Фундаментальная масса и некоторые экспериментальные следствия тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ 4 стр.

ГЛАВА I. СКАЛЯРНЫЙ ПРОТОТИП ТЕОРИИ ПОЛЯ С ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ МАССОЙ 11 стр.

§1.1. Введение 11 стр.

§ 1.2. О действии исходной скалярной модели 14 стр.

§1.3. Импульсное 4-пространство постоянной отрицательной кривизны 15 стр.

§ 1.4^Действие для свободного скалярного поля в р - пространстве Лобачевского 19 стр.

§1.5. Пятимерное конфигурационное представление 26 стр.

§1.6. Производящий функционал и принцип соответствия 30 стр.

§ 1.7. Расширенные поля в конфиграционном 5 - пространстве 40 стр.

ГЛАВА II. ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ С ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ МАССОЙ В КОНФИГУРАЦИОННОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

§2.1. Введение

§2.2. Фундаментальное уравнение

§2.3. Лагранжиан теории

§2.4. Конкретные примеры

§ 2.5. О преобразованиях суперсимметрии в теории поля с фунда

43 стр.

43 стр. 45 стр. 49 стр. 52 стр. ментальной массой

65 стр.

ГЛАВА III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ АБЕЛЕВЫХ ПОЛЕЙ И УЧЕТ

ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ МАССЫ 71 стр.

§ 3.1. Введение 71 стр.

§ 3.2;-Стохастическое квантование скалярной безмассовой электродинамики 73 стр.

§ 3.3. Стохастическое квантование скалярной теории поля с фундаментальной массой 82 стр.

ГЛАВА 1У.НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ СЛЕДСТВИЯ ГИПОТЕЗЫ О ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ МАССЕ 88 стр.

§ 4.1. Введение 88 стр.

§ 4.2. Диаграммы и правила Фейнмана в КТП с ФМ 94 стр.

§ 4.3. Процессы рассеяния электронов при сверхвысоких энергиях в рамках КЭД с фундаментальной массой 96 стр.

§ 4.4. Сечение глубоконеупругого рассеяния электронов на нуклонах с учетом фундаментальной массы (партонная модель) 100 стр.

§ 4.5. Некоторые следствия 104 стр.

В настоящей диссертации проведены исследования по выявлению в расчётах процессов второго порядка некоторых экспериментальных следствий новой квантовой теории поля (КТП) с фундаментальной массой. Эта теория была сформулирована В.Г.Кадышевским и его учениками на базе импульсного ^-пространства постоянной кривизны [1-60]. Радиус кривизны р-пространства М играет роль "фундаментальной массы" - нового универсального параметра теории в области сверхвысоких энергий. Подчеркнем, что фундаментальная масса М - это новый гипотетический параметр размерности массы, который должен быть столь же универсальным, как % - постоянная Планка, с - скорость света или ньютонова гравитационная постоянная я, и выступать в качестве характерного масштаба в области сверхвысоких энергий. Следует отметить, что обратная величина £ = Ti/Mc выступает, соответственно, в роли "фундаментальной длины".

Актуальность темьь Идея о наличии в природе новой универсальной постоянной размерности массы или длины, которая бы фиксировала определенный масштаб в области высоких энергий ( или на малых пространственно - временных расстояниях), многократно обсуждалась в литературе в самых различных контекстах [1-81]. Хорошо известным примером является квантование пространства - времени - направление в квантовой теории поля, основанное на гипотезе о дискретной (квантованной) структуре пространственно - временного мира в области малых масштабов. Линейный размер "кванта -пространства" интерпретируется как новая универсальная постоянная теории - фундаментальная(также элементарная, минимальная) длина I. С точки зрения данного подхода стандартной КТП отвечает предельный случай I — 0. Это находится в соответствии с принятой в КТП геометрической концепцией пространства - времени , согласно которой микроскопические пространственные расстояния качественно ничем не отличаются от макроскопических, а течение времени в ультракоротких интервалах такое же, как в интервалах произвольно большой длительности. Такая "классическая" геометрическая картина пока подтверждается всей совокупностью опытных данных, полученных в экспериментах с элементарными частицами, в том числе и при высоких энергиях. Частицы высоких энергий Е >> тс2 (т-масса частицы, с-скорость света ) служат наиболее подходящим инструментом для зондирования возможной "зернистой" структуры 4-пространства, т.к. им соответствует диапазон очень коротких волн де Бройля А = %c/E(h-постоянная Планка), позволяющих "видеть" сверх малые расстояния.

