Фазовые переходы в двумерных и слоистых системах с непрерывным вырождением тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ им. Л. Д. ЛАНДАУ

на правах рукописи

КОРШУНОВ Сергей Евгеньевич

ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ДВУМЕРНЫХ И СЛОИСТЫХ СИСТЕМАХ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Черноголовка - 2005

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Л. А. Максимов (РНЦ "Курчатовский институт");

доктор физико-математических наук И. А. Фомин

доктор физико-математических наук И. В. Колоколов (ИТФ РАН).

Ведущая организация - Институт физики твёрдого тела РАН.

Защита состоится 24 июня 2005 г. в 11 час 30 мин на заседании Диссертационного совета Д 002.207.01 в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН по адресу 142432, Московская обл, п. Черноголовка, пр. академика Семёнова, д. 1а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТФ РАН.

Автореферат разослан СЮ мая 2005 г..

Учёный секретарь Диссертационного совета доктор физико-математических наук

(ИФП РАН);

Л. А. Фальковский

В 70-ые годы было показано, что в широком классе двумерных систем с непрерывным вырождением (планарные ферромагнетики, сверхтекучие и сверхпроводящие плёнки, тонкие плёнки жидких кристаллов и двумерные кристаллы), происходящий при повышении температуры фазовый переход в неупорядоченное состояние адекватным образом описывается в терминах диссоциации пар логарифмически взаимодействующих точечных топологических возбуждений - вихрей, дислокаций или дисклинаций. Это послужило повышению интереса к экспериментальному исследованию различных двумерных систем с непрерывным вырождением, в том числе и таких, чьи термодинамические свойства не вполне укладываются в приведенную выше схему. В первую очередь речь может идти об искусственно изготовленных сверхпроводящих объектах с дискретной структурой, таких как решётки джозефсоновских контактов, находящиеся во внешнем магнитном поле. Подобные системы характеризуются сочетанием непрерывного вырождения с дискретным.

Основной целью настоящей диссертации является теоретическое исследование структур упорядоченных состояний, характера фазовых переходов и вида фазовых диаграмм двумерных систем с непрерывным вырождением, адекватное описание термодинамики которых помимо учёта логарифмического взаимодействия точечных топологических дефектов должно принимать во внимание и иные факторы, а именно: (1) наличие, наряду с непрерывным, и дискретного вырождения основного состояния, (2) снятие случайного вырождения флукту-ациями, (3) возможность образования солитонов, (4) действующий на вихри случайный потенциал, либо (5) слабую связь с другими слоями.

С формальной точки зрения основным объектом исследования диссертации являются различные модификации двумерной XV модели, а именно фрустрированная, антиферромагнитная, с дополнительным минимумом взаимодействия, со случайным сдвигом фазы и слоистая. С физической же точки зрения представленные результаты применимы для описания неколлинеарных т»«"""г^уу ДН'г'''фс'ГГ'г"'аг'"'У1'','ь'г'и решёток джозефсоновских контактов, се'^^^^ЩЛкрАвзЬящих про-

шЛ

волок, решёток ЭРЭ (сверхпроводник-ферромагнетик-сверхпроводник) контактов, тонких плёнок сверхтекучей ферми-жидкости с ^спариванием, а также слоистых сверхпроводников и ферромагнетиков (как при наличии внешнего магнитного поля, так и в его отсутствие).

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Установлено, что классификация дефектов в двумерных фрустри-рованных ХУ моделях, характеризующихся сочетанием непрерывного и дискретного вырождения помимо обычных вихрей и доменных стенок (существование которых следует из симметрии параметра порядка) включает в себя вихри с дробными топологическими зарядами, которые могут образовываться на доменных стенках. Квантование топологических зарядов дробных вихрей зависит от структуры решётки.

2. Показано, что логарифмическое взаимодействие перегибов на доменной стенке приводит к фазовому переходу, при котором теряется связь между флуктуациями фазы по обе стороны стенки.

3. Установлена последовательность, в которой происходят фазовые переходы в максимально фрустрированных ХУ моделях на квадратной и треугольной решётках.

4. Построена фазовая диаграмма максимально фрустрированной ХУ модели с квадратной решёткой и взаимодействием не только ближайших соседей.

5. Построена фазовая диаграмма планарного антиферромагнетика с треугольной решёткой во внешнем магнитном поле.

6. Установлена структура упорядоченного состояния в антиферромагнитной ХУ модели на решётке кагоме, стабилизируемая ангармоническими флуктуациями. Показано, что соответствующий фазовый переход должен происходить при температуре на три порядка ниже, чем диссоциация пар дробных вихрей, и что наблюдение такого упорядочения требует макроскопических размеров системы.

7. Построена фазовая диаграмма планарного антиферромагнетика с решёткой кагоме и взаимодействием не только ближайших соседей. • ''7..."' < ,

I .. ■■»,. * -

-¿." ЙИ» 4-

8. Показано, что в двумерных системах с непрерывным вырождением может происходить расщепление фазового перехода на два, обусловленное возможностью образования солитонов. При этом, несмотря на отсутствие дискретного вырождения, один из переходов будет иметь изинговскую природу. Продемонстрировано, что в число физических систем, в которых возможно такое расщепление, входят решётки БРБ контактов и обе сверхтекучих фазы двумерной ферми-жидкости с р-спариванием.

9. Установлена структура фазовой диаграммы двумерной ХУ модели со случайным фазовым сдвигом (что в терминах вихрей соответствует наличию случайного потенциала с логарифмическими корреляциями) и показано, что она не содержит возвратного перехода в неупорядоченную фазу. Продемонстрировано, что описание такой системы при помощи традиционного разложения по химической активности вихрей приводит к появлению бесконечного набора расходимостей, эффективным способом суммирования которых оказывается применение разложения по концентрат ции вихревых пар.

10. Показано, что статсумма межслойных вихревых петель в слоистых сверхпроводниках или планарных магнетиках может быть сведена к статсумме слоистого кулоновского газа, температура фазового перехода в котором даже в пределе слабой связи между слоями оказывается выше, чем температура диссоциации вихревых пар в аналогичной системе без непосредственного взаимодействия слоев. Это позволяет сделать вывод о невозможности существования промежуточной фазы, в которой имелась бы когерентность внутри каждого слоя, но отсутствовала бы когерентность между слоями.

11. Доказано, что приложение к слоистому сверхпроводнику параллельного слоям магнитного поля хотя и ослабляет взаимное влияние между слоями, но также не может привести к потере меж-слойной когерентности, в том числе в пределе сильного поля.

Научная новизна и достоверность. Основные результаты, представленные в диссертации, получены впервые, а её научные положения и выводы обоснованы согласием (а) с результатами экспериментальных исследований, (Ь) с результатами численного моделирования, (с) с более поздними выводами других авторов, полученными в рамках аналогичных или же качественно иных подходов.

Практическая ценность работы. Результаты, полученные в настоящей диссертационной работе, используются как при интерпретации данных экспериментальных исследований, так и при планировании новых экспериментов.

Апробация работы. Результаты представленных в диссертации исследований докладывались на международных конференциях "Когерентность в сверхпроводящих сетках" (Дельфт, Нидерланды, 1987), "Физика двух измерений" (Нёшатель, Швейцария, 1991), "Тридцать лет ИТФ им. Л.Д. Ландау" (Москва, 1995), "Решётки джозефсонов-ских контактов" (Триест, Италия, 1996), на двадцать второй международной конференции по низким температурам (ЬТ-22, Хельсинки, Финляндия, 1999), а так же на научных семинарах в ИТФ РАН, ИФП РАН, ИФТТ РАН, Высшей технической школе (Цюрих), Парижском университете им. Пьера и Марии Кюри, Техническом университете (Дельфт), институте Вейцмана (Реховот), в университетах Нёшателя, Женевы, Кёльна, Карлсруэ и Рочестера.

Публикация работы. Основное содержание работы опубликовано в 1985-2004 годах в 20 научных статьях, список которых приводится в конце реферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения, списка работ, в которых опубликованы представленные результаты, и списка цитированной литературы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы и дана характеристика объектов исследования. Здесь же сформулированы цели работы и перечислены результаты, выносимые на защиту, а также раскрывается содержание диссертации по главам.

Первая глава начинается с краткого обзора хорошо известных свойств обычной двумерной ХУ модели, основной целью которого является введение понятий и описание методов, интенсивно используемых ниже. Во втором разделе этой главы обсуждается возможность применения ХУ моделей для описания решёток джозефсоновских контактов и сеток из сверхпроводящих проволок и вводится понятие фру-стрированных ХУ моделей, широко используемых для описания подобных сверхпроводящих структур при наличии перпендикулярного магнитного поля. Значительная часть диссертации (главы 24-4) посвящена исследованию таких моделей в наиболее интересном случае, когда величина магнитного поля соответствует полуцелому числу квантов потока на каждую элементарную ячейку. Первая глава носит вводный характер и не содержит новых результатов.

Вторая глава посвящена исследованию максимально фрустрирован-ной ХУ модели, которая может быть задана гамильтонианом

Я = -J'Elcoв(<pi -м- Лц) , (1)

(и)

где флуктуирующие переменные щ определены в узлах квадратной решётки, а определённые на рёбрах переменные Лц удовлетворяют условию

=тг(то<127г) (2)

во всех ячейках. Данная модель является наиболее активно изучаемой моделью статистической физики, сочетающей непрерывное вырождение с дискретным, поскольку в ней дискретное вырождение является простейшим из возможных, т. е. двукратным.

