Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Мохамед Хаммад Нуман Эльшейх

ОПЕРАТОРЫ ШРЕДИНГЕРА НА РАЗВЕТВЛЕННЫХ МНОГООБРАЗИЯХ И ИХ АППРОКСИМАЦИИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005556898

18 ДЕК 2014

Москва — 2014 год.

005556898

Работа выполнена на кафедре прикладной математики факультета физико-математических и естественных наук ФГАОУ ВО "Российский университет дружбы народов".

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики ФГАОУ ВПО "Московский физико-технический институт (государственный университет)" Сакбаев Всеволод Жанович

Официальные оппоненты: Шавгулидзе Евгений Тенгизович

доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математического анализа механико-математического факультета ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова" г. Москва

Толстыга Диана Сергеевна кандидат физико-математических наук, ООО «Волга-Днспр-Москва»

(управляющая компания группы «Волга-Днепр»), г. Москва

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской Академии Наук, г. Москва

Защита состоится "28" января 2015 года в 1С ч. 00 мин, на заседании диссертационного совета ДМ. 212.157.15 при ФГБОУ ВПО "НИУ "МЭИ" по адресу: 111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 13, корп. М, ауд. М-710.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГВОУ ВПО "НИУ "МЭИ".

Автореферат разослан Ао декабря 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м. н.

А • ^'-У \ Перескоков А.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы Проводимое в диссертации исследование направлено на изучение операторов Лапласа и операторов Шредипгера на графах с конечным или счетным числом рёбер и на разветвленных многообразиях переменной размерности. Получено описание самосопряженных расширений симметрического оператора Шредингера, изначально заданного на гладких финитных функциях, носители которых не содержат точек ветвления графа или разветвленного многообразия.

В диссертации получены формулы Фейнмана для групп Шредингера, порождаемых задачей Коши для уравнения Шредингера, и полугрупп Шредингера, порождаемых задачей Коши для уравнения диффузии. Эти задачи Коши описывают либо квантовую динамику, либо диффузию на подмножество евклидова пространства, представляющее собою граф или разветвленное многообразие.

Формулами Фейнмана называют (см.1,2,3) представление полугруппы Шредингера cxp(íL), t > 0, или группы Шредингера exp(-iíL), t е R, с помощью пределов ко-нечнократных интегралов по декартовым степеням конфигурационного пространства (при стремлении к бесконечности кратности) классической гамильтоновой системы, при квантовашш которой получается оператор Гамильтона L.

Дифференциальные операторы па графах и других разветвленных многообразиях имеют применения к описанию ряда процессов в квантовой механике и биологии. Основы теории дифференциальных уравнений на графах изложены в монографии4, в которой приведен ряд примеров физических задач, приводящих к исследованию дифференциальных операторов па графах. В работах5,6,7 изучены спектральные свойства таких операторов и исследованы динамические свойства эволюции, определяемые уравнением Шредингера на графе. В работах8,9,10,11 исследуется множество самосопряженных

1 ОС, Smolyanov, A.C. Tokarev, A. Trumen, Flamiltoiutui Feynmaii path Llitcgmls via the CheniufF foi inula / ' J. of Math. Phys., 2002, 43, № 10, P. 5161-5171.

2ÍI.A. Бутко, Формулы Фейнмана-Каца-Ито для бесконечномерного уравнения Шредингера со сколярным и векторным потенциалами // Нелинейная динамика. 2006, Т. 2, S* 1, С. 75- 87.

3Ю.П. Орлов, П.Ж. Сакбаев, О.Г. Смоляное, Формулы Фейнмана как метод усреднения случайных гамильтонианов. Труды M11AII. 2014. Т. 285. С. 232-243.

ЧО.В. Покорный, О.М. Пенкин, 11.Л. Прядиев, A.D. Боровских, К.П. Лазарев, С.А. Шабров, Дифференциальные уравнения па геометрических графах. - М.: Физматлит. 2004.

5В.Л. Чернышев, А.И. Ща^шревич, Квазиклассический спектр оператора Шредингера на геометрическом графе // Матем. заметки, 2007, Т. 82, вып. 4. С. 606-620.

бО.Л/. Пенкин, Ю.В. Покорный, О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе // Матем. заметки. 1996. Т. 59, вып. 6. С. 777-780.

7A.A. Толненников, В.Л. Чернышев, А.И. Щафаревин, Асимптотические свойстваи классические динамические системы в квантовых задачах на сингулярных пространствах // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6, вып. 3. С. 623-638.

*Г.Г. Амосов, В.Ж. Сакбаев, О самосопряженных расширениях оператора Шредингера с вырождением на двух полупрямых и определяемых ими марковских коциклах // Матем. заметки. 2004. Т. 76, вып. 3. С. 335-343.

*В.Ж. Сакбаев, O.I\ Смоляное, Динамика квантовой частицы с разрывной зависимостью массы от положения // ДАН, 2010, Т. 433:3, С. 314 - 317.

>0В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смоляное, Диффузия и квантовая динамика на графах // Доклады РАН, Т. 451, № 2, 2013, С. 141-145.

