Аппроксимация в комплексной плоскости и сингулярные операторы с ядром Коши тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Настоящая работа посвящена задачам аппроксимации функций комплексного переменного многочленами и рациональными функциями на кривых возможно более общего вида. Тематика исследований лежит на стыке теории аппроксимации и теории сингулярных операторов.

Разработка проблем аппроксимации функций и изучение свойств сингулярных операторов существенно связаны с исследованием метрических и топологических свойств соответствующих множеств, а также с изучением локальных и глобальных свойств классов функций.

В связи с этим, в работе сделана попытка переосмыслить ряд фундаментальных результатов теории сингулярных операторов и конструктивной теории функций с точки зрения возможности создания на их основе новых методов решения актуальных задач полиномиальной аппроксимации функций комплексного переменного.

При этом построена локальная теория сингулярных операторов, существенно используемая как в локальной, так и в глобальной аппроксимации на дугах в комплексной плоскости.

Получены точные, в смысле порядка, интегральные неравенства для: многочленов на широком классе спрямляемых кривых, которые не были известны ранее даже для кусочно-аналитических кривых без точек возврата . Впервые при решении задач аппроксимации в интегральной метрике на замкнутых кривых определение класса кривых естественным образом связывается с классом приближемых функций, что позволило существенно расширить классы кривых, на которых возможна наилучшая по порядку аппроксимация. Кроме того, в диссертации введена полиномиальная (и рациональная) весовая аппроксимация в интегральных метриках на широком классе спрямляемых кривых, и при этом получены результаты, являющиеся новыми даже в случае единичной окружности.

Отметим, что принципиальная возможность равномерного полиномиального приближения на произвольном компакте комплексной плоскости всякой функции класса С ( Щ) , то есть непрерывной на и голоморфной во внутренних точках , установлена в классической теореме С.Н.Мергеляна [47(1)] . Согласно этой теореме , такая аппроксимация возможна тогда и только тогда, когда дополнение связно и содержит бесконечно удаленную точку.

Теорема С.Н.Мергеляна играет в комплексной области ту же роль, что и аппроксимативная теорема Вейерштрасса - в вещественной. Ей предшествовал ряд глубоких и тонких результатов Дж.Уолша, Ф.Гарторгса и А.Розенталя, М.А.Лаврентьева, М.В.Келдыша (см., например,

59(1)] и [б7Ш] ). Аналогичные вопросы в случае рациональной аппроксимации решались в работах С.Н.Мергеляна [47(4)] и А.Г.Витушкина [17(1)] .

Критерий возможности полиномиальной аппроксимации в среднем (т.е. в интегральной метрике) функции ^ , принадлежащей в комплексной области с границей Г классу ^ г р>0 ), были разработаны в работах В.И.Смирнова [57(1)] ,

Через £¡>(6), р>° , как обычно, обозначен класс аналитических в области функций , для которых существует последовательность замкнутых спрямляемых кривых { Г^ } , лежащих в области (г , сходящихся при я00 к Г и таких, что

С<°о , где С не зависит от П~

- 4

М.А.Лаврентьева [37(1)] , М.В.Келдыша ¡36(1)] , Я.Л.Геронимуса

19(1)] и Г.Ц.Тумаркина [65(1)] . Основной результат, установленный в этом направлении, утверждает, что полиномиальная аппроксимация в среднем функций из класса Ep(G-,) возможна тогда и только тогда, когда рассматриваемая область (г есть область В.И. Смирнова35^.

Одновременно с получением упомянутых результатов ставились и решались задачи о количественной оценке скорости сходимости приближающих полиномов (или рациональных функций) в зависимости от структурных и дифференциальных свойств приближаемой функции (проблема прямых теорем наилучшей аппроксимации), как и задачи описания классов функций, обладающих заданной скоростью полиномиальных приближений (проблема обратных теорем). Критерии принадлежности функции некоторому классу в терминах оценок скорости ее аппроксимации принято называть конструктивным!'!! характеристиками классов.

Постановка проблемы прямых и обратных теорем конструктивной теории функций в комплексной плоскости имеет ряд особенностей, которые становятся более понятными, если обратиться к соответствующим исследованиям в вещественной области.

Хорошо известны (см. например [8(1)] , [64(1)] и [22(2)] ) классические прямые теоремы Д.Джексона, справедливые как для периодических, так и для непериодических непрерывных функций, и обратные теоремы С.Н.Бернштейна и Валле-Пуссена для периодических непрерывных функций, которые вместе определяют конструктивную

Область G" есть область В.И.Смирнова или область типа <S , если функция представима в круге |*ur|<f интегралом

Пуассона, где конформно отображает |ttf-(<i на ^ характеристику периодических функций класса Гельдера в терминах наилучших приближений и модулей непрерывности. В этих терминах получить подобную конструктивную характеристику для непериодических непрерывных функций оказалось невозможным.

Принципиальным сдвигом, приведшим к осмыслению этого факта, явился результат С.II. Никольского £50(1^ об усилении теоремы Джексона для класса . В последующих работах А.Й.Тшана

64(1^ и В.К.Дзядыка ¿22(2)^ были установлены конструктивные характеристики для подклассов непериодических непрерывных функций, в частности, для функций класса Гельдера.

