Физические состояния в некоторых точно решаемых моделях двумерной квантовой теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

005047846

Алексеев Олег Вадимович

Физические состояния в некоторых точно решаемых моделях двумерной квантовой теории поля

Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

2 О ДЕК 2012

Черноголовка — 2012

и

005047846

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении пауки Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау Российской академии паук.

Научный руководитель: доктор физико-математических паук

Белавии Александр Абрамович

Официальные оппоненты: кандидат физико-математических паук

Вергелес Сергей Никитович

доктор физико-математических паук Миронов Андрей Дмитриевич

Ведущая организация: Институт Теоретической и

Экспериментальной Физики РАН

Защита диссертации состоится 28 декабря 2012 г. в 11 часов 30 минут па заседании диссертационного совета Д 002.207.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении пауки Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау Российской академии паук по адресу: 142432, Московская обл., Ногинский р-н, г. Черноголовка, Институт физики твердого тела

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН.

РАН.

Автореферат разослан____ноября 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических паук

Грниевнч П. Г.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Диссертация посвящена изучению некоторых вопросов, касающихся двумерных точно решаемых моделей квантовой теории поля. Обсуждаемые вопросы связаны с тремя конкретными моделями: двумерной Лиувиллевской гравитацией, двумерной теорией Тоды для афшшоп алгебры и моделью Буллоу-Додда.

Теория двумерной квантовой гравитации была впервые рассмотрена в работе Полякова [1|. Под теорией Лиувиллевской гравитации обычно понимается динамическая теория метрики па некотором двумерном многообразии. Действие для метрики дается в виде суммы действий трех конформных теорий поля: конформной теории поля для полей материи па рассматриваемом многообразии, теории Лиувплля и конформной теории поля для духовых полей. Суммарный центральный заряд эти конформных теорий поля равен пулю [2|. Если рассматриваемая конформная теория поля для полей материн является минимальной, то соответствующая ей теория гравитации называется мшшмалыюй Лиувиллевской гравитациейь [3]. Отметим, недавний прогресс в изучении физических состояний этой модели, а именно, удалось вычислить трех и четырех-точечпые функции для простейших операторов [4, 5].

Квантование Минимальной Лиувиллевской гравитации удобно осуществлять, используя процедуру БРСТ квантования. С помощью этого метода удалось построить бесконечное количество физических состояний, духовые числа которых могут принимать любые целые значения [6|. Изучение таких состояний, в частности, исследование их операторной алгебры, является важным шагом в построении всех корреляционных функций в рассматриваемой модели.

Аналогичная задача об изучении пространства физических состояний возникает во многих точно решаемы моделях квантовой теории поля. До спх пор обсуждалась безмассовая конформная теория поля. Однако, существует подкласс массивных двумерных квантовых теории поля, для которых можно построить удобный формализм для изучения пространства физических состояний. Речь идет о двумерных массивных интегрируемых моделях квантовой теории поля, т.е. моделях, в которых существует бесконечное количество сохраняющихся интегралов движения. В данной работе

мы подробно рассмотрим две такие модели: теорию Тоды для афшшой алгебры Ли А'-р [7| и модель Буллоу-Додда [8].

Для исследования пространства физических состояний рассматриваемых моделей и, в частности, для вычисления корреляционных функций удобно использовать форм-факторпый формализм [9|. В частности, корреляционные функции могут быть построены, используя спектральное представление. Быстрый радиус сходимости спектральных серии для всех масштабов позволяет вычислять их достаточно точно. Пространство физических состояний исследуемых моделей содержит бесконечное число операторов. Вычисление форм-факторов этих операторов позволит приблизиться к задаче вычисления корреляционных функций.

Отметим, что модель Буллоу-Додда связана с некоторым подклассом возмущенных минимальных моделей квантовой теории поля. В работе [10| показано, что при аналитическом продолжении константы связи до некоторых мнимых значений и дополнительных ограничениях на пространство физических состояний, модель Буллоу-Додда описывает класс минимальных моделей, возмущенных оператором Ф12. Такие модели, как известно, являются иптегрирумыми [11, 12]. В частности, модель Изгшга, при критической температуре в непулевом магпптпом поле может описываться таким образом. В результате, появляется возможность исследования свойств определенного подкласса возмущенных минимальных моделей, используя форм-факторпый подход.

Цель работы. Целыо настоящей работы является исследование пространства физических состояний в двумерных интегрируемых моделях квантовой теории поля. В частности, изучение операторной алгебры физических состояний в Минимальной Лиувиллевской гравитации, вычисление форм-фаткоров физических состояний в двумерной теории Тоды для афшшой алгебры и в модели Буллоу-Додда и исследование их

свойств.

Основные результаты. Результаты диссертации состоят в следующем:

1. Найдена размерность пространства физических состояний в минимальной Лиувиллевской гравитации М(2,3). Изучена структура операторной алгебры.

2. Представлено свободно полевое представление для форм-факторов локальных операторов для двумерной теории Тоды для алгебры Ли

в частности и для операторов потомков. Установлены рекуррентные соотпошеппя между ними. Доказаны отражательные свойства.

3. Найдено свободпо-полевое представление для форм-факторов операторов потомков в модели Буллоу-Додд. Найдены рекуррентные соотпошеппя п доказаны отражательные свойства. Вычислены некоторые много-частичные форм-факторы легчайших частиц в Ф12 возмущенных минимальных моделях и, в частности, в модели Изннга при критической температуре в ненулевом магнитном поле.

Научная новизна и достоверность. Результаты, представленные в диссертации, являются новыми. Выводы обоснованы надежностью современных методов теоретической физики, таких как методов гомологической алгебры и методов теории представлении, применявшихся при исследовании, и подтверждаются результатами апробации работы.

Научная и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут иметь применение в теории представлений, в конформной теории поля и при исследовании двумерных массив-пых моделей квантовой теории поля.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались: па международной конференции "Second International Conference он String Ficld Theory and Rela.ted Aspects", Москва 2009, на международной конференции "Conforma! Ficld Theory, Integrable Modela and Liouville Gravity", Черноголовка 2009 г., а также па научных семинарах в ИТФ им. Ландау, семинарах в Корейском Институте Передовых Исследований, Сеул, Корея и семинарах в центре Квантового прострапства-временн Университета Со-ганг, Сеул, Корея.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в трех статьях в научных журналах, входящих в перечень ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Содержание работы

Во введении представлен обзор литературы, обоснована актуальность рассматриваемых вопросов, сформулированы цели, аргумептпровапа научная новизна полученных результатов и представлены основные результаты диссертации.

В первой главе рассматривается модель Минимальной Лиувиллевской гравитация М{2,3). Данная модель соответствует так называемой чистой теории гравитации, т.е. центральный заряд материального сектора модели равен нулю. В Лиувпллевском секторе пространство состояний состоит из прямой суммы неприводимых модулей алгебры Внрасоро £д со старшим весом Д и центральным зарядом сь- Для процедуры БРСТ квантования мы рассматриваем (Ь,с)-систему духовых полей, используя которые определяется БРСТ оператор <3, такой что С}2 = 0. Физические состояния в таком формализме определяются как когомологпи БРСТ оператора. Мы рассматриваем как относительные Нг<л, так и абсолютные /РЬа когомло-гии.

Лианом и Цукермапом установлено [б], что пространство относительных'когомологий Д1е1(£д) иетрнвиалыю тогда и только тогда, когда значения старшего веса Д неприводимого модуля принадлежат некоторому счетному множеству чисел Е = {ац, «1, &1, ■ • •}• Так же, в работе [6|

вычислены размерности пространств относительных когомлогий для этих представлений.

Нами предложена некоторая рекурсивная процедура нахождения представителей классов относительных когомологий. Именно, показано, что явные выражения для представителей классов относительных когомлогий однозначно определяются структурой вложения особых векторов в неприводимых модулях алгебры Внрасоро. Следовательно, все когомло-гии однозначно определяются только старшими когомлогиямп, т.е. когом-логиями с максимальным духовым числом в рассматриваемом пространстве #ге1(£д).

Ответ для размерностей относительных когомологий был получен Лианом и Цукермапом [б|. Оказывается, что Н1<Л{С&) Ф 0 только при Д, принадлежащих некоторому счетному множеству размерностей Е (мы обозначаем эти размерности а(), «1, ¿»х, «2, Ь2, ■ ■ .)■ Для Д е £ размерности когомологий также найдены Лианом и Цукермапом. Эти результаты кратко

описаны в пункте 1.2.1. В пункте 1.2.2 прпведеп рекурсивный алгоритм нахождения представителей этих классов когомологий.

Базис, построенный в пространстве А £ Е является неудоб-

ным для исследования операторной алгебры. Нами показано, что можно выбрать другой бызнс, используя духовые операторы, действующие па пространстве когомлогий, а именно

со со

х = - ис-пСп, = - ^Г Г13с^псп,

^ ?= — со 71.=-со

где с„ — это разложения духового поля с(г) в ряд Лорана. Данные операторы коммутируют с БРСТ зарядом () н, как следствие, образуют алгебру, действующую на пространстве относительных когомлогий с соотношением X ■ Х+ = 0. Используя данные операторы возможно построить базис в пространстве относительных когомлогий в силу следующей теоремы

Теорема 1, Следующие представители классов когомлогий

0(ап), ХОап, Х2Оа„,...ХпОа11, Х+0(ап), Х2+Оап, Х^Оап,...Хп~1Оап

образуют базис в простраиапве (£„,,).

