Исследование влияния разломов на напряженно-деформированное состояние литосферных плит

Колесников, Максим Николаевич

Исследование влияния разломов на напряженно-деформированное состояние литосферных плит тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Колесников, Максим Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Краснодар МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Исследование влияния разломов на напряженно-деформированное состояние литосферных плит»

Автореферат диссертации на тему "Исследование влияния разломов на напряженно-деформированное состояние литосферных плит"

На правах рукописи

Колесников Максим Николаевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ РАЗЛОМОВ НА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ЛИТОСФЕРНЫХ ПЛИТ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

7 НОЯ 2013

Краснодар 2013

005537635

Работа выполнена на кафедре математического моделирования ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»

Научный Бабешко Владимир Андреевич,

руководитель: академик РАН,

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные Калинчук Валерий Владимирович, оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, заместитель председателя по науке ЮНЦ РАН

Дунаев Владислав Игоревич,

доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры производства строительных конструкций и строительной механики, ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный технологический университет»

Ведущая НИИ механики и прикладной математики

организация: Южного федерального университета (г. Ростов-на-Дону)

Защита диссертации состоится 29 ноября в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 при ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет» по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет» по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149.

Автореферат разослан «¿5"» октября 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета #ПН/^ Зарецкая Марина Валерьевна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Создание теоретической базы и методов обработки данных наблюдений, направленных на прогнозирование землетрясений и техногенных катастроф, относится к фундаментальным задачам сейсмологии и геофизики.

Различными вопросами теории распространения сейсмических волн и моделирования сейсмических процессов в земной коре занимались В.В. Адушкин, К. Аки, A.C. Алексеев,

A.О. Глико, JI.B. Канторович, Б.В. Костров, В.В. Кузнецов, C.B. Медведев, A.B. Николаев, В.Ф. Писаренко, П. Ричарде,

B.Н. Родионов, У.Ф. Саваренский, М.А. Садовский, JI.E. Собисевич, A.JI. Собисевич, Ю.К. Чернов, A. Ben-Menahem, J.D. Byerlee, J.H. Dieterich, С. Marone, J.R. Rice, C.H. Scholz, а также другие ученые. В области сейсморазведки и методов исследования структуры верхней литосферы важные результаты получены Е.В. Гальпериным, Г.А. Гамбурцевым, Ю.В. Ризниченко.

В результате многолетних исследований создано множество различных моделей сейсмичности, разработаны теоретические и экспериментальные подходы к решению проблемы прогнозирования землетрясений. Однако эта проблема до сих пор остается нерешенной, что свидетельствует как о ее высокой сложности, так и о необходимости комплексного использования не только методов геофизики, но и смежных дисциплин -геохимии, физики атмосферы, механики деформируемого твердого тела.

Учеными Кубанского государственного университета и Южного научного центра РАН развивается метод применения механики деформируемого твердого тела для оценки напряженности литосферных плит и на этой основе оценки сейсмического состояния территорий. С точки зрения механики деформируемого твердого тела литосферные плиты могут моделироваться горизонтально протяженными или неограниченными трехмерными слоисто-блочными структурами, подвергающимися различного рода динамическим воздействиям. При этом подобная структура может содержать множественные

разломы, неоднородности, включения, иметь оболочки. Исследование задач для сред описанного вида требует использования методов механики контактных взаимодействий.

Исследованию контактных задач посвящены работы таких авторов, как В.М. Александров, Б.Д. Аннин, Н.Х. Арутюнян, В.А. Бабешко, В.Г. Баженов, A.B. Белоконь, А.К. Беляев, Н.М. Бородачев, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Б.М. Глинский, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, Р.В. Гольдштейн, А.Г. Горшков, И.Г. Горячева, В.Т. Гринченко, А.Н. Гузь, В.И. Дунаев, О.В. Евдокимова, В.И. Ерофеев, М.В. Зарецкая, В.В. Зозуля, JI.A. Игумнов, М.А. Ильгамов, Д.А. Индейцев, В.В. Калинчук,

B.И. Колесников, A.M. Кривцов, В.А. Крысько, В.Д. Купрадзе,

C.А. Лурье, A.B. Манжиров, В.П. Матвиенко, Н.Ф. Морозов, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, Н.И. Мусхелишвили,

A.B. Наседкин, В. Новацкий, В.В. Новожилов, A.B. Павлова,

B.В. Панасюк, Ю.В. Петров, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина, А.Ф. Резчиков, B.C. Саркисян, В.М. Сеймов, Б.И. Сметанин,

A.B. Смирнова, Т.В. Суворова, Д.В. Тарлаковский, Ю.А. Устинов, Я.С. Уфлянд, JI.A. Филынтинский, М.И. Чебаков, Г.П. Черепанов, Е.И. Шемякин, Ю.Г. Яновский, J.D. Achenbach, W.M. Ewing, D. Gross, W.S. Jardetzky, H. Jeffreys, M. Lowengrub, MJ.P. Musgrave, Ch. Zhang и др.

Развитием методов исследования краевых задач для уравнений математической физики, описывающих поведение и свойства деформируемых тел, занимались И.Н. Векуа, М.И. Вишик, B.C. Владимиров, И.И. Ворович, JT.B. Канторович, М.Г. Крейн, В.Д. Купрадзе, О.Н. Ладыженская, В.П. Маслов,

B.П. Матвиенко, С.Г. Михлин, В.П. Михайлов, Н.Ф. Морозов,

C.Л. Соболев, Е. Hopf, M. Nagumo, В. Noble, L. Nirenberg и многие другие ученые.

В масштабах Земли литосферные плиты могут рассматриваться как покрытия сравнительно малой толщины, в более мелкомасштабных моделях их можно моделировать горизонтально протяженными упругими телами с покрытиями.

Данные сейсмических наблюдений, полученные за последние десятилетия, показывают, что большинство очагов сильных землетрясений располагается вблизи глобальных

разломов литосферных плит, составляющих земную кору, однако сейсмические события происходят и в равнинно-платформенных областях. Следовательно, разломы относительно малой мощности также оказывают определенное влияние на общую картину сейсмических событий. Этот факт во многом обусловил повышение интереса исследователей к изучению структуры верхней части коры Земли и изменений ее напряженно-деформированного состояния.

