Магнитное упорядочение и фазовые переходы в слоистых треугольных антиферромагнетиках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Бондаренко Ирина Николаевна

I

Магнитное упорядочение и фазовые переходы в слоистых треугольных антиферромагнетиках

{01.04.07 - физика конденсированного состояния)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск 2003 год.

Работа выполнена в Красноярском государственном педагогическом университете и Институте физики им. Л.В.Киренского СО РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Гехт Р.С.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор (Институт физики им. Л.В.Киренского СО РАН)

Вальков В.В.

доктор физико-математических наук, профессор Шавров В.Г.

(Институт радиотехники и электроники РАН, г.Москва)

Ведущая организация - Институт физики металлов УрО РАН, г. Екатеринбург

Защита состоится 2003 г. в часов на заседании диссер-

тационного совета Д.003.055.02 по защитам диссертаций при Институте физики им. Л.В.Киренского СО РАН по адресу: Красноярск, Академгородок, ИФ СО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФ СО РАН.

Автореферат разослан

2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

(Н?

Аплеснин С.С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Магнитные состояния и фазовые переходы всегда были объектом несомненного научного интереса. В последнее время особое внимание уделяется системам с фрустрациями, поскольку они зачастую проявляют поведение, существенно отличное от поведения соответствующих нефрустрированных систем. Причина этого - в сильном вырождении в спиновой подсистеме, эффективном ослаблении связи, и, как следствие, высокой чувствительности к различным возмущающим факторам - дополнительным взаимодействиям, слабым полям, тепловым и квантовым флуктуациям, анизотропии, дефектам и деформациям. Включение этих факторов "рождает" большое разнообразие фаз в таких магнетиках, чем, в том числе, обусловлен неослабевающий интерес к ним. В результате теоретических и экспериментальных исследований многих авторов установлено, что вследствие фрустраций в ряде систем возникают непериодические состояния, модулированные состояния с дальним и ближним порядком, вихревые состояния с экспоненциальным спадом корреляций, состояния типа спиновой жидкости, состояния с непрерывной и дискретной симметрией и др. Изучение фрустрированных магнетиков актуализировано также в связи с проблемой высокотемпературной сверхпроводимости, где из-за эффектов фрустраций возможно спиновое нематическое состояние. Таким образом, вопрос о влиянии возмущений различной природы на такие системы имеет принципиальное значение.

К настоящему моменту фрустрированные антиферромагнетики изучены достаточно хорошо, однако многие аспекты теории слоистых антиферромагнетиков с треугольной геометрией остаются невыясненными. Предлагаемая работа призвана частично восполнить эти пробелы.

Магнитное поле во фрустрированных системах вызывает много интересных эффектов. Часто эти эффекты можно объяснить с классических позиций. Однако в системах с нетривиальным непрерывным вырождением, как показали Шиба и Никуни, существенно влияние квантовых флуктуаций. Последние способны не только снять имеющееся вырождение, но и могут в результате конкуренции с другими возмущающими факторами изменить сам характер структуры.

В большинстве треугольных антиферромагнетиков квантовые флуктуации не меняют в магнитном поле состояние с непланарной спиновой конфигурацией. Однако в гексагональных соединениях УХг (X — Вт, С1, /), где соседние слои V2 1 отделены двумя слоями Х~, межплоскостной обмен на два порядка меньше внутриплоскостного, и поэтому энергия нулевых колебаний может превысить энергцю взаимодействия между слоями. Это может привести к изменению структуры. Тем самым изучение фаз в таких магнетиках при учете квантовых флуктуаций является важной и перспективной задачей. Теоретический интерес к проблеме ] —к - фазовой диаграммы квазидвумерного гексагонального магнетика с учетом квантовых поправок сформирован кроме этого еще и тем, что к настоящему времени известны предельные случаи этой диаграммы. Чубуков и Голосов определили фазы во внешнем магнитном поле в чисто двумерном треугольном антиферромагнетике = 0) с учетом квантовых эффектов. Оказалось, что в таких соединениях при малых полях взамен классической непланарной зонтичной структуры квантовые флуктуации выделяют 4 планарных структуры. Очевидно, что при малых з эти фазы должны оставаться стабильными, следовательно, того же эффекта выделения планарных структур следует ожидать и в йвазидвумерных системах. В другом предельном случае, в отсутствие магнитного поля, основным состоянием в слоистом треугольном антиферромагнетике является классическая 120 - градусная структура. Таким образом, исследование влияния квантовых флуктуаций на основное состояние спиновой подсистемы квазидвумерного гексагонального антиферромагнетика в магнитном поле представляется весьма

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С Петербург 09 ЪО^ия 'Щ

актуальным.

Упорядочение в антиферромагнетиках с непрерывными (ХУ или гейзенберговскими) спинами обычно неелевского типа. При этом фрустрированные системы с малым координационным числом наиболее вероятны для обнаружения состояний с необычными свойствами. По этой причине в последние несколько лет наблюдается весьма активный интерес исследователей к-сосдинениям, имеющим решетку Кагоме (координационное число 4). Примерами систем, магнитная подсистема которых имеет решетку Кагоме, являются соединения с минералогическим названием ярозиты: МКез(0Н)6(504)г (М = ЯзО, Л/а, К, ЯЬ, Ад, N114, Т1, РЬ, Ид), а также их хромовые аналоги. Вследствие особой геометрии решетки - треугольники в слое чередуются с шестиугольниками - спиновые системы сильно фрустрированы. С понижением температуры процесс упорядочения происходит в них гораздо медленнее по сравнению даже с обычными фрустрированными системами. Данное обстоятельство обусловлено тем фактом, что в системах с меньшим, чем, например, в треугольных антиферромагнетиках, координационным числом возможны в классическом пределе не только состояния с нетривиальным глобальным вырождением, но и локально вырожденные состояния. В результате, при взаимодействии между ближайшими спинами фазовый переход в магнитоупорядоченное состояние не реализуется ни при каких конечных значениях температуры. Дополнительные взаимодействия между следующими за ближайшими спинами частично снимают вырождение и могут привести к возникновению фазового перехода при отличных от нуля температурах. Тем не менее, поскольку эффекты фрустраций все еще имеют место, процесс упорядочения и стабилизации структур в отличие от нефрустрированных систем замедлен.

С экспериментальной и физической точки зрения большой интерес представляют системы с гейзенберговскими или ХУ - спинами, где в отличие от чисто изинговских возможно проявление новых эффектов. К настоящему моменту неизученным остается критическое поведение в 2£> - ХУ-АФ системах с решеткой Кагоме - температуры переходов в неупорядоченное состояние, критические показатели,термодинамических величин и др. Кроме того, большой интерес представляет вопрос о возможных последовательных переходах, обусловленных нарушением как дискретной, так и непрерывной симметрий. При различных знаках второго обменного взаимодействия может иметь место и различное взаимодействие между двумя основными типами топологических возбуждений -- доменными стенками и вихрями. Поэтому не исключено, что в отличие от антиферромагнетиков с треугольной решеткой, на решетке Кагоме возможна'промежуточная фаза, в которой трансляционный спиновый порядок исчезает, но остается киральный порядок.

Актуальными в последние несколько лет являются также исследования специфических состояний типа квантовой жидкости в слоистых и двумерных спиновых системах. Интерес к изучению свойств двухслойных квантовых антиферромагнетиков был обусловлен в значительной степени открытием высокотемпературной сверхпроводимости в слоистых соединениях меди'(/,<¡2-15'?"а-СнО^, УВ'ачСи^О^+х, др.), а также открытием в германатах и силикатах (СаСиОе2Ое, Cv.Ge.O3. (УО^РгО?) спин-синглетного основного состояния с энергетической щелью (1.5-2 эВ). Кроме того, имеются многочисленные данные по слоистым диэлектрикам, которые хорошо описываются как квантовые гейзенберговские антиферромагнетики .

В настоящее время, по-видимому, общепризнано, что в Я — 1/2 гейзенберговских антиферромагнетиках с квадратной решеткой основным состоянием при взаимодействии ближайших соседей является неелевское состояние с дальним порядком. Чтобы увеличить эффект квантовых флуктуаций, приводящих к разрушению магнитного порядка в основном состоянии, исследовались спиновые системы с фрустрациями. В треугольных чисто двумерных гейзенберговских системах со спином 5 = 1/2 имеется дальний порядок при

Т — 0, причем намагниченность вдвое меньше классической и имеет практически ту же ве-•*« - •

личину, что и для квадратных (Bernu, Singh, Chubukov, Sachdev, Zang и др.). Вместе с тем для бислойных квадратных систем известно (Чубуков, Chitva, Wei и др.), что взаимодействие между слоями может привести при определенных соотношениях констант внутри-и межплоскостного обмена к переходу в квантово неупорядоченное состояние с полным квантовым сокращением спина. При этом для гейзенберговских систем с 5 = 1/2 соседние спины из двух слоев образуют спиновые синглеты, отделенные от триплетных состояний щелью. Имеются также экспериментальные образцы с двумя слоями антиферромагнетика, образующие в слое треугольную решетку (структура твердого Не3, адсорбированного на подложке (Godfrin)). В системах с фрустрациями эффекты квантовых флуктуаций, приводящие к разрушению магнитного порядка в основном состоянии, могут быть дополнительно усилены, и упорядочение в таких системах может не наблюдаться вовсе. Тем не менее исследования возможности реализации квантово неупорядоченного синглетного состояния в бислойных треугольных системах в литературе нет.

Цели исследования В данной диссертационной работе предполагается исследовать влияние конкурирующих обменных взаимодействий, квантовых и теп ловых флуктуаций, а также дополнительных фрустраций (решетка Кагоме) на магнитные состояния и фазовые переходы в слоистых и чисто двумерных треугольных антиферромагнетиках, являющихся типичными фрустрироваиными системами. В том числе.

1. Исследовать влияние квантовых и тепловых флуктуаций на спиновое упорядочение изотропного квазидвумерного гексагонального антиферромагнетика (соединения типа VX2) в магнитном поле.

2. На основе классического метода Монте-Карло исследовать критическое поведение двумерных XY - магнетиков с решеткой Кагоме (ярозиты) при учете обменного взаимодействия во второй координационной сфере и провести скейлинговый анализ термодинамических величин с нахождением критических индексов.

3. Изучить возможность реализации квантово-неупорядоченного синглетного состояния в бислойном гейзенберговском антиферромагнетике с треугольной решеткой и проанализировать поведение термодинамических величин при изменении внешних условий.

Научная новизна. С учетом квантовых поправок получена jS-h фазовая диаграмма изотропных квазидвумерных гексагональных антиферромагнетиков (типа VX2, X — Вт, С1 Установлено, что в таких соединениях квантовые флуктуации существенно изменяют основное состояние во внешнем магнитном поле: взамен классической непланарной зонтичной структуры возникает в зависимости от j и h 7 различных спиновых конфигураций - 5 планарных, коллинеарная и зонтичная, причем в области малых полей, где влияние квантовых флуктуаций наиболее существенно, реализуются^ планарные и коллинеарная структуры, вблизи поля насыщения реализуется зонтичная структура. Таким образом, установлено, что аналогично чисто двумерным треугольным антиферромагнетикам квантовые флуктуации отбирают состояния с планарной конфигурацией спинов. На основе развитой теории рассчитано, что критические поля соединения VBr2 лежат в диапазоне 58 - 251 Тл.

На основе классического метода Монте-Карло изучено не освещенное ранее критическое поведение 2d - систем с решеткой Кагоме (соединения типа ярозитов) в ху - модели. Установлено, что учет второго обменного интеграла снимает непрерывное вырождение структур, вызывает упорядочение при низких температурах и фазовый переход в неупорядоченное состояние при некоторой отличной от нуля температуре На основе полученной tc ~ j - фазовой диаграммы предсказана величина первого обменного интеграла

между ионами Рег+ в соединении КРез(0Н)б(304)а. Предполагаемая промежуточная фаза, в которой огсутствует спиновое упорядочение, но остается киральное, не обнаружена - разрушение обоих типов упорядочений в пределах погрешности вычислений происходят одновременно. С помощью скейлингового анализа найдены критические индексы спиновых и киральных термодинамических величин. Установлено, что критические индексы киральных величин совпадают с индексами 2Л - модели Изинга, что обусловлено изин-говской симметрией киральной подсистемы; некоторые критические индексы спиновых параметров близки к показателям Д — ЗО — ХУ - систем.

