Формулы Фейнмана для полугрупп Шредингера, порождаемых самосопряженными расширениями операторов второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

Толстыга Диана Сергеевна

ФОРМУЛЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ ПОЛУГРУПП ШРЕДИНГЕРА,

ПОРОЖДАЕМЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫМИ РАСШИРЕНИЯМИ

ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

На правах рукописи УДК 517.98

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2011

4844874

4844874

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Защита диссертации состоится 8 апреля 2011 года в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 4 марта 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук,

профессор Смолянов Олег Георгиевич.

профессор Сакбаев Всеволод Жанович, доктор физико-математических наук профессор Шавгулидзе Евгений Тенгизович.

Ведущая организация: Математический институт

им. В. А. Стеклова РАН.

профессор

В. Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Диссертация посвящена получению формул Фейнмана для полугрупп Шредингера еш, описывающих одномерную динамику (ква-зи)частиц с эффективной массой, зависящей от положения частицы. При этом рассматривается случай, когда конфигурационное пространство совпадает либо с Ж1, либо с [0, оо); в первом случае предполагается, что зависимость массы от положения описывается кусочно постоянной функцией, а во втором либо непрерывной, либо, опять-таки, кусочно постоянной функцией.

Формулами Фейнмана ( лагранжевыми) называются представления полугруппы Шредингера еш или группы Шредингера ейН с помощью пределов интегралов по декартовым степеням конфигурационного пространства классической гамильтоновой системы, квантованием которой получается оператор Гамильтона. Это означает, что Н - самосопряженный псевдодифференциальный оператор, символом которого является функция Гамильтона Н классической системы.

Конечнократные интегралы в формулах Фейнмана аппроксимируют интегралы по мерам (или псевдомерам в случае групп Шредингера е!<н), определенным на множествах функций вещественного аргумента, принимающих значения в конфигурационном пространстве; представления полугруппы с помощью интегралов по пространству таких функций называются формулами Фейнмана - Каца, сами интегралы налы лаются функциональными (или континуальными), а в случае групп Шредингера - интегралами Фейнамана. Таким образом, получение формул Фейнмана является одним из методов получения формул Фейнмана - Каца.

Рассматриваемые в диссертации дифференциальные операторы обладают ненулевыми индексами дефекта. Такие дифференциальные операторы имеют бесконечное множество самосопряженных расширений; при этом для каждого такого самосопряженного расширения найдена соответствующая формула Фейнмана. Этот результат можно считать решением одной из задач, восходящих к Ф. А. Березину.

Отметим, что хотя в настоящее время существует почти необозримое множество работ, посвященных применению функциональ-

ных интегралов1, 2 ' 3' 4 • 5(см. также имеющиеся в работах ссылки) к исследованию полугрупп и групп Шредингера (или, что то же самое, что и к получению представлений решений задачи Коши для эволюционных уравнений), исследование этими методами динамики частицы с массой, зависящей от положения, началось совсем недавно, при этом, до 2010 года существовали лишь две работы6, 7, в которых рассматривалась разрывная зависимость массы от координаты. В то же время исследования такого рода представляются важными не только с чисто математической точки зрения, но и с точки зрения приложений, так как частицы с эффективной массой, зависящей от положения, возникают в математических моделях, описывающих процессы в полупроводниках и жидких кристаллах, используемых в приборах, применяемых п радиоэлектронике.

Все сказанное и определяет актуальность темы диссертации.

К сказанному стоит добавить несколько слов об истории обсуждавшихся понятий.

Впервые концепция континуального интегрирования появилась в работе Фейнмана 1948 года. В ней содержатся три основных наблюдения:

1) решение эволюционного уравнения представимо в виде предела конечнократных интегралов по декартовым степеням конфигурационного пространства; эта концепция впоследствии привела к появлению лагранжевых формул Фейнмана. В работе 1951 года Фей-нман рассматривал интегралы по декартовым степеням фазового пространства, что впоследствии привело к появлению гамильтоно-вых формул Фейнмана;

2) полученные конечнократные интегралы можно интерпретировать как интегралы по траекториям (соответствующие формулы называются формулами Фейнмана - Каца);

3) подынтегральные функции совпадают с экспонентами от действия в лагранжевой форме (в работе 1951 года Фейнман рассматривал действие в гамильтоновой форме).

1 Гаданья М., Смолянов О.Г. ДАН, Т. 418, № 6, 2008, с. 727 - 730.

2Бутко Я.А., Смолянов О.Г., Шиллинг Р.Л., ДАН, 434, № 1, 2010, с. 7-11.

3Smolyanov O.G., Tokarev A.G., TVuman A., Journal of Mathematical Physics, V.43, №10, 2002, p. 5161-5171.

4Будко Я.А., Гротхаус M., Смоляной О.Г., ДАН, Т. 421, №6, 2008, с. 727-732.

6Smolyanov O.G., Feynman Type Formulae for Quantum Evolution and Diffusion on manifolds., Quantum Bio-Informatics III, World Scientific Publishing, p. 337-347, 2010.

"Сакбаев В.Ж., Смолянов О.Г., ДАН, T. 433, № 3, с. 314-317, 2010

7ВаЙдаеккер X. фон, Смолянов О.Г., Формулы Фейнмана, порождаемые самосопряженными расширениями оператора Лапласа.,"Доклады Академии наук", 2009, Том 426, № 2, стр. 162-165.

Конечно, все эти наблюдения были сформулированы Фейнманом на физическом уровне строгости. Теория интеграла Фейнмана является своего рода бесконечномерным аналогом классического гармонического анализа функций, определенных на конечномерном евклидовом пространстве; а такого рода обобщение представляет ряд реальных математических трудностей. Первое доказательство (в математическом смысле слова) первого наблюдения Фейнмана получил Э. Нельсон в 1964 году, сведя доказательство к применению формулы Троттера (- Далецкого), полученную на 4 года раньше.