Это позволяет предположить, что наряду с фазовым переходом Березинского-Костерлица-Таулеса (БКТ), обусловленным диссоциаци-

ей вихревых пар и происходящим при температуре Ту, удовлетворяющей универсальному соотношению Нельсона-Костерлица:

Ту = |г(Ту), (3)

где Г(Т) это убывающий с ростом температуры (из-за перенормировки тепловыми флуктуациями) модуль жёсткости, в системе должен иметь место также и второй фазовый переход (изинговского типа), связанный с появлением доменных стенок и происходящий при Т = ТЬду-Вопрос о том, в какой именно последовательности происходят эти фазовые переходы, оказывается весьма нетривиальным.

Дело в том, что взаимодействие доменных стенок с вихрями носит непертурбативный характер и обусловлено существованием нового класса топологических возбуждений - дробных вихрей, образующихся на дефектах доменных стенок. Это существенным образом ограничивает возможные сценарии развития событий. При этом важную роль играет то, что на одиночной доменной стенке при температуре Тк, удовлетворяющей соотношению

Тк = ^Г(Тк), (4)

происходит фазовый переход, связанный с диссоциацией пар логарифмически взаимодействующих перегибов. Сравнение (3) и (4) показывает, что Тк < Ту. Этот переход приводит, для Т > Тк, к потере связи между флуктуациями фазы по обе стороны стенки, что, в свою очередь, обеспечивает Ту < 7р\у.

Если бы энергия доменной стенки была бы свободным параметром, позволяющим изменять Твч/ независимо от Ту и Тк, понижение этого параметра привело бы (при TDw = Тк) к слиянию двух фазовых переходов в один (скорее всего, первого рода) и лишь после дальнейшего понижения То\у в несколько раз произошло бы повторное расщепление фазовых переходов. В новом режиме потеря фазовой когерентности была бы связана с диссоциацией пар дробных вихрей и происходила бы как отдельный фазовый переход при температуре Тру, удовлетворяющей соотношению

ж О2

Тру = Щ-ЦТру) . (5)

DISORDERED У:

/ вкт-

ISING + BKT \/

LIKE Ч

- □ т22 1 с

1 о т u(i) 1 с ■ ■ 1 — I — ...............

Ъ-* X

Рис. 1: Фазовая диаграмма максимально фрустрированной XY модели на квадратной решётке со взаимодействием следующих за ближайшими соседей.

и превышающей Tow- Здесь Q = 1/4 это абсолютная величина топологического заряда дробных вихрей, возникающих на углах доменных стенок. Анализ, проведенный в заключительном разделе второй главы, показывает, что добавление к гамильтониану максимально фрустрированной XY модели на квадратной решётке взаимодействия с более далёкими соседями не обеспечивает возможность независимого изменения Tdw и Ту и, следовательно, и в этом случае в рассматриваемой системе реализуется лишь один из трёх перечисленных выше сценариев разрушения С/(1) х Z-i упорядочения, при котором Ту < Tbw-

Однако оказывается, что при увеличении взаимодействия со следующими за ближайшими соседями происходит фазовый переход совсем иной природы, связанный с перестройкой основного состояния, которая приводит к исчезновению дискретного и появлению дополнительного непрерывного вырождения, не связанного с симметрией (т. е. носящего случайный характер). Вследствие этого установление вида фазовой диаграммы максимально фрустрированной XY модели с

V И \!1 11

а Ь с р

Рис. 2: Направления спинов в трёх подрешётках, минимизирующие свободную энергию гармонических флуктуаций в антиферромагнитной ХУ модели на треугольной решётке: а - при /г < 3, 6 - при /г = 3, с - при 3 < к < 9, р - при /г > 9. Магнитное поле направлено вертикально вверх.

квадратной решёткой и взаимодействием не только ближайших соседей оказывается возможным лишь при учёте свободной энергии гармонических флуктуаций, которая приводит к снятию случайного вырождения.

Структура этой фазовой диаграммы показана на рис. 1, где х это отношение констант связи для следующих за ближайшими и ближайших соседей. Как при х < хо = 1/\/2, так и при х > хо переход в полностью разупорядоченное состояние происходит через промежуточную фазу, тогда как две низкотемпературных фазы, соответствующие различным структурам основных состояний, разделены переходом первого рода.

Третья глава посвящена анализу антиферромагнитной ХУ модели на треугольной решётке. В отсутствие внешнего магнитного поля она представляет собой максимально фрустрированную ХУ модель, описываемую гамильтонианом (1) с Лц = 7Г и обладающую тем же самым вырождением основного состояния, ?7(1) х что и в случае квадратной решётки. Анализ структуры доменных стенок и свойств элементарных дефектов на этих стенках позволяют убедиться, что все выводы предыдущей главы, относящиеся к свойствам флуктуирующих доменных стенок и последовательности фазовых переходов в максимально фрустрированной ХУ модели, справедливы и в случае треугольной решётки.

Необычным свойством планарного антиферромагнетика с треуголь-

ш

9-

Р

6-

3

а

I

ТЛ1

Рис. 3: Структура фазовой диаграммы планарного антиферромагнетика с треугольной решёткой.

ной решеткой является сохранение непрерывного вырождения основного состояния даже при приложении внешнего магнитного поля, разрушающего симметрию, ответственную за существование непрерывного вырождения в отсутствие поля. Различие в свободной энергии спиновых волн приводит к снятию этого случайного вырождения и появлению трёх различных упорядоченных фаз, обладающих трёхпод-решёточной структурой. Все они характеризуются наличием настоящего дальнего порядка по ориентации спинов, принадлежащих к одной и той же подрешётке (см. рис. 2, где к это величина магнитного поля, обезразмеренная при помощи константы связи), а фазовые переходы между ними относятся к изинговскому классу универсальности.

Структура соответствующей фазовой диаграммы показана на рис. 3. Фазы а и с характеризуются шестикратным вырождением, фаза Ь - трёхкратным, а фаза р является неупорядоченной, т. е. парамагнитной. Фазы обозначены таким образом, что направления спина на различных подрешётках соответствуют показанным на рис. 2. На рис. 3 не показано слабое расщепление фазового перехода при Н = 0 и ела-

Рис. 4: Обозначенные чёрными кружками узлы образуют решётку кагоме.

бое расщепление перехода из с в р, которое должно иметь место, по крайней мере, при достаточно низких температурах.

Исследуемый в четвёртой главе планарный антиферромагнетик с решёткой кагоме (см. рис. 4) и взаимодействием не только ближайших соседей, представляет собой ещё один пример системы с комбинированным и{\) х 2-1 вырождением. Однако, в отличие от моделей, рассмотренных в двух предыдущих главах, в этой системе энергия доменной стенки является действительно независимым параметром, который определяется взаимодействием следующих за ближайшими соседей и обращается в ноль при исчезновении этого взаимодействия. Это делает актуальным обсуждение возможности альтернативной последовательности фазовых переходов, когда появление бесконечных доменных стенок происходит при более низкой температуре, чем потеря фазовой когерентности, которая в этом случае связана с диссоциацией пар дробных вихрей и происходит при температуре Тру, удовлетворяющей уравнению (5) с <5 = 1/3.

Оказывается, что в такой ситуации доменные стенки имеют отнюдь не изинговскую природу, поскольку их появление приводит к перемешиванию шести различных вакуумов. Ренормгрупповой анализ, основанный на эквивалентности между доменными стенками в рассматриваемой модели и ступеньками в (2+2)-мерном аналоге модели поверхности кристалла и учитывающий взаимное влияние топологических возбуждений различных типов, позволяет показать, что То\у, температура фазового перехода, связанного с появлением таких доменных стенок, зависит от энергии стенки на единицу длины £Ь\у не линейно,

Рис. 5: Схематическое изображение структуры фазовой диаграммы антиферромагнитной ХУ модели на решётке кагоме.

а гораздо более медленно:

Тш ос Л(£Ь*1г)3/в ос Л5/84/8,

где 3\ это взаимодействие ближайших, а ./2 - следующих за ближайшими соседей. Это приводит к чрезвычайной узости окна значений параметров, при которых возможна реализация сценария с Трду < Тру.

В случае, когда взаимодействующими являются только ближайшие соседи, энергия доменной стенки обращается в ноль, что приводит к экспоненциальному (по числу узлов в системе) вырождению основного состояния, не связанному с симметрией. Это случайное вырождение снимается при учёте свободной энергии спиновых волн. Однако, поскольку гамильтониан, описывающий гармонические флуктуации, в данной модели имеет один и тот же вид для всех основных состояний, это происходит лишь при учёте ангармонизмов. Из-за численной малости безразмерного параметра 7 « 2 • Ю-3, характеризующе-

го обусловленную флуктуациями свободную энергию доменной стенки РЪ\у = 7Т2/.7ь в такой ситуации два фазовых перехода должны происходить при весьма различных температурах, Тт>у/ ~ 10-3Тру. При этом дальний порядок по дискретным степеням свободы в низкотемпературной фазе (при Т < 7Ъ\у) будет характеризоваться макроскопически большими значениями корреляционного радиуса, что делает наблюдение такого упорядочения чрезвычайно затруднительным.

Фазовая диаграмма планарного антиферромагнетика с решёткой кагоме и взаимодействием не только ближайших соседей, следующая из результатов, представленных в четвёртой главе, содержит пять различных фаз. Структура этой фазовой диаграммы показана на рис. 5. Также, как в случае треугольной решётки, полученные результаты применимы для описания не только планарных антиферромагнетиков, но и решёток джозефсоновских контактов и сеток из сверхпроводящих проволок с полуцелым числом квантов потока на каждую треугольную ячейку, а также решёток 7г-контактов в отсутствие магнитного поля. В таких системах взаимодействием, приводящим к снятию случайного вырождения и описываемым константой Зч, является магнитное взаимодействие токов.

