Метод факторизации в проблеме напряженно-деформированного состояния литосферных плит

Бабешко, Ольга Мефодиевна

Метод факторизации в проблеме напряженно-деформированного состояния литосферных плит тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Бабешко, Ольга Мефодиевна АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Краснодар МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Метод факторизации в проблеме напряженно-деформированного состояния литосферных плит»

Автореферат диссертации на тему "Метод факторизации в проблеме напряженно-деформированного состояния литосферных плит"

На правах рукописи

Бабешко Ольга Мефодиевна

МЕТОД ФАКТОРИЗАЦИИ В ПРОБЛЕМЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЛИТОСФЕРНЫХ ПЛИТ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Краснодар 2005

Диссертация выполнена на кафедре математического моделирования Кубанского государственного университета

Научный доктор физ.-мат. наук, профессор

консультант: Горшков А.Г.

Официальные академик РАН, доктор физ.-мат. наук, профессор

оппоненты: Морозов Н.Ф.

доктор физ.-мат. наук, профессор Александров В.М.

доктор физ.-мат. наук, профессор Дунаев И.М.

Ведущая

организация: Институт физики Земли РАН

Защита состоится 18 ноября 2005 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 при Кубанском государственном университете по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, КубГУ, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета.

Автореферат разослан октября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

А.А. Евдокимов

QJDO^ /9990

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

К числу нерешенных современных проблем наук о Земле относится прогноз землетрясений. Исследования в этой области ведутся издавна, опубликовано большое количество работ, проблемой занимаются выдающиеся ученые планеты. Однако до сих пор нет сколько-нибудь надежных ее решений.

Причина заключается в том, что оценка сейсмического состояния глубинных слоев Земли - одна из труднейших задач, с которыми когда-либо сталкивались исследователи, в ней воплощены все известные проблемы математики, механики, физики, химии и экспериментальных исследований. Сложности проблемы и разнообразным подходам к ее решению посвящены работы A.C. Алексеева, К. Аки, А.О. Глико, П. Ричардса, Е.А. Рогожина, JI.B. Канторовича, В.И. Кейлис-Борока, Б.В. Кострова, C.B. Медведева, А.Г. Назарова, JI.B. Никитина, Ю.В. Ризничерко, Е.Ф. Саваренского, М.А. Садовского, A.B. Николаева, В.Ф. Писаренко, Ю.К. Чернова, Е.И. Шемякина, Н.В. Шарова и рада других известных ученых.

Признано, что в области сейсмологии в настоящее время достаточно глубоко изучены геодинамические процессы в очаге землетрясения, когда происходит высвобождение энергии, вопросы, связанные с распространением сейсмических волн от очага, а также с воздействием ударных сейсмических волн на объекты, находящиеся на поверхности Земли {Райе Дж. Механика очага землетрясения. М.: Мир, 1982; Костров Б.В. Механика очага тектонического землетрясения. М.: Наука, 1975; Ризниченко Ю.В. Проблемы сейсмологии. М.: Наука, 1985; Саваренский Е.Ф., Кир-нос Д.П. Элементы сейсмологии и сейсмометрии. М.: Наука, 1955). Развиты и широко используются при строительстве сооружений и зданий теории сейсмического риска, позволяющие уберечь строения от разрушений за счет особых конструкций (Канторович JI.B., Молчан Г.В., Вилькович Е.В., Kewiuc-Борок В.И. Статистическая модель сейсмичности и оценка основных сейсмических эффектов // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1970. № 5; Мед-

ведев СВ. Инженерная сейсмология. М.: ГОССТРОЙ СССР, 1962).

В то же время не решен главный вопрос - о процессе роста сейсмичности и прогнозе землетрясений. Исключительная сложность проблемы обусловлена рядом причин.

1. Воздействие на литосферные плиты множества факторов:

- гравитационного поля;

- предварительной напряженности;

- температурного напряжения;

- притяжения Луны;

- движения материков;

- атмосферного давления;

- ветрового давления;

- вращения Земли вокруг оси;

- солнечной активности;

- колебания морской акватории;

- активности верхней мантии (на границе Мохоровичича) и др.

2. Отсутствие удачного математического аппарата, позволяющего строить удобные математические модели для анализа геодинамических процессов.

3. Отсутствие экспериментальных технологий, способных предоставлять исходные данные, без которых невозможен анализ математических моделей.

Здесь имеется в виду необходимость комплексного применения аппаратурных средств глубинного исследования строения Земли. Объединение измерительных средств позволит изучать одновременно разные физические свойства, даст возможность извлекать больше информации, чем при использовании той же аппаратуры, но порознь. Необходимы технологии обработки этих данных с целью максимального извлечения информации, нужной для корректной постановки математических задач.

4. Наличие ряда неопределенных факторов.

К числу неопределенных факторов следует относить отсутствие достоверных знаний о рельефности нижнего основания лито-сферных плит и воздействии на него со стороны верхней мантии,

о наличии внутренних неоднородностей, разломов, включений, полостей.

В то же время сейчас можно назвать ряд благоприятных изменений, позволяющих значительно приблизиться к решению проблемы оценки роста сейсмичности, определения зон, где это может происходить.

Прежде всего речь идет о совершенствовании технологий глубинного исследования Земли, создании соответствующих аппаратурных средств и программного обеспечения для обработки геофизической информации. Примером может служить создание Международного центра коллективного пользования при Кубанском госуниверситете, где сосредоточено отечественное и зарубежное исследовательское оборудование, в основном последнего поколения. К ним относятся вибросейсмические источники, российские 100- и 10-тонные ТВ-100 и CT-10, передвижные 30- и 17-тонные американские исследовательские Y-3000 и промышленные Y-1100А; магнитотеллурический комплекс и гравиметр канадской компании «Phoenix», средства приема и обработки геофизической информации, американские сейсмографы NX-48, станции «ГЕОН» и другое оборудование.

С помощью этих средств оказывается возможным получать целый ряд физико-механических и геометрических параметров коры Земли, составляющих ее литосферных плит вплоть до верхней мантии. Успешные работы в этом направлении выполнены в США под руководством профессора Р. Вильямса в штате Огайо, где получены детальные разрезы коры Земли по всей толщине. Разрез показал, что литосферная плита представляет собой упру-годеформируемую (гранит и базальт) многослойную с рельефными поверхностями плиту с почти плоскопараллельными группами разломов и другими неоднородностями. Разумеется, она имеет большую протяженность, в крупномасштабном приближении - неограниченна. Кроме того, в настоящее время ученые добились большого прогресса в определении медленных движений литосферных плит в любом районе планеты, выполняемом с помощью аппаратуры, использующей спутниковую локацию Земли. Эти результаты делают обоснованной возможность постановки

краевых задач твердого деформируемого тела для взаимодействующих литосферных плит на предмет расчета их прочности и разрушения, как это производится в механике.

Отметим, что огромный вклад в развитие теории краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных, в том числе нелинейных, внесли отечественные и зарубежные ученые М.А. Алексидзе, В.И. Арнольд, И.Н. Векуа, М.И. Вишик, B.C. Владимиров, И.И. Ворович, И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн,

B.Д. Купрадзе, О.Н. Ладыженская, В.П. Маслов, С.Г. Михлин,

C.JI. Соболев, С. Агмон, А. Дуглис, JI. Ниренберг и др. Существенные результаты при исследовании смешанных краевых задач получили В.М. Александров, Б.Д. Аннин, Н.Х. Арутюнян, A.B. Бе-локонь, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Б.М. Гелинский, Е.В. Глуш-ков, Н.В. Глушкова, А.Г. Горшков, И.Г. Горячева, И.М. Дунаев, В.В. Калинчук, A.B. Манжуров, О.Д. Пряхина, Н.Ф. Морозов, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, В.В. Панасюк, Г.Я. Попов, B.C. Саркисян, JI.A. Фильштинский и др.

Рассмотрение литосферных плит как твердых деформируемых плитообразных с рельефными поверхностями тел в крупномасштабном приближении и как нелинейных оболочек - в мелкомасштабном потребовало привлечения результатов исследований в этих областях. Вопросы концентрации напряжений в таких плитах, а также проблема потери устойчивости оболочками были глубоко изучены в работах М.М. Вайнберга, A.C. Вольмира, И.И. Воровича, А.Н. Гузя, Л.М.Зубова, Д.В. Индейцева, Д.М. Климова, Л.П. Лебедева, Н.Ф. Морозова, В.В. Новожилова, И.Ф. Образцова, Б.Е. По-бедри, В.А. Треногина, Ю.А. Устинова, В.И. Феодосьева, К.В. Фролова, Е.И. Шемякина, В.И. Юдовича, Ю.Г. Яновского и др.

Созданная база данных основных уравнений, учитывающих перечисленные факторы внешних воздействий на литосферные плиты, отмеченные свойства литосферных плит, показала, что все существующие аналитические, полуаналитические, численные методы (конечного элемента, сеточных, разностных и их модификаций) неэффективны в исследовании этих задач. Они применимы лишь для целей адресного счета и предварительного исследования частных задач, которые здесь могут возникать. Причины

- наличие неоднородностей разных размерностей, большая протяженность областей, бифуркация решений, многопараметрич-ность задач, возможность отсутствия положительно определенных функционалов.

Выяснилось, что метод, способный учитывать сложную геометрию областей и решения, описываемые системами дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка, должен опираться на средства внешнего анализа, геометрию многообразий. Таковым оказался метод факторизации, первоначально созданный Н. Винером для решения интегральных уравнений. Попытки использования этого метода для исследования и решения дифференциальных уравнений предпринимались рядом авторов. Отметим наиболее значимые. Псевдодифференциальное операторное уравнение, эквивалентное краевой задаче теории упругости, впервые было получено в работах В.А. Бабешко в 1985 г. Проблеме применения метода факторизации к краевым задачам для систем дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений посвящены работы М.И. Вишика и Г.И. Эскина, в которых рассмотрены более общие постановки краевых задач, но только для эллиптических систем. Исследование проводилось на основе анализа асимптотики символа псевдодифференциального оператора, а потому общее представление решения, учитывающее свойства символа, построить не удалось. В работах А.О. Ва-тульяна дан глубокий анализ возникающих в методе факторизации псевдодифференциальных уравнений как некорректных по А.Н. Тихонову. Выявлены численно приемы для проведения расчетов при решении ряда краевых задач.

В диссертации метод факторизации строится как следствие теоремы топологической алгебры об автоморфизме многообразий на себя, который порождает группы преобразований. Этот автоморфизм осуществляется дифференциальным оператором краевой задачи. Представления групп преобразований дают возможность получить различные выражения для решений краевых задач в сложных областях и построить псевдодифференциальные уравнения меньшей размерности, аналоги интегральных уравнений, эквивалентные краевым задачам. Обращение последних по-

зволяет построить решения исходных краевых задач. Получаемые псевдодифференциальные уравнения описываются нормально разрешимыми операторами. Главные их части представляют собой операторы соответствующих краевых задач, рассматриваемых для полупространства, сферы или цилиндра, возмущенных вполне непрерывными операторами.

В тех случаях, когда области оказываются классическими, например, слоистыми, псевдодифференциальные уравнения вырождаются в известные интегральные и даже алгебраические. Достоинство метода факторизации - в возможности применения его для сред с неоднородностями меньших размерностей, областей любой конфигурации, неограниченных, без требования на тип краевой задачи. Таким образом, метод оказался унифицированным, точным, степень точности получаемого решения зависит лишь от степени точности обращения псевдодифференциального оператора меньшей размерности, представляющего собой нормально разрешимый оператор в одном из пространств медленно растущих обобщенных функций. Операторное уравнение удобно тем, что в случае классических областей оно вырождается в алгебраическое, в случае отсутствия дефектных чисел - допускает дискретизацию, в случае отличных от нуля обоих дефектных чисел - позволяет находить параметры бифуркации решения.

Предполагается, что решение этих уравнений в сейсмологии даст возможность указывать в непрерывном режиме расположение зон повышенной концентрации напряжений или ожидаемой значительной подвижки литосферных плит и, следовательно, прогнозировать состояние сейсмичности и районы ожидаемых землетрясений. Здесь можно провести полную аналогию с отслеживанием зон возможного возникновения смерчей (торнадо) в США, где отслеживается столкновение фронтов холодного и сухого воздуха с теплым и влажным. Остальные зоны - безопасные. В нашем случае индикатором будут зоны концентрации напряжений и зоны ветвления решений при оценке устойчивости плит на изгиб, кручение и т.д.

Цели исследования

1. Создание математического аппарата, специально приспособленного для исследований краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных, порождаемых проблемами напряженно-деформированного состояния лито-сферных плит.

2. Доказательство возможности использования метода факторизации как унифицированного для изучения всех основных типов краевых задач, возникающих при исследовании напряженно-деформируемого состояния литосферных плит.

К ним относятся задачи:

- о возможности исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит как твердых деформируемых тел сложного строения в многосвязных, с рельефными границами областях при произвольном внешнем воздействии;

- о напряженно-деформированном состоянии литосферных плит с неоднородностями - концентраторами напряжений, названными вирусами вибропрочности - совокупностями плоскопараллельных трещин, включений, совместных их сочетаний;

- о воздействии на нижнее основание литосферных плит субстанциями, вытесняемыми плюмами;

- о потере устойчивости литосферных плит, лежащих на основании сложного строения, как нелинейно деформируемых объектов.

Метод должен быть достаточно универсальным, способным описывать процессы в глобальных и локальных областях крупномасштабно и мелкомасштабно, не утрачивая точности.

Научная новизна результатов работы

Для исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит, преодоления перечисленных сложностей был развит метод факторизации исследования краевых задач, использующий топологический подход, приведший к применению методов интегральной геометрии, теории функций многих комплексных переменных, многомерных вычетов, внешнего анализа, факторизации, т.е. методов разных математических направлений. Стояла проблема изучения воздействия на литосферную плиту

большого количества отмеченных внешних факторов. Это приводило к краевым задачам для больших систем дифференциальных уравнений в частных производных. Данную проблему удалось преодолеть, впервые построив формулы факторизации основных типов полных мероморфных матриц-функций, чего не удавалось сделать раньше. Это освободило исследователя от непростой работы по изучению собственных векторов крупноразмерной матрицы-функции многих переменных с большим количеством параметров, не имеющих конкретных числовых значений, и формализовало исследование краевой задачи для системы дифференциальных уравнений до аналога одного дифференциального уравнения.

При изучении этих вопросов совершенствовалась теория вирусов вибропрочности, справедливо названная так из-за скрыто-сти совокупностей неоднородностей (вирусов), в одних условиях и их разрушительного воздействия на механический объект - в других.

Учет блочных объектов, неоднородностей той же размерности, что и плита, привел к необходимости разработки таких методов исследования задач прочности, которые учитывали бы совместное, комплексное влияние и физических, и геометрических характеристик поставленных задач. Протяженность, неограниченность литосферных плит с рельефными поверхностями делает неэффективным применение множества традиционных для таких задач численных методов.

Метод факторизации удается применить к ряду задач из смежных областей - экологии, материаловедения. Для исследования потери устойчивости литосферных плит сформулированные задачи механики для литосферных плит сведены к исследованию систем, в общем случае нелинейных дифференциальных и интегральных уравнений с большим числом неизвестных и свободных входных параметров в неоднородных средах со сложной геометрией.

В процессе исследования этих задач изучена проблема построения уравнений разветвления при потере устойчивости взаимодействующих литосферных плит и сформулированы достаточ-

ные условия потери устойчивости полубесконечных и полуограниченных литосферных плит.

