Фрактальная параметризация структур в металлах и сплавах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Список сокращений V

Общая характеристика работы VI

Глава 1. Введение. Место мультифрактального формализма в физико- 1 информационной классификации.

1.1. Введение

1.2. Информация преобразования

1.3. Прямая и обратная информации измерения

1.3.1. ИОПИ и информация Хартли

1.3.2. ИОПИ и информация фон Неймана-Шеннона-Винера

1.3.3. Взаимная информация

1.3.4. Статистическая интерпретация физической энтропии, 13 информации фон Неймана-Шеннона-Винера и Хартли, и ИОПИ

1.4. Аффинная информация и информационное обоснование 14 принципа инвариантности действия

1.5. Информация сдвига

1.5.1. Информация Фишера, обобщенная информация Фищера, и 18 характеристическое информационное состояние

1.5.2. Вариационные принципы Фридена: принцип минимальной 22 информации Фишера и принцип экстремальной физической информации

1.5.3. Одномерная информация сдвига

1.5.4. Информация Фишера и информация сдвига

Данная работа направлена на разработку физико-математических, методологических и методических основ нетрадиционных методов обработки изображений структур в металлах и сплавах. Теоретическое переосмысление предложенных Мандельбротом представлений о (мульти)фракталах на основе введенных в работе понятий мультифрактальной информации и фрактальной симметрии, в практическом плане, открывает новые перспективы развития экспериментальных методов обработки информации о структурах твердых тел и описания связи структуры со свойствами. Автором разработано и доведено до конкретного воплощения в виде компьютерной программы МТКВгош (Мультифракталодром) семейство новых методов анализа реальных структур в материалах.

Актуальность проблемы. Широкий круг актуальных проблем современной науки и техники, включая материаловедение, связан с разработкой все усложняющихся методов получения и исследования твердых тел со сверхсложной структурой, во многом определяющей прочностные, физические и др. свойства. Задача описания связи структуры со свойствами требует привлечения нетрадиционных методов исследования и обработки информации. Традиционные количественные методы описания структур твердых тел используют статистический подход. Большинство структур, поддающихся статистическому описанию "в среднем", тем не менее, являются неоднородными, и этой неоднородностью в большинстве случаев определяется пригодность конкретных изделий для тех или иных целей. Современные методы описания структур еще не используют в полной мере универсальное свойство самоподобия (фрактальности) стохастических структур, которое наблюдается в определенном диапазоне масштабов, причем границы этого диапазона несут важную информацию о физических свойствах. Привлечение концепции мультифракталов, основанной на использовании общего понятия меры, позволяет одновременно описывать универсальным образом как самоподобие вместе с его границами, так и неоднородность структур твердых тел самой различной природы, причем неоднородность даже стабильных структур может нести информацию о динамике их формирования или изменения. Структуры современных материалов с новыми необычными свойствами формируются в сильно неравновесных условиях, проходя через несколько стадий чередования устойчивых и неустойчивых (критических) состояний, и при этих переходах (бифуркациях) могут образовываться и распадаться, оставляя реликты, сильно неоднородные промежуточные фрактальные структуры. Использование концепции мультифракталов позволяет давать адекватную количественную оценку не только конфигурации исследуемой структуры в целом, но так же неоднородности распределения на ней геометрических, физических, химических и др. характеристик, соответственно природе изучаемой структуры, что невозможно достигнуть обычными методами. Имеющийся опыт в области численного мультифрактального описания изображений структур самой различной природы показывает его эффективность при анализе скрытых процессов в металлах и сплавах, т.е. таких процессов, которые нельзя наблюдать непосредственно, но при этом они существенно влияют на характеристики изучаемых систем (см. статьи В.С.Ивановой и В.Ф.Терентьева и др. в сб. [27]. Еще более длительный опыт проведения испытаний на прочность, так же как экспериментальных исследований многих других свойств металлов и сплавов, показывает, что очень часто нельзя соотнести изменения структурно зависимых свойств конкретного материала с изменениями традиционных количественных характеристик его структуры. В связи с этим, возникла проблема разработки универсальной методологии проведения мультифрактальной параметризации фактических структур материалов, наблюдаемых в реальных экспериментах (поры, зерна, фазы и их границы, поверхности разрущения, реликтовые структуры различной природы и пр.) при помощи стандартных средств их представления - (микро)фотографий.

Усталостное разрушение является основным видом разрушения деталей машин и конструкций и составляет 70% всех случаев разрушения. Для его профилактики необходима разработка моделей усталостного разрушения, позволяющих прогнозировать повреждаемость материалов при циклическом нагружении. Модели микропроцессов разрушения на основе методов молекулярной динамики, Монте-Карло и др. не позволяют следить за динамикой макроскопических усталостных трещин в силу больших затрат машинного времени. Поэтому для решения основной задачи физики разрушения - установления связи микроскопических характеристик материала с его прочностными свойствами - требуются модели т.н. мезоскопического уровня, основанные на статистическом описании повреждения материала при усталостном разрушении. Это требует разработки физически обоснованного подхода к моделированию динамики макроскопических усталостных трещин, который позволил бы объяснить надежно установленные к настоящему времени эмпирические закономерности усталостного разрушения. В настоящей работе предложена модель усталостного разрушения, основанная на современных представлениях о фракталах, как самоподобных структурах, образующихся в критических условиях, в частности , в состоянии предразрушения. Мультифрактальный анализ неоднородного распределения микроповреждений в пластической зоне у вершины усталостной трещины позволяет оценить степень неоднородности этой

УШ зоны, состояние материала в которой определяет ход процесса усталостного разрушения.

Накопленный к настоящему времени опыт говорит, что в практическом плане данные мультифрактальной параметризации нужны не только для решения задач, связанных с прочностью материалов, но и для управления их свойствами, оптимизации технологических условий получения, диагностики качества изделий, прогнозирования остаточного ресурса конструкций на основе количественной оценки степени деградации структуры материала в процессе эксплуатации и т.д. Но главные перспективы мультифрактальной параметризации структур твердых тел видятся в использовании информационных свойств мультифракталов в свете связи нарушения фрактальной симметрии с геометрической асимметрией при разработке интеллектуальных технологий синтеза и обработки материалов, включая оптимизацию процессов, сенсорное восприятие in situ микроструктур и управление технологическими процессами на основе единого процессорного блока.

Основными задачами диссертационной работы были

1. Выявить совокупность общих феноменологических параметров поверхностных структур, имеющих ясный физический смысл, которые могут быть определены из анализа данных микроскопии (оптической, электронной, зондовой) на нано- и микроуровне и могут адекватно характеризовать прочностные и усталостные свойства металлов и сплавов, при выборе в качестве информационной основы представлений о фрактальной симметрии и ее нарушениях (мильтифрактальном и псевдомультифрактальном) в реальных структурах.