"Л/. Cadella, S. Kuru, J. Negro, Self-adjoint Hamiltonians with a mass jump: General matching conditions // Phys. Letters, 2007, V. 362, JÍ» 4, P. 265 - 268.

расширений оператора Шредингера, заданного изначально на пространстве финитных гладких функций, не содержащих точек ветвления графа12,13,14 или точек смены типа оператора (см.15). В статье13 найдены аппроксимации формулами Фейнмана унитарных полугрупп, задаваемых некоторыми из самосопряженных расширений.

В диссертации рассматриваются операторы Шредингера на графах с конечным или счетным числом рёбер. Работа является продолжением исследований13, в которых изучался граф с конечным множеством ребер.

Предложена процедура аппроксимации полугрупп, генерируемых операторами Шредингера на графе операторнозначными функциями в смысле эквивалентности по Чернову. Такое отношение эквивалентности, введенное в работе16 Смолянова, Вайцзекксра и Виттиха на пространстве сильно непрерывных операторнозначпых функций, позволяет приблизить в сильной операторной топологии полугруппу последовательностью итераций, задаваемых одной из эквивалентных полугруппе оператор-функций. Аппроксимация полугрупп итерациями операторнозначпых функций является бесконечномерным аналогом метода ломанных Эйлера.

Известны некоторые универсальные методы задания операторнозначпых функций, итерации которых аппроксимируют полугруппы. Так, например (см.17,18), резольвента генератора сильно непрерывной полугруппы задает аппроксимации Иосиды, а произведения экспоненциальных функций от двух различных генераторов полугрупп при определенных условиях задают аппроксимацию полугруппы формулами Троттера.

В диссертации предложен ряд других аппроксимаций полугрупп Шредингера в пространстве квадратично интегрируемых функций на графе с помощью формул Фсйн-мана для нахождения аппроксимирующих операторнозначпых функций, для которых разработаны новые методы, обобщающие методы, рапсе предложенные в работе12,13 Сакбаева и Смолянова.

Актуальность рассматриваемой задачи состоит в том, что в последнее время значительно усилился интерес к описанию динамики частиц на графах, дендритах и иных разветвленных многообразиях со стороны математической физики и квантовой меха-

12В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смоляное, Динамика квантовой частицы с разрывной зависимостью массы от положения // ДАН, 2010, Т. 433:3, С. 314 - 317.

В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смоляное, Диффузия и квантовая динамика на графах // Доклады PAII, Т. 451, Л"* 2, 2013, С. 141-145.

1ЧЛ/. Gadella, S. Kuru, J. Negro, Self-adjoint Ilamiltotiiaris with a mass jump: Genera! matching conditions // Phys. Letters, 2007, V. 362, K< 4, P. 265 - 268.

Г.Г. Амосов, В.Ж. Сакбаев, О самосопряженных расширениях оператора Шредингера с вырождением на двух полупрямых и определяемых ими марковских коциклах // Матем. заметки. 2004. Т. 76, вып. 3. С. 335-343.

leO.G. Smolyanov, II. Weizsäcker, О. Wittih, Chernoff's theorem and discrete time approximations of nrownian motion on manifolds. Potential Anal. 2007. 26. P. 1-29.

l7T. Kamo, Теория возмущений линейных операторов -М.:МИР, 1972.

1вЛ/. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики «Функциональный аналнз», Т. 1, -издательство «Мир» Москва 1977.

ники (см.19,20,21,22,23). С математической точки зрения операция дифференцирования функции, однозначно определенная для функций, заданных на области или на гладком многообразии, нуждается в уточнении для функций, заданных на многообразиях, содержащих точки ветвления. Целью настоящего исследования является определение действия оператора Шредингера на функциях, заданных на многобразии с конечным множеством точек ветвления. Для этой цели мы зададим оператор Шредингера Lo на пространстве С^(Г) финитных и бесконечно дифференцируемых функций, носители которых не содержат точек ветвления. Оператором Шредингера L на графе будем называть самосопряженное расширение оператора Lo- При условии отсутствия электромагнитных потенциалов оператор Шредингера с постоянными коэффициентами будем называть оператором Лапласа. В настоящей работе дано описание множества всех операторов Шредингера на графе в терминах условий на множестве предельных функций в точке ветвления. В работе получены результаты по описанию множества операторов Лапласа и Шредингера для графов с одной вершиной (они представляют собой совокупность п экземпляров полупрямых с общей вершиной), графов с несколькими вершинами, графов с одной вершиной и счетным множеством лучей и разветвленных многообразий переменной размерности. Далее для графа с одной вершиной и конечным множеством ребер предложена формула Фейнмана для аппроксимации полугруппы, разрешающая задачу Коши для уравнения диффузии с различными операторами Лапласа. Для некоторого класса операторов Шредингера доказана представимость полугрупп, описывающих квантовую динамику или диффузию, посредством формул Фейнмана.

Цели исследования

1. Дать описание множества самосопряженных расширений эллиптических дифференциальных операторов второго порядка на графах и разветвленных многообразиях переыеииой размерности, заданных изначально дифференциальным выражением второго порядка на пространстве финитных бесконечно дифференцируемых функций, носители которых не содержат точек ветвления графа и граничных точек графа.

