Методы факторизации в проблеме оценки напряженно - деформированного состояния сред территорий с разломами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

00461626а

На правах рукописи

!

С

Федоренко Алексей Григорьевич

методы факторизации в проблеме оценки напряженно - деформированного состояния сред территорий с разломами

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

~ 9 ЛЕК 20Ю

Краснодар 2010

004616268

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

доктор физ.-мат. наук, профессор Калинчук Валерий Владимирович доктор физ.-мат. наук Евдокимова Ольга Владимировна член-корреспондент РАН, доктор физ.-мат. наук, профессор

Индейцев Дмитрий Анатольевич кандидат физико-математических наук, доцент

Евдокимов Александр Александрович Кубанский государственный технологический университет

Защита состоится 28 декабря 2010 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 при Кубанском государственном университете по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, КубГУ, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета.

Автореферат разослан » ноября 2010 г.

Научный

руководитель:

Научный

консультант:

Официальные

оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационного совета

М.С. Капустин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

К числу важных проблем в науках о Земле в настоящее время относится проблема прогноза землетрясений. Землетрясения в Гаити и Индонезии, унесшие более боо тысяч жизней, являются серьезным предупреждением для всех сейсмоопасных зон. Работа посвящена исследованию актуальной на сегодняшний день проблемы прогноза нарастания сейсмичности в сейсмоопасных зонах, имеющих сложный ландшафт, в том числе горный, а также разломы. Несмотря на обилие работ в этой области, проблема не решена и по сей день. В работе предлагается исследование этой проблемы с применением метода механики разрушения. Для реализации этого подхода развиваются методы расчета напряженности литосферных плит как деформируемых твердых тел, подвергаемых внешним воздействиям различной природы. Для решения этой проблемы в соответствии с требованиями механики деформируемого твердого тела необходимо сформулировать соответствующие граничные задачи в областях, занимаемых литосферны-ми плитами. В свою очередь литосферные плиты имеют разломы трещины, включения, которые могут сильно влиять на их прочностные свойства. В частности, разломы литосферных плит, согласно имеющимся данным вибросейсмического зондирования, могут быть сквозными, рассекающими литосферную плиту от поверхности до основания, частичными, выходящими либо на поверхность, либо на нижнее основание, внутренними, являющимися полостями, не касающимися границы. Все эти разломы способны существенно влиять на концентрацию напряжений в литосферных плитах и, следовательно, на нарастание сейсмичности. Считается, и это подтверждено практикой, что очагами землетрясений являются именно зоны разломов. В работе развивается метод оценки напряженно-деформированного состояния среды территории, которая имеет разломы, основанный на факториза-ционных подходах. Отметим, что огромный вклад в решение

проблем прочности и разрушения деформируемых тел различной реологии внесли

В.М. Александров, Б.Д. Аннин, Н.Х. Арутюнян, В.А. Бабеш-ко, В.Г.Баженов, A.B. Белоконь, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Б.М. Глинский, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, А.Г. Горшков, Р.В. Гольдштейн, И.Г. Горячева, И.М. Дунаев, Л.А.Игумнов, Д.А. Индейцев, В.И. Колесников, А.М.Липанов, Е.В.Ломакин, С.А.Лурье, A.B. Манжиров, А.А.Мовчан, Н.Ф. Морозов,

A.Д. Полянин, В.П. Матвеенко, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, В.В. Панасюк, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина,

B.C. Саркисян, A.B. Смирнова, Т.В. Суворова, Д.В. Тарлаковский, Л.А. Филыптинский, Ю.К.Чернов, Ю.Г. Яновский и др.

Метод, разработанный в диссертации, применяется для сейсмических исследований литосферных плит территории Краснодарского края с учетом имеющихся разломов.

Цель исследования - создание математического аппарата, специально приспособленного для сейсмических исследований территорий, содержащих несколько разломов различной природы с несколькими блоками литосферных плит. Метод должен быть достаточно унифицированным, чтобы обеспечить однотипный подход к решению разнообразного круга задач, описываемых как дифференциальными, так и интегральными уравнениями. Он должен быть достаточно универсальным, способным описывать процессы в глобальных и локальных областях, не утрачивая точности. Таковым является метод факторизации. Результаты исследований должны быть адаптированы для оценки напряженно-деформированного состояния территории Краснодарского края с учетом разломов литосферных плит этого региона.

Научная новизна результатов работы определяется тем, что впервые удалось сформулировать и построить алгоритмы применения однотипного математического аппарата для исследования, казалось бы, разных граничных задач. Впервые построена математическая модель для описания поведения комплекса взаи-

модействующих блоков литосферных плит, способная учитывать разнотипность разломов.

Научное и практическое значение результатов работы. Научное значение полученных результатов заключается в том, что разработанные методы могут найти применение в смежных областях науки - в нанотехнологиях, при решении проблем оценки прочности подземных сооружений, в теории прочности изделий, для изготовления которых использованы сложные композиционные материалы.

Практическое значение работы состоит в применении этих методов для целей оценки сейсмической обстановки Краснодарского края. С применением ГИС-технологий удается осуществить учет влияния всех основных типов разломов на территории Краснодарского края и территории, на которой возводятся олимпийские объекты. Прикладное значение результатов состоит в создании модели для оценки нарастания сейсмичности по максимальным разрушающим напряжениям в литосферных плитах регионов с разломами.

Результаты исследований нашли внедрение при выполнении грантов РФФИ 06-08-00671-а; 06-01-96804-р_юг_офи; 06-08-96800-р_юг_офи; 07-05-00858-а; 07-01-12028-офи; 08-01-99013-р офи; 08-07- 10000-к; 08-08-00447-а; 08-08-00669-а; 09-08-00171-а; 09-08-00294-а; 09-08-96522-р_юг_а; 09-08-96527-р_юг_а, гранта Президента РФ по поддержке молодых докторов наук МД-1554.2009.1, проекта НШ-3765.2010.1.

Достоверность результатов

Достоверность теоретических результатов следует из применения строгих математических методов, а также подтверждается проверкой результатов на тех частных задачах, которые решаются иными методами. Такие факторизационные методы, как дифференциальный и интегральный методы факторизации, апробированы, опубликованы в ведущих журналах, переведенных за рубежом, докладывались на конференциях и семинарах, включены в научные отчеты.

На защиту выносятся:

1. Разработка метода факторизации исследования и решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных для комплекса блочных элементов, моделирующих горизонтально ориентированные блочные структуры

2. Разработка способов применения блочных элементов для моделирования литосферных плит для территорий со сложным, в том числе горным, ландшафтом и разломами.

3. Разработка методов моделирования литосферных плит для территорий с разломами.

