Функциональная модель и оценки сжимающих операторных цепей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ км.В.А.СТЕКЛОЗА САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ОТДЕЛЬНОЕ

На правах рукописи

ВАСЮНИН Василий Иванович

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ И ОЦЕНКИ СЖИМА11ДИХ ОПЕРАТОРНЫХ ЦЕПЕЙ

01.01.01 - функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени док гора физико-математических наук

Санкт-Петербург 19 9 2

Работа выполнена в Санкт-Петербургском отделении Математического института им.В.А.Стеклова Российской Академии наук.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОН'^ЧТЫ: док'ир физико-математических наук

профессор ХАВКН В.П. доктор физико-математических наук ХРУЩЕВ C.B.

доктор физико-математических наук профессор ШИРОКОВ H.A.

ВЕДУШДЯ ОРГАН' ")АЦШ Институт прикладной математики и

механики Украиьекой АН, г.Донецк

Защита состоится I октября 1992 г. в 14.00 часов на заседании Специализированного совета Д 002.38.04 пр.. Санкт-Петг бургском отделении Математического института им.В.А.Стеклова РАН (г.Санкт-Петербург, Фонтанка, 27).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института имени В.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан " ^ " 1992 г.

.''ченый секретарь спецкал! . :рованного совета, /Т^/Гх

доктор физ.-матем.наук,пр0фесс0|у\л ' А.П.Осколков

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность темы и общая методика исследования. Дцссь^ тация объединяет две тгчы, связанные общей методикой исследования. Первая посвящена развитию конструкции, функциональной модели, операторов в гильбертовом пространстве. Вторая - выросшая из доказательства де Бранжа гипотезы Бибербаха - посвящена оценкам сжимающих операторных цепей, фа внешней полной независимости этих частей диссертации их объединяет тог что и та и другая расположены на стыка теории операторов и теории функций. Взаимопроникновение.' этих облаете." является весьма плодотворным для каждой из них. Если в первой части в большей степени. методы и понятия теории аналитических функций используются для получения теоретико-операторных р.зультатов (хотя в этой области: многочисленны примеры и обратного влияния), то во второй части картина противоположная: абстрактные построения носят чисто операторный характер, а приложения они находят в области: классической теории функций.

Функциональные- модели, которым поезящена первая часть диссертации, очень широко•применяются в теории операторов. В самом общем смысле модель - это фиксированный представитель класса эквивалентных операторов. Классический пример: жордано-ва форма матрицы - модель конечномерного оператора, рассматриваемого с точностью до подобия.

Преимущества, которые дает использование модели, заключается не только, и дажа не столько, в том, что мы выбираем для изучения самый простой в каком-либо смысле объект среди, ему эквивалентных, сколько в том, что этот объект обладает дополнительными. структурами. В этом причина исключительной продуктивности функциональных моделей.

Шжалуй, наиболее широкую облает* испсх; .зования имеет модель нормального (особенно самосопряженного я' унитарного) оператора, которую дает спектральная теорема: нормальный оператор представляется оператором умножения на ].зависимую переменную в пространстве квадратично суммируемых функций, заданных на спектре опере ора.

Почти тридцать лет назад появилась функциональная модель для сжатий в гильбертовом пространстве, построенная на основе спектральной модели, для унитарной дилатации соответствующего сжатия. Аналогично модель для диссипативного оператора порождалась самосопряженной дилатацией. В завершенном виде конструкция этой модели опубликована в кь^ге Б.Секефальви-Шдя-Ч. Фойаша , хотя пионерские работы в этом направлении и введение самого понятия характеристической функции принадлежит М.С.Лившицу .

Практически независимо и совсем на другом языке строят свою модель Л.де Бранж и Дл.Ровн^к , их конструкции, более явно связаны с теорией рассеяния. Фактически, не называя слова "модель", и не столько в абстрактном контексте, сколько для конкретных задач математической физики, строят модель П.Лаке и Р.Филлипс . Также для исследования задач теории рассеяния, но уже явно опираясь на работы С.-Надя и Фойаша, модифицирует их модель Б.С.Павлов .

В диссертации строится так называемая "бескоординатная модель", которая при выбора конкретного "координатного представления" превращается в модель Шдя-Фойаша, де Бранжа-Ровня-

^Секефальви-Радь Б., Фойаш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве. М.,Мир. 1970.