В этой теореме Оа>1 обозначает представителя классов когомлогий из Н1е1(СПг1) с наименьшим духовым числом. Аналогичную теорему можно сформулировать для пространства Яге1(А„). Утверждение теоремы можно представить с помощью следующей диаграммы:

ХО„

Х+Оа

X

X+

X

Xг

ХпОа„

-11 + 1, —п + 3, -п + 5, ... П - 1, 71 + 1.

причем в нижней строчке набор чисел -п + 1,... ,п + 1 соответствует духовым числам.

Построение базиса в пространстве относительных когомологий позволяет исследовать их операторную алгебру. Операторная алгебра обладает

структурой кольца, т.е.

01(г)02(0) = 03(0) + [С?,...].

Используя явные выражения для найденных базисных элементов мы показываем, что операторная алгебра в пространстве относительных когом-логий не является ассоциативной.

До сих пор обсуждались классы относительных когомлогнй ги, по модулю С^шо, где оба элемента ш и ш0 заиуляются при действии пулевой моды духового поля Ь(г), т.е. Ьп. Однако, существуют состояния вида <2м), такие что ЬпгЪ Ф 0. Любая корреляционная функция, которая содержит такие состояния равна пулю. Можно сказать, что эти состояния не являются физическими. Поэтому, нам следует исключить такие состояния из рассмотрения. Для этого, мы рассматриваем абсолютный БРСТ комплекс.

Мы формулируем теорему для размерностей пространств абсолютных когомлогнй. Именно #»Ьа(£д) нетривиальны если и только если, Д б Е, причем

Теорема 2.

<НтН£Ъа(Сап)=СИ1пН2»'{£Ьп) =

1, к = -п + 1, -п + 3,..., '/),-1, 1, к = -п + 4, -п + 6,..., п + 2, 0, иначе

при п > 0. В случае п = 0

с1ш1Я[е|(£ао) = 4,1+4,2.

Здесь через ¿¡^ обозначена дельта функция Кроиексра. Мы вводим оператор

Г = А £ (<• ли-т- -Ооо,',.

действующий па пространстве абсолютных когомологий. С помощью этого оператора удается изучить структуру операторной алгебры на этом пространстве. На алгебру налагаются довольно сильные ограничения, вытекающие из правил отбора в теории Лнувилля и связи умножения в алгебре с действием операторов Х+ и У.

Во второй главе рассматривается двумерная теория Тоды для афншгой алгебры Ли определяемая с помощью действия

где р — регулярнзовапный массовый параметр, <р(х) е [), [) — (Ь- 1)-мерпая Картанова подалгеб1)а простой алгебры Ли Аь-1, (•,•) — форма Килгшга. Кроме того, мы будем обозначать простые корни как о.*, а полусумму положительных корней как р. Спектр рассматриваемой модели содержит нз Ь-1 различных частиц [7|, которые будут нумероваться как г = 1,... Ь-1.

Пространство состоянии этой модели состоит как из экспоненциальных операторов Уа(х) = (Р^+р)^*) : так н пх потомков, т.е. линейных комбинации операторов

где <3 = Ь + Ь~1. На малых расстояниях, теория Тоды может рассматриваться как свободная теория. Тогда все пространство состояний имеет вид прямого произведения модулей Фока Тп ® Та, причем эти модули изоморфны и градуированы

Та = ф-Т^.п, = враша^-;, • ■ • а,;г _/1.|(1)гас1 =п|,

н=0 1 ¿=1 ;

где |а)111(1 — старший вектор в модуле, соответствующий экспоненциальному оператору Уп{0). Размерности соответствующих подпространств даются производящей функцией

л-о т=1 ^ Ч )

Вычисление форм-факторов локальных операторов в двумерных интегрируемых моделях квантовых теорий поля сводится к нахождению решений набора разностных уравнений, известных как форм-факторпые аксиомы [13]. Одним из способов решения этих уравнений является свободно нолевое представление, предложенное Лукьяновым [14]. В частности в работе [15] найдены решения форм-факторных аксиом, соответствующие экспоненциальным операторам.

В работе [16] была предложена модификация Лукьяновского свободно-полевого представления, позволяющая вычислят форм-факторы операторов потомков в модели сппус-Гордопа. Для теории Тоды эта конструкция

выглядит следующим образом. Определим алгебру А как коммутативную алгебру, порождаемую элементами (а:,;,с_„) п > 0 (мы будем работать с символом С-п как с вектором из [)). Рассмотрим представление со старим весом. Тогда

-4=(£М„, А. = вран/с^ ■ ..с_;,.|1)| ¿/i = n),

n=0 1 '¿=1 '

где |1) — вектор старшего веса. Пусть- А — другая копия алгебры А, порождаемая элементами с_п, причем естественный гомоморфизм определен как с_п = с_„. Определим скобку па алгебре А:

(оо оо \ оо

77 = 1 71 = 1 / 71—1

Используя генераторы алгебр А и А, мы определяем модифицированные Лукьяповские операторы Tki(xj), такие что для любого элемента д е Л® А функция

/9(0!, . . • , 0N )к1.. ,kN = « (TkN (0N ) . . . Tkl (<h)))a,<J)

является решением форм-факторпых аксиом п, потому, представляет форм-фактор некоторого оператора V^(x). В этом выражении ((...))„ — это многоточечная функция, введенная Лукьяновым в [15], которая вычисляется с помощью теоремы Вика по некоторым заданным правилам. Таким образом, вычисление форм-факторов операторов потомков сводится к определенной комбинаторной задаче.

Далее изучаются свойства построенных функций /®(0lt... ,0ы)к1...кк-Мы доказываем, что эти функции обладают свойством кластерной факторизации [17]:

fa'1 (01, • • • JhlJhl* 1 + л, . . . ,0N + h)k1...kb,kM+l...kN

= fa((hif+i + Л,.. ■,0N+A)kAUl...kNrt'(01,.. .,0м)к1...к„ as Л +oo.

Кроме того, в случае общего положения параметра «, функции ■ ■ ■ ,&N)ki...kN с различными д различаются. Как следствие, мы получаем

Предложение 1. В случае общего положения параметр « размерность пространства операторов Vrf с д е At ® Aj совпадает с размерностью пространства Фока dim (.Г, ® Tj) = ciiinjr/ -dim ./-¡г. Размерности пространств

операторов еде Л; или д е Л/, совпадают с размерностями соответствующих подпространств сПш.?7!..

Оставшаяся часть главы посвящена доказательству отражательных соотношений для форм-факторов [18|. Эти соотношения связывают между собой операторы с различными значениями параметра а, связанными действием группы Вейля УУ алгебры Ли Заметим, что полученные форм-факторы могут быть представлены в виде

• ■ -Д-.-)/,,../,;, = ^1П(ев1,. • • ,е°")к1.....П (I% - ОЛ,

1<3

где 1^1.,¡.,(11, — это минимальный двухточечный форм-фактор, а функ-Чпи ■ ■ ■ являются рациональными функциями перемен-

ных х'1,. . . п симметричными функциями при перестановке пар а;,:).

Мы получаем свободно-полевое представление для этих функций, которое отличается от Лукьяповского представления тем, что во-первых, алгебра Гейзепберга порождается счетным множеством генераторов и, во-вторых, функции J'jí a для всех у е Л ® А выражаются посредством матричных элементов. Одним из важных следствий полученного свободно-полевого представления являются рекурсивные уравнения, связывающие функции JaN п с различным числом частиц N. Эти соотношения позволяют эффективно вычислять многоточечные форм-факторы.

Первым шагом доказательства отражательных соотношении является доказательство этих соотношений для форм-факторов экспоненциальных операторов. Так как эти функции могут быть построены рекурсивно, то оказывается достаточным доказательство отражательных соотношений для начальных условии рекурсивных уравнений. В результате мы получаем:

Теорема 3. Функции JN,а(х1, ■■■ ,xN)kL,...,kN являются симметричными функциями относительно преобразований группы Вейля IV алгебры Ли

Аь-!■•

JN,a(Xl, ■■ ■ , .г'лг)/,:1,...,А;„ = JN,wa(x 1, ■ ■ ■ > ) А,ч ,. V™ 6 УУ.

Основная идея доказательства отражательных соотношении для форм-факторов операторов потомков основывается на предложении, сделанном в работе [19|, а именно, данное предложение утверждает, что все форм-факторы могут быть получены из форм-факторов примарпых операторов,

как коэффициенты разложения при больших значениях быстрот. В результате, мы получаем

Теорема 4. В случае общего положения параметра а существует представление группы Вейля га на алгебре Л такое, что для любых h, h' € Л выполняется следуют,ее соотношение

JN,a\xl>--->-LN)k1...kN ~JN,wa (¿1, ■ ■ ■ ,->-N)1ц...кц-

где w* б W, ш»а:,; = и автоморфизм группы Вейля определен как.

w = wtwwt.

Более того, мы доказываем существование Венль инвариантного базиса в Фоковском пространстве, т.е.

Теорема 5. Для любых I существует аналитическое по параметру а семейство наборов {//.'''^ „

¿Mi =1 которые являются базисами в Ai в случае оби/,его положения параметр а, такими что 'i'a(w)ll'a] = ; /Г

В дополнение к утверждению данной теоремы, мы предложили явную конструкцию нахождения Вейль инвариантного базиса.

В третьей главе нами рассматривается модель Буллоу-Додда, которая определяется действием

SBD = f d2x^(d,^)2 + +

где /t — регуляризованнын массовый параметр, b — константа связи. Спектр модели Буллоу-Додда содержит только одну частицу. Двухчастичная амплитуда рассеяния имеет вид

_ tanh I (0 + gf ) tank tank

tanhtanli \{0 + f^) tanli \(0 + ^)'

где Q = b + ir1. Пространство локальных операторов состоит из эксиоиеп-циальных операторов Va(x) = с"^^ и их потомков

З"1 ¡р... dnr<pdrilip ...d"'ip env(:,:).