4.Построение алгоритма математического моделирования территории Краснодарского края с использованием ГИС - технологий.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на X Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды": (Ростов н/Д, 2006г.), на всероссийских конференциях грантодер-жателей РФФИ в 2006 г., 2007 г., 2008 г., 2009 г., (Краснодар), на семинарах отдела проблем математики и механики ЮНЦ РАН, Научно-исследовательского центра прогнозирования и предупреждения геоэкологических и техногенных катастроф Кубанского государственного университета, на заседаниях кафедры математического моделирования Кубанского государственного университета.

Публикации

Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в 12 публикациях, из них 8 работ - в важнейших изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Личный вклад автора. Выбор темы, цели и задачи, а также возможные пути проведения исследований осуществлялись автором диссертационной работы совместно с научным руководителем и научным консультантом. Научный руководитель определял стратегию исследования проблемы, научный консультант давал консультации по построению блочных элементов и их применению в блочных структурах. Личный вклад автора заключается в следующем: рассмотрен вопрос построения блочных элементов,

приспособленных для формирования литосферных плит для территорий с разломами; выполнена работа по построению горизонтально ориентированной блочной структуры, имитирующей ли-тосферные плиты территории с разломами; применен метод блочного элемента, построены все внешние формы для блоков территории Краснодарского края, проведены построения касательных расслоений границ блоков, осуществлена факторизация, построены псевдодифференциальные уравнения, найдены корни коэффициентов характеристических уравнений блоков территории Краснодарского края.

Обсуждение полученных результатов, их анализ и формулировка выводов проводились совместно с научным руководителем и научным консультантом.

Структура, содержание и объем работы Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованной литературы, содержащего 125 наименований, приложения. Объем диссертации с приложением 132 страницы.

Во введении дается обзор основных проблем сейсмологии, касающихся этой области исследований и имеющихся результатов. Обосновывается необходимость развития концепции оценки напряженно-деформированного состояния литосферных плит для прогноза зон подготовки землетрясений. Дается анализ существующих математических подходов к изучению краевых задач для связанных систем линейных дифференциальных уравнений. Акцентируется внимание на недостаточности этих методов для решения проблем сейсмологии. Разъясняется причина неэффективности решения этой проблемы методами, отличными от фактори-зационного. Рассматриваются особенности метода факторизации, его преимущества при исследовании проблем сейсмологии перед другими методами, а также определенные сложности технического характера при его применении.

В первой главе диссертации формулируется постановка задачи и излагается дифференциальный метод факторизации. Показано, что для территорий, имеющих разломы, следует рассматривать блочную структуру горизонтальной ориентации. Для этих целей необходимы блочные элементы, допускающие горизонтальное

сопряжение. Даются формулы, представляющие общее решение дифференциальным методом факторизации граничной задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных произвольного порядка с постоянными коэффициентами, которое имеет вид

*,-К»2 х2

-к:'

4/г2

/¿1т

к:

V

V ^

«г. Я

/'-I ~ &г:±Ж'(г;±/

Т±={0,0,...0,(т±,0,.:0},

Я®= Я «>+ Я °><

дП дП

дП

зп

Л юехр(~1<*2х2 1таз °°>

за

Ц (аехр(-1а^х^ )->0, —» -со.

Входящие в формулу параметры описаны в диссертации и публикациях соискателя. На основании этих формул в этой же главе строятся двумерные и трехмерные простейшие блочные элементы в форме прямоугольника и прямоугольного параллелепипеда. Предварительно дано обоснование целесообразности на данном этапе рассматривать их, не теряя общности, для уравнений Гельмгольца.

Во второй главе рассматриваются блочные элементы полубесконечных размеров, с помощью которых возможно формировать литосферные плиты с разломами в областях больших размеров. Приводятся примеры формирования таких трехмерных структур на основе использования блочных элементов в виде прямоугольных параллелепипедов. Строятся примеры разломов

для случаев плоских границ, что позволяет формировать горизонтально ориентированную блочную структуру с разломами заданной геометрии и размеров.

В третьей главе строятся блочные элементы, с помощью которых моделируются горные массивы. Это блочные элементы в виде треугольных и многогранных пирамид. Будучи поставленными плоским основанием на верхнюю границу слоя, они моделируют горную возвышенность, а перевернутые и поставленные на нижнее основание слоя - корень горной возвышенности, если его геометрическая форма установлена.

Приводятся определяющие уравнения и параметры блочных элементов для всех основных блоков пирамидальной формы.

Так, для блочного элемента в форме произвольной треугольной пирамиды внешняя форма для уравнения граничной задачи в локальных системах координат имеет вид <ау - ЯЧх1 л с!х"г + л с\х\ + Р"сЫ\ л йхъ

=е'(а'х">

» ^ „Ка"**)

р" -е'

а;

а;

Ап

дх\ дхI

дх^

дх,

.„ д<р, ЛУ д<ру

V = 1,2,3,4

дх:

дх"2

= ехр/^л-,' + а\х\ + а^х^)

Тогда функциональные уравнения для пирамиды представимы в форме

к„ф„ = Я[а;з (<ру3 - 1а3>„) - /<А>„ - ]ехрг[«,Х + аЭД^Ж +

+1' Я [ Азз (Ргз - ) - А>г - Ща^ср, ]

1=1 а,

Дт а\, а1, , Л'2Г, 0) , V = 1,2,3,4.

Псевдодифференциальные уравнения имеют вид

А33 Ыз - 1а1-(Р, ) - '«I А1/Л. " '«2 ] еХР '[«I ^ + «Ж ]

Г я [а;3-щу:) <Рту щ:а1)_ а>г -щу:]

0„г(а;,а;,а1,х;,хг2,0)сь;с1хт2 }=0, V = 1,2,3,4.

Представление решения дается соотношением

(рХх\,х1,х1) = Г1^,1',^,*;)!^1 { ||[а;з -)-/<А>У -ia¡Av23^pv]

Й1,

4

ехрг[<//," + «2^2+ Е' Я [Ам(^з -'К',«>г)--'ВД'Л^ ]

Г=1 Й2Г

Таким образом, в первых трех главах представлен полный набор средств для моделирования трехмерных структур литосфер-ных плит.

В четвертой главе результаты построений предыдущих глав применяются для моделирования литосферных плит территории Краснодарского края с учетом тектонических разломов. Обосновывается целесообразность рассмотрения, в условиях неопределенности и недостаточного количества параметров, простейших моделей литосферных плит, в частности, мембран и пластин. Здесь приняты соображения о том, что точную модель, воспроизводящую территорию региона, построить невозможно по целому ряду причин. Вот некоторые из них.

1. Нет достаточно достоверных сведений о глубинной структуре территории, толщинах литосферных плит, расположении границ Конрада и Мохоровичича, характере "корней" горных массивов.

2. Отсутствуют данные о типах разломов - являются они сквозными, частичными или скрытыми, внутренними.

3. Нет сведений о горизонтальных движениях литосферных плит.

4. Неизвестна глубинная активность Земли в зоне территории Краснодарского края.

В связи с этим нет необходимости использовать трудоемкий точный аппарат исследования задачи, а потому целесообразно построение упрощенной модели или моделей. Они будут служить средством для отработки на них алгоритмов и подходов изучения территорий с разломами.

