Физика эксклюзивных реакций в КХД: теория и феноменология тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РГЬ Ой

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2-97-144

На правах рукописи УДК 539.126.3

СТЕФАНИС Николаос Георгиу

ФИЗИКА ЭКСКЛЮЗИВНЫХ РЕАКЦИЙ В КХД: ТЕОРИЯ И ФЕНОМЕНОЛОГИЯ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физлка

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Дубна 1997

Работа выполнена в Институте теоретической физики (II) Рурского университета (Бохум, Германия)

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, профессор

доктор физико - математических наук, профессор

доктор физико - математических наук, профессор

В.В.Анисович

л

А.В.Ефремов Р.Н.Фаустов

Ведущее научно-исследовательское учреждение:

Институт ядерных исследований РАН, Москва.

Защита диссертации состоится на заседании специализированного совета Д047.01.01 в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований " 28 " мая 1997 г. по адресу г. Дубна, Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан

.1997 г.

Ученый секретарь совета

кандидат физико - математических наук

уравлев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Непротиворечивое описание эксклюзивных реакций с адронами является одной из важнейших задач применения квантовой хромо-динамики (КХД). Для решения этой проблемы в рамках теории возмущений КХД необходимо выделить амплитуду процесса на малых расстояниях и показать, что она инфракрасно- (ИК)-конечна. Тогда теория возмущений КХД позволяет систематически проводить количественные расчеты. Формально, это соответствует факторизации режимов так, что области больших ("жестких") и малых ("мягких") импульсов могут быть разделены (факторизованы), при этом факторизованные части амплитуды зависят лишь от динамики, характерной для соответствующего масштаба. В рамках такой схемы амплитуда реакции становится произведением (конволюцией) двух или более множителей, каждый из которых, по предположению, зависит только от динамики, характерной для данного масштаба импульса, а эволюция факторизованных частей контролируется ренормгруппой (РГ). Важно, что в жесткой части процесса применимы методы теории возмущений КХД. Для ИК-конечности амплитуды жесткого рассеяния необходимо выполнить вычитание ИК-особенностей, а остающиеся высоко - импульсные компоненты в "мягких" амплитудах распределения устраняются обрезанием сверху интегралов по поперечным импульсам. И процедура вычитания высоко-импульсной компоненты в мягких частях, и процедура сокращения ИК-расходимостей в жесткой части неоднозначны, но они фиксируют схему факторизации, приводящую к неявной зависимости вычисления полной амплитуды процесса от схемы. Основная идея факторизации состоит в том, что масштаб времени, характерный для жесткой части амплитуды и масштаб времени образования свободного адрона в конечном состоянии - несоизмеримы. Поэтому соответствующие динамики не скоррелированы, а амплитуды - некогерентны. Вследствие мгновенного характера жестких взаимодействий, возмущенное квантовомеханическое состояние остается неизменным, а его эволюция со временем определяется Гамильтонианом возмущения (импульсное приближение).

В ведущем порядке по константе связи кварк-глюонные подпроцессы при больших передачах импульса могут быть адекватно описаны ядрами одноглю-

онного обмена. В рамках такого подхода кварк, испытавший удар, связан с другими валентными кварками посредством сильно виртуальных глюонных про-пагаторов. Это означает, что поперечные межкварковые расстояния весьма малы (порядка обратного переданного импульса и чти все иартоны несут сравнимые доли продольного импульса. Этот подход будет в последующем называться "стандартной схемой конволюции" (ССК). Упругие формфакторы адрона в рамках этой схемы являются конволюциями амплитуд жесткого рассеяния, вычисленных в ведущем порядке теории возмущений КХД с асимптотическими амплитудами распределения, следующими из решения уравнения эволюции. Однако, результаты подобных расчетов не способны воспроизвести значения формфакторов, измеренные при лабораторных передачах импульса. В частности, чтобы предсказать правильную нормировку и знак формфактора нуклона при реальном значении константы сильного взаимодействия аа, необходимо, либо использовать асимметричные амплитуды распределения, либо предположить, что доминируют степенные вклады неведущего твиста. Согласно опыту, который нам дает глубоконеупругое рассеяние, амплитуды распределения в области достижимых С)2 далеки от их асимптотик и имеют значительное усиление на краю области фазового пространства. Ясно, что с уменьшением внешнего импульса уменьшается масштаб разрешения, появляются квантовые моды с соответствующей длиной волны и нарушается чисто пертурбативная картина квази-свободных валентных кварков, связанных друг с другом посредством одноглюонного обмена. При этом интерферируют флуктуации фоновых полей нетривиального вакуума КХД, и их также нужно учитывать при самосогласованном расчете. Вопрос о том, где будет иметь место переход от чисто пертурбативной фазы к непертурбативной — это и есть предмет нашей дискуссии.

В приближении ведущего твиста мягкие части факторизованной эксклюзивной амплитуды представляются в виде волновых функций валентного состояния па световом конусе. Последние описывают распределение партонов в адроне по фракциям продольного импульса, усредненное по поперечным импульсам вплоть до значения масштаба факторизации. При этом вклады от высших Фо-ковских состояний с дополнительными ад-парами и глюонами (высшие твисты)

подавлены степеням» переданного импульса.

В операторном разложении (ОН) такие вклады соответствуют составным кварк-глюониым операторам с возрастающим твистом, включение которых вводит новые параметры порядка, подлежащие оценке. Амплитуды распределения при конечных передачах импульса не могут быть вычислены в рамках пертур-батпвноп КХД. для этого требуются непертурбативные подходы типа правил сумм КХД или расчеты на решетке. Такие расчеты достигли определенного уровня совершенства, хотя вычисление высших моментов амплитуд распределения, соответствующих производным высшего порядка от локальных операторов. в настоящее время является трудной задачей. Используя впльсонов-ские фермпоны. в приближении заморозки были вычислены "константа распада протона" (связанная с нулевым моментом) /д> п три момента первого порядка амплитуды распределения нуклона. Рассчитанные таким образом величины оказались в противоречии с соответствующими величинами, полученными из правил сумм КХД.

Правила сумм КХД — особенно эффективное средство для определения амплитуд распределения адронов либо с помощью наложения локальных связей на их моменты, либо посредством фиксирования их структуры как целого с помощью аналитического продолжения. Первый метод представляет собой вычисление матричных элементов локальных операторов ведущего твиста, содержащих внешние производные. С точностью до погрешности процедуры обращения моментов, определенные таким образом амплитуды распределения выделяют те конфигурации, в которых 1 кварк ведущий, а остальные — более или менее медленные. Оказалось, что такие конфигурации, большой частью сосредоточенные на краю области фазового пространства, вряд ли можно связывать с перерассеянием жестких глюонов, описываемым пертурбативной КХД. Скорее их можно связать с Феймановским механизмом, в котором большой импульс передачи сообщается кварку, испытавшему удар и находящемуся на прицельном расстоянии 1/0 от элек трона, в то время как все другие партоны занимают случайные позиции в поперечном направлении, образуя "мягкое облако" поперечного размера 1/С,). Поэтому большая часть вкладов в формфакторы возникает от (пепертурбативной) области на краю фазового пространства. Устране-

ние этих краевых вкладов приводит к существенному уменьшению абсолютной величины формфакторов.