Для получения формул Фейнмана - Каца, помимо формул Фейнмана, существует несколько подходов, самые известные из них основаны на аналитическом продолжении меры, а также на равенстве Парсеваля (или, что практически то же самое, на преобразовании Фурье). Развитие математической техники, связанной с функциональным интегрированием, показало, однако, что с точки зрения приложений наиболее удобным является подход, основанный на формулах Фейнмана. Однако для получения самих формул Фейнмана не всегда можно использовать формулу Троттера, поскольку она применима лишь к достаточно узкому классу полугрупп. В этом смысле оказывается полезным использовать теорему Чернова "о произведениях".являющуюся существенным обобщением формулы Троттера, что впервые было отмечено О.Г. Смоляновьгм 3.

Стоит отметить несколько математических монографий, посвященных интегралу Фейнмана8, 9>10. Книга Альбеверио и Хег-Крона (1976) представляет педагогический интерес, однако в ней рассматриваются интегралы Фейнмана от функций, являющихся преобразованием Фурье обычных счетно-аддитивных мер на бесконечномерном пространстве, что значительно сужает область применение формул Фейнмана - Каца. Книга В.П. Маслова, вышедшая одновременно, содержит ряд глубоких идей, однако формул Фейнмана в явном виде нет и в ней. Много полезной информации можно найти в сравнительно недавно вышедших книгах п'12. В то же время книга О.Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзе (1990) до настоящего време-

8О.Г. Смолянов, Е.Т. Шапгулидае, Континуальные Интегралы, Издательство МГУ, 1990.

8В.П. Маслов, Комплексные маркоиские цепи и континуальный интеграл Фейнмана, 1970.

lnS.A. Albeverio, R.G. Hoegh-Kron, Mathematical Theory of Feynman Path Integrals, Springer-

Verlag, 1976.

"P. Cartier, C. Dewit.t - Morrete, Functional Integration: Actioin and Symmetries, Cambridge University Press, 2006.

,2G. W. Johnson, The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, PressOxford, 2000.

ни остается наиболее полным изложением математической теории интегралов Фейнмана. Авторы получают представления решения уравнений типа Шредингера по траекториям в конфигурационном и фазовом пространствах в достаточно широком классе начальных данных и потенциалов, используя четыре различных определения континуального интеграла. Однако теорема Чернова в книге явно не упоминается.

Цель работы

Основная цель работы - получить формулы Фейнмана для полугрупп Шредингера еш, описывающих одномерную динамику частицы на полупрямой; квазичастицы с эффективной массой, зависящей от положения, на прямой и на полупрямой. При этом предполагается, что зависимость массы квазичастицы от положения описывается кусочно постоянной функцией.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них заключаются в следующем:

1) для полугрупп Шредингера, порождаемых гамильтонианом получены аппроксимирующие их формулы Фейнмана для одномерной динамики частицы на полупрямой в потенциальном поле. Решение этой задачи можно интерпретировать как решение одной из возможных формализации проблемы, поставленной Ф.Б. Березиным более 30 лет назад, то есть результат позволяет для разных самосопряженных расширений гамильтониана получать взаимноодназнач-но соответствующие им формулы Фейнмана. А именно, каждая из таких формул параметризуется соответственно некоторым параметром, задающим самосопряженное расширение гамильтониана.

2) получены формулы Фейнмана для полугрупп Шредингера, порождаемых гамильтонианом, описывающим одномерную динамику квазичастицы, со скачкообразно меняющейся (принимающей два значения) массой. В работе подробно рассмотрен случай одного скачка массы, однако в случае, если число скачков, то есть число значений, которые может принимать масса квазичастицы, больше одного, то самосопряженные расширение гамильтониана параметризуются большим числом параметров, однако все рассуждения, приведенные в работе, а, следовательно, и результаты, сохраняются и в этой си-

туации.

3) получены формулы Фейнмана, дающие представление решения задачи Коши в случае эволюции, описываемой гамильтонианом для квазичастицы с переменной массой на полупрямой.

// //

Основные методы исследования

В диссертации используются традиционные методы бесконечномерного анализа, теории операторов и ряд специальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в математической физике при изучении представлений решений эволюционных уравнений, описывающих динамику частицы с скачкообразно меняющейся массой и потенциалом, с помощью пределов конечнократных иитегралов. Исследования в этой области в последнее время привлекают все больший интерес специалистов, поскольку изучение динамики частицы со скачкообразно меняющейся (эффективной) массой имеет ряд возможных приложений в теории твердого тела, в частности, при компьютерном вычислении решений и моделировании динамики процессов, происходящих в полупроводниках и жидких кристаллах.

Апробация диссертации

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

• семинаре отдела математической физики МИАН им. В.А.Стеклова РАН под рук. акад. B.C. Владимирова, член-корр. РАН И.В. Воловича в 2011 г.

• научном семинаре "Проблемы необратимости"в МИАН им. В.А. Стеклова РАН под рук. член-корр. РАН Воловича И.В., акад. Козлова В.В., д.ф.м.н. Козырева C.B., проф. Смолянова О.Г. в 2009-2011 гг.

• семинаре "Бесконечномерный анализ"под рук. проф. Смолянова О.Г. и проф. Шавгулидзе Е.Т. в 2010-2011 гг.

• XXXI Конференции Молодых Ученых МГУ им. Ломоносова, Москва 2009 год

• XXXII Конференции Молодых Ученых МГУ им. Ломоносова, Москва, 2010 год

Работа автора поддержана грантами РФФИ 01-00761-а, 10-01-00724-а

Публикации

Основное содержание диссертации опубликовано в Д работах автора, 2 работы из перечня ВАК. Список работ приведен в конце автореферата [1]-[Э].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации - 76 страниц. Библиография включает 48 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении (глава 1) проводится обзор работ по теме диссертации, излагается история исследований, относящаяся к формулам Фейнмана и описывается структура диссертации.