Научное и практическое значение результатов работы

Разработан метод исследования и решения краевых задач для больших систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных в любых областях, в том числе неограниченных с рельефной поверхностью и при наличии неоднородностей, в частности, меньших размерностей. Эти задачи возникают не только в сейсмологии, но и в различных областях механики, физики, экологии, электроники. Ряд задач и соответствующие уравнения даны в приложении.

К системам такого рода приводятся задачи теории упругости для изотропных и анизотропных сред, термоупругости, электроупругости, при наличии гравитационных полей и полей иной природы, в том числе для пьезокерамических материалов. В такой же степени охватываются задачи моментной теории упругости и др. Развиваемым методом можно исследовать и задачи из смежных областей, например, теории пластичности, гидромеханики, теории переноса загрязняющих веществ в экологии.

В частности, близкой является проблема описания воздействий глубинной активности Земли в верхней мантии на нижнее основание литосферных плит по границе Мохоровичича. Предлагаемый метод также применим для решения проблемы проектирования материалов с заданными свойствами.

Прикладное значение результатов состоит в создании модели прогноза зон подготовки землетрясений как по максимальным разрушающим напряжениям, касательным, так и в случае простых воздействий и областей, в зонах разломов или при потере устойчивости. Ее построение может значительно снизить материальный ущерб и жертвы при разрушительных землетрясениях.

Работа выполнена в КубГУ в рамках исследований и при поддержке грантов федеральных целевых программ «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997-2000 гг.», проекты А0017, В0121, «Мировой океан», гранта ИБС-004 Американского фонда гражданских исследований и развития, Краевой целевой программы Красно-

дарского края «Комплексный сейсмомониторинг и прогнозирование землетрясений на территории Краснодарского края в 20002004 годах», грантов РФФИ (03-01-00694), программы Р2003Юг (проекты 03-01-96537, 03-01-96527, 03-01-96519, 03-01-96584), проекта НШ-2107.2003, программ отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН и Президиума РАН, выполняемых Краснодарским отделом Южного научного центра РАН.

Достоверность результатов

Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов, а также проверкой результатов на тех частных задачах, которые решаются иными методами. Например, при проверке метода факторизации использовался метод спрямления границ, который приводил к задачам, решаемым методом интегральных уравнений.

В частности, точное совпадение обнаруживается для краевых задач в слоистых областях. Для проверки решений в случае искривленных границ метод сопоставлялся с методом исследования и решения дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной, разработанным М.И. Вишиком и Л.А. Люстерником. Для модельных краевых задач обнаружено точное совпадение получаемых асимптотических членов.

Исследования, направленные на изучение блочного строения коры Земли в области сейсмологии, опирались на установленные и экспериментально подтвержденные результаты академика М.А. Садовского по блочному строению Земли, а также результаты профессора Р.Вильямса, построившего экспериментально горизонты в штате Огайо.

На защиту выносятся:

1. Разработка нового метода - метода факторизации исследования и решения краевых задач напряженно-деформированного состояния литосферных плит, описываемых системами дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами произвольного порядка в ограниченных, полуограниченных и неограниченньгх областях. Области могут быть

многозначными, границы - кусочно-гладкими или содержащими неоднородности той же или меньшей размерности,

2. Разработка метода факторизации исследования и решения систем интегральных уравнений в произвольных областях, порождаемых краевыми задачами напряженно-деформированного состояния литосферных плит с неоднородностями - вирусами вибропрочности.

3. Разработка нового метода факторизации полных меро-морфных матриц-функций, зависящих от параметров.

4. Разработка метода исследования концентрации напряжений во взаимодействующих литосферных плитах.

5. Разработка метода исследования потери устойчивости взаимодействующих литосферных плит и допустимости разных состояний (ветвление решений) взаимодействующих плит.

6. Разработка метода учета воздействия верхней мантии на нижнее основание литосферных плит.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.), на Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2001 г.), на IV и V Международных экологических конференциях студентов и молодых ученых «Экологическая безопасность и устойчивое развитие» (Москва, 2000 г. и 2001 г.), на V Международном семинаре «Фундаментальные и прикладные проблемы мониторинга и прогноза стихийных бедствий. Стихия-2001» (Севастополь, 2001 г.), на I научной конференции «Экология и рациональное природопользование» (Санкт-Петербург, 2001 г.), на IV Международной научно-технической конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2001 г.), на III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (Ростов-на-Дону, Азов, 2003 г.), на Международном симпозиуме «Technological Civilization Impakt of the Environment» (Германия, Карлсруэ, 1996 г.), на всероссийских научных конференциях грантодержателей РФФИ и администрации Краснодар-

ского края конкурсов «Р2000ЮГ» и «Р2003ЮГ» (Сочи, 20002004 г.), на Международном симпозиуме «Pollutants Transfer by Tornadoes and Convective Movements» (Висбаден, Германия, 2004), на VI Российской национальной конференции по сейсмостойкому строительству и сейсмическому районированию (Сочи, 2005 г.), на Международной школе-конференции «Комплексный анализ и его приложения» (Краснодар, 2005 г.), а также на семинарах кафедры математического моделирования КубГУ и Института проблем механики и геоэкологии КубГУ.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 30 работ в журналах, определенных ВАК России для публикаций содержания докторских диссертаций. Список приведен в конце автореферата.

Структура, содержание и объем работы

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, приложения, списка использованной литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор основных проблем сейсмологии, проводившихся в этой области исследований и имеющихся результатов. Обосновывается необходимость развития концепции оценки напряженно-деформированного состояния литосферных плит для прогноза зон подготовки землетрясений. Показано, что при решении ряда математических проблем, а именно разработке удобного математического аппарата сейсмологии, имеющиеся экспериментальные средства могут дать все необходимые исходные данные для оценки напряженно-деформированного состояния.

Дается анализ существующих математических подходов к изучению краевых задач для связанных систем линейных дифференциальных уравнений. Акцентируется внимание на недостаточности этих методов для решения проблем сейсмологии.

Рассматриваются особенности метода факторизации, его преимущества при исследовании проблем сейсмологии перед

другими методами, а также определенные сложности технического характера при его применении.

В первой главе излагаются сведения из теории факторизации функций и матриц-функций, необходимые для дальнейшего изложения материала. Приводятся известные определения и результаты по факторизации матриц-функций любого порядка, в том числе мероморфных. В §3 описывается один из новых методов факторизации мероморфных матриц-функций, основанный на исключении особенностей у исходной и факторизованной матрицы-функции. В §4 впервые удалось установить формулы факторизации для полных мероморфных матриц-функций любого порядка, в том числе для некоторых матриц-функций бесконечного порядка, зависящих от нескольких переменных.

Рассматриваемые матрицы-функции обладают следующими свойствами: элементы кч,(а) т,р = 1, 2, матриц-функций являются в общем случае целыми функциями переменных ак,к = \, 2, .... п.

Предполагается, что целые функции обращаются в нуль на аналитических множествах многих комплексных переменных. Представления этих аналитических множеств формально можно записать в разрешенном относительно параметра а„ виде при вещественных остальных переменных, т.е.

<*„ «2- = а„/а*-►«>

Это представление в дальнейшем называем нулями целых функций, которые в терминах одного комплексного переменного определяют ее порядок и тип. Для упрощения порядок считается первым, а тип - не выше а. Определитель д^ матрицы-функции, очевидно, также целая функция того же порядка, а типа - не выше .

Для применения предлагаемых в настоящей работе формул факторизации необходимо знание в нужном объеме, диктуемом целями задачи, нулей определителя, которые обозначены в виде 4=е£(а')1и + 0(1)' '5-»а0. к = \,2.....м.

Здесь г*л - нули определителя из области X +, ^ - из области

В частности, количество нулей может оказаться ограничен-

ным, если матрица полиномиальная. Асимптотика нулей свидетельствует о том, что принят во внимание порядок целых функций, что в принципе необязательно.

а^(а') - непрерывные, ограниченные на вещественной оси функции вещественных переменных а'=(а,, ., а„,).

При построении факторизации вида

К«х„) = К,(а„)К_(ап), в предположении нулевых частных индексов для элементов фак-торизованной матрицы-функции к_ получено представление в форме контурных интегралов, которые вычисляются по теории вычетов или иным удобным путем и имеют вид

Л„„(а„) = — ГУ / ч/ \,р = \,г, ; т-\, т + \, ., N. сх„еА.

•> 2л/ ^(».К-кХ«--«»)

Подынтегральные функции описываются элементами исходной матрицы-функции и нулями ее определителя.

Построение формул факторизации мероморфных матриц-функций с элементами, зависящими от нескольких комплексных переменных, явилось принципиальным при дальнейших исследованиях, позволило разработать метод двойной факторизации исследования краевых задач.

Во второй главе в §1 приводятся сведения из топологической алгебры, лежащие в основе развитого в диссертации метода факторизации. В §2 из методических соображений демонстрируется применение метода факторизации на примере исследования и решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Решение осуществляется известными методами и методом факторизации. Показано, что метод факторизации, будучи новым, отличается от ранее известных. Демонстрируется появление обобщенных функций в методе факторизации, описывается, каким образом извлекается классическое решение в этом методе. Эти примеры объясняют причины расширения класса функций до медленно растущих обобщенных при применении метода факторизации.

В §3 излагается условно названный «прямой метод факторизации» исследования краевых задач для систем дифференциаль-

ных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в выпуклых областях, демонстрирующий естественность этого метода. Рассматривается следующая краевая задача:

<?(&„, дхк)<р = 0, i 6П(Я!), R(дхк)р = /, ж еда

Оператор q представим матрицей вида

Q(ax„,ñcl) = ||a_t&„art +ьтгкдхк +стг I

Здесь

•»(&») =К,ах„+pj; дх=д/дх; Кл = hmJdO);

ф = {фг},- г = 1. 2, . , М, т = 1, 2.....М;

f = {/r}' ф(х) = ф(л„дс21*,);

(?(а) = -£?(--шк), п,к = 1,2,3, g =

Считается, что граничный оператор r удовлетворяет условиям Шапиро - Лопатинского и краевая задача корректно поставлена.

Краевая задача порождает псевдодифференциальный оператор, эллиптическим символом которого является матрица-функция а (а).

Введенный таким образом псевдодифференциальный оператор действует в пространстве медленно растущих обобщенных функций н,(о) и ограничен из н,(п) в н,_2(о) для любого s, где

не=5М. кс-я j ы!(ч«г<**. '=1.2, .м;

-со

|а|2 =а^+а22+аз, da = dalda2da3, dx = dx¡dx2dx¡,

= J /Я ^ = 7Г7 ] JK e"'A')da ■

<а,х) = а,д:| +a2*2 +а,*3.

При i >о,5 оператор понижения из п в ап действует как ограниченный из н,(п) в н , (3Q).

Требование автоморфизма дифференцируемого отображения приводит к необходимости вычисления многомерных форм-вычетов Лере для функций трех комплексных переменных. Здесь и в дальнейшем рассматривается наиболее частый случай, когда аналитические множества, описывающие полюса мероморфных

функций трех комплексных переменных, имеют коразмерность 1. Для этого случая указанная краевая задача сводится к исследованию двумерных псевдодифференциальных уравнений, операторы которых являются нормально разрешимыми. Недостаток этого подхода заключается в громоздкости представления решения, а также в необходимости разрешать систему уравнений с определителем, равным нулю.

В §4 излагается метод обобщенной факторизации. Использующий ту же топологическую основу, этот метод опирается на применение более широкого набора представлений групп преобразования трехмерного пространства - не только плоскопараллельных движений, но и различных вращений. Последнее позволило применять метод факторизации также для невыпуклых и многосвязных областей. Кроме того, в отличие от предыдущего параграфа, использовались средства внешнего анализа, внешние формы, что значительно упростило изложение материала и позволило получить компактную форму записи решения.

В последующих параграфах рассматриваются различные возможности метода факторизации, значительно упрощающие исследование краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных не только механики сплошных сред, но и произвольного набора дифференциальных уравнений, без требования эллиптичности. Здесь же исследуются краевые задачи для неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных. Даются различные формы представления решений, облегчающие проведение вычислений, построение псевдодифференциальных уравнений меньшей размерности. В случае вырождения областей в классические - слоистые - псевдодиффе- «

ренциальные уравнения переходят в алгебраические.

Показано, что различными вариантами метода факторизации можно проводить исследования краевых задач в произвольных областях - ограниченных, полуограниченных, неограниченных, многосвязных.

В §9 развивается метод двойной факторизации, сводящий исследование краевых задач для указанных систем дифференциаль-

ных уравнений к аналогу одного уравнения. Здесь же строятся общие представления решений краевых задач.

Установлена для приведенной краевой задачи

Теорема. Краевая задача для выпуклого тела эквивалентна системе двумерных псевдодифференциальных уравнений

/г/лК-' («;,+-)[ ¡¡а>^(а", ~ С) = 0, а", -> г\_.

Она разрешима тогда и только тогда, когда разрешима эта система уравнений. Общее решение краевой задачи в случае полупространства имеет вид

В остальных случаях оно имеет вид

-Т {а;,а;.с)к;'*!

[-0 + Ца>] = +1._, Ц (а{,а12,а;)е~'°;"' 0, ±=о.

Т± (а", а;, ) = 2*1 ЛтК"' (а,', -) (а,',а2у,<)(а," - ), а\ .

- все нули знаменателя правой части последнего соотношения, в том числе г;_ из верхней и нижней полуплоскостей соответственно. При кратных нулях для вычетов берутся соответствующие формулы.

В случае обобщенной факторизации этот подход для некоторых классов краевых задач позволяет получать представление решений в многосвязных областях в криволинейных системах координат:

ООО ЙО

3 (гх,гг,г>,¥,Ф) = к-' (г) а>0(г,<е)е'м.

Псевдодифференциальное уравнение представимо в форме

|Ц(г,,г2,г;,у) (/з>5) р* (со5= о,

0 а

* = 0, 1, 2..,т = 0, ±1, ±2, ..., // = 1, 2,

использующей сферические функции, порождаемые представлением группы вращений трехмерного пространства.

В §10 доказывается удовлетворение задаваемым граничным условиям решений, получаемых методом факторизации. Краевая задача для неоднородных дифференциальных уравнений сводится к однородным путем замены искомой функции новой, содержащей фундаментальное решение неоднородной задачи в пространстве и измененные граничные условия.

В третьей главе излагается теория вирусов вибропрочности - механических объектов - совокупностей трещин и включений, в том числе плоскопараллельных, свойственных литосферным плитам. Указанные объекты снижают прочностные свойства ли-тосферной плиты и могут быть концентраторами напряжений, локализаторами резонансов. Излагаются полученные ранее результаты в этой области и новые, связанные с применением метода факторизации.

В §4 рассматривается псевдодифференциальное уравнение, представляющее собой систему двумерных интегральных уравнений, возникшее при решении проблемы напряженно-деформированного состояния анизотропной упругой среды, содержащей плоскопараллельные неоднородности произвольной в плане формы. В качестве неоднородностей могут быть трещины и включения.

Показано, что рассматриваемую систему можно представить в виде

«I 1!,

т = 1, 2, „II

или в операторном виде

¡¡К(аМа1,а2Ьехр(-,<а,х>)<1а = /, Ч = {Чг}, К = {К

о, аг

Замети vi, что в этих обозначениях некоторые функции кш могут оставаться одинаковыми для разных г.

Для этой системы решение оказывается возможным представить в виде

Ят(х) = рт(х) + <9п(х), т = 1, 2, , Я

+гкоу Л,

[ ~ Рг^гг ]

дая

=0,

ют

I "1 РгшР\п- )

Яш(х) = Рт(х)^^щ(х), т = 1 2, , Я,

[ .лРг^Рхг, \

но.