2)

Лившиц М.С. Об одном классе линейных операторов в гильбертовом пространстве. Мат.сб. 1946. Т.19. С.239-262.

<1е Вгапдел Ь., Яагп^ак 3- Сапо*иса£ то^ей ш цшнЛшп зм0ег'1нд tkc£»г^.-Iн: Рег1игЬа1и>п ^оту апА & аррксаи,0Щ иг йиаЖи*-- Лескслиса, , Меи? Цогк, «¿б. 235-392.

4^Лакс П., Филлипс Р. Теория рассеяния. М., Мир. 1971..

5)

Павлов Б.С. Условия отделимости спектральных компонент диссипативного оператора. -Изв. АР СССР. Сер. матем. 1975. Т. 39 . И I. С. 123-148.■

ка, Павлова, или принимает другие, формы.

. Во второй части работы строится аппарат квазиортогональных рядов и интегралов, основанный на понятии комплементарного подпространства в том же смысле, в каком ортогональные ряды и интегралы строятся из операции, ортогонального дополнения. Соответствующие, интегральные представления элементов исходного пространства сопровождаются некоторыми, неравенствами (типа неравенства Бесселя) с описанием случаев, когда они превращаются в равенства. Фактически речь идет о коизометрических (т.е. сопряженных с изометрическими) представлениях, опирающихся на некоммутативный аналог неравенства Коши-Буняковского-Шарца.

В качестве следствия общих конструкций предлагаются как известные оценки коэффициентов однолистных функций(в частности, результаты де Бранжа и Ровняка , '¿ак и некоторые другие. Следует отметить, однако, здесь совсем не затрагиваются возможные иные приложения развитой теории к оценкам сжимающих цепей.

ручная новизна. В диссертации построена "бескоординаг-ная" функциональная модель для сжатий, обобщающая известные ранее модели. Построенная на этой основе модель для несжямакь ííórx операторов использована для юл учения критерия устойчивости непрерывного спектра почти унитарных сжатий. Кроме того в терминах функциональной модель найдена формула для кратности спектра сжатий с у вечными дефектами, подсчитана характеристика díte для некоторого класса операторов и проведена квазиподобная класс!.,,икация сжатий с конечным дефектом и индексом Фредгольма -I.

*a)de Biawgci L. Л р-их$ of tke Bieleihach CMjectwte. - Ata Mafti.,

1905, V. 154 . 131-152. Qjde 6гши)И L. Pourew of foewwtn Mappáuj Fanctiwti.-In.: The ВUbeiíark

CcHjectuze.PuxetA'utqi o}tke 5yi*pcniu*n. он tke, 0сш1оп 4 tke Puxf. AMS, fhovidence. -1966.

Rotmyak У. CoegicUnt e4ti**atcj |ot Rictnatm mappwq ¡..nd-i^i. — y. á'f atpe- Matíx., 1SÍ9. v.52, 53-93.

■ - 6 -

Построена теория оценивания решений эволюционных уравнений, основанная на коизометрических представлениях. Продемонстрирована эффективность метода в применении к оценкам коэф -фициентов однолистных функций.'

Приложения. Диссертация носит теоретический, характер и результаты могут найти, црименение в смежных областях математического анализа. Значительное, число конкретных приложений теоретических методов включено в саму диссертацию. Следует отме- 1 тить, что если круг приложений функциональной модели уже в значительно!' степени сложился, то возможности использования квазиорто- .'йьных разложений для получения различных оценок' раскрыты далеко не полностью.

Апробация- -работы. Результаты диссертации докладывалась в разные гОды во Всесоюзной школе по теории, операторов в функциональных, пространствах, да семинара по комплексному и линейному анализу ЛОМИ-ЛГУ, на общематаматическом семинаре МИАН, на семинара проф. Б.Секефальви-Надя (Сегед, Венгрия), на семеот-ре по теории, операторов в Институте Миттаг-Деффлера (Стокгольм, Швеция), на семинарах университетов г.Лейпцига и г.Хемница (Германия), в Международном Математическом центре им.Стефана Банаха (Варпйва, Польша), на Х1У, XIX и XXI'Международных семинарах по функциональному анализу (Чехословакия). По первой части был прочитан кура лекций в Математическом института Чехословацкой Академии Наук, по второй части - в Университете Г.Севилья (Испания).