В главе 2 доказываются формулы Фейнмана для полугрупп Шре-дингера, порождаемых самосопряженными операторами, являющимися возмущениями самосопряженных расширений оператора свободного гамильтониана на полупрямой. Доказательство формулы Фейнмана существенно основано на применении теоремы Чернова, поэтому последующие разделы посвящены проверки условий теоремы Чернова. Стоит, однако, отметить, что основная сложность конструкции состоит не только и не столько в проверке условий вышеуказанной теоремы, сколько в получении явного выражения для отображения как композиции трех отображений. Этот результат требует некоторых специальных построений - соответствующих отображений, составляющих композицию исходного. Базовый элемент использованной конструкции (^г(^)) представляет собой решение уравнения с гамильтонианом в правой части, описывающего одномерную эволюцию свободной частицы; следующий элемент композиции (^з(^) добавляет в решение условие поведения частицы в потенциальном поле, итоговый, и самый главный в данном случае элемент конструкции {Р^)) позволяет с помощью задания начальных и граничных условий задачи Коши строить взаимно однозначные соответствия между самосопряженными операторами, параметризованными некоторым параметром а, фигурирующем в граничном условии с одной стороны и формулами Фейнмана с другой.

Пусть Ф, - функция вещественного аргумента, принимающая значения в ¿2(0,00):

Ф : [0, оо) -> Ь2(0,оо)

Рассматривается следующая задача Коши:

(Ф(0))(:г) = (Ф0)(х) 1 ;

На- самосопряженное расширение оператора Я, областью определения которого является пространство бесконечно дифференцируемых функций с конечным носителем.. Всюду далее для любого оператора А, действующего в X, символом Б (А) будем обозначать

его область определения. В данном случае символом дифференциального оператора Я является функция Гамильтона вида: Н(р, д) = ~гТ + У{д).

Если а 6 (—оо, оо], то соответствующее самосопряженное расширение На е Н (где Н - множество таких расширений) На : В(На) —► ¿2(0,00) определяется следующим образом: ;

ОД) = {/ I / е Ь2(0,оо),/,/' 6 ЛС(0,оо),/" е ¿2(0,оо),/(0) = о/'(0)}, если о Ф оо; и Г>(Я0) = {/ | / € 12(0, оо), /, /' е ЛС(0, оо), /" 6 ¿г(0, оо), 0 = /'(0)}> если а = оо. Если V - ограниченная измеримая функция на (0, оо), то оператор (возмущение самосопряженного расширения) / н-> Я0/ + У(-)/ с той же областью определения также является самосопряженным; будем обозначать его символом На + У.

Пусть X - банахово пространство, С(Х) - пространство всех ограниченных линейных операторов в X наделенное сильной операторной топологией (обозначим ее символом т), || • || - операторная норма в С(Х), Ы - тождественный оператор в X.

Определение Сильной производной функции Р1 : [0,оо) —> С(Х) в нуле называется (вообще говоря, неограниченный) линейный оператор ^'(0) : 0)) —> X, определяемый следующим образом:

гм- Ш ЯЩШ,

л-ол>о к

где В(Г'(0))- пространство всех таких ф € X, для которых предел существует.

Теорема Чернова. Пусть X банахово пространство, ^ : [0, оо) —» (С(Х),т) - непрерывное отображение, причем F(0) = М, <

еа4для некоторого а е М и всех I > 0 и сужение ^'(0) на И, где И - линейное подпространство пространства £>^'(0)), - замыкаемый оператор, замыкание которого обозначим через С. Если С является генератором сильно непрерывной полугруппы е<с?;

Тогда сходится к е<с при п -> оо в сильной операторной

топологии равномерно по £ б [О, Т] для каждого Т > 0.

Определим отображениеFa(í) : ¿2(0,00) —► Ь2(О.оо), о € (-00,00] используемое в формулировке приводимой ниже теореме:

Для каждого t > 0 отображения Fi(t) : ¿2(0,00) -* L2{-oo,oo), F2(t) : L2{-00,00) ¿2(0,00), F3(t) : L2{0,oo) -> L2(0,oo) определяются следующим образом:

mm*) = +

где (pt = T]t — ipt, r/t Ш1 [0,1] гладкая функция, такая что r)t(x) = 0 для х < rjt(x) = 1 для х > -2\it, и ^(г) =

rjt{x)r]t(—x) Ух £ R (для а — оо считаем, что = |);

(F2(t)/)(a;) = j\~^f(z)dz,

m)f)(x) = etyWf(x).

Основным результатом главы 2 является доказательство следующей теоремы:

Теорема Каковы бы не были / € L2(0, oo),t > 0 справедливо следующее равенство (формула Фейнмана):

et(Ha+V)f = Ит (Fa(t))nf (3)

>i-»oo П

предел в L2(0,00).

В основе доказательства теоремы лежит проверка условий теоремы Чернова, из которой вытекает справедливость соответствующих формул Фейнмана. Проверка непрерывности отображения Fa : [0,00) н-> (С(Х), г) в сильной топологии основана на классических методах теории операторов в Гильбертовом пространстве. Для доказательства вводится вспомогательная топология Адамара,- топология равномерной сходимости на всех множествах, являющихся множествами элементов сходящихся в X последовательностей. Топология Адамара в общем случае строго сильнее топологии поточечной сходимости. Благодаря этому появляется возможность доказать непрерывность вышеописанного отображения в сильной операторной топологии (то есть, в топологии поточечной сходимости) как композиции трех непрерывных отображений, часть из которых непрерывна в более сильном смысле.

