. 90-91.

26. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Интегральные преобразования и метод факторизации в краевых задачах // ДАН. 2005. Т. 403, № 6. С. 26-28.

27. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Исследование краевых задач двойной факторизацией // ДАН. 2005. Т. 403, № 1. С. 20-24.

28. Бабешко В.А., Бабешко О.М. К исследованию связанных краевых задач механики сплошных сред и математической физики // ДАН. 2005. Т. 400, №2. С. 192-196.

29. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации, в краевых задачах в неограниченных областях // ДАН. 2003. Т. 392, № 6. С. 767-770.

30. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в теории вирусов вибропрочности // ДАН. 2003. Т. 393, № 4. С. 473-477.

31. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации решения некоторых краевых задач // ДАН. 2003. Т. 389, № 2. С. 184-188.

32. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Обобщенная факторизация в краевых задачах в многосвязных областях // ДАН. 2003. Т. 392, № 2. С. 185-189.

33. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Об одной модели расчета концентрации напряжений в литосферных плитах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 2. С. 16-22.

34. Бабешко В.А., Бабешко О.М. О представлении решений в методе факторизации // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 1. С. 5-9.

35. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Формулы факторизации некоторых мероморфных матриц-функций // ДАН. 2004. Т. 399, № 1. С. 26-28.

36. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Дифференциальный метод факторизации в статических задачах // ДАН. 2008. Т. 423, № 6. С. 758-752.

37. Бабешко В. А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. К проблеме исследования материалов с покрытиями // ДАН. 2006. Т. 410, № 1. С. 49-52.

38. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. К проблеме оценки состояния материалов с покрытиями // ДАН. 2006. Т. 409, № 4. С. 481-485.

39. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. К теории блочного элемента // ДАН. 2009. Т. 427, № 2. С. 183-187.

40. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Об интегральном и дифференциальном методах факторизации // ДАН. 2006. Т. 410, № 2. С. 168-172.

41. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О блочном элементе в форме произвольной треугольной пирамиды // ДАН. 2009. Т. 429; № 6. С. 758-761.

42. Бабегико В. А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О дифференциальном методе факторизации в задачах для сплошных сред //' ДАН. 2008. Т. 421, № 1. С. 37-40.

43. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О проблеме блочных структур академика М.А. Садовского // ДАН. 2009. Т. 427, № 4. С. 480-485.

44. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Зарецкая М.В., Павлова A.B. Дифференциальный метод факторизации для блочной структуры // ДАН. 2009. Т. 424, № 1. С. 36-39.

45. Бабешко В.А., Белянкоеа Т.Н., Калинчук В.В. Метод фиктивного поглощения в задачах теории упругости для неоднородного полупространства // ПММ. 2002. Т. 66, вып. 2. С. 276-284.

46. Бабешко В.А., Бужан В.В., Вильяме Р. К проблеме локализации вибрационного процесса в упругом твердом теле совокупностью плоских жестких включений // ДАН. 2002. Т. 382, № 6. С. 765-767.

47. Бабешко В.А., Бужан В.В., Павлова A.B., Ратнер C.B. Упругое пространство с совокупностью неоднородностей // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2001. Спец. вып. С. 26-29.

48. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 3. С. 74-83.

49. Бабешко В. А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика-неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука; 1989. 344 с.

50. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Дифференциальный метод факторизации в блочных структурах и наноструктурах // ДАН. 2007. Т. 415, №5. С. 596-599.

51. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. О приложениях блочных элементов // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 3. С. 5-10.

52. Бабешко В.А., Калинчук В.В. Метод фиктивного поглощения в связанных смешанных задачах теории упругости и математической физики для слоисто-неоднородного полупространства // ПММ. 2002. № 66, вып. 2. С. 285-292.

53. Бабешко В.А., Павлова A.B. Некоторые соотношения для решений двумерных интегральных уравнений типа свертки смешанных задач. М., 1987. 18 с. Деп. в ВИНИТИ 18.08.87, № 6022-В87.

54. Бабешко В.А., Павлова A.B., Ратнер C.B. К задаче о вибрации^ упругого полупространства с совокупностью внутренних^ трещин // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2002. Вып. 3. С. 36-38.

55. Бабешко В.А., Павлова A.B., Ратнер C.B., Вильяме Р. Задача о вибрации упругого полупространства, содержащего систему внутренних полостей // ДАН. 2002. Т. 386, № 1. С. 43-45.

56. Бабешко В.А., Павлова A.B., Ратнер C.B., Вильяме Р. К решению задачи о вибрации упругого тела, содержащего систему внутренних полостей // ДАН. 2002. Т. 382, № 5. С. 625-628.

