Формы кривых четвертого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Нб Од

1 6 '^'казанский государственный университет

им. в. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи

НЕБУКИНА Галина Федоровна

ФОРМЫ КРИВЫХ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

(01.01.04 — геометрия и топология)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань, 1994

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Д. А. Гудков.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, старшин научный сотрудник Математического института РАН им. В. А. Стеклона В- В. Никулин (г. Москва);

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии Казанского государственного университета В. Е. Фомин-

Ведущая организация — Воронежский государственный университет. Автореферат разослан 6 > 1994 г. Защита состоится _1995 г. в 1Г час.

I

на заседании специализированного совета по математике К 053.29.05 в Казанском государственном университете имени В. И. Ульянова—Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Ленина, 18, корпус 2, ауд. 217-

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета (г. Казань, ул. Ленина, 18).

Учений секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук,

доцент В. В. Шурыгин.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Задача классификации форм вещественных алгебраических кривых Ст порядка ш в проективной плоскости. -одна из классических задач теории алгебраических кривых.

Еще в начале ХУП века И. Ньютон дал классификацию особых точек и типов нераспадающихся вещественных кривых третьего порядка, откуда следует, что кривая Сз может иметь особую точку одного из из трех типов (узловую А^ изолированную А*, точку возврата А^)" и принадлежать одному из пяти типов?' Для каждого из этих пяти типов он установил число и расположение вещественных точек перегиба, т.е. форму кривой Сг данного типа. С тех пор делались неоднократные попытки получить аналогичную исчерпывающую классификацию для кривых четвертого порядка ( Л. Эйлер, Г.Крамер, Ю. Плюкер, А.Кэли, И.Цейтен и другие ). Сравнительно недавно, в 1966 г., Д. А. Гудковым и его учениками М. Л. Тай и Г. А. Уткиным была получена

о Здесь и всюду в дальнейшем применяются обозначения особых точек, данные В.А.Арнольдом в раооте "Критические точки гладких функций и их нормальные формы" СУМН. т.30:5(185),1975,с.3-63), со следующими дополнительными соглашениями: пометка "1т" означает, что особая точка мнимая, в остальных случаях точки веие-ственнные; значок » указывает наличие мнимых комплексно-сопряженных ветвей с центром в этой точке; коэффициент перед обозначением особенности указывает число особых точек данного типа у кривой.

г> У Ньютона была дана аффинная классификация типов кривых Сг, но он понимал и ее проективный смысл.

-/

классификация алгебра-топологических типов вещественных нераспадающихся кривых С4 без мнимых особых точек, а именно-, было доказано, что существует ровно 99 типов таких кривых. Затем в 1988 г.

А. Гудков дал классификацию нераспадающихся кривых С4 с мнимыми особыми точками (18 типов), а в 1990 г. Д.А,Гудков и-Г.М.Полотов-ский получили классификацию вещественных распадающихся кривых С4 (96 типов).

В работе 1966 г. была поставлена задача: изучить все возможные формы кривых С4 для каждого алгебро-топологического типа. Надо заметить, что все типы неособых вещественных нераспадающихся кривых С4 были известны еще в начале этого века и И. Цейтен построил все 42 возможные их формы. Отметим еще, что отдельные формы кривых С4 без мнимых особых точек Скривая Штейнера, три формы кривой Никомеда) и с мнимыми особыми точками (кардиоида, кривые Персея, овалы Декарта, овалы Кассини, улитка Паскаля) были известны еще раньше. Однако, для кривых С4 с более сложными особенностями (особенно с тройными особыми точками) задача построения форм долго не могла быть решена ввиду отсутствия адекватного математического аппарата.