I г. I РгтгР,„ ] "

Рт(х) + ч>т(х) = 0, хедП,,

Развивается теория расчета концентрации напряжений для вирусов вибропрочности. Для использования в этой теории результатов второй главы предлагается метод «мероморфизации» символов псевдодифференциальных уравнений, состоящий в приближении произвольных функций мероморфными.

В четвертой главе проводится исследование по моделированию воздействия со стороны верхней мантии на нижнее основание литосферной плиты. В основу положена принятая в настоящее время в геофизике гипотеза о конвективном движении среды мантии в зоне между границами Мохоровичича и Гуттен-берга, вызывающем движение плюмов, отрывы от них субстанций, их оседание на нижнем основании коры Земли. Это меняет свойства литосферных плит в разных зонах. Для моделирования данного процесса развит метод переноса субстанций в много-

слойной среде и ее оседания на разнотипные подстилающие поверхности. Последнее позволяет считать, что литосферные плиты покоятся в общем случае не на однородной среде астгносферы, а на имеющей неоднородности.

Если среда является многослойной, т.е. можно выделить последовательность слоев, верхние границы которых л,,^, где принимается, что самый верхний слой имеет верхнюю границу й, = н, то в этом случае надо выписывать уравнения для каждого слоя отдельно. С учетом постоянных в каждом ело; скоростей они принимают вид

др. др„/ \дч>„ дга <?!<П ,

" дх " ду у " "*> 01 оГ" " 0г2 \дх2 дуг )

Здесь а„ = {и„,\п,'»>п} - векторы скоростей; - скорость подъема или опускания субстанции, связанная с влиянием сил тяжести и архимедовых сил выталкивания субстанции; д, уп - коэффициенты горизонтальной и вертикальной диффузий соответственно; а„ - коэффициент поглощения; /„ - функция, описывающая внутренние источники выброса СБ.

Параметр равен 1 для совпадающих индексов и нулю -для разнящихся.

Векторы скоростей должны удовлетворять уравнениям неразрывности

ди. , ду» , = о

дх1 дх2 дх}

выполняющимся при принятых предположениях автоматически.

На границах сопряжения слоев задаются следующие граничные условия:

¿*р„(х,у,2,1) _ е*р^(х,у,г,1) У> 8г '

В случае, если окажется несколько типов СБ, выбрасываемых в среду, необходимо составлять отдельную подобную краевую задачу для каждого из них.

Считается, что слоистая среда, в которую попадают СБ, может в течение продолжительного времени (часы и даже сутки) сохранять набор слоев и их параметров постоянными. В этом случае все функции, входящие в краевую задачу, можно считать не зависящими от времени и задача значительно упрощается. Дифференциальные уравнения принимают вид

" дх " ду v " di 0

f(x,y,z,t) = CS(x-x0,y-y0,z-z0), С = const

Решения краевых задач отыскиваются в классе функций, убывающих на бесконечности. На границе многослойной среды в разных ее зонах ставятся разнотипные граничные условия, свидетельствующие о разных механических свойствах нижнего основания литосферных плит, что приводит к разнотипному их поведению, т.е.

dM rwf\ = 0, z = Я, Xl,x2eCls

Здесь c'NS, тт - параметры, характеризующие степень «прилипания» субстанций к нижней поверхности литосферных плит.

В данной части главы впервые исследована система интегральных уравнений с равным нулю определителем символа. Для получения этой системы построенное решение краевой задачи вносится в требуемые граничные условия. В результате система интегральных уравнений примет вид

£ JjX/xi xvx2z0.m,

„.I гя

kJxi,x2) = ^1\\KJava2)ei,"'"^">daida2, т = 1,2, ,N, 4 я R2

Функции fjxvx2) имеют сложное строение, зависят от типа источника и здесь не приводятся. Приближенное решение системы интегральных уравнений можно представить в виде

?/*/) = k'jf. + ofj, хеп„, т еда,.

В том случае, если области являются полупространствами, выражение для решения принимает вид

к.к V , ( к:г;

qjxx) = \ 1(х,)

f; f: +-

i, м:;

5q> dt

32ф 5® 1 скр 3q>

+ v—?--v. —- V,----V, — -а® = - /

dz2 "dp 1 рЭХ ' dz J

KUaJK-Ja,)

Методом факторизации строятся общие представления решений задачи и приближенные формы.

Описанное плоскопараллельное движение среды не охватывает всех основных ламинарных ее перемещений.

Известно, что в совокупности плоскопараллелыое, вращательное и конвективное перемещение масс уже охватывает основные виды ламинарного движения субстанций (СБ) - атмосферы и водных акваторий, плюмов в астеносфере. Проведены расчеты оседания СБ на поверхности при различных значениях параметров.

Для описания движения СБ используются уравнения переноса, которые в цилиндрической системе координат имеют вид

1 д ( j9tpS 1 Э:ф~ _рдр{Рдр) р2дк2_

Здесь v?(x,y,z,t) - концентрация СБ в точке x.y.z в момент t; Ц, v - коэффициенты горизонтальной и вертикальной турбулентной диффузии среды; а - коэффициент поглощения СБ; 6=(vp,vx,v,) - вектор скорости в цилиндрических координатах; / -функция, описывающая источник выброса СБ.

Наряду с этим уравнением должно выполняться уравнение неразрывности вида

,-, 15(Pvp) \dvx dv, п , , ч

divb =--5—— +--- +—L = 0, b = (v0,v.,vA.

p dp p dk dz v p i

Рассматривая среду с границами, параллельными плоскости z, в виде слоя толщины Н, считаем, что

Ф = 0, г= Н, V— = g(p,X), г = 0. dz

Находятся условия, когда divb = о Рассматриваются два случая.

Первый случай. Полагается v, = const, vk =v)op vK=conct, vp = cpp ', cp - постоянная, характеризующая направление скоро-

сти ур Этот случай отвечает исследованию поведения среды вблизи оси вращения как твердого тела.

Второй случай. Берется еще одно условие, когда м = о

Примем Ур=срр~', \г=сот1, V, = V, -сот!, ср —ПОСТОЯННаЯ,

характеризующая направление скорости

В этом случае рассматривается удаленность от оси вращения или разреженность среды. Формулы, описывающие решение задачи, имеют вид

1 с+ с° а ' _____

2я I ({-и) Ф. (и, К, г, о) =--^-'- в(и).

Выполнены формулы, описывающие поведение решения.

В пятой главе излагается один из подходов оценки сейсмичности и подготовки землетрясений при взаимодействии лито-сферных плит.

Исследуются две характеристики, влияющие на нарастание сейсмичности, - концентрация напряжений и условия потери устойчивости.

В качестве модели рассматривается взаимодействие двух полубесконечных литосферных плит, контактирующих между собой по границе вдоль бесконечной прямой и покоящихся на деформируемом основании верхней мантии на границе Мохорови-чича.

1. При мелкомасштабном рассмотрении литосферные плиты моделируются системой нелинейных уравнений теории оболочек (Вольмир А С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.) и имеющих вид

а2«,2 1-//Э1«, 1 + // дгиг I, , \ди, , , 1 - / , , у\-цгд\ п дх, 2 йг2 2 у * ■' дх, £й £ £ Зг

\+и д2и. д2и, \-ид1и, I , , \ди, 1-// /1 ~ц2дги, .

12 ' 1 " ^ сЬс, ^ 4 ">дх._ +(к1 +2а)

Здесь у4 = у2уг=-^г+2—

йх, йх, дх2 дх2

,„)=Э"> д2и3 I 1 + д\ ) 94 ах, ах, 2 ЙХ2 ах,аг2 2 ах, ах2'

. ч йи, 32к, 1 + и ди. д2и, 1 - и дщ д2и,

пЛ и) = —-—^ + —-—г---—I--——1—

дх2 дх2 2 Эх, 2 дхг йх,

5 2 (оЬ^ 2 сМсЬс,

ди. ди, I , , \ л 1 -идиЛди. ди,

I Гэ»| , ди2 |

2 йх2Зх, ^ йх2 [Эх2

и = {и,,«,,«)}; п(и) = {",("),«¡(и),",(«)},

и,я - векторы перемещений и усилий, действую1дих на нижнюю границу литосферной плиты соответственно; г - вектор воздействия сверху.

Приняты следующие обозначения: е - модуль упругости материалов плит; ц - модуль сдвига материалов плит; иг, и, - перемещение точек плиты, и,, и2 - по главным направлениям срединной поверхности и и, - по нормали; к^ - кривизны по осям х, соответственно.

Будучи линеаризованными, они имеют тот же вид, но с опущенными компонентами нелинейного вектора п^и;. В дальнейшем ограничимся случаем плоских литосферных плит, лежащих на основании с плоской границей. В этом случае кривизны а, по осям исчезают.

Остальные параметры включают механические характеристики материала плит, кривизны, толщины, принятые в указанной монографии.

В зависимости от условий на краю ставятся соответствующие граничные условия, которых для каждой пластины должно быть по четыре. Их набор формируется выбором постановок механических задач. Далее приводятся граничные условия для различных видов -¡акрепления пластины при .х2 = соадг.

Для случая, когда краям литосферных плит разрешается свободно смещаться вдоль оси х3, граничное условие имеет выражение

Граничиые условия для случая, когда края пластинки не получают нормальных перемещений, принимают вид

Для случая защемленного края и при отсутствии поворота касательной к срединной поверхности имеем

При отсутствии смещения точек края вдоль нормали к граничной линии в данном случае в направлении оси л,

Если жи в предыдущем случае позволить точкам края границы свободно смещаться вдоль нормали к границе, т.е. в направлении оси то граничное условие принимает вид

л'„ =°

и, = О

В том случае, если точкам края пластины нельзя смещаться вдоль граничной линии, т.е. в направлении оси граничное условие имеет вид

щ =0

Если в предыдущем случае точкам края пластины разрешается свободно смещаться вдоль границы, т.е. в направлении оси то граничное условие имеет вид

т = 0.

При взаимодействии нескольких литосферных плит граничные условия должны быть сформулированы на границах контакта плит. Характер этих условий определяется видом контактного взаимодействия и наличием степеней свободы краев литосферных плит. Так, если контакт жесткий и без проскальзывания, то на границе должны выполняться условия равенства имеющихся перемещений и напряжений. Если контакт допускает проскальзывание, то задаются условия на напряжения, а перемещения определяются дополнительно из соответствующих интегральных уравнений. Наконец, граница может обладать включением, которое жестко удерживает граничные точки обеих плит, не позволяя границе деформироваться. В этом случае из интегрального уравнения определяются напряжения. На основании приведенных соотношений могут быть сформулированы отдельные условия на перемещения и напряжения, заданные на всей границе, а также поставлены условия смешанного контакта, когда на одной части границы задаются условия одного типа, а на другой - другого. Как и в предыдущих случаях, эта задача сводится к исследованию интегральных уравнений, но более сложным путем.

Остальные параметры включают механические характеристики материала плит, кривизны, толщины, принятые автором.

В зависимости от условий на краю ставятся соответствующие граничные выражения. Для случая, когда краям литосферных плит разрешается свободно смещаться вдоль оси х;, граничное условие выражается формулой

* дх2 * ох, дх2 ' дх,

дх.дх.

N =- EA

1-S

ди, , 1 í ди, . ¿ —!—ka+-\ —- \ +u dx, 1 21 dx, 1

ди2 1 [ ди,

—u,+- —l cbr, ' 21 dx.

+ T_ E/i ГЭц | ди, ftO D_ Eh'

- 1 - 1' -' - ^ '

dxl дх]' 2(1 + ¿Í)йх, 5д:2 j' \7(\-цг)

Здесь e - модуль упругости материалов плит; ц - модуль сдвига материалов плит; щ,и2,и} - перемещение точек плиты, щ,щ - по главным направлениям срединной поверхности, и, - по нормали; кх,кн - кривизны по осям х,, х2 соответственно.

Будучи линеаризованными, они имеют тот же вид, но с опущенными компонентами нелинейного вектора п(и). В дальнейшем ограничимся случаем плоских литосферных плит, лежащих на основании с плоской границей. В этом случае кривизны к^, kx¡ по осям исчезают.

В качестве деформируемого основания, на котором находятся литосферные плиты, можно принимать различные модели: деформируемое полупространство, слой, многослойное полупространство, в том числе анизотропное, вязкоупругие среды. Во всех перечисленных случаях соотношения между напряжениями на поверхности среды = 1, 2, з и перемещениями ик, к = \, г, з имеют вид

..i

Q, («,.«,) = ) \ч. (x^e^-'^dx,,

rii(a„a1,x!) - аналитические функции двух комплексных переменных ак, в частности, мероморфные.

Аналогичный вид имеют эти соотношения в плоском случае хг,х, С ТОЙ раЗНИЦеЙ, ЧТО /и, и = 2, 3

Их выражения для различных типов деформируемых оснований даются в монографиях (Александров В.М., Мхитарян СМ. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками.

М.: Наука, 1983; Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979; Ворович И.И., Алексаьдров В.М., Бабешко В А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974) и др. Эти соотношения чазываются функциями влияния. В тех случаях, когда уравнения, описывающие поведение среды основания, известны, элементы матрицы-функции и удается вычислить. Когда нет таких уравнений, функции влияния могут быть получены экспериментально.

В общем случае литосферные плиты имеют сложи ую в плане форму - рельефные поверхности, неоднородности, типа разломов, полостей-трещин и включений. Исследование таких задач связано с большими техническими сложностями. Далее ограничимся исследованием случая взаимодействия двух т тосферных плит. В связи с этим будем использовать метод сведения смешанной задачи к интегральным уравнениям.

Запишем систему для каждой плиты в отдельности:

св

|}К20= р]*„*2еП2>

В общем случае интегральные уравнения необходимо исследовать методом факторизации, применяемым для изучения вирусов вибропрочности в гл. 3, и методами, описанными в гл. 4. Эта проблема является сложной. Ограничимся случаем взаимодействия двух полуограниченных плит, а именно будем счи-ать, что п, и п2 - полуплоскости:

П,. х2 <0, 02 х2 > 0,

Рассмотрим два типа задач. Первый связан с расчетом напряженно-деформированного состояния литосферных плит, подверженных внешним воздействиям, при условии, что плита не теряет устойчивости. Второй тип задач применим в ситуации, при которой плита теряет устойчивость. В этом случае: возникает

несколько положений равновесия литосферной плиты, что может повлечь вы пучивание ее отдельных участков.

Для оценки напряженности литосферных плит до потери устойчивости при малых внешних воздействиях уравнения линеаризуются и задача сводится к системе парных интегральных уравнений с матричными ядрами вида

I к, (а,, а2 <2 (а,а2) ¿а2 = (а,, *2), < < О,

во

IК2 (а,, '0(а,а2) ¿а2 =р],(а[,х1), 0<х2<ю

Последние известным приемом, связанным с исключением функции о, приводятся к краевой задаче Римана для пары вектор-функций л* вида

мл; = /г1- + р;,-1с1.к2;р;1., м = к,.к.>

Определение вектор-функций я;, я, в предположении нулевых частных индексов у матрицы-функции м осуществляется методом фекторизации, развитым в гл. 1. Найденные контактные напряжения, действующие на плиту снизу, позволяют решить приведенную линеаризированную краевую задачу для контактирующих пластин. После удовлетворения граничным условиям получается решение исходной краевой задачи.

2. На следующем этапе рассматривается крупномасштабная модель зон, в которых изучается концентрация напряжений. Именно зоны, содержащие вирусы вибропрочности, удаленные от других аналогичных зон, вырезаются в виде плит. Решенная ранее задача позволяет определить и задать граничные условия для этой плиты. В результате получается рассмотренная в гл. 3 задача теории вирусов вибропрочности. Этот подход наряду с глобальным оценками напряженности позволяет оценивать локальные кснцентрации напряжений, происходящие вследствие наличия неоднородностей.