57. Бабешко О.М. Новый подход в оценке оседания веществ на разнотипные поверхности // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 1. С. 82-87.

58. Бабешко О.М., Зарецкая М.В. О моделировании переноса субстанции плюмов в плоско-параллельно движущейся среде // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. № 4. С. 21—24.

59. Белоконъ A.B., Еремеев В.А., Наседкин A.B., Соловьев А.Н: Блочные схемы метода конечных элементов для динамических задач акусто-электроупругости // ПММ. 2000. Т. 64, № 3. С. 381-393.

60. Белоконь A.B., Наседкин A.B., Соловьев А.Н. Новые схемы конечно-элементного динамического анализа пьезоэлектрических устройств // ПММ. 2002. Т. 66, № 3. С. 491-501.

61. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 496 с.

62. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М.: Мир, 1967.336 с.

63. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израшевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. М.: Высш. шк., 1980. 296 с.

64. Борисов Д.В., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Решение динамической задачи для трехслойной среды с включениями // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 2. С. 8-13.

65. Бреббия К., Телес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 526 с.

66. Бреховских Л.М., Годин O.A. Акустика слоистых сред. М.: Наука,, 1989.412 с.

67. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. 288 с.

68. Васильченко К.Е., Наседкин A.B., Соловьев А.Н. К расчету АХЧ задач об установившихся колебаниях на основе кластерных технологий в ACELAN//Вычислительные технологии. 2005. Т. 1, № 1. С. 10-20.

69. Ватулъян А.О. О граничных интегральных уравнениях 1-го рода в динамических задачах анизотропной теории упругости // ДАН. 1993. Т. 333, №3. С. 312-314.

70. Ватулъян А.О., Ковалев О.В., Соловьев А.Н. Новый метод ГИУ в краевых задачах для эллиптических операторов и его численная реализация // Вычислительные технологии. 2002. Т. 7, № 1. С. 54-65.

71. Ватулъян А.О., Соловьев А.Н. Новая формулировка граничных интегральных уравнений первого рода в электроупругости // ПММ. 1999. Т. 63, вып. 6. С. 1035-1043.

72. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. 288 с.

73. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1970. 379 с.

74. Викулин A.B. Физика волнового сейсмического процесса // Природа. 1992. №7. С. 11-19.

75. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. М.: Наука, 1991. 576 с.

76. Вильяме Р., Павлова A.B., Ратнер С.В. Исследование вирусов вибропрочности при моделировании геологических структур // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2003. № 1. С. 33-35.

77. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Об асимптотике решения краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1958. Т. 121, № 5. С. 778-781.

78. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Об эллиптических уравнениях, содержащих малые параметры при старших производных // Докл. АН СССР. 1957. Т. 113, № 4. С. 734-737.

79. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964. 412 с.

80. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

81. Волевич Л.Р., Егорова Ю.В., Панеях Б.П. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1967. 366 с.

82. Волевич Л.Р., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения II Успехи математических наук. 1965. Т. 20, вып. 1. С. 3-74.

83. Волъмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и, оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

84. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. 376 с.

85. Ворович ИИ. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245, № 5. С. 1076-1079.

86. Ворович И.И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245, № 4. С. 817-820.

87. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука; 1974. 456 с.

88. Ворович ИИ., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М., 1979. 320 с.

89. Ворович И.И, Бабешко В.А., Пряхина ОД. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 248 с.

90. Ворович И. И., Ворович Е.И., Пряхина О.Д. Изолированные резонансы при контактном взаимодействии // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 1995. № 2. С. 23-27.

91. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

92. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

93. Гелъфанд ИМ., Граев М.И., Вшенкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. М.: Наука, 1962. 656 с.

94. Гелъфанд ИМ., Граев М.И., Пятецкий-Шапиро И.И. Теория представлений и автоморфные функции. М.: Наука, 1966. 512 с.

95. Гетман ИИ, Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 1993. 114 с.

96. Глушкова Н.В., Глушков Е.В., Хофф Р. Сингулярность напряжений в многогранных угловых точках упругих разномодульных соединений // ДАН. 2000. Т. 370, № 2. С. 181-185.

97. Глушков- Е.В. Вибрация системы массивных штампов на линейно-деформируемом основании //ПММ. 1985. Т. 49, вып. 1. С. 142-147.

98. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Дифракция упругих волн на пространственных трещинах произвольной в плане формы // ПММ. 1996. Т. 60, вып. 2. С. 282-289.

99. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. К проверке существования явления высокочастотного резонанса в полуограниченных областях // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 3. С. 208-209.

100. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Резонансные частоты рассеяния упругих волн пространственными, трещинами // ПММ. 1998. Т. 62, вып. 5. С. 866-870.

101. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Ехлаков A.B. Математическая модель, ультразвуковой дефектоскопии пространственных трещин // ПММ. 2002. Т. 66, вып. 1.С. 147-146.

102. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Лапина О.Н. Дифракция нормальных мод в составных и ступенчатых упругих волноводах // ПММ. 1998. Т. 62, вып. 2. С. 297-303.

103. Головчан В.Т., Кубенко В.Д., Шулъга H.A., Гузъ А.Н., Гринченко В.Т. Пространственные задачи теории упругости и пластичности: в 6 т. Киев: Наукова думка, 1984-1986. Т. 5: Динамика упругих тел, 1986. 288 с.

104. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976.512 с.

105. Голъдштейн Р.В., Житников Ю.В. Деформация многослойной трещиноватой среды // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 6. С. 38-48.

106. Голъдштейн P.B., Перелъмутер М.Н. Трещина на границе соединения материалов со связями между берегами // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 1. С. 94-111.

107. Горшков A.F., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. М.: Наука, 1995. 352 с.

108. Горячева И.Г, Добычин И.Г. Контактные задачи в трибологии. М.: Машиностроение, 1988. 254 с.

109. Горячева И.Г, Фелъдштейн Н.В. Анализ влияния внутренней системы дефектов на напряженное состояние упругих тел // Изв. РАН. МТТ. 1996. №5. С. 55-61.

110. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой, с ядрами, зависящие от разности аргументов // Успехи математических наук. 1958. Т. 13, вып. 2. С. 3-72.

111. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. 352 с.

112. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение, 1980. 411 с.

113. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981. 284 с.

114. Гузъ А.Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. Киев: Наукова думка, 1986. 512 с.

115. Гузъ А.Н. О постановке задач динамической механики разрушений // Изв. вузов. Естеств. науки. 2000. № 3. С. 54-56.

116. Дзебисов Х.П. Интегральные представления и краевые задачи в многомерном комплексном анализе. М.: Наука, 2005. 256 с.

117. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. 544 с.

118. Дунаев И.М., Дунаев В.И. Энергетическое условие разрушения термоупругих твердых тел // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 6. С. 69-81.

119. Дъелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. М.: Наука; 1982. 424 с.

120. Евдокимова О.В. Дифференциальный метод факторизации в механике разрушения, материаловедении и сейсмологии // Экологический, вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. № 4. С. 32-42.

121. Евдокимова О.В. Дифференциальный метод факторизации в неоднородных и нестационарных задачах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2007. № 2. С. 51-55.

122. Евдокимова О.В. О факторизации матриц-функций, возникающих в проблеме прочности материалов сложного строения // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2007. № 2. С. 8-11.

123. Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Бабешко В.А. О дифференциальном методе факторизации в неоднородных задачах // ДАН. 2008. Т. 418, № 3. С. 321-323.

124. Евдокимова О.В., Зарецкая М.В., Павлова A.B., Бабешко О.М., Лозовой В.В., Бабешко В.А., Федоренко А.Г. О полуограниченных блочных элементах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 4. С. 14-19.

125. Ефимов Н.В. Введение в теорию внешних форм. М.: Наука, 1977. 88 с.

126. Жарий О.Ю., Улитко А.Ф. Введение в механику нестационарных колебаний и волн. Киев: Вища школа, 1989. 184 с.

127. Зарецкая M.B. Об одной модели переноса субстанции мантийных неоднородностей в астеносфере // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 3. С. 43-48.

128. Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1974. 400 с.

129. Индейцев Д.А., Кузнецов Н.Г., Мотыгин О.В., Мочалова Ю.А. Локализация линейных волн. СПб: Изд-во СПбГУ, 2007. 344 с.

130. Индейцев Д. А., Наумов В.Н., Семенов Б.Н. Динамические эффекты в материалах со сложной структурой // Изв. РАН. МТТ. 2007. № 5. С. 17-39.

131. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамика поверхности неоднородных сред. М.: Физматлит, 2009. 312 с.

132. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных тел. М.: Физматлит, 2002. 240 с.

133. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных электроупругих тел. М.: Физматлит, 2006. 272 с.

134. Канторович JI.B., Актов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742 с.

135. Канторович Л.В., Молчан Г.В., Вилъкович Е.В., Кейлис-Борок В.И. Статистическая модель сейсмичности и оценка основных сейсмических эффектов // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1970. № 5. С. 85-102.