В процессе построения этих моделей должен быть выработан и алгоритм их уточнения по мере поступления дополнительной информации о свойствах перечисленных объектов, данных о которых в настоящий момент нет.

Сказанное выше дало основание принять такого рода модели, которые, с одной стороны, являются достаточно простыми, а с другой позволяют извлекать полезную информацию о пусть ограниченном количестве параметров, но все-таки дающих представление о напряженно-деформированном состоянии такой сложной системы, как территории с разломами.

Приняты следующие варианты.

1. Относительная средняя толщина коры Земли в пересчете на масштаб шара с 30-сантиметровым диаметром составляет доли миллиметра. Это позволяет в качестве моделей литосферных плит приближенно принять модели разнотипных мембран, контактирующих по разломам, или рассеченных разломами, находящихся под действием нормальных сил, действующих сверху и снизу. В процессе этих воздействий возникают касательные силы натяжения, характеризующие напряжения в срединной плоскости литосферной плиты.

Таким образом, уравнение, моделирующее литосферную плиту в этом приближении, принимает вид

Ъщ = 4&Ч + &(х.У,*). Ь = (да + д}у)

л 1Т / ,, Рк('.У.О (4ЛЛ)

А = , —. 8к(х'У'0=

Здесь м>к - вертикальное движение мембраны под номером к; Тк - сила натяжения мембраны в сечении; рк - плотность материала мембраны; рк(х,у,1) поперечные внешние силы, действующие на мембрану.

Граничные условия предполагают отсутствие жесткого закрепления краев мембраны, т.е. допускаются их наклоны, в случае контактов - сопряжение перемещений и наклонов. На границах разломов - условия, диктуемые типом разлома. Граничное условие на неконтактирующей границе может иметь одно из представлений

^ = '), (4.1.2)

СП СП

где у - граница мембраны, и-нормаль к границе.

В случае статической задачи или гармонических колебаний, граничная задача сводится к уравнению Гельмгольца Д ™ + в02™+§0(х,у) = 0.

С помощью этих моделей, представляющих блоки в виде мембран, оказывается возможным измерение параметров напряжений, лежащих в касательной плоскости блоков.

2. Известно, что модель мембраны не учитывает изгибные напряжения. Для их учета принимаются модели разнотипных пластин Кирхгофа.

А щ - ик gk, ик- .

3(А + 2/0

Здесь м>к - вертикальное перемещение пластины под номером к в заданной точке; gk - нормальная нагрузка, действующая на пластину; Як, ¡лк - коэффициенты Ламе материала пластины; \ -толщина пластины.

Основные характеристики параметров напряженно-деформированного состояния пластины даются соотношениями

о

ах су

¿огсу

Здесь 7Уи, - суммы перерезывающих сил на единицу длины в сечениях, перпендикулярных осям х и у соответственно;

02к - изгибающие моменты относительно осей у их соответственно; Н1к, Н2к -крутящие моменты относительно осей х и у соответственно.

Рассматривая литосферные блоки как свободно опертые пластины, что вполне естественно, исследование граничной задачи можно свести к исследованию граничных задач для мембран или для уравнений Гельмгольца в статическом случае 902 - О, т.е. уравнений Лапласа или Пуассона. На границах разломов задаются соответствующие условия сопряжения.

3. В областях прямолинейных разломов в предположении действия на их границах касательных напряжений, параллельных направлениям разломов, возникает антиплоская граничная задача Она также сводится к уравнениям Гельмгольца.

Показано, что даже для таких моделей проблема исследования напряженно-деформированного состояния среды территории с разломами оказывается достаточно сложной как теоретически, так и технически.

Для принятых моделей, породивших в связи с разломами блочные структуры, построены все необходимые параметры для реализации модели и предложен алгоритм реализации.

В частности, с помощью ГИС-технологий построен комплекс известных разломов территории Краснодарского края, описанных уравнениями ломаных, фрагмент приведен ниже.

||| I 11111ИИИИИМИИИШИИМИ1МИМ11111М|||| II

Не ЕЛ ТЬвпв йгар|1!С1 ШМсм Нф

а ш ввв знаа ашаш шиз ал_ы_

¡183291 15 (240832 56 (139910.34

СлгмлнгШН-ГхгуУ

(291407.35. "(320388.19, 1354631.98.

1331723.77. Ш800.20. 1323344.53. 1404300.73.

(278840 42. (1 ?Э9Ю :4 (17450204. 1114780 44 1112160.77 (105335.15. 1214396 1 7. (262234 84 (130338.17.

287444 981 • 1289803 14.112587 81) _ 360488 211 ■ 123902512 235795 78) годэ:: ¿4 31бтл: >::4:2Ю|

»0074 » 4595:с 15 Г:У 73 97) 113141 4Э|-(30634064. 291497 761

13035:27 гзк^.ы

I "0364 8 71 1383800 20 176758 54! 173687 52) • (378390 73.2170ЭрТЭ11 124578 5 3 . 3546-;- 9« 172637 521 17875895) 1*0*300711902518У) 828875 40556773.1ВЮ4231] "" 190251 4« ' ® Й М Ч " 112081.17) (325347.38. 35031 88) 17806 061 -1332435 74. 8774 3 821 545Ж87|.130164« 45. 85242681 204321.241 П 74532.04. ;53ь!3 23| 193519.231 1200878 65 191263 231 211937.201-1133910 34 . 204921 24| 16351: 71 1 33310 34. 20432" 241

79892191 (117621.27. 22145263)

ЙТЗ Г Ц) | • 34.М 0164617)

201846 1 71 129440814. 163275.85)

191 КЗ 91, 173292 "2 163384 1

ГШ'

Коорданвякя о»я*«Лр

N

*<оос«* пиния 5«ри»

Л/

1лГ

/V

О"' 1-.

л/

Для реализации разработанного метода введена горизонтально ориентированная блочная структура, основу которой составили вырезанные разломами блоки, а также блоки, построенные в результате введения "виртуальных" разломов как продолжений или замыканий имеющихся разломов. Достоинство факторизацион-ного метода состоит в том, что псевдодифференциальные уравнения обеспечивают правильное удовлетворение граничных условий, как на реальных, так и на виртуальных разломах.

Дальнейшее исследование блочной структуры использует уже отработанные шаги по введению топологии, двумерных многообразий с краем, их касательных расслоений, введения локальных систем координат, внешних форм, отвечающих граничным задачам в каждом блоке, построению функциональных, а затем в результате факторизации псевдодифференциальных уравнений и представлений решений в каждом блоке.

В частности, для блока, например, треугольной формы,

с

функциональное уравнение, из которого затем факторизацией строится псевдодифференциальное уравенение и представление решений имеет, в одной из локальных систем координат, вид

оп, ап2 ап, Здесь Рп, п -1,2,3- внешние формы, представимые в виде

Сз^+СХ^-Сз^

дх.