В пятой главе рассматривается модификация обычной (т. е. неф-рустрированной) ХУ модели, в которой вырождение основного состояния является таким же, как и в стандартной версии, однако помимо вихрей важную роль в термодинамике играют солитоны - линейные дефекты [см. рис. 6(а)], существование которых определяется специфическим видом взаимодействия, обладающего дополнительным минимумом и характерного для ЭРЭ контактов вблизи перехода в 7Г-состояние. В отличие от доменных стенок солитоны не являются неустранимыми топологическими особенностями, поэтому могут иметь точки окончания, которые, однако, представляют собой вихри с полуцелым топологическим зарядом, см. рис. 6(Ь).

Статсумма такой модели может быть представлена в виде статсум-мы кулоновского газа полуцелых зарядов тпц/2, нетривиальным образом взаимодействующих с бинарными переменными изинговского

I.

/

I

/

>

/ / ТтГ /

11111!

(а)

I I I I I ,1

I I I ,1 л 1

ч—н

—о

ы

I I I ^

1 I I I > > 111111 (Ь)

Рис. 6: Топологические возбуждения в ХУ модели с модифицированным взаимодействием: (а) замкнутый солитон; (Ь) солитон, оканчивающийся на полувихре с топологическим зарядом равным +1/2.

типа

^СС = П( Е Е )ехр

а \тв=-оо «я=±1/

„тк К,

Я ^ " (В»')

Это позволяет продемонстрировать, что если энергия солитона мала, то переход БКТ расщепляется на два фазовых перехода, один из которых изинговского типа и связан с обращением в ноль свободной энергии солитона, а второй относится к классу универсальности БКТ и связан с диссоциацией пар вихрей с полуцелым топологическим зарядом. В промежуточной фазе сохраняется конечной сверхтекучая плотность, однако когерентным является движение не куперовских пар (парный коррелятор параметра порядка спадает экспоненциальным образом), а пар из куперовских пар.

Общая структура фазовой диаграммы такой системы показана на рис. 7, где параметр К определяется близостью каждого из контактов к переходу в 7г-состояние. На линии аЬ происходит диссоциация

"Ш

а

Ь

/

/

/

/

в

/

I

С)

К/Т

Рис. 7: Фазовая диаграмма ХУ модели с модифицированным взаимодействием, приводящим к возможности появления солитонов.

пар обычных вихрей, на линии ее диссоциация пар полувихрей (оба перехода относятся к классу универсальности БКТ), а на линии М - фазовый переход, связанный с солитонами. На участке ей это должен быть переход изинговского типа, а на участке Ьс при обращении в ноль свободной энергии солитона логарифмическое взаимодействие полувихрей оказывается недостаточно сильным для того, чтобы они были связаны в пары. Поэтому переход в этом случае должен происходить непосредственно в неупорядоченную фазу, однако иным, чем на линии аЬ образом, т.е. первым родом.

В шестой главе исследуются аксиальная и планарная фазы сверхтекучей ферми-жидкости с р-спариванием. При учёте спин-орбитального (дипольного) взаимодействия аксиальная фаза характеризуется и(1) х

> а планарная - Г/(1) вырождением. При этом в обеих фазах возможно образование солитонов, внутри которых параметр порядка Аак проходит через максимум спин-орбитального взаимодействия. Если это взаимодействие является достаточно слабым, возможность появления солитонов приводит к расщеплению БКТ перехода на два по схеме, описанной в предыдущей главе. Интересно, что эффективная вели-

чина спин-орбитального взаимодействия д, определяющего энергию солитона и позволяющего регулировать глубину расщепления, может быть уменьшена произвольным образом при помощи перпендикулярного к плёнке магнитного поля Нх. В частности, в аксиальной фазе

— 9~ ХН± ■

В седьмой главе обсуждается двумерная ХУ модель со случайным сдвигом фазы, которая может быть определена гамильтнианом (1), в котором переменные А^ являются случайными и характеризуются гауссовым распределением с

В терминах вихрей это соответствует появлению случайного потенциала с логарифмически расходящимися корреляциями. Рассматривая влияние подобного беспорядка на расходимость главной поправки к взаимодействию вихрей по степеням их химической активности, Ру-бинстайн, Шрайман и Нельсон пришли к выводу о неизбежности в такой системе возвратного перехода в неупорядоченную фазу при понижении температуры (даже если беспорядок является сколь угодно слабым). Анализ поправок более высоких порядков показывает, что подобный подход не является вполне адекватным, поскольку в любой точке фазовой диаграммы значительная часть таких поправок оказывается расходящейся, что, вообще говоря, могло бы свидетельствовать о нестабильности упорядоченной фазы. Более аккуратный анализ, основанный на разложении по концентрации вихревых пар, позволяет показать, что связанная с вихревыми парами поправка к модулю жёсткости Г является сходящейся при

Т < 2Гсто(1 + у/1 - сг/сго), £Г < (То = тг/8,

и не становится расходящейся при дальнейшем понижении температуры. Это даёт возможность построить фазовую диаграмму (см. рис. 8) на которой присутствует область стабильности упорядоченной фазы (и отсутствует возвратный переход в неупорядоченную фазу). При этом

тг/8

•Б

Т/Л

ж/2

Рис. 8: В пределе нулевой химической активности область стабильности упорядоченной фазы расположена под линией АВСИ Эффекты ренормировки приводят к сдвигу искривлённой части линии фазового перехода влево.

значение критической амплитуды беспорядка в области малых температур, <то = 7г/8, может быть найдено исходя из сравнения регулярного и случайного вкладов в энергию одиночного вихря. Рассмотренная в этой главе модель применима для описания решётки джозефсоновских контактов с геометрическими нерегулярностями в присутствии поперечного магнитного поля, величина которого соответствует (в среднем) целому числу квантов потока на ячейку, а также планарных магнетиков со случайным взаимодействием Дзялошинского-Мория.

В восьмой главе исследуегся возможность потери межслойной когерентности в трёхмерных системах с непрерывным вырождением и слабой связью между слоями. Для описания флуктуаций в слоистом сверхпроводнике использована анизотропная трёхмерная версия ХУ модели, явным образом учитывающая флуктуации магнитного поля. В двух различных предельных случаях (отсутствия джозефсоновской связи между слоями и отсутствия вихревых петель, пересекающих слои) эта модель допускает редукцию к представлению слоистого куло-новского газа, в котором логарифмическим является взаимодействие не только зарядов, принадлежащих к одному и тому же слою, но и относящихся к различным слоям. Тем не менее, логарифмический харак-

тер взаимодействия в обоих случаях приводит к возможности выполнения ренормгруппового анализа, позволяющего легко оценить температуру фазового перехода. Сравнение двух результатов показывает, что гипотеза Фриделя о том, что потеря когерентности между слоями может происходить как отдельный фазовый переход при более низкой температуре, чем разрушение сверхпроводимости в каждом слое < 7||), не имеет под собой оснований. Полученные выводы применимы и к слоистым ферромагнетикам.

Дополнительным фактором, который мог бы привести к потере межслойной когерентности в сверхпроводнике со слоистой структурой, является внешнее магнитное поле, приложенное параллельно слоям. Подобное поле делает калибровочно-инвариантную разность фаз между слоями заведомо знакопеременной величиной, что, естественно, существенно ослабляет их взаимное влияние. Два последних раздела восьмой главы посвящены исследованию эффективности такого механизма разрушения межслойной когерентности. При этом во втором разделе рассматривается режим, когда флуктуации в слоистом сверхпроводнике могут быть описаны в терминах флуктуаций вихревого кристалла, а в третьем - предел сильных полей, когда описание флуктуаций в терминах вихревых линий перестаёт быть адекватным из-за их сильного перекрытия друг с другом.

Во всех трёх ситуациях (нулевое, слабое и сильное поле), исследованных в этой главе, удаётся, используя упрощённое описание флуктуаций (предполагающее Т± <С Т]|), представить статсумму в окрестности каждого из переходов в виде статсуммы слоистого кулоновского газа, позволяющей применение ренормгруппового анализа. Результаты этого анализа, однако, приводят к выводу о том, что Т± Ту, что означает, что предположение о двухстадийной потере когерентности несправедливо и в системе происходит лишь один фазовый переход, температура которого Тс удовлетворяет неравенству Т| <ТС <Т±.

В заключении изложены основные выводы, которые могут быть сделаны из представленного цикла исследований.

ВЫВОДЫ

1. Последовательность фазовых переходов в двумерных системах с комбинированным вырождением (например, во фрустрированных магнитным полем решётках джозефсоновских контактов) в существенной степени определяется существованием нового класса топологических возбуждений - дробных вихрей, возникающих на дефектах доменных стенок. В частности, в случае 11(1) х вырождения (квадратная или треугольная решётка с полуцелым числом квантов потока на ячейку) взаимодействие таких объектов с обычными вихрями приводит к тому, что разрушение фазовой когерентности происходит при чуть более низкой температуре, чем разупорядочение по дискретным степеням свободы. Учёт взаимодействия со следующими за ближайшими соседями не приводит к изменению последовательности фазовых переходов до тех пор, пока оно не вызывает перестройку основного состояния.

2. Реализация альтернативной последовательности фазовых переходов, при которой потеря фазовой когерентности связана с диссоциацией пар дробных вихрей и происходит при более высокой температуре, чем разупорядочение по дискретным степеням свободы, оказывается возможна в случае решётки кагоме и взаимодействия не только ближайших соседей, но лишь в чрезвычайно узком окне значений параметров, за пределами которого разупорядочение всех степеней свободы происходит одновременно.

3. Структура фазовой диаграммы планарного антиферромагнетика с треугольной решёткой в внешнем магнитном поле обусловлена снятием случайного непрерывного вырождения гармоническими флуктуациями, приводящими к стабилизации трёх различных упорядоченных фаз, каждая из которых характеризуется наличием настоящего дальнего порядка по ориентации спинов.