В основе второго подхода лежит попытка определения амплитуд распределения посредством дисперсионных соотношений с помощью нелокальных конденсатов, которые учитывают ненулевую виртуальность кварков в вакууме. Такой подход более реалистичен с точки зрения модели вакуума, в нем нет проблемы обращения моментов, но до сих пор он применялся лишь к пиону. В этом случае обнаружено, что вычисленная амплитуда распределения не имеет "двугорбого" профиля с провалом в середине, как дают правила сумм КХД с использованием обращения моментов, а является по форме более близкой к асимптотической, хотя и шире последней. Этого оказывается достаточно для предсказания значений формфактора пиона, близких к экспериментальным данным, которые, однако, известны еще слишком грубо, чтобы это согласие служило убедительным доказательством. Что касается нуклона, такая, близкая к асимптотической, амплитуда распределения не может обеспечить правильные предсказания для формфактора в рамках ССК в ведущем порядке. В отличие от асимптотического формфактора пиона

<з цг

формфактор протона при асимптотических (¡)2 пренебрежимо мал. Следовательно, в случае нуклона в амплитуде распределения имеется дисбаланс продольных импульсов, кроме того ИК-чувствительный край области фазового пространства нужно рассматривать особенно тщательно. Здесь необходимо использовать нелокальные конденсаты старших размерностей, которые нельзя свести к основным конденсатам, поскольку в этом случае гипотеза вакуумной доминантности априорно не верна. До тех пор, пока нет более совершенных методов, существующие правила сумм для моментов вполне самосогласованны, а полученные здесь модельные амплитуды распределения для барио-нов качественно удовлетворительны, если пренебречь неточностью, имеющейся при обращении моментов. Действительно, из сравнения набора вычисленных формфакторов с имеющимися экспериментальными данными видно достаточно хорошее согласие с экспериментом.

Возвращаясь к проблемам края области и больших ИК логарифмов, видим, что так как доли продольных импульсов сосредоточены при х,- —> 0, 1, то, следовательно, кварк, испытавший соударение, близок к массовой оболочке до и после того, как он поглотит виртуальный фотон. С увеличением Q2 этот кварк будет испускать большое количество (мягких) глюонов, приводя тем самым к затухающей экспоненте (судаковский формфактор ), которая подавляет рассеяние без излучения. Учет таких эффектов с помощью недавно развитых методов суммирования во всех порядках главных ИК логарифмов сводится к модифицированной факторизации амплитуды рассеяния, называемой "модифицированной схемой конволгоции" (МСК). Расчеты в рамках такой схемы расширяют область применимости пертурбативного описания на краю области фазового пространства, экранируя возможные особенности as, и одновременно уменьшают в 2-3 раза предсказания в ведущем порядке (для нуклона).

Феноменология также полностью не ясна и, следовательно, выделение волновых функций адрона непосредственно из экспериментальных данных — это задача, находящаяся все еще в зачаточном состоянии. Следует иметь в виду, что до настоящего времени были рассчитаны только немногие, сравнительно простые эксклюзивные процессы в целях сравнения с экспериментом. Эксперименты, планируемые на усовершенствованном ускорителе TJNAF (ранее СЕВ AF) (США) и на будущих высокоэнергетических машинах типа FLFE (HERA, Германия), позволят получить высокоточные данные в интересующей нас области Q2 и помогут в прояснении и улучшении теоретических понятий и моделей.

Цель диссертации. Работа посвящена аналитическому и феноменологическому изучению различных эксклюзивных реакций в рамках ССК и МСК, определению непертурбативных вкладов через модельные амплитуды распределения для нуклона и Д-резонанса, полученные из правил сумм КХД, и сравнению полученных результатов с экспериментом. Подробно исследуется решение уравнения эволюции нуклона в порядке, следующем за ведущим.

Научная новизна и практическая ценность. В рамках теоретико - воз-мущенческого подхода решено эволюционное уравнение ренормгруппы для ну-

клона в порядке, следующем за ведущим. На. основе симметрированного полиномиального базиса Аппеля получены согласованный набор собственных функций и соответствующие им аномальные размерности. Впервые систематически рассчитаны аномальные размерности трилинейных кварковых операторов твиста 3, в целом содержащих до 150 внешних производных, с помощью комбинированных алгебраического и численного алгоритмов. Эти расчеты позволили выделить тенденцию к явно логарифмическому поведению аномальных размерностей в асимптотике, что подтверждает предыдущие предположения, основанные на экспоненциации вкладов ведущих петель. В рамках этого базиса собственных функций получено явное соотношение между коэффициентами разложения (на соответствующие собственные функции) и точными моментами амплитуды распределения нуклонов (барионов). Это выражение универсально; поскольку оно позволяет провести аналитическую реконструкцию амплитуды распределения нуклонов только из ее моментов при обрывании ряда на любом заданном члене. Как только эти моменты определены (например, с помощью правил сумм КХД или моделирования на решетке) или извлечены из эксперимента, их можно использовать для получения соответствующей амплитуды распределения нуклонов, не обращаясь к дополнительной информации. Эффективность алгебраической структуры собственных функций состоит в том, что как только структурные коэффициенты вычислены и табулированы, их можно использовать для представления произвольной функции /(хх, 1 — —х3,хз) через нуклонные собственные функции с точностью до любого наперед заданного порядка.

В рамках непертурбативного подхода было систематически исследовано пространство амплитуд распределения нуклона, описываемых существующими в настоящее время правилами сумм КХД для моментов. При этом х2_критерий строится так, что учитывается более высокая стабильность моментов низших порядков. Такое глобальное ограничение, накладываемое на форму амплитуды распределения нуклонов, в отличие от локальных ограничений, накладываемых на моменты, позволяет найти полный набор решения, который образует орбиту в плоскости значений коэффициента разложения В4, отвечающего соответствующей (антисимметричной) собственной функции, и отношения формфакторов

R = \Gh\/GpM. Эта процедура приводит к доминированию вкладов нижайших порядков и в то же время сводит к минимуму влияние отбрасываемых членов высших порядков, которые тем не менее эффективно учитываются в параметрах низкого порядка. Этот подход очень похож на метод Тамма - Данкова -обрывания упорядоченных по времени произведений в КТП при поиске решения для основного состояния. Основная физическая идея аналогична оптимизации зависимости физических величин от схемы перенормировки при рассчетах по теории возмущений в соответствии с принципом минимальной чувствительности,. Подобное свойство регулярности было также установлено между отношениями различных формфакторов нуклонов, например, в плоскости дл/G^f -\G»M\/G>M также возникает орбита амплитуд распределения.