2. Исследовать посредством формул Фейнмана аппроксимации полугрупп, порождаемых задачей Коши для уравнения Шредингера и для уравнения теплопроводности на графе.

3. Дать вероятностную интерпретацию полученным аппроксимациям полугрупп.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Описание множества операторов Шредингера (самосопряженных расширений orie-

1'ЧО.Л. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев, А.В. Боровских, К.Л. Лазарев, С.А. Шабров, Дифференциальные уравнения на геометрических графах. - М.: Фнзматлит. 2004.

20О.М. Ленкин, 10.В. Покорный, О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе // Матем. заметки. 1996. Т. 59, вып. 6. С. 777-780.

21 А.А. Талчештков, В.Л. Чернышев, А.И. Шафарееич, Асимптотические свойствам классические динамические системы в квантовых задачах на сингулярных пространствах // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6, вып.

3. С. 623-638.

23 Д.//. Чернышев, А.И. Шафаревин, Квазиклассический спектр оператора Шредингера на геометрическом rpaijio // Матсм. заметки, 200Г, T. S2, вып. 4. С. 606-620.

73M. Cadella, S. Kuru, J. Negro, Self-adjoint Hamiltonians with a mass jump: General matching conditions // Phys. Lettcrs, 2007, V. 362, № 4, P. 265-268.

ратора, изначально заданного на пространстве финитных бесконечно дифференцируемых функций, носители которых не содержат точек ветвления) на графах с одной вершиной, с несколькими вершинами, с конечным множеством ребер, со счетным множеством ребер и на разветвленном многообразии переменной размерности.

2. Построение формул Фейпмаиа с помощью вероятностей перехода для полугруппы, порождаемой уравнением диффузии на графе с оператором Лапласа.

3. Теоремы о сходимости аппроксимаций Фейнмапа-Чернова к унитарной полугруппе, порождаемой в гильбертовом пространстве Н = Ь2 (Г) операторами Шрсдингера на графах, области определения которых задаются условиями типа Кнрхгоффа - условием непрерывности в точке ветвления и условием равенства нулю суммарного потока в точке ветвления.

4. Теоремы о сходимости аппроксимаций Фейимаца-Чериова к диссипатнвной полугруппе, порождаемой в банаховом пространстве Ьр(Г), р 6 [1,+оо), операторами Шрсдингера на графах, области определения которых задаются условиями типа Кирхгоффа - условием непрерывности в точке ветвления и условием равенства нулю суммарного потока в точке ветвления.

Научная новизна

1. В работе описано множество всех самосопряженных расширений эллиптического дифференциального оператора второго порядка на графе, изначально заданного на пространстве финитных бесконечно дифференцируемых функций на графе, носители которых не содержат точек ветвления. Рассмотрены случаи графов различной геометрической структуры и разветвленных многообразий переменной размерности.

2. Выявлена связь операторнозначных аппроксимаций полугрупп, порождаемых оператором Шредингера на графе, с вероятностями перехода из точки графа в его измеримое подмножество на заданном промежутке времени.

3. Для унитарной группы преобразований пространства ¿¡(Г), порождаемой оператором Шредингера Ья на графе, действующим на функции из области определения, которые удовлетворяют условиям Кирхгоффа в точках ветвления, найдена аппроксимирующая эту группу операторнозначная функция и установлена ее эквивалентность по Чернову группе е-"1*®, { £ Л.

4. Найдена операторнозначная функция, аппроксимирующая сжимающую полугруппу е'Аг, £ > О, преобразований банаховых пространств ЬР(Г), 1 < р < оо, порождаемую оператором Шредингера Аг на графе, действующим на функции из области определения, которые удовлетворяют условиям Кирхгоффа в точках ветвления. Доказана эквивалентность по Чернову полугруппы и предлагаемой аппроксимации.

Основные методы исследования

При получении результатов диссертации были использованы методы теории полугрупп и ряд специальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты работы имеют теоретическое значение. Методы и результаты работы, кроме самостоятельного интереса с точки зрения теории дифференциальных операто-

ров на разветвленных многообразиях, могут иметь применения в теории полугрупп, в квантовой механике и физике полупроводников. Апробация диссертационной работы

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

• На семинар «математической физики» под руководством чл.-корр. РАН И.В. Воло-вича и д.ф.-м.п. C.B. Козырева (МИАН им. В.А. Стеклова; 5 ноября 2014 г.);

• На семинар «математической физики» под руководством чл.-корр. РАН И.В. Воло-вича и д.ф.-м.и. C.B. Козырева (МИАН им. В.А. Стеклова; 15 октября 2014 г.);

• На семинаре «прикладной математики» под руководством профессора A.JI. Скубаче-ского (РУДН, 7 октября 2014 г.);

• На семинаре бесконечномерному анализу под руководством профессора О.Г. Смоля-нова и доцента H.H. Шамарова (МГУ, 6 октября 2014 г.);

• На семинаре кафедры математического анализа под руководством А.П. Солдатова, (БелГУ; 18 сентября 2014 г., г. Белгород);

• На семинаре дифференциальных уравнений и математической физики под руководством профессора A.JI. Скубаческого (РУДН, 27 мая 2014 г.);

• На семинаре дифференциальных уравнений и математической физики под руководством профессора А.Л. Скубаческого (РУДН, 24 сентября 2013 г.);

• Труды Всероссийской паучно-нрактпческой конференции "Дифференциальных уравнения, Теория фупций, Нелинейный Анализ и оптимазация". Москва 2013 (РУДН);

• Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения", г. Белгород 2013;

• Труды 56-й научной конференции МФТИ. Всероссийской молодежной научно-шшовациониой конференции "Физико-математические науки: актуальные проблемы и их решения". Москва-Долгопрудный 2013;

• The Seventh International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow 2014 (PFUR).