Р2 (а,(1), а™, , 42)) = «Д** "чГМ'У«" ^Ч^^Х'Ч2'1 )42,1

&42)

дО,п,п = 1,2,3 - границы блока, вдоль которых осуществляется интегрирование.

Вычислительная часть, связанная с проводимыми расчетами , приведена в приложении. При этом учитывались все 46 разломов, некоторые из которых описывались ломаными линиями.

Окончательные расчеты требуют введения ряда параметров среды в каждом блоке. Наполнение модели параметрами позволит осуществить ее полную компьютерную реализацию.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации, перспектива дальнейших исследований и приложений.

В приложении приводится фактический материал по расчетам параметров блочных элементов с использованием ГИС-технологий для территории с разломами применительно к Краснодарскому краю.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные результаты заключаются в следующем

1. В диссертации развит метод применения блочных элементов для моделирования территорий с разломами.

2. Разработаны подходы учета сложных рельефов территорий, в том числе горных, имеющих разломы.

3. Развит метод и предложены различные приближенные модели по оценке поведения напряженно-деформированного состояния сред территорий с разломами.

4. Проведены необходимые вычислительные работы по подготовке требуемых данных по описанию литосферных плит с разломами территории Краснодарского края.

5. Сформирован алгоритм реализации математической модели по оценке напряженно-деформированного состояния территории Краснодарского края. Его реализация требует введения дополнительных данных о физико-механических свойствах среды блоков.

Публикации по теме диссертации в журналах, рекомендуемых ВАК РФ

1. Бабешко В.А., Лозовой В.В., Ратнер C.B., Сыромятников П.В., Федоренко А.Г. Теоретические и экспериментальные исследования по изучению глубинного строения Земли в аридных зонах Юга России// Вестник Южного научного центра РАН. 2006. №2. С. 42-45.

2. Евдокимова О.В., Бабешко В.А., Бабешко О.М., Федоренко А.Г. О дифференциальном методе факторизации в сложных макро-, микро- и наноструктурах// Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2007. №1. С. 24-29.

3. Евдокимова О.В, Бабешко О.М., Бабешко В.А., Павлова A.B., Гладской КБ., Зарещая М.В., Федоренко А.Г. Некоторые приложения дифференциального метода факторизации// Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2007. № 3. С. 18-32

4. Евдокимова О.В., Бабешко В.А., Бабешко О.М., Зарецкая М.В., Павлова A.B., Федоренко А.Г. О дифференциальном методе факторизации в приложениях// Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2008. № 2. С. 5-12.

5. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Зарецкая М.В., Павлова A.B., Мухин A.C., Лозовой В.В., Федоренко А.Г. О приложениях теории блочных структур в науках о Земле, сейсмологии, строительстве, материаловедении// Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2008, № 4, С.27-34.

6. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Федоренко А.Г. О трехмерных блочных элементах// Экологический вестник

научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 2. С. 5-10.

7. Евдокимова О.В., Зарецкая М.В., Павлова A.B., Бабешко О.М. уЛозовой В.В., Бабешко В.А., Федоренко А. Г. О полуограниченных блочных элементах// Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009, № 4, С.14-19

8. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Рядчиков И.В.Лозовой В.В.Горшкова Е.М., Федоренко А.Г. О блочных элементах в моделировании сложных структур и объектов// Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2010. № 1. С. 13-25

Публикации по теме диссертации в иных изданиях

9. Евдокимова О.В., Бабешко В.А., Бабешко О.М., Федоренко А.Г. Дифференциальный метод факторизации в проблеме конструирования материалов// Современные проблемы механики сплошной среды: тр. X Междунар. конф. Ростов н/Д, 2006. С. 103-108.

10. Бабешко В.А., Горшкова Е.М., Лозовой В.В., Мухин A.C. Гладской КБ., Федоренко А.Г. Дифференциальный метод факторизации в смешанных задачах для неклассических линейно деформируемых тел// Наука Кубани. 2009. №2. С 4-9.

11. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Горшкова Е.М., Мухин A.C., Рядчиков И.В., Федоренко А.Г., Плужник A.B., Чмыхалов С.П., Болодский М.А., Гриценко Ю.И. Разработка методов оценки поведения при вибрации комплекса зданий и сооружений как блочных структур на деформируемом основании // Вклад фундаментальных научных исследований в развитие современной инновационной экономики Краснодарского края: тез. докл. науч. -практ. конф. грантодержателей Российского фонда фундаментальных исследований и администрации Краснодарского края. Краснодар, 2009. С. 130.

12. Евдокимова О.В., Павлова A.B., Горшкова Е.М., Федоренко А.Г., Рядчиков КВ., Кашков Е.И., Гриценко Ю.К., Евлантъева

Е.Г., Звягинцева О.И., Шишкин АЛ. Исследование механических и физических свойств наноматериалов с использованием метода факторизации // Вклад фундаментальных научных исследований в развитие современной инновационной экономики Краснодарского края: тез. докл. науч.-практ. конф. грантодержателей Российского фонда фундаментальных исследований и администрации Краснодарского края. Краснодар, 2009. С. 131.

Федоренко Алексей Григорьевич

МЕТОДЫ ФАКТОРИЗАЦИИ В ПРОБЛЕМЕ ОЦЕНКИ НАПРЯЖЕННО ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СРЕД ТЕРРИТОРИЙ С РАЗЛОМАМИ

Автореферат

Бумага тип. № 2. Печать трафаретная. Тираж 100 экз. Заказ № 794

350040 г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, Центр "Универсервис", тел. 21-99-551.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 Метод блочного элемента

§1.1 Факторизационные методы

§1.2 Представление решений о напряженно-деформированном состоянии сред с разломами.

§1.3 Двумерные блочные элементы

§ 1.4 Трехмерные блочные элементы

ГЛАВА 2 Метод блочных элементов при моделировании литосферных

§ 2.1 Полуограниченные блочные элементы

§ 2.2 Метод блочного элемента для сред с разломами

ГЛАВА 3 Метод блочного элемента для рельефных и горных территорий

§ 3.1 Блочный элемент в форме прямоугольной пирамиды

§ 3.2 Блочный элемент в форме произвольной треугольной пирамиды

§ 3.3 Многогранные и выпуклые блочные элементы

ГЛАВА 4 Применение метода блочного элемента для моделирования напряженно-деформированного состояния территории Краснодарского края с учетом разломов

§ 4.1 О моделях литосферных плит

§ 4.2 Применение ГИС-технологий для исследования разломов

§ 4.3 Построение параметров разломов

§ 4.4 Построение характеристических уравнений граничных задач

§ 4.5 Корни коэффициентов характеристических уравнений

§4.6 Построение алгоритма сопряжения литосферных плит и определение параметров их взаимодействия