Публикации. Основные.результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.Диссертация состоит из общего введения и двух частей. Первая часть содержит шесть параграфов, вторая - восемь. В список цитируемой литературы включено ИЗ названий.

ОБЗОР СОДЕРКАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ , .

Как ужа упоминалось, первая часть диссертации посвящена ^строению бескоорданатной функциональной модели и приложениям

_ 7 -

этой техники к различным вопросам спектральной теории.

Авторы разных школ используют в своих работах различные модели. С абстрактной точки зрения ясно, что все модели в каком-то смысле, должны быть эквивалентными уже хотя бы потому, что каждая дает представление, унитарно эквивалентное исследуемому оператору. Но в каком смысле их можно считать различными формами одной и той же. модели ? Ответ на этот вопрос предлагается в § I первой части, где строится так называемая бескоординатная модель, а уже выбор конкретного "координатного представления" дает запись модели в форме или С.'Надя-Фой-аша, или де Бранжа-Ровняка, в форме, предложенной Б.С.Павловым и в других формах. Предлагается как бы "остановиться- на полпути" в стандартной процедуре построения модели, на полпути от унитарной дилатации (если говорить о сжатых) до конкретного вида модельного оператора, после исследования струы-уры пространства минимальной унитарной дилатации и установления существования - говоря языком теории, рассеяния - ортогональных уходящего и приходящего подпространств и соответствующих волновых операторов, т.е. изометрических операторов, осуществляющих спектральное, представление частей унитарной дилатации эквивалентных двустороннему сдвг-7, после всего этого аксиоматически зафиксировать эти объекты и считать их основными объектами бескоординатной модели.

А именно, вол". Т - сжатие в гильбертовом пространстве и в - его характеристическая функция, то аксиоматически определим гильбертовы пространства % , Е, Е# и отображение П = = (J£#,jí): L(E,) Ф L(E)—*% следующими условиями:

1) Жж. Е -«uvkU-ГТ); dún. Е,-га*к(1-ТТ*);

2) операторы % и Л» являются изометриями;

3) опера юр л- это оператор умножения на функцию, эквивалентную в '<

4) cloi Ra**qe П = %.

Перечисленные свойства обеспечива /г унитарн сть оператора ti-

% , задаваемого сплетающим соотношением Пй= tin . После чего модельное пространство %д и модельный оператор Mfl определяются равенствами

Ив-Яе^н.СуаяЙ'сЕ)].

Ме = Ре UI ЭСв,

-К*

где Pe = I-3tf^j[ - ортопроектор в % на подцространстг

во

Тех дополнительных структур, что вносятся вложениями Ж и JF* , в большинстве случаев оказывается достаточно, и выкладки в терминах такой модели оказываются часто нагляднее и короче , чем в каком-либо "координатном" представлении., которое, мы получпм.выбрав конкретную реализацию пространства минимальной унитарной дилатации (обычно выбирается некоторый вес V/ и % =

и конкретный вид вложений Л и , который дает любое решение уравнения

'I 61

ггл

0*

Параметризация возможных "координатных представлений" функциональной модели и некоторые конкретные примеры последних содержатся в п. п. 1.12 - 1.19 § I.

Сами термины "бескоординатная модель" или "координатное представление" навеяны аналогией с линейной алгеброй, где часто бескоордаг-атный подход является более естественным и продуктивным, хотя для решения определенной задачи бывает удобно фиксировать какой-то конкретный базис.

Во втором параграфе строится в бескоординатной форме модель произвольного ограниченно!л оператора, уже не обязательно являющегося сжатием. Разумеется, произвольный ограниченный оператор становится сжатием после умножения на достаточно малую константу, при этом однако будут практически утрачены те преимущества, которые дает использование модели. Модель работает тем эффективнее, чем ближе, исследуемое сжатие к унитарному оператору, т.е. чем "меньше" дефектные, операторы X - Т*Т и

I - ТТ . Желательно построить столь же эффективную модель при том же условии малости этих операторов, но отказавшись от их положительности.

Здесь используется подход С.Н.ШОоко, который предложил исследовать оператор близкий к самосопряженному в терминах модели некоторого близкого вспомогательного диссипятивного оператора. В да гной работе предлагается описание естественного класса операторов, которые удобно рассматривать в терминах модели фиксированного сжатия. В этом параграфе собраны технические результаты: в модельных терминах дается описание спектра и формулы дая резольвенты, выделение сингулярного и абсолютно непрерывного подпространств; здесь собраны те сведения, которые необходимы для доказательства критерия устойчивости непрерывного спектра почти унитарных операторов. А именно в § 3 доказана следующая теорема.