Экспериментальное обнаружение нового фундаментального масштаба £, свидетельствующего о существовании специфического атомизма пространства - времени, означало бы, что в познании природы сделан новый шаг, соизмеримый по своему значению с открытием квантовых свойств материи.

Пока, однако, гипотеза о квантовании пространства - времени опирается лишь на теоретические аргументы. Самый популярный из них - существование в стандартной КТП т.н. ультрафиолетовых расходимостей, т.е. бесконечно больших величин, возникающих в результате прямого применения уравнений КТП в области очень малых пространственно - временных расстояний, или, что эквивалентно, в области очень больших энергий и импульсов. Было замечено, что указанные расходимости не появляются вовсе, если сверхмалые расстояния изгнать из теории с самого начала. Этого можно достичь, например, путем замены непрерывного пространства - времени четырехмерной решеткой, узлам которой отвечают дискретные значения координат и времени: х = nil, у = п%1, z = t = (щ,. произвольные целые числа). Однако за избавление от расходимостей в данном случае приходится платить очень высокую цену: в теории отсутствует релятивистская инвариантность, нарушаются стандартные законы сохранения энергии, импульса, момента количества движения. Современные версии таких теорий - калибровочные теории поля на решетке - применяются в качестве "тренировочных" схем, позволяющих понять на качественном уровне специфику калибровочных КТП, а также используются в квантовой хромодинамике для расчетов на ЭВМ методом Монте-Карло.

В более последовательном варианте теории квантованного пространства - времени [65], согласующемся с требованиями теории относительности координатам и времени ставятся в соответствии неV коммутирующие операторы x,y,z и t, которые могут быть выбраны так, что либо t, либо каждая из величин x,y,z имеют целочисленный спектр собственных значений в единицах 1/с и £, соответственно. В математическом отношении здесь имеется много общего с квантоме-ханической теорией момента количества движения. Невозможность А одновременного приведения величин х, у, z и t к диагональному виду чрезвычайно затрудняет развитие аппарата КТП в таком квантованном пространстве - времени. Оказывается, однако, что пространство энергии - импульса в данном случае является разновидностью четырехмерного пространства Лобачевского и может служить адекватной основой для последовательной релятивистской формулировки КТП, в которой выполнены все стандартные законы сохранения. При этом постоянная £, определяющая кривизну импульсно - энергетического пространства Лобачевского, с самого начала выступает как фундаментальный параметр теории. В области "сравнительно небольших" энергий Е <С he/£ = Me2 новая теория совпадает с прежней. Но при " сверхвысоких" энергиях Е > Мс2 многие ее выводы и предсказания кардинально отличаются от того, что предписывается традиционной КТП.

Как отмечалось, одной из побудительных причин для квантования пространства- времени явились трудности с ультрафиолетовыми расходимостями в КТП. Известно, однако, что наиболее важные реалистические теории поля - квантовая электродинамика, квантовая хромодинамика, модель Салама - Вейнберга - Глэшоу и т.д., принадлежат к классу т.н. перенормируемых теорий, в которых существование расходимостей не мешает проведению количественных расчетов с любой степенью точности. Успехи этих теорий в описании имеющихся на сегодня экспериментальных данных не являются аргументом против существования фундаментальной длины £. Они свидетельствуют лишь о том, что современная физика высоких энергий еще далеко отстоит от того рубежа, за которым могут проявится новые геометрические свойства пространства - времени.

Параметр типа фундаментальной длины £( или фундаментальной массы М) непременно возникал в так называемых нелокальных вариантах КТП, тоже нацеленных на избавление теории от ультрафиолетовых расходимостей. Многие исследователи отдали дань трудной проблеме построения внутренне непротиворечивой нелокальной теории поля [67, 71, 73]. Несмотря на определенные успехи, это направление так и не вышло за рамки феноменологического подхода, поскольку формфакторы, подавляющие расходимости, в нелокальных теориях необходимо извлекать из опытных данных. Видимо, такое обобщение КТП не является радикальным шагом вперед на пути построения новой, более глубокой теории элементарных частиц.