Для исследования потери устойчивости литосферных плит и последующего их поведения, ветвления решений применяется теория нормально разрешимах операторов (Вайнберг М.М., Треногий В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969).

Оператор приведенной краевой задачи Римана для вектор-функции предполагается имеющим отличные от нуля дефектные числа, что выражается в наличии разнознаковых частных индексов у диагональной матрицы-функции, получающей :я при канонической факторизации символа (коэффициента) кргевой задачи, т.е.

В дальнейшем по известной схеме находятся ядро и коядро нормально разрешимого оператора. При их наличие можно построить уравнение разветвления по формуле Ляпунова - Шмита, заимствованной из приведенного источника, вида

Доказывается, что в случае ограниченности хотя бы одной плиты, в том числе и при нулевых частных индексах матрицы-функции М, может иметь место бифуркация решений при соответствующих условиях. Причиной этого является возмущение обратимого оператора вполне непрерывным.

В заключении излагаются основные результаты работы и направления дальнейших исследований.

В приложении приводятся сведения из теории обобщенных функций, сведения о наиболее часто встречающихся краевых задачах различных научных областей, рисунки.

1. Создан математический аппарат факторизации, специально приспособленный для исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит. В частности разработан метод факторизации исследования и решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами произвольного порядка и ограничен-

м = м.-д-м+.

, М, N > 0.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

ных, полуограниченных и неограниченных областях. Области могут быть многосвязными, границы - кусочно-гладкими. Области могут содержать неоднородности той же или меньшей размерности.

Показано, что метод факторизации позволяет исследовать все основные типы краевых задач, возникающих при изучении напряженно-деформированного состояния литосферных плит, и при наличии воздействий внешних полей любой природы, описываемых системами линейных уравнений в частных производных конечного по эядка с постоянными коэффициентами.

2. Разработан новый метод - метод факторизации исследования и решения интегральных уравнений теории вирусов вибропрочности в произвольных областях, основанный на применении внешнего анализа, геометрии многообразий. В отличие от метода фиктивного поглощения он применим также и в случае невыпуклых и многэсвязных областей.

3. Впервые построены формулы факторизации полных (без требования функциональной или иной коммутативности или тре-угольности) мероморфных матриц-функций. На их основе:

- создан метод двойной факторизации, который позволил свести исследование краевых задач для систем дифференциальных уравнений к аналогу одного уравнения;

- разработан метод исследования взаимодействующих плит, пластин и оболочек, лежащих на деформируемом основании, учитывающий разнотипность последних.

4. Предложен метод исследования воздействия верхней мантии на ниянее основание литосферных плит субстанциями, выбрасываемыми плюмами; построены модели расчета их оседания.

5. Разработан метод исследования напряженно-деформированного состояния взаимодействующих литосферных плит, концентрации напряжений в них, в том числе при наличии вирусов вибропрочности.

6. Предложен аналитический метод исследования потери устойчивости взаимодействующих литосферных плит и оценки последующих их состояний (ветвление решений) с применением факторизации.

рос. национальная библиотека 1 СПстервург «

09 V» мт ,

■ • — *

Публикации по теме диссертации в журналах, определенных ВАК РФ для докторских диссертаций

\. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Собисевич A.JI. Исследование поведения вязкой жидкости при вибровоздейств ли // ДАН. 1994. Т. 336. № 6. С. 760-762.

2. Бабешко О.М., Собисевич A.JJ. О поведении вязкой жидкости при вибровоздействии // Развитие методов и средств экспериментальной геофизики. М.: ОИФЗ РАН, 1993. Вып. . С. 33-38.

3. Бабешко О.М, Евдокимов СМ., Евдокимова О.В. К оценке эколого-экономической целесообразности дизайна рекреаций предприятий // Известия высших учебных заведений. СевероКавказский регион. Естественные науки. 1999. № 3. С. 115-117.

4. Бабешко ОМ, Евдокимова О.В., Евдокимов С.М. Об учете типов источников и зон оседания загрязняющих веществ 11 ДАН. 2000. Т. 371. № 1.С. 32-34.

5. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в теории вирусов вибропрочности //ДАН. 2003. Т. 393. № 4. С. 473-^77.

6. Бабешко В.А., Бабешко О М. Метод факторизации решения некоторых краевых задач //ДАН. 2003. Т. 389. № 2. С. 184-188.

7. Бабешко В.А., Бабешко О.М Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных областях //ДАН. 2003.392. № 6. С. 767-770.

8. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Обобщенная факторизация в краевых задачах в многосвязных областях // ДАН. 2003. Т. 392. №2. С. 185-189.

9. Бабешко В А., Бабешко О.М., Вильяме Р. Метод факторизации решения некоторых неоднородных краевых задач // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск. 2003. С. 10-12.

10. Бабешко О.М. Об одном подходе в проблеме оценки загрязнения разнородных ландшафтов // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2003. № 1.С. 10-15.

11. Бабешко В.А., Бабешко О.М. К оценке экологических последствий спиралеобразных движений атмосферы и водных масс

// Известия Международной академии наук высшей школы. 2002. №3(21). С. 105-110.

12. Бабешко В.А , Бабешко О.М, Вильяме Р. К проблеме переноса загрязняющих веществ конвективными движениями атмосферы // Межвузовский сб. СПб.: СПбГУ, 2002. С. 44-49.

13. Бабешко ОМ Новый подход в оценке оседания веществ на разнотипные поверхности // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 1. С. 82-87.

14. Бабешко В.А, Бабешко О.М О методе факторизации в краевых задачах для сплошных сред // ДАН. 2004. Т. 399. № 3. С. 63-68.

15. Бабешко В А., Бабешко О М Формулы факторизации некоторых мероморфных матриц-функций // ДАН. 2004. Т. 399. № 1.С. 163-167.

16. Бабешко В А., Бабешко ОМ, Вильяме Р Проблема исследования напряженно-деформированного состояния литосфер-ных плит // Известия высших учебных заведений. СевероКавказский регион. Естественные науки. 2004. Спецвыпуск. С.10-12.

17. Бабешко В.А., Вильяме Р, Бабешко ОМ. Исследование возможности расчета сейсмической напряженности литосферных плит // Труды III Всерос. конф. по теории упругости с международным участием. Ростов н/Д; Азов: Новая книга. 2004. С. 62-64.

18. Бабешко В.А, Бабешко О.М О некоторых проблемах в сейсмологии // Вестник Южного научного центра РАН. 2004. № 1.С. 17-23.

19. Бабешко В А., Бабешко ОМ К исследованию краевых задач сейсмо тогии // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 3. С. 5-10.

20. Бабешко В А., Бабешко ОМ. Исследование краевых задач двойной факторизацией // ДАН. 2005. Т. 403. № 1. С. 20-24.

21. Бабешко В А., Бабешко О М К исследованию связанных краевых задач механики сплошных сред и математической физики // ДАН. 2005. Т. 400. № 2. С. 192-196.

22. Бабешко О.М К расчету экологических последствий спиралеобразных движений атмосферы и водных масс // Экологический вестник научных центров Черноморского экоюмического сотрудничества. 2004. № 3. С. 57-60.

23. Бабешко В.А, Бабешко О М. Интегральные преобразования и метод факторизации в краевых задачах // ДАН. '.1005. Т. 403. № 6. С. 28-32.

24. Babeshko ОМ, Zaretskaya M.V., Syromyatnikov Р V. Pollutants Transfer by Tornadoes and Convective Movements Proceeding of a Workshop held at the University of Applied Sciences. Wiesbaden, 2004.

25. Бабешко О.М, Сыромятников П.В. Система расчета оседания загрязняющих веществ в многослойной среде с учетом подстилающих поверхностей: Свидетельство об офиц. регистрации программы для ЭВМ (Россия). № 2004611392 от 04.06.2004.

26. Бабешко ОМ, Калинчук В В, Белянкова Т. И. Евдокимов СМ., Евдокимова О.В., Сыромятников П.В, Зарецкая MB. Математическая модель переноса загрязняющих веществ конвективными движениями атмосферы: Свидетельство об офиц. эегистрации программы для ЭВМ (Россия). № 2005610008 от 11.01.2005.

27. Бабешко В.А, Бабешко ОМ О представлении решений в методе факторизации // Экологический вестник научь ых центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. J У» 1. С. 5-9.

28. Бабешко В А., Бабешко О.М. Об одном новом подходе в проблеме прогноза сейсмичности // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2005. № 4. С. 69-74.

29. Бабешко О М., Евдокимов С М, Евдокимова О.В., Зарецкая MB, Ратнер СВ., Сыромятников ПВ Математическая модель расчета осаждения загрязняющих веществ, выбрасываемых в многослойную среду периодическими или стационарными источниками: Свидетельство об офиц. регистрации программы для ЭВМ (Россия). № 2005611863; от 21.07.2005.

30. Бабешко В.А, Бабешко О М Об одной модели расчета концентрации напряжений в литосферных плитах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 2. С. 16-22.

Подписано в печать 05.10.05. Формат 60х84'/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Гарнитура «Тайме» Уч.-изд. л. 2,0. Усл. печ. л. 2,09. Тираж 100 экз. Заказ № 166.

Типография Кубанского государственного университета 350023, г. Краснодар ул. Октябрьская, 25.

Ht -» В 789

РНБ Русский фонд

2006-4 19990

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Бабешко, Ольга Мефодиевна

Введение.

Глава 1. ФАКТОРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ И МАТРИЦ-ФУНКЦИЙ.

§ 1. Некоторые сведения из теории факторизации функций.

§ 2. Факторизация матриц-функций.

§ 3. О факторизации матриц-функций, не вырождающихся в функционально-коммутативные.

§ 4. О факторизации матриц-функций порядка N.

§ 5. Факторизация матриц-функций относительно оси.

§ 6. Новые формулы факторизации некоторых мероморфных матриц-функций.

Глава 2. МЕТОД ФАКТОРИЗАЦИИ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ • СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.•.

§ 1. Топологическая основа метода факторизации.

§ 2. Метод факторизации для обыкновенного дифференциального ф уравнения в сравнении с другими методами.

§ 3. Прямой метод факторизации решения некоторых краевых задач.

§ 4. Обобщенная факторизация в краевых задачах в многосвязных областях.

§ 5. Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных об® ластях. if

§6.0 методе факторизации в краевых задачах для сплошных сред.

§ 7. К исследованию связанных краевых задач механики сплошных сред и математической физики.

§ 8. Исследование краевых задач двойной факторизацией.

§ 9. Исследование краевых задач для систем дифференциальных уравнений высокого порядка.

А § 10. О выполнении граничных условий в методе факторизации.

Глава 3. ФАКТОРИЗАЦИЯ В ТЕОРИИ ВИРУСОВ ВИБРОПРОЧНОСТИ.

§ 1. Некоторые вопросы локализации, резонансов и вирусов вибропрочности для сред с неоднородностями.

§ 2. О существовании вирусов вибропрочности.

§ 3. Локализация и резонансы в случае единичных штампа и трещины.

§ 4. О классификации вирусов вибропрочности.,.

§ 5. Метод факторизации в теории вирусов вибропрочности.

Глава 4. ПРОБЛЕМА ОЦЕНКИ ВОЗДЕЙСТВИЙ НА НИЖНЕЕ ОСНОВАНИЕ ЛИТОСФЕРНОЙ ПЛИТЫ.

§ 1. Основные уравнения теории переноса субстанций.

§ 2. Задача переноса субстанций в многослойной среде.

§ 3. Распределение субстанций-плюмов на границе Мохоровичича с разнородными зонами.

§ 4. Задача о движении и концентрации субстанций при конвективном движении среды.

Глава 5. ПРОБЛЕМА КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ ВО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЛИТОСФЕРНЫХ ПЛИТАХ И ИХ

УСТОЙЧИВОСТЬ.

§ 1. Уравнения напряженно-деформированного состояния литосферной плиты.

§ 2. Концентрация напряжений во взаимодействующих литосферных плитах.

§ 3. Потеря устойчивости литосферных плит.

§ 4. Об оценке поведения плит после потери устойчивости.

Введение диссертация по механике, на тему "Метод факторизации в проблеме напряженно-деформированного состояния литосферных плит"

Актуальность проблемы

Назовем некоторые из них. Прежде всего, недоступность глубинных слоев Земли для получения надежных данных относительно параметров среды и протекающих там процессов. Известны лишь сравнительно приближенные модели тектонического строения Земли. Велико разнообразие и разброс как геометрических характеристик глубинных зон, так и физико-механических и химических процессов, протекающих в активных зонах, известных лишь приближенно, а зачастую принимаемых на основе гипотез.

Добавим к этому отсутствие знаний или установившейся точки зрения относительно строения коры Земли - является она сплошной структурой или блочной.

В настоящее время накоплен значительный материал, относящийся к оценке произошедших землетрясений по оценкам магнитуды и балльности сейсмических событий, местах традиционного проявления этого события, построены модели протекания процесса разрушения среды. Однако исследований по анализу нарастания сейсмической напряжённости с позиции механики разрушения литосферных плит выполнено очень немного.

Известные в этой области работы связаны со значительной идеализацией литосферных плит - идеализацией неоднородностей, разломов, вызванных незнанием строения литосферных плит в заданном районе.

И тем не менее концепция механического разрушения литосферных плит имеет под собой основу. Приведем соображения, которые дают основания применять этот подход в проблеме сейсмичности.

Кора Земли представляет собой деформируемое тело - сферическую плиту, в основном упругую, имеющую сложное строение, с разломами, рельефами, включениями и полостями (рис. В. 1). В ней различают, как правило, три характерные границы между осадочными структурами и кристаллическими - гранитом, между гранитом и базальтом (граница Конрада) и между базальтом и верхней мантией (граница Мохоровичича). Это не исключает наличия и других многочисленных границ в разных местах Земли. Нельзя исключать и часть коры Земли, превосходящую по площади территорию суши, покрытую океаном, где сформирована граница между водным слоем и непосредственно твердыми кристаллическими структурами дна (рис. В. 2).

С точки зрения происходящих сейсмических событий кору Земли нельзя рассматривать крупномасштабным объектом, поскольку сейсмические события в масштабах размеров Земли носят мелкомасштабный, локальный характер. Максимальные зарегистрированные разломы Земли, появлявшиеся при землетрясениях, не превосходят 100 км в длину, что в масштабах протяженности экватора Земли (40 ООО км) является малой величиной. Это же показывают и сейсмические события. Их проявления в одних местах, как правило, не влекут за собой подобных событий в других, удалённых районах. В связи с этим при изучении сейсмического события в литосферной плите анализируются мелкомасштабные особенности, разломы, включения, неоднородности, воздействия, а сама литосферная плита принимает образ горизонтально протяжённой и даже неограниченной трёхмерной плиты, имеющей сложное строение с рельефными внешними и внутренними границами. Проблема усугубляется тем, что относительно литосферной плиты нам достоверно известна лишь форма доступной её верхней границы. С учётом знаний и теорий исторических геологических процессов имеется предположительное описание строения зон осадочных пластов и пород, возможно, содержащихся в них, и совсем мало сведений известно относительно кристаллической части лито-сферной плиты (рис. В. 3). В то же время понятно, что основная часть упругой энергии накапливается именно в этой зоне, здесь формируются очаги наиболее сильных землетрясений, что следует из оценок глубин этих очагов (рис. В. 4).

Известно, что кора Земли имеет толщину от 6-8 км под дном океанов до 50 км в зонах горных массивов. Поэтому сильные землетрясения с глубинами более 50 км, называемые глубокофокусными, случаются редко и их разрушительное воздействие мало. Граница Мохоровичича разделяет упруго-деформируемую кристаллическую часть коры Земли и предположительно вязко-упругую, текучую, пластическую, относящуюся к верхней мантии ас-тиносфере. Наличие и места расположения разломов литосферных плит глобального характера, большой протяжённости, если они не выходят на поверхность, установлены по сейсмическим проявлениям, местам эпицентров землетрясений, сейсмической активности, а также с помощью спутниковых наблюдений. Это приэкваториальная зона, обилующая и вулканическими объектами, а также береговые зоны ряда океанов, в том числе и на Севере (рис. В. 5).