Исследована возможность перехода в состояние квантовой спиновой жидкости в гейзенберговских 5=1/2 двухслойных треугольных антиферромагнетиках. С учетом квантовых поправок найдено отношение констант внутри- и межплоскостного обмена {у), при котором в системе происходит переход из классического 120-градусного состояния в квантово-неупорядоченное синглетное состояние с нулевой намагниченностью на узле. Установлено, что в отличие от аналогичной системы с квадратной решеткой область значений ], в которой реализуется упорядоченное 120° -. состояние, из-за эффектов фрустраций на порядок меньше, а квантовое сокращение спина в упорядоченной фазе составляет в зависимости от j 50 —100%. Термодинамические величины в 120° - фазе обнаруживают поведение, в целом аналогичное поведению в двухслойных квадратных решетках. Отличия проявляются в поведении щели в спектре квазичастиц в магнитном поле. Установлено, что вблизи фазового перехода вклад продольных спиновых флуктуаций в термодинамические величины, не учитываемый при спин-волновом описании, соизмерим со вкладом поперечных флуктуаций. Для малых полей к построена фазовая диаграмма, определяющая области существования 120° - и синглетной фаз.

Автор выносит на защиту:

1. Фазовую диаграмму спиновой подсистемы изотропного гексагонального антиферромагнетика в магнитном поле, полученную с учетом квантовых поправок. Рассчитанные на основе развитой теории критические поля и скачки намагниченности в точках фазовых переходов 1 рода соединения УВгг.

2. Полевые интервалы устойчивости фаз гексагонального антиферромагнетика при отличной от нуля температуре.

3. Установленное на основе классического метода Монте-Карло снятие непрерывного вырождения спиновых структур в двумерных антиферромагнитных XV системах с решеткой Кагоме (ярозиты) при учете второго обменного интеграла и возникновение упорядочения при низких температурах. Температуры перехода с нарушением трансляционной спиновой и киральной симметрий; Ъ - ) - фазовую диаграмму и рассчитанную на ее основе величину первого обменного интеграла в соединении

КГез (ОН)б (Э04) 2 •

4. Критические индексы спиновых и киральных термодинамических параметров 20--ХУ - АФ - решетки Кагоме, найденные с помощью скейлингового анализа.

5. Наличие специфической неупорядоченной фазы типа квантовой спиновой жидкости с полным квантовым сокращением спина в бислойной гейзенберговской 5=1/2 антиферромагнитной системе с треугольной решеткой. Величину отношения констант внутри- и межплоскостного обмена ], при котором в системе происходит переход из 120° - классического состояния в синглетное состояние с нулевой намагниченностью. 50 - процентное и выше в зависимости от J квантовое сокращение спина в упорядоченной 120° - фазе.

6. Найденное с учетом квантовых поправок поведение термодинамических величин в зависимости от 3 б бислойной треугольной системе (корреляционных функций в обеих фазах, намагниченности, восприимчивости и др.). Соизмеримость вклада не учитываемых при спин-волновом описании продольных колебаний по сравнению со вкладом поперечных в окрестности фазового перехода.

7. Полученную с учетом квантовых флуктуаций фазовую ] — Н - диаграмму бислой-ного треугольного антиферромагнетика в слабом магнитном поле, определяющую области устойчивости 120° - и синглетной фаз.

Научная и практическая ценность работы. Научная значимость работы определяется тем, что в ней показана возможность чисто квантового поведения со специфическим свойствами в двухслойных антиферромагнетиках.

Апробация работы. Результаты работы излагались на Международном симпозиуме по спиновым волнам (С.-Петербург, 1998 г.), на Международных зимних школах физиков-теоретиков "Коуровка-98", "Коуровка-2000" ; двух семинарах в Институте физики им. Л.В. Киренского СО РАН в г. Красноярске.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 печатных работ (3 статьи в центральных изданиях и 7 тезисов конференций).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Материал изложен на 133 страницах текста, содержит 39 рисунков, 5 таблиц и библиографию из 126 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

*

В первой главе "Магнитные состояния и фазовые переходы в треугольных антиферромагнетиках" приведен краткий обзор ранних публикаций, посвященных типам магнитного упорядочения в различных треугольных антиферромагнетиках. Треугольные антиферромагнетики являются типичными фрустрированными системами. Эффекты фрустраций возникают в случае, когда пара ближайших магнитных моментов упорядочивается не в соответствии с минимумом обменной энергии пары моментов, а лишь в соответствии с глобальным минимумом обменной энергии всей системы моментов. При этом потенциальная яма, в которой находится каждый спин, оказывается мельче, а эффективное взаимодействие - слабее. По этой причине такие системы оказываются весьма Чувствительными к различным возмущениям - квантовым и тепловым флуктуациям, дополнительным взаимодействиям и т.п., - и в большинстве случаев обнаруживают в отличие от аналогичных нефрустрированных систем новую физику. В частности, наряду с обычным 120-градусным упорядочением или скошенными угловыми фазами в системах со слабым дипольным взаимодействием наблюдаются модулированные фазы, несоразмерные периоду кристаллической решетки. В целом к настоящему моменту фазы треугольных антиферромагнетиков изучены в условиях самых разных моделей довольно полно. Известно, например, что XV - системы в отличие от гейзенберговских обладают кроме спиновой симметрии еще и дискретной киральной симметрией, и в них также возможны промежуточные фазы с отсутствием спинового порядка, но с наличием кирального. В чисто двумерных и одномерных изотропных системах при отличных от нуля температурах наличие спина на узле запрещено теоремой Мермина-Вагнера (1966 г.). Как показали Шиба и Никуни, в системах с нетривиальным глобальным вырождением квантовые

флуктуации отбирают взамен непланарных структур планарные.

Сделан вывод о недостаточной изученности квазидвумерных (слоистых) треугольных антиферромагнетиков, в частности, упорядочение гексагональных квазидвумерных изотропных соединений типа УХг с учетом квантовых флуктуаций, критическое поведение 2О - ХУ систем с решеткой Кагоме (ярозиты), возможность синглетного основного состояния с нулевой намагниченностью в бислойных треугольных системах (твердый Не3).

Во второй главе" Спиновое упорядочение квазидвумерного гексагонального антиферромагнетика типа УХг в магнитном поле" исследовалось влияние квантовых флуктуаций на основное состояние в магнитном поле магнитной подсистемы гексагональных соединений типа УВг2, УС¡2- Как уже упоминалось, в этих соединениях межплоскостной обмен 3' > 0 на два порядка меньше внутриплоскостного 7 > 0, и потому энергия нулевых колебаний может превысить энергию взаимодействия между слоями и изменить основное состояние, в отличие от гексагональных антиферромагнетиков с большим межплоскостным обменом, в которых квантовые флуктуации не меняют во внешнем поле состояние с непланарной зонтичной конфигурацией спинов.

/ и

чч»

N

V

г

Рис 1: Спиновые конфигурации: а - непланарная зонтичная структура; 6, <1, е, /, д, Л, г - планарные конфигурации; с - коллинеарн&я фаза.

Системы УХ2 можно описывать гейзенберговскими спинами . g-фaктop ионов ванадия изотропен. Гамильтониан (поле приложено вдоль с-оси (ось г), < г,] > - пары ближайших

спинов в п-ом слое): и 8тЗгп_(.1 —/-'Я •

т ч

В двумерных гейзенберговских системах (./' — 0) спиновые структуры с минимальной энергией удовлетворяют условию 81+82 I Б л = где в, - спин г-ой подрешетки. Полярный угол наклона одной из подрешеток произволен, два других зависят от поля и углов неэквивалентным образом. Таким образом, система имеет нетривиальное непрерывное вырождение, при котором, как показали Шиба и Никуни, существенно влияние квантовых флуктуаций. Последние могут не только снять имеющееся вырождение, но и в результате конкуренции с другими взаимодействиями изменить сам характер структуры.

Спиновые конфигурации. В треугольных магнетиках с антиферромагнитным взаимодействием между слоями основное состояние состоит из шести подрешеток. Энергия шестиподрешеточных структур с N спинами на узлах записывается при больших Я в виде: ^ = JJ2a>|3 + |.7' 8а8а+з - ^ Б*. Уравнения для равновесного состояния дЕ0 дЕп

—— =0,--=0 имеют решения с планарной и непланарной конфигурацией спинов. В

два дч>а

качестве основного состояния возможны девять структур (рис.1). Классические энергии этих структур при j ф 0 очень близки, однако наименьшую энергию имеет непланарная конфигурация а (зонтичная).

Таким образом, межплоскостное взаимодействие снимает уз-о 1

непрерывное вырождение структур, имеющееся при 3' = 0, и отбирает непланарную зонтичную структуру в качестве основного состояния. В то же время известно (СЬиЬикоу, Со1оэоу), что в чисто двумерных треугольных антиферромагнетиках квантовые флуктуации, наоборот, из всех возможных вырожденных состояний отбирают состояния с планарной конфигурацией спинов. Поэтому мы ожидали, что при ] < 1 квантовые поправки изменят тонкий баланс полной энергии в пользу планарных структур (по крайней мере, вдали от поля перехода в однородное состояние), ибо если при /' = 0 основным состоянием являются планарные структуры, то те же состояния должны оставаться основными и при слабом межплоскостном обмене.

Влияние квантовых флуктуаций. Для учета квантовых флуктуаций осуществляется переход в локальную систему координат (£,е,С)! в которой ось квантования (ось г) выбрана вдоль направления спина в данной спиновой конфигурации. Для описания спиновых отклонений от равновесных классических состояний вводится шесть типов бозев-

ских операторов ' а,„ — °-ка ехр(Чкг,п). Исполь-

зуется преобразование Голштейна - Примакова в кубическом приближении по а,„, так что исходный гамильтониан представляется в виде:

п

7Г ■ Здесь

, как и должно быть, обращается в нуль для равновесных классических конфигураций. При диагонализации мы полагали 7 = 0. Спин - волновой спектр в энергии нулевых колебаний Е= -3 JSN + ^ 3 ша(к) находился аналитически и численно. При Н — 0 один и тот же для всех структур частотный спектр е(1с) находился аналитически. Спектр имеет трехкратное вырождение с* = 1 (в УВгг 3 = 16К, что соответствует частоте ш — 2,2 ТГц), возникающее при к = (27г/3,2эт/3-\/3), а также при к = (0,4тг/3\/3). В симметричных точках зоны Бриллюэна Г, К е* - 0 (голдстоуновский бозон). В нену-

Рцс 2: Нормированная энергия основного состояния спиновых конфигураций при — 0.1. е от /1 измерена относительно классической энергии зонтичной структуры о.

левом поле вырождение спектра остается при тех же к и при том же значении е* — 1. При этом нижние ветви планарных конфигураций оказываются в подавляющем числе случаев ниже соответствующей ветви зонтичной структуры ; кроме того, в существенных областях к и верхние ветви планарных конфигураций лежат ниже ветвей зонтичной. Поэтому можно ожидать, что энергия нулевых колебаний планарных конфигураций будет меньше непланаряой.

На рисунке 2 приведена полная энергия различных структур при jS = 0.1 с учетов квантовых поправок. Видно, что зонтичная структура а является наинизшей по энергии только при достаточно больших полях ; в области малых полей реализуются планарные структуры / и h. Анализ подобных диаграмм для других jS привел к jS - h - фазовой диаграмме, приведенной на рис.3. При jS — 0 она переходит в фазовую диаграмму двумерного треугольного антиферромагнетика, найденную Чубуковым и Голосовым ; при h = 0 имеем классическую 120° - структуру (предельный вид / - конфигурации). В рассматриваемых гейзенберговских системах типа VX% в отличие от систем с анизотропией Д легкоплоскостного типа (Shiba, Nikuni) зонтичная конфигурация не реализуется в области слабых полей. Таким образом, влияние квантовых эффектов наиболее сильно в области слабых полей, и лишь вблизи поля перехода в однородное состояние, где влияние квантовых флуктуаций мало, а влияние межплоскостной обменной связи сравнительно велико, стабилизируется зонтичная структура.

В ненулевом поле квантовые эффекты и межплоскостное взаимодействие модифицируют структуры. Мы вычислили квантовые поправки к углам наклона равновесных состояний. Полагая = 0, получим уравнения для ва, ¡ре, которые в случае планарных конфигураций имеют вид, в первом порядке по 1/S аналогичный классическим уравнениям на равновесные углы, но с перенормированными значениями Jaiз(0) : Jap{0) — Jap(0) - ^«/3- Результаты вычислений для угла $ в состоянии с конфигурацией b и для углов 9, х в состоянии с конфигурацией d показывают, что коллинеарная структура с возникает в промежутке ме-1 2 0.018 t 1 0.043 „

жду /12 = - - --— и Лз = - + —г— - Видно отсюда,

и h 3 27 ¿> о Ь

1 что коллинеарная фаза стабилизируется как квантовыми

флуктуациями, так и межплоскостным взаимодействием, причем последнее увеличивает интервал фазы только в область h < 1/3.