Сегодня ведутся активные исследования и уже получены значительные результаты в рамках моделей, основанных на представлении о слоисто-блочном строении земной коры, обоснованном в работах М.А. Садовского. Позиция академика М.А. Садовского в значительной мере инициировала развитие нового подхода к исследованию актуальной проблемы нарастания сейсмичности и возникновения сейсмических событий. Этот подход состоит в поиске зон концентрации напряжений в структурах литосферы. Однако сложность строения и разнородность свойств литосферных плит, отсутствие сведений о характере их взаимодействия на разломах делают эту проблему весьма сложной для анализа традиционными методами. Наиболее перспективными в этих задачах оказались факторизационные методы, восходящие к работам Н. Винера и успешно развиваемые с привлечением современной математики в ряде российских научных центров. Разработкой факторизационных методов, математической теории блочных структур занимались ученые Кубанского государственного университета и Южного научного центра РАН, и на сегодняшний день основы их можно считать построенными.

Наличие разломов литосферных плит нередко пытаются выявить бурением. Следует отметить, что эта задача остро стоит в строительной отрасли. Однако такой способ носит локальный характер и может не дать достаточно надежных результатов. Развиваемый в диссертации подход основан на возможности использования для этих целей передвижных вибросейсмоисточников, производящих моносигналы на определенных частотах, принимаемые на различных расстояниях. Таким образом, по дефекту приходящего сигнала выявляется наличие разломов. В то же время немаловажен и вопрос о характере взаимодействия берегов разломов в зонах контакта - с трением, свободных, сцепленных и т.д.

Диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию динамики литосферных плит, содержащих разломы, путем достаточно достоверного, с учетом масштабов, моделирования их структур двумерными пластинами на трехмерной упругой подложке, разработке методов исследования напряженно-деформированного состояния описанных структур, изучению влияния на их динамику характеристик разломов и свойств элементов структуры.

Актуальность выполненной диссертационной работы определяется необходимостью: разработки надежных методов диагностики разломов и по возможности определения типов контакта литосферных структур в этих областях, развития механико-математического аппарата для исследования и решения проблем анализа и прогнозирования сейсмических событий, позволяющего учитывать сложное строение геологической среды.

Целью диссертационного исследования является:

- разработка факторизационного метода для исследования взаимодействия литосферных плит в области контакта на прямолинейном разломе, позволяющего преодолеть трудности традиционно применяемых методов;

- математическое моделирование динамики контактирующих литосферных плит, находящихся под действием поверхностной нагрузки;

- выявление закономерностей, связанных с влиянием разлома на напряженно-деформированное состояние контактирующих литосферных плит, а именно с влиянием таких факторов, как характеристики контактирующих плит, свойства подложки, характер взаимодействия литосферных плит на разломе.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

- решение задачи о колебаниях контактирующих по прямой пластин на поверхности упругой подложки;

- проведение расчетов и анализ полученных результатов при варьировании характеристик одной из пластин при различных условиях на стыке пластин;

- проведение расчетов и анализ полученных результатов при изменении свойств подложки при различных условиях на стыке пластин.

Методы исследования. Задачи, поставленные в работе, решались с использованием методов математического моделирования, дифференциального метода факторизации исследования краевых задач, методов приближенной факторизации функций.

Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечиваются использованием строгих математических методов и сравнением результатов, полученных автором, с уже известными, полученными другими методами.

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем:

- предложен новый эффективный метод исследования смешанных граничных задач описанного типа, позволяющий проводить анализ решений при различных условиях в области контакта для прямолинейных разломов, что вызывало существенные трудности при использовании других подходов;

- детально исследовано взаимодействие разнотипных литосферных плит, моделируемых пластинами Кирхгофа, расположенными на трехмерной подложке, и впервые получена информация о влиянии неоднородности структур, свойств подложки и характера взаимодействия плит на разломе на

волновое поле, формируемое под воздействием поверхностного источника;

- представлены результаты решения целого ряда частных задач, имеющих практическое значение.

Научное и практическое значение и реализация результатов, полученных в данной работе, состоят в следующем:

- сделанные выводы о влиянии характера разлома и свойств литосферных плит на развитие волнового процесса в геологической среде могут быть применены для исследования структуры разломов в верхней части земной коры;

- полученные научные результаты являются новыми и служат развитию математических методов исследования напряженно-деформированного состояния сред, имеющих сложное строение;

- результаты исследования и сделанные выводы о влиянии разнотипности литосферных плит, характера их взаимодействия и типа подложки могут использоваться в сейсмологии для анализа напряженно-деформированного состояния геологических структур, а также применяться для диагностики дефектов покрытий конструкционных материалов.

Диссертационная работа выполнялась в рамках проекта ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (соглашение № 14.В37.21.08690869 от 06.09.2012 г. по теме «Развитие метода блочных элементов для оценки резонансных свойств тел и конструкций сложного строения»). На практическую значимость исследований указывает также поддержка их грантами РФФИ: 13-01-00132_а, 13-01 -96503_р-юг-а, 13-01-96505_р-юг-а, 13-01-96508_р-юг-а.

На защиту выносятся:

1. Новый метод моделирования взаимодействия разнотипных литосферных плит с прямолинейными разломами при различном характере взаимодействий на берегах.

2. Новый факторизационный метод решения смешанных краевых задач для структур в виде пластин, граничащих по прямой, на трехмерной упругой подложке.

3. Результаты исследований влияния разнотипности моделируемых литосферных плит на их напряженно-деформированное состояние.

4. Результаты исследования влияния свойств подложки на картину волнового процесса.

5. Результаты исследований влияния характера взаимодействия литосферных плит на разломе на характеристики волнового поля.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на XLI Международной школе-конференции «Advanced Problems in Mechanics» (Санкт-Петербург, 2013 г.); ХП Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2008 г.); VI, VD, X всероссийских научных конференциях молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (Краснодар - Анапа, 2008, 2009, 2013 гг.); VII, VIH ежегодной научной конференции студентов и аспирантов базовых кафедр ЮНЦ РАН (Ростов-на-Дону, 2011-2012 гг.); Ш Всероссийской научно-практической конференции «Научное творчество XXI века» с международным участием (Красноярск, 2010 г.); ХХХХШ Всероссийском симпозиуме по механике и процессам управления (Миасс, 2012 г.); на заседаниях кафедры математического моделирования ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет».