2. Развить модельные преставления о динамике усталостного разрушения (УР) - формирования поверхности УР, при установлении взаимосвязи микропараметров развиваемых моделей и феноменологических параметров мультифрактального формализма, что составляет основу адекватного понимания механизмов (природы) механического разрушения материалов и обоснованного выбора оптимальных способов обработки металлических материалов.

3. Разработать пакет программ для анализа структур реальных материалов.

Основная цель работы. Развить феноменологический подход к выявлению основных физических параметров сложных структур металлов и сплавов на нано- и микроуровнях их организации, имея ввиду, что любое последующее теоретическое моделирование функциональных (прочностных, усталостных, физических и др.) свойств материала должно ориентироваться на знание тех феноменологических параметров, которые могут быть определены в рамках развитого подхода. Разработать алгоритмы для расчета вводимых феноменологических параметров на основе анализа реальных структур металлов и сплавов. Выявить взаимосвязи определяемых параметров структур с функциональными свойствами материалов.

Целью диссертационной работы так же являлись

• развитие теоретических и методологических принципов проведения процедур мультифрактальной параметризации на основе информационного обоснования мультифрактального формализма, концепции фрактальной симметрии - Ф-симметрии, и двух типов ее нарушения;

• развитие методологии и методики получения и использования мультифрактальных характеристик структур для их количественного описания (параметризации);

• разработка инструментальных средств в виде компьютерных программ обработки серий изображений структур и расчета их характеристик;

• дать физическую интерпретацию степенных эмпирических закономерностей усталостного разрушения на основе статистического описания динамики повреждений в пластической зоне у вершины усталостной трещины в терминах агрегации, ограниченной диффузией;

• развитие метода моделирования усталостного разрушения итерациями дискретных хаотических отображений.

Научная новизна диссертационной работы:

• Дано информационное обоснование мультифрактального формализма, на основе которого разработана методология параметризации структур, наблюдаемых в металлах и сплавах.

• Введены понятия фрактальной симметрии, Ф-симметрии, количественной меры ее нарушения - мультифрактальной информации, и мультифрактальных мер упорядоченности и однородности.

• В работе выдвинута концепция псевдомультифрактальной параметризации и показана количественно связь нарушений фрактальной и геометрической симметрии, что предложено использовать как основу разработки универсальной классификации реальных структур.

• На основе представления усталостного разрушения в условиях автомодельного роста усталостной трещины как агрегации, ограниченной диффузией, микроповреждений в пластической зоне у вершины трещины дана физическая интерпретация степенных эмпирических закономерностей усталостного разрушения. На основе развитой модели выводится связь фрактальной размерности динамической структуры повреждения материала с показателем закона Пэриса и показателем степенной зависимости (характеризующей диссипативные свойства материала) плотности общей энергии, потраченной на разрушение, от числа циклов до разрушения. Это позволило трактовать указанные показатели как скейпинговые в духе теории критических явлений.

• Разработан метод моделирования динамики усталостного разрушения итерациями дискретных хаотических отображений, позволяющий воспроизводить основные закономерности усталостного разрушения (кинетические диаграммы, усталостные бороздки и др.), а также получать модельные профили поверхностей усталостного разрушения с фрактальными свойствами.

• Для объяснения сильного отличия размерностей критических структур от евклидовой размерности охватывающего пространства вводится понятие доминирующей критической структуры, обладающей максимальным критическим показателем корреляционной длины.

Практическая значимость работы состоит:

• в создании метода моделирования роста усталостных трещин, допускающего обобщение на случай взаимодействия нескольких усталостных трещин, развивающихся одновременно, что важно для создания способов выявления неблагоприятных конфигураций конкретных деталей, находящихся под действием циклических нагрузок, с целью оптимизации геометрии деталей,

• в том, что изложенные в работе представления воплощены в практически используемой программе МРКВгош, прошедшей тесты, и позволяющей извлекать как точные абсолютные значения мультифрактальных характеристик, так и статистические данные по наборам мультифрактальных спектров реальных объектов. Разработка конкретного инструментария для измерения физических и др. величин, характеризующих соответствующие физические и др. понятия, с операционалистской бриджменовской точки зрения означает (равносильна) определение(ю) этих понятий безотносительно к наличию строгого теоретического обоснования их существования. Использование программы МРЕВгот в экспериментальных работах с участием автора позволило решить в рамках данной работы ряд актуальных проблем материаловедения, среди которых наиболее значимыми являются:

1. Феноменологическая оптимизация качества обработки поверхности молибденовой проволоки с целью улучшения ее прочностных свойств.

2. Диагностика промышленных дисков компрессоров, изготовленных из титанового а-(3-сплава ВТ-8 с определением зон неблагоприятного структурного состояния, не выявляемых при использовании традиционных методов микроструктурного анализа. Заключение о неблагоприятных зонах подтверждается прямыми испытаниями на сопротивление росту усталостных трещин. Получен акт о принятии результатов работы к внедрению в качестве основы разработки прикладной методики неразрушающего контроля структур дисков компрессоров турбореактивных двигателей из сплава ВТ-8.

3. Прогнозирование границы реализации неразрушаюидих механизмов диссипации энергии (на примере стали Х12Г20В), определяющих срок службы материала при воздействии на его поверхность импульсов дейтериевой плазмы.