В соединениях VX-2 ионы V2+ имеют спин S = 3/2, а обменные параметры, например, для VBri : J = 1бК, J' — 0.2К и, следовательно, jS = 0.019. Таким образом, изменение структуры можно ожидать при hi = 0.18, Л2 = 0.31, кг = 0.36, /г4 = 0.58 и hb - 0.78 (рис.3), что соответствует для VBr-2 (^-фактор равен 2) полям Hi = 58 Тл, Я2 = 100 Тл, Я3 = 116 Тл, Я4 = 187 Тл и Я5 = 251 Тл. Такого порядка Я достижимы в установках с импульсными полями. Переход во всех критических точках в отличие от /13 не является непрерывным. Скачки

ij/uAio, ДMi = ijMo, ДМ4 = i -

Рис 3: JS — Л фазовая диаграмма основного состояния (1/5 - приближение).

намагниченности при переходах: АМ\ =

I зМ0,

!" (1-h.l) (3fc| + 5)

ДМ5 = — ——"V ч—» —-]Мо, где Мо — ив - намагниченность насыщения. Для УВг2 54

ДМ1/М0 = 0.76 • 10~3, ДМ2/М0 = 14- Ю-3, ДМ4/М0 = 0.59 ■ Ю-3, АМ5/Мо = 1.3 • 10~3. Мы исследовали также влияние тепловых флуктуаций на устойчивость структур

Вклад от энтропии в свободную энергию

F = Ео - 3JSN + | |>(к) +ТЕ1п I1 ~ ехР (- ~Э)]

находился численно. "Установлено, что температура дополнительно стабилизирует промежуточные по полю фазы и дестабилизирует зонтичную.

В третьей главе "Критическое поведение в антиферромагнитных 2D — XY системах с решеткой Кагоме" изучена возможность фазового перехода по температуре при учете второго обменного интеграла и критические свойства соединений, имеющих решетку Кагоме (ярозиты). Вследствие особой геометрии решетки (рис.4) спиновые системы с решеткой Кагоме сильно фрустрированы. С понижением температуры процесс упорядочения происходит в них гораздо медленнее по сравнению даже с обычными фруст-рированными системами. Известно (Chandra, Coleman, Chalker и др.), что в системах с координационным числом Z < 6 при больших S и учете ближайшего взаимодействия возможны локально вырожденные состояния, при которых положение каждого спина не зависит от окружения; тем самым упорядочение и фазовые переходы отсутствуют при любой конечной температуре (в ярозитах Z = 4, S = 5/2). Учет 2-ого обменного интеграла может привести к фазовому переходу при Т Ф 0 (Harris, Kallin). В измерениях на' ярозитах действительно при Т 0 наблюдается образование треугольных структур в с -плоскости. В ярозитах слои Fe3+, образующих решетку Кагоме, отделены немагнитными ионами S, О, К и ОН, поэтому межплоскостной обмен значительно меньше внутриплос-костного, и системы практически квазидвумерны. В отдельных веществах, например при М = К, спины в слое перпендикулярны с - оси,^то есть ведут себя как XV - спины. Эти экспериментальные факторы определили модель, в которой проводилось исследование: чисто двумерная система (2D), XY - спины, учет .1-го и 2-го обменных интегралов. Гамильтониан (J\ > 0, Jj О 0):

H = J 1 J2]Cs,S1+üa> S, = S(cos0„SHI0,) (1)

1Д1 »Л2

XY-системы в отличие от гейзенберговских имеют дискретную симметрию, поскольку

Рис 4: Рассматриваемая модель.

задаваемый на каждом элементарном треугольнике (плакете) киральный вектор, нор-

2

мальный плоскости решетки, п = —7= (51 х Бг + вг х вз + 8з х Эх), при Т = 0 принимает

3\/3

по модулю значение +1 или -1.

Основное состояние на решетке Кагоме зависит от знака Л. При > 0 элементарная ячейка имеет 3 подрешетки, а киральный вектор знакопостоянен: при J¡ < 0 элементарная ячейка имеет 9 подрешеток, знак кирального вектора чередуется.

В области низких температур проведено аналитическое исследование термодинамических параметров в гармоническом приближении. При 7а > О (3 подрешетки) получено (О

j=0.5

Г-0.5

-E

к „

X "

-, '».»»j

-E

X„'

К К .ГЦ.

itlMii.

Рис 5: Зависимости термодинамических величин по результатам моделирования методом Монте-Карло от температуры £ = Г/Л52 при ] = 0 5 (а) и J = —0.5 (6). Символы о, □, Л, V соответствуют Ь = 12,24,36,48. Пунктир - гармоническое приближение.

и г € одной подрешетке):

Е = -(Л + J2)S2N

ч(Г) =

1 -

2(Л + J2)S2

<S0Sr> = exp {- <(Vo - V,)2) /2] ~ r-"<T>, (2)

!r(Ji + 3 J2)S2'

> (!>(«)) =1-

2(Ji + 3J2)52

При 72 < 0 (9 подрешеток) формулы получаются заменой ./2 на -2./2.

При произвольных температурах процесс магнитного упорядочения на решетке Ка-гоме исследовался с помощью метода Монте-Карло. Результаты моделирования для различных решеток при j = ./г/Л — ±0.5 приведены на рис 5 (энергия е, теплоемкость с, параметры порядка спиновый т, киральный к; восприимчивости спиновая х, киральная Хк)- В области малых Т поведение энергии и параметра к{Т) хорошо описывается гармоническим приближением. Аномалия типа Шоттки в поведении теплоемкости свидетельствует о возможном фазовом переходе. Спиновый и киральный параметры порядка ведут себя сходным образом - разрушается как спиновое, тале и киральное упорядочение, однако априори утверждать равенство температур перехода с разрушением того или иного

типа упорядочения нельзя, исключая возможность промежуточной фазы. Нормирован-

т

ные температуры t = —переходов с разрушением спиновой и киральной симметрий JiS1

- tm и Значительное отличие в поведении спиновой и киральной восприимчивостей обусловлено несколько отличающимися способами вычисления: в виду того, что кираль-ная восприимчивость Хк не является реально измеряемой величиной, мы позволили себе вычислять ее по множеству плакетов одного знака, тем самым избежав размывания максимума из-за знаковой компенсации внутри полного кирального вектора.

Полное описание критического поведения включает в себя установление факта фазового перехода, определение критической температуры tc и критических показателей степенного поведения термодинамических величин в окрестности перехода. Для установления факта фазового перехода мы построили зависимость максимума теплоемкости Стах от размеров решетки In L. Оказалось, что Стах линейно растет с lni, таким образом, в термодинамическом пределе L оо теплоемкость логарифмически расходится. Следовательно, в макросистеме реализуется фазовый переход по температуре 2 рода.

Определение характеристик перехода по параметру к Степенные зависимости для макросистемы fcoo ~ (£* -t)0k , (t < ifc), кх ~ (t - tk)^k~l'k /L, (t > i*) позволяют определить 0k, vk на основании того, что при правильном выборе ffc зависимости для кирального параметра макросистемы в координатах у = In/too, х = In \tk - i| - прямые и до, и после ф.п., причем с наклоном 0к до ф.п., с наклоном 0к~»к- после ф.п. Поведение fcoo(t) в макросистеме определялось из наклона асимптотических прямых зависимости k(t)N от N для различных t: fcoo(t) = tg0(t). Подбор tk осуществлялся так, чтобы зависимости kx{t) в указанных координатах были прямьши в окрестности перехода как»до, так и после tfc. При j — 0.5 прямые с соответствующими наклонами возникают при

tk = 0.5579 ± 0.015, Pk - 0.125 = 1/8, ик = 1.0122 « 1.

Аналогично для ф.п. по параметру ш:

¿та = 0.55 ± 0.015, 0 = 0.1255 ± —, V- 0.7829 ±

0.04 0.01

Другие критические индексы могут быть определены с помощью соотношений подобия. Для спиновых параметров (d — 2):

7 = du - 20 - 1.315, а = 2 - dv = 0.434, rj = 2 - 7/1/ = 0.320 (ss 1/4, ВКТ)

7 1

Аналогично для киральных • 7к — 1.774 ~ -, а*. = -0.024 ~ 0, т\к — 0.247 ~ однако ло-

4 4

скольку погрешности в таких косвенных расчетах сильно возрастают, было предпринято независимое экспериментальное определение индексов.

Температура фазового перехода с нарушением спиновой симметрии определялась также с помощью критерия Березинского - Костерлитца- Таулеса (БКТ), согласно которому переход с нарушением спиновой симметрии происходит в момент, когда показатель степе-йи корреляционной функции 17 становится равен 1/4. Изучалась корреляционная функция g(r) = (cos "Л(фо — Фт)) ~ г-971*»''), позволяющая выделить вклад от непрерывных флуктуа-ций при t < tk и правильно определить tm j вСЛИ ¿тп > tk. Установлено, что зависимости корреляционных функций в координатах (In д(г), 9 In г) являются линейными с наклоном -Щу во всем диапазоне температур (степенное спадание корреляционной функции). Прямая линия с наклоном -1/4 возникает при (анализ д(г))

tBKT = 0 542 ±0.003 (j — 0.5), ¿вкт — 0.733 ± 0.003 (j = -0.5)

Таким образом, в пределах точности вычислений tk = tm = tBKT = tc (Vj), то есть переходы с нарушением спиновой и киральной симметрий происходят одновременно, и промежуточная фаза отсутствует.

Такое же значение tBKT дает анализ размерной зависимости (следствие степенного поведения корреляционной функции) m2 ~ v ■ -??(i) - тангенс угла наклона в прямой

зависимости In m2 от In L при данной t. Полученная таким образом функция jj(t) для j = 0.5 и j = -0.5 пересекает уровень 1/4 в точках (анализ m2 ~ L~v):

tBKT = 0.537 ±0.002 0=0.5), t-BKT = 0-729 ± 0.003 (j = -0.5)

Киральная корреляционная функция ведет себя как const - в упорядоченной фазе наблюдается дальний киральный порядок.

Скейлинговый анализ. Экспериментальное определение, некоторых критических индексов производилось с по. мощью так называемого скейлийгового анализа. Например, критический индекс теплоемкости а определялся с помощью следующей процедуры. Степенное поведение теплоемкости в окрестности перехода в макросистеме С«, ~ (f - tc)~a (здесь t > tc) в координатах In С, ln(t-íc) выглядйт как прямая с наклоном -а, зависимости для конечных решеток асимптотически приближаются к этой прямой. Мы вычислили наклон средней прямой с помощью метода наименьших квадратов для решетки максимального размера, Рис 6: Фазовая диаграмма а затем уточнили это приблизительное значение а с помов плоскости tc—j для пла- и1;ью скейлинговой процедуры. Скейлинговое представление нарных антиферромагнит- теплоемкости для любых решеток С = La/VFC (|tc - AL1'") ных систем с решеткой Ка- должно обеспечивать степенное поведение С при L сх>, гоме t -»■ tc. Это выполнится, если Fcix)1^^ ~ х "". Это значит,

что в координатах у = In (CL~a/v), х = In (|fc - tlL1?") соответствующие друг другу значения переменных у и х в термодинамическом пределе и при t -»• íс лежат на одной прямой с наклоном -а для всех решеток L —> со. Для конечных решеток при правильных значениях индексов а и и соответствующие друг другу значения у и ж ложатся на некоторую кривую, переходящую в прямую у = -ах + Ь при i -> tc и L —► оо. Таким образом, осуществляется подбор о л и (опираясь на примерное а и и, полученное из анализа m«, ~ (í — tcYs~v), дающий наилучшее совпадение скейлинговых кривых. Результатом явились следующие значения индексов: а = 0.6468, и — 0.6766.

Аналогично производился скейлинговый анализ кирального параметра порядка к и киральной восприимчивости Хк- Наилучшее совпадение соответствующих скейлинговых кривых для киральной восприимчивости Хк и Для параметра к получено при

¿с = 0.535 Q = 0.5), tc = 0.726 Ü =-0.5) ßk = 1/8, vk = l, 7* = 7/4

В диссертации проведено сравнение полученных критических показателей 2D-XY систем с решеткой Кагоме

q = 0.6468, /3 = 0.1255, 7 = 1.315, ¡/ = 0.6766 (3)

=0, ßk = 1/8, ik ='7/4, vk = 1

с показателями некоторых других модельных систем. Установлено, что показатели ки-ральных термодинамических параметров совпадают с показателями 2D модели Изинга, что обусловлено, очевидно, изинговской симметрией киральной подсистемы; некоторые показатели спиновых параметров близки к показателям Д - 3D — XV - систем.