Публикации. Основное содержание и результаты исследований, проделанных в рамках работы над диссертацией, отражены в 15 публикациях, в том числе 6 публикациях, вышедших в изданиях, рекомендованных ВАК для опубликования основных научных результатов диссертационных исследований на соискание ученой степени кандидата наук. В указанных публикациях основные идеи постановок задач и методы их исследования разрабатывались совместно с научным руководителем В.А. Бабешко и соавторами.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, списка использованных обозначений, 3 глав, заключения и списка использованной литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводится обзор исследований по проблемам анализа и прогнозирования землетрясений, обосновывается важность развития факторизационных методов и математической теории блочных структур для решения данной проблемы, формулируются цели и задачи диссертационной работы, ее научная новизна и практическая значимость.

В первой главе излагаются основные свойства и методы, используемые для решения поставленной задачи, приводится обзор сведений, дающих представление о месте диссертационной работы в рамках развития факторизационных методов и математической теории блочных структур, созданных в Кубанском государственном университете и Южном научном центре РАН.

В первом параграфе анализируются основные свойства факторизации функций и матриц-функций, рассматривается метод приближенной факторизации функций, а также приводятся некоторые сведения о практически значимых возможностях факторизации матриц-функций.

Во втором параграфе излагается алгоритм применения метода Винера-Хопфа для решения некоторых функциональных уравнений.

В третьем параграфе на примере краевой задачи общего вида дается алгоритм применения дифференциального метода факторизации.

псевдодифференциальные уравнения, полученные

топологическим методом и описывающие взаимосвязь напряжений и перемещений для разломов любой формы и кривизны, допускающие введение блочной структуры в широком спектре локальных систем координат.

Во второй главе обсуждается вопрос о поведении литосферных плит при наличии разломов прямолинейной формы. На практике чаще всего встречаются разломы, на большом протяжении имеющие именно такую форму. На рис. 1 представлены разломы на территории Краснодарского края, которые в большинстве своем являются прямолинейными.

Рис. 1. Тектонические разломы территории Краснодарского края

Применение для исследования поставленной задачи сложного математического аппарата, основанного на топологических методах первой главы, оказалось нецелесообразным. Поэтому в диссертации разработан новый факторизационный подход, более эффективный, чем технически громоздкий топологический, при исследовании граничной задачи с разломами при их прямолинейной геометрии. Этот подход не только необходим для получения достаточно простых выражений параметров решения задачи, но и полезен в качестве контрольного при тестировании решений, построенных топологическим методом для разломов сложной формы. Предложенным новым методом решена задача об установившихся колебаниях двух граничащих пластин, занимающих полуплоскости на поверхности упругой подложки, под воздействием поверхностной нагрузки, заданной в некоторой ограниченной области. В роли подложки может рассматриваться

либо упругая слоистая среда, либо винклеровская подстилающая поверхность. Декартова система координат (хи^г^з) вводится так, что ось хъ сонаправлена с внешней нормалью к поверхности среды, а ось х2 совпадает с границей раздела пластин.

Колебания пластин описываются системами дифференциальных уравнений

К±(5л:|,5дс2)и±(д:1,д:2)-Е^±(д:1,л:2)=Ь±(^1,х2), хеО±, (1)

где элементы матриц К±(5дг1,5дг2) имеют вид

+ + = =гг+2—; = я2,-3 = Я " = я]-1 = 0;

ох] ^дх,дх2

дх2 ох,

(

сТ „ Э4

-+ 2

8х1 дх{ дх2 дх2 у

±,4 »

коэффициенты е±) зависят от модулей Юнга, коэффициентов Пуассона, плотностей, толщин пластин и частоты колебаний; и± = {"±,1'м±,2'м±,з} - перемещения точек срединной поверхности; 10 0'

; §± = - контактные напряжения на

Е± -£'+5

0-10 V« о 1

нижней стороне пластин; Ь±=-£-±51±; ^ - нагрузки,

действующие на пластины сверху; х ^х^л^}; —

полуплоскости, занимаемые пластинами.

Для упругой подложки, не содержащей дефектов, имеют

место интегральные соотношения вида

00 00

и(х,,х2) = | ^Ц^- Х1^2- х2)^(х„х2)(1^(1^2, (2)

—00 —оо

где и {х1,х2) = {и1,и2,иъ} - вектор перемещений;

1 00

к(хрх2) =—2 11к(а1,а2)е щх,с?а1е~шлс?а2; а - контур в

^^ —со (7

комплексной плоскости а1, выбираемый в соответствии с принципом предельного поглощения; К(«,,«2) - матрица Грина упругой среды; 8(*,,*2) = {£,,£2>£з} - вектор напряжений на поверхности подложки. Вид матриц К(а„а2) для различных

типов слоистых подложек приводится в работах и монографиях И.И. Воровича, В.А. Бабешко, О.Д. Пряхиной, A.B. Смирновой, A.B. Павловой и других ученых. В случае подстилающей поверхности, введенной Винклером, перемещения u(^,a:2) пропорциональны напряжениям g(x,,x2), а матрица К(а,,а2) -диагональная с постоянными вещественными коэффициентами.

Пластины считаются жестко сцепленными с подложкой, что предполагает непрерывность векторов напряжений и перемещений на их границе

и± (*„*,) = u(x„x2), g±(*„x2) = g(*„*2), X6Q±. (3)

На стыке пластин, задаются граничные условия Ь1(0л:1,5л,2)и(+0,д:2) + Ь2(5д!-1,Зд;2)и(-0,дг2) = Г(л:2), -оо<х,<оо. (4)

Вид дифференциальных операторов \Jj{dxl,dx2), 7 = 1,2 и функции f(x2) определяется характером взаимодействия плит на стыке. Для каждой из пластин необходимо удовлетворить четырем граничным условиям, различные варианты которых приведены в работах A.C. Вольмира.

Далее описываются два подхода к решению поставленной задачи. В первом параграфе рассматривается подход, связанный с преобразованием дифференциального оператора.

Из систем (1), (2) и (3) в результате использования свойства преобразования Фурье свертки функций вытекает система интегро-дифференциальных уравнений вида 1 °°

R+(ÖAf1,fi*r2)—г f |к ( а,, ar2) G (а,, а2)ё~'"лdахе~'алda2 — 4/г J J

—X CT

-Е±8(ДГ1,ДГ2) = Ь±(Д:1,Л:2), xeQ±, (5)

где G = Vg; V - оператор двумерного преобразования Фурье.