Далее мы следуем логике, изложенной в предыдущей главе. Используя процедуру радиального квантования, мы получаем пространство состояний этой модели в виде тензорного произведения Фоковскнх модулей

Т„ ® Т„, таких что Та = Та,п, причем

оо

оо

Е 7"dim Та,п = П

Форм-факторы экспоненциальных операторов были найдены в работе [20]. Для построения форм-факторов операторов потомков мы рассматриваем алгебру А = ©~0Л,., порождаемую операторами с_п п > 0 и ее копню А. Определим скобку

С помощью этой вспомогательной алгебры мы определяем модифицированные Лукьяповскпе операторы Т(0). Тогда для любого у е А ® А функции

являются форм-факторами некоторых локальных операторов Упэ(ж) в модели Буллоу-Додца, причем многоточечная функция ({•••)) определена

Аналогично предыдущему случаю, мы доказываем, что найденные форм-факторы фупкцни обладают свойством кластерной факторизации. Кроме того, доказано, что для общих значений параметра а размерность пространства функций /®(х'1,... с д е А„ ® Лп совпадает с. размерностью соответствующего подпространства Фоковского модуля Тп ® Тп. Таким образом, памп полностью описано пространство форм-факторов модели Буллоу-Додца.

Найденные форм-факторы могут быть представлены в виде

где В.(0) — двухточечный минимальный форм-фактор в модели Буллоу-Додца. Рассмотренное нами свободно-полевое представление для форм-факторов операторов потомков позволяет получить функции а в явном виде, а пменпо

в [20].

N

т.-.М^У1.....

•/;у,,(п.....''А')- Е /i#/oe(#/+-#/-)Í7r!'Ps(X+|X_|X0)x

х

где

х + а--1 - 1 6(3

В приведенном выше выражение мы ввели множество целых чисел, I = {1,...,ЛГ} н сумма берется по всем разложения множества I в три подмножества 1а, а = { + , -, 0}, так что 1+ и 1_ и 10 = I и 1а■ п = 0 И а' Ф а. Каждому подмножеству 1„ мы поставили в соответствие подмножество Ха = {х'г[г е 1а}. Фупкции Р°(Х\У^) являются полиномами, определяемыми с помощью следующих соотношений

рс-™(х\у\г) = 5,„рс) - (-1 )"15„г(У) + (ш-т - (-1 )тшт)зт(г), Р~с-™(Х\У\г) = 5_т(К) - (-1 + - (-1)"1и

р9 192 _ р91р92 рСщ1+С292 _ С^рИ! С2Р32

для У(/1,(/2 £ -4®Л, С\,С2 £ С. Мы обозначили степенные суммы порядка т как 5т(XI,... ,хм) = х'п■

Функции а(а:1,... , Ждг) допускают свободпо-полевое представление, которое позволяет установит рекурсивные соотношения между этими функциями с различным числом частиц N. Рекурсивные соотношения позволяют доказать отражательные свойства форм-факторов в этой модели. Так, для экспоненциальных операторов мы получаем:

Теорема 6. Рассмотрим преобразования конечной группы УУ, порождаемой элементам гиу и Ш2, такими что

1 т, ъ

-Шта = _ + V ¿и - а, и>2а =----— - а.

\/2 Ь Ъ У2

Тогда функции ... ,ждг) являются симметричными функциями

относительно преобразований этой группы, а именно

JN,a(^■Г■l,■ ■ • = JN,wa(x 1, • • ■ ,Л.'Лг) У™ 6 И\

Для форм-факторов операторов потомков мы получаем

Теорема 7. В случае обгцего положения параметра а существует представление группы УУ, а именно га на алгебре Л такое, что для любых Н, Н' £ Л выполняется следующее соотношение

иЯ,а\х1г ■ ■ ■ Т-Ьы) - и^Ь • • ' >ХЛГ,)-

Оставшаяся часть главы 3 посвящена изучению квантово-групповой редукции модели Буллой-Додда при специальных мнимых значениях константы связи, а именно при 2Ь2 = р/р', где р и р' — это взаимно простые целые числа, такие что р' > р > 1. В работе [10] было установлено, что редуцированная теория при данных значения константы связи совпадает с минимальной моделью конформной теории поля М(р,р'), возмущенной при-марным оператором Ф^г- Отметим, что при аналитическом продолжении до мнимых значения двух-частичпая амплитуда рассеяния приобретает дополнительные полюса, которые соответствуют более тяжелым частицам в процессах рассеяния.

Получепшле форм-факторы п могут быть аналитически продолжены до требуемых зпачеппй констант связи. Мы полагаем, что будучи аналитически продолженными, эти форм-факторы соответствуют форм-факторов легчайших брпзеров в Ф^ возмущенной минимальной модели. Однако, в силу бутстраиной структуры модели, вычисление форм-факторов тяжелых брпзеров сводится к вычислению много-частичных форм-факторов легчайших брпзеров. Таким образом, нами описан бри-зерпый сектор Ф12 возмущенной минимальной модели.

В качестве примера мы подробно рассматриваем случай (р,р') = (3,4), который соответствует модели Изипга при критической температуре в ненулевом магнитном магнитном поле. Теория рассеяния для этой модели содержит 8 типов различных частиц [12|. Мы вычисляем много-частичные форм-факторы для легчайшей частицы в этой модели и проверяем, что полученные нами результаты находятся в согласии с результатами, полученными путем прямого решения системы форм-факторных аксиом.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Выводы.

1. В работе рассмотрено пространство физических состояний в минимальной Лпувиллевской гравитации М(2,3), в которой пространство состояний в гравитационном секторе представлено неприводимыми модулями алгебры Вирасоро. С помощью процедуры БРСТ квантования удалось получить и классифицировать все физические состояния теории. Показано, что определение физических состояний, как классов относительных когомлогий, является неудовлетворительным, так как их операторная алгебра не ассоциативна. Построены некоторые операторы, действующие па когомлогпях. С помощью этих операторов удается установить операторную алгебру классов абсолютных когомлогий.

2. Изучено пространство физических состояний в двумерной теории Тоды афнппой алгебры Ли Представлено свободно полевое представление как для форм-факторов локальных операторов, так и для форм-факторов операторов потомков. Показано, что количество полученных форм-факторов совпадает с количеством операторов в Лаграпжевом формализме. Получен эффективный формализм для изучения аналитических свойств форм-факторов. Показано, что они удовлетворяют нетривиальным тождествам, которые известны как отражательные соотношения. Однако задача об отождествлении пространства полученных форм-факторов и операторов в Лаграпжевом формализме пока остается нерешенной. Мы полагаем, что полученные нами результаты, такие как отражательные свойства для форм-факторов, являются важными шагами в паправлепни решения этой задачи.

3. Получено свободно-полевое представление для форм-факторов локальных операторов в модели Буллоу-Додда. Показано, что количество форм-факторов совпадает с количеством операторов в Лаграпжевом формализме. Изучены основные свойства форм факторов и доказаны отражательные соотношения. Кваптово-групповая редукция модели Буллоу-Додда для некоторых мнимых значений константы связи описывает Ф12 возмущенные минимальные модели. Как следствие, полученный нами формализм, а именно, свободно-полевое представление и рекурсивные соотношения, позволяют эффективно

вычислять много-частичные форм-факторы в таких моделях. В качестве примера применения разработанного памп формализма, вычислены много-частичные форм-факторы легчайших частиц для модели Изнпга при критической температуре в ненулевом магнитном поле.

Работы автора по теме диссертации

[1| О. Алексеев, М. Берштейп Кольцо физических состояний в М(2,3) минимальной Лиувиллевской гравитации, ТМФ, 164(1) (2010) 119;

[2] О. Alekseev, М. Laslikevich, Form factors of descendant operators: affine Toda theory, J. High Energy Pliys., 1007 (2010) 095;

[3] О. Алексеев, Форм факторы в моделях, связанных с моделью Буллоу-Додда: модель Изинга в магнитном поле, ТМФ, 173(2) (2012) 219;

Цитированная литература

[1| A. Polyakov, Quantum geometry of bosonic strings, Phys.Lett. B103, (1981) 207;

[2] J. Distler, II. Kawai, Conformal field theory and 2-D quantum gravity or who's afraid of Joseph Liouville? Nucl. Pliys. В 321, (1989) 509;

F. David, Conformal field theories coupled to 2-D gravity in the conformal gauge, Mod. Pliys. Lett. A 3, (1088) 1651;

[3| A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. B. Zamolodchikov, Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory, Nucl. Pliys. В 241 (1984) 333-380;

ИI Ал. Б. Замолодчнков, Трехточечпая функция минимальной лиувиллевской гравитации, ТМФ 142 2 (2005) 183;

[5| А. А. Белавнп, Ал. Б. Замолодчнков, Интегралы по пространству .модулей, кольцо дискретных состояний и четырехточечная функция в минимальной лиувиллевской гравитации, ТМФ 147(3) (200G) 339;

[G| В. Lian, G. Znckernian, New Selection Rules And Physical States in 2D Gravity, Pliys. Lett. В 254, (1991) 417.