4. Количественное описание изменения зеренной структуры в пластинах из медных сплавов Cu-4%Ni, Cu-10%Ga, Cu-2%A1 толщиной 2 мм в зоне сквозного проплавления под воздействием импульсного лазерного излучения в режиме свободной генерации с длиной волны 1,06 мкм, когда изменения зеренной структуры материалов после лазерного воздействия не могут быть описаны на основе традиционных количественных методов, как, например, по ГОСТ 5639-82 по критериям бальности зерна и др.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Научно-технической конференции "Проблемы синергетики", 4-7 июня 1989, Уфа; на Всесоюзной щколе "Диффузия и дефекта", 10-18 июня 1989, Пермь-Куйбышев-Пермь; на XII Всесоюзной конференции "Физика прочности и пластичности металлов и сплавов", 27-29 июня 1989 , Куйбышев; на XIII Всесоюзной конференции по тепловой микроскопии "Структура и прочность материалов в широком диапазоне температур", 24-26 октября 1989, Каунас; на Конференции "EUROMAT 94 TOPICAL", Венгрия, Балатонщеплак, 30 мая - 1 июня 1994 г.; на 6-м Международном конгрессе по усталости «FATIGUE'96», Берлин, Германия, 6-10 мая 1996 г.; на 11-й Европейсткой конференции по усталости, ECF 11, "Mechanisms and Mechanics of Damage and Failure", Poitiers-Futuroscope, Франция, 3-6 сентября 1996 г.; на Симпозиуме "Синергетика. Структура и свойства материалов. Самоорганизующиеся технологии". Москва, 12-14 ноября 1996 г.; на Втором Всероссийском семинаре "Нелинейные процессы и проблемы самоорганизации в современном материаловедении" Воронеж, 3-5 февраля, 1999 г.; на Всероссийской научной конференции "Байкальские чтения по математическому моделированию процессов в синергетических системах". Улан-Удэ, 20-23 июля 1999 г.; на 6-й Международной конференции "Математика, компьютер, образование", г.Пущино, 24-31 января 1999 г.; на Междисциплинарном семинаре "Фракталы и прикладная синергетика" (ФиПС 99), Москва, 18-21 октября 1999 г.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано свыше 40 печатных работ, в том числе более 25 статей в отечественных и зарубежных изданиях и одна монография.

Структура и объем. Диссертация состоит из пяти глав, приложения и перечня основных результатов и выводов. Она содержит 264 страниц машинописного текста с 93 рисунками, 17 таблицами и списками литературы по главам и параграфам и по алфавиту из 214 наименований.

Оригинальные результаты автора отражены в выводах к каждой главе.

На защиту выносятся:

• Информационное обоснование мультифрактального формализма и концепция фрактальной симметрии, Ф-симметрии, как основа введения количественных мультифрактальных мер упорядоченности и однородности носителя меры и представления структур в металлах и сплавах на диаграммах "однородность-упорядоченность".

• Метод генерации мер огрубленных разбиений и способы расчета статистик мультифрактальных спектров с непосредственным вычислением погрешностей определения каждой конкретной мультифрактальной характеристики с использованием различных способов генерации меры на основе метода представления плоских изображений в виде рельефа поверхности в трехмерном пространстве, расчета простейших характеристик внутренней геометрии поверхностей, аналогии между главными локальными кривизнами поверхностей и напряжениями плоской задачи сопромата, и метода нормированного размаха Херста.

• Метод определения (базовые алгоритмы) статистических характеристик мультифрактальных спектров на основе различения двух базовых типов спектров - канонических и псевдоспектров, как основа проведения двух типов количественной параметризации реальных структур мультифрактальной и псевдомультифрактальной параметризации.

• Компьютерная программа МРКВгот как вычислительный инструмент для обработки как отдельных, так и серий изображений.

• Методология практического применения мультифрактальных показателей структур с использованием двух типов параметризации серий изображений реальных структур для решения актуальных задач материаловедения.

• Модель макроскопического роста усталостной трещины по типу I, отражающая основные закономерности усталостного разрушения,

• Фрактальная модель усталостного разрушения, учитывающая дискретность и автомодельность этого процесса, и дающая физическую интерпретацию степенной универсальной' зависимости скорости роста усталостной трещины от коэффициента интенсивности напряжений и степенной зависимости плотности общей энергии, потраченной на разрушение, от числа циклов до разрушения;

Основные результаты и выводы

1. Информационное обоснования мультифрактального формализма, введение понятия фрактальной симметрии, количественной меры ее нарушения - мультифрактальной информации, и мультифрактальных мер упорядоченности и однородности дает теоретическуюоснову нового метода параметризации реальных объектов - структур, наблюдаемых в металлах и сплавах.

2. Использование псевдомультифрактальной параметризации и развитый статистический подход к количественному анализу мультифрактальных спектров и адекватности проведения (псевдо)мультифрактальной параметризации позволяют выявить количественно связь нарушения мультифрактальной и геометрической симметрии, что предложено рассматривать как перспективную основу для разработки универсальной классификации структур материалов.

3. Развит универсальный метод генерации мер огрубленных разбиений для расчета мультифрактальных характеристик и их погрешностей. Разработаны различные способы генерации меры при обработке изображений структур на основе метода представления плоских изображений в виде рельефа поверхности в трехмерном пространстве, простейших характеристик внутренней геометрии поверхностей, аналогии между главными локальными кривизнами поверхностей и напряжениями плоской задачи сопромата, и метода нормированного размаха Херста.

4. Развитые в работе физико-математические методы проведения (псевдо)мультифрактальной параметризации воплощены в виде используемой на практике программы МРКВгош, прошедшей тесты, и позволяющей извлекать как точные абсолютные значения мультифрактальных характеристик, так и статистические данные по наборам (псевдо)мультифрактальных спектров реальных объектов.

5. Предложен метод моделирования роста усталостных трещин итерациями хаотических дискретных отображений, допускающий обобщение на сложные поля напряжений и взаимодействия нескольких усталостных трещин, растущих одновременно, что важно для разработки методов выявления неблагоприятных конфигураций конкретных деталей, находящихся под действием циклических нагрузок, с целью оптимизации геометрии деталей.

6. В качестве примера использования фрактальной параметризации предложена фрактальная теория усталостного разрущения на основе модели агрегации, ограниченной диффузией, которая дает объяснение и выявляет связь между собой степенных закономерностей усталостного разрущения. Доказано, что образование фрактальной структуры в пластической зоне у вершины усталостной трещины является наиболее точным индикатором появления признаков локальной пластической нестабильности.

7. Мультифрактальный анализ модельного неоднородного состояния пластической зоны у вершины усталостной трещины показывает, что расчетные МФ-характеристики определяются параметрами модели, контролирующих неоднородность. Это открывает перспективу определения степени неоднородности состояния материала в процессе УР на основе МФ-анализа поверхностей УР.

8. Предложен общий объективный подход (методология) к проведению параметризации на основе предварительного анализа введенных в работе характеристик, таких как минимальная доля охвата изображений, индексы каноничности и др., и последующего изучения статистик мультифрактальных спектров.

9. На конкретном примере исследования поверхностных дефектов проволок из технически чистого молибдена с целью оптимизации качества обработки поверхности показано, что решение задачи оптимизации (подбора) сочетания параметров базовых алгоритмов и процедур подготовки изображений с целью повышения или понижения чувствительности (псевдо)мультифрактальных характеристик к тем или иным факторам, т.е. решение минимаксной задачи проведения наиболее полной параметризации с наименьшим числом спектров, дает эффективный способ параметризации структур.