Нормализация операторов систем (5) осуществляется с помощью выноса из них дифференциального оператора, = где Sjk - символ Кронекера;

Nl(dxx,dx1) = N2(dxrdx2) = A-l?; N,(ojci,ojc2) = (ä-/i2)(A-/22); 0<I1<12;

А - двумерный оператор Лапласа. Для этого к системам (5) применяется сначала преобразование Фурье V2 по переменной х2,

а затем оператор N 1{дх1,-1а2), где N (бх,,-¿а2) = V, N ((Эх,, ох2), в результате чего получаются следующие соотношения

N '(ox,,-/a2)

R+(dxl3-ia2)^- \K{ax,a1)G(aí,a2)e"Vida[-'£lg(xva2) ¿.я

= Ъ±0(х,,а2) + ^С^(а2)Ъ±^(х1,а2), ±^>0, а2вЯ. (6)

Здесь (ох,,-/а2) = У2К±(<3х,, йх,); 1 = в правых частях стоят убывающие на бесконечности в соответствующих полуплоскостях общие решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений ^ох,,-/«,^ (х,,а2) = Ь=(х,,а2), > 0, а2 е Я; Ь± = У2 Ь±.

Правые части систем (6) продолжаются на всю плоскость неизвестными вектор-функциями §т(*,,а2) соответственно. Затем к ним применяется преобразование Фурье V, по переменной хх, в результате получается система функциональных уравнений, после разрешения относительно трансформант Фурье напряжений, принимающая вид

G(orI,a2) = M^1(a1,a2) G(«„«2) = M¡'(a1,a2)

^(а,,a2) + Jc+J(a2)B+.(or1,+ а2)

>i 4

B_0(aí,a2) + YiC_j(a2)B_J(a1,a2) + S+(aí,a2)

J=1

ax ест, a2e R,

, (7)

где MV2 = N"'(-/«1,-/ar2)[R+/_(-íal,-/a2)K-E+/_];

N(-/«„-/«j) = V, N(5jCj,-/a2); R± (-ial,-ia2) = V, Rt (dx¡,-ia2);

±oo ±oo

К =± JM*1'<*2)е,ал(Ьс1; 7 = 0~4; s± =± Js^a^e'^dx,.

o o

Функции B+J, 7 = 0,4 и S+ регулярны выше контура а в комплексной плоскости a¡ при а2вЯ, а функции В , j = 0,4 и S_ - ниже контура а. Из соотношений (7) получается система функциональных уравнений относительно неизвестных S±, решаемая методом Винера-Хопфа

В+„ + 1С+,(а2)В+, + 8_=М В_0 + £С>2)В_,+8+ , (8) м V м

где М = . Основная сложность при решении системы (8) заключается в факторизации матрицы-функции М в виде произведения М = М^М" относительно контура а, после ее выполнения в результате ряда преобразований находятся неизвестные вектор-функции §±.

Путем внесения найденных выражений для §± в любое из соотношений (7), например в первое, получается выражение для трансформант Фурье напряжений на поверхности подложки. Соотношения (2) в преобразованиях Фурье принимают вид и = КС, где и = Уи, с их помощью получается выражение для трансформант Фурье перемещений на поверхности подложки

и=км-' В+0+£с+,(а2)В+

(9)

Здесь фигурными скобками со знаком «+» обозначается слагаемое, получаемое в результате факторизации выражения, стоящего в скобках, в виде суммы относительно контура а и регулярное выше контура а, со знаком «-» - ниже контура а. Факторизация вектор-функций в виде суммы осуществляется покомпонентно аналогично факторизации скалярных функций.

В представление (9) линейно входят восемь неизвестных функций С^(а2), 7 = 1,4. Чтобы воспользоваться граничными условиями (4) для их нахождения, к полученному представлению и(аг1,а2) применяется обратное преобразование Фурье V,"1 по параметру а,, а к граничным условиям (4) применяется преобразование Фурье У2 по переменной х2. Это приводит к линейной алгебраической системе относительно неизвестных коэффициентов С±^(а2), после разрешения которой,

окончательное решение рассматриваемой задачи находится

применением к полученному выражению й = V"' и обратного преобразования Фурье V"1 по параметру а2

и(д:1,л:2) = У2"1(л:2)[1Г(х1,£);2)], лг,*0, -оо<лг2<оо.

Во втором параграфе дается другой подход к решению поставленной задачи, названный методом собственных функций, более эффективный, чем приведенный в предыдущем параграфе. В отличие от традиционно используемых методов при исследовании задач описанного типа, связанных с выносом из интегрального уравнения некоторого дифференциального оператора, приводящим к появлению произвольных функций или констант в правой части, в диссертации разработан эффективный метод, значительно упрощающий получение корректного интегрального уравнения и удовлетворение граничным условиям.

Применением к системам (1) преобразования Фурье по переменной х2 получаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений

К±(5л:1,-/а;2)й±(дг1,ог2)-Е±1±(х1,аг2) = Ь±(х„а2), >0, а2ей, (10) где й± = У2 и±; ё± = У2 . Трансформанты Фурье общих решений систем (10), удовлетворяющих условиям ограниченности на бесконечности в соответствующих полуплоскостях и полученных с учетом принципа предельного поглощения, могут быть записаны в виде

и± (щ,а2) = {к±-1(-»аг1,-/а2)[Е±С± (ара2) + В± (а„а2)]}~ +

(«2)иЛ= «1 еа,а2е Я,

где и±=У!й±; С± = У,й, ; В± = V,Ь,; Х$1±(а1,аг) - преобразования Фурье однородных решений уравнения (10).

Для факторизации в виде суммы относительно контура а выражения в фигурных скобках применяется теория вычетов. Затем из полученных соотношений выражаются преобразования Фурье напряжений на нижних сторонах пластин

С+ =Е+ К±и± -Е± В± -Е±-,К±Хс±Да2)и^ +

+Е±-1К±Хк,,±"1[Е±С±(^±,а2) + В±(^±,«2)], а, еа, а2 ей. (11)

Здесь К.±-1(а„а2) = (а1-^±)"1Ке8К±-1(-/4:1,-/а2), q ;(а2) - нули

-4}

|к±(-/а1,-/а2)|, лежащие соответственно выше и ниже контура и.