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 8 работах, из них 4 статьи в научных журналах и 4 тезисов докладов на научных и международных конференциях. Структура диссертации

Диссертация "Операторы Шредипгера па разветвленных многообразиях и их аппок-симации" состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 31 наименований.

Содержание работы

Во введении дастся обзор работ по теме диссертации и кратко излагаются основные результаты диссертации.

В первой главе диссертации изучается множество самосопряженных расширений оператора Lo, действующего в гильбертовом пространстве H = £>г(Г) и заданного на линейном пространстве и 6 Г) финитных бесконечно дифференцируемых функций па графе Г, носители которых не содержат точек ветвления и граничных точек графа,

посредством дифференциального выражения

1 . .ди ,д(В(х)и) ч , ,

Lu = —Дц + гВ(х) — + i ^ ' ' +С{х)и. (1.1)

m ох ох

Здесь функции т, В, С - веществеппозначные, ограниченые и непрерывные всюду за исключением вершин графа Г. Функции m и В непрерывно дифференцируемы на ребрах графа, функция m равномерно ограничена и равномерно отделена от нуля на графе Г, функция и в формуле (1.1) удовлетворяет условию и £ С§°(Г).

В терминах линейных уравнений, связывающих предельные значения функций и их производных вдоль ребер графа, в его граничных точках и точках ветвления, дано описание множества всех самосопряженных расширений оператора Lo, заданного дифференциальным выражением (1.1) на линейном подпространстве С£°0(Г). Описание множества самосопряженных расширений дано для графа с одной вершиной и конечным либо счетным множеством ребер графа; для графа с несколькими вершинами и ребрами; для разветвленного многообразия переменной размерности. Эти результаты обобщают результаты работ24,25.

Граф Г с одной вершиной мы определяем как совокупность п экземпляров полупрямых = [0,+оо), j = 0,...,п, с общим началом Q, называемым вершиной графа. Предположим, что на Г задана борелсвская мера, определяемая требованием, чтобы её сужение на каждую полупрямую Г^ совпадало со стандартной мерой Лебега, тогда

¿а(Г) =

Пусть Сад (Г) - векторное пространство бесконечно дифференцируемых комплекс-позначных функций на Г с компактными носителями, не содержащими точки Q, и L0 = ©"=1Lq - линейный оператор, определяемый на Сд°(Г) соотношением L0u = ®y=I{Ljtij}, где

L°"J' = + tB'ix) fite + 1 Эх +

Здесь [uj,j = 1,...,п} - сужения функции и на полупрямые Гу. Предположим, что при всех j числа > 0 и функции Bj(x) € Cj(x) Е C{Vj,R). Предплагается

также, что вдоль каждого ребра Tj функция Bj имеет в точке Q конечное предельное значение bj = ВДО).

Оператор Lo с областью определения D{Lo) = Сад(Г) с ¿г(Г) плотно определен и симметричен. Областью определения f(LJ) сопряженного оператора LJ является линейное подпространство £>(LJ) = ®y=1W|(Fj) := W|(F) С Я. Сужения всякой функции и 6 на полупрямые Г;, j = 1, ...,п обладают граничными значениями в вершине, которые обозначим через Uj(0), где символ и(0) означает и{0) = (щ(0) иг(0) ... un(0))T € С™. Это также верно для первых производных этих сужений,

24В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смоляное, Динамика квантовой частицы с разрывной зависимостью массы от положения // ДАН, 2010, Т. 433:3, С. 314-317.

35В.Ж. Сакбаев, О.Г, Смоляное, Диффузия и квантовая динамика на графах // Доклады РАН, Т. 451, К* 2, 2013,С. 141-145.

для них используем аналогичные обозначения.

Теорема Фон Неймана (см.20,27) предоставляет описание множества самосопряженных расширений симметрического оператора. Нами получено явное описание множества самосопряженных расширений оператора Lo в терминах условий на линейных под-пространствх в пространстве граничных значений G = Z3(L>3)/X3(Lo) = {("(0), u'(0))} =

c2n.

Теорема 1.1. Если Л/ и S диагональные матрицы и их матричные элементы заданы по формуле (zrôij) , (W<j)n><„ i'i = 1.—. я соответственно, и С = (су), где с,, 6 ¿оз(Г), то оператор L с областью определения D(L) = {и 6 Wj(r) : u'(0) = Ли(0)} самосопряжен тогда и только тогда, когда матрицы A, M a S удовлетворяют равенству А = M'lA'M - 2i M~'S.