Был введен угол "гибридности'", который однозначно параметризует смешивание геометрических характеристик, приписываемых амплитудам с различными структурами минимумов и максимумов. Весьма нетривиально то, что все амплитуды распределения нуклонов, предложенные до настоящего времени в литературе, лежат лцбо на. орбите (если это физические амплитуды), либо вне ее (еслп они имеют нефизические черты). Такое свойство орбиты можно использовать для обоснования или исключения возможных моделей, тем самым уменьшая объем явных вычислений. Более того, структура орбиты сохраняется также в случае МСК эксклюзивных реакций, которая учитывает эффекты отсуммированных радиационных поправок, обусловленных мягкими глюонами, в форме убывающих судаковских экспонент. Показано, что в аксиальной калибровке МСК эквивалентна ИК-конечной перенормировке нуклонной волновой функции, обусловленной мягкими глюоняяп, в дополнение к ультрафиолетовой (УФ) перенормировке волновой функции.

В рамках МСК были вычислены формфакторы протопа. и нейтрона, сохраняющие спиральность, способом, обеспечивающим правильный учет эффектов подавления Судакова и внутренних межкварковых поперечных масштабов нуклона. В силу когерентности эти масштабы скоррелированы, причем максимальный масштаб используется в качестве ИК-обрезаиия для обеспечения in situ регуляризации опасных особенностей rts в граничных точках переменной .г. Тем самым справедливость пертурбативных расчетов восстанавливается без

введения внешних ИК-регуляторов типа эффективной массы глюона. В (мягких) частях волновых функций учитывались также эффекты конфайнмента, т.е. непертурбативных поперечных импульсов кварков, с помощью нефактори-зуемого анзана продольных и поперечных степеней свободы. Полученные таким образом теоретические предсказания сравнивались с экспериментальными данными. Оказалось, что теоретические расчеты для формфакторов, по крайней мере, в 2 раза меньше экспериментальных данных. Обсуждаются возможные причины такого расхождения и некоторые предложения по улучшению теоретического описания.

На защиту выдвигаются следующие результаты

1. Решение уравнения эволюции для нуклона.

Дается подробное описание ренормгрупповой эволюции: вычислены собственные функции в порядке, следующим за ведущим, и соответствующие аномальные размерности трилинейных кварковых операторов твиста 3, содержащих большое число, вплоть до 150, производных. На основании этого, впервые сделана оценка асимптотического поведения аномальных размерностей и установлен их логарифмический рост.

2. Понятие гетеротической амплитуды распределения нуклонов. Показано, что можно построить амплитуду распределения нуклонов, удовлетворяющую ограничениям на моменты из правил сумм, и в то же время приводящую к малому отношению формфакторов R = \G\j\/GpM. Эта амплитуда распределения обладает наилучшими свойствами как модели Черняка-Оглобина-Житницкого (ЧОЖ), гак и модели Гари-Стефаниса (ГС). Оказывается, что эта "гетеротическая" амплитуда распределения нуклонов дает наилучшее согласие с экспериментальными данными для различных нуклонных наблюдаемых, таких как формфакторы (GPM, G'%u G"M, дА), сильные эксклюзивные распады чармония на рр из состояний 3Si, 3Pi, и 3Р?.

3. Оптимизированные варианты предыдущих моделей. Получены варианты амплитуд распределения, оптимизированных относительно ограничений на моменты, налагаемых из правил сумм ЧОЖ, ГС, а также Кинга-Сахрайды (КС).

4. Гетеротическая амплитуда распределения для Д(1232). На

основе идеи "гетеротичности", предложена новая амплитуда распределения для Д— резонанса, которая дает наилучшее согласие с существующими правилами сумм для моментов при сравнении с экспериментальными данными по электромагнитному формфактору N — Д перехода при больших передачах импульса. Эффект насыщения а, посредством зависящей от импульса эффективной массы глюона изучался в G"M. Как и в случае нуклона, рассчитаны эксклюзивные распады чармония в ДД и сделаны предсказания для отношений парциальных амплитуд и ширин распада.

5. Глобальная модель амплитуд распределения нуклонов. Используя х2-критерий, который не только параметризует отклонения от правил сумм для моментов горизонтально (т.е. в рамках некоторого фиксированного порядка), но вдобавок влияет на качество этих правил вертикально (т.е. в соответствии с их порядком), получен полный набор амплитуд в ведущем порядке по продольному импульсу х. Хотя эти амплитуды имеют различное расположение максимумов и минимумов по \2, все они удовлетворяют простому соотношению скейлинга между Rn В\ - коэффициентом проекции на соответствующую антисимметричную собственную функцию порядка 2. Эта "орбита" амплитуд в плоскости R — В\ ограничена интервалом 0.1 < R < 0.48. Отклонение амплитуды распределения нуклона от орбиты можно математически оценить с помощью угла "гибридности" который был вычислен для всех рассмотренных амплитуд.

6. ИК регуляризация в рамках МСК.

Последовательным образом учитывается влияние радиационных поправок (мягких) глюонов посредством формфакторов типа Судакова с помощью ИК-регуляризации, основанной на предположении, что кварки на больших поперечных расстояниях действуют когерентно и поэтому не могут излучать мягкие глюоны ("МАХ" предписание). Этого рецепта достаточно не только для экранирования опасных особенностей а, на краю области фазового пространства, но также для обеспечения конечности расчетов формфакторов. При этом за счет ИК-стабилыюсти восстанавливается справедливость теории возмущений, поскольку даже с учетом эволюции подынтегральные выражения для формфак-

торов остаются конечными.

7. Насыщение формфакторов. Регуляризующие свойства МАХ рецепта проявляются в том, что пертурбативный вклад в нуклонный формфак-тор насыщается, т.е. результат становится нечувствительным к учету мягких областей, где as становится чрезмерно большой. Другие процедуры ИК регуляризации, предложенные в литературе, насыщение обеспечить не способны. Максимально сильное насыщение необходимо для самосогласованности пертур-бативного подхода.

8. ИК-перенормировка волновой функции нуклона. Показано, что в аксиальной калибровке суммирование радиационных поправок мягких глюо-нов равнозначно конечной перенормировке волновой функции нуклона (в более общем случае, адрона). Этот ИК рескейлинг приводит к подавлению формфакторов в рамках МСК.

9. Нуклонные формфакторы в рамках МСК. В рамках МСК рассчитаны нуклонные формфакторы GPM и G^ для всего набора нуклонных амплитуд распределения на орбите. Кроме того, проведены подобные расчеты с помощью нуклонных амплитуд распределения, содержащих собственные функции 3-го порядка. Предсказания для всех формфакторов оказываются в 2-3 раза меньше, чем экспериментальные данные, тем самым свидетельствуя, что либо важны пертурбативные поправки высшего порядка, приводящие к К -фактору порядка 2, либо степенные (мягкие) вклады все еще доминируют при экспериментально измеряемых передачах импульса.