Условия сопряжения пластин с подложкой (3) в преобразованиях Фурье принимают вид

и = и++и_, С = С++С_, а, ЕСТ, а2еЯ. (12)

Таким образом, из функциональных соотношений для подложки и(а1,а2) = К(а1,а2)С(а,,а2), выражений напряжений (11) и условий сопряжения (12) вытекает система функциональных уравнений относительно искомых трансформант Фурье перемещений И±(а1,а2), решаемая методом Винера-Хопфа

и+ + ми = <3„.,+<30,_ + +1[с+>2)<?,,+ +C_J(a2)QJ^QlG+{crJ,a2) + Ql_G_{q-,a2)]

где М = м,'~'М2; м|/2 = КЕ 'Я± -1; <20 + =

*1/2 " -1 .

I) = М, КЕ± ; = Б±к±иЛ±, = Факторизовав матрицу-функцию М в виде произведения М = М^М" относительно контура а по параметру а1 и умножив

последнюю систему на (м") ', следуя методу Винера-Хопфа, получаются выражения и±(аг,,а2), зависящие от неизвестных вектор-функций С±(д^(а2),а2} и произвольных функций С^(а2),

Чтобы исключить из полученных выражений неизвестные вектор-функции С±(^(а2),«2), 7 = 1,4, находятся выражения

и±(<7;±(а2),«2), 7 = 1,4 и подставляются соответственно в

выражения для С±(^(а2),а2), получаемые из соотношений (11).

Это приводит к линейной системе функциональных уравнений

относительно функций С±(дг(а2),а2), решив которую можно получить выражения и±(а,,а2), где неизвестными являются лишь произвольные функции С^(а2), 7 = 1,4

Значения произвольных функций С^(а2), 7 = 1,4 могут быть

найдены из граничных условий (4) так же, как и в рассмотренном методе. Окончательное решение рассматриваемой задачи получается применением к полученному выражению й± = V,"1 и± обратного преобразования Фурье V"1 по параметру а2: при х, >0 - к и + (х1,а2), при х, <0 - к й_(х1,а2)

В третьей главе разработанные методы применены для решения ряда конкретных задач. Рассмотрена задача о вертикальных колебаниях описанной структуры в плоском случае под действием сосредоточенной в точке ^ = > 0 нагрузки. В качестве подложки выбран упругий слой.

В первом параграфе решение осуществляется с помощью изложенного в первом параграфе второй главы метода, связанного с преобразованием дифференциального оператора.

Факторизация функции в виде произведения осуществлялась приближенно методом, изложенным в первой главе диссертации. Факторизация функций в виде сумм производилась с использованием теории вычетов. В результате получалось выражение приближенных значений трансформант Фурье перемещений.

Построенное с помощью обратного преобразования Фурье выражение для приближенных значений перемещений, содержащее произвольные коэффициенты, подставлялось в граничные условия различного вида для получения соответствующих окончательных решений.

Во втором параграфе решение осуществлялось методом собственных функций, изложенным во втором параграфе второй главы.

Факторизация функций в виде произведений и сумм в процессе решения осуществлялась теми же методами, что и в первом параграфе. Затем описанным способом находились

выражения неизвестных значений трансформант Фурье напряжений в соответствующих особых точках. К полученным в результате выражениям приближенных значений трансформант Фурье перемещений, в которых неизвестны только четыре произвольных коэффициента, применялось обратное преобразование Фурье.

Полученные в результате представления приближенных значений перемещений подставлялись в граничные условия различного вида для получения окончательных решений.

Результаты расчетов, полученные двумя представленными методами, совпали.

В третьем параграфе делаются выводы о влиянии типа контакта пластин на границе, характеристик пластин и свойств подложки на распространение сигнала, а также о возможностях применения полученных результатов для диагностики разломов.

Приводятся графики построенных решений. В качестве подложки выбран упругий слой, координата точечного источника на рис. 2 и 3 х° = 5.

/Л\

, /. /. \ л, /, /

-1D-' 7 \ V /-5 /

' ' \ X

/ \ 0.05-

чУ

V-O.OS

-0.1

лл о.1,

/Д\ / \п[к

А \

\л Л/\/ v\ ЛЛ Л''

у \ у V 1 , / Д \ / к

А \ Л Л > / А \ > Л

м \ /.Л . ; п / / \ \ / / \

\ V/ \°/ W у

\ А \ \ У / \ /ч/ \ / \ д /

ТГТ

- V , W

\ л

/ л \ АЛ и //\\ /л\ /

/ \ s / / ^ \/ 7д\г

чТ

v о

; \ ! \ tt05/

\ М

С У / Ш W

■ \ V /

V/ Л/ w

Рис. 2. График комплексных амплитуд колебаний: разлом между пластинами отсутствует; вверху - левая пластина жестче, внизу - правая

пластина жестче

0.15 0.1 0.05т \ Ч . / 4 ч у Г\ г1 /х\ м\ /

1(1_V ч, V- -0.10.150.1/ А \ / А\ / /\ \ 1 ' \/ 5 / ■ \ ' \ / /' \Р \ V 7 \ \ /15 I Ц 1 \ XX/ и/ и.. у...... ■ л л V \ / А А \ П А'А АЛ ; /\ \ / А /\ \ / А \ / /\ \ /

-ю! 1 « \ / / -а, \ / / \ \ /и V Ш \ХУ -ол- -0.15- \ V / \ч \*У/ ХУ >■ А1' \Л/ ЧЛУ ЧуС

Рис. 3. График комплексных амплитуд колебаний: на разломе выполняется равенство нулю сил и моментов; вверху - левая пластина жестче, внизу -правая пластина жестче

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В результате диссертационного исследования разработан новый факторизационный метод решения смешанных краевых задач для структур в виде пластин, граничащих по прямой, на трехмерной упругой подложке, позволяющий более эффективно по сравнению с традиционно применяемыми методами проводить анализ решений при различных условиях в области контакта. Разработанный метод был назван методом собственных функций.

2. На основе представленных факторизационных методов -метода, связанного с преобразованием дифференциального оператора, и метода собственных функций - разработаны алгоритмы их применения. Приведены результаты численной реализации разработанных алгоритмов для ряда задач, моделирующих динамику контактирующих литосферных плит, находящихся под действием поверхностной нагрузки. Результаты расчетов, полученные двумя представленными методами,

совпали, что свидетельствует об их достоверности, при этом очевидным оказалось преимущество нового метода.