В первой части главы 2 доказывается, что в случае банахова пространства сходимость последовательностей в топологии Адамара и поточечная сходимость совпадают.

Далее в первой части главы 2 доказывается предложение, говорящее о том, что из сходимости одного отображения в сильной операторной топологии, а другого в топологии сходящихся последовательностей следует сходимость в топологии поточечной сходимости их композиции. После чего доказывается непрерывность в топологии Адамара последних двух отображений, составляющих композицию, что автоматически влечет сходимость в топологии поточечной сходимости исходного отображения.

Основным результатом второй части главы 2 является доказательство того, что для некоторого а £ К. и всех Ь > 0 справедливо неравенство < еы, с стандартной операторной нормой. До-

казательство сводится к доказательству ограниченности по норме каждого из сомножителей, образующих отображение 1?а(<) некоторыми выражениями, которые при взятии их произведения не будут превосходить экспоненты с некоторой степенью.

Основным результатом заключительной третьей части главы 2 является доказательство того, что сужение сильной производной (Га)'(0) на некоторое векторное подпространство ее области определения является замыкаемым оператором, замыкание которого С является генератором сильно непрерывной полугруппы е1С.

Вначале определяется само векторное подпространство области определения, на которой будет задаваться замыкаемый оператор, порождаемый оператором ^а)'(0):

Я((ГаУ(0)) ЭЪ := {/ е ¿2(0,оо),/,/' 6 Ж7(0,оо),/" € Ь2(0,оо),

а/(0) = /'(0) , /"(¡с) = ОУх е £7/(0)},(где 17/(0) - окрестность нуля).

Оператор (^а)'(0) на этой области определяется по формуле Лейбница дифференцирования сложной функции:

= 1^(0)^(0)^(0)/ +

Затем определяется производная каждого оператора, составляющего композицию. Оказывается, что производная оператора Ра(Ь) в нуле задается оператором, представляющем возмущение одномерного гамильтониана, заданного на соответствующей области определения.

Для доказательства того, что полученный оператор является замыкаемым, и замыкание является генератором сильнонепрерывной

полугруппы используются стандартные методы теории самосопряженных операторов и теории полугрупп, а также теорема Уринов-ского о замыкаемости оператора (2008).

В Главе 3 доказывается формула Фейнмана для полугрупп Шре-дингера, порождаемых гамильтонианом, описывающим одномерную динамику квазичастиц].! со скачкообразно меняющейся массой. Вывод формул Фейнмана, как и в случае, описанном в главе 2, существенно опирается на результат, следующий из теоремы Чернова. То есть получение результатов этой главы сводятся к проверке условий теоремы Чернова. Как и в главе 2 стоит, однако, отметить сложность проводимых рассуждений, предшествующих проверке условий теоремы Чернова. Первая сложность заключается в построении самосопряженного расширения гамильтониана для динамики квазичастицы с эффективной переменно меняющейся массой. Вторая сложность, предшествующая проверке условий теоремы Чернова заключается как и в случае предыдущей главы в построении самого отображения, для которого справедливы условия теоремы Чернова. На этот раз построение усложняется наличием скачка. Искомое отображение представляет собой композицию трех, построение одного из которых базируется на явном виде решения уравнения движения частицы с гамильтонианом в свободном поле, второе учитывает наличие потенциала, а заключительное - принимая во внимание условие сшивки в заданной точке скачка - дает возможность получать взаимооднозначное соответствие между самосопряженными операторами, определяемыми матрицей трансформации Т с одной стороны и формулами Фейнмана с другой.

Постановка задачи остается такой же как и в главе 2, меняется только принцип построения возмущенных самосопряженных расширений оператора одномерного гамильтониана Д^о в Ь2(—оо,оа), который теперь задается следующим образом:

Пусть С с И" - некоторое открытое множество , К некоторое его конечное подмножество д -числовая функция на 0\К, тогда символом Ад<к будем обозначать оператор, действующий в ¿^(С) такой, что:

(¡) ¿от(Ад1к) = Т>(С\К) (где Т>(С\К) -векторное подпространство бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций на с компактным носителем, лежащем в С\К)\

(п) если / е ¿от(АдЛ), тогда Ад,к1(х) = 1гд{х)/"{х), где /"(х) производная Гато второго порядка функции / в точке х € б.

В нашем случае К = {0}, Ьгд{х) = д(х), а д(х) определяется следующим образом:

д(х) = С1 > 0 х < 0, апс! д(х) = сг > 0 if х > 0, где с\, съ -некоторые константы.

Далее в диссертации проводится описание построения самосопряженных расширений Нт гамильтониана |Др,о в пространстве оо,оо) ), задаваемых некоторым обратимым оператором Т = (¿у) в С2, характеризующемуся своей областью определения Т>т \h\li, 1г' е Л£7(К\{0}),А,Л" е Ь2(-оо, оо), 1г+ = (Л+(0),Л'+(0)),Л" = (Л.~(0),Л'~(0))} (е С2; /г+(0), Л'+(0) - пределы в нуле справа функции /г и ее производной /г' соответственно; Ы~ - пределы в нуле слева тех же функций), тогда Н+ — Тк~. Далее, если / е йотп{Нт) — Т>т, тогда Нт}{х) = |д{х)$"{х). Если V" ограниченная действительно значная измеримая функция на К. тогда оператор / Нт/ + У(-)/ ( ограниченное возмущение самосопряженого расширения) с той же областью определения также является самосопряженным. Обозначим его Нт + V.

Задача Коши формулируется аналогично задаче в предыдущей главе.