10. Модифицированная структура орбиты. Структура орбиты нуклонных амплитуд, найденная в рамках ССК, сохранится и в рамках МСК, причем при больших значениях Q2 она как целое стремится к начальной ССК орбите. Это согласуется с интерпретацией судаковских экспонент как ИК перенормировочных факторов адронных волновых функций.

Апробация работы.

Эта работа была выполнена во II институте теоретической физики Рурского университета (Бохум, Германия) и в рамках программы Гейзенберг-Ландау в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова (ОИЯИ, Дубна,

Россия). Основные результаты представлены в ряде приглашенных пленарных докладов, а именно, на рабочем совещании по эксклюзивным реакциям при больших передачах импульса (Эльба, Италия, 24-26 нюня 1993г; на Международной конференции по структур( адронов (Банска Штявница, Словакия), сентябрь 5-10, 1993; рабочем совещании по квангповополевым теоретическим аспектам физики высоких энергий (Кефхаузер, Германия), сентябрь 20-24, 1993 г.; "Структура адронов '96, взаимодействия при высоких энергиях: теория и эксперимент" (Стара Лесна, Высокие Татры, Словакия), февраль 12-17, 1996; на семинаре по структуре адронов и 1\ХД в жестких процессах (Европейский теоретический центр, Тренто, Италия), 3 июля - 13 августа, 1994; а также в нескольких приглашенных докладах, в том числе на международном рабочем совещании по КХД при конечной температуре. Связанные состояния и ядерная динамика (Дубна, Россия), май 20-22, 1993; XII международном семинаре по проблемам физики высоких энергий. "Релятивистская ядерная физика и квантовая хромодинамнка" (Дубна. Россия), сентябрь 12-17, 1994; международной конференции по конфайнменту кварков и спектру адронов (Вилла Олмо, Комо, Италия), июнь 20-24, 1994; кроме того, прочитаны лекции по эксклюзивным реакциям на IV греческой школе по физике элементарных частиц (Корфу, Греция), сентябрь 2-20, 1992 и на XXXIV Краковской школе по теоретической физике (Закопане, Польша) 31 мая -10 нюня, 1994. Исследования, представленные в этой диссертации, были опубликованы в рецензируемых журналах и трудах конференций. Список основных публикаций, состоящий из 22 работ, прилагается к диссертации.

Структура диссертации

Диссертация насчитывает 136 пронумерованных текстовых страниц, включает предисловие, введение, 4 основные главы с несколькими разделами, заключение, 2 приложения и список библиографий из 150 ссылок. Кроме того, в ней имеются 12 таблиц и 35 рисунков с соответствующими подписями.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В предисловии (первая глава) даны теоретические основы и основные этапы диссертации.

Во введении (вторая глава) приводится обзор последних теоретических достижений в теории и феноменологии эксклюзивных реакций в рамках КХД. Обсуждается использование конденсатов в связи с правилами сумм КХД и дается обзор применения пертурбативных методов. Представлены различные модельные амплитуды распределения для пиона, нуклона и Д(1232) резонанса. Особое внимание уделено гетеротическому подходу и глобальным свойствам амплитуд распределения нуклонов. Выделены проблемы, обусловленные чувствительностью к краевым эффектам и подобным вопросам. Объясняется стратегия, лежащая в основе модифицированной схемы конволюции, в которой учитываются радиационные поправки (мягких) глюонов посредством формфакторов типа судаковского, в связи с методами И К регуляризации с целью подавления особенностей бегущей константы связи на краю области. Основные предсказания различных моделей обсуждаются с феноменологической точки зрения и сравниваются с экспериментальными данными.

В третьей главе описываются основные черты анализа эксклюзивных амплитуд в рамках стандартной схемы конволюции. Эта глава состоит из 6 разделов.

В первом разделе рассматриваются факторизация на уровне амплитуд и выделение ее жесткой части, зависящей от малых расстояний, которая может быть описана в рамках пертурбативной КХД. Обсуждаются проблемы локальности масштаба, ИК стабильности и зависимость от схемы факторизации.

Второй раздел посвящен выделению жесткой части рассеяния при расчете упругих формфакторов с помощью кинематики светового конуса.

В третьем разделе анализируются пертурбативные аспекты мягкой части амплитуды, зависящей от больших расстояниях, в основном ее эволюция, контролируемая ренормгруппой. Подробно исследуется уравнение эволюции для мезона, чтобы подготовить почву для более тщательной трактовки уравнения эволюции для нуклона. Последнее решается в порядке, следующим за ведущим, и определяются соответствующие собственные функции и аномальные

4

4

3

2

0

0

0 20 40 60 80 1СО 120 НО

polynomial order

Рис. 1: Спектр аномальных размерностей трилинейных кварковых операторов твиста 3, содержащих до 150 производных. Сплошная кривая — логарифмический фит верхней огибающей спектра вплоть до порядка М = 90.

размерности с использованием симметризованного базиса полиномов Аппеля. Сводка результатов вплоть до порядка полинома М = А приведена в таблице. В несколько стадий (М=9, М=20, М=37, М=150) проведена оценка поведения аномальных размерностей трилинейных операторов кварков твиста 3, содержащих до 150 производных, от числа этих производных и найдено, что она растет логарифмически с порядком М (рис. 1) [1,2,4,3,5].

В четвертом разделе вводятся основные элементы расчета моментов (ба-рионных) амплитуд распределения на основе правил сумм КХД. Представлено универсальное соотношение между нормированными коэффициентами разложения Вп по собственным функциям и моментам, включая эволюцию, что допускает аналитические расчеты с точностью до любого наперед заданного порядка разложения:

Были вычислены и сведены в таблицу значения констант нормировки Ып и матричных коэффициентов ау вплоть до порядка М = 4. Приводятся явные алгебраические выражения для коэффициентов разложения нуклонной амплитуды распределения Фдг со смешанной симметрией через моменты полинома 3-го порядка. Моменты от Фд' вплоть до порядка М — Ъ приведены в таблице как

—In оо

',]=о

(1)

функции коэффициентов разложения Вп. Обсуждается, как можно осуществить обрывание ряда по собственным функциям, чтобы обеспечить доминирование членов низкого порядка, посредством добавления к локальным ограничениям, следующим из правил сумм для моментов, глобальных связей, накладываемых на амплитуду распределения как целое. Указана аналогия этой процедуры с оптимизацией зависимости физических величин от схемы перенормировки, т.е. с принципом минимальной чувствительности [6,7,3,8,5].