В дальнейшем различные аналоги прямых теорем Джексона для непериодических функций будем называть теоремами типа Джексона, теоремы, определяющие глобальную конструктивную характеристику класса функций в терминах глобальной наилучшей аппроксимации -теоремами типа Джексона-Бернштейна, а теоремы, определяющие глобальную конструктивную характеристику класса функций посредством скорости приближения, зависящей определенным образом от локальных свойств множества во всех его точках - теоремами типа Николь ского-Тимана-Дзядыка.

Теоремы, выражающие связь между локальным структурным свойством функции относительно одной - единственной точки 20 , произвольно фиксированной на данном множестве, и локальным конструктивным свойством функции относительно ¿0 , будем называть чисто локальными теоремами. Задачи этого типа были впервые сформулированы и решены в работах П.Ы.Тамразова и В.В.Еардзинского С.бз(б)3 , [12(1)] , [пт] , причем они оказались новыми не только в комплексной области, но и в вещественном периодическом случае.

Получению прямых и обратных теорем теории аппроксимации и конструктивных характеристик в классе суммируемых функций в различных интегральных метриках- был посвящен ряд исследований

A.Зигмунда [28(1)] , Н.К.Бари [13(1)] , А.Ф.Тимана [64(1)] , М.К.Потапова [53(3)] , М.Ф.Тимана [64(1)] , Г.К.Лебедя [42(2)] ,

B.П.Моторного [48(1)] и др.

Постановка прямых и обратных задач конструктивной теории функций в комплексной плоскости, в основном, связана с выявлением наиболее общего класса множеств, на которых удается получить аналоги вышеупомянутых классических теорем как в равномерной, так и в интегральной метриках. К настоящему времени, благодаря работам С.Н.Никольского [50(1)] , В.К.Дзядыка [22(2)] , Н.А.Лебедева и П.М.Тамразова (см. [40(1)] , [63(3)] ) и В.И.Бе-лого [15(I)] , направление теории равномерной полиномиальной аппроксимации на замкнутых кривых комплексной области, связанное с теоремами типа Никольского-Тимана-Дзядыка, исследовано с достаточной полнотой. В то же время проблема установления теорем указанного типа, как и теорем типа .Идексона, на разомкнутых кривых почти не исследована. Сравнительно мало исследованы также аналогичные проблемы в интегральных метриках, причем, в случае разомкнутого контура эта проблема вообще не затрагивалась.

Наиболее важные исследования в теории сингулярных операторов сконцентрированы вокруг следующих классических утверждений. Теорема (Племеля-Привалова): Пусть -f G Н^ ( |f0 ) о<<*<1 ) ( Н (£,) - класс Гельдера порядка <Х Функции о ^

-f вдоль единичной окружности |j*o ). Тогда ^ £ Н^ ( jf0) где есть сингулярный (особый) интеграл и

Коши л,

Теорема (М.Рисса); Сингулярный интегральный оператор вида (0.1), действующий из/ в при

О 'Г р>1 , является ограниченным.

Выявление наиболее общего класса кривых, на которых удается получить аналоги теорем Племеля-Привалова и Рисса и их дальнейшее развитие является одной из основных задач теории сингулярных операторов.

Результаты, полученные в вышеупомянутых направлениях (теории аппроксимации и теории сингулярных операторов), как самим автором, так и его предшественниками, приводятся по мере изложения краткого содержания соответствующих глав.

Прежде чем перейти к краткому изложению результатов работы по главам мы введем основные классы кривых, на которых ведется аппроксимация и изучаются локальные свойства сингулярных (особых) интегралов, а также некоторые классы функций.

Пусть .Й - произвольная односвязная область комплексной плоскости, содержащая точку -г = сю , Ь - континуум, являющийся дополнением к О :с/0 = о/сслш Б>о , Г = их общая граница. Далее, пусть № = - функция , конформно и однолистно отображающая на внешность единичного круга и нормированная усло|ием: = > >0 > ~ фу-иг) , = [4 : - 1-+ (Г ^ 1 } - линия уровня континуума В » с( , — М-Р I при ^ Г , Г ^ И(Г

Предположим, что Г - замкнутая, жорданова спрямляемая кривая длины ^ , диаметром о1 ( | -Ь-—"С 1), заданная в дуговых координатах.

Обозначим [¡Ш =(Т£Г : | + -Г| } С0 мера Лебега), 0(£) « ^ ( Г)

Очевидно, имеем: в .

Определение 0.1. (см. [б5(1)] ): Кривая Г принадлежит классу ^ еСли существует постоянная С(г)&1 такая, что

0 (У)$ с((-;$-.

Отметим, что класс , введенный В.В.Салаевым, к настоящему времени является наиболее общим классом кривых, на котором верна теорема Еяемеля-Привалова.

Определение 0.2. Кривая Г 1 являющаяся образом окружности при некотором К -квазиконформном отображении плоскости на себя, называется К -квазиконформной кривой. Класс таких кривых обозначим через .

Определение 0.3. Говорят, что кривая Г принадлежит классу К -кривых, если каковы бы ни были на ней точки и небольшая из дуг ( ) = (^ц^г), соединяющая их, имеет длину того же порядка, что и длина хорды, которая эти точки соединяет, т.е. существует положительное число к (Г) такое, что при -V Г .