Нарастающий успех переномируемых теорий поля в описании экспериментальных данных и полное сокращение ультрафиолетовых расходимостей в некоторых суперсиметричных теориях отодвинули эту проблему на задний план. С позиции сегодняшнего дня многим теоретикам представляется весьма вероятным, что "истинная " теория поля, способная дать адекватное описание всех взаимодействий „элементарных частиц, будет, по меньшей мере перенормируемой лагранжевой теорией, обладающей локальной калибровочной (супер) симметрией.

Спрашивается, может ли такая схема содержать параметр типа фундаментальной длины? Ответ на этот вопрос могут дать лишь будущие эксперименты. Согласно современным данным, если константа £ и существует, то во всяком случае она подчиняется ограничению I < Ю-19 см. Этот рубеж еще чрезвычайно далеко отстоит от "план-ковской длины" I ~ Ю-33 см, определяющей пространственные масштабы эффектов квантовой гравитации. И, конечно, нельзя исключить, что по мере преодоления колоссального интервала Ю-19 —Ю-33 см будут открыты новые физические явления и закономерности, ас-социированние с новым "масштабом природы " - фундаментальной длиной I. Размерность этого гипотетического параметра и свойство универсальности, которые мы вправе у него предполагать, наводят на мысль о том, что проявление I во взаимодействиях частиц могло бы быть связано с наличием у самого пространства - времени в малых масштабах ~ I какой-то новой геометрической структуры (дискретности, зернистости и т.п.). Однако многочисленные попытки построить более общую КТП, исходя из такого рода посылок, как отмечалось выше, не дали существенных результатов. Возможна эта неудача объясняется тем, что на сегодняшний день почти не разработала математическая теория пространств, геометрия которых лишь "в малом " отличается от (псевдо)евклидовой геометрии и, тем более, в подобного рода пространствах не развит математический аппарат, отвечающий потребностям КТП.

Выход из создавшейся ситуации подсказывает сама КТП. Как известно,в рамках этой теории пространственно - временное описание является совершенно равноправным с описанием в терминах им-пульсно - энергетических переменных. Если теорию формулировать в р - представлении, то поля, источники, функции Грина и другие атрибуты теории оказываются определенными в четырехмерном (псевдо)евклидовом импульсном пространстве.

Цель работы. Целью работы является выявление некоторых экспериментальных следствий, обоснование и физическая интерпретация новой квантовой теории поля (КТП) с фундаментальной массой М. М играет роль "фундаментальной массы"- нового универсального параметра теории в области сверхвысоких энергий. Обратная величина I = fi/Mc выступает, соответственно, в роли " фундаментальной длины".

Автор поставил перед собой следующие задачи:

- развить лагранжеву формулировку новой теории, охватывающую поля с различными тензорными размерностями;

- детально исследовать КТП с фундаментальной массой в конфигурационном пространстве (в частности,в 5-мерном);

- найти конкретный вид решения "фундаментального уравнения";

- изучить в новом подходе преобразование суперсимметрии;

- исследовать возможность применения метода стохастического квантования квантовой теории поля с фундаментальной массой;

- получить конкретные экспериментальные предсказания КТП с фундаментальной массой.

Объем диссертации. Данная диссертацияя состоит из введения и четырёх глав.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Диссертация посвящена формулировке и обоснованию квантовой теории поля с новым универсальным параметром- фундаментальной массой М. Эта фундаментальная масса М и отвечающая ей фундаментальная длина I — возможно, призваны играть столь же ключевую роль в физической теории, какую играют постоянная Планка h, скорость света с или ньютонова гравитационная постоянная к, и выступать в качестве характерного масштаба в области сверхвысоких энергий.

Резюмируем некоторые узловые моменты данной диссертации.

1 .Импульсное 4-пространство постоянной отрицательной кривизны является вполне подходящей "строительной площадкой" для теории поля. Соответствующая неевклидова КТП содержит новый универсальный параметр- фундаментальную массу М и представляет собой нетривиальную альтернативу прежней "плоской" теории в области сверхвысоких энергий Е >М.

2. В математическом отношении неевклидова КТП эквивалентна некоторой евклидовой теории с удвоенным числом полевых переменных. Область локальности новой схемы естественно расширяется до пространства пяти измерений.