В пятом разделе определяется ^-критерий, который является оценкой отклонения моментов от их значений, полученных с помощью правил сумм, в в зависимости от номера момента. Такое "иерархическое" описание правил сумм для моментов позволяет систематическим образом изучать весь спектр нуклон-ных амплитуд распределения, которые согласуются с ограничениями, следующими из правил сумм, а уравнение эволюции выполнены по построению. Помня, что вклады высшего порядка приводят к искусственным осцилляциям при любом способе обрывания ряда по собственным функциям, находим, что благодаря х2 " критерию, амплитуда распределения должна 1) наилучшим образом удовлетворять моментам наинизшего порядка и 2) быть как можно более гладкой функцией. Такое описание ограничений, следующих из правил сумм на моменты, вместе с аналитическим соотношением между коэффициентами разложения и точными моментами приводит к характерному ряду минимумов по X2, который и образует "орбиту" в плоскости R — В*, где R = \G1f\/GvM (Fig. 2). Эта орбита конечна и простирается от амплитуд типа ЧОЖ ей« 0.48 до амплитуд с Я и 0.1. Последнее значение соответствует новой амплитуде распределения нуклонов, называемой "гетеротическим" решением (см. ниже). Амплитуды перекрестного типа выстраиваются через основную орбиту и в них проявляется удивительное скейлинговое поведение, когда они из ЧОЖ амплитуд превращаются в гетеротические амплитуды. Структура орбиты не зависит от порядка обрезания ряда по собственным функциям и присуща амплитудам, в которые входят высшие полиномы Аппеля. Более того, при факторизации МСК орбита изменяется как целое и возвращается к первоначальной для значений Q2 порядка 103 ГэВ2. Это позволяет получить более общее теоретическое обоснование орбиты. Замечательно то, что амплитуды с нефизическими харак-

теристиками (но сравнительно точно отвечающие правилам сумм ), предлагаемые в литературе, лежат вне орбиты, являясь, поэтому, фиктивными решениями. ГС амплитуда и ее оптимизированные варианты отделяются от орбиты посредством \-2-барьера, поскольку они соответствуют локальным минимумам X2, расположенным значительно ниже уровней точности.

Эти замечания могут быть более обоснованы с математической точки зрения, если рассмотреть схему классификации различных амплитуд распределения нуклонов на основе того наблюдения, что оптимизированные варианты амплитуд типа ЧОЖ и ГС почти ортогональны друг другу с весом ги(х,) = Фа*(-т1')/120. Поэтому эти функции образуют квазиортогональный базис, который можно использовать для непрерывной параметризации нуклонных амплитуд распределения через угол "гибридности" -9. Последний параметризует смешивание геометрических характеристик амплитуд типа ЧОЖ и ГС и дает количественную меру для их присутствия в любом решении, согласующемся со ограничениями из правил сумм. В частности, смешивание геометрических характеристик характерно для гетеротпческого решения, которое объединяет в себе черты амплитуд обоего типа. В этой роли, гетеротическая модель обладает особым достоинством, так как в одно и то же время дает надежные предсказания для экспериментальных данных (в рамках ССК) и находится в разумном согласии с ограничениями из правилами сумм. В явном виде Фд'1 (см. рис. 3) дается формулой

Фйе'(.г.) = Ф„(.т,-) [ - 19.773 + 32.756^! - а*) + 2б.569.т2

+ 16.625.г,.т3-2.916.^+ 75.25.-^ . (2)

Подобные выражения справедливы также и для других моделей. Вычислены и сведены в таблицу все теоретические параметры для разных рассмотренных амплитуд распределения нуклонов [9,10,11,12,13,3,1,14].

В шестом разделе понятие гетеротичности, введенное для нуклона, обобщается на случай Д+(1232) резонанса. Связи, накладываемые правилами сумм, полученные независимо Фаррар и др. (ФЖОЖ) и Карлсоном и Пуром (КП), для моментов амплитуды распределения Д—резонанса, рассматриваются совместно. Таким образом находится гетеротическая амплитуда, которая, удо-

0.6

■ СОГ.Г0Г"".С01* ГГ.

• Но.К(|

т 0<-ЬЬ

« юккяла

0.4

£

О

0.4

О* 0.2

0.3

У 0.2 0.1 0.0

•0.2

О

-20 -10 0 10 20 30

-20 -10 0 10 20 30

в.

4

Рис. 2: Глобальная модель в плоскости Я— В4 амплитуд распределения нуклонов, которые подчиняются ограничениям из правил сумм на моменты со сравнимой точностью по "иерархическому" \2.-критерию, обсужденному в тексте. На левом рисунке показана орбита, полученная в рамках ССК. Вставка в левом нижнем углу показывает вертикальный масштаб между Я = 0.455 и Я = 0.495, (а масштаб по горизонтали В4 отвечает интервалу [—10,0]/' здесь видно хорошее согласие между базисной орбитой и множеством амплитуд, учитывающих полиномы Аппеля 3-го порядка, которые были предложены другими авторами. Правый рисунок показывает, как изменяется орбита в рамках МСК с учетом судаковских глюоппых эффектов и зависимости ну-клонной волновой функции от передачи импульса.

4».

Не1его|1С

N

Рис. 3: На левом рисунке показан оптимизированный вариант амплитуды распределения нуклонов Гари - Стефаниса. На правом рисунке показана ге-теротическая амплитуда распределения, которая объединяет, характерные черты как модели ГС, так и модели ЧОЖ. Соответствующее значение В. равно 0,104.

влетворяя всем правилам сумм ФЖОЖ, дает наилучшее возможное согласие со ограничениями КП и имеет форму, замечательно близкую к виду 'КП и к виду асимптотического решения (рис.4). Явный вид Фде{ дается формулой

Фд'(г.) = ФаДжО [7.2041 - 8.2859х2 - 21.3682х1ж3 - 4.9247 + х\) . (3)

Феноменологические приложения этих амплитуд распределения описаны в следующих публикациях [1,3,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15].

В четвертой главе, после краткого концептуального введения, представлены предсказания для ряда упругих электромагнитных формфакторов, полученные с помощью нуклонных и А -резонансных амплитуд распределения, соответствующих базисной орбите.

В первом разделе рассматриваются нуклонные формфакторы, сохраняющие спиральность. Используя факторизацию, определяемую ССК, они принимают следующий вид

^(д2) = £[Лх] ¡\йу) ф*(№, Оу) 7*и, д) Ф(*,., 0Х),

(4)

Рис. 4: Профиль гетеротической амплитуды распределения Д+(1232).

где

[ix] = 5 Ii - ¿>¡1 П \ ,=i / j=i

а Qx — min(xi(5) или Qr = min ((1 — x,)Q), и аналогично для переменной у. Поскольку в общем случае виртуальности глюонов могут зависеть от продольной части импульса, то бегущая константа связи в жесткой части рассеяния может иметь сингулярность в конечных точках области. Обсуждаются различные вычислительные схемы, позволяющие обойти эту проблему. Получены предсказания для ну к лонных магнитных формфакторов См и Сд/, аксиального <7д и изоскалярного формфактора причем а3 описывается с помощью "пикового приближения". На рис. 5 приведены соответствующие результаты для гетеротической амплитуды распределения нуклона и некоторых других моделей [1,3,5,6,7,9,14,11,17].