4. При взаимодействии только ближайших соседей стабилизация дальнего порядка (по киральностям треугольных ячеек) в планарном антиферромагнетике с решёткой кагоме связана с ангармоническими флуктуациями и происходит при аномально низкой темпе-

ратуре, которая на три порядка ниже, чем температура диссоциации пар дробных вихрей. Это упорядочение настолько слабо, что характеризуется макроскопически большими значениями корреляционного радиуса, что делает весьма проблематичным его наблюдение в реальном или численном эксперименте.

5. Наличие геометрических нерегулярностей в решётке джозефсо-новских контактов с целым (в среднем) числом квантов потока на ячейку не может привести при понижении температуры к возвратному переходу в неупорядоченное состояние.

6. При изменении параметров, соответствующем приближению SFS контакта к точке перехода в 7Г состояние, в состоящей из таких контактов регулярной решётке должно происходить расщепление перехода Березинского-Костерлица-Таулеса на два, один из которых имеет изинговскую природу, а другой связан с диссоциацией пар дробных вихрей с топологическими зарядами ±1/2.

7. Аналогичное расщепление должно иметь место в обеих сверхтекучих фазах двумерной ферми-жидкости с р-спариванием, причём параметром, позволяющим регулировать его глубину, является перпендикулярное образцу внешнее магнитное поле.

8. Ослабление связи между слоями не может вызвать в слоистом сверхпроводнике расщепление фазового перехода, при котором потеря фазовой когерентности вдоль и поперёк слоёв происходила бы при различных температурах. Этот вывод справедлив не только в отсутствие внешнего магнитного поля, но и при наличии параллельного слоям поля.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. С. Е. Коршунов "Двумерная сверхтекучая ферми-жидкость с р-спариванием", ЖЭТФ 89, 531 (1985).

2. С. Е. Коршунов "О возможности расщепления фазового перехода в двумерной XY-модели", Письма ЖЭТФ 41, 216 (1985).

3. С. Е. Коршунов "Антиферромагнитная XY-модель на треугольной решётке: упорядоченные состояния в магнитном поле", Письма ЖЭТФ 41, 525 (1985).

4. S. Е. Korshunov "Phase diagram of the antiferromagnetic XY-model with a triangular lattice in an external magnetic field", J. Phys. C. 19, 5927 (1986).

5. S. E. Korshunov "Phase diagram of the modified XY-model", J. Phys. C. 19, 4427 (1986).

6. S. E. Korshunov and G. V. Uimin "Phase transitions in 2D uniformly frustrated XY-models. I. Antiferromagnetic model on a triangular lattice", J. Stat. Phys. 43, 1 (1986).

7. S. E. Korshunov "Phase transitions in 2D uniformly frustrated XY-models. II. General scheme", J. Stat. Phys. 43, 17 (1986).

8. S. E. Korshunov "Vortex rings and phase transition in layered lattice superconductor", Europhys. Lett. 11, 757 (1990).

9. S. E. Korshunov "Fluctuations and melting of the uniaxial vortex crystal in a layered superconductor", Europhys. Lett. 15, 771 (1991).

10. S. E. Korshunov and A. I. Larkin "Problem of Josephson-vortex-lattice melting in layered superconductors", Phys. Rev. В 46, 6395

(1992).

11. S. E. Korshunov "Possible destruction of the ordered phase in Josephson-junction arrays with positional disorder", Phys. Rev. В 48, 1124

(1993).

12. S. E. Korshunov "Destruction of superconductivity in Josephson junction arrays by positional disorder", Helv. Phys. Acta 65, 492 (1992).

13. T. Nattermann, S. Scheidl, S. E. Korshunov and M. S. Li "Absence of reentrance in two-dimensional XY-model with random phase shift", J. Physique I 5, 565 (1995).

14. S. E. Korshunov and T. Nattermann "Absence of reentrance in superconducting arrays with positional disorder", Phys. Rev. B 53, 2746 (1996).

15. S. E. Korshunov and T. Nattermann "Phase diagram of a Josephson junction array with positional disorder", Physica B 222, 280 (1996).

16. V. Cataudella, G. Franzese, S. E. Korshunov and R. Fazio, "How the next-nearest-neighbor interactions change the phase diagram of a fully frustrated XY model?", Physica B 284-288, 431 (2000).

17. G. Franzese, V. Cataudella, S. E. Korshunov and R. Fazio, "Fully frustrated XY model with next-nearest neighbor interaction", Phys. Rev. B 62, R9287 (2000).

18. S. E. Korshunov "Kink pairs unbinding on domain walls and the sequence of phase transitions in fully frustrated XY models", Phys. Rev. Lett. 88, 167007 (2002).

19. S. E. Korshunov "Phase transitions in the antiferromagnetic XY model with a kagome lattice", Phys. Rev. B 65, 054416 (2002).

20. S. E. Korshunov and B. Dougot "Fluctuations and vortex-pattern ordering in the fully frustrated XY model on a honeycomb lattice", Phys. Rev. Lett. 93, 097003 (2004).

»10947

РНБ Русский фонд

2006-4 5914

Введение

1 XY модели и объекты их применения

1.1 Обычная XY модель

1.2 Сверхпроводящие сетки и решётки и фрустрированные XY модели

2 Максимально фрустрированная XY модель на квадратной решётке

2.1 Основное состояние и топологические возбуждения>

2.2 Дробные вихри и фазовые переходы . . .

2.3 Фазовый переход на доменной стенке и его последствия

2.4 Последовательность фазовых переходов.

2.5 Структура фазовой диаграммы при учёте взаимодействия не только ближайших соседей

3 Планарный антиферромагнетик с треугольной решёткой

3.1 Последовательность фазовых переходов в отсутствие магнитного поля.

3.2 Структура фазовой диаграммы во внешнем магнитном поле

4 Планарный антиферромагнетик с решёткой кагоме

4.1 Основные состояния.

4.2 Нультемпературные флуктуации

4.3 Флуктуации при конечной температуре

4.4 Фазовый переход, связанный с упорядочением по кираль-ностям.

4.5 Структура фазовой диаграммы

5 Решётка SFS контактов

5.1 Классификация дефектов и возможные фазовые переходы

5.2 Дуальное и кулоновское представления.

5.3 Структура фазовой диаграммы

6 Двумерная сверхтекучая ферми-жидкость с р-спарива-нием

6.1 Аксиальная фаза

6.2 Планарная фаза.

7 XY модель со случайным сдвигом фазы

7.1 Случайный потенциал

7.2 Беспорядок и появление неспаренных вихрей

7.3 Вихревые пары и перенормировка модуля жёсткости

7.4 Структура фазовой диаграммы.

8 Слоистый-сверхпроводник

8.1 В отсутствие внешнего магнитного поля.

8.2 В параллельном слоям магнитном поле.

8.3 Предел сильного поля.

В 70-ые годы было показано, что в широком классе двумерных систем с непрерывным вырождением (планарные ферромагнетики [1-5], сверхтекучие [6] и сверхпроводящие [7] плёнки, тонкие плёнки жидких кристаллов [8] и двумерные кристаллы [9-11]), происходящий при повышении температуры фазовый переход в неупорядоченное состояние адекватным образом описывается в терминах диссоциации пар логарифмически взаимодействующих точечных топологических возбуждений - вихрей, дислокаций или дисклинаций (см. также обзоры [12-15]). Это послужило повышению интереса к экспериментальному исследованию различных двумерных систем с непрерывным вырождением, в том числе и таких, чьи термодинамические свойства не вполне укладываются в приведенную выше схему. В первую очередь речь может идти об искусственно изготовленных сверхпроводящих объектах с дискретной структурой, таких как решётки джозефсоновских контактов [16,17], находящиеся во внешнем магнитном поле. Подобные системы характеризуются сочетанием непрерывного вырождения с дискретным.

Основной целью настоящей диссертации является исследование структур упорядоченных состояний, характера фазовых переходов и вида фазовых диаграмм двумерных систем с непрерывным вырождением, адекватное описание термодинамики которых помимо учёта логарифмического взаимодействия точечных топологических дефектов должно принимать во внимание также и иные существенные факторы. Изучен ряд представляющих интерес в различных контекстах ситуаций,

1) когда классификация возбуждений системы помимо точечных объектов включает в себя так же и линейные: доменные стенки или солитоны, что, в свою очередь, приводит к появлению нового класса дефектов - вихрей с дробным топологическим зарядом;

2) когда основные состояния помимо чисто симметрийного вырождения обладают также и дополнительным вырождением, не связанным с симметрией гамильтониана, вследствие чего установление характера упорядочения при низких температурах требует анализа свободной энергии малых флуктуаций в окрестности основных состояний (в гармоническом приближении или даже с учётом ангар-монизмов);

3) когда из-за наличия в системе беспорядка логарифмически взаимодействующие точечные дефекты испытывают воздействие случайного потенциала, а также

4) когда система состоит из двумерных слоёв, слабо связанных между собой и, соответственно, допускает редукцию к кулоновскому газу со слоистой же структурой.

С формальной точки зрения основным объектом исследования диссертации являются различные модификации двумерной XY модели, а именно фрустрированная, антиферромагнитная, с дополнительным минимумом взаимодействия, со случайным сдвигом фазы и слоистая. С физической же точки зрения изложенные результаты применимы для описания решёток джозефсоновских контактов или сеток из сверхпроводящих проволок, находящихся во внешнем магнитном поле, планарных антиферромагнетиков, решёток SFS (сверхпроводник-ферромагнетик-сверхпроводник) контактов, тонких плёнок сверхтекучей ферми-жидкости с р-спариванием, а также слоистых сверхпроводников и магнетиков.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Установлено, что классификация дефектов в двумерных фрустриро-ванных XY моделях, характеризующихся сочетанием непрерывного и дискретного вырождения помимо обычных вихрей и доменных стенок (существование которых следует из симметрии параметра порядка) включает в себя вихри с дробными топологическими зарядами, которые могут образовываться на доменных стенках. Квантование топологических зарядов дробных вихрей зависит от структуры решётки.