136. Капустин М.С., Павлова A.B., Рубцов С.Е. Исследование напряженно-деформированного состояния многослойной плиты с позиций теории вирусов вибропрочности // Наука Кубани. 2007. № 3. С. 13-15.

137. Кардовский И.В., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Решение динамической задачи для трехслойной среды с трещинами // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2004. № 3. С. 38-43.

138. Карлович И.А. Геология. М.: Академический проект, 2002. 704 с.

139. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Электротермовязкоупругость. Киев: Наукова думка, 1988. 320 с.

140. КасахараК. Механика землетрясений. М.: Мир, 1985. 262 с.

141. Кит Г.С., Михасъкив В.В., Хай О.М. Анализ установившихся колебаний плоского абсолютно жесткого включения в трехмерном упругом слое методом граничных элементов // ПММ. 2002. Т. 66, вып. 5. С. 855-863.

142. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987. 311 с.

143. Космодамианский A.C., Сторожев В.И. Динамические задачи теории упругости анизотропных сред. Киев: Наукова думка, 1985. 176 с.

144. Костров Б.В. Механика очага тектонического землетрясения: М.: Наука, 1975. 176 с.

145. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов // Успехи математических наук. Т. 13, вып. 5(83). 1958. С. 3-120.

146. Кузнецов В.В. Физика горячей Земли. Новосибирск: Наука, 2000. 365 с.

147. Кузнецов В.В. Физика земных катастрофических явлений. Новосибирск: Наука, 1992. 96 с.

148. Кузнецов C.B. Построение тензора Грина и Неймана в теории упругости анизотропного тела // Прикладная математика и механика. 1991. Т. 27, № 7. С. 58-62.

149. Кузьмин Ю.О. Современные суперинтенсивные деформации земной поверхности в зонах платформенных разломов // Геологическое изучение и использование недр: Информ. сб. М.: Наука, 1996. Вып. 4. С. 43-53.

150. Купрадзе В Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Наука, 1963.472 с.

151. Купрадзе В Д. О приближенном решении задач- математической физики // Успехи математических наук. 1967. Т. 22, № 2. С. 59-107.

152. Купрадзе В Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвши М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. 603 с.

153. Лаврентьев М.А., Шабат, Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. 716 с.

154. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

155. Лаппо-Даншевский И.А. Теория функций от матриц и системы линейных дифференциальных уравнений. М.; Ленинград: ОНТИ, 1934. 144 с.

156. Литвинчук Г.С., Спитковский И.М. Факторизация матриц-функций. Одесса, 1984. 460 с. Деп. в ВИНИТИ 17.04.84, № 2410-84.

157. Лифшнц И.М., Розценцвейг Л.Н. О построении тензора Грина для основного уравнения теории упругости в случае неограниченной-упругости-анизотропной среды // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1947. Т. 17, вып. 9. С. 783-791.

158. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.

159. Мазья В.Г. Интегральные уравнения теории потенциала в областях с кусочно-гладкими границами // Успехи математических наук. 1981. Т. 38, № 4. С. 229-230.

160. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 319 с.

161. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973. 544 с.

162. Медведев C.B. Инженерная сейсмология. М.: ГОССТРОЙ СССР, 1962. 284 с.

163. Механика контактных взаимодействий / под ред. И.И. Воровича,

164. B.М. Александрова. М.: Физматлит, 2001. 672 с.

165. МилнорД., Уоллес Ф: Дифференциальная топология. М.: Мир, 1972.278 с.

166. Морозов В.В. О коммутативных матрицах // Учён. зап. Казан, гос. ун-та. Вып. 112, № 9. Казань: Казанский гос. ун-т, 1952. С. 17-20.

167. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 256 с.

168. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Динамическая вязкость разрушения в задачах инициирования роста трещин // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 6.1. C. 108-111.

169. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Проблемы динамики разрушения твердых тел. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997. 132 с.

170. Моссаковский В.И., Гудрамович B.C., Макеев Е.М. Контактные взаимодействия элементов оболочечных конструкций. Киев: Наукова думка, 1988. 288 с.

171. Моссаковский В.И., Качаловская НЕ., Голикова С.С. Контактные: задачи математической теории упругости. Киев: Наукова думка, 1985. 250 с.

172. Мусий P.C. Математическая постановка и методика решения пространственных задач электромагнитотермоупругости для сферических тел // Теоретическая и прикладная механика. 2003. № 37. С. 52-58.

173. Мусхелишвили H.H. Системы интегральных уравнений. М.: Физматлит, 1962. 600 с.

174. Назаров А.Г., Дарбинян С.С. Основы количественного определения интенсивности сильных землетрясений. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1974. 286 с.