Однако сейсмические события происходят и в зонах, удалённых от глобальных разломов, т.е. определенную роль играют и разломы сравнительно малой мощности. Более того, в последние годы жизни академик М.А. Садовский, посвятивший много исследований проблемам сейсмичности, пришел к концепции блочного строения коры Земли. В его работах приведены многочисленные примеры, свидетельствующие о наличии оснований для такого утверждения [178-181]. Однако изучение волновых явлений в коре Земли не позволяет отвергать и ее сплошную структуру. Экспериментальные исследования глубинного строения литосферной плиты вплоть до нижнего основания в штате Огайо, выполненные профессором Р. Вильямсом (университет Теннесси, США) методом вибросейсморазведки с использованием тяжелого передвижного вибросейсмоисточника Y-3000, показали наличие как трещиноватого строения, претендующего на блочность литосферной плиты, так и зоны ее сплошности.

Скорее всего, имеет место и то и другое. Касаясь строения литосферных плит, нельзя не учитывать их преднапряжённость, сильную анизотропию, термоэлектроупругость, хотя и слабо проявляющуюся, а также вязкоупру-гость, по крайней мере, верхних слоёв, где известны поднятия и опускания геологических структур (рис. В. 6).

Не меньше проблем представляет описание внешних факторов, влияющих на напряжённо-деформированное состояние литосферных плит. К их числу относится следующий, далеко не полный набор: центробежные силы, связанные с вращением Земли, наиболее значительные на экваторе и, возможно, наиболее значимые при подготовке землетрясений, атмосферное давление, притяжение Луны и возникающие приливы, выпадение осадков и волнения морей и океанов, подводные океанические течения, вызывающие ко-риолисовы силы, смена времён года и связанные с этим температурные и деформационные изменения, солнечная активность, техногенные воздействия, связанные с деятельностью человека. Нельзя исключать из рассмотрения и роль изобилующих на поверхности Земли и в глубинах ее коры электролитов - естественных и наведенных, последствия выемки углеводородного топлива в различных формах, приводящей к образованию полостей, и др. Наконец, требует исследования малоизученный фактор внешних воздействий на нижнее основание литосферной плиты (границу Мохоровичича), обусловленных глубинной активностью Земли в нижней мантии между границами Гуттен-берга и Мохоровичича, где не исключаются в условиях высокой плотности сложные физико-химические, а возможно, и термоядерные процессы, сопровождающиеся конвективными движениями жидких масс, движением плюмов с выделением тепла, газов и радиации (рис. В. 7, 8).

К числу важнейших факторов необходимо отнести зарегистрированный медленно происходящий по границе Мохоровичича дрейф литосферных плит, сопровождающийся их горизонтальной деформацией, причина которого до конца неясна. Кроме того, нельзя исключать из рассмотрения ни один, даже кажущийся незначительным, фактор, поскольку, в сумме с другими факторами вблизи точки бифуркации он сможет спровоцировать сейсмическое событие (рис. В. 9).

Именно сложность строения литосферных плит и многофакторность внешних воздействий на них явились той причиной, что до сих пор нет признанного и строго установленного фактора или факторов, наиболее ответственных за нарастание сейсмической напряжённости литосферных плит. Понятно лишь одно: землетрясение - это разрушение литосферной плиты, происходящее с высвобождением упругой энергии, накопившейся в литосферной плите за счёт внешних воздействий. Здесь можно назвать несколько сценариев разрушения литосферных плит. В одних случаях места разрушения расположены в зонах наибольшей концентрации напряжений, выявляемой при решении основных или смешанных задач [4-9, 13-16, 25, 37, 84, 85, 92— 111, 123, 151, 152, 158, 163, 167, 169-171, 182, 184, 194, 195]. Процессы разрушения происходят при максимальных соответствующих напряжениях, если зона без неоднородностей. Если имеются разломы, то разрушения проявляются в вершинах трещин, включений или иных структур сложного строения, состоящих из совокупностей неоднородностей (вирусов вибропрочности) [92-101]. Могут иметь место упруго-пластические разрушения при наличии больших нелинейных деформаций [158, 173].

Наряду с разрушением литосферных плит по причине превышения предельных значений концентрации напряжений, в основном в зонах разломов, нельзя исключать разрушение их в связи с потерей устойчивости как нелинейных протяженных оболочек сложного строения за счет выпучивания или иных сложных движений, в том числе крутильного характера, но уже при сравнительно меньших напряжениях, чем нужны для разрушения твердого тела [66, 81, 91, 110, 125, 188, 189]. Возможны и иные комплексные процессы, вызывающие разрушение литосферных плит, возникающие лишь при одновременном синхронном воздействии на плиту нескольких факторов в моменты подходящего стечения обстоятельств. Именно сложность определения мест подготовки землетрясения явилась причиной развития направления статистической оценки возможного землетрясения [121]. Понятно, что это не решает проблему прогноза.

Таким образом, при любых подходах к решению проблемы прогноза мест подготовки землетрясений, вопрос исследования напряженно-деформированного состояния литосферой плиты как сложного деформируемого тела обязательно возникает, и нет никаких оснований уклониться от анализа этих вопросов, если мы хотим понять процесс ее разрушения.

Как видно из сказанного, проблема оценки сейсмичности в теоретической части соприкасается практически со всеми разделами современной механики, прикладной математики, термодинамики, физики твердого тела, геофизики. Но для того чтобы они смогли быть успешно применены при оценке сейсмичности, многие методы из числа перечисленных нуждаются как в доработке, так и в приспособлении к проведению с их помощью многофакторного анализа.

Таким образом, специфика проблемы состоит в том, что в описанных задачах сейсмичности воедино переплетаются такие факторы, влияющие на прочность и разрушение литосферных плит, как сложная геометрия тел с не-однородностями, в том числе разной размерности и гладкости, сложное физико-механическое строение тел, совместное влияние различных полей, воздействующих и на внутренние, и на внешние точки твердого тела.

Нужно добавить, что эта задача ставится в условиях достаточно большой неопределенности. Если влияние вращения Земли вокруг оси и гравитационное поле достаточно определенны, то факторы, связанные с малыми движениями плит, не говоря о воздействии на нижнее основание на границе Мохоровичича, оказываются неизвестными.

Описанная картина сложности в исследовании литосферных плит поначалу может показаться исключающей возможность решения проблемы. Однако созданные в настоящее время экспериментальные технологии и аппаратура позволяют получать важные данные геофизического характера, необходимые для постановок и исследований описанных задач.

Рядом возможностей для проведения экспериментальных исследований в этой области располагает геофизический полигон Кубанского государственного университета, где сосредоточены современные отечественные и зарубежные средства возбуждения, приема и обработки геофизической, сейсмологической, магнитотеллурической, гравитационной и физико-химической информации. Особое значение имеют данные о ежедневных вертикальных перемещениях поверхности Земли, получаемые на территории Краснодарского края с помощью сети гидрогеологических скважин и специальной автономно работающей аппаратуры (рис. В. 10).

С их помощью можно получить ряд данных, необходимых для корректных постановок математических задач. Заметим, однако, что информации лишь одного региона недостаточно для решения проблемы прогноза землетрясений. Необходима глобальная информация с обширных территорий.

Целью исследования является создание специально приспособленного для исследований в области сейсмологии математического аппарата, способного охватить описанный комплекс проблем механики деформируемого твердого тела. Метод должен быть достаточно унифицированным, чтобы обеспечить однотипный подход к решению достаточно разнообразного круга задач, описываемых как дифференциальными, так и интегральными уравнениями. Он должен быть достаточно универсальным, способным описывать процессы в глобальных и локальных областях, не утрачивая точности. Таковым явился метод факторизации, качественно обобщивший на дифференциальные уравнения подход, в свое время развитый Н. Винером, только для интегральных уравнений. Чтобы понять причины и убедиться в необходимости и создания этого метода при наличии большого количества других подходов, проанализируем существующие методы решения пространственных задач.

Задачи о равновесии и установившихся колебаниях сред в рамках линейных моделей математической физики обычно описываются при помощи краевых задач для эллиптических операторов второго порядка. К таким классам относятся модели изотропной и анизотропной теории упругости, модели геоэкологии, модель пористоупругой среды Био, электроупругая и магнито-упругая среды, модели диффузии, теплопроводности и термоупругости.

Аналитические решения частных задач

Ряд точных решений для моделей связанных полей можно найти в монографиях [113, 114, 122, 153, 166, 217]. Однако они имеют специализированную направленность и не обладают универсальностью.

Аналитические и полуаналитические методы решения

К числу наиболее часто используемых методов построения аналитических (и полуаналитических) решений исторически относятся метод разделения переменных и метод интегральных преобразований, которые используются обычно для канонических областей. В последние годы получил развитие метод конечных интегральных преобразований, обобщающий известный метод Фурье разделения переменных; в некоторых задачах решение строится в рядах, в некоторых дополнительно приходится решать бесконечные системы [136, 183].

К числу методов, часто используемых при решении краевых задач, принадлежат метод суперпозиции и метод однородных решений. Эти подходы, как правило, приводят к бесконечным алгебраическим системам, которые необходимо решать численно на основе метода урезания и, как правило, позволяют обосновать сходимость метода редукции. К недостаткам этого подхода относятся достаточно узкий класс областей и сложность исследования структуры решения на особых множествах границы. Исследования в этой области, несмотря на долгую предысторию, продолжаются и в наше время [184].

Численные методы решения

В большинстве краевых задач для упомянутых операторов для неканонических областей точное решение построить не удается и встает вопрос об эффективном численном анализе задачи. Все существующие численные методы анализа краевых задач для дифференциальных операторов в частных производных и способы сведения к конечномерным проблемам условно можно разбить на две большие группы.

1-я группа. Метод алгебраических систем К первой группе относятся методы, основанные на прямом сведении пространственных задач (3D) к алгебраическим системам. Сюда относятся разностные методы, основанные на простейших аппроксимациях операторов в частных производных разностными, и проекционные, базирующиеся на идеях метода Галеркина [203, 204].

При наличии слабых постановок можно использовать конечноэлемент-ные аппроксимации. Отметим, что наибольшего расцвета технология конеч-ноэлементных аппроксимаций достигла, оформившись в ряд мощных пакетов, для которых посильно решение самых разных задач из упомянутых областей механики и математической физики.

Так, вывод уравнений МКЭ из вариационных принципов электроупругости был проведен впервые, по-видимому, в [206].

В многочисленных публикациях, посвященных МКЭ для электроупругих сред, этот метод получил дальнейшее развитие. Были использованы (и построены новые) различные типы КЭ, разработана техника учета граничных условий для электродированных поверхностей (аналог контактных элементов), созданы специализированные КЭ-программы [258-260], позволяющие определять все требуемые характеристики полей, частоты резонансов и ан-тирезонансов, КЭМС и т.п.

Развитие конечноэлементных технологий в настоящее время осуществляется в нескольких направлениях.

1. Построение внутри конечного элемента аппроксимаций повышенной точности, использование для этого сплайн-аппроксимаций, позволяющих получать гарантированную точность решений при небольшом числе элементов, в том числе и вблизи границ [246].

Наиболее полно идеология такого подхода и ряд теоретических результатов по КЭ-аппроксимациям высокого порядка изложены в монографии [11].

2. Построение новых типов элементов [251].

3. Использование концепции суперэлементов, на основе которой возможно значительное сокращение порядка решаемых алгебраических систем [162].

4. Построение принципиально новых типов элементов, функции формы которых точно удовлетворяют дифференциальным уравнениям (элементы Треффтца) (см., например, [248]).

5. Распространение идей МКЭ на новые типы краевых задач, учитывающих разнородность сред и сопряжение физических полей (электроупругость, акустоупругость, акустэлектроупругость, термоэлектроупругость, различные керамики и ферроэлектрики) [52-54, 59, 117, 156, 213, 215, 219, 223, 224, 227-229, 233, 234, 242, 243, 256].

6. Создание автоматических алгоритмов разбиения области, обладающих минимальной шириной ленты в системе алгебраических уравнений [209-212, 218, 235, 247, 253, 254].

Созданию новых технологий в МКЭ посвящена работа [68].

2-я группа. Метод граничных интегральных уравнений. Эта группа методов алгебраизации краевых задач основана на предварительном понижении размерности исходных проблем и сведении их к двумерным операторным (интегральным) уравнениям — граничным интегральным уравнениям (ГИУ). При этом различают прямую формулировку, когда в качестве неизвестных фигурируют граничные значения векторов перемещений и напряжений, и непрямую, когда в качестве неизвестных выбираются плотности фиктивных сил. Кроме того, для прямой формулировки возможны два подхода при построении этих систем.

Первый основан на использовании идей теории потенциала и теоремы взаимности в самой общей форме для линейных моделей. Наиболее ясно этот подход изложен для операторов теории упругости и термоупругости в известной монографии [134].

В анизотропном случае отметим работы [252] и дальнейшее развитие метода в работе [255]. Вычислительные аспекты и приложения в механике даны в работах [126, 143, 192, 214, 225, 245].

Соответствующие граничные уравнения для моделей линейной электроупругости приведены в монографиях [165, 195].

Разработка граничноэлементных аппроксимаций применительно к новым классам операторов типа задач электроупругости осуществлена в работе [231].

Нестандартная формулировка граничноэлементной аппроксимации изложена в работе [232].

Ключевым моментом в построении систем ГИУ является разработка фундаментальных и сингулярных решений для соответствующего оператора в частных производных. Если оператор имеет постоянные коэффициенты, то фундаментальное решение существует и может быть найдено эффективно из теоремы Мальгранжа - Эренпрейса при помощи трехмерных интегралов Фурье (см., например, [130, 131, 140, 250]).

Основным препятствием для более интенсивного использования граничных уравнений и технологий на основе МГЭ является либо отсутствие простой формы фундаментальных решений (например, представление через гипергеометрическую функцию), либо невозможность кардинального упрощения интегрального представления. В то же время построение новых представлений функций Грина (удовлетворяющих некоторым граничным условиям) открывает большие перспективы на пути использования метода ГИУ. Ранее построенные фундаментальные решения нашли отражение в работах [230, 236-238].

Построенные системы двумерных ГИУ второго рода по границе тела могут быть использованы как для аналитического изучения структуры решения (особенно в окрестности особых множеств границы), так и для приближенного анализа и сведения к конечномерным проблемам (линейным алгебраическим системам) на основе различных подходов. Отметим, что уравнения, построенные согласно этой схеме, имеют нерегулярные ядра, хотя для большинства используемых таких уравнений. справедливы теоремы Фред-гольма.

Классический метод ГЭ, основанный на аппроксимации граничных полей, начал развиваться относительно недавно, что связано с появлением мощных вычислительных машин. Классический метод МГЭ (ВЕМ) приводит к решению хорошо обусловленных систем в силу того, что интегральные операторы в двумерных ГИУ имеют сингулярные особенности. К сожалению, для ряда осесимметричных задач изотропной теории упругости, для задач анизотропной теории упругости ядра интегральных операторов не выражаются в явном виде, что в значительной степени осложняет процедуру численной реализации, поскольку метод приводит к вычислению большого количества кратных сингулярных и несингулярных интегралов. При дискретизации и сведении к алгебраическим системам основная трудность - вычисление коэффициентов матрицы системы, которые даже в случае наличия явного вида фундаментальных решений (изотропная теория упругости) приводят к вычислению большого числа двойных интегралов; для более сложных ситуаций, когда фундаментальные решения не имеют явного представления, эти интегралы становятся многократными и главное достоинство метода ГИУ — понижение размерности - сходит на нет.