Определение 0.4. (В.К.Дзядык, см. [22(2)] , стр. 392). Будем говорить, что множество Е со спрямляемой жордано-вой границей Г= ^Е принадлежит классу Ь^ при некотором натуральном К или Г € В>к , если Г € и удовлетворяет следующим условиям':

1) I s - г | X d(e, J-) , где -V г 6 Г, г = s

2) \%-b\f4 -Уг^еГ.

Этот класс множеств самый общий из введенных В.К.Дзядыком в задачах аппроксимации (прямые теоремы).

Замечание 0.1. Отметим, что при определении класса Ьк В.К.Дзядыком (см. [22(2)] , стр. 392) были введены еще два дополнительных условия, которые, как показал В.И.Белый (см. l5(I)] ), выполняются для любых континуумов со связным дополнением.

Известно (см. например, [22(2)] ), что класс |\ -кривых, содержащий класс кусочно-гладких кривых без точек возврата, содержится в классах Вк и Ак . При этом классы кривых А^ и ¡V не вложены друг в друга.

Пусть к отличння почти всюду от нуля функция, измеримая на спрямляемой кривой Г и почти всюду конечная. Если определенная на Г функция измеримая, а функция интегрируема (по Лебегу) на Г , то £ ^рСГ» ^• Если Щ4) = 1 , то /р С Г, 1) = I (ГЛ

Соотношения и А ^ В (А>0 , В > 0 ) каждый раз определяются относительно некоторого фиксированного набора параметров и соответствуют следующим неравенствам

С1 В^ А ^ с2Ь и А , где Ск>0 I, г,з; константы, независящие от упомянутого набора параметров.

- 10

Очевидно, если в классе ( Г} 1)*) , при р ^ 1 , ввести норму if» = H f/r,

Wb <• г J то L p превращается в банахово пространство.

Определение 0.5. (см. [70(1)] ,стр. 15). Через Rp , р>1 (класс кривых Рисса) обозначим совокупность таких спрямляемых кривых Г , для которых s'VfiCip,IIJV, .'но со, где Sp -f есть сингуллршж (особый) интеграл Коши вдоль кривой Г вида (0.1), а через С(<*,р,.»)как и всюду ниже, мы будем обозначать положительные постоянные, зависящие от входящих параметров ex^ji,. . Эти постоянные различны, вообще говоря, в разных формулах.

3 а гл е ч а н и е 0.2. Отметим, что Rp - класс кривых, на которых справедлива классическая теорема И.Рисса.

К настоящему времени, наиболее общи:; из классов кривых, на которых справедлива теорема Ы.Рисса, является55^ класс 3> g .

Как известно (см. [70(1 )J , стр.72), при любом р > -J

R = £ = П L.'

Определение 0.6. (см. (70(1)],стр. 15). Пусть ЛА- -измеримая почти всюду конечная функция на спрямляемая кривой Г Будем говорить, что il принадлежит классу Wp ( Г7) 5 если она отлична от нуля почти всюду и оператор -f (см. (0.1)) ограничен в пространстве L ^ (Г, U-)

ЗссО-Ccl G-. , Zi nle at a fo. de Саискч ¿uh. fe coûtée, beetфcrif*s . pt ep utei'c art с oris Vtrt'v . PcOztS, - Su о/

UaikZJ. ТО s, /9Л£; f-Jl.

Определение 0,7. (А.А.Гончар, см. Г56(1)] ). Обозначим через -Ц (з-0, Г)класс функций, принадлежащих Н , ( Г) ( о < <• 1 ) и удовлетворяющих вблизи заданной точки г „ е Г условию ^ >0 , ЗгО: Г.

Определение 0.8. Обозначим через

Гго.ГДг.бГЗ 0<°< <1 , класс функций, для которых при любых г^-г^бГ

Перейдем теперь к краткому изложению результатов работы по главам.

Первая глава посвящена получению точных, в смысле порядка, аналогов классических неравенств в интегральной метрике в классе алгебраических многочленов на произвольных множествах в комплес-ной плоскости.

В дальнейшем неравенства, связывающие норму производной функции из некоторого нормированного функционального пространства с нормой самой функции, называются неравенствами типа Маркова-Бернштейна. А неравенства между различными нормами одной и той же функции из пространства р называются неравенствами типа С.М.Никольского.

Получению таких неравенств на вещественной оси посвящены многочисленные исследования (см. [20(1)] , (50(3)] , [22(2)] , [29(1)], [64(1)] ).

- 12

Аналоги неравенств типа (М-Б) для многочленов комплексного переменного в равномерной метрике на множествах комплексной плоскости были получены в работах Дж.Уолша, Г.Сеге, С.Н.Мергеляна, В.К.Дзядыка, Н.А.Лебедева, П.М.Тамразова и других (см. [20(1)] , [57(2)] , [22(2)] , [59(1)] , [63(3)] , [40(1)]и[67(1)]), а в классе рациональных функций - в работах А.А.Гончара [20(1)] и Е.П.Долженко [24(1)].

