Факторизация R-матрицы, Q-оператор и разделение переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им.В.А. СТЕКЛОВА

На правах рукописи

Деркачев Сергей Эдуардович

ФАКТОРИЗАЦИЯ И-МАТРИЦЫ,

(^-ОПЕРАТОР и РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2011

1 СЕН 2011

4852589

Работа выполнена в лаборатории математических проблем физики Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Вершик Анатолий Моисеевич

доктор физико-математических наук, профессор Исаев Алексей Петрович

доктор физико-математических наук, профессор Хорошкин Сергей Михайлович

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

Защита состоится _2011 г. в _\_2 часов на заседании совета

Д 002.202.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций в Санкт- Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стеклова РАН по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургском отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан « и > /т>шу гон г.

11>/йкулту

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.202.01 доктор физ.-мат. наук

Зайцев А.Ю.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Современным подходом к теории квантовых интегрируемых систем является квантовый метод обратной задачи, разработанный в лаборатории математических проблем физики ПОМИ под руководством Л.Д.Фадцеева. Метод был сформулирован в работе Л.Д.Фадцеева, Е.К.Склянина и Л.А.Тахтаджяна и получил дальнейшее развитие в работах Л.Д.Фадцеева, П.П.Кулиша, Н.Ю. Решетихина, Е.К.Склянина, М.А.Семенова-Тян-Шанского, Л.А.Тахтаджяна, В.О.Тарасова и других участников Санкт-Петербургской школы математической физики. Квантовый метод обратной задачи связывает с каждым решением уравнения Янга-Бакстера интегрируемую модель и обеспечивает метод построения собственных состояний гамильтониана модели при помощи алгебраического анзатца Бете. Спектр гамильтониана находится из решения системы уравнений Бете. В приложениях часто возникают интегрируемые модели, где псевдовакуум отсутствует и, как следствие, алгебраический анзатц Бете неприменим. Примерами таких моделей являются квантовая цепочка Тоды, XXX спиновая цепочка с группой симметрии БЬ(2, С), имеющая приложения в теории полей Янга-Миллса (Л.Н.Липатов, Л.Д.Фадцеев, Г.П.Корчемский), а также XXX спиновая цепочка с группой симметрии 8Ь(2,К) или модулярный XXZ магнетик. В таких случаях альтернативными подходами являются метод (^-оператора (Р.Бакстер) или метод разделения переменных (Е.К.Склянин), которые эквивалентны алгебраическому анзатцу Бете при наличии вектора младшего веса, но применимы и в более общей ситуации, когда вектор младшего веса отсутствует. Эти методы достаточно хорошо разработаны для случая группы симметрии ранга один, но, в отличии от алгебраического анзатца Бете, обобщение на модели с группами симметрии высших рангов до сих пор неизвестно. Для различных вариантов XXX или XXZ

спиновой цепочки с алгеброй симметрии sé2 или Ug(s¿2) Q-оператор строится при помощи метода Бакстера-Паскье-Годена, однако этот метод трудно распространить на модели с группой симметрии более высокого ранга и общепринятый конструктивный способ построения Q-оператора отсутствует. Систематический метод построения Q-оператора.был предложен в работах В.В.Бажанова, С.Л.Лукьянова и А.Б.Замолодчикова для модели с ал- геб-рой симметрии Uя(з£2) и в дальнейшем обобщен на U?(s£3) и алгебру суперсимметрии XJq(s£(2,1)). В рамках этого метода Q-оператор строится как след специальной матрицы монодромии по вспомогательному пространству бесконечномерного представления q-осцилляторной алгебры. При этом используется универсальная R-матрица (С.М.Хорошкин, В.Н.Толстой). Абстрактное представление через генераторы для универсальной R-матрицы является достаточно сложным, что приводит к техническим трудностям при обобщении на Ug(s4) данного метода построения Q-оператора. Кроме того, случай неде-формированной алгебры симметрии sín должен получаться при рассмотрении предела q 1, что само по себе является крайне нетривиальной технической задачей. В работах автора с коллегами был развит другой подход к построению Q-операторов. На первом этапе были получены явные формулы для Q-операторов в моделях спиновых цепочек с алгебрами симметрии sli\ и s£(2,1), а потом вся схема была обобщена на случай алгебры симметрии sín. Q-оператор строится аналогичным образом как след специальной матрицы монодромии по бесконечномерному вспомогательному пространству. Основное отличие от подхода Бажанова-Лукьянова-Замолодчикова состоит в том, что в качестве вспомогательного пространства выбирается пространство специального представления алгебры симметрии, которое не является аналогом представления,q-осцилляторной алгебры.Универсальная R-матрица точно так же играет ключевую роль и в нашей конструкции. В работах автора

было показано, что R-матрица, действующая в тензорном произведении двух представлений общего положения алгебры симметрии, может быть представлена в виде произведения двух (для st2) или трех (для и sí{2,1)) более простых операторов. Трансфер матрица строится как след произведения универсальных R-матриц. Все R-матрицы в этом произведении действуют как операторы в общем вспомогательном пространстве, по которому и вычисляется след. Свойство факторизации R-матрицы наследуется трансфер матрицей, которая так же распадается в произведение более простых строительных блоков, которые и являются Q-операторами. Если параметры представления во вспомогательном пространстве выбрать специальным образом, то все Q-операторы в произведении, за исключением одного, превращаются в единицу. Таким образом для оставшегося Q-оператора получается представление в виде следа специальной матрицы монодромии по бесконечномерному вспомогательному пространству. В диссертации рассмотрена общая конструкция Q-оператора в случае алгебры симметрии s(n. Задача естественным образом разбивается на два этапа: первая часть посвящена построению универсальной R-матрицы для алгебры симметрии s£n, а вторая часть - исследованию трансфер матриц и Q-операторов. Самый простой случай алгебры симметрии st2 используется в качестве нетривиального примера, в котором все вычисления проводятся явным образом.

Цель работы.

Основной целью работы является явное построение общих решений уравнения Янга-Бакстера с группой симметрии SL(п, С) и использование полученных R-матриц для конструкции Q-операторов и оператора перехода к представлению разделенных переменных. В рамках общей задачи требуется разработать технику, применимую к наиболее сложному для анализа случаю групп большого ранга.

Рассмотрены следующие конкретные проблемы:

• конструкция общего решения уравнения Янга-Бакстера с группой симметрии БЦп, С) для представлений непрерывных серий, модулей Верма и конечномерных представлений

« построение общей трансфер матрицы и ее факторизация в произведение (^-операторов

• явная конструкция оператора перехода к представлению разделенных переменных

• обобщение полученных результатов на случай деформированных алгебр симметрии: ё1ч -4 иалгебра Склянина.

Методы исследований.

В работе активно используются методы теории групп и теория представлений: метод индуцированных представлений и конструкция Гельфандэ-Наймарк теория сплетающих операторов и их связь с представлениями симметрической группы. Также использованы квантовый метод обратной задачи рассеяния и технические приемы, разработанные при вычислении диаграмм Фейн-мана: метод уникальностей и интегрирование цепочек. Активно используются специальные функции, являющиеся q-aнaлoгaми и эллиптическими аналогами гамма-функции Эйлера.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация имеет теоретический характер. Разработанные в ней методы и полученные результаты могут быть применены для дальнейшего изучения интегрируемых моделей и их применения в современной теоретической физике. Построение и исследование (^-операторов Бакстера для групп высших

рангов и для случая бесконечномерных представлений является сегодня актуальной задачей, вокруг которой работают многие специалисты по теории интегрируемых моделей. Часть материалов диссертации составило содержание специальных курсов для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности теоретическая и математическая физика.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие новые научные результаты.

Спиновые цепочки с группой инвариантности ранга один:

• Методом Бакстера-Паскье-Годена построен СЗ-оператор для спиновой цепочки с пространством состояний, являющемся тензорным произведением бесконечномерных з^-модулей Верма.

• Построена общая И-матрица, общая трансфер матрица, (^-оператор и оператор перехода к представлению разделенных переменных для представлений основной унитарной серии. Явным образом вычислена мера Склянина в представлении разделенных переменных.

• Полученные результаты обобщены на случай открытой спиновой цепочки.

• Схема построения общей К-матрицы обобщена на случай деформированной алгебры симметрии: а£2 и?(^2) алгебра Склянина.

Спиновые цепочки с группами инвариантности высших рангов:

• Построено общее з£3-инвариантное решение уравнение Янга-Бакстера. Доказана факторизация полученной К-матрицы в произведение трех операторов и аналогичная факторизация трансфер матрицы в произведение трех (^-операторов.

• Полученная схема построения R-матриц и Q-операторов перенесена на случай суперсимметричной спиновой цепочки с супералгеброй симметрии sl{ 2,1).

• Построено общее ¿¿„-инвариантное решение уравнение Янга-Бакстера, Установлена связь с теорией сплетающих операторов.

• Построено каноническое разложение общей трансфер матрицы с бесконечномерным вспомогательным пространством в произведение Q-операторов.

• Получено детерминантное представление для трансфер матрицы с конечномерным вспомогательным пространством. Уравнения Бакстера для Q-операторов и различные квадратичные соотношения (fusion relation) между трансфер матрицами являются прямым следствием полученного детерминантного представления.

Апробация работы.

Результаты, полученные в диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах ПОМИ и ИТЭФ. Результаты диссертации были представлены автором на научных семинарах в институтах теоретической физики Университетов Лейпцига, Бохума, Регенсбурга и Бонна (Германия), в отделах теоретической физики Орсз и Сакле (Париж, Франция), Университетов Йорка и Лидса (Англия), а также на многочисленных международных конференциях по различным областям теоретической и математической физики, в частности на конференциях:

• "Модели квантовой терии поля "(Санкт-Петербург) МКТП-2008 (5.117.11.2008) и МКТП-2010 (18.10-23.10.2010), посвященных памяти Александра Николаевича Васильева;

• Rencontres Itzykson 2010: "New trends in quantum integrability"(21.06-23.06.2010) IPhT Saclay;

e "Classical and Quantum Integrable Systems": CQIS-2011 (24.01-27.01.2011) Протвино, CQIS-2009 (27.06-2.07.2009) Черноголовка, CQIS-2007 (22.0125.01.2007) Дубна;

• "Problems of theoretical and Mathematical Physics" (2.09-6.09.2004) Дубна;

• "Selected Topics of Modern Mathematical Physics"(27.06-3.07.2005) Санкт-Петербург.

Публикации.

В ходе исследований по теме диссертации опубликованы 19 статей в ведущих отечественных и зарубежных рецензируемых научных журналах из списка ВАК.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 147 страниц. Библиография включает 87 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во вводной части диссертации приведена общая краткая характеристика работы, включающая актуальность темы исследования, краткий обзор основных результатов и структуры работы.

Глава 1.