3. Установлено, что разработанный метод может служить для получения контрольных данных при проверке результатов расчетов, полученных на основе технически более сложного топологического метода, используемого для более сложных конфигураций среды.

4. По результатам проведенных исследований выявлен характер распространения гармонического сигнала в описанной структуре для разнотипных и однотипных пластин при различных условиях контакта и свойствах подложки. Выявлены конфигурации прохождения гармонического сигнала непосредственно на разломе, которые могут служить индикатором типа разлома.

Список работ по теме диссертации, опубликованных в журналах, рекомендованных ВАК

1. Павлова, A.B., Колесников, М.Н. К проблеме моделирования динамических процессов в средах с покрытиями /

A.B. Павлова, М.Н. Колесников // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2009. - №4. - С. 41-47.

2. Колесников, М.Н., Павлова, A.B. Дифференциальный метод факторизации в исследовании динамики упругих сред с совокупностью дефектов / М.Н. Колесников, A.B. Павлова // Экологический вестник научных центров ЧЭС. — 2011. — №4. — С.36-44.

3. Метод блочного элемента для гладких границ /

B.А. Бабешко, М.Н. Колесников, Е.В. Катков, В.В. Лозовой, A.B. Плужник, И.С. Телятников, П.Б. Иванов, В.Л. Шестопалов, A.A. Шишкин // Экологический вестник научных центров ЧЭС. — 2012.-№4.-С. 5-9.

4. Об особенностях исследования оползневых структур на горизонтальном основании / В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, Е.М. Горшкова, О.В. Евдокимова, М.В. Зарецкая, М.Н. Колесников, A.B. Павлова, A.B. Плужник // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2012. - №3. - С. 5-11.

5. О поведении и резонансах некоторых блочных структур сейсмологии и материаловедения / В.А. Бабешко, Е.В. Кириллова, М.Н. Колесников, О.В. Евдокимова, О.М. Бабешко, И.С. Телятников, Д.В. Грищенко, В.В. Лозовой, A.B. Плужник, A.A. Шишкин // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2013. - № 1. - С. 6-12.

6. Развитие новых наукоемких методов мониторинга и прогноза состояния территорий в сейсмоопасных и оползнеопасных зонах / В.А. Бабешко, О.В. Евдокимова, И.В. Рядчиков, В.В. Лозовой, А.Г. Федоренко, М.Н. Колесников, И.С. Телятников, Д.В. Грищенко, A.A. Шишкин, С.Б. Уафа, М.С. Власова, М.В. Смирнова // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2013. - № 3. - С. 8-14.

Список работ по теме диссертации, опубликованных в других изданиях

7. Павлова, A.B., Колесников, М.Н., Гончаров, A.M. К динамическим смешанным задачам для упругих сред с покрытием / A.B. Павлова, М.Н. Колесников, A.M. Гончаров // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: материалы IV Всерос. науч. конф. молодых ученых и студентов. - Краснодар: Просвещение-Юг, 2008. - С. 109-111.

8. Павлова, A.B., Рубцов, С.Е., Колесников, М.Н. Исследование дисперсионных характеристик упругого полупространства с дефектами при наличии покрытия / A.B. Павлова, С.Е. Рубцов, М.Н. Колесников // Современные проблемы механики сплошной среды: материалы ХП Междунар. конф. - Ростов н/Д: ЦВВР, 2008. - С. 170-173.

9. Павлова, A.B., Колесников, М.Н. Задача об установившихся колебаниях пластины на поверхности полупространства с включением / A.B. Павлова, М.Н. Колесников // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: материалы V Всерос. науч. конф. молодых ученых и студентов. - Краснодар: Просвещение-Юг, 2009. - С. 228-231.

вводится для противодействия убывающей полезности потребляемой продовольственной продукции, а также эффект агротуристского рычага (6,7%), который имея корреляционную связь с двумя предыдущими показателями, отражает прирост рентабельности на предприятиях агротуристского бизнеса.

10. По данным расчетов, первая и вторая сегментные группы находятся в пределах рынка агротуристских услуг, верхней границей которого является показатель в 1500 рублей (минимальная цена предложения на туристском рынке), а третья группа (с высокими доходами) после корректировки по предельному коэффициенту эластичности выходит за пределы рынка агротуристских услуг. Другими словами, как минимум 9,2% туристов, (удельный вес 3 сегментной группы) выходят за обозначенные пределы, а, следовательно, около 2/3 всех потребителей остаются в границах рынка агротуристских услуг.

IV. ПЕРЕЧЕНЬ ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Здоров М.А., Здоров А.Б. Роль и место аграрного туризма в развитии сельских территорий РФ // Экономика, труд, управление в сельском хозяйстве, 2010. № 2(3). С. 5759 (0,4/0,3 п.л.) (перечень ВАК).

2. Здоров М.А., Здоров А.Б. Прогнозирование формирования и развития сельских туристских комплексов // Экономика, труд, управление в сельском хозяйстве, 2010. № 4(5). С. 48-51 (0,5/0,4 п.л.) (перечень ВАК).

3. Здоров М.А. Определение конъюнктуры агротуристского рынка России // Вестник национальной академии туризма, 2011. №17. С. 37-40 (0,5 п.л.) (перечень ВАК).

4. Здоров М.А. Концепция устойчивого развития аграрного туризма в структуре сельских территорий России // Научные труды вольного экономического общества, 2011. № 149. С. 132-140 (0,6 п.л.) (перечень ВАК).

5. Здоров М.А. Кластерный поход при разработке концептуальной модели развития аграрного туризма в Ленинградской области //Экономика, труд, управление в сельском хозяйстве, 2012. № 1(10). С. 90-93 (0,4 п.л.) (перечень ВАК).

6. Здоров М.А., Здоров А.Б. Методика создания агротуристской дестинации как необходимое условие формирования онтималыюй конъюнктуры рынка агротуристских услуг (на примере Ленинградской области) // Вестник РГТЭУ, 2012. № 9(68). С. 140-148 (0,55/0,45 п.л.) (перечень ВАК).

7. Здоров М.А., Здоров А.Б. Прогнозирование финансового обеспечения туристской деятельности в регионе // Материалы Международной научно-практической конференции «Туризм: наука и образование. Проблемы и перспективы развития туризма». - М.: РИП и Турист, 2007. С. 81-84. (0,5/0,4 п.л.).