С.Н.Мергеляном [47(1)] была рассмотрена характеристическая функция d Cz,-), определяющая расстояние от точки ^ , лежащей

О О О I I не произвольной спрямляемой кривои I % до ее линии уровня I , , и в терминах величины lm^oI (г, -j^) было получено неравенство

В.К.Дзядык [22(2)] сформулировал подобного типа оценку для жордановой области с достаточно гладкой границей в терминах самой функции получил следующее неравенство:

1сГ(%4) C(K,S,D Р(г)Цс^(0.3) где Н.А.Лебедев и П.М.Тамразов [40(1)] установили (0.3) для произвольных континуумов (и даже для более общих классов множеств) .

Для краткости изложения дальнейших результатов неравенства вида (0.2) и их интегральные аналоги называются неравенствами типа С.Н.Мергеляна, а неравенства вида (0.3) и их интегральные аналоги - неравенствами типа В.К.Дзядыка.

Неравенства типа Маркова-Бернштейна в интегральных метриках комплексной плоскости получены в работах Дж.Уолта [67(1)], Д.Вестерна [17(1)] > Г.Сеге и А.Зигмунда [58(1)] , Е.Шмидта [73(1)] ,

И.И.Ибрагимова и Р.Г.Мамедова [30(1)] , М.И.Андрашко [5(1)J и других.

Однако, следует отметить, что в этом случае не найдены неравенства точные, в смысле порядка зависимости от К, , даже в сравнительно простых случаях - на произвольных кусочно-аналитических замкнутых жордановых кривых без точек возврата. В связи с этим, отметим также, что классическое неравенство А.А.Маркова, являющееся точным как в смысле порядка по , так и в смысле константы, не имеет своего аналога в /р [-1, 1] ( р^-1 ).

Первое исследование в этом направлении, в интегральной метрике, в котором непосредственно выявляется специфика комплексной плоскости, принадлежит Д.Вестерну [l7(I)] . Им, в частности, доказана следующая

Теорема (Д.Вестерна): Пусть W(0 есть совокупность замкнутых кривых Жордана, состоящих из конечного числа гладких дуг, каждая из которых имеет непрерывную кривизну и пусть эти дуги образуют между собой в точках стыка ¿j , соответственно, внешние углы 1С ( А - 1, < ) такие, что о < < £ . Тогда вдоль Г& W(Q ¿j справедливо неравенство

I г \ п |

IPJ,Vr) Р

Это неравенство не является точным в смысле порядка по ft, . Поэтому Г.Сеге и А.Зигмундом [58(1)] была предпринята попытка, улучшить оценку Д.Вестерна.

Теорема (Г.Сеге. А.Зишунда): Пусть г € \fy[0j2). Тогда при р > —L > о( — max iip'ii $ с (р, г) к ii pji.

YL

ЛГ) ' -Vf)'

В дальнейшем М.И.Андрашко [5(1)] получила интегральный аналог неравенства типа (0.3) для подкласса ^класса , состоящего из кривых класса » Д-®1 которых^ •€(1,г)(^ = 17& ).

Одна из основных задач первой главы состоит в получении неравенства типа (0.3) и типа (0.2) для многочленов Р^ в метрике пространства ¿>р( Г) при произвольных р ^ 1 и при возможно общих предположениях относительно спрямляемой кривой Г в комплексной плоскости. С помощью полученных неравенств, находим точные,в смысле порядка К , оценки типа (0.5) при произвольных р^-1 на классах кривых, содержащих классы, рассмотренные Д.Вестерном, Г.Сеге и А.Зигмундом.

Вторая основная задача первой главы данной работы заключается в том, чтобы установить точные, в смысле порядка по , с определенной константой, неравенства типа Никольского для многочленов при возможно общих предположениях относительно спрямляемой кривой Г в комплексной плоскости и с помощью этих неравенств получить оценки между величинами наилучших полиномиальных приближений в различных интегральных метриках и теорему вложения.

В § 1.1 излагаются некоторые вспомогательные факты, касающиеся, в основном, специфики введенных в рассмотрение классов кривых.

В § 1.2 доказываются интегральные неравенства типа (0.3). В частности, доказаны следующие предложения.

Теорема 1.2.1. Пусть Г есть произвольная спрямляемая К -квазиконформная кривая. Тогда каково-бы ни было натуральное число ^ и 5е[о,оо)для производной ¿- -го порядка мно-члена Рк степени < И- при ]> ^ 1 справедливо неравенство рЛ) s-d

Pj^) d Сг.-t) с г)

МЫ 1 ^ р

Теорема 1.2.2, Пусть I при некотором натуральном К принадлежит классу Вк . Тогда, каковы-бы ни были натуральное число ^ и ь для производной ^ -го порядка многочлена степени 4 п. при справедливо неравенство f(D г(г)'

В § 1.3 получена оценка типа Маркова-Бернштейна на произвольных спрямляемых кривых Жордана, в терминах величины ч

С помощью этой оценки и вспомогательных утверждений, полученных в § I.I, получено неравенство типа (0.2).

Т е о мм а 1.3.2. Пусть Гб S^. Тогда для любого многочлена степени ^ и. при р >\ (в случае р>1 : и d ( —) X | 2 - £ | ) справедливо неравенство

Из этой теоремы следуют неравенства, обобщающие, в смысле класса рассматриваемых кривых Г , и уточняющие, в смысле порядка ю. , неравенства Д.Вестерна

Ош] » Г.Сеге и А.Зигмунда [58(1)] .