В первой главе рассматривается построение SL(2, С)-инвариантного решения уравнения Янга-Бакстера

l12(u -v,u-v) E13(u,й)v) = R23(u,и)Mi3(u,й)Ег2(и -v,u-v). (1)

Линейный оператор Жц^й) зависит от двух спектральных параметров и и й, разность которых и — й должна быть целым числом. Оператор Ki2(u, й) действует в пространстве тензорного произведения двух представлений группы и SL(2, (С)-инвариантен

Т^«?) ® Т{™\д) ■ К12(«,«) = Ruiu,«) • ® Т.

Действие операторов Т(д) представления непрерывной серии в пространстве функций Ф(г, z) определяется формулой

Поясним обозначения. Аргументы функций z = x + iy\z — x — iy комплексно сопряженные числа, [z]a — za za, где параметры а и а в общем случае не предполагаются комплексно сопряженными, но их разность должна быть целым числом о - а е Z. В уравнении Янга-Бакстера все операторы определены в общем тензорном произведении трёх пространств Yj ® V2 <8> Уз- Индексы ik показывают, что оператор R^ действует нетривиально в тензорном произведении V, ® Yk, т.е. на функции Ф(zit Zk), зависящие от двух переменных Zi и

гк. Удобно выделить из перестановку Р,*: = Р« где РЛ, действуя на функцию переставляет аргументы щ и Следствием уравнения

Янга-Бакстера (1) является более простое определяющее ЛЬЬ соотношение, которое для оператора II имеет следующий вид

Ки{и - ^Ь^иь и2)Ъ2(уи г>2) = 1^(1)1, у2)1>2(у,1, и2)К12(и - у). (2) где Ь(щ,и2) - квантовый Ь-оператор

«-..«¿-('"Н-^Н1 (3>

\ г 1 ) \ 0 и2 ¡\-zlj

Матрица Ь{и) зависит от спектрального параметра и и параметров сг1} а2 представления Т^1'1^, группирующихся в разности: (щ, и2) = (и —ах, и — сг2) на диагонали в средней матрице. Уравнение (2) допускает естественную интерпретацию: оператор И переставляет параметры (щ,и2) из первой матрицы с параметрами (г>1,г>2) из второй матрицы. Эти четыре параметра удобно объединить в один набор в следующем порядке и — (г>х, г>г, щ, и2). Таким образом, оператор К отвечает перестановке 5 специального вида в группе перестановок четырех параметров

з -» ; 8(ьиь2,и1,и2) = (и\,и2,У1,ь2).

Произвольная перестановка из симметрической группы 64 может быть построена из элементарных транспозиций 81, 82 и Бз

514 = (г>2, VI, и2) ; 5211 = («1, щ, «2, и2) ; йзи = (т/1, г/2, и2, щ), переставляющих только два ближайших соседа. Операторы 8<(и), реализую-

щие элементарные перестановки, находятся из определяющих соотношений

: 81(11) Ь2(г)1,= Ь2(г;2,^1)81 (и),

и2) : 82(и)Ь1(и1,и2)Ь2(^1,г)2) = ^(^,«2)1^(^1, и1)32(и), (г>ьг>2,£ГГ*«2) : 8з(и)Ь1(и1,«2) = Ь1(и2,их)8з(и).

Операторы Эх и Эз действуют похожим образом - каждый из них переставляет параметры внутри только одного Ь-оператора. Оператор, сплетающий два эквивалентных представления, как раз и осуществляет требуемую перестановку параметров, так как определяющее соотношение для него эквивалентно нужному соотношению для матрицы Ь(ц1,и2)

8ТК»») = ТК*»)8 Б Ц^ь и2) = Ци2,111) Б.

Из трех операторов, осуществляющих элементарные перестановки, два являются сплетающими, действующими по отдельности на свои Ь-матрицы, а оставшийся оператор 82(и) оказывается оператором умножения на простую функцию, зависящую от переменных Zl и г2

81(11) = ; Э2(и) = [*1 - ; 83(и) = .

Для интересующей нас специальной перестановки разложение на элементарные транспозиции имеет следующий вид в = йг^зз^- Реализация произведения определяется формулой -» Зг(з^и)8^(и), так что в итоге получаем

5 = 32515352 -у) = 82(515352и)81(5з52и)8з(в2и)82(и) =

= [21 - [1д2]и1~щ [гЭ1р-!'2 [2! -

Легко доказать, что оператор ®х2(м) = РхгК-ггСи), удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера (1). Доказательство основано на том, что для операторов Б* (и) справедливы соотношения Кокстера для генераторов группы перестановок. Проверка соотношений в^з^ = 1 и йхЗз = ¿'зЗх очевидна:

в1в1 = 1 -> 81(51и)81(и) = [гд2Г~щ • \1д2}^ = 1,

51*3 - 5351 тщ~У2 ■ = [г^х]"1-"2 • [1д2]^ ,

а соотношения: йхг^х = агэ^г и йг^зв2 = ззз2зз сводятся к тождеству

Ща ■ ■ Щ* = [г]"- [гд]а+^ ■ И*,

которое называется соотношением звезда-треугольник и хорошо известно в конформной теории поля. Например, тройное соотношение

эквивалентно тождеству

[г^г]"1-1'2 • ■ [1д2Г'щ = Ы*2-"1 • Щ)^ ■ Ыи1~и>.

Удобно выделить каноническое разложение перестановки в в произведение перестановок г\ и г2. гг переставляет только щ «х: Гх(и) = (щ^2,У1,и2), а г2 переставляет только и2 -и- г^: г2(и) = (г>х, и2, ь2). Роль элементарных строительных блоков, вместо операторов Б*(и), теперь играют операторы ^ и 112, отвечающие перестановкам и г2

п = 525^2 К1(") - 82(5152и)8х(52и)32(и) = [ги]*-*

Г2 = 525з52 ВД - 82(5з52и)8з(52и)82(и) = [¿йр"*2 [г12Г-И .

Перестановки и г2 коммутируют и перестановка й раскладывается в произведение, так что для оператора 11x2 (ад - ь) получаем

5 = ПГ2 = г2Г! -»• В,12(и = К1(г2и)К2(и) = ^(пиЩи).

Операторы Щ(и) играют роль элементарных строительных блоков в конструкции (^-операторов Бакстера. Использовав представления непрерывных серий группы 8Ь(2, С), мы построили оператор К, удовлетворяющий уравнению Янга-Бакстера. При специальных значениях параметров представления в пространстве представления непрерывной серии возникают инвариантные подпространства полиномов, на которых реализуются конечномерные неприводимые представления группы 8Ь(2,С). Промежуточный уровень между представлениями непрерывных серий и конечномерными представлениями занимают модули Берма - бесконечномерные представления алгебры Ли в пространстве полиномов. Строя ограничения оператора II на пространство полиномов, получаем операторы И., действующие в модулях Верма и конечномерных представлениях группы 8Ь(2,С). При этом строительные блоки усложняются, так как операторы, сплетающие эквивалентные представления основной серии группы 8Ь(2, С), плохо определены на пространстве полиномов. Мы подробно рассматриваем свойства операторов, играющих роль элементарных строительных блоков на каждом этапе сужения пространства представления: непрерывные серии модули Верма конечномерные представления.

Глава 2.

Рассмотренная в первой главе схема построения решений уравнения Янга-Бакстера обобщается на случай группы ЭЦп, С). Представления непрерывных серий группы ЭЦп, С) реализуются на пространстве функций, завися-

щихот

n(n-l)

переменных. Обозначим через Z группу нижнетреугольных

ком-

плексных матриц 2 = ||хцс\\ п-го порядка, для которых 2н- = 1 и гц, ~ 0 при г < к, а через Н группу верхнетреугольных комплексных матриц

z =

( 1 0 0 ...

221 1 0 ... О

231 Z32 1 ... О

t'h\\ h\2 h\z ... hin^

ez, h =

\Znl zn2 Zn3 • • • 1 j

0 h22 h23 .

0 0 /133 . 0 0 0.

• h>2n ■ h3n

e H. (4)

^ " " 4 ■ ■ • 1

Пусть ъ - произвольная матрица из 2, а д- произвольная матрица из БЦп, С). Используя разложение Гаусса, представим произведение д~1 • г в виде

<7 • z = z' -h.

Пространство, в котором действуют операторы представления Т(д), состоит из функций Ф(z), где z £ Z, т.е. Ф(г) является функцией перемен-

ных Ф(г) = $(221,2:31, • ■ • j2n,rj-i)- Функция не предполагается голоморфной и зависит также и от сопряжённых переменных 221, ..., Действие оператора Т(</) на функцию задается формулой

Т(<?) Ф(2) - [Ajp'-^p-1 • • • [Aa-if-'"-1 • Ф(2') ,

где - минор из элементов матрицы с?-1 ■ z, находящихся на пересечении первых к строк и первых к столбцов. Построенное представление задаётся двумя наборами чисел a = {ai,..., и — ■ • • > с дополнительным условием на разности — сгZ. Чтобы не загромождать формулы, зависимость от ст- в обозначении представления Т0, будет опускаться. Для характеристики представления нужны не п чисел а только их разности

ck,k+1 = ак — но удобно использовать симметричную параметризацию сг = (ai,..., ап) представления V группы SL(n, С), наложив дополнительное условие на сумму: ai+a2 + ■■■ + ап = SÎ^ii. Оператор Ri2(it,û), являющийся решением уравнения Янга-Бакстера, определен в тензорном произведении двух пространств Vi ® У2, где действуют представления группы SL(n, С) и коммутирует с операторами представления

TTfo) ® Т%(д). Ru(u, й) = й) ■ Tffo) ® ТÇ(g).

В качестве пространства Vi возьмём пространство функций от переменных матрицы zj, где действует представление Тст . а в качестве пространства У2 - пространство функций от переменных матрицы z2, где действует представление ТР.

Предложение 1. L-onepamop, входящий в определяющее уравнение для R-матрицы, умеет следующий вид:

L(«i,..., ип) — и + Е17 = z (и - а - D) z-1,

! ..... N ^

Е<г =

Ец E2I EI2 Е22

■ы

ЕП2

; и—a—D:

и-ai -D2I • • • -D„i О и-<j2 ••• -Dn2

\ Ei„ Е2п • • • Епп j \ 0 0 • • • и- an

где Ea - матрица из генераторов алгебры Ли: Enm] = 8kn Ejm ~ ЕПк s рассматриваемом представлении Т", D - строго верхнетреугольная матрица из генераторов правых сдвигов D= zmi матрица из чисел о>, задающих представление Т17.