На рисунке 6 представлена полученная tc — j - фазойая диаграмма. В пределе ./г —> О имеем tc —> 0, что соответствует факту отсутствия упорядочения при любой конечной температуре при учете взаимодействия только ближайших спинов (Chandra, Coleman).

На основании полученной фазовой диаграммы мы предсказали величину первого обменного интеграла в соединении KFe3(0H)e(S04}¿. В эксперименте (Bonnin, Lecerf) наблюдается широкий максимум х при Тс = 60К ; кроме того, в этом соединении Ji, Jo > 0,

причем J-i/Ji = j « 0.1; спин S = 5/2. При j — 0.1 имеем tc — 0.22, откуда обмен Л между

к 7

ионами Fe3+ можно ожидать Jj = ■—~ 44 кг>.

tcJ

В четвертой главе "Квантовая спиновая жидкость в двухслойном треугольном антиферромагнетике" проведено исследование возможности перехода в двухслойной антиферромагнитной системе с треугольной решеткой из классического состояния со 120-градусным упорядочением спинов в чисто квантовое синглетное состояние с полным квантовым сокращением спина В" отличие от аналогичной квадратной системы, где упорядочение возможно при определенных соотношениях констант внутри- и межплоскостного обмена, в другой же области основным является синглетное состояние (Chitva, Chubukov, Wei), фрустрации в треугольной системе, как известно, могут разрушить упорядочение полностью. Экспериментальные образцы с двумя слоями антиферромагнетика, образующего треугольную решетку в слое,,получены Godfrin. Такую структуру образует твердый Не3 на подложке.

В гейзенберговской системе со спином 1/2 спины соседних слоев могут находиться в одном из 4 квантовых состояний: синглетном и трех триплетных, причем верхние по энергии триплетные уровни отстоят от основного синглетного в представлении взаимодействия только двух спинов на J2 - величину межплоскостного обмена. При слабом обмене J2, очевидно, среднее значение намагниченности на узле отлично от нуля и должно соответствовать классическому 120-градусному упорядочению в треугольном антиферромагнетике; в пределе больших Ja триплетные возбужденные состояния отделены слишком большой щелью от основного состояния, и система должна жить в синглетном состоянии с нулевой намагниченностью на узле. Гамильтониан (J\, J2 > 0) : Н = Ji £<10> Si;Stj + Ji £<м> S2.S2; + J2 5Z, Si,Sj, + J2 SMS„

Спин-волновые вычисления." В упорядоченной 120-градусной фазе мы провели стандартные спин-волновые вычисления с использованием преобразования Голштейна-Примакова от спиновых операторов к операторам рождения и уничтожения магнонных отклонений от 120-градусной структуры. Установлено, что спектр возбуждений содержит две ветви, каждая из которых содержит голдстоуновский бозон - первая на волновом векторе к = (0,0), соответствующем ферромагнитному упорядочению, вторая - на волновом

векторе k = q = (4-яг/3,0), соответствующем 120-градусной структуре (j ~ :

ЗЛ

= 3JlSy/(l-vk)(l + 2vk+23), Ej}.} = 3JiSy/(l + 2vk)(l~vk + 2j) >

1, ', л kx \/3, . uk — -(coskx + 2cos — cos

В первом порядке no 1/S получены намагниченность на узле и скорость спиновых волн вблизи симметрийного волнового вектора k = q:

лг с , 1 5 V- 3Jl + 32 + iJl"k г с /77^ ...

= --• + (4)

Ji — J2 - модель. В другом предельном случае в синглетной фазе с нулевой намагниченностью на узле спин-волновое описание неприменимо, и использовалась так называемая Ji - Ji - модель, впервые введенная в работе Sachdev, Bhatt, и в дальнейшем использовавшаяся многими другими авторами. Вводится следующая система состояний для двух ближайших спинов соседних плоскостей'. \ta >= |1,1 >, 1 ¿ь >= |1, -1 >, |tc >= |1,0 >, |s >= |0,0 >, и три бозона а, Ь, с, описывающие переход из синглетного состояния в триплет-ное: a+|s >:= |ta >, b+\s >= \tb >, c+|s >= \tc >. Компоненты векторов ферро- и антиферромагнетизма М = Si + S-2) L = Si - S2 в новом представлении (и - - (a+a + b+b + с+с)): Мг = a+a — b+b, М+ = л/2(а+с- с+Ь), М~ = V2(c+a - b+c),

Lz = — (c+u + uc).

L+ = V? (a+u + ub),

L~ — V2(b+и Л и a)

Вводится параметр А внутри корня оператора и: и = 1/1 - А(<г> а + Ь+Ь + с+с), позволяющий в приближении А < 1 произвести разложение оператора и, а затем, подобно 1/S - разложению в обычной спин-волновой теории, положить А = 1 в окончательных результатах. Чтобы не изменились коммутационные соотношения для спина, фактор 1/л/А вводится в три компоненты вектора L ■

Lz = ~{с+и + uc)/V\, L+ = \/2(a+u + ub)/VA, L~ = л/2 (b+u + ua)/VA, (5)

Спектр неупорядоченной фазы. Область устойчивости синглетной фазы можно найти с помощью анализа спектра возбуждений квазичастиц. Спектр возбуждений неупорядоченного состояния в силу равноправия бозонов а, Ь, с трехкратно вырожден и имеет щель на волновом векторе q 120-градусной структуры:

Ek = J2Jl + -2i'k, АаЬс = J2V1 - I/] = Ек(к = q), J = ~ (6)

V 3 3JT

При j > 1 спектр всюду действителен; при j < 1 спектр становится частично мнимым: система должна перейти в новое состояние. В точке фазового перехода j — I щель в спектре исчезает, и, таким образом, энергия возбуждений, связанных с образованием 120° структуры, обращается в ноль. Возникает голдстоуновский бозон Ек(k = q) = О, указывающий на понижение симметрии, связанное с конденсацией при j < 1 нового состояния - 120° структуры. Таким образом, область устойчивости 120-градусного упорядочения - j < 1,

3

область синглетной фазы - j > 1. Скорость спиновых волн в точке перехода: с — - J*

Модификация операторов в упорядоченной фазе. В упорядоченной фазе операторы а, Ь, с должны быть модифицированы таким образом, чтобы обеспечивать среднее значение спина на узле, соответствующее 120° структуре. Этого можно добиться выделением среднего значения операторов сорта с на волновом векторе k = q. Если положить

(cq) = VNa & cjfc = yfNa5kq +sk, (7)

то для среднего значения спина на узле получим (/? s Aa2): (Sft) = cosqRt =

N^1^ cos qR, - проекция модуля N™^ на ось z под углом at = <7 Я,, где а, при переходе от некоторого узла к соседнему (Я, = 1) меняется на 4тг/3 * 1 = 240° <=> -120° (поворот

спина). Таким образом, Nff11^ = ^^ - среднее значение спина на узле в нулевом

А

приближении, а представление (7) обеспечивает 120° структуру.

Равновесное значение /? определялось из минимума энергии основного состояния. В среднеполевом приближении энергия основного состояния и /5 (дЕо/д[) — о):

E0 = -32J2N + 2J2Nj-ej;N^(l-p), \а2 = Ца-^{1-]) (8)

. среднее значение операторов с (и среднее значение спина на узле) имеет смысл только при j < 1, то есть в упорядоченной фазе; в точке фазового перехода в среднеполевом приближении j — 1 все средние обращаются в ноль.

Спектр возбуждений упорядоченной фазы. В упорядоченной фазе мы проанализировали поведение спектра возбуждений магнонов. Гамильтониан можно представить в виде: Н = Ец + + H!t, где Ях - часть, квадратичная-по ab, #ц - часть, квадратичная по е (возмущения над средними операторов с). Яц даст спектр продольных флуктуаций спина (операторы с определяют сроднее значение спина на узле), Нi - спектр поперечных колебаний

Спектр поперечных мод двукратно вырожден ; в среднеполевом приближении:

Е£{з) = ¡ЛИ + - Y^"*) (9)

является бесщелевым, содержит голдстоуновскую моду ск = ч (при любых з). Наличие голдстоуновского бозона в спектре колебаний в плоскости слоя, очевидно, связало с нарушением симметрии, обусловленным наличием в плоскости слоя при з < 1 120-градусного

3 / ~

неелевского упорядочения. Скорость спиновых волн вблизи к = q: с = у (1 - /?о)0 ——)

Спектр продольных колебаний в среднеполевом приближении щелевой :

в1Ь) = з/Г VI + 2 икз2, д,| т = 6УГ ^ЩГ~0o) = Е1 (к = ч) (10)

Щель закрывается в точке фазового перехода /?о = 0. В окрестности критической точки (/Зо -> 0) величина щели мала (Лц(/Зо) ~ \J~Po), поэтому при вычислении различных физических величин можно ожидать, что вклад от продольных флуктуаций будет соизмерим со вкладом поперечных.

Корреляционные функции. Один из разделов главы посвящен изучению корреляционных функций между ближайшими спинами в слое (Э^Б^) и между слоями (Э^г,) в обеих фазах. После подстановки представления (5) возникает выражение, содержащее средние типа и др. Эти сред-

ние можно найти, имея преобразование Боголюбова к новым операторам, в представлении которых ис Корреляционные функции исходный гамильтониан (неупорядоченного илиупо- межДУ ближайшими спинами (сред-рядоченного состояния) диагонален. При этом ис- неполевое приближение). В точке комые средние содержат операторы числа частиц перехода обе функции непрерывны, того или иного сорта с определенным значением к,

найти которые можно с помощью распределения Бозе. Результаты приведены на рисунке 7. Все предельные случаи хорошо выполняются; в точке перехода корреляционные функции непрерывны. В пределе з — 0 слагаемые в (в.Э^), обусловленные продольными флуктуациями, в сумме дают ноль - не вносят вклада.

В отличие от модифицированных спин-волновых методов корреляции между спинами в слое в синглетной фазе имеют конечное значение и нарастают по мере приближения к точке фазового перехода (з = 1). Корреляции между спинами соседних слоев с уменьшением з уменьшаются и достигают значения -0.47, которое меньше, чем в модифицированной спин-волновой теории.

Энергия основного состояния с учетом флуктуаций. После диагонализации гамильтониана упорядоченной фазы и Я ц имеют стандартный вид, позволяющий вычислить энергию основного состояния с учетом флуктуационных поправок:

Е = Е0 + е? + 2 £ (Е£ - А£) +52(е1- Д») , (11)

к к

а также уточнить равновесное значение параметра /3 (дЕ/др = 0). Уравнение на равновесное ¡3 имеет самосогласованный вид: /3 — /Зо - А26(/3), где '¿ъ{р) - интегральная функция /3, содержащая коэффициенты гамильтониана упорядоченной фазы. Корни уравнения найдены методом половинного деления с точностью 0.01. Семейство функций Р(з), соответствующих различным А, представлено на рисунке 8 ; имеет асимптоту /3 = /Зо = 1/2(1 —з) при А 0. Наибольшие отклонения от истины следует ожидать при больших А ~ 1. Действительно, характерной особенностью функций при больших А является двузначность Р(з) в области малых /3, что не может соответствовать никакой реальности. Поскольку

Я.-1

120° ; Бш^м

ß я 0 соответствует области приближения к фазовому переходу, в которой существенны гауссовы поправки, мы продолжили функции так, чтобы избежать двузначности (рис. 8). Согласно этой аппроксимации, точка обращения ß в ноль при А = 1 (точка ф.п.) - " * j — J2/3J1 = 0.132, то есть J'2/Ji = 0 4. В аналогичной системе с квадратной решеткой точка перехода в неупорядоченное состояние J2/J1 = 1-86 -г 4.5 в зависимости от метода расчета (Wei, Du, Chubukov, Могг). Как и ожидалось, упорядоченное 120° - состояние в треугольной системе хоть и реализуется, но разрушается значительно быстрее, чем в квадратной - область значений j, в которой реализуется упорядоченное состояние, на порядок меньше. Такое существенное отличие, вероятно, обусловлено фрустрированностью связей в плоскости. При равных J\ и J2 в квадратной и треугольной системах эффективное взаимодействие двух спинов в плоскости треугольной решетки J\ оказывается слабее, а величина отношения J2/J1 в точке перехода - эффективно больше, и весьма вероятно, что эффективное значение отношения приближается к значению в квадратной.

Спонтанная намагниченность. Среднее значение спи- ß

на на узле в упорядоченной фазе No = | (S*,) | = | (5|t) | = -д ^с+и,^. " ^

Средние находились с помощью преобразования Боголюбова, полученного в разделе о корреляционных функциях. В результате No = l/AvW-/?)(! - AZa(/3)), где y/ß(l - ß)/\ - среднее приближение намагниченности на узле, не учитывающее флуктуаций, Za(ß) - интегральная функция ß, содержащая коэффициенты гамильтониана упорядоченной фазы.