В § 1.4 для произвольных многочленов Р получены неравенства типа С.М.Никольского в весовых пространствах L ( ГА (г,1)

Г И.',

-ОО < S< оо) с нормой

1/р

В частности, доказана следующая

Теорема 1.4.2. Пусть при некотором натуральном К , кривая

Гё в. . Тогда при любых S €(-оо,оо) , о< 6 ["0, О и о < р< р1^: справедливо неравенство

В этом же параграфе получены неравенства типа С.М.Никольского в терминах величины с! (—| и К. . Некоторые из полученных неравенств, являются новыми даже в случае, когда Г= [-1, 13, или Г- [ г : | г | = 1 } .

В § 1.5, с помощью неравенств типа С.М.Никольского, полученных в § 1.4, найдена зависимость между наилучшими приближениями и установлена теорема вложения.

Теорема 1.5.2. Пусть граница односвязной области О" кривая Г принадлежит и | ^ Е^ №) ( р> О ).

Пусть схр^р'^оо и выполняется условие

Тогда | £ Е , (С-) .

Результаты § 1.5 являются аналогами результатов П.Л.Ульянова, Э.А.Стороженко и других на комплексной плоскости (см. [66(1)] , [61(1)] ).

Вторая глава данной работы посвящена задачам полиномиальной аппроксимации на замкнутых кривых Г в комплексной плоскости в метрике пространства /р (Г, ^ при весьма общих предположениях относительно кривой Г и весовой функции чУ" . В частности, решается следующая задача: какова структурная характеристика соотношения

Н^РкИ ^ с СР.р) г£и, (г>1) (0>6) при различных фиксированных весах и весьма общих предположениях относительно кривой Г

Эта задача была поставлена В.К.Дзядыком (см. ¿"23(1)] ) в случае, когда р = и и 1 .

При -Ы(?) ~ А и Г В [о^Лтг]эта задача, как известно, является классической и решается теоремой Ддексона-Бернштейна-Валле-Пуссена. В случае р-©о к -и(Ь) ~ а с{ ^ ) - решается теоремами типа Никольского-Тимана-Дзядыка при довольно общих предположениях на кривую Г (см. [22(2)] , [63(3)] [I5(1)3 Однако, такая теорема не имеет места при р ф 00 , даже в случае, когда Г г 041] (см. [53(2)], [53(3)] , (48(1)3 ).

При значительно более широком классе весовых функций, охватывающем как весьма частный случай все упомянутые выше весьма и (%) , эта задача для и достаточно общих кривых Г решена в [63(6)] , [12(1)] (см. также [72(2)] ).

В случае, когда Г есть аналитическая кривая, и[Ъ) ^^ и р 7 1 решение указанной задачи было дано в работе [68(1)] , а на одном узком подклассе гладких кривых - в работе [3(2)] .

Впервые наш в работе [31(1)] , при рассмотрении этой задачи в случае = , предположения о кривой, на которой ведется аппроксимация и предположения о классе приближаемых функций были тесно связаны некоторыми соотношениями. Такой подход, позволил существенно расширить класс рассматриваемых кривых. Подобное определение класса кривых, несколько позднее, было рассмотрено в работах [4(2)] и [26(1)] . В этих работах, как и в работе [38(1)] , исследовались задачи наилучшей аппроксимации в терминах модулей гладкости не самой функции {(¿) , а функции

F(w) = f(YИ(Y,(w^//P

В § 2.1 рассматривается новый класс кривых, содержащий, в частности, произвольные кусочно-гладкие кривые, и вводятся новые регуляризованные интегральные модули гладкости, в терминах которых и решается задача аппроксимации,

В § 2.2 вводится в рассмотрение класс VI (6) , состоящий из аналитических в области £ и ограниченных в функций. Исследуется связь классов функций М((г) и Ер((г) , которую выражает следующая

Теорема 2.2.1. Пусть ГеЗ и 4е Ер(6) ( р>о ), Тогда существует последовательность функций такая, что а) и в) функции ср* ограничены на Г и совпадают почти всюду на Г с граничными значениями ограниченных в Сг аналитических функций где а функция Ч5 ( ^ - ^ )конформно отображает внешность (или внутренность) рассматриваемой области & на внешность (или внутренность) единичной окружности. где

В § 1.3 вводится в рассмотрение класс , состоящий из совокупности функции и ЕР (О и таких, что г ¡1гш(*)1р№1 < с (i).

Очевидно, при класс Ер,р(£) совпадает с классом В.И.Смирнова Ер(&) (см. например, [65(1)] ).

Кроме того, рассматривается также класс //р Ер,1Г * состоящий из функций класса Ер, у- , обладающих модулем гладкости конструкции С.Б.Стечкина (см. [60(1)] ):

В этом параграфе доказывается прямая теорема полиномиальной аппроксимации в метрике ¿р(т,и), при общих предположениях на весовую функцию и

Теорема 2.3.1. Пусть , иё\/\/р(П см. определение 0.6) и €. ¡-¡р Ер;Ш . Тогда для произвольного П существует многочлен Рп степени ^ КЬ такой, что

Эта теорема новая даже в случае, когда Г есть единичная окружность.

В § 2.4 получены прямые теоремы наилучшей полиномиальной аппроксимации для конкретных весовых функций. Для этой цели обобщена соответствующая теорема Б.В.Хведелидзе [70(1)] , о принадлежности функции l^ffiw/*, ^«Г, (1-И1) (*) весовому классу функций Wp(H ( ).