175. Наседкин A.B., Скалиух A.C., Соловьев А.Н. Пакет ACELAN и конечно-элементное моделирование гидроакустических пьезопреобразова-телей // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. 2001. Спец. вып. Математическое моделирование. С. 122—125.

176. Нижник М.П., Павлова A.B., Рубцов С.Е. К решению одной^ задачи для упругого полупространства с жидким включением // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. № 2. С. 40-43.

177. Николаев A.B. Проблемы нелинейной сейсмики // Проблемы нелинейной сейсмики / под ред. A.B. Николаева, И.Н. Галкина. М.: Наука, 1987. С. 5-20.

178. Николаев A.B. Развитие нетрадиционных методов в геофизике // Физические основы сейсмического метода. М.: Наука, 1991. С. 5-17.

179. Нобл Б. Метод Винера Хопфа. М.: ИЛ, 1962. 280 с.

180. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970.256 с.

181. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. М.: Мир, 1986. 160 с.

182. Новиков С.П., Сакало В.И. Применение суперэлементов для решения задач МКЭ с использованием релаксационной схемы // Динамика, прочность и надежность транспортных машин: сб. науч. тр. Брянск: Брянский: гос. техн. ун-т, 2003. С. 43-48.

183. Павлова A.B. Метод фиктивного поглощения в решении динамических задач для произвольных областей контакта // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т. 9, вып. 3. С. 646-647.

184. Павлова A.B. Метод фиктивного поглощения в решении динамических задач теории упругости // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика: тр. I школы-семинара. Ростов н/Д, 2002. С. 36-44.

185. Павлова A.B., Колесников М.Н. К проблеме моделирования динамических процессов в средах с покрытиями // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 4. С. 41-47.

186. Павлова A.B., Ратнер C.B. Исследование вирусов вибропрочности' смешанного типа в упругих средах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. Приложение № 1. С. 64-69.

187. Павлова A.B., Ратнер C.B., Рубцов С.Е. К решению динамической задачи для упругого полупространства с трещиной // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 4. С. 14-17.

188. Павлова A.B., Рубцов С.Е. Динамические задачи для композитных материалов // Математическое моделирование и краевые задачи: тр. II Всерос, науч. конф. Самара, 2005. С. 228-231.

189. Павлова A.B., Рубг{ов С.Е. Интегральные уравнения динамических задач для полупространства с трещиной // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006. Т. 13, вып. 1. С. 131-132.

190. Павлова A.B., Рубцов С.Е. Исследование динамики композитных материалов с внутренними дефектами // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. Т. 12, вып. 2. С. 459-460.

191. Павлова A.B., Рубцов С.Е. Исследование динамических задач для пакета слоев с включениями // Математические методы в технике и технологиях: тр. XVIII Междунар. науч. конф. Казань, 2005. С. 187-190.

192. Павлова A.B., Рубцов С.Е. Исследование многослойных материалов при наличии нарушений сплошности соединений // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 3. С. 19-22.

193. Павлова A.B., Рубцов С.Е. К исследованию напряженно-деформированного состояния литосферных плит // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. Т. 14, вып. 1. С. 133-134.

194. Павлова A.B., Рубцов С.Е. К исследованию установившихся колебаний упругой среды с покрытием при наличии внутренних дефектов //

195. Современные проблемы механики сплошной среды: тр. XI. Междунар. науч. конф. Ростов н/Д, 2008. С. 149-151.

196. Павлова A.B., Рубцов С.Е. К решению динамических задач для-слоистого полупространства с дефектами // Наука технологии: тр. XXIV Рос. школы. М.: Изд-во РАН, 2004. С. 283-290.

197. Павлова A.B., Рубцов С.Е. К решению динамических задач для слоистых сред с разрывными граничными условиями на стыках слоев // Современные проблемы механики сплошной среды: тр. X Междунар. науч. конф. Ростов н/Д, 2006. Т. 1. С. 212-216.

198. Павлова A.B., Рубцов С.Е. О методе факторизации в решении задач для слоистых и блочных структур // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. Т. 15, вып. 2. С. 343-344.

199. Павлова A.B., Рубцов С.Е. Решение динамических задач для упругого полупространства с трещиной // Математическое моделирование и краевые задачи: тр. II Всерос. науч. конф. Самара, 2006. С. 157—160:

200. Павлова A.B., Телятников C.B. Об одном методе решения динамических задач о колебаниях упругого слоя, вызванных вибрацией берегов внутренней трещины. М., 1995. 21 с. Деп. в ВИНИТИ 07.02.95, № 354-В95.

201. Павлова A.B., Цыбулъников A.A. Метод факторизации в задачах распространения и осаждения субстанций // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. № 4. С. 17-21.

202. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1978. 444 с.

203. Партон В.З., Борисовский В.Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение, 1988. 240 с.

204. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 470 с.

205. Пелех Б.Л., Максимук A.B., Коровайчук И.М. Контактные задачи для слоистых элементов конструкций и тел с покрытиями. Киев: Наукова думка, 1988. 280 с.

206. Пененко В.В., Алоян А.Е. Модели и методы для задач охраны окружающей среды. Новосибирск: Наука, 1985. 254 с.

207. Петрашень Г.И., Молотков Л.А., Крауклис П.В. Волны в слоисто-однородных средах. Л.: Наука, 1982. 289 с.

208. Подильчук Ю.Н. Точные аналитические решения статических задач электроупругости и термоэлектроупругости трансверсально-изотропного тела в криволинейных системах координат // Прикладная механика. 2003. Т. 39, № 2. С. 14-54.

209. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 344 с.

210. Притчетт У. Получение надежных данных сейсморазведки^ М.: Мир, 1999. 450 с.

211. Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Аналитический метод решения динамических задач для слоистых сред с включениями // Изв. РАН. МТТ. 2005. № 2. С. 87-97.

212. Пряхина ОД., Смирнова A.B. Интегральные уравнения динамических задач для многослойных сред, содержащих систему трещин // ПММ. 2005. Т. 69, вып. 2. С. 345-351.

213. Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Интегральные уравнения динамических задач для слоистого полупространства, содержащего систему трещин // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 1. С. 37-42.

214. Пряхина ОД., Смирнова A.B. К иследованию волноводных свойств пакета упругих слоев с совокупностью жестких включений // Изв. РАН. МТТ. 2009. №3. С. 55-65.

215. Пряхина О.Д., Смирнова A.B. К исследованию динамики пакета упругих слоев с совокупностью жестких включений // ДАН. 2006. Т. 411, № 3. G. 330-333.

216. Пряхина ОД., Смирнова A.B. Построение матриц-символов Грина динамических смешанных задач для слоистых сред с неоднородностями // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2003. Спец. вып. Нелинейные проблемы механики сплошной среды. С. 279—284.

217. Пряхина ОД., Смирнова A.B. Построение определителей матриц-символов Грина многослойных сред с дефектами на основе теории вирусов вибропрочности // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. № 2. С. 44-53.

218. Пряхина ОД., Смирнова A.B. Решение динамических задач для слоистых термоэлектроупругих сред с дефектами // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2003. № 1. С. 68-77.

219. Пряхина ОД., Смирнова A.B. Свойства определителей; символов^ ядер интегральных уравнений, соответствующих простейшим вирусам вибропрочности // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 4. С. 18-25.

220. Пряхина ОД., Смирнова A.B. Эффективный метод решения динамических задач для слоистых сред с разрывными граничными условиями // Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68, вып. 3. С. 499-506.

221. Пряхина ОД., Смирнова A.B., Борисов Д.В., Мазин В.А: Свойства элементов и определителей матриц-символов динамических задач для многослойных сред с включениями // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2005. № 2. С. 40-43.

222. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Кардовский И.В., Мазин В.А. О свойствах матриц Грина динамических задач для многослойной среды стрещинами // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 4. С. 13-17.

223. Раис Дж. Механика очага землетрясения. М.: Мир, 1982. 216 с.

224. Ризниченко Ю.В. Проблемы сейсмологии. М.: Наука, 1985. 408 с.

225. Ризниченко Ю.В. Сейсморазведка слоистых сред. М.: Недра, 1985.184 с.

226. Родионов Н.В. Очерк геомеханики. М.: Научный мир, 1996. 64 с.

227. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. М.: Наука, 1977.488 с.

228. Саваренский Е.Ф. Сейсмические волны. М.: Недра, 1972. 292 с.

229. Садовский М.А. Естественная кусковатость горной породы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247, № 4. С. 829-831.

230. Садовский М.А. О распределении размеров твердых отдельностей // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269, № 1. С. 69-72.

231. Садовский М.А., Болховитинов Л.Г., Писаренко В.Ф. Деформирование геофизической среды и сейсмический процесс. М.: Наука, 1987. 104 с.

232. Садовский М.А., Красный Л.И. Блоковая тектоника литосферы // Докл. АН СССР. 1986. Т. 287, № 6. С. 1451-1454.

233. Саркисян B.C. Контактные задачи для полуплоскостей и полос с упругими накладками. Ереван: Изд-во Ереван, гос. ун-та, 1983. 260 с.

234. Сеймов В.М. Динамические контактные задачи. Киев: Наукова думка, 1976. 284 с.