Теорема 1.1 дает описание широкого класса самосопряженных расширений оператора Lo, по не дает описания всей совокупности самосопряженных расширений. Это делает следующая теорема.

Теорема 1.2. Оператор L самосопряжен тогда и только тогда, когда его область определения D(L) состоит из функций пространства И72(Г), граничные значения которых удовлетворяют равенству + Лои{0) = 0, где ранг матрицы (yli[j4o) равен п и матрица Aj^I удовлетворяет равенству АоМ^А] = AiA1~1(Aq +2 г SM"1 4J).

Далее в главе 1 результаты теорем 1.1 и 1.2 обобщаются на случай графа со счетным множеством ребер и одной вершиной; графа с конечным множеством вершин; разветвленного многообразия, представляющего собой объединение конечного числа областей конечномерных евклидовых пространств различной размерности и обладающих кусоч-иогладкой границей.

Вторая глава диссертации посвящена аппроксимации сильно непрерывных полугрупп итерациями операторпозначпых функций. В работах О.Г. Смолянова и его соавторов (см.28,29,30) показано, что эффективным методом построения таких аппроксимаций является утверждение теоремы Чернова (см.31).

Теорема (Чернова). Пусть X - банахово пространство, В(Х) - банахово пространство линейных ограниченных операторов в X и пусть функция F : [0,+оо) —► В(Х) удовлетворяет условию F(0) = I, непрерывна в сильной операторной топологии, удовлетворяет оценке ||F(t)||c(A') < e"',t > 0, при некотором а > 0. Тогда если оператор F'(0) замыкаем и его замыкание является генератором сильно непрерывной полугруппы

2аГ.Г. Амосов, В.Ж. Сакбаев, О самосопряженных расширениях оператора Шредингера с вырождением на двух полупрямых и определяемых ими марковских коциклах // Матем. заметки. 2004. Т. 76, вып. 3. С. 335-343.

11M. Caddla, S. Kuru, J. Ntgra, Self-adjoint Ilamiltonians with a mass jump: General matchlng conditions // Phys. Letters, 2007, V. 362, № 4, P. 265-268.

2НЯ.А. Вутпко, Формулы Фсйнмана-Каца-Ито для бесконечномерного уравнения Шредингера со сколярным и векторным потенциалами j j Нелинейная динамика. 2006, Т. 2, № 1, С. 75- 87.

ï9 О.С. Smolyanov, А.С. Tokarev, Л. Тгитеп, Hamiltonian Feynman path intégrais via the Chernoff formula // J. of Math. Phys., 2002, 43, № 10, P. 5161-5171.

iù!О П Орлов, В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смоляное, Формулы Фейнмана как метод усреднения случайных гамильтонианов. Труды МИЛИ. 2014. Т. 285. С. 232-243. 31 P. R. Chernoff, Note on product formulas for operator semigroups // J. Fnnct. Anal, 1968, 84, P. 238- 242.

операторов и(£), £ > 0, то для любого и € X и любого Т > О выполняется равенство

Представление полугруппы И(£), £ > 0, в виде предела итераций при п —> оо

и является формулой Фейнмана. Тогда говорят, что оператор-функция Г(£) эквивалентна по Чернову полугруппе и(£) (см.32,33). Дальнейшей целью диссертации является определение итерационных аппроксимаций для полугрупп, порождаемых операторами Лапласа и Шредингера на графе при описании квантовой динамики или диффузии.

Во второй главе диссертации приведены примеры применения операции усреднения операторнозначных функций к построению фейпмановских аппроксимаций заданных полугрупп. На основании вероятностного подхода найдено семейство аппроксимирующих полугруппы Шредингера оператор-функций, параметризованное вероятностями перехода с каждого из ребер графа на другие ребра.

Далее изложенная схема построения аппроксимирующей функции Чернова применяется к изучению диффузии (эволюции конценрации как функции из пространства Ь](Г) или Ьр(Г)) и квантовой динамики (эволюции волновой функции из пространства ¿2 (Г)) на графе Г.

По графу Г определим расширенный граф Г. Обозначим через Г^ прямую являющуюся продолжением полупрямой Г^ до прямой, а через Г - совокупность прямых {Г;, ] = 1,...,п}, которую будем называть расширенным графом.

Для задания точки на графе Г используем координаты (£,.?) 6 Я+ х {1, ...,п}. Если х 6 Гу, то пара х = {£,]) € Н+ х {1,...,п} указывает, какому лучу принадлежит точка х и координаты этой точки на луче. Аналогично для задания точки на расширенном графе Г будут использованы координаты (£,.?) € Л х {1,...,п}.

Используем следующий схему (см.34,35), основанную на применении теоремы Чернова и формулы Фейнмана. Пусть и = и(£,.;') = иД?), (4,;) € х {1, ...,п} - заданная на графе числовая функция.

1) Определим преобразование Р] при каждом £ > 0, сопоставляющее функции и : Г —» С функцию у = Р]И : Г С, где у{х) = = Уj(£) по следующему правилу:

32Я.А. Бутко, Формулы Фейнмана-Каца-Ито для бесконечномерного уравнения Шредингера со сколярным и векторным потенциалами // Нелинейная динамика. 2006, Т. 2, № 1, С. 75- 87.