Одним из альтернативных подходов представленной идеологии является сведение краевых задач к граничным уравнениям первого рода, которые в теории потенциала были предложены впервые в работах В.Д. Купрадзе и М.А. Алексидзе [7-9, 132-134].

Однако в качестве ядер интегральных операторов были использованы фундаментальные решения соответствующих дифференциальных операторов. В.Д. Купрадзе предложил использовать регулярные интегральные уравнения, которые формулировались по некоторой вспомогательной поверхности, лежащей вне тела, что приводило к плохо обусловленным алгебраическим системам при дискретизации. В силу того, что фундаментальные решения многих операторов не выражаются в явном виде, этот подход оказался совершенно неэффективным для операторов анизотропной теории упругости и электроупругости, других, более сложных моделей, для которых возможно лишь построение интегральных представлений фундаментальных решений. Дадим характеристику этого метода в сопоставлении с другими методами исследования и решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Численные методы, основанные на вариационных принципах, методы Рица, Галеркина эффективны при исследовании задач, решения которых описываются слабо осциллирующими функциями и в ограниченных областях. Увеличение размеров области и наличие внутренних особенностей и сильной осцилляции делает эти методы неэффективными.

Метод граничных интегральных уравнений позволяет формулировать краевые задачи, сугубо связанные с дифференциальными уравнениями изотропной теории упругости в ограниченных областях. Переход к уравнениям более общего вида, анизотропным, с электроупругими соотношениями требует дополнительных усилий по построению аналогов формулы Бетти. Недостатками метода являются сингулярность входящих в представление интегральных уравнений операторов, а также полная утрата качественных особенностей задач вибрации, наличия параметров, описывающих осцилляци-онный характер зависимостей, связанных с возникновением волновых процессов.

Метод фундаментальных решений в отличие от предыдущего случая уже учитывает характер зависимости параметров, описывающих ядра интегральных уравнений от частоты, однако его недостатком является наличие особенностей в ядрах.

В работах [23, 47] на основе анализа трансформант Фурье функций с носителем в конечной области была построена система интегральных уравнений 1-го рода с гладкими ядрами для оператора изотропной теории упругости. Фактически в качестве ядер в этом случае фигурируют экспоненциальные решения соответствующего оператора. При прямой численной реализации этого подхода оказывается, что коэффициенты соответствующего дискретного оператора представимы в виде интегралов от экспоненциальных или цилиндрических функций. Если говорить об общем пространственном случае при достаточно простой аппроксимации границы многогранником и простых интерполирующих функциях, то коэффициенты алгебраических систем, которые при этом получаются, могут быть выписаны в явном виде, что является несомненным достоинством этого подхода и открывает большие перспективы. Главный недостаток полученных ГИУ 1-го рода - плохая обусловленность возникающих при этом алгебраических систем. На сегодняшний день имеются достаточно мощные вычислительные средства, позволяющие анализировать алгебраические системы, в основе которых лежит метод регуляризации в той или иной форме. Так, синтез МГЭ и метода регуляризации позволяет использовать эти уравнения для определения как характеристик напряженно-деформированного состояния, так и резонансных частот. Использование априорной информации о структуре решения позволяет существенно продвинуться в процедуре обращения вполне непрерывного оператора и создать эффективные численные алгоритмы для этого.

Идеология ГИУ первого рода с гладкими ядрами развивалась в работах [69-71,217].

Для регуляризации использовались либо метод А.Н. Тихонова, либо метод решения плохо обусловленных систем (метод Пейджа - Саундерса). Отметим, что в этом случае достаточно точно и устойчиво определялись резонансные частоты краевой задачи (это следует из сравнения результатов расчетов с точными решениями для модельных задач для канонических областей). Точность определения граничных значений неизвестных несколько хуже. Для более точного определения граничных значений неизвестных предложено использовать регуляризацию на компактных множествах, в качестве которых выбирались множества кусочно-гладких на границе функций с известными точками (линиями) нарушения гладкости. При этом использовались аппроксимации высокого порядка (второго, третьего и квазисплайны), для которых условия сопряжения на границе элемента выполняются автоматически.

Отметим таюке работу, посвященную новым ГИУ для трещин [257]. Кроме того, возможные варианты построения ГИУ с непрерывными ядрами обсуждены в работе [114].

В последние десятилетия интенсивно развиваются гибридные схемы, сочетающие конечноэлементные и граничноэлементные аппроксимации [49, 221].

Сочетание метода граничных элементов для акустических сред с конечно-элементными аппроксимациями для упругих и пьезоэлектрических областей рассматривалось также в [240].

Данный обзор показывает, что существующие методы не обладают универсализмом и больше специализированы для решения конкретных частных задач. Усложнение областей, типов неоднородностей, концентраторов напряжений, выход на задачи с бифуркациями делает неприемлемыми те или иные из перечисленных методов, начиная с некоторого усложнения задачи. Эти методы практически не применялись в задачах для совокупностей трещин и включений. Рассматриваемые в диссертации краевые задачи для систем дифференциальных уравнений в частных производных, являющиеся весьма общими, исследовались при различных предположениях относительно свойств описывающих ее параметров, коэффициентов. Теоретические исследования подобных систем в предположении эллиптичности изучались различными методами в работах С.Г. Михлина, О.А. Ладыженской, М.И. Вишика, Г.И. Эскина и других авторов, например, [1, 12, 50, 56, 74-76, 78-80, 116, 120, 132, 135, 138,141, 144, 150, 183, 186, 190,204].

Приведенный достаточно полный обзор существующих методов показывает, что несмотря на эффективность при решении конкретных специальных задач, ни один из них не удовлетворяет полностью всем требованиям, необходимым для исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит. Эти методы могут быть использованы на разных этапах после стадии математического анализа проблемы, который будет выполняться создаваемым методом факторизации.

Научная новизна результатов работы. Для исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит, преодоления перечисленных сложностей был развит метод факторизации исследования краевых задач, использующий топологический подход, приведший к применению методов интегральной геометрии, теории функций многих комплексных переменных, многомерных вычетов, внешнего анализа, факторизации [2, 12, 58, 61, 63, 73, 77, 78, 89, 90, 112, 137, 144, 149, 174, 175, 191, 199, 204, 205], т.е. методов разных математических направлений. Стояла проблема изучения воздействия на литосферную плиту большого количества отмеченных выше внешних факторов. Это приводило к краевым задачам для больших систем дифференциальных уравнений в частных производных. Данную проблему удалось преодолеть, впервые построив формулы факторизации основных типов полных мероморфных матриц-функций [18, 20, 36], чего не удавалось сделать раньше [34, 72, 84, 88, 105-108, 139, 159, 204, 241]. Это освободило исследователя от непростой работы по изучению собственных векторов крупноразмерной матрицы-функции многих переменных с большим количеством параметров, не имеющих конкретных числовых значений, и формализовало исследование краевой задачи для системы дифференциальных уравнений до уровня одного дифференциального уравнения. При изучении этих вопросов появилась теория «вирусов вибропрочности», справедливо названная так из-за скрытости совокупностей неоднородностей (вирусов), в одних условиях и их разрушительного воздействия на механический объект — в других [15,16,25,29].

Методом факторизации удается исследовать ряд задач и из смежных областей -экологии, материаловедения.

Для исследования потери устойчивости литосферных плит сформулированные задачи механики для литосферных плит сведены к исследованию систем, в общем случае нелинейных дифференциальных и интегральных уравнений с большим числом неизвестных и свободных входных параметров в неоднородных средах со сложной геометрией.

В процессе исследования этих задач впервые решена проблема построения уравнений разветвления при потере устойчивости взаимодействующих литосферных плит и сформулированы достаточные условия потери устойчивости литосферных полубесконечных и полуограниченных плит. Научное и практическое значение результатов работы Разработан достаточно универсальный метод исследования и решения краевых задач для больших систем, линейных дифференциальных уравнений в частных производных в любых областях , в том числе неограниченных с рельефной поверхностью и при наличии неоднородностей меньших размерностей. Метод применим также при исследовании и решении краевых задач для псевдодифференциальных и интегральных уравнений. Эти задачи возникают не только в сейсмологии, но и в различных областях механики, физики, экологии, электроники. Ряд задач и соответствующие уравнения даны в приложении.

К системам такого рода приводятся задачи теории упругости для изотропных и анизотропных сред, термоупругости, электроупругости, при наличии гравитационных полей и полей иной природы, в том числе для пьезоке-рамических материалов. В такой же степени охватываются задачи моментной теории упругости, материалы БИО и др. Развиваемым методом можно исследовать и задачи из смежных областей, например, теории пластичности, гидромеханики, теории переноса загрязняющих веществ в экологии [57, 64, 67, 109, 113, 115, 126, 127, 129, 130, 131, 132, 134, 143, 153, 157, 158, 160, 161, 164, 165, 181, 187,197, 203, 206, 217].

Практическое значение полученных результатов заключается в возможности единым методом одновременно решать комплекс вопросов сейсмологии, связанных с разрушением литосферных плит, чего не удавалось сделать другими методами, а также методом факторизации исследовать ряд новых, важных в приложениях задач' механики, материаловедения, электроупругости, экологии и др.

Прикладное значение результатов состоит в создании модели прогноза зон подготовки землетрясений как по максимальным разрушающим напряжениям, касательным, в случае простых воздействий и областей, в зонах разломов или при потере устойчивости.

Достоверность результатов

Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов, а также проверкой результатов на тех частных задачах, которые решаются иными методами. Например, при проверке метода факторизации использовалось спрямление границ, приводившее в слоистых областях к задачам, которые решаются методом интегральных преобразований.

Для проверки решений в случае искривленных границ применялся метод исследования и решения дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной, разработанный М.И. Вишиком и JI.A. Люстер-ником [74-76].

Исследования в области сейсмологии опирались на установленные и экспериментально подтвержденные результаты академика М.А. Садовского по блочному строению Земли, а также результаты профессора Р.Вильямса, построившего экспериментально горизонты в штате Огайо.

На защиту выносятся:

1. Разработка метода факторизации исследования и решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициетами произвольного порядка в ограниченных, полуограниченных и неограниченных областях. Области могут быть многосвязными, границы - кусочно-гладкими или содержащими неоднородности той же или меньшей размерности.

2. Разработка метода факторизации исследования и решения систем интегральных уравнений, порождаемых применением метода факторизации к краевым задачам для уравнений в частных производных.

3. Разработка нового метода факторизации полных мероморфных матриц-функций.

4. Разработка метода расчета концентрации напряжений во взаимодействующих литосферных плитах.

5. Разработка метода исследования потери устойчивости взаимодействующих литосферных плит и разных их состояний (ветвление решений).

6. Разработка метода учета воздействия верхней мантии на нижнее основание литосферных плит.

Апробация работы

Структура, содержание и объем работы

Диссертация состоит из введения, 5 глав, приложения, заключения, списка использованной литературы.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Создан математический аппарат факторизации, специально приспособленный для исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит. В частности, разработан метод факторизации исследования и решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами произвольного порядка в ограниченных, полуограниченных и неограниченных областях. Области могут быть многосвязными, границы - кусочно-гладкими. Области могут содержать неоднородности той же или меньшей размерности.

Показано, что метод факторизации позволяет исследовать все основные типы краевых задач, возникающих при изучении напряженно-деформированного состояния литосферных плит, и при наличии воздействий внешних полей любой природы, описываемых системами линейных уравнений в частных производных конечного порядка с постоянными коэффициентами.

2. Разработан новый метод — метод факторизации исследования и решения интегральных уравнений теории вирусов вибропрочности в произвольных областях, основанный на применении внешнего анализа, геометрии многообразий. В отличие от метода фиктивного поглощения он применим также и в случае невыпуклых и многосвязных областей.

3. Впервые построены формулы факторизации полных (без требования функциональной или иной коммутативности или треугольности) мероморф-ных матриц-функций. На их основе: создан метод двойной факторизации, который позволил свести исследование краевых задач для систем дифференциальных уравнений к аналогу одного уравнения;

4. Предложен метод исследования воздействия верхней мантии на нижнее основание литосферных плит субстанциями, выбрасываемыми плюмами; построены модели расчета их оседания.

Разработанный метод факторизации исследования и решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами конечного порядка в ограниченных, полуограниченных и неограниченных областях позволяет получать общее представление решения этих краевых задач в произвольных системах координат.

Для получения решения краевой задачи в интегральном виде требуется решать систему двумерных псевдодифференциальных уравнений. Последние можно исследовать таким же методом дальше, применив метод факторизации к главному оператору и понизив порядок уравнений еще на единицу. Кроме того, система псевдодифференциальных уравнений допускает дискретизацию, т.е. сведение к системам линейных алгебраических уравнений путем разложения решения уравнений по полным системам функций, сплайнов и т.д.

Наличие общего представления решения и псевдодифференциальных уравнений для определенных значений параметров задачи позволяет получать в простом виде приближенные или вырожденные аналитические решения рассматриваемых задач, особенно в статических случаях. Например, в случаях относительно больших в безразмерных параметрах областях в псев-додиференциальных уравнениях можно оставлять только главный оператор и пренебрегать экспоненциально малым вполне непрерывным. В результате можно воспользоваться решениями задач для полупространства, которые строятся просто. То же самое можно сделать и в задачах теории вирусов вибропрочности.

Развитый метод применим во всех случаях, когда приходится иметь дело с краевыми задачами для систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами произвольного порядка, имеющих неоднородности.

Он применим в задачах проектирования материалов с заданными свойствами, в задачах экологии, геофизики, акустики, радиофизики и других областях.

В тех случаях, когда дифференциальные уравнения в частных производных краевой задачи имеют переменные коэффициенты, метод можно применять, осуществив разбиение области на подобласти, в которых коэффициенты считаются постоянными.

В случае нелинейных краевых задач можно также использовать этот подход, применив метод Ньютона - Кантаровича сведения нелинейных операторных уравнений к линейным.

Разработанный в диссертации метод факторизации полных мероморфных матриц-функций дает возможность решать в аналитическом виде многие сложные смешанные задачи. Кроме того, он позволяет ставить и решать краевые задачи для бесконечных систем дифференциальных уравнений в частных производных в произвольных областях.

Все вышеперечисленные задачи в перспективе предполагается исследовать.

Список источников диссертации и автореферата по механике, доктора физико-математических наук, Бабешко, Ольга Мефодиевна, Краснодар

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: ИЛ, 1962. 208 с.

2. Айзенберг Л.А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979. 368 с.

3. Аки К, Ричарде П. Количественная сейсмология. М.: Мир, 1983. Т. 1, 2. 876 с.

4. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 487 с.

5. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука, 1993. 224 с.

6. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. М.: Машиностроение, 1986. 176 с.

7. Алексидзе М.А: Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М.: Наука, 1978. 351 с.

8. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991. 352 с.

9. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции уравнений математической физики в приближенных решениях граничных задач. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1989. Ч. 1. 412 с.

10. Алоян А.Е. Динамика и кинетика газовых примесей и аэрозолей в атмосфере. М.: ИВМРАН, 2002. 201 с.

11. Апанович В.Н. Метод внешних конечноэлементных аппроксимаций. Минск: Вышэйша шк., 1991. 170 с.

12. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 432 с.

13. Арутюнян Н.Х., Манжиров А.В., Наумов В.Э. Контактные задачи механики растущих тел. М.: Наука, 1991. 176 с.

14. Арутюнян Н.Х., Манжиров А.В. Контактные задачи теории ползучести. Ереван: НАН, 1999. 320 с.