диагональная

Выделим из R-матрицы оператор перестановки К12 = Р12 R12, где оператор Р12 переставляет аргументы у функции Pi2$(zi,z2) = #(z2,zi), и выпишем

определяющее 11ЫгСоотношение для оператора Лх2

1*12 Ьх(и1,..., ип) Ьг(г/1, ...,ьп)~ Ь^щ,..., г>„) Ь 2(щ, ...,ип) 1112 , (5)

Матрица Ьх зависит от спектрального параметра иип параметров а характеризующих представление: все параметры естественным образом комбинируются в набор чисел щ = и — Ок - диагональные элементы матрицы и - а. Точно так же Ь2(г/х,..., 1/„), где = V — рк. Оператор переставляет набор параметров (щ,..., ип) в первом Ь-операторе с набором параметров (г>х,..., уп) во втором Ь-операторе. Объединим все параметры в один набор в следующем порядке и = (г>х,..., ип, их,..., ип). Таким образом, оператор 11x2 реализует перестановку з специального вида

в группе перестановок 2п параметров («х,..., и„, «х,..., Произвольная перестановка из группы б2п может быть построена из элементарных транспозиций (к = 1, • • - 2п — 1), переставляющих только два ближайших соседа в наборе (их,..., уп, щ,..., ип). Операторы Б*, сплетающие представления Т" и Т0^, где а к получается из сг перестановкой двух ближайших соседей: ст^ = (... ст/ь+х, (?к, ■ ■.), являются операторами элементарных перестановок параметров внутри одного Ь-оператора, т.к. соотношение сплетения Эд. Ест = Еак Зк как раз и означает нужную перестановку в Ь-операторе

Ба; Ь (щ, щ+1, •••«„) = Ь(их,..., ик+1, щ,--- ип) йд;

Явная формула для оператора имеет вид: Э^и) = где =

Ък+1,к = 72т=к+1 1 ^ . & = 1, • • • — 1 - оператор правого сдвига. В итоге из 2п — 1 элементарных перестановок , действующих на набор парамет-

ров (г>1,..., г;„, щ,..., и„), у нас уже есть 2п - 2 перестановки, действующие по отдельности на ...,ьп и щ,..., ип

$г , -у Бп+1 , , 8^1 Г10 , к = 1,..., п — 1

, ... , ; = < (6)

к = п + 1,...,2п — 1

§к Ъг(Уи ■.., ик, ук+и ...уп) = и{уи ьк+ь • • • vn) ; к = 1, • • • , п - 1,

§кЦ(щ,... ,ик,ик+и.. .ип) =1>1(щ, ...,ик+\,ик, ...ип)Вк] п+1 < к < 2п—1. Остаётся найти только один оператор переставляющий уп и щ\

(г»ь..., А^ыь ...,ип). Решение определяющего уравнения для последнего недостающего оператора §„ иг,..., ип) Ь2(г)ь • • •, у„) = Ь1(г>„, и2,..., ип) 12(у1, ..., уп-Ь щ) . оказывается неожиданно простым.

Предложение 2. Операто𠧄 является оператором умножения на функцию, которая строится из матричного элемента, находящегося на пересечении первого столбца и последней строки в произведении матриц г21%\

Г

8пф(21,22) = [ЛТСР- Ф(21,22). (7)

Мы построили полный набор образующих группы 62п - группы перестановок 2п параметров (г^,..., vn, щ,..., ип).

Предложение 3. Операторы Вк удовлетворяют следующему набору соот-

ношений

Sk(sk u)S*(u) = 1

(8a)

§>(зки)Вк(и) =S*(e1u)S4(u) ; |t - k\ > 1

(8b)

Этот набор соотношений дублирует необходимые соотношения Кокстера для группы &2п- Выделим каноническое представление для оператора 11x2

которое окажется удобным при построении (^-оператора Бакстера. Представим сложную перестановку, которую осуществляет оператор И, в виде произведения п перестановок: Ли (и) = К?2 • • • К-п, каждая из которых переставляет только параметры щкукв произведении Ь-операторов и осуществляется оператором

(«1, {гц, ...,ук,...,ик,...,уп).

Явное представление оператора Л^и) через генераторы имеет вид

Ria(u) = (§„+*_! • • • Sn+i) (St... Vi) sn (Vi... Sit) (Vi... §„+*_:).

Что бы не загромождать формулы, мы не указываем аргументы у операторов Sk. Используя соотношения Кокстера для генераторов S/t или набор соответствующих соотношений для операторов Ri2(u), можно доказать, что оператор Ri2(u) удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера. Заметим, что построение общего SL(n, С) инвариантного решения уравнения Янга-Бакстера заметно усложнилось по сравнению со случаем SL(2, С), хотя основной прин-

цип остался тем же: строительными блоками являются сплетающие операторы, а правила сборки определяются группой перестановок. Операторы являющиеся элементарными строительными блоками, хорошо определены на пространстве функций, на котором реализовано представление основной непрерывной серии группы SL(n, С). Для неприводимых представлений другого типа картина становится более сложной. В случае, когда все параметры ffk,k+1 и &k,k+i натуральные числа, в пространстве представления основной не унитарной серии группы SL(n, С) выделяется инвариантное конечномерное подпространство полиномов. Если ограничиться представлениями алгебры Ли sin, то в точке общего положения представление в пространстве C[z, z] - пространстве полиномов от переменных z¡k и z¡k, является неприводимым. В особой точке получаем конечномерное представление алгебры Ли, продолжающееся до рассмотренного конечномерного представления группы Ли. В случае модулей Верма операторы §к нуждаются в дополнительной регуляризации, поэтому удобно объединить их в более крупные строительные блоки -операторы RÍ2(u), которые уже хорошо определены на пространстве полиномов. Мы подробно рассматриваем свойства этих операторов и, в частности, выводим замкнутую формулу для действия оператора Ri2(u) на производящую функцию базисных векторов модуля Верма.

Глава 3.

В данной главе строятся Q-операторы и оператор перехода к представлению разделенных переменных для спиновой цепочки с группой симметрии ранга один. Рассмотрим наш основной пример - XXX спиновую цепочку. Производящая функция

t(u) = 2 • и" + uN~2 • t2 + uN~3 ■ t3 + • • • + tjv

для семейства коммутирующих операторов = 0 строится как след

матрицы монодромии

( Ми) В(и) \

ад^Ыи)---^«)« , 1;(и) = 1;гТ(и) = А(и)+В(и) (9)

\ С (и) Б(п) )

Задача состоит в нахождении общих собственных функций коммутирующих операторов ^Ф^,..., 2дг) = 4 • ..., гц), к = 2,3,..., N. Схема метода разделения переменных схематически может быть представлена следующим образом:

• Рассмотрим вспомогательную интегрируемую систему, порожденную семейством коммутирующих операторов Хц,..., хдг_1 и р = 1дХ1 +...+1д2„

В (и) = гр • (и - Х1) (и - х2) • • • (и - хдт-1)

или, эквивалентно, операторов В(и) и р: [В (и), В (и)] = 0 ; [р,В(и)] = 0.

• Найдём собственные функции коммутирующих операторов В (и) и р

В(и)и(г,х) = ф(и-Ж1) • • • (и - т^-х) • и(г,х) ; р11(г, х) = гр ■ Щг, х)

где мы объединили все новые переменные х = Х\,.. и старые

переменные г — ..., 2дг.

• Разложим Ф(г) = Ф(гь • • • , общую функцию коммутирующих операторов Ьк, по базису собственных функций вспомогательной системы.

Ф(2) = У и(г,х)Ч(х)ц(х)<11<х.

• Разделение переменных означает, что функция я(х) представляется в виде произведения: д(х) = я^^жг) • • -фы)- Каждый сомножитель

является решением одномерного уравнения Бакстера

= Д+(«)' + 1) + Д-(») • ф - 1),

где полином ^х) определяется собственными числами операторов ^ t (и) = 2 • и" + им~2 ■ и + иы~3 ■ 43 + ... + .

Оператор, ядром которого служит функция и(г,х), является оператором перехода из исходного представления в представление разделенных переменных, где решение многомерной задачи сводится к решению разностного уравнения на функцию одной переменной.

Нашей целью является построение унифицирующего объекта - (^-оператора, обладающего следующими свойствами:

• это новое семейство коммутирующих операторов, коммутирующее также с трансфер матрицей

• С3(и) удовлетворяет операторному соотношению - уравнению Бакстера

Ь{и) ■ <Э(и) = А+(и)С}(и + 1) + Д_(и)<Э(и - 1).

Таким образом, функции я(и) получают естественную интерпретацию как собственные функции (^-оператора. Кроме того, при помощи (^-оператора строится явное выражение для ядра и (г, х) оператора перехода к представлению разделенных переменных. Роль элементарных строительных блоков для (^-операторов играют операторы Б*. В случае группы БЦ2, С) таких операторов два. Что бы не загромождать формулы, при построении трансфер матриц

и (^-операторов удобнее использовать более простые обозначения, указывая только зависимость от спектрального параметра. 11-матрица, действующая в тензорном произведении представлений Т^1'"^ факторизуется в

произведение

Шп(и) = Р12 • Их (и + Рх) Ми + Ра) , (10)

где операторы И,* (и) задаются явными формулами (щ — и — а\, и2 — и — а2)

ВД = Ы*2 № Ы^ ; ВД = Ы^1 [Фр Ы"' •

Пространством состояний в БЬ(2, С)-инвариантной XXX спиновой цепочке является тензорное произведение пространств ¥х ® У2 ® • • • ® Улг- Каждое У/с - пространство функций от переменных на котором реализова-

но представление Различные семейства коммутирующих операторов,

действующих в пространстве состояний, строятся стандартным образом из решений уравнения Янга-Бакстера. Оператор М(и) используется в качестве строительного блока при построении самой общей трансфер матрицы Тр(и)

Тр(и) = Ьгу0Мю(и)М2о(") • ■ ■ ®ЛЧ>(«) ; Р = [Р1,Р2) ■

Каждый оператор К^о действует в тензорном произведении и след вы-

числяется по вспомогательному пространству Уо - пространству функций от переменных 2о,?о, на котором реализовано представление Тот факт,

что оператор ®х2(«) удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера, приводит к коммутативности трансфер матриц Тр(и) и Тр<(и): [Тр(и), Тр<(г))] = 0. Факторизация 11-матрицы наследуется трансфер матрицей.

Предложение 4. Трансфер матрица Тр(и) факторизуется в произведение Q-операторов

?-1р(и) = С11{и + р1)-012{и + р2), 23

где Р - оператор циклического сдвига: Р = Р12Р13 • • • P1N а операторы Qi(u) и QjCu) строятся следующим образом

Qi{и) = trv0Rio(«) • • ■ !*]«,(«) ; Q2(u) = trVoR?0(") ■ • • R*o(u) •

Заметим, что рецепт построения операторов Qi и Q2 в точности имитирует рецепт построения общей трансфер матрицы, только в качестве строительных блоков используются операторы Ri и Кг- При специальном выборе параметров представления во вспомогательном пространстве трансфер матрица совпадает с Q-оператором.

