Фундаментальные решения уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами тема автореферата и диссертации по , 01.00.00 ВАК РФ

ФЬЪ-1

ЮСЮВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Ш.М.В. ЛОЮЮСОВА МЕХАНЙКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

ГОЛУБЕВА В»А*

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РШНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ГОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Диссертация вэ еоискэние ученой степени кандидата $изико-математических неук

Научный руководитель

чл.-Еорр. АН СССР проф. ГЕЛЬФЩ И.М.

Москва, 1962«

Содержание*

Введение.

Глава X. Свойства функции в вещественвой

пло оао сти

§ I, Вывод формулы для фундаментального решения. § 2. Конструкция функции Е/*>у} § 3. Теорема о локальвой аналитичности функции

Глава П» Поведение функции В/х^) в окрестности особых точек кривой Г /) ~ О

Вводе вне.

I* Рассмотрим решение линейного уравнения в частных производных с постоянными вещественными коэффициентами с тремя независимыми переменными

мы бу?.. ....... . .

Мальгранж доказал существование фундаментального решенщ для произвольного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами [ij , однако, конструкции фундаментального решения он не дал* В случае, когда неприводимая алгебраическая кривая 1) ~Р не имеет вещественных особых точек, формулы для фундаментального решения впервые были получены Цейлоном Сil • В.А.Боровиков показал, что Фундаментальное решение является локально аналитической функцией во всех точках пространства Я5 , исключая точки характеристического конуса оператора / I3] . Buy принадлежит также исследование поведения фундаментального решения в окрестности обыкновенной точки характеристического конуса оператора^,

2* Цель настоящей работы - построение фундаментального решения в елучае, когда алгебраическая кривая имеет простейшие особые точки* Мы покажем, что и г этом слу-

где

ни ;

<

является локально аналитической

- г -

функцией во всех точках пространства Л , исключая точки характеристического конуса оператора

£ ¿*] . Затем мы приведем исследование функции

в окрестности особых точек характеристического конуса УСоператора ^ в случае, когда неприводимая алгебраическая кривая ¿/^(^^-О имеет простейшие особые точки /особые точки второго порядка ,

Случай, когда алгебраическая кривая fJ~ & имеет

особые точки более высокого порядка, монно, по-видимому, исследовать тем же методом« Однако, для этого необходимо предвг рительное детальное исследование структуры этих особых точек. Заметим, что изучением множества особенностей фундаментального решения общего дифференциального оператора занимался также В«П.Паламодог*

3. Опишем вкратце метод исследования функции в окрестности точки характеристического конуса Жо оператора . Цейлону принадлежит следующая формула для функции

I) /V:

с> / ¿тщ/г I 4

интегрирование в каждом члене суммы производится по алгебраической кривой от некоторой фиксированной вещественной точки до точки пересечения этой кривой с пряной + -о » координата /Ьу/^у,*) которой - один из гги корней следующего алгебраического уравнения:

суммирование производится по всей корням этого уравнения, причем, при Х^О

Ши У/к

{у\> \ 3. '

о к^ш X. д о,

При Г

Ши ¿¿ли

ь-у'

( Р/ аии Лк.

Мы увидим ниже, что из уча вив функции в ок-

рестности точки характеристического конуса можно свести к изучению функции ^ в ок-

рестности точки алгебраической кривой Г/^^' .

Легко показать, что алгебраическая кривая Г -О является двойственной Гл] [?] к алгебраической кривой

/

{р к(р ) - ¿(¿(р, .

Поэтому мы опишем метод исследования функции ¿'/х/^/

в окрестности точки алгебраической кривой Г /*/ ч/ - & •

г/ , Ф 1 ТС ,

/V А % '

где -корни следующего алгебраического урэвне-

вия:

/5/ (Щ-кн+м, ^о..

4* Пусть мы хотим получить разложение функции В з окрестности точки lъ,ryoJ алгебраической кривой

ГО .

Сумму /4/ можно разбить на две части: одну - дающую аналитический вклад в окрестности рассматриваемой точки, другую - дающую неавалитический вклад в окрестности рассматриваемой точки« Пусть

№

- I

(¿у/гру

2ж Г 1*-1) 1

А"

- один из членов суммы, дающих неаналитический вклад в окрестности рассматриваемой точки. Не ограничивая общности, можно считать, что р? --Д♦

В окрестности точки (х*^* ) выберем локальные координаты /выбор локальных координат зависит

от типа рассматриваемой особой точкц/. Выберем путь интегрирования в интеграле /6/, лежащий в окрестности точки алгебраической кривой О (ч^)* о. ¿(¿но^изул и^хли^м ^в^креётности точки (*/<>", ¡ъу) ,можно найти первые члены разложения подынтегральной.функции интеграла /6/ в ряд по степеням • Интегрируя этот ряд и иодставляя

затем локальное разложение верхнего предела в

окрестности точки ) по степеням параметров //, к,

мы получим первый член разложения интеграле /6/ в окрестности точки (лс/(у0 ) по степеням локальных параметров и}у

- 5 -

Локальное разложение верхнего предела //У*>// находится следующим образом. В локальном уравнении кривой с в окрестности точки по-

лагаем ^ ' х 9 затем вводим локальные пара-

метры и, у • Применив затем метод Пюизе-Нынона ,

мы получим первый член разложения функции м* в ок-

рестности точки по степеням локальных парамет-

ров и,у .