10. Разработаны приложения нового подхода к проблеме селекции структур двухфазного титанового сплава ВТ-8 с пониженным сопротивлением усталостному разрушению, для прогнозирования остаточного ресурса внутреннего покрытия термоядерных реакторов (на примере стали Х12Г20В), и для анализа изменений зеренной структуры медных сплавов Си-4%№, Си-10%0а, Си-2%А1 под воздействием лазерного излучения.

1. Vstovsky G.V. Transform information: А symmetry breaking measure. FoundPhys., 1997, 27, N10, 1413-1444.

2. Vstovsky G.V. Interpretation of extreme physical information principle in terms ofshift information. Phys.Rev.E, 1995, 51, N2, 975-979.

3. Fisher R.A. Theory of statistical estimation. Proc.Cambridge Philos.Soc., 1925,22, 700-725.

4. Hartley R.V.L. Transmission of information. System Tech. J., 1928, 7, 535-563.

5. Shannon C.E. A mathematical theory of communication. Bell System Tech. J., 1948, 27,379-423,623-656.

6. Винер H. Кибернетика, или управление и связь в животном и машине. М.: Наука, 1983.

7. KuUback S., Leibler R.A. On information and sufficiency. Ann.Math.Statist. 1951,22,79-86.

8. Quastler H. (Ed.) {Essays on the use of) Information Theory in Biology (Urbana, University of Illinois Press, 1953).

9. Yockey H.P., Platzmann R.L., Quastler H. (Eds.) Symposium on Information Theory in Biology (London, etc., Pergamon Press, 1958).

10. Бриллюэн Л. Наука и теория информации. М. :Физматгиз, 1960.

11. Бриллюэн Л. Научная неопределенность и информация. М.:Мир, 1966.

12. Fisher R.A. Statistical Methods and Scientific Inference (New York, London, Hufner Press, 1973).

13. KuUback S. Information Theory and Statistics (New York, London, Wiley and Chapman & Hall, 1959).

14. Биллингслей H. Эргодическая теория и информация. М.:Мир, 1969.

15. Харкевич А. А. Теория информации. Опознавание образов. М.:Наука, 1973.

16. Стратанович Р.Л. Теория информации. М.:Сов.радио, 1975.

17. Колмогоров А.Н. Теория информации и теория алгоритмов. М.:Наука, 1987.

18. Куликовский Л.Ф., Мотов В.В. Теоретические основы информационных процессов. М.: Высшая школа, 1987.

19. Николис Дж. Динамика иерархических систем. Эволюционное представление. М.:Мир, 1989.

20. Хакен Г. Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным системам. М.:Мир, 1991.

21. Хармут X. Применение методов теории информации в физике. М. :Мир, 1989.

22. Кадомцев Ъ.Ъ. Динамика и информация. М.: Ред. УФН, 1997.

23. Чечкин А.В. Математическая информатика. М.:Наука, 1991.

24. Гоппа В.Д. Введение в алгебраическую теорию информации. М.:Наука, 1995.

25. Вейль Г. Симметрия. М.:Наука, 1968.

26. Вигнер Е. Этюды о симметрии. М.:Мир, 1971.

27. Желудев И.С. Физика кристаллов и симметрия. М.:Наука, 1987.

28. Вигнер Е. Этюды о сгшлгетрмг/. М.:Мир, 1971.

29. Ауэрбах Ф. Эктропизм и физическая теория жизни. С.-Петербург: Образование, 1911.

30. Ауэрбах Ф. Царица мира и ее тень. Петроград: Научное книгоиздательство, 1917.

31. Branson H.R. А definition of information from the thermodynamics of irreversible processes. In (Essays on the Use of) Information Theory in Biology. H.Quastler (Ed.) (Urbana, University of Illinois Press, 1953). Pp.2540.

32. Гущо Ю.П. Физикарелъефографии. М.:Наука, 1992.

33. De Boer E. Auditory physics. Physical principles in hearing theory III. Phys.Rep. 1991, 203, N3, 125-231.

34. Mind and brain. Special issue of Sci.Am., 1992, 267,N3.

35. Ичас M. О природе живого: механизмы и смысл. М.:Мир, 1994.

36. Винер Н. Кибернетика, ши управление и связь в животном и машине. М.: Наука, 1983.

37. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.:Наука, 1974.

38. Кас М. Probability and Related Topics in Physical Sciences (New York, Interscience, 1959).

39. Kullback S., Leibler R.A. On information and sufficiency. Ann.Math. Statist. 1951,22, 79-86.

40. Пригожий И. От существующего к возникающему. Время и сложность в физических науках. М.:Наука, 1985.

41. Пригожий И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой. М.: Прогресс, 1986.

42. Николис Г., Пригожий И. Познание сложного. Введение. М.:Мир, 1990.

43. Пригожий И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. М.:Прогресс, 1994.

44. Hartley R.V.L. Transmission of information. Bell System Tech. J., 1928, 7, 535-563.

45. Shannon C.E. A mathematical theory of communication. Bell System Tech. J., 1948, 27, 379-423, 623-656.

46. Li W. Mutual information functions versus Correlation Functions. J.Stat.Phys., 1990, 60, N5/6, 823-837.

47. Вдовиченко H.B. Развитие фундаментальных принципов статистической физики в первой половинеХХвека. М.: Наука, 1986.

48. Planck М. Absolute entropie und chemische Konstante. Ann.Phys., 1921, 66, 365-372.

49. Jaynes E.T. Information theory and statistical mechanics. Phys.Rev., 1957,106, N4, 620-630.

50. Jaynes E.T. Information theory and statistical mechanics II. Phys.Rev., 1957,108, N2, 171-190.

51. Tribus M. Information theory as the basis for thermostatics and thermodynamics. J.Appl.Mech., 1961, 28, N1, 1-8.

52. Tribus M., Davies R.M., et al. (Discussion of) Information theory as the basis for thermostatics and thermodynamics. J.Appl.Mech., 1961, 28, N3,465-470.

53. Fisher R.A. Statistical Methods and Scientific Inference (New York, London, Hufner Press, 1973).

54. Tolman R.C. Principles of Statistical Mechanics (Clarendon Press, Oxford, England, 1938).

55. Шамбадаль П. Развитие и приложения понятия энтропии. М.: Физматгиз, 1967.

56. Хайтун С.Д. История парадокса Гиббса. М.:Наука, 1986.

57. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.:Мир, 1978.

58. Новиков А.А., Розин К.М. Кристаллография и дефекты кристаллической решетки. М.: Металлургия, 1990.

59. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям (Москва, Мир, 1968).

60. Райдер Л. Квантовая теория поля (Москва, Мир, 1988).

61. Зайлер Э. Калибровочные теории. Связь с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой (Москва, Мир, 1985).