Приближение спонтанной намагниченности, не зависящее от таблицы значений ß(j), можно получить, используя первое итерационное приближение для ß: ß яз ßi — ßo — XZ^ßo). Тогда в пределе А < 1 и принимая Za « Za{ß0), %ь rj Zb(ß0), получим приближение намагниченности на рис.9. Такое приближение имеет существенный недостаток: точки обращения в ноль No и ß (точка ф.п.) не совпадают. Характерно наличие небольшого максимума в области малых j, особенно выраженного для средних значений А - поведение, аналогичное поведению в двухслойных квадратных решетках (Чубуков, Могг).

N,

о"........................... ■ ■ 1 .............................

02 04 Об 08 09 10 0 01 02 03 04 05

а) 6)

Рис 9: Спонтанная намагниченность в двухслойных треугольных антиферромагнетиках с учетом флуктуаций (использовано первое итерационное приближение для /3).

Мы установили, что в пределе ] — 0 продольные волны не дают вклада в намагниченность, поскольку N0 = 1/Ач/уЗ(1 - /3)(1 -А£а), и слагаемые в Za, обусловленные продольными флуктуациями, в сумме = 0. В другом предельном случае, в окрестности фазового

Рис 8: 0 с учтенными поправками вблизи перехода. Точка обращения /3 в ноль при А = 1:. 3 = 0.132.

N.

перехода (/3 0), намагниченность исчезает как Щ ~ %//?, и все слагаемые в = 0), как поперечные, так и продольные, одного порядка Таким образом, продольные флуктуации спина, не учитываемые при спин-волновом описании, в окрестности фазового перехода оказываются соизмеримыми с поперечными.

Намагниченность рассчитывалась также с использованием полученной таблицы равновесных значений Р(з) с учетом флуктуаций (рис.8). Подстановка точных значений /?0) < А делает спектры продольных и поперечных колебаний частично мнимыми. Интегрирование велось отдельно для слагаемых, соответствующих поперечному спектру, и слагаемых, соответствующих продольному (области различны). "Вымирание" части спектра означает, очевидно, запрет при данном j на существование волн определенной длины.

На рис. 10 приведен результат расчетов намагниченности с использованием таблицы значений £?0)- Скачкообразное изменение режима поведения намагниченности происходит в момент появления дыр в параллельном спектре и в момент разрыва перемычек между областями его существования. Среднее значение спина на узле: от и 1/4 до 0. Таким образом, квантовое сокращение спина 50^ 100% для'всех з- Обращение намагниченности в ноль происходит одновременно с /30), то есть при з — ./г/З^ =- 0.132

Начальная восприимчивость. Мы вычисли- п . п ли начальную восприимчивость в поле Н = Нх, 1 ис_ Намагниченность для

перпендикулярном плоскостям. Вместо а- и Ь-бозонов ^ = ~ 1: а) - точная функция,

а + Ь а — Ь полученная с использованием та-

в поле Нх удобны операторы = 'Р ~ ~ч/!~' блицы значений Ш); б) - первое

так как поле, приложенное вдоль х, вносит конден- приближение (то же, что рис. 9) сацию только р-поля, причем на волновом векторе '

к = я. Действительно, ожидаемое значение индуцированной намагниченности (^(г)) = Мх{

— (с^Р») ~ сопв^г) - не должно зависеть от узла, а это накладывает ограничение на допустимый вид операторов р. В общем случае с+ = + £г+> Р> = (Рг) + поэтому

Мх = = (с+р.) = (с+) (р.) + (е+ж) = М°(г) + АМх(г) = сопвЦг),

= (с+) (р.) = ае"',в' (р.) := con.HU) =>, (р.) = ае1««-, рк = -/Ша5к<1 + Хк

М° = ай =

у/Рг

Ха

- бозоны сир конденсируются на волновом векторе к = ц. Индуцированная намагниченность и восприимчивость:

(е+Хк) н М2 + А Мх, хх = = Х°х + Д*х

Параметры /? и -у в среднеполевом приближении определялись из минимума энергии основного состояния е0 в среднеполевом приближении (А ег HT/ЗJ¡ ):

е~о = ~ = - + 2М0 + 7) ~ 2Ях + ^Г 07 - 6^/3(1 - 0)

7о = /Зо

.20 +ЗД0)]

3 = 1 -20о +7

20 + ЗА>).

(12) (13)

На кривой ]к — ^ + у/Г+ Л2| ра и 70 одновременно обращаются в ноль при Л Ф 0..

Очевидно, что это есть кривая фазовых переходов в среднелолесом приближении, так как при этом исчезает 120° упорядочение На рисунке 11 приведена соответствующая - фазовая диаграмма модели. Там же пунктиром показано, как изменится фазовая диаграмма при учете влияния квантовых флуктуадий. Магнитное поле, как и должно быть, сдвигает точку фазового перехода в неупорядоченное состояние в область больших ]. Тепловые флуктуации влияют на такие системы катастрофически - упорядочение разрушается полностью длинноволновыми флукгуациями в изотропных низкоразмерных (одно- и двумерных) гейзенберговских системах с конечным радиусом взаимодействия (теорема Мермина - Вагнера, 1966). Проявление эффектов возникновения квантовой спиновой жидкости при Т Ф 0 можно ожидать в двумерных конечных образцах с анизотропным взаимодействием либо в ЗЛ - системах

Для вычисления флуктуационной поправки к намагниченности ДМ±

~ находились соб-

ственные функции гамильтониана в магнитном поле: Hh = Ео + Us + НСр, где II.,, Hep - квадратичные формы но 5— и ср- операторам соответственно. Спектр s -возбуждений щелевой:

El

:3 JU3+P)

1-

0

J +

3 +

'"§7

3 + 0

2 vk

Е*к(к = g)|/i-+o 37*

■во

4(1+ 0о)

h,

(И) (15)

Рис 11: ?7г - фазовая диаграмма при малых к. При увеличении поля к основным состоянием в области малых } являются 7 фаз вместо 120° -структуры.

щель в отличие от квадратных решеток зависит от закрывается в нулевом поле; при этом спектр 5 - возбуждений в нулевом поле переходит в спектр поперечных колебаний упорядоченной фазы.

Для спектра ср - возбуждений также найдена аналитическая зависимость, однако по причине громоздкости мы ее здесь не приводим. Мы установили, что спектр ср - возбуждений содержит две ветви, причем :

1. нижняя ветвь спектра содержит голдстоуновский бозон при к =_ я; при Н — 0 переходит в спектр поперечных (аЬ) мод упорядоченной фазы;

2. верхняя ветвь с£р щелевая ; при к = 0 переходит в спектр продольных (с) колебаний. Величина щели (средненолевое приближение):

В результате диагонализации Я,,: Hs - J2k ~ приводит при h 0 к (ес и ер - спектры при h 0) •

= rK2)(k = ч) = V0 + A>)(i-1 + ЗЛ)

I Т,к 2Ekf£ у к Диагонализация HCl

НоР = Е% + JT [(6е - At) + - А*) - О (Л2)] + 2£ (£ра+а, + есЪ+Ьк)

Энергия основного состояния в магнитном поле h —> 0.

Ek = E0 + E°cp + J2(El к

Ч)

позволяет определить равновесные р и 7 (дЕ^/др — 0, дЕ^/д7 = 0). Достаточно уточнить

>/07

один параметр (7), другой взять в среднеполевом приближении, ибо в М±. — ——Ь АМ±

ь 12

, где у = Ч>(Р, 1,3,Ь)

Р и 7 входят в виде произведения. В итоге: 7 = р

2(] + 3/3) + А1р

интеграл, содержащий коэффициенты гамильтониана.

С учетом перенормированного 7 и диагонализующих преобразований получено выражение для намагниченности Мх. — + позволяющее найти компоненты начальной восприимчивости хх = Хх + ДХх- Вид функции хх приведен на рис.12. Зависимость немонотонная с небольшим максимумом в окрестности малых у. Пунктиром указано поведение, соответствующее таблице равновесных Р(]).

Рис 12: Восприимчивость в двухслойных треугольных решетках, в): А = 1, пунктир -примерное поведение, соответствующее таблице ¡3(]): Хх ~ => /3 и Хх обращаются в ноль одновременно, при 1 = 0.132.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Исследованы магнитные состояния и фазовые переходы в изотропных квазидвумерных гексагональных антиферромагнетиках (соединения типа УВт2, УСЬ). Показано, что в таких соединениях учет квантовых эффектов в условиях малого межплоскостного обмена меняет структуру основного состояния в магнитном поле. Фазовая

- к диаграмма таких соединений в области малых и /г обнаруживает сложную структуру, определяя области существования 7 фаз с различными типами магнитного упорядочения. Установлено, что квантовые эффекты, доминирующие в области слабых полей, отбирают состояния с планарной и коллинеарной конфигурацией спинов; вблизи поля насыщения реализуется непланарная зонтичная структура, дополнительно стабилизируемая межплоскостной обменной связью. Показано, что тепловые флуктуации расширяют область устойчивости промежуточных по полю фаз.

2. Установлено, что для соединений типа УХг магнитные переходы в критических точках, за исключением поля перехода из коллинеарной фазы с в фазу со скошенной спиновой структурой с!, являются фазовыми переходами 1-го рода: кривая намагничивания имеет небольшие скачки.

3 Для квазидвумерного гексагонального антиферромагнетика УВг2 рассчитаны скачки намагниченности и критические поля, при которых происходят фазовые переходы. Такие переходы могут быть зафиксированы в экспериментах с импульсными полями (58 - 251 Тл).

4. На основе моделирования классическим методом Монте-Карло установлено, что в 2D - XY - АФ системах с решеткой Кагоме (соединения типа ярозитов) учет второго обменного интеграла снимает непрерывное вырождение спиновых структур, вызывает упорядочение при низких температурах и фазовый переход в неупорядоченное состояние при отличных от нуля температурах. Установлено, что переход в неупорядоченное состояние сопровождается нарушением непрерывной спиновой симметрии и дискретной киральной, причем разрушение обоих типов упорядочений в пределах погрешности вычислений происходит одновременно. В низкотемпературной фазе существует дальний киральный порядок, а корреляционные функции спадают по степенному закону Построена tc — j - фазовая диаграмма, на основе которой предсказана величина первого обменного интеграла между ионами Fe3+ в соединении KFe3(OH)6(SO,i)2-

5. С помощью скейлингового анализа и других методов в системах с решеткой Кагоме исследовано критическое поведение и найдены критические показатели степенного поведения термодинамических величин в окрестности фазового перехода. Обнаружено, что критические индексы киральных величин совпадают с критическими индексами 2D модели Изинга, что обусловлено изинговской симметрией киральной подсистемы; некоторые критические показатели спиновых термодинамических параметров близки к показателям Д - 3D — XY - систем.

6. Исследована возможность реализации специфического состояния типа квантовой спиновой жидкости в двухслойном треугольном антиферромагнетике со спином 1 /2 при Т = 0. Определено отношение констант внутри- и межплоскостного обмена (j), при котором в системе происходит переход из 120-градусного классического состояния в квантово-неупорядоченное состояние с нулевой намагниченностью на узле; при этом спины соседних слоев образуют синглеты, отделенные от триплетных возбуждений энергетической щелью. Установлено, что в отличие от аналогичной системы с квадратной решеткой область значений j, в которой реализуется упорядоченное 120° - состояние, из-за эффектов фрустраций на порядок меньше, а квантовое сокращение спина в упорядоченной фазе составляет в зависимости от j 50 — 100%.

7. Для бислойного треугольного антиферромагнетика с учетом квантовых поправок найдены и проанализированы в зависимости от j энергия основного состояния, спектры магнонных возбуждений, корреляционные функции между ближайшими спинами, спонтанная намагниченность, начальная восприимчивость и др. Установлено, что поведение термодинамических величин в 120° - фазе в целом аналогично поведению в двухслойных квадратных решетках; отличие проявляется в поведении энергетической щели во внешнем магнитном поле. Для малых полей h построена j - h фазовая диаграмма, определяющая области существования 120°- и синглетной фаз. Показано, что в окрестности фазового перехода 2-ого рода вклад не учитываемых при спин-волновом описании продольных флуктуаций спина в 1ермодинамические величины соизмерим со вкладом поперечных флуктуаций.

Основные публикации

1. Р.С.Гехт, И.Н Бондаренко. Треугольные антиферромагнетики со слоистой структурой в однородном поле. // ЖЭТФ. - 1997. - Т.111, вып. 2. - С. 627-643.

2. I.N.Bondarenko, R S.Gekht, V.I.P,pnomarev. Magnetic transitions in layered triangular antiferromagnets. // Physics Letters V.A 222. - 1996. - P.269-274.