Теперь зададим отображение, : X —» X (здесь и далее

X = £2(-ос, оо)), обеспечивающее применимость теоремы Чернова:

= здедад. (4)

Для любых * > 0. Отображения : X ХфХ, : ХфХ -> X, : X —> X определяются следующий образом:

где

^^ = / + + 1{х)ч>ь{х), а: > 0;

[0, л- < 0;

+ г-)1р((х) + щ(-х)Цх), ¡Г х < 0;

= ф — 'Фи Ш : К1 [0,1] бесконечно гладкая функция, такая что щ(х) = 0 к х < -3$, щ{х) = 1 Ьг х > апс! фг(х) =

т{х)щ{-х) Ух е К;

и числа а+,а-,г+,г- определены из следующей системы уравнений:

а+1 + =

+ г+

= ^п-2- + ¿120-1 а+ = ¿21г- + ¿22<3—

Далее,

№МЯО1') — где У(х) - ограниченная измеримая функ-

ция на (—оо,оо) упоминаемая выше.

Основным результатом главы 3 является следующая теорема: Теорема Для всех / £ X, £ > О справедливо следующее равенство (формула Фейнмана):

л—>оо П

где пределы определяются в пространстве X.

Справедливость этого результата аналогично доказывается на основе проверки условий теоремы Чернова.

В первой части главы 3 проверяется непрерывность соответствующего отображения доказательство базируется на результатах, полученных в предыдущей главе. Этот случай усложняется относительно предыдущего наличием скачкообразной массы. В связи с этим доказательство результатов разбивается на два отдельных случая х > 0 и х < 0, где 0 - точка, в которой происходит скачок массы. В роли подпространства образа функции Р1^) возникает прямая сумма двух экземпляров пространства X: X @ X. Элемент этого пространства задается парой (Л, к) (фактически прямая сумма в этом случае равносильна декартовому произведению), каждый элемент пары является элементом пространства X. Сходимость в этом пространстве' определяется совокупной сходимостью (/г, к)п к некоторому элементу (к, к) этого пространства. При рассмотрении одностороннего интервала, ограниченного точкой, в которой происходит скачок, один из элементов пары вырождается в ноль, что позволяет применить методологию, описанную в предыдущей главе, пу-

тем разбиения аналогичных проводимым рассуждений на несколько подслучаев.

Вторая часть главы 3 посвящена доказательству утверждения, что < еа( для некоторых а € К и всех t > 0 (норма

определена в смысле сильной операторной топологии). Здесь нужно учесть что норма в X (& X определяется следующим образом:

И^ХЯИхе* = IIСЛ.Л)||д-®х = тах{Ц/г|и, \\к\\х}.

Поэтому из доказательства ограниченности по соответствующей нормы каждого из элементов пространствах © X, будет следовать ограниченность в исходном пространстве. Показан ограниченность по норме каждого из сомножителей, определяющих исходное отображение некоторой функцией переменной рост которой не превосходит экпоненциального с некоторым параметром - получим требуемый результат.

Третья часть главы 3 посвящена доказательству того, что ограничение сильной производной Рт'{0) на некоторое векторное подпространство области определения этой производной является замыкаемым оператором, замыкание которого С является генератором сильно непрерывной полугруппы е1С. Для этого изначально строится область, на которой по правилу Лейбница задается производная Гг'(0):

= итуРзфВДад - ^(0)^2(0)^(0)/ = =нт ,+Ит ыттт - эддсо)],

«-.о г «-»о t

= ^(0)^(0)^(0)/ +

Оказывается, получив по определению значение производной в сильном смысле каждого из операторов мы получим, чтс^г'(0)/ = —(Нт + V)/, то есть производная оператора Ет{0) есть возмущение гамильтониана, заданного на соответствующей области определения. Для обоснования того факта, что данный оператор, заданный на соответствующей области определения, является замыкаемым оператором, замыкание которого является генератором сильно непрерывной полугруппы используются методы, аналогичные методам в предыдущей главе.

В главе 4 выводятся формулы Фейнмана для диффузии квазичастицы на полупрямой с переменной массой. Результат в основе

своей опирается на результаты двух предыдущих глав и является своего рода смесью результатов в том смысле, что функция, фигурирующая в доказательстве теоремы Чернова представляет собой композицию функций, часть из которых определялась в главе 2, а другая часть в главе 3.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю - доктору физико - математических наук, профессору Олегу Георгиевичу Смолянову за постановку задачи, постоянную поддержку и внимание к работе.

Список публикаций по теме диссертации

[1] D.S. Tolstyga, "Feynman Formulas Generated by Self-Adjoint Extensions of the Laplace Operator", Russian Journal of Mathematical Physics, 17:3, 2010, p. 251-261.

[2] D.S. Tolstyga, "Feynman Formulas for the Diffusion of Particles with Position-Dependent mass. ", Russian Journal of Mathematical Physios, 18:1, 2011, p.71-80.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж (С-О экз. Заказ № /7

1 Введение

2 Формулы Фейнмана, порождаемые самосопряженными расширениями оператора Лапласа

2.1 Обозначения

2.2 Непрерывность отображения Ра.

2.3 Ограниченность по норме оператора Еа{€)

2.4 Замыкаемость сильной производной оператора -Ра(£)

3 Формулы Фейнмана для диффузии частицы с переменной массой на прямой.

3.1 Формулировка задачи.

3.2 Непрерывность отображения Рт.

3.3 Ограниченность по норме оператора

3.4 Замыкаемость сильной производной оператора

4 Формулы Фейнмана для диффузии частицы с переменной массой на полупрямой.

4.1 Формулировка задачи.

4.2 Непрерывность отображения Рт.

4.3 Ограниченность по норме оператора -г (£).

4.4 замыкаемость сильной производной оператора

Формулы Фейнмаиа дают представление решения задачи Коши для уравнения типа Шредингера: Ф'(£) = (в частном случае типа теплопроводности) с помощью предела конечпократных интегралов по декартовым степеням фазового (в частном случае конфигурационного) пространства. Полученный предел, задающий явное представление однопараметрической унитарной группы егШ (в частном случае полугруппы еш, в литературе часто называемой полугруппой Шредингера) с помощью интегральных операторов, интерпретируется как интегралы Фейнмана, а полученное выражение, в свою очередь,называют формулой Фейнмаиа.