235. Сеймов В.М., Трофимчук А.Н., Савицкий O.A. Колебания и волны в слоистых средах. Киев: Наукова думка, 1990. 224 с.

236. Селезнев М.Г., Собисевич А.Л. Современные методы механико-математического моделирования геофизической среды. М.: ГНИЦ Iii К (МФ) Минобразования России, 1986. 140 с.

237. СлепянЛ.И. Механика трещин. Ленинград: Судостроение, 1990. 296 с.

238. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: Изд-во иностр. лит., 1955.668 с.

239. Собисевич А.Л. Мониторинг слоистых неоднородных сред. М.: ОИФЗ РАН, 2001. 354 с.

240. Собисевич Л.Е., Собисевич А.Л. Волновые процессы и резонансы в геофизике. М.: ОИФЗ РАН, 2001. 299 с.

241. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. 804 с.

242. Титчмарш Е.С. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: Гостехиздат, 1948. 479 с.

243. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

244. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. М.: Мир, 1984: Т. 1. 360 с.

245. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1986.296 с.

246. Уланов В.И. Динамика земной коры Средней Азии и прогноз землетрясений. Ташкент: Изд-во ФАН, 1974. 216 с.

247. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. Киев: Наукова думка, 1979.261 с.

248. Филъштинский Л.А. Двумерные статические и динамические задачи теории упругости для тел с трещинами // Теория и расчет тонкостенных конструкций: Сб. ст. М., 1986. С. 107-117.

249. Филъштинский М.Л., Бардзокас Д. Метод граничных интегральных уравнений в проблемах дифракции электроупругих волн. Сумы: Изд-во Сумского гос. ун-та, 1999. 193 с.

250. Фиников СЛ. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.; Ленинград: ОГИЗ, 1948. 432 с.

251. Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1983. 296 с.

252. Чернов Ю.К. Сильные движения грунта и количественная оценка сейсмической опасности территории. Ташкент: Изд-во ФАН; 1989. 296 с.

253. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ: в 2 ч. М.: Наука, 1985. 4.2. 400 с.

254. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973.232 с.

255. Alexandrov V.M., Pozharskii D.A. Three-dimensional contact problems. Dortrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 2001. 406 p.

256. AllikH., Hughes T.J.R, Finite element method for piezoelectric vibration// Intern. J. for Numerical Methods in Engineering. 1970. Vol. 2, № 2. P. 151-157.

257. Antipov Y.A. Solution by quadratures of the problem of a cylindrical crack by the method of matrix factorization // INA J. Appl. Math. 2001. № 66., P. 591-619.

258. Antipov Y.A., Avila-Poroz O., Kolaczkowski S.T. Mathematical model of delamination crack on imperfect interfaces I I Intern. J. Solids Structures. 2001. № 38. P. 6665-6697.

259. Babuska /., Aziz A.K. On the Angle Condition in the Finite Element Method. SIAM // J. on Numerical Analysis. 1976. Vol. 13(2). P. 214-226.

260. Bazi F.L., Budyn E., Chessa J., Belytschko T. An extended finite elementmethod with higher-order elements for curved cracks // Computational Mechanics. *2003. Vol. 31. P. 38-48.

261. Ben-Menahem A., Singh S.J. Seismic waves and sources. New York: Springer-Verlag, 1981. 1108 p.

262. Bereial-Velez J.P., Antipov Y.A., Movchan A.V. High order symptotics and perturbation» problems for 3D interfacial cracks // J. Mech. Phys. Solids. 2005. №53. P. 1128-1162.

263. Brown S.R., Scholz C.H., Rundle J.B. A, simplified spring-blocks model of earthquakes // Geophys. Res. Lett. 1991. Vol. 18, № 2. P. 215-218.

264. Cavendish J.C., David A.F., William H.F. An approach to automatic three-dimensional finite element mesh generation // Intern. J. for Numerical Methods in Engineering. 1985. Vol. 21(2). P. 329-347.

265. Cheeseman B.A., Santare M.H. Termal residual stress and interphase effects on cracks inclusion interactions // Journal of Composite Materials. 2002. Vol. 36, № 5. P. 553-569.

266. Cheung Y.K., Jin W.G., Zienkewicz O.C. Solution of Helmholtz equation by Trefftz method // Intern. J. for Numerical Methods in Engineering. 1991. Vol. 32. P. 53-68.

267. Deeg W.F. The analysis of dislocation, cracks and inclusion problems in piezoelectric solids. PhD Thesis. Stanford University. 1980.

268. DeGiorgi KG. Computational evaluation of poling induced stress in a piezoelectric ceramic // Appl. Mech. Eng. 2000. Vol. 5(1). P. 89-100.