Предложение 5. Операторы Qi(u) и Q2(u) превращаются в оператор Р при специальных значениях спектрального параметра: Qi(cti) = Q2(a2) = Р, поэтому в двух специальных точках

Р2 = (ai ~и,а2 + и) ; рг = (ел + и,а2~ и)

происходит редукция: Тр(ад) превращается в Q-onepamop

ТР» = Q2(2u+ <72) ; Tft(u) = Qi(2u + ai).

Так как трансфер матрицы коммутируют между собой, из свойства редукции сразу следует коммутативность Q-операторов:

[Qi(u),Qi(v)] = [Qi(u),Q2(u)] = [Q2(tí),Q2(v)] = 0.

Предложение 6. Операторы Qi(w) — Qi(«i,w2) и Q2(u) = Q2(«i,U2) свя-

заны друг с другом соотношением

02(«ь «2) ■ S = S • QI(«2, «Х) ; S = [гдгГ^ • ■ ■ . (11)

Таким образом, существует единственный независимый Q-оператор, для которого удается получить замкнутое выражение.

Предложение 7. След в выражении Q2(u) = trv0Kfo(u)''' ®jvo(u) может быть вычислен явным образом

Q2(и) = Р • R?2(u) К|з(«) • • • R2N^N(u)R2N0(и) ^ (12)

где Р - оператор циклического сдвига Р = Pi2 Р13 • • • Pi.v-

Отметим, что операция z0 z\ выполняется самой последней: сначала весь оператор действует на функцию, зависящую от переменных z\, • • • , а потом в полученном выражении zq -» z\.

Используя метод Бакстера-Паскье-Годена можно вывести уравнение Бак-стера для Q-операторов

t(u) Qfc(tt, й) = Qk{u +1, й) + (щи2)* • Qk(u -1,«) , k=l,2.

Недостатком этого метода является то, что уравнение Бакстера получается a posteriori в результате приведения матриц к треугольному виду. На более глубоком уровне уравнение Бакстера оказывается следствием того, что при специальных значениях параметров (pi, р2) представление Т(рьй) становится приводимым и от него отщепляется конечномерное неприводимое представление. Трансфер матрица с конечномерным вспомогательным пространством представляется в виде разности трансфер матриц с бесконечномерными вспо-

могательными пространствами

tn(u) = TPbP2(u) - TP2,Pl{u),

так что получаем представление в виде определителя матрицы, составленной из Q-операторов

■p-.tndO- QliU + Pl) Q2(U + Pl) .

Ql(u + p2) Q2(u + p2)

Уравнение Бакстера и различные квадратичные соотношения для трансфер-матриц (fusion relations) является прямым следствием этого детерминантного представления.

Предложение 8. Явное выражение для ядра оператора перехода к разделенным переменным:

B(u) U(z, х) = ip ■ (и-xi)---(и- xN-i) U(z, х)

имеет следующий вид

U(s5,x) = Q2(®I)-- .

Таким образом, мы привели конструктивное построение всех основных объектов метода разделения переменных.

Глава 4.

Изложенная в предыдущей главе схема построения Q-операторов обобщается на случай группы SL(n, С). R-матрица используется в качестве элементарного строительного блока при построении трансфер матрицы

Tp(u) = trVoKi0(u) R2o(it) • • • Rjv0(u) ; Р = (ft, • • •, Рп) ■

26

Каждый оператор К ко действует в тензорном произведении V^ ® Vo и след вычисляется по вспомогательному пространству Vo, на котором реализовано представление Тр. Трансфер матрица действует в тензорном произведении представлений Vi ® ... ® Vjv- Мы ограничимся рассмотрением однородной спиновой цепочки, когда все V* - пространства представления Т*7 .

Свойства оператора R(u) наследуются трансфер матрицей Тр{и). Так как R-матрица является решением уравнения Янга-Бакстера, операторы Tp(i¿) коммутируют: [Тр(и), Тр>(и)] = 0. Факторизация R-матрицы наследуется трансфер матрицей:

Р"-1 • Тр(гх) = Qi(u + pi) ■ Q2{u + &)■■• Qn(u + pn),

где P - оператор циклического сдвига. Рецепт построения операторов Qfc имитирует рецепт построения общей трансфер матрицы, только в качестве строительных блоков используются операторы Rf0

Q*(u) = trv,R{0(u) • • • Rwd(«) •

При специальном значении спектрального параметра и = сгк, оператор ®*0(u) превращается в оператор перестановки: Kf0(crfc) = Pi0, так что Q-оператор при и = Ск совпадает с оператором циклического сдвига: Qjt(crjt) = Р. Таким образом, в пространстве параметров представления р = (pi,...,pn) выделяются п специальных точек, в которых трансфер матрица превращается в Q-оператор Т Рк(и) = Q¿(un + а к):

Рк = (ci - и, а2 - и,..., ак + и (п - l),crfc+1 - и,..., <тп - и).

Коммутативность Q-операторов сразу следует из коммутативности трансфер матриц: [Тр(и),Тр/(и)] = 0 —> [Qi{u),Qk{v)} = 0. Уравнение Бакстера для

(^-операторов усложняются по сравнению со случаем группы ранга один. Теперь, кроме трансфер матрицы, построенной из Ь-операторов

Ыи) = ЬгТ(и) ; Т(и) = Ь1(и)Ь2(и)---Ь^(и),

в уравнение входят высшие трансфер матрицы

Ь(и) = Ак ВД Щи + 1) • • • Т*(и + к - 1),

где Ак - оператор анти-симметризации к индексов и след берется по пространству, являющемуся к-кратным тензорным произведением ®к С". Явные формулы таковы:

р

а1<И2<...<ац р

где р - любая перестановка индексов а!,а2,...,аь Трансфер матрица гп{и) совпадает с точночстью до сдвига спектрального параметра с квантовым детерминантом А (и) = (щ ■ • ■ ип)*: ^(и) = А(и + п - 1). Уравнение Бакстера может быть представлено в следующем компактном виде

^„Ап[е9«Т1(и)-А(и + гг)]...[е9"Т„(«)-А(и + 1)] <3(и) = 0,

где А„ - оператор анти-симметризации по всем п индексам и след берется по п-кратному тензорному произведению С"® • • • ®СП. Приведем расшифровку общей формулы для случая младших рангов

• п = 2

<3(и) Ми) = СЦи + 1) + А(и) - 1),

• п = 3

А(и +1) <3(и) ^х(и) - СЦи +1) Ъ (и) + Ц(и + 2) = А (и) А(и +1) -1).

В специальных целых точках, когда параметры, входящие в р, выбраны так, что все разности: Р1—Р2, Р2~Рз> •••> Рп-1—Рп становятся натуральными числами, от бесконечномерного представления отщепляется конечномерное представление. Трансфер матрица Ьр(и), для которой вспомогательное пространство является конечномерным представлением, выражается через трансфер матрицы Тр(и)

tpM=E(-)sigll(p)т^)(u)'

гдер(р) произвольная перестановка чисел (рь..., рп). Суммирование ведется по всем перестановкам, а - четность перестановки. Если теперь раз-

ложить Тр(р)(«) в произведение (^-операторов, получим представление для трансфер матрицы с конечномерным вспомогательным пространством в виде определителя

СЫи + Рг) ЯгЫ + рг) ••• (¿пЫ + Рг) ЯгЫ + рг) Яг(и + Р2) ■■■ Чп{и + р2)

СМи + р„) <2г(и + рп) ••• Qn(и + р„)

Это представление является источником общих соотношений между трансфер матрицами с различными конечномерными вспомогательными пространствами и (^-операторами.

В Заключении суммируются и обсуждаются результаты, а также перечисляются нерешенные проблемы.

Публикации автора по теме диссертации.

[1] S. Е. Derkachov, Baxter Q-operator for the homogeneous XXX spin chain, J. Phys. A: Math. Gen. 32 (1999) 5299-5316.

[2] S. Derkachov, D. Karakhanyan, R. Kirschner, Universal R-matrix as integral operator, Nucl. Phys. В 618 (2001) 589-616.

[3] S. E. Derkachov, G. P. Korchemsky and A. N. Manashov, Noncompact Heisenberg spin magnets from high-energy QCD. I: Baxter Q-operator and separation of variables, Nucl. Phys. В 617 (2001) 375-420.

[4] S. E. Derkachov, G. P. Korchemsky and A. N. Manashov, Separation of variables for the quantum SL(2,R) spin chain, JHEP 0307 (2003) 047.

[5] S. E. Derkachov, G. P. Korchemsky and A. N. Manashov, Baxter Q-operator and SoV for the open SL(2,R) spin chain, JHEP 0310 (2003) 053.

[6] S. E. Derkachov, Factorization of the R-matrix. I, Записки научных семинаров ПОМИ, 335 (2006), 134-163.

[7] S. Е. Derkachov, Factorization of the R-matrix. II, Записки научных семинаров ПОМИ, 335 (2006), 164-183.

[8] S. Е. Derkachov, Factorization of R-matrix and Baxter's Q-operator, Записки научных семинаров ПОМИ, 347 (2007), 144-166.

[9] S. Derkachov, D. Karakhanyan, R. Kirschner, Baxter Q-operators of the XXZ chain and R-matrix factorization, Nucl. Phys. В 738 (2006) 368-390.

[10] S. E. Derkachov and A. N. Manashov, Factorization of the transfer matrices for the quantum sC2 spin chains and Baxter equation, J. Phys. A: Math. Gen. 39 (2006) 4147-4159.

[11] S. E. Derkachov and A. N. Manashov, Baxter operators for the quantum invariant spin chain, J. Phys. A: Math. Gen. 39 (2006) 13171.

[12] A. V. Belitsky, S. E. Derkachov, G. P. Korchemsky and A. N. Manashov, Baxter Q-operator for graded si(2,1) spin chain, J. Stat. Mech. 0701 (2007) P005.

[13] S. E. Derkachov and A. N. Manashov, R-matrix and Baxter Q-operators for the noncompact SL(n,C) invariant spin chain, SIGMA 2 (2006) 084.

[14] S. Derkachov, D. Karakhanyan, R. Kirschner, Yang-Baxter R-operators and parameter permutations, Nucl. Phys. В 785 (2007) 263-285.

[15] S. E. Derkachov and A. N. Manashov, Factorization of R-matrix and Baxter Q-operators for generic s£„ spin chains, J. Phys. A: Math. Gen. 42 (2009) 075204.

[16] С. Э. Деркачев, A. H. Манатов, Общее решение уравнения Ян- га-Бакстера с группой симметрии SL(n,C), Алгебра и анализ, 21:4 (2009), 1-94.

[17] М. В. Бабич, С. Э. Деркачев, О рациональной симплектической параметризации коприсоединенной орбиты GL(n,C): диагонализуемый случай, Алгебра и анализ, 22:3 (2010), 16-31.