33 ЮЛ. Орлов, В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смоляное, Формулы Фейнмана как метод усреднения случайных гамильтонианов. Труды МИА11. 2014. Т. 285. С. 232-243.

34 В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смоляное, Динамика квантовой частицы с разрывной зависимостью массы от положе-

ния // ДАН, 2010, Т. 433:3, С. 314-317.

3&В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смоляное, Диффузия и квантовая динамика на графах // Доклады РАН, Т. 451, № 2, 2013,С. 141-145.

«ДО.

¡¿г £¡1..,« «ел-

2) Продолжим коэффнценты дифференциального выражения на графе Г

т = 1,

а функции Bj(x),Cj(x) на каждой прямой Г,- продолжим как гладкие функции с носителями па промежутке [-1,+оо).

Для изучения явления диффузии на графе Г в отсутствии потенциалов (Ь = 0 и с = 0) определим операторнозначную функцию F2 £ С([0, +00),B(Li(V)), задаваемую равенством

+оо

F2(%(iJ) = J е^^у&М-

-fX>

Оператор-функция F2 задает диффузию с постоянным коэффициентом на каждой из прямых fj графа Г, причем преобразования функций па каждой из ветвей fj расширенного графа Г происходят независимо от значений функции на других ветвях Ft, к ^ j.

Опрсатор F3 определим как оператор сужения функции с расширенного графа Г на граф Г.

Далее в главе 4 будет показано, что оператор-функция F(i) = F3F2(i)F!, t > 0, аппроксимирует в смысле Чернова полугруппу е'Л, t > 0, порождаемую оператороом Лапласа на графе Г.

В главе 3 для аппроксимации унитарной группы, порождаемой оператором Лапласа в пространстве Ь2(Г), будет исследована аппроксимирующая функция Чернова G, где G(i) = F3G2(f)Fb i > 0, а оператор-функция G2 £ С([0, +оо), В(Ь2(Г)) задана равенством

G2(t)y(x,j) = ■—= J е '"«" y{lj)dy.

-00

Кроме того, в главах 3 и 4 найдены аппроксимации по Чернову групп e"'1L, t 6 R, и полугрупп eAi, t > 0, зависящих от потенциалов В и С.

Прежде мы проанализируем вероятностные аспекты такой аппроксимации. Высказывается гипотеза, что каждому набору вероятностей перехода с ребра на ребро графа соответствует полугруппа, порождаемая некоторым самосопряженным расширением оператора L0, и наоборот, каждое самосопряженное расширение оператора L0 задает полугруппу, эквивалентную по Чернову оператор-функции, соответствующей некоторому набору вероятностей перехода с ребра на ребро. В главах 3 и 4 исследован случай равновероятных переходов с ребра на ребро и доказано, что соответствующая такому закону оператор-функция эквивалентна по Чернову полугруппе, в область определения генератора которой входят тс и только те функции, которые удовлетворяют в точке ветвления графа условию непрерывности и условию равенства нулю суммарного потока (что эквивалентно условию самосопряженности). Эти условия будем называть условиями Кирхгоффа.

Вероятностный подход к определению аппроксимирующей функции Чернова для

уравнения диффузии на графе.

Предлагаемая аппроксимирующая функция Чернова имеет следующую вероятностную интерпретацию в терминах случайного блуждания по графу.

Случайному блужданию, описывающему диффузию на прямой, соответствует марковский процесс с переходной функций, обладающей плотностью p(t, 5, х, у) = ^ ^ exp ^ j относительно меры Лебега. Тогда в случае графа Г вероятность

оказаться в окрестности dy точки у 6 Г* в момент времени t для частицы, находившейся в момент времени s < t в точке х 6 Гу, определяется по правилу

Г-7-4— expf^pfY j = k = (2.1,

где pj, J, к € 1 , n, j k; p* > 0, - вероятность перехода с ветви Г^ графа на его ветвь 1\. При каждом j 6 1,п выполняется условие

= 1. (2.2) Нами будет рассмотрен сначала случай, когда

при всех j, fc е 1, n, j fc.

Замечание. Определенная выше функция р не удовлетворяет уравнению Колмогорова-Чепыена

Jp(t, s, (x,j), (у, fc))p(u, i, (i, 0. j) = p(u, S, (z, /), (y, fc)).

г

Поэтому функция p не является плотностью переходной функции стационарного марковского случайного процесса на графе Г, хотя функция р принимает неотрицательные значения и для любого (x,j) € Г, любых t,s £ R: s < t выполняется равенство

/

p{t,s,(x,j),(y,k))d(y,k) = l.

Функция (2.1) имеет смысл плотности в точке (у, к) 6 Г условной вероятности перехода из точки (x,j) е Г в момен времени s в измеримое множество Г к моменту времени t > s.

Определим оператор-функцию P(s,£), (s,t) 6 R+ х Я+у 0 < s < t < +оо таким образом, что для любых (s, t) оператор P(s, i) действует впространстве L\(Г) по правилу

(P(s, t)v)(x,j) = Jp{t, s, (x, j), (y, k))u(y, k)d{y, fc) V и € L, (Г). (2.3)

Лемма 2.2. Пусть р 6 [1,+ос]. Оператор-функция Р задает двухпараметрическое семейство сжимающих преобразований пространства Ьр(Г), сохраняющих конус неот-рицалельных функций.