[7| A. Ariiislitein, V. Fateev and A. Zamolodcliikov, Quantum S-matrix of the (1-1- 1)-dimensional Todd chain, Pliys. Lett. B 87 (1979) 389;

[8| R. K. Dodd and R. K. Bnllougli, Polynomial conserved densities for the Sine-. Gordon equations, Proc. R. Soc. London A 352 (1977) 481;

[9] F.A. Smirnov, Form factors in completely inteyrable models of quantum field theories, World Scientific, (1992);

[10] F. Smirnov, Exact S-matrices for 'l>i2 perturbed minimal inodels of conformal field theory, Int. J. Mod. Pliys. A G (1991) 1407;

[11| A. Zamolodcliikov, Int.egrable field theory from conformal field theory, Advanced Studies in Pure Mathematics 19 (1989) G41;

[12] A. Zamolodcliikov, Integrals of motion and the S-matrix of the (scaled) T = TC Ising model with a magnetic field, Int. J. Mod. Pliys A 4 (1989) 4235;

[13] M. Karowski and P. Weisz, Exact, form-factors in (1+ l)-dimensional field theoretic models with soliton behavior, Nucl. Pliys. B 139 (1978) 455;

[14] S. Lukyanov, Free field representation for massive int.egrable models, Cominun. Math. Pliys. 167 (1995) 183;

[15] S. Lukyanov, Form-factors of exponential, fields in the ajjine Toda model, Pliys. Lett. B 408 (1997) 192;

[16] B. Feigin and M. Lashkevich, Form factor's of descendant, operator's: Free field construction and reflection relations, J. Pliys. A 42 (2009) 304014;

[17] G. Delfino and G. Niccoli, Foriri factors of descendant, operators in the massive Lee-Yang model, J. Stat. Mecli. 0504 (2005) P004;

[18] V. Fateev, S. Lukyanov, A. Zamolodcliikov and Al. Zamolodcliikov, Expectation values of boundary fields in the boundary sine-Gordon model, Pliys. Lett. B 406 (1997) 83;

[19] V. Fateev, V, Postnikov and Y. Pugai, On scaling fields in Z^ Ising models, JETP Lett. 83 (2006) 172;

[20] V. Brazlinikov and S. Lukyanov, Angular quantization and form-factors in massive integrable models, Nucl. Pliys. B 512 (1998) 616;

Введение

Теория Лиувиллевской гравитации.

Интегрируемые модели квантовой теории поля.

Содержание работы.

1 Минимальная Лиувиллевская гравитация М[2,3)

1.1 Обозначения.

1.2 БРСТ комплекс относительных когомологий

1.2.1 Теоремы Лиана-Цукермана.

1.2.2 Процедура рекуррентного построения базисных состояний

1.2.3 Рекуррентные уравнения.

1.2.4 Операторы, действующие на пространстве относительных когомлогий

1.2.5 Операторная алгебра.

1.3 Абсолютные когомологии.

1.3.1 Базис в пространстве когмологических классов.

1.3.2 Операторная алгебра.

1.4 Некоторые представители классов когомлогий.

2 Форм факторы локальных операторов в теория Тоды для аффинной алгебры

2.1 Теория Тоды для аффинной ал г ебры Ли

2.2 Свободно-полевое представление для форм факторов локальных операторов 49 2.2.1 форм факторы экспоненциальных операторов.

2.3 Форм факторы операторов потомков.

2.3.1 Интегралы движения.

2.3.2 Свойство кластерной факторизации и асимптотическое поведение

2.3.3 Подсчет операторов потомков.

2.4 Альтернативная процедура бозонизации.

2.4.1 Рекуррентные соотношения и отражательные свойства для форм факторов экспоненциальных операторов.

2.4.2 Уравнения движения.

2.5 Отражательные соотношения для форм факторов операторов потомков . 72 2.5.1 Решения для уравнений и форм факторы.

2.6 Операторы потомки на уровне (1,0).

3 Форм факторы локальных операторов в модели Буллоу-Додда

3.1 Модель Буллоу-Додда.

3.2 Свободно-полевое представление для форм факторов локальных операторов

3.2.1 Свойства форм факторов.

3.2.2 Отражательные свойства форм факторов локальных операторов

3.3 Альтернативная процедура бозоннзации.

3.4 Реккурентные соотношения для форм факторов экспоненциальных операторов

3.4.1 Рекуррентные соотношения

3.4.2 Уравнения движения для форм факторов.

3.5 Явные выражения для форм факторов экспоненциальных операторов

3.6 Минимальные модели, возмущенные оператором Ф12.101.

3.6.1 Теория рассеяния.

3.6.2 Форм факторы.

3.7 Модель Изинга в магнитном поле.

3.7.1 Теория рассеяния.

3.7.2 Форм факторы.

Эта работа посвящена изучению некоторых вопросов, касающихся двумерных точно решаемых моделей квантовой теории поля. Обсуждаемые вопросы связаны с тремя конкретными моделями: двумерной Лиувиллевской гравитацией, двумерной теорией Тоды для аффинной алгебры и моделью Буллоу-Додда. Нами будет рассматриваться задача о классификации физических состояний в этих трех моделях. В частности, решение данной задачи является необходимым шагом для вычисления корреляционных функций в рассматриваемых теориях. Отметим, что рассматриваемые нами теории представляют собой как безмассовые (Лиувиллевская гравитация), так и массивные (теория Тоды и модель Буллоу-Додда) примеры точно решаемых двумерных моделей квантовых теорий поля. Однако, и в том и в другом случае задача определения пространства физических состояний и вычисления корреляционных функций для этих состояний является крайне нетривиальной.

Двумерная теория гравитации и двумерные интегрируемые модели квантовой теории поля являются темами, привлекающими постоянный интерес на протяжении последних 20 лет. Обе эти темы оказываются связанными с конформными моделями квантовой теории поля. Например, ультрафиолетовый предел интегрируемых моделей может рассматриваться как конформная теория ноля, возмущенная некоторым ■интегрируемым' релевантным оператором, в то время как теория гравитации в рассматриваемой нами формулировке представляет собой тензорное произведение трех конформных теорий поля, взаимодействующих в силу условия сокращения конформной аномалии. Приведем кратко основные сведения из теории Лиувиллевской гравитации и теории интегрируемых моделей, которые будут использоваться в дальнейшем.

Теория Лиувиллевской гравитации

Начиная с Эйнштейна, под гравитацией динамическая теория метрики пространства-времени. Такая динамика может изучаться как на классическом уровне, так и квантовом, в последнем случае мы можем говорить о квантовой теории гравитации. Основными динамическим переменными являются компоненты метрического тензора диЪ

Теория гравитации довольно сложная теория не только с математическом точки зрения, но и с концептуальной. Даже в классической гравитации уравнения движения для метрики оказываются не линейными и приводят к решениям, которые обычно имеют особеиности, в которых пространство-время крайне искривлено. Классическая теория Эйнштейна сама но себе не способна описывать физику вблизи таких сингулярностей. В квантовой гравитации ситуация даже хуже, особенно с точки зрения интерпретации. С потерей классического жесткого пространства-времени, наблюдатель сталкивается с необходимостью искать новые средства интерпретации наблюдении. Наиболее простая возможность состоит в том, чтоб забыть о координатах и сосредоточить внимание только на координатно-независимых наблюдаемых. Такой подход, который можно назвать топологической гравитацией в некотором расширенном смысле, достаточно последователен, но страдает только от одной проблемы: как его совместить с квазиклассическпм пределом, в котором, не должно оставаться ничего от топологической гравитации. Так или иначе, проблема интерпретации, проблема правильного выбора наблюдаемых так и остаются одними из важнейших задач квантовой теории гравитации.

С этой точки зрения, любая упрощенная модель, которая смягчает строгие математические проблемы гравитации, но сохраняет актуальными проблемы интерпретации, может рассматриваться как полезная и заслуживающая изучения. Мы будем рассматривать гравитацию в двумерном пространстве-времени.

Двумерная теория гравитации

С этого момента мы будем рассматривать двумерные многообразия с метрикой даЬ. Кроме того, мы ограничимся только так называемой евклидовой гравитацией, в которой метрика предполагается положительно определенной д > 0. Основные отличия двумерной гравитации от гравитации в другом числе измерений состоят в том, что, во-первых, в двумерип Риманова кривизна полностью описывается скалярной кривизной и, во-вторых, метрика даь содержит только три независимые компоненты. Как следствие, выбором подходящей системы координат (двух параметрическая свобода), она может описываться только одной динамической компонентой. Например, локально всегда можно выбрать такую систему координат, в которой метрический тензор пропорционален символу Кроне-кера даъ = е^х)5аЪ и поле сг(ж) полностью описывает метрическую структуру на многообразии.

Функционал действия

Для построения классической ковариантной теории гравитации необходимо, прежде всего, выбрать действие, которое должно быть ковариантньш функционалом от метрики ¿"[раь]. На первый взгляд, кажется естественным выбрать локальное действие, т.е. действие в которой плотность является локальной функцией от метрики и ее производных. Требование ковариантности показывает, что эта плотность должна строиться из координатных тензоров, таких как метрика и Риманова кривизна, например где под многоточием понимаются члены более высокой степени по кривизне Я и ее производных. Первый член в этом выражении является просто двумерным объемом поверхности. Поэтому, константа связи ц называется космологической константой связи. Второй член представляет собой обычное Эйнштейновское действие. Отметим, что Эйнштейновское действие в двух измерениях не приводит к какой бы то ни было локальной динамики метрического тензора. Действительно, теорема Гауса-Боннэ позволяет редуцировать Эйнштейновское действие к числу, которое полностью определяется топологическими характеристиками многообразия. В принципе, возможно рассмотреть следующие члены с более высокими степенями по кривизне и ее производным. Но, во-первых, эти члены играют незначительную роль при рассмотрении больших поверхностей и, во-вторых, представляется более естественным получить действие для гравитации как действие, индуцированное некоторыми полями материи, находящимися на многообразии.