[18] S. Е. Derkachov and А. N. Manashov, Noncompact s£n spin chains: BGG-resolution, Q-operators and alternating sum representation for infinite dimensional transfer matrices, принято в печать Lett.Math.Phys. (2011) DOI : 10.1007/sll005-011-0472-2.

[19] С. Э. Деркачев, Факторизация R-матрицы, Q-оператор и разделение переменных в случае ХХХ-спиновой цепочки с группой симметрии SL(2,C), Теоретическая и математическая физика, Т. 169, No. 1. (2011)

31

Подписано в печать 07.09.2011. Формат 60x84/16 Отпечатано с готового оригинал - макета в типографии ЗАО «КопиСервис». Печать ризографическая. Заказ N 1/0811.

_П. л. 2.0. Уч.-изд. л. 2.0. Тираж 100 экз._

ЗАО «КопиСервис». Адрес: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, д. 3. Тел.:(812) 327 50 98.

1 Введение

1.1 11-матрица и уравнение Янга-Бакстера.

1.2 Алгебраический анзатц Бете и уравнение Бакстера.

1.3 Локальный гамильтониан.

1.4 (^-оператор.

1.4.1 Общая 11-матрица.

1.4.2 Уравнения Бакстера.

1.4.3 Формула для действия на полиномы.

2 Решение уравнения Янга-Бакстера в случае группы симметрии 8Ь(2,С).

2.1 Группа БЦг, С)

2.1.1 Представления комплексной группы 8Ь(2, С)

2.1.2 Неприводимые представления группы 8Ь(2, С) .■

2.1.3 Сплетающие операторы.

2.1.4 Генераторы алгебр Ли С) и 51(2, С)

2.2 8Ь(2, (С)-инвариантная 11-матрица.29 ■

2.2.1 Уравнение Янга-Бакстера

2.2.2 Группа перестановок и соотношения для операторов Б^и) .'

2.2.3 Операторы ^иИг.

2.3 Модули Берма и конечно-мерные представления БЬ(2, С)

2.3.1 Модули Берма.

2.3.2 Конечно-мерные представления.

3 Решение уравнения Янга-Бакстера в случае группы симметрии БЦп, С)

3.1 Группа БЦп, С)

3.1.1 Неприводимые представления группы 8Ь(п, С).

3.1.2 Генераторы алгебры Ли gl(n, С) и генераторы правых сдвигов.

3.1.3 Сплетающие операторы.

3.2 8Ь(п, С)-инвариантная 11-матрица.

3.2.1 Операторы

3.2.2 Операторы В*.

3.3 Модули Берма и конечно-мерные представления 8Ь(п, С).

3.3.1 Модули Берма.

3.3.2 Действие оператора ГЦ на производящую функцию

4 Трансфер матрицы и (^-операторы в случае группы ЭЬ(2, С)

4.1 Локальные объекты: Ь-операторы и 11-операторы.

4.1.1 Матрицы Ь(гг) и Ь(й).

4.1.2 БЬ(2, С)-инвариантная 11-матрица.

4.1.3 Операторы Ях и Л2.

4.2 Глобальные объекты: трансфер-матрицы и (^-операторы.

4.2.1 Факторизация трансфер-матрицы.

4.2.2 Уравнения Бакстера.

4.3 Разделение переменных.

4.3.1 Собственные функции оператора Б (и).

4.3.2 Действие операторов А (и) и Б(и) на собственные функции и(г,х) . 97 4.4 Модули Верма.

4.4.1 Локальные объекты: квантовый Ь-оператор и общий Я-оператор

4.4.2 Глобальные объекты: трансфер матрицы и (^-операторы.

4.4.3 Уравнение Бакстера и детерминантное представление.ЮЗ

4.4.4 Примеры ограничений 11-оператора на конечномерные подпространства

4.4.5 Явные формулы для действия на полиномы

5 Трансфер матрицы и (^-операторы в случае группы БЬ(п, С)

5.1 Локальные объекты: Ь-операторы и 11-операторы.Ш

5.2 Глобальные объекты: трансфер матрицы и (¡^-операторы.

5.2.1 Элементарные трансфер матрицы.

5.2.2 Факторизация общей трансфер матрицы

5.2.3 Уравнение Бакстера

5.3 Модули Верма.

5.3.1 8І(п)-модули

5.3.2 Трансфер матрицы.

5.3.3 Трансфер матрицы высших уровней

5.3.4 Резольвента Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда.

5.3.5 Уравнения Бакстера и анзатц Бете.

Современным подходом к теории квантовых интегрируемых систем является квантовый метод обратной задачи [1-6], разработанный в лаборатории математических проблем физики ПОМИ под руководством Л.Д.Фаддеева. Метод был сформулирован в работе Л.Д.Фаддеева, Е.К.Склянина и Л.А.Тахтаджяна и получил дальнейшее развитие в работах Л.Д.Фаддеева, П.П.Кулиша, Н Ю.Решетихина, Е.К.Склянина, М.А.Семенова-Тян-Шанского, Ф.А.Смирнова, Л.А.Тахтаджяна, В.О.Тарасова и других участников Санкт-Петербургской школы математической физики. Квантовый метод обратной задачи связывает с каждым решением уравнения Янга-Бакстера [7-11] интегрируемую модель и обеспечивает метод построения собственных состояний гамильтониана модели при помощи алгебраического анзатца Бете [1,2,6]. Спектр гамильтониана находится из решения системы уравнений Бете. Проиллюстрируем основные шаги на примере интегрируемой модели, которая называется XXX спиновой цепочкой.

1.1 11-матрица и уравнение Янга-Бакстера

Без особого преувеличения можно сказать, что основным объектом является оператор а основным уравнением - уравнение Янга-Бакстера [2,7-12]. Для оператора К(и) исторически сложилось название 11-матрица. К (и) - Б1(2)-инвариантное решение уравнения Янга-Бакстера: и). (1.1)

Оператор Шгз(и) зависит от комплексного параметра и, называемого спектральным параметром, и является функцией двух наборов операторов Бг и Э3 - генераторов алгебры Ли 51(2), действующих в векторных пространствах ¥г и V.,. з1(2)-инвариантность означает, что оператор Му (и) коммутирует с суммой генераторов §г + §3

Д + • Шг3(и) = К„(и) ■ (Д + .

Выбирая различные представления в пространствах ¥г и У3, получаем следующие Ы-матрицы в порядке возрастания сложности.

• В самом простом случае двумерных представлений спина £ = \ в пространствах У г и V, генераторы 51 выражаются через матрицы Паули: 0 1 \ ( ® 'Л ( 1 ® \

2 5 ^ =4 1 о ) ' ^ ~ у г 0 ) ' = V О -I)

В этом случае Ы-матрица даётся выражением гз (и) = и + ^ + ^г <8>СГ3 = и+ Ргз и с точностью до аддитивной добавки спектрального параметра совпадает с оператором перестановки : Р13 х <8) у = у <8 х , где х £ К и у 6 У3. Оператор перестановки можно "материализовать" в виде квадратной четырехмерной матрицы. Для этого зафиксируем стандартным образом базис в тензорном произведении двумерных пространств Ух ® У2: еі = е2 е3 е4 =

Явное выражение для оператора Р в этом базисе имеет следующий вид

Р=Л(*в,*+1) = 1(г ^

2 4 ' 2 V + га2 1 — <тз 1 о о о \

0 0 10

0 10 0

V о о о і /

1.2)

• Двумерное представление спина I — | в пространстве У3 и произвольное, возможно бесконечномерное представление спина I Е С в пространстве Уг:

Мг(и) = и + - + вг^а.

Эта Я-матрица с точностью до сдвига спектрального параметра совпадает с так называемым квантовым Ь-оператором

Ьг{и) = Мг I и- = и + = ( 1 и + вг

1.3) который используется для построения матрицы монодромии. В Ь-операторе внутри матрицы стоят понижающий и повышающий генераторы алгебры з1(2), которые связаны с генераторами стандартными формулами: 6,± = ± гбг ; й1 = б'з

• Произвольные эквивалентные представления спина £ £ С в пространствах ¥, и В этом случае 11-матрица определяется следующей компактной формулой [3,6,7]: нз

1.4) где — оператор перестановки, а Сгз оператор Казимира: С — Б Я — 5і (5і 1) + Б в пространстве V, <8> У^, то есть § = ¡Зг + Данная 11-матрица используется для построения локального гамильтониана модели.

6 Заключение

Вместо Заключения перечислим проблемы, решение которых, как нам кажется, привело бы к более глубокому пониманию общей картины.

• Связь с другими схемами построения (^-операторов.

Как уже было отмечено во Введении, альтернативный систематический подход к проблеме построения (^-операторов разработан в работах [44-49]. На данный момент связь этих подходов подробно проанализирована в случае спиновой цепочки с алгеброй симметрии з1(2). Рассматриваемые подходы являются в каком-то смысле комплементарными друг другу. Конструкция, изложенная в данном тексте, удобна в случае бесконечномерных представлений в квантовом пространстве, в то время как конструкция работ [44-49] больше подходит в случае конечномерных представлений. На данный момент недостатком обеих конструкций является необходимость введения дополнительной регуляризации в случае конечномерных представлений в квантовом пространстве. Эта регуляризация нарушает глобальную 51(2)-симметрию модели и необходима из-за расходимости следа по бесконечномерному вспомогательному пространству.

• Регуляризация следов.

Во всем тексте мы намеренно избегали вопроса о существовании следа по бесконечномерному вспомогательному пространству. В случае непрерывных серий все операторы являются интегральными и однозначно определяются своими ядрами. Поэтому вопрос о существовании следа сводится к тому, можно ли в явном виде найти ядро рассматриваемого оператора. В случае группы симметрии 8Ь(2,С) все ядра были вычислены явным образом, поэтому вопрос о существовании следа не возникает. В случае группы ЗЬ(п, С) явные формулы для ядер более сложные и громоздкие, но, как нам кажется, это вопрос технический и при необходимости может быть решен.

В случае модулей Верма при произвольном комплексном спине в квантовом пространстве вопрос о сходимости рассматриваемых следов является открытым. Если рассматриваются конечномерные представления в квантовом пространстве, след расходится очевидным образом. Стандартный прием в этом случае - введение регуляризации, обеспечивающей сходимость следа и не нарушающей основных локальных соотношений. Для полноты картины мы приведем пример такой регуляризации и продемонстрируем, как все работает. Будем использовать следующую регуляризацию

Гуо В —1;гу0 Го9оВ ; д € С , |д| < 1, которая соответствует квазипериодическим граничным условиям для спиновой цепочки. Такая регуляризация сохраняет интегрируемость модели, подправляя соотношения, лежащие в основе интегрируемости. Это следует из коммутационного соотношения ' дго0о+~~°'9о\Коо'] = О.