62. Kogut J.B. An introduction to lattice gauge theory and spin systems. Rev.Mod.Phys., 1979, 51, N4, 659-713.

63. Drouffe J.M., Itzykson C. Lattice gauge fields. Phys.Rep., 1978, 38C, N3, 133-175.

64. Dimopoulos S.,Raby S.A.,Wilczek P. Unification of Couplings. Physics Today, 1991,44,N 10,25-33.

65. Мещеряков A.C., Улыбин C.A. Термодинамика. Феноменологическая термомеханика (Москва., Химия, 1994)

66. Frieden B.R. Fisher information, disorder, and the equilibrium distributions ofphysics. Phys.Rev.A, 1990, 41, N8, 42654276.

67. Frieden B.R. Fisher information and the complex nature of the Schroedinger wave equation. Found.Phys., 1991, 21, N7, 757-771.

68. Frieden B.R. Fisher information as the basis for Maxwell's equations. Physica A, 1992,180,359-385.

69. Frieden B.R. Estimation of distribution laws, and physical laws, by a principle ofextremizedphysical information. Physica A, 1993, 198, 262-338.

70. Frieden B.R., Hughes R.J. Spectral 1/f noise derived from exremized physical information, Phys.Rev.E, 1994, 49, N4, 2644-2649.

71. Nikolov В., Frieden B.R. Limitation on entropy increase imposed by Fisher information. Phys.Rev.E, 1994, 49, N6, 4815-4820.

72. Frieden B.R., Soffer B.H. Lagrangians of physics and the game of Fisher information transfer. Phys.Rev.E, 1995, 52, N3, 2274-2286.

73. Frieden B.R., Cocke W.J. Foundation for Fisher information based derivations ofphysical laws. Phys.Rev.E, 1996, 54, N1, 257-260.

74. Cocke W.J., Frieden B.R. Information and Grav/to?zo«. Found.Phys., 1997, 27, N10, 1397-1412.

75. Frieden B.R. Physics from Fisher Information (Cambridge Univ.Press, 1998).

76. Fisher R.A. Statistical information. In (Essays on the use of) Information Theory in Biology. Quastler H. (Ed.) (Urbana, University of Illinois Press, 1953). P. 12-13.

77. Олвер П.Дж. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям (Москва, Мир, 1989).

78. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика. Курс теоретической физики T.IV (Москва, Наука,1989).

79. Гордиец Б.Ф., Осипов А.И., Шелепин Л.А. Кинетические процессы в газах и молекулярные лазеры. М.:Наука, 1980.

80. Алексеев К.П., Веховский Г.В., Глазенков В.М. и др. Исследование активной среды ГДЛ с нагревом азота в камере конечного объема. Квант.электроника, 1984,11, 3, 603-605.

81. Веховский Г.В., Козлов Г.И. Распростронение слабых ударных волн в колебательно-неравновесном газе. ЖТФ, 1986, 56, 8, 1536-1542.

82. Николис Г., Пригожий И. Познание сложного. Введение (Москва, Мир,1990) .

83. Шлёгль Ф. Статистическое обоснование эволюционного критерия Глэнсдорфа-Пригожина. В сб.: Термодинамика и регуляция биологических процессов. Под ред. Зохина A.M. (Москва, Наука, 1984).

84. Brasher J.D. Nonlinear wave mechanics, information theory, and thermodynamics. Int.J.Theor.Phys., 1991, 30, N7, 979-984.

85. Додд P., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения (Москва,Мир, 1986).

86. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике (Москва, Мир, 1989).

87. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах (Москва, Мир, 1983).

88. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны. М.:Наука, Физматгиз, 2000.

89. Mandelbrot В.В. An introduction to multifractal distribution functions. In Random Fluctuations and Pattern Growth : Experiments and Models. H.E.Stanley, N.Ostrowsky eds. (Kluwer Acadenic, Dordrecht, 1988). P.279-291.

90. Hentschel H.G.E., Procaccia I. The infinite number of generalized dimensions offractals and strange attractors. Physica D, 1983, 8, N3, 435444.

91. Halsey T.C., Jensen M.H., Kadanoff L.P., Procaccia I., Shraiman B.I. Fractal measures and their singularities: The characterization of strange sets. Phys.Rev.A, 1986, 33, N2, 1141-1151.

92. Paladin G., Vulpiani A. Anomalous scaling laws in multifractal objects. Phys.Rep., 1987,156, N4, 147-225.

93. Aharony A. Multifractals in physics: successes, dangers and challenges. Physica A, 479-489.

94. Vicsek T. Mass multifractals. Physica, 1990,168, 490-497.

95. McCauley J.L. Multifractal description of the statistical equilibrium of chaotic dynamical systems. Int.J.Mod.Phys.B, 1989, 3, N6, 821-852.

96. Giona M., Piccirilli P., Cimagalli V. Multifractal analysis of chaotic power spectra. J.Phys.A, 1991, 24, N1, 367-373.

97. Vstovsky G.V. A controlled multifractal. Phys.Lett.A, 1992,165, N1, 41-46.

98. Веховский Г.В., Бунин И.Ж., Колмаков А.Г., и др. Мулътифракталъный анализ поверхностей разрушения твердых тел. ДАН, сер. Физика, 1995, 343, N5, 613-615.

99. Веховский Г.В., Колмаков А.Г., Теренхьев В.Ф. Описание эволюции схрукхуры поверхносхи мехалла при механической обрабохке с использованием мульхифракхального анализа. Махериаловедение, 1998, N2, 19-24.

100. Grassberger Р. Information aspects of strange attractors. In Chaos in Astrophysics, J.R.Buchler et al., eds. (Reidl, Dortrecht,1985). P. 193-222.

101. Jensen M.H., Kadanoff L.P., Procaccia I. Scaling structure and thermodynamics of strange sets. Phys.Rev.A, 1987, 36, N3, 1409-1420.

102. Cosenza M.G., Swift J.B. Scaling properties of multifractal functions at an attractor-repeller transition. Phys.Rev.A, 1990, 41, N12, 6615-6620.

103. Chhambra A., Jensen R.V. Direct determination of the f(a) singularity spectrum. Phys.Rev.Lett., 1989, 62, N12, 1327-1330.

104. Meneveau C., Chhambra A.B. Two-point statistics of multifractal measures. Physica A, 1990,164,564-574.

105. Grassberger P., Badii R., Politi A. Scaling laws for invariant measures on hyperbolic and nonhyperbolic attractors. J.Stat.Phys., 1988, 51, Nl/2,,135-178.