Конформная материя

Среди двумерных релятивистских теорий поля существует класс безмассовых теория, которые являются масштабно ковариантны, т.е. они не обладают каким-либо выделенным масштабом и ведут себя одинаковым образом при изменении масштаба. Обычно, такие теории обладают, помимо обычной релятивистской и масштабной ковариантности, более высокой конформной симметрией, которая в двух измерениях может быть расширена до бесконечно-мерной симметрии алгебры Вирасоро. Такие теории называются конформными теориями. Примерами таких теорий могут являться теории свободного бозонного или фермионного полей в двух измерениях. Однако, существуют нетривиальные взаимодействующие конформные теории. Благодаря существованию бесконечно мерной конформной симметрии в двух измерениях, такие теории изучены гораздо более полно, чем обычные релятивистские теории поля [3].

Все конформные теории характеризуются некоторым числом с, называемым центральным зарядом, и набором локальных наблюдаемых, которые называются примарными полями Фд,, где Дг — конформная размерность соответствующего поля. Эти размерности описывают вариации поля Фд при масштабных преобразованиях. Одной из важнейших особенностей конформных теории поля является очень просто и явный способ их взаимодействия с искривленным пространством-временем и их простая реакция на вариацию метрики.

Действие Лиувилля

Простая и универсальная реакция конформных теорий поля на вариации метрики приводит к простой и универсальной форме эффективного действия для гравитации, генерируемого конформной материей, которое называется действием Лиувилля [1|. Если мы выберем некоторую фиксированную метрику диЬ, то

ЗеяЫ = + Зь[а,д] где

- 2ак) уД<Рх Н- ц ^ е°уД(Рх

Необходимо отметить, что эффективное действие, будучи действием для безмассовой теории поля, является не локальным. Однако, Вейлевские фактор а входит в эффективное действие формально локальным образом. Следовательно, появляется возможность интерпретации эффективного действия как локальной теории поля. Во-вторых, метрика д для любой заданной комплексной структуры может быть выбрана произвольным образом, в частности, в некоторых случаях она обладает дополнительными симметриями, упрощающими изучение модели. Например, в случае сферического многообразия, метрика д может быть выбрана максимально симметричной метрикой на сфере. Другой удобной возможностью является то, что сферу (за исключением одной точки) можно глобально отобразить на бесконечную плоскость, где метрику можно выбрать плоской даь = 5аь• Хотя это отображение и сингулярно в одной точке, плоская метрика открывает возможности использования методов теории ноля в плоском пространстве.

Квантование гравитации

Введя необходимые понятия, мы можем перейти к квантованию двумерной гравитации. Рассмотрим следующий функционал где бд/ — конформно инвариантное действие для полей материи, взаимодействующее с гравитацией. В этом функционале мы символически поделили меру интегрирования на объем группы диффеоморфизмов двумерного многообразия. Для определения этого функционала необходимо определить меру интегрирования но полям X и метрики д. Можно определить такие меры, которые будут инвариантными при действии группы диффеоморфизмов, но они не будут инвариантными, относительно конформных преобразований 9аЬ £а9аЪ- Так как подынтегральное выражение инвариантно относительно группы диффеоморфизмов, для вычисления функционального интеграла необходимо воспользоваться процедурой фиксации калибровки. Тогда мера интегрирования } распадется на интегрирование по модулям, интегрирование по конформному фактору и на интегрирование но диффеоморфизмам. Для фиксации калибровки обычно используется метод Фадеева-Попова. Таки образом, в рассматриваемой системе возникают духовые ноля Ь(х) и и с(х). причем теория поля для этих полей является конформной. Опуская подробности процедуры фиксации калибровки, приведем итоговое выражение для статсуммы [2] где д = еад, а — Вейлевский фактор, ид — некоторая фиксированная метрика, для которой определены меры интегрирования. Требование инвариантности этого функционала относительно действия группы дифеоморфизмов, приводит к соотношению центральных зарядов трех конформных теории поля, известному как условие сокращения конформной аномалии

Интегрируемые модели квантовой теории поля

Интегрируемые квантовые теории поля характеризуются бесконечным числом сохраняющихся зарядов. В классической механике, существование достаточного большого числа интегралов движения позволяло перейти от начальных координат и импульсон к переменным действие-угол и, как следствие, найти точные решения интегралов движения в квадратурах. Аналогично, если в квантовой теории поля существует бесконечное число сохраняющихся законов, можно получить точный спектр масс модели, вычислить S-матрицу процессов рассеяния, корреляционные функции, термодинамические величины и т.д. Стоит отметить, что нетривиальные интегрируемые квантовые теории поля могут существовать только в двух измерениях. В более высоких измерениях они оказываются либо свободными теориями, либо теориями с нелокальным взаимодействием.

Аналитическая теория рассеяния

С релятивистской точки зрения, теория ¿"-матрицы является обобщением теории рассеяния квантовой механики. Целью этой теории является выявление общих условий для амплитуд перехода процессов рассеяния, включающих многочастичные асимптотические состояния. В результате удается произвести вычисление этих величин без отсылки к лежащему в основе Лагранжеву формализму.

Для применения формализма ¿-матрицы для описания процессов рассеяния необходимо предположить, что взаимодействие является короткодействующим, так что начальные и конечные состояния, в которых частицы находятся довольно далеко друг от друга, состоят из свободно-частичных состояний. Эти многочастичные состояния могут быть заданы набором импульсов, входящих в них частиц, а так же другими возможными квантовыми числами.

Асимптотические состояния

Рассмотрим релятивистскую теорию рассеяния, содержащую п сортов частиц Аа, а = 1, с массами та. Для каждой частицы из спектра теории мы введем обозначение Аа(в), где в — быстрота, которая полностью определяет импульс частицы в двух измерениях, а именно р" = та cosh ва, pl = 771 а sinh ва.

В дальнейшем мы будем говорить о процессах рассеяния скалярных частиц. Так как мы рассматриваем процессы рассеяния физических частиц, импульсы частиц лежат на массовой оболочке и 2

РцР = т .

Тогда /¿-частичные асимптотические состояния мы будем обозначать следующим образом

Аа1{в1),А(12{02).Аап{Оп))

В массивных теориях теориях взаимодействие предполагается короткодействующим и, как следствие, асимптотические состояния представляют собой набор свободных частиц, взаимодействующих только в моменты перекрытия волновых пакетов.

Начальные асимптотические состояния даются набором свободных частиц при £ —> —оо. Будем определять начальное состояние как асимптотическое состояние, в котором быстроты расположены в порядке убывания Оа > в-> > . > вп. Конечные асимптотические состояния определяются аналогичным образом, только в этом случае частоты предполагаются расположенными в порядке возрастания в^ < в2 < ■. < вп.

Сохраняющиеся заряды

Существование бесконечного количества сохраняющихся зарядов 0,±ь, находящихся в инволюции, является существенным следствием процессов рассеяния. Локальные сохраняющиеся заряды могут быть классифицированы значением спина 5 и могут быть представлены в виде интегралов от плотностей, т.е. аз = у[Та+1(г,г)Иг + Эя--1(г,г)(1Щ, в > 1, где Т3+\(г, г) и 0(2, г) — некоторые локальные поля, удовлетворяющие закону сохранения дтя+1 = дв8 1.

Аналогичным образом, мы мол-сем определить сохраняющиеся заряды с отрицательным спином, обозначаемые как с помощью локальных полей Т3+1 и Эк1, которые удовлетворяют закону сохранения дТ3+\ = Звв1. Отметим, что интегралы 0.±\ совпадают с компонентами импульса в координатах светового конуса.

Так как эти заряды коммутируют друг с другом, их можно диагонализовать одновременно. Спектр возможных значений спинов 5 сохраняющихся величин зависит от модели и связан со структурой связных состояний. Действие интегралов движения на асимптотических состояниях имеет вид п

Я*\Аах (Ог)АаМ) ■ ■ ■ = 2>1а,)еяв' 1^(01)4^(02) ■. Л.„(0п)>, 1 где называется собственным значением интеграла для частицы сорта а.

Матрица рассеяния

Матрица рассеяния, или ¿'-матрица, определяется как унитарное преобразование, связывающее связывающее начальные и конечные асимптотические состояния. Мы ограничимся только случаем диагонального рассеяния. Тогда ¿'-матрица диагональна в базисе асимптотических состояний, т.е.

Ап(0х), • • • Аап{0п))1п = 5а1.а„(^1, • • •, 0п)\Аа1 (01),. Аап(вп))оии

Вследствие бесконечное числа интегралов движения в интегрируемых теориях поля, процессы рассеяния в них являются полностью упругими, т.е. конечное состояние содержит такое же количество частиц с теми же импульсами, что и начальное. Следовательно, п-частичные амплитуды рассеяния могут быть факторизованы в произведения п(п — 1)/2 двух-частичных. г<1

Амплитуды 5аь(#1,02) являются мероморфными функциями, зависящими от разности быстрот в 12 = в\—02. Условие унитарности и кроссинг-симметрии теории рассеяния могут быть выражены следующими уравнениями для матрицы рассеяния,

БаЪ(е) = 5оЬ(1тг - в), БМБ^-О) = 1.

Из этих уравнений следует, что амплитуды Баь(в) являются 27Л-периодическими функциями, которые полностью определяются положением своих нулей и полюсов в 'физической полосе' 0 < 1т 9 < тг.