Мы лишь схематически описали метод исследования функции £ /у, у) в окрестности точки алгебраической кривой

Г/**$) ~ о * 5 случае, когда точка кри-

вой Гсоответствует особой точке кри-

вой с , нельзя ограничиваться рассмотрением

одного члена суммы /4/, так как не всегда один такой член име ет смысл; тогда приходится рассматривать сумму нескольких членов, которая уже определена, и, конечно, вы&р пути интегрирования в этом случае сложнее.

5. Работа состоит из двух частей.

В первой части работы содержится вывод формулы для функции ¿(^¡Уг*) в случае, когда алгебраическая кривая - О имеет особые точки. Затем, используя результаты Ф.Клейна по теории римановых поверхностей алгебраических кривых />У , мы даем конструкцию функции

О . Доказывается также теореме о ло-

кальной аналитичиости функции Е 1х,у) во всех точках вещественной плоскости ос,^ 9 исключая точки алгебраической кривой Г/и^-с

Во второй части работы приведено исследование функции

■» 6 ™

в окрестности особых точек алгебраической кривой Г /**#)= о

В приложении мы доказываем сходимость интеграла, которым определяется функция

__ГЛАВА I.

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Et*'у) В ВЕЩЕСТВЕННОЙ ШЮСЮСТИ.

§ I« Вывод формулы для фундаментального решения.

В настоящем параграфе мы дадим вывод формулы для фундаментального решения оператора £ в случае, когда неприводимая алгебраическая кривая О = р имеет вещественные особые точки. Этот вывод по существу не отличается от вывода Цейлона А7 соответствующей формулы для случая, когда алгебраическая кривая -^tf//, f/ - с не имеет вещественных особых точек. Поэтому мы изложим вывод Цейлона для функции £(zfyt&) , а затем докажем его корректность в случае, когда алгебраическая кривая

<£/~о имеет вещественные особые точки. Правда, в последнем случае, имеются некоторые особенности в истолковании окончательной формулы. Но этот вопрос будет рассматриваться ниже*

I. Получим формулу для решения уравнения

где ¿(¿¡р,^) - неприводимый однородный полином степени Уч , удовлетворяющий условию: //су /J^ о

Известно [?] , что решение этого уравнения выражается следующим тройным интегралом:

■f-oe , /

/ Ч*- /» f Г „

« tfo'h J / **

"ОС

Этот интеграл, вообще говоря, расходится, так как знаменатель подынтегрального выражения обращается в нуль на множестве интегрирования. Мы будем понимать этот интеграл следующим образом.

Рассмотрим вместо интеграла /7/ следующий интеграл:

^ ' ' f 4

Знаменатель подынтегрального выражения и здесь обращается в нуль на множестве интегрирования, но множество нулей имеет теперь более низкую размерность. Однако, и этот интеграл может расходиться. Покажем, что его можно регуляризовэть, испол зуя некоторое решение однородного уравнения:

/э/

3. Построим соответствуиций регуляризованный интеграл.

Знаменатель подынтегрального выражения интеграла /7/ при вещественных я^ имеет уи^ корней Д'Ч/У » вещественных или комплексных. Корни урав-

нения - о при вещественных будут

комплексными и равными соответственно г)/s+t'e) 4

Если корень р*' был вещественным, то соответствую-

щий корень у) будет комплексным, Ёсли корень

f$¿Uy¿) был комплексным, то соответствующий корень A^í^iW также будет комплексным, однако, при не ко

торых частных значениях вещественных переменных его

мнимая часть может обратиться в нуль. Множество вещественных

нулей знаменателя подынтегрального выражения /8/ находится следующий образом.

Разделим вещественную и мнимую части полиноме

/А'/А'У) : ¿А Д, г) -- /А ал ^Няг, О.

Я + то где и только тогда, когда .