Один из наиболее обтцих способов получения таких формул состоит в обосновании равенства (Ф(£) =) ехр(ЬНт)фо = Ытп^00(еш/п)™фо . Вообще говоря, ехр(ШТ) (еш)т ни при каком т- этот факт вынуждает использовать переход к пределу. Стоит отметить, что. в отличие от формул типа Фейнмана-Каца с их функциональным интегралом, в формулах Фейнмана не используется явным образом никакая мера на пространстве траекторий в конфигурационном пространстве. Более того, получив формулы Фейнмана в виде представлений решений уравнений функциональными интегралами, сами эти представления, в свою очередь, стоит трактовать как формулы Фейнмана-Каца, а именно, обосновав равенство еШтгф$ — Нтгг,00(е£Я/п)"^о или, более общо, вида еШтфо = Итп^сс^^/п))71^ для некоторой легко исследуемой функции .Р неотрицательного вещественного аргумента со значениями в пространстве интегральных операторов, уже можно интерпретировать допредельные конечнократные интегралы, как интегралы, аппроксимирующие интегралы по траекториям; если эта интерпретация возможна, то это приводит к получению формулы Фейнмана-Каца. Таким образом, формула Фейнмана- Каца, в отличие от Формулы Фейнмана, определяется как интеграл по траекториям в конфигурационном пространстве некоторой эволюционной системы, а не как некоторый предел конечнократных интегралов; то есть доказательство М. Каца представления решения уравнения теплопроводности, хотя и использует идею предела конечнократных интегралов, является по существу 'вероя тностной интерпретацией' формул Фейнмана. Р. Камерон и Ю.Л. Далецкий показали, что функциональный интеграл Фейнмана не может быть определен как интеграл по счетноаддитивной мере на пространстве траекторий. Во многом эти результаты определили направления дальнейших исследований. Альтернативное определение интеграла Фейнмана — с помощью равенства Парсеваля было предложено в работах В.П. Мас-лова, A.M. Чеботарева, С. Альбеверио и Р. Хег-Крона, однако в их работах интеграл Фейнмана был задай всего лишь на множестве функции, являющихся преобразованиями Фурье счетноаддитивных мер на гильбертовом пространстве, что значительно сужает область действия "формул Фейнмана". Стоит также отметить книгу О.Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзе, которая до настоящего времени остается наиболее полным изложением математической теории интегралов Фейнмана (в этой книге содержатся четыре различных определения континуального интеграла). Авторы получают представления решения уравнений типа Шредингера по траекториям в конфигурационном и фазовом пространствах в более широком классе начальных данных и потенциалов.

Э. Нельсон заметил, что формальное доказательство формулы Фейнмана сводится в рамках его идеи к применению формулы Троттера и тем самым впервые получил строгую интерпретацию формул Фейнмаиа, предсдтавляю-щий решение уранений Шредингера в евклидовом пространстве.

Развитие математической техники, связанной с функциональным интегрированием показало, что с точки зрения приложений наиболее удобным остается фейпмановское определение — точнее, его аксиоматизированный в стиле [8] Нельсона вариант, где роль формулы Троттера играет теорема Чернова, что было впервые отмечено О.Г. Смоляновым.

Таким образом, обоснование вышеупомянутого равенства оказалось актуальным сводить к проверке условий теорем типа Чернова "о произведениях", обобщающей формулу Троттера.

Исследование функциональных интегралов давно стало одним из центральных направлений функционального анализа, начало которому и было положено работой уже упомянутого Р. Фейнмана [42]. в которой была предложена конструкция, получившая название интеграла Фейнмана по траекториям в конфигурационном пространстве. Как отметил сам Фейнман, эта конструкция восходит к П.А.М. Дираку. Дирак предположил, что интегральное ядро эволюционного оператора, преобразующего волновую функцию за малый промежуток времени аналогичен комплексной экспоненте от классического действия. Фейнман усилил гипотезу Дирака, предположив, что эти экспоненциальные ядра должны быть просто пропорциональны таким экспонентам; именно это предположение и позволило ему найти представление решения уравнения Шредингера помощью интеграла Фейнмана по бесконечномерному афинному многообразию, состоящему из функций времени, принимающих значения в конфигурационном пространстве исходной классической Лагранжевой системы. Фейнман определил свой интеграл как предел последовательности вычислимых интегралов но конечным произведениям конфигурационного пространства. Теперь это полученное представление решения называют формулой Фейнмана, а сам интеграл - интегралом Фейнмана (по траекториям в конфигурационном пространстве). Поскольку в этом интеграле присутствует функционал действия в лагранжевой форме, его можно называть лагранжевым интегралом Фейнмана. Написанная на физическом уровне строгости работа Фейнмана отличается элегантностью и ясностью изложения. Но самое главное, благодаря тому, что рассуждениям Фейнмана удалось придать точный математический смысл, предложенный в его работе подход к исследованию эволюционных уравнений оказался исключительно эффективным.

Метод функционального интегрирования исследуется и развивается в работах С. Альбеверио, Ф.А. Березина, X. фон Вайцзеккера, Э. Виттена, И.М. Гельфапда, Р. Камерона, В.П. Маслова, М.Б. Менского, Э. Нельсона, Б. Саймона, О.Г. Смолянова, A.B. Угланова, А. Трумена, Р. Хег-Крона, А. Хибса, А.Ю. Хренникова, A.M. Чеботарева, Е.Т. Шавгулидзе, П. Экснера, A.M. Яг-лома и др. В настоящее время метод функционального интегрирования стал важнейшим методом квантовой теории, прежде всего, квантовой теории поля. В то же время исследование математической структуры, связанной с такого рода интегралами, только начинается. Все сказанное и определяет актуальность диссертации.