269. Ding E.J., Lu Y.N. Analytical treatment for a spring-blocks model // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 70; № 23. P. 3627-3630.

270. Dmowska R., Rice J.R. Fracture Theory and its seismological applications. Continuum theories in solid earth physics // PWN-Polish Scientific Publishers. Warsawa, 1986. P. 187-255.

271. Doherty J.P., Deeks A.J. Scaled boundary finite element analysis of nonhomogeneous axisymmetric domain subjected to general loading // J. Num. and Anal. Meth. Geomech. 2003. Vol. 27, № 10. P. 813-835.

272. Ewing W.M., Jardetzky W.S., Press F. Elastic waves in layered media. New York: Mc Graw-Hill Book Co., 1957. 380 p.

273. Feng Y.D., Wang Y.S., Zhang Z.M. Transient scattering of SH waves from an inclusion with a unilateral frictional contact intarface // Communications in Numerical Methods in Engineering. 2003. № 19. P. 25-36.

274. Feng Y.D., Wang Y.S., Zhang Z.M., Cui J.Z. Dynamic interaction of plane waves with a unilaterally frictionally constrained inclusion // Acta Mechanica Solida Sinica. 2003. № 16. P. 189-196.

275. Goryacheva I.G. Contact Mechanics in Tribology. Dortrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 1998. 360 p.

276. Graff K.F. Wave motion in elastic solids. Oxford: Clarendon Press, 1975. 666 p.

277. Gray L.J., Kaplan T., Richardson J.D., Paulino G.H. Green's functions and boundary integral analysis for exponentionally graded materials // Trans. ASME. J. 2003. № 4. P. 543-549.

278. Helsing J. Stress intensity factors for a crack in front on an inclusion // Engn. Fracture Mech. 1999. Vol. 64, № 2. P. 245-253.

279. Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu., Nolde E.V. Dynamics of thin walled elastic bodies. San Diego: Academic Press, 1998. 226 p.

280. Kobayashi S., Nishimura N. Green's tensors for elastic half-spaces: An application of boundary integral equation method // Mem. Faculty Eng. Kyoto Univ. 1980. Vol. 42. P. 228-241.

281. Krishnasamy G., Echmerr L.W., Rudolphi T.J., Rizzo F.J. Hypersingular boundary integral equation: Same applications in acoustic and elastic wave scattering // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1990. Vol. 57, № 2. P. 404-414.

282. Liexv K.M., Lim H.K., Tan M.J., He X.Q. Analysis of laminated composite beams and plates with piezoelectricpatches using the element-free Galerkin method // Computational Mechanics. 2002. Vol. 29. P. 486.

283. Musgrave M.J. Crystal acoustics. Introduction to the study of elastic waves and wibration in crystals. San Francisco: Holden-Day, 1970. 288 p.

284. Pan E. Three-dimension Green's functions in anisotropic elastic bimaterials with imperfect interfaces // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2003. Vol. 70, №2. P. 180-190.

285. Pan E. Three-dimension' Green's functions in anisotropic half-space with general boundary conditions // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2003. V. 70. № l.p. 101-110.

286. Pan E., Tonon F. Three-dimensional Green's function in anisotropic piezoelectric solids // Intern. J. Solids Struct. 2000. Vol. 37. P. 943-958.

287. Rawlins A.D., Williams W.E. Matrix Wiener — Hopf factorization // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1981. Vol. 34, № 1. p. 1-8.

288. Reid H.F. The elastic-rebound theory of earthquakes. University of California Publ. Geol. Sci. 1911. Vol. 18, № 2. P. 413-444.

289. Stephan E.P. Boundary integral equations for screen problems in R3 // Integral Equations Operator Theory. 1987. Vol. 10. P. 236-257.

290. Stone G.O. High-order finite elements for inhomogeneous acoustic guiding structures I I IEEE Trans, on Microwave Theory and Techn. 1973. Vol. MTT-21. P: 538-542.

291. Vorovich E.I., Vorovich /./., Pryakhina O.D. The numerical-analytical method of V-resonanse evaluation // Russian J. of Computation Mechanics. 1994. Vol. 1, № 4. P. 71-84.

292. Wilson R.B., Cruse T.A. Efficient implementation of anisotropic three dimensional boundary-integral equations. Stress analysis // Intern. J. for Numerical Methods in Engineering. 1978. Vol. 12. P. 1383-1397.

293. Zhang Ch., Achenbach J.D. A new boundary integral equation formulation for elastodynamic and elastostatic crack analysis // J. of Appl. Mechanics. 1989. Vol. 56, № 2. P. 284-290.