15. Бабешко О.М. К расчету экологических последствий спиралеобразных движений атмосферы и водных масс // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. №3. С. 57— 60.

16. Бабешко В.А. «Вирусы» вибропрочности // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. 1994. Спецвыпуск. № 1. С. 90-91.

17. Бабешко В.А. Высокочастотный резонанс массивного штампа // Докл. РАН СССР. 1989. Т. 306. № 6. С. 1328-1333.

18. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Исследование краевых задач двойной факторизацией // Докл. РАН. 2005. Т. 403. № 1. С. 20-24.

19. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Собисевич A.JI. Исследование поведения вязкой жидкости при вибровоздействии // Докл. АН СССР. 1994. Т. 336. № 6. С. 760-762.

20. Бабешко В.А., Бабешко О.М. К исследованию связанных краевых задач механики сплошных сред и математической физики // Докл. РАН. 2005. Т. 400. №2. С. 192-196.

21. Бабешко В.А., Бабешко О.М. К исследованию краевых задач сейсмологии // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2004. № 3. С. 5-10.

22. Бабешко В.А., Бабешко О.М. К оценке экологических последствий спиралеобразных движений атмосферы и водных масс // Изв. Междунар. акад. наук высш. шк. 2002. № 3 (21). С. 105-110.

23. Бабешко В.А. К проблеме исследования динамических свойств трещиноватых тел // Докл. АН СССР. 1989. Т. 304. № 2. С. 318-321.

24. Бабешко В.А. О неединственности решений динамических смешанных задач для систем штампов // Докл. АН СССР. 1990. Т. 310. № 6. С. 13271330.

25. Babeshko O.M., Zaretskaya M.V., Syromyatnikov P.V. Pollutants Transfer by Tornadoes and Convective Movements: Proceeding of a Workshop held at the University of Applied Sciences. Wiesbaden, Germany, 29.09-01.10. 2004.

26. Бабешко B.A., Бабешко O.M., Вильяме P. Метод факторизации решения некоторых неоднородных краевых задач // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. Спец. вып. С. 10-12.

27. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации решения некоторых краевых задач // Докл. РАН. 2003. Т. 389. № 2. С. 184-188.

28. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных областях // Докл. РАН. 2003. Т. 392. № 6. С. 767-770.

29. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в теории вирусов вибропрочности // Докл. РАН. 2003. Т. 393. № 4. С. 473-477.

30. Бабешко В.А:, Бабешко О.М. О методе факторизации в краевых задачах для сплошных сред // Докл. РАН. 2004. Т. 399. № з. с. 315-318.

31. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Обобщенная факторизация в краевых задачах в многосвязных областях // Докл. РАН. 2003. Т. 392. № 2. С. 185—189.

32. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Об одном новом подходе в проблеме прогноза сейсмичности. Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2005. № 4. С. 69-74.

33. Бабешко В.А., Бабешко О.М. О некоторых проблемах в сейсмологии // Вестн. Юж. науч. центра РАН. 2004. № 1. С. 17-23.

34. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 265 с.

35. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Вильяме Р. Проблема исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. Спецвыпуск. С. 10-12.

36. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Формулы факторизации некоторых мероморфных матриц-функций // Докл. РАН. 2004. Т. 399. № 1. С. 26-28.

37. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1990. № 3. С. 74-83.

38. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Интегральные преобразования и метод факторизации в краевых задачах // Докл. РАН. 2005. Т. 403. № 6. С. 26-28.

39. Бабешко О.М., Евдокимов С.М., Евдокимова О.В. К оценке эколого-экономической целесообразности дизайна рекреаций предприятий // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1999. № 3. С. 115-117.

40. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Об одной модели расчета концентрации напряжений в литосферных плитах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 2. С.16-22.

41. Бабешко О.М., Сыромятников П.В. Система расчета оседания загрязняющих веществ в многослойной среде с учетом подстилающих поверхностей: Свидетельство об офиц. регистрации программы для ЭВМ. № 2004611392; от 04.06.2004.

42. Бабешко О.М. Новый подход в оценке оседания веществ на разнотипные поверхности // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 1. С. 82-87.

43. Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Евдокимов С.М. Об учете типов источников и зон оседания загрязняющих веществ // Докл. РАН. 2000. Т. 371. № 1. С. 32-34.

44. Бабешко О.М. Об одном подходе в проблеме оценки загрязнения разнородных ландшафтов // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2003. № 1. С. 10-15.

45. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

46. Бабешко В.А., Бабешко О.М. О представлении решений в методе факторизации: Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 1. С. 5-9.

47. Балабаев С.М., Ивина Н.Ф. Анализ пьезопреобразователей комбинированным методом конечных и граничных элементов // Акустический журнал. 1996. Т. 42. № 2. С. 172-178.

48. Барыбин А.А. Волны в тонкопленочных полупроводниковых структурах с горячими электронами. М.: Наука, 1986. 288 с.

49. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. М.: Наука, 1970. 328 с.

50. Белоконъ А.В., Наседкин А.В., Соловьев А.Н. Новые схемы конечно-элементного динамического анализа пьезоэлектрических устройств // Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66. №. 3. С. 491-501.

51. Белоконъ А.В., Надолин К.А., Наседкин А.В. и др. Симметричные алгоритмы в конечно-элементном анализе сложных пьезоэлектрических устройств // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. № 2.

52. Белоконъ А.В., Еремеев В.А., Наседкин А.В., Соловьев А.Н. Блочные схемы метода конечных элементов для динамических задач акустоэлектроупругости // Прикладная математика и механика. 2000. Т. 64. №3. С.381-393.

53. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 496 с.

54. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. 352 с.

55. Бердичевский М.Н., Дмитриев В.И., Новиков ДБ., Пастуцан В.Б. Анализ и интерпретация магнитотеллурических данных. М.: Изд-во МГУ, 1997.

56. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М.: Мир, 1967. 336 с.

57. Болкиев A.M. Конечно-элементный анализ деформированного состояния пьезоэлектрического двигателя // Прикладная механика. 1993. Т. 29. № 8. С. 69-72.

58. Борисов Д.В., Пряхина О.Д., Смирнова А.В. Решение динамической задачи для трехслойной среды с включениями // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 2. С. 8-13.

59. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. М.: Высш. шк., 1980. 296 с.

60. БреббияК., Телес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 526 с.

61. Бремерман Г.Б. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. М.: Мир, 1968. 276 с.

62. Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989.412 с.

63. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. 288 с.

64. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

65. Вайсблат Г.В., Петрова С.А. О связи коэффициента турбулентности в пограничном слое атмосферы с некоторыми метеорологическими параметрами // Вопросы климатологии и загрязнения атмосферы. М.: Гидрометеоиздат, 1980. 278 с.

66. Василъченко К.Е., Наседкин А.В., Соловьев А.Н. К расчету АХЧ задач об установившихся колебаниях на основе кластерных технологий в ACELAN // Вычислительные технологии. 2004. № 3.

67. Ватулъян А. О. О граничных интегральных уравнениях 1-го рода в динамических задачах анизотропной теории упругости // Докл. РАН. 1993. Т. 333. №3. С. 312-314.

68. Ватулъян А. О., Ковалев О.В., Соловьев А.Н. Новый метод ГИУ в краевых задачах для эллиптических операторов и его численная реализация // Вычислительные технологии. 2002. Т. 7. № 1. С. 54-65.

69. Ватулъян А.О., Соловьев А.Н. Новая формулировка граничных интегральных уравнений первого рода в электроупругости // Прикладная математика и механика. 1999. Т. 63. Вып. 6. С. 1035-1043.

70. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука. 1970. 379 с.

71. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. М.: Наука, 1991.576 с.

72. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Об асимптотике решения краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1958. Т. 121. №5. С. 778-781.

73. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи математических наук. 1957. Сент.-окт. Т. 12. Вып. 5 (77). С. 3-122.

74. Вишик М.И., Люстерник JI.A. Об эллиптических уравнениях, содержащих малые параметры при старших производных // Докл. АН СССР. 1957. Т. ИЗ. № 4. С. 734-737.

75. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964. 412 с.

76. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

77. Волевич JI.P., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // Успехи математических наук. 1965. Т. 20. Вып. 1. С. 3-74.

78. Волевич Л.Р., Егорова Ю.В., Панеях Б.П. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1967. 366 с.

79. Волъмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

80. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245. № 5. С. 1076-1079.

81. Ворович И.И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245. №4. С. 817-820.

82. Ворович ИИ., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М., 1979. 320 с.

83. Ворович ИИ, Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 456 с.

84. Ворович И.И, Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 248 с.

85. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

86. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

87. Гелъфанд ИМ., Граев М.И., Вшенкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. М.: Наука, 1962. 656 с.

88. Гелъфанд И.М., Граев М.И., Пятецкий-Шапиро И.И. Теория представлений и автоморфные функции. М.: Наука, 1966. 512 с.

89. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

90. Глушков Е.В. Вибрация системы массивных штампов на линейно-деформируемом основании // Прикладная математика и механика. 1985. Т. 49. Вып. 1.С. 142-147.

91. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. К проверке существования явления высокочастотного резонанса в полуограниченных областях // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1990. № 3. С. 208-209.

92. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кириллова Е.В. Динамическая контактная задача для кругового штампа, сцепленного с упругим слоем // Прикладная математика и механика. 1992. Т. 56. Вып. 5. С. 780-785.

93. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Дифракция упругих волн на пространственных трещинах произвольной в плане формы // Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60. Вып. 2. С. 282-289.

94. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Лапина О.Н. Дифракция нормальных мод в составных и ступенчатых упругих волноводах // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 2. С. 297-303.

95. Глушков Е.В., Кириллова Е.В. Динамическая смешанная задача для пакета упругих слоев // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 3. С. 455-461.

96. Глушкова Н.В. Асимптотическое представление термоупругих напряжений в угловых точках разномо,дульных соединений // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1998. № 2. С. 69-77.

97. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Резонансные частоты рассеяния упругих волн пространственными трещинами // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 5. С. 866-870.

98. Глушков Е.В., Глушкова КВ., Лапина О.Н. Показатели сингулярности упругих напряжений в точке выхода трещины на поверхность // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1998. № 5. С. 146-153.

99. Глушкова Н.В., Глушков Е.В., Хофф Р. Сингулярность напряжений в многогранных угловых точках упругих разномодульных соединений // Докл. РАН. 2000. Т. 370. № 2. С. 181-185.

100. Головчан В.Т., Кубенко В.Д., Шулъга Н.А., Гузъ А.Н., Гринчен-коВ.Т. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Т. 5. Динамика упругих тел. Киев: Наукова думка, 1986. С. 288.

101. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. М.: Наука, 1995. 352 с.

102. Горячева И.Г., Добычин КГ. Контактные задачи в трибологии. М.: Машиностроение, 1988. 254 с.

103. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой, с ядрами, зависящие от разности аргументов // Успехи математических наук. 1958. Т. 13. Вып.2. С. 3-72.

104. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Проекционные методы решения уравнений Винера Хопфа. Кишинев: Изд-во Молд. ССР, 1967. 164 с.

105. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. 352 с.

106. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория Вольтеровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. М.: Наука, 1967. 508 с.

107. Гузъ А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Киев: Наукова думка, 1986. Т. 1. 268 с.

108. Гузъ А.Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. Киев: Наукова думка, 1986. 512 с.

109. Дъелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. М.: Наука, 1982. 424 с.

110. Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1974. 400 с.

111. Игумнов JI.A. Интегральные представления для голоморфных векторов теории упругости // Прикладные проблемы прочности и пластичности (Горький). 2000. № 61. С. 210-219.

112. Игумнов JI.A. Применение сингулярных операторов Михлина -Кальдерона Зигмунда к решению динамических краевых задач теории упругости // Вестн. Нижегород. ун-та. Сер. Механика. 2002. № 1. С. 72-85.

113. Израэлъ Ю.А., Назаров ИМ., Прессман А.Я. и др. Кислотные дожди. JL: Гидрометеоиздат, 1989. 272 с.

114. Иосида К Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.

115. Кажис Р.-ИЮ., Мажейка Л.Ю. Расчет неоднородных электрических и акустических полей в измерительных пьезопреобразователях методом конечных элементов // Науч. тр. вузов ЛитССР. Радиоэлектроника. 1983. Т. 19. № 1.С. 25-35.

116. Карлович И А. Геология. М.: Академический проект, 2002. 704 с.

117. Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика // Успехи математических наук. 1948. Т. 3. Вып. 6. С. 89-185.

118. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742 с.

119. Канторович Л.В., Молчан Г.В., Вилъкович Е.В., Кейлис-Борок В.И. Статистическая модель сейсмичности и оценка основных сейсмических эффектов // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1970. № 5. С. 85-102.

120. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Электротермовязкоуцругость. Киев: Наукова думка, 1988. 320 с.

121. Кордовский КВ., Пряхина О.Д., Смирнова А.В. Решение динамической задачи для трехслойной среды с трещинами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. №3.

122. Като Т. Теория возмущения линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

123. Келлер Д.Б., Антман С. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. М.: Мир, 1974. 256 с.

124. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987. 311 с.

125. Костров Б.В. Механика очага тектонического землетрясения. М.: Наука, 1975. 176 с.

126. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов // Успехи математических наук. Т. 13. Вып. №5. 1958. С. 3-120.

127. Кринчик Г.С. Физика магнитных явлений. М.: Изд-во МГУ, 1985. 336 с.

128. Кузнецов С.В. Построение тензора Грина и Неймана в теории упругости анизотропного тела // Прикладная математика и механика. 1991. Т. 27. № 7. С. 58-62.

129. Кузнецов С.В. Фундаментальные решения уравнений Ляме для анизотропных сред // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1989. № 4. С. 50-54.

130. Купрадзе ВД Методы потенциала в теории упругости. М.: Наука, 1963.472 с.

131. Купрадзе В Д. О приближенном решении задач математической физики // Успехи математических наук. 1967. Т. 22. № 2. С. 59-107.

132. Купрадзе В Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. 603 с.

133. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 832 с.

134. Куренное С.С., Николаев А.Г. Первая основная задача термоупругости для сжатого сфероида с концентрической полостью // Прикладная математика и техническая физика. 2004. Т. 45. № 1. С. 92-98.

135. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. 716 с.

136. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

137. Литвинчук Г.С., Спитковский ИМ. Факторизация матриц-функций: В 2 ч. М., 1984. Ч. 1-2. Деп. в ВИНИТИ № 2410-84.

138. Лифшиц ИМ., Розценцвейг Л.Н. О построении тензора Грина для основного уравнения теории упругости в случае неограниченной упругости анизотропной среды //■ Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1947. Т. 17. Вып. 9. С. 783-791.

139. Люстерник Л. А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.

140. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

141. Мазъя В.Г. Интегральные уравнения теории потенциала в областях с кусочно-гладкими границами // Успехи математических наук. 1981. Т. 38. № 4. С. 229-230.

142. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973. 544 с.

143. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: Наука, 1967. Т. 1.488 с.

144. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: Наука, 1968. Т. 2, 624 с.

145. Марчук Г.И Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 320 с.

146. Медведев С.В. Инженерная сейсмология. М.: ГОССТРОЙ СССР, 1962. 284 с.

147. Мгшнор Д., Уоллес Ф. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1972. 278 с.

148. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. 576 с.

149. Морозов К Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 256 с.

150. Моссаковский В.И., Качаловская Н.Е., Голикова С.С. Контактные задачи математической теории упругости. Киев: Наукова думка, 1985. 250 с.

151. Мусий Р.С. Математическая постановка и методика решения пространственных задач электромагнитотермоупругости для сферических тел // Теоретическая и прикладная механика. 2003. № 37. С. 52-58.