Актуальность темы исследования. Одной из важных проблем в Науках о Земле в настоящее время является проблема прогноза землетрясений. Землетрясения в Гаити и Индонезии, унесшее каждое более трехсот тысяч жизней являются серьезным предупреждением для всех сейсмоопасных зон. Работа посвящена исследованию актуальной на сегодняшний день проблемы прогноза нарастания сейсмичности в сейсмоопасных зонах, имеющих сложный ландшафт, в том числе горный, а также разломы. Несмотря на обилие работ в этой области проблема не решена и по сей день. В работе предлагается провести исследования этой проблемы с применением метода механики разрушения. Дня реализации этого подхода развиваются методы расчета напряженности литосферных плит как деформируемых твердых тел, подвергаемых внешним воздействиям различной природы. Для решения этой проблемы в соответствии с требованиями механики деформируемого твердого тела необходимо сформулировать соответствующие граничные задачи в областях, занимаемых литосферными плитами. В свою очередь литосферные плиты имеют разломы трещины, включения, которые могут сильно влиять на их прочностные свойства. В частности, разломы литосферных плит, в соответствии с имеющимися данными вибросейсмического зондирования могут быть сквозными, рассекающими литосферную плиту от поверхности до основания, частичными, выходящими либо на поверхность, либо на нижнее основание, внутренними, являющимися полостями, не касающимися границы. Все эти разломы могут существенно влиять на концентрацию напряжений в литосферных плитах и, таким образом, на нарастание сейсмичности. Считается, и это подтверждено практикой, что очагами землетрясений являются именно зоны разломов. Существуют различные подходы к описанию разломов. Однако практически все из них рассматривают разломы как трещины Гриффица, что в принципе не всегда так. Поэтому для решения проблемы напряженности литосферных плит, во-первых, необходимо более детально исследовать тип разлома в литосферной плите, т.к. его искажение может привести к ошибочным данным о концентрации напряжений. Во-вторых, необходимо научиться исследовать напряженно-деформируемые поля в литосферных плитах и концентрацию напряжений, при наличии разломов.

Заметим, однако, что информации лишь одного региона недостаточно для решения проблемы прогноза землетрясений. Необходима глобальная информация с обширных территорий, содержащих несколько блоков литосферных плит.

Целью исследования является создание специально приспособленного для исследований в области сейсмологии математического аппарата, способного осуществлять исследование территорий, содержащих несколько разломов различной природы с несколькими блоками литосферных плит. Метод должен быть достаточно унифицированным, чтобы обеспечить однотипный подход к решению' достаточно разнообразного круга задач, описываемых как дифференциальными, так и интегральными уравнениями. Он должен быть достаточно универсальным, способным описывать процессы в глобальных и локальных областях, не утрачивая точности. Таковым явился метод факторизации. Чтобы понять причины и убедиться в необходимости создания этого метода при наличии большого количества* других подходов, проанализируем существующие методы решения пространственных задач.

Задачи о равновесии и установившихся колебаниях сред в рамках линейных моделей математической физики обычно описываются при помощи краевых задач для эллиптических операторов второго порядка. К таким классам относятся модели изотропной и анизотропной теории упругости, модели геоэкологии, модель пористо-упругой среды Био, электроупругая и магнитоупругая среды, модели диффузии, теплопроводности и термоупругости.

Аналитические решения частных задач

Ряд точных решений для моделей связанных полей можно найти в монографиях [68, 69, 71, 81, 91, 109]. Однако они имеют специализированную направленность и не обладают универсальностью.

Аналитические и полуаналитические методы решения

К числу наиболее часто используемых методов построения аналитических (и полуаналитических) решений исторически относятся метод разделения переменных и метод интегральных преобразований, которые используются обычно для канонических областей. В последние годы получил развитие метод конечных интегральных преобразований, обобщающий известный метод Фурье разделения переменных; в некоторых задачах решение строится в рядах, в некоторых дополнительно приходится решать бесконечные системы [75, 95].

К числу методов, часто используемых при решении краевых задач, принадлежат метод суперпозиции и метод однородных решений. Эти подходы, как правило, приводят к бесконечным алгебраическим системам, которые необходимо решать численно на основе метода урезания и, как правило, позволяют обосновать сходимость метода редукции. К недостаткам этого подхода относятся достаточно узкий класс областей и сложность исследования структуры решения на особых множествах границы. Исследования в этой области, несмотря на долгую предысторию, продолжаются и в наше время [96].

Численные методы решения

В большинстве краевых задач для упомянутых операторов для неканонических областей точное решение построить не удается и встает вопрос об эффективном численном анализе задачи. Все существующие численные методы анализа краевых задач для дифференциальных операторов в частных производных и способы сведения к конечномерным проблемам условно можно разбить на две большие группы.

1-я группа. Метод алгебраических систем. К первой группе относятся методы, основанные на прямом сведении пространственных задач (ЗБ) к алгебраическим системам. Сюда относятся разностные методы, основанные на простейших аппроксимациях операторов в частных производных разностными, и проекционные, базирующиеся на идеях метода Галеркина; [101,102].

При наличии слабых постановок можно использовать конечноэлементные аппроксимации. Отметим, что наибольшего расцвета технология конечноэлементных аппроксимаций достигла, оформившись в ряд мощных пакетов; для которых посильно: решение самых разных задач из упомянутых областей механики и математической физики.

Так, вывод уравнений МКЭ из вариационных принципов электроупругости был проведен впервые, по-видимому,в [ 104].

В многочисленных публикациях, посвященных МКЭ; для: электроупругих сред, этот метод получил дальнейшее развитие. Были использованы; (и построены новые) различные типы КЭ; разработана техника учета граничных условий для электродированных поверхностей (аналог контактных элементов), созданы специализированные КЭ-программы [105, 106, 110], позволяющие определять все требуемые характеристики полей, частоты резонансов и антирезонансов, КЭМС и т.п.

Развитие конечноэлементных технологий в настоящее время осуществляется в нескольких направлениях.

1. Построение внутри конечного элемента аппроксимаций повышенной точности, использование для этого сплайн-аппроксимаций, позволяющих получать гарантированную точность решений при небольшом числе элементов, в том числе и вблизи границ [119].

Наиболее полно идеология такого подхода и ряд теоретических результатов по КЭ-аппроксимациям высокого порядка изложены в монографии [5].

2. Построение новых типов элементов [122].

2-я группа. Метод граничных интегральных уравнений. Эта группа методов алгебраизации краевых задач основана на предварительном понижении размерности исходных проблем и сведении их к двумерным операторным (интегральным) уравнениям - граничным интегральным уравнениям (ГИУ). При этом различают прямую формулировку, когда в качестве неизвестных фигурируют граничные значения векторов перемещений и напряжений, и непрямую, когда в качестве неизвестных выбираются плотности фиктивных сил. Кроме того, для прямой формулировки возможны два подхода при построении этих систем.

Первый основан на использовании идей теории потенциала и теоремы взаимности в самой общей форме для линейных моделей. Наиболее ясно этот подход изложен для операторов теории упругости и термоупругости в известной монографии [74].