1&сть Ь - оператор в сепзрабельном гильбертовом пространстве такой, что и его спектр б"(Ь) не покрывает весь единичный круг Ю . Тогда следующие утверждения равносильны:

1) Непрерывный спектр устойчив относительно одномерных возмущений.

2) Непрерывный спектр устойчив относительно ядерных возмущений.

3) Существует подмножество единичной окружности,имеющее положительную лебегову меру, такое что значения характеристической функции . £е И . являются ^--унитарными операторами и &(Х)=0, где & - спектральная мера унитарной части оператора Ь.

§ 4' посвящен вычислению кратности спектра сжат 1й с конечными дефектами, т.е. отличающихся от унитарных конечномерным слагаемым. Все вычисления проводятся на функциональной модели и для формулировки полученного результата используются термины.

8)

Набоко С.Н. Абсолютно непрерывный спектр неднсси чтивного оператора и функциональная модель. I.Г — Записки научн.семин. ЛОМИ. 1У76. Т.65. С.90-102; 197":. Т.73. С.48-135.

■ - 10 -

связанные с характеристической функцией оператора. Для кратности спектра JXr оператора Т, действующего в гильбертовом пространстве Н,

^ Ü muir { dim L: дран (т\ : k>0) - H } ,

доказана следующая формула

juT«= та® (jit^ , ^олСЛ.Ла'б .£*)]■

Использованные здесь обозначения имеют следующий смыся. IfycTb Т =U$Ta разложение сжатия Т в сумму унитарного и вполне неунитарного слагаемых. Оператор U, в свою очередь представим в виде суммы U = lis Ф Ua сингулярного Us и абсолютно непрерывного унитарных операторов. Так что /íUs - кратность спектра сингулярной унитарной части оператора Т. Символом % обозначается размерность одного из дефектных подпространств:

Если Q - характеристическая функция вполне не унитарной части Та оператора Т, то i^S-Ranl<0, т.е. шикпри почти

всех £ , \ Х, Г— А . Характеристическая функция в допускает регулярную факторизацию вида

где функция является внутренней и »-внешней, 0^-двусторон-не внутренней, 0()-двусторонна внешней и 0W-внешней и »-внутренней. Матрица-функция бм имеет размеры ъхъ , и пусть t„ -мгюимальный порядок миноров матрицы обладающих тем свойством, что множество миноров порядка ъ0 не имеет общих внутренних делителей. Тогда ал

л - t - \ ,

т.е. - это кратность спектра оператора с характеристической функцией дм .

Пусть далее JK-a(£) - функция Кратности спектра унитарного оператора Пл , #

wHiid-e^ft) ^оо),

тогда

Sa

jw ^ eamp

(«1-Й

Г^сть . - идеал в классе Смирнова N , порожденный минорами М*(0,о) порядка V матрицы-функции в40 (здесь 1 = = { ,..., ¿г} - мультииндекс порядка "С ). Положим тогда

I, если Уе + »

О, если Зв М+ .

Другими словами, £ = 0, если существует семейство ^ ограниченных аналитических в единичном круге, функций, таких, что функция М^е,) является внешней; в противном случае

6= I. Т 4

I —

Шраметр определяется следующим образом I, если ъ < Э ,

О, если ь —д t

где 3 - размерность другого дефектного подпространства: д — mnJ<(I-T*T). •

В следующем параграфа для несколько более узкого клаоса сжатий, а именно, для прямых сумм вида

T-S*© ttes^® т0,

где It - унитарный оператор, -Т0 - сжатие класса CQ, и S^ - односторонний сдвиг кратности JU, , вычисляется величина disc Т, близкая к кратности спектра характеристики решетки инвариантных подпространств и возникшая на основе понятий теории управления . Если символом СусА обозначить совокупность конечномерных циклических подпространств оператора А, т.е. таких Lc Н , iUL<оо , что span [ ДКЬ : к > 0 } — Н , то

9)

Васюнин В.И..Никольский Н.К. Управляющие подпространства минимальной размерности. Элементарное введение. ШхсоЬкеса .-Запи научн.семинаров ЛОМИ. 1981. Т. 113. С. 41-75.