3 P.C Гехт, И.Н.Бондаренко Магнитное упорядочение и фазовые переходы в планар-ных антиферромагнитных системах с решеткой Кагоме // ЖЭТФ. - 1998 - Т. 113, вып.5. - С.2209-2220

Подписано в печать 25.04.2003 Формат 60 х 84/16.у. - и. л. 1 • Усл. печ. л. 1. Тираж 70. Заказ № 35

Отпечатано в типографии Института физики СО РАН 660036, Красноярск, Академгородок.

goo

sigo" -8 18 О

Введение

1 Магнитные состояния и фазовые переходы в треугольных антиферромагнетиках (обзор)

1.1 3D - треугольные антиферромагнетики.

1.1.1 Гейзенберговские и XY - спины.

1.1.2 Изинговские спины.

1.2 2D - треугольные антиферромагнетики

1.2.1 Гейзенберговские спины.

1.2.2 Планарные (ХУ) спины

1.2.3 Изинговские спины

1.3 Антиферромагнетики с решеткой Кагоме.

1.4 Постановка задачи.'.

2 Спиновое упорядочение квазидвумерного гексагонального антиферромагнетика типа УХ2 в магнитном поле.

2.1 Спиновые конфигурации.

2.2 Влияние квантовых флуктуаций.

2.3 Выводы.

3 Критическое поведение в антиферромагнитных 2D — XY системах с решеткой Кагоме.

3.1 Область низких температур.

3.2 Поведение при произвольных температурах.

3.2.1 Изложение метода Монте-Карло

3.2.2 Фазовый переход.

3.2.3 Результаты моделирования и их обработка

Установление факта фазового перехода.

Температура tk перехода с нарушением киральной симметрии

Определение критических индексов с помощью соотношений подобия

Температура £бкт перехода с нарушением спиновой симметрии . 60 Скейлинговый анализ - средство определения критических параметров.

3.2.4 Фазовая диаграмма. 3.3 Выводы.

4 Квантовая спиновая жидкость в двухслойном треугольном антиферромагнетике.

4.1 Спин-волновая теория для 120° - фазы.

4.2 Неупорядоченное синглетное состояние.

4.3 Упорядоченное состояние (120° - фаза).

4.3.1 Модификация операторов и энергия основного состояния в нулевом приближении.

4.3.2 Спектр магнонных возбуждений.

Спектр поперечных колебаний.

Спектр продольных колебаний.

4.4 Корреляционные функции.

4.4.1 Неупорядоченное состояние.

Внутриплоскостные корреляции.

Межплоскостные корреляции.

4.4.2 Упорядоченное состояние.

Внутриплоскостные корреляции. Межплоскостные корреляции.

4.5 Энергия основного состояния упорядоченной фазы с учетом флуктуаций.

4.6 Спонтанная намагниченность.

4.6.1 Первое приближение и точная функция.

4.7 Начальная восприимчивость.

4.7.1 Учет флуктуаций при вычислении индуцированной полем намагниченности и восприимчивости.

4.8 Выводы.

Актуальность темы.

Магнитные состояния и фазовые переходы всегда были объектом несомненного научного интереса. В последнее время особое внимание уделяется системам с фрустрациями, поскольку они зачастую проявляют поведение, существенно отличное от поведения соответствующих нефрустрированных систем. Причина этого - в сильном вырождении в спиновой подсистеме, эффективном ослаблении связи, и, как следствие, высокой чувствительности к различным возмущающим факторам - дополнительным взаимодействиям, слабым полям, тепловым и квантовым флуктуациям, анизотропии, дефектам и деформациям. Включение этих факторов "рождает" большое разнообразие фаз в таких магнетиках, чем, в том числе, обусловлен неослабевающий интерес к ним. В результате теоретических и экспериментальных исследований многих авторов установлено, что вследствие фрустраций в ряде систем возникают непериодические состояния, модулированные состояния с дальним и ближним порядком, вихревые состояния с экспоненциальным спадом корреляций, состояния типа спиновой жидкости, состояния с непрерывной и дискретной симметрией и др. Изучение фрустрированных магнетиков актуализировано также в связи с проблемой высокотемпературной сверхпроводимости, где из-за эффектов фрустраций возможно спиновое нематическое состояние. Таким образом, вопрос о влиянии возмущений различной природы на такие системы имеет принципиальное значение.

К настоящему моменту фрустрированные антиферромагнетики изучены достаточно хорошо, однако многие аспекты теории слоистых антиферромагнетиков с треугольной геометрией остаются невыясненными. Предлагаемая работа призвана частично восполнить эти пробелы.

Магнитное поле во фрустрированных системах вызывает много интересных эффектов (см., например, [2]). Часто эти эффекты можно объяснить с классических позиций. Однако в системах с нетривиальным непрерывным вырождением, как показали Шиба и Никуни в [70], существенно влияние квантовых флуктуаций. Последние способны не только снять имеющееся вырождение, но и могут в результате конкуренции с другими возмущающими факторами изменить сам характер структуры.

В большинстве треугольных антиферромагнетиков квантовые флуктуации не меняют в магнитном поле состояние с непланарной спиновой конфигурацией. Однако в гексагональных соединениях VX2 (X = Br,Cl,I), где соседние слои V2+ отделены двумя слоями Х~, межплоскостной обмен на два порядка меньше внутриплоскостного [75], [76], и поэтому энергия нулевых колебаний может превысить энергию взаимодействия между слоями. Это может привести к изменению структуры. Тем самым изучение фаз в таких магнетиках при учете квантовых флуктуаций является важной и перспективной задачей. Теоретический интерес к проблеме j — h - фазовой диаграммы квазидвумерного гексагонального магнетика с учетом квантовых поправок сформирован кроме этого еще и тем, что к настоящему времени известны предельные случаи этой диаграммы. Чубуков и Голосов в работе [80] определили фазы во внешнем магнитном поле в чисто двумерном треугольном антиферромагнетике (j = 0) с учетом квантовых эффектов. Оказалось, что в таких соединениях при малых полях взамен классической непланарной зонтичной структуры квантовые флуктуации выделяют 4 планарных структуры. Очевидно, что при малых j эти фазы должны оставаться стабильными, следовательно, того же эффекта выделения планарных структур следует ожидать и в квазидвумерных системах. В другом предельном случае, в отсутствие магнитного поля, основным состоянием в слоистом треугольном антиферромагнетике является классическая 120 - градусная структура. Таким образом, исследование влияния квантовых флуктуаций на основное состояние спиновой подсистемы квазидвумерного гексагонального антиферромагнетика в магнитном поле представляется весьма актуальным.

Упорядочение в антиферромагнетиках с непрерывными (ХУ или гейзенберговскими) спинами обычно неелевского типа. При этом фрустрированные системы с малым координационным числом наиболее вероятны для обнаружения состояний с необычными свойствами. По этой причине в последние несколько лет наблюдается весьма активный интерес исследователей к соединениям, имеющим решетку Кагоме (координационное число 4). Примерами систем, магнитная подсистема которых имеет решетку Кагоме, являются соединения с минералогическим названием ярозиты: МРез{0Н)&(304)2 (М — Н3О, Na, К, Rb, Ад, NH4, Tl, РЬ, Нд), а также их хромовые аналоги. Вследствие особой геометрии решетки - треугольники в слое чередуются с шестиугольниками - спиновые системы сильно фрустрированы. С понижением температуры процесс упорядочения происходит в них гораздо медленнее по сравнению даже с обычными фрустрированными системами. Данное обстоятельство обусловлено тем фактом, что в системах с меньшим, чем, например, в треугольных антиферромагнетиках, координационным числом возможны в классическом пределе не только состояния с нетривиальным глобальным вырождением, но и локально вырожденные состояния. В результате, при взаимодействии между ближайшими спинами фазовый переход в магнитоупорядоченное состояние не реализуется ни при каких конечных значениях температуры.

Дополнительные взаимодействия между следующими за ближайшими спинами частично снимают вырождение и могут привести к возникновению фазового перехода при отличных от нуля температурах [90]. Тем не менее, поскольку эффекты фрустраций все еще имеют место, процесс упорядочения и стабилизации структур в отличие от нефруст-рированных систем замедлен.

С экспериментальной и физической точки зрения большой интерес представляют системы с гейзенберговскими или XY - спинами, где в отличие от чисто изинговских возможно проявление новых эффектов. К настоящему моменту неизученным остается критическое поведение в 2D — XY-АФ системах с решеткой Кагоме - температуры переходов в неупорядоченное состояние, критические показатели термодинамических величин и др. Кроме того, большой интерес представляет вопрос о возможных последовательных переходах, обусловленных нарушением как дискретной, так и непрерывной симметрий. При различных знаках второго обменного взаимодействия может иметь место и различное взаимодействие между двумя основными типами топологических возбуждений - доменными стенками и вихрями. Поэтому не исключено, что в отличие от антиферромагнетиков с треугольной решеткой, на решетке Кагоме возможна промежуточная фаза, в которой трансляционный спиновый порядок исчезает, но остается киральный порядок.

Актуальными в последние несколько лет являются также исследования специфических состояний типа квантовой жидкости в слоистых и двумерных спиновых системах. Интерес к изучению свойств двухслойных квантовых антиферромагнетиков был обусловлен в значительной степени открытием высокотемпературной сверхпроводимости в слоистых соединениях меди (La2~xSrxCu04, YВа2СщОв+х, др.), а также открытием в германатах и силикатах (CaCuGe^Oe, CuGeO3, (УО^Рг^М спин-синглетного основного состояния с энергетической щелью (1.5-2 эВ). Кроме того, имеются многочисленные данные по слоистым диэлектрикам, которые хорошо описываются как квантовые гейзенберговские антиферромагнетики.

В настоящее время, по-видимому, общепризнано, что в S — 1/2 гейзенберговских антиферромагнетиках с квадратной решеткой основным состоянием при взаимодействии ближайших соседей является неелевское состояние с дальним порядком. Чтобы увеличить эффект квантовых флуктуаций, приводящих к разрушению магнитного порядка в основном состоянии, исследовались спиновые системы с фрустрациями. В треугольных чисто двумерных гейзенберговских системах со спином 5 = 1/2 имеется дальний порядок при Т = 0, причем намагниченность вдвое меньше классической и имеет практически ту же величину, что и для квадратных (Bernu, Singh, Chubukov, Sachdev, Zang и др.). Вместе с тем для бислойных квадратных систем известно (Чубуков, Chitva, Wei и др.), что взаимодействие между слоями может привести при определенных соотношениях констант внутри-и межплоскостного обмена к переходу в квантово-неупорядоченное состояние с полным квантовым сокращением спина. При этом для гейзенберговских систем с 5 = 1/2 соседние спины из двух слоев образуют спиновые синглеты, отделенные от триплетных состояний щелью. Имеются также экспериментальные образцы с двумя слоями антиферромагнетика, образующие в слое треугольную решетку (структура твердого Не3, адсорбированного на подложке, [123]). В системах с фрустрациями эффекты квантовых флуктуаций, приводящие к разрушению магнитного порядка в основном состоянии, могут быть дополнительно усилены, и упорядочение в таких системах может не наблюдаться вовсе. Тем не менее исследования возможности реализации квантово неупорядоченного синглетного состояния в бислойных треугольных системах в литературе нет.

Цель исследования.

В данной диссертационной работе предполагается исследовать влияние конкурирующих обменных взаимодействий, квантовых и тепловых флуктуаций, а также дополнительных фрустраций (решетка Кагоме) на магнитные состояния и фазовые переходы в слоистых и чисто двумерных треугольных антиферромагнетиках, являющихся типичными фрустрированными системами. В том числе:

1. Исследовать влияние квантовых и тепловых флуктуаций на спиновое упорядочение изотропного квазидвумерного гексагонального антиферромагнетика (соединения типа, VX2) в магнитном поле.

2. На основе классического метода Монте-Карло исследовать критическое поведение двумерных XY - магнетиков с решеткой Кагоме (ярозиты) при учете обменного взаимодействия во второй координационной сфере и провести скейлинговый анализ термодинамических величин с нахождением критических индексов.

3. Изучить возможность реализации квантово-неупорядоченного синглетного состояния в бислойном гейзенберговском антиферромагнетике с треугольной решеткой и проанализировать поведение термодинамических величин при изменении внешних условий.

Научная новизна.