В анизотропном случае отметим работы [121] и дальнейшее развитие метода в работе [123]. Вычислительные аспекты и приложения в механике даны в работах [72, 78, 97, 108, 114, 118].

Соответствующие граничные уравнения для моделей линейной электроупругости приведены в монографиях [90, 100].

Основным препятствием для более интенсивного использования граничных уравнений и технологий на основе МГЭ является либо отсутствие простой формы фундаментальных решений (например, представление через гипергеометрическую функцию), либо невозможность кардинального упрощения интегрального представления. В то же время построение новых представлений функций Грина (удовлетворяющих некоторым граничным условиям) открывает большие перспективы на пути использования метода ГИУ. Ранее построенные фундаментальные решения нашли отражение в работах [113, 115-117].

Отметим также работу, посвященную новым ГИУ для трещин [125]. Кроме того, возможные варианты построения ГИУ с непрерывными ядрами обсуждены в работе [69].

В последние десятилетия интенсивно развиваются гибридные схемы, сочетающие конечноэлементные и граничноэлементные аппроксимации [32, 111].

Приведенный достаточно полный обзор существующих методов показывает, что несмотря на эффективность при решении конкретных специальных задач, ни один из них не удовлетворяет полностью всем требованиям, необходимым для исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит, состоящих из комплекса блоков. Эти методы могут быть использованы на разных этапах после стадии математического анализа проблемы, который будет выполняться создаваемым методом факторизации.

Научная новизна результатов работы. Она состоит в том, что впервые удалось сформулировать и построить алгоритмы применения однотипного математического аппарата для исследования казалось бы разных граничных задач. Впервые построена математическая модель для описания поведения комплекса взаимодействующих блоков литосферных плит, способная учитывать разнотипность разломов.

Научное и практическое значение результатов работы. Научное значение полученных результатов состоит в том, что разработанные методы могут найти применение в смежных областях науки - в нанотехнологиях, проблемах оценки прочности подземных сооружений, в теории прочности изделий, использующих сложные композиционные материалы.

Практическое значение работы состоит в применении этих методов для целей оценки сейсмической обстановки Краснодарского края. С применением ГИС-технологий удается осуществить учет влияния всех основных типов разломов на территории Краснодарского края и территории олимпийской стройки.

Прикладное значение результатов состоит в создании модели прогноза зон подготовки землетрясений по максимальным разрушающим напряжениям.

Результаты исследований нашли внедрение при выполнении грантов РФФИ 06-08-00671-а; 06-01-96804-рюгофи; 06-08-96800-рюгофи; 07-05-00858-а; 07-01-12028-офи; 08-01-99013-рофи; 08-07-10000-к; 08-08-00447-а; 08-08-00669-а; 09-08-00171-а; 09-08-00294-а; 09-08-96522-рюга; 09-08-96527-рюга, гранта Президента РФ по поддержке молодых докторов наук МД-1554.2009.1, проекта НШ-3765.2010.1.

Достоверность результатов Достоверность теоретических результатов следует из применения строгих математических методов, а также проверкой результатов на тех частных задачах, которые решаются иными методами. Такие факторизационные методы, как дифференциальный и интегральный методы факторизации, апробированы, опубликованы в ведущих журналах, переведенных за рубежом, докладывались на конференциях и семинарах, включены в научные отчеты.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на X Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды": (Ростов н/Д, 2006г.), на всероссийских конференциях грантодержателей РФФИ в 2006 г., 2007 г., 2008 г., 2009 г., (Краснодар) на семинарах отдела проблем математики и механики ЮНЦ РАН, Научно-исследовательского центра прогнозирования и предупреждения геоэкологических катастроф Кубанского государственного университета, на заседаниях кафедры математического моделирования Кубанского государственного университета.

Публикации

Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в 12 публикациях, из которых 8 работ - в важнейших изданиях, рекомендованных ВАК РФ. На защиту выносятся:

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Разработка метода факторизации исследования и решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных для комплекса блочных элементов, моделирующих горизонтально ориентированные блочные структуры

2. Разработка способов применения блочных элементов для моделирования литосферных плит для территорий со сложным, в том числе горным, ландшафтом и разломами.

3. Разработка методов моделирования литосферных плит для территорий с разломами.

4. Построение алгоритма математического моделирования территории Краснодарского края с использованием ГИС - технологий.

Структура, содержание и объем работы

Диссертация состоит из введения, 4 глав, приложения, заключения, списка из 125 наименований использованной литературы. Объем диссертации с приложением 132 страницы.

Заключение

1. В диссертации развит метод применения блочных элементов для моделирования территорий с разломами.

2. Разработаны подходы учета сложных рельефов территорий, в том числе горных, имеющих разломы.

3. Развит метод и предложены различные приближенные модели по оценке поведения напряженно-деформированного состояния территорий с разломами.

4. Проведены необходимые вычислительные работы по подготовке требуемых данных по описанию литосферных плит с разломами территории Краснодарского края.

5. Сформирован алгоритм реализации математической модели по оценке напряженно-деформированного состояния территории Краснодарского края. Его реализация требует введения дополнительных данных о физико-механических свойствах среды блоков.

1. Айзикович С.М., Александров В.М., Белоконъ A.B., Кренев Л.И., Трубчик И. С. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред. М.: Физматлит, 2006. 238 с.

2. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 487 с.

3. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. М.: Машиностроение, 1986. 176 с.

4. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука, 1993. 224 с.

5. Апанович В.Н. Метод внешних конечноэлементных аппроксимаций. Минск: Вышэйша шк., 1991. 170 с.

6. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B. Контактные задачи теории ползучести. Ереван: HAH, 1999. 320 с.

7. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B., Наумов В.Э. Контактные задачи механики растущих тел. М.: Наука, 1991. 176 с.

8. Бабешко В.А., Евдокимова О.В,. Бабегико О.МЗарецкая М.В., Павлова A.B. Дифференциальный метод факторизации для блочной структуры //ДАН. 2009. т. 424, № 1. С. 36-39.

9. Бабешко В.А. «Вирусы» вибропрочности // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. 1994. Спецвыпуск. №1. С. 90-91.

10. Бабешко В.А. Высокочастотный резонанс массивного штампа // Докл. АН СССР. 1989. Т. 306, № 6. С. 1328-1333.

11. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 265 с.

12. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Интегральные преобразования и метод факторизации в краевых задачах // ДАН. 2005. Т.403, №6. С. 26-28.

13. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в теории вирусов вибропрочности // Докл. РАН. 2003. Т. 393, № 4. С. 473-477.

14. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Обобщенная факторизация в краевых задачах в многосвязных областях // ДАН. 2003. Т. 392, №2. С. 163-167.

15. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Формулы факторизации некоторых меромофных матриц-функций // ДАН. 2004. Т. 399, №1. С.163-167.

16. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О проблеме блочных структур академика М.А.Садовского //ДАН. т. 427, №4, 2009, С.480-485.

17. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Об интегральном и дифференциальном методах факторизации // ДАН. 2006. Т. 410, №2. С. 168-172.

18. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Выполнение граничных условий в дифференциальном методе факторизации // ДАН. 2007. Т. 412, №5. С. 600-603.

19. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Интегральный метод факторизации в смешанных задачах для анизотропных сред //ДАН. 2009. Т.426, №4. С. 471-475

20. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. К теории блочного элемента//ДАН. 2009. т. 427, №2, С.183-186.

21. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О блочном элементе в форме произвольной треугольной пирамиды //ДАН. т. 429, №6, 2009, С.758-761.

22. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О пирамидальном блочном элементе // ДАН. 2009. Т.428, №1. С. 30-34.

23. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Федоренко А.Г. О трехмерных блочных элементах. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества// 2009. № 2. С. 5-10

24. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1990. № 3. С. 74-83.

25. Бабешко В.А., Горшкова Е.М., Лозовой В.В., Мухин A.C. Гладской И.Б., Федоренко А.Г. Дифференциальный метод факторизации в смешанных задачах для неклассических линейно деформируемых тел // Наука Кубани, 2009. №2. С 4-9.

26. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Дифференциальный метод факторизации в блочных структурах и нано структурах // ДАН. Т.415, №5. 2007. С. 596-599.

27. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. О дифференциальном методе факторизации в задачах для сплошных сред// ДАН. 2008. Т.421, №1. С. 37-40

28. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Зарецкая М.В., Павлова

29. A.B., Мухин A.C., Лозовой В.В., Федоренко А.Г. О приложениях теории блочных структур в науках о Земле, сейсмологии, строительстве, материаловедении. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества// 2008. № 4, С.27-34.

30. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Рядчиков И.В.Лозовой

31. B.В.Горшкова Е.М., Федоренко А.Г. О блочных элементах в моделировании сложных структур и объектов. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества// 2010. № 1, С. 13-25

32. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Интегральный метод факторизации в смешанных задачах для анизотропных сред// ДАН. 2009. т. 426, №4. С. 471-475

33. Бабешко В.А., Лозовой В.В., Ратнер C.B., Сыромятников П.В., Федоренко А.Г. Теоретические и экспериментальные исследования по изучению глубинного строения Земли в аридных зонах Юга России// Вестник Южного научного центра РАН. 2006. № 2. С.42 45.

34. Балабаее С.М., Ивина Н.Ф. Анализ пьезопреобразователей комбинированным методом конечных и граничных элементов // Акустический журнал. 1996. Т. 42. № 2. С. 172-178.

35. Барышев М.Г., Евдокимова О.В., Джгшак С.С., Васильев Н.С. / Патент РФ на полезную модель № 53111. Комплекс для обеззараживания одежды и придания ей бактерицидных свойств. ФИПС. 10.05.2005.

36. Барышев М.Г., Сидоров И.В., Евдокимова О.В., Коржов А.Н., Куликова H.H. Результаты поисковых исследований по созданию функциональных приборов для биоэлектроники // Вестн. ЮНЦ РАН. 2005. Т. 1. № 4. С. 18-20.

37. Борисов Д.В., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Решение динамической задачи для трехслойной среды с включениями // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 2. С. 813.

38. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. М.: Высшая школа, 1980. 296 с.

39. Бреббия К., Телес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 526 с.

40. Вишик М.И., Люстерник Л. А. Об асимптотике решения краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1958. Т. 121. №5. С. 778-781.

41. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Об эллиптических уравнениях, содержащих малые параметры при старших производных // Докл. АН СССР. 1957. Т. 113. №4. С. 734-737.

42. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964. 412 с.

43. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245. № 5. С. 1076-1079.

44. Ворович И.И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245. № 4. С.817-820.

45. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 456 с.

46. Ворович И.И, Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 456 с.

47. Ворович И.И, Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

48. Ворович И.И, Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

49. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 248 с.

50. Галин JI.А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1953. 264 с.

51. Ганпъмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

52. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

53. Глушков Е.В. Вибрация системы массивных штампов на линейно деформируемом основании // Прикладная математика и механика. 1985. Т. 49. вып. 1.С. 142-147.

54. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. К проверке существования явления высокочастотного резонанса в полуограниченных областях // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1990. № 3. С. 208-209.

55. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кириллова Е.В. Динамическая контактная задача для кругового штампа, сцепленного с упругим слоем // Прикладная математика и механика. 1992. Т. 56. Вып. 5. С. 780-785.

56. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука, 2001. 478 с.

57. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой, с ядрами, зависящие от разности аргументов // Успехи математических наук. 1958. Т. 13. вып. 2. С. 3-72.

58. Евдокимова О.В. Дифференциальный метод факторизации в механике разрушения, материаловедении и сейсмологии // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. № 4. С. 32-42.

59. Евдокимова О.В., Бабешко В.А., Бабешко О.М., Зарецкая М.В., Павлова A.B.,Федоренко А.Г. О дифференциальном методе факторизации в приложениях// Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2008. № 2. С. 5-12.

60. Евдокимова О.В., Бабешко В.А., Бабешко О.М., Федоренко А.Г. О дифференциальном методе факторизации в сложных макро-, микро- и наноструктурах// Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2007. №1, С.24-29.

61. Евдокимова О.В., Бабешко В.А., Федоренко А.Г., Бабешко О.М. Дифференциальный метод факторизации в проблеме конструирования материалов // Современные проблемы механики сплошной среды: тр. X Междунар. конф. Ростов н/Д, 2006. С. 103-108.

62. Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Бабешко В.А. О дифференциальном методе факторизации в неоднородных задачах //ДАН. т. 418, № 3, 2008, . С. 321-323

63. Евдокгшова О.В., Барышев М.Г. / Патент РФ на полезную модель № 43711. Текстильное изделие с электрическим обогревом. ФИПС. 27.01.2005.

64. Евдокгшова О.В., Барышев М.Г. Экология одежды // Экология-2004 — море и человек: материалы III Всерос. науч. конф. Таганрог, 2004. С. 238.

65. Евдокгшова О.В., Зарецкая М.В., Павлова А.В.,Бабешко О.М.,Лозовой В.В., Бабегико В.А., Федоренко А. Г. О полуограниченных блочных элементах// Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 4. С. 14-19.

66. Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1974. 400 с.

67. Иванова Е.А., Индейцев Д.А., Морозов Н.Ф. К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов // Журнал технической физики. 2006. Т. 76. Вып. 10. С. 74-80.

68. Игумнов Л.А. Интегральные представления для голоморфных векторов теории упругости // Прикладные проблемы прочности и пластичности (Горький). 2000. № 61. С. 210-219.

69. Игумнов Л.А. Применение сингулярных операторов Михлина -Кальдерона Зигмунда к решению динамических краевых задач теории упругости // Вестн. Нижегород. ун-та. Сер. Механика. 2002. № 1. С. 72-85.

70. Иоснда К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.