8. Здоров М.А. Модель российского агротуризма // Материалы Международной научно-практической конференции «Туризм: наука и образование. Проблемы и перспективы развития туризма». - Химки: Издательство РМАТ, 2009. С. 85-90. (0,4 п.л.).

9. Здоров М.А. К вопросу о монистическом и плюралистическом толковании понятия «агротуризм» // Вестник РМАТ, 2011. № 2. С.77-80 (0,5 п.л.).

10. Здоров М.А. Концептуальная модель развития аграрного туризма в Ленинградской области // Материалы VI Международной научно-практической конференции «Туризм и рекреация: фундаментальные и прикладные исследования». - СПб.: РИП и Турист, 2011. С. 181-184 (0,5 п.л.).

11. Здоров М.А. Инвестиционное проектирование объектов этнического туризма в сельском (аграрном) туристском кластере Ленинградской области // Материалы международной научно-практической конференции «Туризм и культура в современном мире». -СПб.: Астерион, 2011. С. 182-189 (0,5 п.л.).

Колесников Максим Николаевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ РАЗЛОМОВ НА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ЛИТОСФЕРНЫХ ПЛИТ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 17.10.2013. Формат 60х84Угб. Печать цифровая. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ №1601.5

Издательско-полиграфический центр Кубанского государственного университета 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская,,149.

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Колесников, Максим Николаевич, Краснодар

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ РАЗЛОМОВ НА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

ЛИТОСФЕРНЫХ ПЛИТ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

04201365875

Колесников Максим Николаевич

Научный руководитель: академик РАН, доктор физико-математических наук,

профессор Бабешко В.А.

Краснодар 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................................3

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ.................................................................................13

1 МЕТОДЫ ФАКТОРИЗАЦИИ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ И РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ.................................................................15

1.1 Основные методы факторизации функций и матриц-функций..............15

1.2 О применении метода Винера - Хопфа к решению некоторых функциональных уравнений.............................................................................24

1.3 Дифференциальный метод факторизации................................................27

1.4 Особенности топологического подхода в теории блочных структур при наличии разноразмерных блоков.....................................................................35

2 ЗАДАЧА ОБ УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЯХ ДВУХ ПЛАСТИН НА ПОВЕРХНОСТИ УПРУГОЙ СРЕДЫ.........................................................42

2.1 Метод решения, связанный с преобразованием дифференциального оператора............................................................................................................49

2.2 Метод собственных функций.....................................................................60

3 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ВЕРТИКАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПЛАСТИН НА УПРУГОМ СЛОЕ.................................................................................................67

3.1 Решение задачи методом, связанным с преобразованием дифференциального оператора........................................................................68

3.2 Решение задачи о вертикальных колебаниях пластин методом собственных функций.......................................................................................74

3.3 Результаты расчетов....................................................................................80

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.....................................................................................................90

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ....................................................................................91

ВВЕДЕНИЕ

Создание теоретической базы и методов обработки данных наблюдений, направленных на прогнозирование землетрясений и техногенных катастроф, относится к фундаментальным задачам сейсмологии и геофизики.

Различными вопросами теории распространения сейсмических волн и моделирования сейсмических процессов в земной коре занимались В.В. Адушкин, К. Аки, A.C. Алексеев, А.О. Глико, Л.В. Канторович, Б.В. Костров, В.В. Кузнецов, C.B. Медведев, A.B. Николаев, В.Ф. Писаренко, П. Ричарде, В.Н. Родионов, У.Ф. Саваренский, М.А. Садовский, Л.Е. Собисевич, А.Л. Собисевич, Ю.К. Чернов [1 - 20], A. Ben-Menahem, J.D. Byerlee, J.H. Dieterich, С. Marone, J.R. Rice, C.H. Scholz, а также другие ученые [21 — 31]. В области сейсморазведки и методов исследования структуры верхней литосферы важные результаты получены Е.В. Гальпериным, Г.А. Гамбурцевым, Ю.В. Ризниченко [32, 33].

В результате многолетних исследований создано множество различных моделей сейсмичности, разработаны теоретические и экспериментальные подходы к решению проблемы прогнозирования землетрясений. Однако эта проблема до сих пор остается нерешенной, что свидетельствует как о ее высокой сложности, так и о необходимости комплексного использования не только методов геофизики, но и смежных дисциплин - геохимии, физики атмосферы, механики деформируемого твердого тела.

ные разломы, неоднородности, включения, иметь оболочки. Исследование задач для сред описанного вида требует использования методов механики контактных взаимодействий.

A.M. Кривцов, В.А. Крысько, В.Д. Купрадзе, С.А. Лурье, A.B. Манжиров,

B.П. Матвиенко, Н.Ф. Морозов, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, Н.И. Мусхелишвили, A.B. Наседкин, В. Новацкий, В.В. Новожилов, A.B. Павлова, В.В. Панасюк, Ю.В. Петров, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина,

A.Ф. Резчиков, B.C. Саркисян, В.М. Сеймов, Б.И. Сметанин, A.B. Смирнова, Т.В. Суворова, Д.В. Тарлаковский, Ю.А. Устинов, Я.С. Уфлянд, Л.А. Филыптинский, М.И. Чебаков, Г.П. Черепанов, Е.И. Шемякин, Ю.Г. Яновский, J.D. Achenbach, W.M. Ewing, D. Gross, W.S. Jardetzky, H. Jeffreys, M. Lowengrub, M.J.P. Musgrave, Ch. Zhang и др. Более полные обзоры работ, посвященных исследованиям динамических контактных задач, приведены в монографиях [34 - 45].

Развитием методов исследования краевых задач для уравнений математической физики, описывающих поведение и свойства деформируемых тел, занимались И.Н. Векуа, М.И. Вишик, B.C. Владимиров, И.И. Ворович, Л.В. Канторович, М.Г. Крейн, В.Д. Купрадзе, О.Н. Ладыженская,

B.П. Маслов, В.П. Матвиенко, С.Г. Михлин, В.П. Михайлов, Н.Ф. Морозов,

C.Л. Соболев, Е. Hopf, M. Nagumo, В. Noble, L. Nirenberg и многие другие ученые.

В масштабах Земли литосферные плиты могут рассматриваться как покрытия сравнительно малой толщины, в более мелкомасштабных моделях их

можно моделировать горизонтально протяженными упругими телами с покрытиями.