Бутстрапный принцип

Уравнения унитарности и кроссинг-симметрии не определяют положение полюсов матрицы рассеяния. Для определения этих полюсов необходимо воспользоваться дополнительными динамическими условиями, или бутстрапным принципом. Рассмотрим Б-матрицу с входящими частицами Аа и Аь, которая имеет простой полюс в з-канале при в = Вблизи этого полюса матрица рассеяния принимает вид где называется трех-частичной константой связи. Бутстраииый принцип заключается в том, что связные состояния рассматриваются на тех же основаниях, что и асимптотические. Как следствие, амплитуды рассеяния, которые включают в себя связные состояния, могут быть выражены посредством амплитуд асимптотических состояний и наоборот. Как следствие этого принципа, мы получаем: если 0 = — полюс в процессе рассеяния частиц Аа и Аь, то масса связного состояния может быть выражена следующим уравнением т2с = т2а + ml + 2тать cos ucab, ti'ab G (0, ж).

Кроме того, условие бутстрапа приводит к дополнительному уравнению, котором}' должны удовлетворять амплитуды рассеяния, а именно

SM = Sac(8 + iüdcb)Sad(0-iñU где

Кь = я- - исаЬ.

Таким образом, полюса ¿'-матрицы в физической полосе расположены при Re в = 0. Простые полюса с положительными вычетами соответствуют связным состояниям в s-канале А„Аь рассеяния, в то время как полюса с отрицательными вычетами соответствуют связным состояниям в и-канале.

Форм факторы и корреляционные функции

Поведение интегрируемых моделей вне массовой поверхности может быть изучено в рамках форм факторного подхода. Для локального оператора О (ж) мы рассмотрим его матричные элементы в базисе асимптотических состояний. а\.а>т{в'{1 ■ ■ ■ ,S'm\0(0)\di, . . . ,6>„)ai. „„.

Условие кроссинг симметрии ¿'-матрицы приводит к тому, что все эти матричные элементы могут быть выражены в терминах следующих матричных элементов

Р°.аЛв i--6") = (vac\0(0)\01.0n)ai.an, которые мы будем называть форм факторами. Здесь мы ввели обозначение (vac\ для вакуумного состояния, т.е. состояния без частиц, теории рассеяния.

Если форм факторы рассматриваемого оператора вычислены, то его корреляционные функции могут быть представлены в виде спектрального ряда, используя условие полноты многочастичных состоянии

Например, двух-частичные корреляционные функции оператора О(х) могут быть представлены в виде о(Х)от = £I= Е Е /\А°:^ас\О{х)\0ъ ., еп)а1тап ■ ах.ап(въ • ■ ■, 0п\О{ 0)|тс).

В дальнейшем мы будем использовать следующую нормировку для форм факторов, а именно

Ъ ■ ■ ■ , Ом) = (0(Х)) ■ С.ап (01, . , 0М\ где (0(х)) — это вакуумное среднее локального оператора 0(х). Функцию ап (в1,., мы будем называть ненормированным форм фактором.

Форм факторные аксиомы

Форм факторы удовлетворяют определенному набору условий, которые являются следствием общих требований, налагаемых на рассматриваемую теорию. Например, для любого скалярного оператора О(х), условие релятивистской инвариантности подразумевает, что его форм фактор зависит только от разности быстрот — 0в то время как форм факторы спина в удовлетворяют следующим уравнениям + Л,. А + Л) = е-Ч^ ^(ви вп).

Кроме того, форм факторы удовлетворяют набору условий, называемых форм факторными аксиомами [19, 20, 21], а именно 1. Теорема Ватсона екек+ъ. а) = з(вк+1 - • • • > ■ ■ ■ оп).

2. Условие кроссинг симметрии ь 02,., Qn) = (в2, .,вп,вг + 2тгг).

3. Условие на кинематический полюс

- г lim (f - 0)F® 09' + гтг, б, *ъ ■ ■ ■, б„) = и —t(J п (l-Us^o-e^F^jo,,.^^. j=i

4. Условие на полюс связного состояния

- ' fllmi(Ö' - .,0' + ml,„ 0 - ülbcd, .,0n) =

Среди всех возможных решений данного набора аксиом необходимо отобрать такое, которое соответствует рассматриваемому оператору О(х). Легко видеть, что форм факторные аксиомы совершенно не зависят от того, какой оператор рассматривается. Как следствие, необходимы некоторые дополнительные условия для отождествления форм факторов некоторого оператора среди всех решений форм факторных аксиом.

Дополнительные требования для форм факторов

В общем случае задача определения этих требований является нетривиальной. Однако, существуют два полезных критерия. Первый критерий, предложенный в работе [67], ограничивает асимптотическое поведение форм факторов. Для оператора 0(х) скейлин-говой размерности 2Aq рост форм фактора при больших значениях быстрот ограничен требованием as \0i\ ~~> оо.

Второй критерий является свойством кластерной факторизации форм факторов экспоненциальных операторов, установленным в работе [68], и может быть представлен в виде следующего соотношения fai.an(G 1 + Л, . . Д„ + Л,6>т+Ь . . . 0N) = 1, - - - , 0m)f° i Qn (6>т+1 • • ■ &n), при Л —^ оо для всех т € (0,.п). Выполнение этого свойства для форы факторов экспоненциальных операторов проверено во многих моделях. Свойство кластерной факторизации. как предполагается, является отличительным свойством экспоненциальных операторов.

Минимальные форм факторы

Решение первой пары уравнений форм факторных аксиом может быть представлено в удобном виде с использованием так называемых двух-частнчных минимальных форм факторов. Двух-частичный минимальный форм фактор, обозначаемый как Ваъ(0), ~~ это аналитическая функция в области 0 < 1т0 < тг, являющаяся решением первых двух уравнении системы форм факторных аксиом для п = 2, без нулей и полюсов в полосе О < 1т < 7Г и обладающая хорошим поведением при \0\ —> оо. Эти требования определят двух-точечиый минимальный форм фактор однозначно, с точностью до нормировочного множителя.

Используя двух-частичные минимальные форм факторы, ?г-частичный форм фактор, удовлетворяющий форм факторным аксиомам, может быть представлен в следующем виде

---А) = (Л., е'?) П

Здесь функция </^.ат1(е01.еУп) — это симметричная, 2тт¿-периодичная функция, зависящая от переменных вг. имеющая кинематические полюса и полюса связных состояний, которые предписываются второй парой форм факторных аксиом. Эта функция представляет собой решение второй пары форм факторных аксиом. В дальнейшем мы будем называть эти уравнения бутстрапнымп уравнениями. Полный набор форм факторов может быть однозначно определен форм факторами, которые содержат только фундаментальные частицы. Мы называем частицу фундаментальной, если все остальные частицы в модели Аа. а = 1,,п могут быть получены как связные состояния некоторого количества А\. Поэтому, мы ограничим наше внимание вычислением таких много-частичных форм факторов.

Содержание работы

Целью первой главы будет изучение пространства состояний для теории гравитации, которая представлена тремя различными конформными теориями поля: Минимальной конформной теорией поля М(2,3) [3], системой духов и теорией Лиувилля, которые взаимодействуют между собой в силу условия сокращения конформной аномалии. Такая теория известна как теория чистой гравитации, так как минимальная модель М(2,3) содержит единственное тривиальное представление и ее центральный заряд с = 0. За последние 20 лет был достигнут большой прогресс в изучении минимальной Лиувиллевской гравитации. В частности, для простейших состояний были найдены трех и четырех-точечные корреляционные функции [4, 5].

Отметим, что существует два разных типа теорий Лиувиллевской гравитации. В первом варианте гравитационный сектор представлен теорией свободного скалярного поля. С математической точки зрения можно сказать, что пространство состояний в гравитационном секторе представлено прямой суммой модулей Фейгина-Фукса [7]. В этом случае, операторная алгебра может быть изучена в общем виде [8]. Во втором варианте Лиувиллевской гравитации пространство состояний гравитационного сектора представлено неприводимыми модулями алгебры Вирасоро.

Как было показано в работе [6], эти два варианта Лиувиллевской гравитации обладают совершенно различными пространствами физических состояний. В первой главе этой работы рассматривается именно второй тип Лиувиллевской гравитации. Для квантования теории удобно использовать процедуру БРСТ квантования. Следует отметить, что для алгебры Вирасоро можно рассматривать как абсолютные, так и относительные ко-гомлогпп. Относительные когомлогин изучены более полно, например их размерности известны [6]. Однако, как мы покажем, структура ассоциативной операторной алгебры существует только на пространстве абсолютных когомлогий.

В первой главе мы изучаем абсолютные когомлогии и находим их размерности в минимальной Лиувиллевской гравитации М(2,3). Кроме того, изучается операторная алгебра, образованная абсолютными когомлогиими.

Бутстрапная структура двумерных интегрируемых квантовых теорий поля позволяет точно вычислять форм факторы в этих моделях, путем нахождения решений системы разностных уравнении, известной как форм факторные аксиомы [19, 20, 21]. Любое решение этих уравнений соответствует определенному локальному оператору теории. Хотя довольно общий подход для решения форм факторных аксиом был предложен Смирновым [21], задача об идентификации операторов, определяемых решением бутстрапных уравнений, и полей, определяемых в обычном Лагранжевом формализме, остается решенной не полностью. Более того, решения, предложенные Смирновым, имеют интегральный вид, что усложняет изучение полученных решений.