71. Карнаухов В.Г., Кнричок И.Ф. Электротермовязкоупругость. Киев: Наукова думка, 1988. 320 с.

72. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.311 с.

73. Кочнн Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М. Наука, 1965, 426 С.

74. Купрадзе В.Д., Гегелна Т.Г., Багиелейшвгши М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. 603 с.

75. Куренное С. С., Николаев А.Г. Первая основная задача термоупругости для сжатого сфероида с концентрической полостью // Прикладная математика и техническая физика. 2004. Т. 45. № 1. С. 92-98.

76. Липанов А.М. Метод численного решения уравнений гидромеханики в многосвязных областях// Математическое моделирование. 2006. Т.18, №12, С. 3-18.

77. Лифишц ИМ., Розг{ен1{вейг Л.Н. О построении тензора Грина для основного уравнения теории упругости в случае неограниченнойупругости анизотропной среды // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1947. Т. 17, вып. 9. С. 783—791.

78. Мазья В.Г. Интегральные уравнения теории потенциала в областях с кусочно-гладкими границами // Успехи математических наук. 1981. Т. 38, № 4. С. 229-230.

79. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 320 с.

80. МилнорД., Уоллес Ф. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1972. 278 с.

81. Мусий Р.С. Математическая постановка и методика решения пространственных задач электромагнитотермоупругости для сферических тел // Теоретическая и прикладная механика. 2003. № 37. С. 52-58.

82. Никифоровский В.С., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. Новосибирск: Наука, СО АН СССР, 1979. 272 с.

83. Нобл Б. Метод Винера Хопфа. М.: ИЛ, 1962. 280 с.

84. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.

85. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. С. 872.

86. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. М.: Мир, 1986. 160 с.

87. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1978. 444 с.

88. Партон В.З., Борисовский В.Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение, 1988. 240 с.

89. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 470 с.

90. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 470 с.

91. Подилъчук Ю.Н. Точные аналитические решения статических задач электроупругости и термоэлектроупругости трансверсально-изотропного тела в криволинейных системах координат // Прикладная механика. 2003. Т. 39. №2. С. 14-54.

92. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 344 с.

93. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1966. 320 с.

94. Садовский М.А. Естественная кусковатость горной породы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247. № 4. С. 829-831.

95. Сеницкий Ю.Г. Метод конечных интегральных преобразований. Его перспективы в исследовании краевых задач механики // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. 2003. № 22. С. 10-39.

96. Серебряков Г.Г., Коваленко М.Д., Цыбин Н.Н. О некоторых свойствах однородных решений теории упругости // Докл. РАН. 2003. Т. 388. №2. С. 193-196.

97. Тимошенко СЛ., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 636 с.

98. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

99. Угодников А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1986. 296 с.

100. Филъштинский М.Л., Бардзокас Д. Метод граничных интегральных уравнений в проблемах дифракции электроупругих волн. Сумы: Изд-во Сумского гос. ун-та, 1999. 193 с.

101. Шинкаренко Г.А. Проекционно-сеточные аппроксимации для вариационных задач пироэлектричества. И. Дискретизация и разрешимость нестационарных задач // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. №2. С. 317-326.

102. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973. 232 с.

103. Юэ/саков А.П. Элементы теории многомерных вычетов. Красноярск: Изд-во Красноярск, гос. ун-та, 1975. 182 с.

104. Allik Н., Hughes T.J.R. Finite element method for piezoelectric vibration // Intern. J. Numer. Meth. Eng. 1970. Vol. 2. № 2. P. 151-157.

105. ANSYS. Theory Ref. Rel. 5.4 / Ed. P. Kothnke / ANSYS Inc. Houston, 1997.

106. ATILA. Finite-element code for piezoelectric and magnetostrictive trans ducer and actuator modeling. V.5.1.1. User's Manual. / Lille Cedex (France): ISEN, 1997.

107. Blacker T.D., Meyers R. Seams and wedges in plastering: A 3-d hexahedral mesh generation algorithm 11 Engineering with Computers. 1993. Vol. 2. P. 8393.

108. Charles L. Lawson. Software for CI Surface Interpolation // Mathematical Software III / ed. J.R. Rice. N.Y.: Acad, press, 1977. P. 161-194.

109. Cheung Y.K., Jin W.G., Zienkewicz O.C. Solution of Helmholtz equation by Trefftz method // Intern. J. Numer. Methods Eng. 1991. Vol. 32. P. 53-68.

110. Evdokimova O.K., Barishev M.G., Evdokimov S.M. On the possibility of developing safe and healthful clothes // Environmental Problems and Ecological Safety: Proceeding of the Workshop. Wiesbaden, 2004. p. 70-72.

111. Kobayashi S., Nishimura N. Green's tensors for elastic half-spaces: An application of boundary integral equation method // Mem. Faculty Eng. Kyoto Univ. 1980. Vol. 42. P. 228-241.

112. Krishnasamy G., Echmerr L.W., Rudolphi T.J., Rizzo F.J. Hypersingular boundary integral equation: Same applications in acoustic and elastic wave scattering // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1990. Vol. 57, № 2. P. 404-414.

113. Pan E. Three-dimension Green's functions in anisotropic elastic bimaterials with imperfect interfaces // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2003. Vol. 70. № 2. P. 180-190.

114. Pan E. Three-dimension Green's functions in anisotropic half-space with general boundary conditions // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2003. Vol. 70. № l.P. 101-110.

115. Pan E., Tonon F. Three-dimensional Green's function in anisotropic piezoelectric solids // Intern. J. Solids Struct. 2000. Vol. 37. P. 943-958.

116. Stephan E.P. Boundary integral equations for screen problems in R3 // Integral Equations Operator Theory. 1987. Vol. 10. P. 236-257.

117. Stone G.O. High-order finite elements for inhomogeneous acoustic guiding structures // IEEE Trans, on Microwave Theory and Techn. 1973. Vol. MTT-21. P. 538-542.

118. Teixeira de Freitas J.A., Cismasiu C. Hybrid-Trefftz displacement element for spectral analysis of bounded and unbounded media // Inern. J. Solid and Structure. 2003. Vol. 40, № 3. P. 671-699.

119. Vogel S.K., Rizzo F.J. An integral equation formulation of three dimensional anisotropic elastostatic boundary value problem // J. Elastisity. 1973. Vol. 3. P. 203-216.

120. Wilson R.B., Cruse T.A. Efficient implementation of anisotropic three dimensional boundary-integral equations. Stress analysis // J.for Numer. Meth. In Eng. 1978. Vol. 12. P. 1383-1397.

121. Wiener N., Hopf E. Uber eine Klasse singularer Integralgleichungen, S. B. Preuss. Acad. Wiss, 1932. P. 696-706.

122. Zhang Ch., Achenbach J.D. A new boundary integral equation formulation for elastodynamic and elastostatic crack analysis // J. of Appl. Mechanics. 1989. Vol. 56, № 2. P. 284-290.