106. Hede В., Kortesz J., Vicsek T. Self-affine fractal clusters: Conceptual questions and numerical results for directed percolation. J.Stat.Phys., 1991, 64, N3/4, 829-841.

107. Katzen D., Procaccia I. Phase transitions in the thermodynamic formalism ofmultifractals. Phys.Rev.Lett, 1987,58, N12, 1169-1172.

108. Feigenbaum M.J. Some characterization of strange sets. J.Stat.Phys., 1987, 46, N5/6,919-924.

109. Stepfalusy P., Tel Т., Csordas A., Kovacs Z. Phase transitions associated with dynamical properties of chaotic systems. Phys.Rev.A, 1987, 36, N7, 3525-3528.

110. Bohr Т., Jensen M.H. Order parameter, symmetry breaking, and phase transitions in the description ofmultifractal sets. Phys.Rev.A, 1987, 36, N10, 4904-4915.

111. Lee J., Alsrom P., Stanley H.E. Exact enumeration approach to multifractal structure for diffusion-limited aggregation. Phys.Rev.A, 1989, 39, N12, 6545-6556.

112. Rangel R., Guerrero L.E. Multifractality, multifractal phase transitions, and symmetry increasing bifurcations in ac-driven phase-slip center. Phys.Rev.A, 1991, 43, N2, 669-680.

113. Федер E. Фракталы (Москва, Мир, 1991).

114. Фриш У. Турбулентность. Наследие А.Н.Колмогорова. М.: Фазис, 1998.

115. Ruelle D. Thermodynamic formalism. The mathematical structures of classical equilibrium statistical mechanics. Encyclopedia ofMathematics and its Applications. Sec. Statistical Mechanics. Ed. G.Galavotti. Adison-Wesley, 1978.

116. Глава 2. Фрактальная и мультифрактальная параметризации

117. Mandelbrot В.В. Thefractalgeometry ofnature. New York: Preeman, 1983.

118. Федер Й, Фракталы. М.:Мир, 1991.

119. Фракталы в физике. Ред. Л.Пьетронеро, Л.М.Тозатти. М.:Мир, 1988.

120. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. М.:Мир, 1993.

121. Юргенс X., Пайтген Х.-О., Заупе Д. Язык фракталов. В мире науки (Scentific American), 1990, № 10, 36-44.

122. Черемской П.Г., Слезов В.В., Бетехтин В.И. Поры в твердом теле. М.: Энергоатомиздат, 1990.

123. Anderson Т.Е. Application of fractal geometry to damage development and brittle fracture ofmaterials. Scr.Met., 1989, 23, N1, 97-102.

124. Jiang X., Jianghong C.U.I., Longxiang M.A. Fractal dimension of cavities shape during superplastic deformation of high strength Al alloy 7475. Acta Metall.Sinica, 1990, 26, N4, B286-B289.

125. Hombogen E. Fractal analysis of grain boundaries in hot worked polycrystals. Z.Metallk., 1987, 78, N9, 622-625.

126. Hombogen E. Fractals in Microstructure ofmetals. Int.Mat.Rev., 1989, 34, N6, 277-296.

127. П.Иванова B.C., Шанявский A.A. Количественная фрактография. Усталостное разрушение. Челябинск, Металлургия, 1988.

128. Иванова B.C., Встовский Г.В. Механические свойства металлов и сплавов с позиций синергетики. Итоги науки и техники. Металловедение и термическая обработка. М.: ВИНИТИ, 1990. С. 4398.

129. Иванова B.C., Баланкин А.С., Бунин И.Ж., Оксогоев А.А. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.:Наука, 1994.

130. Г.В.Встовский. Фрактальная модель усталостного разрушения. Дисс.канд.ф.-м.наук. Москва, 1990.

131. Hombogen Е. Z.Metallk., 1987, 78, N5, 382-385.

132. Mandelbrot В.В., Gefen Y., Aharony А., Peyriere J. Fractals, their transfer metrices and their eigendimensional sequences. J.Phys.A, 1985, 18, 335354.

133. Vstovsky G.V. A controlledmultifractal. Phys.Lett.A, 1992, 165, N1, 41-46.

134. Бунин И.Ж., Встовский Г.В. Физическая модель локального упруго пластического перехода при усталости. Изв.РАН, сер. Металлы, 1992, N2, 29-40.

135. Diskardt R.H., Haubensak P., Ritchie R.O. On the interpretation of the fractal character offracture surfaces. Acta Met.Mater. 1990, 38, N2, 143.

136. DubucB., Quiniou J.P., Roques-Cormes C. et al. Evaluation of fractal dimension of profiles. Phys.Rev.A, 1989,39,N3,1500-1512.

137. Встовский Г.В. Модель фрактального профиля усталостной трещины. ПМТФ, 1992, №2, 130-137.

138. Nishihara Т. Fractal analysis of recrystallized structure. J.Jap.Inst.Metals, 1993, 57, N2, 209-213.

139. Tanaka M., Lizuka H. Characterization of grain boundaries by fractal geometry and creep-rupture properties of heatresistant alloys. Z.Metallk.,1991 ,Bd.82,N6, 442-447.

140. Underwood E.E., Banerji K. Fractals infractography. Mater.Sci.Eng., 1986, 80, N1,1-14.

141. Mandelbrot B.B., Passoja D.E., Pullay A.J. Fractal character offractured surfaces ofmetals. Nature, 1984, 308, 721-722.

142. Mecholsky J.J., Passoja D.E., Feinberg-Rigel K.S. Quantitative analysis of brittle fracture surfaces usingfractalgeometry. J.Am.Ceram.Soc, 1988, 72, N1,60-65.

143. Vstovsky G.V. Transform information: A symmetry breaking measure. Found.Phys., 1997, 27, N10, 1413-1444.

144. ВСТОВСКИЙ Г.В., Колмаков А.Г., Терентьев В.Ф. Мулътифракталъный анализ особенностей разрушения приповерхностных слоев молибдена. Изв.РАН, сер. Металлы, 1993, №4, 164-178.

145. ВСТОВСКИЙ Г.В., Бунин И.Ж., Колмаков А.Г. и др. Мультифрактальный анализ поверхностей разрушения твердых тел. ДАН, Сер.Физика, 1995, 343, N5,с.613-615.

146. Vstovsky G.V., Bunin I.Zh. J.Adv.Mater., 1994, 1, N3, 230-240.

147. Kolmakov A.G., Geminov V.N., Vstovsky G.V., Terent'ev V.F., Zabolotny V.T., Starostin E.E. Effect of Rhenium Coatings on the Mechanical Behaviour ofMolybdenum Wires. Surface and Coatings Technology, 1995, V.72, p. 43-50.