Теорема 2.3. Оператор-функция Р(0,£), £ > 0, заданная функцией р по формуле (2.1) при условии р£ = к,] € 1,..., п; к ^ j, совпадает с оператор-функции Чернова

= г > 0.

В третьей главе диссертации изучается уравнение Шредингера

г^фЛ) = Ьи(хЛ), Ь > 0, (3.1)

где

Ьи = —Аи + ¿6 д - + 1 \ + с(х)и. (3.2)

т дх дх

Здесь функции т, 6, с - вещественнозначные, ограннченые и непрерывные всюду за

исключением вершин графа Г, функции т и Ь непрерывно дифференцируемы на ребрах

графа, функция тп равномерно ограничена и равномерно отделена от нуля на графе Г;

функция и в формуле (3.2) удовлетворяет условию и 6 Со°(Г).

Задача Коши для уравнения (3.1) рассматривается с начальным условием

и|е=0 = и0, «о € Ь2(Г), (3.3)

где символом Ьг(Г) обозначается гильбертово пространство измеримых квадратично интегрируемых комплекснозначных функций на графе Г.

Оператор Ья задастся дифференциальным выражением (3.2) как самосопряженное расширение оператора Ь0, заданно дифференциальным выражением (3.2) па области определения С^Г), на пространство функций, удовлетворяющих в точке ветвления графа условию Кирхгоффа:

п

и,(0) = ... = и„(0); ]Г(Ц(0)-НЬДОМО)) = 0. (3.4)

J = ^

В третьей главе диссертации найдена операторпозиачпая функция, эквивалентная по Чернову унитарной группе, задаваемой в пространстве ¿2 (Г) задачей Коши для уравнения Шредингера (3.1)-(3.4).

В качестве функций Чернова, аппроксимирующих унитарную полугруппу е"'"1®, рассмотрим оператор-функцию

Г(0 = м5,_ьг3Рсь(е)С2(г)г1м5,),; г > о; г е я,

где Ms.it = e±iЛ'l'(s)'i^ Рс„(г) = е"*7'«', Сь{х) = С(х) + Вг(х) и + 00

Сг(%о(£) = ^ / е ' « у0(у)(1у,

—пи

здесь функции В, С определены на расширенном графе Г таким образом, что на каждой прямой Г^ функции В¡, С, с носителями па промежутке [—1,оо) являются произволь-

ньш гладким продолжением функций bj, Cj.

Теорема 3.1. Пусть функция Ь удовлетворяет условиям 6 £ С4'(Г), а функция с -условиям с 6 Cj(r). Тогда справедливо представление группы e~'iLs, t > О, формулой Фейпмана

lira sup ||e~"Lsu—(F(—)У'г(|1..= 0 VT1 > 0, и £ X, n-+0° te[o,r] \ n'J "А

где X = ¿2(Г).

В четвертой главе диссертации изучается уравнение Фоккера-Планка

^-u(x,t) = Au(x,t), t > 0, (4.1) at

где

1 . ,, .ди д(Ых)и) . .

Аи = — Ди + Ых) - + А + с(х)и. (4.2) т ах ах

В последнем выражении функции т, Ь, с - всществеппозпачпые, ограничение и непрерывные всюду за исключением вершин графа Р, функции т и b непрерывно дифференцируемы на ребрах графа, функция m равномерно ограничена и равномерно отделена от нуля на графе Г, функция и в формуле (4.2) удовлетворяет условию и 6 С^(Г). Задача Коши для уравнения (4.1) рассматривается с начальным условием

"|<=о = "о, Щ € ¿„(Г), (4-3)

где р € [0, +оо) и символом ЬР(Г) обозначается банахово пространство измеримых интегрируемых в степени р функций на графе Г.

Оператор Ат задается дифференциальным выражением (4.2) как расширение оператора Ао, заданно дифференциальным выражением (4.2) на области определения Оц)(Г), на пространство функций, удовлетворяющих в точке ветвления графа условию Кирхгоффа:

п

«i(0) = ... = «„(0); 5ZK(°) + 6j(0)«(0)) =0. (4.4)

i=1

В диссертации установлено существование сильно непрерывной полугруппы, порождаемой оператором Ат в банаховом пространстве Lp(Г) в предположении, что потенциал b непрерывно дифференцируемой абсолютно интегрируемой функцией с ограниченной происводной, а потенциал с ограничен. Установлено, что предложенная в главе 2 операторнозначная функция, соответствующая одинаковым коэффициентам перехода между ребрами графа, эквивалентна по Чернову полугруппе, задаваемой в пространстве МП задачей Коши (4.1)-(4.4).

В качестве функций Чернова, аппроксимирующих сжимающую полугруппу е1Ат, рассмотрим оператор-функцию

F(г) = M«,-bF3F,b(t)F2(t)FiM/i.i; ¡>0; ¡ей,

где Мц,±ь = F,b(t) = ?*,(*) = ОД - Вг(х) и

+ 00 _(?_у)2 F2(t)äft)(i) = / е yo(y)dy,

-04

здесь функции В, С определены на расширенном графе Г таким образом, что на каждой прямой Tj функции Bj, Cj с носителями на промежутке [—1,оо) являются произвольным гладким продолжением функций bj, Cj.