152. Мусхелишвили Н.И. Системы интегральных уравнений. М.: Физ-матлит, 1962. 600 с.

153. Назаров А.Г., Дарбинян С.С. Основы количественного определения интенсивности сильных землетрясений. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1974. 286 с.

154. Наседкин А.В., Скалиух А.С., Соловьев А.Н. Пакет ACELAN и конечно-элементное моделирование гидроакустических пьезопреобразова-телей // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. 2001. Спецвыпуск. (Математическое моделирование). С. 122-125.

155. Никаноров A.M. Гидрохимия. СПб.: Гидрометеоиздат, 2001. 448 с.

156. Никифоровский B.C., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. Новосибирск: Наука, СО АН СССР, 1979. 272 с.

157. Нобл Б. Метод Винера Хопфа. М.: ИЛ, 1962. 280 с.

158. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. М.: Мир, 1986. 160 с.

159. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.

160. Новиков С.П., Сакало В.И. Применение суперэлементов для решения задач МКЭ с использованием релаксационной схемы // Динамика, прочность и надежность транспортных машин: Сб. тр. Брянск: Брянский гос. техн. ун-т, 2003. С. 43^48.

161. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1978. 444 с.

162. Партон В.З., Борисовский В.Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение, 1988. 240 с.

163. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 470 с.

164. Подилъчук Ю.Н. Точные аналитические решения статических задач электроупругости и термоэлектроупругости трансверсально-изотроп-ного тела в криволинейных системах координат // Прикладная механика. 2003. Т. 39. №2. С. 14-54.

165. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 344 с.

166. Притчетт У. Получение надежных данных сейсморазведки. М.: Мир, 1999. 450 с.

167. Пряхина О.Д., Смирнова А.В. Построение матриц-символов Грина динамических смешанных задач для слоистых сред с неоднородностями // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвыпуск. Нелинейные проблемы механики сплошной среды. 2003. С. 279-284.

168. Пряхина ОД., Смирнова А.В. Эффективный метод решения динамических задач для слоистых сред с разрывными граничными условиями // Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68. Вып. 3. С. 499-506.

169. Пряхина ОД., Смирнова А.В. Динамическая задача для разномо-дульной среды с включениями // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. Т. 11. Вып. 2. С. 388.

170. Ризниченко Ю.В. Проблемы сейсмологии. М.: Наука, 1985. 408 с.

171. Райе Дж. Механика очага землетрясения. М.: Мир, 1982. 216 с.

172. Рохлин В.А., Фукс ДБ. Начальный курс топологии. М.: Наука, 1977. 488 с.

173. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1966. 320 с.

174. Саваренский Е.Ф., Кирнос Д.П. Элементы сейсмологии и сейсмометрии. М.: Наука, 1955. 543 с.

175. Саваренский Е.Ф. Сейсмические волны. М.: Недра, 1972. 292 с.

176. Садовский М.А. Естественная кусковатость горной породы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247. № 4. С. 829-831.

177. Садовский М.А. О распределении размеров твердых отдельностей // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269. № 1. С. 69-72.

178. Садовский М.А., Болховитинов Л.Г., Писаренко В.Ф. Деформирование геофизической .среды и сейсмический процесс. М.: Наука, 1987. 104 с.

179. Садовский М.А., Красный Л.И. Блоковая тектоника литосферы // Докл. АН СССР. 1986. Т. 287. № 6. С. 1451-1454.

180. Саркисян B.C. Контактные задачи для полуплоскостей и полос с упругими накладками. Ереван: Изд-во Ереван, ун-та, 1983. 260 с.

181. Сеницкий Ю.Г. Метод конечных интегральных преобразований. Его перспективы в исследовании краевых задач механики // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. 2003. № 22. С. 10-39.

182. Серебряков Г.Г., Коваленко М.Д., Цыбин Н.Н. О некоторых свойствах однородных решений теории упругости // Докл. РАН. 2003. Т. 388. № 2. С. 193-196.

183. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955. 668 с.

184. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 442 с.

185. Сорокин В.М., Сорокин Г.В. Физика медленных МГД-волн в ионосферной плазме. М.: Энергоиздат, 1982. 136 с.

186. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Киев: Наукова думка, 1972. 506 с.

187. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. 804 с.

188. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

189. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. М.: Мир, 1984. Т. 1. 360 с.

190. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1986. 296 с.

191. Уланов В.И. Динамика земной коры Средней Азии и прогноз землетрясений. Ташкент: Изд-во ФАН, 1974. 216 с.

192. Филъштинский JI.A. Двумерные статические и динамические задачи теории упругости для тел с трещинами // Теория и расчет тонкостенных конструкций: Сб. ст. М., 1986. С. 107-117.

193. Филъштинский М.Л., Бардзокас Д. Метод граничных интегральных уравнений в проблемах дифракции электроупругих волн. Сумы: Изд-во Сумского гос. ун-та, 1999. 193 с.

194. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968. 280 с.

195. Хорват Л. Кислотный дождь. М.: Стройиздат, 1990. 281 с.

196. Чернов Ю.К. Сильные движения грунта и количественная оценка сейсмической опасности территории. Ташкент: Изд-во ФАН, 1989= 296 с.

197. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ: В 2 ч. М.: Наука, 1985. Ч. 1-2.

198. Шаров Н.В. и др. Глубинное строение и сейсмичность Карельского региона и его обрамления. Петрозаводск, 2004. 352 с.

199. Шевченко Ю.Н. Термопластичность при переменных нагружениях. Киев: Наукова думка, 1970. 288 с.

200. Шинкаренко Г.А. Проекционно-сеточные аппроксимации для вариационных задач пироэлектричества. I. Постановка задач и анализ установившихся вынужденных колебаний // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29. № 7. С. 1252-1260.

201. Шинкаренко Г.А. Проекционно-сеточные аппроксимации для вариационных задач пироэлектричества. II. Дискретизация и разрешимость нестационарных задач // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 2. С. 317-326.

202. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973. 232 с.

203. Южаков А.П. Элементы теории многомерных вычетов. Красноярск: Изд-во Красноярск, гос. ун-та, 1975. 182 с.

204. Allik Н., Hughes T.J.R. Finite element method for piezoelectric vibration // Intern. J. Numer. Meth. Eng. 1970. Vol. 2. № 2. P. 151-157.

205. Babuska L, Aziz A.K. On the Angle Condition in the Finite Element Method. SIAM // J. on Numerical Analysis. 1976. Vol. 13(2). P. 214-226.

206. Bern M., Mitchell S., Ruppert J. Linear-size non-obtuse triangulation of polygons // Proceedings of the 10th ACM Symposium on Сотр. Geometry. S.L.. 1994. P. 221-230.

207. Blacker T.D., Meyers R. Seams and wedges in plastering: A 3-d hexahedral mesh generation algorithm // Engineering with Computers. 1993. Vol. 2. P. 83-93.

208. Cavendish J.C., David A.F., William H.F. An Approach to Automatic Three-Dimensional Finite Element Mesh Generation // Intern. J. for Numerical Methods in Engineering. 1985. Vol. 21 (2). P. 329-347.

209. Challande P. Finite element method applied to piezoelectric cavities study: influence of the geometry on vibration modes and coupling coefficient // J. Mec. Theor. et Appl. 1988. Vol. 7. № 4. P. 461-477.

210. Charles L. Lawson. Software for CI Surface Interpolation // Mathematical Software III / Ed. J.R. Rice. N.Y.: Acad, press, 1977. P. 161-194.

211. Chen W., Lynch C.S. Finite element analysis of cracks in ferroelectric ceramic materials // Eng. Fract. Mech. 1999. Vol. 64 (5). P. 539-562.

212. Chen J.R., Lu Y, Ye G.R., Cai G.R. 3-d elektroelastic fields in functionally graded piezoceramic hollow sphere under mechanical and electric loading // Arch. Appl. Mech. 2002. Vol. 72. № 1. p. 39-51.

213. Cheung Y.K., Jin W.G., Zienkewicz O.C. Solution of Helmholtz equation by Trefftz method // Intern. J. Numer. Methods Eng. 1991. Vol. 32. P. 53-68.

214. D'Azevedo E.F., Simpson R.B. On Optimal Interpolation Triangle Incidences // SIAM J. on Scientific and Statistical Computing. 1989. Vol. 10. P.1063-1075.

215. DeGiorm KG. Computational evaluation of coline induced stress in a1. О X .j. ~ ' w — ----piezoelectric ceramic // Appl. Mech. Eng. 2000. Vol. 5 (1). P. 89-100.

216. Dmowska R., Rice J.R. Fracture Theory and its Seismological Applications. Continuum Theories in Solid Earth Physics // PWN-Polish Scientific Publishers. Warsawa, 1986.

217. Doherty J.P., Deeks A.J. Scaled boundary finite element analysis of nonhomogeneous axisymmetric domain subjected to general loading // J. Num. and Anal. Meth. Geomech. 2003. Vol. 27. № 10. P. 813-835.

218. Gray L.J., Kaplan Т., Richardson J.D., Paulino G.H. Green's functions and boundary integral analysis for exponentionally graded materials // Trans. ASME. J. 2003. № 4. P. 543-549.

219. Hunt J.T., Knittel M.R., Barach D. Finite element approach to acoustic radiation from elastic structures // J. Acoust. Soc. Amer. 1974. Vol. 55. № 2. P. 269-280.

220. Hwang S.C., McMeeking R.M. A finite element model of ferroelastic polycrystals // Intern. J. Solids Struct. 1999. Vol. 36 (10). P. 1541-1556.

221. Krishnasamy G., Echmerr L.W., Rudolphi T.J., Rizzo F.J. Hypersingular boundary integral equation: Same applications in acoustic and elastic wave scattering // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1990. Vol. 57. № 2. P. 404-414.

222. Liew K.M., Lim HK., Tan M.J., He X.O. Analysis of laminated composite beams and plates with piezoelectricpatches using the element-free Galerkin method // Computational Mechanics. 2002. Vol. 29. P. 486.

223. Kagawa Y. Finite element simulation of transient heat response inultrasonic transducers // IEEE Trans. Sonics Ultrasonics. 1992. Vol. SU-39. № 3. P. 432-440.

224. Kagawa Y, Tsuchiya Т., Kawashima T. Finite element simulation of vibrator gyroscopes // IEEE Trans. XJltrason. Ferroelect. and Freq. Control. 1996. Vol. 43. P. 509-518.

225. Kagawa Y., Arai H. Finite element simulation of energy-trapped electromechanical resonators // J. Sound and Vibr. 1975. Vol. 39. № 3. P. 317—335.

226. Kobayashi S., Nishimura N. Green's tensors for elastic half-spaces: An application of boundary integral equation method // Mem. Faculty Eng. Kyoto Univ. 1980. Vol. 42. P. 228-241.

227. Liew K.M., Liang J. Modeling of 3D transversely piezoelectric and elastic bimaterials using the boundary element method // Computational Mechanics. 2002. Vol.29. P. 151-162. Springer-Verlag. 2002. DOI 10.1007/s00466-002-0328-9.

228. Lu P., Mahrenholtz O.A. Variational boundary element formulation for piezoelectricity // Mech. Res. Comm. 1994. Vol. 21. P. 605-611.

229. Mackerle J. Finite element modeling of ceramics and glass, a bibliography (1977-1998) // Eng. Comput. 1999. Vol. 16 (5). P. 510-571.

230. Makkonen Т., Holappa A., Salomaa M.M. 3-d FEM modeling of composite BAW resonators // Proc. ШЕЕ Ultrasonics Symp. 2000. P. 893-896.

231. Miller G.L., Talmor D., Teng S.-H. Data generation for geometric algorithms on non-uniform distributions // Intern. J. of Computational Geometry and Applications. 1998.

232. Pan E. Three-dimension Green's functions in anisotropic elastic bimaterials with imperfect interfaces // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2003. Vol. 70. №2. P. 180-190.

233. Pan E. Three-dimension Green's functions in anisotropic half-space with general boundary conditions I I Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2003. Vol. 70. № l.P. 101-110.

234. Pan E., Tonon F. Three-dimensional Green's function in anisotropic piezoelectric solids // Intern. J. Solids Struct. 2000. Vol. 37. P. 943-958.

235. Park K.N., Banerjee P.K. Two- and three-dimensional soil consolidation by BEM via particular integral // Comput. Meth. Appl. Mech. an Eng. 2002. Vol. 191. № 29-30. P. 3233-3255.

236. Piranda В., Steichen W., Ballandras S. Comparison between different finite element / boundary formulations for modeling acoustic radiation in fluids // Proc. IEEE Ultrasonics Symp. 1998. P. 1073-1076.

237. Rawlins A.D., Williams W.E. Matrix Wiener-Hopf factorization // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1981. Vol. 34. № 1. P. 1-8.

238. Roberts A.P., Garboczi E.J. Elastic properties of model porous ceramics // J. Am. Ceram. Soc. 2000. Vol. 83 (12). P. 3041-3048.

239. Stephan E.P. Boundary integral equations for screen problems in R3 // Integral Equations Operator Theory. 1987. Vol. 10. P. 236-257.

240. Stone G.O. High-order finite elements for inhomogeneous acoustic guiding structures // IEEE Trans, on Microwave Theory and Techn. 1973. Vol. MTT-21. P. 538-542.

241. Stmal K.D., Chanderjit L.B., Kokichi S. On good triangulations in three dimensions // Intern. J. of Computational Geometry & Applications. 1992. Vol. 2 (1). P. 75-95.

242. Teixeira de Freitas J.A., Cismasiu C. Hybrid-Trefftz displacement element for spectral analysis of bounded and unbounded media // Inern. J. Solid and Structure. 2003. Vol. 40. № 3. p. 671-699.

243. Lin Y., Dodson J.M., Hamilton J.D. et al. Theory and experiment for the design of piezoelectric element for phased arrays // Proc. IEEE Ultrasonics Symposium. 1997. P. 1697—1700.

244. Tverdokhlebov A., Rose J.L. On Green's functions for elastic waves in anisotropic media // J. Acoust. Soc. Am. 1988. Vol. 83. № 1. p. 118-121.

245. Vogel S.K., Rizzo F.J. An integral equation formulation of three dimensional anisotropic elastostatic boundary value problem // J. Elastisity. 1973. Vol. 3. P. 203-216.

246. Walkington N. A Delaunay based numerical method for threefVidimensions: generation, formulation, and partition // Proceedings of 27 Annual ACM Symposium on the Theory of Computing (Las Vegas, Nevada, 29 May -1 June 1995). Las Vegas, 1995. P. 683-692.

247. Watson D.F. Computing the n-dimensional Delaunay Tessellation with Application to Voronoi Polytopes // Computer J. 1981. Vol. 24 (2). P. 167-172.

248. Wilson R.B., Cruse T.A. Efficient implementation of anisotropic three dimensional boundary-integral equations. Stress analysis // J.for Numer. Meth. In Eng. 1978. Vol. 12. P. 1383-1397.

249. Zhai J., Zhou M. Finite element analysis of micromechanical failure modes in a heterogeneous ceramic material system // J. Fract. 2000. Vol. 101 (1/2). P. 161-180.

250. Zhang Ch, Achenbach J.D. A new boundary integral equation formulation for elastodynamic and elastostatic crack analysis // J. of Appl. Mechanics. 1989. Vol. 56. №> 2. P. 284-290.

251. ANSYS. Theory Ref. Rel. 5.4 / Ed. P. Kothnke / ANSYS Inc. Houston, 1997.

252. ATILA. Finite-element code for piezoelectric and magnetostrictive transjducer and actuator modeling. V.5.1.1. User's Manual. / Lille Cedex (France): ISEN, 1997.

253. COSMOS/M. V. 2.0. Advanced Modules Manual. ASTAR. Structural Research & Analysis Corp., 1997.