Толчком к продолжению работы по изучению форм кривых С4 послужило опубликование О.Я. Виро в 1981 г. обобщения формулы Клейна, что позволяет определить количество вещественных точек перегиба алгебраических кривых с любыми особенностями. ■ В диссертации получена классификация грубых форм вещественных нераспадающихся кривых С4 с любыми особенностями. (Форму кривой С4 данного типа назовем грубой, если все вещественные точки перегиба находятся в общем положении, т.е. ни одна из них не совпадает ни

с другой точкой перегиба, ни с особой точкой кривой. В противном случае форму назовем специальной). Заметим, что к настоящему времени Л. А. Гудковым построены все специальные формы таких кривых С4, а Д. А. Гудкоеым и Г. М.Полотовским - все формы распадавшихся вещественных кривых С^. Таким образом, имеется исчерпывающая классификация форм всех типов вещественных кривых Сч в проективной плоскости.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1) Получить классификацию грубых форм вещественных нераспадающихся кривых без мнимых особых точек в вещественной проективной плоскости, т.е. для каждого из 99 типов таких кривых СА перечислить все логически возможные грубые формы и доказать существование или нереалиэуемость каждой из них.

2) Решить аналогичную задачу для 18 типов вещественных нераспадающихся кривых С+ с мнимыми особыми точками.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации новые. Для полноты картины и систематизации в работу включены и известные ранее (см. выше) формы. Все они получены новым способом, причем впервые доказана нереализуемость одной из логически возможных форм кривой С4 без особенностей с восемью вещественными точками перегиба на одном из четырех овалов (у И. Цейтена такая форма даже не рассматривалась).

Диссертация содержит следующие основные результаты.

1) Получена полная классификация грубых форм кривых без мнимых особых точек. Доказано, что имеется 347 форм таких кривых. При этом доказана нереализуемость 41 логически возможной формы. (Здесь и ниже учитываются только логические возможности, не запрещаемые тривиальными следствиями теоремы Безу).

)

2) Получена полная классификация грубых форм кривых С4 с мнимыми особыми точками, состоящая из 33 форм.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Диссертация носит теоретический характер. Результаты работы и методы, в ней применяемые, могут окть использованы в дальнейших исследованиях: построении типов и форм кривых более высоких порядков. Кроме того, полученные формы кривых С4 могут найти применение при аьтома-изированном проектировании и обработке (например, на станках с ЧПУ) деталей машин и «еханизмов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на геометрическом семинаре Казанского университета в 1992 т., на итоговых научных конференциях Нижегородского госуниверситета в 1984-1990 гг. и в совместных с научным руководителем Д. А. Гудковым сообщениях на объединенных заседаниях семинара им. И. Г. Петровского и ММО в 1984-1983 гг.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 11 работ, список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах II]-131, [5]-18] определение формы кривой С4 данного типа и общая схема исследования принадлежат' . научному руководителю Д. А.Гудкову, все вычисления проводились автором. В работе НО] классификация типов нераспадающихся вещественных кривых С4 с мнимыми особыми точками получена Д. А. Гудковым, а классификация форм таких кривых - автором. Некоторые фрагменты вычислений ь работах Ш, 121 параллельно с автором проводились Н.А.Кирсановой; в то время дипломницей Д. А. Гудкоьа.

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения и занимает Й/ страницумашинописного тексту библиография содержит 35 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертации, содержащей три параграфа, дастся определения основных понятий и формулировки известных теорем, необходимые для работы. В § 1 собраны необходимые сведения об алгебраических кривых т-го порядка в проективной плоскости, в частности, приведены определения алгебраических инвариантов кривой и ее особых точек. В § 2 рассматриваются вещественные алгебраические кривые порядка ш. Приведена классификация двойных особых точек и определения некоторых тройных точек кривых Св> Дано краткое описание некоторых методов, применяемых при решении задачи Сквадратичные преобразования, бифуркации алгебраических кривых). § 3 посвящен вещественным нераспадающимся кривым С. Здесь приведена классификация особых точек таких кривых, даны определение типа кривой Cf и классификация типов нераспадающихся кривых С+ без мнимых особых точек С 99 типов) и с мнимыми особыми точками С18 типов), собраны известные теоремы о деформациях особых точек кривой

Основные результаты диссертации содержатся во второй и третьей главах.