кратность опектра JU^ есть тш{Мш L: L е: Су с А} . а величина disc определяется выражением

J а № i ' ' '

disc А — sup им+v[ct:m-L : Lc:L,L^Cyc A j. te%A

Дня операторов указанного вида получена формула

disc Т - шКС {ß. , Я+тагеО,Д. k +jtta+ ju*)}.

Здеоь дополнительного пояснения требует лишь оимвол JU-a¡

¿tft - É46 >1.аСО. 4*1-1

Наконец, порледний параграф первой части посвящен класси-фикац-ч сжатий относительно квазиподобия. Б.Секефальви-Надь и Ч.Фойаш получили полнув классификацию С0-сжатий, построив для этого класса жорданову модель . П.Ю.Ву распространил классификацию на произвольные слабые сжатия . Естественным следу вдиы шагом является вопрос о квазиподобии операторов класса CjQ. В данном' параграфа научаются сжатия класса Cjq с индек-.

оом Фредгольма -I. Основным результатом является следующее утверждение. Цусть и в, две внутренние к-внешние матрицы-функции размера t^xity-l) и H^xí«-,-!) , которые являются характеристическими функциями сжатий Tj и Т2. Цусть Уе и

- идеалы в алгебре Смирнова N , порожденные старшими минорами матриц fy и 6Я соответственно. Тогда оператора Tj и Т2

квазиподобны в том и только в том случае, когда Ув = .

Во.второй части диссертации строится аппарат &ля получения оценок сжимающих операторных цепей, в основе которых лежит некоммутативный аналог неравенства Коши-Буняковского-Швар-

Sí.-NaflV В- Fb^ С- de $oulaи- рот wne с1ше,

d'opéiaUuu de t'apace Hilbert. - Acta Set. Matk, WO, t. . N 1- 2 , Ö1-H5.

Wu Р.У. Jotdan, tnodtl foi сокСгас1ит- Acta Set. Matk., me.t.Mo. N 1-z, U9-M.

- 13 -

ца. Предлагаемая теория является развитием и обобщением конструкций Л.де Бранжа, построенных им для оценок коэффициентов однолистных функций. Поэтому в качестве основных приложений теории в §§ 5 - 8 рассматриваются именно сжимающие цепи,порождаемые операторами композиции с однолистными аналитическими функциями в пространстве 9 аналитических функций о конечным интегралом Дирихле 1В 1|'1 <1х<1^<оо . в числе следствий об-цей теории получаются оообщения неравенств де Бранжа ',Ров-зяка » некоторые другие, и, стало быть, неравенства, известие ранее (до работы де Бранжа ) как гипотезы Милина и Би-5ербаха. Более того, общая теория позволяет о единой точки фения объяснять операторный смысл известных уравнений Левне-» и уравнений де Бранжа, естественным образом вывести необ-:одимые свойства решений уравнений де Бранжа, не прибегая к гомощи неравенств Аски-Гаспера.

Перейдем теперь к более детальному описанию второй части аботы.

Первый параграф служит введением ко всей второй части, в ем содержится краткое описание ее содержания - основных поня-ий, методов и результатов. § 2 посвящен построению теории, ля дискретных операторных цепей. Рассматривается цепочка вло-энных гильбёртовых пространств

Н~Н <Р Нн„ -10) ,

дающих семейство сжатий Тк, которые образуют сжимающую цепь, е. ТКТК < Тк_,или, другими словами, ТК=ТК_1ТК_1 к дм

которого уже двупараметрического семейства сжатий ^ . В

зультате единичный оператор представляется в виде суммы

* * *

I - Г X в. тк,

К—0 к,к-1

опенка соответствующая этом" разложению имеет вид

К»0 К.КМ К —в

) неравенство интерпретируется как оценка комплементарной

нормы элемента Ж

к—о К,К+(

«гс! 1л,.Г

н| ' К н»

к-о

Здеоь пространство, дополнительное (комплементарное) к Н в Н, а ЗСК |1Н- дополнительное к Н^ в ^.Комплементарным к пространству Н4.сжимающим образом вложенному в пространство Н.на-вывается такое единственное гильбертово пространство Нг.также сжимающее вложенное в Н,которое определяется следующими свойствами: ^

. I 12

н) УлеН Зар.«Н4: я-*/л*',х,н-,а«|н«+ |х»,н.' '

Это разложение и. является упомянутым квазиортогональным разложением, в. котором аналогом, ортогональности является приведенное понятие дополнительности (комплементарности). которое в частном случае возниклр еще в работах Н.Ароншайна и Р.Годемана , и впоследствии активно эксплуатировалось де Бранжем.