Результат, полученный в данной работе распространяет результат, изложенный в работах [1]-[3] на более общий случай,- показывается взаимооднозначное соответствие между самосопряженными расширениями, порождаемыми Гамильтонианом, описывающем одномерную динамику частицы с потенциалом, и формулами Фсйнмана. Кроме того, доказывается формула Фей-нмана для решения задачи Коши в случае эволюции описываемой Гамильтонианом для частицы с переменной массой. В доказательстве существенно используется теорема Чернова, которая играет здесь ту же роль, что и формула Троттсра в доказательстве Э. Нельсона представления решения уравнения Шредингера в евклидовом пространстве с помощью интеграла Фейнмана.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них заключаются в следующем:

1) для полугрупп Шредингера, порождаемых Гамильтонианом получены аппроксимирующие их формулы Фейнмана для одномерной динамики частицы на полупрямой в потенциальном поле. Решение этой задачи можно интерпретировать как решение одной из возможных формализации проблемы, поставленной Ф.Б. Березиным более 30 лет назад, то есть результат позволяет для разных самосопряженных расширений Гамильтониана получать взаим-ноодназначно соответствующие им формулы Фейнмана. А именно, каждая из таких формул параметризуется соответственно некоторым параметром, задающим самосопряженное расширение Гамильтониана.

2) получены формулы Фейнмана для полугрупп Шредингера, порождаемых Гамильтонианом, описывающим одномерную динамику квазичастицы, со скачкообразно меняющейся массой, то есть принимающей два значения.Стоит отметить также, что в случае, если число скачков (значений, которые может принимать масса квазичастицы) больше одного, то самосопряженные расширение Гамильтониана параметризуются большим числом параметров, однако все рассуждения, приведенные в работе, а, следовательно, и результаты, сохраняются и в этом случае.

Методы исследования

В диссертации используются традиционные методы бесконечномерного анализа, теории операторов в Гильбертовом пространстве и ряд специальных конструкций

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. В то же время результаты могут быть использованы в математической физике при представлении решений эволюционных уравнений, описывающих одномернуюдинамику частицы с потенциалом, с помощью пределов конечнократных интегралов. Кроме того, описание эволюции частицы с переменной массой имеет широкое применение в теоретической физике. Исследования в этой области в последнее время привлекают все больший интерес специалистов, поскольку изучение динамики частицы со скачкообразно меняющейся (эффективной) массой имеет ряд возможных приложений в теории твердого тела (при изучении полупроводниковых приборов и жидких кристаллов).

Всем вышесказанным и определяется ценность диссертации

Апробация диссертации

Результаты диссертации докладывались на

1) семинаре отдела математической физики МИАН им. В.А.Стеклова РАН под рук. акад. B.C. Владимирова, член-корр. РАН И.В. Воловича.

2) научном семинаре "Проблемы необратимости "в МИАН им. В.А. Стек-лова РАН под рук. член-корр. РАН Воловича И.В., акад. Козлова В.В., проф. Козырева C.B., проф. Смолянова О.Г.

3) Семинаре "Бесконечномерный анализ"под рук. проф. Смоляпова О.Г. и проф. Шавгулидзе Е.Т.

4) XXXI Конференции Молодых Ученых МГУ им. Ломоносова, Москва

2009 год

5) XXXII Конференции Молодых Ученых МГУ им. Ломоносова, Москва,

2010 год

Работа автора поддержана грантами РФФИ

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора, [44-48], в том числе две статьи в журналах из перечня ВАК.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, насчитывающего [48] наименований. Общий объем диссертации составляет [76] страниц.

1. X. фон Вайцзеккер, О.Г.Смолянов,"Доклады Академии наук", 2009, Том 426, № 2, стр. 162-165.

2. В.И. Смирнов, Курс высшей математики, том 5, 1959 г.

3. М.Рид, Б.Саймон, Методы современной математической физики, Том 2, Гармонический анализ и самосопряженность.

4. Chernoff R.P.// J.Funct. Anal, 1968. 1968, V.2, p. 238-242.

5. Вайцзеккер X. фон, Виттих О., Смолянов О.Г.// ДАН, 2000, Т. 371, №4, с.442-447.

6. Smolyanov O.G., Weizsäkker H. von, Wittich 0.,//Proc. Canad. Math. Soc.2000, V.29, p. 589-602.

7. Sidorova N.A., Smolyanov O.G.,Weizsäkker H. von,Wittich O. // J. Funct. Anal. 2004. V206, №2, p391-413.

8. Gadella M., Kuru S., Negro J. // Phys. Let. A. 2007. V. 362, p.265-268.

9. Ito К., McKean H.D. Diffusion Processes and Their trajectories. В. Springer, 1974.

10. Вайцзеккер X. фон, Виттих О., Смолянов О.Г.// ДАН, 2007, Т. 415, №6, с.737-741.

11. Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Т2. Спектральная теория. Самосопряженные операоры в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1966

12. Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин C.B., Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. I. Труды Моск. Мат. Общества, V 1971. V 24, 133 -174.

13. Альбеверио С., Смолянов О.Г. Представления функциональными интегралами решений некоторых стохастических уравнений типа Шэддингера-Белавкина. Доклады Академии Наук. 1999. 364 №6, 747-751.

14. Богачев В.И. Смолянов О.Г. Аналитические свойства бесконечномерных распределений. Успехи математических наук, 1990. 45, №3 р 3-83.

15. Скороход A.B. Интегрирование в гильбертовых простанствах. Наука, Москва, 1974.

16. Сидорова H.A. Броуновское движение во вложенном многообразии как предел броуновских движений с отражением в его трубчатых окрестностях. Математические Заметки. 2003. 73, №6 Р 947-950.