Во второй главе, состоящей из девяти параграфов, получена классификация грубых форм нераспадающихся кривых Сбез мнимых особых точек. В § 1 приведено принадлежащее Д.А. Гудкову определение понятия грубой формы нераспадающейся вещественной кривой С4. §3 посвящен запретам на некоторые грубые формы кривой С4. Предварительно приводятся необходимые в дальнейшем определения и известные теоремы, сформулирован упрощенный метод Гильбер-та-Роона, с помощью которого доказана нереализуемость 12 грубых

5

форы кривых С4 с особенностью типа А1 ( и еще .может быть, А* ), имеющих компоненту вида С>0 ( и еще, может быть, один или два овала ) с четным числом точек перегиба на каждой петле С и, может быть, на одном из овалов ). В §§ 2-4, 6-9 для каждого из 99 типов нераспадающихся кривых С4 без мнимых особенностей перечисляются все логически возможные грубые формы и доказывается существование или нереалиэуемость каждой иэ ниу. Рассмотрение форм проводится в порядке убывания суммы чисел Милнора всех особых точек кривой С4, которая называется числом Милнора кривой и обозначается р СС4), причем 0 < м (С+) < 6. Полученные результаты приведены в таблице 1. Отметим, что теоремы здесь занумерованы тремя числами, указывающими номер теоремы, параграфа и главы соответственно.

Таблица 1

Набор особых точек кривой Коли- Количество форм Номер

м £С4) чество типов построенных нереализуемых теоремы в диссертации

1 2 3 <ч 4 5 6

' 6 Е, 1 2 - 1.2.2

А6 1 1 - 2.2.2

А4, Аа 1 1 - 3.2.2

ЗАа 1 1 - 4.2.2

5 г 3 - 1.3.2

А* г 3 - 2.3.2

А 5 г 3 - 3.3.2

V А. 1 2 - 4.3.2

а4, а* 1 2 - 5.3.2

А,. А, 2 2 - 6.3.2

А;. Аа 1 1 - 7.3.2

2Аа. А, г 3 - 8.3.2

1

о

2Аг, А:

П4

\

А,, А1

а,. а;

а:, а,

а;, А^

2А

а 3

А „,2А 2 1

А.. V АГ

А

I

А* а,.\

ЗА

I

2А,, А;

*

1

А..2А;

ЗА*

I

А

а

2А|

2А*

а,, а;.

А . 1

А*

I

1

2

1 2 4

2

1

2 3 1

3

1 6

3

4

2

3 2 1

2

4

7

3

3 6

3 6

1

3

3 3 7

3 2

4

3 2

7

4

14

8

13 8

12

9

6

3 19 32

14

21 4230 42

3 6

- 9.3.2

- 1.4.2

- 2.4.2

- 3.4.2

- 4.4.2

- 5.4.2

- - 6.4.2

_ 7.4.2

1 8.4.2

- 9.4.2

- 10.4.2

- 11.4.2

- 1.6.2

- 2.6.2

2 3.6,2

1 4.6.2

- 3.6.2

3 6.6.;д

4 7.6.2

- 8.6.2

1 1.7.2

7 2.7.2

1 3.7.2

7 4.7.2

10 1.8.2

1 2.8,2

1 1.9.2

4

3

Таким образом, получена классификация грубых форм кривых С4 без мнимых особенностей.

ТЕОРЕМА. Пусть С4 - вещественная нераспадающаяся кривая, не лмеюшая мнимых особых точек. Существует ровно 347 грубых форм таких кривых, причем

а) кривые Сч с р (С4) = 6 имеют 5 форм;

б) кривые С4 с ^ СС4) =5 имеют 20 форм;

в) кривые С^ с ц (С4) = 4 имеют 43 форм;

г) кривые С( о ц СС4) = 3 имеют 77 форм;

д) кривые С4 й ц СС4) = 2 имеют 86 форм;

е) кривые С4 с ц СС4) =1 имеют 72 формы;

ж) кривые С4 с ^ СС4) = 0 имеют 42 формы.