Квазиразложения по непрерывному параметру, которым посвящен § 3,могут быть получены из дискретных предельный переходом к произвольному убывающему семейству гильбертовых пространств Н$ (Н$<=* Нг при 5>1 ) от аналогичных кусочно-постоянных семейств. А именно, пусть £> - аддитивная операторно-значная функция, определенная на некоторой алгебре подмножеств множества $ и такая, что

^Аюкааун N. Ткаяу в} щыАшХка*еЬ.—Тщид. Л^ес. Matk.SK..

1050, V. 68, ио. 3 , 337-4М. 13) *

&сЦм«к1 Я. Ы ¿с Црс роиЩ Л к Ысш. ¿и дыири.-

Т-ИМ«. Атл. МоШ.&с., те, V. 63, мл, 505-614.

Пусть, далее, Г - оператор, такой что I - ТЗ* = ё(3>) , JIKT) -гильбертово пространство, в которое превращается линеал . RanqeT если его снабдить таиде-нормой

ЙЖИТ & Ч

наконец, ШТ) - подпространство, дополнительное к ЯКТ) в исходном пространстве- Н. Тогда для любой кусочно-постоянной Н-значной функции £ вектор

принадлежит комплементарному подпространству ЭД(Т) и оцраведли-ва оценка

& &

Оператор W продолжается по непрерывности до, коизометрии,отображающей на ЖТ) пространство, которое получается после факторизации и пополнения множества ступенчатых функций относительно (полу )нормы, стоящей в правой части неравенства.

Все. дальнейшие построения цроводятся в предположении ,что множество & является отрезком вещественной оси, а мера $ обладает производной Радона-Никодима относительно меры Лебега. В этом случае семейство сжатий Тг5, ооуществляпцих вложения пространств Н& в Нг,удовлетворяют эволюционным уравнениям

f*-T5_ßcs>.

В терминах генератора Л выражается прс :зводная йздона-Никоди-ма меры $ :

^-TöMWV

Отсюда видно, что основное условие применимости теории - условие сжимаемости цепи Tw - оно же условие положительности меры £ - это положительность вещественной части генератора J}(S). Поэтому корректно определен оператор А($) - [2ße !2(S)J^ , . в результате основное неравенство принимает вид

a W-'ot' a

Далее полученные оценки обобщаются на тот случай, когда

операторы Т действуют в шкале пространств H(S) =6(5) H 1$

со скалярными произведениями (£.<рц(5)=( :

Т ; Н(5) —^H(v) а<г .

15

В результате получаем аналогичное неравенство, только в более сложных весовых нормах:

5 . Л I

Здесь - пространство .дополнительное к Т^ Н(6), сжимающим образом вложенному в Н(а), а оператор Г(5) задается равенство!

Г(5)Е(5)* =б(5)~4Л($)<*(5)' .

где

Acs) ¿(5)+2i?e [tfcsîilcs)]><Р , а<$<$,

- основное условие применимости теории. - условие сжимаемости цепи Т^ в весовом случае.

В следующем § 4 показано, что полученные неравенства -это, по существу, оценки решения эволюционного уравнения

А переход г - дополнительных метрик к основным дает возможност: переписать оценку для решения этого уравнения в виде

1«(а)| -lx(&)l® <,flfl(s)«S is.

Нса> . Н(() J * Г(5)

Найдено условие точности, когда в этой оценке достигается знак равенс ва - это про аходи^ тогда и только тогда, когда траектория X и вес 6 удовлетворяют уравнению точности (вГоО'+Л'бзс -0.

- 17 -

Далее рассматривается операция так называемого хронологического усреднения, что позволяет использовать выпуклую структуру множества генераторов Л . В результате оцениваются тректории с цроизвольными генераторами. Л через те, генераторы которых являются крайними точкам и в выпуклом множестве всех допустимых генераторов. Групповая структура множества крайних точек приводит к дальнейшей редукции. Так в приложениях к однолистным функциям крайними точками оказываются генераторы соответствующие функциям Кебе, а упомянутая групповая структура'- это повороты комплексной плоскости.