Во втором разделе обсуждается электромагнитный N — Д переход, который позволяет проверить качество модельной амплитуды распределения для нуклона и Д (1232), полученных в предыдущих главах. С помощью свертки, аналогичной формуле (4), получается формфактор G*M, показанный на рис. 6. Сплошные кривые получены с помощью гетеротической амплитуды распределения для нуклонов и различных моделей для Д резонанса. Прерывистыми линиями показаны также два различных расчета с учетом гетеротических амплитуд для нуклона и Д: i) — модифицированное выражение для as(Q2), в

Qz [GeV2/c2]

Рис. 5: Сравнение с имеющимися экспериментальными данными магнитного формфактора протона и нейтрона для гетеротических и других модельных амплитуд распределения, обозначенных акронимами соответствующих авторов. Во всех вычислениях использовались значения Aqcd = 0.180 ГэВ и |/л'| = 5.0 х 10"3 ГэВ2.

котором учитываются эффекты насыщения посредством динамической массы глюона (штрих-пунктирная линия) и ii) — эффект (32-эволюции коэффициентов разложения В„ (штриховая линия).

Согласие гетеротических предсказаний с вышеуказанным экспериментом, скажем, при Q2 = 4ГэВ2, где справедливо пертурбативное описание, находится в пределах экспериментальных ошибок. Повторный анализ последних данных, проведенный Стюартом и др. приводит к общему сдвигу в сторону увеличения примерно на одно а. Этот сдвиг экспериментальных точек приводит к еще лучшему согласию с гетеротическим предсказанием [1,3,5,7,9,14,15,11,17].

В пятой главе обсуждаются эксклюзивные распады состояний чармоиия 3St (Хсо), 3Pi Uci), и 2Рг (\'сг) в рр and ДД. Парциальные ширины вычислены для различных нуклонных и Д(1232) амплитуд распределения с использованием тех же самых параметров, что и при расчете формфакторов, при значе-

Рис. 6: Формфактор перехода 7рЛ+, рассчитанный с помощью гетеротиче-ской амплитуды для нуклона и различных амплитуд распределения для Д+. Для сравнения приведены существующие экспериментальные данные. Прерывистые кривые соответствуют расчетам, описанным в тексте. Предсказания, вытекающие из применения других популярных нуклонных амплитуд распределения, указаны на правом поле. Открытые кружки с коридором ошибок — это инклюзивные данные из эксперимента БЬАС ЫЕП, обработанные Сто-илером. Отметим, что при получении всех кривых использовалось значение |/д| = 11.5 х Ю-3 ГэВ2.

нии о5 = 0.21, полученном Барбиери и др. в пиковом приближении. И в этом случае сравнение с данными, в частности, полученными в эксперименте Е760 в лаборатории им. Ферми, говорит в пользу предсказаний гетеротической модели. Например, для парциальной ширины распада состояния Зра — 1 в рр модель предсказывает значение Г(3,5>1 рр) «138 эВ., что прекрасно согласуется с экспериментальным значением 180± 16±26 эВ. Небольшое увеличение а, приводит к лучшему согласию с данными для всех рассматриваемых каналов [1,3,5,7,9,14,15].

В шестой главе обсуждается модифицированная схема конволюции. Приводя нуклонные (адронные) формфакторы к конволюционному виду (типа ур. (4)), мы неявно предполагали, что зависимостью кварковых и глюонных про-пагаторов от /сх в жесткой части рассеяния 7# можно пренебречь. Это равносильно факторизации зависимости от в амплитуды распределения, которая представляет собой волновую функцию, проинтегрированную по к± до шкалы факторизации. Таким образом, в пределе -4 оо остаются несокращенными только те глюонные радиационные поправки, которые приводят к перенормировке волновой функции. Однако, на краю области нельзя априори пренебрегать поперечными импульсами партонов в 7#, поскольку, например, для пиона (ки + к'^ х{х'$2. В результате поперечное расстояние между кварком и антикварком становится большим по сравнению с а соответствующая глюонная линия уже не является частью жесткого процесса и принадлежит к его мягкой части. Это противоречит результату, следующему из пертурбатив-ной КХД, в которой кварк, испытавший соударение, связан с другими валентными кварками посредством сильно виртуальных глюонных пропагаторов, что означает, что поперечные межкварковые расстояния весьма малы, а именно, порядка 1/(?, а все партоны имеют сравнимые доли продольного импульса. Другими словами, механизм обмена жесткими глюонами перестает работать и его нужно заменить фейнмановским механизмом. Согласно этому механизму почти весь адронный импульс уносится единственным партоном, причем все остальные мягкие. Эта картина совместна с конфигурацией, в которой лишь кварк, испытавший соударение, находится в пределах прицельного расстояния электрона, тогда как все другие партоны расположены случайным образом в по-

перечном направлении, образуя мягкое облако с поперечным размером 1/(5. Как только произошло упругое рассеяние, необходимо произвести перегруппировку, чтобы превратить кварки и глюоны в адрон. Эта процедура превращения контролируется перекрытием волновых функпий начального и конечного состояний и не может быть определена в рамках пертурбативной КХД [5,8,18].

В первом разделе обсуждается модифицированная факторизация эксклюзивных амплитуд, предложенная Ли и Стерманом. Эта схема факторизации рассекает амплитуду таким образом, что для поперечных расстояний, больших по сравнению с 1/(2, но все еще малых относительно режима истинного конфайнмента (характеризуемого величиной 1 /Лцсо), адронная волновая функция модифицируется так, чтобы в явном виде проявился эффект судаковского усиления вплоть до поперечной шкалы, сохраняемой в Тц. Судаковский экспоненциальный фактор является суммой вкладов двухчастичных приводимых диаграмм (приводящих к двойным логарифмам), тогда как двухчастичные неприводимые диаграммы (приводящие к одинарным логарифмам) поглощаются амплитудой жесткого рассеяния Тц. Следовательно, можно рассматривать как фактор ИК-конечной перенормировки адронной волновой функции [8,5,18], который приводит к экспоненциации вероятности неиспускания мягких глюо-нов. Этот фактор перенормируег волновую функцию, в добавление к общепринятому фактору перенормировки вызванной УФ расходимостями. В то время, как содержит одинарные логарифмы в ведущем порядке, в судаков-ском факторе перенормировки доминируют двойные логарифмы. Лидирующие двойные логарифмы происходят из тех областей импульса, где перекрываются мягкие глюоны (все компоненты 4-импульса малы) и глюоны, коллинеарные к внешним кварковым линиям. Показатель в судаковской экспоненте имеет вид:

и в нем учитываются глюонные радиационные поправки включительно до порядка, следующего за ведущим, в том числе и эволюция по ренормгруппе, на-

з

чиная от ИК-масштаба 1/6, и кончая масштабом перенормировки. Величины [>1 (I = 1,2,3) являются параметрами ИК-обрезания, естественно связанными

с взаиморасположением трех кварков, но определяемыми неоднозначно. Это означает радикальное различие между МСК и предыдущими подходами, в которых кварки изолированы и где такие параметры ИК-обрезания вводились в качестве внешних регуляторов. Здесь же ИК-регуляризация обеспечена сама по себе, без дополнительных предположений.