Исследованием смешанных задач для сред с покрытиями занимались

B.М. Александров, С.А. Амбарцумян, И.Н. Векуа, A.C. Вольмир, И.И. Ворович, A.JI. Гольденвейзер, Е.В. Коваленко, А.И. Лурье,

C.М. Мхитарян, A.B. Павлова, Б.Л. Пелех, Г.И. Петрашень и другие авторы [46-51].

Данные сейсмических наблюдений, полученные за последние десятилетия, показывают, что большинство очагов сильных землетрясений располагается вблизи глобальных разломов литосферных плит, составляющих земную кору, однако сейсмические события происходят и в равнинно-платформенных областях [23]. Следовательно, разломы относительно малой мощности также оказывают определенное влияние на общую картину сейсмических событий. Этот факт во многом обусловил повышение интереса исследователей к изучению структуры верхней части коры Земли и изменений ее напряженно-деформированного состояния.

Сегодня ведутся активные исследования и уже получены значительные результаты в рамках моделей, основанных на представлении о слоисто-блочном строении земной коры, обоснованном в работах М.А. Садовского [14-17, 55]. Позиция академика М.А. Садовского в значительной мере инициировала развитие нового подхода к исследованию актуальной проблемы нарастания сейсмичности и возникновения сейсмических событий. Этот подход состоит в поиске зон концентрации напряжений в структурах литосферы. Однако сложность строения и разнородность свойств литосферных плит, отсутствие сведений о характере их взаимодействия на разломах делают эту проблему весьма сложной для анализа традиционными методами. Наиболее перспективными в этих задачах оказались факторизационные методы, восходящие к работам Н. Винера и успешно развиваемые с привлечением современной математики в ряде российских научных центров. Разработкой факто-ризационных методов, математической теории блочных структур занимались

ученые Кубанского государственного университета и Южного научного центра РАН, и на сегодняшний день основы их можно считать построенными [56 - 64 и др.].

В работах В. А. Бабешко, О.М. Бабешко, О.В. Евдокимовой, М.В. Зарецкой, A.B. Павловой, A.C. Мухина, В.В. Лозового и других авторов исследуются различные стороны процессов нарастания сейсмичности, протекания сейсмических событий. В частности, значительное внимание уделено вопросу математического описания блочными структурами реальных моделей глубинного строения Земли, литосферных плит и сопутствующих разломов. Однако не до конца решенным остается вопрос прохождения сейсмических волн через разломы. Наличие разломов литосферных плит нередко пытаются выявить бурением. Следует отметить, что эта задача остро стоит в строительной отрасли. Однако такой способ носит локальный характер и может не дать достаточно надежных результатов. Развиваемый в диссертации подход основан на возможности использования для этих целей передвижных вибросейсмоисточников, производящих моносигналы на определенных частотах, принимаемые на различных расстояниях. Таким образом, по дефекту приходящего сигнала выявляется наличие разломов. В то же время немаловажен и вопрос о характере взаимодействия берегов разломов в зонах контакта - с трением, свободных, сцепленных и т.д.

ластях, развития механико-математического аппарата для исследования и решения проблем анализа и прогнозирования сейсмических событий, позволяющего учитывать сложное строение геологической среды.

Целью диссертационного исследования является:

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

- решение задачи о колебаниях контактирующих по прямой пластин на поверхности упругой подложки;

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем:

- предложен новый эффективный метод исследования смешанных граничных задач описанного типа, позволяющий проводить анализ решений

при различных условиях в области контакта для прямолинейных разломов, что вызывало существенные трудности при использовании других подходов;

- представлены результаты решения целого ряда частных задач, имеющих практическое значение.

Научное и практическое значение и реализация результатов, полученных в данной работе, состоят в следующем:

Диссертационная работа выполнялась в рамках проекта ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (соглашение № 14.В37.21.0869 от 06.09.2012 г. по теме «Развитие метода блочных элементов для оценки резонансных свойств тел и конструкций сложного строения»). На практическую значимость исследований указывает также поддержка их грантами РФФИ: 13-01-00132_а, 13-01-96503_р-юг-а, 13-01-96505_р-юг-а, 13-01-96508_р-юг-а.

Диссертация состоит из введения, списка использованных обозначений, трех глав, заключения и списка использованной литературы.

В первой главе излагаются основные свойства и методы, используемые для решения поставленной задачи, приводится обзор сведений, дающих представление о месте диссертационной работы в рамках развития фактори-зационных методов и математической теории блочных структур, созданных в Кубанском государственном университете и Южном научном центре РАН.

Во втором параграфе излагается алгоритм применения метода Винера - Хопфа для решения некоторых функциональных уравнений, встречающихся в данной работе.

В четвертом параграфе на примере структуры в виде пластины, контактирующей с трехмерной подложкой, описываются особенности топологического подхода в теории блочных структур при наличии разноразмерных блочных элементов. В частности, рассматриваются псевдодифференциальные уравнения, полученные топологическим методом и описывающие взаимосвязь напряжений и перемещений для разломов любой формы и кривизны, допускающие введение блочной структуры в широком спектре локальных систем координат.

Рис. 1. Тектонические разломы территории Краснодарского края

Применение для исследования поставленной задачи сложного математического аппарата, основанного на топологических методах первой главы, оказалось нецелесообразным. Поэтому в диссертации разработан новый фак-торизационный подход, более эффективный, чем технически громоздкий топологический, при исследовании граничной задачи с разломами при их прямолинейной геометрии. Этот подход не только необходим для получения достаточно простых выражений параметров решения задачи, но и полезен в качестве контрольного при тестировании решений, построенных топологическим методом для разломов сложной формы. Предложенным новым методом решена задача об установившихся колебаниях двух граничащих пластин, занимающих полуплоскости на поверхности упругой подложки, под воздействием поверхностной нагрузки, заданной в некоторой ограниченной области.

Далее описываются два подхода к решению поставленной задачи. В первом параграфе рассматривается подход, связанный с преобразованием (нормализацией) возникающих систем интегральных уравнений с помощью выноса из них дифференциального оператора определенного вида.

Во втором параграфе дается другой подход к решению поставленной задачи, названный методом собственных функций, более эффективный, чем

приведенный в первом параграфе. В отличие от традиционно используемых методов при исследовании задач описанного типа, связанных с выносом из интегрального уравнения не