Два конуса К ~ 4 ' О пересекаются по некоторому чи-

слу прямых, вещественных или комплексных. Пусть уравнения этих прямых имеют следующий вид:

/10/ ы г (¿¡^ - , »

Ясно, что множество вещественных нулей полинома

¿А/

, у) совпадается смножеством вещественных прямых

В дальнейшем мы будем рассматривать совокупность прямых с уравнениями:

* - £ Ду</> / = 1г /Щ. Ясно, что множество вещественных и комплексных нулей знаменателя подынтегрального выражения /8/ содержится в этой совокуп ности прямых, а именно, оно совпадает с множеством пряных с уравнениями: <* Г* П) Г, / -

/при е — о эти прямые имеют некоторые фиксированные предельные положения 1

в пределе некоторые из этих прямых сливаются/.

Построим теперь следующую функцию:

где

^ и ^' - достаточно большие натуральные числа. Эта функция обладает следующими свойствами:

1. Значение функции £) на прямой

совпадает со значением функции на той же прямой.

2. Отрезок ряда Тэйлора функции ъ окрестности точки и ^ р 0 совпадает с отрезком ряда Тзйлора функции С ' в окрестности начала координэт /доказательство того факта, что интерполяционной полином Лагран жа для функции двух комплексных переменных при стягивании узлов интерполяции к началу координат стремится к ряду Тзйлора интерполируемой функции см. в книге Березина И.С. и Жидкова Н.П. М /.

3. При /ы ¿тр2^3- ..> о функция ^ достаточно быстр убывает.

Вычтем функцию

из числителя

подынтегрального выражения /8/. С точностью до решения однородного уравнения можно теперь написать:

Г«*

-со'«о -л» ' / />/// О /

/сходимость регуляризованного интеграла /13/ доказывается в приложении/.

3* Однако, нам удобнее будет рассматривать другую функцию.

Аналогично предыдущему можно построить функцию

■Гц*е -?-9*>

. I Ьс.

— //У

Определим теперь следующую функцию:

/14/ - Ш' С '<**)] ■

В приложении мы докажем, что предел

функции

¿Д^/^^У при £ , стремящемся к нулю, является фундаментальным решением оператора ¿С 4. Преобразуем теперь функцию

Ради удобства изложения преобразуем сначала функцию

Н м- Л/

Сделаем в интеграле /13/ следующую замену переменных: Мы получим

«г '/< / 111 ГЧ1*,£г(,0 ™

Проинтегрируем по # н-з раза по частям. Формул

для функции примет следующий вид:

/к/ £

"III ГМ •

Легко убедиться, что интеграл

Т3<7 ^ —• Г«-' I .

л / г Р г,

/16// /у, У г/,......./ / -г—

"С

отличается от интеграла /15/ на решение однородного уравнения:

//* -г г /и ~с

¿{Г* / /'¿г уъ*/ и

Поэтому можно считать, что

4Ы-щъ¿11"

если понимать интеграл по ^ в смысле главного значения. Выполним интегрирование по >- . Известно, что

В интеграле, полученном после интегрирования по у , положим:

, м - 3

ы

- f/Х у/

Мы получим, считая * ^ 0 ,

/18/<vW-JFFH IJll'Mt

/ - оо -ъс 2 ^

Прибавим к правой части полином степени /и -j относи-

тельно переменных

fac TV т«х>

. ^ Y-t/'f'V

Получим, иопользуя георему о вычетах,

' 7 -«о -дар

4г Г/* v-fih/rHhfi) где

а суммирование производится по всем комплексным корням положительной мнимой частью следующего уравнения:

/20/

Аналогично можно получить формулу для функции 5

/2т/ Р ( i l' í éLj 'Á _

;

где

/л

/-ÍS '_

■и '

а суммирование производится по всем комплексным корням положительной мнимой частью следующего уравнения:

/22/

/(-¡Г Л'О'С >

- 14 -

Используя теперь формулу /14/ и устремляя £ к нулю, мы получим:

. /»/ / ; г л . ы-^/"'3

/23/

суммирование в этой формуле производится по всем корням следующего уравнения:

г

// Ши Л, д ^о

/

в у М г , х А " ^

¿7 -йГ с? .

I ^

Дифференцируя уравнение /24/» получим:

Переходя в формуле /23/ вновь к интегрированию по ^ , мы получим:

/25/ ^ / ^^

» / ^

где через «V обозначены различные ветви алгебраической функции у - ж^(р/ » определенной следующим урэвне-

нием

Иными словами, интегрирование в каждом члене суммы /25/ производится по алгебраической кривой О от

произвольной фиксированной точки этой кривой до точки пере-

- 15 -

се49вия этой кривой с прямой

кроме того, при су равны соответственно»

! ' / - ^ I // ^^ ^ Л ^ с /

^ /V ^ с .