(Напомним, что последние 42 формы были получены И. Цейтеном ранее) .

В третьей главе дается классификация грубых форм нераспадающихся кривых С4 с мнимыми особыми точками. Полученные результаты приведены в таблице 2. Отметим, что для таких кривых 2 < (л (С4) С 6 и все логически возможные формы реализуются.

Таблица 2

V (С4) Набор особых точек кривой Количество типов Количество форм Номер теоремы в в главе III

6 2А^ Аг 1 1 1

5 2А^Т А* 2 3 2

гл1? А г' I 1 1 3

4 2А1* А < г 2 . 3 4

2А1т 2 3 5 5

3 2А^ А( 2 4. 6

2А|? А* 3 7 7

2 2А1т 1 4 11 8

Итак, получена классификация грубых форм кривых С4 с мнимыми особенностями.

ТЕОРЕМА. Пусть С4 - вещественная нераспадающаяся кривая, имеющая мнимые особые точки. Существует ровно 33 грубых форм таких кривых, причем

а) кривые С4 с р (С4) =6 имеют одну форму;

б) кривые С4 с fj (С4) =3 имеют 4 формы;

в) кривые С4 с р СС4) = 4 имеют 8 форм;

г) кривые С4 о (j (С4) = 3 имеют 11 форм,

д) кривые С4 с р (С4) = 2 имеют 11 форм.

В Заключении работы дана историческая справка по рассматриваемому вопросу, приведены результаты построения специальных форм нераспадающихся кривых

Автор глубоко признателен своему научному руководителю профессору Л, А. Гудкову эа внимание и всестороннюю помощь в работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Гудков Д.А., Кирсанова Н.А. , Небукина Г.Ф. Точки перегиба ц двойные касательные кривых четвертого порядка, I ✓ Деп. в ВИНИТИ 1982, N 4207-82, С.1-8.

2. Гудков Д. А., Кирсанова Н. А. , Небукина Г. Ф. Точки перегиба и двойные касательные кривых четвертого порядка, II / Деп. в ВИНИТИ, 1983, N 17-83, С.1-14.

3. Гудков Д.А., Небукина Г.Ф. Точки перегиба и двойные касательные кривых четвертого порядка, III / Деп. в ВИНИТИ, 1984, N 704-84, С. 1-18.

4. Гудков Д.А., Небукина Г.Ф. Двойные касательные и точки, переги-

9

ба кривых четвертого порядка ^ УМН, Т. 39:40238), 1984, С.-И 2.

5. Гудков Д.А., Небукина Г.Ф. Точки перегиба и двойные касательные кривых четвертого порядка, И / Деп. в ВИНИТИ 1989, N 6708-В85, С.1-23.

6. Гудков Д. А., Небукина Г. Ф. Точки перегиба и двойные касательные кривых четвертого порядка, У / Деп. в ВИНИТИ 1985, N 6709-В85, С.1-17.

7. Гудков Д.А., Небукина Г.Ф. Точки перегиба и двойные касательные кривых четвертого порядка, У1 / Деп. в ВИНИТИ 1983, N 6710-В85, С. 1-26.

8. Гудков Д.А., Небукина Г.Ф. Точки перегиба и двойные касатель ные кривых четвертого порядка, УП / Деп. в ВИНИТИ 1986, N 6710-В85, С.1-15

9. Гудков Д.А. , Небукина Г.Ф. Типы и формы кривых четвертого порядка о мнимыми особыми точками // УМН, -Т. 40:5(245), 1985, С. 2/2.

10. Гудков Д.А. , Небукина Г.Ф. Вещественные кривые четвертого порядка с мнимыми особыми точками / Деп. в ВИНИТИ 1986, N 1108-В86, С. 1-22.

11. Небукина Г.Ф. Запреты на некоторые формы кривых четвертого порядка / Деп. в ВИНИТИ 1991, N 4242-В91, С.1-25.

ю