3. Для непротиворечивости развитой теория поля необходимо предположить, что массы "элементарных" частиц, для описания которых она применяется, ограничены фундаментальной массой М. В соответствии с общими свойствами релятивистского "оператора положения" это означает, что рассматриваемые частицы нельзя локализовать в пространстве с точностью, превышающей фундаментальную длину £ = %/Мс.

4. В импульсное 4-мерное пространство постоянной кривизны перенесена калибровочная теория безмассовых векторных полей, а именно теория свободного электромагнитного поля и поле Янга-Миллса.

5. Предпринято попытка построения КТП с фундаментальной массой в конфигурационном представлении. Введено в рассмотрение фундаментальное уравнение, которому подчиняются все поля, независимо от их тензорной размерности.

Изучены преобразования суперсимметрии в рамках нового формализма. Отмечено, что сумма кинетических членов, отвечающих скалярному, псевдоскалярному и майорановскому полям, инвариантна относительно преобразований суперсимметрии, присущей модели Весса-Зумино. При этом само понятие "кинетических членов" в данном подходе приобретает новый смысл.

6. Предложен вариант стохастического квантования абелевых полей е учетом фундаментальной массы. Получены правильные выражения для калибровочно-инвариантных величин без использования фиксированной калибровки. В рамках развитого метода стохастического квантования скалярной теории поля найдены решения уравнения Ланжевена, содержащие М как параметр.

7. Рассмотрен ряд экспериментальных предсказаний обобщенной квантовой электродинамики, содержащей фундаментальную массу.

1. Кадышевский В.Г., ЖЭТФ, 41, 1885 (1961).

2. Кадышевский В.Г., ДАН СССР, 147, 558, 1336 (1962).

3. Мир-Касимов P.M., ЖЭТФ, 49, 905, 1161 (1965).

4. Мир-Касимов P.M., ЖЭТФ, 52, 533 (1967).

5. Кадышевский В.Г., препринт ОИЯИ, Р2-5717, Дубна,(1971).

6. Кадышевский В.Г., в кн: "Проблемы теоретической физике", посвященной памяти академика Тамма И.Е., "Наука", Москва, (1972), с.52.

7. Кадышевский В.Г., препринт ОИЯИ, Д2-7161, Дубна, (1973).

8. Кадышевский В.Г., в кн: "Труды V Международного симпози-ма по физике высоких энергий и элементарных частиц", Варшава, (1975); иреприпт ОИЯИ, Д2-9342, Дубна, (1975).

9. Donkov A.D., Kadyshevsky V.G., Mateev M.D. and Mir-Kasimov R.M., Bulgar. Journ. of Physics. 1, 58, 150, 233 (1974); 2, 3, (1975).

10. Donkov A.D., Kadyshevsky V.G., Mateev M.D. and Mir-Kasimov R.M., Proceedings of Inter. Conference on Mathemat. Problems of Quantium Field Theory and Quantum Statistics, pp. 85 129, Moskow, "Nauka" (1975); JINR preprint E2-7936, Dubna, (1974).

11. Мир-Касимов P.M., Аксиоматическая квантовая теория поля и импульсное пространство де Ситтера, препринт ОИЯИ, Р1, 2-7642, Дубна, (1973).

12. Kadyshevsky V.G., Mateev M.D. and Mir-Kasimov R.M., JINR preprints; E2-8892, P2-8877, Dubna, (1975).

13. Kadyshevsky V.G., Fundamental Length as a new scale in quantumfield theory, in: JINR, Dl, 2-9342, Dubna (1975).

14. Матеев М.Д. Процессы при высоких энергиях и гипотеза о фундаментальной длине, препринт ОИЯИ, Д2-10533, с.257, Дубна,1977).

15. Kadyshevsky V.G., Mateev M.D., Mir-Kasimov R.M. and Volobuyev I.P., JINR preprint, E2-10860 (1977).

16. Kadyshevsky V.G., Nuclear Physics, B141, p.477 (1978).

17. Kadyshevsky V.G., In: Proceedings of Inter. Conference on Group Theory and Math. Physics, Austin, Texas (1978).

18. Kadyshevsky V.G., FERMILAB Pub 78/70 THY, September,1978) .

19. Кадышевский В.Г., Новый подход к теории электромагнитных взаимодействий, ЭЧАЯ, т.2, вып.1, с.5 (1980).

20. Ибадов P.M., Аннигиляция электрон-позитронной пары и струи при высоких энергиях. В сб: "Исслед.по теоретической, молекулярной, ядерной физики и физики твердого тела" стр.99-109, Самарканд1980).