148. ВСТОВСКИЙ Г.В., Колмаков А.Г., Терентьев В.Ф, Описание эволюции структуры поверхности металла при механической обработке с использованием мультифрактального анализа. Материаловедение, 1998, N2, 19-24.

149. ВСТОВСКИЙ Г.В., Колмаков А.Г., Анализ влияния поверхностной обработки на структуру статических изломов малолегированного молибдена с помощью мультифрактального формализма. Физика и химия обработки материалов, 1995, No6, с.69-84.

150. Колмаков А.Г., Бунин И.Ж., Встовский Г.В. Изменение мультифрактальных характеристик структур приповерхностных слоев деформируемого молибдена, вызванное поверхностным обезуглероживанием. Физика и химия обработки материалов, 1996, No 4, с.60-69.

151. Колмаков А.Г., Взаимосвязь мул ьтифрактал ьн ых характеристик структур поверхностей разрушения молибдена с его механическими свойствами. Известия РАН, сер. Металлы, 1996, No6, с.37-43.

152. Kolmakov A.G., Bunin I.G., Vstovsky G.V., Surface Treatment Effect on Fatigue Characteristics of Molybdenum. Proc. of the Sixth International

153. Fatigue Congress «FATIGUE'96», Berlin, Germany, 06-10 May 1996, Editors: G. Lutjering and H. Nowack, Published by: PERGAMON, 1996, Vol.II, p.1427-1432.

154. Колмаков А.Г. Взаимосвязь механических свойств с мультифрактальными характеристиками структуры поверхности молибденовых проволок. Физика и химия обработки материалов, 1997, №3, с. 49-54.

155. Малышев В.Н., Колмаков А.Г., Бунин И.Ж. Оптимизация режимов получения и свойств оксидных покрытий на алюминиевом сплаве с использованием метода мулътифрактального анализа. Физика и химия обработки материалов, 1997, №5, с.77-84.

156. Бунин И.Ж., Колмаков А.Г., Встовский Г.В., Мультифракталы в оценке диссипативных свойств металлических материалов. Изв. РАН, Сер. Металлы, 1998, №1, с. 103-106.

157. Старостин Е.Е., Колмаков А.Г. Мультифрактальное описание топографической структуры покрытий, полученных термическим напылением в вакууме. Физика и химия обработки материалов, 1998, №5, с.38-47.

158. Терентьев В.Ф., Бунин И.Ж., Колмаков А.Г., Встовский Г.В. Использование концепции фрактала в материаловедении. Сб. Институту металлургии и материаловедения им.а.а.Байкова 60 Лет. М.: Элиз, 1998. С.398-411.

159. Williford R.E. Multifractal fracture. Scripta Metallurgica, 1988, 22, N11, 1749-1753.

160. Giona M., Piccirilli P., Cimagalli V. Multifractal analysis of chaotic power spectra. J.Phys.A, 1991, 24, N1, 367-373.

161. Halsey T.C., Jensen M.H., Kadanoff L.P., Procaccia I., Shraiman B.I. Fractal measures and their singularities: The characterization of strange sets. Phys.Rev.A, 1986, 33, N2, 1141-1151.

162. Глава 3. Численные методы мультифрактальной и псевдомультифрактальной параметризации (МФП и ПМФП)l.Meisel L.V., Johnson М., Cote P.J. Box-counting multifractal analysis. Phys.Rev.A, 1992, 45, N10, 6989-6996.

163. Chhambra A., Jensen R.V. Direct determination of the f(a) singularity spectrum. Phys.Rev.Lett., 1989, 62, N12, 1327-1330.

164. В.А.Кизель Физические причины диссимметрии живых систем (Москва, Наука, 1985).

165. Федер Е. Фракталы (Москва, Мир, 1991).

166. Vstovsky G.V. Transform information: А symmetry breaking measure. Found.Phys., 1997, 27, N10,1413-1444.

167. Vstovsky G.V., Kolmakov A.G., Terentjev V.F. Using multifractal information for quantitative evaluation of broken symmetries of materials structures. Materials Science (Kaunas), 1999, N2, 62-65.

168. Глава 4. Фрактальная модель усталостного разрцшения

169. Г.В.Встовский. Фрактальная модель усталостного разрушения. Дисс.канд.ф.-м.наук. Москва, 1990.

170. Встовский Г.В. Модель фрактального профиля усталостной трещины. ПМТФ, 1992, №2, 130-137.

171. Бунин И.Ж., Встовский Г.В. Физическая модель локального упруго пластического перехода при усталости. Из в. РАН, сер. Металлы, 1992, N2, 29-40.

172. Иванова B.C., Шанявский А. А. Количественная фрактография. Усталостное разрушение. Челябинск, Металлургия, 1988.

173. Иванова B.C., Встовский Г.В. Механические свойства металлов и сплавов с позиций синергетики. Итоги науки и техники. Металловедение и термическая обработка. М.: ВИНИТИ, 1990. С. 4398.

174. Иванова B.C., Баланкин А.С., Бунин И.Ж., Оксогоев А.А. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.:Наука, 1994.

175. Хеллан К. Введение в механику разрушения. М.: Мир, 1988.

176. Броек Д. Основы механики разрушения. М.: Высщ.шк., 1980.

177. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. М.: Наука, 1985.

178. Provan J.W. An introduction to fatigue. J.Mater. Education, 1989, 11, N1&2, 1-104.

179. Черемской П.Г., Слезов B.B., Бетехтин В.И. Поры в твердом теле. М.: Энергоатомиздат, 1990.

180. Жирифалько Л. Статистическая физика твердого тела. М.: Мир, 1985.

181. Тимашев С.Ф. О синергетических эффектах в кинетике твердофазных процессов. ДАН, 1987, 295, №3, 661-665.

182. Тимашев С.Ф. ДАН, 1984, 276, №4, 898-902.

183. Нефедьев Е.Ю., Волков В.А., Ляшков А.И., Савельев В.Н. Контроль роста усталостной трещины в литой стали методом акустической эмиссии. Проблемы прочности, 1987, №11, 41-44.

184. Миллер К. Ползучесть и разрушение. М.: Металлургия, 1986.

185. Maccagno Т.М., Knott J.F., Brittle fracture under mixed 1/П mode loading. "ECP6: Pract.Contr.Eng.Struct.: Proc.6* Bien.Conf., Amsterdam, June 1520, Vol.2".-Varley, 1986.

186. Erdogan P., Shi G.C. J.Bas.Eng., 1983, 95D, 519-527.

187. Шустер T. Детерминированый хаос. Введение. М.:Мир, 1988.