С учетом квантовых поправок получена jS — h фазовая диаграмма изотропных квазидвумерных гексагональных антиферройагнетиков (типа VX2,X = Br,Cl,I). Установлено, что в таких соединениях квантовые флуктуации существенно изменяют основное состояние во внешнем магнитном поле: взамен классической непланарной зонтичной структуры возникает в зависимости от j и h 7 различных спиновых конфигураций - 5 планарных, коллинеарная и зонтичная, причем в области малых полей, где влияние квантовых флук-туаций наиболее существенно, реализуются планарные и коллинеарная структуры; вблизи поля насыщения реализуется зонтичная структура. Таким образом, установлено, что аналогично чисто двумерным треугольным антиферромагнетикам квантовые флуктуации отбирают состояния с планарной конфигурацией спинов. На основе развитой теории рассчитано, что критические поля соединения VBr2 лежат в диапазоне 58 - 251 Тл.

На основе классического метода Монте-Карло изучено не освещенное ранее критическое поведение 2d - систем с решеткой Кагоме (соединения типа ярозитов) в ху - модели. Установлено, что учет второго обменного интеграла снимает непрерывное вырождение структур, вызывает упорядочение при низких температурах и фазовый переход в неупорядоченное состояние при некоторой отличной от нуля температуре. На основе полученной tc — j - фазовой диаграммы предсказана величина первого обменного интеграла между ионами Fe3+ в соединении KFe3(0H)6(S04)2. Предполагаемая промежуточная фаза, в которой отсутствует спиновое упорядочение, но остается киральное, не обнаружена -разрушение обоих типов упорядочений в пределах погрешности вычислений происходит одновременно. С помощью скейлингового анализа найдены критические индексы спиновых и киральных термодинамических величин. Установлено, что критические индексы киральных величин совпадают с индексами 2d - модели Изинга, что обусловлено изин-говской симметрией киральной подсистемы; некоторые критические индексы спиновых параметров близки к показателям Д — 3D — XY - систем.

Исследована возможность перехода в состояние квантовой спиновой жидкости в гейзенберговских S = 1/2 двухслойных треугольных антиферромагнетиках. С учетом квантовых поправок найдено отношение констант внутри- и межплоскостного обмена (j), при котором в системе происходит переход из классического 120-градусного состояния в квантово-неупорядоченное синглетное состояние с нулевой намагниченностью на узле. Установлено, что в отличие от аналогичной системы с квадратной решеткой область значений j, в которой реализуется упорядоченное 120° - состояние, из-за эффектов фрустраций на порядок меньше, а квантовое сокращение спина в упорядоченной фазе составляет в зависимости от j 50 - 100%. Термодинамические величины в 120° - фазе обнаруживают поведение, в целом аналогичное поведению в двухслойных квадратных решетках. Отличия проявляются в поведении щели в спектре квазичастиц в магнитном поле. Установлено, что вблизи фазового перехода вклад продольных спиновых флуктуаций в термодинамические величины, не учитываемый при спин-волновом описании, соизмерим со вкладом поперечных флуктуаций. Для малых полей h построена фазовая диаграмма, определяющая области существования 120° - и синглетной фаз.

Автор выносит на защиту :

1. Фазовую диаграмму спиновой подсистемы изотропного гексагонального антиферромагнетика в магнитном поле, полученную с учетом квантовых поправок. Рассчитанные на основе развитой теории критические поля и скачки намагниченности в точках фазовых переходов 1 рода соединения VBr2

2. Полевые интервалы устойчивости фаз гексагонального антиферромагнетика при отличной от нуля температуре.

3. Установленное на основе классического метода Монте-Карло снятие непрерывного вырождения спиновых структур в двумерных антиферромагнитных XY системах с решеткой Кагоме (ярозиты) при учете второго обменного интеграла и возникновение упорядочения при низких температурах. Температуры перехода с нарушением трансляционной спиновой и киральной симметрий; tc — j - фазовую диаграмму и рассчитанную на ее основе величину первого обменного интеграла в соединении

KFe3(0H)6(S04)2.

4. Критические индексы спиновых и киральных термодинамических параметров 2D—XY - АФ - решетки Кагоме, найденные с помощью скейлингового анализа.

5. Наличие специфической неупорядоченной фазы типа квантовой спиновой жидкости с полным квантовым сокращением спина в бислойной гейзенберговской 5 = 1/2 антиферромагнитной системе с треугольной решеткой. Величину отношения констант внутри- и межплоскостного обмена j, при котором в системе происходит переход из 120° - классического состояния в синглетное состояние с нулевой намагниченностью. 50 - процентное и выше в зависимости от j квантовое сокращение спина в упорядоченной 120° - фазе.

6. Найденное с учетом квантовых поправок поведение термодинамических величин в зависимости от j в бислойной треугольной системе (корреляционных функций в обеих фазах, намагниченности, восприимчивости и др.). Соизмеримость вклада не учитываемых при спин-волновом описании продольных колебаний по сравнению со вкладом поперечных в окрестности фазового перехода.

7. Полученную с учетом квантовых флуктуаций фазовую j — h - диаграмму бислойного треугольного антиферромагнетика в слабом магнитном поле, определяющую области устойчивости 120° - и синглетной фаз.

Основные результаты диссертационной работы :

1. Исследованы магнитные состояния и фазовые переходы в изотропных квазидвумерных гексагональных антиферромагнетиках (соединения типа VBr2, VCI2). Показано, что в таких соединениях учет квантовых эффектов в условиях малого межплоскостного обмена меняет структуру основного состояния в магнитном поле. Фазовая jS — h диаграмма таких соединений в области малых jS и h обнаруживает сложную структуру, определяя области существования 7 фаз с различными типами магнитного упорядочения. Установлено, что квантовые эффекты, доминирующие в области слабых полей, отбирают состояния с планарной и коллинеарной конфигурацией спинов ; вблизи поля насыщения реализуется непланарная зонтичная структура, дополнительно стабилизируемая межплоскостной обменной связью. Показано, что тепловые флуктуации расширяют область устойчивости промежуточных по полю фаз.

2. Установлено, что для соединений типа VX2 магнитные переходы в критических точках, за исключением поля перехода из коллинеарной фазы с в фазу со скошенной спиновой структурой rf, являются фазовыми переходами 1-го рода: кривая намагничивания имеет небольшие скачки.

3. Для квазидвумерного гексагонального антиферромагнетика VBr2 рассчитаны скачки намагниченности и критические поля, при которых происходят фазовые переходы. Такие переходы могут быть зафиксированы в экспериментах с импульсными полями (58 - 251 Тл).

4. На основе моделирования классическим методом Монте-Карло установлено, что в 2D — XY - АФ системах с решеткой Кагоме (соединения типа ярозитов) учет второго обменного интеграла снимает непрерывное вырождение спиновых структур, вызывает упорядочение при низких температурах и фазовый переход в неупорядоченное состояние при отличных от нуля температурах. Установлено, что переход в неупорядоченное состояние сопровождается нарушением непрерывной спиновой симметрии и дискретной киральной, причем разрушение обоих типов упорядочений в пределах погрешности вычислений происходит одновременно. В низкотемпературной фазе существует дальний киральный порядок, а корреляционные функции спадают по степенному закону. Построена tc — j - фазовая диаграмма, на основе которой предсказана величина первого обменного интеграла между ионами Fe3+ в соединении

KFe3(0H)6(S04)2.

5. С помощью скейлингового анализа и других методов в системах с решеткой Кагоме исследовано критическое поведение и найдены критические показатели степенного поведения термодинамических величин в окрестности фазового перехода. Обнаружено, что критические индексы киральных величин совпадают с критическими индексами 2D модели Изинга, что обусловлено изинговской симметрией киральной подсистемы; некоторые критические показатели спиновых термодинамических параметров близки к показателям А - 3D - XY - систем.

6. Исследована возможность реализации специфического состояния типа квантовой спиновой жидкости в двухслойном треугольном антиферромагнетике со спином 1/2 при Т = 0. Определено отношение констант внутри- и межплоскостного обмена (j), при котором в системе происходит переход из 120-градусного классического состояния в квантово-неупорядоченное состояние с нулевой намагниченностью на узле; при этом спины соседних слоев образуют синглеты, отделенные от триплетных возбуждений энергетической щелью. Установлено, что в отличие от аналогичной системы с квадратной решеткой область значений j, в которой реализуется упорядоченное 120° - состояние, из-за эффектов фрустраций на порядок меньше, а квантовое сокращение спина в упорядоченной фазе составляет в зависимости от j 50 — 100%.

7. Для бислойного треугольного антиферромагнетика с учетом квантовых поправок найдены и проанализированы в зависимости от j энергия основного состояния, спектры магнонных возбуждений, корреляционные функции между ближайшими спинами, спонтанная намагниченность, начальная восприимчивость и др. Установлено, что поведение термодинамических величин в 120° - фазе в целом аналогично поведению в двухслойных квадратных решетках; отличие проявляется в поведении щели в спектре квазичастиц во внешнем магнитном поле. Для малых полей h построена j — h фазовая диаграмма, определяющая области существования 120°- и синглетной фаз. Показано, что в окрестности фазового перехода 2-ого рода вклад не учитываемых при спин-волновом описании продольных флуктуаций спина в термодинамические величины соизмерим со вкладом поперечных флуктуаций.

Основные материалы диссертации опубликованы в работах [124]-[126].

В заключение автор хочет выразить глубокую признательность своему научному руководителю доктору физ.-мат. наук профессору Гехту Р.С. за неформальную поддержку и высокую требовательность, доктору физ.-мат. наук профессору Валькову В.В. за многочисленные развивающие дискуссии, способствовавшие повышению качества исследования. Автор благодарен доктору физ.-мат. наук профессору Иванову А.А. за неоценимую поддержку и помощь в решении организационных вопросов, а также кандидату физ.-мат. наук доценту Орлову В.А. за конструктивную критику, полезные обсуждения и ценные замечания, сделанные после прочтения рукописи.

Заключение

1. M.F.Collins, O.A.Petrenko // Can.J.Phys. - 1997. - V.75. - P.605.

2. Р.С.Гехт // УФН. 1989. - ТЛ59, вып.2. - C.261.

3. T.Haseda, N.Wada, M.Hata, K.Amaya // Physica Ser.R. 1981. V.108. - P.841.

4. N.Wada, K.Ubukoshi, K.Hirakawa //J.Phys.Soc. Japan. 1982. - V.51. - P.2833.

5. H.Shiba //Sol.State.Commun. 1982. - V.41. - P.511.

6. N.Suzuki //J.Phys.Soc.Japan. 1983. - V.52. - P.3199.

7. W.Knop, M.Steiner, P.Day //J.Magn.and Magn.Mater. 1983. - V.31-34. - P.1033.

8. Н.В.Федосеева, Р.С.Гехт, Т.А.Великанова, А.Д.Бадаев //Письма ЖЭТФ. 1985. -Т.41. - С.332.

9. Ю.А.Изюмов Ц УФН. 1984. - Т.144. - С.439.

10. Ю.А.Изюмов. Дифракция нейтронов на длиннопериодических структурах. М. Энергоатомиздат. - 1987.

11. A.Adam, D.Billerey, C.Terrier, R.Mainard // Sol.State Commun. 1980. - V.35. - P.l.

12. S.R.Kuindersma, J.P.Sanchez, C.Haas // Physica Ser.B. 1981. - V.lll. - P.231.

13. L.P.Regnault, J.Rossat-Mignod, A.Adam, D.Billerey // J.de Phys. 1982. - V.43. -P.1283.

14. A.Adam, D.Billerey, C.Terrier et al. // Phys.Lett.Ser.A 1981. - V.84. - P.24.

15. M.W.Moore, P.Day, C.Wilkinson, K.R.A.Ziebeck // Sol.State.Commun. 1985. - V.53 - P.1009.

16. J.Villain // Physica Ser.B. 1977. - V.86-88. - P.631.

17. Р.С.Гехт // ЖЭТФ. 1987. - T.93. - C.255.