21. Ибадов P.M., Чижов М.В., Сообщение ОИЯИ, Р2-81-461, Дубна,1981), 10 стр.

22. Ибадов P.M., Глубоконеупругое рассеяние электронов на нуклонах и фундаментальная длина. Известия АН УзССР, серия физ-мат наук, N" 3, стр.44 (1984).

23. Kadyshevsky V.G., Mateev M.D., Phys.Lett., В106, No 1, 2, p.139 (1981).

24. Донков А.Д., Ибадов P.M., Кадышевский В.Г., Матеев М.Д., Чижов М.В., Некоторые экспериментальные следствия гипотезы о фундаментальной длине. Известия АН СССР, серия физическая, т.46, N 9, стр.1772 (1982).

25. Ибадов P.M., Чижов М.В., Применение квантовой электродинамики с фундаментальной длиной к высокоэнергитическим процессам. Известия АН УзССР, серия физ-мат наук, N 5, стр.38 (1983).

26. Бужек В., Ибадов P.M., О стохастическом квантовании абелевых полей. Сообщение ОИЯИ Р2-84-458, Дубна, (1983), 11 стр.

27. Донков А.Д., Ибадов P.M., Кадышевский В.Г., Матеев М.Д., Чижов М.В., Квантовая теория поля и новый универсальный масштаб в области высоких энергий. Калибровочные векторные поля, препринт ОИЯИ, Р2-84-109, Дубна, (1984), 26 стр.

28. Донков АД., Ибадов P.M., Кадышевский В.Г., Матеев М.Д., Чижов М.В., Квантовая теория поля и новый универсальный масштаб в области высоких энергий. Поля Дирака, препринт ОИЯИ, Р2-84-265, Дубна, (1984), 30 стр.

29. Кадышевский В.Г., Квантовая теория поля и "максимон" Маркова. Доклад представлен на III Международный семинар "Квантовая теория гравитации", Москва -1984, препринт ОИЯИ, Р2-84-7531984), 50 стр.

30. Донков АД., Ибадов P.M., Кадышевский В.Г., Матеев М.Д., Чижов М.В., Фундаментальная масса и необычная фермионная материя. Труды VII Международного Совещания по проблемам квантовой теории поля. Алушта 1984, Д2-84-366, стр.172-190, Дубна, (1984).

31. Kadyshevsky V.G., Mateev M.D., Nuovo Cimento A, 87, 324, p. 1391985).

32. Chizhov M.V., Donkov A.D., Ibadov R.M., Kadyshevsky V.G. and Mateev M.D., Nuovo Cimento v.87A, No.3, p.350 (1985).

33. Chizhov M.V., Donkov A.D., Ibadov R.M., Kadyshevsky V.G. and Mateev M.D., Nuovo Cimento v.87A, No.4, p.375 (1985).

34. Ибадов P.M., Кадышевский В.Г., К теории поля с фундаментальной массой, препринт ОИЯИ, Р2-86-830, Дубна, (1986), 19 стр.

35. Ибадов P.M., Кадышевский В.Г., О преобразованиях суперсимметрии в теории поля с фундаментальной массой, препринт ОИЯИ, Р2-86-835, Дубна (1986), 4 стр.

36. Ибадов P.M., Кадышевский В.Г., Новая точка зрения на вспо-магательные поля в суперсимметричесных моделях. Труды VIII Международного Совещания по проблемам квантовой теории поля. Алушта 1987, Д2-87-798, стр.141, Дубна,(1988).

37. Fursaev D.V., Kadyshevsky V.G., Ibadov R.M., The Rotation Invariant gauge Model with the compact momentum space. Proceedings of the 25th Internotional Conference on High Energy Physics, Singapore 1990, p.928 (1990).

38. Фурсаев Д.В., Кадышевский В.Г., ТМФ, 83, стр.197 (1990).

39. Ибадов P.M. "Квантовая теория поля с новым универсальным масштабом в области сверхвысоких энергий". Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико математических наук, Ташкент (1994).

40. Ибадов P.M., Равшанова Д.Р. "Некоторые экспериментальные следствия квантовой теории поля с фундаментальной массой", Са-маркан (1994).