Теорема 2.4.1. Если Г £ R , то е \л/р (Г j 5 р>4 • ^ ^

Доказана также принадлежность функции при € > -j? ) и р > 1 к весовому классу V/р С П .

Теорема 2.4.2. Пусть Г^ R(1 6>к. Тогда ( Р ).

Эти теоремы и теорема 2.3.1 позволяют получить соответствующие прямые теоремы аппроксимации.

Теорема 2.4.3. Пусть и -М Ер,ц-0(£) ( P>D.

Тогда, если сС(гЛ) ¡¡¿¿г) 1 4)0 0<°i'cT' то liElzÄ^II x-f <thV Ikfcrj^1 ■

Эта теорема для узкого подкласса кусочно-гладких кривых доказана в работе [6(1)] .

В § 2.5 исследуются обратные теоремы аппроксимации, существенно используя результаты главы I. Вместе с прямыми теоремами, доказанными в §§ 2.4 и 2.5, получена конструктивная характеристика оС класса Ир CT1) ( рр>1 , o<ioL<i ), определяемого соотношением

Кроме того, в терминах соотношения (0.6) получена конструктивная характеристика класса Нр(П ( р>1 ), определяемого соотношением сГ(гЛ)

44 р(Г) и этим дан ответ на вопрос о структурной характеристике соотношения (0.6).

Отметим, что случай ЦП и ¿р(Г) ( 0<р<1 ) (5ЫЛ рассмотрен нами совместно с А.А.Нерсесяном ( [44(1 У , [44(2)] ), и эти результаты не включены в настоящую работу.

Третья глава посвящена исследованиям задач полиномиальной аппроксимации на дугах в комплексной плоскости в метрике ¿р(Г) » а также весовой рациональной аппроксимации в метрике ¿р(Г]в комплексной плоскости функций, заданных лишь на границе некоторой области.

Как и во второй главе, исследуется структурная характеристика соотношения

Ги но уже в случае, когда Г - есть разомкнутая дуга, принадлежащая классу К - Рисса.

Отметим, что подобная задача в случае р^оо , не исследовалась даже когда г - есть аналитическая дуга.

Задача рациональной аппроксимации функций, заданных лишь на границе Г некоторой области (г , носит как самостоятельный характер, т.к. в этом случае полиномиальная аппроксимация не всегда возможна, так и вспомогательный характер, т.к. используется при решении задачи полиномиальной аппроксимации на .лугах.

При решении этих аппроксимативных задач нам приходится решать и некоторые принципиальные вопросы, относящиеся к теории сингулярных операторов. В частности, задачу, сформулированную Б.В.Хведелидзе: как эффективно получить замкнутую кривую, принадлежащую классу Рисса,из разомкнутой кривой класса Рисса.

В этой главе кроме модзуля гладкости Ь0р,хг * введенного во второй главе, мы будем пользоваться также и следующим где ^ ^ ±¿¡1. ~ а ) (функция ^ конформно и однолистно отображает внутренность кривой Г на внутренность единичной окружности у0 , ^ - ее обратная).

Кроме того, не уменьшая общности,будем считать для простоты, что точка 2= О лежит внутри замкнутой кривой Г . Это позволяет нам рассматривать рациональные функции вида и)

В § 3.1 изучаются свойства кривых класса Рисса, их инвариантность относительно некоторых отображений. Эти свойства используются при решении задач аппроксимации.

В § 3.2 доказаны следующие предложения.

Теорема 3.2.1. Пусть р > 1, U € Wp ( П и -f е Lp(r,n) . Тогда при каждом натуральном YI существует рациональная функция Rn вида (»), для которой

Отметим, что эта теорема остается новой даже в случае, когда Г есть единичная окружность. В случае, когда Ufé) = 1 нами ранее [43(9)J , была получена аналогичная теорема, которая в свою очередь обобщала и улучшала результаты В.В.Иванова [33(1)], Д.Ньюмана [51(1)] и С.Я.Альпера [3(3)J .

Теорема 2.4.1 позволяет нам в качестве весовой функции в теореме 3.2.1 брать конкретную функцию, в частности,

UU) = |d-Z~2|1/p , (P>i).

Теорема 3.2.1 с этой весовой функцией используется нами при решении задачи полиномиальной аппроксимации на дугах.

В § 3.3 решается задача рациональной аппроксимации в метрике (Г) . в этой метрике на кривых Г , отличных от единичной окружности, подобная задача решается впервые.

В § 3.4 дан ответ на вопрос Б.В.Хведелидзе. А именно, рассматривается разомкнутая кривая Г класса R с концами в точках Q и (не уменьшая общности, будем считать <Я=-2, -Z ), которая отображается функцией Жуковского

2 = ir+¿ (ü-=il^E на некоторую замкнутую кривую С .

Доказывается следующая

Теорема 3.4.1. Если TeR , то и CeR .

В § 3.5, используя результаты § 3.1 и § 3.4, доказывается следующая прямая теорема теории наилучшей аппроксимации .