Теорема 4.1. Пусть функция 6 удовлетворяет условиям Ь S C6'(r)P|Li(r), а функция с - условиям с £ Сь(Г). Тогда представление полугруппы е'Ат, t > 0, формулой Фейнмана

lim sup ¡|efA'u-fF(-)VuüA-= 0 VT>0,ugX,

п~*°°(е[о,:г] v п /

имеет место в пространствах X = Lp(Г), р 6 [1, +оо).

Публикации по теме диссертации Статьи в научных журналах

а) публикации в журналах списка ВАК

1. М.Х. Нумаи Элъшейх. Операторы Шредингера па разветвленных многообразиях // Научные Ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика, 2014, № 5 (176), вып. 34, С. 88- 93.

2. М.Х. Нумап Элъшейх, В.Ж. Сакбаев. Операторы Лапласа для уравнения Шредингера на графах // Труды МФТИ. 2014, Т. 6, № 2, С. 61- 67.

б) публикации в реферируемых научных журналах

3. М.Н. Numan Elsheikh. Schrödinger Operators on Graphs and Branched Manifolds // JAMP, 2014, V. 2, № 2, P. 1 - 9.

4. М.Х. Нумап Элъшейх, Д.О. Огуп, Ю.Н. Орлов, Р.В. Плешаков, В.Ж. Сакбаев. Усреднение случайных полугрупп и неоднозначность квантования Гамильтоновых систем // Препринт. 2014, ISSN 2071-2898, № 19, С. 3- 28.

Тезисы научных и международных конференций

5. М.Х. Нумап Элъшейх. Операторы Лапласа для уравнения Шредингера на графах // Труды Всероссийской научно-практической конференции "Дифференциальных уравнения, Теория фунций, Нелинейный Анализ и оптимазация". 23-26 апреля. Тезисы докладов. -М.: Из-во Российского университета дружбы народов. 2013. С. 12-13.

6. М.Х. Нумап Элъшейх. Операторы Лапласа для уравнения Шредингера на графах // Международная конференция "Ди([)ференцналы1ые уравнения и их приложения". 26-31 мая, г. Белгород. Тезисы докладов. Белгород. 2013. С. 139-140.

7. М.Х. Нумаи Элъшейх. Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях // Труды 56-й научной конференции МФТИ. Всероссийской молодежной научно-шшовацноппой конференции "Физико-математические науки: актуальные проблемы и

их решения". 25-30 ноября, Управление и прикладная математика том 1. Тезисы докладов. Москва-Долгопрудный-Жуковский МФТИ. 2013. С. 16.

8. М. Н. Numan Elsheikh Feynman's formulas and averaging semigroups // The Seventh International Conference on Differential and Functional Differential Equations. August 2229. Abstracts. Peoples' Friendship University of Russia, Steklov Mathematical Institute of the RAS, Lomonosov Moscow State University. 2014. P. 163-164.

Мохамед Хаммад Нуман Эльшейх.

Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппоксимации.

Аннотация.

В диссертации определены операторы Шредингера на графе как самосопряженные расширения эллиптического оператора второго порядка, изначально заданного на пространстве финитных бесконечно дифференцируемых функций, носители которых пс содержат точек ветвления графа. Дано описание множества операторов Шредингера па графах и на разветвленных многообразиях переменной размерности.

Также в работе с помощью вероятностей перехода найдены формулы Фейнмана для полугруппы, порождаемой уравнением диффузии на графе с оператором Лапласа. Доказаны теоремы о сходимости аппроксимаций Фейнмана-Чернова к полугруппе, порождаемой в пространстве Я = Лг(П и в пространствах Lp(r), р е [1,+оо), операторами Шредингера на графах, области определения которых задаются условиями типа Кирх-гоффа - условием непрерывности в точке ветвления и условием равенства нулю суммарного потока в точке ветвления.

Mohamed Hammad Numan Elsheikh.

Schrodinger operators on branched manifolds and their approximation.

Abstract.

In the dissertation identified Schrodinger operators on graph as self-adjoint extensions of the second order elliptic operator, initially defined on the space of compactly supported infinitely differentiable functions, whose supports do not contain branch points of the graph. The description of the set of Schrodinger operators on graphs and on branched manifolds of variable dimension.

We obtained by using of the transition probabilities found the approximatio by Feynman formula for the semigroup generated by the diffusion equation oil a graph with the Laplace operator. We prove theorems on the convergence of the Feymnan-Chernoff to the semigroup generated in the spacc H = L2{T) and in the spaces ЬР(Г), p 6 [l,+oo), Schrodinger operators on graphs the domain of which are given by Kirchhoff conditions - by the condition of continuity at the branch point and the condition equality to zero a total stream at the branch point.

Подписано в печать: 21.11.14

Объем: 1,0 п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 543 Отпечатано в типографии «Реглет» г. Москва, Ленинский проспект, д.2 (495) 978-66-63, www.reglet.ru