Недостатком этой регуляризации является нарушение глобальной з1(2)-симметрии.

Перечислим изменения в основных формулах. Начнём с формулы для следа

Рхо • • • Р^о] = Р12Р1З ' • • Рш = Р , приводящей к оператору циклического сдвига IP . Вводим в выражение для следа указанную регуляризацию trVo [g2°a° • р10 • • • P;vo] - Р12Р13 • • • Рш • trVo [qZodo Рю] = p ' <flBl ■

Воспользуемся этим результатом, чтобы ввести регуляризацию в соотношения факторизации. При помощи N — 1 локальных соотношений для улов с номерами к = 2,., N и одного регуляризованного соотношения для первого узла, имеющего вид

Rjjo,(ui, v2\u2) • <f°'s°'P10< • qzodo Ri0(«i, u2\vuv2) = qZod° R?0(ui, "ah) • qz°,d°' Rio'(«iK u2) • Ко'Ы, v2\u2) , получаем аналог соотношения факторизации, которое содержит теперь только регуляризо-ванные следы

РqZldl ■ try0 [^МюСиьигК.^-.-К^МьИг!«!,^)] =

Вторая формула факторизации модифицируется совершенно аналогично Fqzidi -trVo [^RioiMbWaK.^-'-Rjvoiwi.^bbVz)] =

Свойства коммутативности тоже изменяются. Если в отсутствии регуляризации трансфер-матрицы коммутируют с оператором циклического сдвига Р, то теперь они коммутируют с оператором Рqzidl. Свойства коммутативности различных трансфер матриц сохраняют свой вид, если теперь считать, что они заменены на регуляризованные версии. Причём: важно, что параметр регуляризации во всех следах один и тот же.

Как и ранее, выбирая подходящим образом параметры в трансфер-матрицах, получаем регуляризованные Q-операторы Бакстера

Qi(%)= trv0 [geoaDRio(wibiJM2)-"R^o(wiK,M2)]|wl=0 , Q2(«|g)= trVo [?2o9oR?o(«i^2b2)---K^o(«i,«2b)]L2=0 • и регуляризованные общие трансфер матрицы ts(u|g) = trVo [qzodo ri0(u)r2o(w) • • ■ Rjvom] ■

Перечислим формулы факторизации и различные соотношения коммутативности дл регу-ляризованных операторов

Fqz^ ■ te(«|g) = Q2{u - s\q) Q^u + s + l\q) = Q^u + s + l\q) q2 ,

P<flSl, Qi(ti|g)] = [PgzlSl, q2(U|?)] = 0, [Qi(u\q),Qi(v\q)} = [q2№),q2(%)] = [qi(«|g),q2(v|g)] = 0.

Обратимся теперь к уравнению Бакстера. Теперь трансфер-матрица принимает вид

Ь(и\д) = ^ ^ ^ Ъх(м)Ь2(м) ■ • -Ьм(и), поскольку базис в двумерном пространстве ех = —г0 , е2 = 1 . Далее вводим регуляризацию в локальное соотношение, лежащее в основе уравнения Бакстера, и воспользуемся равенством

Это приводит к соотношению для глобальных объектов

• • • ^ и(и)Ъ2(и) ■ ■ • Ыи) =

7 ( д-дг°д°Ж\0(и + 1) -д ■ дъЪЩМд! \ (Ш2т(и + 1) -Ж%0(и)дм \ х V 0 щ и2 • д*°д°Щ0(и - 1) ) " Д 0 иги2 М?т {и - 1) / 0 ' взяв след от обеих частей которого по бесконечномерному пространству и по двумерному пространству, получим уравнение Бакстера

- д ■ Ц2(и + 1|д) + {щи*)" • - 1|д).

Рассмотрим изменения, происходящие во втором выводе уравнения Бакстера. Трансфер матрица с конечномерным вспомогательным пространством имеет вид и\д) = Ьт дгодо Ию(и) К.20Ы • ■ • Пт(и).

Поскольку в этой формуле след вычисляется по конечномерному пространству размерности п+1, то оператор дх°д° в этой формуле обращается в диагональную (п+ 1)-мерную матрицу.

При введении регуляризации происходят изменения в формуле, представляющей след по конечномерному пространству как разность следов по бесконечномерным пространствам

Эти изменения связаны с перестановочным соотношением для оператора дп+г дп+1 г0д0 дП+1 . ^годо дп+Х которое порождает

Ьгдп+1 дгодо | ) 2 ) . шт(и\е, |) д-п~х = дп+1 ■ Тпх(и|9)

Таким образом, детерминантная формула модифицируется

Р д^.Ьп(и\д) =

Ча-Ъх{и-1\д) СЬ(и-| |д) где п + 1 = а + /3 .

Чтобы получить набор соотношений для трансфер-матриц, рассмотрим определитель

СЬ(а|<7) <7п+1(Э2(а|д) <ЗіИ<?)

3і(%) д2(Ь|д) <&(%) 0 с параметрами п п п і а = и + - + 1 ; о = и - - ; с = и тгь — 1, приводящий к билинейным соотношениям п + тп и- 1 п и + 1+ - ^п+Г71+1 ^ - 171 2 1 ^ - Ці (и - || д) + д'п+Мпн<?)-<Зі -о.

Далее выбираем п = т = 0 , что даёт уравнение Бакстера для С^і

Ь(и|дШ«|д) = Сїі(и + 1|д) + д ■ (гци2)" • (и- 1|д) • Чтобы получить уравнение для второго оператора, рассмотрим определитель

СЖ?) дп+1д2(а|д)

СЗі (%) СЬ(%) <&(%) дт+1Яі(с\д) СЬ(с|д) д2(с|д) с теми же параметрами и выведем набор соотношений 0 д^) • <32 +1 + || д) - Wm.fi - т*1 о^ • (и п 2 + п и — 1 — т — — г) =о. (гг|д) • СЬ (г Выбор п = тп — 0 приводит к второму уравнению

Ь(и|д) СЦи|д) = Я • + 1|д) + {ихи2)я • СЬ(и - 1|д).

Таким образом, при введении регуляризации, обеспечивающей сходимость следа, все работает, как и без регуляризации, только теряется глобальная бі (2)-инвариантность и в формулах появляется зависимость от параметра д. Все происходит аналогичным образом и в общем случае алгебры БІ(гг) [57].

• Конечномерные представления в квантовом пространстве.

Как мы уже отмечали, в случае конечномерных представлений в квантовом пространстве все существующие конструкции (^-оператора включают д-регуляризацию. Таким образом, на вопрос Георгия Павловича Пронько, заданный на конференции С(^13-2011: Можно ли построить два основных 0,-оператора для простейшей XXX спиновой цепочки спина 2 с периодическими граничными условиями и почему, если нельзя? , мы до сих пор не знаем ответа.

• Метод разделения переменных в случае групп высших рангов.

Алгебраическая часть схемы метода разделения переменных допускает обобщение на случай алгебры в1(3) [86-88] и на случай алгебры ид(з1(гс)) [89]. До сих пор неизвестен ни оператор перехода в представление разделенных переменных, ни связь с (^-операторами. Мы намеренно привели в тексте формулу (4.47) для меры в представлении разделенных переменных, так как это выражение совпадает с мерой Планшереля для группы ЗЬ(АГ — 1,С). Вряд ли это может быть случайным совпадением, но на данный момент причина этого совпадения абсолютно непонятна.

• Уравнение Бакстера.

Уравнение Бакстера в форме (5.19) было навеяно работами [90]. В [90] предложена интересная интерпретация этого соотношения, по духу близкая к работам [91]. Установление всех взаимосвязей могло бы пролить свет на проблему разделения переменных в случае высших рангов.

• Обобщение на случай д-деформированных и эллиптических алгебр.

Мы рассмотрели только случай рациональных К-матриц и возникает естественный вопрос, насколько вся конструкция выдерживает различные деформации. На данный момент рассматривался только случай группы ранга один, т.е. алгебра э1(2) и ее деформации. В работе [97] было продемонстрировано, что вся схема построения общего решения уравнения Янга-Бакстера переносится на случай ^-деформации и, более того, на случай эллиптической деформации - алгебры Склянина [92]. Аналог сплетающего оператора построен А.Забродиным [35], а доказательство соотношений Кокстера основано на формуле Френкеля-Тураева [94]. Интересно установить связь с эллиптическими интегралами В.Спиридонова [105,106] для эллиптических гамма-функций [93] и с работами [95,96,107].

В работе [104] было показано, что схема построения (^-оператора переносится на случай ¿/-деформации. Важную роль при этом играют различные соотношения для вантового ди-логарифма [71,98,99,103]. Открытый вопрос - перенесение всей схемы на случай квантового дубля [100-102]. л

7 Благодарности

Мне хотелось бы выразить исключительную признательность Людвигу Дмитриевичу Фад-дееву, Петру Петровичу Кулишу, Михаилу Арсеньевичу Семенову-Тян-Шанскому и Евгению Константиновичу Склянину за поддержку и очень ценные научные обсуждения. Большое спасибо Виталию Олеговичу Тарасову за многочисленные обсуждения и критические замечания.

Я благодарен оппонентам - Анатолию Моисеевичу Вершику, Алексею Петровичу Исаеву и Сергею Михайловичу Хорошкину, взявшими на себя труд прочитать текст, за многочисленные обсуждения, дельные советы и вопросы, которые во многом способствовали более глубокому пониманию изложенного материала.

Огромное спасибо моим друзьям и соавторам - Григорию Корчемскому, Александру Ма-нашову, Давиду Караханяну и Роланду Киршнеру за дружеское отношение и многолетнее сотрудничество.

На разных этапах работы многие вещи становились ясными и понятными после обсуждений со специалистами. Хотелось бы поблагодарить Льва Николаевича Липатова, Георгия Павловича Пронько, Никиту Андреевича Славнова, Федора Александровича Смирнова, Андрея Быцко, Александра Горского, Александра Одесского, Антона Забродина, Сергея Хар-чева, Андрея Маршакова, Вячеслава Спиридонова, Михаила Бабича, Винсента Паскье и Жана-Мишеля Майе за обсуждения.

Отдельное спасибо Михаилу Бабичу и Вадиму Кострыкину за поддержку и особая признательность и благодарность Григорию Корчемскому, без помощи и поддержки которого этот текст не был бы написан.

И, наконец, последнее по счету, но не по значимости - спасибо моей жене Оле и маме Татьяне Сергеевне.

1. L. D. Faddeev, E. K. Sklyanin and L. A. Takhtajan, The Quantum Inverse Problem Method. 1, Theor. Math. Phys. 40 (1980) 688 Teor. Mat. Fiz. 40 (1979) 194].

2. Тахтаджян JI. И. , Фаддеев JI. Д. Квантовый метод обратной задачи и ХУХ-модель Гейзенберга Успехи мат. наук, 1979, Т.34, N5, стр 13-63.