Теорема 3.5.1. Пусть [е R и -fe Ьр(Г) ( РИ )

2) с модулем гладкости CJp , к) . Тогда при каждом натуральном существует многочлен Prv степени ¿ 1П такой, что

Из этой теоремы получены следствия в случае, когда Г=["*4Д] , которые несколько усиливают известные результаты в этом направлении (см. [53(3)] ).

В § 3.6, используя результаты первой главы, доказана обратная теорема, замыкающая теорему 3.5.1, в случае, когда разомкнутая кривая Г принадлежит некоторому естественному подклассу класса .

Теорема 3.6.1. Пусть PéR*, -feLpCH ( р >1 ) и для каждого натурального Г1 существует многочлен fju степени -ГЬ такой, что

Pn.Hi т^1^ (0<*<1).

II*

ИР(Г)

Тогда -^бНрр ( 0<o¿¿{ ), т.е.

U)p({^j ^ f (0< oLCi) .

Получена конструктивная характеристика класса Нр р которую выражает следующая

Теорема 3.6.2. Для того, чтобы функция 4 » принадлежащая классу Ьр(Г), где ("V К , обладала наилучшим приближением удовлетворяющим неравенству

СР)

9 С-?,Г) ^ УС* (о<*<1), необходимо и достаточно

И наконец, в § 3.6 получены следствия в случае, когда Г есть отрезок [-1,1] . Этот случай был рассмотрен в работе М.К.Потапова [53(3)] .

Четвертая глава работы посвящена исследованию локальных свойств интегралов Коши (см. (0.1)).

Отметим, что к локальным свойствам мы относим такие свойства, в которых определяющим является поведение функции вблизи рассматриваемой точки.

Одной из первых работ, побудивших исследования по локальным свойствам особого интеграла, является работа Г.Фройда[69(1)] , В ней рассматривается класс функций ^(С0; (класс Гельдера) и множество точек и показано, что т (4) - м С / ) > где -f - сингулярный интеграл с ядром Гильберта35^ 21Г iW^H^^T5^- (0.8) О

Это утверждение, очевидно, является развитием вышеупомянутой теоремы Племеля-Привалова.

В связи с этим, А.А.Гончаром (см. [56(1)] ) была поставлена задача: как будет вести себя вблизи точки Х0 особый интеграл (0.8), если Со,2«ГГJ ) (см. определение 0.7) ?

В ответ на этот вопрос М.Салаи [56(1)] показал, что

Далее, нами в работе

43(15)] было показано, что в случае, когда Г= Jio - единичная окружность, класс 2^(2о,)о)(см. определение 0.8) инвариантен относительно сингулярного интеграла (0.1) при Ы + J3» < 1 , т.е.

2)^(2^0) <=> I^Sj^oJo) при ¿+-£<1 .

В связи с этим, возникают следующие вопросы:

1) Как взаимосвязаны классы З^С^П и Н^ С2-0 я / ?

2) Насколько окончательным является упомянутый выше результат М.Салаи и верея ли он при oi+J£ > 1 ?

3) На какие кривые Г в комплексной плоскости распространяются результаты такого рода?

Особые интегралы (0.1) и (0.8) отличаются на регулярный интеграл.

Окончательные ответы на эти вопросы даются в четвертой главе данной работы.

Доказаны, в частности, следующие предложения:

1) Утверждение Г.Фронда остается в силе на кривых класса

9 (см. § 4.2).

2) Имеет место правильное вложение

Г) ^ Hol (см. §4.5)

3) Дан окончательный ответ на вопрос3*) A.A.Гончара (см. § 4.3):

Если Ге^ и H«. (е Г , 0<oUl , р/ 0 ), то для3®5 f Jjl г-* f( ; справедливы неравенства: ■ ь^ц^апн-гоГ^-х-., при . 1 ж^Во время нашего доклада на конференции в 1980 году П. Л. Ульянов сообщил, что ответ на этот вопрос для единичной окружности {о независимо от нас был дан М.Дьяченко. Работа М.Дьяченко находилась в печати и была депонирована в 1981 году.

Интегралы ( 0.1) и (0.9) эквивалентны на гладких кривых. и при оС-ь^ ^

В § 4.4 доказано, что если с1€ (0,1), убг- О ж о1+р> < 4 , то существует функция -^с/-/^ (О, СО, 2%]) и последовательность у о такая, что С>0 для всех достаточно больших УЬ .

4) Если Г£ »3©» то класс 0{¿(ёо^Г) инвариантен относительно сингулярного интеграла (0.4), в случае, когда (см. § 4.6). Рассмотрен и случай (см. § 4.6).

Кроме того, в 1У главе приведены различные критерии принадлежности функций классам /-ц (¿о;Г) (см. § 4.3) и (см. § 4.5) в случае, когда и рассмотрен так называемый локальный модуль колебания (л.м.к.) в виде35'' , (0.10) где

Посредством этого л.м.к. классы и Г) описываются следующим образом

В несколько другом виде л.м.к. рассматривался еще в работах [25(1)] и [63(6)] .

Заметим, что локальные теоремы типа Племеля-Привалова могут быть сформулированы в терминах построенных л.м.к. (т.е. локальных оценок типа Зигмунда). Это направление развивается нашими уч е никами.

Пятая глава данной работы посвящена некоторым задачам локально-глобальной аппроксимации (полиномиальной и рациональной) на различных замкнутых кривых в комплексной плоскости и полиномиальной аппроксимации на разомкнутых 1\ -кривых.