2. Показано, что логарифмическое взаимодействие перегибов на доменной стенке приводит к фазовому переходу, при котором теряется связь между флуктуациями фазы по обе стороны такой стенки.

3. Установлена последовательность, в которой происходят фазовые переходы в максимально фрустрированных XY моделях на квадратной и треугольной решётках.

4. Построена фазовая диаграмма максимально фрустрированной XY модели с квадратной решёткой и взаимодействием не только ближайших соседей.

5. Построена фазовая диаграмма находящегося во внешнем магнитном поле планарного антиферромагнетика с треугольной решёткой.

6. Установлена структура упорядоченного состояния в антиферромагнитной XY модели на решётке кагоме, стабилизируемая ангармоническими флуктуациями. Показано, что соответствующий фазовый переход должен происходить при температуре на три порядка ниже, чем диссоциация пар дробных вихрей, и что наблюдение такого упорядочения требует макроскопических размеров системы.

7. Построена фазовая диаграмма планарного антиферромагнетика с решёткой кагоме и взаимодействием не только ближайших соседей.

8. Показано, что в двумерных системах с непрерывным вырождением может происходить расщепление фазового перехода на два, обусловленное возможностью образования солитонов. При этом, несмотря на отсутствие дискретного вырождения, один из переходов будет иметь изинговскую природу. Продемонстрировано, что в число физических систем, в которых возможно такое расщепление, входят решётки SFS контактов и обе сверхтекучих фазы двумерной ферми-жидкости с р-спариванием.

9. Установлена структура фазовой диаграммы двумерной XY модели со случайным фазовым сдвигом (что в терминах вихрей соответствует наличию случайного потенциала с логарифмическими корреляциями) и показано, что она не содержит возвратного перехода в неупорядоченную фазу. Продемонстрировано, что описание такой системы при помощи традиционного разложения по химической активности вихрей приводит к появлению бесконечного набора расхо-димостей, эффективным способом суммирования которых оказывается применение разложения по концентрации вихревых пар.

10. Показано, что статсумма межслойных вихревых петель в слоистых сверхпроводниках или планарных магнетиках может быть сведена к статсумме слоистого кулоновского газа; температура фазового перехода в котором даже в пределе слабой связи между слоями оказывается выше, чем температура диссоциации вихревых пар в аналогичной системе без непосредственного взаимодействия слоёв. Это позволяет сделать вывод о невозможности существования промежуточной фазы, в которой имелась бы когерентность внутри каждого слоя, но отсутствовала бы когерентность между слоями.

11. Доказано, что приложение к слоистому сверхпроводнику параллельного слоям магнитного поля хотя и ослабляет взаимное влияние между слоями, но также не может привести к потере межслойной когерентности, в том числе в пределе сильного поля.

Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения, списка работ, в которых опубликованы представленные результаты, и списка цитированной литературы. Во введении обоснована актуальность темы и дана характеристика объектов исследования. Здесь же сформулированы

Заключение

Из представленного цикла исследований, основные результаты которого изложены в двадцати печатных работах (список публикаций приводится

1. В. Л. Березинский, ЖЭТФ 59, 907 (1970).

2. В. Л. Березинский, ЖЭТФ 61, 1144 (1971).

3. J. М. Kosterlitz and D. J. Thouless, J. Phys. С 5, L124 (1972).

4. J. M. Kosterlitz and D. J. Thouless, J. Phys. С 6, 1181 (1973).

5. J. M. Kosterlitz, J. Phys. С 7, 1046 (1974).

6. D. R. Nelson and J. M: Kosterlitz, Phys. Rev. Lett. 39, 1201 (1977).

7. M. R. Beasley, J. E. Mooij and T. P. Orlando, Phys. Rev. Lett. 42, 1165 (1979).

8. D. R. Nelson and R. A. Pelcovits, Phys. Rev. В 16, 2191 (1977).

9. В. I. Halperin and D. R. Nelson, Phys. Rev. Lett. 41, 121 and 519 (1978).

10. D. R. Nelson and В. I. Halperin, Phys. Rev. В 19, 2457 (1979).

11. A. P. Young, Phys. Rev. В 19, 1855 (1979).

12. J. M. Kosterlitz and D. J. Thouless, in: Progress in Low Temperature Physics, Vol. VIIB, edited by D. F. Brewer (North-Holland, Amsterdam, 1978), p. 371.

13. D. R. Nelson, in: Fundamental Problems in Statistical Mechanics, Vol. V, edited by E. G. D. Cohen (North-Holland, New York, 1980), p. 53.

14. D. R. Nelson, in: Phase Transitions and Critical Phenomena, Vol. 7, edited by C. Domb and J. L. Lebowitz (Academic Press, London, 1983), p.l.

15. P. Minnhagen, Rev. Mod. Phys. 59, 1001 (1987).

16. К. Б. Ефетов, ЖЭТФ 78, 2018 (1980).

17. Yu. E. Lozovik and S. G. Akopov, J. Phys. С 14, L31 (1980).

18. J. Villain, J. Phys. С 10, 1717 (1977).

19. S. Teitel and C. Jayaprakash, Phys. Rev. В 27, 598 (1983).20.'J.-R. Lee, S. J. Lee, B. Kim and I. Chang, Phys. Rev. Lett. 79, 2172 (1997).

20. S. Alexander and P. Pincus, J. Phys. A 3, 263 (1980).

21. D. H. Lee, J. D. Joannopoulos, J. W. Negele and D. P. Landau, Phys. Rev. Lett. 52, 433 (1984); Phys. Rev. В 33, 450 (1986).

22. P. С. Гехт и И. H. Бондаренко, ЖЭТФ 113, 2209 (1998).

23. D. A. Huse and A. D. Rutenberg, Phys. Rev. В 45, 7536 (1992).

24. N. M. Chtchelkatchev, W. Belzig, Yu. N. Nazarov and C. Bruder, Письма ЖЭТФ 74, 357 (2001).

25. Yu. S. Barash and I. V. Bobkova, Phys. Rev. В 65, 144502 (2002).

26. A. A. Golubov, M! Yu. Kuprijanov and Ya. V. Fominov, Письма ЖЭТФ 75, 709 (2002).

27. M. Rubinstein, В. Shraiman and D. R. Nelson, Phys. Rev. В 27, 1800 (1983).

28. E. Granato and J. M. Kostelitz, Phys. Rev. В 33, 6533 (1986).

29. I. E. Dzyaloshinskii, J. Phys. Chem. Solids 4, 241 (1958).

30. T. Moriya, Phys. Rev. Lett. 4, 228 (1960); Phys. Rev. 120, 91 (1960).

31. J. Friedel, J. Phys. (Paris) 49, 1561 (1988).

32. К. Б. Ефетов, ЖЭТФ 76, 1781 (1979).

33. F. Wegner, Z. Phys. В 206, 465 (1967).

34. M. E. Fisher, M. N. Barber and D. Jasnow, Phys. Rev. A 8, 1111 (1973).

35. J. Pearl, in: Proceedings of the Ninth International Conference on Low Temperature Physics (LT-9), edited by J. D. Daunt, D. O. Edwards, F. J. Milford and M. Yacub (Plenum Press, New York, 1965), p. 566.

36. Jl. Д. Ландау, ЖЭТФ 7, 627 (1937) Сборник трудов, т. 1 (Наука, Москва, 1969), статья N° 29].

37. R. Е. Peierls, Ann. Inst. Henri Poincare 5, 177 (1937).

38. N. D. Mermin and H. Wagner, Phys. Rev. Lett. 22, 1133.

39. N. D. Mermin, Phys. Rev. 176, 1133 (1968).

40. P. C. Hohenberg, Phys. Rev. 158, 383 (1967).

41. B. Jl. Березинский, Кандидатская диссертация, ИТФ им. Л.Д. Ландау (1971).

42. J. Villain, J. Phys. (Paris) 36, 581 (1975).

43. J. V. Ловё, L. P. Kadanoff, S. Kirkpatrick and D. R. Nelson, Phys. Rev. В 16, 1217 (1977).

44. Т. Ohta and D. Jasnow, Phys. Rev. В 20, 139 (1979).

45. P. W. Anderson, G. Yuval and D. R. Hamman, Phys. Rev. В 1, 4464 (1970).

46. J. Tobochnik and G. V. Chester, Phys. Rev. В 20, 3761 (1979).

47. J. F. Fernandez, M. F. Ferreira and J. Stankiewicz, Phys. Rev. В 34, 292 (1986).

48. H. Weber and P. Minnhagen, Phys. Rev. В 37, 5986 (1988).

49. R. Gupta, J. DeLapp, G. G. Batrouni, G. C. Fox, C. F. Baillie and J. Apostolakis, Phys. Rev. Lett. 61, 1996 (1988).

50. P. Olsson, Phys. Rev. В 52, 4526 (1995).

51. W. Y. Shih and D. Stroud, Phys. Rev. В 30, 6774 (1984).

52. H. J. F. Knops, Phys. Rev. Lett. 39, 766 (1977).

53. J. D. Weeks, in Order in Strongly Fluctuating Condensed Matter Systems, edited by T. Riste (Plenum, New York London, 1980), pp. 293-317.

54. S. T. Chui and J. D. Weeks, Phys. Rev. В 14, 4978 (1976).

55. J. P. van der Eerden and H. J. F. Knops, Phys. Lett. 66A, 334 (1978).

56. R. H. Swendsen, Phys. Rev. В 17, 3710 (1978).

57. H. van Beijeren, Phys. Rev. Lett. 38, 993 (1977).

58. F. Rys, Helv. Phys. Acta 36, 537 (1963).

59. Е. Н. Lieb, Phys. Rev. Lett. 18, 1046 (1967).