3. V. О. Tarasov, L. A. Takhtajan, L. D. Faddeev, Local Hamiltonians for integrable quantum models on a lattice, Theor. Math. Phys. 57 (1983) 163.i

4. P.P. Kulish and E.K. Sklyanin , Quantum spectral transform method. Recent developments, Lect. Notes in Physics, v 151, (1982) , 61-119.

5. E.K.Sklyanin,Quantum Inverse Scattering Method.Selected Topics, in "Quantum Group and Quantum Integrable Systems"(Nankai Lectures in Mathematical Physics), ed. Mo-Lin Ge,Singapore:World Scientific,1992,pp.63-97; hep-th/9211111.

6. L.D.' Faddeev, How Algebraic Bethe Anstz works for integrable model, In: Quantum Symmetries/Symetries Qantiques, Proc.Les-Houches summer school, LXIV. Eds. A.Connes,К.Kawedzki, J.Zinn-Justin. North-Holland, 1998, 149-211, hep-th/9605187.

7. P.P. Kulish, N.Yu.Reshetikhin and E.K.Sklyanin, Yang-Baxter equation and representation theory, Lett.Math.Phys. 5 (1981) 393-403.

8. P.P. Kulish and E.K.Sklyanin , On the solutions of the Yang-Baxter equation Zap.Nauchn.Sem. LOMI 95 (1980) 129.

9. M.Jimbo introduction to the Yang-Baxter equation, Int.J.Mod.Phys A 4, (1983) 3759 Yang-Baxter equation in integrable systems, M.Jimbo ed., Adv.Ser.Math.Phys., 10 , World Scientific (Singapore) 1990.

10. V.G.Drinfeld, Hopf algebras and Yang-Baxter equation, Soviet Math.Dokl. 32(1985), 254 V.G.Drinfeld, Quantum Groups in "Proc.Int.Congress Math., Berkeley, 1986 AMS, Providence RI (1987), p 798.

11. R. J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic Press, London, 1982.

12. B. Sutherland, A General Model For Multicomponent Quantum Systems, Phys. Rev. В 12 (1975) 3795.

13. P. P. Kulish and N. Yu. Reshetikhin, On GL^-invariant solutions of the Yang-Baxter equation and associated quantum systems. Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 120 (1982), 92-121

14. P. P. Kulish and N. Y. Reshetikhin, Diagonalization Of Gl(N) Invariant Transfer Matrices And Quantum N Wave System (Lee Model), J. Phys. A 16 (1983) L591.

15. G. P. Pronko and Yu. G. Stroganov, Bethe Equations "on the Wrong Side of Equator" , J. Phys. A 32 (1999) 2333, hep-th/9808153.

16. G. P. Pronko and Yu. G. Stroganov, The complex of solutions of the nested Bethe ansatz: The A(2) spin chain, arXiv:hep-th/9902085.

17. E. K. Sklyanin, The quantum Toda chain, Lecture Notes in Physics, vol. 226, Springer, 1985, pp.196-233; Functional Bethe ansatz, in "Integrable and superintegrable systems", ed. B.A. Kupershmidt, World Scientific, 1990, pp.8-33.

18. M. Gaudin and V. Pasquier, The periodic Toda chain and a matrix generalization of the bessel function's recursion relations, J. Phys. A 25 (1992) 5243.

19. L. N. Lipatov, Evolution equations in QCD, in "Perspectives in Hadronic Physics," Proceedings of the Conference, ICTP, Trieste, Italy, 12-16 May 1997, eds. S. Boffi, C. Ciofi Degli.Atti and M. Giannini, World Scientific (Singapore, 1998).

20. L. N. Lipatov, High-energy asymptotics of multicolor QCD and two-dimensional conformal field theories, Phys. Lett. B 309 (1993) 394.

21. N. Lipatov, Asymptotic behavior of multicolor QCD at high energies in connection with exactly solvable spin models, JETP Lett. 59 (1994) 596, Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 59 (1994) 571.

22. N. Lipatov, Duality symmetry of reggeon interactions in multicolor QCD, Nucl.Phys. B 548, (1999) 328.

23. L.D.Faddeev and G.P.Korchemsky, Hight-energy QCD as a completely integrable model, Phys.Lett.B342(1995)311.

24. D.Karakhanian and R.Kirschner, Conserved currents of the three-reggeon interaction, hep-th/9902147; "High-energy scattering in gauge theories and integrable spin chains hep-th/9902031, Fortschr. Phys.48, (2000) 139.

25. R. J. Baxter, Partition function of the eight-vertex lattice model, Annals Phys. 70 (1972) 193 Annals Phys. 281 (2000) 187].

26. V. V. Bazhanov and Yu. G. Stroganov, Chiral Potts model as a descendant of the six vertex model, J. Statist. Phys. 59 (1990) 799.

27. A. Y. Volkov, Quantum lattice KdV equation, Lett. Math. Phys. 39 (1997) 313.

28. A.Antonov, B. Feigin Quantum group representation and Baxter equation, Phys.Lett. B392 (1997), 115-122 , hep-th/9603105.

29. S E Derkachov Baxter's Q-operator for the homogeneous XXX spin chain J. Phys. A 32 (1999) 5299, arXiv:solv-int/9902015.

30. V.B.Kuznetsov, M.Salerno, E.K.Sklyanin, Quantum Backlund transforation for the integrable DST model, J.Phys.A 33(2000)171-189, arXiv:solv-int/9908002.

31. E.K. Sklyanin, Backlund transformations and Baxter's Q-operator, In: Integrable systems:from classical to quantum(Montreal ,QC, 1999),227-250, CRM Proc.Lecture Notes 26, Amer.Math.Soc.,Providence,RI,2000 nlin.SI/0009009.

32. V. B. Kuznetsov, V. V. Mangazeev and E. K. Sklyanin, Q—operator and factorised separation chain for Jack's symmetric polynomials, Indag. Math. 14 (2003) 451.

33. V. B. Kuznetsov, E. K. Sklyanin, Factorization of symmetric polynomials, Contemp.Math. 417 (2006) 239-256 e-Print: math/0501257 math-ca].

34. K. Hikami, Baxter Equation for Quantum Discrete Boussmesq Equation, Nucl. Phys. B 604 (2001) 580.

35. G.P.Pronko, On the Baxter's Q-operator for the XXX spin chain, Commun.Math.Phys. 212: 687-701, 2000 hep-th/9908179,

36. A.E.Kovalsky and G.P.Pronko Baxter Q-operators for integrable DST chain, nlin.SI/0203030,

37. A.E.Kovalsky and G.P.Pronko Baxters Q-operators for the simplest q-deformed model, nlin.SI/0307040.

38. A.A Belavin, A.V.Odessky, R.A.Usmanov, New relations in the algebra of the Baxter Q-operators, hep-th/0110126.

39. M.Rossi, R.Weston, A Generalized Q-operator for Uq(sl2) Vertex Models, J.Phys.A 35(2002) 10015-10032 , math-ph/0207004.

40. A.Zabrodin Commuting difference operators with elliptic coefficients from Baxter's vacuum vectors, J.Phys.A 33(2000) 3825, math.QA/9912218.

41. C. Korff, Auxiliary matrices for the six-vertex model and the algebraic Bethe ansatz, J. Phys. A 37 (2004) 7227.

42. C. Korff, Representation Theory and Baxter's TQ equation for the six-vertex model.A pedagogical overview.,* arXiv:cond-mat/0411758.

43. M. Kirch and A. N. Manashov, Noncompact SL(2,R) spin chain, JHEP 0406 (2004) 035.

44. A. G. Bytsko and J. Teschner, Quantization of models with non-compact quantum group symmetry: Modular XXZ magnet and lattice smh-Gordon model, arXiv:hep-th/0602093.

45. T. Kojima, The Baxter's Q-operator for the W-algebra Wjv,(2008) arXiv:nlin./0803.3505].j

46. V.B. Kuznetsov, E.K. Sklyanin, Few remarks on Baecklund transformations for many-body systems, J.Phys.A 31 (1998) 2241-2251, arXiv:solv-int/9711010.

47. S. E. Derkachov, G. P. Korchemsky and A. N. Manashov, Noncompact Heisenberg spin magnets from high-energy QCD. I: Baxter Q-operator and separation of variables, Nucl. Phys. B 617 (2001) 375 arXiv:hep-th/0107193].

48. S. E. Derkachov, G. P. Korchemsky and A. N. Manashov, Separation of variables for the quantum SL(2, R) spin chain, JHEP 0307 (2003) 047.

49. S. E. Derkachov, G. P. Korchemsky and A. N. Manashov, Baxter Q—operator and separation of variables for the open SL(2, R) spin chain, JHEP 0310 (2003) 053.

50. V. V. Bazhanov, S. L. Lukyanov and A. B. Zamolodchikov, Integrable structure of conformal field theory. I-III, Commun. Math. Phys. 177 (1996) 381 arXiv:hep-th/9412229], 190 (1997) 247 [arXiv:hep-th/9604044], 200 (1999) 297 [arXiv:hep-th/9805008].

51. V. V. Bazhanov, A. N. Hibberd and S. M. Khoroshkin, Integrable structure of W(3) conformal field theory, quantum Boussinesq theory and boundary affine Toda theory, Nucl. Phys. B 622, 475 (2002) arXiv:hep-th/0105177].

52. V.'V. Bazhanov, Z. Tsuboi, Baxter's Q-operators for supersymmetric spin chains,(2008) arXiv:hep-th /0805.4274].

53. V. V. Bazhanov, T. Lukowski, C. Meneghelli and M. Staudacher, A Shortcut to the Q-Operator, J. Stat. Mech. 1011 (2010) P11002 arXiv: 1005.3261 [hep-th]].

54. V. V. Bazhanov, R. Frassek, T. Lukowski, C. Meneghelli, M. Staudacher Baxter Q-Operators and Representations of Yangians, Nucl.Phys. B850 (2011) 148-174 e-Print: arXiv:1010.3699 math-ph].

55. R. Frassek, T. Lukowski, C. Meneghelli, M. Staudacher Oscillator Construction of su(n\m) Q-Operators, Nucl.Phys. B850 (2011) 175-198 e-Print: arXiv:1012.602I math-ph].

56. S. M. Khoroshkin and V. N. Tolstoy, Universal R-matrix for quantized (super)algebras, Comm. Math. Phys. 141 (1991), 599.

57. S. M. Khoroshkin and V. N. Tolstoy, The uniqueness theorem for the universal R-matrix, Lett. Math. Phys. 24 (1992), 231.

58. S. M. Khoroshkin, A.A.Stolin and V. N. Tolstoy, Generalized ' Gauss decomposition of trigonometric R-matrices, Mod.Phys.Lett. A10 (1995), 1375-1392.