Остальная часть диссертации как раз и посвящена рассмотрению сжимающих цепей, состоящих из операторов подстановки в весовых пространствах Дирихле. Получающиеся при этом оценки -это различные оценки коэффициентов однолистных функций.

В § 5 показано, что для этих цепей абстрактное эволюционное уравнение, превращается в хорошо известное в геометрической теории функций уравнение Левнера. И свойства решений этого уравнения получаются в качестве следствий общих теоретико-операторных конструкций без использования геометрии однолистных функций, как это делается при классическом подходе.

Шра графы 6-8 носят технический, вычислительный характер. Здесь описываются те веса б, для которых имеет место условие точности оценок, достигаемых на траекториях, порождаемых функцией Кебе, и выполнено основное условие положительности А>0 . В § 6 это сделано для тех значений свободных параметров, которые приводят к оценкам логарифмических коэффициентов, а в § 7 - степенных коэффициентов однолистных функций. В частности получается и неравенство де Бранжа, доказывающее гипотезу Лебедева-Жлина, а тем самым и гипотезу Еибербаха.При этом общий подход позволяет избежать привлечения неравенств Аски и Гаспера, которые требовались де Бранжу, а наоборот,получить эти и аналогичного сорта оценки сумм ортогональных многочленов в качестве "побочною продукта".

В последнем параграфе дяссер'* .ции рассмотрение, ограничивается вторым и третьим коэффициентами нормированной однолистной функции. В этом частном случае необходимые вычисления про-

ведены до конца для более широкого множества свободных параметров, црисутствупцих в абстрактных оценках. Одним И8 следствий является следупцее однопараметрическое семейство неравенств, связывающих второй и третий коэффициенты:

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Васюнин В.И. Построение функциональной модели Б.Секефальви-Шдя-Ч.Фойаша.-Зап, научн.семин.ЛОМИ. 1972 .1.73. 16-23.

2. Васюнин В.И., Макаров Н.Е. О квазиподобии модельных сжатий а неравными: дефектами. -Зап.научн.семин.ЛСШ. 1986. Т.149. 24-37. . .

3. Васюнин В.И. Кратность спектра сжатий с конечными индексами дефекта. -Докл.АН СССР. 1989. Т.304. № 5. 1041-1045.

4. Васюнин В.И. Две классические теоремы о модели в бескоординатном изложении.-аап.научн,семин.ЛОМИ. 1989. Т. 178. 5-22.

5. Васюнин В.И., Никольский Н.К. Квазиортогональные разложения по дополнительным метрикам и оценки однолистных функций. - Алгебра и анализ. 1990. Т..:. Вып. 4. I - 81.

6. Ваоюнян В.И., Никольский Н,К. Операторные меры и коэффициенты однолистных функций. - Алгебра и анализ. 1991. Т.З. Вып. '6. 1-75.

7 Makarov N.G., Vasyunln V.l. Kode! for noncontractions and stability of the continious spectrum. - Lect. Notes Hath., 1981, v.864, 165-412.

8 Nlkol'skli N.K. Vasyunin V.l. Control subspaces of minimal dimension, unitary and model operatocs. - J. Operator Theory, 1983, v.10, 307-T30.

9 Nlkol'skli N.K., Vasyunin V.l. Notes on tvo function models.

The Bleberbach Conjecture (Proc. of the Symposium o Ocasslon of the Proof), 1985. Math. Surveys and Monographs no.21, 1986, 113-141.

10 Nlkol'skli N.K•, Vasyunin V.l. A unified approach to functional models and the transcription problem. - Operator Theory! Advances and Applications, 1989, v.41, 405-434. .

11 Vasyunin V.l. Multiplicity of contractions with finite defect lndeces. - Operator Theory: Advances and Applications, 1989, v.42, 281-304.

12 Nlkol'skli N.K., Vasyunin V.l. Quasi-orthogonal Hilbert space decompositions and estimates of univalent functions.

I. - Proc. of the Symp. of Punct. Anal, and Related Topics, Sapporo, 1990.

13 Nlkol'skli N.K., Vasyunin V.l.. juasi-orthogonal Hilbert space decompositions and estimates of univalent functions.

II. - Proc. of the First US-USSR conference on the approximation theory, Tampa, 1990.

PTn Ifflfl3>s3aK.56IcrapcI00,yqo-H3S.a.0,9| '3I/yiI-i992r. EeciraaTHo