V / *

Легко убедиться, что изменевие нижних пределов интегралов суммы /25/ ведет к изменению функции на полином степени м-з относительно переменных х^-г. Предположим, что нижние пределы этих интегралов - координаты р/ вещественных точек алгебраической кривой /) ~ &

Заметим теперь, что в формуле /23/ интегрирование производится по следующему множеству на алгебраической кривой

//*>/' О " 0 :

(ык?^; * с , где -вещественны. Следовательно, ^

меняет знак при с . Отсюда следует, что та же фор-

мула дает выражение для функции и при * <о

интегрирование в различных членах суммы /25/ производится по-прежнему от тех же фиксированных вещественных точек кривой ¿[->?1 д, //-" ^ до точек пересечения этой кривой с прямой 4 л * г ; при с ^ равны

соответственно,

г

{( и^и Ущ /1, <с /

{ I / ¿^ -- А -о

1 *

^ 0/ есеси Уп* Д /л у,

В справедливости этого утверждения можно было бы убедиться не по средствевно, если проделать те же выкладки в предположении >< ^ с .В результате этих выкладок

можно видеть, что полиномы степени *** 3 относительно переменных & ■ , с точностью до вторых получается

формула /25/, при х и при ^ < с одинаковы.

5. Посмотрим теперь, как изменяется вывод формулы /25/ в случае, если алгебраическая кривая М*//*,^ -о имеет вещественные особые точки.

а/Конструкция функции в этом случае

сохраняется. Прямые определяются полиномом

* Сходимость регуляризоваиного интеграла /12/ доказывается в приложении. То же можно сказать и относительно функции ^74-АЛ .

б/ сохраняется вывод формулы /25/ лишь со следующими замечаниями.

Формула /25/ получается в результате замены переменных в формуле /23/ и изменения порядка интегрирования и суммирования. Формула /23/ получена в результате применения теоремы о вычетах к интегрированию по в формулах /19/, /21/.

В случае, если кривая У/^^ f^-c имеет вещественные особые точки, знаменатели некоторых членов суммы /19/, /21/ обращаются в нуль /вместо полюса первого порядка возникает полюс более высокого порядка/. Однако, легко убедиться, что

сумме интегралов /19/, /21/ остается регулярной. Следователь-

во, регулярна и функция *)] ,

а также и ее предел при с , стремящейся к нулю.

Знаменатели подынтегральных выражений некоторых членов суммы /25/ также обращаются в нуль в особых точках кривой

/)- * » 0СЗШ пУгь интегрирования проходит через особую точку. Некоторые из интегралов суммы не имеют смысла. Тек как мы предположили, что кривая 6, о имеет вещественные особые точки второго порядка, то, еслй путь интегрирования проходит через особую точку, в текой особой точке в нуль обращается знаменатели двух интегралов суммы /25/. Мы убедимся ниже, что верхние пределы этих двух интегралов в окрестности соответствующей точки )

плоскости х, у одинаковы. Поэтому, в окрестности особой точки можно переставить порядок суммирования и интегрирования. После суммирования двух особых подынтегральных выражений мы получаем регулярную функцию, которую затем необходимо проинтегрировать в указанных пределах* Мы определим таким обрезом регудяризованную сумму интегралов.

В заключение настоящего параграфа сделаем одедуадее замечание.

Легко видеть, что изучение функции в

пространстве $ л можно свести к изучению функции

^ в вещественной плоскости В самом деле, полагая в формуле /25/ £ - / , мы полу чим:

./у А, у/

г/ / < Г ,1 < " ^ &

/26/ £/<'}/- '-" У .........'

интегрирование в каждом члене суммы производится по алгебра*

- 18 -

ческой кривой ¿Ьа О--* от произвольной фиксированной вещественной точки этой кривой до точки пересечения этой кривой с прямой к * * / - с , координата А А/У которой - один из гп корней следующего алгебраического уравнения:

/27/ /('г /^/^л А О

при ^ с

( ^ Ма/ Мг р* Лд^ > о ,

( 0 У* А < О /

при Х*о Г у

) 4 , Ш» ¿К А * *, р или X Ыл) го .

V ' ~

§ 2. Конструкция функции Е

В предыдущем параграфе мы выведи формулу для функции

• В настоящем параграфе мы будем заниматься изучением вещественной части функции • Легко видеть, что вещественная часть функции тоже является решением уравнения /I/. Мы показали, что изучение функции 6 ъ) можно свести к изучению функции

,и, следовательно, изучение функции & Ку,¿) - к изучению функции А Ь Обозначим вещественную часть функции также через

/это 00 вызовет недоразумений, так как в дальнейшем мы не будем иметь дела с самой функцией / Итак, мы займемся изучением структуры функции £//,у)

- 19 -

в вещественной плоскости х>% :

/28/ Ж^ - 21 * / *

А

/здесь и всюду в дальнейшем используется обозначение;

/* интегрирование- а каждом члеве суммы совершается по алгебраической кривой от

фиксированной веществевной точки до точки пересе-

чения этой кривой с прямой **гру */ ^ с , координате /у/у, у/ которой является корнем след