188. ПаркерТ.С, Чжуа Л.О. Введение в теорию хаотических истем для инженеров. ТИИЭР, 1987, 75, №8, 6-40.

189. Новиков И.И. Термодинамические аспекты пластического деформирования и разрушения металлов. В сб. Физико-механические и теплофизические свойства металлов. М.: Наука, 1976. С.170-179.

190. Sih G.C. Thermomechanics of solids: nonequilibrium and irreversibility. Theor.Appl.Fract.Mech., 1988, 9,175-198.

191. Шкловский Б.И., Эфрос A.Л. Электронные свойства легированных полупроводников. М.: Наука, 1979.

192. Жюльен Р. Фрактальные агрегаты. УФН, 1989, 157, в.2, 339-357.

193. Meakin Р. Fractals and disorderly growth. J.Mater.Education, 1989, 11, N1&2, 105-157.

194. Смирнов Б.Н. Физика фрактальных кластеров. М.: Наука, 1991. Свойства фрактального агрегата. УФН, 1989, 157, в.2, 357-360.

195. Mandelbrot В.В., Passoja D.E., Pullay A.J. Fractal character offractured surfaces ofmetals. Nature, 1984, 308, 721-722.

196. Мосолов А.Б., Динариев О.Ю. Автомодельность и фрактальная геометрия разрушения. Проблемы прочности, 1988, №1, 3-7.

197. Witten T.A.Jr., Sander L . M . Diffusion limited aggregation? a kinetic critical phenomenon. Phys.Rev.Lett, 1981, 47, N19, 1400-1403.

198. Tolman S., Meakin P. Two, three and four-dimensional diffusion-limited aggregation models. Physica A, 1989, 158, N3, 801-816.

199. Muthukumar M. Mean-field theory for diffusion-limited cluster formation. Phys.Rev.Lett., 1983, 50, N1 1, 839-842.

200. Hentschel H.G.E. Fractal dimension of generalized diffusion-limited aggregates. Phys.Rev.Lett. 1984, 52, N3, 212-215.

201. Meakin P. Deterministic screened growth models. Phisica A, 1989, 155, N1, 37-51.

202. Kaufman J.H., Dimino G.M., Meakin P. Universality ofcriticalscreening in theformation offractal patterns. Phisica A, 1989, 157, N2, 656-668.

203. Mandelbrot B.B., Vicsek T. Directed ricursive models for fractal growth. J.Phys. A, 1989, 22, N1 ,1377-1383.

204. Meakin P. Dimes tonalities for the harmonic and ballistic measures of fractal aggregates. Phys.Rev. A, 1986 , 33, N2, 1365-1371.

205. Kassner K., Family F. Scaling behaviour os generalized diffuion-limited aggregation: the correctform ofthe m-spokemodel. Phys.Rev. A, 1989, 39, N9, 4797-4800.

206. Wang X.R,, Shapir Y., Rubinstein M. Analysis of multiscaling structure in diffusion-limited aggregation: a kinetic renormalization group approach. Phys.Rev. A, 1989, 39, N11, 5974-5984.

207. Meakin P., Murat M ., Aharony A. et. al. Diffusion-limited aggregation near the percolation threshold. ?hisica A, 1989, 155, N1, 1-20.

208. Meakin P. Reaction and absorbtion on multifractal substrates. Ibidem, 2136.

209. Kang K., Redner S., Meakin P., Leyvraz F. Long-time crossover phenomena in coagulatin kinetics. Phys.Rev. A, 1986, 36, N2, 1171 1182.

210. Golos K., Ellyin F. Total strain energy density as a fatigue damage parameter. Adv.Fatigue Sci.Technol. Proc.NATO Adv.Study Inst., Alvor,1989. -Dordrecht etc. 1989. 849-858.

211. Соколов И.М. Размерности и другие критические геометрические показатели в теории протекания. УФН, 1986, 150, в.2, 221-255.

212. МаШ. Современная тория критическш явлений. -М. : Мир, 1980.

213. Встовский Г.В., Колмаков А.Г,, Терентьев В.Ф. Мультифрактальный анализ особенностей разрушения приповерхностных слоев молибдена. Изв.РАН, сер. Металлы, 1993, №4, 164-178.

214. Nelson J.A., Crookest R.J., Simons S. On obtaining thefractal dimension of 3D clusters from its projection on a plane application to smoke agglomerates. J.Phys.D, 1990, 23, N4, 465.

215. Бунин И.Ж. Концепция фрактального материаловедения. Металлы, 1996, №6, 29-36.

216. Family P. Fractal dimension and grand universality of critical phenomena. J.StatPhys., 1984, 36, N5/6, 881-896.

217. Vstovsky G.V, A controlled multifractal. Phys.Lett.A, 1992, 165, N1, 41-46.

218. Челидзе Т.Д. Перколяционная модель разрушения твердых тел и прогноз землетрясений. ДАН, 1979, 246, №1, 51-54.

219. Челидзе Т.Д. Модель процесса разрушения твердых тел. ФТТ, 1980, 22, В.9, 2865-2866.

220. Глава 5. Использование МФП и ПМФП при решении актуальныхзадач материаловедения

221. Встовский Г.В., Колмаков А.Г., Терентьев В.Ф. Мулътифрактальный анализ особенностей разрушения приповерхностных слоев молибдена. Изв.РАН, сер. Металлы, 1993, №4, 164-178.

222. Терентьев В.Ф., Бунин И.Ж., Колмаков А.Г., Встовский Г.В. Использование концепции фрактала в материаловедении. Сб. Институту металлургии и материаловедения им.а.а.Байкова 60 Лет. М.: Элиз, 1998. С.398-411.

223. Встовский Г.В., Бунин И.Ж., Колмаков А.Г. и др. Мультифрактальный анализ поверхностей разрушения твердых тел. ДАН, Сер.Физика, 1995, 343, N5,0.613-615.

224. Vstovsky G.V., Bunin LZh. J.Adv.Mater., 1994, 1, N3, 230-240.

225. Встовский Г.В., Колмаков А.Г., Терентьев В.Ф. Описание эволюции структуры поверхности металла при механической обработке с использованием мультифрактального анализа. Материаловедение, 1998, N2, 19-24.

226. Kolmakov A.G., Vstovsky G.V. Multifractal analysis of metallic surface structure changes during mechanical treatment. Materials Science and Technology, 1999,15, 5, 1-6.

227. Колмаков А.Г., Веховский Г.В., Масляев СЛ., Пименов В.Н. Исследование воздействия лазерного излучения на структуру тонколистовых медных сплавов с использованием мультифрактальных представлений. Перспекхивные махериалы, 1999, №4, 5-13.