59. S. E. Derkachov and A. N. Manashov, Factorization of the transfer matrices for the quantum st(2) spin chains and Baxter equation J. Phys. A: Math. Gen. 39 (2006) 4147-4159 arXiv: nlin.si /05012047].

60. S. E. Derkachov and A. N. Manashov, Baxter operators for the quantum s£(3) invariant spin chain, J. Phys. A 39 (2006) 13171 arXiv:nlin.si/0604018].

61. A. V. Belitsky, S. E. Derkachov, G. P. Korchemsky and A. N. Manashov, Baxter Q-operator for graded SL(2jl) spin chain, J. Stat. Mech. 0701 (2007) P005 arXiv:hep-th/0610332].

62. S. E. Derkachov and A. N. Manashov, R-matrix and Baxter Q-operators for the noncompact SL(N, C) invariant spin chain SIGMA 2 (2006) 084 arXiv:nlin.SI/0612003.

63. S. E. Derkachov and A. N. Manashov, Factorization of R— matrix and Baxter Q—operators for generic sl(N) spin chains, J. Phys. A 42 (2009) 075204.

64. С. Э. Деркачев, А. Н. Манатов, Общее решение уравнения Янга-Бакстера с группой симметрии SL(n,C), Алгебра и анализ, 21:4 (2009), 1-94.

65. М. В. Бабич, С. Э. Деркачев, О рациональной симплектической парамет- ризации коприсоединенной орбиты GL(n,С): диагонализуемый случай, Алгебра и анализ, 22:3 (2010), 16-31.

66. S. Е. Derkachov and А. N. Manashov, Noncompact stn spin chains: BGG-resolution, Q-operators and alternating sum representation for infinite dimensional transfer matrices, Lett. Math. Phys. 97 (2011) 185-202.

67. С. Э. Деркачев, Факторизация R-матрицы, Q-onepamop и разделение переменных в случае ХХХ-спиновой цепочки с группой симметрии SL(2,C), Теоретическая и математическая физика, Т. 169, No. 1. (2011).

68. И. М. Гельфанд, Г.Е.Шилов Обобщённые функции. Вып 1: Обобщённые функции и действия над ними М.:Наука, 1959.

69. И. М. Гельфанд и М. И. Наймарк Унитарные представления классических групп Труды математического института им В.И. Стеклова, 36, 1950.

70. И. М. Гельфанд, М. И. Наймарк, Н.Я.Виленкин Обобщённые функции. Вып 5: Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений М.:Наука, 1962.

71. Д.П.Желобенко,Классические группы. Спектральный анализ конечномерных представлений. Успехи мат.наук т. 17 вып. 1(103) 27-120 (1962).

72. Д.П.Желобенко,Компактные группы Ли и их представления. М.:Наука, 1970.

73. М.А.Наймарк, Теория редставлений групп. М.:Наука, 1976.

74. Кокстер Г.С.М., Мозер У.О.Дж., Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. М.:Наука, 1980.

75. Knapp. A.W. Representation theory of semisimple groups: an overview based on examples. Princeton,N. J.: Princeton Univ.Press, 1986.

76. A. H. Васильев, Квантовополевая ренормгруппа в теории критичесского поведения и стохастической динамике, 774 стр., Издательство ПИЯФ, Санкт-Петербург, 1998.

77. A. Yu. Volkov, Noncommutative hypergeometry, Commun. Math. Phys. 258 (2005) 257-273 arXiv:math/0312084].

78. A. P. Isaev, Multi-loop Feynman integrals and conformal quantum mechanics, Nucl. Phys. В 662 (2003) 461 arXiv:hep-th/0303056]. A. P. Isaev, Operator approach to analytical evaluation of Feynman diagrams, Phys.Atom.Nucl.71:914-924,2008, arXiv:0709.0419.

79. E. K. Sklyanin, Classical limits of the Yang-Baxter equation, J. Sov. Math. 40 (1988) 93.

80. S. Derkachov, D. Karakhanyan, R. Kirschner, Universal R-matrix as integral operator, Nucl. Phys. В 618 (2001) 589-616.

81. G.Gasper, Elementary derivation of summation and transformation formulas for q-series., (1995).

82. G.Gasper, M. Rahman, Basic hypergeometric series., Cambridge: Cambridge University Press (1990).

83. A. Molev, Yangians and classical Lie algebras, vol. 143 of Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2007.

84. A.Kuniba, T.Nakanishi, J.Suzuki, Functional relations in solvable lattice models I. Functional relations and representations theory II. Applications Int.J.Mod.Phys. A9 1994, 5215-5312.i

85. A. Zabrodin, Discrete Hirota's equation in quantum integrable models, arXiv:hep-th/9610039.

86. Z. Tsuboi, Analytic Bethe ansatz and functional equations for Lie superalgebra sl(r + l\s + 1), J. Phys. A 30'(1997) 7975.

87. I.Krichever, O.Lipan, P.Wiegman, A.Zabrodin, Quantum Integrable Systems and Elliptic Solutions of Classical Discrete Nonlinear Equations arXiv:hep-th/9604080.

88. Z. Tsuboi, Analytic Bethe ansatz related to a one-parameter family of finite-dimensional representations of the Lie superalgebra sl(r + l|s + 1), J. Phys. A 31 (1998) 5485.

89. A. Kirillov and N. Reshetikhin, Proc. Conf. on Infinite Dimensional Lie Groups and Algebras, Marseille 1988, ed. V. G. Kac, (Singapore: World Scientific)

90. V. Bazhanov and N. Reshetikhin, Restricted Solid On Solid Models Connected With Simply Based Algebras And Conformal Field Theory, J. Phys. A 23 (1990) 1477.

91. Verma N., Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras, Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968).

92. Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Differential Operators on the Base Affine Space and a Study of g—Modules, Lie Groups and Their Representations!. M. Gelfand, Ed., Adam Hilger, London, 1975.

93. E.K. Sklyanin, Separation of variables in the classical integrable SL(3) magnetic chain, Commun.Math.Phys. 150 (1992) 181-192 e-Print: hep-th/9211126.

94. E. K. Sklyanin, Separation of variables in the quantum integrable models related to the Yangian Ysl(3)], J. Math. Sci. 80 (1996) 1861 [Zap. Nauchn. Semin. 205 (1993) 166] [arXiv:hep-th/9212076].

95. E.K. Sklyanin, Separation of variables new trends,. Prog.Theor.Phys.Suppl. 118 (1995) 35-60 e-Print: solv-int/9504001.

96. F. A. Smirnov, Separation of variables for quantum integrable models related to Uq(slN), arXiv:math-ph/0109013.

97. A. Chervov, D.Talalaev, Quantum spectral curves, quantum integrable systems and the geometric Langlands correspondence. e-Print: hep-th/0604128,

98. A. Chervov, D.Talalaev, Universal G-oper and Gaudin eigenproblem. e-Print: hep-th/0409007,

99. D. Talalaev, Quantization of the Gaudin system. e-Print: hep-th/0404153.

100. A. P. Isaev, O. V. Ogievetsky, P.N. Pyatov, Q-multilinear Algebra arXiv:math/9912231, Lecture given at the 3rd International Workshop on "Lie Theory and Its Applications in Physics 1999, Clausthal, Germany,

101. A. P. Isaev, O. V. Ogievetsky, P. N. Pyatov, Cayley-Hamilton-Newton identities and quasitriangular Hopf algebras, arXiv:math/9912197.

102. E.K.Sklyanin, On some algebraic structures related to Yang-Baxter equation , Funkz. Analiz i ego Pril. 16 (1982) pp 27-34

103. On some algebraic structures related to Yang-Baxter equation: representations of the quantum algebra , Funkz. Analiz i ego Pril. 17 (1983) pp 34-48.

104. G.Felder and A.Varchenko , The elliptic gamma function and SL(3, Z) x Z'3 arXiv:math.qa/9907061.

105. I.Frenkel and V.Turaev, Elliptic solutions of the Yang-Baxter equation and modular hypergeometric functions, The Arnold-Gelfand Mathematical Seminars (Cambridge, MA:Birkhauser Boston) (1997) pp 171-204.

106. V. V. Bazhanov and S. M. Sergeev, A master solution of the quantum Yang-Baxter equation and classical discrete integrable equations, arXiv: 1006.0651 math-ph] .

107. V. V. Bazhanov, S. M. Sergeev, Elliptic gamma-function and multi-spin solutions of the Yang-Baxter equation. e-Print: arXiv:1106.5874 math-ph].

108. S. Derkachov, D. Karakhanyan, and R. Kirschner, Yang-Baxter 1Z-operators and parameter permutations, Nucí. Phys. B 785 (2007), 263-285.

109. A. Yu. Volkov and L. D. Faddeev, Yang-Baxterization of the quantum dilogarithm, Zapiski POMI 224 (1995), 146-154 (J. Math. Sciences 88 (2) (1998), 202-207).

110. L. D. Faddeev and R. M. Kashaev, Quantum Dilogarithm, Mod. Phys. Lett. A 9 (1994) 427 arXiv:hep-th/9310070].

111. L. D. Faddeev, Modular double of a quantum group, Conf. Moshíe Flato 1999, vol. I, Math. Phys. Stud. 21, Kluwer, Dordrecht, 2000, pp. 149-156.

112. L. D. Faddeev and A. Yu. Volkov, Algebraic quantization of Integrable models in discrete spacetime, Discrete Integrable Geometry and Physics, Oxford Lecture Series in Mathematics' and its applications 16 (1999) 301-320 arXiv:hep-th/97010039].

113. D. Faddeev, R. M. Kashaev, and A.Yu. Volkov, Strongly coupled quantum discrete Liouville Theory. I: Algebraic approach and duality, Commun. Math. Phys. 219 (2001), 199-219.

114. S. Kharchev, D. Lebedev, and M. Semenov-Tian-Shansky, Unitary representations of Ug(sl(2, the modular double and the multiparticle q-deformed Toda chains, Commun. Math. Phys. 225 (2002), 573-609.

115. A.N.Kirillov, Dilogarithm identities, Progr.Theor.Phys.Suppl.118 (1995) 61-142, hep-th/9408113

116. S. Derkachov, D. Karakhanyan, R. Kirschner, Baxter Q-operators of the XXZ-chain and R-matrix factorization, Nucl. Phys. B 738 (2006) 368-390.

117. V. P. Spiridonov, On the elliptic beta function, Uspekhi Mat. Nauk 56 (1) (2001), 181-182 (Russian Math. Surveys 56 (1) (2001), 185-186).

118. V. P. Spiridonov, Essays on the theory of elliptic hypergeometric functions, Uspekhi Mat. Nauk 63 (3) (2008), 3-72 (Russian Math. Surveys 63 (3) (2008), 405-472).

119. V. P. Spiridonov, Elliptic beta integrals and solvable models of statistical mechanics, arXiv:1011.3798 hep-th].