60. E. H. Lieb and F. Y. Wu, in: Phase transitions and critical phenomena, Vol. 1, edited by C. Domb and M. C. Green (Academic Press, London, 1972), p. 331.

61. P. B. Wiegmann, J. Phys. С 11, 1583 (1978).

62. Т. Ohta, Prog. Theor. Phys. 60, 968 (1978).

63. D. J. Amit, Y. Y. Goldschmidt and G. Grinstein, J. Phys. A 13, 585 (1980).

64. D. Stroud and S. Kivelson, Phys. Rev. В 35, 3478 (1987).

65. S. Teitel and S. Jayaprakash, Phys. Rev. Lett. 51, 1999 (1983).

66. R. S. Newrock, C. J. Lobb, U. Geigenmuller and M. Octavio, in Solid State Physics, Vol. 54, edited by H. Ehrenreich and F. Spaepen (Academic Press, San Diego, 2000), p. 263.

67. P. Martinoli and Ch. Leemann, J. Low Temp. Phys. 118, 699 (2000).

68. A. Vallat, S. E. Korshunov and H. Beck, Phys. Rev. В 43, 8482 (1991).

69. A. Vallat and H. Beck, Phys. Rev. В 50, 4015 (1994).

70. E. Fradkin, B. Huberman and S. H. Shenker, Phys. Rev. В 18, 4789 (1978).

71. Т. Horiguchi and C.C. Chen, J. Math. Phys. 15, 659 (1974).

72. B. Sutherland, Phys. Rev. В 34, 5208 (1986).

73. W. Y. Shih and D. Stroud, Phys. Rev. В 32, 158 (1985).

74. S. Teitel and C. Jayaprakash, J. Phys. Lett. (Paris), 46, L33 (1985).

75. S. E. Korshunov, Phys. Rev. В 63, 134503 (2001).

76. S. E. Korshunov, J. Stat. Phys. 43, 17 (1986).

77. Yi Xiao, D.A. Huse, P.M. Chaikin, M.Ji Higgins, S. Bhattacharya and D. Spencer, Phys. Rev. В 65, 214503 (2002).

78. S. E. Korshunov and B. Dougot, Phys. Rev. Lett. 93, 097003 (2004).

79. S. E. Korshunov, Phys. Rev. В 71, 174501 (2005).

80. J. P. Straley, A. Y. Morozov and E. B. Kolomeisky, Phys. Rev. Lett. 79, 2534 (1997).

81. M. Franz and S. Teitel, Phys. Rev. Lett. 73, 480 (1994); Phys. Rev. В 51, 6551 (1995).

82. S. Hattel and J. Wheatley, Phys. Rev. В 50, 16 590 (1994).

83. S. Hattel and J. Wheatley, Phys. Rev. В 51, 11 951 (1995).

84. Т. С. Halsey, J. Phys. С 18, 2437 (1985).

85. L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117 (1944).

86. H. В. Вдовиченко, ЖЭТФ 47, 715 (1964).

87. H. A. Kramers and G. H. Wannier, Phys. Rev. 60, 252 (1941).

88. J. M. Thijssen and H. J. F. Knops, Phys. Rev. В 37, 7738 (1988).

89. J. M. Thijssen, Phys. Rev. В 40, 5211 (1989).91. ,S. E. Korshunov, Phys. Rev. Lett. 94, 087001 (2005).92.- B, Berge, H, T-. Diep,- A. Ghazali-and-P. LallemandrPhys, Rev, В 34, 3177 (1986).

90. H. Eikmans, J. E. van Himbergen, H. J. F. Knops and J. M. Thijssen, Phys. Rev. В 39, 11 759 (1989).

91. S. E. Korshunov, Phys. Rev. Lett 88, 167007 (2002).

92. S. A. Bulgadaev, Phys. Lett. 86A, 213 (1981); С. А. Булгадаев, ТМФ 51, 424 (1982).

93. S. J. Lee, J.-R. Lee and B. Kim, Phys. Rev. E 51, R4 (1995).

94. P. Olsson and S. Teitel, Phys. Rev. В 71, 104423 (2005).

95. A. Goniglio, C. R. Nappi, F. Peruggi and L. Russo, J. Phys. A 10, 205 (1977).

96. A. L. Stella and C. Vanderzande, Phys. Rev. Lett. 62, 1067 (1989).

97. C. Vanderzande and A. L. Stella, J. Phys. A 22, L445 (1989).

98. D. Stauffer, Phys. Rep. 54, 1 (1979).

99. W. Klein, H. E. Stanley, P. J. Reynolds and A. Coniglio, Phys. Rev. Lett. 41, 1145 (1978).

100. Вик. С. Доценко и Г. В. Уймин, Письма ЖЭТФ 40, 236 (1984).

101. Vik. S. Dotsenko and G. V. Uimin, J. Phys. С 18, 5019 (1985).

102. J. Lee, J. M. Kosterlitz and E. Granato, Phys. Rev. В 43,11 531 (1991).

103. Y. H. Lee and S. Teitel, Phys. Rev. Lett. 65, 2595 (1990).

104. C. Denniston and C. Tang, Phys. Rev. Lett. 79, 451 (1997); Phys. Rev. В 58, 6591 (1998).

105. D. B. Nicolaides, J. Phys. A 24, L231 (1991).

106. G. Ramirez-Santiago and J. V. Jose, Phys. Rev. Lett. 68, 1224 (1992); Phys. Rev. В 49, 9567 (1994).

107. S. Lee and K.-C. Lee, Phys. Rev. В 49, 15 184 (1994).

108. Y. Ozeki and N. Ito, Phys. Rev. В 68, 054414 (2003).112.-P„01sson7-Phys^Rev^Lett^.75,-2758. (1995)^

109. P. Olsson, Phys. Rev. Lett. 77, 4850 (1996).

110. V. Cataudella and M. Nicodemi, Physica A 233, 293 (1996).

111. P. Olsson, Phys. Rev. В 55, 3585 (1997).

112. G. Grest, Phys. Rev. В 39, 9267 (1989).

113. J.-R. Lee, Phys. Rev. В 49, 3317 (1994).

114. E. Granato and M. P. Nightingale, Phys. Rev. В 48, 7438 (1993).

115. E. H. Boubcheur and H. T. Diep, Phys. Rev. В 58, 5163 (1998).

116. H. J. Luo, L. Schulke and B. Zheng, Phys. Rev. Lett. 81, 180 (1998); Phys. Rev. E 57, 1327 (1998).

117. S. Lee, S. Kim, S. H. Park, H.-B. Pyo and K.-C. Lee, Phys. Rev. 60, 9256 (1999).

118. M. Yosefin and E. Domany, Phys. Rev. В 32, 1778 (1985).

119. E. Granato, J. Phys. С 20, L215 (1987).

120. E. Granato, J. М. Kosterlitz, J. Lee and M. P. Nightingale, Phys. Rev. Lett. 66, 1090 (1991).

121. J. Lee, E. Granato and J. M. Kosterlitz, Phys. Rev. В 44, 4819 (1991).

122. M. P. Nightingale, E. Granato and J. M. Kosterlitz, Phys. Rev. В 52, 7402 (1995).

123. S. Lee, K.-C. Lee and J. M. Kosterlitz, Phys. Rev. В 56, 340 (1997).

124. M. den Nijs, Phys. Rev. B, 46, 10 386 (1992).

125. D. Davidson and M. den Nijs, Phys. Rev. E 55, 1331 (1997).

126. Ph. Lerch, Ch. Leemann, R. Theron and P. Martinoli, Phys. Rev. В 41, 11 579 (1990).

127. P. Martinoli, R. Theron, J.-B. Simond, R. Meyer, Y. Jaccard and Ch. Leemann, Physica Scripta T49, 176 (1993).

128. B. J. van Wees, H. S. J. van der Zant and J. E. Mooij, Phys. Rev. В 35, 7291 (1987).

129. H. S. J. van der Zant,.H^A-Rijkenand-Mooij,-JLLow-Temp^ Phys. 82, 67 (1991).

130. H. S. J. van der Zant, L. J. Geerligs and J. E. Mooij, Europhys. Lett. 19, 541 (1992).

131. H. S. J. van der Zant, F. C. Fritschy, W. J. Elion, L. J. Geerligs and J. E. Mooij, Phys. Rev. Lett. 69, 2971 (1992).

132. H. S. J. van der Zant, W. J. Elion, L. J. Geerligs and J. E. Mooij, Phys. Rev. В 54, 10 081 (1996).

133. M. V. Feigel'man and A. I. Larkin, Chem. Phys. 235, 107 (2001).

134. M. V. Feigel'man, A. I. Larkin and M. A. Skvortsov, Phys. Rev. Lett. 86, 1869 (2001).

135. G. Deutscher and P. G. de Gennes, in Superconductivity, edited by R. D. Parks (Marcel Dekker, New York, 1969), Vol. 2, p. 1005.

136. V. Cataudella, G. Franzese, S. E. Korshunov and R. Fazio, Physica В 284-288, 431 (2000).

137. G. Franzese, V. Cataudella, S. E. Korshunov and R. Fazio, Phys. Rev. В 62, 9287 (2000).

138. J. Villain, R. Bidaux, J.-P. Carton and R. Conte, J. Phys. (France) 41, 1263 (1980).

139. E. Ф. Шендер, ЖЭТФ 83, 326 (1982).

140. M. Y. Choi and S. Doniach, Phys. Rev. В 32, 5773 (1985).

141. Q.-H. Chen, M.-B. Luo and Z.-K. Jiao, Phys. Rev. В 64, 212403 (2001).

142. S. Miyashita and J. Shiba, J. Phys. Soc. Jpn. 53, 1145 (1984).

143. D. H. Lee, R. G. Caflisch, J. D. Joannopoulos and F. Y. Wu, Phys. Rev. В 29, 2680 (1984).

144. S. E. Korshunov and G. V. Uimin, J. Stat. Phys. 43, 1 (1986).

145. G. H. Wannier, Phys. Rev. 79, 357 (1950); Phys. Rev. В 7, 5017 (1973).

146. J. E. van Himbergen, Phys. Rev. В 33, 7857 (1986).

147. S. Lee and K.-C. Lee, Phys. Rev. В 57, 8472 (1998).

148. H. Kawamura, J. Phys. Soc. Jpn. 53, 2452 (1984).

149. С. E. Коршунов, Письма ЖЭТФ 41, 525 (1985).