18. E.Rastelli, A.Tassi // J.Phys.C: Solid State Phys. 1986. - V.19. - Pp. L423, L589.

19. E.Rastelli, A.Tassi // J.Phys.Ser.C. 1987. - V.20. - P. L303.

20. H.Yoshizawa, K.Hirakawa // J.Phys.Soc.Japan. 1980. - V.46. - P.448.

21. W.B.Yelon, D.E.Cox, M.Eibshutz // Phys.Rev.Ser.B. 1975. - V.12. - P.5007.

22. H.Shiba //Prog.Theor.Phys. 1980. - V.64. - P.466.

23. M.Kaburagi, T.Tonegawa, J.Kanamori // J.Phys.Soc.Japan. 1982. - V.51. - P.3857.

24. F.Matsubara, S.Ikeda // Phys.Rev.Ser.B. 1983. - V.28. - P.4064.

25. F.Matsubara, S.Inawashira // J.Phys.Soc.Japan. 1984. - V.53. - P.4373.

26. S.Miyashita, H.Kawamura // J.Phys.Soc.Japan. 1985. - V.54. - P.3385.

27. H.Kawamura, S.Miyashita // J.Phys.Soc.Japan. 1984. - V.53. - P.9.

28. K.Hirakawa, H.Kadowaki, K.Ubukoshi // J.Phys.Soc.Japan. 1983. - V.52. - P.1814.

29. N.Mermm, H.Wagner // Phys.Rev.Lett. 1966. - V.17. - P.1133.

30. P.W.Anderson // Mater.Res.Bull. 1973. - V.8. - P. 153.

31. K.Hirakawa, H.Kadowaki, K.Ubukoshi // J.Phys.Soc.Japan. 1985. - V.54. - P.3526.

32. H.Nishimori, S.Miyashita // J.Phys.Soc.Japan. 1986. - V.55. - P.4448.

33. H.Nishimori, H.Nakanishi // J.Phys.Soc.Japan. 1988. - V.57. - P.626.

34. H.Shiba, N.Suzuki // J.Phys.Soc.Japan. 1982. - V.51. - P.3488.

35. E.Rastelli, A.Tassi // J.Phys.Ser.C. 1988. - V.21. - P.L35.

36. K.Nakanishi, H.Shiba // J.Phys.Soc.Japan. 1982. - V.51. - P.2089.

37. G.Ishibashi, V.Dvorak // J.Phys.Soc.Japan. 1978. - V.45. - P.1119.

38. Р.С.Гехт // ЖЭТФ. 1986. - T.91. - C.190.

39. M.Steiner // Sol.State.Commun. 1973. - V.ll. - P.73.

40. R.S.Gekht // Sol.State.Commun. 1985. - V.55. - P.709.

41. А.С.Боровик-Романов, М.П.Орлова, П.Г.Стрелков // ДАН СССР. 1954. - Т.99. С.699.

42. E.Kanda, T.Haseda, A.Otsubo // Physica. 1954. - V.20. - P.131.

43. G.C.De Fotis // Phys.Rev.Ser.B. 1981. - V.23. - P.4714.

44. B.D.Metcalf // Phys.Lett.Ser.A. 1974. - V.46. - P.325.

45. M.Kaburagi, J.Kanamori // Japan.J.Appl.Phys.Suppl. 2. 1974. - V.13. - P.145.

46. E.Muller-Hartmann, J.Zittartz // Zs.Phys.Kl.B. 1977. - Bd.27. - S.261.

47. J.Saito //J.Magn.and Magn.Mater. 1983. - V.31-34. - P.1049.

48. J.Villain // J.de Physique. 1977. - V.38. - P.385.

49. S.H.Shenker, J.Tobochnik // Phys.Rev.Ser.B. 1980. - V.22. - P.4462.

50. B.Mihura,D.P.Landau // Phys.Rev.Lett. 1977. - V.38. - P.977.

51. I.Ono, T.Oguchi // Phys.Lett.Ser.A. 1972. - V.38. - P.39.

52. H.Kawamura, S.Miyashita // J.Phys.Soc.Japan. 1985. - V.54. - P.4530.

53. S.Miyashita // J.Phys.Soc.Japan. 1986. - V.55. - P.3605.

54. L.G.Marland, D.D.Betts // Phys.Rev.Lett. 1979. - V.43. - P.1618.

55. T.Oguchi, H.Nishimori, Y.Taguchi // J.Phys.Soc.Japan. 1986. - V.55. - P.323.

56. P.Fazekas, P.W.Anderson // Phil.Mag. 1974. - V.30. - P.423.

57. M.Imada // J.Phys.Soc.Japan. 1987. - V.56. - P.311.

58. B.D.Gaulin, M.F.Collins, W.J.L.Buyers // J.Appl.Phys. 1987. - V.61. - P.3409.

59. H.Kadowaki, S.M.Shapiro, T.Inami, at al. // J.Phys.Soc.Japan. 1988. - V.57. - P.2640

60. Y.Ajiro, T.Nakashima, Y.Unno, H.Kadowaki, at al. // J.Phys.Soc.Japan. 1988. - V.57 - P. 2648.

61. H.Kawamura // J.Phys.Soc.Japan 1986. - V.55. - P.2095.

62. H.Kawamura // J.Appl.Phys. 1988. - V.63. - P.3086.

63. G.H.Wannier // Phys.Rev. 1950. - V.79. - P.357.

64. R.M.F.Houtappel // Physica. 1950. - V.16. - P.425.

65. G.H.Wannier // Phys.Rev.Ser.B. 1973. - V.7. - P.5017.

66. D.H.Lee, J.D.Joannopoulos, J.W.Negele, D.P.Landau // Phys.Rev.B. 1986. - V.33. -P.450.

67. H.Kawamura // J.Phys.Soc.Japan 1987. - V.56. - P.474.

68. L.P.Regnault and J.Rossat-Mignod, in Magnetic Properties of Layered Transition Metal Compounds, ed. by L.J.De Jongh, Kluwer, Dortrecht, Netherlands. 1990. - P.271.

69. E.Rastelli, A.Tassi, A.Pimpinelli, S.Sedazzari // Phys.Rev.B. 1992. - V.45. - P.7936.

70. H.Shiba and T.Nikuni, in Recent Advances in Magnetism of Transition Metal Compounds, ed. by A.Kotani and N.Suzuki, World Scientific. 1993. - P.372.

71. T.Nikuni and H.Shiba // J.Phys.Soc.Japan. 1993. - V.62, № 9. - P.3268.

72. J.Wosnitza, R.Deutschmann, H.V.Lohneysen, and R.K.Kremer // J.Phys.: Condens.Matter. 1994. - V.6. - P.8045.

73. M.E.Zhitomirsky, O.A.Petrenko, L.A.Prozorova // Phys.Rev.B. 1995. - V.52. - P.3511.

74. К.С.Александров, Н.В.Федосеева, И.П.Спевакова. Магнитные фазовые переходы в кристаллах. Новосибирск: Наука. - 1983. - С.1.

75. H.Kadowaki, K.Ubukoshi, and K.Hirakawa // J.Phys.Soc.Japan. 1985. - V.54. - P.363.

76. H.Kadowaki, K.Ubukoshi, K.Hirakawa, et al. j j J.Phys.Soc. Japan. 1987. - V.56. -P.4027.

77. K.Takeda, K.Ubukoshi, T.Haseda, K.Hirakawa // J.Phys.Soc.Japan. 1984. - V.53. -P. 1480.

78. N.Kojima, K.Ito, I.Mogi, et al. // J.Phys.Soc.Japan. 1993. - V.62. - P.4137.

79. I.Yamada, K.Ubukoshi, and K.Hirakawa // J.Phys.Soc.Japan. 1984. - V.53. - P.381.

80. A.V.Chubukov, and D.I.Golosov // J.Phys.: Condens.Matter. 1991. - V.3. - P.69.

81. E.Rastelli, and A.Tassi // J.Phys.: Condens.Matter. 1996. - V.8. - P.1811.

82. M.Niel, C.Cros, G.Le Flem, et al. // Physica B+C. 1977. - V. 86-88. - P.702.

83. J.J.M.Franse, // JMMM. 1990. - V. 90-91. - P.20.

84. J.L.Soubeyroux, D.Fruchart, J.C.Marmeggi, et al. // Phisica Status Solidi A. 1981. -V.67. - P.633.

85. J.Ajiro, K.Kikuchi, S.Sugiyama, et al. // J.Phys.Soc.Japan. 1988. - V.57. - P.2268.

86. С.С.Аплеснин, Р.С.Гехт // ЖЭТФ. 1989. - T.96. - C.2163.

87. T.Ohyama, H.Shiba // J.Phys.Soc.Japan. 1992. - V.61, № 11. - P.4174.

88. P.Chandra, P.Coleman, and I.Ritchey // J.de Physique. 1993. - V.33. - P.591.

89. J.T.Chalker, P.C.W.Holdsworth, E.F.Shender // Phys.Rev.Lett. 1992. - V.68. - P.855.

90. A.B.Harris, C.Kallin, and A.J.Berlinsky // Phys.Rev.B. 1992. - V.45. - P.2899.

91. A.Siito // Z.Phys.B. 1981. - V.44. - P.121.

92. R.S.Gekht and V.I.Ponomarev // Phase Transitions. 1990. - V.20. - P.27.

93. C.Zeng and V.Elser // Phys.Rev.B. 1990. - V.42. - P.8436.

94. A.Chubukov // Phys.Rev.Lett. 1992. - V.69. - P.832.

95. D.A.Huse and A.D.Rutenbeig // Phys.Rev.B. 1992. - V.45. - P.7536.

96. R.Wang, W.F.Bradley, and H.Steinfink // Acta Crystallogr. 1965. - V.18. - P.249.

97. A.Bonnin and A.Lecerf// C.R.Acad.Sci.Paris. 1966. - V.262. - P.1782.

98. M.G.Townsend, G.Longworth, and E.Roudaut // Phys.Rev.B. 1986. - V.33. - P.4919.

99. M.Takano, T.Shinjo, and T.Takada // J.Phys.Soc.Japan. 1971. - V.30. - P.1049.

100. A.Keren, K.Kojima, L.P.Lee, et al. // Phys.Rev.B. 1996. - V.53. - P.6451.

101. T.Takagi and M.Mekata // J.Phys.Soc.Japan. 1993. - V.62. - P.3943.

102. S.Miyashita and H.Shiba // J.Phys.Soc.Japan. 1984. - V.53. - P.1145.

103. Finite Size Scaling and Numerical Simulation of Statistical Systems, ed. by V.Privman, World Scientific, Singapore. 1990.

104. S.T.Br am well, P.C.W.Holdworth, M.T.Hutchings // J.Phys.Soc.Japan. 1995. - V.64. -P.3066.

105. H.Ikeda and K.Hirakawa // Sol.State Commun. 1974. - V.14. - P.529.

106. E.J.Samulesen // Phys.Rev.Lett. 1973. - V.31. - P.936.

107. A.Kuroda and S.Miyashita // J.Phys.Soc.Japan. 1995. - V.64. - P.4509.

108. Ш.Ма, Современная теория критическихз явлений. Москва: "Мир". - 1980.

109. B.Bermi, C.Lhuillier, and L.Pierre // Phys.Rev.Lett. 1992. - V.69. - P.2590.

110. P.Asaria, B.Delamotte, and D.Mouhanna // Phys.Rev.Lett. 1993. - V.70. - P.2483.

111. A.V.Chubukov,S.Sachdev, T.Senthil // J.Phys.: Condens.Matter. 1994. - V.6. - P.8891.

112. R.R.P.Singh // Phys.Rev.B. 1989. - V.39. - P.9764.

113. A.V.Chubukov and D.K.Morr // Phys.Rev.B. 1995. - V.52, № 5. - P.3521.

114. R.Chitva, S.Rao, D.Sen et. al. // Phys.Rev.B. 1995. - V.52. - P.1061.

115. А.В.Чубуков // Письма ЖЭТФ. 1989. - T.49. - C.108.

116. A.V.Chubukov and T.Jolicoeur // Phys.Rev.B. 1991. - V.44. - P.12050.

117. S.Sachdev, R.N.Bhatt // Phys.Rev.B. 1990. - V.41, № 13. - P.9323.

118. Guo-Zhu Wei and An Du // J.Phys.: Condens.Matter. 1995. - V.7. - P.8813.

119. A.V.Chubukov, E.Gagliano, C.Balseiro // Phys.Rev.B. 1992. - V.45, № 14. - P.7889.

120. Jun Zang, A.R.Bishop,D.Schmeltzer // Phys.Rev.B. 1995. - V.52, № 9. - P.6723.

121. A.V.Chubukov // Phys.Rev.B. 1991. - V.43, № 4. - P.3337.

122. Y.Sasago, M.Hase, K.Uchinokura et. al. // Phys.Rev.B. 1995. - V.52, № 5. - P.3533.

123. H.Godfrin, R.R.Ruel, D.D.Osheroff // Phys.Rev.Lett. 1988. - V.60. - P.305.

124. Р.С.Гехт, И.Н.Бондаренко. Треугольные антиферромагнетики со слоистой структурой в однородном поле. // ЖЭТФ. 1997. - Т.111, вып. 2. - С.627-643.

125. I.N.Bondarenko, R.S.Gekht, V.I.Ponomarev. Magnetic transitions in layered triangular antiferromagnets. // Physics Letters V.A 222. 1996. - P.269-274.

126. Р.С.Гехт, И.Н.Бондаренко. Магнитное упорядочение и фазовые переходы в планарных антиферромагнитных системах с решеткой Кагоме. // ЖЭТФ. 1998. - Т. 113, вып.5. - С.2209-2220.