Отметим, что впервые чисто локальные теоремы полиномиальной аппроксимации были получены в работах П.М.Тамразова и В.В. Бардзинского (см.

63(6)] , [12(1)] , [ЩШ в которых были приведены теоремы сильно локального приближения (вернее, уклонения), зависящего от расстояния до отмеченной точки, для класса функций, определяемого локальным структурным свойством относительно этой точки.

В § 5.1 решается прямая локально-глобальная задача полиномиальной аппроксимации в классе функции Г)на областях с границей, принадлежащей классам или .В частности, доказана следующая $

Т е о р е м а 5.1.1. Пусть при некотором натуральном К на множестве и" типа задана функция и на грашще О £= Г , в ^ г) д).

- 30

Тогда при каждом натуральном гь можно построить многочлен Рг п. степени не выше Я такой, что в любой точке Г будет выполняться неравенство

1-М-Рп^Н .

Результаты § 5.1 являются некоторым усилением соответствующих результатов В.К.Дзядыка [22(2)] и В.И.Белого (15(1)] .

В § 5.2 доказана соответствующая обратная теорема аппроксимации, замыкающая прямую. Это позволило в § 5.2 получить конструктивную характеристику класса

Теорема 5.2.2. Пусть граница области б" - замкнутая кривая Г^ К' . Для того, чтобы при 0<Ы.< 1 , Ы.+р<1 и функция 4 € А® и на границе 6 Э^ Г) необходимо и достаточно, чтобы для нее при каждом П нашелся многочлен порядка ± VI такой, чтобы при всех 2 £ Г выполнялось неравенство

В § 5.2 получена также конструктивная характеристика класса нГ^.,^,«) •

Теорема 5.2.3. Для того,, чтобы при о1+ (3 < 1 , ¡Ь>, О ¥ O<oi<i функция + е Н^ , необходимо и достаточно, чтобы для нее при каждом натуральном П нашелся тригонометрический полином Тп. порядка ~ VI такой, чтобы при всех 4:€ выполнялось неравенство ш - №

-01

П , при \ -Ъо—-ЬI п. а , при

Отметим, что среди классов функций, на которых существует сингулярный интеграл Коши, С-7ГД] ) дает первый пример класса, имеющего конструктивную характеристику в терминах полиномиальной аппроксимации и не являющегося инвариантным относительно сингулярного интеграла Кош. ^

Следует заметить, что класс функций Н^ £%,Ю)содержится в классе функций, рассмотренном П.М.Тамразовым и В.В.Бардзинс-ким [63(6)] , для которого ими была получена конструктивная характеристика. Но вопрос об инвариантности этого класса функций относительно сингулярного оператора ими не рассматривался.

В § 5.4,используя результаты главы 1У и § 5.1, решается задача рациональной локально-глобальной аппроксимации функций, определенных лишь на замкнутой кривой В частности, доказана следующая

Теорема 5.4.1. Пусть замкнутая кривая К (или есть К -квазиконформная кривая) и

•2о; Г) (0<o¿¿;i ,

О ). Тогда при каждом натуральном И можно построить раЛ к цион а льну ю функцию вида ~ степени ^ П, так, чтобы в любой точке 2€ Г выполнялось неравенство где расстояние от точки г 6 Г до внутренней линии уровня

Очевидно, функции, заданные лишь на границе, вообще говоря, не могут быть аппроксимированы посредством обычных многочленов.

В этом же параграфе приведены глобальные теоремы рациональной аппроксимации функций, заданных лишь на замкнутых К -квазиконформных кривых. Эти результаты усиливают и обобщают соответствующие результаты В.В.Иванова [33(1)] и Д. Ньюма на [б I (I)] , полученные на узких подклассах гладких кривых.

В § 5.5, используя результаты § 5.4, доказывается прямая теорема полиномиальной аппроксимации. В частности, доказана следующая

Теорема 5.5.1. Пусть Г есть разомкнутая К -квазиконформная кривая35^ и ( 1 ). Тогда для любого натурального П. существует многочлен Рп степени ¿VI такой, что где в каждой двукратной точке 2 б Г через \) обозначено неменьшее из расстояний до двух ветвей линии уровня и . т.е. <1- (*,£)}.

В заключение скажем несколько слов об оформлении диссертации. Главы диссертации разбиты на параграфы, причем, каждая из глав имеет собственную нумерацию параграфов, начиная с первого. Теоремы, предложения, леммы и формулы нумеруются тремя цифрами, из которых первая указывает на номер главы, вторая - на номер

Нами этот результат был приведен в случае, когда спрямляемая дуга Г есть образ спрямляемой К -квазиконформной замкнутой кривой (или кривой класса В к ) при отображении функцией Жуковского (см. [43(11)] и [43(15)] ). В приведенной в тексте форме этот результат, позднее, был получен В.В.Андриевским[7(4)]

параграфа, а третья - на порядковый номер утверждения или формулы.

В конце работы приведен список литературы, в котором фамилии авторов указаны в алфавитном порядке. Ссылка на список лит ера туры делается двумя цифрами: например, ссылка [Л (Б)] означает , что имеется в виду работа номер В автора, идущего в списке под номером /\ . Результатам данном диссертации посвящены статьи автора [43(1)] - [43(16)] .