150. S. E. Korshunov, J. Phys. С 19, 5927(1986).

151. E. Rastelli, A. Tassi, A. Pimpinelli and S. Sedazzari, Phys. Rev. В 45, 7936 (1992).

152. R. J. Baxter, J. Phys. A 13, L61 (1980).

153. V. L. Pokrovsky and G. V. Uimin, Phys. Lett. 45A, 467 (1973); B. JI. Покровский и Г. В. Уймин, ЖЭТФ 65, 1691 (1973).

154. В. Nienhuis, Е. К. Riedel and М. Schick, Phys. Rev. В 27, 5625 (1983).

155. R. J. Baxter, J. Phys. С 6, L445 (1973).

156. A. V. Chubukov and D. I. Golosov, J. Phys. Cond. Matt. 3, 69 (1991).

157. N. Suzuki and F. Matsubara, Phys. Rev. В 55, 12 331 (1997).

158. Д. И. Голосов и А. В. Чубуков, Письма ЖЭТФ 50, 416 (1989).

159. Н. Kawamura and S. Miyashita, J. Phys. Soc. Jpn. 54, 4530 (1985).

160. М. Е. Zhitomirsky, Phys. Rev. Lett. 88, 057204 (2002).

161. D. C. Cabra, M. D. Grynberg, P. C. W. Holdsworth and P. Pujol, Phys. Rev. В 65, 094418 (2002).

162. К. Hida, J. Phys. Soc. Jpn. 70, 3673 (2001).

163. H. Suematsu, K. Ohmatsu, K. Sugiyama, T. Sakakibara, M. Motokawa and M. Date, Solid State Commun. 40, 241 (1981).

164. Ь. E. Svistov, A. I. Smirnov, L. A. Prozorova, O. A. Petrenko, L. N. Demianets and A. Ya. Shapiro, Phys. Rev. 67, 094434 (2003).

165. Т. Ono, H. Tanaka, H. Aruga Katori, F. Ishikawa, H. Mitamura and T. Goto, Phys. Rev. В 67, 104431 (2003).

166. R. Wang, W. F. Bradley and H. Steinfink, Acta Cristallogr. 18, 249 (1965).

167. A. Bonnin and A. Lecerf, C. R. Acad. Sci. (Paris) 262, 1782 (1966).

168. M. G. Townsend, G. Longworth and E. Roudaut, Phys. Rev. В 33, 4919-(1986).

169. A. S. Willis, A. Harrison, C. Ritter and R. I. Smith, Phys. Rev. В 61, 6156 (2000).

170. A. S. Willis, V. Dupuis, E. Vincent, J, Hammann and R. Calemczuk, Phys. Rev. В 62, R9264 (2000).

171. X. Obrados et al., Solid State Comm. 5, 189 (1988).

172. A. P. Ramirez, G. P. Espinoza and A. S. Cooper, Phys. Rev. Lett. 64, 2070 (1990).

173. C. Broholm, G. Aeppli, G. P. Espinosa and A. S. Cooper, Phys. Rev. Lett. 65, 3173 (1990).

174. Y. J. Uemura et al, Phys. Rev. Lett. 73, 3306 (1994).

175. A. P. Ramirez, B. Hessen and M. Winkelmann, Phys. Rev. Lett. 84, 2957 (2000).

176. I. S. Hagemann, Q. Huang, X. P. A. Gao, A. P. Ramirez and R. J. Cava, Phys. Rev. Lett. 86, 894 (2001).

177. M. J. Higgins, YiXiao, S. Bhattacharya, P. M. Chaikin, S. Sethuraman; R. Bojko and D. Spencer, Phys. Rev. В 61, R894 (2000).182 183 [184 [185186187 188 [189190 191192 193194 195196 197 [198 [199

178. V. Elser, Phys. Rev. Lett. 62, 2405 (1989).

179. R. J. Baxter, J. Math. Phys. 11, 784 (1970).

180. S. E. Korshunov, Phys. Rev. В 65, 054416 (2002).

181. A. B. Harris, C. Kallin and A. J. Berlinsky, Phys. Rev. В 45, 28991992).

182. C. L. Henley, частное сообщение; N. Read, частное сообщение (цитируются по 24.).

183. D. R. Nelson, Phys. Rev. В 18, 2318 (1978).

184. Ritchey, P. Chandra and P. Coleman, Phys. Rev. В 47, 15342 (1993). P. Chandra, P. Coleman and I. Ritchey, J. Phys. (France) I 3, 5911993).

185. M. S. Rzchowski, Phys. Rev. В 55, 11 745 (1997).

186. V. В. Cherepanov, I. V. Kolokolov and E. V. Podivilov, Письма1. ЖЭТФ, 74, 674 (2001).

187. D. H. Lee, G. Grinstein and J. Toner, Phys. Rev. Lett. 56, 2318 (1986). S. N. Coppersmith, D. S. Fisher, В. I. Halperin, P. A. Lee and W. F. Brinkman, Phys. Rev. Lett. 46, 549 (1981); Phys. Rev. В 25, 349 (1982).

188. R. E. Peierls, Proc. Cambridge Phil. Soc., 32, 477 (1936).

189. C. Domb, in Phase Transitions and Critical Phenomena, vol. 3, editedby C. Domb and M. S. Green (Academic Press, New York, 1974).

190. Y. Saito, Z. Phys. В 32, 75 (1978).

191. К. Park and D. A. Huse, Phys. Rev. В 64, 134522 (2001).

192. S. E. Korshunov, A. Vallat and H. Beck, Phys. Rev. В 51, 3071 (1995).

193. J. T. Chalker, P. C. W. Holdsworth and E. F. Shender, Phys. Rev.1.tt. 68, 855 (1992).

194. J. N. Reimers and A. J. Berlinsky, Phys. Rev. В 48, 9539 (1993).

195. S. Sachdev, Phys. Rev. В 45, 12 377 (1992).

196. A. Chubukov, Phys. Rev. Lett. 69, 832 (1992).

197. A. Chubukov, J. Appl. Phys. 73, 5639 (1993).

198. JI. H. Булаевский, В. В. Кузий и А. А. Собянин, Письма ЖЭТФ 25, 314 (1977).

199. А. И. Буздин, JI. Н. Булаевский и С. В. Панюков, Письма ЖЭТФ 35, 147 (1982).

200. А. И. Буздин, Б. Вуйичич и М. Ю. Куприянов, ЖЭТФ 101, 231 (1992).

201. А. V. Veretennikov, V. V. Ryazanov, V. A. Oboznov, A. Yu. Rusanov, V. A. Larkin and J. Aarts, Physica В 284-288, 495 (2000).

202. V. V. Ryazanov, V. A. Oboznov, A. Yu. Rusanov, A. V. Veretennikov, A. A. Golubov and J. Aarts, Phys. Rev. Lett. 86, 2427 (2001).

203. S. M. Frolov, D. J. van Harlingen, V. A. Oboznov, V.V. Bolginov and V. V. Ryazanov, Phys. Rev. В 70, 144505 (2004).

204. Т. Kontos, M. Aprili, J. Lesueur, F. Genet, B. Stepanidis and R. Boursier, Phys. Rev. Lett. 89, 137007 (2002).

205. V. V. Ryazanov, V. A. Oboznov, A. V. Veretennikov and A. Yu. Rusanov, Phys. Rev. В 65, 020501 (2001).

206. С. E. Коршунов, Письма ЖЭТФ, 41, 216 (1985).

207. S. Е. Korshunov, J. Phys. С 19, 4427 (1986).

208. D. H. Lee and G. Grinstein, Phys. Rev. Lett. 55, 541 (1985).

209. M. E. Fisher, S.-k. Ma and B. G. Nickel, Phys. Rev. Lett. 29, 917 (1972).

210. L. B. Ioffe and M. V. Feigel'man, Phys. Rev. В 66, 224503 (2002).

211. В. Dougot, M. V. Feigel'man and L. B. Ioffe, Phys. Rev. Lett. 90, 107003 (2003).

212. R. H. Swendsen, Phys. Rev. Lett. 49, 1302 (1982).

213. E. Domany, M. Schick and R. Swendsen, Phys. Rev. Lett. 52, 15351984).

214. J. E. van Himbergen, Phys. Rev. Lett. 53, 5 (1984).

215. A. Jonsson, P. Minnhagen and M. Nylen, Phys. Rev. Lett. 70, 1327 (1993).

216. J. M. Caillol and D. Levesque, Phys. Rev. В 33, 499 (1986).

217. P. Minnhagen, Phys. Rev. Lett. 54, 2351 (1985); Phys. Rev. В 32, 30881985).

218. P. Minnhagen and M. Wallin, Phys. Rev. В 36, 5620 (1987); Phys. Rev. В 40, 5109 (1989).

219. J; M. Thijssen and H. J. F. Knops, Phys. Rev. В 38, 9080 (1988).

220. Y. Levin, X.-j. Li and M. E. Fisher, Phys. Rev. Lett. 73, 2716 (1994).

221. А. А. Мигдал, ЖЭТФ 69, 457 (.1975)

222. L. P. Kadanoff, Ann. Phys. 100, 359 (1976).

223. C. R. Askew et al., Сотр. Phys. Comm. 42, 21 (1986).

224. I. Fijita, M. Nakahara, T. Ohmi and T. Tsuneto, Prog. Theor. Phys. 64, 396 (1980).

225. П. H. Брусов и В. H. Попов, ЖЭТФ 80, 1564 (1981).