41. Ибадов P.M., Равшанова Д.Р. "Стахостическое квантование вквантовой теории поля с фундаментальной массой, Самарканд (1994)

42. Ibadov R.M. "Quantum field theory with the fundamenal mass".

43. Proceeding Int.Conf. "Probl. of theor. and Solid State Phys.", Buchara 1997, p.22-23.

44. Geichenko E.V., Ibadov R.M. and Ibadova U.R. "Spontaneous infrigemet of Symmetry in Quiatum theory fields with the fundamenal mass". Proceeding Int.Conf."Probl. of theor.fiz.and Solid State Phys", Buchara 1997,p.26-27.

45. Ibadov R.M., Kadyshevsky "Quantum fiel Theory with the fundamental mass". Abstracts of The Second Uzbekistan conference "Modern problems of Nuclear Physics".Samarkand 1997 ,p.l87.

46. Ibadov R.M., Ibadova U.R., Umidullaev Sh.U., Ravshanova D.R. Quantum Field Teory with Fundamental mass. Structure of Particles and Niclei and their Interactions "Proc. of the Intern. Scholl-Seminar, Dubna, 1998, p.139-142.

47. Ибадов P.M., Равшанова Д.P. Фундаментальная масса и стохастическое квантование. Тезисы Научн. конф. актульным проблемам физики. Самарканд, 1998, 47-стр.

48. Ибадова У.Р., Саттарова Ш.Дж., Равшанова Д.Р. О решении уравнения КТП с фундаментальной массой. Тезисы Научн. конф. актульным проблемам физики. Самарканд, 1998, 48-стр.

49. Хакимов Ф.Х., Ибадова У.Р., Умидуллаев Ш.У., Равшанова Д.Р. О лагранжиане скалярного поля новой квантовой теории поля с фундаментальной массой. Доклады АН Республики Таджикистан, 1998, XLI, N3-4, стр.36-40.

50. Хакимов Ф.Х., Ибадова У.Р., Равшанова Д.Р. О лагранжиане спи-норного поля новой квантовой теории поля с фундаментальной массой. Доклады АН Республики Таджикистан 1998, XLI, N3-4, стр.4144.

51. Хакимов Ф.Х., Равшанова Д.Р. Об одном решении фундаментального уравнения Кадышевского и Ибадова. Доклады АН Республики Таджикистан. 1999. XLII, N9, стр. 10-14.

52. Хакимов Ф.Х., Равшанова Д.Р. Импульсное представление скалярного поля новой квантовой теории поля с фундаментальной массой. Доклады АН Республики Таджикистан 1999, XLII, N9, стр. 1518.

53. R.M. Ibadov and U.R. Ibadova "Quantum field theory with a new universal scale fundamental mass in the field of superhigh energies andsome experimental consequences" http://menu2001.phys.gwu.edu/menu2001/abs^

54. Umida Ibadova, Rustam Ibadov and Rashid Artikov "Spontaneous breaking of symmetry and fundamental mass" http://pheno.physics.wisc.edu/phe1

55. Rustam M.Ibadov, Umida R.Ibadova, and Dilbar R.Ravshanova "Concept of Stochastic Quantization of the Abelian Fields and Fundamental Mass" http://pheno.physics.wisc.edu/pheno01/ravshanova.pdf.

56. Watagin G.V., Zs.Phys., 88, 92 (1934).

57. Heisenberg W., Zs.Phys. 101, 533 (1936); Heisenberg W., Instoduction to the Unified field Teory of Elementary Paryicles, Iters. Publ., (1966).

58. Марков M.A., ЖЭТФ, 10, 1311 (1940).

59. Snyder H., Phys. Rev. 71, 38 (1947); 72, 68 (1947).

60. Yang C.N., Phys. Rev., 72, 874 (1947).

61. Markov M.A., Nucl.Phys., 10, 140 (1958); Komar A.A.and Markov M.A., Nucl.Phys., 12, 190 (1959).

62. Марков M.A., Гипероны и К-мезоны, ГИФМЛ, Москва, (1958).

63. Блохинцев Д.И., УФН, 61, 137 (1957).

64. Гольфанд Ю.А., ЖЭТФ, 37, 504 (1959).

65. Гольфанд Ю.А., ЖЭТФ, 43, 256 (1962).

66. Гольфанд Ю.А., ЖЭТФ, 44, 1248 (1963).