В случае пиона имеется лишь один поперечный масштаб, а именно, кварк-антикварковое разделение Ь, так что подавление достигается автоматически. Действительно, в случае, когда одна судаковская функция 6, <5) = 0 (это означает равенство единице соответствующей экспоненты), то другая (отрицательная) судаковская функция в показателе степени, «(1 — £,£>,<5), расходится, обеспечивая таким образом достаточное подавление. Что касается нуклона, то ситуация здесь более сложная, поскольку имеется несколько поперечных масштабов и поэтому требуется более тщательная ИК-регуляризация. Из предыдущих исследований нельзя было получить хорошо определенных выражений для нуклонных формфакторов. Впервые это стало возможным, когда авторы работы [19] применили ИК-регуляризацию, коррелирующую различные поперечные масштабы и предполагающую общее ИК-обрезание, выбираемое в виде максимального поперечного разделения (предписание "МАХ"):

6 = гпах{01,62, Ы = 61 = 62=63. (6)

Основная физическая идея заключается в том, что вследствие цветовой нейтральности адрона его кварковое распределение не может быть разрешено глю-онами с длиной волны, намного большей, чем среднее межкварковое расстояние. Таким образом, глюоны с длиной волны, большой по сравнению с (поперечным) размером адрона, зондируют адрон как целое, т.е. в состоянии, синглетном по цвету, и отщепляются. Рецепт "МАХ" естественным образом согласуется с РГ эволюцией. МСК позволяет использовать в аргументах бегущей константы связи а3 такие масштабы, которые зависят от продольного импульса партонов. Такой выбор РГ шкалы имеет то преимущество, что позволяет избавиться от больших логарифмов, следующих от высших пертурба-тивных поправок [8,5,19,18].

Во втором разделе обсуждается вывод нуклонных формфакторов в рамках МСК. Этот раздел состоит из 4 параграфов. Для включения судаковских

вкладов в фор.мфактор протона нужно последний записать в поперечном конфигурационном пространстве в форме новой свертки

ОмШ2) = у I —у2~-2 £Т3(х,х\Ь,д^)У}(х,х>,Ь,»г)е-3> ,

(7)

где Т, — часть жесткого рассеяния, удовлетворяющая пертурбативной КХД, а У) — краткая запись линейных комбинаций произведений волновых функций, соответственно, начального и конечного состояний протона Ф,^ , Ф*/^,. Зависимость от внутреннего импульса волновой функции учитывается с помощью следующего нефакторизуемого анзаца:

Ф)23(г, Ь, = 123(д, Ь) , (8)

где Я(х,Ь) параметризуется как простой гауссиан по формуле

П12з(я,Ь) = (4тг)2ехр ^-—^.¡хзЬ] + х2х3Ъ\ + 21X263] | . (9)

Параметр а определяет среднеквадратичный поперечный (СК) импульс {к\)1!2 и СК поперечный радиус валентного Фоковского состояния протона. Зная зарядовый радиус протона, мы ожидаем, что СК поперечный импульс будет, по крайней мере, больше чем 250 МэВ, даже возможно порядка 600 МэВ [8,5,19,18].

В первом параграфе рассматривается экранирование потенциальных особенностей а, на краю области. Объясняется, каким образом обсуждаемый выше рецепт "МАХ" приводит к конечному подынтегральному выражению для форм-фактора посредством уравнивания всех межкварковых поперечных расстояний, так что по крайней мере 1 судаковский формфактор обеспечивает экспоненциальное затухание логарифмических особенностей на краю области. Если для данной доли продольного импульса а3 окажется, что одна судаковская функция 6/,<?) находится в опасной области, < \/2Л<эсп/Ф» ЬАсюо 1> то по крайней мере одна из двух других судаковских функций будет лежать в области (¡> > \Z2AqcdZQj 6Л(зсо 1 (/' ^ /), обеспечивая тем самым достаточное подавление. Получена оценка для максимальной степени расходимости и показано, что чем выше порядок разложения по собственным функциям, тем сингулярнее становится поведение подынтегрального выражения. В результате регуляриэукмцей способности рецепта "МАХ" пертурбативный вклад в

формфактор протона насыщается, а это означает, что результаты становятся нечувствительными к включению мягких областей. Действительно, уже 50 % от вклада получены из области интегрирования с ЬсАцсб < 0.48, в то время как а, достигает значения 0.95 при ЬсДцсо ~ 0.48. Как можно более сильное насыщение является необходимым условием для самосогласованности пертур-бативного вклада. Показано, что предлагаемые в литературе другие рецепты регуляризации, отличные от ИК-регуляризации, не способны обеспечить насыщение. Однако, насыщение достигается ценой того, что пертурбативный вклад в формфакторы становится значительно меньше теоретически предсказанных вкладов, полученных в рамках ССК, а также меньше экспериментальных. Найдена связь между ИК-стабилизацией а3 посредством судаковского подавления и подходами, в которых используются внешние ИК-регуляторы такие, как, например, эффективная масса глюона [3,8,5,19,18].

Во втором параграфе приводится численный анализ формфактора. Рассмотрим зависимость нуклонной волновой функции от к±, который эффективно вводит масштаб конфайнмента. Для этого параметр осциллятора а определяется двумя различными способами: посредством нормирования волновой функции на 1 или путем задания СК поперечного импульса, например, 600 МэВ, что равнозначно вероятности вклада валентных кварков в Фоковское состояние -0.042. В первом случае величина зависит от используемой нуклонной

амплитуды распределения, а результаты для амплитуд распределения выбранной орбиты заданы.

Зависимость от к± волновой функции нуклона приводит к дальнейшему подавлению пертурбативного вклада, который становится значительным при большом СК поперечном импульсе. С другой стороны, этот вклад сопровождается возрастанием насыщения, поскольку гауссиан (уравнение (9)) ) также максимально подавляет вклады от мягких областей, а именно, больших ¿»-областей. Однако, в отличие от судаковского фактора, это подавление не зависит от <3 (нет эволюции). Результаты, полученные с помощью предписания "МАХ" с учетом эволюции для формфакторов нейтрона и протона, показаны на рис. 7 в виде полосы, которая соответствует орбите амплитуд распределения нуклона, описываемых ССК. Все волновые функции (поскольку учтена их зависимость от

% 0.8 О

о-«

"а О

"а 0-4

. | Т-1 1 I : ♦♦♦♦+ - 0

0

•о

■ 1.1.1 .......

20 30 40 О2 ЮсУ2]

20 30 40 02[СеУг]

Рис. 7: Магнитный формфактор протона (рисунок слева) и нейтрона (рис. справа) как функция О2, рассчитанные в рамках МСК. Данные по Срм представлены черными кружками, а для Р[ — открытыми. Теоретические кривые на обоих рисунках получены с помощью предписания "МАХ" с учетом эволюции и нормировки волновой функции на 1. Затененная полоса — это интервал предсказании, полученных с помощью набора амплитуд распределения нуклона, проходящих через базисную орбиту. Сплошная, штриховая и пунктирная линии отвечают, соответственно, ЧОЖ, гетеротической и ЧОЖ оптимизированной амплитудам распределения.