Во второй главе мы рассмотрим двумерные теории Тоды для аффинной алгебры [22]. Эти модели являются моделями с (Ь — 1)-компонентным действительным скалярным полем <р(х) с экспоненциальным взаимодействием. В частном случае Ь = 2, т.е. для модели синус-Гордона, предлагались весьма разнообразные подходы к изучению форм факторов [21, 23, 24. 25, 26, 27]. Для общих значений Ь в работе [28] был предложен общий вид решений системы форм факторных-аксном, в данном случае, в интегральном виде. Мы предлагаем решение в виде конечных сумм, основываясь на Лукьяновском свободно-полевом формализме для форм факторов [29]. Лукьянов нашел решения для бутстрап-ных уравнений, которые соответствуют экспоненциальным операторам и полностью классифицировал найденные решения [30]. Действуя по схеме, предложенной в работе [27], мы найдем свободно-полевое представление для форм факторов так называемых операторов потомков, т.е. операторов вида (с^^). (д^гг^г.)е10"р. Эти операторы могут рассматриваться как элементы Фоковского пространства, порождаемого действием мод поля 1р(х) на экспоненциальные операторы в формализме радиального квантования. Хотя мы не можем идентифицировать эти операторы с решениями бутстрапных уравнений, мы можем идентифицировать некоторые пространства решений с Фоковскими модулями для экспоненциальных операторов. Кроме того, для так называемых кнральиых операторов потомков мы можем точно указать соответствующие им операторы в уровневых подпространствах Фоковского модуля.

Одной из важных особенностей аффинных теорий Тоды является существование в них так называемых отражательных соотношений между операторами теории [31, 32, 33, 34|. Эти соотношения связывают между собой операторы с различными значениями параметра а. Мы докажем существование таких отражательных соотношений для найденных нами решений. Более того, мы покажем существование аналитического но параметр}' а семейства Вейль инвариантных базисов в Ооновских пространствах. Мы надеемся, что это доказательство является шагом в направлении к решению задачи идентификации.

Как известно, двумерные статистические модели в своих критических точках описываются так называемыми минимальными моделями конформной теории поля [3]. Вне критических точек, скейлинговая область может быть описана релевантными возмущениями действия в фиксированной точке. Соответствующие модели могут быть названы возмущенными минимальными моделями. Возмущения разрушают дальнодействующие корреляции критической модели и соответствующие квантовые теории поля обычно являются массивными. Однако в некоторых случаях бесконечное количество интегралов движения сохраняется. В частности, минимальные модели возмущенные одним из следующих прпмарных операторов Ф^о, Фа.ъ Ф1,з, как известно, являются интегрируемыми [46, 47]. Кроме того, в [48] показано, что Ф1)5 возмущение не унитарной минимальной модели так же интегрируемо. Минимальные модели, возмущенные оператором Ф1)3 тесно связаны с моделью синус-Гордона [49, 50]. Остальные случаи связаны с некоторым квантово-групповым усечением модели Жибера-Мнхаилова-Шабата [51, 52, 48].

Поведение вне массовой поверхности этих моделей может быть изучено в рамках форм факторного подхода [21]. В частности, корреляционные функции могут быть вычислены с помощью спектрального представления. Быстрый радиус сходимости спектральных серий для всех масштабов [53] позволяет вычислять их достаточно точно, игнорируя многочастичные форм факторы. В последнее время развивается применение форм факторного подхода для изучения специфического класса двухмерных не интегрируемых теорий поля. Не интегрируемые теории поля могут рассматриваться как особые возмущения интегрируемых теорий [54] и вычисление много-частичных форм факторов для таких моделей представляет особый интерес. Одним из примеров является Модель Изинга, чье поведение в окрестности критической точки может рассматриваться с помощью двух различных интегрируемых моделей. Некоторые важные результаты при изучении теории возмущений для модели Изинга при некритической температуре были найдены недавно [55]. Теория возмущений в окрестности другой интегрируемой точки исследовалась в работах [56, 57, 58].

Упомянутая связь между разными интегрируемыми моделями обуславливает эффективный метод вычисления форм факторов в возмущенных минимальных моделях. Например, S-матрица частиц в Ф^з возмущенной минимальной модели получается из ¿"-матрицы бризеров модели сннус-Гордона, поведение которой вне массовой поверхности изучено довольно хорошо [23, 59]. Однако, для Ф12, Фгд и возмущенных минимальных моделей ситуация несколько иная, поскольку ¿"-матрица модели Жибера-Михаилова-Шабата имеет сложную структуру [51, 52].

В третьей главе мы рассмотрим очень узкий класс форм факторов, которые могут быть получены из форм факторов модели Буллоу-Додда [60, 61, 62]. Удобным методом вычисления много-частичных форм факторов является Лукьяновское свободно-полевое представление [29|. Этот метод успешно применялся для нахождения много-частичных форм факторов во многих интегрируемых моделях [24, 30, 63]. Свободно-полевое представления для модели Буллоу-Додда было предложено в [64, 65]. Мы предложим некоторое обобщение свободно полевого представления. В работе [27] этот метод применялся для нахождения форм факторов операторов потомков. В данной работе мы рассматриваем его другую особенность. А именно, это представление обладает простыми аналитическими свойствами и может использоваться для получения удобного свободно-полевого представления для форм факторов легчайших частиц в Ф^ возмущенных минимальных моделях. Мы получим рекуррентные соотношения между форм факторами экспоненциальных операторов и докажем отражательные свойства для форм факторов экспоненциальных операторов [33]. Мы докажем, что форм факторы удовлетворяют квантовым уравнениям движения.

Кроме того, мы рассмотрим модель Буллоу-Додда с мнимой константой связи, которая, при некоторых дополнительных условиях, соответствуют минимальной модели конформной теории поля, возмущенной одним из операторов Ф^, Ф],,-) или Ф2]1 возмущениям [51, 52, 48]. Мы рассмотрим только первую возможность и предложим свободно-полевое представление для форм факторов легчайших частиц в этой модели.

В качестве примера, мы рассмотрим модель Изинга в магнитном поле. Эта модель соответствует минимальной модели возмущенной оператором Ф^г, и связана с алгеброй [47]. Связь между моделью Изинга в магнитном поле и люделыо Буллоу-Додда была установлена в работе [64, 05]. Мы получим свободно-полевое представление для форм факторов легчайших частиц в этой модели.

Основные результаты диссертации изложены в работах [18, 45. 70].

Я выражаю благодарность А. А. Белавнну, М. 10. Дашкевичу и А. Б. Замолодчикову за постановку задач и постоянный интерес к работе. Я признателен М. А. Берштейну, А. В. Пугаю, Г. М. Тарнопольскому и Я. П. Пугаю за полезные обсуждения и поддержку.

Заключение

В первой главе нашей основной задачей было прояснение разницы между классами абсолютных и относительных когомологий. С математической точки зрения, удобно найти относительные когомологии, а затем постоить абсолютные. В некоторых случаях, например в случае, когда пространство состояний в Лиувиллевском секторе реализуется модулями Фейгина-Фукеа, существует изоморфизм Н£ы = Ще1 + соЩ^. В частности, любой представитель класса относительных когомологий является так же и представителем класса абсолютных когомлогий. Однако, в рассматриваемом нами случае связь мел-еду классами относительных и абсолютных когомлогий является более сложной.

В Предложении 3 мы доказали, что структура операторной алгебры в пространстве Ще1(£ап) П Н*Ъъ(£.ап) изоморфна алгебре полиномов от двух переменных С[а, Ь], причем этот изоморфизм реализуется оператором

Хорошо известно, что на С[а,Ь] действует алгебра Поэтому, естественно ожидать, что эта же алгебра действует в пространстве #(ге1(£а>1) П Н^Ьь(Сап). Легко проверить, что оператор Х+ соответствует повышаещему оператору этой алгебры да

Естественно ожидать, что существует такой оператор который соответствует понижающему оператору алгебры ,ч/2, а именно д

X н-> а—. до

Построение такого оператора является нерешенной задачей. Похоже, что не существует оператора такого что [О, Х-} = 0 и оператор действует не нулем на пространстве когомлогий. Можно ожидать, что существует оператор такой что [<2,АГ] ф О, но X действует на некоторых представителях пространства относительных когомологий ЩеХ(£,ап) П Н\1Ы(£Пп). Эта схема похожа на действие алгебры на пространстве гармонических форм многообразия Кахлера [17|.

Во второй главе мы рассмотрели свободно-полевое представление для форм факторов операторов потомков в модели Тоды, связанной с алгеброй Мы построили пространство решений форм факторных аксиом, которое, как мы показали, может быть биективно отображено на Фоковские пространства операторов потомков над экспоненциальными операторами Уа(х) для параметра а в случае общего положения. Мы предложили способ построения Вейль-инварпантных семейств базисов в этих пространствах. Данный способ основывается на разложении форм факторов экспоненциальных операторов при больших значениях быстрот. В принципе, возможно, по крайней мере на нижних уровнях, получить Вейль инвариантные семейства базисов в Фоковских пространствах операторов потомков в Лагранжевом формализме [42]. Однако, отождествление двух типов базисов не может быть однозначным без какой-либо дополнительной информации. Возможно, мы могли бы фиксировать отождествление в некоторых резонансных точках, по это не сделано в настоящий момент. Поэтому, задача отождествления полей и форм факторов остается не решенной.

Недавно в работах [43, 44] с использованием скейлингого предела решеточных моделей, было показано, что пространство операторов потомков, но крайней мере для модели синус-Гордона, может быть описываться с помощью некоторых фермионных операторов, действующих на пространстве локальных операторов теории. В частности, оказывается возможным точное вычисление всех вакуумных ожидаемых операторов потомков в модели [44]. Будет крайне не естественным, если эти фермионные операторы не индуцируют действие на алгебре Л® Л в нашей конструкции. Поэтому, выявление подобных фермио-нов в конструкции для форм факторов будет важным дальнейшим шагом по направлению к решению задачи об идентификации полей, если не полным ее решением.