67. Tamm I.E., Proceedings of XII Intern. Conference on High Energy Physics, v.II, p.229; Atomizdat, Moscow (1964).

68. Tamm I.E., Proceedings of XII Intern. Conference on Elementary Particles, Kyoto (1965).

69. Блохинцев Д.И., Пространство и время в микромире, Москва, "Наука" (1982).

70. Ефимов Г.В., ЭЧАЯ, 1, вып. I, 256 (1970).

71. Ефимов Г.В., ЭЧАЯ, 5, вып. I, 233 (1973).

72. Alebastrov V.A. and Efimov G.V., Comm. jf Math. Physics, 31, 11973).

73. Alebastrov V.A. and Efimov G.V., Comm. jf Math.Physics, 38, 111974).

74. Соловьев M.A. и Файнберг В.А., В сборнике "Нелокальные,нелинейные и непренормируемые теории", препринт ОИЯИ, Д2-9788, Дубна, (1976).

75. Fubini S., CERN preprint, ТН 2129-CERN, (1976).

76. Bjorken J.D., In: Wnification of Elementary Forces and Gauge Theories Harwood Academic Publishere, p.701 (1979).

77. Grisaru M.T., Siegel N., Nucl.Phys., B201, p.292 (1982).

78. Mandelstam S., Nucl.Phys., B123, p.149 (1983).

79. Howe P.S., Stetle K.S., West P.C., Phys.Lett., B124, p.55 (1983).

80. Howe P.S., Stetle K.S., Townsend P.K., preprint Imperial College ICTP/82-83/20 (1983).

81. Васильев A.H., Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. Изд-во Ленинград, университета, Ленинград, (1976).

82. Розенфельд Б.А., Неевклидовы пространства "Наука", Москва, (1969).

83. Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я., Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. Обобщенные функции. Выпуск 5., Физматгиз, Москва, (1962).

84. Parisi G., Wu-Yong-Shi., Scientica Sinica, v.24, p.484 (1981).

85. Zwanziger D., Nucl.Phys., B192, p.259 (1981).

86. Rlauder J.R., Ezawa Y., Dell.Labs. preprint, (1982).

87. Gozzi E., Phys.Lett., B130, p.183 (1983).

88. Newton T.D., Wigner E.P., Rev. Mod. Phys., v.21, p.400 (1949).

89. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е., Некоторые вопросы теории диффен-циальных уравнений. Обобщенные функции. Выпуск 3., Физматгиз, Москва, (1958).

90. De Alfaro V., Fubini S., Furlan G., Nuovo Cim., v.74A, No.4, p.365 (1983).

91. Stuckelberg E.G., Helv. Phys. Acta 11, p225 (1938).

92. Schwinger J., Phys. Rev., v.115, No.3, p.721 (1959).

93. Osterwalder K., Schrader R., Helvetice Physics Acta, v.46, p.289 (1973).

94. Markov M.A., Supplement of the Progress of Theoretical Physics. Commemoration Issue for 30-th Anniversary of Meson Theory by Dr. Yukawa H., p.85 (1965).

95. Марков M.A., ЖЭТФ, т.51, c.878 (1966).

96. Markov V.A., preprint INR P-0207 (1981).

97. Тиханов A.H., Арсенов В.А.,Методы решения некорректных задач., Москва, "Наука", (1986).

98. Швебер С., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля. ИИЛ., Москва (1963).

99. Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс. Москва, "Мир", (1984).

100. Floratos Е., Illopoulos J., Nucl. Phys., B.214, p.392 (1983).

101. Nakagoshi H., Namiki M., Okano К., Progr. Theor. Phys., 70, p.326 (1983).

102. Sohnius M.F., Stellr K.S., West P.C., Nucl. Phys., B173, p.127 (1980).

103. Wess J., Zumino В., Nucl.Phys., B.70, p.39 (1974).

104. Greutz M., Quarks, Gluons and Lattices Cambridge University Press, Cambridge (1983).

105. Alguard M.J., Ash W.W., Baum G., Bergstrom M.R. a.o. Dep-Inelastic e-p Asymmetry Measurements and Comparison with the Bjorken Sum Rule and Models of Proton Spin Strukture. Phys. Rev. Lett., v741, p.70 (1978).

106. Ахиезер А.И., Верестецкий Б.В. "Квантовая электродинамика", Физ. мат. изд., Москва (1984).