226. Р. N. Brusov and V. N. Popov, Phys. Lett. 87A, 472 (1982).

227. С. E. Коршунов, ЖЭТФ 89, 531 (1985).

228. A. Sachrajda, R. F. Harris-Lowe, J. P. Harrison, R. R. Turkington and J. G. Daunt, Phys. Rev. Lett. 55, 1602 (1985).

229. J. G. Daunt, R. F. Harris-Lowe, J. P. Harrison, A. Sachrajda, S. Steel, R. R. Turkington and P. Zawadski, J. Low Temp. Phys. 70, 547 (1988).

230. J. C. Davis, A. Amar, J. P. Pekola and R. E. Packard, Phys. Rev. Lett. 60, 302 (1988).

231. M. R. Freeman, R. S. Germain, E. V. Thuneberg and R. G. Richardson, Phys. Rev. Lett. 60, 596 (1988).

232. M. R. Freeman and R. C. Richardson, Phys. Rev. В 41, 11 Oil (1990).

233. J. Xu and В. C. Crooker, Phys. Rev. Lett. 65, 3005 (1990).

234. X. W. Wang and F. M. Gasparini, Phys. Rev. В 34, 4916 (1986).

235. D. L. Stein and M. C. Cross, Phys. Rev. Lett. 42, 504 (1979).

236. Г. E. Воловик и В. П. Минеев, ЖЭТФ 72, 2256 (1977).

237. А. М. Polyakov, Phys. Lett. 59В, 79 (1975).

238. С. Б. Хохлачёв, ЖЭТФ 70, 265 (1976).

239. Z. Tesanovic, Phys. Lett. 100А, 158 (1984).

240. H. Kawamura, Phys. Rev. Lett. 82, 964 (1999).

241. A. J. Leggett, Rev. Mod. Phys. 47, 331 (1975).

242. В. П. Минеев, УФН 139, 303 (1983).

243. A. J. Leggett, Ann. Phys. 85, 11 (1974).

244. P. Azaria, B. Delamotte and D. Mouhanna, Phys. Rev. Lett. 68, 1762 (1992).

245. P. Azaria, B. Delamotte, T. Jolicoeur and D. Mouhanna, Phys. Rev. В 45, 12 612 (1992).

246. Т. Nattermann, S. Scheidl, S. E. Korshunov and M. S. Li, J. Physique I 5, 565 (1995).

247. M. G. Forrester, H. J. Lee, M. Tinkham and C. J. Lobb, Phys. Rev. В 37, R5966 (1988).

248. M. G. Forrester, S. P. Benz and C. J. Lobb, Phys. Rev. В 41, 8749 (1990).

249. A. Chakrabarty and C. Dasgupta, Phys. Rev. В 37, 7557 (1988).

250. M. P. A. Fisher, T. A. Tokuyasu and A. P. Young, Phys. Rev. Lett. 66, 2931 (1991).

251. D. R. Nelson, Phys. Rev. В 27, 2902 (1983).

252. S. E. Korshunov, Phys. Rev. В 46, 6615 (1992).

253. M. S. Li and M. Cieplak, Phys. Lett. A 184, 223 (1994).

254. S. E. Korshunov and T. Nattermann, Phys. Rev. В 53, 2746 (1996).

255. S. E. Korshunov, Phys. Rev. В 48, 1124 (1993).

256. S. E. Korshunov and T. Nattermann, Physica В 222, 280 (1996).

257. В. Derrida, Phys. Rev. Lett. 45, 79 (1980); Phys. Rev. В 24, 2613 (1982).

258. L.-H. Tang, Phys. Rev. В 54, 3350 (1996).

259. M.-C. Cha and H. A. Fertig, Phys. Rev. Lett. 74, 4867 (1995).

260. D. Sherington and S. Kirkpatrick, Phys. Rev. Lett. 35, 1762 (1975).

261. S. F. Edwards and.P. W. Anderson, J. Phys. F 5, 965 (1975).

262. M. Mezard, G. Parisi and M. A. Virasoro, Spin glass theory and beyond (World Scientific, Singapore, 1987).

263. Y. Ozeki and H. Nishimori, J. Phys. A 26, 3399 (1993).

264. S. E. Korshunov, Helv. Phys. Acta 65, 492 (1992).

265. C. Mudry and X.-G. Wen, Nucl. Phys. В 549, 613 (1997).

266. S. Scheidl, Phys. Rev. В 55, 457 (1997).

267. D. Carpentier and P. Le Doussal, Phys. Rev. Lett. 81, 2558 (1998).

268. D„. Carpentier and P. Le Doussal, Nucl. Phys. В 588, 565 (2000).

269. J. Mancourt and D. R. Grempel, Phys. Rev. В 56, 2572 (1997).

270. P. Gupta and S. Teitel, Phys. Rev. Lett. 82, 5313 (1999).

271. Y. Imry and S.-K. Ma, Phys. Rev. Lett. 35, 1399 (1975).

272. K. Binder, Z. Phys. 50, 343 (1983).

273. M. Aizenman and J. Wehr, Phys. Rev. Lett. 62, 2503 (1989).

274. K. Hui and N. Berker, Phys. Rev. Lett. 62, 2507 (1989).

275. R. Savit, Phys. Rev. В 17, 1340 (1978).

276. P. R. Thomas and M. Stone, Nucl. Phys. В 144, 513 (1978).

277. С. Dasgupta and В. I. Halperin, Phys. Rev. Lett. 47, 1556 (1981).

278. G. Williams, Phys. Rev. Lett. 59, 1926 (1987).

279. S. R. Shenoy, Phys. Rev. В 40, 5056 (1989).

280. F. Lund, Phys. Rev. В 41, 155 (1990).

281. С. S. O'Hern, Т. C. Lubensky and J. Toner, Phys. Rev. Lett. 83, 2475 (1999).

282. C. Deutsch and S. Doniach, Phys. Rev. В 29, 2724 (1984).

283. G. Blatter, M. V. Feigel'man, V. B. Geshkenbein, A. I. Larkin and V. M. Vinokur, Rev. Mod. Phys. 66, 1125 (1994).

284. J. M. Triscone, 0. Fischer, O. Brunner, L. Antognazza, A. D. Kent and M. G. Karkut, Phys. Rev. Lett. 64, 804 (1990).

285. Q. Li, X. X. Xi, X. D. Wu, A. Inam, S. Vadlamannati, W. L. Mclean, T. Venkatesan, R. Ramesh, D.M. Hwang, J. A. Martinez and L. Nazar, Phys. Rev. Lett. 64, 3086 (1990).

286. D. H. Lowndes, D. P. Norton and J. D. Budai, Phys. Rev. Lett. 65, 1160 (1990).

287. S. E. Korshunov, Europhys. Lett., 11 757 (1990).

288. G. Garneiro, Phys. Rev. В 45, 2391 (1992).

289. S. N. Artemenko and A. N. Kruglov, Phys. Lett. A 43, 485 (1990).

290. M. V. Feigel'man, V. B. Geshkenbein and A. I. Larkin, Physica С 167, 177 (1990).

291. A. Buzdin and D. Feinberg, J. Phys. (Paris) 51, 1971 (1990).

292. J. R. Clem, Phys. Rev. В 43, 7837 (1991).

293. В. Horovitz, Phys. Rev. Lett. 67, 378 (1991).

294. B. Horovitz, Phys. Rev. В 45, 12 632 (1992).

295. В. Horovitz, Phys. Rev. В 47, 5947 (1993).

296. M. Dzierzawa, M. Zamora, D. Baeriswyl and X. Banoud, Phys. Rev. Lett. 77, 3897 (1996).

297. В. I. Ivlev, N. В. Kopnin and V. L. Pokrovsky, J. Low Temp.Phys. 80, 187 (1990).

298. S. Chakravarty, В. I. Ivlev and Yu. N. Ovchinnikov, Phys. Rev. Lett. 64 3178 (1990).

299. S. E. Korshunov, Europhys. Lett. 15, 771 (1991).

300. L. V. Mikheev and E. B. Kolomeisky, Phys. Rev. В 43, 10 431 (1991).

301. В. JI. Покровский и A. JI. Талапов, ЖЭТФ 78, 269 (1978).

302. E. H. Brandt, J. Low. Temp. Phys. 26, 735 (1977).

303. G. Blatter, В. I. Ivlev and J. Rhyner, Phys. Rev. Lett. 66, 2392 (1991).

304. B. Horovitz, Phys. Rev. В 47, 5964 (1993).

305. S. Hikami and T. Tsuneta, Prog. Theor. Phys. 63, 387 (1980).

306. W. E. Lawrence and S. Doniach, in Proceedings of the Twelfth International Conference on Low Temperature Physics, Kyoto, 1970, edited by E. Kanda (Keigaka, Tokyo, 1971), p. 361.313." Л: H. Булаевский, УФНП6; 449'(1975).

307. S. E. Korshunov and A. I. Larkin, Phys. Rev. В 46, 6395 (1992).

308. L. Bulaevsky and J. R. Clem, Phys. Rev. В 44, 10 234 (1991).

309. L. I. Glazman and A. E. Koshelev, Phys. Rev. В 43, 2835 (1991).

310. J. P. Rodriguez, Phys. Rev. В 62, 9117 (2000).

311. D. Carpentier, P. Le Doussal and T. Giamarchi, Europhys. Lett. 35, 379 (1996).

312. A. Golub and B. Horowitz, Europhys. Lett. 39, 79 (1997).