поперечного импульса,) нормирована на 1, а соответствующие СК поперечные импульсы изменяются в интервале 267 --317 МэВ. Рассмотренные различные модельные (нуклонные) волновые функции приводят к самосогласованности пертурбативного вклада, а это означает, что 50% результатов происходят из области, где а\ < 0.5, т.е., в интервале С}2 от 6 до 10 ГэВ2. Плата за такое самосогласованное пертурбативное описание — сильное понижение теоретических предсказаний по сравнению с экспериментальными данными при лабораторных значениях (?2 [3,4,8,5,19,20,18].

В третьем параграфе обсуждается эффект учета собственных функций высших порядков в амплитудах распределения нуклона в связи с судаковским подавлением. Показано, что занижение теоретических расчетов не является следствием обрывания амплитуды распределения нуклона на втором порядке разложения по собственным функциям. Если учесть вклады порядка, следующего за ведущим, то поведение магнитных формфакторсв протона и нейтрона будет сходно с поведением формфак торов, полученных на основе ну к лонных амплитуд распределения в ведущем порядке [8,5,18].

В четвертом параграфе рассматриваются глобальные черты амплитуд распределения нуклона в рамках МСК и их упорядочивание через орбиту. Показано, что семейство амплитуд распределения нуклона, удовлетворяющих правилам сумм КХД (для момента), полученное в рамках ССК, способно включить в себя и семейство амплитуд, зависящих от поперечного импульса, как через судаковский фактор так и обусловленные зависимостью волновой функции протона от внутреннего поперечного импульса (см. правую часть рис. 2). С увеличением передачи импульса модифицированная орбита поворачивается назад к начальной орбите [8,5,18].

В заключении обсуждаются полученные результаты и мотивы для дальнейших исследований вне рамок импульсного приближения [6,8,3,18,21,22].

В приложении А приведены в деталях собственные функции нуклона, выраженные через (симметризованные) полиномы Аппеля.

В приложении Б представлены явные алгебраические выражения через коэффициенты разложения В„, в том числе вклады порядка, следующего за ведущим, для дираковских формфакторов протона и нейтрона, а также для

аксиального формфактора.

Основные результаты диссертации опубликованы в следущих работах

[1] N. G. Stefanis and М. Bergmann, in Proceedings of the Workshop on Exclusive Reactions at High Momentum Transfer. Elba. Italy. 24-26 June. 1993, edited by С. E. Carlson. P. Stoler. and M. Tahiti (World Scientific, Singapore, 1994) p. 137; M. Bergmann and N. G. Stefanis. ibid. p. 146.

[2] N. G. Stefanis and M. Bergmann. Proceedings of the Workshop on Quantum Field Theoretical Aspects of High Energy Physics. Kyffhäuser. Germany. September 20-24, 1993. edited by B. Geyer and E.-M. Ilgenfritz, p. 112.

[3] N. G. Stefanis. Lectures presented at the XXXIV Cracow School of Theoretical Physics. Zakopane, Poland. June 1-10, 1994, Acta Phys. Pol. В 25, 1777 (1994).

[4] N. G. Stefanis, in the International Conference on Quark Confinement and the Hadron Spectrum. Villa Olmo, Como. Italy, 20-24 June. 1994. edited by N. Bram-billa and G. M. Prosperi (World Scientific. Singapore. April 1995) p. 258; M. Bergmann and N. G. Stefanis. ibid. p. 269; Workshop on Hadron Structure and QCD in Hard Processes. 3 July-13 August, 1994. European Theory Center. Trento. Italy; XII International Seminar on High Energy Physics Problems, Rtl-ativistic Nuclear Physics & Quantum Chromodynamics. September 12-17. 1994, Dubna, Russia.

[5] N. G. Stefanis. Bochum Report No. RUB-TPII-20/96 (December 1996).

[6] N. G. Stefanis, Phys. Rev. D 40, 2305 (1989); D 44, 1616(E) (1991).

[7] N. G. Stefanis, in 4th Hellenic School on Elementary Particle Physics. Corfu, Greece. September 2-20, 1992, edited by E. N. Gazis, G. Koutsoumbas, N. D. Tracas, and G. Zoupanos. Physics Department. National Technical University, Athens, Greece, Vol. II, p. 528.

[8] N. G. Stefanis, Mod. Phys. Lett. A10, 1419 (1995).

[9] N. G. Stefanis and M. Bergmann, Phys. Rev. D 47, R3685 (1993).

[10] M. Gari and N. G. Stefanis, Phys. Lett. B 175, 462 (1986).

[11] M. Gari and N. G. Stefanis, Phys. Rev. D 35, 1074 (1987).

[12] M. Bergmann and N. G. Stefanis, Phys. Rev. D 48, R2990 (1993).

[13] M. Bergmann and N. G. Stefanis, Phys. Lett. B 325, 183 (1994).

[14] N. G. Stefanis and M. Bergmann, in Proceedings of the International Conference on Hadron Structure '93, Banska Stiavnica, Slovakia, 5-10 September, 1993 edited by S. Dubnicka and A. Z. Dubnickova, Bratislava, Slovakia, 1994, p. 111.

[15] N. G. Stefanis and M. Bergmann, Phys. Lett. B304, 24 (1993).

[16] M. F. Gari and N. G. Stefanis, Phys. Lett. B 187, 401 (1987).

[17] C. E. Carlson, M. Gari, and N. G. Stefanis, Phys. Rev. Lett..58, 1308 (1987).

[18] N. G. Stefanis, in Hadron Structure '96. High Energy Interactions: Theory and Experiment, Starä Lesna, High Tatra, Slovac Republic, February 12-17, 1996, edited by Lubomir Martinovic and Pavol Strizenec, p. 29-39, [hep-ph/9607230, 4 July 1996].

[19] J. Bolz, R. Jakob, P. Kroll, M. Bergmann, and N. G. Stefanis, Z. Phys. C 66, 267 (1995).

[20] J. Bolz, R. Jakob, P. Kroll, M. Bergmann, and N. G. Stefanis, Phys. Lett. B 342, 345 (1995).

[21] N. G. Stefanis, Nuovo Cimento 83A, 205 (1984).

[22] N. G. Stefanis, in 10th International Conference on Problems of Quantum Field Theory, Alushta, Crimea, Ukraine, 13-18 May, 1996, Bochum Report No. RUB-TPII-08/96 (June 1996), 7pp. [hep-th/9607063, 8 July 1996]; A. I. Karanikas, C. N. Ktorides, and N. G. Stefanis, Phys. Rev. D 52, 5898 (1995); A. Kernemann and N. G. Stefanis, Phys. Rev. D 40, 2103 (1989); R. Jakob and N. G. Stefanis, Ann. Phys. (N.Y.) 210, 112 (1991).

Рукопись поступила в издательский отдел 21 апреля 1997 года.