В третьей главе в формализме свободно-полевого представления мы построили решения для форм факторных аксиом для модели Буллоу-Додда. Предложенная нами процедура бозонизации отличается от Лукьяновской тем, что минимальные форм факторы исключены из конструкции. В результате, вычисление много-точечных форм факторов сводится к вычислению определенных матричных элементов. Простая аналитическая структура этих матричных элементов позволяет получить явные рекуррентные соотношения между ними. Используя эти соотношения, мы доказываем, что форм факторы удовлетворяют квантовым уравнениям движения и удовлетворяют отражательным свойствам. Кроме того, мы приводим явные выражения для много-точечных форм факторов.

Рассматриваем квантово-групповое ограничение модели Жибера-Михайлова-Шабата, которая возникает при аналитическом продолжении модели Буллоу-Додда к мнимым значениям константы связи Ь. Предложенное свободно-полевое представление позволяет вычислять форм факторы легчайших бризеров в минимальных моделях конформной теории поля, возмущенных оператором Ф1]2. При этом, процедура вычисления генерирует функции, аналитические свойства которых совпадают с аналитическими свойствами этих функций в модели Буллоу-Додда. Это значит, что никаких дополнительных полюсов функций а при аналитическом продолжении не возникает.

В качестве примера применения предложенной конструкции мы рассматриваем модель Изинга в магнитном поле. Нетривиальной задачей является получения свободно-полевого представления для алгебры напрямую. Замечательная связь между этими моделями была установлена в работах [64, 65]. В этой работе мы получили удобное для вычислений свободно-полевое представление для 'фундаментальных' частиц в модели Изинга в магнитном поле и привели результаты вычислений много-точечных форм факторов.

1. A. Polyakov, Phys. Lett. B103 (1981) 207;

2. J. Distler and H. Kawai, Nucl. Phys. B321 (1989) 509: F. David, Mod. Phys. Lett. A3 (1988) 1651;

3. A. Belavin, A. Polyakov and A. Zamolodchikov, Nucl. Phys. B241 (1984) 333;

4. Al. Zamolodchikov, Theor.Math.Phys. 142 (2005) 183;

5. A. Belavin and AL Zamolodchikov, Theor.Math.Phys. 147 (2006) 729;

6. B. Lian and G. Zuckerman, Phys. Lett. B254 (1991) 417;

7. B. Feigin and D. Fuchs, Representations of Lie Groups and Related Topics, 465, Adv. Stud. Conteinp. Math., 7, Gordon and Breach. New York, 1990;

8. H. Kanno and M. Sarmadi. Int. J. Mod. Phys. A9 (1994) 39;

9. C. Imbinibo, S. Mahapatra and S. Mukhi. Nucl.Phys. B375 (1992) 399;

10. B. Feigin and D. Fuchs, Lectures Notes in Math. 1060 Springer, Berlin, (1984), 230;

11. S. Govindarajan, T. Jayaraman, V. John and P. Majumdar, Mod.Phys.Lett. A7 (1992) 1063;

12. S. Govindarajan, T. Jayaraman and V. John, Nucl.Phys. B402 (1993) 118;

13. I. Frenkel, H. Garland and G. Zuckerman, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 83 (1986) 8442;

14. L. Gonc.harova, Funkts. Anal. Prilozhen. 7:2 (1973) 6;

15. M. Bauer, P. Di Francesco, C. Itzykson and J.-B. Zuber, Nucl. Phys. B362 (1991) 515;

16. H. Dorn, H.-J. Otto Phys. Lett. B291 (1992) 39; H. Dorn, H.-J. Otto Nucl. Phys. B429 (1994) 375;

17. P. Griffits and J. Harris. Principles of algebraic geometry. Wiley-Interscience Publication (1994).

18. O. Alekseev and M. Berstein, Theor.Math.Phys. 164 (2010) 929

19. M. Karowski and P. Weisz, Nucl. Phys. B139 (1978) 455;

20. F. A. Smirnov, J. Phys. A17 (1984) L873;

21. F. A. Smirnov. Form factors in completely inlegrable models of quantum field theory, World Scientific:, Singapore (1992);

22. A. E. Arinshtein, V. A. Fateev and A. B. Zamolodchikov, Phys. Lett. B87 (1979) 389;

23. A. Koubek and G. Mussardo, Phys. Lett. B311 (1993) 193;

24. S. L. Lukyanov, Mod. Phys. Lett. A12 (1997) 2543;

25. H. AI. Babujian and M. Karowski, Phys. Lett. B471 (1999) 53;

26. H. Babujian and M. Karowski, J. Phys. A35 (2002) 9081:

27. B. Feigin and M. Lashkevich, J. Phys. A42 (2009) 304014;

28. H. Babujian and M. Karowski, Phys. Lett. B575 (2003) 144;

29. S. L. Lukyanov, Commun. Math. Phys. 167 (1995) 183;

30. S. L. Lukyanov, Phys. Lett. B408 (1997) 192;

31. A. B. Zamolodchikov and Al. B. Zamolodchikov, Nucl. Phys. B477 (1996) 577;

32. V. Fateev, S. L. Lukyanov, A. B. Zamolodchikov and Al. B. Zamolodchikov, Phys. Lett. B406 (1997) 83;

33. V. Fateev, S. L. Lukyanov, A. B. Zamolodchikov and Al. B. Zamolodchikov, Nucl. Phys. B516 (1998) 652;

34. C. Ahn, V. A. Fateev, C. Kim, C. Rim and B. Yang, Nucl. Phys. B565 (2000) 611;

35. V. A. Fateev, Phys. Lett. B324 (1994) 45;

36. M. R. Niedermaier, The spectrum of the conserved charges in affine Toda theories, preprint DESY-92-105 (1992).

37. M. R. Niedermaier, Nucl. Phys. B424 (1994) 184;

38. G. Delfino and G. Niccoli, J. Stat. Mech. 0504 (2005) P004;

39. V. A. Fateev, V. V. Postnikov and Y. P. Pugai, JETP Lett. 83 (2006) 172;

40. V. A. Fateev and Y. P. Pugai, Correlation functions of disorder fields and parafermionic currents in Z^r Ising models, arXiv: 0909.3347.;

41. V. A. Fateev, Normalization factors, reflection amplitudes and integrable systems, arXiv:hep-th/0103014.;

42. V. Fateev, D. Fradkin, S. L. Lukyanov, A. B. Zamolodchikov and Al. B. Zamolodchikov, Nucl. Phys. B540 (1999) 587;

43. H. Boos, M. Jimbo, T. Miwa and F. Smirnov, Commun.Math.Phys. 299 (2010) 825;

44. Al. Jimbo, T. Miwa and F. Smirnov, On one-point functions of descendants in sine-Gordon model, arXiv:0912.0934.45. 0. Alekseev and M. Laslikevich, J. High Energy Phys. 1007 (2010), 095;

45. A.B. Zamolodchikov, Advanced Studies in Pure Mathematics 19 (1989) 641;

46. A.B. Zamolodchikov, Int. J. Mod. Phys A4 (1989) 4235;

47. G. Takacs, Nucl.Phys. B489 (1997) 532:

48. N. Reshetikhin and F. Smirnov, Comm. Math. Phys. 131 (1990) 157;

49. D. Bernard and A. LeClair, Nucl. Phys. B340 (1990) 721;

50. F.A. Smirnov, Int. J. Mod. Phys. A6 (1991) 1407;

51. C. J. Efthimiou, Nucl. Phys. B398 (1993) 697;

52. J. Cardy and G. Mussardo, Nucl Phys. B340 (1990) 387;

53. G. Delfino, G. Mussardo and P. Simonetti, Nucl. Phys. B737 (1996) 469;

54. A. Zamolodchikov and I. Ziyatdinov, Nucl.Phys. B849 (2011) 654;

55. G. Delfino, P. Grinzaand G. Mussardo, Nucl.Phys. B737 (2006) 291;

56. B. Pozsgay and G. Takacs, Nucl.Phys. B788, (2008) 167;

57. B. Pozsgay and G. Takacs, Nucl.Phys. B788 (2008) 209;

58. A. Fring, G. Mussardo and P. Simonetti, Nucl.Phys. B393 (1993) 413;

59. R.K. Dodd and R.K. Bullough, Proc. R. Soc. London A352 (1977) 481;

60. A. Fring, A. Mussardo and P. Simonetti, Phys. Lett. B307 (1993) 389;

61. C. Acerbi, Nucl.Phys. B497 (1997) 589;

62. V.A. Fateev and M. Lashkevich, Nucl.Phys. B696 (2004) 301;

63. Y. Hara, M. Jimbo, H. Konno, S. Odake and J. Shiraishi, arXiv:math/9902150vl /math.QA/, (1999);

64. V.A. Brazhnikov and S.L. Lukyanov, Nucl. Phys. B512 (1998) 616;

65. A. Koubek, Int. J. Mod. Phys. A9 (1994) 1909;

66. G. Delfino and G. Mussardo, Nucl. Phys. B455 (1995) 724;

67. G. Delfino, P. Simonetti and J.L. Cardy, Phys. Lett. B387 (1996) 327;

68. G. Mussardo and P. Simonetti, Int. J. Mod. Phys. A9 (1994) 3307;

69. O. Alekseev, Theor.Math.Phys. 173 (2012) 1518;

70. R. Guida and N. Magnoli Phys.Lett. B411 (1997) 127;