17. Сидорова H.A., Предельное поведение поверхностных мер иа пространствах траекторий, Матем. заметки 2004. 76 №2 р 258-263.

18. Смолянов О.Г. Гладкие меры на группах петель. ДАН. 1995. 345, №4 р 455-458.

19. Смолянов О. Г., Вайцзеккер X. фон, Виттих О. Диффузия на компактном римановом многообразии и поверхностные меры. ДАН. 2000. 371, №4 р 442-447.

20. Смолянов О. Г., Вайцзеккер X. фон, Виттих О., Сидорова H.A. Поверхностные меры на траекториях в римановых многообразиях, порождаемых диффузиями. ДАН. 2001. 377, №4 441-446.

21. Смолянов О. Г., Вайцзеккер X. фон, Виттих О., Сидорова H.A. Поверхностные меры Винера на траекториях в римановых многообразиях. ДАН. 2002. 383, m р 458-463.

22. Смолянов О.Г., Трумен А., Формулы Фейнмана для решений уравнений Шредингера на компактным римановых многообразиях, Математические заметки, 2000 68, №5 р 789-793.

23. Smolyanov O.G., Weizsäcker H. von, Wittich О., Chernoff's Theorem and the Construction of Semigroups, Evolution Equations: Applications to Physics, Industry, Life sciences and Eqonomics EVEQ 2000, M. Ianelli, G. Lurner, Birkhauser (2003), 355-364.

24. Smolyanov O.G., Weizsäcker H. von, W'ittich O., Construction of Diffusions on Sets of Mappings from an Interval to Compact Riemannian Manifolds, Doklady Acad. Nauk, 71 (2005), 391-396.

25. Smolyanov O.G., Weizsäcker H. von, Wittich О., The Feynman Formula for the Cauchy Problem in Domains with Boundary, Doklady Acad. Nauk, 69 N 2 (2004), 257-262.

26. Smolyanov O.G.,Weizsäcker H. v., Change of measures and their logarithmic derivatives under smooth transformations, C.R.Acad.Sei.Paris, 1995, 321, Serie I, 103-108.

27. Smolyanov O.G., Weizsäcker H. von, Smooth Probability Measures and Associated Differential Operators, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2, (1999), 51-78.

28. Sidorova N. A., Smolyanov O.G., Weizsaecker H. v., Wittich О., The surface limit of Brownian motion in tubular neighborhoods of an embedded Riemannian manifold, Journal of Functional Analysis, 206 (2004), 391-413

29. Бутко Я.А. Функциональные интегралы для уравнения Шредипгерав компактном римановом многообразии. Математические Заметки. 2006. 79, №2 р 194-200.

30. S. Albeverio, R. Hinegli-Krohn, The energy representation of Sobolev-Lie groups, Compositio Mathematica. 36 (1978) 37 52. 72

31. Albeverio S., Hniegh-Krohn R., Mathematical Theory of Feynma.n Path Integrals, Lecture Notes in Math., 523 Berlin: Springer, 1976.

32. Albeverio S., Khrennikov A., Smolyanov 0., The Probabilistic Feynman-Kac Formula for an Infinite-Dimensional Schroedinger Equation with Exponential and Singular Potentials, Potential Analysis 1999 11,p 157-181.

33. Butko Ya. A. Representations of the Solution of the Cauchy-Dirichlet Problem for the Heat Equation in a Domain of a Compact Riemannian Manifold by Functional Integrals. Russian Journal of Mathematical Physics 2004 11 №2, 1-9.

34. Kac M., On a distribution of certain Wiener functionals,Trans. Amer. Math. Soc., 65, (1949), 1-13. 31] Chernoff R., A Note on Product Formulas for Operator Semigroups, Journal of Functional Analysis, 1968 2, 238-242.

35. Chernoff R., Product Formulas, Nonlinear Semigroups and Addition of Unbounded Operators, Mem. Amer. Math. Soc., 1974 140.

36. Doss H., Sur une Resolution Stochastique de l'Equation de Schroedinger a Coecients Analytiques, Communications in Math. Phys, V.73, №3, 1980, 247-264.

37. Sidorova N.A. The Smolyanov surface measure on trajectories in a Riemannian manifold. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2004. 7, №3 461-471.

38. Угланов А.В. Поверхностные интегралы в банаховых пространствах. Матем. сборник. 1979. 110, № 2 189-217.

39. Airault, H., Malliavin P. Integration geometrique sur l'espace de Wiener. Bull.Sci.Math. 1998. 2, № 112 p 3-52. 73

40. L. Andersson, B.K. Driver, Finite dimensional approximations to Wiener measure and path integral formulas on manifolds. J. Funct. Anal. 1999 165 430498.

41. Bass R.F., Uniqueness for the Skorokhod equation with normal regection in Lipschitz domains, Electron. J. Probab., 1996 1 Ж11, Paper 11.

42. Bogachev V.I., Smooth measures, the Malliavin calculus and approximations in infinite-dimensional spaces, Acta Univ. Carolin.Math. Phys., 1990 31, №, 9-23.Список работ автора по теме диссертации

43. Feynman Formulas Generated by Self-Adjoint Extensions of the Laplace Operator, Russian Journal of Mathematical Physics, 2010, 17:3, 251-261.

44. Формулы Фейнмана, порождаемые самосопряженными расширениями оператора Лапласа, Труды XXXII Конференции молодых ученых мехмата МГУ, 2010

45. Формулы Фейнмана, порождаемые самосопряженными расширениями оператора Лапласа на полупрямой, Труды XXXI Конференции молодых ученых мехмата, 2009.

46. Feynman Formulas for Diffusion of Variable-mass Particles on R, Infinite Dimensional Analysis, 2011, 14:1